Microsoft Word, 440kb

УРОК – ЛЕКЦИЯ
Тема урока: Методы решения тригонометрических уравнений
Цели
Образовательные: - научить решать некоторые виды тригонометрических
уравнений (квадратные) относительно одной из
тригонометрических функций;
- однородные уравнения первой и второй степени
относительно sin x и. cos x
Развивающие:
- развивать культуру мысли, культуру речи и умение
работать с тетрадью и доской.
Воспитательные: - воспитывать самостоятельность и умение преодолевать
трудности.
Оборудование:
- наглядный материал для устного счёта и объяснения
новой темы.
Структура урока:
1. Повторение изученного материала (устный счёт).
2. Изучение нового материала.
3. Закрепление изученного материала.
4. Итог
5. Домашнее задание.
ХОД УРОКА.
1. Организационный момент
- Здравствуйте! Садитесь
2. Работа на уроке
2.1) устная
Установите соответствие:
2 sin x  1
 2 sin x  1
 2 cos x  1
 2 sin x  1
 2 cos x  2
sin 2  x   0
cos2  x   1


8
 n
 1n 

n
 1n 
 n
 1n 
 n
12 3
 2n
 
9
3
 1n   n
12 2
6
4

2
 2n
3
 1n 1 
6
 n
tg 4  x   1
3
 2ò
4
ò

2
2
2
sin 3 x 
2
1
cos 3 x 
2
1
sin 2 x 
2
cos 2 x 
Ответ:
1-5
2-6
3-7
4-8
2ò

4
5-9
6-10
 ò
7-11
8-12
9-1
10-2
11-3
12-4
2.2) Изучение нового материала
На предыдущих уроках мы с вами научились решать
- базовые уравнения вида: sin x  à, cos x  a, tgx  a ;
x 
- простейшие уравнения вида: sin 3 x  à, cos    a, tg 2 x  a
2 3
Сегодня мы изучим с вами
- квадратные уравнения относительно sin x или. cos x (явного вида, пример 1а), или сводящиеся к явному виду после использования основного
тригонометрического тождества – это пример 1-б)) При их решении будим
использовать метод замены переменной и метод разложения на множители;
- уравнения специального вида: однородные уравнения первой степени,
однородные уравнения второй степени.
1.Метод замены переменной
Итак, начнём с вами решать уравнения, представляющие собой квадратные
уравнения относительно какой-либо тригонометрической функции, либо
сводимые к нему используя метод замены переменной. Этот метод вам хорошо
известен, вы не раз применяли его при решении различных уравнений.
2
ПРИМЕР 1-а) 2 sin x  5 sin x  2  0
Решение: Введём новую переменную: t  sin x . Тогда уравнение примет вид:
2t 2  5t  2  0
1
D=25-16=9, t1  2, t 2 
2
1
Значит, либо sin x  2 , либо sin x 
2
Первое из этих уравнений не имеет решений, а для второго получаем:

 n, n  Z
6
n 
 n, n  Z
Ответ: x   1
6
x   1
n
2
2
ПРИМЕР 1-б) cos x  sin x  cos x  0
Решение: Если в уравнение входят тригонометрические функции, то их, если
возможно, надо выразить через одну. При этом следует выбрать эту функцию
так, чтобы получилось квадратное относительно неё уравнение. Воспользуемся
тем, что sin 2 x  1  cos 2 x . Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:
cos 2 x  1  cos 2 x  cos x  0


2 cos 2 x  cos x  1  0, t  cos x
2t 2  t  1  0
D  1  8  9,
1
t1  1, t 2  
2
cos x  1, cos x  
1
2
2
 2k , k  Z
3
2
 2k , k  Z
Ответ: x  2k , x  
3
x  2k , x  
2. Метод разложения на множители.
Теперь поговорим о втором методе решения тригонометрических
уравнений – методе разложения на множители. Решение уравнений, левая часть
которых разлагается на множители, а правая равна нулю, если хотя бы один из
множителей равен нулю, а остальные (при этом значении переменной) имеют
смысл, также сводится к решению простейших тригонометрических уравнений
и к проверке того, не теряют ли смысл остальные множители при этом значении
переменной. Т.е. если уравнение f x   0 удаётся преобразовать к виду
f 1 x f 2 x  0 , то либо f 1 x   0 , либо f 2 x  0 .В подобных случаях обычно
говорят так: задача сводится к решению совокупности уравнений f 1 x   0 ;
f 2 x   0 .
При решении тригонометрических уравнений, решаемых разложением на
множители, нужно использовать все известные способы разложения на
множители: вынесения общего множителя за скобки; группировка; применение
формул сокращённого умножения и деления, искусственные приёмы.
1 
2

ПРИМЕР 2-а)  sin x     cos x    0
3 
5

1

sin
x

,

3
Решение: Задача сводится к решению совокупности уравнений: 
cos x   2 ;

5
1

n


x


1
arcsin
 ò , n  Z ,

3

Из этих уравнений находим соответственно: 
 2
x


arccos
    2n, n  Z ;

 5

1
 2
n
Ответ: x   1 arcsin  n; x   arccos    2n, n  Z
3
 5
Внимание! Хочу сразу обратить ваше внимание на один вопрос, который
обычно беспокоит учащихся, особенно в начале изучения темы
«Тригонометрические уравнения»: обязательно ли при записи разных серий
решений тригонометрического уравнения использовать в качестве параметра
различные буквы. Вернёмся к уравнению 1-б). Мы свели его к совокупности
1
уравнений cos x  1; cos x   и записали ответ в виде:
2
2
x  2k , x  
 2k , k  Z
3
Далее, мы рассмотрели уравнение 2-а), свели его к совокупности уравнений
1
2
sin x  ; cos x   и записали ответ в виде:
3
5
1
 2
n
x   1 arcsin  n; x   arccos    2n, n  Z
3
 5
В обоих случаях в качестве параметра использовалась одна и та же буква
(в первом примере – k, во втором – n).И это правильно. Но если бы мы записали
ответы в виде, соответственно:
2
x  2k , x  
 2n;
3
1
 2
n
x   1 arcsin  k ; x   arccos    2n, то это тоже было бы верным.
3
 5
Здесь речь идёт о совокупности уравнений, т.е. о независимых друг от друга
уравнениях. А вот в системах тригонометрических уравнений дело обстоит
иначе: там необходимо использовать разные обозначения для параметра в
различных уравнениях системы, это носит принципиальный характер.
ПРИМЕР 2-б) 2 sin x cos 5x  cos 5x  0
Решение: Имеем: cos 5x2 sin x 1  0 . Значит приходим к совокупности
1

sin x  2 ,
уравнений 
.
cos 5 x  0;

 n .
6

 n
Из второго уравнения находим: 5 x   n, x   .
2
10 5
 n
n 
 n , x   , n  Z
Ответ: x   1
10 5
6
Из первого уравнения находим: x   1
n
Внимание! Переход от уравнения f 1 x f 2 x  0 к совокупности уравнений
f 1 x   0 , f 2 x  0 не всегда безопасен.
ПРИМЕР 2-в) tgx  sin x  1  0
Из уравнения tgx  0 находим: x  n ;
из уравнения sin x  1 находим x 

 2n .
2
Но включить обе серии решений в ответ нельзя. Дело в том, что при значениях

 2n входящий в заданное уравнение множитель tgx  не имеет смысла,
2

т.е. значения x   2n не принадлежат области определения уравнения
2
x
(ОДЗ) – это посторонний корень.
Ответ: x  n, n  Z
3. Однородные тригонометрические уравнения.
В заключении познакомимся с довольно часто встречающимися на
практике тригонометрическими уравнениями специального вида.
Определение: Уравнение вида a sin x  b cos x  0 называют однородным
тригонометрическим уравнением первой степени
относительно sin x и cos x  0 . В результате получается
уравнение вида a  tgx  b  0 .
2
2
Определение: Уравнение вида a sin x  b sin x cos x  c cos x  0 называется
однородным тригонометрическим уравнением второй
степени относительно sin x и cos x .
2
Если a  0 , то разделим обе части уравнения на cos x  0 ,
2
получаем уравнение atg x  btgx  c  0 ;
2
Если a  0 , то уравнение принимает вид b sin x cos x  c cos x  0 и
решается разложением на множители левой части:
cos xb sin x  c cos x  0 .
1. Сначала поговорим о решении однородных тригонометрических
уравнений первой степени, причём рассмотрим только самый общий случай,
когда оба коэффициента (a и b) отличны от нуля, т.к. если a  0 , уравнение
принимает вид b cos x  0 , т.е. cos x  0 - такое уравнение отдельного
обсуждения не заслуживает. Аналогично, b  0 получаем: a sin x  0 , что тоже
не требует отдельного обсуждения.
Итак, дано уравнение a sin x  b cos x  0 , где a  0 , b  0 . Разделив обе
части уравнения почленно на cos x , получим:
т.е. atgx  b  0 .
a sin x b cos x
0


,
cos x
cos x
cos x
В итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению tgx  
b
a
Внимание! Вообще-то, делить обе части уравнения на одно и то же выражение
можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не
обращается в нуль (на 0 делить нельзя).Уверены ли мы, что в рассматриваемом
случае cos x отличен от нуля? Давайте проанализируем. Предположим, что
cos x  0 . Тогда однородное уравнение a sin x  b cos x  0 примет вид a sin x  0 ,
т.е. sin x  0 (вы ведь не забыли, что коэффициент a отличен от нуля).
Получается, что и cos x  0 , и sin x  0 , а это не возможно, т.к. sin x и cos x
обращаются в нуль в различных точках. Итак, в однородном
тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей
уравнения на cos x - вполне благополучная операция.
Уравнения вида a sin mx  b cos mx  0 тоже называют однородными
тригонометрическими уравнениями первой степени. Для их решения обе части
уравнения почленно делят на cos mx  0 .
ПРИМЕР 3.1-а) 2 sin x  3 cos x  0
Решение: Разделим обе части уравнения на
2tgx  3  0
tgx
3
2
3
 n, n  Z
2
x  arctg
Ответ: x  arctg
cos x , получим:
3
 n, n  Z .
2
ПРИМЕР 3.1-б) sin 2x  cos 2x  0
Решение: Разделим обе части уравнения почленно на cos 2 x , получим:
tg 2 x  1  0,
tg 2 x  1,
2 x  arctg  1  n,
2x  
x


8
4
 n,

n
2
Ответ: x  

8

n
2
,n Z
2. Рассмотрим теперь однородные тригонометрические уравнения второй
степени.
a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  0
Если коэффициент a отличен от нуля, т.е. в уравнении содержится член
2
sin x с каким-то коэффициентом, отличным от нуля, то, рассуждая как и выше,
легко убедится в том, что при интересующих нас значениях переменной cos x
не обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно
2
на cos x :
a sin 2 x b sin x cos x c cos 2 x
0



,
2
2
2
2
cos x
cos x
cos x
cos x
atg 2 x  btgx  c  0
Это квадратное уравнение относительно новой переменной t  tgx .
Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении
a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  0
2
коэффициент a  0 , т.е. отсутствует член a sin x . Тогда уравнение принимает
вид
b sin x cos x  c cos 2 x  0
Это уравнение можно решить методом разложения на множители:
cos x  b sin x  c cos x  0
cos x  0 или b sin x  c cos x  0
Получились два уравнения, которые мы решать умеем.
Аналогично обстоит дело и в случае, когда c  0 , т.е. когда однородное
2
уравнение имеет вид a sin x  b sin x cos x  0 (здесь можно вынести за скобки
sin x ).
Фактически мы выработали
Алгоритм решения уравнения
a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  0
2
1. Посмотреть, есть ли в уравнении член a sin x .
2
2. Если член a sin x в уравнении содержится (т.е.
a  0 ), то уравнение решается делением обеих
2
частей на cos x и последующим введением новой
переменной t  tgx .
2
3. Если член a sin x в уравнении не содержится (т.е.
a  0 ), то уравнение решается методом разложения
на множители: за скобки выносится cos x .
Так же обстоит дело и в однородных уравнениях вида
a sin 2 mx  b sin mx cos mx  c cos 2 mx  0
2
2
ПРИМЕР 3.2-а) sin x  3 sin x cos x  2 cos x  0 .
2
Решение: Разделим обе части уравнения почленно на cos x , получим:
tg 2 x  3tgx  2  0,
t  tgx,
t 2  3t  2  0,
t1  1, t 2  2
Значит, либо tgx  1 , либо tgx  2
Из первого уравнения находим: x  arctg1  n , т.е. x 
Из второго уравнения находим: x  arctg 2  n .

 n .
4

 n ; x  arctg 2  n, n  Z
4
2
ПРИМЕР 3.2-б) 3 sin x cos x  cos x  0
Ответ: x 
2
Решение: Здесь отсутствует член вида a sin x , значит, делить обе части
2
уравнения на cos x нельзя. Решим уравнение методом разложения на
множители:
cos x  3 sin x  cos x  0,


cos x  0, 3 sin x  cos x  0.
Из первого уравнения находим: x 

 n .
2
Второе уравнение – однородное тригонометрическое уравнение первой степени.
Решим его с помощью почленного деления обеих частей уравнения на cos x :
3 sin x  cos x  0,
3tgx  1  0,
1
tgx  
,
3
 1 
  n,
x  arctg  
3



x    n
6
Ответ: x 


 n , x    n; n  Z .
2
6
3. Закрепление изученного.
Какие из уравнений в столбиках 1 – 3 лишние и почему?
1.
2.
2
2 sin  sin x _ 1  0
2 cos 2 x  3 sin x cos x  sin 2 x  0
2 sin 2 x  sin x  1  0
9 sin x cos x  7 cos 2 x  2 sin 2 x
6 cos 2 x  cos x  1  0
4 cos 2 x  8 cos x  3  0
2 sin 2 x  sin x cos x  cos 2 x
sin 2 x  cos x  0
3 sin 2 x  5 sin x  2  0
5 cos 2 x  sin x cos x  1
4 sin 2 x  5 sin x  2  0
4 sin 2 x  3 sin x cos x  1
4 sin 2 x  11 sin x  3  0
8 cos 2 x  3 sin x cos x  1
3 sin 2 x  sin x cos x  2 cos 2 x
cos 2 x  5 sin x cos x  1  0
5 sin 2 x  6 cos x  6  0
7 sin 2 x  2 sin x cos x  1
3.
2 cos 2 x  cos x  0
sin x  2 sin x cos x  0
2 cos 2 x  cos x  3  0
tg 2 x  tgx  0
sin 2 x  sin x  0
2 cos 2 x  cos x  0
tgx  2tg 2 x  0
2 sin 3 x  2 sin x cos x  1
2 cos x  cos 2 x  0
4. Домашнее задание: п.23, №23.1 – 23.4(а), 23.6(а), 23.8(а), 23.12 – 23.14(а)
Во время объяснения у доски решения уравнений учащиеся ничего не
записывают в тетрадях. Весь класс смотрит на доску и мысленно прорабатывает
каждый этап решения. После окончания решения на доске, каждый ученик
должен воспроизвести это решение в тетрадях по памяти.
2 sin x  1
 2 sin x  1
 2 cos x  1
 2 sin x  1
 2 cos x  2
sin 2  x   0
cos2  x   1
tg 4  x   1
2
2
2
sin 3 x 
2
1
cos 3 x 
2
1
sin 2 x 
2
cos 2 x 