Предмет математики настолько серьезен, что нельзя упускать ни одной

Предмет математики настолько серьезен, что нельзя упускать ни одной
возможности сделать его занимательным.
Б. Паскаль
Математические фокусы широко используются учителями как одно из средств
придания математике занимательной формы. Они способствуют возникновению и
развитию интереса к математике, показывают с необычной стороны ее
возможности. Демонстрация математических «чудес» ― это хорошее
развлечение, дающее к тому же пищу для ума и удовлетворение после разгадки
секрета.
Однако перечисленными достоинствами методические возможности этого вида
занимательной математики отнюдь не исчерпываются. Ведь математические
фокусы опираются не на ловкость рук и не на создание иллюзии. При всей
необычности формы каждый математический фокус ― это теорема,
выражающая определенное общее свойство чисел или фигур и в этом смысле
ничем не отличающаяся от зависимостей, которые рассматриваются в учебнике и
изучаются по программе.
Правда, чаще всего теоремы, лежащие в основе фокусов, сами по себе не столь
уж важны, но ведь и не ставится цель их запоминания. Зато стремление к их
познанию возникает из собственного интереса, из заложенного в самой
человеческой природе извечного побуждения к раскрытию тайны всякого
озадачившегося явления. Одна из целей обучения, в частности, математике ―
развивать это естественное побуждение и на его основе воспитывать живость ума,
любознательность и пытливость, исследовательский стиль мышления. И
математические фокусы как нельзя лучше отвечают этой цели.
В этом, думается, и заключен смысл известного высказывания Б. Паскаля,
которое вынесено в эпиграф данной работы: занимательность как средство
лучшего познания предмета математики.
Отмечу еще, что многие математические фокусы открывают удивительные и
неожиданные свойства чисел, побуждая относиться к числам с повышенным
вниманием, я бы даже сказала - с симпатией, а не просто как к бездушному
орудию счета, изучения которого требует учитель.
После демонстрации какой-нибудь любопытной зависимости я предлагаю
план, следуя которому возможно разгадать ее секрет.
Во-первых, нужно провести наблюдение, т. е. проверить на ряде примеров, что
данная зависимость всегда выполняется. Показав этот фокус товарищам,
родителям, знакомым, убедиться, что он действует безотказно.
Во-вторых, нужно постараться подметить закономерность, проявляющуюся в
этих примерах, - иначе говоря, выдвинуть гипотезу. Это может быть
непосредственное содержание самого фокуса, но не исключено, что обнаружатся
какие-то свойства, которые прямо в фокусе не упоминаются, но на самом деле
лежат в его основе.
В-третьих, нужно провести доказательство того, что подмеченная
закономерность действительно носит общий характер, т.е. имеет место в любом
из рассматриваемых случаев. Здесь уже примеров недостаточно, нужно вести
рассуждение, верное сразу для всех случаев, т.е. в общем виде. Для этого следует
ввести буквенные обозначения, записать условие как алгебраическое выражение
пли чертеж, выполнить все указанные преобразования и осмыслить, что в итоге
получился желаемый результат.
В случае затруднений рекомендуется обратиться к учителю за консультацией.
Каждый учитель математики знает, как нелегко на первых попах убедить
учащихся в необходимости доказательства теорем. В 1 - 6 классах мы сами
приучили детей ограничиваться в своих рассуждениях только примерами,
наблюдениями, и никаких затруднений при этом не возникало. Зачем же, считают
ученики, «ломиться в открытую дверь и доказывать то, что и так «очевидно»?
Между тем, при разгадке далеко не очевидных математических фокусов
необходимость доказательства возникает сама собой, вполне естественным
путем. Ведь даже хоть после тысячи примеров у нас нет никаких оснований
считать, что фокус получится и в тысячу первый раз. А главное - с помощью
только примеров мы не можем понять, почему фокус получается, не можем
обнаружить его скрытый «механизм». Так что для воспитания потребности в
доказательстве, в формировании математического подхода к наблюдаемым
явлениям использование математических фокусов будет весьма полезным.
Представляется методически оправданным следующий прием: за несколько
уроков до начала доказательства первых теорем в геометрии седьмого класса
показать на уроке какой - либо фокус и провести paбoту по схеме «наблюдение гипотеза - доказательство», причем последний этап предварить рассуждением о
его необходимости. Смысл логического обоснования математической
зависимости в общем виде дойдет здесь до учащихся гораздо лучше.
Основу многих математических фокусов составляют целенаправленные
тождественные преобразования алгебраических выражений. Для тренировки в
технике таких преобразований мы на многих уроках предлагаем учащимся
превратить одно выражение в другое. Ахиллесова пята подобных упражнений
- их прямая бессмысленность. Хорошо еще, если сказано «упростить». Но ведь
в значительном числе примеров требуется только доказать возможность замены
одного выражения другим, а с какой целью - этот вопрос и не должен вроде бы
возникать. Другое дело - использование преобразований для обоснования
математического фокуса. Здесь умение целенаправленно привести выражение к
нужному виду дает весьма наглядный и впечатляющий эффект и позволяет
раскрыть суть загадочного явления. Поэтому при изучении тождественных
преобразований полезно в число упражнений включить обоснование
подходящего фокуса.
Проиллюстрирую сказанное примерами.
1. Описание фокуса. Задумайте трехзначное число. Запишите его цифры в
обратном порядке. Вычтите из большего числа меньшее. Назовите
последнюю цифру разности, и я скажу, сколько у вас получилось.
Пример. Задумали 325. Обращенное число 523. Вычитаем: 523-325=198.
Называем 8. Угаданный результат 198. Задумали 766. 766 - 667 = 99. Называем
9. Угаданный результат 99. Задумали 885. 885- 588 = 297. Называем 7.
Угаданный результат 297. Задумали 939. 939 - 939 = 0. Называем 0.
Угаданный результат 0. Задумали 555. 555 - 555 = 0. Называем 0. Угаданный
результат 0.
Отгадка. Замечаем: если первая и последняя цифры задуманного числа
одинаковы, то обращенное число равно задуманному. В этом и только в этом
случае искомая разность равна нулю.
Если же первая и последняя цифры задуманного числа различны, то разность
нулю не равна. Замечаем, что в этом случае средняя цифра разности все время
получается 9, а крайние цифры в сумме тоже составляют 9. Теперь понятно, как
отгадчик узнает результат, когда он не равен пулю: последнюю цифру ему
называют, вторая цифра всегда 9. А чтобы узнать первую цифру, достаточно из 9
вычесть последнюю цифру.
Подмеченное свойство и составляет нашу гипотезу. Но будет ли она
выполняться для любого трехзначного числа, у которого первая и последняя
цифры различны? Почему так всё получается?
Обоснование. Обозначим цифры задуманного числа а, в, с. Как обычно, над
записью числа с помощью букв поставим черту. Получим: задуманное число авс ,
обращенное число cba . Пусть, например, с > а. Тогда нужно из сва вычесть авс .
Но а < с, значит, нужно один десяток передать в разряд единиц. Следовательно,
после вычитания цифра единиц будет 10 + а―с.
В разряде десятков уменьшаемого теперь останется в―1 единиц, и чтобы
вычесть в, придется позаимствовать 10 десятков из разряда сотен. Итог
вычитания в разряде десятков: (в - 1 + 10) - в = 9. Таким образом, цифра десятков
после вычитания будет всегда равна 9, какое бы число мы ни задумали /при
условии а ≠ с /.
В разряде сотен из с - 1 вычитаем а. Получаем, что первой цифрой разности
будет с - 1 - а. Сумма первой и последней цифры полученного результата
действительно равна 9: (с- 1 -а) + (10 + a - c) = 9.
В случае с < а рассуждение остается тем же, только цифры а и с меняются
местами.
Итак, доказана теорема: если для трехзначного числа, у которого цифры сотен
и единиц различны, составить обращенное число и вычесть из большего меньшее,
то средняя цифра разности всегда равна 9, и сумма крайних цифр будет также
равняться 9.
2. Описание. Умножьте число своего рождения на 20, к произведению
прибавьте 73, сумму умножьте на 5. К произведению прибавьте номер месяца, в
котором вы родились, и еще 35, сообщите мне результат, и я скажу, когда вас
поздравлять с днём рождения.
Пример. пусть дата рождения 16 июля. Тогда получаем:
16•20 = 320; 320 + 73 = 393; 393•5 = 1965; 1965 + 7 = 1972; 1972 + 35 = 2007.
Отгадка. Замечаем, что если из сообщенного результата вычесть 400, то
получится число, в котором первые две цифры /или первая одна цифра/
составляют число рождения, а последние две цифры ― искомый номер месяца.
В примере: 2007 ― 400 ― 1607, т. е. 16.07 ― 16 июля.
Обоснование. Число рождения не более, чем двузначное; обозначим его
ав / а может равняться нулю/. Аналогично искомый номер месяца
представим как сд . Выполним указанные действия:
( ав •20+73)•5+ сд +35 = ав •100 + 73•5 + сд + 35 = ав 00+ сд + 365 + 35 =
= авсд +400.
После вычитания 400 получаем число авсд , в котором первые две цифры /или
одна/ составляют число рождения, а третья и четвертая - искомый номер месяца.
Один из самых простых и легко отгадываемых фокусов. Заметим, что числа 73
и 35 взяты только потому, что 73•5 + 35 составляет число 400, удобное для
быстрого вычитания. При желании можно затруднить отгадку, изменив при
повторении фокуса эти числа. Взять, например, вместо 73 и 35 числа 48 и 60 и
вычесть из сообщенного результата не 400, а 300. Но все дело в том. что
искусственная маскировка секрета в школьной практике совсем ни к чему.
Наоборот, наша цель в том, чтобы секрет был раскрыт, т.е. теорема была
подмечена и доказана.
Вместе с тем при демонстрации фокусов не следует пренебрегать и формой их
преподнесения. Каждый фокус ― это маленький спектакль, и он должен быть
достаточно зрелищным, увлекать и поражать его участников.
Обычно ведущий выступает в образе «великого матемага», который
демонстрирует свои выдающиеся способности, прибегая подчас и к шутливой
мистификации. Можно, конечно, придумать и другие сценические маски.
Желательно, чтобы в роли фокусников побывало несколько учеников.
Естественно, в одну программу не стоит включать похожие фокусы. По просьбе
участников один и тот же фокус можно повторить несколько раз или привлечь к
нему сразу нескольких участников. Иногда это быстро приведет к обнаружению
секрета - вот и хорошо, наша цель будет достигнута. Нужно только не упустить
момент - поставить вопрос о доказательстве. У тех, кому показывают
математические фокусы, должны быть бумага и ручки, необходимые для
вычислений. Весьма желательно, чтобы аудитория фокусника располагала
несколькими калькуляторами. Использование их ускоряет и облегчает расчеты,
уменьшает вероятность ошибок в вычислениях, могущих испортить весь эффект.
Калькуляторы расширяют возможности показа фокусов, делая доступными и
такие, которые связаны с действиями над большими числами. В приведенном в
конце статьи списке литературы даны указания, какие фокусы можно найти в том
или ином источнике. Я приведу здесь примеры тех фокусов, которые, на мой
взгляд, наиболее интересны. При этом распределю их на группы в соответствии с
математическим содержанием. Это позволит учителю ориентироваться в
возможностях их использования при изучении соответствующей темы на уроках
или во внеклассной работе. Попутно постараюсь представить, как сделать
демонстрацию фокусов более увлекательной.
.
Признаки делимости
Чаще всего используется признак делимости на 9. Применяется и следствие из
него: если у числа, делящегося на 9, сложить цифры; у найденной суммы опять
сложить цифры - и так повторять до получения однозначного числа, то конечный
результат всегда будет равен 9. В самом деле, все эти суммы вплоть до
однозначной делятся на 9. Это рассуждение ― хорошее упражнение при изучении
признака делимости на 9.
Пример: 735 087 312 450: последовательные суммы цифр: 45; 9.
Следующий фокус пожалуй, самый впечатляющий из тех, которые основаны на
признаке делимости на 9.
3. Описание. Задумайте любое многозначное число, не все цифры которого
одинаковы. Переставьте как угодно в нем цифры, чтобы получилось другое число.
Вычтите из большего меньшее. В полученной разности опять переставьте цифры.
Сложите с ранее полученной разностью. Умножьте сумму на любое число. Как вы
считаете - достаточно ли вы запутали свои следы? Если нет, то еще раз
переставьте цифры, еще раз выполните сложение или вычитание полученных
чисел, умножьте на любое число. Достаточно? Тогда в окончательном результате
задумайте одну цифру, обведите ее для определенности кружком, а мне сообщите
сумму остальных цифр. Я угадаю задуманную вами цифру.
Пример. Задумано число 75 687. Переставили цифры: 67 785. Вычли:
75 687 - 67 785 = 7 902. Умножили: 7 902*37 = 292374. Задумали 7. Сумма
остальных цифр 20.
Отгадка. Находим ближайшее число, кратное 9 и большее названной суммы
цифр. В данном примере ближайшее кратное 9 и большее 20 ― это 27. Вычитаем
из него названную сумму цифр: 27 ― 20 = 7. Это и есть задуманная цифра.
Обоснование. Этот фокус опирается на обобщенный признак делимости на 9:
при делении на 9 сумма цифр числа дает такой же остаток, как и само число
/в обычной формулировке речь идет только об остатке, равном нулю/. Но при
перестановке цифр числа их сумма не меняется. Значит, задуманное число и
число, полученное перестановкой его цифр, при делении на 9 дадут одинаковые
остатки. Следовательно, разность этих чисел будет делиться нацело на 9. Все
последующие преобразования делимость на 9 сохраняют. В итоге окончательный
результат всегда будет делиться на 9. Значит, и сумма его цифр кратна 9. Узнав
эту сумму без одной цифры, легко сообразить, каково значение неизвестной
цифры.
4. Описание. Пример на сложение обозначен словами:
клён
+
дуб
+
ива
Придайте буквам какие-угодно цифровые значения / разным буквам разные
значения/ и выполните сложение. В полученном результате задумайте одну цифру
/отличную от нуля/, а сумму остальных цифр скажите мне. Я назову задуманную
цифру.
Пример.
1 204
+
857
+
936
______
2 997
Задумали 9. Назвали 18.
Отгадка. Берем ближайшее число, кратное 9 и большее названной суммы
остальных цифр. В данном примере это 27. Вычитаем из него названную сумму:
27 - 18 = 9.
Обоснование. В буквенном обозначении сложения используются 10 разных
букв. Следовательно, при любой замене их разными цифрами получаются все
цифры от 0 до 9 по одному разу. Значит, для каждой цифры имеется одна и только
одна такая, которая в сумме с ней даст 9. Число, записанное парой таких цифр с
учетом их разрядов, делится на 9. Всего таких пар пять. Поэтому итоговую сумму
можно представить как результат сложения пяти чисел, кратных 9. Отсюда
следует, что при любой замене букв цифрами в итоге сложения получим число,
делящееся на 9. Остальное понятно.
Проиллюстрируем это рассуждение на вышеприведенном примере.
1204 + 857 + 936 = 1.1000 + 2.100 + 0.10 + 4 + 8.100 + 5.10 + 7 + 9.100 +
+3.10 + 6 = (1.1000 + 8.100) + (2.100 + 7) + (3.10 + 6)+ (4 + 5.10)+ (0.10 +
+9.100).
Каждое слагаемое, а, значит, и вся сумма, равная 2997, делятся на 9. Замечу,
что в преобразованиях использованы переместительный и сочетательный законы
сложения.
5. Описание. Придумайте многозначное число. Переставьте в нем разные
цифры и отнимите от большего меньшее. К полученной разности прибавьте свой
возраст. Найдите сумму цифр результата и сообщите мне. Посмотрев внимательно
на вас, я называю ваш возраст /возможно, со второй или третьей попытки/.
Пример. Придумано число 25683. Переставив цифры, получили 68532.
Находим разность: 68532 - 25683 = 42849. Прибавляем возраст: 42849 + 67 =
=42916. Сумма цифр результата 22.
Отгадка. Искомый возраст дает при делении на 9 такой же остаток, как и
названное отгадчику число. В данном примере этот остаток равен 4. Значит,
возраст надо выбирать из чисел 4, 13, 22, 31, 40, 49, 58, 67, 76, 85 и т. д.
Ориентируясь на внешний вид того, кто загадывал, а, может быть и еще какието соображения, останавливаемся на одном из чисел данного ряда.
Обоснование. Как было показано в обосновании фокуса 3, число,
получающееся после указанного вычитания, делится на 9 без остатка. Значит,
сумма этой разности и возраста даст такой же остаток при делении на 9, как и
сам возраст. А при делении на 9 сумма цифр числа дает такой же остаток, как и
само число.
Заметим, что не обязательно предлагать придумывать число. Можно
предложить взять свой номер телефона или номер денежной купюры, вынутой
из кармана, и т. п. Можно выбрать и другой путь преобразования исходного
числа в число, кратное 9. Например, просто умножить на 9.
В этом фокусе полностью исключить возможность ошибки нельзя, хотя
вероятность ее невелика. Можно заранее оговорить себе право на 2-3 попытки.
Среди взрослых лучше, конечно, избирать объектом этого фокуса мужчину,
В ученической аудитории, где возраст секрета не представляет, можно
поставить вопрос о возрасте отца или деда, если они живы.
Следующий фокус основан на свойствах четных и нечетных
чисел. .
6.Описание. Зажмите в одной руке 5-рублевую монету, а в
другой 10-рублевую, /или 20- или 50-рублевую/. Стоимость монеты в правой
руке умножьте на любое нечётное число, а в левой ― на любое чётное. Назовите
мне сумму полученных произведений, и я скажу, в какой руке какая монета.
Примеры. 5 рублей в правой руке, 10 рублей в левой. Имеем: 5 • 7 = 35;
10•4 = 40; 35 + 40 = 75 ― нечётное число.
10 рублей в правой руке, 5 рублей в левой. 10•9 = 90; 5•20 =100; 90+100=190
― чётное число.
Отгадка. Если названная сумма нечётна, то 5-рублёвик в правой руке; если
она чётна, то 5-рублёвик в левой руке.
Обоснование. 10 при умножении как на чётное, так и на нечётное число, дает
четное число. 5 при умножении на нечётное число даёт нечётное число, а при
умножении на чётное число даёт чётное число. Сумма двух чётных чисел есть
чётное число, сумма чётного и нечётного чисел есть нечётное число.
Итак, сумма двух полученных произведений будет нечётным числом тогда и
только тогда, когда 5 умножается на нечётное число, т. е. когда 5-рублёвик
находится в правой руке.
Фокус 7, демонстрирующий «феноменальную память» ведущего, основан
на признаке делимости на 37.
7. Описание. Числа, как и люди, имеют свои личные особенности. Ко
многим из них я отношусь с симпатией и хорошо их помню. Вот например,
придумайте какое ― либо трёхзначное число, и я назову вам по памяти
несколько шестизначных чисел, делящихся на 37, которые начинаются или
оканчиваются предложенным вами числом.
Пример. Придумано число 246. Делятся на 37: 420 246, 246 531, 642 246,
246 753. Еще можно в тех числах, где 246 стоит в конце, поставить его в
начале и наоборот, но при демонстрации фокуса это вряд ли целесообразно.
Отгадка. К предложенному числу приписываем /хоть слева, хоть справа/
такое трехзначное число, которое в сумме с предложенным дает число,
записанное тремя одинаковыми цифрами: 420 + 246 = 666, 246 + 531 = 777,
642 + 246 = 888, 246 + 753 = 999. При этом условии образовавшееся
шестизначное число делится на 37.
Обоснование. Признак делимости на 37 гласит: разбейте число на грани
по три цифры справа налево /в левой грани может оказаться две или одна
цифра/. Число делится на 37 тогда и только тогда, когда сумма граней
делится на 37. Например: 36 156 659 делится на 37, так как 36 + 156 + 659 =
= 851=37•23, т. е. делится на 37.
Доказательство этого признака несложно. Пусть А, В, С,... - грани данного
числа п. Тогда п = А + В•103+С•106 + ...= А + В•(999 + 1) + С•(999999+ 1)
+... = A + В + С + 999•(В + С•1001 + ...).
Но 999 = 37•27, т. е. 999 делится на 37. Значит, делится ли п на 37,
определяется делимостью на 37 суммы граней А + В + С+...
Чтобы в данном фокусе воспользоваться этим признаком, достаточно к
предложенному числу, образующему одну грань, приписать другую грань так,
чтобы их сумма делилась на 37. Но всякое трехзначное число, записанное
одинаковыми цифрами, очевидно делится на 111, а, значит, и на 37, так как
111 : 37 = 3.
Свойства отдельных чисел
8. Описание. Я более могущественный маг, чем рядовые фокусники, ибо я
могу не только сам творить чудеса, но и внушить другим эту способность.
Разбейтесь на тройки, и пусть первый в каждой тройке задумает трехзначное
число, припишет к нему такое же число, разделит образовавшееся шестизначное
число на 7 и сообщит результат соседу. Сосед, поделив полученное число на 11,
передаёт результат третьему участнику. Третий, разделив переданное число на
13, сообщает частное первому участнику. Это и есть задуманное им число.
Пример. Задумано 325. 325 325:7 = 46 475. 46475: 11=4225. 4 225:13=325.
Обоснование. Приписав к трехзначному числу такое же, мы тем самым
увеличили исходной число в 1 001 раз: 325 325 = 325•1 001. А 1001 = 7•11•13.
Так что участники фокуса сначала умножили задуманное число на 1 001, а затем
результат разделили на 1 001. Естественно, получилось то число, которое было
задумано. Хорошее упражнение при изучении разложения на простые
множители.
9. Описание. Какая ваша любимая цифра? 5? Прекрасно. Умножьте
12 345 679 на 45, и вы насладитесь видом своей любимицы:
12 345 679•45 = 555 555 555.
Обоснование. Используется особый случаи умножения:
123 456 79 • 9=11 111 111. Значит, чтобы получились одни пятёрки, нужно ещё
умножить на 5, т. е. исходное число умножить на 45. Если хотим получить
произведение из одних шестерок, нужно 12 345 679 умножить на 9• 6 = 54 и т. п.
Замечу, что другой случай умножения, дающий тот же эффект, это
37 037 037• 3 = 111 111 111. Оба эти случаи умножения можно использовать для
проверки калькуляторов. Набрать, скажем, 12345679 и умножить на 9, 18, 27, 36 и
так до 81. Если калькулятор исправен, будут получаться числа, записанные
только единицами, двойками, тройками и так далее до 999 999 999.
А у вас любимым является двузначное число? Пожалуйста.
10. Описание. Избранное двузначное число удвойте и припишите справа
ноль. К результату прибавьте взятое число и сумму умножьте на 481. Довольны?
Пример. Выбрали 42. 42 • 2=84. 840 + 42=882. 882• 481 = 424 242.
Отгадка. Обоснование. Удвоив, приписав справа ноль и прибавив
исходное число, мы тем самым умножили исходное число на 21.
А 21• 481=3• 7• 13• 37=10 101. Умножая исходное двузначное число на
10 101, мы тем самым повторяем его трижды.
Предсказание результата вычислений
11. Описание. Не берусь предсказать результат сложения пяти
четырехзначных чисел, три из которых вы придумаете сами, причём два уже
после моего предсказания. Такова сила моего внушения, что вы помимо своей
воли будете называть как раз те числа, которые дадут предсказанную сумму. Итак,
назовите какое-либо четырехзначное число. Спасибо. Вот здесь на листике я
записываю будущую сумму. Прошу еще два числа. Теперь моя очередь. Отгадчик
к трем названным числам присоединяет еще два. Находят сумму всех пяти
слагаемых и убеждаются, что она была предсказана правильно.
Пример. Первым названо число 3 571. Ведущий записывает у себя на листике
23 569. Еще называют числа 2 598 и 7 352. Ведущий присоединяет к ним числа
7 401 и 2 647. Общая сумма: 3571 + 2 598 + 7 352 + 7 401+2 647 = 23 569.
Отгадка. Получив первое число, ведущий отнимает от него 2 и ставит эту
двойку впереди: 3 571 таким путем преобразовывается в 23 569. Свои два числа
ведущий выбирает так, чтобы в сумме со вторым и третьим числами, названными
участниками, они давали по 9 999: 2 598 + 7 401 и 7 352+2 647.
Обоснование. Прибавляя к первому из названных чисел дважды по
9 999, мы тем самым прибавляем к нему 19 998, т. е. 20 000 - 2, что и объясняет
возможность предсказать результат 3 571 - 2 + 20 000 = 23 569.
А теперь я покажу, что могу предсказать результат не только сложения, по и
умножения чисел, которые вы сам будете придумывать.
12. Описание. Назовите какое-нибудь трехзначное число. Независимо от
того, какие числа вы придумаете дальше, я предскажу результат вычислении с
ними. Вот я записываю его на этом листке. Теперь назовите еще одно
трехзначное число и умножьте его на первое. Я в свою очередь умножаю ваше
первое число на придуманное мной. Сложите оба произведения ― и взгляните,
какой результат был мной предсказан.
Пример. Первым названо число 568. Соответствующее предсказание 567 432. Участники умножают 568 на второе придуманное ими число 382 и
получают 216 976. Ведущий умножает 568 на 617 и получает 360 456. После
сложения имеем 567 432.
Отгадка. Ведущий умножает первое названное ему число на такой множитель,
который дополняет второе выбранное участниками число до 999: 382 + 617 = 999.
А предсказание строит так: получив первое число, отнимает от него 1 и
приписывает к результату число, дополняющее его до 999.
Обоснование. Из описания и отгадки ясно, что фактически вычисления
сводятся к тому, что мы умножаем первое из названных чисел на 999, т. е. на
1 000 - 1. Но это равносильно тому, что мы к исходному трехзначному числу
приписали три нуля, после чего вычли исходное число. При этом в разряде тысяч
цифра уменьшится на 1, а последние три цифры будут дополнять первые три до
999: 568 000-568 = 567 432.
А вот следующий фокус гораздо труднее для исполнителя. Я угадаю результат
вычислений, даже не зная ни одного из чисел, над которыми вы будете выполнять
действия. Здесь приходится прибегать к чтению мыслей на основе улавливания
биотоков с учетом индивидуальных особенностей испытуемого. Этот сложный
психологический опыт требует большой сосредоточенности, концентрации
внимания, так что прошу соблюдать тишину и не отвлекать меня.
13. Описание. Испытуемый, придумайте трехзначное число, у которого
цифра сотен отличается от цифры единиц больше, чем на 1. Вслух его не
произносите! Запишите его наоборот и вычтите из большего меньшее.
Полученную разность тоже запишите наоборот и это обращённое число прибавьте
к самой разности. Кстати, какая у вас оценка по алгебре? 4? Тогда прибавьте к
каждой цифре найденной суммы по 4. Несколько раз повторите в уме полученный
результат. Так, достаточно. Результат ваших вычислений 5533.
Пример. Взято число 357. Обращённое 753. Разность 753 - 357 = 396.
Обращённое 693. Сумма 396 + 693 = 1 089. Окончательный итог: 1 089 + 4 444=
=5 533.
Отгадка. После нескольких наблюдений замечаем, что в результате
обращения, вычитания, обращения разности и сложения с ней, т. е. перед
последним действием получается всегда 1 089, с какого бы числа ни начинались
преобразования. Последнее число прибавляется для маскировки, чтобы
повторение результата не так бросалось в глаза. Это маскировочное число можно
взять каким-угодно. Заранее сложив его с 1 089, отгадчик знает результат всех
выкладок еще до начала демонстрации фокуса. В данном примере при оценке 3 он
равен 4 422, а при оценке 5 - 6 644.
Обоснование. Пусть исходное число авс = 100а + 10в + с. Дополнительное
условие |а - с| >1. Обращённое число сва = 100с + 10в + а. Если а>с, то из
авс вычитаем сва . Так как с<а, то в разряд единиц числа авс необходимо
перенести один десяток, а в разряд десятков одну сотню. Получаем
100(а - 1) + 10(в - 1 + 10) + (с+10) - (100с + 10в + а) =
= 100(а - с - 1) + 9•10 +(10+с―а).
Так как по дополнительному условию |а - с|>1, то |а ―с| ―1>0, то есть
разность остается трехзначным числомОбращаем найденную разность и полученное обращённое число прибавляем к
самой разности: 100(а - с -1) + 9•10 +(10 + с - а) + 100(10 + с - а) + 9•10+(а -с-1)=
= 100 • 9 + 2 • 9 • 10 + 9 = 1089.
А теперь один из самых изящных и необычных фокусов, имеющий более
глубокое математическое обоснование. Здесь, в отличие от предыдущих «чудес»,
участники сами предскажут результат своих будущих вычислений.
14. Описание. Назовите одно из пяти чисел от 0 до 4. Это тот результаткоторый вы получите. Теперь напишите на доске в ряд пять любых чисел ― это
будут исходные данные. Чтобы вычисления не получились громоздкими,
рекомендую взять одно - или двузначные числа, хотя в принципе можно брать
любые. К предложенным числам я присоединю справа всего одно число. Теперь
вычисления делаем так: складываем соседние два числа, эту сумму делим на 5 и
остаток записываем между слагаемыми, но строкой ниже. Когда под взятыми
числами образуется полностью вторая строка, с ней поступают так же, как с
первой. И так далее ― до тех пор, пока в вершине образующегося числового
треугольника окажется одно число ― именно то, которое вы назвали перед
началом всех выкладок.
Пример. Из чисел от 0 до 4 в качестве желаемого результата выбрано 3.
Исходными данными взяты числа 38, 23, 4, 7, 12. Ведущий приписывает к ним
10. Начинаем вычислять: 38 + 23=61. При делении на 5 остаток 1. 23+ 4=27.
Остаток 2 и так далее.
В итоге получаем числовой треугольник, в вершине которого заданное
число 3.
38 23 4 7 12 10
1 2
1 4 2
3 3 0 1
1 3 1
4 4
3
Отгадка. Ведущий присоединяет такое шестое число, что его сумма с первым
числом, названным участниками, дает при делении на 5 требуемый остаток:
(38 + 10) : 5 = 9 /ост. 3/. Вместо 10 можно было взять любое число с тем же
свойством, например, 15, 20 и т. д. Этого достаточно, чтобы «механизм»
сработал, и фокус получился.
Обоснование. Если взять шесть чисел и заменять каждые два соседние числа
их суммой пока не останется одно число, то, как нетрудно подсчитать, первое и
шестое числа пойдут в итоговую сумму один раз, второе и пятое ― 5 раз, третье и
четвертое - 10 раз. Таким образом, если обозначить исходные числа а, в, с, д, е, к,
то в итоге указанной процедуры получится число а + 5в + 10с+10д + 5е + к.
Отсюда видно, что при делении на 5 остаток итоговой суммы зависит только от
а + к, т. е. только от первого и шестого числа, а остальные слагаемые при любых
в, с. д, е дают в остатке нули. Число а предлагают участники. Ведущий
присоединяет такое к, чтобы а + к давало требуемый остаток.
Для упрощения вычислений складываем не сами числа, а сразу заменяем их
остатками от деления на 5. Из теории чисел известно, что конечный остаток при
этом не изменится.
Обоснование данного фокуса является частным случаем более общей
закономерности. Обратите внимание на коэффициенты выражения,
представляющего собой итоговую сумму, - 1, 5, 10, 10, 5, 1. Это не что иное, как
коэффициенты бинома Ньютона при п = 5.
Неожиданная связь вычисления остатков с биномиальными коэффициентами
станет понятной, если заметить, что процедура сложения, предложенная в
данном фокусе, обратна правилу построения треугольника Паскаля. В нем, как
известно, каждое число получается в результате сложения двух чисел, стоящих
над ним. При этом каждая строка образует ряд биномиальных коэффициентов
для показателя степени, на единицу меньшего номера строки. Например, для
п = 5:
1
1 1
1 2 I
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Таким образом, если взять п чисел и складывать их по правилу, указанному в
описании данного фокуса, то п-ая строка треугольника Паскаля даст
коэффициенты для выражения итоговой суммы, подобно тому, которое мы
получили для шести чисел. И если при этом п ―1 является простым числом, то
все биномиальные коэффициенты, кроме первого и последнего, которые равны 1,
делятся на п ― 1 без остатка. Это значит, что данный фокус проходит не только
для шести чисел, но и для четырех, восьми, двенадцати, четырнадцати и так далеедля любого числа, на 1 большего, чем какое-нибудь простое число.
Соответственно и деление с остатком нужно выполнять на 3, 7, 11, 13 и т. д. Но,
думается, для демонстрации удобнее всего брать именно шесть чисел с делением
на 5.
Преобразование алгебраических выражений
К этому разделу можно отнести некоторые из тех фокусов, что были изложены
выше /например, № 13/. Рассмотрим еще несколько, отличающихся тем, что
обоснование их заключается в преобразовании алгебраических выражений.
Прежде всего, это весьма распространенные фокусы на отгадывание задуманного
числа.
Вот типичный пример.
15. Описание. Задумайте число. Удвойте его и прибавьте 4. Разделите на 2 и
прибавьте 7. Умножьте па 8 и отнимите 12. Разделите на 4. Назовите итог.
Пример. Задумано 8. Последовательно получаем: 8•2 = 16. 16 + 4 = 20. 20:2 =
10. 10+7 = 17. 17•8 = 136. 136 - 12 = 124. 121:4 = 31.
Отгадка. Из названного результата вычитаем 15 и делим на 2: 31-15=16.
16:2=8.
Обоснование. Задумано а. Выполняя указанные действия, получаем
последовательно: 2а; 2а + 4; а + 2; а + 9; 8а + 72; 8а + 60; 2а + 15. Вычтя 15 и
поделив на 2, находим задуманное число.
Подобные примеры очень полезны в начале изучения алгебры. Они наглядно
показывают, для чего нужна буквенная символика. Можно повторить этот фокус
для тысячи чисел, и всё равно не будет уверенности, что он получится в тысячу
первый раз, потому что каждый раз мы проверяем только для одного числа. А
нужно провести рассуждение так, чтобы оно было справедливым сразу для всех
чисел, т. е. для любого числа. Этого мы и достигаем, проводя все выкладки для
числа а. В результате секрет фокуса становится очевидным. А помогла нам
алгебра!
Такой фокус и заинтересует ребят и поможет создать и разрешить реальную
проблемную ситуацию при введении буквенной символики и изучении
алгебраических преобразований. Нижеследующий фокус можно использовать при
изучении квадратного трехчлена.
16. Описание. Задумайте число, прибавьте к нему 2. Перемножьте
получившиеся числа и к произведению прибавьте 5. Назовите итог, и я
угадаю задуманное число.
Пример. Задумано 15. 15 + 2 = 17. 15*17 = 255. 255 + 5 = 260.
Отгадка. Из сообщенного итога нужно вычесть 4, извлечь квадратный корень
и вычесть из него 1: 260 - 4 = 256. √256 = 16. 16 - 1 = 15.
Обоснование. а; а + 2; а(а + 2) = а2 + 2а; а2 + 2а + 5 = (а2 + 2а + 1) + 4 =
=(а+1)²+4.
А вот еще один вариант определения дня рождения.
17. Описание. Число своего рождения умножьте на 20, прибавьте 222,
умножьте на 5, прибавьте номер месяца рождения, припишите справа две
последние цифры номера года, в котором вы родились, и прибавьте 111. Назовите
итог.
Пример. Дата рождения 21 февраля 1980 г. 21•20 = 420. 420 + 222 = 642.
642•5 = 3210. 3210 + 2 = 3 212. 321280. 321280+111 = = 321391.
Отгадка. Из полученного результата нужно вычесть 111 111/т. е. из каждой
цифры вычесть 1/ и разбить найденную разность на грани по две цифры справа
налево. Это и будет искомая дата рождения: 321391-111111=21.02.80.
Обоснование. Пусть а - число рождения, в - номер месяца, с - номер года в
столетии. Последовательно имеем: 20а; 20а + 222; (20а + 222)•5 = 100а + 1110;
100а+1 110 + в; 10000а + + 111 000 + 100в + с; 10000а + 100в + с + 111 111.
Вычитая 111 111, получим число 10000а + 100в + с.
Считая, что в и с записаны как двузначные числа /т. е. могут иметь первой цифрой
нуль/, видим, что в окончательном результате с есть число, записанное цифрами
десятков и единиц; в записано цифрами тысяч и сотен; а представлено цифрами
сотен тысяч и десятков тысяч или только десятков тысяч. После разбивки справа
налево по две цифры с образует правую грань, в - среднюю грань и а - левую
грань.
Следующий фокус ― один из самых изящных: простыми средствами
достигается впечатляющий эффект.
18. Описание. Задумайте однозначное число. Припишите к своему
возрасту ноль и отнимите от образовавшегося трехзначного числа задуманное
вами число, умноженное на 9. Назовите итог.
Пример. Задумали 5. Возраст 14 лет. 140 - 5•9 = 95. Задумали 2. Возраст 12
лет. 120 - 2• 9 = 102.
Отгадка. Последняя цифра ― это задуманное число, а сумма последней цифры
и числа, составленного остальными двумя цифрами /или одной первой цифрой/,
― это возраст: 9 + 5 = 14; 10 + 2 = 12.
Обоснование. Задумали а. Возраст в. Получаем: 10в―9а = 10 • (в ―а) + а,
т. е. в образовавшемся числе цифра единиц а и число /не цифра!/ десятков
в ―а. Но а+(в ―а) = в.
Фокус годится для возраста, выражающегося двузначным числом, т. е. между
10 и 99 годами. Разумеется, вместо возраста можно задумывать любое двузначное
число.
А теперь я угадаю задуманное четырехзначное число, даже не узнав его.
19. Описание. Задумайте четырехзначное число. Отбросьте в нем
сначала одну цифру справа, затем еще одну и затем еще одну. Полученные три
числа : трёх-, дву- и однозначное - сложите. Сумму умножьте на 9. К
произведению прибавьте сумму цифр первоначально задуманного
четырехзначного числа.
Ну, как? Я угадала? Это и есть задуманное вами число?
Пример. Задумано 5348. Складываем 534 + 53 + 5= 592. 592•9 = 5328. Сумма
цифр исходного числа 20. 5328 + 20 = 5348.
Обоснование. авсд = 1000а + 100в+10с + д. После отбрасывания цифры единиц
получаем число 100а + 10в + с. После отбрасывания еще одной цифры справа
имеем 10а + в. После отбрасывания еще одной цифры справа остается а.
Складываем: (100а + 10в + с) + (10а + в) + а = 111а+11в + с. После умножения на
9 имеем 999а + 99в + 9с. Прибавив а + в + с + д, получим исходное число
1000а + 100в + 10с + д.
Замечание.
Можно показать этот фокус и по-другому, замаскировав
окончательный результат, а затем угадав задуманное число. Скажем, в примере,
рассмотренном выше, можно предложить к сумме трех «усеченных» чисел
прибавить еще 10, а после умножения на 9 еще 140, а уж затем сумму цифр.
Получим 592 + 10 = 602. 602*9=5418. 5418+140 = 5558. 5558 + 20 = 5578. Вычтя
90 + 140 = 230, найдём задуманное число: 5578 - 230 = 5348.
Недесятичные системы счисления
Сущность десятичной позиционной записи чисел используется в обосновании
многих фокусов, в том числе некоторых из приведенных выше. Но есть ряд
фокусов, основанных на двоичной и троичной системах счисления. На человека,
не подозревающего об их возможностях, такие математические «чудеса»
производят обычно очень сильное впечатление.
20. Описание. На стол выкладывается 5 листков бумаги с номерами от 5 до 1
в порядке возрастания справа налево, а также горка спичек /не более 31/.
Участникам предлагается в отсутствие ведущего взять задуманное количество
спичек, положить их на первый справа листок и разделить их на две равные
части. Одну половину вернуть в общую кучку, другую переложить на
второй листок. Если число спичек не делится на 2, то лишнюю спичку немного
отодвинуть и оставить на данном листке, а с остальными поступить как было
указано выше. Со спичками, переложенными на второй листок, поступить таким
же образом; эту же процедуру проделать на третьем, четвертом и пятом листках.
В итоге на некоторых листках останется по одной спичке, на других спичек не
будет. Приглашают ведущего, он бросает взгляд на листки и называет число
первоначально взятых спичек.
Пример. Взяли 26 спичек. С первого листка переложили на второй 13 спичек и
13 спичек вернули в общую кучку. На втором листке оставили одну спичку,
6 переложили на третий листок и 6 вернули. С третьего листка переложили на
четвертый 3 спички и 3 вернули. На четвертом листке оставили одну спичку, одну
переложили на пятый листок и одну вернули. В итоге получили такую раскладку:
1, 1, 0, 1,0.
Отгадка. Спичка на пятом листке означает 16, на четвертом - 8, на третьем - 4,
на втором - 2 и на первом 1. Ведущий подсчитывает то. что получилось при
данном раскладе:16 + 8 + 2 и называет 26.
Обоснование. «Секрет» до смешного прост: выполняемая процедура есть не
что иное, как перевод числа спичек из десятичной в двоичную систему счисления,
моделируемый спичками. А получившиеся их распределения ― это запись
искомого числа в двоичной системе. Участники сами «написали» ее перед
ведущим. Ему остается только перевести в десятичную систему: 1•24 + 1•23 +
+ 0•22 + 1•2 + 0 = 16 + 8+2 = 26.
Забавным использованием двоичного счета является такая сценка, где успех
зависит скорей от артистичности ведущего, чем от его математических
способностей.
Описание. А теперь загадывать буду я, а отгадывать будете вы ― под
моим, конечно, внушением. На стол выкладывается 8 различных
предметов. Один из участников приглашается на роль отгадчика. Он
отворачивается, и ведущий показывает остальным загаданный предмет.
Избранный участник «психологического опыта» вновь поворачивается
лицом к столу. Ведущий обращается к нему:
― Выберите одну из половин этого ряда предметов. Не торопитесь,
подумайте, прислушайтесь, что подсказывает вам внутренний голое. Итак, ваш
выбор ― левая половина? Именно ее, по-вашему, нужно отбросить? Тогда
остается правая половина. Теперь сделайте выбор половины из четырех
предметов. Снова левая? Точное попадание! Теперь решающий шаг: из двух
выбранных вами предметов нужно выбрать один. На сей раз правый? Вы
угадали! Оставшийся предмет и есть загаданный нами. Поздравляю с успехом!
Отгадка. Если участник выбирает ту половину, в которой находится
загаданный предмет, то всё в порядке. Если же он называет другую половину, то
ведущий расценивает это, как выбор той половины, которую надо отбросить.
Естественно, что при таком подходе участник неизбежно попадает на загаданный
предмет. Чтобы деление на 2 осуществлялось каждый раз без остатка, число
предметов должно быть натуральной степенью двойки: 4, 8, 16, 32... Необходимое
число вопросов равно показателю этой степени: 2, 3. 4, 5...
Зрители, конечно, легко разоблачают тактику ведущего. Поэтому желательно
при демонстрации этого «эксперимента», чтобы ведущий проявлял побольше
артистизма, сопровождал свои вопросы и ответы комментариями, отвлекающими
внимание участников.
22. Описание. Для этого фокуса необходимо заранее подготовить три
таблицы.
Таблица 1
Таблица 2
Таблица3
7
5
1
8
3
2
4
6
17
9
10
12
15
16
11
13
14
25
19
23
21
18
26
20
22
24
9
2
20
1
11
18
10
19
13
4
22
3
5
12
21
23
14
25
6
7
17
24
8
15
26
16
7
21 10
12 1
15 19
9 13
18 4
24 16
3 22
6 25
В этих таблицах в различном порядке размещены числa от 1 до 26.
Ведущий предлагает задумать одно из этих чисел и, показывая по
очереди на каждую таблицу, спрашивает, в каком столбце
17
14
20
2
5
11
26
23
8
находится задуманное число. Получив ответы, ведущий называет
задуманное число.
Пример. Задумано 23. Участники называют: в первой таблице третий
столбец, в таблице 2 - второй, в таблице 3 - третий.
Отгадка. Ведущий уменьшает сообщенные номера столбцов на 1, после
чего первый из них умножает на 9, второй - на 3, третий оставляет без
изменения /после вычитания 1/ и всё складывает. Сумма и есть задуманное
число. В примере: 2•9 + 1•3 + 2 = 23.
Обоснование. Таблицы основаны на записи чисел в троичной системе
отчисления. Таблица 1 составлена для первого слева, т.е. старшего разряда;
таблица 2 - для второго разряда; таблица 3 - для разряда единиц. В первые
столбцы всех таблиц включены числа, которые в своем разряде имеют цифру 0;
вторые столбцы соответствуют цифре 1; третьи столбцы ― цифре 2. Называя
номера столбцов, участники тем самым сообщают запись задуманного числа в
троичной системе счисления. Так, номера 3, 2, 3 дают число 2123 = 2•32+1•3 + 2 =
= 23. Номера, скажем, 2, 1, 1 означают число 1003 = 9. Числа в таблицах
ограничены 26-ю, так как, начиная с 27, троичные записи имеют более трех
цифр.
Фокусы с предметами
23. Описание. Возьмите табель-календарь за любой месяц любого года.
Выделите в нем квадрат, содержащий 9 чисел, т. е. три столбца по три числа в
столбце /все числа ― в одном месяце!/. Назовите мне только меньшее из чисел
этого квадрата, и я сразу найду сумму всех девяти неизвестных мне чисел в
выделенном квадрате.
Пример. Пусть выделены числа /май 1994 года/:
9 16 23
10 17 24
11 18 25
Сообщено меньшее из этих чисел - 9. Ведущий сразу называет их общую
сумму: 153. Легко убедиться, что ответ верен.
Отгадка. Ведущий прибавляет к названному числу 8 и умножает сумму на 9:
(9 + 8) • 9 = 153.
Обоснование. В табель-календаре числа в вертикальных столбцах идут в
натуральном порядке: каждое следующее на единицу больше предыдущего. А по
горизонтальным строкам числа образуют арифметическую прогрессию с
разностью 7, так как дни недели повторяются через 7 дней. Значит, если
наименьшее число в выделенном квадрате /т. е. стоящее в его левом верхнем
углу/ равно к, то квадрат имеет вид:
к
к+7
к+14
к+1
к+8
к+15
к+2
к+9
к+16
Сумма всех чисел равна 9к + 72 = 9(к + 8).
Фокус можно использовать при изучении арифметической прогрессии.
Самостоятельное раскрытие его «тайны»; т. е. исследованис математических
закономерностей такого привычного предмета как табель-календарь.―
прекрасное упражнение для пытливого ума, возможность самому сделать пусть,
небольшое, но настоящее открытие.
24. Описание. Для фокуса берут 7 карт, удобнее одной масти. Проще всего
взять с числом очков от 1 до 7, но эффектней будут выглядеть туз, король, дама,
валет и еще три карты, например, для красочности ― король, дама, валет другой
масти. Главное ― ведущий должен твердо помнить порядковый номер каждой
карты. Одна из карт загадывается. Карты раскладываются в два столбца. При этом
первая карта по порядку кладется вверху правого столбца, остальные
выкладываются последовательно по две в ряд слева направо.
Участники сообщают, в каком столбце находится загаданная карта. После этого
ведущий собирает карты, подкладывая одну под другую. Сначала левый столбец,
начиная с верхней карты; за ним в том же порядке правый столбец. Затем, не
перемешивая карт, выкладывает их таким же образом, как и в первый раз.
Участники снова называют, в каком столбце - левом или правом - оказалась
загаданная карата. Ведущий снова собирает и раскладывает карты, так же как и
раньше. И при третьем раскладе участники говорят, в каком столбце задуманная
карта. Ведущий перетасовывает карты и, снимая их по одной, объявляет
задуманную карту.
Пример. Взяты для фокуса карты туз, король, дама, валет, 10, 9, 8. Загадана
дама /третья карта/.
Первый расклад
Второй расклад
Третий расклад
Т
К Д
В 10
9 8
В
Т
10
К
9
Д
8
Т
К
Д
В
10
9
8
В первом раскладе - правый столбец, но втором - правый столбец,
в третьем - левый столбец.
Отгадка. В первом раскладе правый столбец - это 1, левый столбец - 0.
Во втором раскладе правый столбец - это 2, левый столбец - это 0. В третьем
раскладе правый столбец - это 4, левый столбец - это ноль. Сумма чисел,
соответствующих указаниям на правые столбцы, и дает порядковый номер
задуманной карты. Указания на левые столбцы можно просто не принимать в
расчет. В данном примере 1+2 = 3. Третья карта ― дама. Если бы, скажем, были
названы левый, правый и правый столбцы, то имели бы 2 + 4 = 6. Шестая карта девятка.
Обоснование. Сущность этого фокуса та же, что и фокусе 18. С той только
разницей, что здесь используется двоичная система и таблицы разрядов единиц,
двоек и четверок. В первом раскладе левый столбец образуют числа
/изображенные картами/, которые в разряде единиц имеют цифру 0, а правый
столбец - цифру 1. То же во втором раскладе для разряда двоек, и в третьем для
разряда четверок. Так что в рассмотренных выше примерах имеем двоичные
записи 0112 = 0•22 + 1•2 + 1 =3 и 1102=1•22 + 1•2 + 0•1 = 6.
Замечу, что этот фокус можно усложнить, предложив загадать карту не
одному, а нескольким участникам. Но они не должны сразу называть вслух
столбцы, где находятся задуманные ими карты, а делать себе пометки и лишь
когда ведущий закончит третий расклад, то по очереди сообщать свою
информацию. При небольшой тренировке быстрые подсчеты не составят труда
для ведущего.
25. Описание. Выберите какую-либо косточку домино. Число очков на
одной половине умножьте на 5, прибавьте 3. Сумму удвойте и прибавьте число
очков на другой половине. Назовите, сколько получилось, - и ведущий отгадает,
какая была взята косточка.
Пример. Взята косточка 3 - 4. 3 • 5 = 15. 15 + 3 = 18. 18 • 2 = 36. 36 + 4 =40.
Отгадка. Ведущий из названной суммы вычитает 6 и получает очки на
косточке: 40 ― 6 = 34, т. е. Косточка 3 - 4.
Обоснование. (а ∙ 5 + 3)∙ 2 + в = 10а + в + 6. Поскольку 0 ≤а≤ 6
и 0 ≤в≤ 6, ТО 10а+в при а ≠ 0 это двузначное число с цифрой десятков а и
цифрой единиц в. Ну, а если а = 0, т. е. в итоге получилось однозначное число,
то, значит, на первой половине косточки «пусто».
26.Описание. А в этом фокусе вам даже не нужно самим загадывать числоза вас это сделают вот эти три игральных кубика /кости/. На каждом из них
обозначены числа от 1 до 6. Бросьте их и выпавшие очки запишите как
трехзначное число. Затем переверните кубики противоположными гранями
кверху, не меняя их порядка. Образовавшееся новое трехзначное число
припишите к первому. Полученное шестизначное число разделите на 3, а затем
на 37. Это контроль: если все сделано правильно, деление будет без остатка. И
это, кстати, намек на секрет фокуса. Найденное после двух делений частное
увеличьте на 111 и затем прибавьте первоначальное трехзначное число,
выпавшее при бросании кубиков. Результат сообщите ведущему, и он угадает,
сколько очков выпало на кубиках при бросании их.
Пример. На кубиках выпало 2, 1, 4. Записали 214. На противоположных
гранях кубиков, взятых в том же порядке, оказались очки 5, 6, 3, Таким образом,
получили число 214 563. После деления на 3 стало 71521, и после деления на 37
оказалось 1 933. Прибавив 111, получили 2 044, а в сумме с первоначальным
числом 214 стало 2 258, что и сообщено ведущему.
Отгадка. Ведущий из названного ему числа вычитает 111. Первые три цифры
разности это и есть очки, выпавшие на гранях кубиков при бросании:
2258 - 111=2 147. Ответ: 2, 1. 4.
Обоснование. Все дело в том, что сумма очков на противоположных гранях
игрального кубика /кости/ всегда равна 7. Следовательно, если у трех кубиков
сложить очки на противоположных гранях, то получится 777.
Пусть теперь а ― трехзначное число, цифры которого суть очки, выпавшие
при бросании кубиков. После переворачивания противоположными гранями
кверху получится число 777 ― а. Приписав к а справа число, образовавшееся
после переворачивания кубиков, мы тем самым увеличили первоначальное число
в тысячу раз и прибавили к нему 777 ―а. Имеем: 1000а + (777 - а) = 999а + 777 =
= 111 (9а+7). Так как 111 = 3•37, то после деления на 3 и 37 останется 9а + 7.
Прибавленное лишь для «маскировки» 111 мы при отгадке вычитаем.
А (9а + 7) + а = 10а + 7. И поскольку а ―трехзначное число, то 10а + 7 - это
четырехзначное число, первые три цифры которого составляют искомое число а,
а четвертая цифра всегда 7.
Если хотим облегчить разгадку, то можно «маскировочным» числом 11 не
пользоваться, а сразу после деления на 3 и на 37 прибавить исходное число а.
После двух-трех повторений фокуса бросится в глаза, что в итоге выкладок
получается всегда искомое число и 7.
Быстрее калькулятора
Некоторые приемы быстрого счёта в зрелищном отношении не уступают
фокусам. Они возбуждают интерес к устным вычислениям, польза которых
несомненна. В наш век калькуляторов тем более важно уметь рационально
использовать логико-вычислительную машину в своей собственной голове, не
допуская, чтобы она ржавела от бездействия или работала непродуктивно.
Обоснование же приемов устного счета ― весьма полезное применение
алгебраических преобразований и свойств чисел.
27. Описание. Чтобы умножить двузначное число на 11, достаточно между
его цифрами вставить их сумму. Если эта сумма 10 или больше 10, то ее первую
цифру - 1 надо прибавить к цифре десятков двузначного множителя.
Примеры. 27 • 11=297. 82 • 11 = 902. 94 • 11 = 1034.
Обоснование. Пусть ав - запись двузначного числа. Тогда
ав
11
ав
ав
а(а+в)в
х
Если а + в ≥10, то единица суммы передается в разряд сотен. Ясно, что
а + в ≤ 18.
Следующий прием нередко можно применить при умножении двузначных
чисел.
28. Описание. Если умножении двух двузначных чисел:
♦ цифры десятков одинаковы, а цифры единиц в сумме составляют 10; или
♦ цифры единиц одинаковы, а цифры десятков в сумме составляют 10; или
♦ в одном числе цифры одинаковы, а в другом в сумме составляют 10; то
во всех случаях первые две цифры произведения получаются как произведение
цифр десятков, сложенное с повторяющейся цифрой; а последние две цифры
произведения получаются как произведение цифр единиц множителей /если оно
однозначно, то записывается с нулём впереди/.
Примеры.
36 • 34 = (3 • 3 + 3) и (6 • 4) = 1 224.
63 • 43 = (6 • 4 + 3) и (3 • 3) = 2 709
33 • 64 = (3 • 6 + 3) И (3 • 4) = 2112
Обоснование.
ав • ас и в + с = 10.
1-й случай
(10а + в)(10а +с) = 100а2 + 10а(в + с) + вс = 100а2 + 10а • 10 + вс.
Получили число , имеющее а • а + а сотен и вс десятков и единиц.
ас • вс и а + в = 10.
2-й случай:
(10а + с)(10в + с) = 100ав + 10(а+в)с+с • с=100ав+10•10с + с•с = 100(ав+с)+с•с.
Получили число, имеющее ав + с сотен и с•с десятков и единиц.
3-й случай: аа • вс и в + с=10.
(10а + а)(10в + с) = 100ав + 10ас +10ав + ас = 100ав + 10а(в + с) + ас =
= 100ав +10а • 10 + ас = 100(ав + а) + ас.
Получили число, имеющее ав + а сотен и ас десятков и единиц.
Большой эффект производит мгновенное извлечение корней - кубического,
пятой, седьмой и даже девятой степени. В двух последних случаях для
демонстрации нужно иметь таблицы точных значении седьмой степени
двузначных чисел и девятой степени однозначных чисел. Их можно найти в
пособии А.К.Митропольского «Краткие математические таблицы» Изд. 3-ье
Москва «Наука» 1965 г.
29. Описание. Ведущий предлагает взять любое двузначное число,
возвысить его на калькуляторе в куб /получается не более, чем шестизначное
число/ и результат назвать ведущему. Тот сразу называет точное значение
кубического корня, т.е. исходное число.
Таким же образом можно организовать мгновенное извлечение корня 5-ой
степени однозначного числа, которую тоже несложно подсчитать /получается не
более, чем пятизначное число/.
Седьмая степень однозначного числа - это не более, чем семизначное число.
Если имеющийся калькулятор позволяет получать такие результаты, то можно
показывать извлечение корня 7-ой степени для однозначного числа. Правило его
мгновенного определения годится и для двузначных чисел, но здесь будет
получаться в седьмой степени от 8 до 14 цифр. К тому же в этом случае от
ведущего требуется несколько большая подготовленность.
Девятая степень чисел 9 и 8 - это девятизначные числа; для остальных
однозначных чисел - не более, чем восьмизначные.
Из приведенных соображений можно, по - видимому, заключить, что
практически удобно демонстрировать мгновенное извлечение кубического корня
из куба двузначного числа и корней из 5-ой и 7-ой степеней однозначных чиселВ качестве основы фокуса используются таблицы 3-й, 5-ой и 7-ой степеней
однозначных чисел.
п
п3
п5
п7
1
1
1
1
2
8
32
128
3
27
243
2 187
4
64
1 024
16 384
5
125
3 025
78 125
6
216
7 776
279 936
7
343
16 807
823 543
8
512
32 768
2 097 152
9
729
59 049
4 782 969
Таблицу кубов необходимо запомнить. Приглядевшись к ней, нетрудно
обнаружить, что вес кубы заканчиваются разными цифрами. Значит, по
последней цифре сообщенного куба двузначного числа можно сразу сказать,
какой цифрой оканчивается корень. Если, скажем, последняя цифра куба 2, то
цифра единиц корня - 8; если 4, то 4; если 7, то 3 и т. п.
Для лучшего запоминания полезно обратить внимание, что кубы чисел 1, 4, 5,
6, 9 оканчиваются этой же цифрой, а кубы чисел 2, 3, 7, 8 - цифрой,
дополняющей данную до 10.
Чтобы узнать первую цифру корня, нужно мысленно отбросить в сообщенном
результате последние три цифры и сообразить, между какими кубами
однозначных чисел находится оставшееся число. Так, например, если сообщили,
что куб равен 456 533, то соображаем, что 456 больше 343, по меньше 512.
Значит, корень больше 7, но меньше 8, т.е. его первая цифра - 7. А так как куб
оканчивается тройкой, то и вторая цифра корня тоже 7. Ответ: ³√3456 533 = 77.
Еще примеры:
³√32 768 = 32.
³√397 336 = 46. .
В таблице для 5-ой степени легко подметить, что она оканчивается той же
цифрой, что и первая степень. Поэтому после сообщения результата возведения в
5-ую степень мы можем сразу назвать корень: это последняя цифра подкоренного
числа. Например, 5√7 776 = 6.
Седьмые степени оканчиваются теми же цифрами, что и кубы. Значит, держа в
памяти таблицу кубов, легко находить корни из седьмых степеней
однозначных чисел. Примеры: 7√2 187 = 3. 7√4 782 969=9. 7√78 125=5.
Пользуясь таблицами, приведенными выше, можно извлекать корни из 5-ой и
7-ой степеней и двузначных чисел. Пусть 5-ая степень двузначного числа равна
45 435 424. По последней цифре сразу видим, что цифра единиц у корня равна 4.
Отбрасываем последние пять цифр. Остается число 454, которое больше, чем З5,
но меньше, чем 45 /ориентируемся по таблице/. Значит, первая цифра корня 3.
Итого: 5√5445 435 424 = 34.
Пусть седьмая степень двузначного числа равна 587 068 342 272. По таблице
кубов узнаем, что цифра единиц корня равна 8. Отбрасываем первые 7 цифр.
Остается 58 706, что - видим но таблице - больше 47, но меньше 57. Значит, у
корня цифра десятков 4. Итого: 7√587 068 342 272 = 48.
Для корня из 9-ой степени однозначного числа зависимость столь же проста,
как и для корней 5-ой степени: корень равен последней цифре подкоренного
числа. Располагая таблицей 9-ых: степеней, можно использовать эту зависимость
в качестве фокуса. Эффектно прозвучит, например, мгновенное извлечение:
9√
134 217 728 = 8. Конечно, если повторять подобные примеры, то участники
догадываются, в чём дело.
В заключение подчеркну, что все эти примеры относятся только к точным
значениям степеней и корней. Поэтому степени надо либо вычислять, либо брать
из таблиц. Какие - попало наборы цифр не годятся.
А в заключение - небольшой розыгрыш: соревнование с калькуляторами
выигрывает человек.
30. Описание. Объявляется соревнование на быстроту счета между ведущим
и двумя участниками, вооруженными калькуляторами. Третий участник
приглашается в качестве судьи, и ему вручается программа состязания:
1. Выбрать вместо с другими участниками какое - либо число и объявить его
ведущему /в принципе, можно брать любое число, но практически удобно взять
двух-, трехзначное/.
2. Первому участнику умножить это число на 27 и результат на 37.
3. Одновременно второму участнику умножить это же число на 73 и результат
на 77.
4. Первому участнику прибавить к своему итогу 715, а второму - к своему
итогу прибавить 548.
5. Суммы, полученные обоими участниками, сложить и результат сообщить
судье.
Ведущий одновременно с участниками начинает считать и первым сдает судье
свой ответ. Получив результат участников, судья удостоверяет, что оба ответа
совпадают.
Пример. Названо число 482. Первый участник получает последовательно
13 014, 481 518, 482 233. Второй: 6 266, 482 482, 483 030. Общая сумма 965 263.
Отгадка. Ведущий получает ту же сумму гораздо проще: удваивает
первоначально названное число, к последней цифре прибавляет 1 и к сумме
приписывает справа 263: 482·2 = 964. 964 + 1 = 965. Ответ: 965 263.
Обоснование. 27·37 = 999. 13·77 = 13·7·11 = 1 001. Если названо число а, то
результат без «маскировочных» чисел 715 и 548 будет равен
а•999 + а•1 001 = а•2000, т. е. 2а•1 000. 715 + 548 = = 1 263. Это число /а
можно взять и любое другое, но заранее включить его в программу соревнования/
ведущему известно, и ему не составляет труда прибавить его к удвоенному
исходному числу с приписанными тремя нулями.
В заключение подведу краткий итог всему сказанному. Математические
фокусы ― одна из разновидностей математических предложений. По своей сути
это теоремы. Как и всякие теоремы, математические фокусы обнаруживают
неизвестные ранее свойства чисел пли фигур. Отличительная особенность их в
том, что они используются не для решения задач, а для создания эффекта
математического волшебства - угадывания задуманных чисел, предсказания
результата вычислений и т. п. Всякий фокус содержит некий секрет, обладание
которым позволяет совершать то, что недоступно другим.
Поэтому фокусы воспринимаются более эмоционально, чем теоремы из
учебника, вызывают стремление разгадать их тайну, усиливают интерес и
уважение к математике.
Все эти особенности математических фокусов дают возможность
разнообразного применения их в процессе преподавания математики как на
уроках, так и во внеклассной работе.
Литература
1. А. П. Доморяд. Математические игры и развлечения. ― М.: Физматгиз,
1961.
Угадывание задуманных чисел, в т. ч. даты какого-либо события;
предсказание результата действий; фокусы с таблицами, картами, мелкими
предметами; извлечение корней; отдельный параграф посвящен приемам
быстрого счета.
2. Б. А. Кордемский, Л. Л. Ахадов. Удивительный мир чисел. М.:
Просвещение, 1986.
Различные способы угадывания задуманных чисел, даты рождения;
предсказание результата вычислений, в т. ч. по табель - календарю; мгновеннное
извлечение корней.
3. Б. А. Кордемский. Математическая смекалка. - М.: Наука, 1991.
Угадывание задуманных чисел, возраста; феноменальная память на числа.
4. В. Литцман. Веселое и занимательное о числах и фигурах. - М.: Фитматгиз,
1963.
Способы быстрого счёта; отгадывание цифры в итоге действий с неизвестными
числами; предсказание результата действий; отгадывание задуманного числа и
нескольких чисел, в т. ч. числа очков на игральных костях.
5. К. И. Игнатьев. В царстве смекалки. - М.: H, I97
6. Мартин Гарднер. Математические чудеса и тайны. ― М.: Наука, 1967.
Математические фокусы с картами, с мелкими предметами, со специальным
снаряжением М: карточками с числами, с отверстиями, с игральными костями и
косточками домино; с циферблатом часов; исчезновение фигур; числовые и
топологические головоломки; быстрый счет; отгадывание результатов
вычислений.
В других книгах М. Гарднера также встречаются фокусы, обычно весьма
оригинальные.
7. Ф. М. Щустеф Материал для внеклассной работы по математике. - Минск.:
Асвета, 1968.
Феноменальная память на числа; отгадывание с помощью таблиц, весов, кубиков;
расстановки детей; угадывание дат, составляющих в сумме номер текущего года.
8. Ф.Ф; Нагибин, Е. С. Каний. Математическая шкатулка. Изд. 5-ое. - М.:
Просвещение, 1988.
9. Щепан Еленьский. По следам Пифагора - М.: Детгиз, 1961.
Отгадывания: зачеркнутой цифры /8 способов/, результата действий /8
способов/, задуманного числа /5 способов/, нескольких чисел; волшебные
таблицы; угадывание числа и года рождения.
10. Я. И. Перельман Занимательная, арифметика - М.: Наука, 1979.
Галерея числовых диковинок; фокусы с монетами, спичками; предсказывание
результата действий; появление любимой цифры; мгновенное деление;
отгадывание даты рождения; способы быстрого счета.
В других книгах этого замечательного советского популяризатора науки также
можно встретить некоторые фокусы.