Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Курский государственный университет»
Кафедра алгебры, геометрии и теории обучения математике
Рабочая программа дисциплины
«Дискретная математика»
Направление подготовки 090900 Информационная безопасность
Профиль подготовки Организация и технология защиты информации
Квалификация (степень) Бакалавр
Факультет физики, математики, информатики
Очная форма обучения
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Курский государственный университет»
Кафедра математического обеспечения информационных систем
Утверждаю
Декан факультета
информатики и вычислительной техники
_________________ В.А. Кудинов
«____» ________________ 2011 г.
Рабочая программа дисциплины
«Дискретная математика»
Направление подготовки 090900 Информационная безопасность
Профиль подготовки Организация и технология защиты информации
Квалификация (степень) Бакалавр
Факультет информатики и вычислительной техники
Очная форма обучения
Курск 2011
Рецензенты:
В.В. Воронин, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
математического обеспечения информационных систем Курского государственного университета;
Волкова С.Н., профессор, доктор сельскохозяйственных
наук,
заведующий кафедрой математики, физики и теоретической механики
ФГБОУ ВПО «Курская ГСХА».
Рабочая программа дисциплины «Дискретная математика» Текст 
сост. Н.Н. Михайлова; Курск. гос. ун-т. – Курск, 2011. – 23 с.
Рабочая программа составлена в соответствии с Федеральным
государственным образовательным стандартом высшего профессионального
образования по направлению подготовки 090900 Информационная
безопасность, утвержденным приказом Министерства образования и науки
Российской Федерации от 28 октября 2009 г. № 496.
Рабочая программа предназначена для методического обеспечения
дисциплины основной образовательной программы 090900 Информационная
безопасность.
«____» ____________________ 2011 г.
Составитель _____________________
Н.Н.
Михайлова,
кандидат
педагогических
наук,
доцент
кафедры
математического
обеспечения
информационных
систем КГУ
 Михайлова Н.Н., 2011
 Курский государственный университет, 2011
Лист согласования рабочей программы
дисциплины «Дискретная математика»
Направление подготовки090900 Информационная безопасность
Профиль подготовки Организация и технология защиты информации
Квалификация (степень) Бакалавр
Факультет информатики и вычислительной техники
Очная форма обучения
2011/2012 учебный год
Рабочая программа утверждена на заседании кафедры математического
обеспечения информационных систем, протокол № 1 от «29» августа
2011 г.
Заведующий кафедрой _________________ Г.С. Толстова
Составитель ___________________________ Н.Н. Михайлова
Согласовано:
Начальник УМУ
__________________ И.Я. Благирева, «____» ______________ 2011 г.
Заведующий отделом комплектования научной библиотеки
__________________ О.В. Терещенко, «____» _______________ 2011 г.
Председатель методической комиссии по направлению
__________________ В.Н. Лопин, «____» _________________ 2011 г.
Пояснительная записка
1. Место дисциплины в структуре основной образовательной программы, в модульной структуре ООП
Дисциплина «Дискретная математика» включена в базовую часть математического и естественнонаучного цикла ООП.
Дисциплина «Дискретная математика» базируется на математических
знаниях, полученных в процессе обучения в средней общеобразовательной
школе.
Дисциплина «Дискретная математика» является самостоятельным модулем и основой для изучения дисциплин: «Теория вероятностей и математическая статистика», «Программирование», для последующего изучения других
дисциплин базовой части математического и естественнонаучного цикла и базовой и вариативных частей профессионального цикла.
2. Цель и задачи изучения дисциплины
Целью освоения учебной дисциплины «Дискретная математика» является
приобретение знаний основных теоретических положений дискретной математики, умений по применению математических методов в решении прикладных
задач, формирование общекультурных и профессиональных компетенций.
Задачи изучения дисциплины:
- усвоение основных понятий, методов и языка дискретной математики;
- приобретение умений и навыков осмысленного оперирования математическими формулами с использованием определенного набора методов решения задач;
- развитие логического, аналитического мышления и общей математической культуры личности будущего специалиста;
- воспитание духовно-нравственных и профессиональных качеств.
3. Требования к входным знаниям, умениям, компетенциям
Приступая к освоению дисциплины, обучающийся должен:
- знать: сущность математического доказательства; примеры доказательств; как используются математические формулы, уравнения и неравенства;
примеры их применения для решения математических и практических задач;
- уметь: составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач;
выполнять тождественные преобразования рациональных выражений; решать
линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к
ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы;
изображать числа точками на координатной прямой; определять координаты
точки плоскости, строить точки с заданными координатами; изображать множество решений линейного неравенства; находить значения функции, заданной
формулой, таблицей, графиком по ее аргументу; находить значение аргумента
по значению функции, заданной графиком или таблицей; определять свойства
функции по ее графику; применять графические представления при решении
уравнений, систем, неравенств; описывать свойства изученных функций, строить их графики;
- владеть (быть в состоянии продемонстрировать): навыками самостоятельной работы и умением находить и перерабатывать дополнительную информацию в данной предметной области; практически применять знания, умения и навыки, полученные в средней общеобразовательной школе для решения
логико-математических задач.
4. Ожидаемые результаты образования и компетенции по завершении освоения учебной дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих
общекультурных и профессиональных компетенций:
- способность использовать основные естественнонаучные законы, применять математический аппарат в профессиональной деятельности, выявлять
сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности (ПК1).
В результате изучения дисциплины студент должен:
знать:
- понятия множества, сравнения и операций над множествами, кортежа, декартово произведения множеств, бинарных отношений между элементами
множеств, бинарных отношений между элементами данного множества, отношения эквивалентности, функциональных отношений и их видов (З-1);
- основные свойства операций нахождения объединения, пересечения и разности двух множеств, бинарных отношений между элементами данного множества (З-2);
- основные комбинаторные правила, размещения, перестановки и сочетания,
биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля его свойства, основные
формулы, связанные с биномиальными коэффициентами, бином Ньютона; метод включения-исключения (З-3);
- понятия графа, псевдографа, мультиграфа, орграфа; смежности, инцидентности, степени графов; изоморфизма графов; эйлеровых и гамильтоновых цепей и циклов; деревьев и циклов; планарности графов; раскраски вершин и ребер графа (З-4).
уметь:
- задавать конечные и бесконечные множества различными способами,
находить объединение, пересечение и разность двух множеств, дополнение
множества до другого множества и универсального множества, симметрическую разность множеств, доказывать включение и равенство двух множеств,
находить разбиение данного множества на непересекающиеся классы, декартовы произведения множеств (У-1);
- находить области отправления и прибытия, определения и значений бинарных отношений между элементами множеств, изображать график и граф бинарного отношения, определять вид бинарного отношения между элементами
данного множества, функциональное отношение и его вид (У-2);
- решать задачи, связанные с размещениями, перестановками, сочетаниями,
составлять треугольник Паскаля и анализировать его (У-3);
- применять метод включения-исключения, основные формулы с биномиальными коэффициентами к решению задач (У-4);
- изображать графы и на конкретных примерах оперировать основными понятиями теории графов, составлять матрицы смежности и инциденций (У-5);
- составлять алгоритмы поиска кратчайших путей (У-6);
- решать задачи, связанные с деревьями и циклами (У-7);
- решать задачи раскрашивания графов (У-8);
владеть (быть в состоянии продемонстрировать):
- терминологией и символикой начал теории множеств, комбинаторики, теории графов (В-1);
- практическим применением материала элементов теории множеств, комбинаторики и теории графов для решения логико-математических задач (В-2);
- навыком поиска научной информации и работы с реферативной, справочной, периодической и монографической литературой по дискретной математике
(В-3).
5. Структура дисциплины
Элементы теории множеств. Элементы комбинаторики. Теория графов.
6. Основные образовательные технологии
В процессе изучения дисциплины используются как традиционные технологии обучения (лекции, практические занятия, консультации, самостоятельная и научно-исследовательская работы и т.д.), так и инновационные (объяснительно-иллюстративный метод с элементами проблемного изложения; технология поиска и накопления информации); активные и интерактивные методы
обучения: разбор конкретных ситуаций, решение ситуационных задач и т.д.
7. Формы контроля
Оценка качества освоения дисциплины «Дискретная математика» включает текущий контроль успеваемости (опросы по изучаемому материалу, внеаудиторные задания, дифференцированные по степени трудности, контрольная
работа и др.) и промежуточную аттестацию (зачет).
Оценка «зачтено» на зачете ставится, если студент освоил все компетенции на пороговом уровне; «не зачтено» - имеются компетенции не освоенные
на пороговом уровне.
Структура и содержание дисциплины
№ Наименование
п.п. раздела
1.
и
содержание Образовательные Методы и фортехнологии, в т.ч. мы обучения, в
инновационные
т.ч. активные и
интерактивные
Элементы теории множеств. т. репродуктивно- скрин-шот
Множества. Способы задания воспроизводяще- (краткое изломножеств. Отношения между го об., т. субъект- жение), практимножествами. Операции над субъектного вза- ческое занятие,
самостоятельная
множествами. Разбиение мно- имодействия.
работа,
конжества. Понятие кортежа. Детрольная работа.
картово произведение мно-
Формируе- Образомые компе- вательтенции
ные результаты
ПК-1.
З-1; З-2;
У-1; У-2;
В-1; В-2;
В-3.
Формы контроля,
оценочные средства
Текущий
контроль: фронтальный опрос, контрольная работа.
жеств. Бинарные отношения
между множествами. Их виды.
Функциональные отношения.
2.
Элементы
комбинаторики.
Правила суммы и произведения. Принцип включения и исключения. Сочетания, размещения, перестановки. Определение биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля
и его свойства. Основные формулы с биномиальными коэффициентами. Бином Ньютона и
его свойства.
3.
Теория
графов.
портфолио – т.
поиска и накопления информации, т. развивающего об.
лекция, практи- ПК-1.
ческое занятие,
самостоятельная
работа,
контрольная работа.
Основные т. объяснительно- проблемная лек- ПК-1.
З-3; У-3; Текущий
конУ-4; В-1; троль: фронтальВ-2; В-3. ный опрос, контрольная работа
самостоятельная
работа.
З-4; У-5; Текущий
кон-
определения графов, изображения графов. Смежность, инцидентность, степени. Виды графов и операции над графами.
Изоморфизм графов. Матрицы
смежности
и
инциденций.
Маршруты и пути. Связность
графов, компоненты связности.
Деревья и циклы. Эйлеровы и
гамильтоновы циклы. Планарные графы. Раскраски вершин и
ребер графов. Гипотеза четырех
красок. Теорема о пяти красках.
иллюстративного
об. с элементами
проблемного изложения, т. личностноориентированного об.
ция, практическое
занятие,
самостоятельная
работа.
У-6; У-7; троль: опрос, саУ-8; В-1; мостоятельная
В-2; В-3. работа.
Промежуточная
аттестация – зачет
№ Тема лекции
п.
п.
Лекционный курс
Литература Образовательные Методы и
и др. источ- технологии, в т.ч. формы
ники
инновационные
обучения,
в т.ч. активные и
интерактивные
1.
Элементы теории множеств.
Множества. Способы задания множеств. Отношения между множествами. Операции над множествами. Разбиение множества. Понятие
кортежа. Декартово произведение
множеств. Бинарные отношения
между множествами. Их виды.
Функциональные отношения.
Литература:
осн. – 1;
доп. – 1, 2,
3, 4, 6;
Интернетресурс: 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7
т. репродуктивновоспроизводящего об., портфолио
– т. поиска и
накопления информации,
т.
субъектсубъектного взаимодействия.
2.
Элементы комбинаторики. Правила суммы и произведения.
Принцип включения и исключения. Сочетания, размещения, перестановки. Определение биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля и его свойства. Основные формулы с биномиальными коэффициентами. Бином Ньютона и его свойства.
Литература:
осн. – 1;
доп. – 1, 2,
3, 4, 6, 7;
Интернетресурс: 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7
т. объяснительно- лекция.
иллюстративного
об. с элементами
проблемного изложения, т. личностноориентированного об.
Формируемые
компетенции
скрин- шот ПК-1.
(краткое
изложение)
ПК-1.
Образователь
ные
резуль
таты
З-1;
З-2;
Формы контроля,
оценочные средства
З-3;
Текущий
контроль: фронтальный опрос, контрольная работа.
Текущий
контроль:
опрос,
контрольная работа.
3.
Теория графов. Основные определения графов, изображения графов.
Смежность, инцидентность, степени. Виды графов и операции над
графами. Изоморфизм графов.
Матрицы смежности и инциденций. Маршруты и пути. Связность
графов, компоненты связности. Деревья и циклы. Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Планарные графы.
Раскраски вершин и ребер графов.
Гипотеза четырех красок. Теорема
о пяти красках.
Литература:
осн. – 1;
доп. – 1, 2,
3, 4, 6;
Интернетресурс: 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7
т. объяснительно- проблемПК-1.
иллюстративного ная лекция
об. с элементами
проблемного изложения, т. развивающего об., т.
личностноориентированного об.
З-4;
Текущий
контроль: фронтальный опрос, контрольная работа.
Промежуточная
аттестация – зачет
Практические занятия
№ Тема занятия
п.п.
Литература и Образовательдр. источники
ные технологии,
в т.ч. инновационные
1.
Элементы теории множеств.
Множества. Способы задания
множеств. Отношения между
множествами. Операции над множествами. Разбиение множества.
Понятие кортежа. Декартово произведение множеств. Бинарные
отношения между множествами.
Их виды. Функциональные отношения.
Литература:
осн. – 1; доп. –
1, 2, 3, 4, 6;
Интернетресурс: 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7
т. объяснительноиллюстративного об. с элементами проблемного изложения,
т.
личностноориентированного об.
2.
Элементы комбинаторики. Правила суммы и произведения.
Принцип включения и исключения. Сочетания, размещения, перестановки. Определение биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля и его свойства.
Основные формулы с биномиаль-
Литература:
осн. – 1; доп. –
1, 2, 3, 4, 6, 7;
Интернетресурс: 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7
т. развивающего
об., т. личностноориентированного об.
Методы
и формы
обучения,
в
т.ч. активные
и интерактивные
практическое
занятие,
контрольная работа.
Формируемые
компетенции
Об- Формы
конратроля, оценочзова- ные средства
тель
ные
резуль
таты
ПК-1.
З-1;
З-2;
У-1;
У-2;
В-1;
В-2;
В-3.
Текущий
контроль: письменный опрос, контрольная работа.
практи- ПК-1.
ческое
занятие,
контрольная работа.
З-3;
У-3;
У-4;
В-1;
В-2;
В-3.
Текущий
контроль: фронтальный опрос, контрольная работа.
ными коэффициентами.
Ньютона и его свойства.
3.
Бином
Теория графов. Основные определения графов, изображения графов. Смежность, инцидентность,
степени. Виды графов и операции
над графами. Изоморфизм графов.
Матрицы смежности и инциденций. Маршруты и пути. Связность
графов, компоненты связности.
Деревья и циклы. Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Планарные
графы. Раскраски вершин и ребер
графов. Гипотеза четырех красок.
Теорема о пяти красках.
Литература:
осн. – 1; доп. –
1, 2, 3, 4, 6;
Интернетресурс: 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7
т. объяснительноиллюстративного об. с элементами проблемного изложения,
т. развивающего
об.
практи- ПК-1.
ческое
занятие,
контрольная работа.
З-4;
У-5;
У-6;
У-7;
У-8;
В-1;
В-2;
В-3.
Текущий
контроль: письменный опрос, контрольная работа.
Промежуточная
аттестация – зачет
Самостоятельная работа
№ Раздел или тема,
п.п. выносимые на самостоятельное
изучение
1.
Методы решения
комбинаторных
задач.
Виды и содержание Литература и др. Формируемые ОбразоваФормы контроля,
самостоятельной рабо- источники
компетенции тельные ре- оценочные средты
зультаты
ства
аналитический обзор
литературы, Интернетисточников, контрольная работа
2.
Представление
аналитический обзор
графов в ЭВМ. литературы, ИнтернетСписки смежно- источников
сти, массивы дуг.
3.
Паросочетания,
аналитический обзор
независимые
литературы, Интернетмножества и кли- источнико
ки.
Литература:
ПК-1.
осн. – 1; доп. – 1,
2, 3, 4, 6, 7;
Интернет-ресурс:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Литература:
ПК-1.
осн. – 1; доп. – 1,
2, 3, 4, 6;
Интернет-ресурс:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Литература:
ПК-1.
осн. – 1; доп. – 1,
2, 3, 4, 6;
Интернет-ресурс:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
З-3; У-3; У-4; Текущий
конВ-1; В-2; В-3. троль: фронтальный опрос, контрольная работа
З-4; У-5; У-6; Текущий
конУ-7; У-8; В-1; троль: фронтальВ-2; В-3.
ный опрос.
З-4; У-5; У-6; Текущий
конУ-7; У-8; В-1; троль: фронтальВ-2; В-3.
ный опрос.
Вопросы для самоконтроля по самостоятельно изученным темам
Тема: Методы решения комбинаторных задач
1.
Комбинаторные правила и числа, на которых основаны решения
комбинаторных задач.
2.
Сколько слов длины 3 можно составить из букв слова «диффузия»,
если в каждом из слов все буквы разные?
3.
Из алфавита выделили k знаков. Известно, что из них три знака
можно выбрать 1140 способами. Найдите k.
4.
Множество содержит семь цифр. Из булеана этого множества удалили все те его элементы, которые содержат три цифры, и удалили все
элементы, содержащие по четыре цифры. Сколько элементов осталось?
5.
Сколько существует четырехзначных десятичных чисел, в каждом
из которых все цифры расположены в порядке возрастания или в порядке убывания (с нуля числа начинаться не могут)?
6.
Сколько существует восьмизначных десятичных чисел, в каждом
из которых все цифры разные, нет цифр 0 и 9, чередуются четные и
нечетные цифры?
7.
Сколько существует семизначных десятичных чисел, в каждом из
которых все цифры разные, нет цифр 0, 8, 9 и чередуются четные и нечетные цифры?
8.
Сколько существует семизначных десятичных чисел, в каждом из
которых цифры расположены в порядке убывания?
9.
Сколько существует подмножеств, содержащих по пять элементов
множества P, если известно, что существует 84 подмножества, каждое
из которых состоит из трех элементов множества P?
10. Сколькими способами можно расположить на шашечной доске черную и белую шашки, если ни одно из четырех крайних полей не
занимать?
11. Множество А состоит из десяти цифр, множество В – из семи букв.
Из множества А взяли три цифры, из множества В – две буквы и образовали из них множество С. Сколько существует таких множеств?
12. Сколько существует пятизначных десятичных чисел, в каждом из
которых нет четных цифр и нет цифр, являющихся простыми числами?
13. Сколько существует четырехзначных десятичных чисел, начинающихся с какой-либо из цифр 5, 6, 7, 8 и оканчивающихся нулем
либо цифрой 9?
14. Сколько существует пятизначных десятичных чисел, в каждом из
которых цифры двух старших разрядов являются четными, а все
остальные – нечетными?
15. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно
переводить с любого из семи языков на любой другой из этих же
семи языков?
Некто забыл последние четыре цифры телефонного номера нужной
ему фирмы. Помнит только, что в номере нет нулей и девяток и есть
одна цифра. Какое максимальное число номеров ему придется набрать,
если он попытается дозвониться до фирмы путем проб и ошибок?
17. Сколько существует шестизначных десятичных чисел, если в каждом числе цифры расположены в порядке возрастания и если каждое
число начинается с единицы и оканчивается девяткой?
18. По окружности расположено 12 точек. Выбрали пять рядом стоящих
точек и каждую из них соединили прямыми линиями с каждой из
остальных семи точек. Найдите число точек пересечения, если через
каждую точку пересечения проходят только две прямые.
19. Сколько различных восьмизначных кодов можно получить, используя нечетные десятичные цифры и шесть букв некоторого алфавита если каждый код представляет собой сочетание четырех цифр и четырех
букв, где цифры не повторяются и упорядочены по возрастанию, а буквы также не повторяются и упорядочены по алфавиту?
20. Сколько существует восьмизначных десятичных чисел, если в каждом из них три раза встречается цифра 3, три раза – цифра 5 и два раза
– цифра 9?
16.
Тема: Представление графов в ЭВМ. Списки смежности, массивы дуг
1. Представление графов в ЭВМ с помощью матрицы смежности, матрицы инцидентности, списков смежности, списков дуг.
2. Алгоритмы, оперирующие со структурами типа граф: алгоритмы
нахождения кратчайших путей между заданными вершинами, алгоритм выявления всех простых цепей и циклов, блоков и точек сочленения.
3. Быстрый поиск: бинарный и последовательный поиски в массивах,
М-блочный поиск, хеширование. Выбор в линейных списках.
4. Использование деревьев в задачах поиска: бинарные, случайные бинарные, оптимальные и сбалансированные деревья поиска.
5. Алгоритмы поиска на графах: алгоритмы Форда-Фанкерсона и
Флойда-Уоршелла, алгоритм поиска кратчайшего пути, жадный алгоритм.
Тема: Паросочетания, независимые множества и клики
1. Паросочетания и реберные покрытия. Теорема о паросочетаниях и
реберных покрытиях.
2. Метод увеличивающих путей. Теорема об увеличивающем пути.
3. Паросочетания в двудольных графах. Теорема о дереве достижимости.
4. Независимые множества в двудольных графах. Теорема о числе
вершинного покрытия двудольного графа.
Примерный перечень вопросов к зачету
1.
Множества. Конечные и бесконечные множества. Способы задания
множеств.
2.
Сравнение двух множеств. Семейство всех подмножеств данного множества.
3.
Объединение, пересечение и разность множеств. Дополнение множества. Симметрическая разность множеств.
4.
Теорема об основных свойствах операций над множествами.
5.
Разбиение данного множества на попарно-непересекающиеся классы.
6.
Декартовы произведения множеств.
7.
Бинарные отношения. Области отправления и прибытия, определения
и значений, график и граф отношения.
8.
Отношение между элементами данного множества. Виды отношений.
9.
Функциональные отношения.
10. Инъективные, сюръективные и биективные функции.
11. Сочетания без повторений и с повторениями. Теоремы о числе всех сочетаний без повторений и с повторениями. Примеры.
12. Размещения без повторений и с повторениями. Теоремы о числе всех
размещений без повторений и с повторениями. Примеры.
13. Перестановки без повторений и с повторениями. Теоремы о числе всех
перестановок без повторений и с повторениями. Примеры.
14. Основные комбинаторные правила.
15. Определение биномиальных коэффициентов.
16. Треугольник Паскаля и его свойства.
17. Основные тождества с биномиальными коэффициентами.
18. Бином Ньютона. Биномиальные формулы.
19. Метод включения-исключения.
20. Основные понятия теории графов.
21. Элементы графов.
22. Виды графов.
23. Маршруты, цепи, циклы.
24. Операции над графами.
25. Матричное задание графов. Матрицы смежности и инцидентности.
26. Связность. Компоненты связности. Матрицы связности.
27. Эйлеровы цепи и циклы.
28. Гамильтоновы цепи и циклы.
29. Деревья. Остовное дерево.
30. Паросочетания, независимые множества и клики.
31. Планарность графов.
32. Раскраски графов.
Примерный перечень заданий контрольных работ
№1. Задать различными способами следующие множества:
А = x  x  N и 23  x  28 ,
В =  -6; -3; 0; 3; 6; 9 ,
C – множество всех целых чисел, каждое из которых больше одного, но
не более восьми.
№2. Найти А  В, А  В, А \ В, В \ А, C А, C В, если:
а) A и B - множества всех букв слов «панама» и «панорама» соответственно,
б) А = x  x  R и -1  x  3 , В = [0; 2].
№3. Докажите, что для любых множеств Х, Y и Z истинны следующие
высказывания:
а) X (X  Y)  X,
б) (X  Y) \ (XY) = (X \ Y)  (Y \ X).
№4. Записать семейство всех подмножеств множества М – множества всех
цифр числа 545230.
№5. Изобразить на координатной плоскости (Оху) декартово произведение
AB, если:
а) А = x  x  R и -1  x  3 , В = y  y  N и y  5 ,
б) A = [0; + ), В = [0; 2].
№6. Проверить являются семейства R1, R2 разбиениями множества
М = 0;1;2;3;4;5;15;25 на классы, если:
R1  x / x 2  x  0, 2,4,25, 1,3,16,5
R2= 0,25, 1,2,16, 4, 5 .
№7. Соответствие R задано между множествами Х и Y при помощи графа.
Укажите область отправления, область прибытия, область определения,
множество значений соответствия R. Перечислите пары чисел, принадлежащие графику G соответствия R и постройте график на ПДСК. Постройте граф
или график обратного соответствия R-1. Запишите множество пар, принадлежащие графику противоположного соответствия -R и постройте его график.
-2
R
5
0
3
1
 8
4
1
№8. Оформите в виде таблицы ответы на вопросы: является ли данное отношение между элементами множества М рефлексивным, симметричным, транзитивным, связным, антирефлексивным, антисимметричным, отношением
эквивалентности, порядка, линейного порядка? Для одного из отношений
привести подробное обоснование ответов:
а) «Человек х выше человека y» на некотором множестве людей,
б) «Числа a и b взаимно простые» на множестве N.
№9. Для отношения  = (G; X; У) найти D(), Е(), построить его граф или
график на координатной плоскости (Оху), если:
Х={a,b,c,d}; Y={1,2,3,4}; G ={(a;2),(a;3),(a;4),(c;3),(d;4)}.
№10. Является ли f=(G; X; Y) функцией? Если да, то является ли она инъективной, сюръективной и биективной?
а) Х=У=R и G ={(x;y)/x=y2},
б) Х=R, У= [0;   ) и G ={(x;y)/ y = x 2}.
№11. В лаборатории работают 8 физиков и 10 химиков. Нужно создать рабочие группы по трем темам. В первую группу должны войти 4 физика, во вторую – 5 химиков, а в третья должна состоять из трех человек, которые могут
быть как физиками, так и химиками. Сколькими способами могут быть созданы такие группы?
№12. В течение 10 недель школьники должны написать 10 контрольных работ, в том числе 2 по математике. Сколькими способами может быть составлено расписание этих работ так, чтобы контрольные работы по математике
не шли друг за другом?
№13. Доказать: Аnk=An-1k+kAn-1k-1
№14. Найти член, содержащий x4 в разложении бинома:
( x  3 x )9
№15. Вычислить сумму четырех крайних (стоящих с одной стороны) членов
одиннадцатой строки треугольника Паскаля.
№16. Составить матрицы смежности и инцидентности для графа:
e2
e1
V1
e6
V6
e3
e4
V4
e7
e5
V5
№17. Найти все различные варианты раскрасок графа G и определить его
хроматическое число:
V2
V3
V5
V1
V4
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Литература
Основная
1. Дискретная математика: учебник, рек. МО РФ / С.В. Судоплатов, Е.В.
Овчинникова. – 2-е изд., перераб. – М.: ИНФРА-М; Новосибирск: Март,
2007.– 255 с.
Дополнительная
1. Вводный курс математики : метод. указания и контрольные задания /
С.Н. Водолад, Н.Н. Михайлова, О.Е. Нехорошева. – Курск : Изд-во Курск.
гос. ун-та, 2009. – 41c.
2. Дискретная математика для программистов: Учеб. пособие для вузов
доп. МО РФ. – СПб.: Изд-во "Питер", 2003. – 304с.
3. Долгих В.Ф., Бородина М.В., Долгих А.В. Вводный курс математики. –
Курск: КГУ, 2005. – 60 с.
4. Дискретная математика: теория, задачи, приложения: учеб. пособие для
вузов, доп. МО РФ / Я.М. Ерусалимский. – 8-е изд. – М.: Вузовская книга,
2006. – 265 с.
5. Дискретная математика: учеб. пособие для вузов, доп. МО РФ / Т.С.
Соболева, А.В. Чечкин; под ред. А.В. Чечкина .– М.: Академия, 2006. – 256 с.
6. Дискретная математика: учебник, доп. МО РФ / С.Н. Поздняков, С.В.
Рыбин. – М.: Академия, 2008. – 448 с.
7. Комбинаторные задачи: материалы для подготовки школьников к
олимпиадам по информатике. – М.: Чистые пруды, 2005. – 31 с.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Программное обеспечение и Интернет-ресурс
http://siblec.ru/
http://www.mccme.ru/free-books
http://allmath.ru/
http://195.93.165.10:2280
http://elibrary.ru
http://uisrussia.msu.ru
Электронная
библиотечная
система
«КнигаФонд»
http://www.knigafund.ru/
Электронная библиотечная система издательства «Лань»
http://e.lanbook.com/
Материально-техническое обеспечение дисциплины
1. аудитории для проведения лекционных и практических занятий
2. компьютерные классы
3. доступ к сети Интернет
−
−
Схема распределения учебного времени
по видам учебной деятельности
Очная форма обучения
Общая трудоемкость дисциплины – 2 зачетных единицы (72 академических
часа)
Виды учебной деятельности
Трудоемкость, час
Общая трудоемкость
Аудиторная работа
в том числе:
лекции
практические занятия
лабораторные занятия
Самостоятельная работа
Промежуточная аттестация
72
48
24
24
24
зачет
Схема распределения учебного времени по семестрам
Виды учебной деятельности
Общая трудоемкость
Аудиторная работа
в том числе:
лекции
практические занятия
лабораторные занятия
Самостоятельная работа
в том числе:
курсовой проект
курсовая работа
расчетно-графическая работа
реферат
контрольная работа
Промежуточная аттестация
Трудоемкость, час
3 сем.
Всего
72
72
48
48
24
24
24
24
24
24
+
зачет
+
зачет
Учебно-тематический план
№
п/п
1.
2.
3.
Наименование
раздела, тема
Элементы теории
множеств.
Элементы комбинаторики.
Теория графов.
Промежуточная
аттестация (зачет)
Итого
Общ.
труд.,
час
В том числе аудиторных
из них:
прак.
всего лекц.
лаб.
Сам.
раб.
24
16
8
8
8
22
14
6
8
8
26
18
10
8
8
72
48
24
24
24