Иванова Алина (10-й кл., МОУ СОШ № 718, г

Иванова Алина,
ученица 10-го класса школы №718, г. Зеленоград.
Руководитель: В.Б. Гундырев.
Применение векторной алгебры для решения задач
кинематики
Ученический научно-исследовательский проект
Цели работы: научиться применению методов векторной алгебры, изученных на
уроках математики, для решения задач кинематики.
Ход работы. В школе на уроках математики изучают основы векторной алгебры –
правило сложения векторов, умножение вектора на число, произведение векторов. С
другой стороны на уроках физики изучаются величины, многие из которых являются
векторные. Например, радиус – вектор, перемещение, скорость и ускорение. Можно
сказать, что основной нашей целью было не просто решить задачи, а научиться решать их с
использованием методов векторной алгебры. После повторения соответствующих разделов
в учебниках и справочниках [1], [2] и [3] было выбрано несколько задач для решения из [4]
и [5]. Рассмотрим решение трёх из них.
Первая будет решена с использованием скалярного произведения векторов.
Имеем следующее условие: «Тело брошено со скоростью V0 под углом α к горизонту.
За полётом тела наблюдают в оптическую трубу, установленную в точке бросания.
Через какое время скорость тела будет перпендикулярна оси трубы? Ускорение
свободного падения равно g».
Для начала выполним рисунок к задаче:
y
r(τ)
V0
g
V(τ)
x
По сути, мы должны определить момент времени, когда радиус вектор
перпендикулярен скорости. Для этого воспользуемся тем, что скалярное произведение
перпендикулярных векторов равно нулю:


r ( )  V ( )  0
Выразим скалярное произведение через координаты векторов:


r ( )  V ( )  rxVx  ryV y ,
где
rx  V0 x ;

V x  V0 x ;


g 2
r

V


;
0y
 y
2

V y  V0 y  g .
После алгебраических преобразований мы получаем кубическое уравнение:


g 2
r ( )  V ( )  V0 x  V0 x  (V0 y 
)  (V0 y  g ) ,
решением которого будут следующие значения:
2

  0;
1

V0 

 3 sin   9 sin 2   8 ;
 2 
2g 



V 

 3  0  3 sin   9 sin 2   8 .


2 g 

Причём значение времени  1  0 соответствует моменту броска.
Существует и другой способ решения задачи, с помощью подобия треугольников, но
это не было задачей моего исследования и нас это не интересует.
Следующая задача будет решена с помощью векторного произведения векторов.
Имеем следующее условие: «Два тела брошены с одинаковыми по модулю скоростями
V0 под разными углами к горизонту – первое тело под углом α, второе - 2α к горизонту.
Найти момент времени τ, когда вектора скорости тел будут параллельны. Ускорение
свободного падения равно g».
Рассмотрим рисунок к задаче.
V02
V01
2


g

g
V2(τ)
V1(τ)








Здесь вектора V1 ( )  V01  g и V2 ( )  V02  g по условию параллельны: V1 ( ) || V2 ( ) .
Для решения воспользуемся тем, что векторное произведение двух параллельных
векторов равно нулю.
Выражение векторного произведения векторов в прямоугольных координатах
имеет вид:

 


V1  V2  (V1yV2 z  V1zV2 y )i  (V1zV2 x  V1xV2 z ) j  (V1xV2 y  V1yV2 x )k ,
  
где i , j , k - единичные векторы координатных осей. Будем считать, что движение
происходит в плоскости XY. Тогда все проекции на ось Z равны нулю. Для удовлетворения
условию параллельности должно выполняться следующее равенство
V1xV2 y  V1 yV2 x  0 ,
где
V1x  V0 cos
V1 y  V0 sin   g
и
V2 x  V0 cos 2
V2 y  V0 sin 2  g
После подстановки получаем:
.

V0
sin 

.
g cos  sin 2   cos 2 
Эту же задачу можно решить на основании подобия треугольников, но нас это опятьтаки не интересует.
Данные примеры являются иллюстрацией того, что многие задачи в кинематике можно
решить, применяя векторную алгебру.
Литература:
1. Кабардин О.Ф., Физика: Справ. Материалы: Учеб. Пособие для учащихся.- 3-е
изд. – М.: Просвещение, 1991.-367с.
2. Гусев В.А., Мордкович А.Г., Математика: Справочные материалы: Книга для
учащихся.- М.: Просвещение, 1988.-416с.
3. Атанасян Л.С. и др., Геометрия. 7-9 классы. 3-е изд. - М.: Просвещение, 1992. 335с.
4. С.Ю. Куклин, А.С. Овинников, В.И. Плис, И.В. Федоренко. Задачи по
элементарной физике. Часть1, М.: МИЭТ, 2001.
5. А.А.Абрамов, А.Т.Берестов, В.Б.Гундырев и др. Варианты профильного
тестирования по физике. М.: МИЭТ, 1999.