ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
__________________________________________________________________
«УТВЕРЖДАЮ»
Директор ИДО
____________ А.Ф. Федоров
«____»____________2006 г.
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
Рабочая программа, методические указания и контрольные задания
для студентов специальности 230105 «Программное обеспечение
вычислительной техники и автоматизированных систем»
Института дистанционного образования
Семестр
Лекции, часов
Лабораторные занятия, часов
Контрольная работа
Самостоятельная работа, часов
Формы контроля
Томск 2006
3
2
4
8
4
1
128
экзамен
УДК 681.3
Вычислительная математика: Рабочая программа, методические указания и контрольные задания для студентов специальности 230105 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» ИДО / Сост. О.В. Орлов. – Томск: Изд. ТПУ, 2006. – 14 с.
Рабочая программа, методические указания и контрольные задания
рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим семинаром
кафедры прикладной математики «___» ___________ 2005 года,
протокол № ____.
Зав. кафедрой, профессор, д. ф.-м. н. _____________ В.П. Григорьев
Аннотация
Рабочая программа, методические указания и контрольные задания по
дисциплине «Вычислительная математика» предназначены для студентов
специальности 230105 «Программное обеспечение вычислительной техники
и автоматизированных систем». Данная дисциплина изучается один семестр.
Приведен перечень основных тем дисциплины, указан перечень лабораторных работ. Приведены варианты заданий для контрольной работы. Даны методические указания по выполнению контрольной работы.
2
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Цели преподавания дисциплины
Целью дисциплины является изучение вопросов построения, исследования и применения методов вычислительной математики для решения типовых математических задач. Рассматриваются задачи алгебры и математического анализа. Наряду с изложением общих принципов построения и анализа
численных алгоритмов в курсе рассматриваются проблемы, характерные для
их применения на практике: множественность методов решения задач, критерии обоснования выбора и экономичности численных алгоритмов.
Задачи изложения и изучения дисциплины
1) развитие у студентов алгоритмического мышления и формирования
обстоятельной аргументации при выборе численных методов решения прикладных задач;
2) приобретение студентами знаний в области постановок типовых математических задач и исследования численных методов их решения; изучение методов и алгоритмов вычислительной математики, анализ погрешности
численного результата;
3) ознакомление с вопросами устойчивости и корректности вычислительных алгоритмов;
4) приобретение практических навыков работы с системами компьютерной алгебры.
После изучения данной дисциплины студент должен уметь разрабатывать численные алгоритмы решения прикладных задач по обработке информации и моделированию объектов различной естественно - научной природы.
2. СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ
Тема 1. Предмет численных методов. Теория погрешностей
1. Основные понятия численных методов и способы построения вычислительных алгоритмов.
2. Абсолютная и относительная погрешность числа.
3. Верные цифры числа.
4. Округление числа.
5. Связь относительной погрешности с количеством верных знаков
числа.
6. Погрешности суммы, разности, произведения, частного, корня.
7. Общая формула вычисления погрешности.
8. Погрешности вычисления на ЭВМ. Представление чисел в ЭВМ.
9. Вопросы исследования устойчивости, сходимости и точности численных методов.
Тема 2. Приближенное решение алгебраических уравнений
1. Отделение корней.
2. Метод дихотомии (половинного деления).
3
3. Метод касательных (Ньютона).
4. Упрощенный (модифицированный) метод Ньютона.
5. Метод секущих.
6. Метод итераций.
7. Подготовка алгебраических уравнений к методу итераций.
8. Алгоритмизация методов, условия применения, скорость сходимости, геометрическая иллюстрация.
9. Приближенное решение систем алгебраических уравнений.
Тема 3. Численные методы линейной алгебры
1. Классификация численных методов линейной алгебры.
2. Определение нормы матрицы. Основные канонические нормы.
3. Решение СЛАУ методом простых итераций (метод Якоби).
4. Решение СЛАУ методом Зейделя.
5. Условия сходимости метода простых итераций и метода Зейделя.
6. Решение СЛАУ в системах компьютерной алгебры.
Тема 4. Приближение функций
1. Приближение функций. Постановка задачи. Классификация.
2. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
3. Интерполяционный многочлен Ньютона.
4. Аппроксимация функций. Приближение функций в системах компьютерной алгебры.
Тема 5. Численное интегрирование
1. Постановка задачи. Основные определения. Классификация методов
численного интегрирования.
2. Методы прямоугольников.
3. Метод трапеций.
4. Метод Симпсона.
5. Вычисление интегралов с заданной точностью. Правило Рунге оценки погрешности численного интегрирования.
Тема 6. Численное решение обыкновенных дифференциальных
уравнений (ОДУ)
1. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
Задача Коши.
2. Метод Рунге – Кутта первого порядка точности (метод Эйлера).
3. Метод Рунге – Кутта четвертого порядка точности.
4. Правило Рунге оценки погрешности в методах Рунге – Кутта.
5. Решение систем ОДУ методом Рунге – Кутта.
Тема 7. Численное дифференцирование
1. Путем использования определения производной.
2. Путем конечно разностной аппроксимации производной.
3. С использованием интерполяционного многочлена Лагранжа.
4
3. СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ
Перечень лабораторных работ
Лабораторная работа № 1. Численное интегрирование (2 часа).
В соответствии с вариантом задания вычислить интеграл алгебраической и трансцендентной функций в аналитическом виде и численно (по формуле трапеций) в интервале изменения аргумента [а, b].
Определить относительную и абсолютную погрешность вычислений,
число верных цифр.
Лабораторная работа № 2. Интерполирование функций по Лагранжу
(2 часа).
В соответствии с вариантом задания составить интерполяционный
многочлен Лагранжа для трансцендентной функции в интервале изменения
аргумента [а, b].
Определить абсолютную погрешность и относительную погрешность
вычислений в процентах.
Лабораторная работа № 3. Численное решение дифференциального
уравнения (2 часа).
В соответствии с вариантом задания решить дифференциальное уравнение численно (методом Рунге-Кутта четвертого порядка) и средствами
MATHCAD при нулевых начальных условиях на интервале [0, 1] с шагом
h = 0.1. Результаты решения привести в графическом и численном виде.
Определить относительную и абсолютную погрешность вычислений.
4. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
4.1. Общие методические указания
Контрольная работа выполняется в системе компьютерной алгебры
MATHCAD. Оформление работы производится в соответствии с общими
требованиями оформления контрольной работы. При этом допускаются следующие варианты подготовки текста:
1. Рукописный вариант. Выполняется четким подчерком, с правильным оформлением формул, таблиц и графиков.
2. Подготовка текста в текстовом редакторе, например в Microsoft
Word.
3. Подготовка текста непосредственно в Mathcad. В Mathcad имеется
встроенный текстовый редактор, по своим возможностям практически не
уступающий Word в случае обычного форматирования текста. При этом также
следует соблюдать правила оформления контрольных работ.
Номер варианта контрольной работы равен остатку от деления
числа, составленного из двух последних цифр шифра студента, на 30. Если
остаток от деления равен нулю, выбирается вариант № 30.
5
4.2. Методические указания и варианты контрольных заданий
В контрольной работе необходимо выполнить следующие задачи.
Задача 1. Дан ряд S 

 an
(см. табл. 1). Найти сумму ряда аналити-
n0
чески. Вычислить значения частичных сумм ряда S  N  
N
 an
и найти ве-
n 0
2
3
4
5
личину погрешности при значениях N=10 , 10 , 10 , 10 . Определить количество верных цифр результатов.
Порядок решения задачи.
1. Найти сумму ряда S аналитически как предел частичных сумм ряда
или с использованием средств Mathcad.
2. Сформировать вектор N = {102, 103, 104, 105}.
3. Вычислить значения частичных сумм S(Ni) ряда при соответствующих значениях Ni.
4. Для каждой величины S(Ni) вычислить абсолютную погрешность ,
относительную погрешность  и определить количество верных цифр.
5. Записать численные значения найденных частичных сумм, округлив
их до найденного ранее количества верных цифр. Проанализировать результаты.
Задача 2. Дана функция f(a, b, c) (см. табл. 2). Значения переменных
указаны в вариантах со всеми верными цифрами. Оценить погрешность результата, используя:
1) оценки погрешностей для арифметических операций;
2) общую формулу погрешностей.
Порядок решения задачи.
1. Определить абсолютную и относительную погрешность величин a,
b и c.
2. Провести оценку погрешности величины f, используя формулы
оценки погрешности арифметических операций.
3. Провести оценку погрешности величины f, используя общую формулу погрешностей
n f
 f ( x1, x2 ,, xn )  
xi  .

x
i 1 i
4. Сравнить полученные значения погрешностей между собой.
5. Результат вычисления функции f(a, b, c) представить в двух формах
записи: с явным указанием погрешностей и с учетом верных цифр.
Задача 3. Дано уравнение f(x) = 0 (функция f(x) задана в табл. 3). Найти
с точностью 10-5 все корни уравнений, содержащиеся на отрезке [a, b]. Для
6
решения задачи использовать численный метод решения алгебраических
уравнений, указанный в вашем варианте (табл. 3, столбец «Метод»). Определить погрешность метода, сравнив результат с точным решением.
Порядок решения задачи.
1. Найти аналитическое решение уравнения f(x) = 0 с помощью конструкции
Given...
Find(...)
или функции root, если аналитическое решение с помощью данной конструкции найти затруднительно.
2. Используя пакет Mathcad, локализовать корни f(x) = 0 графически.
3. Найти корни уравнения f(x) = 0 численно с точностью 10-5 с помощью численного метода, указанного для вашего варианта.
4. Вычислить погрешность метода, сравнивая ваш результат с точным
решением.
5. Объяснить полученные результаты.
Задача 4. Вычислить значение интеграла
b
 f ( x)dx
a
(функция f(x) и пределы интегрирования a и b заданы в табл. 3) с помощью
квадратурных формул средних прямоугольников, трапеций или Симпсона
для элементарного отрезка интегрирования. Оценить величину погрешности.
Порядок решения задачи.
1. Задать функцию f(x).
2. Построить график функции на отрезке [a, b].
3. Вычислить значение интеграла аналитически, используя средства
Mathcad.
4. Вычислить значение интеграла, используя один из методов численного интегрирования:
1) метод средних прямоугольников;
2) метод трапеций;
3) метод Симпсона.
Количество элементарных отрезков интегрирования n должно быть не
менее десяти.
5. Найти абсолютные и относительные погрешности результатов.
6. Результаты оформить в виде таблицы. Сформулировать выводы.
Задача 5. В соответствии с вариантом задания (табл. 3) составить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции f(x) в интервале изменения аргумента [а, b]. Определить абсолютную погрешность и относительную
погрешность вычислений в процентах.
Порядок решения задачи.
1. Задать число узлов интерполяции n = 5.
7
ba
.
n
3. Построить сетку узлов интерполяции xi  a  i  h, i  0,1,, n .
4. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа L(x) в узлах интерполяции.
5. Отобразить на одном графике функции L(x) и f(x).
6. Вычислить абсолютную и относительную погрешность результата
интерполяции в узлах интерполяции. Результаты отобразить на графиках.
7. Сформулировать выводы.
2. Вычислить длину отрезка разбиения h 
Задача 6. Найти приближенное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
y(t )  f t , y(t ) ,
t  a, b, y(a)  y0 , h  0.1
методом Рунге-Кутты и оценить погрешность решения задачи. Правая часть
уравнения (функция f), отрезок [a, b] и начальное значение y0 заданы в табл. 4.
Порядок решения задачи.
1. Найти приближенное решение задачи Коши с шагом h = 0.1 методом
Рунге-Кутта 4-го порядка.
2. Найти решение задачи Коши с шагом h = 0.1, используя встроенную
функцию rkfixed пакета Mathcad. Считать это решение точным.
3. Построить таблицы значений приближенного и точного решений. На
одном чертеже построить графики приближенного и точного решений.
4. Оценить погрешность приближенного решения. Результаты свести в
таблицу и проанализировать.
4.2. Варианты контрольных заданий
Таблица 1
№
1
2
3
4
8
an
2
n 2  5n  6
36
11(n2  5n  4)
9
n 2  7n  12
48
5(n2  6n  8)
№
11
12
13
14
an
60
11(n2  12n  35)
144
5(n2  6n  8)
36
n2  7n  10
48
n2  8n  15
№
21
22
23
24
an
24
7(n2  8n  15)
36
n2  5n  4
46
n2  5n  6
96
n2  9n  20
48
5
15
2
5(n  6n  5)
72
6
16
5(n2  6n  8)
24
7
17
n2  8n  15
32
8
18
n2  9n  20
216
9
19
7(n2  8n  15)
84
10
20
13(n2  14n  48)
20
25
2
n  4n  3
32
26
n2  5n  6
144
27
n2  18n  80
12
28
n 2  4n  3
180
29
n2  20n  99
112
15(n2  16n  63)
30
60
2
n  6n  8
72
n2  7n  10
24
n 2  4n  3
96
n2  8n  15
72
n 2  6n  8
12
5(n2  6n  8)
Таблица 2
№
1
2
3
4
5
6
7
8
f(a, b, c)
a
a 2  bc
a b
a 2  bc
a2
ab  bc
ab
a 2  bc
ab
a2  b2
ab
a 2  bc
a b
a2  b2
a 2b
c
9
2
a 3b
c
c
№
a
b
0.0125
0.283
0.0187 16
14.29
13.81
10.98
17
12.28
13.21
12.19
18
0.328
0.781
0.0129 19
14.85
15.49
20
12.31
0.0352
10.82
21
12.45
11.98
22
3.456
0.642
7.12
23
1.245
0.121
2.34
24
f(a, b, c)
a  b2
2
a b
a  b2
2
a b
ab
bc
ac  bc
a2  b2
ac  bc
a2  b2
a2  b2
abc
a2  b2
ab
c
a2  b2
ab2
c
a
b
c
4.41
18.5
16.5
4.2
52.31
48.95
47.81
4.81
4.52
9.28
16.21
16.18
21.23
121
0.324
1.25
25.18
24.98
3.1415
3.1411
10.91
3.14
1.57
0.0921
9
10
11
12
13
14
15
ab  b 2
2
a c
2
ab3
c
ab
c2
ab  b 2
a2  c2
ac
a  b2
c2
2
a b
13.12
0.145
15.18
25
0.643
2.17
5.843
26
0.3575
2.63
0.854
27
14.91
0.485
14.18
28
16.5
4.12
0.198
29
5.21
14.9
0.295
30
ab
a2  b2
ac  b
ac  b
ac
a2  b2
a2  b
c
a3  b
c
ab
c3
14.85
15.49
5.325
5.152
5.481
71.4
4.82
49.5
4.356
4.32
0.246
3.42
5.124
0.221
0.5761
3.0
1.02
Таблица 3
№
1
2
3
4
5
6
5
1
sin 2 ( x)   sin( x) 
6
6
7
1
sin 2 ( x)   sin( x) 
12
12
1
1
sin 2 ( x)   sin( x) 
30
30
2
1
cos2 ( x)   cos(x) 
35
35
1
1
1
cos2 ( x)  (
 ) cos(x) 
2 4
4 2
1
1
cos2 ( x)   cos(x) 
2
18
[a, b]
Метод
[0, 1]
Бисекции
[-1, 0]
Ньютона
[-0.5, 0.5]
Упрощ.
Ньютона
[0, 2]
Секущих
[0, 1.5]
Бисекции
[0, 2]
Ньютона
7
ln 2 ( x)  5  ln( x)  6
[5, 25]
Упрощ.
Ньютона
8
[0.1, 10]
Секущих
[0.1, 2]
Бисекции
10
ln 2 ( x)  ln( x)  2
3
1
ln 2 ( x)   ln( x) 
4
8
tg 2 ( x)  ( 3  1) tg( x)  3
[-1.2, 1]
Ньютона
11
ln( x)  ( x  1)3  7 x
[0.5, 1.5]
Упрощ.
Ньютона
9
10
f(x)
12
10 x  cos(x)  2
[0, 1]
Секущих
13
[0, 1]
Бисекции
14
2 x  5x  3
2 x  4  lg(1  x)  1
[0, 1]
15
lg( 2  x)  10 x  3
[0, 1]
16
2 x  3x 2  3
[0, 1]
Ньютона
Упрощ.
Ньютона
Секущих
17
5 x  11x 2
[0, 1]
Бисекции
18
3e x  5x  4
[-2, 0]
19
4 x  15 x  19
[-1.5, -0.5]
20
e x  18 x  6
1
1
cos2 ( x)   sin( x) 
2
18
5
2
lg 2 ( x)   lg( x) 
3
3
3
lg 2 ( x)  lg( x) 
4
3
1
lg 2 ( x)   lg( x) 
4
4
1
1
tg 2 ( x)  (1 
) tg( x) 
3
3
7
1
tg 2 ( x)  tg( x) 
4
2
37
tg 2 ( x)  tg( x)  1
6
[0, 1]
Ньютона
Упрощ.
Ньютона
Секущих
[0, 2]
Бисекции
[0.001, 3]
Ньютона
[0.1, 35]
Упрощ.
Ньютона
[0.01, 3]
Секущих
[0, 1]
Бисекции
[-0.5,1.5]
Ньютона
[-1.5, 0]
Упрощ.
Ньютона
x 4  11x 2  24
26 2
x4 
x 1
5
21
x4  x2  5
2
[1, 3]
Секущих
[0, 3]
Бисекции
[0, 5]
Ньютона
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
11
Таблица 4
№
f(t, y)
a
b
y0
№
1
y 2
t
t
1
2
0
16
2
y ctg t  2t sin t

2

1 0
2
17
3
 y cost 
0
1
0
18
4
 y tg t  cos2 t

4

1
4
-1
0
1
2
3
2
0
1

2

1 1
2
1
+1

5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12
sin( 2t )
2
y
 t 2  2t
t2
y
 et (t  1)
t 1
y
 t sin t
t
y
  sin t
t
y
  t2
2t

2t
y
2t 2
1 t2
1 t2
2t  5
y5
t2
y t 1 t
 
e
t
t
y 2 ln t

t
t
y 12

t t3
2y 3

t
t

1
19
f(t, y)
y
 3t
t
2ty
1 t2
2
1 t
2t  1
y 1
2
t
3y 2


t
t3

y0
a
b
1
2 1
1
2 3
1
2 1
1
2 1
e 1
20
 2t y  2t 3
1
2
21
y 2

t t2
1
1 1
22
t y t 3
0
1 3
23
2
y  et (t  1) 2
t 1
0
1 1
1
2
1
24
 2t y  t e t sin t
0
1 1
0
1
2
3
25
2y
 (t  1)3
t 1
0
1 0.5
2
3
4
26
y cost  sin 2t
0
1 3
1
2
e
27
4ty  4t 3
0
1 -0.5
1
2
1
28
y ln t

t
t
1
2 1
0
1 0
0
1 -1
1
1
2
2
4
29
5
6 30
2
2
3t y  t
21  t
3
3
y cost  sin 2t
5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
5.1. Литература обязательная
1. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.: Наука, 1989.
2. Турчак А.И. Основы численных методов. – М.: Наука, 1987.
3. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. – М.: Высшая школа, 1990.
4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. –
М.: Наука, 1987 (или любое более позднее издание).
5.2. Литература дополнительная
5. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978.
6. Мудров А.В. Численные методы для ПЭВМ на языках БЕЙСИК,
ФОРТРАН и ПАСКАЛЬ. – Томск: МП «Раско», 1991.
7. Плис А.И. Mathcad: математический практикум для экономистов и
инженеров: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 1999 (или любое
более позднее издание).
8. Самарский А.А., Гутин А. В. Численные методы. – М.: Наука, 1989.
9. Турчак Л.И. Основы численных методов. – М.: Наука, Гл.ред.физ.мат.лит., 1987.
10. Маликов В.Т., Кветный Р.Н. Вычислительные методы и применение
ЭВМ. – Киев: 1989.
11. Волков Е.А. Численные методы: Учебное пособие для ВУЗов. – М.:
Наука, 1987.
12. Очков В.Ф. Mathcad 7 Pro для студентов и инженеров. – М.: КомпьютерПресс, 1998.
13. Дж. Ортега, У. Пул. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1986.
5.3. Учебно-методические пособия
14. Бакланова Л.В., Огородников А.С., Офицеров В.В. Лабораторный
практикум по численным методам: Учебное пособие. – Томск: Изд. ТПИ,
1990. – 96 с.
15. Кочегурова Е.А. Решение задач численного анализа в программном
пакете MathCad. – Томск: Изд-во ТПУ, 1999. – 16 с.
5.4. Web-ресурсы
16. Образовательный математический сайт. – Режим доступа:
www.exponenta.ru (Ресурс содержит большое количество материалов по математике, вычислительной математике и всем современным системам компьютерной алгебры, в т.ч. Mathcad Предназначен в первую очередь для студентов и преподавателей).
13
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
Рабочая программа, методические указания и контрольные задания
Составитель: Олег Викторович Орлов
Рецензент: В.В. Офицеров, к. ф.-м. н., доцент каф. ПМ АВТФ
Подписано к печати
Формат 60х84/16. Бумага офсетная.
Плоская печать. Усл.печ.л. 0,81. Уч.-изд.л. 0,74.
Тираж
экз. Заказ
. Цена свободная.
Издательство ТПУ. 634050, Томск, пр. Ленина, 30.
14