МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РТ
ГБПОУ «ЗАИНСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
И
ОСНОВЫ ЛОГИКИ
По дисциплине “Информатика”
по разделу “Системы счисления и основы логики”
Авторы-составители
И. И. Романова, О.Н. Соловьева, Е.П. Дуболазова
2015
Содержание
1. Пояснительная записка………………………………………………………3
2. Тематический план…………………………………………………………..6
3. Из истории……………………………………………………………………7
4. Раздел I. Системы счисления, используемые в компьютере…………….10
1.1. Позиционные и непозиционные системы счисления …………...10
1.2. Двоичная система счисления……………………………………...15
1.3. Арифметические операции в двоичной системе счисления ……16
Практическая работа №1 «Двоичная система счисления» ……..20
1.4. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления ………24
1.5. Арифметические операции в восьмеричной и шестнадцатеричной
системах счисления………………………………………………..26
Практическая работа №2 «Восьмеричная и шестнадцатеричная
системы счисления»………………………………………………..30
Тест 1………………………………………………………………..35
Тест 2………………………………………………………………...40
Контрольная работа………………………………………………..44
5. Раздел 2. Основы логики…………………………………………………55
2.1. Основные понятия и операции алгебры логики …………………55
2.2. Основные законы алгебры логики ………………………………..58
2.3. Представление логических функций………………………………63
2.4. Анализ и синтез функциональных схем логических устройств…66
Лабораторная работа №1 «Методы логического моделирования на
ЭВМ» ………………………………………………………………...71
Лабораторная работа №2 «Исследование работы логических
устройств на ЭВМ» ...……………………………………………….82
Контрольная работа…………………………………………………89
6. Приложение…………………………………………………………...…….91
7. Литература………………………………………………………………...104
2
Пояснительная записка
Внедрение
новых
информационных
технологий
во
все
сферы
современной жизни привело к тому, что умение работать на компьютере
является необходимым атрибутом профессиональной деятельности любого
специалиста и во многом определяет уровень его востребованности в обществе.
Информатика
нацеленным
на
является
освоение
преимущественно
современных
прикладным
информационных
курсом,
технологий
специалистами различных профилей. Однако, этому освоению необходимо
предпослать теоретическую часть, которая позволила бы увидеть современные
средства работы с информацией. Это позволяет, с одной стороны, повысить
теоретическую подготовку учащихся, с другой стороны – дает возможность
ориентироваться в динамике современной информационной среды.
Изучение курса информатики базируется на фундаментальных вопросах
технического и технологического обеспечения информатики, логических и
арифметических основ компьютера.
Данное пособие состоит из двух разделов и приложения. Каждый раздел
содержит теоретическую часть, упражнения и задачи, практические и
лабораторные задания, контрольные вопросы и тесты, которые могут быть
использованы учащимися для самоконтроля, а преподавателями – для текущего
контроля знаний, умений и навыков. Для итогового контроля предусмотрены
контрольные работы.
В разделе «Системы счисления, используемые в компьютере» изучаются
алгоритмы перевода чисел из одной системы счисления в другую, их
взаимосвязь, правила выполнения арифметических действий в двоичной,
восьмеричной, шестнадцатеричной системах счисления.
При изучении темы «Системы счисления» учащимся приходится
выполнять достаточно много однообразных рутинных вычислений. Чтобы
разнообразить и «оживить» данную тему, показать ее информатическую, а не
3
арифметическую суть используется ряд методических приемов: стихи, игры,
истории, занимательные задачи, кроссворды, предложенные в приложение.
В разделе «Основы логики» рассматриваются следующие вопросы:
основные логические операции, основные законы и соотношения алгебры
логики, анализ и синтез функциональных схем логических устройств.
Для
выполнения
лабораторных
работ
раздела
«Основы
логики»
необходимо наличие компьютера и программы Electronics Workbench, которая
используется в качестве виртуальной лаборатории. Программа позволяет
изучать работу электронных устройств. Виртуальная лаборатория Electronics
Workbench имеет современный, ясный и занимательный интерфейс, позволяет в
значительной степени повысить наглядность изучаемого и закрепляемого
материала. Получение быстрого и наглядного результата значительно
активизирует деятельность учащегося на занятиях, повышает интерес к
информатике и компьютерным технологиям.
В результате изучения курса «Системы счисления и основы логики»
учащийся должен:
иметь представление:
- о позиционных и непозиционных системах счисления;
- об алгебре высказываний;
знать:
- алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую;
- взаимосвязь
двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной систем
счисления;
-
правила
выполнения
арифметических
действий
в
двоичной,
восьмеричной, шестнадцатеричной системах счисления;
- основные логические операции, их свойства и обозначения;
- порядок записи логических функций в совершенной нормальной форме;
уметь:
- переводить числа из одной системы счисления в другую;
4
- выполнять арифметические действия в двоичной, восьмеричной,
шестнадцатеричной системах счисления;
- представлять логические выражения в виде формул и таблиц истинности;
- анализировать и синтезировать функциональную схему логических
устройств.
5
Тематический план
Количество аудиторных часов
№ тем
Наименование разделов и тем
всего
в том числе
на практические и
лабораторные
занятия
Раздел I. Системы счисления,
используемые в компьютере
10
3
1.1
Позиционные
и
системы счисления
1
-
1.2.
Двоичная система счисления
1
-
1.3
Арифметические
операции
двоичной системе счисления
в
2
1
1.4.
Восьмеричная и шестнадцатеричная
системы счисления
2
-
1.5
Арифметические
операции
в
восьмеричной и шестнадцатеричной
системах счисления
4
2
Раздел 2. Основы логики
12
4
4
2
непозиционные
2.1.
Основные понятия
алгебры логики
и
операции
2.2.
Основные законы алгебры логики
2
-
2.3.
Представление логических функций
2
-
2.4.
Анализ и синтез функциональных
схем логических устройств
4
2
Всего
22
7
6
Из истории…
Сейчас в большинстве стран мира, несмотря на то, что там говорят на
разных языках, считают одинаково, "по-арабски". Но так было не всегда. Еще
каких-то пятьсот лет назад ничего подобного и в помине не было даже в
просвещенной Европе, не говоря уже о какой-нибудь Африке или Америке.
Но, тем неменее числа люди все равно как-то записывали. У каждого
народа была своя собственная или позаимствованная у соседа система записи
чисел. Одни использовали буковки, другие - значки, третьи - закорючки. У
кого-то получалось удобнее, у кого-то не очень.
Ведь
не
так-то
просто
даже
имея
цифры
(значки,
которыми
записываются числа), записать какое-нибудь число. Для этого нужна система
счисления (способ записи чисел с помощью цифр). (Сразу хочу предупредить,
что системы счисления бывают непозиционными и позиционными или
аддитивными и мультипликативными Но не стоит пугаться таких грозных слов,
на деле все очень просто).
Самая простая система счисления была еще у древних людей. Какое
число нужно записать, столько сделают засечек на палке, или в кучку камешков
положат. Но это удобно, пока числа небольшие. Вы только представьте себе
число 1 000 записанное с помощью кучки камушков, а 1 000 000?. Неудобно?
Тогда стали люди придумывать как по другому записывать большие
числа. Для начала решили, что каждые 10 палочек заменять загогулинкой, и
счет пошел легче! Так появилась аддитивная система счисления.
Но люди никогда не стоят на месте, они постоянно чего-нибудь
изобретают. Не захотелось людям вырисовывать по десятку палочек да
загогулинок, и решили каждое круглое число обозначить по-особому. Но для
этого потребовалось большое количество цифр-символов, и, чтобы не
изобретать велосипед, решили использовать алфавит. Так и появилась на свет
7
алфавитная аддитивная система счисления. Такая система очень долго
использовалась по всей Европе, и во многих государствах за ее пределами.
Но далеко не все народы делали свои записи с помощью алфавита или
слоговых знаков (об алфавитах и слоговых знаках здесь). В Китае иероглифы не
позволили появиться такой системе счисления, и тогда ученые изобрели
немного другую систему, названную мультипликативная система счисления.
Эта система имела одно очень важное свойство: в ней одна и та же цифра, в
зависимости от расположения в записи числа могла иметь разные значения.
Именно такой системой счисления мы с Вами сейчас и пользуемся.
Новая, или арабская нумерация самая распространенная на сегодняшний
день нумерация. Название "арабская" для нее не совсем верно, поскольку хоть и
завезли ее в Европу из арабских стран, но там она тоже была не родной.
Настоящая родина этой нумерации - Индия.
В различных районах Индии существовали разнообразные системы
нумерации, но в какой-то момент среди них выделилась одна. В ней цифры
имели
вид
начальных
букв
соответствующих
числительных
на
древнеиндийском языке - санскрите, использующем алфавит "Деванагари".
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3, … 9, 10, 20,
30, …, 90, 100, 1000; с их помощью записывались другие числа. Но в
последствии был введен особый знак - жирная точка, или кружок, для указания
пустующего разряда; и нумерация "Деванагари" превратилась в поместную
десятичную систему. Как и когда совершился такой переход - до сих пор
неизвестно. К середине VIII века позиционная система нумерации получает
широкое применение. В это же время она проникает в соседние страны:
Индокитай, Китай, Тибет, Среднюю Азию.
Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских
странах сыграло руководство, составленное в начале IX века Мухаммедом Аль
Хорезми. Оно было переведено в Западной Европе на латинский язык в XII
8
веке. В XIII веке индийская нумерация получает преобладание в Италии. В
других странах она распространяется к XVI веку. Европейцы, заимствовав
нумерацию у арабов, называли ее "арабской". Это исторически неправильное
название удерживается и поныне.
Из арабского языка заимствовано и слово "цифра" (по-арабски "сыфр"),
означающее буквально "пустое место" (перевод санскритского слова "сунья",
имеющего тот же смысл). Это слово применялось для названия знака пустого
разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился
латинский термин "нуль" (nullum - ничто).
Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та
форма, которой мы сейчас пользуемся установилась в XVI веке.
9
Раздел I. Системы счисления, используемые в компьютере
1.1. Позиционные и непозиционные системы счисления.
Системы счисления - способ записи чисел с помощью заданного набора
специальных знаков (цифр).
Основание
2
3
4
5
8
10
12
16
Система счисления
Двоичная
Троичная
Четверичная
Пятеричная
Восьмеричная
Десятичная
Двенадцатеричная
Шестнадцатеричная
Знаки
0,1
0,1,2
0,1,2,3
0,1,2,3,4
0,1,2,3,4,5,6,7
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся
на позиционные и непозиционные.
В позиционной системе счисления количественное значение каждой
цифры зависит от ее места (позиции) в числе. В непозиционной системе
счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении
их расположения в числе.
Пример: Позиционная система счисления - арабская десятичная система,
в которой для изображения чисел используются 10 цифр (от 0 до 9).
Непозиционная система счисления - римская, в которой для каждого числа
используется
специфическое
сочетание
символов.
В
такой
системе
используется 7 знаков: I, V, X, L, C, D, M, которые соответствуют величинам:
I(1); V(5); X(10); L(50); C(100); D(500); M(1000). Например: III - три; LIX пятьдесят девять;
DLV - пятьсот пятьдесят пять.
Недостатком непозиционных систем счисления является отсутствие
формальных правил записи чисел и арифметических действий над ними.
По традиции римскими числами часто пользуются при нумерации глав в
книгах, веков в истории и т.д.
В позиционной системе счисления количество различных цифр,
используемых для изображения числа, называется основанием системы
10
счисления. Позиция цифры в числе называется разрядом. А значение каждого
разряда его весом. Для любой системы счисления крайнее правое число
является младшим разрядом, и по мере переноса влево увеличивается вес
разряда в число раз, равное основанию системы счисления.
273 = 2*102+7*101+3*100=200+7+3
В общем случае, запись любого числа в системе счисления с основанием
В может быть представлена в виде суммы произведений, каждое из которых
состоит из цифры этого числа и соответствующей ей степени основания
системы:
(*) АnAn-1An-2... А 2A1A0, A-1A-2…=An*Bn+An-1*Bn-1+…+A1*B1+A0*B0 + A-1*B-1…,
где нижние индексы определяют местоположения цифры в числе (разряд),
причем положительные индексы для целой части числа, отрицательные - для
дробной.
Примеры:
23,43 =2+101 +3*100 +4*10-1 +3*10-2
172,3 =1*102 +7*101 +2*100 +3*10-1
692 =6*102 +9*101 +2*100
В ЭВМ используется десятичная система счисления для ввода и вывода
информации. Для работы машины используется двоичная система счисления.
Для записи чисел в этой системе используются цифры 0 и 1. Выбор двоичной
системы объясняется тем, что электронные элементы, из которых строятся
ЭВМ, могут находиться только в двух хорошо различимых рабочих состояниях.
По
принципу Неймана: «ЭВМ производит арифметические расчеты в 2ой
системе счисления».
Примеры записи чисел:
В=2
1101 =1*23 +1*22 +0*21 +1*20
10011 =1*24 +0*23 +0*22 +1*21 +1*20
111010,1 =1*25 +1*24 +1*23 +0*22 +1*21 +0*20 +1*2-1
11
Для представления информации вне ЭВМ применять двоичную систему с
ее громадной записью неудобно. Поэтому для составления программ
пользуются
8-ной
и
16-ной
системами
счисления.
Привязанность
программистов к 8-ой и 16-ой системам объясняется тем, что переход к записи
числа в любой из этих систем от его двоичной записи очень прост.
Двоичная
(Основание 2)
0
1
Восьмеричная
(Основание 8)
триады
0
1
2
3
4
5
6
7
Десятичная
(Основание 10)
000
001
010
011
100
101
110
111
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Шестнадцатиричная
(Основание 16)
тетрады
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Примеры записи чисел в 8-ой и 16-ой системах:
В=8
341,5 =3*82 +4*81 +1*80 +5*8-1
В=16
A1F,4 =A*162 +1*161 +F*160 +4*16 -1
В 16-ой системе для обозначения чисел кроме цифр используют буквы
латинского алфавита.
12
Задания.
1. Представьте в развернутой форме:
а) 3217,5(8)
б) 110101(2)
в) 112(3)
г)АЗС(16)
д) 1CFE(16) е)1011010(2)
е) 746110
ж) 1011012
з) AF616
и) 178,3510
2. Чему в 10-ой системе счисления равны числа записанные римскими цифрами:
а) IX
б) LIV
в)DLII
3. Запишите числа в форме с плавающей запятой:
а) 785,35
б) -0,0396
в) 111,11
г) 0,785
д) 137,85
е) -0,0013
ж) -78,5
з) 0,0157
13
Контрольные вопросы.
1. Что такое система счисления?
2. Какие системы счисления вы знаете?
3. В чем основное отличие позиционных систем счисления от
непозиционных?
4. Почему для машинной арифметики используются двоичная система
счисления?
5. Для чего используется шестнадцатеричная система счисления?
6. Каково наименьшее основание для позиционной системе счисления?
7. Что подразумевается под арабской системой записи чисел?
8. Что означает представить число в развернутой (позиционной) форме?
Приведите пример.
9. Чему в десятичной системе счисления равны следующие числа, записанные
римскими цифрами: а) XI; б) LX; в) MDX ?
10.Как формируется первый принцип Неймана?
14
1.2. Двоичная система счисления
Особая значимость двоичной системы счисления в информатике
определяется тем, что внутреннее представление любой информации в
компьютере является двоичным, т.е. описываемым наборами только из двух
знаков (0 и 1).
Для перевода чисел из любой позиционной системы счисления в
десятичную достаточно воспользоваться развернутой формой записи
числа. Например,
11001,11 2 = 1*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 + 1*2 0 + 1*2 -1 + 1*2 -2 =
= 1*16 + 1*8 + 0*4 + 0*2 + 1*1+ 1*0,5 + 1* 0,25 = 25,75 10
Рассмотрим примеры:
101101,1 2 = 1*2 5 + 1*2 3 + 1*2 2 + 1*2 0 + 1*2 -1 =
= 1*32 + 1*8 + 1*4 + 1*1+ 1*0,5 = 25,5 10
11010,101 2 = 1*2 4 + 1*2 3 + 1*2 1 + 1*2 -1 + 1*2 -3 = 26,625 10
Чтобы перевести число из десятичной системы счисления в
двоичную, надо целую и дробную части переводить порознь. Для перевода
целой части (или просто целого) числа - необходимо разделить ее на
основание системы счисления и продолжать делить частные от деления до
тех пор, пока частное не станет равным 0. Значения получившихся
остатков, взятых в оборотной последовательности, образуют искомое
двоичное число. Например:
Остаток
25:2=12
(1),
12:2=6
(0),
6:2=3
(0),
1:2=0
(1).
Таким образом,
25 (10) =11001 ( 2 )
Для перевода дробной части (или числа, у которого «0» целых) надо
умножить ее на 2. Целая часть произведения будет первой цифрой числа в
двоичной системе. Затем, отбрасывая у результата целую часть, вновь
15
умножаем на 2 и т.д. Заметим, что конечная десятичная дробь при этом
вполне может стать бесконечной (периодической) двоичной. Например:
0,73 * 2 = 1,46 (целая часть 1),
0,46 * 2 - 0,92 (целая часть 0),
0,92 * 2 = 1,84 (целая часть 1),
0,84 * 2 = 1,68 (целая часть 1) и т.д.
В итоге
0,73(10)=0,1011 …(2).
1.3. Арифметические операции в двоичной системе счисления
Над числами, записанными в любой системе счисления, можно
производить различные арифметические операции. Так, для сложения и
умножения двоичных чисел необходимо использовать таблицу.
Таблица двоичного
сложения
Таблица двоичного
вычитания
Таблица двоичного
умножения
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
0-0=0
1-0=1
1-1=0
10-1=1
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1
При сложении двоичных чисел в каждом разряде производится сложение цифр
слагаемых и переноса из соседнего младшего разряда, если он имеется. При
этом необходимо учитывать, что 1+1 дают нуль в данном разряде и единицу
переноса в следующий.
Пример. Выполнить сложение двоичных чисел:
а) X=1101, Y=101;
Результат 1101+101=10010.
б) X=1101, Y=101, Z=111;
16
Результат 1101+101+111=11001.
При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости
занимается 1 из старшего разряда. Эта занимаемая 1 равна двум 1 данного
разряда.
Пример. Заданы двоичные числа X=10010 и Y=101. Вычислить X-Y.
Результат 10010 - 101=1101.
Умножение двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для
десятичных с помощью таблиц двоичного умножения и сложения.
Пример. 1001*101=?
Результат 1001*101=101101.
Деление двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для
десятичных. При этом используются таблицы двоичного умножения и
вычитания.
Пример. 1100.011 : 10.01=?
17
Результат 1100.011 : 10.01=101.1.
Задание
1. Переведите числа из одной системы счисления в другую:
1) 13427=Х10
22)2143,410=Х5
2) 13145=Х10
3) 2314=Х10
4) 1526=Х10
5) 27210=Х5
6) 0,3246=Х10
7) 29210=Х6
8) 0,6337=Х10
9) 524610=Х12
10) 73910=Х4
11) 398810=Х3
12) 1101,1012=Х10
13) 1100,112=Х10
14) 3610=Х2
15) 1710=Х2
16) 7,510=Х2
17) 0,2510=Х2
18)28139=Х10
19)1010012=Х10
20)11000,012=Х10
21)1245=Х10
18
2. Вычислить с проверкой:
1. 1011,10+11,0101
2. 1111001-1011
3. 110101-101110
4. 101010-111
5.101,010+1010
6.11011+101
7.10,001+1101
8.10001-1101
9.1,110*101
10.11,111*10
11.110,101+101110
12.101110/10011
13.110111/101
14.11001/11
15.111*101
16.11011100-1001100
17.110,01100-100,110
18.1110101-1011101
19.10011*11
20.110,011/11,101
19
Практическая работа № 1
Двоичная система счисления.
Цель работы: 1. Овладение практическими навыками перевода двоичного
числа в десятичное и, обратно, десятичное в двоичное. 2. Проверить
навыки и умение выполнения арифметических операций в двоичной системе
счисления.
Содержание и порядок выполнения работы
1) Повторить теоретическую часть.
2) Ответить на контрольные вопросы:
а) Что такое система счисления?
б) Почему для машинной арифметики используется двоичная система
счисления?
в) Сформулировать
правило
перевода двоичного
числа в
десятичное. Записать формулу.
г) Сформулировать правила перевода десятичного числа в двоичное
число (для целой и дробной части).
д) Записать таблицы сложения, вычитания и умножения двоичных
чисел.
е) Выполнить
практическое
задание
преподавателем).
Содержание отчета:
1) Тема работы.
2) Цель работы.
3) Ответы на контрольные вопросы.
4) Выполненные практические задания.
20
(вариант
указывается
Вариант I
1. Выполните действия в двоичной системе счисления:
а) 1111+1011
г) 0101-1
6) 1001+110
д)10111
в) 1100-0111
e) 11001 х 111
2. Переведите из одной системы счисления в другую
а ) 2 9 10=Х2
в ) 35,7110=Х2
6)1001112=Х10
г) 110011,1012=Х10
Вариант II
1)Выполните действия в двоичной системе счисления
а) 1011+1101
г) 0111-1011
б) 1101+101
д) 11011-1101
в) 1110-101
е) 11101х101
2)Переведите из одной системы счисления в другую:
а) 3410=Х2
в) 27,3410=Х2
6)110011 2 =Х 1 0
г) 101011,01 2=Х1
Вариант III
1. Выполните действия в двоичной системе счисления:
а) 111+101
г) 10111-111100
6)10011+1101
д) 11000-1101
в) 11001-10101
е) 1011х111
2. Переведите из одной системы счисления в другую:
а) 1910=Х2
в) 21,2510=Х2
б)11001012=Х10
г) 100111,1112=Х10
21
Вариант IV
1. Выполните действия в двоичной системе счисления:
а) 10011+1
г) 11001-100011
6)11011+11111
д) 101101-1101
в) 10011001-1101
е) 1011x1001
2. Переведите из одной системы счисления в другую:
а)3310=Х2
в) 18,7410=Х2
6) 10101012=Х10
г) 101111,112=Х10
Вариант V
1. Выполните действия в двоичной системе счисления:
а) 1010+1110
г)0111-1101
б) 1010+101
д)11001-1001
в) 1011-0101
е) 1110х11
2. Переведите из одной системы счисления в другую:
а)4210=Х2
в) 15,3510=Х2
б)10101102=Х10
r)101110,1012=Х10
Вариант VI
1. Выполните действия в двоичной системе счисления:
а) 1001 + 1101
г)0011-0101
6)1110+101
д)11001-1011
в) 1110-0101
е) 11100х10
2. Переведите из одной системы счисления в другую:
а)2310=Х2
в) 17,5310=Х2
6)1111012=Х10
г)101110,1012=Х10
22
Вариант VII
1. Выполните действия в двоичной системе счисления:
а) 100011+101
г) 11001-1000111
6)1101101+10011
д) 10101,101-1101
в) 10011001-111001
е) 101,1x101
2. Переведите из одной системы счисления в другую:
а)5510=Х2
в) 28,6410=Х2
6) 10101,12=Х10
г) 100011,112=Х10
Вариант VIII
1. Выполните действия в двоичной системе счисления:
а) 101110+110110
г)01101-1101
б) 101011+1001
д)1100,1-10,01
в) 101011-1101
е) 10110х101
2. Переведите из одной системы счисления в другую:
а) 9210=Х2
в) 45,47510=Х2
б)10111,102=Х10
r)1010,1012=Х10
Вариант IX
1. Выполните действия в двоичной системе счисления:
а) 101101 + 10101
г)00111-10101
6)110010+1101
д)110,01-10,11
в) 10110-0101
е) 100х110
2. Переведите из одной системы счисления в другую:
а)5310=Х2
в) 12,5810=Х2
6)1011012=Х10
г)1010,112=Х10
23
1.4. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления
С точки зрения изучения принципов представления и обработки
информации в компьютере, обсуждаемые в этом пункте системы
представляют большой интерес. Хотя компьютер «знает» только двоичную
систему счисления, часто с целью уменьшения количества записываемых
на бумаге или вводимых с клавиатуры компьютера знаков бывает
удобнее пользоваться восьмеричными и шестнадцатеричными числами,
тем более что, как будет показано далее, процедура взаимного перевода
чисел из каждой из этих систем в двоичную очень проста -гораздо проще
переводов между любой из этих трех систем и десятичной.
1216,04 (8)=1∙83+2∙82+1∙81+6∙80+4∙8 -2=512+128+8+6+0,0625 = 654,0625 (10);
29А,5 (16) = 2∙162 +9∙161 +10∙160 +5∙16 -1 =512+144+10+0,3125=656,3125 (10).
Перевод
восьмеричную
чисел
из
производится
десятичной
(по
системы
аналогии
с
счисления
двоичной
в
системой
счисления) с помощью деления и умножения на 8. Например, переведем
число 58,3210:
58:8=7 (2 в остатке),
7:8=0 (7 в остатке).
0,32*8=2,56,
0,56*8=4,48,
0,48*8=3,84, …
таким образом,
58,3210=72,243 …8
(из конечной дроби в одной системе может получиться бесконечная
дробь в другой).
Перевод
чисел
из
десятичной
системы
шестнадцатеричную систему производится аналогично.
24
счисления
в
С практической точки зрения представляет интерес процедура
взаимного преобразования двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных
чисел. Для этого воспользуемся таблицей чисел от 0 до 15 (в десятичной
системе счисления), представленных в других системах счисления.
Для перевода целого двоичного числа в восьмеричное необходимо
разбить его справа налево на группы по 3 цифры (самая левая группа может
содержать менее трех двоичных цифр), а затем каждой группе поставить в
соответствие ее восьмеричный эквивалент. Например:
11011001 = 11 011 001, т.е. 110110012= 3318
Затем, что группу из трех двоичных цифр часто называют
«двоичной триадой».
Перевод целого двоичного числа в шестнадцатеричное производится
путем разбиения данного числа на группы по 4 цифры - «двоичные триады»:
1100011011001
=
1
1000
1101
1001,
т.е.
Для перевода дробных частей двоичных чисел
110110012=18D916
в восьмеричную
или
шестнадцатеричную системы аналогичное разбиение на триады или
тетрады производится от точки вправо (с дополнением недостающих
последних цифр нулями):
0,11000111012=0,110 001 110 100 = 0,61648,
0,11000111012 = 0,1100 0111 0100 = 0,С7416.
Перевод восьмеричных (шестнадцатеричных) чисел в двоичные
производится обратным путем - сопоставлением каждому знаку числа
соответствующей тройки (четверки) двоичных цифр.
65,38 = 110 101, 0112
6AF,316 = 110 1010 1111, 00112
Контрольные вопросы
1. Каковы способы перевода чисел из одной системы в другую?
2. В чем заключается преимущество использования восьмеричной
25
шестнадцатеричной систем счисления в вычислительной технике?
3. Как выглядят таблицы сложения и умножения?
1.5. Арифметические операции над числами в восьмеричной и
шестнадцатеричной системах счисления
Над числами в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления
можно производить арифметические операции. Для этого необходимо
воспользоваться таблицами сложения и умножения.
Сложение.
+
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
1
2
3
4
5
6
7
1
1
2
3
4
5
6
7
10
2
2
3
4
5
6
7
10
11
3
3
4
5
6
7
10
11
12
4
4
5
6
7
10
11
12
13
5
5
6
7
10
11
12
13
14
6
6
7
10
11
12
13
14
15
7
7
10
11
12
13
14
15
16
Умножение.
*
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
2
0
2
4
6
10
12
14
16
3
0
3
6
11
14
17
22
25
4
0
4
10
14
20
24
30
34
5
0
5
12
17
24
31
36
43
6
0
6
14
22
30
36
44
52
7
0
7
16
25
34
43
52
61
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
А
В
С
D
Е
F
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
5
6
7
8
9
6
7
8
9
А
7
8
9
А
В
8
9
А
В
С
9
А
В
С
D
А
В
С
D
Е
В
С
D
Е
F
С
D
Е
F
10
D
Е
F
10
11
Е
F
10
11
12
F
10
11
12
13
5
6
5
6
6
7
7
8
8
9
9
А
А
В
В
С
С
D
D
Е
Е
F
F
10
10
11
11
12
12
13
13
14
14
15
26
7
8
9
А
В
7
8
9
А
В
8
9
А
В
С
9
А
В
С
D
А
В
С
D
Е
В
С
D
Е
F
С
D
Е
F
10
D
Е
F
10
11
Е
F
10
11
12
F
10
И
12
13
10
11
12
13
14
11
12
13
14
15
12
13
14
15
16
13
14
15
16
17
14
15
16
17
18
15
16
17
18
19
16
17
18
19
1А
С
D
Е
С
D
Е
D
Е
F
Е
F
10
F
10
11
10
11
12
11
12
13
12
13
14
13
14
15
14
15
16
15
16
17
16
17
18
17
18
19
18
19
1А
19
1А
1В
1А
1В
1С
1В
1С
1D
F
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1А
1В
1С
1D
1E
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
А
В
С
D
Е
F
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
А
С
D
Е
F
2
0
2
4
6
8
.А
С
Е
10
12
14
B
16
18
1А
1С
IE
3
0
3
6
9
С
F
12
15
18
1В
IE
4
5
0
0
4
5
8
А
С
F
10
14
14
19
18
1E
1С
23
20
28
24
2D
6
0
6
С
12
18
1E
24
2А
30
7
0
7
Е
15
1С
23
2А
31
8
9
0
0
8
9
10
12
18
1В
20
24
28
2D
30
36
А
0
А
14
1E
28
32
В
0
В
16
21
2С
37
3С
42
С
D
0
0
С
D
18
1А
24
27
30
34
ЗС
41
Е
0
Е
1С
2А
38
F
0
F
1Е
2D
ЗС
24
27
2А
2D
28
32
21
2С
37
30
ЗС
34
41
38
46
3C
4B
36
ЗС
42
48
4Е
54
5A
38
3F
46
4D
54
5В
62
69
38
3F
40
48
48
51
50
5А
58
63
60
6С
68
75
70
7Е
78
87
46
50
5А
64
6Е
78
82
8С
96
4D
58
63
6Е
79
84
8F
9А
A5
48
4Е
54
5В
60
68
6С
75
78
82
84
8F
90
9С
9С
А9
А8
В6
B4
C3
46
54
62
70
7Е
8С
9А
А8
В6
С4
D2
4В
5А
69
78
87
96
А5
В4
СЗ
D2
El
Примеры:
Сложить числа :
а) 10000000100 (2) +111000010 (2) = 10111000110 (2) ;
б) 223,2 (8) +427,54 (8) =652,74 (8) ;
в) 3В3,6 (16) = 73Е,А (16) .
+ 10000000100
111000010
+ 223,2
457,54
27
+ 3В3,6
38В,4
10111000110
652,74
73Е,А
Выполнить вычисление :
а)11 00000011,011 (2) – 101010111,1 (2) =1101011,111 (2) ;
б) 1510,2 (8) – 1230,54 (8) = 257,44 (8) ;
в)27D,D8 (16) – 191,2 (16) = ЕС,В8 (16) .
1100000011,011
1510,2
* 101010111,1
27D,D8
*1230,54
* 191,2
257,44
110101011,111
ЕС,В8
Выполнить умножение:
а) 100111 (2) х 1000111 (2) = 101011010001 (2);
б) 1510,2 (8) х 46,3 (8) = 57334,134 (8);
в) 61,А (16) х 40,D (16) =18 В7,52 (16).
1170,64
100111
*
1000111
*
100111
+
100111
100111
100111
46,3
355234
+
732470
474320
57334,134
101011010001
28
61,А
* 40,D
+ 4F52
1868
18В7,52
Задания.
1. Переведите числа из одной системы счисления в другую:
1. 0,1548 = Х10,Х2.
6. В25,7F16 = Х8,Х2.
2. 15,348 = Х10,Х2.
7. С23,5А16 = Х8,Х2.
3. 674310 = Х8,Х2.
8. 1011001,11012 = Х16,Х8.
4. 19710 = Х8,Х2.
9. 11001,112 = Х16,Х8.
5. 235,78 = Х10,Х2.
10. 1100110,12 = Х16,Х8
2. Выполните действие.
1. 5638+2348
6. 7138 * 28
2. 6128 - 4278
7. 75,38*128
3. 2548 – 1258
8. D5A,316 – A8,916
4. 72,3 8 + 15,78
9. 6F,416 * 1A16
5. 212,22 8 – 113,168
10. D6,216 + AC9,4516
Контрольные вопросы
1. Каковы способы перевода чисел из одной системы в другую?
2. В чем заключается преимущество использования восьмеричной
шестнадцатеричной систем счисления в вычислительной технике?
3. Как выглядят таблицы сложения и умножения?
4. Какие символы используются для записи чисел в двоичной системы
счисления, восьмеричной, шестнадцатеричной?
5.Чему равны веса разрядов слева от точки, разделяющей целую и дробную
части, в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной)?
6.Чему равны веса разрядов справа от точки, разделяющей целую и дробную
части, в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной)?
29
Практическая работа №2
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления
Цель работы: Овладение практическими навыками перевода чисел из
десятичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную системы
счисления и обратно, из двоичной системы счисления в восьмеричную и
шестнадцатеричную системы счисления и обратно.
Содержание и порядок выполнения работы
1. Повторить теоретическую часть.
2. Ответить на контрольные вопросы:
а) правило перевода чисел из двоичной системы счисления в
восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления и обратно;
б) правило перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной
систем счисления в десятичную систему счисления;
в) правило перевода чисел из десятичной системы счисления в
восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления;
3. Выполнить практическое задание.
1.
Переведите данное число из десятичной системы счисления в
двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.
2.
Переведите данное число в десятичную систему счисления.
3.
Сложите числа
4.
Выполните вычитание.
5.
Выполните умножение.
Содержание отчета.
1. Тема работы.
2. Цель работы.
3. Ответы на контрольные вопросы.
4. Выполненное практическое задание.
30
Вариант 1
1. а) 860 (10) ; б) 785 (10) ; в) 149,375 (10) .
2. а) 1001010 (2) ; б) 1100111 (2) ; в) 110101101,00011 (2) ; г) 775,11 (8) ; д) 294,3 (16)
.а) 1101100000
1001000111,01
(2)
+ 10110110
; б) 101110111
(2)
+ 100001101,101(2) ; г) 271,34
(2)
(2)
+ 1000100001
+ 1566,2
(8)
(8)
; в)
(2)
; д) 65,2
(16)
+
(2)
;
3СА,8 (16) .
3. а) 1011001001
(2)
– 1000111011
(2)
; б) 1110000110
(2)
– 101111101
в)101010000,10111(2) – 11001100,01(2); г) 731,6(8) – 622,6(8)
4. а) 1011001 (2) ∙ 1011011 (2) ; б) 723,1 (8) ∙ 50,2 (8) ; в) 69,4 (16) ∙А,В (16) .
Вариант 2
1. а) 250 (10) ; б) 757 (10) ; в) 711,25 (10).
2. а) 1111000
(2)
; б) 1111 000000
; в) 111101100,01101
(2)
(2)
; г) 1233,5
(8)
; д)
2В3,F4 (16) .
3. а) 1010101
+ 10000101
(2)
; б) 1111 011101
(2)
(2)
+ 101101000
(2)
; в)
100100111,001 (2) + 100111 010,101 (2) ; г) 607,54 (8) + 1620,2 (8) ; д) 3ВF,А (16) +
313,А (16) .
4. а) 1001000011
(2)
– 10110111
; б) 111011100
(2)
1100110110,0011(2) – 11111110,01
(2)
; г) 1360,14
(8)
(2)
– 10010100
(2)
– 1216,4 (8) ; д) 33В,6
; в)
(16)
–
11В,4 (16) .
5. а) 11001 (2) ∙ 1011100 (2) ; б) 451,2 (8) ∙ 5,24 (8) ; в) 2В,А (16) ∙ 36,6 (16) .
Вариант 3
1. а) 759 (10) ; б) 265 (10) ; в) 79,4375 (10).
2. а) 1001101 (2) ; б) 10001000 (2) ; в) 100111001,01 (2) ; г) 1461,15 (8) ; д) 9D,А (16) .
3. а) 100101011
(2)
1010000100,1
(2)
+ 111010011
(2)
+ 11011110,001
; б) 1001101110
(2)
; г) 674,34
3В,4 (16) .
31
(8)
(2)
+ 1101100111
+ 1205,2
(8)
(2)
; д) 2FE,6
; в)
(16)
+
4. а) 1100110010
11001010,01
– 1001101101
(2)
– 1110001,001
(2)
; б) 1110001100
(2)
; г) 641,6
(2)
(8)
– 10001111
(2)
– 273,04
(8)
; в)
(2)
; д) 3СЕ,В8
(16)
–
39А,В8 (16) .
5. а) 1010101 (2) ∙ 1011001 (2) ; б) 1702,2 (8) ∙ 64,2 (8) ; в) 7,4 (16) ∙ 1D,4 (16) .
Вариант 4
1. а) 216 (10) ; б)336 (10) ; в) 741,125 (10).
2. а) 1100000110 (2) ; б) 1100010 (2) ; в)1011010,001 (2) ; г) 1537,22 (8) ; д) 2D9,8 (16).
3. а) 101111111
(2)
1101100011,0111
+ 1101110011
(2)
+ 1100011,01
(2)
(2)
; б)10111110
; г) 666,2
(8)
(2)
+ 100011100
+ 1234,24
(8)
; в)
(2)
; д) 346,4
(16)
+
3F2,6 (16) .
4. а) 1010101101
(2)
– 110011110
(2)
; б)1010001111
(2)
– 1001001110
(2)
; в)
1111100100,11011 (2) – 101110111,011 (2) ; г) 1437,24 (8) – 473,4 (8) ; д) 24А,4 (16)
– В3,8(16) .
5. а) 101011 (2) ∙ 100111 (2) ; б) 1732,4 (8) ∙ 34,5 (8) ; в) 36,4 (16) ∙ А,А (16) .
Вариант 5
1. а) 530 (10) ; б)265 (10) ; в) 597,25 (10).
2. а) 101000111
(2)
; б) 110001001
(2)
; в) 1001101010,01
(2)
; б) 10111010
(2)
; г) 1317,75
(8)
; д)
2F4,0С (16) .
3. а) 1100011010
(2)
+ 11101100
(2)
+ 1010110100
(2)
; в)
1000110111,011 (2) + 1110001111,001 (2) ; г) 1745,5 (8) + 1473,2 (8) ; д) 24D,5 (16)
+ 141,4 (16) .
4. а) 1100101010(2) – 110110010
(2)
; б) 110110100
(2)
– 110010100
(2)
; в)
1101111111,1 (2) – 1100111110,1011 (2) ; г)1431,26 (8) - 1040,3 (8) ; д) 22С,6 (16) –
54,2 (16) .
5. а) 1001001 (2) ∙ 11001 (2) ; б) 245,04 (8) ∙ 112,2 (8) ; в) 4В,2 (16) ∙ 3С,3 (16) .
Вариант 6
1. а) 945 (10) ; б) 85 (10) ; в) 444,125 (10).
32
2. а) 110001111
(2)
; б) 111010001
(2)
; в) 100110101,1001
; г) 176,5
(8)
; д)
(2)
; б) 100000001
+ 1000101001
(2)
; в)
(2)
3D2,04 (16) .
3. а) 1000011101
101111011,01
(2)
(2)
+ 101000010
+ 1000100,101
(2)
; г) 1532,14
(8)
(2)
+ 730,16
; д) ВВ,4
(8)
(16)
+
2F0,6 (16) .
4. а) 1000101110
(2)
– 1111111
(2)
; б) 1011101000
– 1001000000
(2)
; в)
(2)
1000101001,1 (2) – 1111101,1 (2) ; г) 1265,2 (8) – 610,2 (8) ; д) 409,D (16) – 270,4 (16)
.
5. а) 111010 (2) ∙ 1100000 (2) ; б) 1005,5 (8) ∙ 63,3 (8) ; в) 4А,3 (16) ∙ F,6 (16) .
Вариант 7
1. а) 287 (10) ; б) 220 (10) ; в) 332,1875 (10) .
2. а) 10101000
(2)
; б) 1101100
(2)
; в) 10000010000,01001
(2)
; г) 1714,2
,(8)
; д)
DD,3 (16) .
3. а)1100110
+1011000110
(2)
101001100,101
(2)
; б) 1000110
; г) 275,2
+ 1001101111
(2)
(2)
+ 1001001100,01
(2)
(2)
– 100000011
; б) 1110001110
(8)
+ 724,2
(8);
(2)
д) 165,6
; в)
(16)
+
3Е,В(16) .
4. а) 1011111111
110010100,01
(2)
– 1001110,1011
(2)
(2)
; г) 1330,2
(8)
– 100001011
(2)
– 1112,2
(8)
(2)
; д) АВ,2
; в)
–
(16)
3Е,2(16) .
5. а) 110000 (2) ∙ 1101100 (2) ; б) 1560,2 (8) ∙ 101,2 (8) ; в) 6,3 (16) ∙53,А (16) .
Вариант 8
1. а) 485 (10) ; б) 970 (10) ; в) 426,375 (10).
2. а)10101000 (2) ; б) 101111110 (2) ; в) 1010101,101 (2) ; г) 721,2 (8) ; д) 3С9,8 (16) .
3. а) 1010100111
1111111,101
(2)
(2)
+ 11000000
(2)
+ 101010101,101
(2)
– 1000101010
(2)
б) 1110010010
; г) 1213,44
(8)
(2)
+ 110010111
+ 166,64
(8)
(2)
; д) 41,4
; в)
(16)
+
3СF,D (16) .
4. а) 1010000000
(2)
1001001010,11011
(2)
; б) 1011010101
(2)
– 110011001
– 1000111000,01 (2) ; г) 1040,2 (8) – 533,2
– 140,6 (16) .
33
(8)
(2)
; в)
; д) 3FВ,4 (16)
5. а) 111011 (2) ∙ 10001 (2) ; б) 1237,3 (8) ∙117,5 (8) ; в) 66,4 (16) ∙ 65,8 (16) .
Вариант 9
1. а) 639 (10) ; б) 485 (10) ; в) 581,25 (10).
2. а) 1011000011 (2) ; б) 100010111 (2) ; в) 1100101101,1 (2) ; г) 1046,4 (8) ; д) 388,64
(16)
.
3. а) 10000 10100
(2)
+ 1101010101
; б) 1011001010
(2)
1110111000,101 (2) + 1101100011,101
(2)
; г) 1430,2
(8)
(2)
+ 101011010
+666,3
(8)
(2)
; д) 388,3
; в)
(16)
+
209,4(16).
4. а) 1111100010
(2)
– 101011101
; б) 1011000100
(2)
1101111000,1001(2) – 1000000,01
; г) 1040,2
(2)
(8)
(2)
– 1000100000
– 533,2
(8)
(2)
; д) 3FВ,4
; в)
(16)
–
140,6 (16) .
5. а) 11111 (2) ∙ 100001 (2) ; б) 1237,3 (8) ∙ 117,5 (8) ; в) 66,4 (16) ∙ 65,8 (16) .
Вариант 10
1. а) 618 (10) ; б) 556 (10) ; в) 129,25 (10) .
2. а) 1111011011 (2) ; б) 1011101101 (2) ; в)1001110110,011 (2) ; г) 675,2 (8) ; д) 94,4
(16)
.
3. а) 111110101
(2)
+ 10000001011
(2)
; б) 1011010
(2)
+ 1001111001
(2)
; в)
10110110,01 (2) + 1001001011 (2) ; г) 1706,34 (8) + 650,3 (8) ; д) 180,4 (16) + 3А6,28
(16)
.
4. а) 111101101
1111111011,01
(2)
– 101111010
(2)
– 100000100,011
(2)
; б) 1000110100
(2)
; г) 1300,44
(8)
(2)
– 100100111
– 1045,34
(8)
– 147,6 (16) .
5. а) 100111 (2) ∙ 110101 (2) ; б) 1542,2 (8) ∙ 50,6 (8) ; в) А,8 (16) ∙ Е,2 (16) .
34
(2)
; в)
; д) 16А,8
(16)
ТЕСТ 1
Вариант 1
1. Что такое система счисления?
A) Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
B) правила арифметических действий;
C) компьютерная программа для арифметических вычислений;
D) это знаковая система, в которой числа записываются
определенным
правилам,
с
по
помощью знаков некоторого алфавита,
называемых цифрами.
2. Переведите число 37 из десятичной системы счисления в двоичную.
А)100101;
В) 10101;
С) 10011;
D) 101101.
3. Переведите число 11010 2 из двоичной системы счисления в десятичную
систему счисления.
А) 18;
В) 24;
C) 26;
D) 14.
4. Какие системы счисления не используются специалистами для общения с
ЭВМ?
А) Десятичная; В) троичная;
С)двоичная;
D) шестнадцатеричная.
5. На берегу моря лежало 10 камешков. Набежавшая волна выбросила
еще несколько. Их стало 1000. Сколько камешков было выброшено волной'
А)1000;
В) 1010;
С) 1011;
D) 1110.
35
Вариант 2
1. Что называется основанием системы счисления?
A) Количество цифр, используемых для записи чисел;
B) отношение значений единиц соседних разрядов;
C) арифметическая основа ЭВМ;
D) сумма всех цифр системы счисления.
2. Переведите число
138 из десятичной системы счисления в
двоичную.
А)1001010;
В)10001010;
С)10000110;
D)1111110.
3. Переведите число 11011012
из двоичной
системы
счисления
в
десятичную систему счисления.
А)109;
В)104;
C) 121;
D)209.
4. Какая система счисления используется специ алистами для общения
с ЭВМ?
А) Двенадцатеричная;
В) троичная;
С)двоичная;
D) пятеричная.
5. Греются на солнышке воробьи. На нижней ветке их было 110, на
верхней на 2 меньше. Сколько всего было воробьев?
А)1000;
В)1001;
С) 1011;
D)1010.
36
Вариант 3
1. Все системы счисления делятся на две группы:
A) римские и арабские;
B) двоичные и десятичные;
C) позиционные и непозиционные;
D) целые и дробные.
2. Переведите число 243 из десятичной системы счисления в двоичную.
А)11110011;
В)11001111;
С) 1110011;
D)110111.
3. Переведите число 11012 из двоичной системы счисления в десятичную
систему счисления.
А)11;
В) 13;
С) 15;
D)23.
4. Числовой разряд — это:
A) цифра в изображении числа;
B) позиция цифры в числе;
C) показатель степени основания;
D) алфавит системы счисления.
5. Младший брат учится в 101 классе. Старший на 11 лет старше. В
каком классе учится старший брат?
А)1000;
В)1111;
С) 1010;
D)1001.
37
Вариант 4
1. В позиционных системах счисления основание системы счисления —
это:
A) максимальное количество знаков, используемое для записи числа;
B) цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
C) правила арифметических действий;
D) числовой разряд.
2. Переведите число 49 из десятичной системы счисления в двоичную.
А)100011;
В)10101;
С)110001;
D)101101.
3. Переведите число 111011 2 из двоичной системы счисления в десятичную
систему счисления.
А)58;
В) 63;
С) 59;
D)14.
4. Почему в ЭВМ используется двоичная система счисления?
A) Потому что составляющие технические устройства могут надежно
сохранять и распознавать только два различных состояния;
B) потому что за единицу измерения информации принят 1 байт;
C) потому что ЭВМ умеет считать только до двух;
D) потому что человеку проще общаться с компьютером на уровне
двоичной системы счисления.
5. У первоклассника Миши 1111 палочек для счета. У Коли 101. На
сколько палочек у Миши больше, чем у Коли?
А)1010;
В)100;
С) 1000;
D)1001.
38
В а р иа нт 5
1. Какое количество цифр используется в десятеричной системе счисления?
А) 9;
В) 10;
С) 2;
D) бесконечное множество.
2. Переведите число 27 из десятичной системы счисления в двоичную.
А)11011;
В)1011;
С)1101;
D)11111.
3. Переведите число Ш1 2 из двоичной системы счисления в десятичную
систему счисления.
А) 16;
В) 15;
С) 7;
D) 14.
4. В позиционной системе счисления:
A) используются только арабские цифры;
B) количественное значение цифры не зависит от ее позиции в числе;
C) цифра умножается на основание системы счисления;
D) количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе.
5. В кабинетах биологии и информатики 1010 кактусов. В биологии их 111.
Сколько кактусов в кабинете информатики?
А)10;
В) 11;
С)1;
D)111
Ответы теста 1
1
2
3
4
5
Вариант 1
D
A
C
B
B
Вариант 2
B
B
A
C
D
Вариант 3
C
A
B
B
A
Вариант 4
A
C
C
A
A
Вариант 5
B
A
C
D
39
ТЕСТ 2
Вариант 1
1. Переведите из двоичной системы счисления в восьмеричную число
11112.
А) 7;
В) 17;
С) 15;
D)33.
2. Переведите число А9 из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную.
А)10101001;
В)10011010;
С)10101000;
D) 101010.
3. Сложите числа в двоичной системе счисления
А)11122;
В)11010;
С)10010;
D)100010.
4. Переведите число 10101010001110 из двоичной системы в восьмеричную.
А) 25 216;
В) 35 217;
С) 25 027;
D) 61 252.
5. Переведите число А960В из шестнадцатеричной системы в двоичную.
А)11111111011000001011;
В)00000001011000001011;
С)11111111111000001011;
D)10101001011000001011.
40
В а р и а нт 2
1. Переведите из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную
число 1011112.
А) 27;
В) 2F;
С) 57;
D)B3.
2. Переведите число 71 из восьмеричной системы счисления в двоичную.
А)111001;
В)1111;
С)101010;
D)100111.
3. Сложите числа в двоичной системе счисления 10012 + 1112.
А)10000;
В)10002;
С) 1000;
D)11000;
4. Переведите число 111000110101111 из двоичной системы в восьмеричную.
A) 10 657;
В) 70 657;
С) 75 607;
D) 75 600;
5. Переведите число B11D34 из шестнадцатеричной системы в двоичную.
А) 10110001010100110100111;
B) 10110001000100100110100;
C) 101100010001110100110100;
D) 100000001000111010011010.
41
В а р и а нт 3
1. Переведите из двоичной системы счисления в восьмеричную число
101010112.
А)253;
.
С) 185;
В) 523;
D)2223.
2. Переведите число F8 из шестнадцатеричной системы счисления в
двоичную.
А) 11111000;
В)10001111;
С) 111000;
D)11111111.
3. Сложите числа в двоичной системе счисления 1112 + 1102.
А)221;
В)1101;
С) 1001;
D)llll.
4. Переведите число 1110001011001011 из двоичной системы в
восьмеричную.
А) 161 318;
В) 313 161;
С) 613 118;
D) 623 316.
5. Переведите число BD1103 из шестнадцатеричной
системы в двоичную.
А) 101111000000000010000011;
В) 101111111111111111100011;
С) 101111000000010111111111;
D) 101111010001000100000011.
42
Вариант 4
1. Переведите из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную
число 10111012.
А) 513;
В) 5D;
С) В5;
D) 135.
2. Переведите число 47 8 из восьмеричной системы счисления в двоичную.
А)100111;
В)111100;
С) 101000;
D)100011111.
3. Найдите разность двоичных чисел 111102 - 10112.
А)11010;
В)10111;
С) 10010;
D)10011.
4. Переведите число 1010000111010011 из двоичной системы в
восьмеричную.
A) 327 021;
В) 273 021;
С) 120 723;
D) 102 327.
5. Переведите число 110D04 из шестнадцатеричной системы в двоичную.
А) 11111111011110000100;
B) 000000000110100000100;
C) 100010000110100000100;
D) 111111111111111110100.
43
Вариант 5
1. Переведите из двоичной системы счисления в восьмеричную число
10001102.
А)46;
В) 430;
С) 16;
D)106.
2. Переведите число С6 из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную.
А)11000110;
В)10011010;
С)1110110;
D) 1100110.
3. Найдите разность двоичных чисел 111102-110112.
А)11;
В)11010;
С)10010;
D)100010.
4. Переведите число 1011011110001011 из двоичной системы в восьмеричную.
А) 316 331;
В) 331 613;
С) 613 133;
D) 133 613.
5. Переведите число 10C1D0 из шестнадцатеричной системы в двоичную.
А)100001100000111111111;
В)100001100000111010000;
С)100001100000100000000;
D)00000000011101000011.
Ответы теста 2
1
2
3
4
5
Вариант 1
B
A
D
A
D
Вариант 2
B
A
A
B
C
Вариант 3
A
A
B
A
D
Вариант 4
B
A
D
C
C
Вариант 5
D
A
A
D
B
44
Контрольная работа
Вариант № 1
1. Представьте число в развернутой форме:
а) 4563,710
б) 1001012
2. Переведите числа из данной системы счисления в другую:
а) 7410  Х2
б) 5147  Х10
в) 11010011102  Х8
3. Выполните действия в двоичной системе счисления:
а) 110011010112 + 11100001012
б) 1010112 – 100112
в) 10112 х 1012
г) 10100012 + 1101112
д) 101102 – 11012
4. Выполните действия в восьмеричной системе счисления:
а) 5648 + 2348
б) 6528 – 4658
5. Запишите числа в форме с плавающей запятой:
а) 0,99410
б)526,510
45
Вариант № 2
1. Представьте число в развернутой форме:
а) 7045,810
б) AC616
2. Переведите числа из данной системы счисления в другую:
а) 7410  Х16
б) 0,0178  Х10
в) 10011011102  Х8
3. Выполните действия в двоичной системе счисления:
а) 11101010112 + 11101101012
б) 11000112 - 10112
в) 10101 2 х 111 2
г) 1010001 2 + 110111 2
д) 11011 2 - 100 2
4. Выполните действия в восьмеричной системе счисления:
а) 641 8 + 427 8
б) 254 8 - 125 8
5. Запишите числа в форме с плавающей запятой:
а) 0,017 10
б) 243,9 10
46
Вариант № 3
1. Представьте число в развернутой форме:
а) 110101 2
б) 1Д5 16
2. Переведите числа из данной системы счисления в другую:
а) 74 10  Х 8
б) 205,136  Х 10
в) 1001101110 2  Х 16
3. Выполните действия в двоичной системе счисления:
а) 1010001 2 + 110111 2
б) 101101 2 + 10011 2
в) 100110 2 - 1101 2
г) 1011110 2 - 10011 2
д) 11011 2 х 110 2
4. Выполните действия в восьмеричной системе счисления:
а) 7340 8 + 671 8
б) 7340 8 - 642 8
5. Запишите числа в форме с плавающей запятой:
а) 0,035 10
б) 375,84 10
47
Вариант № 4
1. Представьте число в развернутой форме:
а) 196,3 10
б) 10010,11 2
2. Переведите числа из данной системы счисления в другую:
а) 0,031 8  Х 10
б) 10011101 2  Х 16
в) В516 16  Х 2
3. Выполните действия в двоичной системе счисления:
а) 11100011011 2 - 1001110011 2
б) 101101 2 + 1101 2
в) 110111 2 + 111010 2
г) 11100 2 - 1001 2
д) 11100 2 х 101 2
4. Выполните действия в восьмеричной системе счисления:
а) 275 8 + 116 8
б) 377 8 – 267 8
5. Запишите числа в форме с плавающей запятой:
а) 0,0045 10
б) 42,73 10
48
Вариант № 5
1. Представьте число в развернутой форме:
а) Д5В 16
б) 11011,11 2
2. Переведите числа из данной системы счисления в другую:
а) С35 16  Х 2
б) 351 10  Х 8
в) 11100111 2  Х 16
3. Выполните действия в двоичной системе счисления:
а) 101111 2 - 1110 2
б) 1001111 2 + 101100 2
в) 11110 2 х 110 2
г) 1011100 2 + 1110 2
д) 1011001 2 - 11110 2
4. Выполните действия в восьмеричной системе счисления:
а) 312 8 + 417 8
б) 322 8 – 177 8
5. Запишите числа в форме с плавающей запятой:
а) 0,0031 10
б) 13,72 10
49
Вариант № 6
1. Представьте число в развернутой форме:
а) 326 8
б) 1011,111 2
2. Переведите числа из данной системы счисления в другую:
а) 432,15 8  Х 2
б) 100100100 2 Х 16
в) 0,235 10  Х 8
3. Выполните действия в двоичной системе счисления:
а) 111001 2 - 10010 2
б) 11101 2 + 111001 2
в) 1100100 2 - 111011 2
г) 11100 2 х 101 2
д) 1100110 2 + 11010 2
4. Выполните действия в восьмеричной системе счисления:
а) 724 8 - 317 8
б) 666 8 + 175 8
5. Запишите числа в форме с плавающей запятой:
а) 0,0013 10
б) 579,4 10
50
Вариант № 7
1. Представьте число в развернутой форме:
а) 111,111 2
б) С47,3 16
2. Переведите числа из данной системы счисления в другую:
а) 111,11 2  Х 10
б) 0,267 10  Х 8
в) D56 16  Х 2
3. Выполните действия в двоичной системе счисления:
а) 10101010 2 - 11010 2
б) 101010 2 + 110110 2
в) 101010 2 х 11 2
г) 110110110 2 - 111011 2
д) 110110111 2 + 10011 2
4. Выполните действия в восьмеричной системе счисления:
а) 112 8 + 711 8
б) 511 8 - 315 8
5. Запишите числа в форме с плавающей запятой:
а) 0,0013 10
б) 579,4 10
51
Вариант № 8
1. Представьте число в развернутой форме:
а) 324 8
б) 111,011 2
2. Переведите числа из данной системы счисления в другую:
а) 11101111110 2  Х 16
б) А16,816  Х10
в) 2058  Х2
3. Выполните действия в двоичной системе счисления:
а) 110011002 + 1010102
б) 11001102 – 111012
в) 1011102 х 112
г) 110001102 + 1100112
д) 11000112 - 110012
4. Выполните действия в восьмеричной системе счисления:
а) 2748 + 3168
б) 2778 – 348
5. Запишите числа в форме с плавающей запятой:
а) 0,013710
б) 13,80510
52
Вариант № 9
1. Представьте число в развернутой форме:
а) A16,8F 16
б) 10110,011 2
2. Переведите числа из данной системы счисления в другую:
а) 415,3 10  Х 8
б) 101010,11 2  Х 10
в) 51A4 16  Х 2
3.Выполните действия в двоичной системе счисления:
а) 1101101 2 + 110011 2
б) 1101001 2 - 1110 2
в) 110011 2 х 11 2
г) 11001 2 - 1100 2
д) 1110011 2 + 100111 2
4. Выполните действия в восьмеричной системе счисления:
а) 111 8 + 777 8
б) 341 8 - 117 8
5. Запишите числа в форме с плавающей запятой:
а) 0,035 10
б) 375,84 10
53
Вариант № 10
1. Представьте число в развернутой форме:
а) 1011,01 2
б) A37 16
2. Переведите числа из данной системы счисления в другую:
а) 1001011 2  Х 10
б) 255,2510  Х 8
в) В8C,1 16  Х 2
3. Выполните действия в двоичной системе счисления:
а) 101110 2 + 110101 2
б) 110101 2 - 101110 2
в) 101111 2 х 10 2
г) 1011 2 х 101 2
д) 111011 2 - 101101 2
4. Выполните действия в восьмеричной системе счисления:
а) 121 8 + 423 8
б) 316 8 – 241 8
5.Запишите числа в форме с плавающей запятой:
а) 345,75 10
б) 0,00032 10
54
2. Основы логики
2.1. Основные понятия и операции алгебры логики
В
алгебре
высказываниями.
логики
Под
операции
высказыванием
выполняются
понимают
над
любое
логическими
утверждение,
в
отношении которого имеет смысл утверждать, истинно оно или ложно.
Высказывания могут быть простыми и сложными: первые не зависят от других
высказываний, а вторые образуются из двух или более простых высказываний.
Простые высказывания называют логическим переменными, а сложные —
логическими функциями этих переменных.
Высказывания оценивают только по их истинности или ложности. Считают,
что высказывание равно 1, если оно истинно, и равно 0, если оно ложно. Два
высказывания называют э к в и в а л е н т н ы м и , если их значения истинности
одинаковы.
В алгебре логики логические переменные обозначают буквами латинского
алфавита. Например, запись А=1 означает, что значение истинности логической
переменной А равно 1; А=В — что логические переменные А и В эквивалентны
и т. п.
Алгебра логики, или алгебра Буля (названа так в честь Джорджа Буля –
английского математика XIX в.) помогает устанавливать связь между
переменными, принимающими только два значения (0,1).
Для любой логической функции X=f (А, В, С, . . ., N), называемой также
булевой функцией, сама функция X и ее переменные А, В, С, . . ., N могут
принимать только значение 0 или 1. Значение переключательной функции X
зависит от А, В, С, . . ., N.
Построение логических схем ЭВМ обычно осуществляется на основе
логической функции, записанной в аналитической форме. Наиболее наглядной
формой задания переключательной функции является таблица истинности,
отражающая значения (0 или 1) всевозможных комбинаций логических
переменных, образующих эту функцию.
55
Образование логической функции X из ее логических переменных А, В, С,
. . ., N осуществляется с помощью основных логических операций НЕ, ИЛИ, И.
Электронные схемы, реализующие эти логические операции, называют
логическими элементами.
Таблица 2.1
А
Х
0
1
1
0
Операция
Таблица 2.2
НЕ
Таблица 2.3
А
В
Х
А
В
Х
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
(логическое
отрицание,
инверсия).
Отрицанием
высказывания А называется операция, результат которой X истинен, когда А
ложно, и ложен, когда А истинно (табл. 2.1).
Отрицание обозначается черточкой над высказыванием А:
Х А
которая читается так: X есть инверсия от А.
Электронная схема, реализующая логическую операцию отрицания,
называется инвертором или схемой НЕ, условное графическое обозначение
которой приведено на рис. 2.1, а. На выходе элемента НЕ появляется сигнал при
его отсутствии на входе.
Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция). Эта логическая
операция над двумя переменными А и В, результат X которой истинен, если хотя
бы одна из составляющих его переменных истинна (табл. 2.2). Операция ИЛИ
обозначается символом «  » который соответствует союзу «или»; знаком «+»,
обозначающим логическое сложение:
Х = А  В или Х = А+В.
Электронная схема, реализующая операцию ИЛИ, называется логической
схемой ИЛИ, дизъюнктором, собирательной или разделительной схемой,
условное графическое обозначение элемента ИЛИ приведено на рис. 2.1, б.
56
Рис. 2.1. Условные графические обозначения
логических элементов НЕ (а), ИЛИ (б), И (в)
На выходе элемента ИЛИ сигнал, соответствующий 1, появляется в том
случае, если есть сигнал 1 хотя бы на одном из его входов. Операция ИЛИ
справедлива при любом числе логических переменных, т. е.
X = А  В  С  …  N.
Операция И (логическое умножение, конъюнкция). Это логическая
операция над двумя переменными А и В, результат X который истинен, если
истинны значения обеих переменных (табл. 2.3). Операция И обозначается
символом «  », который соответствует союзу «и»; знаком умножения «•»,
обозначающим логическое умножение:
Х  А  В или Х  А  В
Электронная схема, реализующая операцию И, называется логической
схемой
И,
конъюнктором,
схемой
совпадения.
Условное
графическое
обозначение элемента И приведено на рис. 2.1, в. На выходе элемента И сигнал,
соответствующий 1, появляется только в том случае, если есть сигналы на всех
его входах.
Операция И справедлива для любого числа логических переменных, т. е.
Х  А  В  С  ...  N.
Точка, обозначающая знак логического умножения, обычно опускается.
Операция И-НЕ или штрих Шеффера — функция f(A, В), которая ложна
только тогда, когда А и В истинны, иначе говоря результат операции Шеффера
есть отрицание конъюнкции тех же переменных. В качестве знака этой операции
используется символ «|» (штрих Шеффера). Условное обозначение функции
Шеффера
f(A,B)=A|B= А  В  АВ
57
Операция ИЛИ-НЕ или стрелка Пирса — функция f(А, В), которая
истинна только тогда, когда значения ее переменных А и В ложны (отрицание
дизъюнкции тех же переменных). В качестве знака этой операции используется
символ «  » (стрелка Пирса). Условное обозначение функции Пирса
f(A, В) = А  В= А  В ,
читают так: функция f(A, В) есть ни А, ни В.
2. 2. Основные законы преобразования алгебры логики
С помощью законов алгебры логики можно установить связи между
аргументами и функциями в виде аналитических выражений; эти законы применяют
на окончательном этапе проектирования. При стыковке отдельных узлов
проектируемого цифрового электронного устройства выявляют лишние элементы.
Синтез электронных схем с целью выявления избыточного оборудования называют
процессом минимизации этого оборудования. Рассмотрим законы алгебры логики с
точки зрения практического их применения при синтезе несложных электронных
схем различных вычислительных и логических устройств с целью повышения их
надежности, уменьшения массы, габаритных размеров и стоимости проектируемого
изделия в целом.
1.
Переместительный, или закон коммутативности для сложения и
умножения соответственно:
А+В=В+А
АВ = ВА.
2.
Сочетательный, или закон ассоциативности для сложения и
умножения соответственно:
А+В+С = А+(В+С);
АВС = А(ВС).
В обоих уравнениях для упрощения взято по три аргумента, хотя их для
логических элементов ИЛИ и И может быть сколь угодно много, и комбинаций
из слагаемых в круглых скобках и сомножителей в круглых скобках правых
58
частей равенств взято по одной, хотя их может быть больше. Важный вывод
практического применения этого закона можно привести на примерах.
Рис. 2.2. Два способа (а и б) реализации дизъюнкции трех
переменных на двухвходовых дизъюнкторах
Пример 1. Пусть требуется получить дизъюнкцию трех переменных Х=А +В + С, но в
распоряжении имеются только двухвходовые дизъюнкторы. Выполните эту операцию с
помощью двух дизъюнкторов несколькими способами (рис. 2.2).
Нетрудно догадаться, что поставленную задачу можно решить еще четырьмя
способами.
Пример 2. Выполните операцию конъюнкции для трех переменных на конъюнкторах
с двумя входами. Эту задачу решите самостоятельно.
3. Распределительный закон, или закон дистрибутивности. Аналитическая
запись этого закона:
А(В+С)=АВ+АС;
А+ВС=(А+В)(А+С)
Видим, что верхняя строчка имеет, а нижняя не имеет аналога в обычной алгебре.
Пример 3. Выполните операцию в соответствии строчкой аналитической
записи распределительного закона. На рисунке 2.3 реализована операция,
соответствующая левой и правой частям верхней строчки аналитической записи
распределительного закона.
Пример 4. Выполните операцию в соответствии с нижней строчкой
распределительного
закона.
На
рисунке
2.4
реализована
операция,
соответствующая левой и правой частям нижней строки аналитической записи
распределительного закона.
59
При сравнении левых и правых частей рисунков 2.3 и 2.4 видно, что
реализация правых частей уравнений выгоднее, чем левых, так как занимает на
один логический элемент меньше.
Рис. 2.3. Демонстрация распределительного закона при решении
примера 3: реализация левой (а) и
правой (б) частей верхней строчки
аналитического
выражения
распределительного закона
Рис.
2.4.
Демонстрация
распределитель-ного закона при
решении примера 4: реализация
левой (а) и правой (б) частей нижней
строчки аналитического выражения
распределительного закона
4. Закон поглощения. Аналитическая запись этого закона:
А+АВ=А;
А(А+В)=А.
Обе записи не имеют аналога в обычной алгебре чисел.
Пример 5. Выполните операцию в соответствии с верхней строчкой аналитической
записи закона поглощения. На рисунке 2.5 реализована требуемая операция.
Пример 6. Выполните операцию в соответствии с нижней строчкой аналитической
записи закона поглощения (рис. 2.6).
Реализация
правых
частей
аналитических
выражений
закона
поглощения
предпочтительнее, поскольку не требует применения логических элементов вообще. Надо
просто соединить выходной провод F с входным проводом Х1.
Рис.
2.5.
Демонстрация
закона
поглощения при решении примера 5:
реализация левой (а) и правой (б)
частей
верхней
строчки 60
аналитического выражения закона
поглощения
Рис.
2.6.
Демонстрация
закона
поглощения при решении примера 6:
реализация левой (а) и правой (б) частей
нижней
строчки
аналитического
выражения закона поглощения
5. Закон склеивания. Аналитическая запись этого закона:
АВ  АВ  В;
( А  В )( А  В )  В.
где Х – инверсия от числа Х1 (см. далее).
Обе записи этого закона не имеют аналогов в обычной алгебре чисел.
Пример 7. Выполните операцию в соответствии с верхней строчкой аналитической
записи закона склеивания (рис. 2.7).
Пример 8. Выполните операцию в соответствии с нижней строчкой аналитической
записи закона склеивания (рис. 2.8).
Реализация
правых
частей
аналитического
выражения
закона
склеивания
предпочтительнее, поскольку не требует применения логических элементов вообще. Надо
просто соединить выходной провод F c входным проводом Х2.
Рис. 2.7. Демонстрация закона склеивания
при решении примера 7: реализация левой (а)
и правой (б) частей верхней строчки
аналитического
выражения
закона
склеивания
Рис. 2.8. Демонстрация закона склеивания
при решении примера 8: реализация левой
(а) и правой (б) частей нижней строчки
аналитического
выражения
закона
склеивания
6. Правило де Моргана (названо в честь Августа де Моргана —
шотландского математика, жившего в начале XIX в., пришел к основным
идеям алгебры логики независимо от Буля). Аналитическая запись этого
закона:
А  В  А  В;
А  В  А  В.
Обе записи не имеют аналога в обычной алгебре чисел.
Пример 9. Выполните операцию в соответствии с верхней строчкой аналитической
записи правила де Моргана (рис. 2.9).
Пример 10. Выполните операцию в соответствии с нижней строчкой аналитической
записи правила де Моргана (рис. 2.10).
61
При мечан и е. Если простые элементы ИЛИ и НЕ, а также И и НЕ соединить между
собой последовательно и поместить в один корпус, то получатся производные от простых
элементов, а именно: ИЛИ–НЕ и И–НЕ (согласно ГОСТу полученные элементы обозначают
соответственно, как на рис. 2.9, а и 2.10, а).
Реализация
левых
частей
аналитических
выражений
правила
де
Моргана
предпочтительнее, поскольку требует, по крайней мере, на один элемент меньше, чем при
реализации правых частей этих выражений. При использовании логических элементов И
(И–НЕ) логическую функцию целесообразно представить в виде произведения переменных
(нижняя строка), а логических элементов ИЛИ (ИЛИ— НЕ) — в виде суммы переменных
(верхняя строка) правила де Моргана.
Рис. 2.9. Демонстрация правила де Моргана
при решении примера 9: реализация левой
(а) и правой (б) частей верхней строчки
аналитического выражения правила де
Моргана
Рис. 2.10. Демонстрация правила де
Моргана при решении примера 10:
реализация левой (а) и правой (б)
частей
нижней
строчки
аналитического выражения правила
де Моргана
Рассмотренные законы алгебры логики легко доказывать на основе
аксиом, которые получают из общих утверждений: если переменная Х=0, то
Х=1, и если Х=1, то Х=0. Далее приведены аксиомы (правила) алгебры
логики:
Аксиомы
1) Х+0=Х;
6) Х  0  0;
2) Х+1=1;
7) Х  1  Х ;
3) Х+Х=Х;
8) Х  Х  Х ;
4) Х  Х  1;
9) Х  Х  0;
5) ( Х )  Х ;
10) ( Х )  Х .
1...4
характеризуют
операции
логического
сложения
(дизъюнкции), аксиомы 6...9 – операции логического умножения (конъюнкции),
правила 5 и 10 – операции инверсии.
62
2.3. Представление логических функций
Логические функции могут быть представлены как в табличной, так и
аналитической формах.
Первый способ представлен в табл. 2.1, 2.2 и 2.3. В этих таблицах каждому из
возможных наборов переменных ставится в соответствие значение функции (0 или
1). Этот способ показателен и может быть применен для записи функции от любого
числа переменных. Однако такая запись не является компактной. Количество
наборов, определяющих функцию табличным способом, равно 2n, где n — число
переменных. Естественно, что при больших значениях n таблица станет громоздкой.
Построение таблицы истинности логической функции чаще всего является
лишь первым этапом при проектировании какой-либо сложной схемы ЭВМ.
Проще выглядит аналитическая запись переключательных функций в виде
формул. На практике различают различные формы аналитической записи
переключательных функций.
Нормальные формы. Эти формы представляют собой лишь дизъюнкции
элементарных конъюнкций или конъюнкции элементарных дизъюнкций.
Элементарные конъюнкции (дизъюнкции) — это конъюнкция (дизъюнкция), в
которой конъюнктивно (дизъюнктивно) связываются только отдельные переменные.
Например, элементарными конъюнкциями будут АВС , ABC, АВ, AC, С D , ABC D , а
элементарными дизъюнкциями (А+В), ( A  C ), (А+В+С), ( A  B  C ).
Нормальная форма, представленная в виде дизъюнкции элементарных
конъюнкций, называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ), например
ХДНФ = АВС  АВ .
Нормальная форма, представленная в вид конъюнкции элементарных
дизъюнкций, называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ), например
ХКНФ = (А+C)(A+ В ) ( А +В).
Совершенные нормальные формы. Любая логическая функция может
иметь несколько ДНФ и КНФ. Однозначность представления логической функции
возможна при записи ее в совершенных нормальных формах. Совершенные
63
нормальные формы переключательной функции получают с помощью таблиц
истинности этой функции.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) представления
логической функции – запись функции X в виде дизъюнкции конъюнкций, для
которых значение функции равно 1.
Каждая конъюнкция этой дизъюнкции включает каждую переменную только
один раз в прямом или инверсном виде, при определенном наборе значений
переменных истинна и носит название конституэнта единицы или минтерма.
Таблица 2.4
Алгоритм перехода от табличного задания логической
А
В
С
Х
0
0
0
0
1. Составить минтермы для строк таблицы истинности, на
0
0
1
1
которых функция X равна 1. Если значение переменной (А, В, С) в
0
1
0
1
строке равно 0, то в минтерме записывается отрицание этой
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
функции к ее записи в СДНФ заключается в следующем:
переменной.
2. Записать дизъюнкцию составленных минтермов, которая
и будет представлять логическую функцию в СДНФ.
Это правило называют правилом записи логической функции
по единицам.
Пример 1. Дана логическая функция в виде таблицы истинности (табл. 2.4).
Запись логической функции в СДНФ будет иметь следующий вид:
ХСДНФ = АВС  АВС  АВС  АВС
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) представления
переключательной функции – запись функции X в виде конъюнкции дизъюнкций,
для которых значение функции равно 0. Каждая дизъюнкция этой конъюнкции
включает каждую переменную только один раз в прямом или инверсном виде. При
определенном наборе значений переменных такие дизъюнкции обращаются в нуль и
носят название конституэнты нуля или макстермов.
64
Таблица 2.5
Алгоритм перехода от табличного задания логической
А
В
С
Х
0
0
0
0
1. Составить минтермы для строк таблицы истинности, на
0
0
1
1
которых функция X равна 0. Если значение переменной (А, В, С…)
0
1
0
1
в строке равно 1, то в макстерме записывается отрицание этой
0
1
1
0
переменной.
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
функции к ее записи в СДНФ заключается в следующем:
2. Записать дизъюнкцию составленных макстерме, которая и
будет представлять переключательную функцию в СКНФ.
Это правило называют правилом записи логической функции
по нулям.
Пример 2. Дана логическая функция в виде таблицы истинности (табл. 2.4).
Запись логической функции в СКНФ будет иметь следующий вид:
ХСКНФ = ( А  В  С )  ( А  В  С )  ( А  В  С )  ( А  В  С )
Применив операцию инвертирования получим связь между СДНФ и СКНФ
логической функции:
ХСДНФ= ХСКНФ
Замечательное свойство этих форм – их аналитическая запись не будет
содержать одинаковых слагаемых и сомножителей. На основании проведенных
операций поиска с использованием законов и аксиом алгебры логики получают
минимальную функцию, содержащую
наименьшее количество
логических
элементов. После этого собирают само устройство в соответствии с найденной
минимальной функцией. Нахождение логических функций и последующую их
минимизацию широко применяют также при проектировании логических схем
комбинационного типа — шифраторов, дешифраторов, мультиплексоров,
демультиплексоров, сумматоров и других устройств цифровой электроники.
Для минимизации выражений функций алгебры логики разработаны как
графические
(табличные),
алгебраические
способы
так
и
алгебраические
минимизации
65
логических
методы.
Разработанные
выражений
требуют
определенного навыка в поисках оптимальных решений. Современная алгебра
логики располагает рядом приемов, разработанных на основе ее законов и аксиом,
позволяющих проводить минимизацию функций более просто, быстро и
безошибочно. Для минимизаций функций с числом переменных до пяти-шести
наиболее удобен метод карт Карно (метод назван в честь французского
математика, жившего в XIX в.). Этот метод легко поддается формализации при
написании программы для ЭВМ.
2.4. Анализ и синтез функциональных схем логических устройств
Анализ
комбинационных
схем,
включающий
описание
функционирование заданной схемы логическими функциями, производится в
следующем порядке.
1. Последовательно описывая логической функцией работу каждого
элемента
заданной
комбинационной
схемы,
получают
функции,
анализ полученных логических функций
с целью
описывающие закон функционирования схемы.
2. Производится
устранения лишних элементов в схеме.
Пример 1
Проведите анализ логического устройства (рис. 2.10): по функциональной схеме
составьте структурную формулу и упростите ее, если это возможно.
Рис. 2.10. Логическое устройство
Решение.
1. Составление логической функции для функциональной (логической) схемы. Для этого
необходимо проследить пути сигналов (рис.2.11).
66
Рис. 2.11. Анализ логическое устройства
Ответ: (A + B) • (A • B).
2. Проверка на избыточность функциональной схемы (нужно упростить логическую
функцию, т.е. преобразовать ее с помощью законов алгебры логики).
(A + B) • (A • B) = {Скобки для A • B опускаем, т.к. перед скобками тоже стоит знак •}
= (A + B) • A • B = {Для A • B применяем закон коммутативности} = (A + B) • B • A = {Для
(A + B) • B применяем закон дистрибутивности} = ((A • B) + (B • B)) • A = {B • B = 0} = ((A •
B) + 0) • A = {Поглощение 0 при дизъюнкции} = (A • B) • A = {Скобки опускаем, применяем
закон коммутативности} = A • A • B = {A • A = A} = A • B.
Ответ: A • B.
3. Проверяем справедливость логических преобразований. Для этого составляем
таблицу истинности. (В общем случае составляем две таблицы – для исходной и конечной
логических функций, но в данной задаче достаточно одной.) Значения таблиц истинности A •
B и (A + B) • (A • B) равны, что доказывает справедливость выполненных ранее логических
преобразований.
A
B
A+B
B
A•B
(A + B) • (A • B)
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
4. По полученной логической функции составляем новую функциональную схему
(рис.2.12).
67
Рис. 2.12. Логическое устройство, полученное после упрощения
исходного логического выражения
Синтез – проектирование схемы, реализующей заданный закон ее
функционирования.
Рассмотрим
последовательность
этапов
синтеза
комбинационной схемы на следующих примерах
Пример 2.
Проведите синтез трехвходового логического устройства с выходной комбинацией
10011110 в таблице истинности.
Решение.
1. Составим таблицу истинности для данного логического устройства:
A
B
C
F(A, B, C)
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
A•B•C=1
0
1
1
1
A•B•C=1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
A•B•C=1
Так как в графе таблицы для функции F единиц меньше, чем нулей, то построим
СДНФ: (A • B • C) + (A • B • C) + (A • B • C).
2. Используя правила алгебры логики, попробуем упростить полученное выражение:
(A • B • C) + (A • B • C) + (A • B • C) = [((A • B) • C) + ((A •B) • C)] + (A • B • C) = [(A • B) • (C
• C)] + (A • B • C) = {C + C = 1} = [(A • B) • 1] + (A • B • C) = (A • B) + (A • B • C) = (A • B) +
((A • C) • B) = (A + (A • C)) • B = B • (A + A • C).
Применим закон де Моргана: B • (A + A • C) = B • (A • (A • C)) = B • (A • (A + C)) = B •
(A • (A • C)) = B • ((A • A) + (C + C)) = {A • A = 0, 0 + (A • C) =
A • C} = B • (A • C) = B • (A + C) = B • A + B • C.
68
Проверку выполненных преобразований можно осуществить с помощью таблиц
истинности.
Ответ: B • A + B • C.
3. По полученной структурной формуле построим функциональную схему (рис.2.13).
Рис. 2.13. Синтез логического устройства по таблице истинности
Контрольные вопросы
1. Какая функция может считаться булевой функцией?
2. Назовите основные логические операции и приведите их таблицы
истинности.
3. Назовите элементарные логические функции и приведите их обозначения на
схемах.
4. Напишите произвольную конъюнкцию и дизъюнкцию для логической
функции из четырех переменных.
5. Напишите функцию Пирса и Шиффера для трех переменных.
6. Напишите законы де Моргана для трех переменных.
7. Докажите с помощью законов алгебры логики что Х1=Х2, где
Х1= АВС  АВС  АВС  АВС  АВС  АВС
Х2=А+В.
8. Преобразуйте переключательные функции к ДНФ и КНФ
Х 1  ( АВ  ВС ) АВ
Х 2  ( АВС  ВС )  АС
9. Преобразуйте в СКНФ и СДНФ логические функции
Х 1  А  ВС  АВС
Х 2  А  ВС
10. Можно ли по таблице истинности представить логическую функцию в
69
аналитической форме и если можно, то как?
11. Перечислите формы записи логических функций в аналитическом виде.
12. Можно ли построить структурную схему логического устройства по
имеющейся логической функции этого устройства?
13. В чем суть процесса минимизации цифровых электронных устройств?
14. Назовите аналитические формы представления логических функций.
15. Постройте функциональную логическую функцию: Х  ВС  АС
16. Проведите синтез логического устройства с выходной комбинацией:
01101001 и 00100111.
70
Лабораторная работа №1
Методы логического моделирования на ЭВМ
Цель работы: 1. Ознакомление работой электронной лабораторией
Electronics Workbench. 2. Научиться различать символы элементов, принятые
для цифровой логики, таких как И,ИЛИ, НЕ, ИЛИ-НЕ, И-НЕ. 3. Получение
практических навыков в проектировании комбинационных схем, реализующих
логические функции нескольких различных типов, которые заданы в
стандартном виде. 4. Ознакомиться с принципом реализации функции ИЛИ на
элементах И-НЕ и функции И на элементах ИЛИ-НЕ.
Оборудование
Персональный компьютер. Программное обеспечение – электронная
лаборатория Electronics Workbench.
Содержание и порядок выполнения работы
1.
Ознакомиться с возможностями и интерфейсом окна программы
Electronics
Workbench
(см.
методические
указания
к
лабораторной работе).
2.
Выполнить упражнения и задания данной лабораторной работы с
помощью виртуальной лаборатории Electronics Workbench и
результаты исследований занести в отчет (см. ход работы).
3.
Выполнить тест. Перед выполнением теста повторите условные
обозначения логических элементов, применяемые в виртуальной
лаборатории Electronics Workbench.
71
Методические указания к выполнению лабораторного задания
Вспомним
общепринятые
обозначения
логических
элементов
в
логических схемах:
Логическая операция
Тип
Графическое изображение
Обозначение
Логическое сложение
(дизъюнкция) ИЛИ
1
A+B
А В
&
A•B
А В
A
А
1
 А  В 
А В
&
 А  В 
А В
Логическое умножение
(конъюнкция) И
Отрицание
НЕ
Логический элемент
«2ИЛИ-НЕ»
Логический элемент «2ИНЕ»
Примечание. В Electronics Workbench отрицание обозначается знаком апострофа
после соответствующей переменной или выражения в скобках.
Теперь ознакомимся работой электронной лаборатории Electronics
Workbench. Для построения логических схем в библиотеке этой программы
Logic Gates (логические элементы) предусмотрена возможность выбора
следующих логических элементов (рис.1). Соответствующая кнопочная панель
показана на рис.2.
И
ИЛИ
НЕ
72
2И-НЕ
2ИЛИ-НЕ
конъюнкция
дизъюнкция
отрицание
Рис. 1. Обозначение основных логических элементов в программе Electronics Workbench
Рис. 2. Панель инструментов «Logic Gates»
В электронной лаборатории Electronics Workbench также имеется
виртуальное
устройство
«Логический
конвертор»
(Logic
Converter),
позволяющее осуществлять шесть видов логических преобразований для
логических функций с числом переменных от 1 до 8: получение таблицы
истинности для схемы, собранной из логических элементов; преобразование
таблицы истинности в логическую формулу (СДНФ); минимизация СДНФ;
преобразование формулы в таблицу истинности; представление формулы в
виде электронной схемы в логическом базисе 2И-НЕ. Этот логический
конвертор представляет собой один из компонентов создаваемой схемы и
выбирается из панели Instruments (рис.3); справа показан вид размещаемого на
схеме блока логического конвертора).
Входы
Выход
Рис. 3. Слева - панель инструментов «Instruments»; справа – логический конвертор
73
Приведем последовательность действий при исследовании логической
схемы с помощью логического конвертора (преобразователя).
1. Собираем в рабочем окне требуемую логическую схему. Добавляем в
нее логический конвертор (кнопка
).
2. Подключаем ее к логическому конвертору (используется 8 входов, 1
выход, расположенный справа).
3. Открываем рабочее окно логического конвертора (рис.5) двойным
щелчком левой мыши на его блоке в схеме.
4. Для получения таблицы истинности нужно щелкнуть мышью на
кнопке
.
5. Для получения логической функции (структурной формулы) нужно
щелкнуть мышью на кнопке
.
Исследование работы элемента И средствами Electronics Workbench
показано на рис.5:
Рис. 5. Рабочее окно виртуальной лаборатории Electronics Workbench
74
Ход работы
Упражнение 1. С помощью инструментов виртуальной лаборатории
проанализируйте работу элементов И и ИЛИ (см. рис. 5). Результаты занесите в
отчет: условное обозначение, таблицы истинности и логическое выражение.
Упражнение 2.
1.
Соберите схему элемента И-НЕ и получите таблицу истинности с
помощью логического конвертера. Результат занесите в отчет.
2.
Напишите логическое выражение для таблицы истинности элемента
И-НЕ: С=_________________. Как называется такая операция?
3.
Соберите новую схему, как показано на рис. 6 и заполните таблицу
истинности с помощью логического конвертера.
Рис. 6. Схема реализации элемента И в базисе И-НЕ
4.
Напишите логическое выражение для таблицы истинности элемента
на рис. 6: С=_________________.
Обсуждение результатов
Обратите внимание, что, хотя схема построена на элементах И-НЕ, в результате
получается функция И. Действительно, выходной сигнал элемента И-НЕ инвертируется,
«НЕ» отбрасывается, и в итоге выходной сигнал схемы на рис. 6 представляет собой
функцию логического И. Инвертирование было реализовано путем объединения входов
второго элемента И-НЕ. Продемонстрированную в этом упражнении функцию можно
изобразить одним из трех способов, показанных на рис. 7, которые эквивалентны между
собой.
Рис. 7. Способы реализации элемента И
75
Упражнение 3.
1.
2.
Соберите схемы показанные на рис. 8 (а и б).
Заполните таблицу истинности (рис 8, а и б )каждой из упомянутых
схем.
а)
б)
Рис. 8. Схемы реализации элемента НЕ
Обсуждение результатов
Как видно из таблицы истинности в качестве инвертора также может быть
использован элемент ИЛИ-НЕ. Действительно, функция, представленная таблицей
истинности инвертора на рис. 8, б эквивалентна логической функции, выполняемой
элементом ИЛИ-НЕ. При проектировании цифровых устройств на интегральных схемах
принято в случае необходимости использовать свободные вентили И-НЕ или ИЛИ-НЕ в
качестве инверторов. Такая необходимость возникает, когда требующееся проектировщику
количество инверторов превышает имеющееся на интегральной схеме.
Упражнение 4.
1. Соберите схему работы элемента ИЛИ-НЕ и заполните таблицу
истинности.
2. Напишите логическое выражение для таблицы истинности элемента
ИЛИ-НЕ: С=_________________. Как называется такая операция?
3. Соберите новую схему, как показано на рис. 9 и заполните таблицу
истинности с помощью логического конвертера.
Рис. 9. Схема реализации элемента ИЛИ в базисе ИЛИ-НЕ
76
4. Напишите логическое выражение для таблицы истинности элемента на
рис. 9: С=_________________.
Обсуждение результатов
Как видно из только что выполненного упражнения, при инвертировании выходного
сигнала элемента ИЛИ-НЕ в результате получается функция, эквивалентная выполняемой
элемента ИЛИ. В данном случае элемент ИЛИ-НЕ играет роль инвертора, полученного
объединением двух входов. Этот способ аналогичен примененному в упражнении с элемента
И-НЕ, который показан на рис. 6. Полученная логическая функция может быть изображена с
помощью одной из трех эквивалентных схем, приведенных на рис. 10.
Рис. 10. Способы реализации элемента И
Упражнение 5.
1. Соберите схему показанную на
рис. 11 и заполните таблицу истинности.
Запишите логическое выражение для
данной схемы.
Рис. 11. Схема реализации
элемента ИЛИ в базисе И-НЕ
2. 1. Соберите схему показанную на
рис. 12 и заполните таблицу истинности.
Запишите
Рис. 12. Схема реализации
элемента ИЛИ в базисе И-НЕ
логическое
выражение
для
данной схемы.
Обсуждение результатов
Как видно из рис. 11 и 12, функции И и ИЛИ могут быть получены инвертированием
входных сигналов. Так, на рис. 13 показан способ реализации функции ИЛИ на элементах ИНЕ. Очевидно, что при инвертировании сигналов на входах элемента И-НЕ в результате на
77
выходе получится функция ИЛИ. Аналогичный способ реализации функции И с помощью
элементов ИЛИ-НЕ приведен на рис. 14. И снова видно, что инвертирование входов
элемента ИЛИ-НЕ дает на выходе функцию И. Хотя функции И и ИЛИ часто встречаются
при описании функционирования управляющих устройств, не посредственно реализующие
их элементы И и ИЛИ не получили широкого распространения в связи с тем, что инверсные
по отношению к ним элементы И-НЕ и ИЛИ-НЕ проще в реализации и удобнее в работе.
Рис. 13. Способы реализации элемента ИЛИ
Поскольку не важно, каким именно способом получать необходимую логическую функцию,
часто на практике оказывается полезным реализовать функции И и ИЛИ с помощью
вентилей И-НЕ и ИЛИ-НЕ.
Рис. 14. Способы реализации элемента И
Задания
Задание 1
78
1. 1. Соберите схему показанную на рис. 15 и заполните таблицу
истинности рис. 16. Запишите логическое выражение для данной схемы
D=________________.
Рис. 15. Схема к заданию 1.1
А
В
С
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
D
Рис. 16. Таблица истинности для
схемы на рис.15
1. 2. Соберите аналогичную схему (см. рис. 15) собранную на элементах
И-НЕ и заполните таблицу истинности. Запишите логическое выражение для
данной схемы D=____________________.
Задание 2.
Для каждого из приведенных ниже выражений спроектируйте и
нарисуйте реализующую его логическую схему, используя для этого вентили
И-НЕ, ИЛИ-НЕ и инверторы.
а) А + ВС = D; б) АВ + CD = Е; в) АВ + С = D.
Проверочный тест
Выберите
ответ,
кажущийся
вам
наиболее
правильным
среди
перечисленных.
1. Символ, используемый для обозначения логической функции,
выполняемой элементом И, выглядит следующим образом:
79
2. Какой ответ представляет корректное булево выражение для этой
схемы и таблицы истинности?
a.
А В  С
b.
А В  С
c.
А В  С
d
А В  С
e.
А В  С
3. Какая из приведенных схем не является инвертором:
4. Инвертирование входов элемента И-НЕ изменяет его функцию на
функцию:
а)
элемента И,
b)
элемента ИЛИ,
c)
проинвертированного элемента И.
d)
элемента ИЛИ-НЕ,
e)
элемента ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ.
80
5.
Инвертирование входов элемента ИЛИ-НЕ изменяет его функцию
на функцию:
а)
элемента И,
б)
элемента ИЛИ,
c)
элемента ИЛИ-НЕ,
d)
проинвертированного элемента И,
e)
элемента ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ.
6.
Какое из перечисленных ниже выражений является правильным
представлением следующего выражения: НЕ А, ИЛИ НЕ В, И С РАВНО D?
a) АВ  С  D ,
b) А  В  С  D ,
c) АВС  D ,
d) А  ВС  D ,
е) А  ВС  D .
7.
Какой из приведенных символов используется для обозначения
элемента ИЛИ-НЕ?
8.
Нарисуйте схему, реализующую следующее логическое выражение:
A + BC = D. Используйте лишь элементы ИЛИ-НЕ или И-НЕ и обозначьте все
входы и выходы.
81
9.
Заполните таблицу истинности для следующего логического
элемента:
10.
Заполните таблицу истинности для следующего логического
элемента:
Лабораторная работа №2
Исследование работы логических устройств на ЭВМ
Цель работы: 1. Приобретение навыков в преобразовании логических
функций с помощью законов и соотношений алгебры логики. 2. Закрепление
навыков в построении логических устройств.
Оборудование
Персональный компьютер. Программное обеспечение – электронная
лаборатория Electronics Workbench.
Содержание и порядок выполнения работы
1.
Самостоятельно
повторить
следующий
материал:
- общие сведения о логических функциях и логических
элементах;
82
-
основные
тождества
и
законы
алгебры
логики;
- синтез комбинационных логических схем.
2.
Преобразовать
заданное
логическое
выражение,
используя
правило де Моргана. Данные взять из табл. 1 (номер варианта
соответствует
номеру
вашей
бригады).
По
полученному
выражению построить логическую схему в базисе И, ИЛИ, НЕ.
Результаты п.2 занести в отчет.
3.
Логическое выражение заданное в таблице 2, преобразовать и
записать через операцию И-НЕ. По полученному логическому
выражению построить логическую схему в базисе И-НЕ.
Результаты п.3 занести в отчет.
Таблица 1
Вариант
Логическое выражение
Вариант
Логическое выражение
1
В  С   А  С 
6
АС  В С
2
В С  АС
7
А  В В  С 
3
В  С  А  С 
8
А В  В С
4
В С  АС
9
В  С   А  С 
5
В  С  А  С 
10
А В  В С
Таблица 2
Вариант
Логическое выражение
Вариант
Логическое выражение
1
А С  В  С
6
А В  С
2
А С  В
7
А С  В  С
3
А В  А С
8
А С  А В
4
А В  С
9
А В  В  С
5
В  С  А С
10
ВС  А
4.
Проверить полученные результаты п. 2 и 3 с помощью
виртуальной лаборатории Electronics Workbench и сделать
выводы о проделанной работе.
5.
Ответить на контрольные вопросы.
83
Методические указания к лабораторной работе
Рассмотрим примеры выполнения заданий п. 2 и п. 3
Пример 1. Дана функция:


D  В  С  А  С 
Необходимо ее преобразовать с помощью правила де Моргана и
построить логическую схему в базисе И, ИЛИ, НЕ.
Преобразуем формулу:


D  В  С  А  С   (В  С)  ( А  С)  В  С  А  С  В  С  А  С
Рассмотрим порядок выполнения операций при реализации логической
схемы в базисе И, ИЛИ, НЕ. Над записью логической функции проставим
номер выполнения операции (номер сверху)
3
4123
D  В С  АС
Как видно из последней записи, сперва следует выполнить операцию НЕ,
для этого потребуется два инвертора, затем следует выполнить операцию И,
для этого потребуется два коньюнктора и, в последнюю очередь, надо
выполнить операцию ИЛИ с помощью одного дизъюнктора.
На рис.1 показана логическая схема для данной функции, реализованная
на логических элементах И, ИЛИ, НЕ.
А
1
D
С
&
1
В
Рис 1. Схема логического устройства, реализованное для функции D  В  С  А  С
84
А
В
С
D
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
D2  0  1  0  1  0
0
1
1
1
D3  1  0  0  0  1
1
0
0
0
D4  1  1  0  1  1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
Заполним таблицу истинности:
D1  0  0  0  0  1
D5  0  0  1  0  0
D6  0  1  1  1  0
D7  1  0  1  0  0
D8  1  1  1  1  1
Теперь построим логическую схему для данной функции с помощью
инструментов
виртуальной
лаборатории,
как
показано
на
рис.
2
(последовательность действий при исследовании логической схемы с помощью
логического конвертора рассмотрена в Лабораторной работе №1).
Рис 2. Решение первого примера с помощью инструментов
Electronics Workbench
85
Пример 2. Дана функция: D  A  C  B  C .
Преобразовать и записать данное выражение через операцию И-НЕ. По
полученному логическому выражению построить логическую схему в базисе ИНЕ.
Для преобразования функции, над заданным выражением ставим двойное
отрицание и с помощью правила де Моргана осуществляем переход в базис ИНЕ.
D  AC  B C  AC  B C  AC  B C
Для полученного выражения проектируем логическую схему и заполняем
таблицу истинности, как рассматривалось в первом примере.
Рассмотрим реализацию данной схемы с помощью виртуальной
лаборатории.
С помощью логического конвертора можно проводить не только анализ
логических устройств, но их синтез. Для этого:
1. Раскрываем окно логического конвертора (рис.4).
Рис. 3 Окно логического конвертера
2. Активизируем щелчками мыши радиокнопки A, B, …, H, количество
которых
равно
числу
входов
синтезируемого
устройства
(количеству
логических переменных) – в окне таблицы истинности будет сгенерирован
полный набор входных сигналов.
3. Вносим необходимые изменения в столбец OUT (правая часть
получаемой таблицы истинности). После этого щелчком мыши на кнопке
86
получаем
запись
(аналогично кнопка
соответствующей
логической
функции
позволяет получить ее в виде СДНФ). А
последующий щелчок мыши на кнопке
помещает в рабочее окно
программы Electronics Workbench требуемую цифровую схему (возможно, для
доступа к ней нужно будет сместить мышью в сторону окно логического
конвертора).
Исходя из выше изложенного, строим схему для первоначального
логического выражения, затем выполняем п. 1 и 2 – получаем таблицу
истинности. Далее с помощью кнопки
функцию в виде СДНФ, а с помощью кнопки
получаем логическую
получим нужную
схему в базисе И-НЕ (рис. 4).
Сравните результаты полученные расчетным путем и с помощью
виртуальной лаборатории и сделайте выводы.
Рис 4. Решение второго примера с помощью инструментов
Electronics Workbench
87
Контрольные вопросы
1.
Дать определения основным логическим функциям И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ,
ИЛИ-НЕ.
2.
Какие логические операции выполняют эти функции?
3.
Построить логическую схему в базисе И, ИЛИ, НЕ по выражению
D  А В  С
4.
Какую логическую операцию следует выполнить в начале построения
схемы (см. вопрос 3)?
5.
Какие
логические
преобразования
необходимо
выполнить,
чтобы
привести функцию к виду, удобному для реализации в базисе И-НЕ?
6.
Построить логическую схему в базисе И-НЕ, если задана логическая
функция: D  A  B  C
7.
Сколько логических элементов потребуется для построения этой схемы?
8.
Как в базисе И-НЕ реализуется инвертор?
88
Контрольная работа
Задача №1. По заданной логической схеме составить логическое
выражение и заполнить для него таблицу истинности.
№
№
Логическая схема
вари-
Логическая схема
вариа
анта
нта
1.
6.
X1
X1
1
X2
&
X2
1
1
2.
Y
&
Y
7.
X1
X2
X1
1
&
Y
1
X2
1
X3
3.
8.
X1
X1
1
X2
& Y
X2
X3
1
4.
1
Y
1
Y
1
&
1
9.
X1
X1
Y
&
X2
X2
&
Y
&
X3
1
5.
10.
X1
&
X2
X1
Y
X2
X3
1
89
&
1
Y
Задача №2. По заданному логическому выражению построить таблицу
истинности и построить логическую схему в базисе И, ИЛИ, НЕ.
№
Логическое выражение
№
вари-
вари-
анта
анта
Логическое выражение
1
A B  C
6
( A  B)  C
2
A B  C
7
A B  C
3
A B  C
8
( A  B)  C
4
( A  B)  C
9
A BC
5
A  (B  C)
10
A BC
90
Приложение
При изучении темы "Системы счисления" учащимся приходится
выполнять достаточно много однообразных рутинных вычислений. От этого
никуда не деться, но все равно хочется разнообразить и "оживить" данную
тему, показать ее информатическую, а не арифметическую суть. Для этого я
использую ряд методических приемов.
"Хитрые" карточки для вычислений
В таблице представлены числа, записанные в различных системах
счисления. Среди них встречаются и недопустимые записи, которые нужно
вычеркнуть (в этом и заключается методическая хитрость — не все учащиеся
видят
неправильную
запись
чисел).
Оставшиеся
после
вычеркивания
"правильные" числа надо перевести в десятичную систему и в ней выполнить
все остальные задания. Ответы приводятся в десятичной системе счисления.
По данной таблице требуется посчитать:
1. Сумму чисел в каждой строке.
2. Произведение чисел в столбцах.
3. Сумму чисел на главной диагонали.
4. Произведение чисел на побочной диагонали.
Вариант 1
157
143
103
196
233
245
314
356
256
1F16
177
168
333
112
189
235
Вариант 2
2С16
344
156
122
789
555
238
456
9511
656
567
5В12
298
422
112
116
Вариант 3
91
365
179
777
246
104
188
256
424
6А10
989
567
9А11
1F16
156
202
133
Вариант 4
245
1006
664
512
789
566
555
5С16
133
879
1956
2045
168
1065
987
5436
567
913
232
697
1324
4567
7857
6925
103
После вычёркивания недопустимых записей чисел таблицы должны иметь
следующий вид:
Вариант 1
12
3
14
17
31
3
17
13
23
14
13
Вариант 2
44
11
71
19
29
104
41
71
3
7
Вариант 3
16
4
16
17
41
31
109
11
Вариант 4
92
14
36
71
92
54
207
41
30
237
79
14
3
Результаты подсчета в таблицах в десятичной системе счисления:
Вариант 1
Суммы чисел в строках: 1 — 15; 2 — 50; 3 — 62; 4 — 33. Произведения чисел
в столбцах: 1 — 204;
2 — 1302; 3 — 663; 4 — 4186. Сумма чисел на главной диагонали: 39. Произведение
чисел на побочной диагонали: 403.
Вариант 2
Суммы чисел в строках: 1 — 55; 2 — 119; 3 — 216; 4 — 10. Произведения чисел в
столбцах: 1 — 324896;
3 — 25707; 4 —14413. Сумма чисел на главной диагонали: 92. Произведение чисел на
побочной диагонали: 19.
Вариант 3
Суммы чисел в строках: 1 — 32; 2 — 21; 3 — 150;
4 — 42. Произведения чисел в столбцах: 1 — 124; 2 — 176;
3 — 697; 4 — 1744. Сумма чисел на главной диагонали: 41. Произведение чисел на
побочной диагонали: 8432.
Вариант 4
Суммы чисел в строках: 1 — 121; 2 — 121; 3 — 43;
4
— 248; 5 — 270. Произведения чисел в столбцах: 1 - 86940; 2 - 10144548;
3 - 588; 5 - 16827. Сумма чисел на главной диагонали: 39. Произведение чисел на
побочной диагонали: 403.
93
"Нелепые" истории
В качестве домашних заданий учащиеся самостоятельно составляют
"нелепые" истории, в которых числовые данные приведены в системе
счисления, отличной от десятичной. Можно предложить другим ребятам
подобрать наиболее подходящую для данной истории систему счисления.
Приведу примеры работ десятиклассников и семиклассников.
История 1. "Бабушка"
У моей бабушки, пенсионерки в возрасте 144 лет, недалеко от Москвы
есть маленький сад площадью всего 20 гектаров. Этот год был очень
урожайным, и именно поэтому на своей плантации бабушка вырастила 122
кг огурцов, 22 кг помидоров и 320 кг яблок. Каждое лето на эту дачу
приезжает множество бабушкиных знакомых. Вот и в этом году к ней
приехала на выходные ее подруга, которой 152 года; моя бабушка
подарила ей 1/23 всех яблок, а остальные 304 кг оставила себе. Ее подруга
была очень рада и пообещала нам приехать в гости еще раз 50 октября, в
мои осенние каникулы.
Комментарий. В этой истории была использована шестеричная система
счисления. В десятичной системе счисления история выглядит так:
У моей бабушки, пенсионерки в возрасте 64 лет, недалеко от Москвы есть
маленький сад площадью всего 12 гектаров. Этот год был очень урожайным,
и именно поэтому на своей плантации бабушка вырастила 50 кг огурцов, 14
кг помидоров и 120 кг яблок. Каждое лето на эту дачу приезжает множество
бабушкиных знакомых. Вот и в этом году к ней приехала на выходные ее
подруга, которой 68 лет; моя бабушка подарила ей 1/15 всех яблок, а
остальные 112 кг оставила себе. Ее подруга была очень
рада и пообещала нам приехать в гости еще раз 30 октября, в мои осенние
каникулы.
История 2. "Новый год"
Скоро наступит самый светлый праздник — Новый год! Больше всего я
люблю наряжать елку в католическое Рождество, а именно 221 декабря. На
94
нашей елке постоянно висит 101 красный шарик, что составляет 1/12 всех
наших новогодних шаров. Елка обвита гирляндами, состоящими из 102 010
огоньков, а также на елке присутствует 21 вид мишуры. На украшение елки
я трачу 11 часов, а наряжая ее вместе с мамой, я трачу на 1212 минут
меньше.
Комментарий. В этой истории была использована троичная система
счисления. В десятичной системе счисления история выглядит так:
Скоро наступит самый светлый праздник — Новый год! Больше всего я
люблю наряжать елку в католическое Рождество, а именно 25 декабря. На
нашей елке постоянно висят 10 красных шариков, что составляет 1/5 всех
наших новогодних шаров. Елка обвита гирляндами, состоящими из 300
огоньков, а также на елке присутствуют 7 видов мишуры. На украшение
елки я трачу 4 часа, а наряжая ее вместе с мамой, я трачу на 50 минут
меньше.
История 3. "Ферма"
Хорошо на ферме жить,
Молоко парное пить.
И животных больше 100,
Не работа — красота!
Пятнистые коровы Сильны, крепки, здоровы!
У каждой по 11 копыт, Стоит Буренка и мычит.
На лапу с лапы 2 гуся Шагают важно, не грустя.
И на песке следы их лапок — Всего 11 царапок.
Баран с овечкою пушистой По травке бегают душистой,
И у каждого на цепочке
По 10 колокольчиков.
Хорошо им жить на свете — На Земле настало лето!
А июнь, месяц 20,
Помахал им теплой лапой!
Комментарий. В этой истерии была использована троичная система счисления.
95
История 4. "Обычная история"
На кресле толстый кот Мартын сидел,
Своими 10 глазами он смотрел,
Вдруг на 100 своих он лап вскочил,
На подоконник .быстро тело приземлил.
Увидел он 1010 воробьев,
Но вот своей он 100-й лапой
Задел горшочек с маминым цветком,
И, боже, что было бы потом,
Если бы кот не убежал оттуда,
Не сел на кресло и не стал чесать За своим 10-м маленьким ушком.
Ведь обвинили-то во всем меня,
А кот Мартын лежал на кресле, Весело мурча!
Комментарий. В этой истории была использована двоичная система
счисления.
Конкурс «Художники»
Отметить и последовательно соединить на координатной плоскости точки,
координаты которых записаны в двоичной системе счисления.
1 (1, 11)
2 (101, 11)
3 (101, 1001)
4 (1000, 110)
5 (101, 11)
6 (1010, 110)
7 (1001, 1)
8 (11, 1)
9 (1, 11)
10 (101, 1001)
13 (1000, 1001)
14 (101, 1001)
11 (101, 1010)
96
12 (1000, 1010)
Конкурс «Считай, не зевай»
Задание конкурса.
Выполните следующие арифметические действия:
1) количество базисных цифр в двоичной системе счисления с количеством
бит в одном байте;
2) результат умножьте на десятичное число, которое в двоичной системе
счисления записывается как 100;
3) к полученному результату прибавьте отличную школьную оценку;
4) ответ переведите в двоичную систему счисления
Конкурс на сообразительность
Продолжите ряд:
А) 1 1 2 3 5 8 13 …
Б) ПОБЕДА ОБЕДА БЕДА …
В) D C L X V …
Г) 1 4 9 16 25 …
Д) 10 11 100 101 110 …
Е) I III V VII IX …
Конкурс «от Древнего Рима до наших дней»
Представьте, что с помощью спичек выложены следующие примеры с
римскими цифрами:
VII – V = XI
IX – V = VI
VI – IX = III
VII – III = IX
Эти примеры решены не верно. Перенесите только по одной спичке, чтобы
решение стало правильным.
Конкурс «неразбериха»
Ей было 1100 лет.
97
Она в 101 класс ходила.
В портфеле по 100 книг носила.
Всё это правда, а не бред.
Когда, пыля десятком ног,
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок,
С одним хвостом, зато стоногий.
Она ловила каждый звук
Своими десятью ушами,
И 10 загорелых рук
Портфель и поводок держали.
И 10 тёмно-синих глаз
Оглядывали мир привычно.
Но станет всё совсем обычным,
Когда поймёте наш рассказ.
Игра «Лабиринт»
Группа делится на три команды. Каждая команда получает:
- карточку с исходным заданием;
- 4 листа с заданиями этапов лабиринта;
Карточки с исходными заданиями:
I
102+112
II
III
112+112
112+12
Листы с заданиями этапов лабиринта:
98
1. Выполнить вычитание:
1002-102
1012-102
1102-12
2. Выполнить умножение:
112*112
1012*112
102*1012
3. Выполнить сложение:
11112+112
10102+1012
10012+12
Выполнить деление:
11112:1012
10102:102
100102:112
Сначала каждая команда должна выполнить задание на своей карточке:
Найти сумму двух слагаемых в двоичной системе счисления.
Например, для первой команды: 102+112=1012.
Найдя эту сумму, команда переходит к этапу 1 лабиринта: находит
получившееся число в первом столбике листа 1 (т.е. среди уменьшаемых
разностей, записанных на этом листе).
Например, первая команда должна выбрать на листе 1 пример 1012-102
(поскольку в задание на карточке у нее получится ответ 1012). Результат в этом
примере будет равен 112.
Найдя разность, команда переходит к этапу два лабиринта: находит
получившееся
На этапе 1 число в первом столбике листа 2 (т.е. среди первых
сомножителей произведений, записанных на этом листе).
Например, первая команда должна выбрать на листе два пример 112*112
(поскольку в задании на этапе 1 у нее получился ответ 112). Результат в этом
примере будет равен 10012.
Найдя произведение, команда переходит к этапу три лабиринта: находит
получившееся на этапе два число в первом столбике листа три (т.е. среди
первых слагаемых сумм, записанных на этом листе).
99
Например, первая команда должна выбрать на листе 3 пример 10012+12
(поскольку в задании на этапе 2 у нее получился ответ 10012). Результат в этом
примере будет равен 10102.
Найдя сумму, команда переходит к этапу 4 лабиринта: находит
получившееся на этапе три число в первом столбике листа 4 (т.е. среди
делимых, записанных на этом листе).
Например, первая команда должна выбрать на листе 4 пример 1010 2:102
(поскольку в задании на этапе 3 у нее получился ответ 10102). Результат в этом
примере будет равен 1012.
Занимательные задачи
Задача 1: Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь
возможность взвесить любое число граммов от 1 до 100 на чашечных весах,
если гири можно класть только на одну чашку весов?
Задача 2: Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь
возможность взвесить любое число граммов от 1 до 100 на чашечных весах,
если гири можно класть на обе чашки весов.
Задача 3: Кащей Бессмертный загадывает три двузначных числа: a, b и c.
Иван Царевич должен назвать ему три числа: X, Y, Z, после чего Кащей
сообщит ему сумму aX + bY + cZ. Царевич должен отгадать задуманные числа,
иначе ему отрубят голову. Как ему спастись?
Задача 4: Докажите, что из набора 0, 1, 2, …, 3k – 1 можно выбрать 2k чисел
так, чтобы никакое из них не являлось средним арифметическим двух других
выбранных чисел.
Задача 5: Докажите, что из набора 0, 1, 2, …, 3k – 1/2 можно выбрать 2k
чисел так, чтобы никакое из них не являлось средним арифметическим двух
других выбранных чисел.
Задача 6: В какой системе счисления справедливо равенство 3 • 4 = 10?
Задача 7: Существует ли система счисления, в которой одновременно
а) 3 + 4 = 10 и 3 • 4 = 15;
100
б) 2 + 3 = 5 и 2 • 3 = 11?
Задача 8: Сформулируйте (и докажите) условие, позволяющее определить
четность числа по его записи
а) в троичной системе счисления;
б) в системе счисления с основанием n.
Задача 9: На доске сохранилась полустертая запись
Выясните, в какой системе счисления записан пример и восстановите
слагаемые.
Задача 10: Один школьный учитель заявил, что у него в классе 100 детей, из
них 24 мальчика и 32 девочки. Какой системой счисления он пользовался?
101
КРОССВОРДЫ
Переведите числа в двоичную систему счисления и впишите ответы в кроссворд
1
2
3
По горизонтали: 1. 3310. 4. 618. 5. В16. 6. 5110. 10. 778.
12. А16. 13. F16. 14.138.
4
5
По вертикали: 1. 2А16. 2. 2016. 3. 768. 4. 5710. 7. 3110. 8. 78. 9.
6
1516. 11. 716.
7
10
8
9
11
12
Обобщающее задание. Расположите числа по возрастанию.
13
14
Переведите числа из десятичной системы счисления в двоичную и впишите их в кроссворд.
1
По горизонтали: 1. 7. 4. 33. 6. 65. 7. 42.
2
3
4
5
6
7
8
10. 57. 11. 231.
15. 147.
По вертикали: 1. 255. 2. 36. 3. 64. 4. 127.
9
10
11 12
10.
9.
5. 4. 8. 63. 12. 9. 13. 6. 14. 5.
13
14
Обобщающее задание.
15
Разделите все числа на три группы: 1) в записи
которых нулей больше, чем единиц. 2) единиц больше, чем нулей. 3) единиц и нулей
поровну.
Переведите числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную и впишите в
1
кроссворд.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
14
16
11
12
По горизонтали: 1. 52922. 4. 47802. 6.
13
57082. 8. 2783. 9. 43690. 12. 64479. 14.
15
916666. 16. 52428. 18. 61166. 20. 48858.
17
18
19
20
21
22
23
24
22. 57018. 23. 3258. 24. 64188. 25. 48059.
По вертикали: 1. 52908. 2. 48350. 3. 57277.
25
5. 44266. 7. 65535. 8. 2763. 9. 43981. 10.
2780. 11. 52462. 13. 56797. 15. 2750. 17. 52719. 18. 60110. 19. 61355. 20. 48635. 21. 2748.
Обобщающие вопросы и задания:
102
1. Назовите шестнадцатеричные числа-ответы, в записи которых есть не
менее трех одинаковых цифр.
2. Укажите числа-ответы, цифры в которых образуют строго убывающую
(возрастающую) последовательность.
3. Имеются ли среди найденных ответов числа-палиндромы, цифры
которых образуют симметричную последовательность ( т.е. одинаково
читаются слева направо и наоборот)?
103
Литература
1. Астафьева Н. Е., Гаврилова С. А., Цветкова М. С. Информатика и ИКТ:
Практикум для профессий и специальностей технического и социальноэкономического профилей: учеб. пособие для студ. учреждений сред.
проф. образования / под ред. М. С. Цветковой. – М., 2014
2. Малясова С. В., Демьяненко С. В. Информатика и ИКТ: Пособие для
подготовки к ЕГЭ: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф.
образования / под ред. М. С. Цветковой. – М., 2013.
3. Цветкова М. С., Великович Л. С. Информатика и ИКТ: учебник для студ.
Учреждений сред. проф. образования. – М., 2014
4. Цветкова М. С., Хлобыстова И.Ю. Информатика и ИКТ: практикум для
профессий и специальностей естественно-научного и гуманитарного
профилей : учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования.
– М., 2014.
5. Цветкова М. С. Информатика и ИКТ: электронный учеб.-метод. комплекс
для студ. учреждений сред. проф. образования. – М., 2015.
Интернет-ресурсы
 www.fcior.edu.ru (Федеральный центр информационно-образовательных
ресурсов — ФЦИОР).
 www.
school-collection.
edu.
ru
(Единая
коллекция
цифровых
образовательных ресурсов).
 www. intuit. ru/studies/courses (Открытые интернет-курсы «Интуит» по
курсу «Информатика»).
 www. lms. iite. unesco. org (Открытые электронные курсы «ИИТО
ЮНЕСКО» по информационным технологиям).
 http://ru. iite. unesco. org/publications (Открытая электронная библиотека
«ИИТО ЮНЕСКО» по ИКТ в образовании).
104
 www.megabook. ru (Мегаэнциклопедия Кирилла и Мефодия, разделы
«Наука / Математика.Кибернетика» и «Техника / Компьютеры и
Интернет»).
 www.
ict.
edu.
ru
(портал
«Информационно-коммуникационные
технологии в образовании»).
 www. digital-edu. ru (Справочник образовательных ресурсов «Портал
цифрового образования»).
 www. window. edu. ru (Единое окно доступа к образовательным ресурсам
Российской Федерации).
 www.
freeschool.
altlinux.
ru
(портал
Свободного
программного
обеспечения).
 www. heap. altlinux. org/issues/textbooks (учебники и пособия по Linux).
 www.
books.
altlinux.
ru/altlibrary/openoffice
«ОpenOffice. org: Теорияи практика»).
105
(электронная
книга