Разностные методы решения краевых задач

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математики информатики
Салтанова Татьяна Викторовна
Разностные методы решения краевых задач
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления
02.03.01 – Математика и компьютерные науки,
профиль «Вычислительные, программные,
информационные системы и компьютерные технологии»
форма обучения очная
Тюменский государственный университет
2014
Салтанова Т.В. Разностные методы решения краевых задач. Учебнометодический комплекс. Рабочая программа для студентов направления
02.03.01 «Математика и компьютерные науки» профиль «Вычислительные,
программные, информационные системы и компьютерные технологии»
(форма обучения очная) Тюмень, 2014, 20 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с
учетом рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: «Разностные
методы решения краевых задач» [электронный ресурс] / Режим доступа:
http://www.umk3plus.utmn.ru, свободный.
.Рекомендовано
к изданию кафедрой математики и информатики. Утверждено
директором Института математики и компьютерных наук
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Григорьев М.В., к.т.н., доцент, и.о. зав.
кафедрой математики и информатики.
© Тюменский государственный университет, 2014
© Салтанова Т.В. 2014
1. Пояснительная записка:
1.1.Цели дисциплины:
Изучения дисциплины - умение численно решать задачи математической
физики с использованием современных программных комплексов.
Задачи дисциплины:
1. Формирование у студентов представлений о вычислительных алгоритмах,
вычислительном эксперименте.
2. Формирование
современному
у
студентов
уровню
математической
развития
культуры,
численных
адекватной
методов
решения
математических задач.
3. Формирование у студентов знаний и умений, необходимых для освоения и
использования разностных методов в специальных дисциплинах.
4. Формирование у студентов знаний и умений, необходимых для дальнейшего
самообразования в области вычислительной математики.
1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы:
Дисциплина относится к циклу Б1, Дисциплины по выбору.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
Наименование
обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
Современные численные
методы решения задач
алгебры
Современные численные
методы решения задач
анализа
Вариационное исчисление
Подготовка выпускной
квалификационной работы
Производственная
практика
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
Модуль 1
Модуль 2
Модуль 3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
данной образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими
компетенциями:
способностью находить, анализировать, реализовывать программно и
использовать на практике математические алгоритмы, в том числе с
применением современных вычислительных систем (ОПК-4);
способностью математически корректно ставить естественнонаучные
задачи, знание постановок классических задач математики (ПК-2);
1.4.. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине:
 Знать:
 современные разностные методы решения краевых задач, тенденции их
развития, а также их конкретные реализации;
 основные вычислительные алгоритмы и требования, предъявляемые к
ним;
 способы дискретизации задачи, виды погрешностей разностного
метода;
 устойчивость вычислительных алгоритмов, корректность решаемой
задачи.
 Уметь:
 решать задачи с помощью разностных методов с помощью сеточных
функций;
 формулировать
цели
и
задачи
исследований
при
выборе
аппроксимирующей функции;
 проводить оценку точности разностной схемы;
 проводить
анализ
выполнения
требований
к
вычислительным
алгоритмам;
 исследовать на устойчивость применяемую разностную схему;
 работать с наиболее распространенными прикладными программными
средствами.
 Владеть:
 общим представлением о краевых задачах, решаемых разностными
методами;
 представлением о возможностях использования разностных методов в
области профессиональной деятельности;
 базовыми представлениями о современных разностных схемах;
 навыками работы с некоторыми программами (Matlab, Mathcad,
Maple)..
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 8. Форма промежуточной аттестации
экзамен. Общая
трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы, 108 академических
часов, из них 64,35 часов, выделенных на контактную работу с преподавателем,
43,65 часов, выделенных на самостоятельную работу.
3. Тематический план
Таблица 2.
№
Тема
Недели семестра
Лекции
Практические
занятия
Самостоятельн
ая работа
Итого часов по теме
В том числе в
интерактивной форме
Итого количество баллов
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1-2
4
4
4
12
3
2
2
4
8
4
2
2
4
8
8
8
12
28
1.
2.
3.
Модуль 1
Решение краевых задач для
одномерного уравнения
теплопроводности методом сеток.
Решение краевых задач для
одномерного уравнения
гиперболического типа методом
сеток.
Устойчивость разностных схем для
уравнений в частных производных.
Всего
Модуль 2
0-14
4
0-6
4
0-20
1.
2.
3.
1.
2.
3.
Оценка погрешности конечноразностного решения по правилу
Рунге.
Решение краевых задач для
двумерного уравнения
теплопроводности методом
конечных разностей.
Решение краевых задач для
уравнений эллиптического типа
методом конечных разностей.
Всего
Модуль 3
Методы построения разностных
схем для краевых задач
математической физики.
Метод конечных разностей при
аппроксимациях специального вида.
Вариационно-разностные и
проекционно-разностные методы.
Всего
Итого (часов, баллов)
В том числе в интерактивной форме
5
2
2
4
8
0-18
6-7
4
4
8
16
5
0-14
8-9
4
4
8
16
2
0-8
10
10
20
40
7
0-40
10-11
4
4
6
14
2
0-15
12-13
4
4
4
12
1
0-10
14-15
4
4
6
14
1
0-15
12
30
2
12
30
13
16
48
40
108
4
15
15
0-40
0-100
* - с учетом иных видов работ"
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 3
Контрольная
работа
Самост.
решение
задач (дом.
задание)
Электронные
практикумы
Итоговое
индивид. дом.
задание
Модуль 1
1.
2.
Всего
Модуль 2
1.
2.
3.
Всего
Модуль 3
Информационные
системы и технологии
Ответы на
практическом
занятии
№
темы
Письменные работы
Коллоквиум
Устный опрос
Итого
кол-во
баллов
-0-4
0-4
0-2
0-1
0-3
0-10
-0-10
0-2
0-1
0-3
----
----
0-14
0-6
0-20
--0-4
0-4
0-4
0-2
-0-6
0-10
0-10
-0-20
0-4
0-2
-0-6
-----
-----
0-18
0-14
0-4
0-36
1.
2.
3.
4.
Всего
Итого
0-4
-0-4
-0-8
0-16
-0-1
--0-1
0-10
-----0-30
-0-1
--0-1
0-10
--0-6
0-18
0-24
0-24
---0-10
0-10
0-10
0-4
0-2
0-10
0-28
0-44
0-100
Штрафные баллы назначаются студентам в следующих случаях:
 Пропуск занятий – 1 балл;
 Несвоевременная сдача письменных домашних работ – 2 балла;
 Не выполнение домашнего задания – 3 балла.
Премиальные баллы назначаются студентам в следующих случаях:
 Решение дополнительных задач;
 Участие в олимпиадах.
5. Содержание дисциплины.
Модуль 1.
Тема
1.
Решение
краевых
задач
для
одномерного
уравнения
теплопроводности методом сеток.
Дифференциальное уравнение и краевые условия. Построение сетки и
введение сеточных функций. Явная схема. Неявная схема. Нахождение
решения с помощью метода прогонки. Схема с весами. Схема КранкаНиколсон. Схема «ромб».
Тема
2.
Решение
краевых
задач
для
одномерного
уравнения
гиперболического типа методом сеток.
Дифференциальное уравнение и краевые условия. Явная схема. Методы
повышения порядка аппроксимации начальных и краевых условий.
Тема 3. Устойчивость разностных схем для уравнений в частных
производных.
Понятие об устойчивости. Сходимость как следствие аппроксимации и
устойчивости.
Неймана.
Анализ устойчивости с помощью спектрального критерия
Модуль 2.
Тема 1. Оценка погрешности конечно-разностного решения по правилу
Рунге.
Понятие и виды погрешностей. Оценка погрешности. Оценка погрешности
конечно-разностного решения по правилу Рунге.
Тема 2. Решение краевых задач для двумерного уравнения теплопроводности
методом конечных разностей.
Явная схема. Неявная схема. Экономичные разностные схемы.
Тема 3. Решение краевых задач для уравнений эллиптического типа методом
конечных разностей.
Разностная
аппроксимация
уравнения
и
краевых
условий.
Метод
установления. Решение системы разностных уравнений универсальными
итерационными методами (методы Якоби, Зейделя, итерации с параметром).
Метод релаксации. Метод матричной прогонки.
Модуль 3.
Тема 1. Методы построения разностных схем для краевых задач
математической физики.
Метод разностных аппроксимаций. Метод неопределенных коэффициентов.
Интегро-интерполяционный метод.
Тема 2. Метод конечных разностей при аппроксимациях специального вида.
Случай переменного коэффициента. Случай неравномерной сетки. Случай
разрывных коэффициентов.
Тема 3. Вариационно-разностные и проекционно-разностные методы.
Вариационная постановка краевой задачи. Метод Ритца. Проекционная
постановка краевой задачи. Метод Галеркина. Метод конечных элементов.
6. Планы семинарских занятий
Модуль 1.
Тема
1.
Решение
краевых
задач
для
одномерного
уравнения
теплопроводности методом сеток. (расчетно-графическое задание) – 4ч
Тема
2.
Решение
краевых
задач
для
одномерного
уравнения
гиперболического типа методом сеток. - 2ч
Тема 3. Устойчивость разностных схем для уравнений в частных
производных.-2 ч
Модуль 2
Тема 1. Оценка погрешности конечно-разностного решения по правилу
Рунге.- 2ч
Тема 2. Решение краевых задач для двумерного уравнения теплопроводности
методом конечных разностей. - 4ч
Тема 3. Решение краевых задач для уравнений эллиптического типа методом
конечных разностей. - 6ч
Модуль 3.
Тема 1. Методы построения разностных схем для краевых задач
математической физики. - 4ч
Тема 2. Метод конечных разностей при аппроксимациях специального вида.6ч
Тема 3. Вариационно-разностные и проекционно-разностные методы. - 4ч
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрено учебным планом ОП.
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрено учебным планом ОП.
9. . Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной
работы студентов.
Таблица 4
№
1.
Модули и темы
Модуль 1
Решение краевых задач
для одномерного
уравнения
теплопроводности
Виды СРС
Подготовка к практическим
занятиям, выполнение
домашних заданий
Неделя Объем Кол-во
семестра часов баллов
1
4
0-2
2.
3.
1.
2.
3.
1.
2.
3.
методом сеток.
Решение краевых задач
для одномерного
уравнения
гиперболического типа
методом сеток.
Устойчивость разностных
схем для уравнений в
частных производных.
Всего
Модуль 2
Оценка погрешности
конечно-разностного
решения по правилу
Рунге.
Решение краевых задач
для двумерного уравнения
теплопроводности
методом конечных
разностей.
Решение краевых задач
для уравнений
эллиптического типа
методом конечных
разностей.
Всего
Модуль 3
Методы построения
разностных схем для
краевых задач
математической физики.
Метод конечных
разностей при
аппроксимациях
специального вида.
Вариационно-разностные
и проекционноразностные методы.
Всего
ИТОГО*
Подготовка к практическим
занятиям, выполнение
домашних заданий, ,
подготовка к коллоквиуму
2-3
4
0-5
4
4
0-2
12
0-9
5
4
0-4
Подготовка к практическим
занятиям, выполнение
домашних заданий
6-7
8
0-2
Самостоятельное изучение
теоретического материала,
подготовка к коллоквиуму
8-9
8
0-4
20
0-10
10-11
6
0-10
12-13
4
0-1
14-15
6
0-8
16
48
0-19
0-36
Выполнение домашних
заданий, изучение
теоретического материала
Подготовка к практическим
занятиям, выполнение
домашних заданий
Самостоятельное изучение
теоретического материала,
подготовка к коллоквиуму
Подготовка к практическим
занятиям, выполнение
домашних заданий
Выполнение итогового
индивидуального
домашнего задания
* - с учетом иных видов работ";
Самостоятельная работа студентов заключается в выполнении домашних
заданий, аудиторных и домашней контрольных работ.
10..Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
по итогам освоения дисциплины.
10.1.
Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в
процессе освоения образовательной программы (выдержка из матрицы
компетенций)
ПК-2
способностью
математически
корректно
ставить естественнонаучные задачи, знание
постановок классических задач математики
семестры
1
2
3
4
5
6
7
+
+
8
Б1.Б.14
Теоретическая механика
Б1.В.ОД.1
Курсовая работа по направлению
Б1.В.ОД.2
Преддипломная практика
+
Б3.ОД.1
Выпускная квалификационная работа
+
Б1.ДВ.1
История развития математической науки
+
Б1.ДВ.2
Методологические
+
основы
+
+
обучению
математики
Б1.ДВ.1
Концепции современного естествознания
+
Б1.ДВ.2
Физика
+
Б1.ДВ.1
Избранные вопросы математики
+
Б1.ДВ.2
Практикум по решению математических задач
+
Б1.ДВ.1
Информационные системы в нефтегазовом
комплексе
Информационные системы в экономике
Б1.ДВ.2
+
+
ОПК-4
способностью математически корректно
ставить естественнонаучные задачи, знание
постановок классических задач математики
Б1.Б.9
Б1.Б.19
Б1.В.6
Компьютерная геометрия и компьютерное
моделирование
Численные методы
Объектно-ориентированное программирование
Б1.В.13
Технологии программирования
Б1.В.ОД.1
Курсовая работа по направлению
Б3.ОД.1
Выпускная квалификационная работа
+
Б1.ДВ.1
Метод конечных элементов в расчетах
прочности
Современные численные методы решения
задач анализа
+
Б1.ДВ.2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
10.2.
Описание показателей и критериев оценивания компетенций на
различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 6.
Карта критериев оценивания компетенций
Код компетенции
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
основные
(ОПК- Знает:
понятия из разделов
4).
курса
Умеет:
применять
формулы и понятия при
решении задач
Владеет:
навыками
решения типовых задач
по разделам курса
базовый (хор.)
76-90 баллов
Знает:
все
определения
и
формулировки теорем,
Умеет: доказывать некоторые
теоремы. Применять на практике
теоретический материал
Владеет:
навыками
решения
стандартных задач.
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Виды занятий
(лекции,
семинар
ские,
практические,
лабораторные)
Знает: все определения Лекции,
и формулировки теорем семинары
Умеет: доказывать все
теоремы. Применять на
практике
теоретический
материал.
Владеет:
навыками
решения всех типов
задач, в том числе и
повышенного уровня
сложности. Навыками
анализа
результата
решенных задач
Оценочные
средства
(тесты,
творческие
работы,
проекты и др.)
Контрольные и
самостоятельные
работы
основные
(ПК-2) Знает:
понятия из разделов
курса
Умеет:
применять
формулы и понятия при
решении задач
Владеет:
навыками
решения типовых задач
по разделам курса
Знает:
все
определения
и
формулировки теорем,
Умеет: доказывать некоторые
теоремы. Применять на практике
теоретический материал
Владеет:
навыками
решения
стандартных задач.
Знает: все определения Лекции,
и формулировки теорем семинары
Умеет: доказывать все
теоремы. Применять на
практике
теоретический
материал.
Владеет:
навыками
решения всех типов
задач, в том числе и
повышенного уровня
сложности. Навыками
анализа
результата
решенных задач
Контрольные и
самостоятельные
работы.
10.3.
Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые
для оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности,
характеризующей
этапы
формирования
компетенций
в
процессе
освоения образовательной программы.
Вопросы к экзамену:
1. Явная двухслойная разностная схема для уравнения теплопроводности
для случая, когда на границе задана производная искомой функции по
пространственной координате. Построение схемы, шаблон, порядок
аппроксимации.
2. Неявная разностная схема для уравнения теплопроводности для случая,
когда на границе задано значение искомой функции. Построение схемы,
шаблон, порядок аппроксимации.
3. Двухслойная схема с весами для уравнения теплопроводности для
случая, когда на границе задано значение искомой функции. Построение
схемы, шаблон, порядок аппроксимации, алгоритм расчета. Схема
Кранка-Николсон.
4. Схема «ромб» для уравнения теплопроводности для случая, когда на
границе задано значение искомой функции. Построение схемы, шаблон,
порядок аппроксимации, алгоритм расчета.
5. Явная разностная схема для уравнения гиперболического типа для
случая, когда на границе задано значение искомой функции. Построение
схемы, шаблон, порядок аппроксимации.
6. Повышение порядка аппроксимации начальных условий для уравнения
гиперболического типа.
7. Необходимое спектральное условие устойчивости разностных схем
(условие Неймана). Общий подход.
8. Доказательство неустойчивости явной трехслойной разностной схемы
для уравнения теплопроводности с помощью спектрального условия.
9. Исследование устойчивости явной разностной схемы для уравнения
гиперболического типа с помощью спектрального условия.
10. Общее
понятие
об
устойчивости
разностных
схем.
Основные
определения и теоремы (без доказательства).
11. Устойчивость разностной схемы как следствие аппроксимации и
сходимости.
12. Явная разностная схема для двумерного уравнения теплопроводности.
13.Неявная разностная схема для двумерного уравнения теплопроводности.
Трудности ее реализации.
14. Построение
схем
расщепления
для
двумерного
уравнения
теплопроводности.
15. Разностная схема для двумерного уравнения теплопроводности в
полярных координатах.
16. Разностная схема для двумерного уравнения эллиптического типа.
17. Методы аппроксимации граничных условий для двумерного уравнения
эллиптического типа.
18. Применение методов Якоби и Зейделя к решению системы разностных
уравнений,
аппроксимирующих
краевую
задачу
для
двумерного
уравнения Пуассона. Метод релаксации.
19. Определение
разностных
собственных
уравнений,
чисел
и
векторов
аппроксимирующих
матрицы
краевую
системы
задачу
для
одномерного уравнения второго порядка.
20. Применение
разностных
метода
матричной
уравнений,
прогонки
аппроксимирующих
к
решению
краевую
системы
задачу
для
двумерного уравнения Пуассона.
21. Составление разностных схем методом неопределенных коэффициентов.
Вариант контрольной работы
Задание №1
Исследовать на устойчивость разностную схему
ui , j  1  ui , j
ui  1, j  2ui , j  ui  1, j 
 ui  1, j  1  2ui , j  1  ui  1, j  1
 a 2 0 ,8

0
,
2
.
2
2
h
h



Задание
№2
11.
Методом разностной аппроксимации составить разностную схему для
уравнения
2

u 1 u 

a
 r 2  r r .
t 2


 2u
2
12.
Примерный вариант контрольной работы
1. Решить краевую задачу для уравнения теплопроводности
u 1  2 u

,
t 4 x 2
0  x  0 ,9 ,
ux ,0   1  x 3 ,
u
0 ,t   t ,
x
t 1
u0 ,9;t   0 ,271,
Используя неявную схему с шагом h  0 ,3 по x и шагом   0 ,3 по t при
0  t  0 ,1.
2. Решить краевую задачу для уравнения гиперболического типа
 2u
t
2
2
 2u
x
2

1
,
t2
ux ,0   x 2 2  x ,
0  x  2,
u
x ,0   x , u 2 ,t    1 ,
t
x
t 1
u 0;t   0 ,
используя явную схему с шагом h  0 ,5 по x и шагом   0 ,2 по t при
0  t  0 ,4.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания
знаний, умений, навыков характеризующих этапы формирования
компетенций.
При работе в семестре студенты набирают баллы. Если количество
баллов, набранных студентом не достаточно для получения им желаемой
оценки, то студент приходит на экзамен, где он может улучшить свой
результат. Студенту выдается билет, который состоит из теоретического
вопроса и практических заданий.
Каждый семестровый курс предлагается оценивать по шкале в 100
баллов. Для экзамена предлагается следующая шкала, обеспечивающая
сопоставимость с международной системой оценок:
«отлично» 91-100 баллов;
«хорошо» 76-90 баллов;
«удовлетворительно» 61-75 баллов;
«неудовлетворительно» менее 61 балла.
11.. Образовательные технологии.
Практические занятия проводятся в интерактивной форме: студенты
получают задание на практических занятиях и работают у доски с участием
преподавателя, самостоятельно на местах, в малых группах.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
(модуля).
12.1.
Основная литература:
1. Костомаров, Д. П..
Вводные лекции по численным методам: учеб.
пособие для студ. вузов, обуч. по напр. 510200 "Прикладная математика и
информатика" и спец. 010200 "Прикладная математика и информатика"/
Д. П. Костомаров, А. П. Фаворский. - Москва: Логос, 2006. - 184 с.
12.2.
Дополнительная литература:
1. Васильев, Ф. П. Основы численных методов решения экстремальных
задач: тексты лекций. Вып. 2/ Ф. П. Васильев. - Москва: Изд-во МГУ,
1973. - 218 с.
2. Самарский, А. А.. Введение в численные методы: учеб. пособие для
вузов по спец. "Прикл. математика"/ А. А. Самарский. - 2-е изд.. Москва: Наука, 1987. - 286 с.
12.3.
Интернет-ресурсы:
1. www.exponenta.ru
2. www.mathprofi.ru
3. www.mathematics.ru
13. Перечень
информационных
технологий,
используемых
при
осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю),
включая перечень программного обеспечения и информационных
справочных систем (при необходимости).
При изучении дисциплины используется следующее программное
обеспечение: MS Office Power Point 2007.
14.Технические
средства
и
материально-техническое
обеспечение
дисциплины
Лекционные
и
семинарские
аудитории
с
мультимедийным
оборудованием.
15.Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины.
Дисциплина «Разностные методы решения краевых задач» изучается
в
восьмом семестре, и включает в себя такие разделы как «Решение краевых
задач для одномерного уравнения теплопроводности методом сеток», «Решение
краевых задач для одномерного уравнения гиперболического типа методом
сеток.»,
«Устойчивость
разностных
схем
для
уравнений
в
частных
производных.», «Оценка погрешности конечно-разностного решения по
правилу Рунге», «Решение краевых задач для двумерного уравнения
теплопроводности
методом
конечных
разностей»
По
всем
разделам
представлены контрольные и самостоятельные работы, а также литературы, с
помощью которой составляются эти работы.