X - Северо-Кавказский горно

КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
Методические указания
к практическим занятиям для студентов
направления подготовки 261400.62 –
«Технология художественной обработки материалов»
Составитель З. Э. Маковозова
Владикавказ 2015
0
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ГОРНО-МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»
Кафедра геодезии
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
Методические указания
к практическим занятиям для студентов
направления подготовки 261400.62 –
«Технология художественной обработки материалов»
Составитель З. Э. Маковозова
Допущено
редакционно-издательским советом
Северо-Кавказского горно-металлургического института
(государственного технологического университета).
Протокол заседания РИСа № 2 от 18.02.2014 г.
Владикавказ 2015
1
УДК 548
ББК 22.37
М16
Рецензент:
к.г.-м.н., доцент Северо-Кавказского горно-металлургического
института (государственного технологического университета),
Галушкина Е. Ю.
М16
Кристаллография: Методические указания к практическим
занятиям для студентов направления подготовки 261400.62 –
«Технология художественной обработки материалов» / Сост.:
З. Э. Маковозова; Северо-Кавказский горно-металлургический
институт (государственный технологический университет). –
Владикавказ: Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет).
Изд-во «Терек», 2015. – 90 с.
Методические указания предназначены для выполнения практических
работ по курсу "Кристаллография" для студентов направления подготовки
261400.62 –«Технология художественной обработки материалов». Курс
предназначен для изучения основных понятий кристаллографии, рассматриваются общие характеристики кристаллического состояния вещества. Учение о симметрии излагается на основе теории групп. Анализируются точечные группы симметрии, группы стержней и слоев, пространственные группы. Дается геометрическая теория описания конечного кристалла и кристаллической решетки. Описаны методы изучения атомного строения кристаллического вещества: рентгеноструктурный анализ, электронография,
нейтронография, электронная микроскопия.
УДК 548
ББК 22.37
Редактор: Иванченко Н. К.
Компьютерная верстка: Куликова М. П.
 Составление. ФГБОУ ВПО «Северо-Кавказский
горно-металлургический институт
(государственный технологический университет)», 2015
 Маковозова З. Э., составление, 2015
Подписано в печать 20.05.2015. Усл. п.л. 5,23 . Уч.-изд. л. 4,35. Тираж экз.
Заказ №
. Северо-Кавказский горно-металлургический институт
(государственный технологический университет). Издательство «Терек».
Электронный ресурс
362021, г. Владикавказ, ул. Николаева, 44.
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .....................................................................................................
4
Занятие 1. Кристаллические многогранники.
Элементы симметрии. Простые формы и их комбинации ....................
5
Занятие 2. Стереографические проекции кристаллов. Символы
граней кристаллов .....................................................................................
9
Занятие 3. Сингонии и виды симметрии низшей категории ................
19
Занятие 4. Сингонии и виды симметрии средней категории ...............
28
Занятие 5. Кубическая сингония и виды симметрии высшей
категории ....................................................................................................
41
Занятие 6. Реальные кристаллы низшей категории. Спайность и
отдельность кристаллов низшей категории (на примере полевых
шпатов) .......................................................................................................
46
Занятие 7. Реальные кристаллы средней категории. Спайность и
отдельность кристаллов средней категории (на примере кварца
и кальцита) .................................................................................................
53
Занятие 8. Реальные кристаллы низшей категории. Спайность
и отдельность кристаллов кубической сингонии (на примере
гранатов) .....................................................................................................
61
Занятие 9. Методы исследования кристаллов: в отраженном
и проходящем свете. Ознакомление с поляризационным микроскопом .........................................................................................................
66
Приложения ...............................................................................................
78
3
ВВЕДЕНИЕ
Дисциплина «Кристаллография» относится к вариативной части
дисциплин математического и естественнонаучного цикла направления подготовки 261400.62 «Технологии художественной обработки
материалов».
Во время практических занятий студенты знакомятся с важнейшими особенностями форм кристаллов (плоскогранность, прямореберность, симметричность и др.), которые являются следствием упорядоченного расположения материальных частиц в кристаллической решетке.
Задачи изучения геометрической кристаллографии – привить
обучающимся навыки определения степени симметрии, кристаллов,
умение отражать особенности формы кристаллов на плоскости, находить место, которое занимает тот или иной кристалл в принятой системе классификации.
Настоящее пособие составлено с целью дать возможность обучающимся заранее ознакомиться с темой и содержанием очередного занятия, а аудиторное время использовать в основном для закрепления
знаний на практике. Материал разбит на небольшие по объему части,
каждая из которых в краткой форме изложена в отдельной работе. В
тексте приведены рисунки и схемы, которые окажут существенную
помощь студентам при подготовке к занятиям.
Основные данные по ориентировке кристаллов при их проектировании, выбору направления координатных осей и единичной грани,
характеристики параметров пространственной решетки кристаллов
всех сингоний сведены в таблицу, помещенную в конце пособия.
Исходным материалом служат наборы моделей кристаллов. Исходными образцами для большинства моделей являются реальные
кристаллы распространенных в природе минералов. Изготовление таких моделей – весьма трудоемкий процесс, требующий наличия полных данных о расположении граней кристалла, а также высокой квалификации изготовителя. Поэтому все модели кристаллов представляют высокую ценность, и их утрата не может быть легко восполнена.
Необходимо обращаться с моделями кристаллов очень бережно, а при
определении простых форм кристаллов студент может также воспользоваться набором моделей наиболее распространенных простых форм,
в котором каждая модель представляет только одну гранную простую
форму, без комбинаций. Этот набор может оказаться полезным при
составлении зрительного представления об облике отдельно взятой
простой формы и о расположении ее граней относительно элементов
симметрии и друг друга.
4
ЗАНЯТИЕ 1
Кристаллические многогранники. Элементы симметрии.
Простые формы и их комбинации
Цель работы: приобретение студентами навыкаов определения
элементов симметрии и числа простых форм на моделях кристаллов.
Раздел кристаллографии, посвященный изучению внешней формы кристаллов, называется геометрической кристаллографией.
Кристаллами называются твердые тела, в которых материальные
частицы – атомы, ионы, молекулы – расположены упорядоченно, по
принципу узлов пространственных решеток. В структуре пространственных решеток выделяются узлы, ряды, плоские сетки и элементарные ячейки.
Кристаллической решеткой называется пространственная решетка с наименьшим для данного минерала расстоянием между частицами.
Кристаллы (идеальные) представляют собой выпуклые многогранники, ограниченные гранями (часть плоскости – многоугольник),
ребрами (линия пересечения граней) и вершинами (точка пересечения
ребер). Наличием кристаллической решетки объясняется правильная
форма кристаллов и их важнейшие свойства – плоскогранность и прямореберность. Грани реальных кристаллов параллельны плоским сеткам пространственных решеток, отличающихся большой плотностью
материальных частиц (ретикулярная плотность). Ребра параллельны
рядам пространственных решеток, а вершины отвечают их узлам.
Симметрия – важнейшее свойство кристаллов. Симметричными
называются тела, у которых наблюдается закономерная повторяемость в расположении их частей в пространстве. В геометрической
кристаллографии рассматривается симметричное расположение граней, ребер, вершин кристаллов.
Степень симметричности кристаллов оценивается по наличию
элементов симметрии – плоскостей, осей и центра симметрии. Элементы симметрии в кристаллах разных видов могут присутствовать в
различных количествах или отсутствовать.
Плоскость симметрии – делит кристалл на две зеркально равные
части. Плоскости симметрии в кристалле могут проходить:
- через ребра;
5
- перпендикулярно ребрам через их середину;
- перпендикулярно граням через их середины;
- через вершины.
В кристаллах может быть до 9 плоскостей симметрии (кроме 8).
Обозначение плоскости симметрии – Р.
Ось симметрии – прямая линия, при вращении вокруг которой
кристалл совмещается с первоначальным положением в пространстве.
Минимальный угол, на который необходимо повернуть кристалл до
совмещения, называется элементарным углом поворота. Он может
быть равен 180, 120, 90, 60. Число совмещений кристалла с первоначальным положением при повороте на 360 определяет порядок
оси симметрии. В соответствии с этим существуют оси второго, третьего, четвертого и шестого порядков.
Оси симметрии могут проходить:
- перпендикулярно граням через их середины;
- перпендикулярно ребрам через их середины;
- через вершины.
Количество осей симметрии в кристаллах может быть:
- второго порядка – 1, 2, 3, 4, 6;
- третьего порядка – 1, 4;
- четвертого порядка – 1, 3;
- шестого порядка – 1
Обозначаются оси симметрии соответственно: L2, L3, L4, L6.
Центр симметрии (инверсии) – точка, равноудаленная от соответствующих противоположных граней, ребер и вершин кристалла.
Центр симметрии совпадает с центром тяжести кристалла. Практически наличие центра симметрии определяется следующим образом:
если каждой грани кристалла соответствует равная, противоположная
и параллельная грань, центр симметрии есть. Если хотя бы для одной
грани нет равной, противоположной и параллельной – центра симметрии нет. Центр симметрии может быть только один. Обозначается
центр симметрии – С.
Каждый кристалл характеризуется строго определенным набором
элементов симметрии. Разберем пример определения элементов симметрии кристалла галита, имеющего форму куба (рисунок 1). Если
вращать кристалл вокруг линии, проходящей через середины противоположных граней, то при повороте на 360, он четыре раза совместится со своим первоначальным положением в пространстве. Таким
образом, эта линия является осью симметрии четвертого порядка (L4).
6
Поскольку граней шесть и через каждую пару можно провести L4, то
всего в кристалле три оси симметрии четвертого порядка (3L4). Линия,
проходящая через противоположные вершины, является осью симметрии третьего порядка (L3). Поскольку вершин восемь и через каждую пару можно провести L3, то всего в кристалле четыре оси симметрии третьего порядка (4L3). Линия, проходящая через середины двух
противоположных ребер, является осью симметрии второго порядка
(L2). Поскольку ребер двенадцать и через каждую пару можно провести L2, то всего в кристалле шесть осей симметрии второго порядка (6L2).
а
б
Рис. 1. Расположение осей симметрии в кристалле галита: а – четвертого
и третьего порядка; б – второго порядка. Концы осей обозначены:
L2 –
; L3 –
; L4 –
На рисунке 2 показано расположение девяти плоскостей симметрии (9Р) – 4 вертикальных, 1 горизонтальная, 4 наклонных.
Рис. 2. Расположение плоскостей симметрии в кристалле галита
Поскольку каждой из шести граней соответствует равная и параллельная, то у кристалла имеется центр симметрии (С). Таким образом,
кристалл галита характеризуется следующим набором элементов
симметрии: 3L4, 4L3, 6L2, 9Р, С.
7
Порядок работы. В качестве исходных служат модели кристаллов, отличающиеся между собой набором элементов симметрии. Для
приобретения навыка по определению элементов симметрии, необходимо определить их на 5–10 моделях, с последующей их зарисовкой в
тетрадь для практических занятий.
Выводы студенты делают под зарисовкой каждого из изучаемых
кристаллов с определенными им элементами симметрии. Выполненные каждым студентом зарисовки проверяет ведущей практические
занятия преподаватель, делающий отметку в своем журнале. В последующем тетрадь с выполненными практическими работами предъявляется в конце семестра для зачтения и получения допуска к зачету.
Список рекомендуемой литературы:
1. Егоров-Тисменко Ю. К. Кристаллография и кристаллохимия:
Учеб. для вузов. – 2-е изд. М..: КДУ, 2010. 587 с.
2. Розин К. М. Практическая кристаллография: Учеб. пособие для
вузов. М.: МИСИС, 2005. 486 с.
3. Шафрановский И. И. Краткий курс кристаллографии: Учеб. для
вузов. М.: Высш. шк., 1984. 120 с.
8
ЗАНЯТИЕ 2
Стереографические проекции кристаллов.
Символы граней кристаллов
Цель работы: приобретение студентами навыками изображения
кристалла в виде стереографических проекций
Закон постоянства углов: углы между соответственными гранями и ребрами кристаллов данного вещества постоянны. Этот закон
позволяет изображать кристаллы на плоскости в виде проекций, сведя
все многообразие форм к совокупности углов между гранями или углов между нормалями к граням.
Наиболее часто применяются стереографические проекции.
Проекции граней
Теоретически построение стереографической проекции граней
кристалла выполняется следующим образом:
1. Из центра симметрии или центра тяжести кристалла описывается сфера произвольного радиуса (рис. 3).
2. Из центра сферы на грани (A, B, C, D, E, K) или их продолжения восстанавливают перпендикуляры (нормали) и продолжают их до
пересечения со сферой. Точки пересечения (a’, b’, c’, d’, e’, k’) называются полюсами граней.
3. Через центр сферы проводится горизонтальная плоскость, которая является плоскостью проекции; ее часть, ограниченная сферой,
называется кругом проекции.
4. Полюса граней соединяются прямыми линиями с южным S (a’,
b’, e’, k’) или северным N (c’, d’) полюсами сферы.
5. Точки пересечения этих линий с кругом проекции (a, b, c, d, e,
k) являются проекциями соответствующих (A, B, C, D, E, K) граней
кристалла.
Проекции граней, полюса которых расположены в верхней (северной) полусфере (включая попадающие на экватор), обозначаются
кружочком.
Проекции граней, полюса которых расположены в нижней (южной) полусфере, обозначаются крестиком.
9
N
k’
a’
K
A
E
e
e’
d
c
k
a
B
D
b плоскость
b’ проекции
C
сфера
d’
c’
S
Рис. 3. Схема проектирования граней кристалла
на плоскость (вид сбоку)
Практически проектируя кристалл, мысленно описываем вокруг
него сферу. Горизонтальная плоскость проекции проходит через
центр симметрии, а в случае его отсутствия – через центр тяжести.
Чертим круг проекций. Далее определяем положение проекций граней, исходя из следующих правил:
- проекции горизонтальных граней всегда находятся в центре
круга проекций;
- проекции вертикальных граней всегда находятся на окружности круга проекций;
- проекции наклонных граней находятся внутри круга проекций
на направлении перпендикуляра, восстановленного из центра сферы к
плоскости грани.
Положение проекций наклонных граней оценивается приблизительно, исходя из того, что чем положе грань, тем ближе ее
проекция к центру; чем круче – тем ближе ее проекция к окружности.
На рисунке 4 показана стереографическая проекция двух видов
граней кристалла золота.
10
а
б
Рис. 4. Внешний вид кристалла золота (а) и проекция его граней (б)
Проекции осей симметрии
Для обозначения осей симметрии используются следующие
условные значки L2 –
; L3 – ; L4 –
; L6 –
.
Теоретически для нахождения проекции оси симметрии, ее продолжают в обе стороны до пересечения со сферой в двух точках. Затем эти точки соединяют с южным и северным полюсами сферы. При
этом на плоскости проекции получают точки, которые и будут являться проекцией оси.
Практически, определяя проекции осей, надо учитывать следующие правила:
- проекция вертикальных осей располагается в центре круга проекций;
- проекция горизонтальных осей изображается на круге проекций
в двух диаметрально противоположных точках;
- проекция наклонных осей располагается внутри круга проекций,
аналогично проекции наклонных граней. Обозначается проекция
только верхнего конца оси.
Кристалл золота (рис. 4а), проекция граней которого дана на рисунке 4б, имеет такие элементы симметрии 3L4, 4L3, 6L2, 9Р, С.
Одна из осей четвертого порядка (L4) в кристалле вертикальна и
ее проекция (рисунок 5) располагается в центре круга проекции; две
другие L4 – горизонтальны, их проекции – на окружности.
Оси симметрии третьего порядка (L3) наклонные и поэтому их
проекции располагаются посередине между центром и окружностью.
Две из осей второго порядка – горизонтальны, а четыре – наклонные. Они проектируются аналогично осям L4 и L3.
11
Проекции плоскостей
симметрии
Проекции плоскостей симметрии
обозначаются двойной линией.
Если продолжить плоскость симметрии до пересечения со сферой, то получим окружность. Проектируя каждую
точку этой окружности аналогично полюсам граней, получим проекцию плоскости симметрии. Для наклонных и вертикальных плоскостей симметрии приняРис. 5. Проекция осей
симметрии кристалла золота то изображать проекции точек только
верхней полуокружности.
Проектируя плоскости симметрии, надо учитывать следующие
правила:
- проекции вертикальных плоскостей представляют собой прямые
линии и совпадают с диаметрами круга проекции;
- проекция горизонтальной плоскости совпадает с окружностью
круга проекции;
- проекции наклонных плоскостей представляют собой дуги, опирающиеся на концы диаметра круга проекции.
Проектируя плоскости симметрии (особенно наклонные), необходимо обратить внимание на то, какие элементы симметрии данного
кристалла они включают, через какие грани они проходят.
В кристалле золота (рис. 4а) вертикальных плоскостей – четыре. Они изображаются (рисунок 6) диаметральными
прямыми. Проекция горизонтальной
плоскости совпадает с окружностью.
Проекции четырех наклонных плоскостей представлены дугами.
Проекция центра симметрии обозначается С и располагается в центре
круга проекции (рисунок 7). Взаимное
расположение граней кристаллов в проРис. 6. Проекция плоскостей
странстве определяется с помощью симсимметрии кристалла золота
волов.
Метод определения символов основывается на законе целых чисел
(закон Гаюи): двойные отношения параметров (отрезков), отсекаемых
12
двумя любыми гранями кристалла на трех пересекающихся ребрах
его, равны отношениям целых и сравнительно малых чисел.
Закон Гаюи отражает соответствие
внешней формы кристалла строению
его кристаллической решетки, так как
грани кристаллов параллельны плоским
сеткам пространственных решеток, отличающихся большой плотностью материальных частиц (ретикулярная плотность).
Тип кристаллической решетки
определяется формой ее элементарной
ячейки – величиной элементарных отрезков a0, b0, c0, и углов между ними ,
Рис. 7. Полная стереографиче, , называемых осевыми углами (риская проекция кристалла
сунок 8).
золота
С направлениями a, b, c совместим положение пространственных
координатных осей XYZ, называемых кристаллографическими.
Ось X располагается горизонтально, ее направление от
начала координат к наблюдателю считается положительным, а
от наблюдателя – отрицательным.
Ось Y располагается горизонтально, ее направление вправо от начала координат считается положительным, влево – отрицательным.
Ось Z располагается вертикально, ее направление вверх от
начала координат считается положительным, вниз – отрицаРис. 8. Элементарная ячейка
тельным.
кристаллической решетки
Плоская сетка, проходящая
через точки AC’B, пересекает все три координатные оси, отсекая на
них элементарные отрезки a0, b0, c0. Относительно ее положения в
пространстве определяется положение всех других плоских сеток и
параллельных им граней кристалла.
13
В качестве примера определения относительного пространственного положения плоских сеток рассмотрим две смежные элементарные ячейки кристалла (рисунок 9).
Положение в пространстве плоской сетки AC’B определяется отношением элементарных отрезков:
a0 : b0 : c0
Положение в пространстве плоской сетки AC”B аналогично
определяется отношением:
a0 : b0 : 2c0
Положение в пространстве плоской сетки AC”B относительно
плоской сетки AC’B определяется отношением:
a0 / a0 : b0 / b0 : 2c0 / c0 = 1 : 1 : 2 / 1
Z
B”
C”
D”
A”
C’
B’
A’
D’
с0
а0
A
С
B
b0
Y
D
X
Рис. 9. Две смежные элементарные ячейки кристаллической решетки
(ABCDA’B’C’D’ и A”B”C”D”A’B’C’D’).
14
Возьмем отношение обратное полученному:
1:1:1/2
Это необходимо потому, что в случаях, когда плоская сетка располагается параллельно координатной оси, ее параметр (отрезок) по
этой оси равен бесконечности – (), то есть неопределенной величине,
с которой нельзя производить никаких математических преобразований. Обратная же величина будет равна нулю – (1/ = 0).
Приведя это выражение к общему знаменателю, получим двойное
отношение параметров (отрезков) согласно закону Гаюи:
2:2:1
Для грани кристалла, параллельной плоской сетке AC”B, последнее выражение называется символом и записывается в виде:
(221)
Отдельное численное значение в символе называется индексом.
Положение в пространстве всех граней кристалла сравнивается с
положением единичной грани, которая параллельна плоской сетке, отсекающей элементарные отрезки на всех трех координатных осях –
XYZ. В рассмотренном примере это плоская сетка AC’B. Масштабом
измерения для реальных кристаллов обычно являются не расстояния
между узлами кристаллической решетки (элементарные отрезки), а
единичные отрезки, отсекаемые на кристаллографических осях единичной гранью. Величина единичных отрезков кратна величине элементарных отрезков.
Практически для определения символов граней на моделях кристаллов необходимо:
1. Выбрать направления координатных осей – обычно они параллельны ребрам кристалла и часто совпадают с осями симметрии;
2. Поместить начало координат в центре симметрии (или в центре тяжести) кристалла;
3. Выбрать единичную грань и, продолжив ее плоскость до пересечения со всеми координатными осями, определить масштаб измерения по ним – единичные отрезки;
15
4. Определить параметры – отрезки, отсекаемые другими гранями кристалла на координатных осях;
5. Определить их отношения к единичным отрезкам;
6. Взяв обратные значения этих отношений, приведя их к общему
знаменателю и упростив – определить индексы и символ грани.
Рассмотрим пример определения символов грани (рисунок 10).
ACBED – часть кристалла, ограниченная гранями ACB и ABED.
Из точки О, совпадающей с центром тяжести кристалла, как из
начала координат проведем координатные оси X, Y, Z.
Z
С’
С
В
c
А
А’
a
O
b
E
В’
Y
D
X
Рис. 10. Определение символов граней
Выберем грань АВС за единичную, мысленно (или с помощью
листа бумаги) продолжим плоскость грани до пересечения со всеми
координатными осями. Отрезки ОА’, OB’, OC являются единичными.
Соответственно и символ грани АВС (111). Поскольку величина единичных отрезков кратна величине элементарных отрезков, по каждой
из осей выберем такой масштаб измерения (a, b, c), при котором длины единичных отрезков измерялись бы целыми числами. Продолжим
плоскость грани АВED до пересечения с осями.
Отношения параметров – отрезков OD, OE, OC’ к единичным составляют:
OD/OA’ = 2а/3а; OE/OB’ = 2b/4b; OC’/OC = 4c/2c
16
Их отношения между собой после упрощения составят:
2/3:1/2:2/1
Обратные им величины соответственно равны:
3/2:2/1:1/2
Приведем к общему знаменателю и, упростив выражение, получим:
3:4:1
Запишем символ грани АВED:
(341)
При определении символов граней необходимо помнить следующее:
1. Чем больше отрезок, отсекаемый гранью на оси по сравнению с
единичным, тем меньше индекс;
2. Грань, параллельная одной из координатных осей, имеет в
символе по этой оси ноль, например, для грани параллельной оси
Z – (210);
3. Если грань пересекает только одну координатную ось (например Z) и параллельна двум другим – X и Y, ее символ имеет вид (001);
грань, пересекающая только ось Y, имеет символ (010), пересекающая
только ось X – (100);
4. Грани одинакового вида и одинаково ориентированные в пространстве относительно выбранных осей координат, имеют символы,
отличающиеся друг от друга только знаком, например, (111) и (111),
или порядком расположения индексов, например, (123) и (321).
Для выбора координатных осей и единичной грани существуют
правила установки кристалла, которые будут изложены в дальнейшем.
Порядок работы. В качестве исходных служат модели кристаллов, отличающиеся между собой набором элементов симметрии. Для
приобретения навыков в определении символов граней, рекомендуется определить их на 4–5 моделях кристаллов разного вида, с последующей их зарисовкой в тетрадь для практических занятий.
17
Выводы студенты делают под зарисовкой каждого из изучаемых
кристаллов с определенными им символами граней. Выполненные
каждым студентом зарисовки проверяет ведущей практические занятия преподаватель, делающий отметку в своем журнале. В последующем тетрадь с выполненными практическими работами предъявляется
в конце семестра для зачтения и получения допуска к зачету.
Список рекомендуемой литературы
1. Егоров-Тисменко Ю. К. Кристаллография и кристаллохимия:
Учеб. для вузов. 2-е изд. М.: КДУ, 2010. 587 с.
2. Розин К. М. Практическая кристаллография: Учеб. пособие для
вузов. М.: МИСИС, 2005. 486 с.
3. Новиков И.И. Кристаллография и дефекты кристаллической
решетки: Учеб пособие для вузов. М.: Металлургия, 1990. 336 с.
18
ЗАНЯТИЕ 3
Сингония кристаллов.
Сингонии и виды симметрии низшей категории
Цель работы: овладение студентами методами определения сингонии и категории кристалла на моделях кристаллов.
Кристаллы характеризуются упорядоченным расположением частиц, соответствующим кристаллической решетке, от строения которой зависят многие их свойства, в том числе внешняя форма и симметрия. Тип кристаллической решетки определяется формой ее элементарной ячейки.
Совокупность кристаллов со сходной формой элементарной
ячейки, а следовательно, и сходными элементами симметрии образуют сингонию (греч. – сходноугольность). Форма ячейки определяется
величинами ее ребер (a0, b0, c0) и углов между ними (, , ).
По соотношению между этими величинами можно выделить семь
главных (всего их 14) типов элементарных ячеек, которые соответствуют семи сингониям (рисунок 11): кубической (а), тетрагональной
(б), гексагональной (в), тригональной (г), ромбической (д), моноклинной (е) и триклинной (ж).
г
е
а
б
д
в
ж
Рис. 11. Типы элементарных ячеек кристаллических решеток
19
Сингонии объединяют в категории:
- высшую (кубическая);
- среднюю (гексагональная, тетрагональная, тригональная);
- низшую (ромбическая, моноклинная, триклинная).
В каждой сингонии выделяют классы – совокупности кристаллов
с одинаковыми элементами симметрии.
Кристаллы могут состоять из граней одного вида, формы и размера, либо из граней нескольких видов (рисунок 12).
б
а
2
1
2
1
1
3
1
1
1
2
Рис. 12. Простая (а) и сложная (б) формы кристаллов
В первом случае кристалл представляет собой простую форму,
во втором – сложную, которая представляет собой комбинацию стольких простых форм, из скольких видов граней она состоит. Каждая
простая форма имеет свое название в зависимости от вида, числа и
взаимного расположения ее граней.
Сложные формы названия не имеют и при их характеристике
необходимо указывать, из скольких и каких простых форм они состоят. Форма граней в комбинации может быть существенно иной, чем в
соответствующих простых формах. Для того чтобы определить, к какой простой форме относятся грани данного вида, необходимо мысленно продолжить их до взаимного пересечения или сравнить их проекцию с известными проекциями простых форм.
К низшей категории относятся ромбическая, моноклинная и триклинная сингонии.
Необходимым условием отнесения кристаллов к низшей категории является отсутствие осей симметрии высших порядков (L6, L4, L3),
наличие только осей симметрии второго порядка – L2 или вообще отсутствие каких-либо элементов симметрии.
20
При характеристике кристаллов различных сингоний, для образования терминов, используют греческие слова:
– один
– грань
моно
эдра
– угол
ди (би) – два
гониа
– три
– доска
три
пинакс
–
четыре
– разносторонний треугольник
тетра
скалена
– пять
– разносторонний
четырехпента
трапеца
угольник
– шесть
– сходно
гекса
син
– восемь
окта
– десять
дека
додека – двенадцать
Ромбическая сингония
Необходимым условием отнесения кристаллов к ромбической
сингонии является наличие не менее трех элементов симметрии
(осей второго порядка и плоскостей, не считая центра).
Элементарная ячейка кристаллов ромбической сингонии имеет
форму параллелепипеда с прямоугольным сечением (рисунок 13). Координатные оси X, Y, Z располагаются под углом 90 друг к другу. Параметры элементарной ячейки: a0  b0  c0;  =  =  =90
Z
Z

а0
b0
Y
с0
 
b0
а0

а
X
б
X
Y
Рис. 13. Элементарная ячейка кристаллов ромбической сингонии:
а – общий вид; б – вид сверху
21
В ромбической сингонии выделяется три класса симметрии:
1. 3L2 3P C
2. 3L2
3. L2 2P
Простые формы кристаллов ромбической сингонии (рисунок 14):
1. Ромбическая пирамида – четыре наклонных грани, сходящихся
в одной вершине, через которую проходит L2. Сечение ей перпендикулярное – ромб.
2. Ромбическая бипирамида – восемь наклонных граней, образующих две одинаковые пирамиды, сложенные основаниями и имеющих форму разностороннего треугольника.
3. Ромбическая призма – четыре одинаковые грани попарно параллельные друг другу, поперечное сечение имеет вид ромба.
4. Ромбический тетраэдр – 4 наклонные грани, имеющие форму разностороннего треугольника. В отличие от тетраэдров кубической и тетрагональной сингоний он не имеет плоскостей симметрии.
5. Диэдр – две равные наклонные грани, имеющие любую форму
и пересекающиеся наподобие крыши.
6. Пинакоид.
7. Моноэдр.
1
2
3
5
4
Рис. 14. Простые формы кристаллов ромбической сингонии
22
Ориентировка кристаллов при проектировании (рисунок 15)
В 1 и 2 классе с координатными осями XYZ совмещают оси L2.
В 3 классе с координатной осью Z совмещают L2, а с X и Y – перпендикуляры к вертикальным плоскостям симметрии
Единичная грань – грань ромбических пирамиды, бипирамиды и
тетраэдра. Если такая грань отсутствует, символы задаются в общем
виде, то есть индексы обозначаются буквами – h, k, l – по осям XYZ,
которые грань пересекает: например (hk0), (0kl), (h0l)
_
X
1) 3L23PС
_
Y
Z
C
2) 3L2
_
Y
+
Y
+
X
_
X
Z
+
Y
+X
_
X
3) L22P
_
Y
Z
+
Y
X+
Рис. 15. Стереографические проекции элементов симметрии трех классов
ромбической сингонии
23
Моноклинная сингония
Необходимым условием отнесения кристаллов к моноклинной
сингонии является наличие не более двух элементов симметрии, не
считая центра.
Элементарная ячейка кристаллов моноклинной сингонии имеет
форму наклонного параллелепипеда, две стороны которого – равные
параллелограммы, две другие – прямоугольники (рисунок 16). Координатные оси Y и Z располагаются под углом 90 друг к другу. Ось X
перпендикулярна оси Y, а с осью Z ее положительный конец образует
угол  90. Параметры элементарной ячейки: a0  b0  c0;  =  = 90,
  90
Z
Z

b0

а0
X
с0
с0

а

Y
Y
а0
б
X
Рис. 16. Элементарная ячейка кристаллов моноклинной сингонии:
а – общий вид; б – вид на плоскость XZ
В моноклинной сингонии выделяют три класса симметрии:
1. L2 P C
2. L2
3. P
Простые формы кристаллов моноклинной сингонии (рисунок 14):
1. Ромбическая призма.
5. Диэдр.
6. Пинакоид.
7. Моноэдр.
24
Все простые формы моноклинной сингонии относятся к числу открытых, то есть не ограничивают пространство со всех сторон и потому встречаются только в комбинациях (рисунок 17).
Ориентировка кристаллов при проектировании
(рисунок 18)
А
B
Ось Z располагается вертикально и параллельно ей ориентируются характерные грани
кристалла, чаще всего удлиненные грани ромбиС
ческой призмы.
В первом и втором классе с координатной
осью Y совмещают ось L2, а X и Z располагаются
Рис. 17. Кристалл
в плоскости, перпендикулярной L2 (в первом
гипса: А, В – грани
классе это плоскость симметрии), ось X – паралромбических призм;
лельна наклонным ребрам кристалла.
С – пинакоида
В третьем классе координатную ось Y совмещают с перпендикуляром к плоскости симметрии, а X и Z, лежащие в
этой плоскости, проводятся так же, как в первом и втором классах.
На стереографической проекции ось X представлена точкой –
проекцией ее отрицательного конца, лежащей внутри круга проекций
на диаметре, перпендикулярном оси Y, выше центра (рисунок 18).
Единичная грань – грань любой простой формы, пересекающая
все три оси координат, задавая по ним единичные отрезки.
Если такая грань отсутствует, символы задаются в общем виде, то
есть индексы обозначаются буквами – h, k, l – по осям, которые грань
пересекает.
2) L2
1) L2PC
_
_
X
X
+
_
+
_
Y
Y
Y
С
Y
Z
Z
_
3) P
X
+
Y
_
Y
Z
Рис. 18. Стереографические проекции элементов симметрии трех классов
моноклинной сингонии
25
Триклинная сингония
Необходимым условием отнесения кристаллов к триклинной сингонии является наличие только центра симметрии или отсутствие
каких-либо элементов симметрии.
Элементарная ячейка кристаллов триклинной сингонии имеет
форму наклонного параллелепипеда все стороны которого параллелограммы (рисунок 19). Углы между координатными осями X, Y и Z
различны и не равны 90. Параметры элементарной ячейки: a0  b0  c0;
     90
Z
Z
с0

а0
с0
Y

 в0
а0

X
X
б
а
Рис. 19. Элементарная ячейка кристаллов триклинной сингонии:
а – общий вид; б – вид на плоскость X Z
В триклинной сингонии выделяют два класса симметрии:
1. C.
2. Отсутствие элементов симметрии.
Простые формы кристаллов триклинной сингонии:
1. Пинакоид.
2. Моноэдр.
Простые формы триклинной сингонии встречаются только в комбинациях.
Ориентировка кристаллов при проектировании (рисунок 20). За
координатные оси X, Y, Z выбирают направления, параллельные
наиболее развитым граням или ребрам кристалла, углы между которыми не равны 90. Ось Z должна располагаться вертикально, тогда X
26
и Y будут наклонными относительно горизонтальной плоскости проекции. Проекции осей X и Y представляют собой точки в круге проекций.
Единичная грань – грань любой простой формы, пересекающая
все три оси координат, определяя по ним величину единичных отрезков. Часто такая грань отсутствует и символы задаются в общем виде
аналогично моноклинной сингонии.
_
X
1) С
С
+
Z
2) Нет элементов симметрии
+
Y
_
X
+
Z
+
Y
Рис. 20. Стереографические проекции двух классов симметрии
триклинной сингонии
Порядок работы. В качестве исходных служат модели кристаллов, отличающиеся между собой набором элементов симметрии. Для
приобретения навыков в определении символов граней, рекомендуется определить их на 4–5 моделях кристаллов изучаемых сингоний
низшей категории, с последующей их зарисовкой в тетрадь для практических занятий.
Выводы студенты делают под зарисовкой каждого из изучаемых
кристаллов с определенными ими элементами симметрии, индексами
граней, простыми формами, сингонией кристалла. Выполненные каждым студентом зарисовки проверяет ведущей практические занятия
преподаватель, делающий отметку в своем журнале. В последующем
тетрадь с выполненными практическими работами предъявляется в
конце семестра для зачтения и получения допуска к зачету.
Список рекомендуемой литературы
1. Шаскольская М. П. Кристаллография: Учеб. пособие для втузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 1984. 376 с.
2. Егоров-Тисменко Ю. К. Кристаллография и кристаллохимия:
Учеб. для вузов. 2-е изд. М.: КДУ, 2010. 587 с.
27
3. Розин К. М. Практическая кристаллография: Учеб. пособие для
вузов. М.: МИСИС, 2005. 486 с.
28
ЗАНЯТИЕ 4
Сингонии и виды симметрии средней категории
Цель работы: овладение студентами методами определения сингонии и категории кристалла на моделях кристаллов.
К средней категории относятся гексагональная, тетрагональная и
тригональная сингонии.
Необходимым условием отнесения кристаллов к средней категории является наличие одной оси высшего порядка соответственно: L6,
L4, L3. Вместо L6 и L4 могут присутствовать зеркально-поворотные оси
шестого и четвертого порядка.
Зеркально-поворотной осью шестого порядка является прямая
линия, при вращении вокруг которой на 360 кристалл через 60 трижды совмещается с первоначальным положением и трижды со своим
зеркальным отражением (рисунок 21а). Зеркально-поворотная ось шестого порядка является простой осью третьего порядка, но не наоборот. Обозначается ось – L36.
Зеркально-поворотной осью четвертого порядка является прямая
линия, при вращении вокруг которой на 360 кристалл через 90 дважды совмещается с первоначальным положением и дважды со своим
зеркальным отражением (рисунок 21б). Зеркально-поворотная ось
четвертого порядка является простой осью второго порядка, но не
наоборот. Обозначается ось – L24.
L36
L24
а
б
Рис. 21. Кристаллы с зеркально поворотной осью симметрии:
а – шестого порядка L36; б – четвертого порядка L24
29
Гексагональная сингония
Необходимым условием отнесения кристаллов к гексагональной
сингонии является наличие одной оси шестого порядка L6.
Элементарная ячейка кристаллов гексагональной сингонии имеет
форму шестигранной призмы (рис. 22). Для удобства пространственной ориентировки кристаллов гексагональной сингонии вводится дополнительная пространственная ось U. Таким образом, выделяется
четыре координатных оси X, Y, U, Z. Оси X, Y, U располагаются в горизонтальной плоскости под углом 120.
Параметры элементарной ячейки: a0 = b0 = d0  c0;  =  =  = 90;
1 =2 = 3 = 120
_
+
X
U
d0
б
_
+
3
2
Y
Y
b0
+
1
a0
_
+
Z
_
X
+
U
а
B
_
Y
+
U
+
X
c0


d0 
bo
a0 1
A
K
_
Z
_
Y
_
X
+
Y
в
F
_
U
Z
X
III
+
X
II
+
Y
U
I
_
U
Рис. 22. Элементарная ячейка кристаллов гексагональной сингонии:
а – общий вид; б – вид сверху; плоские сетки, параллельные единичным
граням: AFB – первого рода (I), AKB – второго рода (II); в – проекции
единичных граней: первого рода – I – (1121); второго рода – II – (1011)
30
В гексагональной сингонии выделяют пять классов симметрии:
1. L66L2 7P C
2. L6 6L2
3. L6 6P
4. L6 P C
5. L6
Простые формы кристаллов гексагональной сингонии (рисунок 23):
Различают открытые и закрытые простые формы. Открытые – состоят из граней, не полностью ограничивающих пространство, и
встречаются только в комбинациях с другими простыми формами.
1. Гексагональная пирамида – шесть наклонных граней, сходящихся в одной вершине, через которую проходит L6. Сечение, перпендикулярное ей – правильный шестиугольник.
2. Дигексагональная пирамида – двенадцать наклонных граней,
образующих гексагональную пирамиду, каждая грань которой разделена на две равные, симметрично расположенные грани. Сечение,
перпендикулярное L6, имеет вид равностороннего 12-угольника с углами, равными через один.
3. Гексагональная бипирамида – двенадцать наклонных граней,
имеющих форму равнобедренного треугольника и образующих две
одинаковые пирамиды, сложенные основаниями.
4. Дигексагональная бипирамида – двадцать четыре наклонных
грани, образующих две одинаковые дигексагональные пирамиды,
сложенные основаниями.
5. Гексагональная призма – шесть вертикальных граней параллельных L6 и попарно параллельных друг другу, поперечное сечение
имеет вид правильного шестиугольника.
6. Дигексагональная призма – двенадцать вертикальных граней,
образующих гексагональную призму, каждая грань которой разделена
на две равные, симметрично расположенные грани. Сечение перпендикулярное L6, имеет вид равностороннего 12-угольника с углами,
равными через один.
7. Гексагональный трапецоэдр – двенадцать наклонных граней,
имеющих форму 4-угольника с двумя равными смежными сторонами.
Эта форма похожа на бипирамиду, у которой нижняя часть относительно верхней расположена асимметрично. Не имеет плоскостей и
центра симметрии.
8. Пинакоид – две равных параллельных грани, имеющих любую
форму. Встречается только в комбинации, например с призмой («основания» призмы).
31
9. Моноэдр – одна грань, имеющая любую форму. Встречается
только в комбинации, например с пирамидой («основание» пирамиды).
С координатными осями XYU совмещают:
- либо три оси L2 (1, 2, 6 классы симметрии);
- либо перпендикуляры к плоскостям симметрии (3 класс);
- либо направления, параллельные трем ребрам, расположенным
под углом 120 друг к другу (4, 5, 7 классы). С координатной осью Z
совмещают оси симметрии L6.
Единичная грань – грань гексагональной пирамиды и бипирамиды.
Грани простых форм, принимаемые за единичные, в сложных
кристаллах могут быть ориентированы по-разному относительно горизонтальных осей координат. В соответствии с этим различают формы I и II рода.
Единичная грань формы первого рода пересекает три горизонтальных координатных оси. Единичные отрезки, отсекаемые на осях X
и Y, равны, а отрезок, отсекаемый на оси U – вдвое меньше. Такая
грань проектируется в точку I и имеет символ (1121).
1
2
3
6
4
5
7
8
Рис. 23. Простые формы гексагональной сингонии
Единичная грань формы второго рода пересекает две горизонтальные координатные оси и параллельна третьей. Такая грань проектируется в точку II и имеет символ (1011). В обоих случаях величина
единичных отрезков по X, Y, U одинакова. Величина единичных отрезков по оси Z не равна единичным отрезкам по X, Y и U. Ориентировка кристаллов при проектировании (рисунок 24).
32
_
X
+
U
1) L66L27PC
Z
_
Y
_
X
+
U
_
Y
+
Y
С
+
Y
Z
_
U
+
X
+
X
_
X
+
U
3) L66P
_
U
_
X
+
U
4) L6PC
Z
_
Y
_
Y
+
Y
С
+
Y
Z
_
U
+
X
X
_
X
+
U
U
_
+
5) L6
_
Y
+
Y
Z
+
X
_
U
Рис. 24. Ориентировка кристаллов при проектировании
33
_
В комбинациях могут встречаться простые формы третьего рода, грани которых проектируются в точку III. Такие грани отсекают на
всех координатных осях различные по величине отрезки и единичными быть не могут. При наличии в кристалле форм третьего рода отсутствуют оси симметрии L2 и вертикально расположенные плоскости
симметрии (4, 5 и 7 классы симметрии).
Тетрагональная сингония
Необходимым условием отнесения кристаллов к тетрагональной
сингонии является наличие одной оси четвертого порядка L4 или зеркально-поворотной оси четвертого порядка L24.
Элементарная ячейка кристаллов тетрагональной сингонии имеет
форму параллелепипеда с квадратным сечением (рисунок 25). Координатные оси X, Y, Z располагаются под углом 90 друг к другу. Параметры элементарной ячейки: a0 = b0  c0;  =  =  = 90.
Z
а
б
Z

а0 

Y
a0
с0

b0
b0
Y
X
X
Рис. 25. Элементарная ячейка кристаллов тетрагональной сингонии:
а – общий вид; б – вид сверху
В тетрагональной сингонии выделяют семь классов симметрии:
1. L4 4L2 5P C
2. L4 P C
34
3. L4 4P
4. L4 4L2
5. L4
6. L24 2L2 2P
7. L24
Простые формы кристаллов тетрагональной сингонии (рисунок 22):
1. Тетрагональная пирамида – четыре наклонных грани, сходящихся в одной вершине, через которую проходит L4. Сечение, перпендикулярное ей – квадрат.
2. Дитетрагональная пирамида – восемь наклонных граней, образующих тетрагональную пирамиду, каждая грань которой разделена
на две равные, симметрично расположенные грани. Сечение, перпендикулярное L4, имеет вид равностороннего 8-угольника с углами, равными через один.
3. Тетрагональная бипирамида – восемь наклонных граней, имеющих форму равнобедренного треугольника и образующих две одинаковые пирамиды, сложенные основаниями.
4. Дитетрагональная бипирамида – шестнадцать наклонных граней, образующих две одинаковые дитетрагональные пирамиды, сложенные основаниями.
5. Тетрагональная призма – 4 вертикальные грани, параллельные
L4 и попарно параллельных друг другу, поперечное сечение имеет вид
квадрата.
6. Дитетрагональная призма – восемь вертикальных граней, образующих тетрагональную призму, каждая грань которой разделена на
две равные, симметрично расположенные грани. Сечение, перпендикулярное L4, имеет вид равностороннего 8-угольника с углами, равными через один.
7. Тетрагональный трапецоэдр – восемь наклонных граней, имеющих форму 4-угольника с двумя равными смежными сторонами. Эта
форма похожа на бипирамиду, у которой нижняя часть относительно
верхней расположена асимметрично. Эта простая форма не имеет
плоскостей и центра симметрии.
8. Тетрагональный тетраэдр – четыре наклонных грани, имеющих форму равнобедренного треугольника. Для этой простой формы
характерно наличие зеркально-поворотной оси четвертого порядка
L24.
9. Тетрагональный скаленоэдр – восемь наклонных граней,
сгруппированных попарно, каждая из которых имеет вид разносто35
роннего треугольника. Две пары нижних граней располагаются симметрично между двумя парами верхних. Для этой простой формы
характерно наличие зеркально-поворотной оси четвертого порядка L24.
10. Пинакоид.
11. Моноэдр.
3
2
1
5
4
6
7
8
9
Рис. 26. Простые формы кристаллов тетрагональной сингонии
На рисунке 27 представлены стереографические проекции элементов симметрии семи классов тетрагональной сингонии
Ориентировка кристаллов при проектировании (рисунок 27)
С координатными осями X,Y совмещают:
- либо оси L2 (в 1, 4 и 6 классах симметрии);
- либо перпендикуляры к вертикальным плоскостям симметрии (в
3 классе симметрии);
- либо направления, параллельные двум взаимно перпендикулярным ребрам (в 2, 5 и 7 классах симметрии).
С координатной осью Z совмещают оси симметрии L4 или L24.
Единичная грань – грань тетрагональных пирамиды, бипирамиды
и тетраэдра.
36
_
X
_
X
1) L44L25PC
Y_
2) L4PC
Z
C
Y_
Y
+
X
+
X_
3) L44P
Y_
5) L4
_
Y
_
Y
C
Y
+
X
+
X
_
4) L44L2
Z
_Y
Y
+
X
+_
X
Z
6) L24 L22P
_
Y
+
Y
_X
Z
Z
Y
+
+X_
X
Z
+
Y
X+
+ X
7) L24
Z
+
Y
X+
Рис. 27. Стереографические проекции элементов симметрии
37
Тригональная сингония
Необходимым условием отнесения кристаллов к тригональной
сингонии является наличие одной оси третьего порядка L3 или зеркально-поворотной оси шестого порядка L36.
Элементарная ячейка кристаллов тригональной сингонии имеет
форму ромбоэдра.
В тригональной сингонии выделяют семь классов симметрии:
1. L3 3L2 4P
2. L3 3L2
3. L3 3P
4. L3 P
5. L3
6. L36 3L2 3P C
7. L36 C
Простые формы кристаллов тригональной сингонии (рисунок 24):
1. Тригональная пирамида – три наклонные грани, сходящиеся в
одной вершине, через которую проходит L3. Сечение перпендикулярное ей – равносторонний треугольник.
2. Дитригональная пирамида – шесть наклонных граней, образующих тригональную пирамиду, каждая грань которой разделена на
две равные, симметрично расположенные грани. Сечение перпендикулярное L3, имеет вид равностороннего 6-угольника с углами, равными через один.
3. Тригональная бипирамида – шесть наклонных граней, образующих две одинаковые пирамиды, сложенные основаниями. Сечение,
перпендикулярное L3, имеет вид равностороннего треугольника.
4. Дитригональная бипирамида – двенадцать наклонных граней,
образующих две одинаковые дитригональных пирамиды, сложенные
основаниями.
5. Тригональная призма – три вертикальные грани, параллельные
L3, поперечное сечение имеет вид равностороннего треугольника.
6. Дитригональная призма – шесть вертикальных граней, образующих тригональную призму, каждая грань которой разделена на две
равные, симметрично расположенные грани. Сечение, перпендикулярное L3, имеет вид равностороннего 6-угольника с углами, равными
через один.
7. Тригональный трапецоэдр – шесть наклонных граней, имеющих форму 4-угольника с двумя равными смежными сторонами. Эта
38
форма похожа на бипирамиду, у которой нижняя часть расположена
асимметрично верхней и поэтому не имеет плоскостей симметрии.
8. Ромбоэдр – шесть наклонных граней, имеющих форму ромба.
Чередуясь, три из них сходятся к верхней вершине кристалла, три – к
нижней. Характеризуется наличием зеркально-поворотной оси L36.
9. Скаленоэдр – двенадцать граней, сгруппированных попарно,
каждая из которых имеет вид разностороннего треугольника. Три пары нижних граней располагаются симметрично между тремя парами
верхних. Эта простая форма характеризуется наличием зеркальноповоротной оси L36.
10. Пинакоид.
11. Моноэдр.
В сложных формах кристаллов тригональной сингонии могут
участвовать простые формы гексагональной сингонии.
Ориентировка кристаллов при проектировании (рисунок 25).
3
2
1
4
5
6
7
8
9
Рис. 28. Простые формы кристаллов тригональной сингонии
С осью Z совпадает L3 или L36. В остальном ориентировка аналогична кристаллам гексагональной сингонии.
39
Единичная грань – грань тригональных пирамиды или бипирамиды. В сложных формах, также как и в гексагональной сингонии, различают формы 1-го, 2-го и 3-го рода.
_
_
+
+
2) L33L2 U
1) L33L24P
X
U
X
Z
Y
Y
3) L33P
X_
U
+
_
Y
_
Y
Z
С
+
X
C
+
X
+
Y
_
U
_
X
+
U
_
Y
U
_
X
Z
_
Y
_
U
+
X
7) L36 C
X
+
+
Y
Z
X_ +
Y
Z
+
6) L36 3L23PC U
_
X
+
U
_
U
U
+
Y
_
U
+
X
5) L3
4) L3P
_
+
Y
Z
Y
+
X
_
U
+
X
Z
Y
+
Y
_
U
Рис. 29. Стереографические проекции элементов симметрии
40
На рисунке 29 представлены стереографические проекции элементов симметрии семи классов тригональной сингонии.
Порядок работы. В качестве исходных служат модели кристаллов, отличающиеся между собой набором элементов симметрии. Для
приобретения навыков в определении символов граней, рекомендуется определить их на 4–5 моделях кристаллов изучаемых сингоний
средней категории, с последующей их зарисовкой в тетрадь для практических занятий.
Выводы студенты делают под зарисовкой каждого из изучаемых
кристаллов с определенными ими элементами симметрии, индексами
граней, простыми формами, сингонией кристалла. Выполненные каждым студентом зарисовки проверяет ведущей практические занятия
преподаватель, делающий отметку в своем журнале. В последующем
тетрадь с выполненными практическими работами предъявляется в
конце семестра для зачтения и получения допуска к зачету.
Список рекомендуемой литературы
1. Шаскольская М. П. Кристаллография: Учеб. пособие для втузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 1984. 376 с.
2. Егоров-Тисменко Ю. К. Кристаллография и кристаллохимия:
Учеб. для вузов. 2-е изд. М.: КДУ, 2010. 587 с.
3. Шафрановский И. И. Краткий курс кристаллографии: Учеб. для
вузов. М.: Высш. шк., 1984. 120 с.
41
ЗАНЯТИЕ 5
Кубическая сингония и виды симметрии
высшей категории
Цель работы: овладение студентами методами определения сингонии и категории кристалла на моделях кристаллов.
Необходимым условием отнесения кристаллов к кубической сингонии является присутствие четырех осей третьего порядка – 4L3.
Элементарная ячейка кристаллов кубической сингонии имеет
форму куба и обладает наивысшей симметрией (рисунок 30). Координатные оси X, Y, Z располагаются под углом 90 друг к другу. Параметры элементарной ячейки: a0 = b0 = c0;  =  =  = 90
В кубической сингонии выделяют пять
Z
классов симметрии:
1. 3L4 4L3 6L2 9P C
2. 3L4 4L3 6L2
3. 4L3 3L2 6P
4. 4L3 3L2 3P C
c
5. 4L3 3L2
Для кристаллов кубической сингонии
0
  b0
Y характерен изометрический (равновеликий)
a0 
облик. Среди простых форм кристаллов
этой сингонии выделяются основные и производные. Свое название они получают по
числу и форме граней (таблица 1, рисуX
нок 31).
Рис. 30. Элементарная
Ориентировка кристаллов при проектиячейка кристаллов
ровании (рис. 32, 33). С координатными
кубической сингонии
осями XYZ совмещают 3L4 (1 и 2 классы
симметрии) или 3L2 (3–5 классы симметрии).
Единичная грань – грань октаэдра или тетраэдра – отсекает равные единичные отрезки на координатных осях. Если единичная грань
в кристалле отсутствует, то можно в качестве единичных выбрать отрезки любой одинаковой длины по X, Y, Z.
Возможные положения проекций граней простых форм и элементов симметрии кристаллов кубической сингонии приведены на рисунках 32, 33.
42
Таблица 1
Простые формы кристаллов кубической сингонии
№
1
Основная
форма
Тетраэдр
Производная
форма
Кол-во
48
6
Форма
грани
Равносторонний треугольник
Равнобедренный треугольник
Четырехугольник
Несимметричный пятиугольник
Разносторонний треугольник
Равносторонний треугольник
Равнобедренный треугольник
Четырехугольник
Несимметричный пятиугольник
Разносторонний треугольник
Квадрат
24
Равнобедренный треугольник
4
2
Тригонтритетраэдр
12
3
4
Тетрагонтритетраэдр
Пентагонтритетраэдр
12
12
5
Тригонгексатетраэдр
(гексатетраэдр)
24
6
Октаэдр
8
7
Тригонтриоктаэдр
24
8
9
Тетрагонтриоктаэдр
Пентагонтриоктаэдр
24
24
10
Тригонгексаоктаэдр
(гексаоктаэдр)
11 Гексаэдр
(куб)
12
Тригонтетрагексаэдр
(пирамидальный
куб)
13 Ромбододекаэдр
12
14 Пентагондодекаэдр
12
15
Дидодекаэдр
24
43
Ромб с углами наклона
45 к двум координатным осям и параллельный третьей
Симметричный пятиугольник с углами
наклона 30 и 60 к
двум координатным
осям и параллельный
третьей
Четырехугольник
1
6
11
2
7
12
3
8
13
4
9
14
5
10
15
Рис. 31. Простые формы кристаллов кубической сингонии
44
1. 3L4 4L3 6L2 9P C
2. 4L3 3L2 6P
3. 4L3 3L2
4. 3L4 4L3 6L2
5. 4L3 3L2 3P C
Рис. 2832. Стереографические проекции элементов симметрии
пяти классов кубической сингонии
45
Порядок работы. В качестве исходных служат модели кристаллов, отличающиеся между собой набором элементов симметрии. Для
приобретения навыков в определении символов граней, рекомендуется определить их на 4–5 моделях кристаллов изучаемых сингоний
низшей категории, с последующей их зарисовкой в тетрадь для практических занятий.
Выводы студенты делают под зарисовкой каждого из изучаемых
кристаллов с определенными ими элементами симметрии, индексами
граней, простыми формами, сингонией кристалла. Выполненные каждым студентом зарисовки проверяет ведущей практические занятия
преподаватель, делающий отметку в своем журнале. В последующем
тетрадь с выполненными практическими работами предъявляется в
конце семестра для зачтения и получения допуска к зачету.
Список рекомендуемой литературы
1. Шаскольская М. П. Кристаллография: Учеб. пособие для втузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 1984. 376 с.
2. Егоров-Тисменко Ю. К. Кристаллография и кристаллохимия:
Учеб. для вузов. 2-е изд. М.: КДУ, 2010. 587 с.
3. Розин К. М. Практическая кристаллография: Учеб. пособие для
вузов. М.: МИСИС, 2005. 486 с.
46
ЗАНЯТИЕ 6
Реальные кристаллы низшей категории.
Спайность и отдельность кристаллов низшей категории
(на примере полевых шпатов)
Цель работы: овладение студентами методами определения
сингонии и категории реальных кристаллов на примере полевых
шпатов
Полевые шпаты и плагиоклазы
Название семейства – «полевые шпаты» (англ. feldspar) происходит от немецкого слова feldspat (h).
Минералы, относящиеся к этому семейству, представляют первостепенный научный интерес в связи с формами их кристаллов и способами двойникования. Из многих разновидностей минералов этого
семейства в качестве самоцвета используется лишь один – лунный
камень, обладающий красивым отливом.
Семейство состоит из трех конечных членов: ортоклаза и микроклина (калиевые полевые пшаты), альбита (натровый полевой
пшат) и анортита (известковый полевой шпат). Четвертым членом
является цельзиан (бариевый полевой шпат), который встречается
очень редко. Ортоклаз (и микроклин) и альбит являются крайними
членами щелочных полевых шпатов. Альбит и анортит слагают еще
один очень важный ряд минералов – плагиоклазы. Кроме того, существует ряд минералов, крайними членами которого являются ортоклаз и цельзиан.
Ортоклаз и микроклин имеют одинаковый химический состав,
будучи калиевыми алюмосиликатами с единой формулой, однако они
отличаются своими физическими свойствами. Ортоклаз имеет моноклинную, а микроклин – триклинную сингонию, но углы между соответствующими гранями кристаллов очень близки. Например, угол
между двумя направлениями совершенной спайности, которые параллельны двум наиболее обычным граням, составляет у ортоклаза 90°, а
у микроклина 89°30' – разница равна лишь половине градуса. Оба минерала образуют двойники; сетка полисинтетических двойников столь
характерна для микроклина, что служит его диагностическим признаком. Ортоклаз иногда бывает бесцветным или желтым. Обычно же оба
минерала белые или серые, за исключением амазонита, который
47
окрашен в яркий медно-зеленый цвет. Как ортоклаз, так и микроклин
являются в соответствии с типом симметрии оптически двуосными
минералами; оптический знак у обоих – отрицательный. Величины
наименьшего и наибольшего главных показателей преломления равны
1,518–1,522 и 1,526–1,530. Следует отметить, что чистый желтый ортоклаз с Мадагаскара обладает большими величинами показателей
преломления – 1,522 и 1,527– благодаря присутствию железа, которое
является причиной окраски этого минерала. Плотность же его нормальная. Плотность ортоклаза и микроклина 2,56. Моос выбрал ортоклаз в качестве стандартного минерала для своей шкалы твердости и
приписал ему балл, равный 6. Твердость микроклина может быть несколько выше: от 6 до 6,5. Оба минерала обладают двумя направлениями отличной спайности, которые располагаются или под прямым углом, или почти под прямым углом друг к другу. Блеск стеклянный; на
плоскостях спайности может быть жемчужным. Дисперсия у всех полевых шпатов невелика и для интервала В – G равна всего 0,012.
Ортоклаз получил свое название из-за того, что направления его
спайности расположены под прямым углом друг к другу (от греческих
слов "прямой", "расщепление"). Микроклин (англ. microcline) – английская форма немецкого слова mikroklin, которое происходит от
греческих слов "малый" и "наклоняться". Название указывает на то,
что плоскости спайности в кристаллах микроклина образуют угол,
несколько отличающийся от прямого. Чистый или почти чистый ортоклаз известен как адуляр. Это название происходит от названия массива Адула в Швейцарии, где эти чистые кристаллы с небольшим количеством граней были впервые найдены. В действительности местонахождением адуляра является район Сен-Готарда, а не массив Адула,
но раньше это последнее название прилагалось ко всем Центральным
Альпам, включая Сен-Готард. Санидин – разновидность, представленная стеклоподобными таблитчатыми кристаллами. Название происходит от греческого слова "табличка".
Альбит – натровый полевой шпат, является конечным членом ряда плагиоклазов. Он кристаллизуется в триклинной сингонии, но углы
между гранями его кристаллов почти равны углам между соответствующими гранями кристаллов ортоклаза. Как и у других полевых
пшатов, кристаллы альбита часто сдвойникованы. Альбит может быть
бесцветным, но обычно он имеет серую окраску различных оттенков.
Кристаллы его обладают двумя направлениями хорошей спайности,
которые наклонены под углом 86°24'. Альбит – оптически двуосныи
положительный минерал; величины наименьшего и наибольшего по48
казателей преломления равны 1,525 и 1,536. Плотность альбита – 2,62,
твердость – 6–6,4 по шкале Мооса. Блеск стеклянный, на плоскостях
спайности бывает жемчужным. Альбит получил свое название от латинского слова albus (белый). Название «плагиоклаз» происходит от
греческих слов "косой" и "расщепление" и указывает на то, что угол
между плоскостями спайности у этих минералов заметно отличается
от прямого.
Анортит – другой конечный член ряда плагиоклазов – является
известковым полевым шпатом. Он также кристаллизуется в триклинной сингонии – факт, на который указывает его название, происходящее от двух греческих слов: "не" и "прямой". Такое название, однако,
не вполне удачно, потому что существует другое греческое слово,
правда редко употребляемое, в котором первый слог имеет другое
значение и которое в целом означает «прямой», т. е. имеет прямо противоположный смысл. Анортит обладает обычной парой направлений
совершенной спайности с углом между ними, равным 85°50', и кристаллы его часто сдвойникованы. Обычно он белый или бесцветный.
Анортит – оптически двуосный отрицательный минерал. Величины
наименьшего и наибольшего показателей преломления равны 1,576 и
1,588. Плотность его – 2,76, а твердость – 6 по шкале Мооса. Блеск
такой же, как у альбита.
В целях удобства промежуточные члены ряда плагиоклазов получили собственные названия. Если мы обозначим чистый альбит символом Аb, а чистый анортит символом An, то с помощью этих символов можно представить следующие промежуточные члены ряда.
Ниже приведены некоторые физические свойства различных членов ряда плагиоклазов, причем цифры в скобках – отношение альбитовой и анортитовой составляющих. Указаны наименьший и
наибольший показатели преломления.
Оптический знак, положительный у альбита, меняется на отрицательный у олигоклаза, затем вновь на положительный у андезина и
снова на отрицательный у членов ряда, занимающих промежуточное
положение между лабрадором и битовнитом.
Олигоклаз получил свое название из-за ошибочного мнения, согласно которому его спайность хуже, чем у альбита (от греческих слов
"малый" и "расщепление"). Остальные названия происходят от названий месторождений, где были впервые встречены соответствующие
минералы: Анды в Южной Америке, полуостров Лабрадор в Северной
Америке и город Битоун (ныне Оттава) в Канаде.
49
Таблица 2
Плагиоклазы
Минерал
Альбит
(1:0)
Олигоклаз
(4:1)
Андезин
(3:2)
Лабрадор
(2:3)
Битовнит
(1:4)
Анортит
(0:1)
Показатель
преломления
меньший
больший
Плотность
Угол между
плоскостями
спайности
1,525
1,538
2,62
86°24'
1,538
1,547
2,65
86°32'
1,550
1,557
2,68
86°14'
1,558
1,567
2,70
86°04'
1,567
1,576
2,73
85°56'
1,576
1,590
2,76
85°50'
Некоторые ювелирные разности полевых шпатов обладают особой привлекательностью благодаря оптическим эффектам, обусловленным присутствием правильно ориентированных включений.
Именно такой структуре обязан своим сиянием лунный камень,
который является единственным полевым шпатом, прочно удерживающим высокое положение в мире драгоценностей. Структура определяется наличием тонких срастаний ортоклаза и альбита в виде слойков, причем, чем тоньше эти слойки, тем глубже прекрасное голубое
сияние, которое так восхищает знатоков и ценителей драгоценных
камней. Если слойки относительно толстые, сияние имеет обычный
белый цвет и не столь привлекательно. Явление различимо лишь тогда, когда свет отражается от указанных слойков.
Перистерит – плагиоклаз, отвечающий по составу альбитолигоклазу и состоящий из тонкого срастания участков, обогащенных либо
натрием, либо кальцием.
Лабрадор обладает красивой игрой цветов на плоскостях спайности при взгляде в соответствующем направлении. Эта иризация обусловлена листоватым характером структуры, причем отдельные слойки располагаются параллельно менее совершенной спайности в результате полисинтетического двойникования. Собственный цвет этого
минерала серый и довольно непривлекательный, но он служит хорошим фоном для сверкающих бликов зеленого, желтого или красного
цвета, которые пробегают по нему, когда камень поворачивают из
50
стороны в сторону. Черный, лунный камень – темный лабрадор с игрой синеватого цвета.
Солнечный камень – полевой шпат, который светится желтоватым или красноватым светом благодаря отражению от кристалликов
железистых минералов (гематита или гётита), рассеянных в кристалле-хозяине. Он получил такое название, потому что предполагали,
будто он обладает свойством самосвечения. Когда кристаллики включения имеют чешуйчатую форму, они вызывают своеобразное мерцание, и камень называется в этом случае авантюриновым полевым
шпатом. Правильное расположение одной кристаллической фазы в
виде включений внутри другой часто обусловлено распадом при
охлаждении твердого раствора, который был однородным при высокой температуре. Например, перистерит, если его выдерживать при
температуре свыше 1000 °С в течение нескольких дней, становится
однородным и приобретает структуру, характерную для высокотемпературного натрового плагиоклаза. Оптические эффекты, свойственные
таким составным кристаллам, часто описывались немецким словом
schiller (блеск, иризация), поначалу употреблявшимся для обозначения одной из разновидностей ромбического пироксена. Однако этот
термин, к сожалению, стал охватывать несколько видов оптических
явлений.
Гиалофан – редкий бариевый ортоклаз, который получил название от двух греческих слов – "стекло" и "казаться" из-за стеклоподобного вида его кристаллов, напоминающих кристаллы адуляра.
Лунный камень неизменно обрабатывают в виде кабошона таким
образом, чтобы выявить его своеобразное сияние, а лабрадору обычно
придают вид плоских пластинок, вырезанных параллельно листоватости. Прозрачные бесцветные или желтые ортоклазы иногда подвергают огранке как любопытную редкость. Такие камни можно спутать с
кварцем, потому что их показатели преломления, двупреломления и
плотности весьма близки. Правда, кварц заметно тверже ортоклаза,
однако испытание на твердость надо проводить с осмотрительностью,
чтобы не повредить определяемый камень. Тщательное исследование
с помощью рефрактометра позволяет различить эти минералы, поскольку они имеют противоположный оптический знак. Кварц оптически положительный, и поэтому тень, соответствующая меньшему
показателю преломления, сохраняет неизменное положение, тогда как
ортоклаз оптически отрицательный минерал, и неподвижная тень соответствует большему показателю преломления. Ортоклаз оптически
51
двуосный, но его средний показатель преломления всего лишь на
0,002 меньше наибольшего показателя преломления.
Сами по себе полевые шпаты используются в промышленности
главным образом как составная часть шихт глазурей, фарфора и фаянса. Но когда они подвергаются выветриванию и, разрушаясь, переходят в фарфоровые глины, почву и т. д., они приобретают важное значение в производстве керамических изделий, в сельском хозяйстве и т.
д. Они встречаются в изверженных и метаморфических породах и
служат одной из основ для классификации этих пород. Эти минералы
широко распространены, но полевошпатовые ювелирные материалы
встречаются сравнительно редко.
Лунный камень часто встречается в галечниках вместе с другими
самоцветами на юге Цейлона, а также в жилах в центральных и южных провинциях острова. Для этих камней характерен белый цвет, но
некоторые кристаллы обладают голубым сиянием, которое очень высоко ценится. Лунные камни из района Кангаиам в Южной Индии
включают как «кошачий глаз», так и звездчатые разновидности. Ювелирный материал, сравнимый по качеству с цейлонскими камнями,
найден в 1958 г. в речных галечниках близ Оливера в шт. Виргиния в
США. Красивые голубые лунные камни добывают в Бирме. Лунные
камни встречаются также на Мадагаскаре и в Танзании.
Как уже отмечалось выше, наиболее красивые образцы бесцветного ортоклаза-адуляра впервые были обнаружены в районе СенГотарда в Швейцарии, но ныне они встречаются редко. Позднее на
Мадагаскаре нашли золотисто-желтый ортоклаз, цвет которого обусловлен окисью железа, замещающей часть глинозема.
Ювелирный перистерит встречался преимущественно в Канаде –
в Вильнев-Майне, в Квебеке и в окрестностях Батерста в провинции
Онтарио. Хороший материал происходит также из округа Эссекс в шт.
Нью-Йорк в США.
Лабрадор в огромных количествах встречается на побережье полуострова Лабрадор, где он известен с 1770 г., а также в северовосточном Квебеке в Канаде и на острове Ньюфаундленд. Большие
его скопления имеются на Украине. Красивый амазонит найден в
Амелии, в округе Амелия в шт. Виргиния в США. Крупным месторождением этого минерала является гора Кристал-Пик, расположенная по соседству с горой Пайкс-Пик в шт. Колорадо. Он встречен также, хотя и не в таком количестве, в Кашмире и на Урале. Несмотря на
название, этот минерал не встречается в районе реки Амазонки в Южной Америке. Это объясняется тем, что голубовато-зеленый полевой
52
шпат спутали с каким-то другим зеленым минералом, возможно жадом. Искристые солнечные камни происходят из округа Модок в шт.
Калифорния в США, с реки Селенги, впадающей в озеро Байкал и из
Тведестранна в Норвегии.
Порядок работы. В качестве исходных служат образцы кристаллов полевых шпатов, отличающиеся между собой набором элементов
симметрии. Для приобретения навыков в определении символов граней, рекомендуется определить их на 4–5 образцах, с последующей
записью всех определенных свойств в тетрадь для практических занятий.
Выводы студенты делают под зарисовкой каждого из изучаемых
кристаллов с определенными ими элементами симметрии, индексами
граней, простыми формами, сингонией кристалла. Выполненные каждым студентом зарисовки проверяет ведущей практические занятия
преподаватель, делающий отметку в своем журнале. В последующем
тетрадь с выполненными практическими работами предъявляется в
конце семестра для зачтения и получения допуска к зачету.
Список рекомендуемой литературы
1. Шаскольская М. П. Кристаллография: Учеб. пособие для втузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 1984. 376 с.
2. Егоров-Тисменко Ю. К. Кристаллография и кристаллохимия:
Учеб. для вузов. 2-е изд. М.: КДУ, 2010. 587 с.
3. Розин К. М. Практическая кристаллография: Учеб. пособие для
вузов. М.: МИСИС, 2005. 486 с.
53
ЗАНЯТИЕ 7
Реальные кристаллы низшей категории.
Спайность и отдельность кристаллов средней категории
(на примере кварца и кальцита)
Цель работы: овладение студентами методами определения сингонии и категории реальных кристаллов на примере кварца и
кальцита.
Кварц
Кварц (с нем. Querklufter – руда секущих жил) – главный минерал
семейства кремнезёма, SiO2, широко распространён в литосфере. Содержит в небольших количествах примеси Al, Fe, Ca, Mg, Ti, Na, К, Li,
ОН и др.
Установлено 12 полиморфных модификаций кристаллического
SiO2, из них основные – α-кварц (тригональный низкотемпературный),
β-кварц (гексагональный высокотемпературный), β2-тридимит (гексагональный), b-кристобалит (кубический). Все они устойчивы при
нормальном давлении, образование их определяется температурой
среды. При давлении свыше 2 ГПа образуется моноклинный коэсит,
свыше 10 ГПа – самая плотная модификация кварца – гексагональный
стишовит.
Кристаллическая структура α- и β-кварца представлена каркасом
из связанных вершинами [SiO4]-тетраэдров, спирально закрученных
вдоль тройных осей симметрии, вследствие чего различаются правые
и левые энантиоморфные формы.
Кварц выделяется в виде отдельных зёрен, хорошо огранённых
призматических, редко ромбоэдрических кристаллов, зернистых и шестоватых агрегатов, сливных микроволокнистых и сферолитовых масс
(халцедон). Параморфозы α-кварца по кристаллам β-кварца имеют
дипирамидальный облик. Широко развиты параллельные двойники
прорастания одноимённых левых или правых форм (дофинейские),
разноимённых (бразильские) и их комбинация (Дейдольта-Либиша).
Характерны ориентированные сростки кварца с полевыми шпатами
(графический пегматит), рутилом, кальцитом и др. Несовершенная
спайность по ромбоэдру, призме, пинакоиду.
Разновидности кварца:
горный хрусталь – водянисто-прозрачный крупнокристаллический;
54
дымчатый кварц (раух-топаз) – дымчато-бурый;
морион – слюдяно-чёрный,
цитрин – жёлтый, оранжевый;
аметист – фиолетовый;
розовый кварц.
Окраска кварца часто обусловлена микровключениями других
минералов: празем – светло-зелёный кварц с включениями актинолита
или хлорита; авантюрин – золотисто-жёлтый или буровато-красный с
мерцающим отливом тонкозернистый агрегат кварца с включениями
гематита, слюды и др.; кошачий глаз – зеленоватые, оранжево-жёлтые
с шелковистым отливом псевдоморфозы кварца по асбесту; соколиный
глаз – синеватые с шёлковым отливом псевдоморфозы кварца по крокидолиту; тигровый глаз – полосчатые, золотистые или тёмно-бурые с
шелковистым отливом псевдоморфозы кварца по амфибол-асбесту.
Микроскопический радиально-лучистый или параллельно-волокнистый кварц – халцедон. Концентрически-зональный агрегат халцедона
– агат. Тонкопорошковая разность кварца – маршалит.
Двойники кварца наблюдаются весьма часто и по разным законам.
1. Дофинейские двойники столь совершенно прорастают друг
друга, что похожи на простые кристаллы, от которых они отличаются
тем, что грани трапецоэдра х наблюдаются в удвоенном количестве и
выводятся друг из друга поворотом вокруг вертикальной оси не на
120°, а на 60°. Грани призмы обоих индивидов сливаются, а грани
ромбоэдра r совпадают с гранями ромбоэдра z. Оптические оси обоих
индивидов параллельны, и потому двойниковое строение можно установить только путем травления. Двойниковые швы извилистые.
2. Бразильские двойники отличаются от дофинейских тем, что в
них грани трапецоэдров, наблюдающиеся в двойном количестве, выводятся иначе: отражением в вертикальной плоскости. Двойниковое
строение легко обнаруживается в поляризованном свете и путем травления. В отличие от строения дофинейских двойников, здесь мы
наблюдаем прямолинейные двойниковые швы.
3. Японские двойники по тригональной дипирамиде {1122}; индивиды наклонены друг к другу под углом 84°34'.
В пустотах широко распространены друзы кристаллов кварца
иногда в срастании с кристаллами других минералов. Сплошные же
массы кварца представляют зернистые агрегаты. Строение плотных
агрегатов легко устанавливается в тонких шлифах под микроскопом
при скрещенных николях. Халцедон, обладающий скрытоволокни55
стым строением, часто наблюдается в виде корок, натечных почковидных форм или сферолитов, но чаще в виде желваков, носящих
название кремней. Агаты (кремнистые жеоды) имеют концентрически-зональное строение, обусловленное перемежаемостью различно
окрашенных слоев халцедона, иногда кварца. Центральные части жеод нередко сложены кристаллически-зернистым кварцем, иногда в
виде щеток кристаллов.
Цвет кварца может быть самый различный, но обычно распространены бесцветные, молочно-белые и серые окраски. Прозрачные
или полупрозрачные красиво окрашенные разности носят особые
названия:
1) горный хрусталь – бесцветные водянопрозрачные кристаллы;
2) аметист – фиолетовые разности;
3) раухтопаз – дымчатые прозрачные разности, окрашенные в сероватые или буроватые тона;
4) морион – кристаллы кварца, окрашенные в черный цвет;
5) цитрин – золотисто-желтые или лимонно-желтые кристаллы.
Кроме перечисленных прозрачных разностей кварца, наблюдаются явно аллохроматически окрашенные кристаллы кварца благодаря
включениям посторонних минералов, также имеющие свои названия:
 празем – зеленоватый кварц с включениями иголочек зеленого
актинолита;
 авантюрин – желтоватый или буровато-красный кварц с мерцающим отливом, обусловленным мельчайшими включениями слюды, железной слюдки (Fe2O3) и др.
Широко распространенный в гидротермальных месторождениях
молочно-белый цвет кварцевых масс в одних случаях обязан содержанию в них большого количества микроскопических жидкостей и газов. Почти всегда в жидких включениях наблюдается подвижной пузырек газа, по которому легко узнается жидкость, а иногда даже кристаллики NaCl (рис. 190). При нагревании до определенной температуры эти кристаллики растворяются, затем исчезают пузырьки газа и
образуется однородная жидкая фаза. При охлаждении она вновь становится неоднородной. Таким путем можно установить примерно, при
какой температуре мог произойти захват этих жидких фаз в процессе
кристаллизации кварца. В других случаях молочно-белый цвет кристаллов кварца обусловлен сильной трещиноватостью, возникшей при
динамических воздействиях (подобно тому, как совершенно прозрачный лед при ударе молотком в поврежденном месте становится молочно-белым).
56
Халцедон чаще, чем кристаллический кварц, бывает окрашен в
самые различные цвета и оттенки: молочно-серый, синеваточерный (сапфирин), желтый, красный, оранжевый (сердолик), коричневый, бурый (сардер), зеленый (плазма), яблочно-зеленый от соединений никеля (хризопраз), зеленый с красными пятнышками (гелиотроп) и др.
Агаты или ониксы сложены часто тончайшими различно окрашенными концентрически-зональными или плоскопараллельными
слоями халцедона (рис. 191), могут иметь самые различные сочетания
оттенков: черного с белым (арабский оникс), бурого с белым (сардоникс), красного с белым (карнеолоникс) и др.
Тридимит – SiO2. "Тридимос" по-гречески – тройной (назван
вследствие часто наблюдаемых тройников). Более высокотемпературная модификация – β-тридимит гексагональной сингонии в области
неустойчивых состояний легко переходит в более низкотемпературную, близкую к ней по кристаллической структуре модификацию α-тридимит ромбической сингонии. При атмосферном давлении
α-тридимит с течением времени способен переходить в устойчивую
форму α-кварца. Превращение β-тридимита в β-кварц, т. е. модификация хотя и гексагональной сингонии, но весьма существенно отличающаяся по кристаллической структуре, происходит гораздо медленнее
и сопровождается значительным изменением объема и удельного веса.
Кристаллы α-тридимита, более устойчивого при низких температурах, наблюдаются в виде псевдогексагональных пластинок
(рис. 192) или чаще тройников с углом между пластинками 35°18'.
Встречаются также розетковидные или черепитчатые агрегаты. Цвет
α-тридимита белый, серовато-белый; иногда он бесцветный. Блеск
стеклянный. Ng = 1,473, Nm = 1,470 и Np = l,469. Твердость 6–7. Спайность несовершенная.
Кристобалит – SiO2. Название дано по местности Сан-Кристобал
(Мексика). Полиморфные модификации: более высокотемпературная – β-кристобалит кубической сингонии и низкотемпературная –
α-кристобалит. Этот последний относится к тетрагональной сингонии,
являясь в то же время псевдокубическим.
Кристаллы β-кристобалита обладают октаэдрическим обликом,
реже они имеют кубическую или скелетную форму. Встречаются
двойники по (111). Цвет молочно-белый. Блеск стеклянный.
Nm = l,49. Твердость 7. Легко получается при образовании кварцевого
стекла, а также кристаллизуется при обжиге динасовых кирпичей.
57
Встречается в быстро остывших эффузивных породах, часто совместно с α-тридимитом: в андезитах Сан-Кристобала (Мексика), лавах
Майна в Рейнланде (Германия), Иеллоустонском парке (США) – в виде шариков (сферолитов) до 1 мм в обсидиане (вулканическом стекле),
а также в пустотах, иногда с наросшими пластинками тридимита на
кристалликах кристобалита.
Известны и другие способы образования β-кристобалита, а именно при воздействии базальтовой магмы на кварцсодержащие осадочные породы (песчаники). Кристобалит в этих случаях образуется за
счет кварца при высокой температуре. Подобные образования представлены, например, глинистыми песчаниками верхнетретичного возраста Западной Грузии.
Кальцит
Кальцит (от лат. calcite, calc spar) – минерал класса карбонатов,
CaCO3. Образует неполные изоморфные ряды с карбонатами Mn, Fe2+,
Mg. Известны также небольшие примеси Со, Zn, Sr, Ba, Pb, TR. Кристаллизуется в тригональной сингонии. Структура островная. Представляет собой искажённую структуру NaCl, в которой атомы Na заменены атомами Ca, атомы Cl – группами [CO3], а кубическая гранецентрированная ячейка сжата по тройной оси до ромбоэдрической
гранецентрированной. Образует правильные кристаллы – призматические, таблитчатые, ромбоэдрические, скаленоэдрические и более
сложной формы. Их морфология и ряд других свойств (например,
люминесценция) имеют ярко выраженный типоморфный характер.
Обычно двойникование, в т. ч. полисинтетическое, по базопинакоиду (т.н. кальцитовый закон). Часты параллельные и субпараллельные сростки. Спайность совершенная по ромбоэдру. На плоскостях
спайности характерна штриховка полисинтетического двойникования.
Для кальцита характерны также зернистые агрегаты, друзы, сталактиты и сталагмиты, конкреции, сферолиты, оолиты, пизолиты; плотные,пористые, тонкочешуйчатые, мучнистые и волокнистые скопления; песчанистый кальцит (до 50 % песчинок); тонкополосчатые полупрозрачные разности (мраморный оникс) и др.
Установлены многочисленные псевдоморфозы кальцита по арагониту, гипсу, бариту, целестину, ангидриту и ряду других минералов.
Бесцветный и прозрачный кальцит – исландский шпат. Кальцит может
быть окрашен изоморфными и механическими примесями в оттенки
серого, жёлтого, красного, бурого, зелёного и чёрного цвета. Часто
белый. Блеск стеклянный до перламутрового. Хрупкий. Твёрдость 3.
58
Если кубическую решетку NaCl сдавить вдоль тройной оси
настолько, что углы между гранями станут равными 101°55', то получится ромбоэдрическая гранецентрированная решетка кальцита, причем ионы Са займут места Na, а группы [СO3]-места Сl. Таким образом, упаковка ионов в кальците отвечает несколько искаженной упаковке, произведенной по способу плотнейшей кубической кладки
структурных единиц.
Кристаллическая структура арагонита-ромбической модификации
СаСO3 от структуры кальцита отличается лишь тем, что ионы Са2+ и
[СO3]2– упакованы по способу плотнейшей гексагональной кладки.
Этим обстоятельством обусловливается наблюдающаяся псевдогексагональная симметрия тройников кристаллов (углы между гранями
призмы в единичных кристаллах лишь немного отличаются от 60 и
120°). Как в решетке кальцита, так и в решетке арагонита каждый ион
[СO3]2– окружен шестью ионами кальция. Насколько можно судить по
разнице удельных весов, кристаллическая структура арагонита более
плотна, чем структура кальцита.
Другой характерной особенностью минералов группы кальцита
является склонность к образованию изоморфных смесей и двойных
солей. В кальцитовом ряде, как и следовало ожидать, согласно соотношениям размеров ионных радиусов катионов, широко замещают
друг друга Mg, Zn и Fe2+.
Точно также карбонаты Fe2+ и Мn2+ образуют непрерывный ряд
изоморфных смесей. Что касается Са, то этот элемент в силу существенного отличия величины его ионного радиуса от предыдущих катионов (за исключением Мn2+) может образовывать лишь двойные
соли с ними. Ионы кальция и магния (или другие малые катионы) в
кристаллических решетках располагаются попеременно вдоль тройной оси. Благодаря этому симметрия двойных солей кальцитового ряда несколько снижается: вместо дитригонально-скаленоэдрического
вида симметрии (L63L23РС) имеем ромбоэдрический (L63C), т. е. исчезают двойные оси, проходящие через центральный ион углерода и
кислородные ионы, с ним связанные.
Облик кристаллов, встречающихся исключительно в пустотах,
может быть самым разнообразным. Наиболее часто встречаются скаленоэдрические кристаллы, реже таблитчатые или пластинчатые,
призматические или столбчатые, ромбоэдрические – чаще в виде острых, чем тупых ромбоэдров. Число установленных на кристаллах простых форм достигает нескольких сотен. Чаще всего встречаются грани
призмы {1010}, ромбоэдров {0112}, {0221}, {4041}, скаленоэдра
59
{2131}, пинакоида {0001} и другие. Обычно двойниковой плоскостью
является плоскость пинакоида (0001) или грань тупого ромбоэдра
(0112), по которой нередко образуются полисинтетические двойники в
мраморах и смятых известняках (такое двойникование может быть
получено искусственно при давлении острия ножа на ребро выбитого
по спайности осколка кальцита). Реже такой плоскостью является
грань спайного ромбоэдра (1011) и др.
Друзы кристаллов кальцита вместе с другими минералами
наблюдаются, как уже указано, в пустотах. Довольно часто встречаются крупнозернистые агрегаты прозрачного или полупрозрачного
кальцита с совершенной спайностью отдельных зерен, бросающейся в
глаза. Редко наблюдается жилковатый с шелковистым блеском асбестовидный кальцит (атласный шпат), волокна которого располагаются перпендикулярно к стенкам трещин в породах. Широко известны
натечные образования кальцита в виде сталактитов и сталагмитов в
пещерах среди известняков. Зернистые сплошные агрегаты в больших
плотных массах называются мраморами. Плотные скрытокристаллические разности кальцитовых горных пород, нередко слоистых и богатых фауной, носят название известняков. Рыхлые известняки, содержащие мельчайшие раковинки фораминифер, известны под названием
мела. Встречаются также оолитовые известняки – икряной камень.
Известковым туфом, или травертином, называют ноздреватые образования углекислого кальция, возникающие в местах выхода как холодных, так и горячих насыщенных известью минеральных источников
(кальцит в этих случаях образуется при перекристаллизации выпавших коллоидов СаСO3 или арагонита). Иногда в связи с отложением
углекислой извести из горячих источников образуются замечательные
по рисунку тонкополосчатые полупрозрачные плотные разности, известные под названием мраморного оникса.
Исландский шпат (по месту обнаружения первого крупного месторождения в Исландии Iceland spar) – прозрачная крупнокристаллическая разновидность кальцита, ценное оптическое сырьё. Бесцветный
или окрашен главным образом в жёлтый цвет за счёт незначительных
примесей железа, марганца и, возможно, битумов. Характерны двойники роста. Образуется из гидротермальных бикарбонатно-хлоридных
растворов в полостях основных эффузивных и карбонатных пород.
Благодаря высокому двулучепреломлению света (0,172) и хорошей
прозрачности в видимой и ультрафиолетовой области спектра используется в оптических и оптоэлектронных системах для поляризации
света и управления световыми потоками.
60
Применяется монокристаллический материал, лишённый трещин
и содержащий ограниченное количество твёрдых и газово-жидких
включений, получаемый путём обкалывания по спайности и распиловки кристаллов на пинакоидальные пластины.
Оникс мраморный – горная порода натёчного происхождения, состоящая из плотного, просвечивающего агрегата зёрен и волокон
кальцита или арагонита. Характерен ленточный рисунок, образующийся за счёт чередования слоев с различной степенью прозрачности
или разноокрашенных в зеленоватые, розоватые, золотистокоричневые тона.
Порядок работы. В качестве исходных служат образцы кристаллов кварц и кальцита, их разновидностей, отличающиеся между собой
набором элементов симметрии. Для приобретения навыков в определении символов граней, рекомендуется определить их на 4–5 образцах, с последующей записью всех определенных свойств в тетрадь для
практических занятий.
Выводы студенты делают под зарисовкой каждого из изучаемых
кристаллов с определенными ими элементами симметрии, индексами
граней, простыми формами, сингонией кристалла. Выполненные каждым студентом зарисовки проверяет ведущей практические занятия
преподаватель, делающий отметку в своем журнале. В последующем
тетрадь с выполненными практическими работами предъявляется в
конце семестра для зачтения и получения допуска к зачету.
Список рекомендуемой литературы
1. Шаскольская М. П. Кристаллография: Учеб. пособие для втузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 1984. 376 с.
2. Егоров-Тисменко Ю. К. Кристаллография и кристаллохимия:
Учеб. для вузов. 2-е изд. М..: КДУ., 2010. 587 с.
3. Розин К. М. Практическая кристаллография: Учеб. пособие для
вузов. М.: МИСИС, 2005. 486 с.
61
ЗАНЯТИЕ 8
Реальные кристаллы низшей категории.
Спайность и отдельность кристаллов высшей категории
(на примере группы гранатов)
Цель работы: овладение студентами методами определения сингонии и категории реальных кристаллов на примере минералов группы гранатов.
Гранаты
"Granatus" в пер. с латыни – подобный зернам. Название дано по
сходству цвета первоначально изученных кристалликов граната с цветом зернышек в плодах гранатового дерева. "Вениса" – старое русское
название гранатов. Происхождение названий отдельных минеральных
видов различно.
Пироп – от греческого "пиропос" – подобный огню; назван за его
тёмнокрасный цвет.
Альмандин – искаженное название местности Алабанда, где в старые времена гранили камни ("алабандская вениса" Плиния).
Спессартин – по местности Спессарт в Баварии.
Гроссуляр – так была названа бледно-зеленая разность (по ботаническому названию крыжовника); в 1790 г. она была открыта акад.
Э. Лаксманом по р. Вилюю (Восточная Сибирь).
Эссонит (гессонит) – железистая разновидность гроссуляра коричневого цвета из Цейлона.
Андрадит – по имени португальского минералога д'Андрада,
описавшего в 1800 г. марганцево-железистый гранат.
Демантоид – прозрачная зеленая разность андрадита (в россыпях
р. Бобровки на Урале).
Уваровит – в честь министра Уварова; открыт на Урале (анализ
был произведен акад. Г. И. Гессом в 1832 г.).
Шорломит является богатой титаном разновидностью андрадита.
Сингония кубическая; гексаоктаэдрический – 3L44L366L29PC.
Кристаллы вообще чрезвычайно характерны для гранатов. Наиболее
распространенной является форма ромбического додекаэдра (110},
реже встречается в комбинации с тетрагон-триоктаэдром {211}. Последняя форма может быть представлена и самостоятельно, причем
грани бывают покрыты штрихами, параллельными длинной диагонали. Крайне редко встречаются грани куба или октаэдра. Двойники
62
срастания по (210) представляют также большую редкость. Часто
встречаются в виде сплошных зернистых масс.
Таблица 3
Минерал и состав
Пироп – Mg3Al2[SiO4]3
Альмардин –
Fe3Al2[SiO4]3
Спессартин –
Mn3Al2[SiO4]3
Гроccуляр –
Ca3Al2[SiO4]3
Андрадит –
Ca3Fe2[SiO4]3
Уваровит –
Ca3Cr2[SiO4]3
Шорломит –
Са3(Аl,Fе,Ti)[Si,Ti)O4]3
Гранаты
Уд. вес
Цвет
3,51
Тёмно-красный, разоватокрасный, черный
4,25
Красный, буро-красный,
черный
4,18
Тёмно-красный, оранжевожелтый, бурый
3,53
Медово-желтый, бледнозеленый, бурый, красный
3,75
Желтый, зеленоватый, бурокрасный, черный
3,52
Изумрудно-зеленый
3,88
Черный, буровато-черный
N
1,705
1,830
1,800
1,735
1,895
1,870
2,0
Хромсодержащие гранаты обычно окрашены в ярко-зеленый
цвет, а иногда, при малом содержании хрома – в красный. В зеленый
цвет иногда окрашены и некоторые прозрачные разности андрадита
(демантоид). Вообще каких-либо строгих закономерностей окраски
гранатов в зависимости от их состава не установлено. Черта белая
или светло окрашенная в различные оттенки. Блеск жирный, стеклянный, иногда близкий к алмазному (андрадит) или алмазный (шорломит). Они увеличиваются по мере увеличения содержания FeO,
Fe2O3 и TiO2.
Твердость 6,5–7,5. Более высокой твердостью обладают альмандин, пироп и спессартин (7–7,5). Спайность несовершенная по {110},
обычно отсутствует.
К группе гранатов относятся 14 минеральных видов класса силикатов, подкласса островных силикатов, объединенные общим типом
кристаллической структуры, морфологическим сходством кристаллов
и близостью ряда физических свойств, несмотря на вариации в химическом составе.
Состав гранатов принято изображать общей формулой
А3В2[SiO4]3, где А = Mg, Fe, Mn, Ca и B = Al, Fe, Cr. В некоторых гранатах алюминий и Fe3+ могут занимать в кристаллической структуре
63
место кремния. Хотя реальные природные гранаты представляют собой изоморфные смеси или твердые растворы множества компонентов, тем не менее удается все же выделить относительно устойчивые
минеральные виды по преобладанию в их составе двух главных компонентов - одного из группы А, другого – из группы В.
15-й минеральный вид, включенный в группу гранатов, поскольку
он имеет ту же кристаллическую структуру, что и остальные 14, это
открытый в 1987 г. очень редкий минерал паленцонаит
(Ca,Na)3Mn2V3O12, принадлежит, однако, как видно из его формулы,
не к силикатам, а к ванадатам.
Есть структурно близкие гранатам виды среди арсенатов и других
природных соединений; вообще же соединения со структурой граната,
природные или синтетические, могут образовывать 40 химических
элементов, причем это вовсе не обязательно силикаты.
Существуют изоморфные ряды гранатов, в рамках которых смесимость возможна в различных пропорциях. Американский минералог
А. Н. Винчелл в начале 1950-х годов предложил выделять две подгруппы гранатов, охватывающие наиболее распространенные их типы:
пирольспиты, т. е. пироп, альмандин и спессартин и уграндиты – уваровит, гроссуляр, андрадит.
Альмандиновый ряд: пироп, альмандин, спессартин,
Андрадитовый ряд: гроссуляр, андрадит, уваровит.
Члены каждой подгруппы связаны между собой бинарными
изоморфными рядами: пироп – альмандин; альмандин – спессартин; уваровит – гроссуляр; гроссуляр – андрадит. С тех пор, как
Винчелл выделил эти две подгруппы, видовой состав всей группы
гранатов заметно расширился, в соответствии с чем к первой
подгруппе добавился кноррингит (образующий изоморфный ряд с
пиропом), а ко второй шорломит (изоморфный ряд андрадит – меланит – шорломит). Входящие в состав группы гранатов гидрогроссуляры (гибшит, или плазолит и катоит) тяготеют ко второй подгруппе.
Невзирая на существенные вариации состава, многие отличительные особенности гранатов, начиная с формы кристаллов, так близки,
что являются характерными для всей этой обширной группы минералов.
Сингония кубическая, гексоктаэдрический вид симметрии.
3L44L36L29PC.
64
Встречаются гранаты преимущественно в форме правильных
кристаллов, их сростков, щеток и друз, а также в виде вкраплений в
породе и сплошных мелкозернистых агрегатов.
Габитус кристаллов ромбододекаэдрический или тетрагонтриоктаэдрический, (ромбододекаэдр – настолько характерная форма кристаллов многих гранатов, что ее называют также гранатоэдр). Это
наиболее характерные простые формы, а также их комбинации.
Отмечают, что кристаллы в форме ромбододекаэдров более
обычны для кальциевых гранатов (уграндитов); особенно характерны
они для гроссуляра и уваровита, тогда как андрадит образует преимущественно комбинации ромбододекаэдров и тетрагонтриоктаэдров.
Тетрагонтриоктаэдрические кристаллы чаще встречаются у пиралъспитов (хотя для них также вовсе не запрещены ромбододекаэдры
или комбинации различных простых форм). Форма кристаллов нередко бывает искажена, в частности они могут быть уплощены, напоминая чечевицу, или вытянуты. Кристаллография гранатов не допускает
образования двойников, но неправильные сростки для них напротив
весьма характерны.
Структура гранатов состоит из изолированных групп (SiO4), расположенных вдоль винтовой оси четвертого порядка. Этим объясняется присущий гранатам ромбододекаэдрический и тетрагонтриоктаэдрический габитус кристаллов, причем изменение соотношения между
двухвалентными и трехвалентными катионами, по-видимому, может
быть ответственным за преобладание ромбододеаэдрического облика
для кальциевого ряда гранатов, а тетрагонтриоктаэдрического – для
алюминиевого.
Окраски гранатов весьма разнообразны и охватывают практически почти всю мыслимую палитру: среди всей "гранатовой радуги"
отсутствуют лишь голубые и синие тона; однако независимо от цвета
кристаллов цвет черты (или порошка) – белый. Блеск чаще всего стеклянный. Излом неровный до раковистого. Блеск в изломе у темных
гранатов – жирный. Редкий зеленый гранат демантоид (разновидность андрадита) отличается алмазным блеском и сильной дисперсией
(в ограненном виде "играет").
Гранаты очень хрупки, раскалываются на острые осколки. Спайность отсутствует, иногда отмечается скорлуповатая отдельность. На
гранях видна тонкая, но отчетливая штриховка, а также подчас скульптура в виде черепицы. В некоторых случаях наблюдаются фигуры
растворения.
65
Некоторым гранатам (особенно пиропам) присущ александритовый эффект. Изредка в гранатах проявляется астеризм: в кабошоне
видна 4-х, 6-и, 8-и лучевая звезда, у альмандина бывает даже 12-и лучевая. Хромофорами в гранатах служат Fe2+, Fe3+, Mn3+, Cr, Ti, изредка V. Подмечено, что при незначительной примеси Сr, замещающего
А1, окраска гранатов красная, а при больших – зеленая. Детально
природа окраски разбирается при описании видов и разновидностей
гранатов. В ювелирном деле используют главным образом пироп, альмандин, демантоид (наиболее ценный), реже гессонит ("коричный
камень") и топазолит, а также – гидрогроссуляр. Меланит и шорломит применяют при изготовлении траурных украшений.
Порядок работы. В качестве исходных служат образцы кристаллов минералов группы гранатов, отличающиеся между собой набором
элементов симметрии. Для приобретения навыков в определении символов граней, рекомендуется определить их на 4–5 образцах, с последующей записью всех определенных свойств в тетрадь для практических занятий.
Выводы студенты делают под зарисовкой каждого из изучаемых
кристаллов с определенными ими элементами симметрии, индексами
граней, простыми формами, сингонией кристалла. Выполненные каждым студентом зарисовки проверяет ведущей практические занятия
преподаватель, делающий отметку в своем журнале. В последующем
тетрадь с выполненными практическими работами предъявляется в
конце семестра для зачтения и получения допуска к зачету.
Список рекомендуемой литературы
1. Шаскольская М. П. Кристаллография: Учеб. пособие для втузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 1984. 376 с.
2. Егоров-Тисменко Ю. К. Кристаллография и кристаллохимия:
Учеб. для вузов. 2-е изд. М.: КДУ., 2010. 587 с.
3. Розин К. М. Практическая кристаллография: Учеб. пособие для
вузов. М.: МИСИС, 2005. 486 с.
66
ЗАНЯТИЕ 9
Методы исследования кристаллов: в отраженном и проходящем
свете. Ознакомление с поляризационным микроскопом
Цель работы: знакомство студентов с методами исследования
кристаллов в отраженном и проходящем свете с использованием поляризационного микроскопа.
Рентгенография. Поскольку все основные свойства кристаллов,
многие из которых делают их незаменимыми в различных областях
научной и производственной деятельности человека, определяются
как их составом, так и внутренним строением, т. е. закономерностями
расположения материальных частиц атомов и молекул, то особое значение при исследовании кристаллов приобретают методы, дающие
наиболее полные сведения об их атомной структуре – дифракционные
и спектроскопические методы, развитие которых связано с достижениями физики твердого тела. С помощью одних методов можно определить идеализированную структуру соединения с усредненным положением атомов, с помощью других – изучить реальную структуру с
ее более тонкими особенностями, дефектами. Среди дифракционных
наиболее распространены и доступны методы, основанные на дифракции рентгеновских лучей на кристаллах – так называемые рентгеноструктурный и рентгенофазовый методы анализа. Следует также отметить нейтронографический и электронографический методы,
получившие в последние годы широкое распространение. В экспериментальной области большую помощь кристаллохимии оказывают
многие методы молекулярной атомной и ядерной спектроскопии, работающие в различных диапазонах длин волн, такие как электронный
парамагнитный резонанс (ЭПР), ядерный магнитный резонанс (ЯМР),
инфракрасная спектроскопия (ИКС), ядерный гамма-резонанс (ЯГР) –
эффект Мессбауэра, методы комбинационного рассеяния света (рамановская спектроскопия), термические исследования, методы рентгеновской спектроскопии, электронной спектроскопии, люминесцентные и др., позволяющие, в частности, решать специальные задачи,
связанные с существованием дефектов в реальных кристаллах.
К дифракционным методам исследования вещества относятся
методы рентгенографии, электронографии и нейтронографии, основанные на общих принципах дифракции волн на кристаллической решетке. Различия касаются характера взаимодействия излучения с ато67
мами кристаллического вещества. Если рентгеновские лучи рассеиваются электронами атомов, то электроны – действием электрического
поля электронов атома и атомных ядер; рассеяние же нейтронов обусловлено их взаимодействием с ядрами вещества.
Рентгеновские методы исследования вещества, как наиболее
простые и доступные, используются в современных лабораториях
наиболее широко. Они основаны на использовании открытых в 1895 г.
немецким физиком В. К. Рентгеном Х-лучей, названных впоследствии
его именем. Однако долгое время природа этих лучей оставалась неясной. Было лишь высказано предположение о возможном волновом
характере этого излучения и малой длине волн. И только в 1912 г., по
инициативе немецкого физика М. Лауэ и под его руководством, ученики В. Рентгена П. Фридрих и В. Книппинг, пропустив рентгеновские
лучи через кристалл, зарегистрировали их дифракцию. Кристалл в
этом случае сыграл роль дифракционной решетки. Таким образом,
этим опытом, с одной стороны, было подтверждено предположение о
закономерном – решетчатом строении кристаллов, а с другой – установлена волновая природа рентгеновских лучей. Было определено, что
длина волн рентгеновских лучей в 10 тыс. раз меньше длины волны
видимого света, т. е. соизмерима с межатомными расстояниями в кристаллических структурах веществ. Благодаря открытию дифракции
рентгеновских лучей на кристаллах стало возможным, с одной стороны, посредством кристаллов исследовать рентгеновские лучи, а с другой - с помощью этих лучей изучать строение кристаллов. Это второе
направление и было названо рентгеновским анализом.
Методы получения дифракционной картины при рентгеновском
анализе: 1) метод Лауэ, 2) метод порошка (метод Дебая-Шеррера –
Халла), 3) метод вращения, 4) метод колебания, 5) полнопрофильного
анализа (метод Ритвельда).
Электронография. Особенности рассеяния электронов в веществе
позволяют значительно проще, чем в рентгенографии, определить
структурные положения легких атомов в присутствии более тяжелых,
например атомов N в структуре с атомами Fe, Со и W. Изучение дифракции электронов проводят в специальном приборе – электронографе. Непосредственно к электронографии примыкает электронная
микроскопия – один из наиболее эффективных современных методов
минералогических исследований.
Принцип работы (увеличения) электронных микроскопов основан
на прохождении пучка электронов через электромагнитные линзы в
вакууме. Электронные микроскопы подразделяются на просвечиваю68
щие и сканирующие. Появление таких высокоразрешающих приборов
дает возможность получить прямое соответствие между изображением и структурой объекта, отражающее реальные особенности распределения зарядовой плотности в исследуемых кристаллах, а также распределение точечных одно- и двухмерных дефектов разного типа, т. е.
решать задачи прямого определения структурного мотива кристаллических соединений.
Нейтронография. В настоящее время в связи с возможностью использования ядерных реакторов в качестве источника нейтронов
успешно развивается еще одна достаточно новая область науки –
нейтронография, основанная на явлении дифракции нейтронов на
кристаллических веществах. Однако нейтронография не может полностью заменить рентгеноструктурный анализ, так как уступает последнему по разрешающей способности, но в некоторых случаях позволяет получить данные, которые не могут быть получены с помощью
рентгеноструктурного анализа.
Особенности взаимодействия нейтронов с веществом – их малое
поглощение, отсутствие зависимости от порядкового номера элемента
– дают возможность изучать кристаллические структуры веществ, содержащие атомы легких элементов наряду с тяжелыми (например, Н и
Zr), а также структуры, состоящие только из легких атомов (лед, графит и т. д.), которые невозможно исследовать с помощью рентгеновских лучей из-за малой рассеивающей способности слагающих их
атомов, исследовать упорядоченность в структурах с атомами близких
атомных номеров (например, Fe и Со), получить сведения о расположении магнитных моментов атомов в кристаллах. Это уникальное использование нейтронов в настоящее время легло в основу метода,
называемого магнитной нейтронографией. Благодаря рассеянию
нейтронов на ядрах атомов, имеющих различные спиновые моменты,
существует возможность различать разные изотопы одного и того же
элемента (например, водород и дейтерий). В нейтронографии довольно просто производить исследования при высоких и низких температурах. При этом не возникает проблем, связанных с поглощением, так
как нейтроны беспрепятственно проходят через оболочку и тепловую
защиту криостата или высокотемпературной печи, в которой обычно
отсутствует отверстие для ввода пучка нейтронов.
Оптические методы исследования. Поляризационный метод. Если мысленно отложить от какой-либо точки внутри кристалла пути,
пройденные светом за одно и то же время по всем направлениям, в
виде векторов, концы которых соединить, то форма полученной таким
69
образом поверхности, называемой волновой, будет сферической для
о-луча и эллипсоидальной для е-луча. Следовательно, волновая поверхность оптически анизотропных кристаллов, относящихся к средней категории, представляет собой комбинацию сферы и эллипсоида,
причем ось вращения эллипсоида совпадает с диаметром сферы. Это
значит, что в данном направлении скорости обыкновенного (о) и необыкновенного (е) лучей равны (Vu = V) и свет вдоль этого направления не испытывает двулучепреломления. Такие направления в кристаллах называются оптическими осями х и в кристаллах средней категории совпадают с главной осью симметрии – осью высшего порядка. Сами же кристаллы называются оптически одноосными.
В кристаллах низшей категории оба луча необыкновенные, поэтому в отличие от одноосных в них нет луча с волновой поверхностью в форме сферы (т. е. о-луча). В таких кристаллах суммарная волновая поверхность имеет более сложный вид: она является комбинацией двух волновых поверхностей с четырьмя точками касания, т. е.
двумя оптическими осями, вдоль которых не происходит двулучепреломления. Такие кристаллы называют оптически двуосными. При
изучении оптических свойств кристаллов под микроскопом удобнее
пользоваться не волновой поверхностью, а оптической индикатрисой
– особой вспомогательной поверхностью, описываемой тензором второго ранга и имеющей форму эллипсоида, каждый радиус-вектор которого своей величиной выражает показатель преломления данного
кристалла для тех воли, колебания которых (но не распространение!)
совершаются в направлении этого вектора.
Индикатриса любого кристалла будет представлять собой некоторый эллипсоид: либо шар, который можно рассматривать как частный
случай эллипсоида с тремя равными осями, либо эллипсоид вращения
с двумя осями и, наконец, трехосный эллипсоид с тремя неравными
друг другу полуосями.
Индикатрисой кристаллов высшей категории (а = b = с), как и
оптически изотропных аморфных тел, будет сфера, т. е. в таких кристаллах нет направлений, распространяясь по которым свет испытывал бы двулучепреломление. И для характеристики этой индикатрисы
достаточно знать лишь радиус такой сферы, т. е. один показатель преломления.
Оптической индикатрисой кристаллов средней категории
(а = b  с) является эллипсоид вращения с одной главной осью – осью
вращения. Сечение, перпендикулярное главной оси, имеет форму
окружности. Это значит, что показатели преломления кристалла (п)
70
для всех колебаний, совершающихся в плоскости кругового сечения,
равны. А волны, распространяющиеся перпендикулярно этому сечению, не испытывают двулучепреломления. Такое направление совпадает с главной осью кристалла, т. е. его оптической осью. А так как в
кристалле такое направление одно, то кристалл соответственно считается оптически одноосным.
Для характеристики эллипсоида вращения достаточно знать две
величины: половину величины оси вращения эллипсоида и радиус его
кругового сечения. Указанные величины выражают показатели преломления – наибольший показатель преломления m и наименьший p и
численно равные им полуоси оптической индикатрисы Np и Ng (от
франц. petite – малый, grande – большой). Если главная ось эллипсоида характеризуется большим показателем преломления п, т. е. эллипсоид оказывается вытянутым, то такой кристалл считается оптически
положительным. Если же главной оси соответствует меньший показатель преломления п, то эллипсоид будет сплюснутым, а кристалл оптически отрицательным.
Оптической индикатрисой для кристаллов низшей категории является трехосный эллипсоид с тремя взаимно перпендикулярными
осями Ng, Nm и Np (от франц. mogene – средний), по величине отвечающими трем разным показателям преломления (п > пт > п).
Индикатриса кристаллов низшей категории имеет два круговых
сечения с радиусами, равными средней по величине оси эллипсоида
Nm, а следовательно, и две оптические оси A1 и A2 т. е. имеет два
направления, распространяясь по которым свет не испытывает двулучепреломления. Обе оси при этом лежат в плоскости Ng–Np. Угол
между направлениями А1 и А2 называется углом оптических осей и
обозначается как 2V, являясь оптической характеристикой двуосных
кристаллов.
Поскольку в двуосных кристаллах? в отличие от одноосных? нет
волн, оптическая индикатриса которых имела бы форму шара (т. е. нет
волн обыкновенных), то оба луча, на которые распадается свет, входящий в двуосный кристалл, являются необыкновенными. Если биссектрисой острого угла 2V является ось Ng, то кристаллы оптически
положительны, если биссектрисой является ось Np, то кристаллы оптически отрицательны.
Таким образом, главными оптическими константами, характеризующими вещество, являются показатели преломления пg, пт, пр, сила
и величина двулучепреломления, угол оптических осей (2V), а также
оптический знак кристалла «+» или «–».
71
Ориентировка оптической индикатрисы, т. е. расположение ее
главных осей относительно кристаллографических направлений кристалла, дает ряд констант, независимых от величин показателей преломления.
В кристаллах средней категории ось вращения оптической индикантрисы совпадает с главной – единственной – осью высшего порядка. В ромбических кристаллах с взаимно перпендикулярными кристаллографическими осями совпадают также взаимно перпендикулярные оси оптической индикатрисы.
В моноклинных кристаллах лишь одна из осей оптической индикатрисы (Ng, Nm или Np) совпадает с единственным особым направлением кристалла, а две другие фиксируются относительно выбранной
координатной системы, т. е. относительно ребер кристаллов. Отсюда
углы между осями оптической индикатрисы и выбранными координатными осями являются характеристикой данного вещества.
В кристаллах триклинной сингонии – кристаллах без особых
направлений – все три оси индикатрисы могут быть по-разному ориентированы в кристалле и их положение фиксируется только относительно выбранной по ребрам координатной системы кристалла. Таким
образом, одной из главных задач оптического метода является определение положения индикатрисы относительно кристаллографических
направлений в кристалле. Величины углов между осями индикатрисы
и координатными осями являются индивидуальной оптической характеристикой вещества и используются при его идентификации.
Поляризационный микроскоп
Изучение оптических свойств кристаллов проводится с использованием поляризационного света в специальном приборе, называемом
поляризационным микроскопом, который отличается от обычного
микроскопа присутствием особых устройств – призм Николя (или просто – николей), позволяющих отделить один из лучей, на которые распадается свет в кристаллах, т. е. рассматривать кристалл в поляризованном в одной плоскости свете. Призма Николя изготавливается из
монокристалла исландского шпата – кальцита СаС03, обладающего
высоким двулучепреломлением. Две половины распиленного под
определенным углом кристалла склеивают особым клеем – канадским
бальзамом с показателем преломления (п = 1,54), близким к пе = 1,515
кальцита. Обыкновенный луч (по = 1,658) испытывает полное внутреннее отражение от поверхности среза и гасится оправой призмы
Николя. Другой, необыкновенный, луч (е) беспрепятственно проходит
через прослойку канадского бальзама. В результате из призмы Николя
72
выходит лишь один поляризованный – необыкновенный – луч. Поляризационный микроскоп снабжен двумя призмами Николя, одна из
которых помещается под столиком микроскопа (под образцом) и служит поляризатором (Р) – подает на кристалл свет, поляризованный в
одной плоскости, другая – анализатор (А) – располагается в тубусе
микроскопа, т. е. над образцом. При расположении обеих призм в
микроскопе в «скрещенном» положении колебания света, посылаемые
поляризатором, гасятся анализатором. И если на столике микроскопа
расположен оптически изотропный кристалл, то поле зрения микроскопа будет темным при любой ориентации образца, ибо поляризованный луч не изменит направления своих колебаний при прохождении через кристалл и будет погашен анализатором. Если же между
скрещенными николями микроскопа поместить анизотропный
(например, двулучепреломляющий) кристалл, то в поле зрения микроскопа сечение кристалла будет темным лишь в том случае, когда перпендикулярно этому сечению проходит оптическая ось кристалла.
При этом кристалл остается темным при вращении столика микроскопа. Любая другая ориентация анизотропного кристалла в общем случае приведет к тому, что кристалл будет освещен и потемнеет лишь
при условии параллельности направлений колебаний света в кристалле и в скрещенных николях. С помощью поляризационного микроскопа легко отличить кристаллы низшей и средней категорий от оптически изотропных тел, которые не изменят направлений колебаний проходящих сквозь них лучей и между скрещенными николями окажутся
темными. Кроме того, можно определить еще одну важную для диагностики оптическую характеристику кристалла – угол погасания, т. е.
угол между каким-либо характерным кристаллографическим направлением и направлением колебаний света в одном из николей в момент
погасания; определить характер спайности; наличие двойников, в которых каждый из индивидов гаснет в разном положении/
Иммерсионный метод. Поскольку показатели преломления (п) по
разным направлениям кристалла служат его основной оптической
характеристикой, необходимы надежные методы их определения.
Самым доступным из существующих методов точного определения
показателей преломления является иммерсионный метод (от франц.
immersion – погружение). Сущность метода сводится к наблюдению
под микроскопом кристалла, погружаемого поочередно в жидкости с
различными известными показателями преломления в интревале от
1,4 до 1,9 (например, у керосина 1,4, у гвоздичного масла 1,54,
73
у α-монобромнафталина 1,66, у метилениодида 1,73, у метилениодида, насыщенного серой, п = 1,79 и т. д.).
В случае равенства показателей преломления жидкости и кристалла последний становится невидимым, ибо исчезает эффект преломления и отражения. Оптически изотропный кристалл при вращении столика микроскопа остается невидимым. То же наблюдается и
для кристаллов оптически анизотропных, но рассматриваемых лишь в
направлении оптической оси. В противном случае, когда показатели
преломления жидкости и кристалла не совпадают, контуры последнего становятся видимы. Причем кристалл тем резче выделяется на фоне
окружающей жидкости, чем больше различие в их показателях преломления. Само кристаллическое зерно кажется выпуклым (положительный рельеф), если его показатель преломления выше показателя
преломления жидкости, и вогнутым (отрицательный рельеф) – в противном случае.
При близких значениях показателей преломления кристалла и
иммерсионной жидкости отличить положительный рельеф от отрицательного трудно. В этом случае можно использовать метод полоски
Бекке – светлой полоски, возникающей на границе двух сред и перемещающейся при поднятии тубуса микроскопа в сторону вещества с
большим показателем преломления, а при опускании – в сторону вещества с более низким показателем. Поворачивая кристалл и меняя
иммерсионные жидкости, можно определить все показатели преломления, а следовательно, ориентацию оптических осей индикатрисы
кристалла относительно кристаллографических направлений.
Спектроскопические методы. Во второй половине XX в. методы
исследования вещества пополнились методами спектроскопии твердого тела: оптической, инфракрасной и романовской спектроскопиями,
рентгеноспектральным методом, методами электронного парамагнитного резонанса, ядерного магнитного резонанса и др. Спектроскопические методы дают сведения о зарядовом состоянии атомов, их координационном окружении, локальной симметрии ближайшего окружения, внутрикристаллическом распределении частиц и дефектов, изоморфных замещениях, фазовой принадлежности минералов и др.
Оптическая спектроскопия изучает оптически активные центры
(ОАЦ) окраски и плеохроизм минералов. Спектроскопические характеристики обусловлены особенностями состава и строения кристаллов
на атомно-электронном уровне. В настоящее время оптическая спектроскопия широко применяется как один из эффективных методов
исследования тонких конституционных особенностей минералов. Ос74
новной задачей метода является установление природы и объяснение
кристаллохимических моделей оптически активных центров, селективно поглощающих излучение оптического диапазона электромагнитного спектра. ОАЦ – это разновалентные ионы d- и f-элементов
(как видообразующие, так и примесные), создающие в структурах минералов различные координационные комплексы: электронные и дырочные центры окраски, свободные неорганические радикалы.
Большинство ОАЦ в структурах минералов поглощает электромагнитное излучение видимого диапазона, что в той или иной степени
обусловливает окраску минералов. В этом случае они могут рассматриваться в качестве хромоформных центров, или центров окраски. В
этой связи оптическая спектроскопия является основным методом исследования природы таких важнейших диагностических и типоморфных свойств минералов, как окраска и плеохроизм. Оптические спектры поглощения содержат важную кристаллохимическую информацию, являющуюся основой во многих случаях для генетических выводов.
В последнее время все более широко внедряется метод, основанный на анализе спектров поглощения или отражения, возникающих
при взаимодействии инфракрасного излучения с молекулами и атомами кристаллического вещества, – метод инфракрасной спектроскопии (ИКС). Инфракрасное излучение – это электромагнитное излучение с длиной волны от 0,76 до 1000 мк. Падая на твердое тело,
ИК-лучи частично отражаются, частично проходят через него. Измеряя зависимость коэффициентов пропускания и отражения от длины
волны, можно получить для вещества ИК-спектры либо отражения,
либо пропускания, являющиеся характеристикой минерала и могущие
служить для диагностики или изучения его строения. Установление
теоретических эмпирических закономерностей изменения ИКспектров вещества от особенностей его строения позволяет по ним
диагностировать минералы, определять степень кристалличности вещества, выявлять наличие атомных группировок, определять форму
вхождения воды в структуру минерала, изучать фазовые превращения
веществ при нагревании, характер примесей и решать многие другие
вопросы.
Активными колебаниями для романовской спектроскопии (спектроскопии комбинационного рассеяния) являются те, которые запрещены для ИКС. Разработка этого метода стала возможной после создания мощных монохроматических источников света типа лазеров.
Ч. В. Роман установил, что на спектрограмме кроме линий релеевско75
го рассеяния света появляются еще две линии (справа и слева), несущие информацию о строении отдельных молекул и группировок, входящих в кристаллические структуры веществ и жидкостей.
Рентгеноспектральные методы анализа основаны на использовании линейчатого характеристического спектра для определения химического состава изучаемых объектов. Длины волн такого спектра не
зависят от условий эксперимента и являются атомными константами
элементов. Картина рентгеновского линейчатого спектра не зависит от
того, находится ли элемент в чистом виде или входит в химическое
соединение, а также от агрегатного состояния вещества, содержащего
этот элемент. Таким образом, линии на рентгеноспектрограмме обусловлены только элементами, входящими в состав образца, играющего в данном случае роль анода рентгеновской трубки. Практически
качественный рентгеноспектральный анализ проводят по справочным
таблицам, в которых приведены длины волн всех спектральных линий
для каждого элемента.
Для кристаллохимических и минералогических исследований
большое значение приобрели электронный парамагнитный резонанс
(ЭПР) и ядерный магнитный резонанс (ЯМР). Электронный парамагнитный резонанс (ЭПР), открытый в 1944 г. Е. К. Завойским, заключается в способности парамагнитных кристаллов поглощать высокочастотную энергию за счет переходов между спиновыми уровнями электронов. ЭПР может наблюдаться только в минералах, содержащих
атомы с неспаренными спинами электронов. Взаимодействие магнитных моментов этих электронов с приложенным магнитным полем создает условия для наблюдения ЭПР. ЭПР представляет собой явление,
обусловленное квантовыми переходами, происходящими между энергетическими уровнями под влиянием радиочастотного поля резонансной частоты. Параметры спектров ЭПР указывают на локализацию
парамагнитного центра, дающего этот сигнал, в определенной позиции кристаллической структуры. С помощью ЭПР можно диагностировать в минералах примеси парамагнитных ионов переходных элементов: группы Fe, Pd, Pt, TR, актиноидов.
Явление ядерного магнитного резонанса (ЯМР) состоит в резонансном поглощении энергии радиочастотного поля при изменении
магнитного момента ядра. По сути своей он подобен ЭПР, но поскольку магнитные моменты электронов и ядер различаются примерно в 200 раз, то в таком соотношении находятся и частоты используемого радиоизлучения в этих двух методах (в ЯМР – 1–100 мГц). Это
объясняет более тонкий эффект ЯМР. Исследования ЯМР позволяют
76
обнаружить парамагнитные ионы в составе минерала и определить их
концентрацию; получить сведения о структурном положении атомов,
их координации, симметрии и силе кристаллических полей, действующих на атом; установить структурное положение атомов водорода в
кристаллах, ориентацию водородных связей, динамику их поведения в
структурах.
Основой ядерной гамма-спектроскопии (ЯГР) послужило открытие в 1958 г. немецким физиком Р. Мессбауэром эффекта резонансного испускания и поглощения -квантов ядрами изотопов. Физическая
сущность резонанса на ядрах не отличается от привычных акустомеханического, оптического или электрического резонансов. Различие
заключается в том, что в качестве резонансных систем используются
ядра изотопов, атомы которых жестко связаны между собой в кристаллической структуре. В настоящее время известно около 50 изотопов, на ядрах которых наблюдается эффект Мессбауэра. Величина
эффекта зависит от числа резонирующих ядер, структурных характеристик кристалла и температуры измерения. С помощью методов ЯГР
можно решать ряд задач, имеющих большое значение в минералогии,
геологии и технической минералогии: определять степень окисления и
координационные числа атомов Fe в минералах, катионное упорядочение, заселенность отдельных позиций, дефектность кристаллических структур, изучать изоморфизм в минералах, их магнитную
структуру, определять фазовый состав Fe-содержащих руд и горных
пород по сравнению с ЭПР.
Порядок работы. После предварительного ознакомления с существующими на данный момент методами исследования кристаллов и
минералов рекомендуется законспектировать теоретическую часть
практической работы в тетрадь для практических занятий.
Выводы. Студенты составляют конспект основных методов изучения и исследования минералов и кристаллов в тетради для практических занятий. Выполненные каждым студентом заметки и конспекты проверяет ведущий практические занятия преподаватель, делающий отметку в своем журнале. В последующем тетрадь с выполненными практическими работами предъявляется в конце семестра для
зачтения и получения допуска к зачету.
77
Список рекомендуемой литературы
1. Шаскольская М. П. Кристаллография: Учеб. пособие для втузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 1984. 376 с.
2. Егоров-Тисменко Ю. К. Кристаллография и кристаллохимия:
Учеб. для вузов. 2-е изд. М.: КДУ., 2010. 587 с.
3. Розин К. М. Практическая кристаллография: Учеб. пособие для
вузов. М.: МИСИС, 2005. 486 с.
78
Приложение 1
78
79
Приложение 2
79
80
Приложение 3
81
Приложение 4
Элементы симметрии кристаллов
81
82
Приложение 5
Простые формы кристаллов
82
83
83
84
84
85
85
86
86
87
87
88
88
89
89
90
90
91