Введение - Факультет дошкольного и начального образования

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Владимирский государственный гуманитарный университет»
Н.Ф. Булатова
Изучение дисциплины «МАТЕМАТИКА»
на заочном отделении
факультета педагогики и методики начального образования
(1 и 2 курсы)
Владимир 2010
Изучение дисциплины «Математика» на заочном отделениии факультета
педагогики и методики начального образования (1 и 2 курсы). Учебнометодические рекомендации, - Владимир, ВГГУ, 2010.
Настоящяя работа будет полезна студентам при изучении «Теории
множеств», «Элементов математической логики» и «Комбинаторике».
В ней сформулированы основные требования к усвоению содержания этих
разделов программы, даны задачи к каждому разделу и указания к их решению,
даны задания для самостоятельного решения, сформулированы задания к зачету и
вопросы к экзамену.
Даны указания студентам к организации работы как во время сессий, так и в
межсессионный период.
Составитель: доцент Н.Ф. Булатова
Ответственный за выпуск: доктор ф.м.н. профессор Ю.А. Алхутов
Рецензенты: доктор ф.м.н. профессор Ю.А. Алхутов.
кандидат ф.м.н. И.И. Цыганок.
Введение
В соответствии с государственным стандартом 2005 года
по специальности 031200
педагогика и методика начального образования и согласно учебному плану на изучение
математики в период сессий отводится 120 часов: 68 часов на лекции и 52 часа на
практические занятия.
Занятия проводятся со второго семестра по седьмой семестр.
За период обучения студенты должны выполнить три контрольные работы в третьем,
пятом и седьмом семестрах, сдать два зачёта в третьем и пятом семестре, сдать три экзамена
в четвёртом, шестом и восьмом семестре.
Исходя из учебного плана и программы по математике, был составлен план изучения
дисциплины «Математика» на весь период обучения. Особое внимание было уделено
планированию деятельности студентов в межсессионный период, чтобы помочь им в
организации самостоятельной работы.
Изучение дисциплины «Математика» на отделении заочного обучения и рекомендации к
организации самостоятельных работ.
I
Июнь (летняя сессия)
2 семестр
I Аудиторные занятия 14-10
Разделы:
1.
Элементы
теории
множеств
(без
комбинаторики)
2.
Элементы
математической логики.
II
Задания
для
самостоятельной
работы: 1. К. р. № 1 по
разделу
«Элементы
теории
множеств.
2. М. з. № 1. «Приложение
теории
множеств и логики к
понятиям
школьного
курса
математики».
3. Вопросы и задачи к
зачёту № 1
по разделу «Элементы
математической логики»
II
Июль - декабрь
Самостоятельная работа и
отчетность:
1.Изучение теоретического
материала (разделы 1,2).
2.Выполнение к.р.№1.
3.Выполнение м.з.№1.
4.Подготовка к зачету №1.
5.Собеседование (зачет)
по к р.№1.
6.Собеседование по
м.з. №1
III
Январь (зимняя сессия)
3 семестр
I Аудиторные занятия 8-4
Раздел: 3. Элементы
комбинаторики.
II
Задания
для
самостоятель
ной работы:
1.М.З.№2
по
разделу
«Комбинаторные задачи».
2.Вопросы к экзамену №1
по разделам 1,2,3.
III Отчётность:
1.Собеседование по кр.№1
и по м.з.№1.
2.Зачет №1 по разделу 2.
IV
Февраль – май
Самостоятельная работа
и отчетность:
1.Выполнение м.з. №2.
2.Подготовка к экзамену
№1.
3.Собеседование по
м.з. №2..
4.Экзамен №1 по разделам 1,2,3.
4 семестр
I. Аудиторные занятия 16-12
Разделы: 4.Отношения и
соответствия.
5.
Теоретикомножественный подход к
к построению множества
целых
неотрицательных чисел.
6. Системы счисления.
II
Задания
для
самостоятельной
работы:
1.К.р. № 2 по разделам 4, 6.
2. М.з. № 3 по разделу 5.
3. Вопросы и задачи к
зачёту № 2
по разделам 4,5,6.
III Отчётность:
1. Экзамен № 1.
2. Собеседование по м.з. №
2.
6 семестр
I. Аудиторные занятия 1412
Разделы:
8.
Аксиоматический подход к
к
построению
целых
неотрицательных чисел.
9. Расширение понятия о
числе.
II
Задания
для
самостоятельной
работы:
1.К.р. № 3 по разделу 8.
1. М.з. № 5 по разделу 9.
III Отчётность:
1. Собеседование по м.з.
№ 4.
2. Экзамен № 2 (разделы 47).
8 семестр
I Отчётность:
1.Собеседование по м.з. №
6
2. Экзамен № 3 по темам 810.
Самостоятельная работа и
отчетность:
1.Изучение теоретического
материала (разделы 4-6).
2.Выполнение к.р.№2.
3.Выполнение м.з.№3.
4.Собеседование по м.з.
№3.
5.Собеседование (зачет)
по кр.№2.
Самостоятельная работа и
отчетность:
1.Изучение теоретического
материала (разделы 8-9).
2.. Выполнение м.з.№ 5.
3.Выполнение к р. № 3.
4.Собеседование по м.з
№5.
5.Собеседование (зачет)
по к р.№ 3.
5 семестр
Аудиторные занятия 6-6
Раздел:7. Делимость
натуральных чисел.
II
Задания
для
самостоятельной работы:
1. М.з. №4 по
разделу «Делимость натуральных чисел».
2. Вопросы к экзамену №2
(разделы 4-7)
III Отчётность:
1. Собеседование (зачет) по кр.№2.
2.Собеседование по
м.з.№3.
3. Зачет №2.
7 семестр
I Аудиторные занятия 10-8
Раздел:10. Натуральное
число
как результат измерения
величины.
II
Задания
для
самостоятельной работы:
1. М.з. № 6 по
разделу 10.
2. Вопросы к экзамену 3
по разделам 8-10.
III Отчётность: 1.
Собеседование (зачет) по
кр.№ 3.
2. Собеседование по м.з
№5
Самостоятельная работа
и отчетность:
1. Подготовка к экзаме
ну №2 (разделы 4-7).
2.Выполнение м.з.№4.
3.Экзамен №2.
Самостоятельная работа
и отчетность:
2. Подготовка к экзаме
ну №3 (разделы 8,9,10).
2.Выполнение м.з.№ 6.
3.Собеседование по
м.з.№ 6.
4. Экзамен №3.
§ 1. Изучение математики на 1 курсе
В летнюю сессию проводятся аудиторные занятия: 14 ч. лекций и 10 ч.
практических занятий.
Студенты изучают два раздела дисциплины «Элементы теории множеств» и
«Элементы математической логики».
1. ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К ЗНАНИЯМ И УМЕНИЯМ ПО РАЗДЕЛУ 1
«ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ».
Студенты должны знать определение
- подмножества и равных множеств; пары и кортежа длины .k;
- объединения, пересечения, разности двух множеств, дополнения к подмножеству;
- декартова произведения множеств;
- разбиения множества на классы.
Студент должен знать формулировки
- свойств и законов объединения, пересечения, вычитания и декартова умножения
множеств;
- теорем о числе элементов объединения двух непересекающихся множеств и двух
пересекающихся множеств;
- теорем о числе элементов дополнения к подмножеству; о числе элементов
декартова произведения множеств.
Студент должен уметь
- задать множество перечислением элементов или характеристическим свойством;
- выполнить операции над множествами, которые могут быть заданы
перечислением элементов, числовыми промежутками, характеристическими
свойствами;
-определить отношение между множествами;
- изобразить множества на кругах Эйлера, на числовой прямой;
- изобразить декартово произведение двух множеств на координатной плоскости;
- разбить множество на классы и находить число элементов полученных классов
или множеств, которые будут образованы из данных классов.
2. ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ 1 И УКАЗАНИЯ К ИХ РЕШЕНИЮ
Задача 1. Множества, заданные характеристическим
перечислением элементов, если это возможно.
а) А= {xIx  Z и |x| 4,
б) В = xIx   и (x –3) (x 2)  0,
в) С= xIx   и x² 2 x= 0,
д) Д = xIx  R и |х| ≤ 2.
свойством,
задайте
Указания. 1) Решая уравнение или неравенство с модулем, можно вспомнить, что
модуль числа – это расстояние от начала отсчета до двух точек на числовой
прямой. Например, IxI=а, если а >0 означает, что на числовой прямой существуют
две точки М1 и М2 расстояние до которых от начала отсчета равно а,
l
-a
0
a
Рис. 1
соответственно координаты этих точек (-а) и (а), или М1 (-а), М2 (а). Решением
уравнения IxI=а будут x= -а и x= а.
2) Неравенство IxI< а, а>о задает множество точек на числовой прямой, растояние
до которых от начала отсчета меньше а; эти точки принадлежат числовому
промежутку ( -а, а), Поэтому решением неравенства IxI< а будут значения x такие,
что x  ( -а; а) или -а<x<а ( Рис.1).
3) Неравенство IxI> а, а>о задает множество точек числовой прямой, расстояние до
которых
больше
а.
Эти
точки
принадлежат
объединению
двух
числовых промежутков ( -∞; -а) и (а; ∞ ).
Решением неравенства IxI> а будут значения x такие, что x  ((-∞: -а ) U (а; ∞ )).
иначе x < -а или x > а (Рис. 2).
l
-a
0
Рис. 2
a
Решение
а) Элементы множества А целые числа, которые будут решениями неравенства
IxI 4.
Используя указание 2, получим, что его решением неравенства IxI 4 будет
числовой промежуток ( -4; 4). Выберем целые числа из этого промежутка, получим
элементы множества А. Ответ: А={ -3, -2, -1, 0 , 1,2,3}.
б) Элементы множества В натуральные числа, которые будут решениями
неравенства (x –3) (x +2) < 0.
Решаем неравенство (x –3)(x +2) < 0 методом интервалов. Для этого на числовой
прямой отметим значения x, при которых (x –3) (x +2) =0, т.е. x = 3 и x = -2.
-2
3
2) Определим знак выражения (x –3)(x +2) на каждом интервале (∞; -2), (-2,3), (3,
∞) Для этого выберем значение x из этого интервала, подставим его в данное
выражение и определим знак произведения.
-10 (- ∞; -2) (-10 –3)·( -10 + 2) =( -13)·( -8) > 0,
0 ( - 2; 3 ),
( 0 –3)·( 0 + 2) = ( -3)·2 < 0,
4 ( 3; ∞ ),
( 4 –1)·( 4 + 2) = 3·6 > 0.
Интервал (-2; 3), на котором выражение (x –3)(x +2) отрицательное, будет
решением неравенства (x –3) (x +2) < 0.
Выберем натуральные числа из этого интервала, получим элементы множества В.
Ответ: {1; 2}
в) Элементы множества С числа натуральные, которые будут решениями
уравнения. Решим уравнение x² + 2x= 0, x ( x+ 2) = 0. Получим x=0 или x=-2
Выбери среди решений уравнение числа натуральные.
0 ∉ Ν, (-2) ∉ Ν. Значит, С – пустое множество.
Ответ: множество С задать перечислением невозможно.
г) Элементы множества Д действительные числа, которые будут решениями
неравенства IxI ≤2 Неравенство IxI ≤2 равносильно неравенству –2 ≤ x ≤ 2, его
решением будет числовой промежуток [-2; 2], т.к. xR, то множество
Д –бесконечное..
Ответ: множество Д задать неречислением невозможно.
Задача 2. А – множество двузначных чисел, В – множество нечетных натуральных
чисел, С – множество натуральных чисел, кратных 5.
1. Выяснить, какие из чисел 7,17,125 принадлежат множеству АU (В∩С).
2. Проверить правильность ответов на кругах Эйлера
Решение
1. Решение подобных задач основано на знании определений объединения,
перечисления, разности множеств и дополнения к подмножеству.
а) Возьмем число 7.
7 ∉А (1) т.к. 7 – однозначное число, 7 є В, т.к. оно нечетное (2),
7 ∉С, т. к. оно не кратно 5 (3). Из (2) и (3) 7 ∉ В∩С (4).
Из (1) и (4), т.к. ( 7 ∉ А и 7∉В ∩ С) следует, что 7 ∉А U (В∩С).
б) Возьмем число 17. 17 є А, т.к. оно двузначное; из этого следует, что
17 є (А U (В∩С)), т.к. он принадлежит одному множеству-множеству А.
в) Возьмем число 125
125∉А (1),
125 ∉ В (2), т.к. оно нечетное,
125∉С (3) , т.к. оно кратно 5.
Из (2) и (3) следует, что 125 є В∩С (4), т.к. 125 принадлежит обоим множествам.
Т.к. 125 є В∩С, значит, 125 є А U (В∩С).
Ответ: 7 ∉ А U (В∩С)
17 є А U (В∩С).
125 є А U (В∩С).
2. Для изображения множеств А,В,С на кругах Эйлера выясним, в каких
отношениях находятся эти множества.
Множества А и В не находятся в отношении включения: А В ложно, т.к. 22 єА,
но 22 ∉ В и В А ложно, т.к. 141 є В, но 141∉ А.
Значит, они находятся в отношении пересечения, причем непустого, т.к. есть
число 11 такое, что 11 є А и 11 є В.
Множества А и С, В и С находятся в отношении непустого пересечения ( см.
обоснование выше). Кроме того А ∩В∩ С≠ Ø*, т. к. есть число 15, и 15 є А,
15 є В, 15 є С.
Изображаем А,В,С в соответствии с условием (*).
Штриховкой отметим на кругах
Эйлера В∩С ≡, А‫׀׀׀‬, тогда Х= А U (В∩С) изображается там, где штриховка прошла
хотя бы один раз.
Рис.3.
Отметим указанные числа на кругах Эйлера зная, что:
1) 7 ∉ А, 7 є В и 7 ¢С,
2) 17 ∉ А, 17 єВ и 17¢С,
3) 125 ∉ А, 125 єВ и 125 єС.
Рассматривая рис.3, видим, что 7 ∉ А U (В∩С) , 17 є А U (В∩С), 125 є А U (В∩С).
Задача 3. Изобразить на кругах Эйлера множество Х= В\ (АUС) и сформулировать
характеристическое свойство его элементов, если А –множество прямоугольников
плоскости, В - множество многоугольников плоскости, имеющих хотя бы один
прямой угол, С – множество треугольников плоскости.
Решение
1. Определим отношения между множествами А, В и С, поскольку их элементы
конкретные геометрические фигуры. А В (1), т.к. любой прямоугольник x (xєА)
имеет хотя бы один прямой угол, т. е. x є В, но в множестве В имеются не
четырехугольники с прямыми углами у, и у¢А.
А∩С= Ø (2), т.к. нет прямоугольника, который был бы треугольником.
В∩С≠Ø (3), т.к. существует треугольник x, x є С такой, что x є В, т. е.
прямоугольный треугольник.
С учетом условий (1) – (3) изображаем множества А,В,С.
Рис 4.
2. Штриховкой отмечаем множество D= АUС ≡
3. Штриховкой отмечаем Х, Х=В\ D‫׀׀׀‬.
В множество Х попали многоугольники, имеющие хотя бы один прямой
угол, но это не прямоугольники и не треугольники. Это и будет
характеристическим свойством множества Х.
Задача 4. Изобразить на числовой прямой множество Х = (А\ С) U (В∩С) и указать
его характеристическое свойство, если А= [-3;2], В=(-1; 3], С = [0; 4).
Решение.
1. Рассмотрим разность А и С, по определению
А\ С = {x1x є А и x ¢ С}=Д (1). Изобразим А, С и Д на числовой прямой.
Рис. 5
Используя определение разности, узнаем, будут ли числа - 3 и 0 принадлежать
множеству Д. Получим -3 є А и –3 ¢ С, значит, -3 єD. 0 єА и 0 єС, значит, 0 ¢ С.
Значит D=А \ С = [-3;0).
2. Рассмотрим В∩С, по определению В∩С ={x1x є В и x є С}=Е (2)
Изобразим B,C, и E на числовой прямой. Используя определение пересечения узнаем,
будут ли числа 0 и 3 принадлежать множеству E.
Рис. 6
0 єВ и 0 є С, значит, 0 є Е. 3 єВ и 3єС, значит, 3 є Е.
Значит, Е= В∩С = [0; 3].
3. Рассмотрим Х=DUЕ.
По определению Х=D UЕ= {x1x є Д или х єЕ} (3)
Изобразим D, Е и Х на числовойпрямой. Узнаем, будут ли числа
принадлежать множеству Х.
–3 и 3
Рис. 7
Получим -3 є D, значит, -3 є Х. 3 є Е, значит, 3 є Х. Получим Х=[-3;3], или
множеству Х принадлежат все действительные числа х, такие, что –3 ≤ х ≤3.
Ответ: Х = {x1x є R и -3 ≤ х ≤3}.
Задача 5. Докажите, что для любых множеств А, В и С верно равенство
А\ (В UС) = ( А\ В) ∩ (А\ С).
Решение.
1. Для удобства рассуждений обозначим А\ (В UС)=Х, ( А\ В) ∩ (А\ С)=У.
Проверим верность равенства на диаграммах Эйлера, для этого на одной отметим
множество Х, а на другой – множество У и сравним заштрихованные области.
ВUС ≡
Х |||
Рис. 8
А\В ≡
А\С |||
У - штриховка прошла два раза
Сравнивая заштрихованные области Х и У, приходим к выводу Х=У.
2.Проведем доказательство равенства множеств Х и У на основе определения:
Х=У↔Х У аУ
Х.
а) Чтобы доказать, что Х
У, нужно доказать, что все элементы множества Х
являются элементами множества У. Для этого выберем произвольный элемент
а є Х и докажем, что а єУ.
а єХ, Х –разность, по определению разности
а єА (1) и а ∉ В UС (2). Из (2) можно получить, что а ∉ В и а ∉С (3).
(Доказательство смотрите после решения задачи 5).
Получили а є А, а ∉В и а∉С.
Из того, что ( а є А и а ∉ В), следует по определению разности, а є А\ В (4).
Из того, что (а є А и а є ∉), следует, по определению разности, а є А\ С (5).
Из того, что а є А\ В и а є А\ С следует, по определению пересечения, что
а є ( А\ В) ∩ (А\ С) или х є У.
Доказали, что произвольный элемент а из множества Х принадлежит множеству У,
значит, и все элементы множества Х являются элементами множества У, т.е. Х
У.
б) Теперь докажем, что У
Х, т.е. что все элементы множества У являются
элементами множества Х.
Выберем произвольный элемент в є У и докажем, что в є Х.
в є У, У – пересечение, по определению пересечения в є ( А\ В) (1) и в є (А\ С) (2).
Из (1), по определению разности, в є А (3) и в ¢ В (4).
Из (2), по определению разности, в є А и в ¢С (5). Условия (3), (4) и (5) соединены
союзом «и», значит, будут выполняться одновременно.
Из (4) и (5), т.к. в ¢ В и в ¢ С, следует, что в ¢ (В UС) (6).
Из (1) и (6), т.к. в є А и в ¢ В UС, следует, что в є А \ ( В UС), т.е. в є Х.
Доказали, что произвольный элемент в из У принадлежит множеству Х. Значит, и
все элементы множества У являются элементами множества Х, т.е. У
Х.
Вывод: доказали, что Х
У и У
Х, значит, Х=У
Замечание. Пусть а ¢ В UС, тогда а принадлежит дополнению к этому множеству,
_____
т.е. а є В UС (1)
____ _ _
_ _
По закону де Моргана ВUС= В∩С (2). Из (1) и (2) следует, что а є В∩С, по
_
_
определению пересечения, а є В (3) и а є С (4).
Из (3) и (4) по определению дополнения а ∉ В и а ∉ С.
Доказали: Элемент не принадлежит объединению множеств тогда, когда он не
принадлежит ни одному из множеств, входящих в объединения. Справедливо и
обратное.
2. Кроме того при решении задач используются и условия, при выполнении
которых элемент не принадлежит пересечению множеств, не принадлежит
разности множеств.
Запомните эти условия:
х ¢ АUВ ↔ х ∉ А и х ∉ В (доказано выше)
х ¢А∩В ↔ х ∉ А или
х ∉В
х ¢ А\ В ↔ х ∉ А или
х∉В
Задача 6. Выясните, в каких отношениях находятся множества Х и У, если
Х= (А\ С) х В, У = (А х В) \ ( Сх В), А = {2,3,4}, В= {5,6}, С= {2,5,6}
Решение. Множества А,В,С заданы перечислением элементов, найдем элементы
множеств:
А\ С= {x1x є А и х ¢ С}= {3,4} =Д
Х= Dx В = {(x, у) | х є D и у є D}={ (3,5), (3,6), (4,5), (4,6)}.
А х В = {(х,у)| х є А и у є В}={ (2,5); (2,6); (3,5); (3,6); (4,5);(4,6)}= Е
С х В = {(х,у)| х є С и у є В}={(2,5); (2,6); (5,5); (5,6); (6,5);(6,6)}= К
У = Е\ К ={х| х є Е и у ¢ К}={(3,5); (3,6); (4,5); (4,6) }
Сравним Х и У: все пары, входящие в множество Х, являются элементами
множества У и наоборот; значит, Х=У, т.е. они находятся в отношении равенства.
Задача 7. Известно, что из 80 чисел 40 делятся на 3, 20 делятся на 4, 25 чисел не
делится ни на 3, ни на 4, Сколько среди этих чисел делится на 12? Сколько чисел
делится только на 3, только на 4? Сколько чисел делится или на 3, или на 4?
1. По условию задачи на множестве М (множестве всех чисел) заданы два
свойства.
_
α – «делиться на 3», оно выделяет два подмножества А и А, А ={ х| х є М и х 3}
_
___
А ={ х| х є М и х 3}
_
β – “делиться на 4”, оно выделяет два подмножества В и В:
В = { х| х є М и х 4}, В ={ х| х є М и х 4}
2. По условию А∩В= 0, т.к. 12: 3 ^ 12 4, то 12 є А∩В.
3. Множество М будет разбито на 4 класса:
К 1 = А∩В – множество чисел, которые делятся на 3 и 4.
_
К 2 = А∩В – множество чисел, которые не делятся на 3 и делятся на 4.
_
К 3 = А∩В – множество чисел, которые делятся на 3 и не делятся на 4.
_ _
К4 = А∩В – множество чисел, которые не делятся ни на 3, ни на 4.
4. Краткая запись условия
Дано: m (М) =80,
m (А) =40,
m (В) = 20,
m (К4)= 25.
Найти : m (К1 ), m (К2), m (К3)
Решение 1. Пусть m (К1)=х, тогда m (К2)= m (А)- m (К1)= 40-х
m (К3)= m (В) - m (К1)= 20-х (см. диаграмму Эйлера)
М= К1U К2UК3UК4, m (М) = m (К1)+ m (К2)+ m (К3)+
m (К4), делаем замену
80=х+40 – х +20 – х +25, 80=85 –х, х=5, т.е. m (К1)=5
2. m (К2) = 40 -5=35 – число, чисел которые делятся только на 3
m (К3)= 20-5= 15 - число, чисел которые делятся только на 4
3. Пусть С –множество чисел, которые делятся или на 3, или на 4
С= (АUВ) \ (А∩В) или С=К2UК3
m (С) = m (К2) + m (К3)= 50
3.Основные требования к усвоению содержания и умениям раздела 2
«Элементы математической логики»
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Студенты должны знать
определение высказывания и предиката,
определение дизъюнкции, конъюнкции, импликации и эквиваленции двух
высказываний, а также таблицы истинности значений этих высказываний
определение отрицания высказывания и законы отрицания;
определение равносильных высказываний и равносильных предикатов;
формулировки теорем о нахождении множеств истинности отрицания
предиката, дизъюнкции, конъюнкции, импликации двух предикатов;
определение отношения логического следования двух предикатов, необходимое
и достаточное условие логического следования;
определение необходимого и достаточного условий;
схемы рассуждений: правило заключения, правило отрицания, правило
силлогизма.
Студенты должны уметь
1) Сформулировать составное высказывание по указанной формуле и определить
его значение истинности;
2) Установить, будут ли равносильны высказывания;
3) Найти множество истинности составного предиката;
4) Правильно использовать в предложении слова «необходимо», «достаточно»,
«необходимо и достаточно».
5) Выделить условие и заключение теоремы, сформулировать теорему, обратную
данной, теорему, противоположную данной, теорему, противоположную
обратной.
6) Анализировать простейшие рассуждения.
4. Задачи к разделу 2 и указания к их решению
Задача 1. Из высказываний р: « 8 делится на 4», q: «8-число однозначное»,
ч: «8-простое число», t: «8 делится на 5» составлены высказывания
_
_____________
а) р↔(q Λ (ч v t)),
б) (р Λ t) → (ч v q).
Сформулируйте эти высказывания и определите их значения истинности
Решение. Для того, чтобы сформулировать высказывание, заданной структуры,
нужно заменить знак логической операции соответствующей логической связкой
(см. таблицу после решения задачи).
_
а) Высказывание р↔(q Λ (ч v t)) читается: «8 делится на 4 тогда и только
тогда, когда 8 не является однозначным числом и 8 – простое число или
делится на 3»
______________
б) Высказывание (р Λ t) → (ч v q) читается «неверно, что если 8 делится на 4 и
делится на 5, то 8 не является простым или является однозначным».
Значения истинности этих высказываний можно увидеть в таблице
р
и
ч
л
q
и
р
и
t
л
ч
л
q
и
t
л
_
q
л
чvt
л
рΛt
л
_
ч
и
_
чvq
и
_
q Λ (ч v t)
л
_
р↔(q Λ (ч v t)
л
_
(р Λ t) → (ч v q)
и
______________
(р Λ t) → (ч v q)
л
Операции над высказываниями называются логическими; каждой операции
соответствует определённая логическая связка (частица, союз или союзные слова):
Название операции
Логическая связка
отрицание
конъюнкция
дизъюнкция
импликация
не; неверно, что
и
или
если…, то…
тогда и только тогда,
когда …
эквиваленция
Обозначение
_
р
рΛq
рvq
р→ q
р↔q
_
Задача 2. Найти значения истинности высказывания ( р Λ q) → ч и приведите
пример высказываний р, q и ч таких, чтобы высказывание, заданное формулой,
было истинным.
Решение 1. Для нахождения значения истинности высказывания, нужно учесть
всевозможные значения простых высказываний р, q и ч. Каждое высказывание
принимает 2 значения: И, Л, у нас три высказывания, поэтому получим 2·2·2=8
различных значений истинности трёх высказываний
р
и
и
и
и
л
л
л
л
q
и
и
л
л
и
и
л
л
ч
и
л
и
л
и
л
и
л
рΛq
и
и
л
л
л
л
л
л
ч
л
и
л
и
л
и
л
и
_
(р Λ q) → ч
л
и
и
и
и
и
и
и
Из таблицы видно, что данное высказывание будем истинным в тех случаях,
когда р, q и ч не будут одновременно истинными. Например: р: «любой квадратпрямоугольник» q: любой прямоугольник-параллелограмм», ч: «любой ромбквадрат».
Задача 3. Проверить, будет ли выполняться правый дистрибутивный закон
импликации относительно конъюнкции.
Решение. Для ответа на вопрос нужно проверить, будут ли равносильными
высказывания (р Λ q) → ч и (р→ч) Λ (q→ч). Составим таблицы истинности этих
высказываний; для удобства обозначим t: «(р Λ q) →ч», S: «(р→ч) Λ (q→ч)».
р
и
и
и
и
л
л
л
л
q
и
и
л
л
и
и
л
л
ч
и
л
и
л
и
л
и
л
рΛq
и
и
л
л
л
л
л
л
t
и
л
и
и
и
и
и
и
р→ч
и
л
и
л
и
и
и
и
q→ч
и
л
и
и
и
л
и
и
S
и
л
и
л
и
л
и
и
Сравним значения высказываний t и S, приходим к выводу, что они не являются
равносильными т.к. они не принимают одинаковых значений истинности при
одинаковых значениях истинности простых высказываний р, q, ч.
Ответ: правый дистрибутивный закон импликации относительно конъюнкции не
выполняются.
Задача 4. На множестве Х={х | х є Z и |х | ≤ 5} заданы предикаты р (х): “х
делитсяна 3”,
q (х): «х делится на 2». Сформулировать предикаты р (х) Λ q (х), р (х) v q (х), р (х)
→ q (х),
q (х) → р (х), р (х) ↔q (х) и найдите их множества истинности.
Решение. 1) Множество Х можно задать перечислением: Х={–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1,
2, 3, 4, 5}.
В множества истинности предикатов р(х) и q (х) войдут значения х из множества
Х, при которых предикаты обращаются в истинное высказывания.
Значит, Т р (х) = {–3; 0; 3}, Т q (х)= {-4, -2, 0, 2, 4}.
Для нахождения множества истинности составных предикатов воспользуемся
соответствующими теоремами.
2) Т р (х) Λ q(х) = Т р (х) ∩ Т q (х) ={-3; 0; 3}∩{-4,-2,0,2,4}={0},
р (х) Λ q (х): «число х делится на 3 и на 2»
3).Т р (х) v q(х) = Т р (х) UТ q (х)={-4, -2, 0, 2, 4, -3, 3}
р (х) v q(х): «число х делится на 3 или на 2».
_
4). Т р (х) → q(х) = Т р (х) U Т q (х)
__
Т р (х) ={-3; 0, 3}, Т р (х) = Х \ Т р (х)= {-5, -4, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5}, тогда
Т р (х) → q(х) = {-5, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 5} U { -4, -2, 0, 2, 4} =
{-5, -4, -2, -1, 0, 1, 2, 4, 5} р (х) → q(х): «если число х делится на 3, то оно
делится на 2»
__
__
5). Т q (х) → р(х) = Т q (х) U Т р (х). Т q (х) = {-4, -2, 0, 2, 4}, Т q (х) = Х \ Т q (х) =
{-5, -3, -1, 1, 3, 5}.
Т q (х) → р(х) = {-5, -3, -1, 1, 3, 5} U {-3, 0, 3}={-5, -3, -1, 0, 1, 3, 5}
q (х) → р(х): «если число х делится на 2, то оно делится на 3»
6). Т р (х) ↔ q(х) = Т р (х) → q(х) ∩ Т q (х) → р(х)
Т р (х) ↔ q(х) = {-5, -4, -2, -1, 0, 1, 2, 4, 5} ∩ {-5, -3, -1, 0, 1, 3, 5}={-5, -1, 0, 1, 5}
р (х) ↔ q(х): «число х делится на 3 тогда и только тогда, когда оно
делится на 2»
Задача 5. Проверить находятся ли предикаты р(х) и q(х) в отношении
логического следования. Если предикаты находятся в отношении логического
следования, то сформулировать полученное высказывание разными способами.
а) р(х): «фигура х – ромб»
q(х): «фигура х – квадрат»
б) р(х): « х² + 2х =0, х є R»,
q(х): «х> -3, х є R».
Решение.
а) Найдём множества истинности предикатов и установим отношение между ними.
Т р (х) = А – ромбы;
Т q (х) = В – квадраты
Известно, в любом квадрате все стороны равны, значит, все квадраты – ромбы.
Но есть ромбы ( без прямых углов), которые не будут квадратами, поэтому
Т q (х)
Т р (х). Из этого следует, что q (х)├ р (х), т.е. из того, что х-квадрат,
логически следует, что х- ромб, (1). Полученное предложение можно
сформулировать иначе.
2. Если фигура квадрат, то она ромб.
3. Все квадраты ромбы.
4. Быть квадратом достаточно для того, чтобы быть ромбом.
5. Быть ромбом необходимо для того, чтобы быть квадратом.
6.Для того, чтобы фигура была квадратом, необходимо чтобы она была ромбом.
7.Для того, чтобы фигура была ромбом, достаточно, чтобы она была квадратом.
б) Т р (х) = {0; -2}, т.к. x²+2х=0, х(х+2)=0 → х =0, х=-2.
Т q (х) = (-3; ∞ ). Нетрудно, увидеть, что Т р (х)
Т q (х), значит, из предиката р (х)
логически следует предикат q (х), или р (х) ├ q (х)
Формулировки: 1) Из того, что число х решение уравнения х²+2х=0, логически
следует, что число х решение неравенства х> -3.
2) Быть решением уравнения x²+2x=0 достаточно для того, чтобы быть решением
неравенства x>-3.
3)Для того, чтобы число х было решением уравнения х²+2х=0, необходимо чтобы
число x было решением неравенства.
4) Для того, чтобы число х было решением неравенства х >-3, достаточно, чтобы
число х было решением уравнения x²+2х=0.
Задача 6. Вместо многоточия вставить слова «необходимо», «достаточно»,
«необходимо и достаточно», чтобы полученное высказывание было истинным.
1) Для того, чтобы элемент х не принадлежал объединению множеств А и В,
…, чтобы он не принадлежал множеству А.
2) Для того, чтобы конъюнкция двух высказываний была истинной, …, чтобы
первое высказывание было истинным.
Указание к решению. Существуют разные способы обоснования решения задачи.
Первый способ
1) Выделить из данного предложения два предиката р(х) и q (х). По структуре
предложения нужно исследовать предикат, который записан после
многоточия. Пусть это предикат q (х).
2) Найти множества истинности предикатов Тр(х) и
Тq(х), определить
отношение между ними. Если Тр(х) є Тq(х), тогда р (х)├ q (х) и q (х)необходимое условие для р(х). Вместо многоточия нужно вставить слово
«необходимо».
Если Т q (х)
Т р (х), тогда q (х)├ р (х) и q (х)- достаточное условие для
р(х). Вместо многоточия нужно вставить слово «достаточно».
Если Тр(х) = Тq(х), тогда вместо многоточия нужно вставить слова
«необходимо и достаточно».
Второй способ.
1) Выделить из данного предложения два предиката р (х) и q (х). По структуре
предложения нужно исследовать предикат, который записан после
многоточия. Пусть это будет предикат q (х).
2) Исследуем q (х) на достаточность. Для этого составим импликацию, в
которой q (х) будет условием, т.е. (х) (q (х)→р(х)) (1). Найдём значение
истинности высказывания (1) . Если высказывание (1) истинное, то q (х) –
достаточное условие. Вместо многоточия вставим слово «достаточно». Если
высказывание (1) ложное, то q (х) не будет достаточным условием.
3) Исследуем q (х) на необходимость Для этого составим импликацию, в
которой q (х) будет заключением, т.е. (х) (р (х)→ q (х)) (2). Найдём
значение истинности высказывания (2). Если высказывание (2) истинное, то
q (х) – необходимое условие. Вместо многоточия вставим слово
«необходимо».
Если высказывание (2) ложное, то q (х) не будет
необходимым условием.
4) Если оба высказывания (1) и (2) истинные, то q (х) будет достаточным и
необходимым условием. Вместо многоточия вставим слова «достаточно и
необходимо».
5) Если оба высказывания (1) и (2) ложные, то q (х) не будет ни достаточным,
ни необходимым условием. Вместо многоточия нельзя вставить ни одно из
указанных слов.
1. Выделим два предиката: р(х): «х ∉ АUВ»
q(х) : «х ∉А»
Исследуем предикат q(х), который в предложении записан после многоточия.
Рассмотрим множества истинности предикатов р(х) и q(х). Воспользуемся
диаграммой Эйлера: Тр(х) ///, Т q(х) |||
Тр(х) ///
Т q(х) |||
Рис. 9
Сравнивая множества, получаем, что Тр(х)
Т q(х), значит, р (х)├ q (х).
Из последнего предложения q (х) необходимое условие для р(х).
Ответ: для того, чтобы элемент принадлежал объединению множеств А и В,
необходимо, чтобы он не принадлежал множеству А.
Второй способ решения.
а) Исследуем q (х) на достаточность. Для этого составим высказывание
(х) (q (х)→ р (х) и определим его значение истинности. Получим: для любого
элемента х, если х ¢ А, то х ¢ АUВ. Это высказывание ложное, т.к. существует
элемент х, который не принадлежит множеству А, но он принадлежит
объединению, т. к. х є В.
M
Рис. 10
Вывод: q (х) не является достаточным условием для р(х).
б) Исследуем q (х) на необходимость. Для этого сформулируем высказывание
(Vх) (р (х)→ q (х). Получим: для любого элемента х , если х не принадлежит
объединению множеств А и В, то он не принадлежит множеству А.
M
Рис.11
Это высказывание истинное, все элементы, которые не принадлежат объединению,
не ринадлежат ни одному из множеств.
Ответ: q(х) – необходимое условие. Значит, нужно вставить слово необходимо.
2. В предложении можно выделить два предиката:
р(х;у): «конъюнкция высказываний х и у истинная», q(х): «высказывания х
истинное»
По структуре предложения нужно определить, каким условием будет условие q(х)
для условия р (х; у).
а) Проверим условие q(х) на достаточность для р (х;у). Сформулируем
высказывание (х) (у)( q(х) )→р (х; у)) Получаем: «для любых высказываний х и
у, если высказывание х истинное, то конъюнкция высказываний х и у истинная».
Это высказывание ложно. Чтобы в этом убедиться нужно посмотреть на таблицу
истинности конъюнкции высказываний ( вторая строчка)
х
и
и
л
л
у
и
л
и
л
хΛу
и
л
л
л
Таким образом, условие q(х) не является достаточным условием для р (х,у).
б) Проверим условие q(х) на необходимость на р (х;у).
Сформулируем высказывание (х) (у)(р (х;у) → q(х)): «для любых высказываний
х и у, если конъюнкция высказываний х и у истинная ,то высказывание х
истинное». Это высказывание истинное. Чтобы в этом убедиться нужно обратиться
к таблице истинности конъюнкции. Первая строка: х Λ у=и→х ≡ и у≡и.
Вывод: q(х) – необходимо условие
Ответ: для того, чтобы конъюнкция двух высказываний была истинной,
необходимо, чтобы первое высказывание было истинным.
Задача 7. Проверить, будет ли рассуждение правильным.
1. Любое натуральное число х, если оно делится на 4, то оно делится на 2. Число
36 делится на 4, следовательно, число 36 делится на 2.
2. Любое натуральное число х, если оно делится на 4, то оно делится на 2. Число
14 делится на 2, следовательно, число 14 делится на 4.
3. Все квадраты –ромбы, фигура х=АВСД не ромб, следовательно, фигура АВСД –
не квадрат.
4. Любой квадрат – ромб, фигура АВСД не квадрат, следовательно, фигура АВСД
не ромб.
Решение.
1. Общая посылка (х єN) (х 4→х 2), где р(х): «х 4», q(х): «х 2».
Частная посылка 36 4 или р (36).
Вывод: 36:2 или q (36)
Данное рассуждение проведено по схеме (х єN) (р(х) → q(х), р (36)
q (36)
Полученная схема рассуждения совпадает с правилом заключения, значит, оно
правильное.
Сделаем проверку на кругах Эйлера.
Общая посылка (хєN)(р(х) → q(х))-истинное высказывание, значит, имеет
место логическое следование р (х)├ q (х) и Тр (х) Тq (х) (1)
Тq(х)
36
Тр(х
)
Рис.12
Частная посылка р (36) – И, поэтому 36 є Т р(х) (2)
Из (1) и (2) следует, что 36 є Тq(х), значит, q(36) – истинное высказывание
2. Общая посылка (х єN) (р(х) → q(х)), где р(х): “ х 4”, q(х): «х 2».
Частная посылка 14:2 или q(4).
Вывод: 14:4 или р(14)
Данное рассуждение проведено по схеме (х єN) (р(х) → q(х), q(14)
Р(14)
Полученная схема не совпадает ни с одним правилом. Более того р(14): «14:4»
–ложное высказывание.
Сделаем проверку на кругах Эйлера. Общая посылка (х єN) (р(х) → q(х)истинное высказывание, значит, имеет место логическое следование
р (х)├ q (х) и Т р (х) Т q (х) (1) Частная посылка q (14) истинная, поэтому
14 є Т q (х) (2)
Тq(х)
Тр(х)
14
14
Рис.13
Из (1) и (2) следует, что могут быть 2 случая:
а) 14 є Т р (х) и тогда заключение р (14) – истинное высказывание,
б) 14 ¢ Т р(х) и тогда заключение р (14) – ложное высказывание.
Таким образом, рассуждение по схеме (х ) (р(х) → q(х),) q(а)
р(а)
- не является
правильным.
3. Если ввести предикаты р(х): «х – квадрат», q(х): «х-ромб», то общая посылка
имеет структуру (х ) (р(х) → q(х)).
______
Частная посылка: АВСД не ромб или q (АВСД).
______
Вывод: АВСД не квадрат или р (АВСД).
______
Данное рассуждение проведено по схеме (х ) (р(х) → q(х)), q (АВСД)
р(АВСД)
Полученная схема совпадает с правилом отрицания.
Сделаем проверку на кругах Эйлера.
Общая посылка (х) ) (р(х) → р(х) - истинное высказывание, значит, имеет
место логическое следование р(х)├. q(х) и Т р (х) Т q (х) (1) Частная посылка
________
q(АВСД) – истинное высказывание, q (АВСД) – ложное;
поэтому х= АВСД ¢ Тq (х) . (2)
Из (1) и (2) следует, что х=АВСД ¢ Т р (х), поэтому р(АВСД) –ложное
_______
высказывание, значит, его отрицание р (АВСД) будет стинным высказывание.
Тq(х)
Тр(х)
(х)=ABCD
Рис. 14
Рассуждение по этой схеме правильное.
4. Общая посылка осталось такой же, как в задаче 3. ________
Частная посылка: АВСД – не квадрат или р (АВСД).
_____
Вывод: АВСД- не ромб или q(АВСД.
_______
Данное рассуждение проведено по схеме (х ) (р(х) → q(х)), р (АВСД)
________
q (АВСД)
Полученная схема не совпадает ни с одним из правил.
Проверим будет ли рассуждение правильным, используем для этого круги
Эйлера.
Общая посылка (х )(р(х) → q(х) –истинное высказывание, значит, имеет
место логическое следование р (х)├ q (х) и Т р (х) Т q (х) (1)
_________
Частная посылка р (АВСД) – истинное высказывание, р(АВСД) –ложное,
поэтому х=АВСД Тq (х) (2)
Из (1) и (2) следует, что могут быть два случая:
а) х=АВСД є Тq (х), значит q (АВСД) – истинное высказывание, поэтому его
________
отрицание q (АВСД) – ложное.
б) х= АВСД
Тq(х), значит, q ( АВСД ) – ложное высказывание, тогда его
_________
отрицание, q ( АВСД ) – истинное.
Получим, что вывод может быть истинным, но может быть и ложным.
Рассуждение по этой схеме не является правильным.
Задача 8. Для данной теоремы «Все прямоугольники-параллелограммы»
сформулируйте предложение: обратное, противоположное и обратное
противоположному, и определите будут ли эти предложения теоремами.
Решение
1. Выделим в теореме условие и заключение и запишем в виде условного
предложения
Условие р(х), р(х): «х-прямоугольник»
Заключение q (х), q (х): «х-параллелограмм»
(х ) р (х) → q(х).
2. Запишем предложение, обратное данному (х ) ( q (х) → р (х). Читается:
«Для любого х, если х-параллелограмм, то х –прямоугольник».
Высказывание ложное, т.к. можно указать параллелограмм который не
является прямоугольником (нет прямых углов). Предложение не будет
теоремой.
3. Известно, что обратная импликация q(х). → р(х) равносильна импликации
___
____
противоположной данной р(х) → q(х), поэтому последняя также не будет
теоремой, т.к. это утверждение будет ложным.
___
___
(х ) ( р (х) → q (х) читается: «Для любого х, если х-не прямоугольник, то х- не
параллелограмм».
Возьмем фигуру не прямоугольник, например, ромб, но « ромб - не
параллелограмм» – это высказывание ложное.
____
_____
4. Составим предложение противоположное обратному: (х ) (q (х) → ( р (х) ).
Читается: «Для любого х, если х не параллелограмм, то х не прямоугольник».
Высказывание истинное, т.к. оно равносильно данной теореме. Предложение
противоположное обратному будет теоремой.
§ 2. Задания для самостоятельной работы.
1. Задачи для контрольной работы № 1 по разделу «Элементы теории множеств»
В задачах 1-10 множества заданы характеристическими свойствами. Задайте
указанные множества перечислением элементов, если это возможно.
1. а) {x | x є N и - 2<x≤5},
б) {x | x є Z и |x | < 3},
в) {x | x є N и 2x²+5х-3=0}.
2. а) {x | x є Q и 3x²=9},
б) {x | x є Z и х – 3= (х + 2) : 4х},
в) {x | x є N0 и -3≤x<1}.
3. а) {x | x є Z и |x | = 4},
б) {x | x є N и -5 < х ≤ -2},
в) {x | x є Q и х² + 3х – 4=0}.
4. а) {x | x є Z+ и -2≤х<3},
б) {x | x є N и (5х+6) (х – 4) ≤0},
в) {у | у є Nо и |х| = 7}.
5. а) {x | x є N и |х| ≤ 5},
б) {x | x є Z и 2х-3=5х+7},
в) {x | x є N и -1≤х≤3}.
6. а) {х | х є Nо и х≤4},
б) {x | x є Z и (х+1) (х+3) <0},
в) {x | x є N и |х| = 5}.
7. а) {у | у є Nо и –3≤у≤2},
б) {у | у є Z и |у | <3},
в) {у | у є N и 3у² +5у-2=0}.
8. а) {x | x є Z и |x | ≤6},
б) {x | x є Nо и (х+1) (2х+5) <0},
в) {x | x є N и -7≤х≤4}.
9. а) {у | у є N и 3= (5у+2)у},
б) {у | у є Z и |у | <2},
в) {у | у є Nо и –5≤ у <4}.
10. а) {х | х є R и –1≤ х <3},
б) {x | x є Nо и |х| ≤ 3},
в) {х | х є N и 4х² +4х -3=0}.
В задачах 11-20 установите, в каком отношении находятся множества А,В,С и
изобразите их на кругах Эйлера.
11. А= {x| xє N и x< 200}, В = { x| x є N и x< 100},
С = {x| xє N и x 5},
12. А = {x| xє N и х 20},
В = {x| xє N и x 5},
С = {x| xє N и x>40}
13. А = {x| xє N и x 2},
В = {x| xє N и x 5},
С = {x| xє N и x 20}.
14. А= {x| xє N и x 4},
В = {x| xє N и x> 200},
С = {x| xє N и x< 100}
15. А = {x| xє N и x 8},
В = {x| xє N и x 6},
С = {x| xє N и x 2}.
16. А = { x| x є N и x< 100},
В={x| xє N и x 10},
С = { x| x є N и х - трехзначное число}.
17. А = {x| xє N и x 5},
В = {x| xє N и x 2},
С = {x| xє N и x< 1000}.
18. А= { x| x є N и х - двузначное число}, В= { x| x є N и x< 100},
В ={x| xє N и x 5}.
19. А = { x| x є N и x< 200}, В= { x| x є N и х - трехзначное число},
С = {x| xє N и x 6}.
20. А = { x| x є N и x< 98}, В= { x| x є N и х - двузначное число},
С = {x| xє N и x 7}.
В задачах 21-30 на кругах Эйлера изобразить множество Х и сформулировать его
характеристическое свойство. (Универсальное множество
М – множество
геометрических фигур на плоскости).
Указание. Нужно записать определения и основные свойства геометрических
фигур, о которых речь идёт в задачах 21 – 30.
21. х=(ВUС)\А, если А–множество равнобедренных треугольников, В-множество
равносторонних треугольников, С-множество прямоугольных треугольников.
22. X=(А\В)∩С, если А-множество равнобедренных треугольников, В-множество
равносторонних треугольников, С-множество прямоугольных треугольников.
23. X=А∩(В\С), если А-множество квадратов, В-множество трапеций, Смножество ромбов.
24. X=Ă∩(С\В), если А-множество треугольников плоскости. В-множество
правильных многоугольников плоскости, С-множество четырёхугольников
плоскости.
25. X=С \ (АUВ), если А-множество трапеций плоскости, В-множество ромбов,
С-множество прямоугольников.
26. X=(А\В)∩С, если А-множество параллелограммов плоскости, В-множество
ромбов плоскости, С-множество прямоугольников плоскости.
27. X=(А\С)∩В, если А-множество четырёхугольников плоскости с равными
диагоналями. В-множество параллелограммов плоскости, С-множество
ромбов.
28. X=(С\В)∩Ă, если А-множество прямоугольников плоскости, В-множество
четырёхугольников плоскости с равными диагоналями, С-множество
трапеций плоскости.
29. X=(А\В)∩С, если А-множество трапеций плоскости, В-множество
правильных многоугольников плоскости, С-множество треугольников
плоскости.
30. X=(АUВ)∩С, если А-множество треугольников плоскости, В-множество
квадратов плоскости, С-множество многоугольников плоскости, имеющих
хотя бы один прямой угол.
В задачах 31-40 заданы три множества характеристическими свойствами.
Нужно 1) определить принадлежит ли некоторый объект указанному множеству.
Ответ необходимо обосновать. 2) проверить правильность ответа на кругах Эйлера.
В качестве универсального рассматривать множество натуральных чисел N.
31. А = {x є N и x 3}, В = { x| x є N и x-чётное},
С = { x є N и x 5}.
Какие из чисел 14; 20; 30 принадлежат множеству Д=АU(В∩С)?
32. А= { x| x є N и х - трёхзначное число}, В= { x| x є N и x 3},
С= { x| x є N и x 4}.
Какие из чисел 224; 215; 42 принадлежат множеству Д=А\ (ВUС)?
33. А= { x| x є N и х - чётное число}, В= { x| x є N и x-двузначное число},
С= { x| x є N и х – оканчивается цифрой 8}.
Какие из чисел 45; 108; 312 принадлежат множеству Д=(АUВ) \ С?
34. А = { x| x є N и x 4}, В = { x| x є N и x 8},
С = { x| x є N и x 5}.
Какие из чисел 12; 20; 24 принадлежат множеству Д=(А\ В) ∩С?
35. А= { xє N и x>17}, В= {x| xє N и x-чётное},
С= { xє N и x 3}.
Какие из чисел 15; 9; 27 принадлежат множеству Д=(С∩В) \А?
36. А = { x| x є N и x 5}, В = { x| x є N и x:7},
С = {x| xє N и x>29}.
Какие из чисел 15; 35; 42 принадлежат множеству Д=(А\ В) \ С?
37. А = {x є N и x-трёхзначное число}, В = { x| x є N и x 6},
С = {x| xє N и x:3}.
Какие из чисел 314; 96; 27 принадлежат множеству Д=(АUВ) \ С?
38. А = { x| x є N и x< 200}, В = { x| x є N и x > 150},
С = {x| xє N и x 6}.
Какие из чисел 201; 168; 154 принадлежат множеству Д=(В\А) UС?
39. А = { x| x є N и x 20}, В = { x| x є N и x 4},
С = {x| xє N и x>40}.
Какие из чисел 60; 70; 80 принадлежат множеству Д=(А∩С) UВ?
40. А = { x| x є N и x-трёхзначное}, В = { x| x є N и x 3},
С= { x| x є N и x < 200}
Какие из чисел 348; 244; 105 принадлежат множеству Д=А∩ (В\С)?
В задачах 41-50 даны множества А,В,С. Нужно отметить на числовой прямой
множество X и сформулировать характеристическое свойство его элементов.
41. а) X = ( А\В) ∩С, б) X =АU(В∩С), в) х =(В\С) \ А,
если А =[ 1; 5], В = ( -3; 4), С= [ 2; 6].
42. а) X =(А∩В) \ С,
б) X= А∩ (ВUС), в) X= (С\А) \ В,
если А = ( -3; 4), В = [ -2; 5],
С = [ 4; 6].
43. а) X = =(АUВ) ∩С, б) X =АU (=(В\С), в) X=(В\А) ∩С,
если А = [ 2; 5], В = [ -1; 3),
С = ( -3; 0].
44. а) X = (А∩С) АU, б) X = А\ (В∩С), в) X= (АUС) \ В,
если А = [ 1; 4], В = [ -1; 2],
С = [ 0; 4].
45. а) X=А\ (В∩С),
б) X=В∩ (АUС), в) X=А \ (В \ С),
если А = [ -3; 2), В = [ -1; 3),
С = ( 0; 4).
46. а) X=А\ (ВUС),
б) X=В∩ (АUС), в) X= (С \ В) \ А,
если А = [ -2; 0], В = [ 2; 4],
С = [ -1; 3].
47. а) X = ( А\В) ∩С, б) X =(АUВ) \ С, в) X=(С∩В) \ А,
если А = [ -2; 5), В = [ -1; 6),
С = [-2, 2).
48. а) X=(А \ В) ∩С,
б) X=(АUВ) \ С, в) X=(С \ А) UВ,
если А = [ -3; 2], В = (1; 3),
С = [0; 4).
49. а) X=А∩ (В\ С),
б) X=АU (С\ В), в) X= А∩ (СU В),
если А = [ -2; 1], В = (-∞; 3],
С = [ 2; 4].
50. а) X= С \ (АU В), б) X=(В∩А)UС, в) X=( В\С) ∩А,
если А= [ 2; ∞),
В = [ -1; 3],
С = [ -2; 2].
В задачах 51-60 нужно доказать равенство множеств на основе соответствующих
определений теории множеств. Предварительно проверить истинность равенства на
кругах Эйлера, считая, что А∩В∩С≠Ø.
51. С \ (АU В)= (С \ А) ∩ (С \ В).
52. (АU В) \ С=(А \ С) U (В \ С).
53. (С∩В) \ А=(С \ А) ∩ (В \ А).
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
(А \ В) ∩ С= (А∩С) \ (В∩С).
В \ (А \ С)= (В \ А) U (В∩С).
В \ (А U С)= (В \ А) ∩ (В\ С).
(А U С) \ В=(А\ В) U (С\ В).
(А∩С) \ В=(А\ В) ∩ (С\ В).
(А \ С) ∩ В=(А∩ В) \ (С∩ В).
В\ (А∩ С)= (В \ А) U (В \ С).
В задачах 61-70 выяснить, в каком отношении находятся множества X и Y.
61. X= Ах (В U С) ,
Y = ( А х В ) U ( А х С ), если
А = { а, в },
В = {c, d, k}
С ={с, f, m}.
62. X= Ах (В∩ С),
Y= ( А х В ) ∩ ( А х С ), если
А = { а, в, с },
В = {d, m, n }, С = { k, m, n}
63. X= А х ( В\ С),
Y= ( А х В ) \ ( А х С ), если
А = { а, в, с },
В = {d, m, n }, С = {е, k, n}.
64. X= (АU В) х С,
Y= ( А х С ) U ( В х С ),
если А = { а, в, с}, В = { с, d , k, }, С = { f, е}.
65. X= (А∩ В) х С,
Y= ( А х С ) ∩ ( В х С ),
если А ={ а, в, с}, В ={ а, е, с}, С = { f, d , k, }.
66. X=( А\ В) х С,
Y= ( А х С ) \ (В х С),
если А ={ а, в, с}, В = {c, d, k}, С = { m, n, f}
67. X= В х (АU С),
у = (В х А ) U ( В х С ),
если А ={ m, n, р}, В = { d , k, f }, С ={ а, в }.
68. X= В х= (А∩ С), Y= (В х А ) ∩ ( В х С ),
если А = { е, f, k }, В ={ а, в, с, d}, С = { е, f}
69. X= В х ( А \ С ),
Y= ( В х А ) \ (В х С ) , если
А = { m, n, k },
В ={ а, в, с, d}, С = {m,a,в}
70. X= ( А UС) х В,
Y= ( А х В ) U ( С х В ), если
А ={ а, в, с, d},
В ={ k, f}, С ={ m, n, с, d}
В задачах 71-80 даны множества А и В. Сформулировать характеристическое
свойство декартова произведения Ах В, затем изобразить декартовые произведения
на координатной плоскости, сделав для каждого отдельный чертеж.
71. а) А = {х|х є N и х < 5};
В = { у|у є Z и - 1 ≤ у ≤ 4},
б) А = {х|х є R и х < 5};
В = { у|у є R и - 1 ≤ у ≤ 4}.
72. а) А = {х|х є Z и |х| =2};
В = { у|у є N и у < 6},
б) А = {х|х є R и |х| =2};
В = { у|у є R и у < 6}.
73. а) А = {х|х є Z и |х|< 3 ;
В = { у|у є N и у < 5},
б) А = {х|х є R и |х|< 3 ;
В = { у|у є R и у < 5}.
74. а) А = {х|х є N и х < 5};
В = { у|у є Z и у ≤ 2},
б) А = {х|х є R и х < 5};
В = { у|у є R и у ≤ 2}.
75. а) А = {х|х є Z и |х| < 5};
В = { у|у є N и у < 4}.
б) А = {х|х є R и |х| < 5};
В = { у|у є R и у < 4}.
76. а) А = {х|х є N и 3 ≤ х < 6}; В = { у|у є R и |у |< 5}
б) А = {х|х є R и 3 ≤ х < 6}; В = { у|у є R и |у |< 5}
77. а) А = {х|х є Z и -2 <х <7}; В = { у|у є N и у < 4},
б) А = {х|х є R и -2 <х <7}; В = { у|у є R и у < 4}
78. а) А = {х|х є N и |х| =5};
В = { у|у є Z и -7 ≤ у ≤ 1},
б) А = {х|х є R и |х| =5};
В = { у|у є R и - 7 ≤ у ≤ 1}
79. а) А = {х|х є N и |х| =4};
В = { у|у є Z и - 3 <у<2}
б) А = {х|х є R и |х| =4};
В = { у|у є R и - 3 <у<2}.
80. а ) А = {х|х є N и |х| < 3};
б) А = {х|х є R и |х| < 3};
В ={ у|у є Z и -4 ≤ у ≤ 2},
В ={ у|у є R и -4 ≤ у ≤ 2}.
В задачах 81-90 нужно
1) определить, сколько свойств задано для элементов множества;
2) выяснить, в каких отношениях находятся между собой подмножества,
выделяемые этими свойствами;
3) изобразить с помощью кругов Эйлера диаграмму, соответствующую условию
задачи ;
4) определить, на сколько классов разбилось рассматриваемое множество и
сформулировать характеристическое свойство элементов каждого класса;
5) составить краткую запись условия задачи;
6) привести обоснованное решение задачи.
81. Известно, что из 100 чисел 50 делятся на 5, 75 чисел делятся на 3,10 чисел не
делятся ни на 5, ни на 3. Сколько среди этих чисел, таких которые делятся на 15?
82. Из 120 чисел 70 делятся на 9, 80 являются четными, а 15 нечетных чисел не
делятся на 9. Сколько среди этих чисел таких, которые делятся на 18?
83. Из 120 чисел 55 делятся на 3, 50 чисел делятся на 4, 20 чисел не делятся ни на 3,
ни на 4. Сколько среди этих чисел таких, которые делятся на 12?
84. Из 100 чисел 30 делятся на 5, 60 чисел делятся на 6,20 чисел не делятся ни на 5,
ни на 6. Сколько среди этих чисел таких, которые делятся на 30?
85. Из 180 чисел 100 делятся на 4, 70 чисел делятся на 7,80 чисел не делятся ни на
4, ни на 7. Сколько среди этих чисел таких, которые делятся на 28?
86. Из 120 чисел 70 делятся на 4, 60 чисел делятся на 5,20 чисел не делятся ни на 4,
ни на 5. Сколько среди этих чисел таких, которые делятся на 20?
87. Из 125 чисел 60 делятся на 5, 70 чисел делятся на 7,10 чисел не делятся ни на 5,
ни на 7. Сколько среди этих чисел таких, которые делятся на 35?
88. Из 120 чисел 50 делятся на 3, 70 чисел делятся на 8,20 чисел не делятся ни на 3,
ни на 8. Сколько среди этих чисел таких, которые делятся на 24?
89. Из 100 чисел 25 делятся на 7, 35 чисел делятся на 2,50 чисел не делятся ни на 7,
ни на 2. Сколько среди этих чисел таких, которые делятся на 14?
90. Из 100 чисел 40 делятся на 4, 50 чисел делятся на 9,30 чисел не делятся ни на 4,
ни на 9. Сколько среди этих чисел таких, которые делятся на 36?
2. Вопросы и задачи к зачету №1 по разделу «Элементы математической
логики».
При подготовке к зачету нужно ответить на все вопросы и решить не менее двух
задач из каждого задания 1-8.
На зачет принести тетрадь с решенными задачами и ответами на вопросы.
Вопросы по теории.
1. Как образуются составные высказывания? Назовите составные высказывания.
2. Назовите значения истинности высказываний p v q, р Λ q , р → q , р ↔ q, р.
3. Какие высказывания называются равносильными? Как доказывают
равносильность высказываний?
4. Какое математическое предложение называют предикатом? Что такое область
определения предиката? Что такое множество истинности предиката?
5. Сформулируйте теоремы о нахождении множества истинности дизъюнкции,
конъюнкции, импликации двух предикатов, отрицания предиката.
6. Что обозначают слова: квантор, квантор общности, квантор существования?
7. Назовите условие, при котором два предиката находятся в отношении
логического следования.
8. Пусть дана теорема (Vх) (р(х)→ g(х)), запишите на языке математических
символов предложение, обратное данному, противоположное данному,
обратное противоположному. Какие из них будут теоремами?
9. Какое условие называется достаточным, какое необходимым, какое
необходимым и достаточным?
10. Приведите примеры рассуждения по правилу заключения, по правилу
отрицания, по правилу силлогизма.
Задача 1. Из простых высказываний
р : «7 – простое число»,
q : « 7 – делитель 15»,
ч : « 7 больше 15»,
t : « 7 делится на 4
образованы составные высказывания. Сформулируйте составные высказывания и
определите их значение истинности.
_____
_
а) ( р Λ q ) → t,
б) ( р v ч ) → q,
_
__________
в) р ↔ ч,
г) ( q Λ ч ) → р
д) (t→ р) Λ (q→ р)
Задача 2. Определите структуру высказывания и запишите формулу высказывания,
используя символику математической логики, найдите значение истинности
высказывания.
1. 15 делится на 5 и не делится на 4, тогда и только тогда, когда 15 –непростое или
15=5·2.
2. Если15 делится на 5 или на 4, то неверно, что 15 – простое число и 15=5·2.
3. 15 делится на 4 и неверно, что 15 – простое число или 15 делится на 5.
4. Если 15 не делится на 4, то 15=5·2 и 15 делится на 5.
5. Неверно, что если 15 делится на 5 или 15 –простое число, то 15=5·2.
Задача 3. Составьте таблицу истинности высказывания, заданного формулой.
Привести пример трех конкретных высказываний р, q, ч, так, чтобы данное
высказывание было истинным.
__
1. (р ↔ q) Λ (q v ч);
_
_
2. (р Λ q) → (q v ч);
_
_
3. (р Λ q) ↔ (р v ч);
_
_
4. ч ↔ (р Λ q);
______________
5. ( q v ч) →(р Λ q).
Задача 4. Проверить, имеет ли место
а) левый дистрибутивный закон дизъюнкции относительно импликации.
б) левый дистрибутивный закон дизъюнкции относительно эквиваленции.
в) правый дистрибутивный закон конъюнкции относительно импликации.
г) правый дистрибутивный закон конъюнкции относительно эквиваленции
д) левый дистрибутивный закон импликации относительно дизъюнкции
Задача 5. На множестве х={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} заданы предикаты р(х) и q (х)
1. р(х): «2х+3<5» и q (х): «х²+3х=0»
2. р(х): «х+2>0» и q (х): «2х+1>5»
3. р (х): «х²+4х=0» и q (х): «х делится на 4»
4. р(х): «х+2>0» и q (х): «(х-3)(х-4)=0»
5. р(х): «4х-7≥5» и q (х): «2х-3>1»
а) сформулировать предикаты и найти множества истинности предикатов
р(х) v q (х), р(х) Λ q (х), р(х) → q (х), q (х) → р(х), р(х) → q (х), q (х) → р(х)
б) укажите, где возможно, какой из предикатов логически следует из другого.
в) сформулируйте предложение, полученное в пункте б) в виде импликации,
используя термины «необходимое условие», «достаточное условие».
Задача 6 Данные предикаты обратить в высказывание, используя кванторы,
определить их значения истинности. Сформулировать отрицание этих
высказываний разными способами.
1.
2.
3.
4.
5.
р(х): «х:4», если x є N
р(х): «четырёхугольник х-ромб»
р(х): «х-трёхзначное число»
р(х): «прямая х пересекает прямую у», если х,у – прямые на плоскости.
р(х): «х>10» на множестве натуральных чисел.
Задача 7. Вместо многоточия нужно вставить слова «необходимо», «достаточно»,
«необходимо и достаточно». Ответ обосновать.
1. Для того, чтобы число делилось на 8, …, чтобы оно делилось на 4.
2. Для того, чтобы число делилось на 3, …, чтобы оно делилось на 12
3. Для того, чтобы элемент принадлежал разности множеств А и В, …, чтобы
он принадлежал первому множеству А.
4. Для того, чтобы элемент принадлежал множеству В,…, чтобы он
принадлежал пересечению множеств А и В.
5. Для того, чтобы импликация двух высказываний была истинной, …, чтобы
второе высказывание было ложным.
6. Для того, чтобы конъюнкция двух высказываний была ложной,…, чтобы
первое высказывание было ложным.
Задача 8. Определить схему рассуждения и проверить, будет ли оно правильным.
Ответ обосновать.
1. Все числа, меньшие 20, меньше 40. 18 меньше 20. Следовательно, 18 меньше
40.
2. Все числа, меньшие 20, меньше 40. 38 меньше 40. Следовательно, 38 меньше
20.
3. Все студенты первого курса сдали экзамены.
Петров не сдал один экзамен. Следовательно, Петров не является студентом
первого курса.
4. Все числа, которые делятся на 9, делятся на 3. Число 15 не делится на 9.
Следовательно, 15 не делится на 3.
5. Все квадраты являются прямоугольниками, все прямоугольники не являются
трапециями. Следовательно, все квадраты не являются трапециями.
Межсессионное задание № 1
« Применение теории множеств логики в школьном курсе математики».
Какие понятия теории множеств встречаются в этих задачах? Решите эти
задачи, используя знания из теории множеств.
а) В вазу положили 5 яблок и 4 груши. Сколько всего фруктов положили в вазу?
б) У Коли 8 марок, 2 он подарил Пете. Сколько марок осталось у Коли?
II.
Из сборника Лаврова Н.Н., Стойлова Л.П. «Задачник – практикум по
математике» стр.73-95 решите указанные задачи и ответьте на поставленные
вопросы.
 № 365, 366, 394. Сформулируйте определение числового выражения и
значения числового выражения.
 № 370. Сформулируйте определение числового равенства.
 № 375. Сформулируйте свойства числовых равенств.
 № 376. Сформулируйте определение числового неравенства.
 № 381. Сформулируйте три свойства истинных числовых равенств.
 № 383. Назовите значения истинности дизъюнкции, конъюнкции двух
высказываний.
 № 399, 400. Какое высказывание называется составным?
 № 404, 407. Сформулируйте определение выражения с переменной,
области определения выражения с переменной.
 № 412, 425. Сформулируйте определение уравнения с одной переменной,
корня уравнения, множества решений уравнения, равносильных
уравнений.
 № 418, 419. Сформулируйте теоремы о равносильных уравнениях.
I.
III.
IV.
Сформулируйте определение неравенства с одной переменной, множества
решений неравенства, области определения неравенства, равносильных
неравенств. Приведите примеры этих понятий.
Как в логике можно определить систему уравнений (систему неравенств)
совокупность уравнений ( неравенств)? Как в теории множеств можно найти
множество решений системы уравнений (неравенств) ? Как можно найти
множество решений совокупности уравнений (неравенств)?
Указание 1. Решение заданий подробно описывается в отдельной тетради.
2.Отчет проводится по договоренности с преподавателем.
3.Оценка дифференцированная, будет учитываться на экзамене.
§ 3.
Изучение математики на II курсе.
В третьем семестре проводятся аудиторные занятия: 8 часов лекционных и 4часа
практических занятий.
Студенты изучают раздел 3 дисциплины «Элементы комбинаторики».
1. Основные требования к усвоению содержания раздела 3 «Элементы
комбинаторики».
Студент должен знать определение
 комбинаторной задачи,
 размещения с повторениями и без повторений,
 перестановоки без повторений и с повторениями,
 сочетания без повторений и с повторениями.
Студент должен знать формулировки произведения и правила суммы.
Студент должен знать формулы для подсчёта числа размещений, перестановок,
сочетаний.
Студент должен уметь
 привести примеры комбинаторных задач, в которых рассматриваются
различные соединения;
 решать простейшие комбинаторные задачи;
 установить важен или нет порядок элементов в составленном соединении;
 установить, можно ли решить эту задачу по правилу произведения.
2. Задачи к разделу 3 и указания к их решению.
При решении комбинаторных задач можно использовать такие советы:
 Укажите множество, из элементов которого составляют соединения или над
элементами этого множества выполняют действия, указанные в задача.
Обозначьте множество и укажите его численность. Например, М, m (М)=n.
 Установите численность составляемых соединений, пусть она равна к.
Запишите одно соединение, удовлетворяющее условию задачи.
Переставьте элементы в этом соединении, получите ещё одно соединение.
 Сравните первое и второе соединение: будут ли они одинаковыми (равными)
или они будут различными.
а) Если эти соединения равные (одинаковые), значит, порядок элементов в
соединении не имеет значения, поэтому такие соединения-подмножества, а в
комбинаторике их называют сочетания. Число сочетаний нужно находить по
формуле Сkn = Аkn
Рk ,
где n- численность данного множества, к-численность соединения.
б) Если эти соединения различные, значит порядок элементов в соединении
имеет значение, важен, поэтому такие соединения – кортежей длины к, а число
кортежи можно найти по правилу произведения.
 Если не знаете, как применить правило произведения, то можно определить, как
такие кортежи называются в комбинаторике, и применить соответствующую
формулу.
а) Если компоненты кортежа различные и к=n, тогда такие кортежи –
перестановки из n; их число равно Рn = n!
б) Если все компоненты кортежа различные и k<n, тогда такие кортежи –
размещения из n по k без повторений; их число равно
Аkn = n (n –1)·… ·(n-(к-1)).
в) Если среди компонент кортежа есть равные и k< n, тогда такие кортежи –
размещение из n по k с повторениями; их число равно Аkn n= n.
Задача 1. На плоскости даны 8 точек, из которых никакие три не лежат на одной
прямой. Сколько можно построить треугольников с вершинами в этих точках?
Решение
 Пусть М-множество точек плоскости, М={А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З}, m (М)=8.
 Чтобы построить треугольник нужно взять любые три точки (к=3) из
множества М, они будут вершинами треугольника
Выберем А, Б, Г. (Δ АБГ). Изменим порядок точек Г, А, Б (Δ ГАБ).
Получим тот же самый треугольник, т.е. порядок порядок точек в
соединении не имеет значения, поэтому такие соединения подмножества
или сочетания из 8 по3; С38 найду по формуле С38 = А3 = 8·7·6
Р8
1·2·3
Ответ: можно построить 56 треугольников.
Задача 2. В первом классе изучают 7 предметов. В понедельник будет 4 урока,
причём все они разные. Сколькими способами можно составить расписание на
понедельник?
Решение
Пусть М-множество предметов, которые изучают в первом классе, m (М)=7.
М={р. яз.; мат.; чтение; физ-ра; рисов.; пение; ин. яз.}
Чтобы составить расписание, нужно взять 4 предмета, например, р. яз;
мат.-ка; чтение; физ.-ра (1) к=4.
Изменим порядок предметов: мат.-ка; чтение; р. яз.; физ.-ра (2)
(1) и (2) разные расписания на понедельник, значит, порядок элементов в
соединении важен, поэтому каждое расписание-кортеже. Задачу можно
решить по правилу произведения. Найдём число способов выбора предмета
на каждый урок.
ч.сп. выб. предм. на первый урок равно 7,
ч.сп. выб. предм. на второй урок равно 6, т.к. предметы не повторяются
ч.сп. выб. предм. на третий урок равно5,
ч.сп. выб. предм. на четвёртый урок равно 4.
______________________________________________
ч.сп. выбора предметов на 1, 2, 3 и 4 уроки равно 7·6·5·4=840
Ответ: можно составить 840 расписаний.
Второй способ. Мы доказали, что расписание кортеж, компоненты различные, k< n
значит любое расписание размещение без повторений из 7 по 4; А найду по
формуле.
А47=7·6·5·4=840.
Задача 3 Сколько пятизначных чисел можно записать, используя цифры числа
12345?
Решение
М-множество цифр числа 12345, m ( М ) = 5, М = { 1,2,3,4,5}.
1. Любое число кортежа, поэтому задачу можно решать по правилу произведения.
2. Нужно записывать числа пятизначные, k=5, и m ( М ) = 5, поэтому пятизначные
числа-перестановки из 5 без повторений.
Р5 = 5 ! = 1· 2·3·4·5 = 120.
Ответ: можно записать 120 чисел.
Задача 4. Сколько пятибуквенных слов можно получить, переставляя буквы в слове
«шалаш»?
Решение
Слова пятибуквенные отличаются друг от друга порядком букв (1) ( n =5)
В слове «шалаш» буква «ш» встречается 2 раза, «а» – 2 раза, «л»- 1 раз, имеет
место равенство 2+2+1=5 ( 2)
Из условий (1) и (2) следует, что такие слова – перестановки с повторениями, Р
Их число найдем по формуле
Ответ: можно получить 30 слов.
Задача 5. В киоске имеется 8 видов открыток. Сколькими способами можно купить
10 открыток? 5 открыток? 5 открыток различных видов?
Решение
1) М – множество видов открыток, m (М)=8.
Нужно купить 10 открыток: порядок открыток в покупке не имеет значения (1).
10>8, значит, виды открыток в покупке будут повторяться (2). Из (1) и (2) следует,
что 10 открыток из 8 виды открыток – сочетания с повторениями из 8 по 10, их
число С найдём по формуле
8
Ответ: существует 19448 способов покупки 10 открыток.
2) Нужно купить 5 открыток: порядок открыток в покупке не имеет значения (1).
5<8, однако виды открыток могут повторяться (2)
Из (1) и (2) следует, что 5 открыток из 8 видов - сочетания с повторениями из 8
по 5, их число С8 найдём по формуле
Ответ: существует 792 способа покупки 5 открыток.
3).Нужно купить 5 открыток различных видов, значит, каждая покупка сочетания
из 8 по 5 без повторений.
Ответ: существует 56 способов покупки 5 открыток различного вида.
Задача 6. Из трёх инженеров и девяти экономистов составить комиссию в составе
7 человек. Сколькими способами может быть составлена комиссия, если в неё
должен входить хотя бы один инженер?
Решение:
В комиссии может быть: 1 инженер и 6 экономистов, или 2 инженера и 5
экономистов, или 3 инженера и 4 экономиста.
Рассмотрим каждый из возможных случаев.
а) Выбрать одного инженера из трёх можно тремя способами. Число способов
выбора 6 экономистов из 9 равно С69 (порядок выбора не важен).
Число способов выбора одного инженера и 6 экономистов по правилу
произведения равно 3· С69
б) Число способов выбора двух инженеров из трёх равно С23, а число способов
выбора 5 экономистов из 9 равно С69 (порядок выбора не важен).
Число способов выбора двух инженеров и 5 экономистов равно С23· С69 (по
правилу произведения).
в) Число способов выбора трёх инженеров из трёх данных равно 1, а число
способов выбора четырёх экономистов из девяти равно С69.
Число способов выбора трёх инженеров и 4 экономистов равно 1· С69.
Общее число способов выбора комиссии, в состав которой входят хотя бы
один инженер, по правилу суммы равно: 3· С69 + С29· С69. + 1· С69. = 756
Ответ: существует 756 способов выбора комиссии.
§ 4. Задания для самостаятельной работы.
Межсессионное задание № 2 по разделу «Элементы комбинаторики»
1. Из пяти различных игрушек в подарок нужно выбрать две игрушки. Сколькими
способами это можно сделать?
2. На прямой отметили 5 точек: А,В,С,D,Е, Сколько различных отрезков
определяют эти точки?
3. Сколько векторов определяют четыре точки А,В,С,Д, расположенные на
прямой?
4. Сколько трехзначных чисел можно записать эти числа, используя цифры 0,9?
5. В киоске 6 видов шаров: красные, желтые, зеленые, синие, голубые, розовые.
Сколькими способами можно купить 1) 4 шара разных цветов;
2) 8 шаров?
6. Сколько новых слов можно получить, переставляя буквы в слове 1) экран,
2)заказ?
7. Ребенок решил нарисовать горизонтальный узор из 2 белых, 3 красных и 4
зеленых кружков. Сколько всевозможных рисунков у него должно получиться?
8. Из семи различных нарциссов и пяти различных тюльпанов надо составить
букет такой, чтобы в него входили 3 нарцисса и 2 тюльпана. Сколькими
способами это можно сделать?
9. Могут ли 8 человек прибыть из пункта А в пункт С через пункт В различными
путями, если из А в В ведут 2 дороги, а из В в С – три дороги?
10. Из 20 студентов группы нужно выбрать старосту, его заместителя, профорга и
физорга. Сколькими способами это можно сделать?
11. Сколькими способами из 20 студентов выбрать четырех делегатов на
конференцию?
12. Сколько различных трехцветных флагов с тремя горизонтальными полосами
можно получить, если использовать материал трех цветов: красный, синий и
белый?
13. Четыре друга собрались на футбольный матч. Но им удалось купить только три
билета. Из скольких вариантов им надо выбрать тройку счастливцев?
14. Имеется ткань двух цветов: бежевая и коричневая; требуется поменять обивку
дивана, кресла и стула. Сколько существует различных вариантов обивки этой
мебели?
15. У мамы есть яблоки, груши, машина, смородина, крыжовник. Сколько
различных компотов она может приготовить на зиму, если для одного компота
брать по 3 разных компонента?
16. На кафедре 9 преподавателей. Сколькими способами можно составить
расписание консультаций на 9 дней, чтобы каждый преподаватель давал
консультацию за это время только один раз?
17. В спортобществе 10 сильных лыжников и 8 сильных лыжниц, Сколькими
способами можно сформировать команду из четырех лыжников и трех лыжниц?
18. Сколько трехзначных чисел, меньших 300 можно записать, используя цифры
0,1,2,3,4, и чтобы все цифры в числе были различными?
19. Сколько трехзначных четных чисел можно записать, используя цифры 0,1,2,3,4,
и чтобы все цифра в числе были различными?
20. Сколько всего чисел можно записать, используя цифры 0,1,2,3, и чтобы все
цифры в числе были различными?
Указание к выполнению межсессионного задания №2.
1. Нужно решить не менее 50% указанных задач.
2. Решение задач подробно описывается в отдельной тетради.
3. Собеседование по задачам проводится в часы консультаций. Оценка за работу
учитывается на экзамене.
Вопросы к экзамену по математике
по разделам «Множество и операции над ними», «Элементы математической
логики», «Комбинаторика».
I. Множества и операции над ними.
1. Понятие множества. Элемент множества. Способы задания множеств.
Изображение числовых множеств.
2. Отношения между двумя множествами: включение, равенство, пересечение.
Подмножество. Число подмножеств конечного множества. Круги Эйлера.
3. Объединение двух и более множеств. Определение и примеры. Иллюстрация на
кругах Эйлера. Свойства и законы операции объединения.
4. Определение и примеры пересечения двух и более множеств. Иллюстрация на
кругах Эйлера. Свойства и законы операции пересечение.
5. Определение и примеры разности множеств. Иллюстрация на кругах Эйлера.
Свойства операции вычитание.
6. Дополнение множества до универсального множества. Свойства дополнения, в
том числе два закона де Моргана.
7. Дистрибутивные законы пересечения относительно объединения двух
множеств, объединения относительно пересечения двух множеств, пересечения
относительно разности двух множеств. Формулировки и доказательство.
8. Число элементов объединения двух множеств, число элементов дополнения
подмножества, число элементов декартова произведения множеств.
Формулировки и доказательство.
9. Определение и примеры декартова произведения двух и более множеств.
Наглядное изображение декартова произведения. Свойства и законы операции
декартова произведения множеств.
10. Определение пары, тройки, кортежа длины к. Отличия пары от двух
элементного множества.
11. Определение разбиения множества на классы и примеры разбиения множеств
при помощи одного, двух, трех свойств.
II. Элементы математической логики
1. Определение и примеры высказывания. Простые и составные высказывания.
Значения истинности высказываний. Равносильные высказывания.
2. Определение и примеры дизъюнкции двух высказываний. Значения истинности
дизъюнкции. Законы операции.
3. Определение и примеры конъюнкции двух высказываний. Значения истинности
конъюнкции. Законы операции.
4. Определение и примеры импликации двух высказываний. Значение истинности
импликации. Виды импликаций.
5. Определение и примеры эквиваленции двух высказываний. Значение
истинности эквиваленции.
6. Определение и примеры предиката с одной или более переменными.
Множество определения и множество истинности предиката.
7. Определение и примеры дизъюнкции двух предикатов. Нахождение множества
истинности дизъюнкции двух предикатов.
8. Определение и примеры конъюнкции двух предикатов. Нахождение множества
истинности конъюнкции двух предикатов.
9. Определение и примеры импликации двух предикатов. Нахождение множества
истинности импликации двух предикатов.
10. Определение и примеры отрицания предиката. Нахождение множества
истинности отрицания предиката.
11. Определение и примеры отрицания высказывания. Значение истинности
отрицания. Законы отрицания: де Моргана, противоречия, исключенного
третьего, двойного отрицания.
12. Отношение логического следования на множестве предикатов. Определение
необходимого и достаточного условий. Примеры.
III. Комбинаторика
1. Понятие о комбинаторной задаче. Примеры комбинаторных задач с
различными видами соединений.
2. Правило произведения и его применение к решению задачи.
3. Правило суммы и его применение к решению задачи.
4. Размещение из n по к. Вывод формулы для нахождения числа размещений и её
применение к решению задачи.
5. Размещения с повторениями из n по к. Вывод формулы для нахождения числа
размещений и её применение.
6. Перестановка из n. Вывод формулы для нахождения числа перестановок и её
применение.
7. Перестановка с повторениями. Формула для нахождения числа перестановок с
повторениями. Задача.
8. Сочетание из n по к. Вывод формулы и её применение.
9. Сочетание из n по к с повторениями. Рассмотреть на примере задачи.
Рекомендуемая литература
Стойлова Л.П. Математика. М.: Издательский центр «Академия», 1999.
Стойлова Л.П., А.М.Пышкано. Основы начального курса математики. М.:
«Просвещение», 1988.
Изучение теории множеств: Методические рекомендации. Составитель Цыганок
И.И. –Владимир: ВГПУ, 1999.
Изучение математических утверждений и их структуры: Методические
рекомендации. –Владимир: ВГПУ, 1999.
Комбинаторика: Учебно-методические рекомендации: -Составители Булатова Н.Ф.,
Пушкарева Н.И. Владимир: ВГПУ, 2001.
Содержание
Введение
§ 1. Изучение математики на I курсе
1. Основные требования к усвоению содержания раздела «Элементы теории
множеств»
2. Задачи к разделу 1 и указания к их решению.
3. Основные требования к усвоению содержания раздела 2 «Элементы
математической логики»
4. Задачи к разделу 2 и указания к их решению
§ 2. Задачи для самостоятельной работы
1. Задачи для контрольной работы № 1 по разделу «Элементы теории
множеств»
2. Вопросы и задачи к зачёту № 1 по разделу «Элементы математической
логики»
3. Межсессионное задание № 1 «Применение теории множеств и логики в
школьном курсе математики»
§ 3. Изучение математики на II курсе
1. Основные требования к усвоению содержания раздела 3 «Элементы
комбинаторики»
2. Задачи к разделу 3 и указания к их решению
§ 4. Задания для самостоятельной работы
1. Межсессионное задание № 2 по разделу «Элементы комбинаторики»
2. Вопросы к экзамену по разделам 1-3