Введение: - Белорусский государственный университет

Белорусский Государственный Университет
Факультет радиофизики и компьютерных технологий
Поляков А.В.
МЕХАНИКА
конспект лекций
Введение
Механика изучает наипростейшую форму движения материи - механическую, т.е. изменение
положения тел в пространстве с течением времени относительно других тел.
Основной задачей механики является нахождение закона движения тел в зависимости от
причин, вызывающих движение. В механике выделяют три основных раздела: кинематика, динамика,
статика.
Кинематика – изучает геометрические свойства движения тел без учета причин их вызвавших, а
также без учета инертности тел, т.е. их массы.
Динамика – изучает законы движения тел в тесной связи с причинами (силами) и с учетом
инертности.
Статика – изучает законы покоя тел. Основные законы статики непосредственно следуют из
законов в динамики при определенных ограничениях.
Покой и движение тел относительны, т.е. положение тел можно определить лишь по
отношению к другим телам. Поэтому для описания механического движения, прежде всего надо
выбрать тело, относительно которого и будет определяться положение изучаемого тела (выбрать тело
отсчета). С телом отсчета обычно связывают систему координат, чаще всего декартову прямоугольную
систему координат. Начало ее обычно связывают с центром масс тела отсчета, а координатные
направления выбирают произвольно, в зависимости от условий задачи (рис. 1).
Положение точки А можно определить координатным способом. Для этого следует определить
расстояния от т. А до координатных плоскостей. Например, расстояние от т. А до координатной
плоскости OXY – есть координата Z точки.
Положение точки можно задать и векторным способом, проведя из начала координат в то место

пространства, где находится точка А, радиус-вектор ra .
Поскольку положение точки меняется с течением времени, для определения характеристик
движения необходимо измерять и время в процессе движения. Время необходимо измерять по часам
находящимся в том месте пространства, где находится движущаяся точка, т.е. надо в каждой точке
пространства, определяемого системой координат, разместить одинаковые часы, предварительно
синхронизированные между собой. Такая система координат с набором часов называется системой
отсчета.
1.Кинематика материальной точки.
1. 1. Определение положения точки в пространстве.
Для описания движения точки, т.е. изменения ее положения с течением времени, прежде всего,
надо в любой момент времени указать ее местоположение координатным или векторным способом.
Оба способа задания положения тела в пространстве эквивалентны, т.е. зная координаты точки, можно
указать ее радиус-вектор, и наоборот. Из рис. 1 видно, что радиус-вектор представить можно
диагональю прямоугольного параллелепипеда со сторонами, численно равными координатам точки Ха,
Ya и Za. Отсюда очевидна связь модуля радиус-вектора точки с ее координатами:
Для определения направления радиус-вектора в пространстве можно определить углы , , ,
которые радиус-вектор образует с координатными осями OX, OY, и OZ соответственно. Тогда:
( 2)
(3)
( 4)
Таким образом, зная координаты точки, можно определить величину (1) радиус-вектора, и его
направление в пространстве по так называемым направляющим косинусам (2), (3) и (4).
При движении точки ее координаты и радиус-вектор с течением времени изменяются, для определения
характеристик движения вводят три вектора: перемещения, скорости и ускорения.
1.2.ВЕКТОР ПЕРЕМЕЩЕНИЯ.
Рис. 2
Для определения перемещения точки в пространстве вводят вектор перемещения.
Например, за промежуток времени t точка перемещается из положения 1 в положение 2 (рис. 2),


определяемые векторным способом указанием радиус-векторов r1 и r2 ; вектором перемещения
называют вектор, проведенный из начального положения 1 в конечное 2 перемещаемого
тела. Из

векторного треугольника видно, что вектор перемещения равен приращению  r радиус-вектора
точки.
Наряду с изменением радиус-вектора точки происходит изменение ее координат, т.е.
перемещение точки вдоль отдельных координатных направлений. Из рис.3 видно, что
Вектор перемещения за конечный промежуток времени в общем случае не совпадает с
направлением движения (направлением касательной к траектории движения). Очевидно, что эти
направления будут совпадать в общем случае движения только для бесконечно малых перемещений

точки dr.
1.2. ВЕКТОР СКОРОСТИ.
Вектором скорости называют вектор, определяющий быстроту и направление движения.
Вектором средней скорости называют отношение вектора перемещения к промежутку времени, за
который это перемещение происходит:
( 6)
Так как в произвольном случае движения вектор перемещения за конечный промежуток времени
не определяет точно направление движения, это не может сделать и вектор средней скорости.
Следовательно, необходимо рассматривать перемещения за бесконечно малые промежутки времени.
Вектором истинной (мгновенной) скорости называют предел, к которому стремится значение
вектора средней скорости при бесконечном убывании промежутка времени:
(7 )
Так как при движении тела в общем случае изменяются все три его координаты, часто бывает
удобным рассматривать скорость движения точки вдоль отдельных координатных направлений
(компоненты или составляющие вектора скорости). Компоненты средней скорости равны:
(8)
Компоненты же мгновенной скорости определяются как
(9 )
Вектор скорости с его компонентами связан такими же по виду соотношениями, как радиус-вектор с
координатами точек:
(10)
(11)
1.3. ВЕКТОР УСКОРЕНИЯ.
Вектором ускорения называют вектор, определяющий быстроту и направление изменения вектора
скорости. Аналогично определениям для вектора скорости вводятся понятия среднего и мгновенного
ускорения:
(12)
При движении точки по произвольной траектории вектор изменения скорости Δ и, следовательно,
вектор ускорения направлены в сторону вогнутости траектории независимо от того, увеличивается или
уменьшается величина скорости (рис. 4, 5):
Рис. 4. Ускоренное движение
Рис. 5. Замедленное движение
Как видно из рисунков, в обоих случаях вектор d направлен в сторону вогнутости траектории. При
ускоренном движении он отклоняется в сторону движения, при замедленном - в противоположную
Для определения мгновенного ускорения надо рассматривать бесконечно малые перемещения, т.е.
векторы скорости 1 и 2 в соседних точках траектории. Поэтому вектор ускорения лежит в плоскости,
содержащей касательную к траектории в данной точке и прямую, параллельную касательной в
соседней точке траектории. Такая плоскость называется соприкасающейся. Поэтому наряду с
представлением вектора ускорения компонентами
(13)
можно рассматривать составляющие вектора в соприкасающейся плоскости (т.е. только две
компоненты). Для определения этих составляющих в любой точке траектории проводят
соприкасавшуюся плоскость и в ней две оси - нормальную On. в сторону вогнутости траектории и
касательную Ot по касательной к траектории. Изменение скорости и, соответственно, ускорение можно
рассматривать в проекциях на эти оси (рис. 6).
Двигаясь вдоль траектории, за промежуток времени t точка проходит путь S скорость ее изменяется
от  до 1, при этом 1 составляет угол  (альфа) с осью Ot. По определению мгновенного ускорения:
Рис. 6
(14)
(15)
Преобразуем выражение предела, умножив и разделив его на  и S:
Отметим, что при t=0 бесконечно убывает и пройденный путь, и угол (S=0, a=0). При этом условии
значения пределов равны:
Предел же lim
t 0

S
называется кривизной траектории К. Кривизна траектории обратно
пропорциональна радиусу кривизны траектории:
С учетом этих замечаний выражение для нормальной составляющей вектора ускорения принимает вид
(16)
Для выяснения физического смысла ускорения рассмотрим два частных случая движения.
Равномерное криволинейное движение (=const, k<>0). В этом случае, как видно из (14) и (16),
Неравномерное прямолинейное движение (<>соnst, k=0). При таком движении
Следовательно, касательная составляющая ускорения определяет изменение вектора скорости по
величине, а нормальная - по направлению.
2. Кинематика твердого тела.
Для нахождения кинематического закона движения, т.е. r=r(t) или х=х(t), у=y(t), z=z(t) надо найти
закон движения каждой точки тела, т.е. решить бесконечно большое число уравнений, что сопряжено с
непреодолимыми математическими трудностями.
Однако особенности самого твердого тела и особенности его движения могут значительно упростить
задачу.
2.1. ЧИСЛО
СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ .
Числом степеней свободы называют число независимых механических координат полностью и
однозначно определяющих положение тела в пространстве. Или: число независимых механических
движений, которые одновременно может совершать тело.
Из таких определений следует, что число степеней свободы для свободной материальной точки равно
3. Для совокупности из n невзаимодействующих между собой точек число степеней свободы равно 3n.
Любые связи (взаимодействия) ограничивают число степеней свободы. Например, точка двигается по
поверхности, задаваемой уравнением F(x,y,z)=0. В этом случае необходимо задать независимо 2
координаты, третья же не является независимой - она определяется из уравнения поверхности, по
которой движется точка. Иначе говоря, для точки, движущейся по поверхности, число степеней
свободы равно 2. Для точки, движущейся вдоль линии, число степеней свободы равно 1.
Действительно, любую линию можно пересечением двух поверхностей, т.е. для определения
положения точки в пространстве нужно указать независимо только одну координату, две другие же
определяются из уравнения линии.
Рассмотрим теперь систему точек, связанных жесткими связями. Пусть таких точек 2 (рис. 7). Для
определения положения одной из точек системы в пространстве нужно указать 3 координаты, т.е. эта
часть системы обладает 3-мя степенями свободы. Если эту точку закрепить неподвижно, у системы
будет отнято 3 степени свободы. Вторая точка при этом может двигаться только по поверхности
сферы, т.е. обладает 2-мя степенями свободы. Следовательно, вся система обладает 5-ю степенями
свободы.
Рис. 7
Рис. 8
Аналогично определяется число степеней свободы для системы, состоящей из трех жестко связанных
между собой точек (рис. 8). Если одну из точек системы закрепить, у системы отнимается 3 степени
свободы При закреплении второй точки дополнительно отнимается еще а степени свободы При этом
третья точка сможет двигаться только вдоль линии, т.е. обладает одной степенью свободы. Поэтому
вся система обладает 6-ю степенями свободы. Легко убедиться, что добавляя к такой системе 4-ю, 5-ю
и т.д. точки, мы не увеличим число степеней свободы, т.е. максимальное число степеней свободы для
системы жестко связанных между собой точек равно. Абсолютно твердое тело как раз представляет
собой такую систему, следовательно, обладает 6-ю степенями свободы.
2.2. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА.
Поступательным называют такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в
теле, при движении тела остается параллельной самой себе. Будем рассматривать движение абсолютно
твердого тела. Выделим в теле произвольно т. т. А1 и В1. Через промежуток времени t они займут
положения А2 и В2 соответственно (рис. 9).
Рис. 9
Эти положения можно задать векторным способом, указав радиус-векторы ra1, rb1, ra2, rb2. Перемещения
точек равны ra, и rb . Векторы (A1B1)и (A2B2) равны между собой, так как равны их модули (тело
абсолютно твердое) и одинаковы направления (тело перемещается поступательно).
Поэтому перемещения точек А и В равны (ra = rb) Поскольку точки выбирались произвольно,
можно сделать вывод, что при поступательном движении тела все его точки совершают одинаковые
перемещения. По определению:
т.е. и скорости всех точек тела одинаковы. Аналогично можно показать, что и ускорения всех точек
тела одинаковы. Следовательно, при поступательном движении все точки тела движутся одинаково и
для описания движения тела достаточно рассмотреть движение только одной его точки (чаще всего
центра масс тела). Пример поступательного движения - движение кузова автомобиля на
прямолинейном участке дороги.
2.3.ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ .
Рис. 10
Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором хотя бы две его точки остаются
неподвижными в пространстве. Прямая, проходящая через неподвижные точки тела, называются осью
вращения. При вращательном движении все точки тела движутся в параллельных плоскостях,
описывая концентрические окружности, центры которых лежат на оси вращения.
Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси Z (рис. 10). Для определения положения этого тела в
пространстве через ось вращения проведем две плоскости: 1 - неподвижную и 2 - связанную с телом и
вращающуюся вместе с ним. Положение тела задается углом  между плоскостями (угловой
координатой). Изменение угловой координаты задает угловое перемещение . Кинематический закон
движения тела задан, если известна угловая координата в любой момент времени: = (t).
Быстрота вращения определяется угловой скоростью.
Средней угловой скоростью называют величину:
(17 )
а мгновенной:
(18)
для определения  как вектора необходимо угол поворота (угловое перемещение) также определять
как вектор. Вектором углового перемещения называют вектор, направленный вдоль оси вращения в ту
сторону, откуда вращение тела видно происходящим против хода часовых стрелок. По такому
определению вектор угловой скорости равен:
(19)
В случае вращения тела, показанном на рис. 10, вектор угловой скорости направлен вверх вдоль оси
вращения.
Вектором среднего углового ускорения называют вектор
( 20)
а мгновенного
( 21)
Легко видеть, что при ускоренном вращении твердого тела вектор углового ускорения направлен вдоль
оси вращения в ту же сторону, что и вектор угловой скорости, а при замедленном - вдоль оси вращения
противоположно вектору угловой скорости.
ДВИЖЕНИЕ ОТДЕЛЬНЫХ ТОЧЕК ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА.



Хотя все точки вращающегося тела имеют одинаковые
и  кинематические
характеристики их движения (
и a ) различаются. Предположим, что произвольная точка
вращающегося тела находится на расстоянии г от оси вращения (рис.11).

v
рис.11
За промежуток времени t проходит по своей траектории путь S . Средняя скорость точки при этом
равна:
а мгновенная:
( 22)
С учетом направлений векторов угловой и линейной скорости, а также радиус-вектора
рассматриваемой точки, получим:
( 23)
Ускорение отдельных точек вращающегося твердого тела удобно определять по отдельным его
составляющим at, an:
( 24)
( 25)
( 26)
Полное ускорение точки равно
рис 12
Как видно из приведенных соотношений, полное ускорение и отдельные его составляющие зависят от
расстояния r до оси вращения. Направление вектора ускорения при таком представлении определяется
углом отклонения  вектора ускорения от радиуса вращения (рис. 12).
Из рис. 12 видно, что
( 27)
Таким образом, угол отклонения вектора полного ускорения от радиуса вращения одинаков для всех
точек тела.
2.5.ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА.
Плоским называют такое движение тела, при котором все его точки движутся в плоскостях,
параллельных заданной неподвижной. Проведем связанную с телом нормаль АА к заданной
неподвижной плоскости и, как показано на рис. 13, двигаясь вместе с телом, через промежуток
времени dt нормаль занимает положение A1А1. Очевидно, что все точки тела, лежащие на этой
нормали, движутся одинаково, в частности, так же, как и точка O пересечения нормали с сечением тела
плоскостью, параллельной заданной неподвижной. То же можно сказать о точках тела, лежащих на
любой другой нормали. Поэтому для изучения плоского движения тела достаточно рассмотреть
движение его сечения плоскостью, параллельной заданной, т.е. решить задачу кинематики в плоской
системе координат.
рис 13
Для определения положения сечения в пространстве в любой момент времени необходимо прежде
всего задать положение произвольной точки А (полюса) этого сечения векторным или координатным
способом. Кроме того, необходимо провести в сечении произвольную прямую АВ и указать угол a
(альфа), который она образует с одной из осей координат (рис. 14). Движение сечения считается
заданным, если для любого момента времени известны зависимости:
( 29)
или
( 28)
рис 15
Соотношения (28), (29) задают кинематический закон плоского движения тела в векторном и
координатном виде соответственно.
Осуществим плоское перемещение тела (его сечения) из положения 1 в положение 2 (рис. 15). В
сечении выберем произвольную прямую AB. Выберем также в качестве полюса точку А. Если
переместить сечение поступательно вместе с полюсом А, то полюс займет положение A1, а прямая АB
- положение A1B2. Для приведения сечения в конечное положение 2 его необходимо повернуть вокруг
полюса на угол 1. Таким образом, плоское перемещение тела можно рассматривать как одновременно
происходящие поступательное перемещение вместе с полюсом и вращение вокруг этого полюса.
Если выбрать в качестве полюса точку B то после поступательного перемещения вместе с ним прямая
AB займет положение A2B1. Для совмещения сечения с его конечным положением 2 его надо
повернуть на угол 2. Следовательно, и в этом случае плоское перемещение можно представить как
одновременно происходящие поступательное перемещение вместе с полюсом и вращение вокруг него.
Очевидно, что и направление, и угол поворота в обоих случаях совладают. Поэтому кинематические
характеристики поступательной части движения зависят от выбора полюса, а вращательной - не
зависят.
2.6. СКОРОСТЬ ОТДЕЛЬНЫХ ТОЧЕК ТЕЛА ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ.
Выберем в качестве полюса т. А (рис. 16) и выделим произвольную точку B сечения тела. Положение
их в пространстве определим векторным способом (ra и rb соответственно). Кроме того, положение т. В
определим, указав радиус-вектор r.
рис 16
По определений скорость т. В:
(30)
Таким образом, скорость любой точки тела при плоском движении определяется суммой двух
составляющих. Выясним их смысл.
Если в процессе движения тела
(движение поступательное) то:
Следовательно, эта составляющая определяет скорость поступательной части движения вместе с
полюсом. Если же в процессе движения
(вращение вокруг т. А), скорость точки В равна:
очевидно, что эта составляющая представляет собой линейную скорость вращательной части движения
вокруг полюса.
Таким образом, в любой момент времени скорость произвольной точки тела, совершающего плоское
движение, определяется векторной суммой скоростей поступательного движения вместе с полюсом и
вращательного движения вокруг полюса.
Может оказаться так, что для какой-либо точки тела сумма окажется равной нулю (точка в данный
момент времени покоится). Такую точку называют мгновенным центром вращения, и плоское
движение тела можно рассматривать в данный момент времени как вращение вокруг мгновенного
центра вращения. Примером мгновенного центра может служить точка касания цилиндра с
плоскостью, по которой он катится без скольжения.
3. Задачи кинематики.
3.1. ПЕРВАЯ ЗАДАЧА КИНЕМАТИКИ.
Первая задача кинематики состоит в нахождении кинематических характеристик движения по
заданному закону движения.
Пример: Закон движения точки задан в координатной форме
(31)
Прежде всего, определим уравнение траектории точки в виде
(32)
Следовательно, траекторией точки является прямая (рис. 17).
(рис. 17)
Прямая ограничена максимальными отклонениями точки от положения равновесия ±А вдоль оси ОХ и
±B вдоль ОY.
Составляющие скорости равны:
(33)
а полная скорость:
(34)
Ускорение точки в проекциях на координатные оси:
(35)
а полное:
(36)
Таким образом, точка совершает гармонические колебания вдоль прямой, при этом ее скорость и
ускорение изменяются тоже по гармоническому закону. Отклонение точки от положения равновесия:
(37)
3.2. ВТОРАЯ (ОСНОВНАЯ) ЗАДАЧА КИНЕМАТИКИ
Вторая задача состоит в нахождении закона движения и кинематических характеристик движения по
заданному ускорению и начальным условиям. Под начальными условиями понимают значения
координат и скорости точки в начальный момент времени t=t0=0,
Пусть ускорение точки задано его составляющими:
(38)
Начальные условия:
(39)
Рассмотрим сначала движение точки вдоль оси координат OX. По условию:
откуда:
( 40)
Интегрируя (40), получаем:
( 41)
Постоянную интегрирования C1 определяем из начальных условий:
т.е.:
( 42)
Из (42) следует, что
( 43)
Интегрируя (43), получаем:
( 44)
Постоянную интегрирования С2 также получаем из начальных
условий:
( 45)
следовательно:
( 46)
Аналогично получаем для других координатных направлений:
( 47)
( 48)
Полная скорость равна:
( 49)
4.1. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.
4.1. Сила.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ:
Изменение состояния тела происходит в результате взаимодействий, которые приводят к
изменению, как внутреннего состояния тел, так и состояния их движения. Количественной мерой
взаимодействий, приводящих к изменению состояний тел, является сила.
Сила - векторная величина, она характеризуется следующими элементами: величиной,
направлением в пространстве и точкой приложения силы.
Линия, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы.
Совокупность сил, приложенных к телу, называют системой сил.
Если под действием системы сил, приложенных к телу, оно может пребывать в состоянии покоя,
система называется уравновешенной
Если одну систему сил, приложенных к телу, можно заменить другой, не изменяя его
состояние, системы называются эквивалентными.
Сила, эквивалентная системе сил, называется равнодействующей этой системы.
Сила, равная по величине равнодействующей и противоположно ей направленная, называется
уравновешивающей.
Силы взаимодействия между телами одной и той же системы называются внутренними.
Силы взаимодействия с телами, не входящими в состав данной системы называются внешними.
Силы, приложенные в одной точке тела, называются сосредоточенными.
Силы, приложенные ко всем точкам поверхности или объема тела, называются распределенными.
4.2. СЛОЖЕНИЕ СИЛ И РАЗЛОЖЕНИЕ СИЛЫ НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ.
Сложение сил - задача нахождения равнодействующей для заданной системы сил. Находить
равнодействующую можно аналитически и геометрически. В простом случае системы двух сил (рис.
18) можно аналитически выразить величину равнодействующей силы:
(50)
(рис 18)
где  - угол между направлениями сил системы.
(рис 19)
Рис.19 является частным случаем правила силового многоугольника, по которому описанная операция
проводится последовательно для всех сил системы, независимо от их ориентировки в пространстве.
Начало вектора равнодействующей совпадает с точкой приложения первой (по построению) силы
системы, а конец - с концом вектора последней.
(рис 20)
Разложением сил на составляющие называют задачу нахождения системы сил, для которой данная
сила является равнодействующей. Например, для искомой системы двух сил задаются направления
линий действия сил системы (рис.20). Через начало и конец вектора заданной силы проводят прямые,
параллельные указанным направлениям. Искомые силы системы определяются сторонами
полученного параллелограмма.
4.3. ПРОЕКЦИИ СИЛЫ НА ПЛОСКОСТЬ И ОСЬ.
Проекцией силы на плоскость называют вектор Fxy, заключенный между проекциями начала и конца
вектора силы на заданную плоскость (рис. 21).
Аналогично - проекцией силы на ось называют отрезок, заключенный между проекциями начала и
конца вектора силы на заданную ось (рис. 22).
В отличие от проекции на плоскость, проекция силы на ось является скалярной величиной.
(рис 22)
4.4. Статическое и динамическое проявление сил.
В процессе взаимодействия (в результате действия сил) тела изменяют свое внутреннее состояние и
(или) состояние движения. В соответствии с этим рассматривают статическое проявление сил
(приводящее к изменению внутреннего состояния тел) и динамическое (приводящее к изменению
состояния движения). Например, при скольжении тела по наклонной плоскости сила его тяжести
проявляется двояким образом: сообщая телу ускорение (динамически) и деформируя его в результате
взаимодействия с наклонной плоскостью (статически). Поэтому в самом общем смысле все способы
измерения сил можно разделить на два класса - статические и динамические. Пример: пружинный
динамометр и акселерометр.
4.5. 1-й ЗАКОН НЬЮТОНА (ЗАКОН ИНЕРЦИИ).
Существуют такие системы отсчета, в которых тело, предоставленное самому себе, может находиться
в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку действие
внешних сил не вынудят его изменить это состояние.
Способность тел сохранять состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения,
препятствуя внешним воздействиям, называется инертностью. Это – внутреннее свойство, присущее
всем телам, независимо от их природы и состояния. Причины же, вызывающие изменения состояния
тела, всегда внешние - это силы.
Количественной мерой инертности тел является их масса.
4.6. 2-Й ЗАКОН НЬЮТОНА (ОСНОВНОЙ ЗАКОН ДИНАМИКИ).
Как и все законы динамики основной закон получен опытным путем. В частном случае, когда масса
тела в процессе взаимодействий не изменяется, основной закон динамики формулируется в форме:
ускорение, получаемое телом в результате действия на него системы сил, прямо пропорционально
равнодействующей приложенной системы сил, обратно пропорционально массе тел и направлено
вдоль линии действия равнодействующей.
Математическая формулировка частной формы основного закона динамики имеет вид:
(51)
где: F - равнодействующая приложенной системы сил.
Более общей является следующая формулировка основного закона:
Изменение импульса тела пропорционально импульсу равнодействующей приложенной системы сил и
направлено вдоль линии действия равнодействующей.
Под импульсом силы понимают произведение силы на время ее действия. Математическая
формулировка общей формы основного закона динамики имеет вид:
(52)
4.7. 3-Й ЗАКОН ДИНАМИКИ (ЗАКОН ДЕЙСТВИЯ И ПРОТИВОДЕЙСТВИЯ).
Существует две равноправные формулировки 3-го закона:
1. Действию всегда есть равное и противоположно направленное противодействие
2. Тела действуют друг на друга с силами, равными по величине и противоположно направленными.
Эти формулировки получены в результате обобщения экспериментальных фактов, которые
свидетельствуют о том, что тела взаимодействуют всегда попарно, т.е. на изолированное тело силы не
действуют.
С 3-м законом динамики тесно связан закон сохранения импульса. Действительно, если на два тела
действуют только силы взаимодействия между ними, то, по 3-му закону динамики, эти силы равны по
величине и противоположно направлены. Следовательно, по основному закону, одинаковы и
противоположно направлены изменения импульсов тел, а общий импульс системы тел не изменяется.
4.8. ПРИНЦИП НЕЗАВИСИМОСТИ ДЕЙСТВИЯ СИЛ.
Если на тело действует несколько сил, то каждая из них сообщает телу ускорение, определяемое
основным законом динамики, так, как если бы других сил не было.
Например, произвольно направленную и в пространстве силу F можно представить в виде суммы ее
составляющих (компонентов):
где ex, ey, ez - орты прямоугольной системы координат OXYZ.
Второй закон динамики в этом случае имеет вид:
откуда:
Т. о., в приведенном рассуждении учтен принцип независимости действия сил.
4.9. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНОГО ЦЕНТРА.
Моментом силы называют количественную меру вращательного эффекта, вызываемого силой. Момент
силы должен определять величину этого эффекта, плоскость поворота точки и направление поворота в
этой плоскости.
(рис 23)
Величина момента силы равна произведению модуля силы на ее плечо h (величину перпендикуляра,
опущенного из заданного центра O на линию действия силы). Если начало вектора силы совпадает с
точкой А, а конец – А с точкой В, то, очевидно, плоскость поворота совпадает с плоскостью
треугольника OAB (рис. 23).
Условились вектор момента силы относительно центра M0(F) проводить из этого центра O
перпендикулярно плоскости поворота в ту сторону, откуда поворот виден происходящим против хода
часовых стрелок. Модуль же вектора (длина вектора в выбранном масштабе) равен
.
Очевидно, что такой вектор равен векторному произведению:
(53)
где: r - радиус-вектор точки приложения силы, проведенный из заданного центра.
4.10. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОСИ.
Моментом силы относительно оси называют величину, характеризующую вращательный эффект,
вызываемый силой при вращении тела вокруг заданной оси.
К телу А, способному вращаться вокруг оси z приложена сила F (рис. 24). Очевидно, что эффект
вызываемый силой, определяется суммой эффектов, вызываемых ее проекциями Fz и Fxy, первая из
которых вращения тела вокруг оси z вызвать не может. Следовательно, момент силы относительно
заданной оси определяется моментом ее проекции на плоскость, перпендикулярную оси, относительно
точки Пересечения оси с плоскостью.
4.11. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО КООРДИНАТНОЙ ОСИ.
Пользуясь полученным выше результатом можно записать выражения моментов силы относительно
координатных осей. Пусть к телу приложена сила F, координаты точки приложения которой равны
x,y,z. Момент силы F относительно оси oz равен моменту ее проекции Fxy относительно начала
координат (т. 0). В свою очередь момент Fxy равен сумме моментов сил Fx и Fy относительно того же
центра. Очевидно, что плечи сил Fx и Fy численно равны координатам точки приложения силы y и x
соответственно. С учетом знаков моментов этих составляющих можно записать
(рис 25)
(54)
Аналогично определяются моменты силы
F относительно осей ОХ и ОУ:
(55)
(56)
4.12. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА И КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ.
Количественной мерой движения при вращении является момент количества движения (момент
импульса). По аналогии с моментом силы момент импульса относительно центра и координатных осей
записываются в виде:
(57)
(58)
(59)
(60)
2. Основной закон динамики. Уравнение моментов для тела движущего по окружности
Пусть точка движется по окружности радиуса с центром в т. О под действием силы F, составляющей
угол  с касательной а окружности (рис. 26).
(рис 26)
Второй закон динамики в проекциях на касательное направление имеет вид:
(61)
Учитывая, что
и умножив обе части (61) на R получим:
(62)
(63)
из рисунка видно, что Rcos=h (плечо силы относительно центра окружности). Учитывая также
направление векторов углового ускорения и момента силы относительно центра окружности, получим:
Сравним полученное выражение с основным законом динамики Ньютона в частной формулировке
(64)
Заметим, что в (63) и (64) физический смысл
аналогичен, только речь идет о разных
типах движения. Поэтому одинаков и физический смысл величин m и mR2. Следовательно, величина
mR2 определяет инертные свойства тела при вращательном движении. Эта величина I=mR2 называется
моментом инерции тела (точки). С учетом сказанного основной закон динамики для вращательного
движения записывают в виде:
(65)
4.14. Уравнение моментов относительно произвольного центра.
Основной закон динамики в общей формулировке можно записать в виде:
(66)
При вращательном движении вокруг центра О роль импульса играет момент импульса относительно
центра:
где r – радиус-вектор вращающейся материальной точки.
Основной закон динамики вращательного движения (уравнение
произвольного центра будем находить в виде, аналогичном (66).
(67)
моментов)
относительно
Учитывая (67), получим:
(68)
Отметим, что:
Тогда:
(69)
Очевидно, что первый член в правой части равенства равен нулю, а второй - моменту силы
относительно выбранного центра. Следовательно:
(70)
4.15. Уравнение моментов относительно координатных осей.
Совершенно аналогично можно получить уравнения моментов относительно координатных осей:


d (mv y ) dy
d (mvx )
dN 2 d
dx

x(mv y )  y (mvx )  (mv y )  x
 (mvx )  y
 xFy  yFx
dt
dt
dt
dt
dt
dt
Следовательно:
dN 2
 M2
dt
(71)
Подобным же образом получаем:
dN y
dt
My
(72)
4.16. Движение тел в поле центральных сил.
dN x
 Mx
dt
(73)
Центральными называют силы, линии действия которых проходят в своё время через один и тот же
центр. Примером таких сил могут служить силы гравитационного взаимодействия между планетами
Солнечной системы.
Основные особенности движения тел в поле центральных сил рассмотрим на примере движения
планеты вокруг Солнца. Планета Р (рис.27) движется вокруг Солнца, центр масс которого находится в
точке с. Радиус-вектор планеты r , а сила, действующая на неё со стороны Солнца - F . Движение
планеты вокруг Солнца описывается уравнением моментов:
dN c
 Mc
dt


Т.к.. F  r
,
(75)

M c  0 следовательно:
(76)
Постоянство вектора
означает постоянство как его модуля, так и направления в пространстве. Из
N c  const
условия постоянства направления следует, что орбита планеты плоская, т.е. она движется всё время в
одной и той же плоскости.
Из условия постоянства модуля вектора
следует, что:
mv  h  const
vh 
(77)
dS
h  const
dt
(78)
Считая массу планеты постоянной, можно далее записать:
Из рисунка видно, что h*dS равно удвоенной площади, ометаемой радиус-вектором планеты за
промежуток времени dt.Обозначив эту площадь dσ, получим:
d
 const
dt
(79)
т.е. площадь, ометаемая радиус-вектором планеты в единицу времени (секториальная скорость)
постоянна.
5. Основные законы динамики систем материальных точек.
5.1. Система материальных точек.
Системой материальных точек (механической системой) называют совокупность взаимодействующих
между собой точек, в которой положение и движение каждой из них зависит от положения и движения
остальных точек системы (например, Солнечная планетная система).
Система точек характеризуется совокупностью сил, приложенных ко всем точкам системы как со
стороны других точек системы (внутренние силы), так и со стороны тел, не входящих в состав данной
системы (внешние силы). Характеристикой системы является её масса, равная сумме масс точек,
входящих в состав системы. Кроме того, система характеризуется положением её центра масс, которое
можно задавать векторным и координатным способами:


rc
m r

m
m y
,

m

k k
(80)
k
k
m x
,

m

k
xc
k
k
k
yc
k
k
k
k
zc
k
k
k

m z

m
k
k
(81)
k
k
k
где:
m k ― масса k-й точки системы, rk ― её радиус-вектор, x k , y k , z k

rc - радиус-вектор центра масс системы, xc , y c , z c ― его координаты.
― её координаты,
5.2. Основной закон динамики системы материальных точек.
Для любой точки системы (например, k-й) можно записать основной закон динамики Ньютона в виде:

e l
d 2 rk
mk

F
k  Fk
dt 2
e
(82)
t
где Fk ― равнодействующая внешних сил, приложенных к k-й точке системы, Fk ― равнодействующая
внутренних сил, приложенных к k-й точке.
Записав таким образом уравнения динамики по второму закону для всех точек системы и суммируя их,
получаем:
2


m
k
k
d rk
  Fke   Fkt
2
dt
k
k
(83)
Учитывая, что геометрическая сумма внутренних сил равна нулю, имеем:
e

d2 
m
r

F




k k
k
dt 2  k
 k
(84)
С учётом (2-31) можно окончательно записать основной закон динамики для системы материальных
точек в виде, аналогичном основному закону динамики для материальной точки:


d 2 rc
M 2   Fke
dt
k
где:
(85)
― общая масса системы.
5.3. Уравнения моментов для системы материальных точек относительно произвольного центра,
произвольной оси.
По определению моментом импульса системы точек относительно центра называют векторную
сумму моментов импульса всех точек системы относительно того же центра:



N 0   rk  mk v k 
(86)
k
Для каждой точки системы можно записать уравнение
моментов в виде:



dN k
 M ke  M kt
dt
t
e
где: M k ― сумма моментов внешних сил, приложенных к k-й точке, аM k
(87)
― сумма моментов
внутренних сил, приложенных к k-й точке.
Суммируя уравнения моментов для всех точек системы, получим:



dN k
  M ke   M kt
dt
k
k
(88)
Учитывая, что векторная сумма моментов всех внутренних сил равна нулю,


dN 0
  M ke
dt
k
(89)
Совершенно аналогично выводится уравнение моментов относительно произвольной оси:
dN z
  M kze
dt
k
где:
(90)
e
M
 k ― сумма моментов внешних сил относительно произвольной оси Z.
6. Динамика тел переменной массы.
Телом переменной массы называют тело, масса которого с течением времени изменяется (M=M(t)) за
счёт отделения от него или прибавления к нему дополнительной массы. Тело, от которого отделяется
масса или к которому прибавляется масса, называется основным телом. Основной закон динамики тела
переменной массы получим на примере ракеты.
6.1. Основной закон динамики тела переменной массы (уравнение Мещерского) для тела с
убывающей массой.
Предположим, что в момент времени t основное тело (корпус ракеты) имело массу М, двигалось

со скоростью v , а равнодействующая внешних приложенных к нему сил

равнялась
 в момент времени t+dt от основного тела
F. e Через малый промежуток времени dt, т.е.
отделилась масса –dM (dM<0), движущаяся со скоростью v1 .
Основное тело в этот момент имеет массу M+dМ и движется со скоростью
.
Применим к системе «основное тело ― отделяющаяся масса» основной закон динамики для системы
e
точек:

 
Mdv  dM (v1  v )  F dt
(91)
Пренебрегая величинами второго порядка малости, можем записать:

M  dM v  dv   dM  v1  Mv  F e dt
(92)
Обозначив
(скорость продуктов сгорания топлива относительно корпуса ракеты), получим
основной закон динамики для тела с убывающей массой:

dv  e  dM
M
 F u
dt
dt
(93)
От второго закона Ньютона выражение (93) отличается величиной
, имеющей размерность
силы. Учитывая, что dM<0, отметим, что при отделении массы от основного тела на него действует
дополнительная сила, равная произведению массового расхода
на относительную скорость , а
направлена эта сила противоположно относительной скорости. Такую силу называют реактивной.
6.2. Основной закон динамики для тела с возрастающей массой.
Предположим,
что в момент времени t система состояла из основного
тела массы М, двигавшегося со


v
v
скоростью
и малой массы dM, двигавшейся со скоростью 1 . К моменту времени t+dt малая масса
попадает на основное тело, т.е. система представляет уже собой одно тело массы M+dM, которое
движется
со скоростью
. Если равнодействующая внешних сил, действующих на систему, равна

F e , основной закон динамики записывается для системы в виде:
Пренебрегая величинами второго порядка малости, преобразуем (94) к виду:





( M  dM )(v  dv )  Mv  dM v1  F e dt

 
e
Mdv  dM (v1  v )  F dt
 
 dM
dv
M
 Fe u
dt
dt
(94)
(95)
где:
― относительная скорость добавляющейся массы.
Внешняя форма закона динамики для тела с возрастающей массой полностью совпадает с уравнением
динамики для тела с убывающей массой. Разница в том, что на этот раз дополнительная сила

совпадает по направлению с относительной скоростью, т.к. в случае добавляющейся массы dM>0.
6.3. Первое соотношение Циолковского.
Первое соотношение Циолковского определяет скорость ракеты в конце активного участка траектории
(того участка, на котором работает двигатель). Соотношение получим в предположении, что
относительная скорость продуктов сгорания топлива u постоянная (1-я гипотеза Циолковского). Кроме
того,
 будем считать, что ракета движется вне силовых полей.
( F e  0) .Тогда в проекциях на направление движения ракеты уравнение Мещерского можно
представить в виде:
M
или:
dv
dM
 u
dt
dt
dv  u
Интегрируя, получим:
dM
dt
v  u  ln M  C
(96)
(97)
(98)
Постоянную интегрирования С определим из условий для начала активного участка , когда
M  M 0 ,а v  v0 . Тогда:
Подставив в (98) найденное значение постоянной интегрирования, получаем:
C  v0  u  ln M 0
(99)
Таким образом, в любой точке активного участка траектории можно определить скорость ракеты v,
v  v0  u  ln
M0
M
(100)
зная её массу в этот момент. Отметим, что начальная масса ракеты состоит из массы корпуса
и
массы топлива
, содержащегося в нём:
. В конце активного участка топливо полностью
сгорает, и масса ракеты определяется только массой её корпуса.
Тогда скорость ракеты в конце активного участка траектории равна:
 M 
v  v0  u  ln 1  m   v0  u  ln( 1  z )
Mk 

(101)
Анализ полученного соотношения позволяет указать пути повышения скорости ракеты.
6.4. Второе соотношение Циолковского.
Второе соотношение Циолковского определяет максимально возможный к.п.д. ракетного двигателя.
По-прежнему считаем, что ракета движется вне силовых полей, а относительная скорость продуктов
сгорания топлива постоянна. Кроме того, полагаем, что потерями на нагрев корпуса ракеты и на
излучение можно пренебречь. При таких предположениях работа двигателя определяется изменением
кинетической энергии системы «ракета ― отделившиеся продукты сгорания топлива». При этом
полезная работа A1 определяется изменением кинетической энергии только корпуса ракеты, а вся
затраченная работа A2 ― изменением кинетической энергии всей системы.
Положим, что в момент времени t масса ракеты была М, а скорость её . В момент времени t+dt
система состояла из одного тела массой M+dM, двигавшегося со скоростью
d, и отделившихся продуктов сгорания массы –dM, двигавшихся со скоростью
Полная работа, совершённая двигателем за промежуток времени dt, равна:
dA2 

1
M  dM v  dv 2  dMv12  Mv 2
2
v1 .

(102)
Пренебрегая величинами второго и третьего порядка малости, получим:
dA2 


1
2Mvdv  dM v12  v 2
2

(103)
Абсолютная скорость продуктов сгорания топлива связана с относительной соотношением:
v1  v  u
С учётом этого:
dA2 

1
2Mvdv  dMu 2  2vudM
2

(104)
Используя соотношение Циолковского и полагая в нём, что скорость ракеты в начале активного участка
траектории равна нулю, последнее соотношение приведём к одной переменной:
dA2 
M 0 dM
M0
1
u2

2
2
2

2
Mu
ln


dMu

2
u
ln
dM


dM

2 
M M
M
2

Интегрируя это равенство в пределах изменения массы ракеты (от
полной работы, совершённой двигателем:
до
Mk
M mu 2
u2
A2   dA2   M k  M 0  
2
2
M0
(105)
), получим значение
(106)
Полезная работа, совершённая двигателем за промежуток времени dt, равна:
2

M
1  2 M0 
dA1  u  ln
 dM  2u 2 ln 0 dM 
2   M 
M

(107 )
Используя 1-е соотношение Циолковского, последнее равенство можно записать в виде:
dA1 





1
M  dM  v  dv 2  Mv 2  1 2Mvdv  dMv 2
2
2

(108)
Это дифференциальное выражение удобно интегрировать методом интегрирования «по частям»,
b
b
согласно которому:
 XdY  XY
  YdX
a
(109)
a
Полезная работа на всём активном участке траектории равна:
u2
A1 
2
2
Mk
M
k
M0
 M0 
2
M  ln M  dM  u M ln M dM
0
0
(110)
Первый из интегралов интегрируем «по частям», полагая:
2
 M 
X   ln 0  , dY  dM
 M 
M dM
Y  M , dX  2 ln 0 
M M
Тогда:
Согласно (109):
(111)
Подставив это значение в (110) получим:
2
k
k
 M 
M
M
M u2
u2
A1 
M k  ln 0   u 2  ln 0 dM  u 2  ln 0 dM  k
2
M
M
2
 Mk 
M0
M0
M
M
 M0 
 ln

 Mk 
2
(112)
По определению коэффициент полезного действия ракетного двигателя равен:
 M
M k  ln 0
A
 Mk
 1 
A2
Mm
Учитывая, что
Циолковского:
и



2
(113)
, запишем окончательный вид второго соотношения
2

ln 1  z 

(114)
z
6.5. Линейный режим работы ракетного двигателя.
При линейном режиме работы ракетного двигателя масса ракеты уменьшается со временем по
линейному закону:
M  M 0 (1  t )
(115)
где α определяет скорость сгорания топлива. При таком режиме массовый расход равен:

dM
 M 0
dt
(116)
т.е. со временем массовый расход не изменяется. Уравнение Мещерского при отсутствии внешних сил
имеет вид:


dv
M
 M 0 u
dt
Очевидно, что реактивная сила
ракеты возрастает по закону:
(117 )
со временем не изменяется. В то же время ускорение


 R
u
a

M
1  t
(118)
Таким образом, при линейном режиме реактивная сила постоянна, а ускорение ракеты и,
соответственно, силы инерции, действующие на тела в корпусе ракеты со временем возрастают.
6.6. Показательный режим работы ракетного двигателя.
При показательном режиме масса ракеты со временем изменяется по закону:
(119)
где: α - положительная постоянная.
При этом режиме массовый расход со временем уменьшается:
(120)
Уравнение Мещерского при отсутствии внешних сил:
(121)
т.е. ускорение ракеты постоянно.
Следовательно, при показательном режиме работы двигателя массовый расход топлива со
временем уменьшается, а ускорение ракеты и силы инерции, действующие на тела в ее корпусе,
остаются постоянными.
6.7. Вертикальный старт одноступенчатой ракеты.
Ракета, двигатель которой работает по показательному закону, стартует с Земли по нормали к ее
поверхности. Высоту подъема ракеты считаем настолько малой, что изменением ускорения свободного
падения при подъеме ракеты можно пренебречь. Уравнение Мещерского в векторном виде:
Учитывая закон изменения массы, уравнение Мещерского в проекции на направление
движения записывается в форме:
(123)
т.е. ускорение ракеты постоянно.
При таком ускорении скорость ракеты на активном участке равна:
(124)
а пройденный путь:
(125)
Из закона изменения массы можно определить время работы двигателя:
(126)
Следовательно, длина активного участка траекторий равна:
(127)
а скорость ракеты в конце активного участка –
За счет кинетической энергии ракета повышается при неработающем двигателе на
дополнительную высоту:
Как видно, максимальная высота подъема ракеты Н =
зависит от режима расхода
топлива (коэффициента α). Определим значение α, при котором ракета поднимается на
максимальную высоту.
(130)
откуда следует, что α → ∞.
Таким образом, ракета поднимается на максимальную высоту при мгновенном (α → ∞)
сгорании топлива.
7. Инерциальные системы отсчета.
7.1.Относительность механического движения.
Покой и движение тел относительны и определяются выбором тела отсчета (системы
отсчета). Например, сидящий в вагоне движущегося поезда пассажир покоится относительно
вагона и движется относительно полотна дороги.
Абсолютным называется движение тела относительно системы, условно принятой за
неподвижную.
Система, совершающая движение относительно неподвижной системы, называется
движущейся или подвижной.
Относительным называется движение тела относительно подвижной системы. Переносным
называется движение подвижной системы относительно неподвижной. Пусть положение т. А
определено в двух системах отсчета: неподвижной OXYZ и подвижной O'X'Y'Z'


r A а
неподвижной системе положение т. А определяются радиус-вектором r A в подвижной–,
положение начала подвижной системны относительно неподвижной определяются вектором r0.
Как видно из рисунка, связь между радиус-векторами rA и r A , определяющими положение точки в
обеих системах отсчета выражается соотношением:
(131)
Легко видеть, что аналогично связаны и векторы скорости в этих системах (абсолютная и
относительная):
(132)
Но для вектора ускорения при произвольном движении тела и подвижной системы эта связь оказывается
более сложной.
Если подвижная система наряду с поступательным совершает и вращательное движение, а тело
движется относительно нее, в относительном и переносном ускорениях появляется дополнительный
член, одинаковый и для относительного, и для переносного ускорения, обусловленный движением тела
во вращающейся системе отсчета. Это происходит даже при равномерном движении тела относительно
подвижной системы. Следовательно, с точки зрения наблюдателя подвижного, нарушается основной
закон динамики (т.е. подвижная система не попадает в круг систем, определенный первым законом
Ньютона).
Системы, в которых выполняется законы Ньютона, называют инерциальными. Инерциальные - это
такие системы отсчета, в которых ускорение вызывается только действием сил, а сами силы появляется
только в результате взаимодействий тел.
Предположим, что две системы отсчета находятся в относительном движении (рис.29).
Если тело С покоится относительно системы А, то оно движется равномерно и
прямолинейно относительно подвижной системы, пока к телу отсчета В не приложены
силы. Если же к телу отсчета В приложить силу F , система начнет двигаться ускоренно
относительно системы А и, соответственно. тело С относительно нее получит ускорение,
хотя на него и не действуют силы. Основной закон динамики нарушается. Поэтому
инерциальные системы отсчета связаны только со свободными телами отсчета.
7.2. Галилеевы преобразования координат и закон сложения скоростей.
Предположим, что одна из систем отсчета неподвижна, а другая - движется
относительно первой с постоянной скоростью, так что оси ОХ,O’Х' и OY ,0'Y' остается
параллельными, а ось 0'Y' скользит вдоль OY со скоростью  0 (рис.30).
Положение т. А можно задать векторным и координатным способами в обеих
системах отсчета. Будем считать, что в исходный момент времени системы полностью
совпадают. Тогда к моменту времени t, измеренному в неподвижной системе, подвижная
система совершит перемещение vo t . Координаты т. А в двух системах отсчета связаны
соотношениями:
х' = х
(133)
(134)
(135)
z'=z
Опыт показывает, что течение времени в обеих системах одинаково:
t'=t
(136)
Совокупность соотношений (133, 134, 135, 136) и представляет собой преобразования
Галилея в координатной форме.
Более компактную форму принимают преобразования Галилея, если положение т. А
определять векторным способом:
(137 )
t' = t
Справедливы и преобразования Галилея для обратного перехода:
х = х'
z=z'
t=t’
(138)
(139)
(140)
(141)
(142)
или
(143)
t = t'
Скорость т. А в двух системах отсчета связана соотношением:
(144)
7.3. Принцип относительности Галилея, его физический смысл.
Из закона сложения скоростей Галилея (145) следует, что ускорение тела в двух
инерциальных системах отсчета, находящихся в относительном движении, одинаковы:
(146)
Механические опыты, так или иначе, связаны со 2-м законом Ньютона, т.е. с
определением ускорения тела. Результат опыта (измеряемое ускорение) оказывается
одинаковым во всех инерциальных системах отсчета. Это дает основание
сформулировать механический принцип относительности (принцип относительности
Галилея): никакими механическими опытами, проводимыми внутри инициальной
системы, нельзя отличить ее от другой инерциальной системы.
При таком утверждении предполагается, что 2-й закон Ньютона имеет одинаковую
форму в различных инфернальных системах, что очевидно. Закон будет иметь
одинаковую форму в том случае, если отдельные физические величины, входящие в
него, не преобразуются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой:
F’ = F, m’ = m, a’ = a
Из закона сложения скоростей Галилея следует, что а' = а. Опыт показывает, что при
небольших скоростях по сравнению со скоростью света масса тела также одинакова во
всех инерциальных системах.
Что касается сил, то их основные типы зависят от времени, относительного расстояния
между взаимодействующими телами и относительной скорости тел. Если эти параметры
одинаковы в разных системах отсчета, то одинаковы и силы. Равенство параметров
следует из преобразований Галилея и закона сложения скоростей. Поэтому механический
принцип относительности можно сформулировать и таким образом. Законы динамики
ковариантны по отношению к преобразованиям Галилея.
8. Основы специальной теории относительности.
8.1. Постулаты Эйнштейна.
В основе специальной теории относительности, прежде всего, лежит факт постоянства
скорости света в различных системах отсчета, что противоречит классическому закону
сложения скоростей. Кроме того, нет никаких оснований считать, что механические
опыты позволят отличить одну инициальную систему отсчета от другой. Это позволило
Эйнштейну сформулировать исходные постулаты специальной теории относительности.
Постулат о постоянстве скорости света: скорость света в вакууме одинакова во всех
инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источника и приемника света.
Постулат относительности (общефизический принцип относительности): Никакими
физическими опытами нельзя отличить одну инерциальную систему отсчета от другой.
Наряду с этими постулатами Эйнштейн ввел принцип синхронизации часов, имеющий
такое же значение в теории относительности, как и сформулированные выше постулаты.
Для того, чтобы одинаковые по устройству часы А и В (рис.31)
шли одинаково, необходимо их синхронизировать. Пусть в момент времени
,
отсчитанный по часам А, в том месте, где они находятся, осуществляется световая
вспышка. Сигнал от нее достигает часов В, мгновенно отражается и поступает к часам А
в момент времени
, отсчитанный по ним. Часы А и В считаются
синхронизированными, если в момент отражения сигнала в т. В показания часов равны:
t B  (t1  t 2 ) / 2
По сути дела в принципе синхронизации постулируется утверждение, что прямой и
отраженный сигналы движутся с одинаковой скоростью, а само отражение происходит
мгновенно, что не следует из сформулированных ранее постулатов.
Исходя из указанных постулатов, можно получить все основные выводы
специальной теории относительности.
8.2. "Радиолокационный" метод (метод коэффициента "k ").
Движение тел можно графически представлять диаграммами x=x(t). В случае
скоростей, сравнимых со скоростью света, масштаб х и t выбирается таким, что
траектория светового сигнала ("световая линия") делит координатный угол пополам.
Если же тело движется со скоростью, меньшей скорости света, угол наклона его
траектории к оси t меньше 45°.
Предположим, что две инерциальные системы отсчета А и В находятся в
относительном движении. Систему А условно считаем неподвижной. В исходный момент
времени системы полностью совпадали. В этот момент осуществляется синхронизация
подвижных и неподвижных часов и на них устанавливаются нулевые показания. Далее
система В удаляется от А со скоростью v<c (рис.32).
Рис.32
Затем в системе А производится вторая вспышка в момент времени t, измеренный
по часам А. Сигнал от нее догоняет систему В в момент времени
, измеренный по
часам В в подвижной системе, а показания неподвижных часов А для этого события
равны
. Сигнал мгновенно отражается и приходит в систему А в момент времени
,
отсчитанный по часам А.
Предположим, что показания подвижных часов в момент отражения сигнала
вk
раз отличаются от показаний неподвижных часов t в момент посылки сигнала:
= kt
(148)
Системы равноправны, поэтому с момента отражения неподвижной можно считать
систему В, а систему А - подвижной. Тогда показания часов А в момент приема сигнала
равны:
(150)
С момента синхронизации до отражения сигнала система В и световой сигнал,
посланный в момент времени t (по часам А), проходят одинаковый путь:
т.е.
откуда получаем значение коэффициента k:
Следовательно, показания подвижных часов в момент приема сигнала всегда
больше показаний неподвижных часов в момент посылки сигнала:
8.3. "Замедление" хода времени.
Рассмотрим на описанном выше примере промежуток времени между двумя
событиями (синхронизация часов и отражение сигнала), измеренный по часам А и В.
Поскольку в момент синхронизации показания обоих часов нулевые, то промежуток
времени численно равен показаниям часов в момент отражения сигнала. Обозначив
промежуток времени, измеренный по часам А и В, соответственно
и
,
отношение этих показаний запишем в виде:
откуда:
(152)
Следовательно, промежуток времени между двумя событиями, измеренный
подвижными часами, меньше результата того же измерения по неподвижным часам.
8.4. Относительная скорость.
Предположим, что системы А, В и D находятся в относительном движении. В
исходный момент все три системы совпадали. В этот момент производим синхронизацию
всех часов и устанавливаем на них нулевые показания. Далее система В удаляется от А со
скоростью v1, а система D - со скоростью 2 >v1. В момент времени t (пo часам А) в
системе А производится световая вспышка, сигнал от которой достигает (рис.33)
Рис.33
системы В в момент tB =k1t (по часам В) и системы D в момент tD =k2t (по часам D).
При этом:
Теперь будем считать систему В неподвижной, а систему D - удаляющейся от B с
относительной скоростью и. Тогда:
(154)
где:
Следовательно:
откуда:
Это и есть выражение для относительной скорости.
8.5. Сравнение поперечных размеров тел.
Пусть две системы OXYZ и O'X'Y'Z' находятся в относительном движении. Одну из них, OXYZ,
считаем неподвижной, другая же движется со скоростью v относительно первой так, что оси
ОХ, 0'Х' и 0Z, О’Z' остаются параллельными, а ось О’Y' скользит вдоль оси OY . В подвижной
системе вдоль оси O'Z' расположены "световые часы" (жесткий стержень с двумя зеркалами
на концах, отражающими поверхностями друг к другу) так, что нижнее зеркало совпадает с
началом системы отсчета (рис.34). В исходный момент, когда системы полностью совпадали,
у нижнего зеркала произошла световая вспышка. Сигнал от нее достигает верхнего зеркала,
отражается, приходит опять к нижнему зеркалу, и далее процесс повторяется периодически.
Пусть по неподвижным часам промежуток
Рис.34
времени между вспышкой и приходом сигнала равен t. За это время в неподвижной системе
световой сигнал проходит путь сt, а подвижная система - vt. Из рисунка видно, что длина
световых часов, численно равная координате z верхнего зеркала, в неподвижной системе
равна:
(157)
В подвижной системе, связанной с подвижными часами, длина их равна:
z'=ct'
(158)
где: t' - полупериод часов, т.е. промежуток времени между вспышкой и приходом сигнала к
верхнему зеркалу.
Учитывая эффект "замедления" хода времени, получаем:
т.е. поперечные размеры (по отношению к направлению движения) тел одинаковы в обеих
системах отсчета:
z'=z
8.6. Эффект "сокращения" длин.
Пусть теперь световые часы ориентированы вдоль оси подвижной системы так, что левое
зеркало совпадает с ее началом. В исходный момент системы совпадали, и в этот момент у
левого зеркала произошла вспышка. Сигнал от нее достигает правого зеркала через
промежуток
времени t1 по неподвижным часам (рис.35). Тогда:
где: l - длина световых часов, измеренная в неподвижной системе.
После отражения сигнал и левое зеркало движутся навстречу друг другу и встречаются в
момент времени t2 по неподвижным часам. Очевидно, что:
(161)
Период световых часов, измеренный в неподвижной системе, равен:
В подвижной системе период часов определяется соотношением:
(163)
где l' - длина часов, измеренная в подвижной системе. Отсюда:
(164)
т.е.:
Следовательно, продольные размеры тел в любой системе меньше собственных l  :
8.7. Преобразования Лоренца.
Преобразования Лоренца дают связь между пространственными и временными
координатами событий в двух инициальных системах отсчета, находящихся в
относительном движении.
Учитывая, что поперечные размеры тел одинаковы, получаем:
z'=z
(166)
х'=x
(167)
Для сравнения координат у обратимся к предыдущему примеру:
С другой стороны, это соотношение можно представить в виде:
т.е.
Соотношения (166,167,168,170) называют преобразованиями Лоренца.
8.8. Интервал. Инвариантность интервала.
Интервалом S между двумя событиями называют величину, квадрат которой равен:
где xi,yi,zi,ti - пространственные и временные координаты событий.
Используя преобразования Лоренца, запишем интервал в подвижной системе отсчета:
Таким образом, интервал является инвариантом:
S /2=S 2
(171)
В зависимости от соотношения между временной cΔt и пространственной -
l  (x) 2  (y ) 2  (z ) 2
частями интервала различают:
1.Времениподобные интервалы (cΔt > Δl).
2.Пространственноподобные интервалы (cΔt <s Δl).
3. Светоподобные интервалы (сΔt = Δl).
8.9. Преобразования компонентов вектора скорости.
Преобразования компонентов
преобразованиями Лоренца:
вектора
скорости
можно
получить,
пользуясь
8.10. Релятивистская масса, релятивистский импульс.
Из факта предельности скорости света следует, что тела могут двигаться только со
скоростями, меньшими скорости света. Если на тело действует постоянная сила, то его
ускорение пропорционально силе лишь при малых скоростях. С ростом скорости при
неизменной силе ускорение начинает уменьшаться, что можно объяснить только
возрастанием массы тела с ростом скорости.
Масса тела, движущегося со скоростью  , равна:
,
где
m0 - масса тела в системе, связанной с ним, так называемая "масса покоя".
Соответственно, импульс тела определяется выражением:
(176)
8.11. Релятивистское уравнение движения.
Релятивистское уравнение движения по внешнему виду совпадает с записью основного
закона динамики Ньютона в общей формулировке:
Релятивистское уравнение динамики удовлетворяет преобразованиям Лоренца и,
следовательно, общефизическому принципу относительности. Важно отметить, что в
отличие от классического закона динамики в релятивистском случае сила и ускорение
могут не совпадать по направлению:
Лишь в двух случаях, когда сила нормальна к вектору скорости или сонаправлена с ним,
ускорение и сила по направление совпадают.
9. Неинерциальные системы отсчёта.
9.1. Силы инерции.
Как уже отмечалось, существуют такие системы отсчета, в которых ускорение тел
вызывается не только действием сил, но и самим движением системы отсчета.
Рассмотрим поведение свободного тела, находящегося в покое относительно неподвижной
системы. В этой системе выполняются законы Ньютона: равнодействующая приложенных
к телу сил равна нулю и тело, как следствие, находится в покое. Если же другая система
отсчета движется относительно первой с ускорением a, то в подвижной системе тело
получает ускорение - а, равное по величине ускорению системы и противоположно ему
направленное. Следовательно, в подвижной системе законы Ньютона не выполняются:
равнодействующая приложенных сил равна нулю, а тело приобретает ускорение.
Чтобы и в таких системах выполнялись законы Ньютона, приходится вводить
дополнительные фиктивные силы, называемые силами инерции. В рассмотренном примере
в подвижной системе вводится сила инерции:
объясняющая появление ускорения тепа в подвижной системе отсчета. Т.е. сила инерции
равна произведению массы тела на ускорение системы и противоположно ему направлена.
Если связать систему отсчета с ускоренно движущимся телом, то геометрическая сумма
всех сил, приложенных к телу, включая силу инерции, равна нулю (принцип Даламбера).
9.2. Силы инерции во вращающихся системах отсчета.
Во вращающихся системах отсчета возникающие силы инерции зависят не только от
движения системы, но и от характера движения тела относительно нее. Положим, что тело
покоится во вращающейся системе и вращается вместе с ней. Для неподвижного
наблюдателя тело движется по окружности, следовательно, на него действует реальная
центростремительная сила. Во вращающейся системе тело покоится, хотя на него и
действует указанная сила. Для выполнения законов динамики приходится ввести
фиктивную силу, уравновешивающую центростремительную.
Такую силу называют центробежной силой инерции.
При движении тела относительно вращающейся
дополнительные силы инерции.
системы
приходится
вводить
9.3. Силы инерции Кориолиса.
Пусть система вращается равномерно с угловой скоростью ω. Вдоль радиуса системы
равномерно со скоростью v движется тело (рис. 36).
Абсолютный импульс тела определяется относительным и переносным движением
Со временем будут изменяться обе составляющие абсолютного импульса. Рассмотрим
сначала изменение относительного импульса.
Поскольку тело движется равномерно относительно подвижной системы, будет
изменяться только направление импульса. За промежуток времени система (и ее радиус)
поворачивается на угол  = t (рис. 37).
При малых углах поворота вращение относительного импульса равно:
(179)
Направлено это изменение в сторону вращения перпендикулярно к радиусу.
Переносный импульс направлен все время в сторону вращения перпендикулярно к радиусу,
величина его, пропорциональная линейной скорости вращения системы, зависит от
удаления от центра вращения (рис.38)
Изменение величины переносного импульса за время dt равно
(180)
Как видно, изменения относительного и переносного импульсов одинаковы по
величине и направлению, поэтому полное изменение импульса тела равно
(181)
С другой стороны, из основного закона динамики следует:
, где F - равнодействующая приложенных к телу сил.
Таким образом, наблюдаемые изменения импульса вызываются внешними силами,
равными по величине:
F=2m
(182)
Учитывая направления (рис. 39) векторов
в векторном виде можно записать
(183)
Для рассмотренного случая движения на рис.40 представим все действующие на тело силы.
Пусть стержень вращается равномерно в горизонтальной плоскости, вдоль него
равномерно движется небольшая муфточка. Относительно неподвижного наблюдателя на
тело должны действовать следующие силы (отмеченные на рисунке
 сплошными линиями).
P
Т.к. тело движется
в
горизонтальной
плоскости,
сила
тяжести
уравновешена реакцией

стержня N . Поскольку траектория тела криволинейная, на него должна действовать
центростремительная сила
, обеспечивающая нормальное ускорение. Наконец, на
тело действует рассмотренная выше сила

, приложенная со стороны стержня.
В системе, связанной с вращающимся стержнем, тело движется равномерно и
прямолинейно, т.е. сумма приложенных к нему сил должна быть равной нулю. Как видно
из рисунка, в горизонтальной плоскости силы не уравновешены, поэтому необходимо для
выполнения законов динамики ввести силы инерции (на рисунке показаны пунктиром).
Вдоль стержня действует центробежная сила инерции, уравновешивающая
центростремительную силу.
Силу
уравновешивает сила инерции Кориолиса
:
(184)
Как видно из (184), сила Кориолиса возникает во вращающейся системе отсчета при
относительном движении тел. Исключением является движение тела вдоль оси вращения
системы - силы инерции Кориолиса в этом случае не возникают.
9.4. Зависимость веса тел от географической широты местности.
Географической широтой местности называют угол между радиусом Земли, проведенным в
рассматриваемую точку и экваториальной плоскостью (рис. 41).
На тело, покоящееся относительно Земли, действует сила гравитационного

Притяжения P0 , направленная к центру Земли, и реакция поверхности
.
Реакция отклоняется от нормали к поверхности на угол
 , чтобы равнодействующая
реакции поверхности Земли R и гравитационной силы P0 давала центростремительную
силу, обеспечивающую нормальное ускорение при вращении тела вместе с поверхностью
Земли.
Силу, равную по
и противоположно ей направленную,
 величине реакции
называют весом тела
P .
В системе, связанной с Землей, тело покоится, поэтому необходимо ввести
центробежную силу инерции .
Из силового треугольника, представленного на рис.42, можно определить величину
веса тела на географической широте  и угол отклонения  силы веса тела от радиуса
Земли.
Центробежная сила инерции равна:
185
С учетом этого получим:
т.е
(186)
Так как угол  мал, а m 
P0
, получим окончательно:
g0
(187)
Угол отклонения  легко определить из рис. 42.
(188)
Как видно из (167) и (168), вес тела максимален на полюсах и минимален на
экваторе. Отклонение силы веса от радиуса Земли максимально на широте /4 и равно
нулю на полюсах и экваторе.
10. Силы трения. Сухое трение.
10.1. Силы трения скольжения.
Сухим (внешним) трением называют силы сопротивления движению, возникающие при
относительном движении одного твердого тела по поверхности другого. Силы
сопротивления движению определяются наличием микро- и макронеровностей
поверхностей трущихся тел и взаимодействием между ними. При скольжении одной
твердой поверхности по другой в плоскости соприкосновения тел возникают силы,
направленные противоположно относительной скорости. Эти силы и называют силами
трения скольжения. Основные законы и закономерности для сил трения скольжения
получены опытным путем. Закон Кулона определяет величину сил трения скольжения:
Fтр  kN
(189)
где: Fтр - сила трения скольжения, N - нормальная составляющая реакции поверхности, k коэффициент трения скольжения.
Коэффициент трения скольжения k является безразмерной величиной и определяется
природой и состоянием поверхностей трущихся тел.
Кроме закона Кулона опытным путем установлен ряд закономерностей для трения
скольжения среди которых наиболее часто употребляются следующие:
1. При попытке сдвинуть одно тело по поверхности другого в плоскости контакта
возникают силы, сопротивления, изменяющиеся от нуля до предельного значения,
называемого силой трения покоя.
2. С увеличением относительной скорости трущихся тел силы - трения сначала убывает, а
затем начинают возрастать.
3. Силы трения тем меньше, чем тверже трущиеся поверхности.
10.2. Силы трения качения.
Трение качения возникает при качении одного твердого тела по поверхности другого. При
попытке сдвинуть тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения возникает

сила F препятствующая этому (рис. 43).

Положим, что оба тела являются абсолютно
твердыми, недеформируемыми, В этом случае

нормальная составляющая реакции N проходит через точку касания и центр масс катка
(считаем его однородным симметричным телом, например, цилиндром). При такой модели
любая по величине сила может вызвать качение катка, т.е. сопротивление движению.
не возникает. Более того, сила F должна вызывать угловое ускорение при любой по
величине силе F , что противоречит опыту.
Сопротивление качению может возникать в том случае, если нормальная реакция
смещается относительно вертикального диаметра катка в сторону движения. Это
происходит в том случае, если давление катка на поверхность будет не в точке, а по
участку поверхности, а интенсивность давления будет больше впереди вертикального
диаметра катка, как показано на рис. 44.
Рис.44
Следовательно, поверхность должна деформироваться, причем деформации будут
несимметричными относительно вертикального диаметра.
Положим, что сила F вызывает равномерное качение катка, т.е.
FR  kN
Откуда
F
k
N
R
(190)
Здесь k (коэффициент трения качения) является размерной величиной. Смысл его- ''плечо''
нормальной составляющей реакции поверхности.
10.3. Вязкое трение
Вязкое трение возникает при относительном движении слоёв жидкости или газа.
Основные законы вязкого трения получены опытным путём.
Ньютон установил, что если под действием силы площадка P площади S движется
равномерно
со
скоростью
относительно
площадки
(рис.45),
P1

Рис.45
На подвижную площадку действуют силы сопротивления движению (силы вязкого трения):
Fтр  S

h
(191)
где h - расстояние между площадками (слоями),  - коэффициент вязкого трения
определяемая свойствами вязкой среды, заполняющей промежуток между площадками.
При движении тел в вязкой среде на них действуют силы сопротивления движению.
Стокс получил выражение для этих сил. При малых скоростях.
1
C x S 2
(192)
2
где: Fст - стоксова сила сопротивления,  - плотность среды,  - скорость тела, С x коэффициент, определяемый геометрией тела, S - площадь проекции тела на плоскость,
Fст 
перпендикулярную направлению движения.
10.4. Движение тел в сопротивляющейся среде.
При достаточно больших скоростях тел (или если форма тела является плохо обтекаемой)
силы Стокса становятся пропорциональны квадрату скорости:
Fx 
1
Cx S 2
2
Положим, что тело начинает падать под действием
сопротивляющейся среде. Пренебрегая силой Архимеда, запишем:
m
(193)
силы
d
1
 mg  C x S 2
dt
2
тяжести
в
(194)
С течением времени скорость тела возрастает, возрастает и сила Стокса. Наконец, силы
тяжести и Стокса уравновешиваются, после чего начинается равномерное движение тела с
установившейся скоростью  0 . Определим зависимость скорости от проходимого телом
пути и значение установившейся скорости. Для этого сначала преобразуем (194):
m
 C S 
1
 mg  C x S 2  mg1  x  2 
dx
2
2mg


d
Обозначим:
2P
 a2
C x S
mg  P,
Тогда:
d
dx
Или:
g
a2  2
a2
g
d
 2 dx
2
a 
a
2
(195)
Интегрируя (195), получим:



gx
1
ln a 2   2  2  C
2
a
(196)
Константу интегрирования находим из начальных условий (x=0 и  =0):
1
C   ln a 2
2
(197)
Подставив (197) в (196) получим
ln
2 gx
a2
 2
2
2
a 
a
Или:
 2
a2  2
e a
2
a
2 gx
Откуда:
  a 1 e

2 gx
a2
(198)
Через достаточно большой промежуток времени ( t   ) скорость тела перестаёт
изменяться. Следовательно, значение установившейся скорости равно
(199)
0  0
(178) и (179) и дают искомое решение поставленной задачи.
11. Упругость.
11.1 Упругие силы.
Упругостью называют свойство восстанавливать временно утраченную форму и объём, а
деформациями- само изменение формы и объёма тела. Причиной упругости является
наличие одновременно присутствующих сил взаимодействия между частицами телапритяжения ( 
a1
a
) и отталкивания (  n2 ). Равнодействующая этих сил равна:
n1
r
r 2
a
a
F   n1  n2
r1 r 2
(200)
На рис.46 представлены графики силы взаимного отталкивания (1), притяжения (2) и
равнодействующая этих сил (3). На расстоянии r0 между взаимодействующими частицами
равнодействующая равна нулю (положение равновесия). При r < r0 преобладают силы
отталкивания, а при r > r0 силы притяжения.
Потенциальная энергия взаимодействия на расстоянии r между частицами:


a 
A
B
 a
E p   Fdx     n1  n2 dx  n 1  n 1
1
2
1
x
x 
r
r 2
r
r 
(201)
где:
A
a1
,
n1  1
B
a2
.
n2  1
Графики потенциальной энергии сил отталкивания
равнодействующей (3) представлены на рис.47:
Рис.46
(1),
притяжения
(2)
и
Рис.47
11.2. Продольное сжатие и растяжение.
Закон Гука.
При продольном сжатии или растяжении одного упругого образца длинны l и площади
сечения S удлинение образца l определяется из опыта выражением:
l  kl
F
S
(202)
где k - коэффициент упругости, определяемый свойствами материала образца.
Величина  l 
l
1
называется относительной деформацией. Величина E  , обратная
l
k
коэффициенту упругости, называется модулем упругости Юнга.
С учётом этих обозначений закон Гука для деформации продольного сжатия или
растяжения имеет вид:
Ps  E l
(203)
где Ps - называется напряжением (отношение упругих сил в деформированном образце к
площади его поперечного сечения).
При изменении продольных размеров одновременно и поперечные. Изменение d
диаметра d образца (однородного цилиндра) также подчиняется закону Гука:
d 
d
F
 
d
S
(204)
где:  -коэффициент поперечного сжатия при продольном растяжении.
Сравнивая (203) и (204) получим:
d  
Величина
 

k

k
l
(205)
называется
коэффициентом
Пуассона.
Рис.48
Если деформирующая сила изменяется от нуля до F , абсолютная деформация изменяется,
соответственно, от нуля до l то образец приобретает потенциальную энергию упругих
деформаций, численно равную работе деформирующей силы. Эта работа равна площади
заштрихованной фигуры (рис.48), т.е:
Ep  A 
1
Fl
2
Используя закон Гука, получим:
Ep 
1
1
 1 SE  l 1  E 12V
2
2
(206)
А плотность энергии, соответственно:
E0 
Ep
V

1 2
E 1
2
(207)
11.3 Деформация сдвига.
Деформация сдвига возникает при действии на тело касательных усилий (рис. 49). Если к
верхней грани образца, имеющего форму параллелепипеда, приложена касательная сила
F , распределённая по грани площади S , грань сдвигается на расстояние a , которое
называется абсолютной деформацией при сдвиге.
Рис.49
Относительной деформацией называют отношение абсолютной деформации
поперечным размерам h . Для сдвига закон Гука принимает форму:

a
F
 tg  n
h
S
a к
(208)
где n -коэффициент сдвига, определяемый свойствами материала образца, величина,
обратная n , называется модулем сдвига:
N
1
n
Поскольку упругие деформации, для которых формулируется закон Гука, имеют место
только при маленьких значениях деформации, закон Гука для сдвига принимает вид:
(209)
Ps  N  N
11.4. Деформация кручения.
Деформации
кручения
возникают
при
относительно другого .
По закону Гука для этого типа деформации

закручивании

L
 cM
одного
основания
образца
(210)
где  - угол закручивания, L - длинна образца, M - момент закручивающих сил, c коэффициент кручения.
Величина f 
1
называется модулем кручения т. е.
c
 M

L
f
(211)
Одновременно с закручиванием образца происходит сдвиг его слоёв. Угол сдвига 
определяется из закона Гука.
Ps
N
 
(212)
Угол сдвига можно получить и из чисто геометрических соображений:

 
(213)
L
Сравнивая (212) и (213), получим
N
Ps 
(214)
L
Момент распределённых сил, приложенных к нижнему основанию образца, получим,
используя (214).
Рис.51
Из рис.51 видно, что элементарный момент закручивающих сил, приложенных к элементу
основания, равен:
dM  dF    Ps dS   
 2N
dd 
L
 3N
L
dd
(215)
Полный момент:
R 2
NR 4 
M    dM 
2
0 0

L
(216)
Сравнивая (210) и (216), получаем связь между модулями сдвига и кручения:
f 
NR 4
(217)
2
12. Силы тяготения.
12.1 Закон всемирного тяготения.
Закон всемирного тяготения получен Ньютоном из наблюдений видимого движения
планет Солнечной системы, используя законы динамики. В векторной форме закон
всемирного тяготения, определяющий силы гравитационного взаимодействия, имеет вид:
F 
mM
3
r
(218)
r
где M - масса источника гравитационного поля, m - величина пробной массы, r -радиусвектор точечной пробной массы относительно центра масс источника поля,  гравитационная постоянная.
Силовой характер поля источника является сила, действующая на единичную пробную
массу, помещённую в данную точку поля. Эта величина называется напряжённостью поля:
E гр  
M
3
r
r
(219)
Следует отметить, что закон всемирного тяготения справедлив только для точечных
взаимодействующих масс. Кроме того, массы тел, фигурирующие в законе всемирного
тяготения, имею другой смысл, нежели в законах динамики. Это –“тяготеющие”,”тяжёлые”
или ”гравитационные” массы.
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия, гравитационный
потенциал.
Потенциальная энергия взаимодействия численно равна работе сил взаимодействия по
перемещению взаимодействующего тела из данного положения в бесконечность:
12.2


E p   Fdx   
r
mM
2
x
r
dx 
mM

x
r

mM
(220)
r
Энергетической характеристикой поля является гравитационный потенциал, равный
потенциальной энергии единичной
пробной массы, помещённой в данную точку поля:
E гр
Vгр 
m

M
(221)
r
Связь напряжённости и потенциала поля.
12.1.
На расстояниях r1 и r2 от источника поля напряжённости поля равны:

В этих же точках определим потенциалы:

M
и 
2
1
r
M
и 
r1
M
r22
M
r2
Изменение потенциала на единицу длинны:
Vгр
r

1  M M  M r2  r1  M




r  r2
r1 
r1r2 r
r1r2
Если точки расположены бесконечно близко друг к другу, связь напряжённости и
потенциала принимает вид:
E гр  
dVгр
dr
(222)
12.2. Зависимость веса тела от высоты.
Для небольших высот (малы по сравнению с радиусом Земли) вес тела:
Ph  
mM
R  h 
2

mM
h

 P0 1  2 
h
R


R 2 1  2 
R

(223)
Где P0 - вес тела на поверхности Земли.
Гравитационное взаимодействие между телами конечных размеров.
12.5.1.Взаимодействие между материальной точкой и тонким кольцом.
Материальная точка массы m находится на расстоянии r от тонкого кольца массы
M (рис.52). Выделим два элемента кольца массы dM , расположенные на концах
расположенные под углом da из его центра. По закону всемирного тяготения сила
взаимодействия dF1 между точкой и каждым из элементов равна:
dF1  
mdM
2
1
r

mMd
2r12
(224)
Равнодействующая сила взаимодействия с двумя выделенными элементами направлена к
центру кольца и равна: dF  2dF1
r
mMd

r
r1
r1
(225)
Полную силу взаимодействия можно получить, интегрируя (225):

F   dF  
0
mM
mM
r 3 r
3
r1
r1
(226)
Рис.52
12.5.2. Взаимодействие точки с тонким сферическим слоем.
Пусть точечная пробная масса m находится на расстоянии r от центра слоя радиуса R и
массы M (рис.53).
Рис.53
Выделим в слое тонкое кольцо, радиус которого виден из центра слоя под углом  , а
поперечный размер (ширина кольца) – под углом d . По (226) сила взаимодействия между
точкой и выделенным кольцом равна:
dF  
mM
r13
r  R cos  
(227)
где:
dM 
масса кольца.
Таким образом:
M  2R 2 sin d 1
 M sin d
2
4R 2
dF  
mr  R cos  M sin d
2r13
Перейдем в 226 к одной переменной:
r12  r 2  R 2  2 rR cos 
r1dr1  rR sin d
откуда:
(228)

dF  
mM  r 


r1 dr1

mM ( r 2  R 2  r12 )dr1


4r12 r 2 R
r 2  R 2  r12
2r
2r13 rR
(229)
Сила взаимодействия со всем слоем, если точка находится за его пределами равна:
rR
F

r R
dF  
mM r  R r 2  R 2

4r R  r R
2

rR
dr1 
2
1
r
 dr   
mM
1
r R
r2
(230)
Если же точка находится внутри слоя, сила взаимодействия равна:
Rr
F
 dF  0
(231)
Rr
12.5.3. Взаимодействие между точечной массой и однородным шаром.
Точка массы m находится на расстоянии r от центра однородного шара радиуса R и
массы M за его пределами. Силу взаимодействия можно определить, пользуясь
предыдущими результатами. Для этого выделим в шаре сферический слой радиуса x и
толщины dx с центром в центре шара. Масса выделенного слоя равна:
dM 
M
3M  4x 2
3Mx 2 dx
dV 
dx

V
4R 3
R3
По (231) сила взаимодействия точки с выделенным слоем равна:
dF  
mdM
r2

m  3Mx 2 dx
r 2 R3
Интегрируя, получаем силу взаимодействия точки с шаром:
R
F   dF  
mM
0
r2
(232)
Если же точка находится внутри шара, надо учитывать взаимодействие только со слоями
шара, с внутренними по отношению к точке:
F 
mM вн
r2
(233)
где: M в н - суммарная масса внутренних слоев шара, равная:
M вн 
Отсюда сила взаимодействия равна:
3mM  4r 3
r3

M
r 2 R3  3
R3
F 
mM
R3
r
(234)
13. Работа и энергия.
13.1. Работа силы, работа суммы сил.
Работой силы называют величину, равную произведение силы на перемещение точки
приложения силы:
A  F s
(235)
Как видно, если сила и перемещение взаимно перпендикулярны, работа силы равна нулю.
Например, центростремительная сила не производит работы, ее роль сводится лишь к
искривлению траектории.
Работа суммы сил равна сумме работ, производимых отдельными силами системы.
Например:



A  F ds  Fx e x  Fy e y  Fz e z dxe x  dy e y  dz e z  Fx dx  Fy dy  Fz dz
(236)
13.2
Частные случаи вычисления работы.
13.2.1.
Работа силы тяжести.
Рис.54
Пусть тело под действием силы тяжести скользит по наклонной поверхности произвольной
формы (рис.54.) работа нормальной реакции по (235) равна нулю, поэтому при отсутствии
трения работу совершает только сила тяжести. На элементарном перемещении работа
ds силы равна:
dA  mgds cos   mgdh
(237)
Следовательно, на конечном перемещении работа сил тяжести не зависит от формы
траектории и равна:
h1
A   mgdh  mgh
h2
где: h  h1  h2 перемещение тела по вертикали.
13.2.2.
Работа упругих сил.
На гладкой горизонтальной плоскости находится тело, скрепленное пружиной жесткости
k с вертикальной стенкой (рис.55).
Рис.55
Если под действие внешней силы F пружина растягивается на x , возникает сила
упругости пружины, равная в пределах упругих деформаций Fупр   kx . Элементарная
работа упругих сил по перемещению тела из этого положения на dx равна:
dA  kxdx
Работа же силы на конечном перемещении:
x
A   dA  
0
где x – растяжение (удлинение) пружины.
kx2
2
(238)
Работа и кинетическая энергия.
13.3.
Если на тело массы m действует постоянная сила F , работа ее на перемещении s :
A
mvк2 mvн2

2
2
т.е. равна разности кинетических энергий тела в конце и в начале перемещения.
Аналогичный результат можно получить и для переменной силы. Для этого разобьем все
перемещение на малые участки, в пределах которых силу можно считать постоянной и ее
работу вычислить по (239):
mv12 mv02
,

2
2
mv22 mv12
,
A2 

2
2
mvn2 mvn21
An 

2
2
A1 
На всем перемещении работа силы равна:
A   Ai 
i
mvn2 mv02

2
2
(240)
Если же на тело действуют дополнительно силы трения, получаем:
A1  F  Fтр   s  A  Aтр 
mv 2 mv02

 E k
2
2
(241)
где:  и  0 - скорость тела в конце и в начале перемещения, А mp - работа сил трения.
Следовательно, работа силы F равна:
A  E k  Aтр
(242)
13.4. Работа центральных сил.
Рис.56
Если на тело действует центральная сила F (рис.56), ее работа на элементарном
перемещении dr вдоль линии действия силы равна (вдоль траектории1):
(243)
dA  Fr  dr
а работа на конечном перемещении:
A   Fr dr
(244)
При движении по произвольной траектории на элементарном перемещении работа силы
выражается соотношением:
dA  Fr ds cos   Fr dr
т.е. совпадает с (243). Т.е. работа центральных сил не зависит от формы траектории, а
определяется лишь начальным и конечным положениями перемещаемого тела.
Силы, работа которых не зависит от формы траектории, называют консервативными. К
ним, например, относятся силы упругости, силы электростатического взаимодействия
между точечными зарядами, гравитационные силы, а силы трения – не являются
консервативными.
13.5 Потенциальная энергия.
Потенциальной энергией называют энергию, определяемую конфигурацией системы,
относительным расположением отдельных взаимодействующих тел. выражение для
потенциальной энергии для произвольного взаимодействия записать сложно, обычно
определяют ее изменение относительно уровня, условно принятого за нулевой. Например,
потенциальная энергия тела массы m в поле тяготения Земли, находящегося на высоте h
над ее поверхностью:
Ep  
mM
Rh
а на поверхности:
E p0  
mM
R
Изменение потенциальной энергии тела относительно поверхности Земли:
E p'  E p  E p 0 
При r « R (225) принимает вид:
E p' 
mMh
R R  h 
mMh
R2
(225)
 mgh
Таким выражением и пользуются, как правило, при расчетах. Здесь потенциальная энергия
отсчитывается от определенного уровня (поверхности Земли), на которой она условно
принята нулевой.
Такой подход оправдан тем, что при изменениях конфигурации систем изменение
состояния определяется не самим значением потенциальной энергии, а только изменением
ее.
13.6. Нормировка потенциальной энергии, закон сохранения энергии.
Положим, что в замкнутой консервативной системе выделены состояния 1, 2 и 3,
условно принятое за исходное. При переходе из состояний 1, 2 в исходное (рис. 57) работа
консервативных сил равна:
(рис. 57)
A10  Ek 0  Ek1 (246)
A20  Ek 0  Ek 2 (247)
откуда:
A10  Ek1  A20  Ek 2
(248)
Т.е. для любых состояний системы кинетическая энергия в этом состоянии и работа
внутренних сил по переходу из выбранного состояния в исходное - величина постоянная
для всех состояний системы. При этом знак работы определяется выбором исходного
состояния. Для расчетов важно, чтобы работа сил на любом переходе имела одинаковый
знак, поэтому в выражении (248) к значению работы надо добавить такую положительную
величину a , чтобы:
A10  a  0,
A20  a  0.
Сама проделанная операция выбора a называется нормировкой потенциальной энергии, а
сумма Ai 0  a - потенциальной энергией системы в данном состоянии. С учетом
сказанного:
E p  E k  const
(249)
для всех состояний системы. Это и есть закон сохранения механической энергии.
Пример нормировки приведен в предыдущем параграфе.
14. Динамика твёрдого тела.
Абсолютно твердым телом называют абсолютно неизменяемую систему точек, отдельных
частиц тела, поэтому к абсолютно твердому телу можно применить уже описанные законы
динамики системы точек при условии ее неизменяемости.
14.1.
Момент инерции твёрдого тела.
Для описания вращательного движения тела существенно значение его момента инерции.
По определению момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции отдельных
его частиц:
I   mi ri2
i
где mi - масса i -й частицы тела, ri - ее расстояние от заданного центра или оси.
Предположим, что масса выделенной частицы тела mi , расстояние от
нее до начала
координат (т. о) ri , а координаты, соответственно, xi , y i , z i (рис. 58).
Момент инерции относительно т. О по определению равен
I 0   mi ri2
(250)
i
(рис. 58)
а относительно координатных осей:

I x   mi yi2  z i2
i

(251)

  m x
I y   mi xi2  z i2
i
Iz
i
 yi2
2
i


(252)
(253)
i
Сравнивая (230), (231), (232) и (233), получим связь момента инерции тела относительно
начала координат с моментами инерции относительно координатных осей:
I0 

1
Ix  Iy  Iz
2

(254)
Если одним из размеров тела можно пренебречь по сравнению с двумя другими (плоское
тело), эта связь запишется в виде
I0  I x  I y
(255)
14.2.
Примеры расчёта сил инерции.
14.2.1 Момент инерции тонкого стержня относительно оси, перпендикулярной
стержню и проходящий через его центр масс.
(рис. 59)
Если стержень имеет массу m и длину l , а ось z проходит через центр масс стержня
(рис. 59), то координаты левого и правого концов стержня равны - 
стержне на расстоянии x
относительно z равен:
l
l
и . Выделим в
2
2
от оси малый его участок длины dx . Его момент инерции
m 2
x dx
l
dI z 
(256)
Интегрируя (236), получим:
l
Iz 
2

l
14.2.2.
ml 2
dI z 
12
(257)
2
Момент инерции тонкой пластины прямоугольной формы относительно
одной из её сторон.
(рис. 60)
Размеры тонкой пластины массы m приведены на рис. 60, выделим в пластине на
расстоянии x от оси z узкий слой ширины dx и запишем его момент инерции:
dI z 
m 2
m
x bdx  x 2 dx
ab
a
(258)
Интегрируя (258), получаем:
a
I z   dI z 
0
ma 3
3
(259)
14.2.2 Момент инерции однородного шара относительно его центра.
Пусть масса шара равна m , а радиус R . Выделим в шаре тонкий сферический слой
радиуса x , толщины dx , момент инерции которого относительно центра шара равен
dI 0  dm  x 2
(260)
где:
dm 
3m
3m
 4x 2 dx  3 x 2 dx
3
4R
R
Интегрируя (260), получим искомый результат:
R
I 0   dI 0 
0
R
3m 4
3
x dx  mR 2
3 
5
R 0
(261)
14.3. Теорема Штейнера.
Расчет моментов инерции тела даже правильной формы, если ось не проходит через центр
масс тела, затруднен. В этом случае удобно пользоваться теоремой Штейнера:
Момент инерции тела относительно произвольной оси z ' равен сумме момента инерции
относительно оси z , параллельной заданной и проходящей через центр масс, и
произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:
Для доказательства через центр масс тела (т. С) проведем ось z , параллельную заданной
оси z ' (рис. 61). Расстояние между осями равно a . Выберем частицу тела массы mi ,
настояние от нее до осей z и z ' указаны на рисунке.
Момент инерции тела относительно z ' по определению:
(262)
I z '  mi r ' i2

i
Из геометрических соображений:


I z '   mi ri2  a 2  2ri a cos  i   mi ri2   mi a 2  2 mi ri cos  i
i
i
i
i
Первое слагаемое в правой части дает момент инерции тела относительно z :
I z   mi ri2
i
(263)
Поскольку a=const, второе слагаемое принимает вид (Ma2), где М - масса тела.
В последнем слагаемом:
2 mi ri a cos  i  2a mi xi
i
i
следовательно, по определению центра масс:
xC 
m x
i
i
i
M
последнее слагаемое обращается в нуль, поэтому:
I z '  I z  Ma 2
что и требовалось доказать.
14.4. Кинетическая энергия твёрдого тела для различных типов
движения.
1. Поступательное движение
Ek  
i
mi vi2
m v 2 MvC2
 i C 
2
2
2
i
(264)
2. Вращательное движение
Ek 
1
I 2
2
2 2
m
v

m
r


 i i i i i
2 i
2
(265)
3. Плоское движение тела
В любой момент времени плоское движение можно представить, как вращение вокруг
мгновенного центра вращения, пусть О -мгновенный центр вращения, а т. С - центр с масс
тела. Тогда:
I 0 2 I C  Ma 2 2 I C  2 MvC2
Ek 

 

2
2
2
2
(266)
где: I C и I 0 - моменты инерции тела относительно осей, проходящих через центр масс и
мгновенный центр вращения, a - расстояние между осями, v C . - скорость центра масс
поступательной части движения),  (омега) - угловая скорость вращения вокруг оси,
проходящей через центр масс.
СВОБОДНЫЕ ОСИ ВРАЩЕНИЯ
Момент импульса тела в произвольном случае его вращения не совпадает по направлению
с вектором угловой скорости вращения. Тем не менее, существует такие оси, при вращении
вокруг которых момент импульса и угловая скорость по направлению совпадают. Такие
оси называются главными осями инерции (свободными осями вращения). Таких осей в
каждом теле три, все они взаимноперпендикулярны и проходят через центр масс тела,
поэтому их удобно принимать в качестве системы отсчета для каждой из этих осей
N x  I x x , N y  I y  y , N z  I z  z .
В случае произвольного по форме тела легко показать, что N и  (омега) не совпадает по
направлению (рис. 62).
Кинетическая энергия тела при таком вращении может быть представлена суммой энергий
вращения вокруг трех главных осей:
Ek 

1
I x x2  I y y2  I z2
2
или:
2
1  N x2 N y N z2 
Ek 


2  I x
Iy
I z 

или:
Ek 

1
N x x  N y  y  N z  z
2

или:
Ek 
1
N 
2
Направление векторов N и  можно указать заданием направляющих косинусов,
например:
cos  1 
cos  2 
Nx

N
x


I x x
I x x 2  I y y 2  I z z 2
x
 x 2   y 2   z 2
очевидно, что направления N и  совпадают в том случае, если:
I x  I y  I z  I (267)
Твердое тело, отвечающее условию (267), называется шаровым волчком. Твердое тело, у
которого I x  I y  I  I z , называется симметричным волчком с осью симметрии z .
Твердое тело, у которого все три главных момента инерции различны, называет
несимметричным волчком I x  I y  I z .
СВОБОДНОЕ ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Свободным называют такое вращение тела, при котором сумма моментов внешних сил,
приложенных к телу, равна нулю:
M  0
Отсюда следует, что при свободном вращении:
E k  const , N  const
Рассмотрим свободное вращение симметричного
z .Кинетическая энергия для него равна:
волчка
с
осью
симметрии
2
2
2
2
1  N x2 N y N z2  1  N x  N y  N z  1 1  2 
Ek 


 
    N z   const
2  I x
Iy
I z  2 
I
 I z I  
В этом выражении первое слагаемое постоянно, следовательно, постоянно и второе, т.е.:
(268)
N z  const
Учитывая, что N z  I z z получаем:
 z  const
(269)
Написав выражение для кинетической энергии в виде:
Ek 





1
1
I x x2  I y y2  I z2  I  x2   y2   z2  I z  I  z2  const
2
2
делаем вывод, что:
  const
(270)
наконец, кинетическую энергию представим в виде:
1
1
N    N    cos   const
2
2
где  - угол между векторами N и  .Из (271) следует, что,
  const
Ek 
(271)
(272)
Учитывая (269), (270), (271) ,(272) свободное вращение тела можем представить как
вращение оси симметрии тела вокруг неподвижного направления N . При этом
относительное расположение  , N и Z со временем сохраняется (рис.53). Такое
вращение при отсутствии моментов внешних сил называется регулярной прецессией. Тело
вращается вокруг оси симметрии со скоростью  z , a сама ось описывает коническую
поверхность, вращаясь вокруг неподвижного направления N
прецессии  р .
с угловой скоростью
(рис. 63)
Т. o. для вращающегося тела можно выделить три оси - момента импульса, угловой
скорости и оси симметрии. Существенно, что относительное расположение этих осей
зависит от величины угловой скорости вращения тела вокруг оси симметрии  я . Несложно
доказать, что при очень быстром вращении тела

я
  пр  все три направления
практически сливаются в одно. Эта особенность быстро вращающихся тел лежит в основе
элементарной теории гироскопов.
14.7. Гироскопы.
Рассмотрим быстро вращающийся относительно оси симметрии массивный диск (рис.64).
При очень быстром вращении диска, как было сказано выше, векторы момента импульса и
угловой скорости направлены вдоль оси симметрии.
Если к концам оси вращения приложить пару сил, ее момент будет изменять момент
импульса в соответствии с уравнением моментов:
d N  M dt
рис. 64)
Через промежуток времени dt момент импульса изменит свое направление и станет
равным N  d N Соответственно изменится и положение оси симметрии. Как видно, силы
пары приложены в горизонтальной плоскости, а ось вращается под действием момента - в
вертикальной.
Уравнение моментов в скалярном виде в этом случае представляют следующим образом:
M 
N пр  dt
dN

 N пр
dt
dt
С учетом направлений векторов уравнение моментов для быстро вращающегося тела
записывает в векторной форме так:
M   пр  N
(273)
Гироскопом называют массивное тело, очень быстро вращающееся вокруг оси симметрии.
Наиболее часто применяются гироскопы в кардановых подвесах. В таких подвесах при
любом повороте оси вращения центр масс гироскопа остается неподвижным (рис.65) Нa
рисунке представлен карданов подвес для гироскопа с двумя степенями свободы.
Рис.65
Для определения угловой скорости прецессии удобно пользоваться следующими
соображениями. Масштаб измерения N можно выбрать таким, что конец вектора
совпадает с концом оси гироскопа (рис. 66).
N
(рис. 66)
При действии на конец оси (в т. А) силы F ее момент вызовет прецессионное вращение.
По уравнению моментов
M
 
d N d CA

dt
dt
Но CA можно рассматривать как радиус-вектор т. A относительно центра масс. Тогда,
по определению:
M  vA
(274)
14.8. Прецессия волчка.
Быстро вращающийся симметричный волчок установлен на горизонтальную поверхность
(рис. 67). Точка касания O неподвижна. Прецессия волчка вызывается моментом силы
тяжести, так как линия действия реакции проходит через неподвижный центр O .
При указанном направлении вращения момент силы тяжести вызывает прецессию в
направлении, указанном на рисунке. Угловую скорость прецессии
(рис. 67)
можно определить, пользуясь (274):
mg  OC  sin   I z z пр sin 
т.е.
 пр 
mg  OC
I z z
(275)
Следовательно, угловая скорость прецессии тем меньше, чем больше угловая скорость
собственного вращения.
15. ГИДРОСТАТИКА.
Гидромеханика изучает свойства покоя и движения жидкостей и газов. Гидростатика
изучает только свойства покоя жидкостей и газов.
Основные соотношения гидромеханики получены для идеальной жидкости, т.е. для
абсолютно несжимаемой и невязкой жидкости.
Основной задачей гидростатики является нахождение распределений давления и плотности
по объему жидкости или газа (в случае идеальной жидкости - только давления).
15.1.1.
Давление покоящейся жидкости.
(рис.68)
Выделим в объеме покоящейся жидкости небольшой объем (рис. 68), пусть на грань
этого объема действует со стороны окружающих слоев сила давления F.
Из опыта известно, что трение покоя в жидкостях отсутствует, т.е. должны
отсутствовать касательные усилия к выделенной грани.
Средним давлением называют величину:
pср 
F
S
где dF сила давления, действующая на площадку площади dS.
Истинным давлением или давлением в точке называют величину:
p  lim pср 
t 0
dF
dS
(276)
В покоящейся жидкости давление в точке не зависит от ориентировки площадки, на
которую оно действует, действительно, в покоящейся: жидкости выделим небольшой
объем, форма которого показана на рис. 69. На каждую грань объема действует силы
давления, поскольку объем покоится, в каждом из координатных направлений сумма сил
равна нулю:
 
OX : p x  S OBC  pn  S ABC  cos x  n  0
т. к.
 
S ABC  cos x  n  S OBC ;  p x  pn   S OBC  0
т.е.
px  pn
(рис. 69)
Аналогично можно показать, что:
p y  pn
Следовательно:
p x  p y  p z  pn
15.2. Уравнение гидростатики Эйлера
В покоящейся жидкости выделим малый ее объем dV=dxdydz в форме
прямоугольного параллелепипеда (рис. 70).
Известно давление в центре объема p и изменение давления на единицу длины в
каждом из координатных направлений:
p p p
; ;
x y z
На каждую грань объема действуют силы давления, а на весь объем - объемные
(массовые) силы, например, сила тяжести. Поскольку объем покоится, сумма проекции
всех сил по каждому из координатных направлений равна нулю.
На заднюю грань действует сила давления:
1 p 

dFx   p 
dx dydz 
2 x 

а на переднюю:
1 p 
 
dFx   p 
dx dydz
2 x 

Кроме того, в этом направлении действует составляющая массовой силы d,
которую можно определить по второму закону Ньютона:
d x  dVax
где:  - плотность среды, ax- ускорение, которое способна сообщить массовая сила. Т. к.
объем покоится,

dFx  dFx  d x  0
т.е.
1 p 
1 p 


 p

dx dydz   p 
dx dydz  a x dydxdz     a x dxdydz
p
2 x 
2 x 


 x

Поскольку dV  0 :
1 p
(277)
ax 
0
 x
Аналогично для других координатных направлений:
1 p
0
 y
1 p
az 
0
 z
ay 
(278)
(279)
(277), (278), (279) и представляют собой систему уравнений гидростатики Эйлера.
15.3. Уравнение поверхности уровня
Поверхностью уровня называют такую поверхность, во всех точках которой
давление одинаково (dP=0)
dp 
то, с учетом уравнение Эйлера:

dp   a x dx  a y dy  a z dz
для поверхности уровня:
p
p
p
dx  dy  dz
x
y
z

 a x dx  a y dy  a z dz   0
(280)
В случае идеальной жидкости:
a x dx  a y dy  a z dz  0
(281)
Пример, Пусть жидкость покоится в поле тяготения 3емли.
Плоскость 0XY горизонтальна, а ось z направлена вертикально вверх. В этом
случае:
a x  a y  0, a z   g
Тогда:
 gdz  0
т.е. z=const, т.о. поверхности уровня (в частности, свободная поверхность) горизонтальны.
15.4. Закон Паскаля
Жидкость покоится в поле тяготения Земли. В этом случае уравнения Эйлера
имеют вид:
1 p
0
 x
1 p

0
 y
1 p
g
0
 z

(282)
(283)
( 284)
С учетом (282) и (283) последнее уравнение (284) принимает вид:
g
откуда:
1 p
0
 z
(285)
dp   gdz  dz
(286)
где   g удельный вес жидкости. Интегрируя (286), получаем
p  z  C
(287)
Постоянная интегрирования будет определена, если в точке с координатой z0
известно давление p0 . Тогда
C  p0  z0
p  p0    z 0  z 
Последнее выражение обычно записывают в виде:
z
p

 z0 
p0

 const
(288)
т.е. для жидкости, покоящейся в поле тяготения Земли, сумма геометрической (Z) и
пьезометрической (p/)) высот для всех точек объема жидкости одинакова. Это и есть закон
Паскаля.
15.5. Сообщающиеся сосуды
15.5.1. Сообщающиеся сосуды заполнены однородной жидкостью
Свободные поверхности в левом и правом коленах находятся на уровнях Z1 и Z2, а
давление на этих поверхностях равно атмосферному Рa. Сравним свободные поверхности с
общей для обоих сосудов частью, уровнем Z0, на котором давление равно P0, как показано
на рис. 71.
z1 
pa

p0
z2 
pa

p0




Откуда:
z1  z2
(рис. 71)
Следовательно, свободные поверхности устанавливаются на одном уровне.
15.5.2. Сообщающиеся сосуды заполненные неоднородной жидкостью
(рис. 72)
Положим, что сосуды заполнены неоднородной жидкостью (несмешивающимися
жидкостями с удельными весами 1 и 2. Через границу раздела жидкостей проводим
уровень Z0 =0, на котором давление равно Р0 (рис. 72).
Сравним свободную поверхность в левом сосуде с границей раздела со стороны
жидкости с удельным весом 1:
z1 
p1

p2

1
p0
1
(289)
для правого сосуда аналогично:
z2 
2
p0
2
(290)
Сравнивая записанные выражения, получим, что свободные поверхности в сосудах
устанавливаются на уровнях, обратно пропорциональных удельным весам жидкостей:
z1  2

z2  1
15.5.3. Закон Архимеда
Тело погружено в жидкость (рис. 73).
Рис.73.
(291)
На его поверхность со стороны жидкости действуют силы давления, выделим в теле
объем малого сечения, ось которого вертикальна. На верхнюю и нижнюю грани этого
объема действуют силы давления::
dF  p1dS1, dF   p2dS2
Равнодействующая сил давления в проекции на вертикальную ось равна:
dFz   p1  p2 dS
где: dS - проекция dS1 (или dS2) на горизонтальную плоскость. Разность давлений по закону
Паскаля равна
p  p1  p2   p2  z   p2  z
где: dZ - разность уровней центров граней выделенного объема. Тогда равнодействующая
сил давления равна
dFx  zdS  dV
где dV - величина выделенного объема.
Вертикальная проекция сил давления, действующих на всю смоченную
поверхность тела, может быть получена путем интегрирования предыдущего выражения:
Fx 
 dF
z
 V  
(V )
т.е. сила, действующая со стороны жидкости на погруженное в нее тело по величине равна
весу жидкости, вытесненной телом.
Формулировка закона: на тело, погруженное в жидкость действует выталкивающая
сила, равная весу жидкости в объеме, вытесненном телом, и приложенная в той точке
смоченной поверхности тела, в которой вертикаль, проведенная через центр масс
вытесненной жидкости, пересекает эту поверхность.
Существенным в формулировке закона Архимеда является правильное указание
точки приложения выталкивающей силы. Действительно, поскольку сила Архимеда
обусловлена действием распределенных по поверхности сил давления со стороны
жидкости, то и равнодействующая сил давления должна быть приложена к смоченной
поверхности тела (но не к центру масс вытесненной жидкости, как это часто утверждается).
Кроме того, наличие в плавающем теле деформаций можно объяснить только при таком
рассмотрении силы Архимеда.
15.6. Механика движущихся жидкостей.
ВВЕДЕНИЕ
При изучении движения жидкостей и газов применяются различные способы
описания движения. Наиболее часто используется метод, предложенный Эйлером. Но
Эйлеру в области пространства, занятой движущейся жидкостью, выделяется точка, в
которой определяются параметры движения различных жидких частиц, проходящих через
эту точку в различные моменты времени.
Основной задачей механики движущейся жидкости является нахождение
распределений скорости, плотности и давления по потоку жидкости:
v x  v x  x, y , z , t 
v y  v y  x, y , z , t 
v z  v z  x, y , z , t 
    x, y , z , t 
p  p  x, y , z , t 
Для установившегося потока, когда параметры потока в фиксированной точке его
не изменяются с течением времени, задача сводится к нахождению распределений:
v x  v x  x, y, z ,
v y  v y  x, y, z ,
v z  v z  x, y, z ,
   x, y, z ,
p  p x, y, z , t .
Ещё более упрощается задача для идеальной жидкости. В случае установившегося
потока идеальной жидкости необходимо найти распределения:
v x  vx x, y, z ,
v y  v y x, y, z ,
v z  vz x, y, z ,
p  px, y, z, t .
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1.Линией тока называют кривую, в каждой точке которой касательные к ней
совпадают по направлению с вектором скорости в данный момент времени.
2.Поверхностью тока называют поверхность, образованную линиями в тока.
3.Поверхность тока, проходящую через замкнутый контур, называют трубкой тока.
4.Часть потока жидкости, ограниченную трубкой тока, называют струёй жидкости.
Пpи установившемся потоке жидкость внутри трубки тока а движется как в трубке
с твердыми стенками.
15.7. Расход жидкости
Различают объемный, массовый и весовой расходы жидкости. Объемным расходом
называют объем жидкости, протекающий в единицу времени через заданную площадку.
Для площадки элементарно малой площади dS объемный расход равен:
dV  vdS
Аналогично массовый расход определяется величиной протекающей через
площадку массы жидкости в единицу времени:
dM  dV  vdS
Вес жидкости, протекающей через площадку в единицу времени, называют
весовым расходов:
d  dV  vdS
В этих выражениях: v - скорость жидкости,  - плотность жидкости,  - удельный
вес жидкости.
15.8. Уравнение неразрывности струи жидкости
Оделим участок струи жидкости (рис.74). Через левое сечение площади S1 в участок
трубки тока в единицу времени втекает жидкость со скоростью v1, принимаемой
одинаковой по сечению. Массовый расход жидкости в этом сечении равен:
M1  1v1S1
Аналогично массовый расход для правого сечения равен:
M 2  2v2 S2
(рис. 74)
Для того, чтобы в выделенном участке трубки тока не происходило накопление
жидкости или, наоборот, уменьшение массы, массовые расходы в левом и правом сечениях
должны быть равны. Такой вывод можно сделать для любого другого сечения, т.е.:
vS  const
Это и есть уравнение неразрывности струн жидкости. В случае несжимаемой
жидкости:
vS  const
15.9. Уравнение Бернулли
Как и для твёрдых тел, для жидкости полная механическая энергия состоит из
потенциальной и кинетической энергии, кинетическая энергия движущейся массы
жидкости равна:
Ek 
Mv 2
2
Что касается потенциальной энергии, то она будет определяться не только
положением жидкости в поле тяготения Земли, но и внутренним состоянием ее.
Соответственно, различают потенциальную энергию положения:
E p1  Mgz
И потенциальную энергию состояния жидкости:
E p 2  pV
Полная энергия движущейся жидкости равна:
E0  Ek  E p1  E p 2 
Mv 2
 Mgz  pV
2
(292)
Удельной энергией называют полную энергию, приходящуюся на единицу веса
жидкости:
l0 
E0

 z
p


v2
2g
(293)
В такой записи все члены удельной энергии имеют размерность длины и
называются соответственно: геометрической, пьезометрической высотой и высотой
скоростного напора
.
(рис. 75)
В установившемся потоке невязкой жидкости выделим участок трубки тока
(рис.75). Высоты центров сечений, давление, удельный вес, скорость жидкости для левого
и правого сечений равны
z1, p1,  1,1
и:
z2 , p2 ,  2 , 2
Если весовой расход в левом сечении участка трубки тока равен 1 , то в единицу
времени в выделенный участок втекающей жидкостью вносится энергия:

p1  12 
 z1  
1
 1 2 g 

Одновременно в единицу времени через правое сечение из трубки тока удаляется
энергия:

p 2 
 z 2  2  2  2
 2 2g 

При установившемся потоке невязкой жидкости полная энергия жидкости в участке
трубки тока не изменяется, т.е.:


p 2 
p 2 
 z1  1  1 1   z 2  2  2  2
 1 2g 
 2 2g 


(294)
Учитывая, что, по уравнению неразрывности струи:
1   2
получим окончательно математическую формулировку закона Бернулли:
z
p


2
2g
 const
(295)
Физически закон Бернулли (уравнение Бернулли) имеет смысл закона сохранения
энергии с учетом закона сохранения массы.
15.10. Примеры применения закона Бернулли
15.10.1. Формула Торичелли
(рис. 76)
Формула Торричелли позволяет определить скорость истечения жидкости из
отверстия в сосуде. Предположим, что в широкий сосуд площади сечения S налита
жидкость, свободная поверхность которой находится на высоте Z над центром малого
отверстия площади в боковой стенке сосуда (рис.76). Давление на свободной поверхности
жидкости и в вытекающей струе непосредственно за отверстием равно атмосферному Ра.
Пусть скорость истечения жидкости равна , а скорость понижения уровня жидкости в
сосуде -  0 . Жидкость будем считать несжимаемой.
Запишем уравнение Бернулли, сравнивая сечение для свободной поверхности
жидкости с сечением отверстия:
pa
z


 02
pa
 z
2g


2
2g
Т.к. площадь сечения отверстия мала по сравнению с сечением сосуда, а жидкость
несжимаема, то:
   0
откуда следует формула Торричелли:
  2 gz
(296)
15.10.2 Трубка Пито
(рис. 77)
Трубка Пито служит для определения скорости потока жидкости и давления в нем.
Она представляет собой осесимметричное тело с центральным отверстием и наборов
боковых (рис.77). Центральное отверстие имеет непосредственный выход из трубки, а
боковые - соединены с плоскостью трубки, которая также имеет выход наружу.
Поперечные размеры трубки малы по сравнению с размерами потока. Выделим в потоке
жидкости обтекающем трубку, три течения: в невозмущенной части потока, у центрального
и боковых отверстий поток, набегая на трубку, тормозится у центрального отверстия,
скорость его становится равной нулю, а давление у центрального отверстия P1 будет
отличаться от давления Р0 в невозмущенной части потока. У боковых отверстий скорость
жидкости практически такая же как в невозмущенной части потока V0, а давление равно P2.
Считая жидкость невязкой и несжимаемой, запишем уравнение Бернулли для сечений в
невозмущенной части потока и у центрального отверстия:
p0


 02
2g

p1

откуда:
p1  p0 
 02
2
Сравнивая сечение потока в невозмущенной части с сечением у боковых отверстий
и пренебрегая поперечными размерами трубки, получим:
p0


 02
2g

p2


 02
2g
Т.е. давление у боковых отверстий равно давлению в невозмущенной части потока:
p2  p0
Т.е., измеряя давление в полости трубки и у центрального отверстия, можно
определить и давление, и скорость в потоке жидкости.
15.11. Реакция струи жидкости
Рассмотрим рис.78. В результате действия на поток внешних сил на выделенном
участке происходит изменение импульса K, равное:


k  S  2  1  F
(297)
(рис. 78)
Рассмотрим теперь поток жидкости набегающей на преграду и разветвляющийся на
два рукава (рис.79):
(рис. 79)
Пусть массовый расход в неразветвленной части равен m0, а скорость в этом
сечении равна V0. Попадая на преграду, поток изменяет импульс в результата действия сил
со стороны преграды, выделим сечения в рукавах разветвленной части потока. В которых
массовые расходы равны, соответственно m1 и m2 , скорости V1 и V2, причем векторы
скоростей образуют углы 1 и 2 с направлением скорости в неразветвленной части потока.
Сила R действующая со стороны преграды на поток, образует угол R с вектором скорости
V0 . По (297) изменение импульса потока равно в единицу времени равно:
m1 1 cos 1  m2 2 cos  2  m0 0
откуда сила:
R
m1 1 cos 1  m2 2 cos  2  m0 0
cos  R
(298)
В случае симметричной преграды массовые расходы в рукавах разветвленной части
одинаковы и равны:
m1  m2 
m0
2
Скорость жидкости в рукавах в этом случае равна скорости в неразветвленной
части, а углы 2=1=.
Реакция преграды направлена противоположно потоку (R =). Следовательно:
R  m0 v0  m1 1 cos   m2 2 cos   m0 0 (1  cos  )
(299)
Как видно из этого результата, максимальной реакция преграды будет в том случае,
если скорости в рукавах противоположны скорости в неразветвленной части потока ( =).
Тогда
R  m0v0 (1  1)  2m0 0
(300)
15.12. Ламинарное и турбулентное течение жидкости. число Рейнольдса.
Ламинарным называют упорядоченное, слоистое течение жидкости. Моделью
такого течения является относительное движение звеньев телескопической антенны.
Ламинарное течение возможно в жидкостях при относительно малых скоростях потока,
если же скорость потока увеличивать, то в нем возникают вихри. Когда вихри занимают
весь объем потока, последний называется вихревым или турбулентным. Образование
вихрей связано с взаимодействием частиц слоев жидкости и переносом импульса из слоя в
слой. Переносу содействуют силы инерции, а препятствуют - силы вязкого трения.
Поэтому критерием перехода от ламинарного течения к турбулентному может служить
отношение этих сил. В общем случае, независимо от формы потока, следует рассматривать
некоторые характеристические параметры потока, например, характеристические размеры
и т.д. Силу вязкого трения можно выражать из закона Ньютона для вязкого трения, а силу
инерции - по определению:
Fин l 3vtl lv
Re 


Fтр tl 2  l

(301)
Полученное выражение называется числом (критерием) Рейнольдса. Вводя понятие
кинематической вязкости, число Рейнольдса можно записать и так:
Re 
где
- 


lv

(302)
кинематическая вязкость жидкости.
15.13. Формула Пуазейля
(рис. 80)
Формула Пуазейля дает величину объемного расхода жидкости при ламинарном
течении жидкости по цилиндрическим трубам. Рассмотрим установившийся поток
жидкости по цилиндрической трубе радиуса R и длины L, ось которой горизонтальна
(рис.80). Давление в левом сечении трубы равно P1, а в правом Р2, причем P1>P2. Скорость
потока максимальна вдоль оси трубы и равна ну ли у стенок, выделим в трубе тонкий
цилиндрический слой радиуса х и толщины dx, в пределах которого скорость жидкости
можно считать одинаковой. На торцы выделенного слоя действует силы давления,
равнодействующая которых равна:
( p1  p2 )  2xdx
На внутреннюю и внешнюю поверхности слоя действуют силы вязкого трения. По
закону Ньютона для вязкого трения на внутреннюю поверхность слоя действует сила:
Fтр    2xL 
dv
dx
а равнодействующая сил вязкого трения, приложенных к внутренней и внешней
поверхностям, соответственно равна:
 dv 
dFтр    2xLd  x 
 dx 
Так как жидкость движется с постоянной скоростью, сумма приложенных к слою
сил равна нулю, т.е.:
 dv 
( p1  p2 )  2xdx  2Ld  x 
 dx 
(303)
Интегрируя (303), получим:
( p1  p2 ) 2
dv
 x   x  C1
2 L
dx
Постоянную интегрирования С1 можно получить из условия, что вдоль оси трубы
скорость максимальна:
x  0,
следовательно С1=0. С учетом этого:
dv  
dv
0
dx
( p1  p2 )
xdx
4 L
(304)
Интегрируя (304), получим:
v
( p1  p 2 ) 2
x  C2
4 L
Постоянную интегрирования С2 получим из условия, что у стенок трубы скорость
жидкости равна нулю x=R, V=0, поэтому:
C2 
( p1  p 2 ) 2
R
4 L
Подставив найденное значение постоянной интегрирования в общее решение,
получим зависимость скорости жидкости от расстояния до оси трубы:
v
p1  p 2 2
(R  x 2 )
4 L
(305)
Для определения объемного расхода запишем сначала элементарный объемный
расход по выделенному цилиндрическому слою:
dV  vdS 
p1  p 2 2
 ( p1  p 2 ) 2
( R  x 2 )  2xdx 
( R  x 2 )  xdx
4 L
2 L
(306)
Полный объемный расход по всей трубе получим интегрированием (306) по всем
слоям:
 ( p1  p2 )  2 x 2
R
V   dV 
2 L
2

0
R

R
0
R
x 4   ( p1  p2 ) R 4


4 0
8L

Выражение (307) называет формулой Пуазейля.
(307)