Document 616324
advertisement
Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» - 2014 Точные науки (от 14 до 17 лет) Золотая пропорция – универсальная мировая константа Меркулов Денис,16 лет ученик 10-го класса Руководитель работы: Маркушина Ольга Петровна, учитель математики, МОУ «СОШ п. Возрождение» Хвалынского района, Саратовской области 2014 г. 2 Оглавление 1.Введение ----------------------------------------------------------------- 3 2.Основная часть. 1.Анализ исторически возникших способов практического применения «золотого сечения»---------------------------------------- 6 1.1 История возникновения «золотого сечения» в науке. ----- 6 1.2 «Золотое сечение» как основная пропорция в искусстве.--- 7 2. Обоснование «золотого сечения» как возможной пропорциональности в научной деятельности. --------------------- 15 2.1 Геометрический смысл «золотого сечения». -------------------- 15 2.2 «Золотые» фигуры и тела. ------------------------------------------- 15 2.3 «золотая» пропорция в моем окружении. ----------------------- 17 2.4 Анализ научных идей, связанных с «золотым сечением».--- 19 3. Заключение ----------------------------------------------------------------- 22 4. Список источников информации и иллюстраций-------------------------24 3 Введение Красота! Казалось бы, это понятие, лишенное практической ценности, материальности, очевидной полезности, не играющее существенной роли, в жизни людей является второстепенным, маловажным. Но почему, же с давних времен до наших дней не прекращаются исследования этого непознанного чуда, почему человек издавна стремится окружить себя красивыми вещами. Но человек не только создавал красивые предметы, не только любовался ими, он все чаще задавался вопросом: почему этот предмет красив, он нравится, а другой, очень похожий, не нравится, его нельзя назвать красивым? Тогда из творца прекрасного он превращался в его исследователя. Уже в Древней Греции родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония. Изучение прекрасного стало частью изучения гармонии природы, её основных законов организации. В воззрениях пифагорейцев впервые стали трактовать гармонию как единство противоположностей. Они же пришли к выводу о необходимости числового выражения гармонического соотношения частей в целом, число у пифагорейцев выступает в качестве универсального ключа к объяснению мира. Во всех последующих исследованиях ученые пытались так или иначе найти простые числовые соотношения в самых различных явлениях и структурах; изучение законов гармонии стало важной частью изучения природы. Известный теоретик архитектуры Леон – Батиста Альберти говорил: «Есть нечто большее, слагающее из сочетания и связи этих трех вещей (числа, ограничения и размещения), нечто, чем чудесно озаряется весь лик красоты. Это мы называем гармонией, которая, без сомнения, источник всякой прелести и красоты. Ведь назначение и цель гармонии – упорядочить части, вообще говоря, различные по природе, неким совершенным соотношениям так, чтобы они одна другой соответствовали, создавая красоту… . Она охватывает всю жизнь человеческую, пронизывает всю природу вещей. Ибо все, что производит природа, все это соразмеряется законом гармонии. Этого никак не достичь без гармонии, ибо без нее распадается высшее согласие частей». Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый – красоту в истине. Красота скульптуры, красота храма, красота картины, симфонии, поэмы…. Что между ними общего? Разве можно сравнить красоту храма с красотой ноктюрна? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов. 4 «Формул красоты» уже известно немало. Уже давно в своих творениях люди предпочитают правильные геометрические формы – квадрат, круг, равнобедренный треугольник, пирамиду и т. д. Симметричные фигуры обычно предпочтительнее, чем несимметричные. В пропорциях различных сооружений предпочтительны целочисленные соотношения. Человек вообще предпочитает порядок – беспорядку, простоту – сложности, определенность – неопределенности. Очевидно, в этом проявляется сущность самой жизни. Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами. Она отвечает такому делению целого на части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части. Эту пропорцию называли по – разному – «золотой», «божественной», «золотым сечением», «золотым число». Древнейшие сведения о золотой пропорции относятся ко времени расцвета античной культуры. О ней упоминается в трудах великих философов Греции Пифагора, Платона, Эвклида. Платон привел формулировку золотого сечения, одну из самых древних, дошедшую до нашего времени. Сущность ее сводится к тому, что для соединения двух частей с третьей совершенным образом необходима пропорция, которая бы «скрепила» их в единое целое. При этом одна часть целого должна так относиться к другой, как целое к большей части. Такая пропорция отвечает гармоническому соединению, она и является золотой. Античные скульпторы и архитекторы широко использовали ее при создании своих произведений. К понятию «золотая пропорция» в наибольшей степени подходит определение «Формула красоты». Действительно, эта пропорция обладает наиболее отчетливыми признаками гармоничности прекрасного. Эта пропорция знаменует собой как бы вершину эстетических изысканий, некий предел гармонии природы. Эта пропорция не только является господствующей во многих произведениях искусства, она определяет закономерности развития многих организмов, ее присутствие отмечают почвоведы, химики, геологи и астрономы. Такая универсальность золотой пропорции не делает ее простой и доступной для изучения. Многое в сущности этой «константы гармоничности» остается неизведанным. Еще неясно, почему Природа предпочла эту пропорцию всем другим – не за ее ли уникальность? По- видимому, в этой пропорции скрыта одна из фундаментальных тайн природы, которую еще предстоит открыть. Я постараюсь изложить наиболее интересные факты и закономерности, касающиеся золотой пропорции. Насколько это удалось – судить вам. Изучая различную научную литературу, я пришел к выводу, что золотое сечение перестала быть сокровищем одной лишь геометрии, все это побудило меня исследовать золотую пропорцию как универсальную мировую константу. 5 Актуальность исследования золотой пропорции – как мировую константу я вижу в том, чтобы убедиться в достоверности высказывания Иоганна Кеплера о «двух сокровищах» и развить это представление дальше за пределы геометрии. Данная моя работа представляет собой теоретические и практические исследования, где в качестве объекта рассматривается всестороннее применение золотой пропорциональности и доказывается её универсальность. Объект исследования: применение пропорциональности в научных исследованиях Предмет исследования: «золотое сечение» как один из видов пропорциональности Цель исследования: поиск закономерностей золотой пропорции в различных областях неживой и живой природы и в моем окружении. Задачи: - проследить этапы исторического возникновения «золотого сечения» в науке; - определить и рассмотреть использование золотой пропорции в неживой и живой природе, её применение в современном мире; - выявить и изучить проявление золотой пропорции и её производных в моем окружении; - определить возможные направления применения «золотого сечения» в науке. Гипотеза: если «золотая пропорция – универсальная мировая константа, то она встречается в мире живой и неживой природы и возможно применять ее в научной деятельности. Достоверность результатов исследования обеспечивалась обоснованностью исходных теоретических данных, опорой на доказательства практических экспериментов. Новизна результатов исследования состоит в том, что были выявлены способы применения «золотого сечения» в науке. Теоретическая значимость результатов исследования обусловлена анализом принципов и способов применения «золотого сечения» в различных областях искусства и их переносом в научную деятельность. Практическая ценность работы состоит в выявлении способов применения «золотого сечения» в научной практике. 6 1. Анализ исторически возникших способов практического применения «золотого сечения» 1.1 История возникновения «золотого сечения» в науке История «золотого сечения» уходит в глубь тысячелетий. Мощный импульс в развитии «золотого сечения» и его приложений дала греческая наука. В Древней Греции «золотое сечение» становится своеобразным «каноном» древнегреческой культуры, которой пронизывает все ее сферы. Многие ученые приписывают открытие этой пропорции Пифагору. Но не следует забывать, что большинство своих открытий, в частности, знаменитую «теорему Пифагора», ученый позаимствовал в египетской и вавилонской культурах. Считается, что знания о «золотом сечении» он позаимствовал у древних вавилонян. Неизвестно, употреблял ли Пифагор термин «золотое сечение». Часто введение термина «золотое сечение» приписывают Леонардо да Винчи. Но это не так. По мнению белорусского философа Эдуарда Сороки, автора книги «Структурная гармония систем» и признанного авторитета в области «золотого сечения», термин «золотое сечения» идет от Клавдии Птолемея – александрийского астронома, математика и географа. Он дал это название числу 1,618, убедившись в том, что рост человека правильного телосложения естественно делится именно в таком отношении. Пальцы человека состоят из трех фаланг: основных, средних и ногтевых. Длина основных фаланг всех пальцев, кроме большого, равна сумме длин двух остальных фаланг, а длины всех фаланг каждого пальца соотносятся друг к другу по правилу золотой пропорции. Как, видим, в строении кости соблюдается принцип золотой пропорции. Все это дает основание считать золотую пропорцию некоторой «константой гармонии», идеальным пределом, к которому стремится тело человека в своем развитии. 7 «С точки зрения Платона, да и вообще с точки зрения всей античной космологии мир представляет собой некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления – Золотого Сечения… Их систему космических пропорций нередко в литературе изображают кА курьезный результат и дикой фантазии. Однако понять данный историкоэстетический феномен можно только в связи с целостным пониманием истории, то есть используя диалектико- материалистическое представление о культуре и ища ответа в особенностях античного общественного бытия». Следует отметить, что строгая геометрическая формулировка знаменитой «задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении» впервые дана в «началах» Евклида. Там же, а именно в 13- й, то есть заключительной, книге своих «Начал», Евклид изложил теорию Платоновых тел, которая является существенным разделом геометрической теории «золотого сечения», так как два главных Платоновых тела, додекаэдр и икосаэдр, основаны на «золотом сечении». Кстати, этот факт, то есть размещение теории правильных многогранников, лежащих в основе космологии Платона, в заключительной книге «Начал» Евклида, дал основание древнегреческому математику Проколу, который был комментатором Евклида, выдвинуть интересную гипотезу об истинных целях, которые преследовал Евклид. Создавая свои «Начала». Согласно Проколу, Евклид создавал «Начала» не с целью изложения геометрии как таковой, а чтобы дать полную систематизированную теорию построения «идеальных» фигур, в частности, пяти Платоновых тел, попутно осветив новейшие достижения математики. Исходя из сказанного выше, можем выделить несколько исторических этапов проявления «золотого сечения» среди научных знаний: 1. Древность (Древний Египет – пирамиды, Древняя Греция – геометрия) 2. Средние века (научные знания о пропорциях человеческого тела, применение Платоновых тел к построению геометрической модели Вселенной Кеплера). 3. Предсовременность (проявление «золотого сечения» в биологии, ботанике и медицине) 4. Современность (новые знания в нейрофизиологии, генетике и др. науках) Несмотря на множественные проявления «золотого сечения» в различных науках, с ним не связано множество каких-либо «полезных» научных открытий. Обнаружение «золотого сечения» являлось уже само по себе научным открытием. Однако, рассматривая историю развития различных видов искусств, можно отметить, что в различные века «золотое сечения» с успехом применялось в живописи, музыке, поэзии и т.п. Покажем это на наиболее эффектных примерах. 1.2 «Золотое сечение» как основная пропорция в искусстве Арабская пословица гласит: «Все на свете страшится времени, время 8 страшится пирамид». Бесконечное, однообразное море песка, редкие высохшие кустики растений. Раскаленное солнце пустыни… И оно кажется тусклым, словно покрыто мелким песком. И вдруг, словно мираж, перед изумленным взором возникают пирамиды – фантастические фигуры из камня, устремленные к солнцу. Своими громадными размерами, совершенством геометрической формы они поражают воображение. Недаром эти творения рук человеческих относили к одному из семи чудес света. Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса. Она самая крупная и наиболее хорошо изученная. Правильная четырехгранная пирамида является одной из хорошо изученных геометрических фигур, символизирующих простоту и гармонию формы, олицетворяющую устойчивость, надежность, устремление вверх. Очевидно, и размеры пирамиды: площадь ее основания и высота – не были выбраны случайно, а должны нести какие-то геометрические, математические идеи, информацию об уровне знаний египетских жрецов. Основным исходным элементом геометрии пирамиды Хеопса является треугольник в ее вертикальном сечении, в котором отношение катетов равно гипотенузы к большому катету и равно 1,272 = Ф , а отношение гипотенузы к малому катету равно золотой пропорции Ф=1,618… Таким образом, есть основания утверждать, что основным отношением частей пирамиды Хеопса является золотая пропорция, выраженная в пирамиде неоднократно. Великолепные памятники архитектуры оставили нам зодчие Древней Греции. И среди них первое место по праву принадлежит Парфенону. В 447 году началась работа над храмом Афины – Парфеноном и продолжались до 434 года до н. э. Для создания гармонической композиции на холме его строители даже увеличили холм в южной части, соорудив для этого мощную насыпь. Протяженность холма перед Парфеноном, длины храма Афины и участка Акрополя за Парфеноном соотносятся как отрезки золотой пропорции. При взгляде на Парфенон от места расположения 9 пропитей отношение массы скалы и храма также соответствует золотой пропорции. Фасад Парфенона вписан в прямоугольник со сторонами 1:2, а план образует прямоугольник со сторонами 1 и √5. Известно, что диагональ прямоугольника 1:2 имеет размер √5, следовательно, прямоугольник фасада и является исходным в построении геометрии Парфенона. Многие исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона, искали и находили в соотношениях его частей «золотую» пропорцию. В работе В. Смоляка, посвященной изучению пропорций Парфенона, установлен закономерный ряд «золотых» пропорций. Таким образом, золотая пропорция была использована уже при создании композиции храмов на священном холме. Но не только присутствие золотой пропорции в геометрии Парфенона делает это сооружение столь прекрасным и непревзойденным. Тщательные измерения Парфенона показали, что в нем нет прямых линий, а поверхности не плоские, а слегка изогнутые. Шедеврами архитектуры являются многие русские храмы, которые строились на протяжении нескольких столетий. В плане стены храмов или опорные колонны обычно вписываются в квадрат или прямоугольник со сторонами 1:2. В квадрат вписываются и многие фасады древних храмов (например, Георгиевский собор в Юрьеве – Польском). Однако встречаются и другие соотношения габаритов храмов в плане и в фасаде. Членение же целого на части подчинено еще малоизученным законам гармонии, секретам архитектуры, которыми владели русские зодчие и которые еще предстоит открыть. Попытки такого рода предпринимаются уже давно. Давно уже пытаются раскрыть тайны гармонии русских храмов, их непреходящей красоты 10 Одиноко стоит в пойме реки Нерли над зеркалом спокойных вод изящный и легкий белокаменный храм, словно любуется своим изображением в воде. Эта небольшая, скромная по архитектурной композиции церковь Покрова на Нерли (1165г.) считается наиболее совершенным творением владимирских зодчих. Основные элементы архитектуры церкви Покрова на Нерли взаимосвязаны пропорциями и определяют геометрическую гармонию и красоту этого сооружения. В основе взаимосвязанных пропорций положен прямоугольник со сторонами 1:2 и 5 и его производная – диагональю золотая пропорция. Наличие этих пропорций и определило красоту храма, который считается одним из величайших шедевров русского зодчества. «Поразительная красота и гармоничность архитектуры храма Покрова Богородицы на Нерли , - пишет теоретик архитектуры К.Н.Афанасьев, - оформляется цепью взаимосвязанных отношений «золотого сечения». Золотая пропорция обнаружена и в архитектуре церкви Вознесения в Коломенском (1532г.). Трудно найти человека, который бы не знал и не видел собор отличается удивительным разнообразием форм и деталей, красочных покрытий; ему нет равных в нашей стране. Едва ли правомерно утверждать, что зодчие собора Василия Блаженного знали о золотой пропорции и ее математическом выражении 1,618 или 0,618 и сознательно пользовались этой величиной в своих построениях. Но они могли интуитивно прийти к этой пропорции, пользуясь системой квадрата и прямоугольника, отношением их сторон и диагоналей. 11 При рассмотрении храма Василия Блаженного в Москве невольно возникает вопрос: случайно ли число куполов в нем равно восьми? Существовали ли какие – либо каноны, определяющие число куполов в храмах? Очевидно, существовали. Простейшие православные соборы раннего периода были одноглавые, однако уже в X веке строили и многокупольные церкви. Новгородский Софийский собор был триннадцатиглавым, а Преображенская церковь в Кижах, вырубленную из дерева 2,5 столетия назад, венчает 21 глава! Давно уже нет в живых создателей замечательных русских храмов, являющихся сокровищницей отечественной культуры. Но остались (к сожалению, далеко не все!) творения их рук, и, прежде всего выражение их духовных ценностей, воплощенных в камне. Чем они пользовались при выборе пропорций, при членении целого на части?! Для ответа на этот вопрос нужна кропотливая работа исследователя, кропотливые замеры и сопоставления. Все усилия природы направлены к одной цели – к созданию человека», писал Жан Батист Робинс. Сколько художников, поэтов, скульпторов, истинных ценителей прекрасного, восхищались красотой человеческого тела! «Красивейшие человеческие тела во всех положениях, смелых до невероятности, стройных до музыки – да это целый мир, перед откровением которого невольный холод восторга и страстного благоговения пробегает по всем жилам», - писал И.С.Тургенев. «Человеческое тело – лучшая красота на земле», - утверждал Н.Г.Чернышевский. Эталонами красоты человеческого тела, образцами гармонического телосложения издавна и по праву считаются великие творения греческих скульпторов: Фидия, Поликтета, Мирона, Праксителя. В создании своих творений греческие мастера использовали принцип золотой пропорции. Центр золотой пропорции строения человеческого тела располагается точно в месте пупка. И не случайно величину золотой пропорции принято обозначать буквой Ф; это сделано в честь Фидия – творца бессмертных скульптурных произведений. Одним из высших достижений классического греческого искусства может служить статуя «Дорифор». Фигура юноши выражает единство прекрасного и доблестного, лежащих в основе греческих принципов искусства. Широкие плечи почти равны высоте туловища, высота головы восемь раз укладывается в высоте тела, а «золотой» пропорции отвечает положение пупка на теле атлета. Выражение «архитектура – это застывшая музыка» стало крылатым. Оно не является, безусловно, результатом старого научного анализа, это, скорее всего 12 итог образного, интуитивного ощущения некой связи гармонической архитектурной формы с музыкальной гармонией. Давно уже ученые задавались вопросом: почему в музыкальной октаве семь основных звуков – столько же, сколько цветов в спектре солнечного света. Еще ничего, не зная о природе звуков, человек интуитивно подстраивал струны так, чтобы они создавали благозвучие. Пифагору принадлежит математическое объяснение основ гармонии; по его определению, наиболее естественно воспринимаются человеком частоты, которые находятся между собой в простых числовых отношениях. Вот откуда и отношение частот в октаве 1:2, и благозвучное трезвучие с отношением частот 4:5:6. Уменьшая последовательно длины струн, мы получим природный звукоряд из 16 звуков, но почему же, древние музыканты приняли звукоряд, состоящий из семи основных звуков, и лишь позже добавили еще пять дополнительных (так появились черные клавиши в пианино). По свидетельству историков, древнейшая греческая лира (Орфей) имела четыре струны. Первая струна – основа, у второй струны число колебаний относится к числу колебаний первой струны как 4:3 (как у катетов «священного» египетского треугольника). Эта кварта основного тона. Число колебаний третьей струны по отношению к основному тону равно 3:2, это квинта основного тона. Четвертая струна – октава, число колебаний у нее в два раза больше, чем у основы (как отношение сторон в треугольнике 1:2: 5 ). Естественно возникает вопрос: не явились ли закономерности в геометрии прямоугольного треугольника со сторонами 1:2: 5 основой для разработки музыкальной гаммы? Если же связь сторон треугольника и отношения частот звуков в семиструнной гамме не случайна, то в таком случае построение музыкальной гаммы связано с золотой пропорцией. Значение работ Пифагора по научному обоснованию основ музыкальной гармонии трудно переоценить. Это была первая научно обоснованная теории гармонии в музыке. Познав истинность и красоту своей музыкальной теории, Пифагор пытался распространить ее на космологию; по его представлениям, и планеты Солнечной системы располагались в соответствии с музыкальной октавой. Эта гипотеза Пифагора не потеряла своей привлекательности и в более поздние времена. Так, в 17 веке поэт Джон Драйден писал: Во всем царит гармонии закон, И в мире все суть ритм, аккорд и тон. Анализ гармонии в музыке не исчерпывается установлением закономерностей звучания в гамме, изучением природы благозвучных аккордов. Интересно было определить природу прекрасного в произведениях великих композиторов, определить, в чем причина их привлекательности, эстетической ценности. В композиции многих музыкальных произведений отмечается наличие некоторого «кульминационного взлета», высшей точки, причем такое 13 построение характерно не только для произведения в целом, но и для его отдельных частей. Такая высшая точка крайне редко расположена в центре произведения или его композиционной части, обычно она смещена. Изучая восьмитактные мелодии Бетховена, Шопена, Скрябина, музыкальный музыковед Л. Мозель установил, что во многих из них вершина, или высшая точка, приходится на сильную долю шестого такта или на последнюю мелкую долю пятого такта, то есть, находится в точке золотого сечения. Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%). Таким образом, золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения. Тогда логично предположить, что чем точнее соответствие произведение музыки золотой пропорции, тем выше степень гармонии, а отклонение от золотой пропорции – свидетельство несовершенства музыки. Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонард да Винчи. Его личность – одна загадка истории. Сам Леонард да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды». Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность остается загадкой. Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образец зеркального письма. Портрет Моны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на «золотых» треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника… Трудно отметить, что замечали в этом шедевре искусства, но все говорили о том глубоком знании Леонардо строения человеческого тела, благодаря которому ему удалось уловить эту, как бы загадочную, улыбку. Говорили о выразительности отдельных частей картины и о пейзаже, спутнике портрета. 14 Толковали о естественности выражения, о простоте позы, о красоте рук. Художник сделал еще небывалое: на картине изображен воздух, он окутывает фигуру прозрачной дымкой. В картине Рафаэля «Избиение младенцев» просматривается другой элемент «золотой « пропорции – золотая спираль. На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции – точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка – вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы людей в правой части эскиза. Неизвестно, строил ли Рафаэль «золотую» спираль или чувствовал ее. Также широко используется «золотое сечение и в поэзии. Многое в структуре произведений поэзии роднит этот вид искусства с музыкой. Четкий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная закономерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Каждый стих обладает своей музыкальной формой – своей ритмикой и мелодией. Можно ожидать, что в строении стихотворения проявятся некоторые черты музыкальных композиций, закономерности музыкальной гармонии, а следовательно, и золотой пропорции, и числа Фибоначчи. 15 2. Обоснование «золотого сечения» как возможной пропорциональности в научной деятельности 2.1 Геометрический смысл «золотого сечения» Леонардо да Винчи много внимания уделял изучению «золотого деления». Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в «золотом делении». Поэтому он дал этому делению название «золотое сечение». Так оно и держится до сих пор как самое популярное. Во многих работах да Винчи присутствует явление «золотого сечения». Также математическим сочинением античной науки являются «Начала» Евклида. Это научное произведение написано Евклидом в 3 веке до н.э. и содержит основы античной математики: геометрию, теорию чисел, теорию пропорций и отношений, методы определения площадей и объемов и др. Именно из «Начал» Евклида к нам пришла следующая геометрическая задача, называемая задачей «о делении отрезка в крайнем и среднем отношении». Суть задачи в следующем. Разделим отрезок точкой в таком отношении, чтобы большая часть отрезка так относилась к меньшей части , как сам отрезок к своей большей части. Хорошо известный в Древнем Мире простой прямоугольный треугольник с отношением катетов 1:2 мог послужить основой для открытия «теоремы квадратов», «золотой» пропорции и, наконец, «несоизмеримых отрезков» трех великих математических открытий, приписываемых Пифагору. Многие математические закономерности, как говорится, «лежали на поверхности», их нужно было увидеть человеку с аналитическим умом, мыслящему логически, чем и отличались античные философы и математики. Парадоксально, но теорему Пифагора знает каждый школьник, в то время кА с «золотым сечением» знакомы далеко не все. 2.2 Золотые фигуры и тела Как упоминалось ранее, «золотое сечение» очень широко используется в геометрии. «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень», - писал И. Кеплер. Рассмотрим простейший прямоугольный треугольник с отношением катетов 1:2. В этом треугольнике гипотенуза по теореме Пифагора будет равна 5 . Этот треугольник был хорошо известен в древнем мире, во многих 16 сооружениях того периода преобладают пропорции, равные отношениям катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника со сторонами 1:2: 5 . Соотношения сторон a, b, c данного треугольника очень простые и понятные каждому, знающему основы геометрии: a/b=1:2, c/a= 5 :1, c/b= 5 :2. Однако из этих величин следует и еще одно отношение (a+c)/b=(1+ 5 )/2, равное 1,618033… . Это и есть золотая пропорция. Значит можно сделать вывод, что прямоугольный треугольник с катетами 1и 2, а также прямоугольник со сторонами 1и 2 и диагональю 5 называются золотыми фигурами. К золотым фигурам относится также правильный пятиугольник, у которого большая сторона так относится к меньшей, как сумма сторон к большей. А правильный пятиугольник образовался от греческого слова «pentaqonon». Слово «пентагон» нам хорошо известно из названия здания военного ведомства США, которое в плане имеет форму правильного пятиугольника. Диагонали «пентагона» образуют пятиконечную звезду. Доказано Что точки пересечения диагоналей всегда являются точками «золотого сечения». При этом они образуют новый «пентагон» В новом пентагоне можно провести диагонали, пересечение которых образуют еще один «пентагон», и этот процесс может быть продолжен до бесконечности. Эт а бесконечная повторяемость одной и той же геометрической фигуры создает чувство ритма и гармонии, которое неосознанно фиксируется нашим разумом. В «пентаграмме» можно найти огромное количество отношений «золотой пропорции». Например, отношение диагонали к его стороне. «Пентаграмма» всегда вызывала особое восхищение у пифагорейцев и считалось их главным опознавательным знаком. Существует следующая легенда. Когда на чужбине один из пифагорейцев лежал на смертном одре и не мог заплатить человеку, который за ним ухаживал, то он велел ему изобразить на своем жилище «пентаграмму», надеясь на то, что этот знак увидит кто-либо из пифагорейцев. И действительно, несколько лет спустя один пифагореец увидел этот знак, и хозяин дома получил богатое вознаграждение. Пентаграмма включает в себя ряд замечательных фигур, которые широко используются в произведениях искусства. Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжен всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа. Что же такое правильный многогранник? Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Сколько же существует правильных 17 многоугольников? На первый взгляд ответ на этот вопрос очень простой – столько же, сколько существует правильных многоугольников. Однако это не так. В «Началах» Евклида мы находим строгое доказательства того, что существует только пять правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны. Эти правильные многогранники получили название Платоновых тел. Платон считал, что атомы четырех элементов, из которых построен мир (огня, земли, воздуха и воды), имеют форму правильных выпуклых многогранников – тетраэдра, куба, октаэдра и икосаэдра, а весь мир в целом построен в форме додекаэдра. Платон писал: «Земля, если взглянуть на нее сверху, похожа на мяч, сшитый из 12 кусков кожи». В 1509 году в Венеции современник и друг Леонардо да Винчи Лука Пачоли нашел в пяти Платоновых телах правильных многогранников (тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр) тринадцать проявлений золотой пропорции. 2.3. Золотая пропорция в моем окружении Мною в своем классе были проведены анкетирование и эксперимент на тему: «Золотая пропорция и восприятие». Ребята отдали предпочтение книге, имеющей форму близкую к золотому прямоугольнику, оставляя без внимания другие книги, имеющие форму вытянутого прямоугольника и форму близкую к квадрату. Результаты следующие: Из 26 человек: за золотой прямоугольник – 16 человек – 62% за квадратную форму – 6 человек – 33% за вытянутый прямоугольник – 2 человека – 5% 18 Уч-ся за вытянут. 5% ыйый. прямоуг Уч-ся за форму квадрата 33% Уч-ся за золотой прямоугольник 62% А участники эксперимента предпочитали садиться на свободную лавочку в том месте, точка которого соответствовала пропорции золотого отрезка. Из 26 человек: 20человек заняли золотую точку – 77% 6 человек заняли произвольное место – 23% Это объясняется тем, что бесконечное повторение одних и тех же геометрических фигур вызывает у нас неосознанное эстетическое чувство гармонии и красоты. Поэтому многие предметы прямоугольной формы, с которыми мы имеем дело, зачастую имеют форму золотого прямоугольника Выполненные замеры некоторых предметов прямоугольной формы, с которыми мы ежедневно имеем дело, подтвердили форму золотого прямоугольника: отношение сторон спичечного коробка – 50 : 30 = 1,6… 19 отношение сторон учебного пособия – 210 : 120 = 1,65.. Даже в здании нашей школы прослеживается золотая закономерность: 15000 : 9000 = 1,6… 2.4 Анализ научных идей, связанных с «золотым сечением» Рассмотрим более подробно некоторые открытия и теории современной науки, связанные с «золотым сечением» Филлотаксис. Характерной чертой строения растений и их развития является спиральность. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спиральное движение наблюдается при росте корней и побегов. Очевидно, в этом проявляется наследственность организации растений, а ее корни следует искать на клеточном и молекулярном уровнях. Исследования показали, что движение протоплазмы в клетке часто спиральное. Рост клеток также может быть спиральным, как показал ученый Кастл. В жидкой среде клетки встречаются спиральные нити волокон – цитонем. И, наконец, носители информации – молекулы ДНК – также скручены в спираль. Следует отметить, что термин «спираль» не отражает точно строение молекул ДНК; более правильно говорить о винтовом расположении полипептидных цепей в этой молекуле. Во многих других случаях, рассмотренных в ботанике, речь также идет, по существу, не о спирали, а о винтовом расположении элементов структуры; к сожалению, термины часто путают. Нет сомнений, что наследственная спиральность является одним из основных свойств организмов, она отражает один из существенных признаков живого. 20 А посмотрите на сосновую шишку и вы увидите, что чешуйки на ее поверхности расположены строго закономерно – по двум спиралям. Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21. такие же спирали видны в поперечных разрезах почек; здесь числа спиралей относятся как числа 3/5, 5/8, 8/13. В корзинках подсолнечника семена также расположены по двум спиралям, их число составляет обычно 34/55, 55/89. Здесь можно увидеть закономерное сочетание чисел Фибоначчи, расположенных рядом: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89. Их отношение в пределе стремится к золотой пропорции, выраженной числом 0,61803… Осень. Широкие, ярко окрашенные, словно вырезанные талантливым художником ажурные листья клена так красивы, что трудно остаться равнодушным. Золотая пропорция в строении листа проявляется не только в его членении в соответствии с рядом чисел Фибоначчи. Проявляется она и в размерных соотношениях листа. Прожилки и зубцы листа клена расположены по закону уменьшения размеров от центра к периферии листа. Это отчетливо видно на рисунке кленового листа. Для изучений растений нет нужды выходить из квартиры. Если взять обыкновенную луковицу и посадить ее в стакан с водой, то через несколько дней в верхней части луковицы появятся зеленые побеги, а в воду опустятся белые нитевидные корни. Через неделю можно увидеть, что число перьев, выросших из каждого побега равно 3, 5, 8, то есть числам Фибоначчи. Число корневых нитей равно или близко к 21 и 34, то есть также отвечает числам Фибоначчи. Ритмы сердца и мозга. Сердце бьется непрерывно – о рождения человека до его смерти. Его работа должна быть оптимальной, обусловленной законами самоорганизации биологических систем. Отклонения от оптимального режима вызывают различные заболевания. Сердце как поршень сжимает, а затем выталкивает кровь и гонит ее по телу. Давление крови изменяется в процессе работы сердца. Наибольшей величины оно достигает в левом желудочке сердца в момент его сжатия. В артериях в это время кровяное давление достигает максимальной величины, равной 115-125 мм ртутного столба у молодого, здорового человека. В момент расслабления сердечной мышцы давление сжимается до 70-80мм рт. ст. Отношение максимального к минимальному давлению равно в среднем 1,6, то есть близко к золотой пропорции. Поэтому золотая пропорция является одним из критериев самоорганизации в работе сердца. В медицинской практике о работе сердца судят по пульсу. Оказалось, что пульсовые – минимальное и максимальное – давления находятся в отношении 0,365:0,635:1, то есть близким к золотой пропорции. На электрокардиограмме человека обозначены буквами «з. т.» - золотые точки, соответствующие точкам деления рассмотренных участков сердечного цикла в пропорции золотого сечения. 21 Можно сделать вывод: работа сердечно – сосудистой системы по законам золотой пропорции обеспечивает гармоническое функционирование всего организма. Мозг человека представляет собой сложнейшую самонастраивающуюся систему, основным назначением которой является регуляция деятельности различных органов человеческого тела, осуществление связи человека с окружающей средой. В составе мозга различают серое и белое вещество. Серое вещество представляет собой скопление нервных клеток, белое – нервных волокон, отростков этих клеток. Нервная клетка с отростком называется нейроном. Нейроны мозга образуют разнообразные сети, взаимодействующие с помощью электрических сигналов. Конфигурации нейронных сетей представляют собой колебательные электрические цепи. Различным состояниям мозга соответствуют электрические колебания с различными частотами. Многочисленные исследования показали, что в мозге взрослого человека при различных его состояниях преобладают электрические колебания определенных частот. Изменение активации мозга происходит не непрерывно, а только дискретно, скачками от одного уровня к другому. Каждому состоянию мозга соответствуют свои специфические волны электрических колебаний. Состоянию спокойного бодрствования отвечает наиболее устойчивый ритм с частотами колебаний от 8 до 13 герц. Наиболее медленные колебания, с частотой 0,5-4 Гц характерно для состояния глубокого сна. При появлении неприятности или опасности в мозгу доминирует ритм с частотами от 4-7 до 6-8. Умственной работе отвечает ритм с частотами 14-35Гц. Эмоциональному возбуждению мозга соответствует ритм с частотами 35-55 Гц. Нетрудно заметить, что граничные частоты ритмов почти точно отвечают числам Фибоначчи. Исследования в этой области только начинаются, впереди – открытия самых сокровенных тайн организации и работы мозга человека, закономерности его эволюции. 22 Заключение Проанализировав применение «золотого сечения в искусстве, а также различные научные открытия о существовании «золотой» пропорции в различных областях нашей жизни, можно предположить: 1. «золотое сечение» является основной пропорциональностью мира, то есть является универсальной мировой константой; 2. Золотая пропорция проявляет себя как в мире живой природы, так и в мире минералов. 3. Золотая пропорция применяется в различных областях искусства и переносится в научную деятельность. Круг ее применения невероятно широк. 4. Сделаны выводы: 40% от обследуемых учащихся подтвердили гармонию красоты своего тела; ученики эксперимента предпочитали садиться на свободную лавочку в том месте, точка которого соответствует пропорции золотого отрезка; отношение размеров предметов прямоугольной формы, привлекающие наше внимание (здание школы, книги, спичечный коробок) близки к золотому; винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев, семян подсолнечника, в шишках сосны, кактусов подчиняется закономерному сочетанию чисел Фибоначчи. Следует отметить также, что для наиболее оптимального, гармоничного, естественного построения чего-либо искусственного (то есть создания человека), вероятно, также требуется использование «золотого сечения». Нам в своей жизни необходимо стремиться к созданию гармонии красоты не только в архитектуре, живописи, своего тела, но и в поведении, учении и познавательности. В заключении можно привести некоторые факты, которые были открыты благодаря «золотому сечению»: пояс астероидов между Марсом и Юпитером – по пропорции там должна находиться еще одна планета; возбуждение струны в точке, делящей ее в отношении «золотого деления», не вызывает колебаний струны, то есть это точка компенсации; 23 на летательных аппаратах с электромагнитными источниками энергии создаются прямоугольные ячейки с пропорцией «золотого сечения». Иоганну Кеплеру, живущему пять веков назад, принадлежит высказывание: « Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое – это теорема Пифагора, второе – деление отрезка в крайнем и среднем отношении». В ходе работы гипотеза о том, что золотая пропорция уникальна, универсальна, является мировой константой, нашла свое подтверждения. Теоретическая значимость работы заключается в том, что в процессе работы была изучена научно- популярная литература по данной теме, а также выявлено несколько видов золотой пропорции – «золотая спираль», «числа Фибоначчи», «золотая симметрия». 24 Список источников информации и иллюстраций: Литература: 1. Бутусов К.П. Золотое сечение в Солнечной системе. Астрономия и небесная механика. – М. ,1978. – с.475-500.- (Серия «Проблемы исследова7ия Вселенной». –Вып. 7) 2. Витгенштейн Л. Логико-филосовский трактат. 3. Воробьев Н.Н.Числа Фибоначчи. – М.: Наука, 1978. 4. Жмудь Л.Я. Пифагор и его школа. –Л.: наука,1990. 5. Математика. Энциклопедия для детей. – М.: Аванта плюс, 1998. 6. Математика. Я познаю мир. – М.: Аванта плюс ,1998. 7. Очинский В.В. К концепции золотой пропорции в естествознании. Метафизика. – М.: Бином, 2006. – С.256-284. 8. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. – М.: Радио и связь, 1984. 9. Цеков-Карандаш Ц. О втором золотом сечении. – София,1983. 10. Энциклопедический словарь юного математика. – М., 1989. 11. Юшкевич А.П. История математики в России. – М.: Наука, 1968. 12. Васютинский Н. Золотая пропорция. – М.: Молодая гвардия, 1990. 13. Харитонов А.С. «Золотая пропорция» как критерий универсального равновесия и оптимальной связности частей в целом. Метафизика. – М.: Бином, 2006. – С.251-255 14. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи.- Киев: Выща школа, 1989. Сайты в Интернете: 1. www.PHILOSOPHY.ru/library/witt/0,1/0,1.html 2. http://www.uroki.net./scenar.htm Иллюстрации: 1. http://www.uer.varvar.ru/images/doryphoros2.jpg 2.http://blistar.net/images/photos/medium/0a86937a16b2fd9723ded0f1c883fd91.jp g 3. http://files.smallbay.ru/images/da_vinci06.jpg 4. http://bobmitze.net/math/longline/pyramid.jpg 5.http://www.nanometer.ru/upload/2013/01/92dd27cdcd634f116dc68f02bbf1e827. jpg 6. http://www.chtivo.ru/getpic3d/16775388/350/743387.jpg 7. http://img03.rl0.ru/pgc/432x288/51cd3882-d056-0306-d05603096ed06f94.photo.0.jpg 8. http://img1.liveinternet.ru/images/attach/c/4/78/496/78496175_Hram_vas_bl.jpg 9. http://900igr.net/datai/mkhk/TSerkvi-khramy-i-sobory/0021-022-KHramPokrova-na-Nerli-ili-na-Nerli.jpg 10. http://zarnica24.ru/wp-content/uploads/2013/03/f_greek_1.jpg 11. http://ic.pics.livejournal.com/chebatkov/32409602/130724/130724_640.jpg 12. http://zolochiv.inf.ua/img/oblast_imeg/obl_2013_08_27_6.jpg