Математическое ожидание случайной величины

Тема 9
1
Математическое ожидание дискретной случайной величины.
Пусть задан закон распределения случайной величины .
х1
х2
х3
хn


P
p1
p2
p3
pn

Математическое ожидание М (или М()) случайной величины  определяется
формулой
n
M   xi pi
i 1
Рассмотрим пример. Пусть в некотором магазине, торгующем электробытовой
техникой, получены статистические данные о числе проданных холодильников в
каждый день месяца (условно считаем, что месяц состоит из 30 рабочих дней).
Эти данные собраны в таблицу:
Количество проданных
0
1
2
3
4
5
холодильников
Число дней, в которые было
7
8
9
2
1
продано столько холодильников 3
По этой таблице легко подсчитать число холодильников, проданных в магазине за
месяц: 03+17+28+39+42+51 = 63. Чтобы подсчитать среднее число
холодильников, продававшихся в один день месяца, нужно эту сумму разделить
на 30, в результате получим 2,1. Если в приведенной таблице каждое число
второй строки поделить на 30, то получится последовательность дробей
1 7 4 3 1 1
; ; ; ; ; , каждая из которых представляет собой так называемую
10 30 15 10 15 30
относительную частоту, с которой в данный месяц появлялся приведенный в
верхней строке объём продаж. Очевидно, что если просуммировать все
произведения чисел, стоящих в первой строке таблицы, на их относительные
частоты, то получится то же среднее число продававшихся в один день
холодильников:
1
7
4
3
1
1
0   1   2   3   4   5   2,1
10
30
15
10
15
30
Если бы в последней формуле относительные частоты рассчитывались не для
одного месяца, а для существенно большего срока, то при некоторых условиях
(например, при отсутствии кризисных явлений, существенно влияющих на спрос
населения на дорогостоящие товары) эти относительные частоты можно было бы
считать довольно близкими к вероятностям соответствующих значений объёма
продаж. Таким образом, приходим к выводу, что математическое ожидание
случайной величины – это в некотором смысле её среднее значение. Следует
отметить, что случайная величина может вообще не принимать значения, равного
её математическому ожиданию. Так, например, случайная величина,
принимающая только значения 1 и –1, каждое – с вероятностью 0,5, имеет
математическое ожидание, равное нулю.
Тема 9
2
Пример. Найти математическое ожидание случайной величины, заданной
законом распределения
1
0

Р
p
q
Здесь p + q = 1,
M = 1р + 0q = р
Свойства математического ожидания.
1. Если случайная величина  принимает одно и то же значение при всех
исходах случайного эксперимента, то есть   С, то её математическое
ожидание равно С.
2. Если М = а, и k – константа, то М(k) = kа (математическое ожидание
случайной величины, умноженной на число, равно математическому
ожиданию случайной величины, умноженному на это число).
3. Если М = а, и k – константа, то М(k + ) = k + а (математическое
ожидание суммы случайной величины и числа равно сумме этого числа и
математического ожидания случайной величины).
Выведем формулу для математического ожидания суммы двух случайных
величин  и , определённых на одном и том же пространстве элементарных
исходов и заданных законами распределения

Р
х1
М( + )
=
p11


xn
p1n

Р
y1
p12


yk
pk2
(х1 + у1)Р(( = х1) ∩ ( = у1))+ (х2 + у1)Р(( = х2) ∩ ( = у1)) +
+(хi + уj)Р(( = хi) ∩ ( = уj)) +  + (хn + уk)Р(( = хn) ∩ ( = уk))
Очевидно, что сумма в правой части последней формулы содержит nk слагаемых.
Преобразуем эту сумму следующим образом:
М( + ) = х1 Р((=х1)∩(=у1)) + х1 Р((=х1)∩(=у2)) ++х1 Р((=х1)∩(=уk)) +
+ х2Р((=х2)∩(=у1)) + х2Р((=х2)∩(=у2)) + + х2Р((=х2)∩(=уk)) + 
+ хnР((=хn)∩(=у1)) + хnР((=хn)∩(=у2)) + + хnР((=хn)∩(=уk)) +
+ у1Р((=х1)∩(=у1)) + у1Р((=х2)∩(=у1)) + + у1Р((=хn)∩(=у1)) +
+ у2Р((=х1)∩(=у2)) + у2Р((=х2)∩(=у2)) + + у2Р((=хn)∩(=у2)) + 
+ уkР((=х1)∩(=уk)) + уkР((=х2)∩(=уk)) + + уkР((=хn)∩(=уk)) =
= х1(Р((=х1)∩(=у1)) + Р((=х1)∩(=у2)) + + Р((=х1)∩(=уk))) +
+ х2(Р((=х2)∩(=у1)) + Р((=х2)∩(=у2)) + + Р((=х2)∩(=уk))) + +
+ хn(Р((=хn)∩(=у1)) + Р((=хn)∩(=у2)) + + Р((=хn)∩(=уk))) +
+ у1(Р((=х1)∩(=у1)) + Р((=х2)∩(=у1)) + + Р((=хn)∩(=у1))) +
+ у2(Р((=х1)∩(=у2)) + Р((=х2)∩(=у2)) + + Р((=хn)∩(=у2))) + 
Тема 9
3
+ уk(Р((=х1)∩(=уk)) + Р((=х2)∩(=уk)) + + Р((=хn)∩(=уk))) =
= х1Р(=х1) + х2Р(=х2) ++ хn Р(=хn) +
+ у1Р(=у1) + у2Р(=у2) ++ у1Р(=у1) = M + M
При выводе этой формулы использован очевидный факт, что, например, событие
=х1 можно представить в виде объединения несовместных событий
(=х1)∩(=у1), (=х1)∩(=у2), , (=х1)∩(=уn).
Пример.
Заданы n одинаково распределённых случайных величин 1, 2, , n с законом
распределения
Таблица 1
1
0
i
P
p
q
Найти математическое ожидание суммы этих случайных величин.
Решение.
n
M(  i ) =
i 1
n
 Mi = np
i 1
Если случайные величины  и  независимы, то
М() = ММ
Доказательство.
Если заданы законы распределения двух независимых случайных величин
и
х1
y1

 xi
 xn

 yj
 yk
Р
Р
 p 1i
 p1n
 pk2
p11
p12  p 2j
то математическое ожидание произведения этих случайных величин можно
представить следующим образом:
М() =
n
k
  хi y j p1i p 2j
=
i 1 j 1
= х1 p11
k
1
 y j p 2j +х2 p 2
j 1
k
 y j p 2j ++ хi p1i
j 1
k
 y j p 2j + хn p1n
j 1
k
 y j p 2j
=
j 1
n
= х1 p11 M + х2 p 2 M + + хi p1i M+ хn p1n M = M  xi pi = ММ
1
i 1
Дисперсия случайной величины.
Дисперсия D случайной величины  определяется формулой
D = M( – M)2.
Дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата
отклонения случайной величины от её математического ожидания.
Рассмотрим случайную величину  с законом распределения
1
2
3

Тема 9
4
Р
1
1
1
6
3
2
Вычислим её математическое ожидание.
M = 1 1 + 2 1 + 3 1 = 13
6
3
6
2
Составим закон распределения случайной величины  – M
5
– M
7
1
6
6
6
1
1
1
Р
6
3
2
а затем закон распределения случайной величины ( – M)2
25
49
1
(– M)2
36
36
36
1
1
1
Р
3
6
2
Теперь можно рассчитать величину D :
1 1
25 1 49 1 17
D =
 +
 +
 =
36 2 36 3 36 6 36
Формулу вычисления дисперсии дискретной случайной величины можно
представить в таком виде:
n
D =
 xi  M 
2
i 1
pi
Можно вывести ещё одну формулу для вычисления дисперсии:
2
2
 xi  M pi   xi  2 xi M  M 2pi 
n
D =
n
i 1
n
=
 xi
i 1
2
n
i 1
n
pi  2M xi pi  M 2  pi  M 2  2M  M  M 2  
i 1
i 1
= M – M2
Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности математического
ожидания квадрата случайной величины и квадрата её математического
ожидания.
2
Пример.
Найти дисперсию случайной величины, с законом распределения, заданным
таблицей 1.Выше было показано, что M = р. Легко видеть, что M2 = р. Таким
образом, получается, что D = р – р2 = pq.
Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины
относительно её математического ожидания. Если все значения случайной
величины тесно сконцентрированы около её математического ожидания и
большие отклонения от математического ожидания маловероятны, то такая
случайная величина имеет малую дисперсию. Если значения случайной величины
Тема 9
5
рассеяны и велика вероятность больших отклонений от математического
ожидания, то такая случайная величина имеет большую дисперсию.
Дисперсия случайной величины равна нулю в том и только в том
случае, когда эта случайная величина – константа (то есть при всех исходах
случайного эксперимента принимает одно и то же значение).
Свойства дисперсии.
1. Если с – число, то D( + с) = D()
2. Если k – число, то D(k) = k2 D.
Доказательство.
D(k) = M(k – M(k))2 = M(k – k M)2 = M(k2 ( – M)2) = k2M( – M)2 =
= k2 D
3. Для попарно независимых случайных величин 1, 2,, n
справедливо равенство
n
n
i 1
i 1
D  i   Di
Это свойство оставим без доказательства. Из этого свойства, в частности, следует,
что дисперсия суммы n независимых случайных величин i с законом
распределения, заданным таблицей 1, равна npq. Теперь можно сделать важный
вывод. Пусть проводится п повторных независимых испытаний, в каждом из
которых событие А происходит с вероятностью р. Число k появлений события А
можно рассматривать как случайную величину. Обозначим эту случайную
величину . Как уже говорилось ранее, эта случайная величина называется
бернуллиевской случайной величиной. Несложно понять, что имеет место
равенство:  =
n
 ξi .
Отсюда
следует,
что
математическое
ожидание
i 1
бернуллиевской случайной величины равно пр, а её дисперсия равна пр(1 – р).
Если случайные величины i и j зависимы, то дисперсия суммы этих
случайных величин не равна сумме их дисперсий. Этот случай разобран в
последующих лекциях.
Рекомендуем читателю рассмотреть следующий пример.
Пусть  и  – независимые случайные величины с заданными законами
распределения:

Р
0
0,25
1
0,75

Р
1
0,7
2
0,3
Показать, что D( + ) = D + D.
Величина Dξ называется среднеквадратическим отклонением случайной
величины. Как видно, среднеквадратическое отклонение имеет ту же размерность,
что и сама случайная величина.
Задача I. Собрана колода из четырёх карт – туза, короля, дамы и валета,
расположенных в произвольном порядке. Случайная величина  – число карт
между тузом и королём. Найти величины M и D.
Тема 9
6
Задача II.
В урне 2 белых, 2 чёрных и 1 зелёный шар. Из урны наудачу извлекаются 3
шара. Случайная величина  – число белых шаров в выборке. Случайная величина
 принимает значение 0, если в выборке есть зелёный шар, и принимает значение
1, если в выборке нет зелёного шара. Найти величины M и D. Проверить
выполнение равенства М( + ) = М + М и неравенств D( + )  D + D,
М  М М
Задача III.
По прогнозу акции корпорации С1 поднимутся в цене с вероятностью 0,7.
Независимо от них акции корпорации С2 поднимутся в цене с вероятностью 0,5.
Случайная величина  примет значение 0, если ни одна из акций С1 и С2 не
поднимется в цене, значение 1, если только одна из этих акций поднимется в цене,
и значение 2, если в цене поднимутся обе акции. Случайная величина  примет
значение 0, если акция С1 не поднимется в цене и значение 1, если эта акция
поднимется в цене. Найти величины M и D. Проверить справедливость
неравенства D( + )  D + D.
Задача IV. Собрана колода из четырёх карт – туза, короля, дамы и валета,
расположенных в произвольном порядке. Случайная величина  – число карт
между тузом и королём. Случайная величина  принимает значение 0, если туз
оказался перед королём, и значение 1, если туз лежит после короля. Найти
величины M и D. Проверить справедливость равенств D( + ) = D + D,
М = М М
Ответы. I 2/3, 5/9; II 1,2, 0,36, законы распределения случайных величин
 +  и  имеют вид
0
1
2
3
0
1
2
+

Р
0,1
0,4
0,3
0,2
Р
0,6
0,2
0,2
III 1,2, 0,46; IV 2/3, 5,9