полнотекстовый ресурс
advertisement
Министерство образования и науки Республики Казахстан Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова В.Н. Украинец ДИНАМИКА ТОННЕЛЕЙ И ТРУБОПРОВОДОВ МЕЛКОГО ЗАЛОЖЕНИЯ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК Павлодар 2006 УДК 539.3 Рекомендовано к изданию решением Ученого совета Павлодарского государственного университета им. С. Торайгырова МОН РК Рецензенты: Доктор физико-математических наук, профессор А.А. Баймухаметов Доктор технических наук, профессор Ж.К. Масанов Доктор технических наук, профессор А.К. Каракаев Украинец В.Н. Динамика тоннелей и трубопроводов мелкого заложения воздействием подвижных нагрузок: Павлодар, 2006. – 123 с. Библ. 157 назв. Ил. 39. Табл. 28. под В книге даны основы новой методики расчёта на действие подвижных нагрузок протяжённых подземных транспортных сооружений типа тоннелей и трубопроводов с учётом влияния земной поверхности. На упругих моделях рассмотрено динамическое поведение неподкреплённых и подкреплённых сооружений при разной глубине заложения, а также влияние вида и параметров бегущей нагрузки на напряжённо-деформированное состояние массива пород. Рассчитана на широкий круг работников научно-исследовательских и проектных организаций, занимающихся проблемами динамики подземных сооружений, преподавателей, докторантов, магистрантов и студентов механико-математических, транспортных и строительных факультетов вузов. Украинец В.Н., 2006 Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова, 2006 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 ГЛАВА 1. ДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК НА НЕПОДКРЕПЛЁННЫЙ ТОННЕЛЬ С УЧЁТОМ ВЛИЯНИЯ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.1. Постановка задачи для кругового тоннеля. Потенциалы Ламе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 1.2. Метод неполного разделения переменных решения периодической задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3. Дисперсионные уравнения. Свободные поверхностные волны в тоннеле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 1.4. Влияние параметров подвижной периодической нагрузки на напряжённо-деформированное состояние земной поверхности и массива в окрестности тоннеля . . . 41 1.5. Действие на тоннель апериодической нагрузки . . . . . . . . . 49 1.6. Влияние глубины заложения тоннеля, скорости и вида осесимметричной нагрузки на напряжённодеформированное состояние массива пород . . . . . . . . . . . .52 1.6.1. Нормальная нагрузка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 1.6.2. Касательная нагрузка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68 1.6.3. Скручивающая нагрузка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1.7. Движение нормальных нагрузок по лотку тоннеля . . . . . . 72 ГЛАВА 2. ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЁТ ПОДКРЕПЛЁННЫХ ТОННЕЛЕЙ И ТРУБОПРОВОДОВ МЕЛКОГО ЗАЛОЖЕНИЯ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 2.1. Математическая модель подкреплённого тоннеля и трубопровода при мелком заложении. Контактные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.2. Аналитическое решение задачи. Определяющие соотношения при жёстком и скользящем контакте. . . . . . .78 2.3. Исследование критических скоростей нагрузки. . . . . . . . . 82 2.4. Влияние параметров оболочки и контактных условий на напряжённо-деформированное состояние окружающего массива . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 ВВЕДЕНИЕ В настоящее время интенсивно осваивается подземное пространство в самых различных целях. Тоннели и станции метрополитена, автомобильные, железнодорожные, гидротехнические и пешеходные тоннели, подземные гаражи и стоянки автотранспорта – далеко не полный перечень сооружений, без которых невозможна жизнь современного города. Во многих городах предусматривается строительство подземных автомагистралей значительной протяжённости, а также тоннелей для новых скоростных видов транспорта. Необычайно широкое развитие получило строительство подземных магистральных трубопроводов, обеспечивающих транспортировку практически всего объёма добываемого природного газа, большей части нефти и различных грузов. Современные транспортные подземные сооружения по предъявляемым к ним требованиям надёжности и долговечности относятся к числу наиболее ответственным объектов подземного строительства. Наряду со статическим расчётом таких сооружений 1 необходим их динамический расчёт 2,3. Среди динамических нагрузок и воздействий на подземные сооружения в виде тоннелей и трубопроводов следует выделить эксплуатационные транспортные (подвижные) нагрузки и воздействие сейсмических волн естественного или искусственного происхождения. Трудности расчётов объектов при наличии подвижности нагрузки многократно увеличиваются по сравнению с объёмом статических расчётов. Особенно большие математические трудности появляются при учёте массивности (инерционности) дрейфующих нагрузок. Возникают новые, порою даже необъяснимые в данный момент, явления присущие только динамическим системам, несущим подвижные элементы 4. Особый интерес эти задачи приобретают в случае мелкого заложения транспортных сооружений, так как в этом случае обязательно следует учитывать влияние земной поверхности на концентрацию напряжений в окрестности сооружения при дифракции отражённых и переотражённых волн 3. Проектирование тоннелей и трубопроводов мелкого заложения ведёт к удешевлению строительства, сокращению его сроков и, следовательно, освобождению трудовых ресурсов. Однако опыт их эксплуатации в условиях городской застройки показывает, что при мелком заложении происходит резкое возрастание уровня вибраций в зданиях и сооружениях, расположенных вблизи источника возмущений 5-8. Превышение уровнями вибраций допустимых норм, установленных для зданий, приводит к непригодности последних для жилья. Кроме того, вибрации оказывают неблагоприятные воздействия на различные технологические процессы повышенной точности и людей. В связи с этим необходимо не только обеспечить достаточную надёжность всех элементов подземной конструкции, но и решить вопрос о допустимом приближении к ней наземных сооружений. Поэтому изучение динамического поведения тоннелей и подземных трубопроводов при воздействии движущихся в них нагрузок является актуальной инженерно-технической задачей. Решение современных задач механики деформируемого твёрдого тела, с целью создания теоретической базы для таких расчётов, опирается на модельный метод исследования. Это связано с большим разнообразием физико-механических свойств и условий залегания пород, слагающих реальный массив, в котором находится сооружение. В качестве основных модельных задач, используемых для исследований транспортных подземных сооружений, обычно рассматриваются задачи о динамическом поведении полупространства (первая задача) или пространства (вторая задача), ослабленных протяженной цилиндрической полостью, которая может быть подкреплена оболочкой, при действии движущейся вдоль её оси нагрузки 1-3,9. Первая задача моделирует сооружение мелкого заложения, вторая – заглубленного сооружения. Вопрос о допустимом приближении зданий и сооружений к тоннелям или трубопроводам мелкого заложения можно разрешить, исследуя первую задачу. Решив вторую задачу, можно определить на каком расстоянии от подземного сооружения эффект динамического воздействия движущейся нагрузки будет несущественным и дать рекомендации относительно оптимальной глубины его заложения. Для описания свойств материала оболочки и окружающего массива применяются различные математические модели сплошной среды. В настоящей работе рассматривается поведение однородных линейно-упругих сред. Исследование динамики протяжённых подземных сооружений при действии разнообразных возмущений приводит к решению краевых задач в сплошных средах с концентраторами напряжений в виде цилиндрических полостей. Работ в этом направлении очень много, с достаточно подробной библиографией по этому вопросу можно ознакомиться в монографиях Ж.С. Ержанова, Ш.М. Айталиева, Л.А. Алексеевой 3, Ш.М. Айталиева, Л.А. Алексеевой 10 и обзорной статье Ш.М. Айталиева 11. Обобщению и систематизации результатов исследований по всестороннему исследованию динамического поведения цилиндрических оболочек различных конструкций посвящены работы 12-18 и многие другие публикации. Широкое применение в подземных транспортных сооружениях конструкций в виде замкнутых круговых цилиндрических оболочек ставит задачу исследования упругих сред с цилиндрическими полостями круглого сечения. Поэтому, в приводимом ниже перечне и анализе научной и научнотехнической литературы ограничимся, в основном, рассмотрением вопросов, касающихся динамики бесконечно длинных упругих круговых цилиндрических оболочек и упругих сред с протяжёнными (подкреплёнными и неподкреплёнными) полостями круглого сечения под воздействием различного рода подвижных нагрузок. В историческом аспекте, первоначально, в этом направлении, были исследованы гибкие трубопроводы, находящиеся под действием движущейся жидкости, и реакции бесконечно длинных цилиндрических оболочек, погружённых в акустическую среду, на действие волн давления, фронт которых параллелен или перпендикулярен оси цилиндра. Задачи об исследовании динамики цилиндрических оболочек под действием внутреннего подвижного поля давления встречаются в технике довольно часто. В частности такие вопросы возникают при расчёте магистральных нефте- и газопроводов, в которых в результате действия импульсивных периодических возмущений от работающих компрессоров устанавливается периодическая бегущая волна давления, распространяющаяся со скоростью движения звука в потоке. Аналогичные явления имеют место в трубопроводах химических предприятий, гидро- и газовых системах летательных аппаратов и тепловых энергетических установок, а также при проведении взрывопрострелочных работ в геотехнологических скважинах. В 1947 году И.И. Гольденблант [12] рассмотрел задачу о колебаниях гибких, очень длинных цилиндров-трубопроводов, заполненных движущейся массивной жидкостью. В дальнейшем к этой задаче вновь возвратились в статье [19]. Однако при вычислении инерционных членов была допущена ошибка, на которую было указано В.И. Феодосьевым [20]. Затем А.А. Мовчан [21], пользуясь прямым методом Ляпунова, показал, что критическая скорость, найденная в [20], является точной, и, при ненулевых докритических скоростях течения жидкости, собственные колебания трубы являются волнами, бегущими вдоль трубы. Критерий динамической устойчивости трубопровода вновь рассматривался О.Н. Мухиным [22. Более подробное исследование задачи о динамике трубопроводов в линейной и нелинейной постановке было проведено В.В. Болотиным [23. Стационарное решение динамики бесконечно длинной тонкой цилиндрической оболочки, погружённой в акустическую среду и подверженной воздействию движущейся с постоянной скоростью в осевом направлении осесимметричной нагрузки, впервые исследовал G.F. Carrier [24] в 1953 году. В этом же году R.D. Mindlin и H.H. Bleich [25] рассмотрели реакцию бесконечно длинной цилиндрической оболочки, находящейся в акустической среде, на действие движущейся ступенчатой плоской ударной волны. Решение дано в обобщённых координатах без учёта растяжения срединной поверхности оболочки. Но как указал M.C. Junger [26], такое пренебрежение может привести к существенным ошибкам вычисления динамических параметров оболочки. Эту же задачу [25], но методом интегральных преобразований, рассмотрели R. Skalak и M.B. Friedman [27]. В 1954 году Барон [28] решил задачу [25] с учётом растяжения срединной поверхности цилиндра и нашёл, что влияние растяжения тем больше, чем больше параметр R/2m ( – плотность среды, m – масса оболочки на единицу площади, R – радиус), или чем легче оболочка. Статья P. Mann-Nachbar [29] посвящена вопросу влияния энергии растяжения и изгиба срединной поверхности на динамику цилиндра. Найдено, что мембранная теория даёт удовлетворительные результаты, если отсутствует любое внешнее демпфирование. Критические замечания по работам Карьера [24] и Манн-Нахбора [29] приведены в статье Е.Н. Мнева [30] и монографии Е.Н. Мнева, А.К. Перцева [31]. В [30] даётся более точная аппроксимация дополнительного давления взаимодействия оболочки с акустической средой, учитывающая в первом приближении трёхмерность течения жидкости. Кроме того, в статье указаны области применимости моментной и безмоментной теории оболочек с учётом влияния продольной силы инерции. Работа [31] является продолжением [30]. В ней дополнительно рассмотрена цилиндрическая оболочка конечной длины под действием движущейся осесимметричной ступенчатой волны. Динамическое поведение длинной цилиндрической оболочки, находящейся под действием равномерного внешнего давления и движущейся с постоянной скоростью кольцевой нагрузки, исследовалось А.А. Ильюшиным, П.М. Огибаловым, М.А. Колтуновым [32-34]. В работах определена критическая скорость движения нагрузки и найден коэффициент динамичности от её воздействия. Эту же задачу, применяя метод интегральных преобразований и теорию вычетов, рассмотрел В.Л. Присекин [35]. Используя метод интегральных преобразований Лапласа и метод характеристик, Н.А. Тюманюк [36] более подробно изучил влияние на оболочку движущейся с постоянной докритической скоростью кольцевой нагрузки, с учетом затухания движения оболочки в двух направлениях. Осесимметричное движение цилиндра под воздействием движущегося вдоль его оси нормального внешнего давления, с учётом предварительно напряжённого состояния, рассмотрено в работе [37]. Здесь вместо уравнения потери устойчивости изучается уравнение равновесия и при вычислении постоянных интегрирования предполагаются равными третьи производные прогиба по координате вдоль оси цилиндра в линии контакта нагруженной и свободной части цилиндра. По этой причине результаты [37] являются сомнительными. Впервые метод Ф. Фридлендера [38] в решении задач динамики цилиндрических оболочек под влиянием движущихся нагрузок применил R.G. Payton [39]. Сущность метода заключается в том, что выражение функции перемещения и другие характеристики процесса представляются в виде ряда по соответствующим функциям от дуговой координаты, определённой на интервале (–, ). Например, выражение функции прогиба ищется в виде w(, ) wn ( 2n, ) . n Математически это означает, что функция прогиба определена на n-листной римановой поверхности. Физический смысл суммы заключается в том, что возникающие малые упругие возмущения распространяются по оболочке, как по волноводу, не взаимодействуя между собой, но суммируя все вклады в данный момент времени. Физическая плоскость является листом n = 0. Метод Фридлендера позволяет использовать преобразование Фурье по углу . В статьях Пейтона [39,40] рассмотрена бесконечно длинная оболочка под действием давления вида P(, ) P0 H c * (1 cos ) , где H – функция Хевисайда, c* – безразмерный параметр скорости движения. Мембранное напряжение отыскивается методом Фридлендера. Интегралы обратных преобразований вычислены асимптотическим методом. Некоторые обобщения результатов Пейтона получены Форрестолом и Альзхеймером [41]. В 1961 году W.Z. Brogan [42] исследовал шарнирно опертую цилиндрическую оболочку конечной длины, под действием движущегося осесимметричного ступенчатого давления. Резонансные явления, возникающие в условиях задачи [42], рассмотрены в статье P.G. Bhuta [43]. В дальнейшем шарнирно опертые оболочки рассматривались А.С. Вольмиром, Л.Н. Долгих, Э.Д. Скурлатовым, В.Р. Солоненко [44], О.А. Горошко, В.М. Шевченко [45], Лио и Кесселем [46] и другими авторами. В [44] исследовалась нелинейная динамика оболочек. В [45] изучены осесимметричные колебания предварительно напряжённой оболочки под действием движущейся силы, где по геометрическим координатам применялся метод Бубнова – Галёркина, а по временной координате – Боголюбова – Митропольского. Исходя из уравнения движения Флюге, N.K. Liao и P.G. Kessel [46] исследовали динамику предварительно напряжённого цилиндра под действием двух типов нагрузок: сосредоточенной нормальной силы, движущейся по окружности с постоянной скоростью, и движущейся вдоль оси цилиндра точечной нормальной силы. Здесь по геометрическим координатам также применялся метод Бубнова – Галёркина, а по времени – преобразование Лапласа. Динамику цилиндрических оболочек под действием различных типов подвижных нагрузок, исходя из уточнённой теории типа Тимошенко [47], изучали J.P. Jones, P.G. Bhuta [48,49], M.I. Forrestol, G. Herrman [50], Tang Sing-Chih [51-53], K. Schiffner, C.R. Steel [54,55], М.В. Айзенберг [56], M.P. Mortell [57], П.З. Луговой, В.П. Мукоид, В.Ф. Мейш [58] и др. В [48,49] сравниваются решения по теории Флюгге и Тимошенко. Для примера приведены уточнённые критические скорости, найденные из условия расходимости несобственного интеграла. В работе [50] уточнены результаты Хейвуда [59] с учётом поперечных деформаций сдвига и инерции вращения. Применяя метод характеристик, Tang Sing-Chih [51] исследовал движение бесконечного и полубесконечного цилиндров под действием движущегося ступенчатого внутреннего давления, исходя из уточнённой теории Лин и Моргана. В статье [53] сравниваются результаты, полученные на основании трёх теорий: теории Херрмана – Мирского; теории без учёта поперечного сдвига и инерции вращения; теории без учёта поперечного сдвига, инерции вращения и продольной силы инерции. Показано, что с возрастанием скорости движения и длины оболочки динамические характеристики по трём теориям существенно отличаются. В [54,55] получено асимптотическое решение путём приближённого вычисления интегралов обратного преобразования методом перевала при различных скоростях движения осесимметричной ступенчатой нагрузки. Колебания тонкой цилиндрической оболочки под действием движущегося давления, произвольно ориентированного относительно оси цилиндра рассмотрены М.В. Айзенбергом [56]. В работах [60,61] проведен сравнительный анализ динамики тонких упругих оболочек двух моделей (А.С. Вольмира [62] и С.П. Тимошенко[47]) при действии дозвуковых периодических нагрузок. Аналогичное [61] дисперсионные диаграммы, построенные на основе теории Тимошенко, исследовались также в [63]. В [64] решена стационарная задача о действии на оболочку положительной кривизны подвижной локальной нагрузки, равномерно распределённой по круговой области. Решение строилось на основе метода интегрального преобразования Фурье. Результаты получены для дозвуковой скорости движущейся нагрузки. Повышенные требования, предъявляемые к оценкам прочностных характеристик, стремление к более полному учёту реальных свойств современных конструкционных материалов, выявление и изучение трёхмерных эффектов, имеющих место в толстостенных упругих телах, приводит к необходимости проводить расчёт полых цилиндров в пространственной постановке. Решение задач динамики для толстостенных элементов как задач теории упругости сопряжено со значительными трудностями, обусловленными сложностью системы исходных дифференциальных уравнений в частных производных и необходимостью удовлетворения краевых условий на ограничивающих упругое тело поверхностях. Поэтому большое значение имеет разработка эффективных подходов для решения задач о стационарных динамических процессах в цилиндрах с круговым и некруговым поперечным сечением в пространственной постановке, позволяющих получать с высокой степенью точности решения указанного класса задач в широком диапазоне изменения геометрических и физико-механических параметров, и реализация разработанных алгоритмов на современных персональных компьютерах (ПК). Общее стационарное решение краевых задач теории упругости для полого толстостенного цилиндра при воздействии бегущих с дозвуковой скоростью осесимметричных нагрузок было получено в статьях [65,66] В.В. Дубининым и Г.М. Максимовым. Для описания движения оболочки использовались динамические уравнения теории упругости [67,68] в подвижной системе координат [69,70], равномерно движущейся вместе с нагрузкой. Решение, основанное на методе интегрального преобразования Фурье [71], позволяет проводить поверочные расчёты цилиндрических конструкций по условию перехода материала цилиндра в пластическое состояние при различных параметрах профилей бегущих нагрузок и скоростей их движения. Аналогичная задача, когда бегущие нормальные и касательные нагрузки зависят от осевой и окружной координат, рассмотрена в [72]. Следуя [65,66], В.И. Пожуев [73] исследовал погружённую в сжимаемую жидкость толстостенную оболочку при нагружении осесимметричной волной давления, распространяющейся вдоль образующей с постоянной (до- и сверхзвуковой по отношению к жидкости и до-, транс- и сверхсейсмической по отношению к скоростям распространения волн в цилиндре) скоростью. Подобная задача о действии на оболочку неосесимметричной нормальной нагрузки изучена в [74]. В связи с практической потребностью, в последние десятилетия многие публикации посвящены исследованию динамики двух- и трехслойных оболочек под действием подвижных нагрузок. Двухслойные ортотропные цилиндрические оболочки, в полостях которых течёт жидкость, исследовались в статье Ю.Н. Новичкова и Ю.Ю. Швейко [75], где показано, что критическая скорость выпучивания оболочки намного меньше флаттера. Уточнение коэффициента, учитывающего влияние движущейся жидкости, затем даётся Э.Д. Скурлатовым [75]. В 1970 году Р. Кюркчиев [77] решил задачу о действии подвижной осесимметричной нормальной кольцевой нагрузки на бесконечную цилиндрическую тонкую оболочку, содержащую упругий заполнитель. Задача решалась в подвижной системе координат. Для описания колебаний оболочки использовались классические уравнения теории тонких оболочек [62], а для заполнителя – уравнения Ляме [69]. Контакт между оболочкой и заполнителем полагался жёстким. При помощи интегрального преобразования Фурье автором получено стационарное решение задачи для дозвуковых скоростей и выведена трансцендентная система двух уравнений для определения критических скоростей движения нагрузки. Рассмотрены случаи полого и сплошного заполнителя. Численные исследования в работе не проводились. В 1972-1973 годах к задаче [77] вернулись Б.А. Корбут и Ю.И. Нагорный [78,79], исследовав распространение волн в оболочке [78] и её реакцию на действие движущейся вдоль образующей кольцевой нагрузки [79]. В отличие от [77] для описания движения тонкой оболочки в [78,79] привлекались уравнения с учетом сдвига и инерции вращения, а также дополнительно рассматривалась приближённая модель движения заполнителя, в которой учитываются только радиальные перемещения. На основе полученных для разных моделей оболочки при жёстком и скользящем сопряжении её слоёв дисперсионных уравнений, в [78] построены и исследованы дисперсионные кривые. В [79] рассмотрены случаи докритических и закритических скоростей движения нагрузки при скользящем контакте между тонкой оболочкой и заполнителем. Единственность решения была достигнута учетом диссипации энергии [48,49,80]. В несколько иной постановке задача [77] рассматривалась В.И. Пожуевым [81-84]. В [81] на внутренней поверхности заполнителя (полого цилиндра) задавались осесимметричные радиальные и осевые перемещения, а на внешней поверхности тонкой оболочки (упругой обоймы) – прижимающая обойму к цилиндру осесимметричная нормальная нагрузка произвольного по длине профиля, равномерно движущиеся вдоль оси с одинаковой скоростью. Контакт между обоймой и цилиндром полагался скользящим. В статье рассмотрены различные законы изменения перемещений на внутренней поверхности цилиндра, а также частные случаи граничных условий на его внешней границе. В [82] внутри полого цилиндра, склеенного по наружной поверхности с тонкой упругой оболочкой, с постоянной скоростью движется вдоль оси жёсткий диск одинаковой с полостью радиуса. Диск равномерно вращается относительно своей оси и передаёт на внутреннюю поверхность цилиндра осесимметричные тангенциальные перемещения (задача 1) или скручивающую нагрузку (задача 2). Для обеих задач определено напряженно-деформированное состояние (НДС) цилиндра, а также рассмотрены частные случаи граничных условий на его внешней поверхности. В [83], в отличие от [77], тонкая оболочка свободно контактирует с полым толстостенным цилиндром (амортизирующим слоем) по его внутренней поверхности. Здесь исследуется влияние жёсткости амортизирующего слоя на распределение прогибов и контактного давления, а также на величину критической скорости движущейся по внешней поверхности амортизирующего слоя осесимметричной нормальной кольцевой нагрузки. Неосесимметричная задача о воздействии подвижной нагрузки на цилиндрическую оболочку с заполнителем решена в [84]. Для вычисления несобственных интегралов в [81-84] применялись формулы Файлона [85]. Колебания трехслойных цилиндрических оболочек, когда движения оболочек описываются приближенными уравнениями (без учета сжимаемости заполнителя) рассматривались в [86-88]. В [86] А.П. Прусаковым получена формула для определения частоты свободных колебаний ортотропной панели с несжимаемым в поперечном направлении заполнителем без учёта влияний на частоту изгибных колебаний инерционности массы в осевом и тангенциальном направлениях. Установившаяся реакция трёхслойной цилиндрической оболочки с несжимаемым заполнителем и учётом диссипации в нём энергии на движущуюся кольцевую нагрузку изучена Германом и Бейкером [87,88]. Свободные линейные колебания пологой трёхслойной цилиндрической оболочки, находящейся под действием всестороннего внешнего давления, без пренебрежения осевыми и тангенциальными инерционными силами, а также сжимаемостью заполнителя исследованы Ю.В. Дмитриевым [89]. Внешние слои в [89] полагались изотропными, а коэффициенты Пуассона – равными для всех слоёв. В качестве примера получены формулы для частот колебаний замкнутых круговых оболочек с жёстким трансверсально-изотропным и лёгким изотропным заполнителем. Влияние инерции вращения на частоту свободных колебаний пологой трёхслойной оболочки с симметричными несущими слоями и лёгким трансверсально-изотропным заполнителем изучалось в статье [90], где при выводе уравнения движений оболочки для несущих слоёв принималась гипотеза Кирхгофа – Лява, а для заполнителя – линейный закон изменения нормальных и тангенциальных перемещений по толщине. В дальнейшем полученные в [90] линеаризованные уравнения осесимметричного движения оболочки легли в основу решения задачи [91] о воздействии на оболочку подвижной кольцевой нагрузки. Уточнённый подход для исследований распространения свободных волн в бесконечно длинных трёхслойных цилиндрических круговых оболочек симметричного строения и реакции последних на действие подвижных нагрузок, когда для заполнителя используются уравнения теории упругости, а несущие слои (обшивка) рассматриваются как тонкие оболочки [92], применялся в работах В.И. Пожуева [93-98]. В статье [93] исследовалось распространение в оболочке осесимметричных свободных волн. Здесь, кроме уточнённого решения, когда движение заполнителя описывается динамическими уравнениями теории упругости, а колебания обшивки – классическими уравнениями теории тонких оболочек, получены решения, базирующиеся на приближённых уравнениях без учёта [87,88] и с учётом [89] сжимаемости заполнителя. Для всех рассмотренных случаев получены дисперсионные уравнения и построены кривые дисперсии, а также проведено сравнение результатов и оценено влияние жёсткости, плотности и толщины заполнителя на фазовые скорости волн. Далее, видоизменённые исходные уравнения [93] использовалось в работе [94] при изучении задачи о равномерном движении вдоль оболочки осесимметричной нормальной нагрузки. При численной реализации задачи найдены значения критических скоростей и проведен анализ напряжённодеформированного состояния заполнителя в случае действия кольцевой подвижной нагрузки. Однако, исследования в [94] ограничивались дозвуковыми (меньшими скорости распространения волн сдвига в заполнителе) скоростями движения нагрузки. Введение в уравнения движения несущих слоев диссипативных членов, отвечающих демпфированию в осевом и радиальном направлениях, позволило получить единственное стационарное решение и исследовать напряжённо-деформированное состояние заполнителя при любых (досейсмических, транссейсмических и сверхсейсмических) значениях скорости движения давления по обшивке [95]. Стационарная реакция трёхслойной оболочки, погружённой в идеальную сжимаемую жидкость, на осесимметричную волну давления исследовалась в [96], где рассмотрены дозвуковые и сверхзвуковые режимы движения волны давления по отношению к жидкости, а также субсейсмический, транссейсмический и суперсейсмический случаи относительно скоростей распространения волн в заполнителе. Решение получено при помощи интегрального преобразования Фурье. Численные расчёты проведены для кольцевого и экспоненциально убывающего давления. Неосесимметричные задачи динамики трёхслойных оболочек изучены в работах [97,98]. В [97] рассмотрено распространение в оболочках неосесимметричных свободных волн, а в [98] исследована реакция оболочки на действие неосесимметричной нагрузки, движущейся вдоль оси с постоянной скоростью, меньшей скорости распространения волн сдвига в заполнителе. Аналогично [84], движение заполнителя в [97,98] описывалось динамическими уравнениями теории упругости в векторной форме [99], а колебания несущих слоёв – классическими уравнениями теории тонких оболочек. Причём, в [98] решены периодическая и апериодическая задачи. В качестве примера для докритической скорости движения получено распределение перемещений и контактных напряжений для системы равномерно распределённых вдоль окружности сил, а также показано влияние толщины и жёсткости заполнителя на прогибы оболочки и контактные напряжения. В статье [100], в постановке аналогичной [94], исследовалось действие подвижных осесимметричных скручивающих нагрузок на трехслойную оболочку несимметричного по толщине строения. В отличие от [94], движение несущих слоёв в [100] описывалось уравнениями типа Тимошенко. Большой интерес при исследовании колебаний массива пород в окрестности подземных транспортных сооружений и при расчёте последних, как отмечалось выше, вызывают задачи о движущихся нагрузках в неподкрепленных и подкрепленных цилиндрических полостях упругого пространства. Действие различных подвижных нагрузок на цилиндрическую полость в упругом неограниченном массиве изучалось во многих работах [101107,3,61]. Пространственные задачи излучения и отражения упругих волн при движении пульсирующих нагрузок вдоль тоннеля, проложенного в грунте, рассмотрены М.А. Дашевским [108,109]. Здесь в качестве расчетной схемы принималась балка кольцевого сечения (тоннель), расположенная в сплошной упругой безграничной среде. Поперечное сечение тоннеля полагалось недеформируемым, т.е. перемещающимся в упругой среде как абсолютно жесткое тело. Решение задач строилось в виде рядов для скалярного и векторного потенциалов. Статья В.М. Львовского, В.И. Онищенко, В.И. Пожуева [110] посвящена изучению установившихся колебаний толстостенной цилиндрической оболочки в упругой среде, под действием равномерно движущейся вдоль образующей осесимметричной нормальной нагрузки. Контакт между оболочкой и средой полагался скользящим. В отличие от [108,109] в [110] движения оболочки и среды описывались динамическими уравнениями теории упругости, а при решении использовалось интегральное преобразование Фурье по осевой подвижной координате. Скорость движения нагрузки полагалась меньше скоростей распространения волн сдвига в оболочке и среде. Решение [110] заметно упрощается при использовании приближенных теорий оболочек. В работе В.М. Львовского и В.И. Пожуева [111] для докритических скоростей подвижной осесимметричной нормальной нагрузки проведено исследование рамок применимости приближенных теорий оболочек (классической и типа Тимошенко) и установлено, что если отношение толщины оболочки к радиусу ее срединной поверхности меньше 0,05, то в этом случае можно пользоваться классической теорией оболочек, как наиболее простой. Это положение нашло отражение в дальнейших исследованиях [112,113]. Так как исследования в [111-113] ограничивались дозвуковыми скоростями движения нагрузки, то есть скоростями, меньшими скорости распространения волн сдвига в среде, в статье [114], для получения единственного стационарного решения при любых (субсейсмических, транссейсмических и суперсейсмических) скоростях движения осесимметричной волны давления, уравнения колебаний оболочек дополняются диссипативными членами, отвечающими демпфированию в осевом и радиальном направлениях. Аналогичное решение предложено в [115]. Приближенное асимптотическое решение (замена цилиндрических функций их асимптотическими выражениями для больших значений аргумента [116,117]) подобной задачи для сверхзвуковых скоростей движения нагрузки было получено Р.Г. Якуповым [118]. Асимптотический анализ задачи о свободных колебаниях цилиндрической оболочки для случая, когда жесткость среды намного меньше жесткости оболочки, был дан Р.М. Бергманом и Ф.С. Латифовым [119,120]. Задача о действии подвижной скручивающей нагрузки на цилиндрическую оболочку в упругой среде, моделирующая работу очистных устройств в подземном трубопроводе [121], рассмотрена в [122]. Для решения задачи, в зависимости от отношения скорости движения нагрузки к скорости волн сдвига в упругой среде, применялось преобразование Фурье или Лапласа по подвижной осевой координате. Для разных скоростей нагрузки в работе получено распределение перемещений и напряжений в массиве. Стационарные динамические задачи о воздействии неосесимметричных нагрузок на тонкую оболочку в упругом пространстве при различных его моделях изучались в [123,124,61]. Работы [125,126] посвящены исследованию реакции длинной тонкостенной цилиндрической оболочки, отделенной от упругой среды тонким безинерционным упругим [125] или тонким вязкоупругим [126] слоем, на действие подвижной нагрузки. В статье [127] методом интегрального преобразования Фурье в линейно-упругой постановке решена задача о воздействии подвижной нормальной осесимметричной нагрузки на бесконечно длинную цилиндрическую двухслойную оболочку в неограниченном массиве. Поступательное движение нагрузки по внутренней поверхности оболочки полагалось равномерным. В подвижной, связанной с нагрузкой цилиндрической системе координат для описания движения внутреннего (несущего) тонкостенного слоя составной оболочки использовались классические уравнения теории тонких оболочек, а для описания движения внешнего (амортизирующего) слоя и окружающей среды – динамические уравнения теории упругости. В работе представлен численный анализ влияния параметров амортизирующего слоя на напряжённодеформированное состояние упругой среды при воздействии движущейся с докритической скоростью кольцевой нагрузки. В [128] получено аналогичное [127] решение для трехслойной оболочки симметричного строения, внутренний и внешний слои (обшивка) которой – тонкостенные оболочки одинаковой толщины, а средний слой (заполнитель) – толстостенная оболочка, и дан сравнительный анализ динамического поведения двух- и трехслойной оболочек. Дальнейшее развитие работ [127,128] отражено в [129,130,3]. Из [3] следует, что в задачах дифракции сейсмических волн на подземных сооружениях волновое поле существенно искажается лишь непосредственно в окрестности этого сооружения. На расстоянии более пяти характерных диметров сооружения такое искажение невелико и им можно пренебречь. Для подземных сооружений мелкого заложения на расстоянии менее пяти диаметров от земной поверхности использовать в качестве расчётной модель безграничного массива нецелесообразно, так как пренебрежение влиянием земной поверхности приводит к большим погрешностям в расчётах. Поэтому в качестве модели породного массива используют упругую полуплоскость либо упругое полупространство. Математические задачи об упругом полупространстве, граница которого возмущается приложенной подвижной поверхностной нагрузкой, возникают при расчёте, например, смещения грунта, вызванного поверхностными силами типа ядерных взрывов, при расчёте различных покрытий от действия ударных волн, генерируемых сверхзвуковыми летательными аппаратами и т. д. Впервые задачи динамики сплошного однородного упругого полупространства под действием движущихся по его поверхности сосредоточенных нормальных и касательных нагрузок для плоского случая рассмотрены более полувека назад (в 1951 – 1952 годах) в работах Снеддона [131,132], где исходя из общих решений волновых уравнений, получены в замкнутой форме выражения для перемещений и напряжений при низших скоростях движения нагрузки. Некоторое обобщение работы [132] на трёхмерный случай имеется в статье Фултона и Снеддона [133]. Обзор ранних (до семидесятых годов прошлого столетия) научных работ по данному направлению дан в [134,135]. В настоящее время по этому вопросу имеется обширная литература, а сами задачи имеют большое практическое значение. Подобные модельные для расчётов тоннелей и подземных трубопроводов на подвижные нагрузки задачи являются более сложными. Количество публикаций, посвященных этой проблеме, немногочисленно. Здесь следует выделить различные случаи динамического воздействия подвижных нагрузок на полупространство: - действие нагрузок на границу полупространства, ослабленного свободной от нагрузок цилиндрической полостью; - действие нагрузок на подкреплённую или неподкреплённую полость в полупространстве со свободной от нагрузок границей; - одновременное действие нагрузок на подкреплённую или неподкреплённую полость и границу полупространства. В дальнейшем обзоре научных работ коснёмся, в основном, второго случая, связанного с действием на подземные транспортные сооружения только эксплуатационных нагрузок. В статьях В.А. Бабешко, М.Г. Селезнева и др. [136-141] исследовались установившиеся колебания упругого полупространства, содержащего полость. Авторами предложен метод, основанный на принципе суперпозиции, с помощью которого задача сводится к системе интегральных уравнений. В случае, когда полость выходит на поверхность, исследованы особенности введенных неизвестных функций напряжений в окрестности угловых точек. С использованием этого метода, в [142] решалась задача о возбуждении волнового поля в упругом полупространстве осциллирующей нагрузкой, равномерно движущейся по цилиндрической полости. Задача сводится к системе шести интегральных уравнений, которая, при относительно малом радиусе полости, решается приближенно. В это же время И.С. Никитиным [143] рассмотрена задача о движущейся по границе упругого полупространства параллельно оси цилиндрической полости волны постоянного давления. Полученная система уравнений с граничными и начальными условиями решена численно методом С.К. Годунова [144]. Статьи М.А. Дашевского [5,6] посвящены вопросу определения уровня колебаний поверхности грунта вблизи трассы метро. В [5] для полуплоскости с отверстием исследовалась плоская задача теории упругости. Более точный подход предложен в [6]. Здесь, методом отраженных источников, решена задача о реакции упругого полупространства, содержащего подкрепленную цилиндрической оболочкой полость, на движущуюся вдоль оси оболочки пульсирующую нагрузку. Поскольку метод не позволяет удовлетворить граничным условиям на свободной поверхности полупространства, для уточнения решения используется решение задачи о движущейся вдоль поверхности полупространства нормальной нагрузки. В статье предложен итерационный процесс, использующий эти два решения, для получения точного. Приближённый модельный подход для определения вибраций на свободной поверхности от движущихся нагрузок в подкрепленных тоннелях прямоугольного и круглого профиля применён С.А. Курнавиным [7]. Вначале автор определяет смещение обделки тоннеля путем введения реакции вязкоупругого отпора окружающего массива (этот подход нашел систематическое развитие в работах Т.Р. Рашидова [145,146]). Затем, на основе численного метода источников, находит смещения на свободной поверхности. При этом в качестве источников используется решение В.А. Ильичева и О.Я. Шехтер [147] о действии в упругой полуплоскости вертикальной и горизонтальной гармонических сил. Действие подвижной периодической нагрузки на круговую цилиндрическую полость в упругом полупространстве для дозвуковых скоростей движения нагрузки рассмотрено в статье Ш.М. Айталиева, Л.А. Алексеевой, В.Н. Украинца [148], а также в монографии Ж.С. Ержанова, Ш.М. Айталиева, Л.А. Алексеевой [3], где движение полупространства описывалось динамические уравнения теории упругости [99] в потенциалах Ламе [69,70,149]. В теоретическом аспекте решение [146] основывалось на работах Л.А. Алексеевой [150,151,152]. В [150] методом разложения потенциалов на плоские волны решены первая и вторая краевые задачи теории упругости для полуплоскости с сосредоточенным внутри неё точечным источником стационарных волн, потенциал которого представлен через цилиндрические функции. А в [151], с использованием такого подхода, решена задача о стационарной нагрузке на контуре кругового отверстия в полупространстве. Используя идею этих работ о суперпозиции решений и переразложении плоских волн в ряды по цилиндрическим функциям, в [148,3] получено, в отличие от [5-7], точное аналитическое решение для дозвукового случая, когда скорость движущейся нагрузки меньше скорости волн Релея. Рассмотрен случай сверхрелеевских скоростей. Показано, что в последнем тоннель генерирует поверхностные волны, распространяющиеся с релеевской скоростью. В последующих работах Л.А. Алексеевой [153,154] построены фундаментальные решения для упругого полупространства со свободной границей при действии стационарных бегущих нагрузок различного типа. Для решения задачи использовался тензор Грина, построенный для рассматриваемого полупространства в подвижной системе координат. Предлагаемая книга посвящена дальнейшему развитию исследований по предложенной в [148] методики, а также её обобщению на задачи динамики подкреплённых протяжённых транспортных сооружений мелкого заложения. Для решения задач в работе используется модельный метод исследования. Тоннель моделируется как бесконечно длинная круговая цилиндрическая полость, расположенная в однородном и изотропном линейно-упругом полупространстве параллельно его горизонтальной границе. Полость может быть подкреплена однородной или слоистой упругой оболочкой (в этом случае тоннель может рассматриваться как подземный трубопровод). На поверхность полости или на внутреннюю поверхность подкрепляющей полость оболочки действует стационарная транспортная нагрузка (нагрузка установившегося профиля, передаваемая транспортируемым объектом и движущаяся вдоль оси полости с постоянной скоростью). Скорость движения нагрузки принимается дозвуковой, то есть меньше скорости распространения волн сдвига в полупространстве и толстостенных оболочках, что соответствует современным транспортным скоростям в изучаемых подземных сооружениях. Для описания движения полупространства и толстостенных оболочек используются динамические уравнения теории упругости в потенциалах Ламе, а для тонкостенных оболочек – классические уравнения теории тонких оболочек. Уравнения записываются в подвижной системе координат, связанной с нагрузкой. В первой главе монографии исследуется реакция упругого полупространства, ослабленного цилиндрической полостью, на движущуюся по её поверхности нагрузку. Первоначально произвольная в окружном направлении бегущая нагрузка полагается периодической по оси полости. Для решения задачи предложен метод неполного разделения переменных. Решение для потенциалов представлено в виде суперпозиции рядов Фурье – Бесселя и интегралов Фурье. Далее используется метод разложения потенциалов на плоские волны и переразложения плоских волн в ряды по цилиндрическим функциям [148]. Получены и исследованы дисперсионные уравнения, связывающие скорости распространения в тоннеле свободных поверхностных цилиндрических волн с волновыми числами. Изучено влияние периода нагрузки и скорости её движения на напряжённодеформированное состояние земной поверхности и массива в окрестности тоннеля. Затем полученное решение используется для решения задачи о действии на полупространство движущейся по полости нагрузки, не обладающей периодичностью, но представимой в виде интеграла Фурье. Полагается, что скорость движения нагрузки меньше скорости волн Релея в полупространстве. Для этого случая проведен численный анализ влияния глубины заложения тоннеля, скорости и вида движущейся нагрузки на напряжённо-деформированное состояние массива пород. Во второй главе исследуется динамика упругого полупространства с подкреплённой тонкой упругой оболочкой полостью при действии движущейся по внутренней поверхности оболочки нагрузки. Рассматриваются два случая контакта оболочки со средой: жёсткий и скользящий. Используя эти граничные условия, здесь получены аналогичные первой главе стационарные решения периодической и апериодической задач. Проведено исследование критических скоростей движения нагрузки и дан численный анализ влияния параметров оболочки и условий её сопряжения с массивом на напряжённо-деформированное состояние последнего. Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность заслуженному деятелю науки и техники Казахстана, академику НАН РК, доктору технических наук, профессору Айталиеву Шмидту Мусаевичу за научное обоснование актуальности проблемы, а также доктору физико-математических наук, профессору Алексеевой Людмиле Алексеевне за постановку задач, большое внимание, проявленное к этой работе, советы и весьма ценные замечания. ГЛАВА 1. ДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК НА НЕПОДКРЕПЛЁННЫЙ ТОННЕЛЬ С УЧЁТОМ ВЛИЯНИЯ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ 1.1 Постановка задачи для кругового тоннеля. Потенциалы Ламе Используя для исследований модельный подход, представим тоннель как бесконечно длинную круговую цилиндрическую полость радиусом r = R, расположенную в линейно-упругом, однородном и изотропном полупространстве x ≤ h (рисунок 1.1) параллельно его горизонтальной границе (земной поверхности). X X r h X R Z R 0 Y 0 c t Рисунок 1.1 – Расчётная схема неподкреплённого тоннеля Определим реакцию полупространства на движущуюся с постоянной дозвуковой скоростью с по поверхности полости в направлении оси Z нагрузки Р. Для этого воспользуемся уравнениями движения упругой среды в векторной форме [99] ( ) grad div u 2u 2u , t 2 (1.1) где = 2/(1–2), – модуль сдвига, – коэффициент Пуассона, – плотность, u – вектор смещения упругой среды, 2 – оператор Лапласа. Так как рассматривается установившийся процесс, то картина деформаций стационарна по отношению к движущейся нагрузке. Поэтому удобно перейти к подвижной системе координат = z – ct, связанной с нагрузкой P. Тогда уравнение (1.1) перепишется в виде 1 1 1 2 2u grad div u 2 u 2 . M2 M2 Ms p s (1.2) Здесь Mp = c/cp, Ms = c/cs – числа Маха; c p 2 , cs – скорости распространения волн расширения – сжатия и сдвига в среде. При действии нагрузки на поверхность полости, имеем rj rR Pj (, ), j r , , , (1.3) где rj – компоненты тензора напряжений в среде, Pj(,) – составляющие интенсивности подвижной нагрузки P(,). Так как граница полупространства свободна от нагрузок, то при x = h (1.4) xx xy x 0 . Преобразуем уравнение (1.2), выразив вектор смещения упругой среды через потенциалы Ламе [71] u grad 1 rot . (1.5) Потенциал можно представить в виде [149] 2 e rot 3 e , где e – орт оси . С учётом этого, (1.5) примет вид u grad div 1 rot 2 e rot rot3e . Из (1.2) и (1.6) следует, что потенциалы j (1.6) удовлетворяют видоизменённым волновым уравнениям j M 2 2 j 2 j 2 , j 1, 2, 3 . (1.7) Здесь М1 = Мp, М2 = М3 = Мs. Выразим компоненты напряжённо-деформированного состояния (НДС) среды через потенциалы j. Компоненты вектора u (1.6) в цилиндрической (1.8) и декартовой (1.9) системах координат: 1 1 2 2 3 , ur r r r 1 1 2 1 2 3 , u r r r (1.8) 2 1 2 3 ; u ms 2 1 2 2 3 , ux x y x 1 2 2 3 , uy y x y (1.9) 2 1 2 3 , u ms 2 где m s2 1 M s2 . Объёмная деформация div u 2 1 . (1.10) Используя закон Гука, с учётом (1.8), (1.9) находим выражения для компонент тензора напряжений в цилиндрических (1.11) и декартовых (1.12) координатах (2 M 3 1 2 3 2ms , 2 3 2 p) 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 33 2 3 , M r r 2 r r r r 2 r 2 2 p 2 1 1 2 2 1 2 33 2 1 rr M 2 2 2 2 , 2 r r r r r 2 p 2 1 1 2 2 3 r 2 (1 ms2 ) 2 3 , r r r (1.11) 2 2 1 2 2 (1 ms2 ) 33 , 2 r r r 1 2 1 1 1 2 2 ms2 2 2 1 33 1 2 3 ; r 2 2 2 2 2 r r 2 r r r r r (2 M yy 3 1 2 3 2ms , 2 3 2 p) 2 2 1 2 2 33 2 1 M 2 2 2 , x y 2 y y 2 p 2 1 2 2 33 2 1 xx M 2 2 2 , x y 2 x x 2 p x 3 2 1 2 2 2 3 2 (1 ms ) 2 , x y x (1.12) 2 1 2 2 3 3 , y 2 (1 ms2 ) 2 y x y xy 2 1 2 2 ms2 2 2 3 3 . 2 2 2 x y 2 x y x Таким образом, для определения компонент НДС среды необходимо решить уравнения (1.7) совместно с граничными условиями (1.3) и (1.4). 1.2 Метод неполного периодической задачи разделения переменных решения Рассмотрим периодическую задачу, когда подвижная нагрузка P(,) периодична по и представима в виде синусоидальной нагрузки с единичной амплитудой и произвольной зависимостью от угловой координаты P, pe i , p Pn ein , n (1.13) Pj , p j e i , p j Pnj e in , j r , , . n Потенциалы j также будем искать в виде периодических функций по j r , , j r , e i . (1.14) Подставляя (1.14) в (1.7), получим видоизменённые уравнения Гельмгольца 22 j m 2j 2 j 0, j 1, 2, 3. Здесь 22 – двумерный (1.15) оператор Лапласа, m 2j 1 M 2j , m1 m p , m2 m3 ms . Выражения (1.8), (1.9), (1.11), (1.12), с учётом (1.14), перепишутся в виде 3 i 1 2 ur 1 i e , r r r 1 1 2 3 i u i e , r r r (1.16) u 1i 2 m s2 3 e i ; 3 2 u x 1 y x x i e i , 3 2 u y 1 x y y i e i , (1.17) u 1i 2 m s2 3 e i ; 2 M p2 2 1 2ms2 3 3i ei , M p2 2 1 3 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 i 2 2 r r r r r r r i e i 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 3 i rr M p 1 2 2 i e , 2 2 r r r r r 3 i 2 r 2 1 i i 2 1 ms2 e , r r r (1.18) 2 1 2 1 ms2 3 i 2 i i e , r r r 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 3 2 3 i r 2 2 i 2 i e ; 2 2 r r r r r r r r r r 2 M p2 2 1 2m s2 3 3 i e i , yy 2 2 2 1 2 2 23 M p 1 2 2 x y y y 2 xx 2 2 2 1 2 2 23 M p 1 2 2 x y x x 2 i e i , i e i , 3 i 2 1 x 2 i i 2 1 m s2 e , x y x (1.19) 3 i 2 1 y 2 i i 2 1 m s2 e , y x y xy 2 1 2 2 2 2 23 2 2 2 2 x y xy y x i e i . Подставляя соответствующие выражения из (1.13), (1.18), (1.19), в (1.3), (1.4), получим следующие граничные условия: - для границы полупространства, при x = h 23 2 1 2 2 2 2 M p 1 i 0, 2 xy x 2 x 2 23 2 1 2 2 2 2 2 2 i 0, xy xy y 2 x 2 (1.20) 2 3 1 2 i i 2 1 m s2 0; x y x - для поверхности полости, при r = R 2 2 2 1 1 2 2 2 3 n 2 1 M p 1 2 2 i Pnr e in , 2 2 r r r r r n 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 3 2 3 2 2 i i 2 2 2 r r r r r r r r r r n Pn e in , (1.21) n 2 1 2 2 3 2 i i 1 ms Pn e in . r r r n Дальнейшее решение задачи сводится к интегрированию уравнений (1.15) совместно с граничными условиями (1.20) и (1.21). Для определения компонент НДС массива необходимо определить j. Так как скорость движения нагрузки меньше скорости распространения волн сдвига в окружающей полость среде («дозвуковой» случай), то Ms < 1 (m2 = m3 = ms > 0) и решения уравнений (1.15) можно представить через суперпозиции поверхностных цилиндрических (j1) и плоских (j2) волн [3] j (j1) (j2) , (j1) a nj K n k j r e in , n (1.22) (1.22,а) (j2) g j , exp iy ( x h) 2 k 2j d . (1.22,б) L Здесь Kn(kjr) – функции Макдональда, k j m 2j 2 ; gj(,), anj – неизвестные функции и коэффициенты, подлежащие определению. Слагаемые рядов Фурье-Бесселя в (1.22,а) – частные решения уравнений (1.15) – описывают излучаемые цилиндрической полостью и затухающие на бесконечности (r → ∞) волны, если Re k j 0. (1.23) При действительных 0 kj = mj > 0, и условия (1.23) выполнены. Подынтегральные функции в (1.22,б), также удовлетворяющие уравнениям (1.15), описывают плоские гармонические волны, отражённые границей полупространства и затухающие при x → – ∞, если Re 2 k 2j 0, Im 2 k 2j 0 . (1.24) Условия на радикалы (1.24) – это условия излучения для отражённых от границы полупространства волн. Первое из них даёт затухание решений на бесконечности. Второе условие, в соответствии с физическими представлениями, показывает, что отражённые волны движутся от границы полупространства. Поэтому контур L в комплексной плоскости = 1 + i2 следует выбрать таким образом, чтобы на нём выполнялись условия (1.24). Допустим, что L = (– , ), то есть совпадает с действительной осью 1 . Тогда (j2) g j , exp iy ( x h) 2 k 2j d . (1.25) В этом случае условия (1.24) выполнены, если фиксировать положительный знак радикала. Пусть коэффициенты anj известны (что соответствует задаче об излучателе, движущемся вдоль оси Z, потенциал которого задан в виде (1.22,а)). Выразим gj(,) через anj. Для этого разложим (1.22,а) на плоские волны. Воспользуемся представлением [3] для Mj < 1 K n(kr)ein 1 2 k 2 2 k n exp iy x 2 k 2 d , 2 2 k (1.26) Re 2 k 2 0, Re k 0, x 0 . Подставляя (1.26) в (1.22), представим потенциалы в декартовой системе координат e xf j j 2f j anj nj g j (, )e ( x h ) f j n fj где f j 2 k 2j , nj k j iyζ e d , (1.27) n , j 1, 2, 3. Воспользуемся граничными условиями (1.20), с учётом (1.27). Выделяя коэффициенты при eiyζ и приравнивая, в силу произвольности y, их нулю, получим систему трёх уравнений, из которой определяем gi(ξ,ζ) 3 * jk hf k g j (, ) e (1.28) ank nk . k 1 n * Здесь * 2*2 2 4*2 *2 2 *2 2 , 2 * 11 * 2 2 * *21 2 2 2 2 2 * 2 * 2 , *12 2 2*2 2 , *13 2 2*2 2 *2 2 , M s2 * M s2 ** * * , , 4 *2 2 *2 2 , 12 22 23 2 2 2 2 ms ms 2 * 2 * * ** 2*2 2 * 2132 , *32 21 , , 33 ms 2 2 *2 2 *2 2 * 31 M p , M s , *2 2 2 , ** 2*2 2 2 4*2* *2 2 *2 2 , *2* 2 2 ms2 1 2 . Заметим, что *(*) – определитель Релея, который обращается в ноль при *2R 2 M R2 , или в двух точках R M R2 1 , где > 0, MR = c/cR – число Маха, cR – скорость поверхностной волны Релея [71], которую условимся называть релеевской скоростью. Из последнего следует, что *(*) не обращается в ноль на действительной оси, если MR < 1, или с < cR, то есть при дорелеевских скоростях движения нагрузки. В этом случае в качестве контура интегрирования L в (1.22,б) можно сохранить ось 1, так как все подынтегральные функции непрерывны и достаточно быстро стремятся к нулю на бесконечности, что можно показать, используя свойство ограниченности носителя бегущей граничной нагрузки. Поэтому интегралы (1.25) существуют и удовлетворяют условиям затухания на бесконечности. То есть решение в этом случае построено. Следует отметить, что релеевская скорость cR связана с cp и cs соотношением 155 c 2 R 4 cs2 2 16 1 cR2 c 2p 1 cR2 cs2 , из которого, с учётом того, что c s2 c 2p 1 2 21 , она легко может быть выражена через скорость волн искажения cs: 1 2 1 2 2 a 6 8a 4 8 3 a 16 1 0, 1 2 1 где a = cR/cs. Полагая, например, = 0,25, получаем 3a 6 24 a 4 56 a 2 32 0 , или a 2 4 3a 4 12a 2 8 0 . Три корня этого уравнения имеют вид a 2 4, a 2 2 2 3 , a2 2 2 3. Из этих трёх корней только последний удовлетворяет условию экспоненциального затухания релеевских волн в глубине полупространства 155. Отсюда cR = acs = 0,9194cs. В предельном случае = 0,5 a 6 8a 4 24 a 2 16 0 , и мы находим cR = 0,9553cs. В обоих случаях cR < cs, то есть скорость поверхностных волн несколько меньше, чем скорость распространения волн искажения. На рисунке 1.2 изображены графики c(ζ), соответствующие уравнению *(*) = 0 для разных значений ξ (ξ = 0,3; 0,5; 1,0; 2,0; 4,0; 16,0). Расчёты проведены для алевролита: = 0,2, = 2,532109 Па, = 2,5103 кг/м3, cp = 1643,4 м/с, cs = 1006,4 м/с, cR = 917 м/с. Из рисунка видно, что все кривые имеют одинаковый минимум c = cR = 917 м/с при = 0 и любых ξ 0. Причём, с возрастанием ξ кривые стремятся занять положение прямой c = cR , то есть при ξ *(*) = 0 для любых , если с = cR . Действительно, корень уравнения *(*) = 0 c * сR в пределе при ξ равен cR. c 1 000 80 60 40 20 1 2 3 9 9 4 9 5 9 6 - - 0.4 0.3 0.5 - 0.2 0.1 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 0 .5 Обозначение кривых: ξ=0,3 (1); ξ=0,5 (2); ξ=1,0 (3); ξ=2,0 (4); ξ=4,0 (5); ξ=16,0 (6). Рисунок 1.2 При cR < c < cs (MR > 1) для фиксированных значений c и ξ *(*) = 0 в точках R действительной оси 1, где подынтегральные функции в (1.22,б) имеют полюса первого порядка. Поэтому интегралы (1.25) не существуют в обычном смысле. Операции дифференцирования под знаком интеграла становятся формальными. В этом случае, как показано в [3], бегущая нагрузка генерирует незатухающие гармонические поверхностные волны, распространяющиеся с релеевской скоростью (решение для (j2) (4.22,б) представляется в виде суммы главного значения интеграла и вычетов функции gi(ξ,ζ) в точках R ). Амплитуда этих волн постоянна вдоль поверхности x = const и экспоненциально затухает при x → – ∞. При c = cR подынтегральные функции в (1.22,б) имеют сильные, неинтегрируемые даже в смысле главного значения особенности. Стационарного решения задачи в этом случае не существует (амплитуды вынужденных волн неограниченно возрастают). Во избежание обрушения кровли тоннеля неглубокого заложения, а также воздействия поверхностных релеевских волн на наземные строительные сооружения и возможности возникновения в последних резонансных колебаний, скоростной режим транспортируемых по тоннелю объектов должен быть ниже релеевской скорости cR. В дальнейшем, при исследовании тоннелей мелкого заложения, ограничимся дорелеевскими значениями транспортных скоростей c < cR. Для дорелеевской скорости движения нагрузки выражения (1.27), с учетом (1.28), перепишутся в виде e xf j j 2fj anj nj e ( x h ) f j n 3 *jk k 1 e * hf k n ank nk eiyζ dζ .(1.29) Подставляя (1.29) в (1.17), (1.19) получим формулы для вычислений компонент напряженно-деформированного состояния полупространства в декартовых координатах ul Τ lj j 1 3 (1) Fnj(1) Τ lj( 2) Fnj( 2) e i ( y ) d , (1.30) lm 3 1 1 2 2 i ( y ) S lmj Fnj S lmj Fnj e d . j 1 Здесь: l x, y, , m x, y, ; xf (1) nj F e j 2fj n anj nj , ( 2) nj F n e ( xh ) f j 3 *jk k 1 * e hfk a nk nk , n Tx(11) Tx(12) f1, Tx(21) Tx(22) , Tx(31) Tx(32) f 3 , Ty(11) Ty(12) i, Ty(12) Ty(22) if 2 , Ty(31) Ty(32) i , T(11) T(12) i, T(12) T(22) 0, T(31) T(32) ims2 2 , (1) ( 2) 2 2 2 (1) ( 2) (1) ( 2) 2 S xx 1 S xx1 n2 2( f1 m p ) , S xx 2 S xx 2 2f 2 , S xx3 S xx3 2 f 3 , (1) ( 2) 2 2 2 (1) ( 2) (1) ( 2) 2 S yy 1 S yy1 n2 2( m p ) , S yy 2 S yy 2 2 f 2 , S yy3 S yy3 2 , (1) ( 2) (1) ( 2) (1) ( 2) 2 3 S 1 S 1 n2 2n1 , S 2 S 2 0, S 3 S 3 2ms , (1) ( 2) (1) ( 2) 2 2 (1) ( 2) S xy 1 S xy1 2 f1i, S xy 2 S xy 2 ( f 2 )i, S xy3 S xy3 2 f 3i , S(1y)1 S( 2y1) 2, S(1y)2 S( 2y)2 f 2 , S(1y)3 S( 2y)3 n2 , S x(1)1 S x(21) 2 f1i, S x(1)2 S x(2)2 i, S x(1)3 S x(2)3 n2 f 3i , n1 (1 m 2p ) 2 , n2 (1 ms2 ) 2 . Представим Фj (1.22) в цилиндрической системе координат при с < cR. Используя идею аналитического продолжения из разложения [156] e ikr cos i n J n kr e in , можно найти представление для поверхностной n волны [3] exp iy ( x h) 2 k 2 2 2 in k I n (kr )e k n n h e 2 k 2 Тогда в цилиндрической системе координат для x < h получим hf j anj K n (k j r ) I n (k j r ) g j (, ) nj e j d e in . n Подставляя в последнее выражение из (1.28) gj(,), находим . j 3 где bnj anj K n (k j r ) bnj I n (k j r ) ein , n (1.31) amk Anjmk k 1 m , Anjmk *jk * mk nj e h ( f k f j ) d . Подставляя (1.31) в (1.16), (1.18) получаем формулы для вычислений компонент напряженно-деформированного состояния полупространства в цилиндрических координатах ul Tlj(1) K n (k j r ) anj Tlj2 I n (k j r ) bnj ei (n) , 3 n j 1 (1.32) 3 lm 1 K n (k j r ) anj Slmj2 I n (k j r ) bnj ei(n) . Slmj n j 1 Здесь l r , , , m r , , ; n Tr(11) k1 K n k1r , Tr21 K n k 2 r , Tr31 k3 K n k3r , r n n T11 K n k1r i, T12 k 2 K n k 2 r i, T31 K n k3r i , r r T11 K n k1r i, T12 0, T13 k32 K n k3r i , S rr(11) 2 n 2 M p2 2 K n k1r 2k1 K n k1r , 2 k1 2 2 r r S rr12 2k K k r 2n K n k 2 r 2 n 2 , 2 r r 2k3 K n k3 r n2 S rr13 2 k32 2 K n k3 r , r r n 2 M p2 2 K n k1r 2k1 K n k1r , S 1 2 2 r 2 r 1 1 S 2 2nK n k 2 r 2nk2 K n k 2 r 2n 2 K n k3 r 2k3 K n k3 r 1 , S 3 , r r r2 r2 1 M p2 1 1 K n k1r , S S 1 2 0, S 2m32 3 K n k3 r , 2 3 2 1 2 2nK n k1r 2nk1 K n k1r S r11 i, r r2 1 S r2 2 2n 2 2k K k r k 2 2 K n k 2 r 2 n 2 i , r r 2nK n k3 r 2n k3 K n k3 r S r13 i, r r2 2nK n k1r n 2 1 m32 K n k3 r 1 1 , S1 , S 2 k 2 K n k 2 r , S 3 r r 1 S r11 2k1 K n k1r i, S r12 nKn k 2 r i , r S r13 2 k3 1 m32 K n k3r i ; K n kr на I n k j r . dKn kr 2 1 ; Tlj2 , Slmj получаются из Tlj1 , Slmj заменой K n k j r d kr Для определения коэффициентов anj воспользуемся граничными условиями (1.21), с учётом (1.31) (либо условиями (1.3), с учётом (1.13) и (1.32)). Приравнивая коэффициенты рядов Фурье при ein, получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений с определителем нормального типа (доказательство нормальности системы аналогично [152]) 1 2 K n (k j R) anj Srmj I n (k j R) bnj Pnm , S rmj 3 j 1 m r, , ; n 0, 1, 2,... (1.33) При численной реализации задачи, для решения системы уравнений (1.33) удобно пользоваться методом последовательных отражений. Для этого представим j в виде j jk , k 0 2 k где j anj2k K n (k j r ) ein , (k = 0, 1, 2…) назовём потенциалами n волн, излучаемых полостью, а j2 k 1 anj2k 1 I n (k j r ) ein , (k = 0, 1, 2…) – n потенциалами волн, отражённых границей полупространства. С учётом этого граничные условия (1.33) можно представить в виде бесконечной системы уравнений блочно-диагонального типа с матрицами (33) вдоль главной диагонали Pnm , k 0; 1 K n (k j R)anj2k 3 S 2 I (k R) a 2k 1 , k 0, S rmj nj j 1 rmj n j j 1 3 (1.34) m r, , ; n 0, 1, 2,..., которая имеет единственное решение, если её определитель не равен нулю (см. п. 1.3). Коэффициенты 3 anj2 k 1 anj2 k 1 определяются соотношением aml2k 1 Anjml . l 1 m Окончательно, получим: anj anj0 anj2 anj4 ... После определения коэффициентов anj , по формулам (1.30), (1.32) можно вычислить компоненты НДС полупространства. Метод последовательных отражений в данном случае предпочтительней метода редукции [157], так как даже при относительно неглубоком заложении тоннеля (h = 2R) для получения удовлетворительных числовых результатов, как показывают расчёты, можно пользоваться небольшим числом последовательных отражений. Заметим, что рассматривая граничные условия (1.34) только при k = 0 и исключая из (1.22) (j2) , получим решение аналогичной задачи для упругого пространства 3. 1.3 Дисперсионные уравнения. Свободные поверхностные волны в тоннеле Если в уравнениях (1.34) отбросить правые части, то получим однородную систему линейных алгебраических уравнений, которая решает задачу о движении в тоннеле свободных поверхностных цилиндрических волн. Данная система имеет нетривиальные решения в случае, когда определитель матрицы её коэффициентов равен нулю. Из этого условия следуют дисперсионные уравнения n , c 0 , где n(, с) = n(, с) – определители третьего порядка на главной диагонали матрицы коэффициентов системы (1.34), n = 0, 1, 2, 3… Дисперсионные уравнения позволяют определить точки ((n), c(n)), характеризующие длину (n) = 2/(n) и скорость c(n) движения n-ой моды свободной волны, которая может распространяться вдоль поверхности полости. На рисунке 1.3 показано поведение 0(, с) при фиксированных значениях c = c(0). Кривые 1, 2, 3 соответствуют следующим числам Маха: 1 – Mp = 0,608, Ms = 0,993 (c(0) = 1000 м/с); 2 – Mp = 0,596, Ms = 0,974 (c(0) = 980 м/с); 3 – Mp = 0,572, Ms = 0,934 (c(0) = 940 м/с). Расчёты проведены для алевролита. Радиус полости (тоннеля) R =1 м. Точка пересечения любой кривой с осью – (0) ((0) 0) определяет волновое число соответствующей свободной волны для данной скорости c(0). При c < cR = 917м/с (Ms < 0,911), 0(, с) ≠ 0 для любых 0. Корни уравнения появляются лишь при c > cR. На рисунке 1.4 представлены дисперсионные кривые с(n)((n)) (n=0, 1, 2, 3, 5, 10), соответствующие уравнениям n(, с) = 0. Здесь ярко выражено наличие горизонтальной асимптоты c = 917 м/с, которая совпадает со скоростью cR волны Релея для данной среды. 2 ,с) 3 0 4 1 8 2 2 2 1 4 Рисунок 1.3 c 1 1 000 0 9 80 5 9 60 3 1 9 2 40 0 9 20 9 1 00 2 2 3 4 6 Обозначения кривых: n = 0 (0); n = 1 (1); n = 2 (2); n = 3 (3); n = 5 (5); n = 10 (10). Рисунок 1.4 – Дисперсионные кривые для неподкреплённого тоннеля Это объясняется тем, что определитель n(, с) при содержит функцию Релея 2 2 ms2 1 1 c2 c2 c2 2 m p ms 4 2 c 2 4 1 c 2 1 c 2 , s p s которая обращается в ноль при c = cR 3. При движении периодической, с периодом по T = 2/, нагрузки в неограниченном массиве со скоростью с компоненты напряжённо- деформированного состояния среды определяются однозначно, если точка с координатами (, с) не лежит на дисперсионных кривых (в этом случае определитель системы (1.34) не равен нулю). В противном случае задача не имеет решения (происходит явление резонанса, перемещения и напряжения стремятся к бесконечности), хотя не исключена возможность появления множества решений, определяемых с точностью до свободных поверхностных волн в тоннеле (при этом ранг матрицы коэффициентов системы (1.34) должен быть равен рангу расширенной матрицы). Поэтому в дозвуковом диапазоне скоростей движения нагрузки, её параметры и с не должны одновременно являться корнями дисперсионных уравнений, то есть следует избегать совпадения данных параметров с подобными параметрами свободных поверхностных волн в тоннеле. Отметим тот факт, что вполне допустимо совпадение частоты = c вынужденных колебаний массива в окрестности тоннеля с частотами (n) = c(n)(n) собственных колебаний, то есть = (n). Для этого достаточно, чтобы T (n) (или (n)) и c c(n). Если это условие не выполняется ( = (n), c = c(n), * = c, * = (n), где * – критическая частота) то в тоннеле возникают резонансные колебания, которые могут привести к разрушению его стенок. В таблице 1.1 приведены числовые значения частот (0) = c(0)(0) собственных колебаний алевролита в окрестности тоннеля радиусом R = 1 м. Таблица 1.1 c (0), м/с 9 20 9 30 9 40 9 50 9 60 9 70 9 80 9 90 1 000 ξ (0), 4 м 8,8 1 3,4 8 ,1 5 ,9 4 ,7 3 ,8 3 ,2 2 ,7 2 ,3 -1 ω (0), 4 c 4896 1 2462 7 614 4 845 4 512 3 886 3 136 2 673 2 300 -1 Из таблицы видно, что чем больше длина свободной волны (0) = 2/(0) и соответствующая ей скорость c(0), тем ниже (0). Поэтому с увеличением скорости бегущей по тоннелю нагрузки резонансные колебания происходят при большем её периоде и меньшей критической частоте * = (0). Приведенные рассуждения одинаково справедливы как при глубоком, так и при мелком заложении тоннеля. Однако в последнем случае, кроме того, движущаяся со сверхрелеевской скоростью нагрузка, независимо от её периода, вызывает распространяющиеся вдоль земной поверхности гармонические релеевские волны (см. п. 1.2). 1.4 Влияние параметров подвижной периодической нагрузки на напряжённо-деформированное состояние земной поверхности и массива в окрестности тоннеля Исследуем реакцию земной поверхности на бегущие по тоннелю глубиной заложения в алевролите h = 2R = 2,0 м нормальные осесимметричные нагрузки Pr P с амплитудой PA, создающие в среде колебания одинаковой частоты = c и оказывающие давление на поверхность тоннеля в окрестности начала подвижной системы координат η = 0 (рисунок 1.5). X r Pr Y Рисунок 1.5 Для таких нагрузок Pr (, ) PA pr e i PA n Pnr einei ; n P0 r 1, Pnr 0, n 1, 2... . Рассмотрим автономное действие двух нагрузок. Параметры первой нагрузки: c1 = 100 м/с, ξ1 = 1 м-1 (период T1 = 2π м); параметры второй нагрузки: c2 = 200 м/с, ξ2 = 0,5 м-1 (период T2 = 4π м). Круговая частота колебаний среды при действии нагрузок – = 100 с-1. На рисунке 1.6 показаны прогибы земной поверхности ux = ux/PA, м в координатной плоскости XY (рисунок 1.6, а) и плоскости Xη (рисунок 1.6, б). Из графиков видно, что наибольшие прогибы, соответствующие максимальным амплитудам колебаний земной поверхности в вертикальной плоскости, происходят при η = 0, y = 0. Причём, прогибы, вызванные действием первой нагрузки (кривые 1), меньше, чем прогибы, создаваемые второй нагрузкой (кривые 2). Изменим параметры нагрузок таким образом, чтобы они создавали колебания более высокой одинаковой частоты. Принимаем: для первой нагрузки – c1 = 400м/с, ξ1 = 1м-1 (T1 = 2π м); для второй нагрузки – c2 = 200м/с, ξ2 = 2м-1 (T2 = π м). Круговая частота колебаний при этом – = 400с-1. В этом случае, наоборот, максимальный прогиб при действии первой нагрузки (кривые 3) больше, чем при действии второй (кривые 4). uх 1 ,2 0 3 ,8 0 4 ,4 1,6 - 0,8 1,2 0 - 1 0 0 ,8 ,4 0,4 2 1 ,2 y 1 /R ,6 а uх 1 ,2 0 2 3 ,8 0 1 ,4 1,6 - 1,2 - 0,8 0,8 0 0,4 ,4 0 1 ,24 ,6 1 /R б Обозначения кривых: c1=100 м/с, T1 = 2π м (1); c2=200 м/с, T2 = 4π м (2); c1=400 м/с, T1 = 2π м (3); c2=200 м/с, T2 = π м (4). Рисунок 1.6 – Вертикальные смещения земной поверхности при действии радиальных осесимметричных нагрузок Таким образом, при одной и той же частоте колебаний среды, вызываемых действием нагрузок с разным периодом по , более сильное воздействие на земную поверхность и, следовательно, на весь массив вокруг тоннеля оказывает нагрузка с бо́льшим периодом, так как в этом случае частота вынужденных колебаний среды ближе к критической частоте. Это обстоятельство хорошо видно из таблицы 1.2, где приведены наибольшие прогибы ux = ux/PA земной поверхности (максимальные амплитуды колебаний земной поверхности в вертикальной плоскости), в зависимости от скорости c движения нагрузки по тоннелю и её периода T. Кроме того, из таблицы следует, что с увеличением скорости движения нагрузки прогибы возрастают при любом периоде нагрузки. Уменьшение периода нагрузки ведёт к уменьшению прогибов. Для иллюстрации сказанного, согласно данным таблицы 1.2, на рисунке 1.7 построены кривые, показывающие зависимость максимальных амплитуд ux колебаний земной поверхности в вертикальной плоскости от периода T при разных скоростях движения нагрузки. Кривая 1 соответствует скорости c = 100 м/с, 2 – c = 400 м/с, 3 – c = 600 м/с. Таблица 1.2 – Наибольшие прогибы земной поверхности ( = y = 0, x = h) T, м 4 c , м/с 2 4 /3 4 /5 /2 /4 /8 ux, м 1 00 ,83 2 00 0 ,83 4 00 0 ,89 6 00 0 1 ,02 0 ,53 0 ,55 0 ,64 0 ,91 0 ,20 0 ,32 0 ,39 0 ,62 0 ,17 0 ,18 0 ,23 0 ,38 0 ,10 0 ,11 0 ,14 0 ,23 0 ,021 0 0 ,000 ,000 0 ,023 0 0 ,000 ,000 0 ,031 0 0 ,001 ,000 0 ,059 0 0 ,002 ,000 6 1 50 1 ,08 0 ,05 ,76 0 ,48 0 ,29 0 ,076 0 0 ,003 ,000 u ,5 °x 1 1 2 ,0 3 T 1 0 4 /2 /4 Рисунок 1.7 – Максимальные амплитуды колебаний земной поверхности в вертикальной плоскости Необходимо отметить, что для всех рассматриваемых скоростей нагрузки, при относительно небольшом её периоде T = π/4 м, то есть при T/h = 0,4, прогибы, как и другие компоненты напряжённо-деформированного состояния земной поверхности, практически равны нулю. При уменьшении периода (T/h < 0,4), как показали расчёты, от земной поверхности начинает образовываться уже целая область массива с нулевыми компонентами, которая при достаточно малом периоде охватывает весь массив, за исключением небольшой толщины слоя вокруг тоннеля. Это объясняется тем, что действие на массив периодической распределённой нормальной нагрузки не вблизи места нагружения (тоннеля), согласно принципу СенВенана, эквивалентно действию системы сосредоточенных нормальных кольцевых нагрузок с периодически меняющимся знаком и одинаковым модулем, равным площади эпюры нагрузки распределённой по полупериоду. Расстояния между этими силами равно полупериоду. Поэтому, при небольших периодах движущейся нагрузки, мы имеем систему малых по величине сил с периодически противоположным направлением, близко расположенных друг от друга. В этом случае компоненты напряжённодеформированного состояния массива затухают в точках, расположенных ближе от тоннеля, чем земная поверхность (земная поверхность не деформируется) и динамическое поведение рассматриваемого тоннеля (h/R = 2,0) ничем не отличается от динамики заглубленного тоннеля (h/R >> 1). С уменьшением периода нагрузки этот эффект усиливается. В дальнейшем такой тоннель, при действии на который подвижной нагрузки земная поверхность не деформируется, будем называть тоннелем глубокого заложения. В этом случае влиянием земной поверхности на НДС массива можно пренебречь, и в качестве расчётной модели принять модель для заглубленного тоннеля – упругое пространство, ослабленное бесконечной цилиндрической полостью. Тоннелем мелкого заложения будем называть тоннель, при действии на который подвижной нагрузки земная поверхность деформируется. При расчёте такого тоннеля необходимо учитывать влияние отражённых от неё волн на напряжённо-деформированное состояние массива, и пользоваться моделью, принятой в данной работе (см. п. 1.1). Заметим, что повышение скорости нагрузки в тоннеле глубокого заложения может привести к деформации земной поверхности, и такой тоннель следует рассматривать уже как тоннель мелкого заложения. Однако, изменение скорости нагрузки не оказывает столь сильного воздействия на массив, как изменение её периода. Таким образом, земная поверхность оказывает неодинаковое влияние на напряжённо-деформированное состояние массива пород при действии движущихся нагрузок с разными периодами. Для нагрузки с меньшим периодом это влияние менее заметно, и при весьма малых периодах становится неощутимым. В таблицах 1.3 – 1.5 приведены результаты расчётов напряжённодеформированного состояния алевролита (таблица 1.3), гранита (таблица 1.4) и насыпных грунтов (таблица 1.5) на контуре поперечного сечения тоннеля радиусом R = 1,0 м в плоскости XY при h/R = 2 и h/R >> 1. Период нагрузки с амплитудой PA – T = π/4 м. Числа Маха MR для всех пород – 0,9. В таблицах приняты следующие обозначения: ur = urμ/PA, м, σrr = σrr/PA, σθθ = σθθ/PA, σηη = σηη/PA. Характеристики рассматриваемых пород: а) гранит – = 0,242, = 3,1851010 Па, = 2,6103 кг/м3, cp = 5999,2 м/с, cs = 3500 м/с, cR = 3213 м/с; б) алевролит – = 0,2, = 2,532109 Па, = 2,5103 кг/м3, cp =1643,4 м/с, cs = 1006,4 м/с, cR = 917 м/с; в) насыпные грунты – = 0,294, = 1,0935108 Па, = 1,5103 кг/м3 , cp = 500 м/с, cs = 270 м/с, cR = 250 м/с. Так как рассматривается процесс распространения упругих волн, для данных пород принимается упругая модель. Таблица 1.3 – Компоненты напряжённо-деформированного состояния алевролита на контуре поперечного сечения тоннеля (c = 825 м/с, T = π/4 м) /R h омп. , град К 0 3 6 9 1 1 1 Н 0 0 0 20 50 80 0 ,251 0 ,250 0 ,249 ,249 ,249 ,249 - - ДС u r σ 2 rr σ ,0 θθ σ ηη u r σ > rr σ >1 θθ σ ηη 0 ,252 0 0 0 1,000 - - - - 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,222 0,218 0,216 0,217 0,217 0,217 0,217 3,114 3,096 3,079 3,077 3,075 3,077 3,077 0 0 0 0 0 ,249 0 0 ,249 ,249 ,249 ,249 ,249 ,249 - - 1,000 - - - - 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,217 0,217 0,217 0,217 0,217 0,217 0,217 3,077 3,077 3,077 3,077 3,077 3,077 3,077 Таблица 1.4 – Компоненты напряжённо-деформированного состояния гранита на контуре поперечного сечения тоннеля (c = 2892 м/с, T = π/4 м) , град К омп. h 0 Н /R 3 0 6 0 9 0 1 20 1 50 1 80 ДС u r 2 σ ,0 rr 0 ,242 1,000 0 0 0 0 0 0 ,241 ,240 ,240 ,240 ,240 ,240 - - - - - - 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 σ θθ σ ηη u σ rr σ >1 0,384 0,381 0,382 0,382 0,382 0,382 3,080 3,062 3,045 3,043 3,041 3,043 3,043 0 0 0 0 0 ,240 r > 0,388 θθ σ ηη 0 0 ,240 ,240 ,240 ,240 ,240 ,240 - - 1,000 - - - - 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,382 0,382 0,382 0,382 0,382 0,382 0,382 3,042 3,042 3,042 3,042 3,042 3,042 3,042 Таблица 1.5 – Компоненты напряжённо-деформированного состояния насыпных грунтов на контуре поперечного сечения тоннеля (c = 225 м/с, T = π/4 м) , град К омп. h 0 Н /R 3 0 6 0 9 0 1 20 1 50 1 80 ДС u r σ 2 rr σ ,0 θθ σ ηη > u 0 ,229 0 0 0 0 0 0 ,228 ,227 ,227 ,227 ,227 ,227 - - 1,000 - - - - 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,590 0,585 0,581 0,582 0,582 0,582 0,582 3,016 2,999 2,982 2,980 2,978 2,980 2,980 0 0 0 0 0 0 0 >1 ,227 r σ rr σ θθ σ ηη ,227 ,227 ,227 ,227 ,227 ,227 - - 1,000 - - - - 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,582 0,582 0,582 0,582 0,582 0,582 0,582 2,980 2,980 2,980 2,980 2,980 2,980 2,980 Как видно из таблиц, даже при околорелеевской скорости движения нагрузки с небольшим периодом, отличия в значениях компонент напряжённо-деформированного состояния исследуемого контура заглубленного тоннеля и тоннеля глубиной заложения h = 2R невелики для любой рассматриваемой породы. При более низких скоростях разницы в значениях компонент нет. Иная картина наблюдается при движении нагрузки с бо́льшим периодом. Результаты расчётов данных тоннелей при периоде нагрузки T = 4π м и небольшом для всех пород числе Маха MR = 0,1, помещены в таблицы 1.6 – 1.8. Таблица 1.6 – Компоненты напряжённо-деформированного состояния алевролита на контуре поперечного сечения тоннеля (c = 92 м/с, T = 4π м) , град К омп. h 0 Н /R 3 6 9 1 20 1 50 1 0 0 0 80 0 ,876 0 ,604 0 ,413 ,364 ,397 ,421 - - - - - - 1,000 1,000 1,000 1,000 ДС u r σ 2 rr σ ,0 θθ σ ηη 1 ,015 1,000 0 0 ,854 1 ,085 1 ,397 1 ,393 1 ,133 0,342 0,281 0,190 0,159 0,186 0 0 1,000 1,000 0 0 ,835 ,713 0,233 0,253 u r σ > rr σ >1 θθ σ ηη 0 ,452 1,000 0 0 0 0 0 0 ,452 ,452 ,452 ,452 ,452 ,452 - - - - - - 1,000 1,000 1,000 1,000 0 0 0 1,000 1,000 0 0 ,841 ,841 ,841 ,841 ,841 0,218 0,218 0,218 0,218 0,218 0 ,841 0 ,841 0,218 0,218 Таблица 1.7 – Компоненты напряжённо-деформированного состояния гранита на контуре поперечного сечения тоннеля (c = 321 м/с, T = 4π м) , град К омп. h 0 Н /R 3 0 6 0 9 0 1 20 1 50 1 80 ДС u r σ 2 rr σ ,0 θθ σ ηη u * r > >1 rr σ θθ 1,000 0 0 0 ,418 ,366 ,389 ,410 - - - - - - 1,000 1,000 1,000 1,000 1 ,421 1 ,374 1 ,112 0,381 0,294 0,183 0,156 0,190 0 0 0 0 0 0 ,819 0 ,601 1 ,081 1,000 0 0 ,874 0 ,798 ,450 σ 1 ,018 1,000 1,000 0 0 ,826 ,699 0,245 0,269 0 0 ,450 ,450 ,450 ,450 ,450 ,450 - - - - - - 1,000 1,000 1,000 1,000 0 ,819 0 ,819 0 ,819 0 ,819 1,000 1,000 0 ,819 0 ,819 σ ηη 0,229 0,229 0,229 0,229 0,229 0,229 0,229 Таблица 1.8 – Компоненты напряжённо-деформированного состояния насыпных грунтов на контуре поперечного сечения тоннеля (c = 25 м/с, T = 4π м) , град К омп. h 0 Н /R 3 0 6 0 9 0 1 20 1 50 1 80 ДС u r σ 2 rr σ ,0 θθ σ ηη u σ rr σ >1 θθ σ ηη 1,000 0 0 0 0 ,600 ,412 ,361 ,386 ,404 - - - - - - 1,000 1,000 1,000 1,000 1 ,053 1 ,409 1 ,389 1 ,104 0,425 0,317 0,173 0,139 0,184 0 0 0 0 0 1,000 0 0 ,870 0 ,758 ,446 r > 1 ,011 1,000 1,000 0 0 ,784 ,670 0,257 0,288 0 0 ,446 ,446 ,446 ,446 ,446 ,446 - - - - - - 1,000 1,000 1,000 1,000 0 0 0 0 0 ,789 ,789 ,789 ,789 ,789 0,244 0,244 0,244 0,244 0,244 1,000 1,000 0 ,789 0 ,789 0,244 0,244 Из анализа результатов следует, что несмотря на снижение скоростей движения нагрузки, отличия значений сравниваемых выше компонент напряжённо-деформированного состояния поперечного сечения тоннеля, за исключением отдельных компонент в некоторых точках, довольно существенны. 1.5 Действие на тоннель апериодической нагрузки Зная решение задачи для единичной синусоидальной по оси полости нагрузки (п. 1.2), реакцию полупространства на движение апериодической (локальной) нагрузки получаем при помощи суперпозиции, используя представление нагрузки и компонент НДС среды в виде интегралов Фурье 1 * 1 * iξη P, P , e d p p p p e iξη d , 2 2 (1.35) 1 * 1 * iξη Pm , Pm , e d pm p pm p e iξη d , 2 2 m r, , ; 1 * ul (r , , ) ul (r , , ) p * d, 2 1 * lm (r , , ) lm (r , , ) p * d , 2 l r , , , m r , , ; (1.36) 1 * ul ( x, y, ) ul ( x, y, ) p * d, 2 1 * lm ( x, y, ) lm ( x, y, ) p * d , 2 l x, y, , m x, y, . Здесь ul* ( x, y, ) , *lm ( x, y, ) определяются по формулам (1.30), а ul* ( r , , ) и *lm (r , , ) по формулам (1.32), то есть являются решением периодической задачи; p * pe i d . Для вычисления интегралов (1.36) можно использовать любой численный метод, если скорость движения нагрузки меньше скорости волны Релея. Окончательное решение будет зависеть от конкретного вида движущейся нагрузки. Для кольцевой сосредоточенной нагрузки p(η) = P(), где P – интенсивность нагрузки, () – дельта-функция Дирака, имеем p*() = P. В случае действия цилиндрической нагрузки, когда нагрузка P(,) интенсивностью q равномерно распределена по всей или части поверхности полости на участке длиною 2l0 p(η) = qH1(η), 1, при где H1(η) = H(η + l0) – H(η – l0) = 0 , при (1.37) l0 ; l0 , H(η) – функция Хейвисайда. Тогда p * 2q sin( l0 ) . (1.38) Подбирая q таким образом, чтобы общая нагрузка по всей длине участка нагружения 2l0 равнялась эквивалентной сосредоточенной кольцевой нагрузке P(), то есть q P 2l 0 , получим p * P sin( l0 ) (l0 ) . (1.39) Рассмотрим несколько частных случаев приложения к поверхности тоннеля нагрузки типа (1.37), встречающихся на практике: а) осесимметричная цилиндрическая нормальная нагрузка. Действие данной нагрузки, оказывающей равномерное давление на тоннель, показано на рисунке 1.5. Такой вид нагрузки принимается при расчёте пневмопочты, магистральных газопроводов и т. д. В этом случае Pr P, где pr n Pnr e in n p n Pn ein , P0r = P0 = –1, Pnr = Pn= 0, n n = 1, 2…; б) осесимметричная цилиндрическая осевая касательная нагрузка. Настоящая нагрузка, совпадающая по направлению с направлением оси , появляется вследствие трения между движущимся телом и поверхностью тоннеля. При таком нагружении P P, p n n n n Pnein p Pn ein , P0 = P0= –1, Pn = Pn= 0, n = 1, 2…; в) осесимметричная цилиндрическая скручивающая нагрузка. Подобное воздействие может возникнуть при неравенстве динамических нагрузок, передаваемых на каждый из рельсов, уложенных в тоннеле цилиндрической формы, или при вращательном движении очистных устройств в подземном трубопроводе. Для нагрузки, изображённой на рисунке 1.8, имеем P P, p Pn = Pn= 0, n = 1, 2…; n n n n Pnein p Pn ein , P0 = P0= –1, X r Y P Рисунок 1.8 г) симметричные цилиндрические нормальные нагрузки. Пример действия таких нагрузок, оказывающих давление на нижнюю половину поверхности тоннеля, показан на рисунках 1.9, 1.10. Такое нагружение характерно для задач о контейнерном транспорте. В случае действия на тоннель непрерывно распределённой по его нижней pr половине n Pnr e in p n нагрузки (рисунок 1.9) Pr P, n Pn ein , P0r = P0= –1/2, n Pnr = Pn= – cos(n)sin(n/2)/(n), n = 1, 2… Для pr нагрузки, изображённой n n n n Pnr ein p на рисунке 1.10 Pr P, Pn ein , P0r = P0= –1/3, Pnr = Pn= – 2(cos(n)cos(n/3)sin(n/6))/(n) – sin(n/6)( cos(4n/3) – – sin(2n/3))i, n = 1, 2… X X r r Y Y 6 Pr 0° 6 0° Pr Pr Рисунок 1.9 Рисунок 1.10 1.6 Влияние глубины заложения тоннеля, скорости и вида осесимметричной нагрузки на напряжённо-деформированное состояние массива пород Исследуем напряжённо-деформированное состояние массива при действии на тоннель радиуса R = 1 м рассмотренных в п. 1.5, а – в осесимметричных нагрузок с учётом (1.39), где l0 = 0,2 м. Введём обозначения: ul = ul/P, м, lm = lm/P, где – модуль сдвига алевролита; l = r, , , m = r, , – в цилиндрических координатах, l = x, y, , m = x, y, – в декартовых координатах. Для оценки влияния глубины заложения, скорости и вида осесимметричной нагрузки на напряжённо-деформированное состояние массива пород в п. 1.6.1 – 1.6.3 приведен анализ полученных результатов расчётов. 1.6.1 Нормальная нагрузка Рассмотрим действие на тоннель движущейся со скоростью c = 100 м/с осесимметричной цилиндрической нормальной нагрузки (см. п. 1.5, а) при разной глубине его заложения в алевролите. Результаты расчётов напряжённо-деформированного состояния массива для различных отношений h/R приведены в таблицах 1.9 – 1.14. Таблица 1.9 – Компоненты НДС алевролита на контуре поперечного сечения тоннеля в плоскости XY , град К h омп. 0 Н /R 0 ДС u 2 rr - - 0 ,33 - 0 ,49 r rr - ,02 - 0 ,51 0 ,02 - 0 ,51 0 1 80 0 ,49 0 ,0 60 0 ,48 1 0 ,01 0 ,0 - - - 0 ,39 - 0 ,40 - 0 ,37 - 0 ,33 - 0 ,29 - 0 ,26 - 0 ,25 - - 2,08 2,04 1,97 1,91 1,87 1,87 1,87 1,87 1,88 1,88 ,0 ,48 1 40 0 - - 1 20 0 ,48 - - 0 ,25 u 4 - 0 ,21 θθ - 00 0 ,49 1 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 - 0 0 ,52 8 ,0 0,02 0,04 0,03 0,01 θ ,0 0 6 0 0 ,55 u 4 0 0 ,56 r 2 0 ,49 - 0 ,49 - 0 ,48 - 0 ,48 - 0 ,48 - 0 ,48 - 0 ,48 - 0 ,48 - 0 ,49 - - 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 0 ,28 θθ 0 ,28 - 0 ,29 - 0 ,29 - 0 ,30 - 0 ,29 - 0 ,29 - 0 ,29 - 0 ,29 - 0 ,28 - - 1,89 1,89 1,89 1,89 1,88 1,88 1,88 1,88 1,88 1,88 u 0 ,48 r >rr 0 ,48 - 0 ,48 - 0 ,48 - 0 ,48 - 0 ,48 0 ,48 - - 0 ,48 - 0 ,48 - 0 ,48 - - 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 >1 0 ,29 θθ 0 ,29 - 0 ,29 - 0 ,29 - 0 ,29 - 0 ,29 0 ,29 - - 0 ,29 - 0 ,29 - 0 ,29 - - 1,88 1,88 1,88 1,88 1,88 1,88 1,88 1,88 1,88 1,88 Таблица 1.10 – Компоненты НДС алевролита в точках оси Y К y/R h омп. 1 Н /R ,0 1 ,2 1 ,6 2 ,0 2 ,4 2 ,8 3 ,2 ДС u ,47 y 2 xx ,0 yy u ,0 0 xx 0 ,31 0 0 ,14 0 0 ,08 0 0 ,05 0 0 ,03 ,33 ,15 ,07 ,04 ,02 - - - - - - 2,50 1,62 0,52 0,23 0,12 0,07 - - 1,87 0,17 0 0 0 ,32 0 0 ,05 0 ,15 0 0 ,03 0 ,09 0 0 ,02 0 ,06 0 0 ,02 0 ,39 ,48 y 4 0 0 ,01 0,05 0 ,01 0 ,01 0 ,04 0 ,03 0 ,29 ,28 ,13 ,06 ,03 ,02 - - - - - - 0 ,01 - yy 2,50 1,63 - - 1,88 0,17 u 0 > yy 0 ,06 ,03 ,02 - - - - - - 2,50 1,63 0,54 0,24 0,13 0,07 - - 1,88 0,17 0 0 ,05 0 ,03 ,03 0 ,13 0 ,04 ,28 ,06 0 ,01 0 ,29 xx >1 0 0 ,01 0 ,09 0,05 0 ,02 0 ,15 0,07 0 ,03 0 0 0,13 0 ,05 ,32 0 0,24 0 0 ,48 y 0,54 0 ,01 0,05 0 ,02 0 ,01 ,01 Таблица 1.11 – Компоненты НДС алевролита в плоскости XY, при x = R К y/R омп. h Н /R ДС 0 ,0 ,4 u 0 ,56 x 2 ,0 1,81 0 ,21 yy 0,60 0 ,01 2,08 - 1,00 ,04 - 0,27 - 0,60 ,07 0,17 0 ,04 0 ,04 0 ,03 0 ,02 0,07 0 ,01 - - 0,05 0,04 0 ,02 0 ,03 0 0,11 0 ,04 ,03 0 ,02 0 0 ,04 0 ,03 ,05 3 ,2 0 0 0 0,06 0,32 - ,09 2 ,8 ,05 0 - - 0 ,07 0 2 ,4 0 ,11 ,13 2 ,0 0 0 ,17 1 ,6 ,19 0 2,50 xx 0 ,34 ,15 1 ,2 0 0 ,0 y 0 ,8 ,50 u 0 0 ,02 0 ,02 0 ,0 xy 0,86 u 4 2,50 xx 0 ,28 yy 0 ,48 x u > ,15 - 2,50 xx xy 0,86 0,16 0,35 0,89 0,19 ,05 ,04 - 0,36 ,02 - 0,17 - - 0,05 0,04 ,02 0 ,01 0,04 0 ,01 0 0,08 0 - 0 0 ,02 ,01 0,08 0 0 0 - 0 ,01 ,03 ,01 0,12 0 0,74 - 0 ,01 ,04 ,0 - 0,03 0,02 0 0 0,03 0,29 0,03 ,06 - - - - ,09 ,01 0 0 0 - ,02 0 - - - 0 ,0 - - ,03 0 ,12 0,69 0,03 - 1,88 - 0 ,29 yy 0 0 - 0 - ,01 0,05 0 ,05 - ,01 0,08 0 ,10 ,17 1,84 >1 ,21 ,17 ,01 0 - 0 0,05 0,03 0 0 0 - ,02 0 ,02 ,01 0,08 0 - 0 0 0,12 0 ,03 ,02 0 ,01 0 - ,03 0,36 0 0 ,0 y ,05 0,75 ,39 0,19 0 - 0,86 u - - 0,29 0,03 ,04 ,01 0 0 0 0,02 - - ,06 - ,02 0 - 0,15 0,36 - 0 - - 0,89 ,0 xy - - 0,69 0,03 1,89 - 1,83 ,0 - 0 ,02 0 ,08 0,02 0,01 0 ,04 0 ,12 0,05 0 ,06 0 ,17 0,10 0 ,11 0 ,15 0,19 0 ,22 0 ,0 y 0,42 0 ,40 u 0,83 0 ,49 x - 0 ,01 0,02 0,01 - Таблица 1.12 – Компоненты НДС алевролита на земной поверхности в плоскости XY К y/R омп. h 0 Н ,0 /R 0 ,4 ,8 0 ,2 1 1 ,6 2 ,0 2 ,4 2 ,8 3 ,2 3 ,6 ДС u 0 ,32 x u 2 ,0 u u 4 ,22 0 ,38 ,04 0 ,05 0 ,04 0 ,04 yy 0 ,49 0 ,09 ,40 ,0 ,004 y ,0 ,06 0 ,04 x 0 0 ,54 ,23 0 ,48 yy ,29 0 ,0 y 0 ,05 ,04 0 0 ,17 0 ,11 0 0 ,03 0 ,05 0 ,11 ,08 0 0 ,04 0 ,09 - 0 ,05 0 ,11 0 0 ,03 0 ,07 - 0 ,02 0 ,06 - 0 0 ,04 - 0 ,03 - - ,07 0,02 0,08 0,09 0,08 0,06 0,05 0 ,26 0 ,04 0 ,01 0 ,01 0 ,02 0 ,04 0 ,17 0 ,03 0 ,01 0 ,02 0 ,04 0 ,11 0 ,03 0 ,02 0 0 ,07 0 ,03 0 ,05 0 ,02 0 0 ,02 0 0 ,03 ,03 ,02 0 0 0 ,01 0 ,01 0 ,0 0 ,02 ,02 0 ,01 ,0 0 0 0 ,02 ,0 0 0 0 ,02 ,01 0 0 ,02 0 ,0 0 0 ,01 Таблица 1.13 – Компоненты НДС алевролита на своде тоннеля в плоскости X h 2,0 4,0 /R >>1 К η/R омп. 0 Н ,0 0 ,4 η/R 0 ,8 1 ,2 1 ,6 0 ,0 0 ,4 0 ,8 1 ,2 1 ,6 ДС 0 u 0 ,56 x 0 ,20 0 ,08 0 - ,49 0 ,14 ,02 0,02 0 ,13 0 u 0 ,0 - - - - ,0 - 0,12 0,10 0,08 0,06 0 - 0 2,50 xx ,0 0 ,0 ,0 ,0 - ,21 yy 0 ,36 0 ,09 0 - ,28 0 ,29 2,08 0 ,24 0 ,12 01,89 0 ,11 ,11 1,88 ,0 - ,02 0,03 0 - ,02 0,02 ,18 0 ,10 0 ,19 0 0 0 0 ,39 0 0 0 0 ,0 ,0 ,13 ,38 0 ,0 ,12 ,42 - 0,05 0,03 0 0 - - 0 0 - 0,05 0,04 ,0 ,42 ,0 0,03 - ,0 ,0 - ,0 0,02 0 0 0 0 0,06 - 0 - ,0 2,50 0,10 0 02,50 0 0 - - 0,09 0 ,0 0,02 ,03 0,10 ,0 ,03 0 ,48 0 0 ,07 0 ,10 0 ,07 Таблица 1.14 – Компоненты НДС алевролита на земной поверхности в плоскости X h 2,0 4,0 К η/R η/R /R омп. Н ДС 0 ,0 u 0 u 0 ,54 0 ,31 ,06 0 0 0 0 - ,01 0,10 0,11 0 0 0 - ,04 ,05 0 ,02 0 ,02 0 ,03 ,02 ,02 ,03 0 0 0 0 ,6 ,03 ,01 1 0 0 0 0 ,05 0 0 0 1 ,2 ,04 ,01 ,04 0 ,8 ,04 ,0 ,02 0 ,4 ,04 ,04 0 ,19 0 0 ,06 0 ,0 ,02 0 0 ,37 0 ,08 ,07 1 ,6 0 0 0 1 ,2 ,17 ,06 ,48 yy 0 0 0 ,8 ,27 ,0 ,4 ,32 x 0 0 ,01 0 ,02 0 ,0 По данным таблицы 1.9 на рисунке 1.11 построены эпюры перемещений и напряжений на контуре поперечного сечения тоннеля. Из анализа результатов (таблица 1.9, рисунок 1.11) следует, что при глубине заложения h = 2,0R напряжённо-деформированное состояние контура поперечного сечения данного тоннеля заметно отличается от НДС контура заглубленного (h/R >> 1) тоннеля. Если в случае заглубленного тоннеля радиальные перемещения ur, тангенциальные θθ и осевые нормальные напряжения не меняются по контуру, а тангенциальные перемещения uθ равны нулю во всех его точках, то при h/R = 2,0 наблюдается следующая картина. X 0 X ,56 0 1 2 ,49 r ,3 0 2 ,04 45° Y,3 Y 0 ,48 1 б 1 0 ,51 а X X 1 2 0 ,3 ,28 0 ,08 2 2 1 ,3 ,89 1 ,21 0 80° ,40 ,30 r 0 Y Y 1 ,87 0 ,25 0 2, 1 ,28 в ,88 г Обозначения кривых: h/R = 2,0 (1), h/R = 4,0 (2), h/R >> 1 (3). Рисунок 1.11 – Эпюры перемещений и напряжений ur (a), uθ (б), θθ (в), (г) на контуре поперечного сечения тоннеля В верхней точке контура прогиб тоннеля максимален, осевые сжимающие тангенциальное напряжения смещение достигают этой точки, максимального как и значения, диаметрально ей противолежащей, равно нулю. Максимальные тангенциальные смещения испытывают точки при = ± 45º. Наибольшие тангенциальные нормальные напряжения возникают в точках контура при = ± 80º. При этом значения компонент НДС контура в заглубленном тоннеле меньше, чем их экстремальные величины в тоннеле глубиной заложения h = 2,0R. С увеличением глубины заложения в два раза (h/R = 4,0) происходит выравнивание напряжений и перемещений, и напряжённодеформированное состояние массива в окрестности тоннеля в этом случае практически не отличается от НДС заглубленного тоннеля (см. табл. 1.9 – 1.11, 1.13). То есть влияние земной поверхности на напряжённодеформированное состояние массива в окрестности тоннеля, для данной глубины заложения, незначительно. При сопоставлении значений компонент НДС массива вокруг тоннелей глубиной заложения h = 2,0R и h = 4,0R (табл. 1.9 – 1.12), видно, что практическое отличие наблюдается, в основном, в точках кровли между нагруженным сводом тоннеля и земной поверхностью в интервале 0 < x ≤ h. С удалением от поверхности тоннеля, как правило, происходит затухание компонент напряжённо-деформированного состояния среды. Однако, при небольших h, вследствие изгиба кровли в продольной плоскости y = 0, а также равенства нулю нормальных напряжений xx на земной поверхности, тангенциальные напряжения на последней могут оказаться больше, чем на своде тоннеля. Так, для тоннеля глубиной заложения h = 2,0R, в его верхней точке и находящейся над ней точке земной поверхности при η = 0 соответственно составляют 0,21P и 0,48P. На рисунке 1.12 в плоскости X показаны прогибы свода этого тоннеля (кривая 1) и земной поверхности (кривая 2). В точках максимальных прогибов действуют экстремальные осевые напряжения: растягивающее ηη = 0,54P – на земной поверхности, и сжимающее ηη = – 2,08P – на поверхности свода. Как показывают расчёты, при удалении от тоннелей неглубокого заложения в сторону земной поверхности происходит быстрое затухание сжимающих ηη до нуля, и последующее возрастание растягивающих ηη до максимальной величины. Причём, чем меньше глубина заложения, тем больше величина максимального ηη. Если учесть, что любая порода плохо работает на растяжение, то опасной в данном случае будет точка наибольшего прогиба земной поверхности, где растягивающие и ηη максимальны. uх 0 ,8 1 2 0 1,6 1,2 1 ,2 - - 0 0,8 - 1 0 ,8 ,6 ,2 /R 0,2 Рисунок 1.12 – Прогибы свода тоннеля (1) и земной поверхности (2) в плоскости X Возникающие при изгибе касательные напряжения xη принимают экстремальные значения в точках, с координатами x = 1,2R, y = 0, η = 0.2R (рисунок 1.13). x 0 ,6 0 0 ,3 0 - - ,2 ,6 /R 0,2 0,6 0 0,3 Рисунок 1.13 – Изменение касательных напряжений в плоскости X, при x = 1,2R Из графиков, иллюстрирующих динамическое поведение земной поверхности в плоскости XY (рисунок 1.14), видно, что максимальные значения прогибы ux и нормальные напряжения yy, ηη принимают при y = 0 (uy здесь равно нулю), а экстремальные горизонтальные перемещения uy – при y = ±1,3R – для тоннеля глубиной заложения h = 2,0R, и при y = ±2,4R – для тоннеля глубиной заложения h = 4,0R. u °х 1 0 ,2 0 2 ,1 y/R - 2,4 1,6 - 0 ,8 0,8 а 0 2 1 ,6 ,4 u °y - - 2,4 ,1 - 1,6 1 0 2 0 0,8 0 ,8 - 1 ,6 2 y/R ,4 0,1 б °yy 0 1 ,4 0 2 ,2 y/R - 0 - 2,4 0,8 0 2 ,8 - ,4 0,1 в ° 0 1 ,4 0 ,2 2 - 2,4 1,6 0,8 0 0 ,8 1 ,6 2 ,4 y/R г Обозначения кривых: h/R = 2,0 (1), h/R = 4,0 (2). Рисунок 1.14 – Изменения компонент НДС земной поверхности в плоскости XY Для тоннеля глубиной заложения h = 2,0R с увеличением y наблюдается быстрое затухание компонент напряжённо-деформированного состояния земной поверхности, и при y > 3R они становятся практически незначительными. Затухание напряжений и перемещений при глубине заложения h = 4,0R происходит медленней. Их значения в этом случае намного меньше, чем в предыдущем. То есть, с увеличением глубины заложения в два раза, динамическое воздействие движущейся нагрузки на земную поверхность существенно снижается. При этом, однако, максимальный прогиб земной поверхности составляет 8% от наибольшего радиального смещения контура поперечного сечения тоннеля. Поэтому воздействие движущейся нагрузки на земную поверхность хотя и мало, но всё же ощутимо, если допускаемая погрешность по критерию перемещений земной поверхности составляет 5%. Очевидно, что при увеличении глубины заложения это воздействие будет уменьшаться. Затухание компонент напряжённо-деформированного состояния земной поверхности вдоль оси η происходит аналогично. Как видно из рисунка 1.15, экстремальных значений нормальные перемещения и напряжения достигают при η = 0, а равные при этом нулю осевые смещения u экстремальны при η ± 0,8R – для тоннеля глубиной заложения h = 2,0R, и при η ± 1,6R – для тоннеля глубиной заложения h = 4,0. Экстремальные горизонтальные смещения земной поверхности u и uy, происходящие в разных точках, как и их сочетание с наибольшей геометрической суммой, могут оказать негативное влияние на расположенные вблизи тоннеля здания и сооружения вследствие их сдвига в основании. u 1 °х 0 2 ,2 - - 0 0,8 1,6 0 ,8 - 1 /R ,6 0,1 а u 1 ° 0 ,05 1,6 2 0 0 0,8 ,8 1 ,6 /R 0,05 б °yy 1 ,4 2 ,2 0 0 1,6 - 0 0,8 0,1 0 ,8 1 ,6 /R в ° 0 ,4 1 0 ,2 2 1,6 0 - - 0 ,8 0,8 1 ,6 /R 0,2 г Обозначения кривых: h/R = 2 (1), h/R = 4 (2). Рисунок 1.15 – Изменения компонент НДС земной поверхности в плоскости X Приведём некоторые результаты аналогичных исследований, проведенных для тоннелей в массиве других пород. В таблицы 1.15 – 1.16 помещены результаты расчётов напряжённодеформированного состояния гранита и насыпных грунтов на контуре поперечного сечения (η = 0) тоннеля при разной глубине его заложения. Анализируя данные расчётов, заключаем, что в случае более крепкой (более жёсткой) по отношению к алевролиту породы (гранит), как и в случае более слабой (менее жёсткой) породы (насыпные грунты), разница между значениями компонент НДС контура поперечного сечения заглубленного тоннеля (h/R >> 1) и тоннеля глубиной заложения h = 4,0R незначительна, что нельзя сказать о тоннеле при h = 2,0R. Следовательно, влиянием земной поверхности на тоннель глубиной заложения h = 4,0R в массиве любой породы, при принятых параметрах нагрузки, можно пренебречь. Большое отличие, при одинаковой глубине заложения тоннеля в алевролите, граните и насыпных грунтах, наблюдается преимущественно в значениях перемещений. Так, максимальное радиальное перемещение контура сечения тоннеля в граните в 14 (при h/R = 2,0) и 16 (при h/R = 4,0, h/R >> 1) раз меньше, а в насыпных грунтах – в 26 (при h/R = 2,0) и 25 (при h/R = 4,0, h/R >> 1) раз больше, чем в алевролите. Это связанно с различной жёсткостью пород. Таблица 1.15 – Компоненты НДС гранита на контуре поперечного сечения тоннеля , град К омп. h 0 Н /R 2 0 4 0 6 0 8 0 1 00 1 20 1 40 1 60 1 80 ДС u 0 ,04 r 2 - ,0 ,03 2,50 rr u 4 > ,03 r >1 rr - 2,50 2,50 2,50 2,50 2,50 0 0 0 0 0 ,02 - ,03 - ,02 - ,00 - - - 2,50 2,50 - 0,03 - - - 0,03 0,03 - - - 1,89 1,89 1,89 0 0 0 0 0 0 0 0 ,03 - ,03 - 2,50 - 2,50 0,03 - ,03 2,50 - 0,02 - ,03 2,50 - 0,02 - ,03 2,50 - 0,02 - ,03 - - ,03 2,50 0,02 0 - - - 2,50 2,50 0,03 - - 0,03 0,03 - - - 1,90 1,90 1,90 1,90 1,90 1,90 1,90 1,90 1,90 0 0 0 0 0 0 0 0 ,03 ,03 - 2,50 ,03 - 2,50 ,03 - 2,50 ,03 - 2,50 ,03 - 2,50 ,03 - 2,50 0 ,03 2,50 0 ,03 - - - 0 ,03 1,88 2,50 - ,03 1,88 - u - ,03 0 1,89 0,03 1,90 - ,03 0 1,93 - ,03 0 1,98 2,50 0,03 θθ ,03 0 2,04 - ,0 0 - ,04 ,03 2,50 rr 2,50 - ,03 r ,03 - - 0 - 0,05 2,07 - - 0 ,03 2,50 0,07 θθ 0 0 ,03 - 2,50 2,50 - 0,03 θθ 0,03 0,03 1,90 - 0,03 1,90 0,03 1,90 0,03 1,90 0,03 1,90 0,03 1,90 - 1,90 - - 0,03 0,03 - 1,90 - - 1,90 1,90 Таблица 1.16 – Компоненты НДС насыпных грунтов на контуре поперечного сечения тоннеля , град К омп. h 0 Н /R 2 0 4 0 6 0 8 0 1 00 1 20 1 40 1 60 1 80 ДС u 1 4,4 r 4,1 u 2 ,0 0 ,0 θ u θθ 0,35 ,14 - 0 ,49 - 0 ,56 - 2,50 2,50 2,50 2,50 0 0 0 0 0 - ,13 - ,10 - ,05 - 0 ,37 - 2,50 ,11 2,9 ,0 - - 2,50 2,50 - - 0,01 - 0 - 0,06 0,08 - - - 2,11 2,12 2,13 2,14 2,15 1 1 1 1 1 1 1 1 2,3 - 2,50 0,09 0,05 2,50 - 2,0 ,02 2,50 ,08 2,50 - 0,03 2,50 - 0,03 0 ,0 - - 2,50 2,50 - 0,03 0 ,05 - 1 2,3 0 ,08 2,50 1 2,3 0 - 0,03 2,0 0 - 0,03 2,0 - - 2,50 0,03 2,0 - - 0,03 2,0 0,12 - 0,04 0 2,8 1 2,12 - 2,5 1 2,17 0,08 2,50 rr 2,2 1 2,27 0 ,0 2,0 1 2,39 2,3 ,0 θ 1 - - ,03 - 2,3 r u 4 - - 2,1 0,79 2,50 1 - - 0,10 2,45 - - - 1 2,6 0,93 2,50 0,16 θθ - - 1 3,3 0,62 2,50 rr 1 0,03 0,03 - 2,15 u - - - 2,14 2,14 2,14 2,14 1 1 1 1 1 1 1 1 2,1 - - - - 2,1 2,50 0,03 2,14 - 2,14 - - 2,14 2,50 0,03 θθ - 2,14 - >1 - 2,14 2,1 2,50 rr - 2,15 2,1 r > - 2,50 0,03 2,14 Результат - - - 2,1 2,50 0,03 2,14 влияния 2,50 0,03 2,14 2,1 - - - 2,1 2,50 0,03 2,14 - - - 2,50 0,03 2,14 2,1 - - - бегущей 2,1 - - - 0,03 0,03 - 2,14 нагрузки 2,1 - - - 1 2,50 2,50 0,03 2,14 1 - - 2,14 2,14 на напряжённо- деформированное состояние земной поверхности в плоскости XY для гранита и насыпных грунтов представлен в таблицах 1.17, 1.18. Таблица 1.17 – Компоненты НДС гранита на земной поверхности в плоскости XY К y/R омп. h 0 Н /R ,0 0 ,4 0 ,8 1 ,2 1 ,6 2 ,0 2 ,4 2 ,8 3 ,2 ДС u 0 ,015 x u 2 0 ,0 0 0 0 ,000 0,03 0 ,075 ,001 ,001 0,08 0 0 - 0 ,105 ,001 ,002 0,07 0 0 - 0 ,155 ,002 ,004 ,024 0 0 0 0 ,228 ,003 ,004 ,088 0 0 0 0 ,321 ,004 ,003 ,141 0 0 0 0 ,413 ,007 ,003 ,245 0 0 0 0 ,454 0 ,010 ,002 ,313 yy ,014 ,0 y 0 0,02 0 ,058 0 ,045 u ,001 x 4 ,0 0 0 0 0 0 ,001 0 0 ,032 0 ,011 ,029 ,026 ,022 0 ,000 0 ,018 ,000 0 ,001 0 0 ,000 0 ,004 0 0 ,000 0 ,007 0 0 ,001 ,001 0 ,014 0 0 ,001 0 ,016 ,033 0 ,001 ,017 yy 0 ,000 0 ,014 0 ,011 ,008 Таблица 1.18 – Компоненты НДС насыпных грунтов на земной поверхности в плоскости XY К y/R омп. h 0 Н ,0 /R 0 ,4 0 ,8 1 ,2 1 ,6 2 ,0 2 ,4 2 ,8 3 ,2 ДС u 8 ,57 x u 2 0 ,0 u 1 u 4 0 ,0 y ,0 0 0 0 ,07 ,46 0 ,05 0 ,07 0 ,46 0 ,04 0 ,06 0 ,03 0 ,06 0 ,05 ,04 0 ,46 0 0 ,44 0 ,01 0 ,04 ,04 ,45 ,01 0 0 0 0 0,07 ,69 ,45 ,02 - 0 0 0 ,16 ,06 ,69 ,46 0 0,08 0 0 1 - ,09 ,93 1 0 0 0 ,69 ,62 0,08 0 1 ,16 2 - ,14 1 ,16 ,08 0,07 0 1 0 2 - ,23 ,16 ,23 ,06 0 1 0 - 1 ,62 ,55 0,01 ,35 ,39 ,23 ,06 yy 1 ,39 0 0 ,52 2 ,78 ,12 2 ,32 3 0 0 3 ,47 ,01 ,34 ,68 ,39 x 2 0 0 4 ,86 ,55 ,59 ,75 1 0 6 ,48 ,62 ,70 yy ,87 ,0 y 7 0 ,00 0 ,03 0 ,02 Здесь, как и в алевролите, при увеличении глубины заложения в два раза (от h = 2,0R до h = 4,0R) динамическое воздействие движущейся нагрузки на земную поверхность существенно снижается: максимальный прогиб земной поверхности для насыпных грунтов составляет 11% от максимального радиального перемещения контура поперечного сечения тоннеля, а тот же прогиб для гранита – 3% (напомним, что для алевролита – 8%). При глубине заложения h = 2,0R эта доля составляет: для насыпных грунтов – 60%, для алевролита – 57%, для гранита – 38%, то есть соответственно в 5,5 , 7 и 13 раз больше. Увеличим скорость движущейся по тоннелю в массиве алевролита и гранита нагрузки таким образом, чтобы числа Маха MR для этих пород составили 0,40. Это отношение соответствует ранее принятой скорости с = 100 м/с движения нагрузки в насыпных грунтах, а также соответственно скоростям 337м/с и 1285м/с нагрузки, движущейся в алевролите и граните (при с = 100 м/с: для алевролита – MR = 0,11, для гранита – MR = 0,03). На рисунке 1.16 показаны изменения радиальных перемещений в алевролите и граните с удалением по вертикали от верхней точки поперечного сечения контура тоннеля (x = R, y = = 0) до земной поверхности при глубине заложения тоннеля h = 4,0R. u u °r 0,6 °r 0,6 0,4 0,4 2 2 0,2 0,2 1 0 1 1 2 3 4 /R r 0 1 2 3 4 /R r а б Обозначения кривых: на рисунке а – MR = 0,11, с=100м/с (1), MR = 0,40, с=337м/с (2); на рисунке б – MR = 0,03, с=100м/с (1), MR = 0,40, с=1285м/с (2). Рисунок 1.16 – Изменения радиальных перемещений в алевролите (а) и граните (б) с удалением от тоннеля Из графиков видно, что при увеличении скорости движения нагрузки перемещения в массиве пород возрастают. Теперь максимальный прогиб земной поверхности для алевролита составляет 9% от максимального радиального перемещения контура поперечного сечения тоннеля, а тот же прогиб для гранита – 4,5%. На основании вышеизложенного можно сделать вывод, что эффективность воздействия подвижной нагрузки на массив пород зависит не только от глубины заложения тоннеля, но и от её скорости и жёсткости массива. При одной и той же скорости движения нагрузки в породных массивах разной жёсткости, а также при одинаковых числах Маха MR, в более жёсткой породе перемещения меньше, и их затухание от тоннеля к земной поверхности происходит быстрее. Повышение скорости нагрузки приводит не только к возрастанию перемещений, но и к их более медленному затуханию в породах любой жёсткости. Поскольку в качестве характерного параметра для оценки влияния глубины заложения тоннеля на напряжённо-деформированное состояние массива пород принималось отношение глубины заложения тоннеля к его радиусу – h/R, а анализируемые результаты расчётов были получены для R = 1м, возникает необходимость исследовать влияние радиуса тоннеля на НДС массива при фиксированном значении параметра h/R. Сравнивая данные, полученные для разных радиусов тоннеля при глубине его заложения h = 2,0R в алевролите и скорости нагрузки c = 100 м/с (таблицы 1.19, 1.20), заключаем, что при увеличении радиуса от одного метра до двух и до трёх метров, происходит следующее: - на контуре поперечного сечения тоннеля наибольшее радиальное перемещение соответственно возрастает в 1,2 и 1,3 раза, экстремальное осевое нормальное напряжение увеличивается приблизительно в 1,2 раза, тангенциальные нормальные напряжения меняют знак и имеют несколько иной характер изменения по контуру – максимальны по абсолютной величине при = 0 (при R = 1м здесь минимальны) и минимальны при = 80 (при R = 1м здесь максимальны); - на земной поверхности происходит уменьшение максимальных значений перемещений и напряжений: ux, uy – соответственно в ku(2) = 1,4 и ku(3) = 1,8 раз, – в k(2) = 2,1 и k(3) = 3,4 раз, yy – в kу(2) = 2,4 и kу(3) = 4,4 раз. Уменьшение компонент НДС земной поверхности при увеличении радиуса и заданном отношении h/R = 2,0 связано с тем, что перемещения и напряжения на поверхности тоннеля возрастают не намного (порядка 20 30 %), тогда как земная поверхность удаляется от него в 2 – 3 раза. Таким образом, увеличение радиуса тоннеля при фиксированном параметре h/R ведёт к небольшому возрастанию перемещений и напряжений на его поверхности и уменьшению компонент напряжённо- деформированного состояния земной поверхности. Таблица 1.19 – Компоненты НДС контура поперечного сечения тоннеля в плоскости XY R , м омп. , град К 0 2 4 6 8 1 1 1 1 1 Н 0 0 0 0 00 20 40 60 80 ДС u ,56 r u 0 ,67 r ,0 0 ,66 - - - 0 ,64 - 0 ,62 - 0 ,61 - 0 ,61 - 0 ,61 - 0 ,62 - 0 ,63 - 0 ,63 - - - - - - - - - - - - 2,46 2,45 2,42 2,39 2,38 2,37 2,37 2,37 2,38 2,38 u 0 ,71 r ,0 ,25 0,30 0,29 0,26 0,24 0,24 0,25 0,26 0,28 0,29 0,29 θθ 3 0 2,08 2,04 1,97 1,91 1,87 1,87 1,87 1,87 1,88 1,88 2 0 ,26 - 0 ,51 0 ,29 - 0 ,51 0 ,33 - 0 ,49 0 ,37 - 0 ,48 0 ,40 - 0 ,48 0 ,39 - 0 ,48 0 ,33 - 0 ,49 0 ,25 - 0 ,52 0 ,21 θθ 0 ,55 1 ,0 0 0 ,70 - 0 ,69 - 0 ,68 - 0 ,67 - 0 ,67 - 0 ,67 - 0 ,67 - 0 ,68 - 0 ,68 - - 0,51 0,50 0,49 0,48 0,48 0,49 0,49 0,50 0,50 0,50 θθ - - - - - - - - - - 2,53 2,52 2,50 2,49 2,48 2,48 2,48 2,48 2,48 2,48 Таблица 1.20 – Компоненты НДС земной поверхности в плоскости XY К y, м омп. R ,м 0 Н ,0 ,4 0 ,8 0 ,2 1 ,6 1 ,0 2 ,4 2 ,8 2 ,2 3 3 ,6 ДС u 1 ,0 x 0 ,32 ,29 0 ,23 0 ,17 0 ,11 0 ,08 0 ,05 0 ,04 0 ,03 0 ,02 0 u 0 ,0 y u u ,0 u u 19 ,26 ,17 ,01 ,10 0 ,16 ,05 0 0 ,11 yy ,02 0 ,0 3y ,21 0 0 ,17 x ,23 0 ,26 ,38 0 0 ,0 ,49 ,20 yy ,22 0 0 ,0 2y ,40 0 ,23 x ,09 0 0 ,54 ,06 0 ,48 yy 0 ,16 ,16 0 ,24 0 ,16 0 ,02 0 ,10 0 ,15 0 ,11 0 0 0 ,11 0 0 ,09 - 0 ,07 - 0 ,06 - 0 ,04 - 0 ,03 - - ,07 0,02 0,08 0,09 0,08 0,06 0,05 0 ,26 0 ,19 0 ,06 0 ,12 0 ,22 0 ,16 0 ,03 0 ,08 0 ,15 0 ,17 0 ,17 0 ,07 0 ,08 0 ,18 0 ,15 0 ,04 0 ,07 0 ,14 0 ,11 0 ,14 0 ,08 0 ,05 0 ,15 0 ,13 0 ,05 0 ,06 0 ,12 0 0 ,07 0 ,05 0 ,12 0 0 0 ,08 0 ,06 0 0 ,07 - 0 ,02 0 ,08 0 0 ,03 ,10 ,08 0 0 0 ,06 - - ,02 0,01 0,02 0,03 0 0 ,13 0 ,10 0 ,12 0 ,11 0 ,05 ,05 0 ,08 0 ,09 0 ,06 0 ,07 0 0 0 0 ,04 ,03 ,02 ,01 0 0 0 0 ,09 0 ,05 0 ,10 0 ,08 0 ,11 0 0 0 ,07 Введенные выше обозначения ku(R), k(R), kу(R) будем рассматривать как коэффициенты подобия для определения максимальных значений компонент НДС земной поверхности при R = 2м, R = 3м. Исходными данными в этом случае являются значения максимальных перемещений и напряжений на земной поверхности, полученные при расчёте тоннеля с радиусом R = 1 м (ku(1) = k(1) = kу(1) = 1,0). Как следует из графиков ku(R), k(R), kу(R) (рисунок 1.17) все три характерные точки практически лежат на одной прямой, поэтому для нахождения коэффициентов подобия при любом радиусе тоннеля из интервала 1,0 м R 3,0 м можно пользоваться линейной интерполяцией, используя только две точки с координатами R = 1,0 м и R = 3,0 м. Определив коэффициенты и разделив на них исходные данные, вычисляем искомые перемещения и напряжения на земной поверхности. K y Ku K 2 1 0 1 2 3 R 4 4 2 2 0 1 2 3 R 0 1 2 3 R Рисунок 1.17 В дальнейших исследованиях, с целью проведения сравнительных анализов, ограничимся рассмотрением тоннелей с радиусом один метр. 1.6.2 Касательная нагрузка Вследствие того, что движущийся объект, кроме оказывающего на поверхность тоннеля давления, за счёт трения передаёт ещё и осевую касательную нагрузку, представляет интерес исследовать влияние этой нагрузки на НДС массива пород. Для этого полагаем, что в рассмотренном в п. 1.6.1 примере, наряду с цилиндрической осесимметричной нормальной нагрузкой, действует цилиндрическая осесимметричная осевая касательная к поверхности тоннеля нагрузка (см. п. 1.5, б). Принимаем, что интенсивность касательной нагрузки составляет 20% интенсивности нормальной нагрузки. Глубина заложения тоннеля в массиве алевролита – h = 2,0R = 2 м. Скорость движения нагрузок с = 100 м/с. На рисунках 1.18 – 1.19 в плоскости X показаны кривые изменений осевых перемещений u и нормальных напряжений по своду (x = R) тоннеля и земной поверхности (x = h) при раздельном действии нормальной (кривые 1) и касательной (кривые 2) нагрузок, а также при их совместном действии (кривые 3). u ° 3 0 ,2 2 1 ,6 0 0,8 1,6 2,4 - - - 2 /R 0,8 - ,4 1 0,1 а 2 0 .8 2.4 1.6 - 0 0.8 1 0 .8 3 .6 2 .4 1 2.4 б Рисунок 1.18 – Изменения осевых перемещений (а) и нормальных напряжений (б) по своду тоннеля /R u ° 2 ,05 1,6 0 3 - 0,8 - 1 0 0 ,8 /R 2 1 ,4 ,6 0,05 а ° 3 1 - 0 ,2 2 0 ,8 3,2 0 1 ,6 2 ,4 /R 0,2 б Рисунок 1.19 – Изменения осевых перемещений (а) и нормальных напряжений (б) по земной поверхности Как видно из рисунков, при простом нагружении графики перемещений и напряжений имеют симметричный и кососимметричный вид (кривые 1, 2). При совместном действии нагрузок любой график (кривые 3) является результатом сложения симметричного и кососимметричного графиков, поэтому характер его изменения имеет более сложный вид. Из анализа поведения кривых следует, что силы трения заметно влияют на напряжённо-деформированное состояние массива только в окрестности тоннеля (рисунок 1.18). В районе участка приложения нагрузок влияние сил трения на деформации сдвига и напряжения наиболее ощутимо. Так, максимальное горизонтальное смещение возрастает почти в два раза, а наибольшие растягивающее и сжимающее осевые напряжения увеличиваются соответственно в 2,6 и 1,2 раз по сравнению с теми же компонентами, найденными без учёта сил трения (при действии только нормальной нагрузки). На земной поверхности (рисунок 1.19) напряжения существенно не отличаются, а одинаковые по абсолютной величине экстремальные осевые смещения земной поверхности при действии только нормальной нагрузки, при учёте сил трения становятся разными: позади бегущих нагрузок смещение уменьшается, впереди – увеличивается. Очевидно, что при высоких скоростях и больших силах трения, которые могут возникнуть при торможении, возможно довольно значительное увеличение деформаций сдвига земной поверхности и, как следствие этого, возникновение опасного воздействия на расположенные вблизи тоннеля здания и сооружения. Подобный расчёт может быть произведён предложенным здесь методом в начальной стадии плавного торможения, когда изменением скорости можно пренебречь. 1.6.3 Скручивающая нагрузка В некоторых случаях, например, при движении по тоннелю цилиндрического тела, равномерно вращающегося относительно собственной оси, кроме нормальной и осевой касательной нагрузок, на тоннель может передаваться тангенциальная касательная (скручивающая) нагрузка (см. п. 1.5, в). Если пренебречь силами трения в осевом направлении, то воздействие на тоннель в этом случае ограничивается только двумя нагрузками – нормальной (рисунок 1.5) и скручивающей (рисунок 1.8). На автономного рисунке 1.20 динамического в плоскости XY воздействия на представлен земную результат поверхность цилиндрической осесимметричной нормальной (кривые 1) и скручивающей (кривые 2) нагрузок одинаковой интенсивности, а также результат их совместного действия (кривые 3). Принятые параметры: глубина заложения тоннеля в массиве алевролита h = 2,0R = 2м, скорость движения нагрузок с = 100м/с. Здесь, как и в предыдущем случае (п. 1.6.2), все графики при совместном действии нагрузок (кривые 3) можно получить как в результате самостоятельного расчёта, так и путём сложения графиков, построенных по данным расчётов для каждой нагрузки в отдельности (кривые 1, 2). Поскольку слагаемые графики симметричны и кососимметричны, то при совместном действии нагрузок на графиках происходят смещения и увеличения максимальных перемещений и напряжений в рассматриваемой плоскости. Такое изменение динамического поведения земной поверхности, при появлении не предусмотренных проектным расчётом скручивающих нагрузок, может отрицательно отразиться на надёжности работы тоннеля и близлежащих наземных сооружений. u 0 °x ,4 1 3 0 2 1,6 2,4 y - - ,2 - 0 0 - ,8 0,8 1 /R ,6 0,1 а u °y 0 ,4 0 3 ,2 2 2,4 - 0,8 0 1 1,6 0,1 б ,8 y/R 1 0 ,6 2 ,4 0 °yy 1 3 ,6 2 0 ,2 - 2 0 0 y/R ,4 -,8 0,8 0,2 в Рисунок 1.20 – Изменения компонент НДС земной поверхности в плоскости XY 1.7 Движение нормальных нагрузок по лотку тоннеля В заключение приведём результаты исследования действия на тоннель подвижных нормальных нагрузок не обладающих осевой симметрией, но симметричных относительно его вертикальной диаметральной плоскости (см. п. 1.5, г с учётом (1.39), где l0 = 0,2м). Первая нагрузка равномерно распределена по поверхности нижней половины (лотка) тоннеля (рисунок 1.9), а вторая – по первой и третьей её частям, при равном разделении этой половины (рисунок 1.10). На рисунках 1.21 – 1.22 для тоннеля глубиной заложения в алевролите h = 2,0R = 2м, в плоскости XY построены эпюры компонент напряжённо-деформированного состояния массива на контуре поперечного сечения тоннеля и земной поверхности при действии каждой из указанных нагрузок, а также рассмотренной в п. 1.6.1 осесимметричной нормальной нагрузки. Скорость с = 100 м/с и интенсивность всех нагрузок полагалась одинаковой. X 0 X ,56 3 0 ,0 1 2 3 0 6 0 ,48 2 1 Y 0 3 0° ,10 0° 0 ,44 ,44 2 1 2 0 0 Y ,10 0° ,0 1 0 ,51 0 б ,54 а X X 2 3 ,08 1 0 2 3 ,21 1 Y Y 3 3 0°1 0° ,78 1 ,78 2 1 2 0 ,0 ,44 в г Обозначения кривых: первая нагрузка (1), вторая нагрузка (2), осесимметричная нагрузка (3). Рисунок 1.21 – Эпюры перемещений и напряжений ur (a), uθ (б), θθ (в), (г) на контуре поперечного сечения тоннеля u 3 °x 0 ,2 - - 1,6 y 0,0 0,8 2 0,8 1 2,4 2 1,6 - ,4 /R 0,2 а yy3 0 ,6 0 ,4 0 1,6 ,2 1 0,8 0 ,0 2 y 0,8 1,6 0,8 1,6 /R - 0,2 б 3 0 ,4 0 - 1,6 ,2 1 0,8 0 ,0 2 2,4 y - 2,4 /R 0,2 в Обозначения кривых: первая нагрузка (1), вторая нагрузка (2), осесимметричная нагрузка (3). Рисунок 1.22 – Изменения компонент НДС земной поверхности в плоскости XY Как следует из графиков, при действии первой и второй нагрузок эпюры приобретают осесимметричной качественно нагрузки. иной Заметные вид, отличия чем при действии наблюдаются и в количественной оценке напряжений и перемещений. В верхней половине контура сечения тоннеля (рисунок 1.21) осевые нормальные напряжения и радиальные перемещения ur, соответствующие действию неосесимметричных нагрузок, намного меньше тех же компонент, вызванных движущейся осесимметричной нагрузкой. В нижней половине контура эпюры и ur, построенные для первой нагрузки, практически совпадают с подобными эпюрами для осесимметричной нагрузки. Для второй нагрузки эпюры и ur вытянуты вдоль составляющих с осью X углы = ± 120° радиальных осей (что соответствует ориентации нагрузки), а эпюра тангенциальных нормальных напряжений – вдоль оси X (аналогично ведёт себя эта эпюра, при действии первой нагрузки). Причём напряжение в нижней точке контура для осесимметричной нагрузки практически совпадает с напряжением в этой же точке для первой нагрузки, а напряжение в верхней точке – с напряжением для второй нагрузки. Экстремальные тангенциальные смещения u точек контура происходят при = ± 80° в случае действия первой нагрузки и при = ± 60°, в случае действия второй нагрузки. Локальный эффект динамического воздействия на земную поверхность осесимметричной нагрузки, при симметричном нагружении лотка тоннеля сглаживается, перемещении и напряжения меняют знак и становятся по абсолютной величине намного меньше (рисунок 1.22). Особенности деформирования массива при движении рассмотренных неосесимметричных нагрузок связаны с тем, что главный вектор, как первой, так и второй нагрузки направлен в противоположную от земной поверхности сторону (вглубь массива пород). ГЛАВА 2. ДИНАМИЧЕСКИЙ ТОННЕЛЕЙ И ЗАЛОЖЕНИЯ НА ОБОЛОЧЕК РАСЧЁТ ПОДКРЕПЛЁННЫХ ТРУБОПРОВОДОВ МЕЛКОГО ОСНОВЕ ТЕОРИИ ТОНКИХ 2.1 Математическая модель подкреплённого тоннеля трубопровода при мелком заложении. Контактные условия и В тех случаях, когда круговая тоннельная обделка или подземный трубопровод являются тонкостенными конструкциями, в качестве расчётной модели можно принять рассмотренную в предыдущей главе модель тоннеля, при подкреплении полости тонкой упругой цилиндрической оболочкой толщиной h0 (рисунок 2.1). В силу малости толщины оболочки полагаем, что окружающий массив контактирует с оболочкой вдоль её срединной поверхности. На внутреннюю поверхность оболочки действует нагрузка Р, h0 движущаяся с постоянной дозвуковой скоростью с в направлении оси Z. X X r h X R Z 0 R 0 Y 0 c t Рисунок 2.1 – Расчётная схема подкреплённого тоннеля и подземного трубопровода Для описания движения оболочки воспользуемся классическими уравнениями теории тонких оболочек 62 2 u 0 z 1 0 2 u 0 z 1 0 2 u 0 0 u 0 r 1 0 2u0 z 1 0 Pz q z , 0 2 R z R z 2 0 t 2 2 0 h0 z 2 2 R 2 2 1 0 2 u 0 z 1 0 2 u 0 1 0 2 u 0 1 0 1 2 u 0 1 u 0 r P q , 0 2 R z 2 2 0 t 2 2 0 h0 z 2 R 2 2 R 2 0 u 0 z h2 u 1 0 2u0r 1 0 1 u Pr qr ,(2.1) 2 0 0 2 2 u 0 r 02r 0 R z 2 0 t 2 2 0 h0 R 12 R где u0z, u0, u0r – перемещения точек срединной поверхности оболочки; Pz, P, Pr – составляющие интенсивности подвижной нагрузки P; q z rz r R , q r r R , qr rr r R – составляющие реакции окружающей оболочку среды; 0, 0, 0 – соответственно коэффициент Пуассона, модуль сдвига и плотность материала оболочки. В подвижной системе координат уравнения (2.1) перепишутся в виде 2 2 1 0 0 c 2 u 0 1 0 u 0 1 0 2 u 0 0 u 0 r 1 0 P q , 1 2 2 0 2 R R 2 0 h0 2 R 2 2 2 1 0 u0 1 0 0 c 2 2u0 1 2u0 1 u0 r 1 0 1 P q , (2.2) 2 2 2 R 2 0 2 2 0 h0 R 2 R 0 u 0 1 0 0 c 2 2 u0 r u 0 r 1 0 1 u 0 h02 2 2 Pr qr . 2 u0r 2 2 R R 12 2 0 2 0 h0 R Движение полупространства описывается динамическими уравнениями теории упругости в потенциалах Ламе (1.7). Рассмотрим два случая сопряжения оболочки с окружающей средой: жёсткое и скользящее. В этих случаях граничные условия имеют вид: - при скользящем контакте rj r R 0 , j , , (2.3,а) ur r R u0 r ; - при жёстком контакте uj r R u0 j , j ,, r . (2.3,б) Таким образом, в данной постановке, для определения компонент НДС среды необходимо совместно решить уравнения (1.7) и (2.2) при соблюдении, в зависимости от условия сопряжения оболочки со средой, граничных условий (1.4) и (2.3,а) или (2.3,б). 2.2 Аналитическое решение задачи. Определяющие соотношения при жёстком и скользящем контакте Рассмотрим действие на оболочку периодической по оси нагрузки P(,) (1.13). В установившемся состоянии зависимость всех величин от имеет вид (1.13), поэтому q j , Q j eiξ , Q j qnj ein , n (2.4) u0 j , U 0 j e iξ , U 0 j u0nj ein , j r , , . n Подставляя (1.13) и (2.4) в (2.2), для n-го члена разложения получим 12 u 0n 02 n 0 u 0n 2i 0 0 u 0nr G0 Pn q n , 02 n 0 u 0n 22 u 0n 2inu0nr G0 Pn q n , (2.5) 2i 0 0u0n 2inu0n 32u0nr G0 Pnr qnr , где 12 02 02 , 22 02 02 , 32 02 02 , 0 R, 02 202 01n 2 , 02 0102 2n 2 , 02 2 02 n 2 01 1 0 , 02 1 0 , M s 0 c / c s 0 , c s 0 2 2, 02 0102 M s20 , 0 h02 01R 2 2 , , G0 . 0 0 h0 6R 2 Разрешая (2.5) относительно u0n, u0n, u0nr, находим G0 3 u0n j Pn j qn j , n j 1 u0n G0 3 j Pnj qnj , n j 1 u0nr (2.6) G0 3 rj Pnj qnj . n j 1 Здесь n n 1 23 11 2 2 33 21 23 , 2 2 2 2 1 2 3 12 , 2 1 2 3 32 , 3 i 22 2 1 3 , 2 1 2 , 2 1 3 22 , 3 i 12 1 2 3 , 2 r1 3 , r 2 3 , r 3 1 2 32 , 2 1 2n, 2 2 0 0 , 3 02 0 n , для Pnj и qnj индекс j = 1 соответствует индексу , j = 2 – , j = 3 – r. Подставляя соответствующие выражения из (1.13), (1.16), (1.18), (2.6) в (2.3,а), (2.3,б), получим следующие граничные условия: - для скользящего контакта, при r = R 2 3 1 2 i i 2 1 mS2 0, r r r 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 3 2 3 2 2 i 2 i 0, (2.7,а) 2 2 r r r r r r r r r r 3 3 1 1 2 rj i G0 Pnj r 3 qnj e in ; r r r n n j 1 n - для жёсткого контакта, при r = R 1i 2 mS2 3 G0 j Pnj qnj ein , 3 n j 1 n 3 1 1 2 3 j i G0 Pnj qnj e in , r r r n j 1 n (2.7,б) 3 1 1 2 j 3 i G0 Pnj qnj e in . r r r n j 1 n q nj e in rj С учётом того, что при r = R, e i j ,, r , n уравнения (2.7,а) и (2.7,б) перепишутся в виде 2 3 1 2 i i 2 1 mS2 0, r r r 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 3 2 3 2 2 i 2 i 0, (2.8,а) 2 2 r r r r r r r r r r 3 3 r3 1 1 2 rj i i G0 rr e G0 Pnj e in ; r r r n n j 1 n 3 j j 1 n 1i 2 mS2 3 G0 rj e i G0 3 j n j 1 Pnj e in , n 3 3 1 1 2 3 j j i i G0 rj e G0 Pnj ein , (2.8,б) r r r j 1 n n j 1 n 3 3 1 1 2 rj rj 3 i G0 rj e i G0 Pnj e in . r r r j 1 n n j 1 n Дальнейшее решение задачи сводится к интегрированию уравнений (1.15) совместно с граничными условиями: - при скользящем контакте – (1.20), (2.8,а); - при жёстком контакте – (1.20), (2.8,б). Для дозвуковой скорости движения периодической нагрузки компоненты НДС среды можно вычислить по формулам (1.30) и (1.32), учитывая особенности соотношений (1.28). Коэффициенты anj определяются из (2.8,а), (2.8,б), с учётом (1.31) или из (2.3,а), (2.3,б), с учётом (1.32), (2.6): - при скользящем контакте 1 K n (k j R) a nj S rm2j I n (k j R) bnj 0 , S rmj 3 j 1 1 K n (k j R)a nj n Trj1 K n (k j R) r 3 S rrj j 1 G 0 3 (2.9,а) n 2 3 2 Trj I n (k j R) r 3 S rrj I n (k j R) bnj ri Pni , G 0 i 1 m , ; i 1 , i 2 , i 3 r ; n 0,1,2,...; - при жёстком контакте 3 3 1 K n (k j R)anj n Tlj1 K n (k j R) li S rij j 1 G0 i 1 3 3 2 I n (k j R)bnj li Pni , n Tlj2 I n (k j R) li S rij i 1 G0 i 1 (2.9,б) l , , r ; для Pni , S rij i 1 , i 2 , i 3 r ; n 0,1,2,... При использовании метода последовательных отражений, граничные условия (2.9,а), (2.9,б) перепишутся в виде: - для скользящего контакта S K 3 1 rmj j 1 (k j R) anj 2 k n k 0; 0, 3 2 2 k 1 S rmj I n (k j R) anj , j 1 k 0, (2.10,а) 3 n G j 1 1 K n (k j R)anj2k Trj1 K n (k j R) r 3 S rrj 0 1 3 ri Pni , k 0; i 1 3 n 2 Trj I n (k j R) j 1 G0 S 2 I (k R) a 2 k 1 , k 0, nj r 3 rrj n j m , ; i 1 , i 2 , i 3 r ; n 0,1,2,... ; - для жёсткого контакта 3 n G j 1 3 1 K n (k j R)anj2k Tlj1 K n (k j R ) li S rij i 1 0 1 3 li Pni , k 0; i 1 3 n 2 Tlj I n (k j R ) j 1 G0 3 S 2 I (k R ) a 2 k 1 , i 1 ri rij n j nj k 0, (2.10,б) l ,, r ; для Pni , S rij i 1 , i 2 , i 3 r ; n 0,1,2,... Аналогично п. 1. 2, заметим, что, рассматривая граничные условия только при k = 0 и исключая из (1.22) (j2) , получим решение подобной задачи для упругого пространства. При расчёте подкреплённого тоннеля или подземного трубопровода на воздействие апериодической (локальной) нагрузки следует пользоваться формулами (1.35), (1.36), если скорость движения нагрузки меньше её критических скоростей (п. 2.3) и релеевской скорости. 2.3 Исследование критических скоростей нагрузки Коэффициенты anj, через которые находятся все компоненты напряжённо-деформированного состояния среды, можно определить, решая систему уравнений (2.10,а) или (2.10,б) численно. При этом необходимо, чтобы определитель системы был отличен от нуля. Обозначим определитель произвольной матрицы размером (3×3) на главной диагонали разрешающей системы уравнений через n(, с). Приравнивая симметричные относительно n и функции n(, с) к нулю можно получить дисперсионные кривые в плоскости (ξ, с). Координатам ξ(n), с(n) любой точки кривой соответствует свободная волна, распространяющаяся вдоль поверхности полости. Форма этой волны зависит от числа n. На рисунке 2.2 при > 0 изображены дисперсионные кривые, полученные (трубопровода) для подкреплённого проходящего в бетонной массиве оболочкой тоннеля алевролита (сверху область построения графиков ограничена условием движения нагрузки с дозвуковой скоростью c < cs = 1006,4 м/с). Верхние кривые соответствуют жёсткому контакту оболочки со средой (случай жёсткого подкрепления тоннеля), нижние – скользящему контакту (случай свободного подкрепления тоннеля). На рисунке 2.2, е кривая для жёсткого контакта отсутствует. Параметры оболочки: R = 1 м, h0 = 0,02 м, 0 = 0,2, 0 = 1,211010Па, 0 = 2,5103кг/м3; скорости распространения поперечных и продольных волн в бетоне – cs0 = 2200 м/с, cp0 = 3593 м/с. Здесь дисперсионные кривые имеют иное поведение, чем в случае неподкреплённого тоннеля (п. 1.3). Все кривые в двух точках ξ(n)* (ξ(n)* > 0) принимают минимальные значения c = c(n)*, м/с (таблица 2.1). 1000 c 1000 900 900 800 800 700 700 600 600 500 0 20 40 c 500 60 0 c 1000 900 900 800 800 700 700 600 600 500 0 20 40 20 40 60 г) n = 3 900 900 800 800 700 700 600 600 500 д) n = 5 60 0 1000 20 40 500 60 c 0 60 c в) n = 2 1000 40 б) n = 1 а) n = 0 1000 20 40 60 c 500 0 20 е) n = 10 Рисунок 2.2 – Дисперсионные кривые для тоннеля, подкреплённого бетонной оболочкой (h0 = 0,02 м) Таблица 2.1 c Конт (0)* акт c (1)* ( ξ(0)*) ξ(1)*) 57 кий 8 зящий 8 ( 26) 8 ( 27) 8 ( 27) 29) (12) ( ( ξ(10)*) ξ(12)*) – – – – – – 9 9 9 34) 07 9 22 ( 31) c ( 9 ( (10)* ξ(8)*) 9 ( c ( 94 31) 86 ( 9 ( c (8)* ξ(5)*) 82 29) 75 ( 9 ( c (5)* ξ(4)*) 67 27) 73 ( 9 ( c (4)* ξ(3)*) 59 27) 72 ( 9 ( c (3)* ξ(2)*) 58 26) сколь (2)* ( 9 жёст c 53 ( 34) 77 ( 37) 99 ( 40) ( 42) В этих точках дисперсионных кривых n ( n)* , c( n)* 0, n ( n)* , c( n)* 0 . (2.11) Соответствующие (2.11) скорости движения апериодической по нагрузки c = c(n)* называются критическими скоростями нагрузки. Первая (низшая) критическая скорость c = c(0)* независимо от условия сопряжен В этом случае, как показано в 129, при скоростях движения нагрузки выше к содержащий незатухающие гармонические поверхностные цилиндрические волны частоты (0)l = c(0)l и длинной 2/(0)l (l = 1, 2), движущиеся вдоль поверхности полости вслед за действующей нагрузкой с той же скоростью. Амплитуда этих волн постоянна вдоль оси Z и экспоненциально затухает при r . Этот факт может оказаться существенным для практики строительства подземн При c = c(0)* (в общем случае при c = c(n)*) стационарного решения задачи не сущ Если 0 < c < c(0)*, то n(, c) 0 для любых n и . В этом случае при решении ап Как следует из рисунка 2.2 и таблицы 2.1, критические скорости c(n)* для любы превышает скорость волны Релея cR = 917 м/с в алевролите. Для скользящего контакта c(0)* = 872 м/с < cR. Однако с увеличением n c(n)* возрастают (рисунок 2.3), и при n 5 их значения уже превышают cR. При n > 5 и жёстком контакте в дозвуковом диапазоне скоростей определители n(, с) не обращаются в ноль при любых . Критических скоростей для таких n при 0 < c < cs нет. c 1 000 2 (n)* 1 0 9 00 n 8 00 0 2 4 6 8 1 0 1 2 Обозначения кривых: неподкреплённый тоннель (0); свободно подкреплённый Рисунок 2.3 – Интерполяционные кривые изменений критических скоростей нагрузки для тоннеля, подкреплённого бетонной оболочкой толщиной h0 = 0,02 м Отметим тот факт, что для свободной (не связанной с массивом) оболочки критические скорости нагрузки, как показали расчёты, значительно ниже. Для построения дисперсионных уравнений в этом случае следует приравнять определитель системы уравнений (2.5) к нулю 12 n 02 n 0 2i 0 0 02 n 0 22 2in 2i 0 2in = 32 = (123)2-(11)2-(22)2-(33)2+2123 =0. (2.12) Решение дисперсионного уравнения (2.12) c = c(n)((n)) определяет скорости дв Однако, учитывая, что c входит в него только в квадрате, это уравнение можно привести к кубическому уравнению относительно c2 и найти три зависимости для фазовых скоростей движения свободных волн ci = c(n)i((n)i) (i = 1,2,3). При n = 0 уравнение (2.12) перепишется в виде 2 01M s20 0 01 04 0 2i 0 0 2i 0 1 0 1 M s20 0 2 01 02 M s20 2 04 01 04 2 01M s20 2 01 02 M s20 2 04 4 02 1 M s20 0. Последнее уравнение можно представить в форме 0 01 04 f (c1 , c2 ) f 3 (c3 ) 0, (2.13) где f (c1 , c2 ) f1 (c1 ) f 2 (c2 ) 2 01M s20 2 01 02 M s20 2 04 4 02 , f 3 (c3 ) 1 M s20 , c1 c(0)1 ( (0)1 ), c2 c(0) 2 ( (0) 2 ), c3 c(0)3 ( (0)3 ). Для ≠ 0 уравнение (2.13) превращается в тождество, если один из сомножителей (f или f3) равен нулю. При f3(c3) = 0, находим c3 = cs0 = (µ0/0)1/2, где cs0 – скорость распространения поперечных волн. Так как c3 не зависит от , то все гармонические волны данной поляризации распространяются с одной и той же скоростью cs0 и явление дисперсии (расплывание профиля негармонической волны) отсутствует. Предположим, что цилиндрическую оболочку можно рассматривать как упругий стержень для продольных гармонических волн лишь в случае, когда геометрические размеры сечения оболочки малы по сравнению с длиной волны, и поэтому параметры сечения можно усреднить. Такое предположение выполняется при 0. Тогда в сомножителе f(c1, c2) можно положить = 0. В этом случае, имеем f1 (c1 ) 2 2 01M s20 4 02 0, откуда находим значение функции c1 = c(0)1((0)1) при 0 c1 21 0 cs 0 21 0 0 0 E0 0 – скорость продольной волны в стержне. Рассмотрим случай распространения в оболочке волн с учётом её тонкостенности. Тогда длина волны должна быть малой, а волновое число – большим. Приведём f к виду f 2 01M s20 2 04 01M s20 02 2 4 02 04 04 . Приравнивая полученное выражение к нулю и сокращая его на 04 , при получим f 2 c2 2 01M s20 2 0, откуда находим асимптоту функции c2 = c(0)2((0)2) при c2* 2 1 0 cs 0 2 0 1 0 0 E0 1 02 0 – известную из теории пластин формулу для продольной волны Аналогично можно показать, что при n 0 и функции c2 = c(n)2((n)2), c3 = c(n)3((n)3) имеют соответственно асимптоты c2 = c2* и c3 = c3*= cs0 = (µ0/0)1/2. На рисунке 2.4 приведены рассчитанные численно дисперсионные диаграммы для бетонной оболочки радиусом R = 1 м и толщиной h0 = 0,02 м. Каждому значению n соответствуют три диаграммы, описываемых функциями ci = c(n)i((n)i) (i = 1,2,3). При n = 0 на рисунке 2.4, а показана характерная для этого случая прямая горизонтальная линия c3 = cs0 = (µ0/0)1/2 = 2200 м/с, выше которой проходит кривая c2 = c(0)2((0)2) имеющая асимптоты c2 = c2*= 3478,5 м/с и = 0. Большая часть кривой c1 = c(0)1((0)1) расположена ниже прямой c3 = 2200 м/с. Эта кривая имеет минимум c1 = c(0)* = 370 м/с, а также наклонную асимптоту при и c1 > c(0)* (наличие наклонной асимптоты при указанных условиях характерно для любых n). Кроме того, c1 = c1 = (E0/0)1/2 = 3408,2 м/с, при 0. При n 0 (рисунок 2.4, б – ж) все собственные гармонические волны в оболочке являются диспергирующими. Характер изменения дисперсионных диаграмм несколько меняется. Верхняя кривая по-прежнему имеет асимптоты c2 = c2*= 3478,5 м/с и = 0, средняя кривая – асимптоты = 0 и c3 = c3*= cs0 = 2200 м/с. Причём, с увеличением n максимальная кривизна этих диаграмм уменьшается. При небольших n нижняя кривая имеет три экстремума: - для n = 1 – c(1)* = 262 м/с, c(1)* = 1320 м/с, c(1)* = 370 м/с; - для n = 2 – c(2)* = 330 м/с, c(2)* = 792 м/с, c(2)* = 370 м/с; - для n = 3 – c(3)* = 350 м/с, c(3)* = 560 м/с, c(3)* = 370 м/с; - для n = 5 – c(5)* = 363 м/с, c(5)* = 390 м/с, c(5)* = 370 м/с. Из анализа приведенных данных следует, что при возрастании n характер поведения нижней кривой стабилизируется, кривая принимает аналогичный для n = 0 вид с минимальным значением c1 = c(0)* = 370 м/с. Дальнейшее n увеличение ведёт к возрастанию c(n)*: c(10)* = 435 м/с, c(15)* = 613 м/с, c(20)* = 808 м/с. Как видно при сравнении критических скоростей нагрузки, полученных для оболочки в массиве алевролита и для этой же не связанной с массивом оболочки, в последнем случае они значительно ниже. 4000 c 3000 2000 1000 0 0 20 40 60 а) n = 0 4000 c 1400 3000 c 1000 2000 600 1000 0 0 20 40 200 0 1 2 3 б) n = 1 4000 c c 800 3000 600 2000 400 1000 0 0 20 40 200 60 0 4 8 12 16 в) n = 2 4000 c 600 c 3000 400 2000 1000 0 0 20 40 200 0 60 10 20 г) n = 3 4000 c 800 3000 c 600 2000 400 1000 0 0 20 40 200 60 0 д) n = 5 4 8 12 16 4000 c 4000 c 3000 3000 2000 2000 1000 1000 0 0 20 40 0 60 0 20 е) n = 10 40 60 ж) n = 15 Рисунок 2.4 – Дисперсионные кривые для бетонной оболочки толщиной h0 = 0,02 м Для дальнейшего анализа перенесём на рисунок 2.5 полученные ранее дисперсионные кривые. c 10 н 10с 950 5н 3н 5с 10к 10к 5к 3к 0к 3с 3к 0к 5к 0с 850 0 0н 20 40 а 60 0ж c 3ж 5ж 5н 950 3н 0н 5к 5к 3к 3к 0к 0к 850 0 20 40 60 б Рисунок 2.5 Кривые на рисунке обозначены числами с буквами. Цифра «0» соответствует n = 0, «3» – n = 3, «5» – n = 5, «10» – n = 10. Буква «к» определяет дисперсионные кривые для оболочки (крепи), «н» – дисперсионные кривые для неподкреплённого тоннеля, «с» и «ж» – дисперсионные кривые для подкреплённого тоннеля при скользящем и жёстком контакте соответственно. Из анализа кривых видно, что при скользящем контакте полученные для разных конструкций дисперсионные кривые пересекаются в двух точках, если n = 0, и в одной точке, если n 0. То есть, дисперсионные уравнения для оболочки, неподкреплённого и свободно подкреплённого тоннелей имеют общие корни. Таким образом, в данных конструкциях с одной и той же скоростью могут распространяться свободные гармонические волны одинаковой длины. При жёстком контакте подобное явление не наблюдается. Изменяя параметры оболочки можно повысить или понизить значения критических скоростей нагрузки. На рисунке 2.6 изображены дисперсионные диаграммы для чугунной оболочки 0 = 5,771010Па, оболочка с параметрами: 0 = 7,2103кг/м3; имеет одинаковые h0 = 0,02 м, 0 = 0,3, cp0 = 5296 м/с. Данная R = 1 м, cs0 = 2831 м/с, геометрические параметры с бетонной оболочкой, дисперсионные диаграммы для которой представлены на рисунке 2.4, но изготовлена из более жёсткого материала. Сравнивая полученные диаграммы с диаграммами рисунка 2.4, замечаем полное соответствие характера их поведения. При n = 0 имеется прямая c3 = cs0 = 2831 м/с и две кривые линии: верхняя – с асимптотами = 0 и c2 c2* 2 1 0 cs 0 = 4785,3 м/с, и нижняя, имеющая минимум c1 = c(0)* = 503 м/с и наклонную асимптоту при , c1 > c(0)* (при 0 c1 c1 21 0 cs 0 E0 0 = 4564,9 м/с). При n 0 асимптоты для верхней кривой остаются прежними, средняя кривая имеет асимптоты = 0 и c3 = c3*= cs0 = 2831 м/с. Экстремумы нижних кривых: c(1)* = 355 м/с, c(1)* = 1756 м/с, c(1)* = 503 м/с; c(10)* = 596 м/с; c(15)* = 842 м/с. Из этого следует, что при увеличении жёсткости материала оболочки c(n)* возрастают. Дисперсионные кривые для подкреплённого этой оболочкой тоннеля проходящего в алевролите показаны на рисунке 2.7. Верхние кривые соответствуют жёсткому контакту оболочки со средой, нижние – скользящему контакту (на рисунке 2.7, е кривая для жёсткого контакта отсутствует). Характер поведения кривых аналогичен графикам на рисунке 2.2. Сопоставляя данные таблицы 2.2, где помещены результаты расчётов критических скоростей в м/с для данного тоннеля при жёстком и скользящем контакте оболочки со средой, со значениями критических скоростей в таблице 2.1, заключаем, что в случае увеличения жёсткости материала оболочки (замены бетонной оболочки чугунной с теми же геометрическими параметрами) при небольших n 5 происходит снижение значений c(n)*. При n > 5 c(n)* возрастают. 5000 c 4000 3000 2000 1000 0 0 20 40 60 а) n = 0 5000 c 1800 4000 c 1400 3000 1000 2000 600 1000 0 0 20 40 200 0 60 1 2 3 б) n = 1 5000 c 5000 4000 4000 3000 3000 2000 2000 1000 1000 0 0 20 40 е) n = 10 60 c 0 0 20 40 ж) n = 15 60 Рисунок 2.6 – Дисперсионные кривые для чугунной оболочки толщиной h0 = 0,02 м 1000 c 1000 900 900 800 800 700 700 600 600 500 0 20 40 c 500 60 0 c 1000 900 900 800 800 700 700 600 600 500 0 20 40 60 40 60 0 20 г) n = 3 1000 900 900 800 800 700 700 600 600 500 20 40 500 60 c 0 60 c в) n = 2 1000 40 б) n = 1 а) n = 0 1000 20 40 60 c 500 0 20 д) n = 5 е) n = 8 Рисунок 2.7 – Дисперсионные кривые для тоннеля, подкреплённого чугунной оболочкой (h0 = 0,02 м) Таблица 2.2 – Критические скорости нагрузки для тоннеля, подкреплённого чугунной оболочкой толщиной h0 = 0,02 м Конт акт c (0)* жёстк ий (1)* 9 16 сколь зящий c (2)* 17 9 19 9 8 38 c (4)* 32 8 36 c (3)* 9 8 35 c (5)* 56 c (10)* c (12)* 9 – – – 9 9 – – 75 8 84 c (8)* 9 8 57 c 09 65 Изменим геометрические параметры оболочек, увеличив их толщину до h0 = 0,05 м. Нижние дисперсионные кривые для таких оболочек изображены на рисунке 2.8. 2000 c 1500 1000 500 0 0 20 40 а) n = 0 60 2000 c 2000 1500 1500 1000 1000 500 500 0 0 20 40 c 0 0 60 1 2 3 4 2 4 6 8 2 4 6 8 б) n = 1 2000 c 2000 1500 1500 1000 1000 500 500 0 0 20 40 c 0 0 60 в) n = 2 2000 c 2000 1500 1500 1000 1000 500 500 0 0 20 40 c 0 60 0 г) n = 3 2000 c 2000 1500 1500 1000 1000 500 500 0 0 20 40 60 c 0 0 д) n = 5 20 40 60 е) n = 10 Рисунок 2.8 – Дисперсионные кривые для бетонной (нижняя кривая) и чугунной (верхняя кривая) оболочек толщиной h0 = 0,05 м Экстремумы кривых для бетонной оболочки: c(0)* = 585 м/с; c(1)* = 412 м/с, c(1)* = 1327 м/с, c(1)* = 585 м/с; c(2)* = 520 м/с, c(2)* = 810 м/с, c(2)* = 584 м/с; c(3)* = 553 м/с, c(3)* = 620 м/с, c(3)* = 582 м/с; c(5)* = 599 м/с; c(10)* = 1015 м/с. Данные экстремумы превышают не только экстремумы дисперсионных кривых рассчитанных для бетонной оболочки толщиной h0 = 0,02 м, но и для чугунной оболочки этой же толщины. При увеличении толщины чугунной оболочки эта тенденция усиливается: для h0 = 0,05 м – c(0)* = 794 м/с; c(1)* = 559 м/с, c(1)* = 1757 м/с, c(1)* = 794 м/с; c(2)* = 705 м/с, c(2)* = 1083 м/с, c(2)* = 792 м/с; c(3)* = 782 м/с, c(3)* = 834 м/с, c(3)* = 789 м/с; c(5)* = 816 м/с; c(10)* = 1395 м/с. Таким образом, увеличение толщины оболочки приводит к возрастанию c(n)*. Подобный эффект наблюдается и в подкреплённых тоннелях. Это хорошо видно из таблиц 2.1, 2.2, 2.3 и рисунка 2.9 (во всех случаях окружающая тоннель среда – алевролит). Для более жёсткого материала оболочки при увеличении её толщины повышение критических скоростей происходит интенсивней: при скользящем контакте оболочки толщиной h0 = 0,05 м, как следует из рисунка 2.9, кривая 1ч5 занимает положение выше, чем кривая 1б5, а при жёстком контакте кривые 2ч5 и 2б5 практически совпадают. При h0 = 0,02 м кривые 1б2, 2б2, расположены, с небольшим исключением, выше аналогичных кривых 1ч2, 2ч2. Кроме этого из рисунка видно, что критические скорости могут быть как меньше, так и больше релеевской скорости. c(n)* 2 2 1000 (б5) 2 1 (б2) (ч5) 1(ч5) (б2) 1 2(ч2 ) 1 (ч2) 4 6 0 (б5) 90 0 80 0 n 0 2 8 1 1 0 2 Обозначения кривых: неподкреплённый тоннель (0); свободно подкреплённый Рисунок 2.9 – Интерполяционные кривые изменения критических скоростей Таблица 2.3 – Критические скорости нагрузки для тоннеля при различном материале оболочки толщиной h0 = 0,05 м c Мате Конт риал (0)*, акт оболочки /с ий жёстк м 9 сколь c (4)*, м /с c (5)*, м /с м /с 9 – – – 9 9 9 – – – 82 8 94 9 м 9 8 c (3)*, /с 76 92 c (2)*, /с 74 зящий чугу (1)*, м жёстк бетон c 00 9 37 9 68 – н ий 72 сколь 75 8 зящий 84 9 99 01 9 10 – 9 – 63 В некоторых случаях, например, при относительно большой толщине оболочки и малой жесткости массива, скорости распространения в тоннеле свободных гармонических волн могут превышать скорость поперечных волн в массиве. При этом определители n(, с) ≠ 0 при любых и 0 < c < cs. Так, для проходящего в насыпных грунтах (cs = 270 м/с) тоннеля, подкреплённого бетонной оболочкой радиусом R = 1 м и толщиной h0 = 0,02 м, первая (низшая) критическая скорость c(0)* при скользящем контакте очень близка к cs и составляет 264 м/с, а при жёстком контакте она не входит в интервал скоростей 0 < c < cs. Для h0 = 0,05 м критических скоростей в данном интервале нет при любых контактных условиях. Существование таких, сравнительно небольших, критических скоростей свидетельствует о том, что уменьшение жёсткости окружающей тоннель среды может привести к существенному понижению значений критических скоростей. При увеличении жёсткости среды, как следует из таблиц 2.3 и 2.4, критические скорости возрастают. Таблица 2.4 – Критические скорости нагрузки для проходящего в граните тоннеля, подкреплённого бетонной оболочкой толщиной h0 = 0,05 м Конт акт c c (0)* жёстк ий сколь зящий (1)* 2 765 767 2 699 c 700 c (2)* 2 771 2 704 c (3)* 2 796 2 731 c (4)* 2 880 2 824 c (5)* 2 947 2 842 c (8)* 2 097 2 960 (10)* 3 3 204 2 044 3 2.4 Влияние параметров оболочки и контактных условий на напряжённо-деформированное состояние окружающего массива Для оценки влияния параметров оболочки и условий её сопряжения с окружающим массивом на напряжённо-деформированное состояние последнего произведём сравнительный анализ результатов расчётов неподкреплённого и подкреплённого тоннелей при действии различных видов нагрузок (см. п. 1.5, а – в, с учётом (1.39)) и их сочетаний (п. 1.6.2, 1.6.3). Полагаем, что тоннель радиусом R = 1м проходит в алевролите на глубине h = 2R. Действующие на тоннель нагрузки, движущиеся с докритической и дорелеевской скоростью c = 100 м/с, равномерно распределены по его поверхности в интервале l0 = 0,2 м. Рассмотрим действие на тоннель осесимметричной цилиндрической нормальной нагрузки (п. 1.5, а). Данные расчётов напряжённо-деформированного контура поперечного сечения ( = 0) неподкреплённого состояния (h0/R = 0) и подкреплённого, при разных условиях контакта с массивом, бетонной или чугунной оболочкой тоннеля помещены в таблицы 2.5 – 2.6 (здесь и в дальнейшем, под контуром поперечного сечения подкреплённого тоннеля подразумевается контур полости). Согласно этим данным на рисунке 2.10 построены эпюры радиальных перемещений ur = ur/P, м (а), осевых = /P (б) и тангенциальных = /P (в) нормальных напряжений ( – модуль сдвига алевролита). Эпюра 1 построена для неподкреплённого тоннеля, эпюры 2, 3 – для тоннеля подкреплённого бетонной оболочкой (2 – при h0 = 0,02 м, 3 – при h0 = 0,05 м). Эпюры 4, 5 построены для тоннеля с оболочкой из более жёсткого материала – чугуна (4 – при h0 = 0,02 м, 5 – при h0 = 0,05 м). Контакт между оболочкой и окружающим массивом полагался жёстким. Таблица 2.5 – Компоненты НДС контура поперечного сечения неподкреплённого и подкреплённого бетонной оболочкой тоннеля , град К омп. h 0 Н 0/R 2 0 4 0 6 0 8 0 1 00 1 20 1 40 1 60 1 80 ДС u r 0 ,56 0 θθ ,55 0 ,21 0 0 ,52 0 ,25 - 0 ,49 0 ,33 - 0 ,48 0 ,39 - 0 ,48 0 ,40 - 0 ,48 0 ,37 - 0 ,49 0 ,33 - 0 ,51 0 ,29 - 0 ,51 0 ,26 - 0 ,25 - - 2,08 2,04 1,97 1,91 1,87 1,87 1,87 1,87 1,88 1,88 Жёсткий контакт u r ,50 0 θθ ,02 0 0 ,47 ,35 0 ,45 0 ,38 - 0 ,44 0 ,41 - 0 ,44 0 ,41 - 0 ,44 0 ,40 - 0 ,45 0 ,38 - 0 ,46 0 ,36 - 0 ,46 0 ,34 - 0 ,34 - - 1,36 1,34 1,30 1,26 1,24 1,23 1,23 1,24 1,24 1,24 r 0 ,45 θθ ,05 0 0 - u 0 ,49 ,33 0 ,44 0 ,32 0 0 ,42 0 ,33 - 0 ,41 0 ,35 - 0 ,40 0 ,36 - 0 ,40 0 ,37 - 0 ,40 0 ,36 - 0 ,41 0 ,35 - 0 ,42 0 ,33 - 0 ,42 0 ,32 - 0 ,32 - - 1,02 1,01 0,99 0,97 0,96 0,95 0,95 0,95 0,96 0,96 Скользящий контакт u 0 r 0 ,52 ,02 θθ 0 ,51 0 ,22 0 ,49 0 ,26 0 ,46 0 ,32 0 ,45 0 ,37 0 ,45 0 ,38 0 ,45 0 ,36 0 ,46 0 ,33 0 ,47 0 ,29 0 ,48 0 ,26 0 ,26 - r 0 ,48 θθ ,05 - - - - - - - - 1,90 1,87 1,81 1,75 1,72 1,71 1,71 1,72 1,73 1,73 u 0 - ,47 0 ,16 0 0 ,45 0 ,18 - 0 ,43 0 ,25 - 0 ,41 0 ,29 - 0 ,41 0 ,30 - 0 ,42 0 ,29 - ,43 0 ,26 1 1,87 1,84 1,78 1,74 1,71 0 0 ,44 0 ,22 - 0 ,44 0 ,20 - 0 ,19 - - ,70 1,70 1,71 1,72 1,72 Таблица 2.6 – Компоненты НДС контура поперечного сечения тоннеля, подкреплённого чугунной оболочкой , град К омп. h 0 Н 0/R 2 0 4 0 6 0 8 0 1 00 1 20 1 40 1 60 1 80 ДС Жёсткий контакт u r ,39 0 θθ ,02 0 0 ,37 ,31 0 ,36 0 ,31 - 0 ,35 0 ,32 - 0 ,35 0 ,33 - 0 ,36 0 ,32 - 0 ,36 0 ,32 - 0 ,37 0 ,31 - 0 ,37 0 ,30 - 0 ,30 - - 0,80 0,80 0,79 0,78 0,77 0,77 0,77 0,77 0,77 0,77 r 0 ,28 θθ ,05 0 0 - u 0 ,38 ,31 0 ,28 0 ,21 0 ,27 0 ,20 - 0 ,26 0 ,20 - 0 ,26 0 ,20 - 0 ,26 0 ,20 - 0 0 ,27 0 ,20 - ,27 0 ,20 - 0 ,27 0 ,20 - 0 ,28 0 ,20 - 0 0 ,20 - - 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 Скользящий контакт 0 u 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r ,02 ,41 θθ 0 ,15 ,39 0 ,17 - ,38 0 ,22 - ,37 0 ,25 - ,37 0 ,26 - ,37 0 ,25 - ,38 0 ,23 - ,39 0 ,20 - ,39 0 ,18 - 0 ,17 - - 1,64 1,61 1,57 1,53 1,51 1,51 1,51 1,51 1,52 1,52 u r 0 ,30 0 ,05 ,41 θθ ,29 0 ,05 0 0 ,29 0 ,07 - ,28 0 ,10 - 0 ,27 0 ,12 - 0 0 ,27 0 ,13 - ,28 0 ,12 - 0 ,28 0 ,11 - 0 ,29 0 ,09 - 0 ,29 0 ,08 - 0 0 ,07 - - 1,34 1,33 1,30 1,28 1,27 1,26 1,26 1,27 1,27 1,27 Подобные эпюры для иллюстрации влияния условий сопряжения бетонной оболочки с массивом на напряжённо-деформированное состояние контура тоннеля показаны на рисунке 2.11. Здесь эпюра 1 построена для неподкреплённого тоннеля, эпюры 2, 3 – для тоннеля при жёстком сцеплении оболочки с массивом (2 – при h0 = 0,02 м, 3 – при h0 = 0,05 м), эпюры 4, 5 – для свободно подкреплённого тоннеля (4 – при h0 = 0,02 м, 5 – при h0 = 0,05 м). Из анализа данных таблиц и графиков следует, что при любом сопряжении оболочки с массивом подкрепление тоннеля ведёт к уменьшению радиальных перемещений ur и сжимающих осевых напряжений . Влияние оболочки на характер изменения тангенциальных нормальных напряжений несколько отличается: в центральных частях свода и лотка тоннеля эти напряжения возрастают. С увеличением толщины и жёсткости материала оболочки перемещения и напряжения становятся меньше. Контактные условия тоже влияют на НДС контура сечения: в случае жёсткого контакта оболочки с массивом ur и сжимающие становятся меньше, а – больше, чем при скользящем контакте. X 0 1 ,56 X 2 2 3 0 1 ,08 2 r ,28 3 0 Y 0 ,48 0 R ,26 Y ,55 1 4 4 ,87 5 5 0 ,28 0 1 ,51 ,88 а б X 0 1 2 ,33 0 3 ,21 Y 0 ,40 0 ,20 4 5 0 ,20 0 ,34 в Рисунок 2.10 – Эпюры перемещений и напряжений ur (a), (б), θθ (в), на контуре поперечного сечения тоннеля при жёстком контакте оболочки с массивом X 0 1 ,56 4 0 2 ,45 5 r 3 0 ,48 Y R 0 ,40 0 ,42 0 ,51 а X 2 ,01 1 4 X 0 5 2 1 ,33 3 1 ,80 4 5 ,16 Y 3 1 0 ,02 2 Y 0 0 ,96 ,42 0 ,30 0 ,96 0 ,19 0 1 ,81 ,34 б в Рисунок 2.11 – Эпюры перемещений и напряжений ur (a), (б), θθ (в), на контуре поперечного сечения тоннеля при различных контактных условиях оболочки с массивом Аналогичное влияние оболочка оказывает на земную поверхность над бегущей нагрузкой. Это хорошо видно из таблиц 2.7, 2.8, где приведены значения компонент напряжённо-деформированного состояния земной поверхности ux= ux/P, uy= uy/P, yy = yy/P, ηη = ηη/P, а также из рисунков 2.12, 2,13, на которых представлены кривые изменений по земной поверхности этих компонент при жёстком контакте бетонной или чугунной оболочки с массивом (рисунок 2.12, нумерация кривых имеет тот же смысл, что и на рисунке 2.10) и при различных условиях контакта бетонной обделки с массивом (рисунок 2.13, нумерация кривых соответствует нумерации на рисунке 2.11). Таблица 2.7 – Компоненты НДС земной поверхности в плоскости X для неподкреплённого тоннеля и тоннеля, подкреплённого бетонной оболочкой К y/R омп. h 0 Н ,0 0/R 0 ,4 0 ,8 1 ,2 1 ,6 2 ,0 2 ,4 2 ,8 3 ,2 ДС u 0 ,32 x u 0 0 0 0 0 0 ,08 0 0 0 0 ,11 ,11 ,22 ,49 0 ,17 ,09 ,40 ,54 0 0 0 ,23 ,06 ,48 yy ,29 ,0 y 0 0 ,11 0 0 ,05 ,04 0 ,09 - 0 0 ,07 - 0 ,03 0 ,06 - 0 ,04 - - ,07 0,02 0,08 0,09 0,08 0,06 0 ,38 0 ,26 0 ,17 0 ,11 0 ,07 0 ,05 0 ,03 Жёсткий контакт u 0 ,02 0 ,27 x u 0 ,25 0 0 ,20 0 0 ,15 0 0 ,10 0 0 ,07 0 0 ,05 0 0 ,03 0 0 ,02 0 0 ,0 y 0 ,44 yy u 0 0 ,37 yy 0 0 ,09 ,08 ,16 ,38 ,05 - 0 ,10 ,04 - - 0 0 ,04 - 0 0 ,05 - 0 ,03 ,03 0 ,06 0 ,04 0 0 ,07 0 ,07 ,06 0 0 0 ,06 - 0 0 0 0 - ,15 ,12 ,07 ,31 ,41 0 0 ,08 0 ,23 ,17 ,05 0 0 0 ,09 ,04 0,03 0,06 0,07 0,06 0,05 ,33 ,21 ,0 y 0 0 0 ,10 ,19 ,43 ,22 x ,05 ,38 ,47 ,09 0 0 u 0 ,05 0 ,02 0 ,04 - 0 ,03 - - ,04 0,03 0,05 0,06 0,05 0,04 0 ,29 0 ,20 0 ,13 0 ,09 0 ,06 0 ,04 0 ,03 Скользящий контакт u 0 ,28 x u 0 0 ,02 u u 0 ,05 0 0 ,0 y yy 0 ,42 0 ,06 - 0 ,02 0 ,05 - 0 0 ,04 - - - 0 ,04 - 0 0 ,05 0 ,01 0 ,04 - 0 ,03 ,03 0 ,07 0 ,05 0 0 ,08 0 ,07 ,06 0 0 0 ,10 ,09 ,09 0 0 ,16 ,14 ,08 ,17 0 ,03 0 - 0 0 0 ,34 ,24 ,19 ,05 ,05 ,08 0 0 0 ,09 0 ,04 0,04 0,07 0,07 0,06 0,04 ,35 ,23 0 0 0 0 0 ,07 0 0 0 0 ,11 ,10 ,20 ,46 ,25 x 0 0 0 0 ,16 ,09 ,38 ,50 0 0 0 ,21 ,06 ,46 yy ,26 ,0 y 0 0 ,03 - ,03 0,04 0,06 0,07 0,06 0,04 - 0 ,45 0 ,41 0 ,32 0 ,22 0 ,14 0 ,09 0 ,06 0 ,04 0 ,03 Таблица 2.8 – Компоненты НДС земной поверхности в плоскости X для подкреплённого чугунной оболочкой тоннеля К y/R омп. h 0 Н ,0 0/R 0 ,4 0 ,8 1 ,2 1 ,6 2 ,0 2 ,4 2 ,8 3 ,2 ДС Жёсткий контакт u 0 ,18 x u 0 0 ,02 u 0 u 0 0 ,0 y ,05 0 ,20 yy ,24 ,22 0 ,01 0 ,03 - 0 0 0 ,02 - ,05 ,03 ,04 0 - 0 ,02 - 0 0 ,03 - 0 ,01 0 ,02 - 0 ,02 ,01 0 ,03 0 ,03 0 0 0 0 ,01 - - ,02 0,02 0,03 0,03 0,02 0,02 0 ,17 ,04 ,07 ,04 ,04 ,09 0 0 0 0 0 - ,11 ,06 ,03 ,16 0 ,02 0 - 0 0 0 0 ,17 ,09 ,02 ,03 ,05 0 0 0 ,06 0 ,03 0,02 0,04 0,05 0,04 0,03 ,24 ,11 0 0 0 0 0 ,05 0 0 0 0 ,07 ,07 ,13 ,32 ,12 x 0 0 0 0 ,10 ,06 ,25 ,35 0 0 0 ,14 ,04 ,31 yy ,17 ,0 y 0 0 ,11 0 ,07 0 ,05 Скользящий контакт 0 ,03 0 ,02 0 ,01 u 0 ,20 x u 0 ,0 y u 0 u 0 0 ,0 y ,05 0 ,22 yy ,27 ,25 0 - 0 ,02 - - 0 0 ,02 0 - 0 0 ,03 - 0 ,02 ,01 0 ,04 0 ,03 0 ,03 ,04 0 ,05 0 ,05 ,05 ,09 0 ,01 0 ,02 - 0 ,02 - - ,02 0,02 0,03 0,04 0,03 0,02 0 ,19 0 ,01 ,03 0 ,08 0 0 0 - ,12 ,07 ,04 ,18 0 ,04 0 0 0 0 0 ,19 ,10 ,03 - 0 0 0 ,02 0 ,05 0 ,03 0,03 0,05 0,05 0,04 0,03 ,27 ,12 ,06 0 ,03 0 0 0 0 0 ,05 0 0 0 0 ,08 ,07 ,14 ,35 ,13 x 0 0 0 0 ,11 ,06 ,27 ,39 0 0 0 ,15 ,04 ,34 yy ,19 0 ,02 0 0 ,13 0 ,08 0 ,05 0 ,03 0 ,02 0 ,01 ux 0 ° 1 ,4 2 3 4 5 2,4 1,6 0,8 y/R 0 ,0 0,8 а 1,6 2,4 u °y ,05 1,6 2,4 - 2 3 ,1 - 1 0 0 0 0,8 0 ,8 0,05 1 ,6 4 ,4 2 y/R 2 y/R 5 - 0,1 б 1 °yy 2 3 4 0 5 ,2 0 ,1 - - 0 1,6 2,4 1 - 0,8 0 ,6 ,4 ,8 0,1 в o 0 1 ,6 2 3 4 5 0 ,1 2,4 1,6 0,8 y/R 0 - - ,0 0,8 г 1,6 2,4 Рисунок 2.12 – Изменения компонент НДС земной поверхности в плоскости XY при жёстком контакте оболочки с массивом u 0 °x 1 ,35 4 2 5 3 0 ,15 0 ,1 0 ,05 y/R 2,4 1,6 0 - 0 0,8 ,8 1 ,6 2 ,4 а u °y ,1 2,4 - 1,6 ,05 1 2 0 0 0 - 0,05 - 0,1 б 5 3 0 0,8 4 ,8 1 ,6 2 ,4 y/R 4 1 °yy 3 2 5 0 ,3 0 ,2 2,4 1,6 0 ,1 - 0 0,8 0 ,8 - 2 1 y/R ,4 ,6 0,1 в 1 4 5 2 0 ,3 3 0 ,2 0 ,1 y/R 2,4 1,6 - 0 0 0,8 ,8 1 ,6 2 ,4 г Рисунок 2.13 – Изменения компонент НДС земной поверхности в плоскости XY при различных контактных условиях оболочки с массивом При возрастании y происходит быстрое затухание компонент НДС земной поверхности, и при y > 3R перемещения и напряжения становятся одинаково малы во всех рассматриваемых случаях. Для учёта влияния на НДС массива сил трения, возникающих при транспортировке различных объектов по тоннелю, рассматривается действие на тоннель движущейся осевой касательной нагрузки (см. п. 1.6.2). Если сравнить её действие на неподкреплённый тоннель и тоннель, жёстко подкреплённый оболочкой, то вследствие деформации последней осевые перемещения u точек контактирующей с движущимся телом поверхности полости должны быть больше, чем u тех же точек контактирующих с оболочкой. Поэтому влияние сил трения на напряжённо-деформированное состояние массива пород при подкреплении тоннеля снижается, что и следует из рисунка 2.14, где в плоскости X показаны кривые изменений осевых перемещений u= u/P и нормальных напряжений ηη = ηη/P по земной поверхности для неподкреплённого (кривые 1) и подкреплённого чугунной оболочкой толщиной h0 = 0,05 м (кривые 2) тоннеля при воздействии осесимметричной цилиндрической осевой касательной нагрузки (п. 1.5, б). u ° 1 0 2 ,1 - 2,4 1,6 - 0 0 0 ,05 0,8 0,05 а ,8 1 ,6 /R ° 1 0 ,1 2 2,4 1 0 1,6 ,6 2 ,4 /R 0,1 0,2 б Рисунок 2.14 – Изменения осевых перемещений (а) и нормальных напряжений (б) по земной поверхности при действии осевой касательной нагрузки Так как подкрепление тоннеля ведёт к уменьшению осевых компонент напряжённо-деформированного состояния массива не только при действии касательной нагрузки, но и при действии нормальной нагрузки, то в случае их совместного действия, как следует из рисунка 2.15, происходит то же самое. Кривые 1 построены для неподкреплённого тоннеля и соответствуют исходным данным рассмотренного в п. 1.6.2 примера (см. рис. 1.19, кривая 3). Кривые 2 построены для тоннеля, жёстко подкреплённого чугунной оболочкой толщиной h0 = 0,05 м при тех же исходных данных. u ° 2,4 1 0,05 - 1,6 2 0 0 0,8 ,8 0,05 а ,6 2 1 ,4 /R ° 0 2 ,4 2,4 1 0 0 ,8 - 1,6 1 ,6 2 /R ,4 0,8 0,2 б Рисунок 2.15 – Изменения осевых перемещений (а) и нормальных напряжений (б) по земной поверхности при действии нормальной и касательной нагрузок Влияние оболочки на напряжённо-деформированное состояние земной поверхности при действии движущейся по тоннелю осесимметричной цилиндрической скручивающей нагрузки (п. 1.5, в) и при совместном действии нормальной и скручивающей нагрузок, рассмотренных в п. 1.6.3, показано соответственно на рисунках 2.16, 2.17, где в плоскости XY изображены кривые изменений по земной поверхности перемещений ux= ux/P, uy= uy/P и нормальных напряжений yy = yy/P. Кривые 1 построены для неподкреплённого тоннеля, кривые 2 – для тоннеля, жёстко подкреплённого тонкой (h0 = 0,05 м) чугунной оболочкой. Из анализа поведения кривых следует, что и в этих случаях подкрепление тоннеля приводит к снижению динамического воздействия движущихся нагрузок на земную поверхность. u 1 - 2,4 1,6 °x 2 - 0 ,05 0 0 ,8 0,8 0,1 а 1 ,6 2 ,4 y/R u 0 °y 1 ,15 2 0 y ,05 - 1,6 2,4 - 0 0 0,8 ,8 1 2 ,6 /R ,4 б 1 °yy 2 0 ,15 0 2,4 1,6 ,05 0,8 - 1 0 0 ,8 ,6 2 ,4 0,05 0,15 в Рисунок 2.16 – Изменения компонент НДС земной поверхности в плоскости XY при действии скручивающей нагрузки y /R u °x 0 ,4 1 0 2 ,2 0 2,4 - - - ,8 0,8 1,6 y/R 0 1 ,6 0,1 а u 0 °y ,4 0 1 2 ,2 2,4 0 1,6 0 ,8 1 ,6 2 y/R ,4 0,1 б 0 °yy ,6 1 2 0 ,2 1,6 0 - - - 0,8 1 ,6 2 ,4 0,2 в Рисунок 2.17 – Изменения компонент НДС земной поверхности в плоскости XY при действии нормальной и скручивающей нагрузок y/R ЛИТЕРАТУРА 1 Булычев Н.С. Механика подземных сооружений в примерах и задачах. – М.: Недра, 1989. – 270 с. 2 Бакиров Р.О., Лай Ф.В. Динамический расчёт и оптимальное проектирование подземных сооружений. – М.: Стройиздат, 2002. – 463 с. 3 Ержанов Ж.С., Айталиев Ш.М., Алексеева Л.А. Динамика тоннелей и подземных трубопроводов. – Алма-Ата: Наука, 1989. – 240 с. 4 Якушев Н.З. О работах по теории упругих объектов под действием подвижных нагрузок //Проблемы современной математики: докл. науч. конф. – Казань, 2001. – С. 294-295. 5 Дашевский М.А. Распространение волн при колебаниях тоннелей метро //Строит. механика и расчет сооружений. – 1974. – № 6. – С. 29-34. 6 Дашевский М.А. Прогноз динамических воздействий на сооружения, расположенных вблизи трасс метро //Строит. механика и расчет сооружений. – 1982. – № 4. – С. 36-40. 7 Курнавин С.А. Колебания обделок тоннелей метрополитенов и окружающего грунтового массива: автореф. ... канд. техн. наук. – М.: МГУ, 1986. – 20 с. 8 Jones C.J, Thompson D.J, Petyt M. A model for ground vibration from railway tunnels //Proc. Inst. Civ. Eng. Transp. – 2002. – № 2. – P. 121-129. 9 Фотиева Н.Н., Булычев Н.С., Самсаль А.С. Расчёт обделок тоннелей мелкого заложения на действие нагрузок от подвижного транспорта //Совр. пробл. фундаментостроения: сб. тр. Межд. науч.-техн. конф. – Волгоград, 2001. – Ч. 1-2. – С. 70-73. 10 Айталиев Ш.М., Алексеева Л.А., Дильдабаев Ш.М., Жанбырбаев Н.Б. Метод граничных интегральных уравнений в задачах динамики упругих многосвязных тел. – Алма-Ата: Гылым, 1992. – 228 с. 11 Айталиев Ш.М. Развитие механики подземных и специальных сооружений в Казахстане за последние 40 лет //Прикл. механика. – Киев, 2004. – Т. 40, № 10. – С.3-36. 12 Гольденблант И.И. Современные проблемы колебаний устойчивости инженерных сооружений. – М.: Стройиздат, 1947. – 136 с. и 13 Болотин В.В. Гольденблант И.И., Смирнов А.Ф. Современные проблемы строительной механики. – М.: Стройиздат, 1964. – 204 с. 14 Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Нестационарная оболочек. – Л.: Судостроение, 1974. – 208 с. гидроупругость 15 Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости – М.: Наука, 1979. – 320 с. 16 Шендеров Е.Л. Излучение и рассеивание звука. – Л.: Судостроение, 1989. – 304 с. 17 Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Бабаев А.Э. Динамика систем оболочек, взаимодействующих с жидкостью //Прикл. механика. – Киев, 2002. – Т. 38, № 3. – С.13-57. 18 Григоренко А.Я. Численное исследование стационарных динамических процессов в анизотропных цилиндрах //Прикл. механика. – Киев, 2005. – Т. 41, № 8. – С.3-40. 19 Hshley H., Haviland G. Bending vibrations of a pipe line containing flowing fluid //J. Appl. Mech. – 1950. – Vol. 17, N 3. – P. 11-17. 20 Феодосьев В.И. О колебании и устойчивости трубы при протекании через неё жидкости //Инженерный сборник. – 1951. – Т. 10. – С. 32-39. 21 Мовчан А.А. Об одной задаче устойчивости трубы при протекании через неё жидкости //Прикл. математика и механика. – 1965. – Т. 29. – С. 760762. 22 Мухин О.Н. Динамический критерий устойчивости трубопровода с протекающей жидкостью //Изв. АН СССР. Механика. – 1965. – № 3. – С.154156. 23 Болотин В.В. Конечные деформации гибких трубопроводов //Тр. Моск. энер. ин-та. – 1956. – Вып. 19. – С. 52-59. 24. Carrier G.F. Response of submerged cylindrical shell to an axially propagating acoustic wave //Brown. Univ. Available from library of Congress. Publ. Boart Project. – Washington, D.C., 1953. – 14 p. 25 Mindlin R.D., Blech H.H. Response of an elastic cylindrical shell to a transverse step shock wave //J. Appl. Mech. – 1953. – Vol. 20, N 2. – P. 189-195. 26 Junger M.C. Response of a cylindrical shell to a shock wave //J. Appl. Mech. – 1953. – Vol. 20, N 4. – P. 182-189. 27 Skalak R., Friedman M.B. Reflection of an Acoustic step wave from an Elastic Cylinder //J. Appl. Mech. – 1958. – Vol. 25, N 1. – P. 54-61. 28 Барон. Поведение цилиндрической оболочки при воздействии поперечной ударной волны //Механика: сб. переводов ин. лит. – 1956. – №5 (39). – С. 30-37. 29 Mann-Nachbar P. On the Role of bendings in the Dinamic Response of Thin shells to moving Discontionuos Loads //J. of the Aerospace Scien. – 1962. – Vol. 29, N 6. – P. 648-657. 30 Мнев Е.Н. Реакция погруженной цилиндрической оболочки на волну давления, распространяющуюся со сверхзвуковой скоростью в направлении образующей //Инж. жур. МТТ. – 1968. – № 3. – С. 119-125. 31 Мнев Е.Н., Перцев А.К. Судостроение, 1970. – 365 с. Гидроупругость оболочек. – Л.: 32 Ильюшин А.А., Огибалов П.М. Упругопластические деформации полых цилиндров. – М.: Изд. МГУ, 1960. – 227 с. 33 Огибалов П.М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек. – М.: Изд. МГУ, 1963. – 419 с. 34 Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. – М.: Изд. МГУ, 1969. – 695 с. 35 Присекин В.Л. Устойчивость цилиндрической оболочки под действием движущей нагрузки //Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. – 1961. – № 5. – С. 133-134. 36 Тюманюк Н.А. Об осесимметричном неустановившемся движении безмоментной круговой цилиндрической оболочки под действием движущейся нагрузки //Изв. АН СССР. Механика и машиностр. – 1964. – № 4. – С. 47-53. 37 Reismann H. Response of a Pre-Stressed cylindrical shell to moving pressure load //J. Developments in Mechanics. – 1965. – Vol. 2, part 2. – P. 349363. 38 Фридлендер Ф. Звуковые импульсы. – М.: Изд. ин. лит., 1962. – 232 с. 39 Payton R.G. Transient interaction of an acoustic wave with a circular cylindrical elastic shell //J. Acoust. Soc. Amer. – 1960. – Vol. 3, N 3. – P. 722-729. 40 Payton R.G. Dynamic Membrane stresses in a circular cylindrical elastic shell //J. Appl. Mech. – 1961. – Vol. 28, N 3. – P. 58-65. 41 Forrestol M.I., Alzheimer W.E. Dynamic Response of a circular Elastic shell to circumferentially moving Forces //AIAA. – 1968. – Vol. 6, N 11. – P. 6366. 42 Brogan W.Z. Radial vibrations of a Thin cylindrical shell //J. Acoust. Soc. Amer. – 1961. – Vol. 33, N 12. – P. 715-722. 43 Bhuta P.G. Transient Response of a Thin elastic Cylindrical shell to a moving shock wave //J. Acoust. Soc. Amer. – 1963. – Vol. 35, N 1. – P. 25-30. 44 Вольмир А.С., Долгих Л.Н., Скурлатов Э.Д., Солоненко В.Р. Поведение цилиндрических оболочек под действием подвижных нагрузок //Тр. VII Всес. конф. по теор. оболочек и пластинок. – М.: Наука, 1970. – С. 153-155. 45 Горошко О.А., Шевченко В.М. Об осесимметричных колебаниях цилиндрической оболочки конечной длины, вызванных некоторыми видами подвижных нагрузок //Теория прикл. механики: респ. межвед. науч.-техн. сб. – 1970. – Вып. 1. – С. 3-7. 46 Liao N.K., Kessel P.G. Response of pressurized cylindrical shells subjected to moving loads //AIAA Paper. – 1971. – N 175. – P. 9. 47 Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. – М.: Изд. ин. лит., 1963. – 636 с. 48 Jones J.P., Bhuta P.G. Response of cylindrical shells to moving loads //Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. – 1964. – № 1. – P. 105-111. 49 Джонс Дж.П., Бхута П.Г. Динамика цилиндрических оболочек, находящихся под действием движущихся нагрузок //Тр. Амер. общ. инженеров-механиков. Прикл. механика. – 1964. – № 1. – С. 125-134. 50 Forrestol M.I., Herrman G. Response of a submerged cylindrical shell to an axially propagating step wave //Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. – 1965. – Vol. 32, № 4. – P. 788-792. 51 Tang Sing-Chih. Dynamic response of a tube under moving pressure //J. of the Eng. Mech. Division. Proceed. Amer. Soc. Civil Engin. – 1965. – Vol. 91, N 5. – P. 97-122. 52 Tang Sing-Chih. Dynamic response of a tube under moving pressure //J. of the Eng. Mech. Division. Proceed. Amer. Soc. Civil Engin. – 1966. – Vol. 92, N 4. – P. 75-77. 53 Tang Sing-Chih. Response of finite tube to moving pressure //J. of the Eng. Mech. Division. Proceed. Amer. Soc. Civil Engin. – 1967. – Vol. 93, N 3. – P. 239-256. 54 Schiffner K., Steel C.R. The cylindrical shell with an Axisymmetric moving load //AIAA Paper. – 1970. – N 18. – P. 1-14. 55 Schiffner K., Steel C.R. The cylindrical shell with an Axisymmetric moving load //AIAA J. – 1971. – Vol. 9, N 1. – P. 37-47. 56 Айзенберг М.В. О резонансных волнах в полом цилиндре //Изв. АН СССР. МТТ. – 1969. – № 1. – С. 84–90. 57 Mortell M.P. Traveling Load on a cylindrical shell //J. Acoust. Soc. Amer. – 1968. – Vol. 44, N 6. – P. 1664-1670. 58 Луговой П.З., Мукоид В.П., Мейш В.Ф. Динамика оболочечных конструкций при взрывных нагрузках – Киев: Наукова думка, 1991. – 316 с. 59 Hawyood I.N. Response of on elastic cylindrical shell to a pressure pulse //The Quarter J. Mech. and Appl. Mech. – 1958. – Vol. 9, part 2. – P. 21-28. 60 Ескалиева А.Ж., Шершнёв В.В. Сравнительный анализ динамики двух моделей упругой цилиндрической оболочки при действии транспортных нагрузок //Современное состояние и перспективы развития математики в рамках программы “Казахстан в третьем тысячелетии”: тезисы Межд. конф. – Алматы, 2000. – С. 123. 61 Отарбаева А.Ж. Динамика тоннелей и трубопроводов в двухкомпонентной среде при действии бегущих нагрузок: автореф. ... канд. физ.-мат. наук: 01.02.04. – Алматы.: Ин-т математики, 2001. – 20 с. 62 Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластин и оболочек. – М.: Наука, 1972. – 432 с. 63 Гуляев В.И., Луговой П.З., Лысюк Н.А. Распространение гармонических волн в цилиндрической оболочке (Модель С.П. Тимошенко) //Прикл. механика. – Киев, 2003. – Т. 39, № 4. – С.108-116. 64 Шкляр И.Б. Действие на оболочку подвижных локальных нагрузок //Современные проблемы концентрации напряжений: тр. Межд. науч. конф. – Донецк, 1998. – С. 258-262. 65 Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. – Л.: Наука, 1968. – 401 с. 66 Дубинин В.В., Максимов Г.М. Динамическое деформирование полого цилиндра //Тр. МВТУ им. Н.Э. Баумана. – 1979. – № 306. – С. 94-115. 67 Дубинин В.В. Смешанная динамическая стационарная упругая задача для полого толстостенного цилиндра //Изв. высш. учеб. заведений. – 1981. – № 4. – С. 5-10. 68 Ляв А. Математическая теория упругости. – М.: Гостехиздат, 1935. – 674 с. 69 Лурье А.И. Теория упругости. – М.: Наука, 1970. – 939 с. 70 Новацкий В. Динамика сооружений. – М.: Гостройиздат, 1963. – 376 с. 71 Новацкий В. Теория упругости. – М.: Мир, 1975. – 872 с. 72 Дубинин В.В., Максимов Г.М., Ремизов А.В. Пространственная задача деформирования полого бесконечного цилиндра подвижными нагрузками //Тр. МВТУ им. Н.Э.Баумана. – 1985. – № 442. – С. 74-82. 73 Пожуев В.И. Реакция упругого полого цилиндра, погруженного в сжимаемую жидкость, на подвижную волну давления //Пробл. машиностроения. – Киев, 1984. – № 2. – С. 21-27. 74 Пожуев В.И. Действие неосесимметричной нормальной нагрузки, движущейся по поверхности упругой оболочки, взаимодействующей с жидкостью //Прикл. механика. – Киев, 1984. – Т. 20, № 9. – С. 58-64. 75 Новичков Ю.Н., Швейко Ю.Ю. Колебания и устойчивость двухслойной цилиндрической оболочки, в полостях которой течет жидкость //Докл. науч.-техн. конф. по итогам научно-исслед. работ за 19641965 гг. – Моск. энерг. ин-т. Секция энергомашиностроения. – М., 1965. – С.103-118. 76 Скурлатов Э.Д. Об устойчивости круговой цилиндрической оболочки в сверхзвуковом потоке газа //Сб.: Прочность и устойчивость элементов тонкостенных конструкций. – М., 1967. – С. 54-63. 77 Кюркчиев Р. Цилиндрическая оболочка с упругим заполнителем под действием подвижной кольцевой нагрузки //Вестник Московского университета. Математика, механика. – 1970. – № 6. – С. 80-84. 78 Корбут Б.А., Нагорный Ю.И. Распространение упругих волн в цилиндрической оболочке, содержащей заполнитель //Изв. АН СССР. МТТ. – 1972. – № 6. – С. 73-81. 79 Корбут Б.А., Нагорный Ю.И. Реакция цилиндрической оболочки с заполнителем на действие движущейся нагрузки //Изв. АН СССР. МТТ. – 1973. – № 3. – С. 111-119. 80 Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 2. – М.: Изд. ин. лит., 1960. – 886 с. 81 Пожуев В.И. Движение жесткого тела внутри цилиндра, заключенного в упругую обойму //Прикл. проблемы прочности и пластичности. – Горький, 1982. – Вып. 22. – С. 44-50. 82 Пожуев В.И. Движение жесткого вращающегося тела вдоль цилиндра, заключенного в упругую обойму //Изв. вузов. Машиностроение. – 1983. – № 6. – С.18-22. 83 Пожуев В.И. Влияние жесткости амортизирующего слоя на реакцию цилиндрической оболочки при движении осесимметричной нагрузки //Прикл. механика. – Киев, 1977. – Т. 13, № 9. – С. 33-39. 84 Пожуев В.И. Реакция цилиндрической оболочки с заполнителем на действие неосесимметричной подвижной нагрузки //Изв. АН СССР. МТТ. – 1978. – № 5. – С. 106-112. 85 Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию. – М.: Наука, 1966. – 370 с. 86 Прусаков А.П. Об одной форме уравнений изгиба и свободных колебаний пологих трёхслойных оболочек с жёстким заполнителем //Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. – 1960. – № 1. – С. 60-66. 87 Herrmann G., Baker E.H. Response of cylindrical sandwich shells to moving loads //Trans. ASME. Ser. E. J.Appl. Mech. – 1967. – Vol. 34, № 3. – P. 1-8. 88 Герман, Бейкер. Колебания трёхслойных цилиндрических оболочек под действием движущихся нагрузок //Тр. Амер. общ. инженеров-механиков. Прикл. механика. – 1967. – № 3. – С. 1-8. 89 Дмитриев Ю.В. О свободных колебаниях предварительно напряжённых трёхслойных цилиндрических оболочек //Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. – 1961. – № 6. – С. 155-158. 90 Попов В.Г., Бурдун Е.Т., Кржечковский П.Г. Учёт влияния инерции вращения при свободных колебаниях трехслойных оболочек //Тр. Николаевского кораблестроительного ин-та. – 1972. – Вып. 56. – С. 98-103. 91 Бурдун Е.Т., Кржечковский П.Г., Попов В.Г. Реакция трехслойной цилиндрической оболочки при осесимметричной подвижной нагрузке //Тр. Николаевского кораблестроительного ин-та. – 1973. – Вып. 70. – С. 88-94. 92 Гатауллин М.З., Иванов В.А., Ильгамов М.А. Прочность соосных цилиндрических оболочек с упругим заполнителем //Тр. семинара по теории оболочек. – Казан. физ.-техн. ин-т АН СССР, 1971. – Вып. 2. – С. 108-125. 93 Пожуев В.И. Осесимметричные свободные волны в трехслойных цилиндрических оболочках //Прикл. механика. – Киев, 1978. – Т. 14, № 12. – С. 53-61. 94 Пожуев В.И. Реакция трехслойной цилиндрической оболочки на действие подвижной нагрузки //Прикл. механика. – Киев, 1980. – Т. 16, № 1. – С. 32-39. 95 Пожуев В.И. Влияние скорости движение волны давления на реакцию трехслойной цилиндрической оболочки //Прикл. механика. – Киев, 1983. – Т. 19, № 12. – С. 59-64. 96 Пожуев В.И. Действие волны давления на трехслойную цилиндрическую оболочку, погруженную в сжимаемую жидкость //Изв. АН СССР. МТТ. – 1983. – № 3. – С. 157-165. 97 Пожуев В.И. Неосесимметричные свободные волны в трехслойных цилиндрических оболочках //Изв. АН СССР. МТТ. – 1981. – № 4. – С. 140148. 98 Пожуев В.И. Реакция трехслойной цилиндрической оболочки на действие неосесимметричной подвижной нагрузки //Изв. АН СССР. МТТ. – 1982. – № 5. – С. 161-168. 99 Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. – Л.: Судостроение, 1972. – 374 с. 100 Пожуев В.И. Стационарная реакция трехслойной цилиндрической оболочки на действие подвижной нагрузки //Прикл. механика. – Киев, 1984. – Т. 20, № 6. – С. 52-59. 101 Парнс Р. Реакция бесконечно упругой среды на движущиеся в цилиндрической полости нагрузки //Тр. Амер. общ. инженеров-механиков. Прикл. мех. – 1969. – № 1. – С. 52-59. 102 Апикян Ж.Г. Движение жёсткого штампа в цилиндрической полости в упругой среде со сверхзвуковой скоростью //Изв. АН АрмССР. Механика. – 1973. – Т. 26, № 4. – С. 39-48. 103 Parnes R Progressing torsional loads along a bore in an elastic medium //Int. J. Solids and Struct. – 1980. – Vol. 16, № 7. – P. 58-63. 104 Жубаев Н.Ж., Кулахметова Ш.А., Утембаев Н.А. Напряжённое состояние упругого массива при действии подвижной стационарной нагрузки внутри цилиндрической полости //Изв. АН КазССР. Сер. физ.-матем. – 1980. – № 3. – С. 33-40. 105 Пожуев В.И. Движение жесткого тела вдоль цилиндрической полости в упругом пространстве //Сопрот. материалов и теория сооружений. – Киев, 1984. – Вып. 45. – С. 24-27. 106 Watanabe Kazumi. Transient response of an elastic solid to a moving torsional load in a cylindrical bore. An approximate solution //Int. J. Eng. Sci. – 1984. – Vol. 22, № 3. – P. 277-284. 107 Watanabe Kazumi. Transient response of an inhomogeneous elastic solid to a moving torsional load in a cylindrical bore //Int. J. Solids and Struct. – 1984. – Vol. 20, № 4. – P. 359-376. 108 Дашевский М.А. Излучение и отражение упругих волн подкреплёнными полостями в сплошной упругой среде при движении пульсирующей нагрузки //Исследования по динамике сооружений: сб. тр. ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко. – М., 1971. – Вып. 17. – С. 91-115. 109 Дашевский М.А. Излучение упругих волн при движении пульсирующей нагрузки вдоль тоннеля, проложенного в грунте //Строит. механика и расчет сооружений. – 1971. – № 5. – С.10-13. 110 Львовский В.М., Онищенко В.И., Пожуев В.И. Установившиеся колебания цилиндрической оболочки в упругой среде под действием подвижной нагрузки //Сб.: Вопросы прочности пластичности. – Днепропетровск, 1974. – С. 98-110. 111 Пожуев В.И., Львовский В.М. Реакция цилиндрической оболочки в упругой среде на действие подвижной нагрузки //Изв. вузов. Строительство и архитектура. – 1976. – № 2. – С. 61-66. 112 Пожуев В.И. Действие подвижной нагрузки на цилиндрическую оболочку в упругой среде //Строит. механика и расчет сооружений. – 1978. – № 1. – С. 44-48. 113 Пожуев В.И. Реакция цилиндрической оболочки, находящейся в трансверсально-изотропной среде, на действие подвижной нагрузки //Прикл. механика. – Киев, 1980. – Т. 16, № 11. – С. 28-35. 114 Пожуев В.И. Влияние скорости движение волны нормального давления на реакцию цилиндрической оболочки в упругой среде //Прикл. проблемы прочности и пластичности. – Горький, 1981. – Вып. 19. – С. 90-97. 115 Пожуев В.И. Реакция цилиндрической оболочки в упругой среде на подвижную гармоничную нагрузку //Проблемы машиностроения. – Киев, 1982. – № 17. – С. 49-54. 116 Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. – М.: Наука, 1971. – 288 с. 117 Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. – М.: Наука, 1979. – 832 с. 118 Якупов Р.Г. Действие подвижной нагрузки на цилиндрическую оболочку в упругой среде //Изв. АН СССР. МТТ. – 1979. – № 3. – С. 152-157. 119 Бергман Р.М., Латифов Ф.С. Асимптотический анализ задачи о свободных неосесимметричных колебаниях системы «цилиндрическая оболочка – упругая среда» //Прикл. механика. – Л., 1981. – № 5. – С. 260-266. 120 Бергман Р.М., Латифов Ф.С. Асимптотический анализ задачи о свободных колебаниях цилиндрической оболочки, контактирующей с упругой средой //Изв. АН СССР. МТТ. – 1981. – № 1. – С. 185-191. 121 Герштейн М.С., Камерштейн А.Т., Прокофьев В.И. Задачи динамики магистральных трубопроводов //Сб.: Расчёт пространственных конструкций. – М., 1973. – Вып. 15. – С. 78-86. 122 Пожуев В.И. Действие подвижной скручивающей нагрузки на цилиндрическую оболочку в упругой среде //Строит. механика и расчет сооружений. – 1984. – № 6. – С. 58-61. 123 Пожуев В.И., Львовский В.М. Пространственная задача о вынужденных колебаниях цилиндрической оболочки в упругой среде //Динамика и прочность машин. – 1976. – Вып. 23 – С. 39-44. 124 Ескалиева А.Ж., Шершнёв В.В. Действие бегущей нагрузки на тоннель, подкреплённый тонкой цилиндрической оболочкой //Вестник КазГУ. – Алматы, 1999. –№ 4 (18). – С. 180-186. 125 Chonan S. Dynamic response of a cylindrical shell imperfectly bonded to a surrounding continuum of infinite extent //J. Sound and vibr. – 1981. – Vol. 78, № 2. – P. 257-267. 126 Datta S.K., Chakraborty T., Shan A.H. Dynamic response of pipelines to moving loads //Earth Eng. and Struct. Dyn. – 1984. – Vol. 12, № 1. – P. 59-72. 127 Алексеева Л.А., Украинец В.Н. О напряженно-деформированном состоянии цилиндрического тоннеля с двухслойной оболочкой при воздействии подвижной нагрузки /Ред. жур. Изв. АН КазССР. Сер. физ.матем. – Алма-Ата, 1984. – 14 с. – Деп. в ВИНИТИ 12.11.84, № 7250-84. 128 Украинец В.Н. Сравнительный анализ динамического поведения тоннеля с двух- и трехслойной оболочками при воздействии подвижной нагрузки /Ред. жур. Изв. АН КазССР. Сер. физ.-матем. – Алма-Ата, 1986. – 17 с. – Деп. в ВИНИТИ 21.02.86, № 1239-В86. 129 Алексеева Л.А., Украинец В.Н. Критическая скорость движущейся нагрузки в тоннеле, подкрепленном двухслойной оболочкой //Изв. АН СССР. МТТ. – 1987. – № 4. – С.156-161. 130 Айталиев Ш.М., Алексеева Л.А., Украинец В.Н. Напряженное состояние двухслойной обделки тоннеля от внутренних движущихся нагрузок //Механика подземных сооружений: сб. науч. тр. Тульского политехн. ин-та. – Тула, 1988. – С. 38-46. 131 Sneddon I.N. Fouier Transforms. – N–Y – 1951. – P. 444-449. 132 Sneddon I.N. The stress produced by a pulse of pressure moving along the surface of a semi-infinite solid //Rendiconti del circolo Matematico di Palermo. – 1952. – № 1. – P. 57-62. 133 Fulton J., Sneddon I.N. The Dynamical stresses produced in a Thick plate by the action of surface forces //Proceed of the Glasgon Mathematical association. – 1958. – Vol. 3, part IV. – P. 153-163. 134 Амондосов А.А., Нуржумаев О., Сабодаш П.Ф. Поведение полупространства, на границе которого действуют подвижные нагрузки //Тр. Ин-та математики и механики АН КазССР. – 1971. – С. 136-151. 135 Якушев Н.З. Динамика строительных систем под воздействием движущихся нагрузок //Сб. Исследования по теории пластин и оболочек. – Казань, 1972. – Вып. 9. – С. 119-124. 136 Бабешко В.А., Селезнева Т.Н., Селезнев М.Г., Соколов В.П. Задача об установившихся колебаниях упругого полупространства с сильно заглубленной горизонтальной цилиндрической полостью /Ростовский университет. – Ростов на Дону, 1981. – 15 с. – Деп. в ВИНИТИ 22.01. 82, № 299-82. 137 Бабешко В.А., Селезнева Т.Н., Селезнев М.Г., Соколов В.П. Задача об установившихся колебаниях упругого полупространства с горизонтальной цилиндрической выемкой /Ростовский университет. – Ростов на Дону, 1981. – 16 с. – Деп. в ВИНИТИ 22.01.82, № 295-82. 138 Бабешко В.А., Селезнева Т.Н., Селезнев М.Г., Соколов В.П. Установившиеся колебания упругого полупространства, содержащего сильно заглубленную сферическую или горизонтальную цилиндрическую полость //Изв. Сев.-Кавк. научн. центра высш. шк. естеств. наук. – 1984. – № 1. – С. 42-47. 139 Бабешко В.А., Селезнева Т.Н., Селезнев М.Г., Соколов В.П. Об одном методе исследования упругого полупространства, содержащего полость //Прикл. математика и механика. – 1983. – Т. 47, вып. 1. – С. 115-121. 140 Бабешко В.А., Селезнева Т.Н., Селезнев М.Г., Соколов В.П. Об установившихся колебаниях упругого полупространства с горизонтальной цилиндрической полостью //Прикл. механика. – Киев, 1983. – Т. 19, № 10. – С. 111-115. 141 Воробьева С.О., Селезнев М.Г. К задаче об установившихся гармонических колебаниях упругого двухслойного полупространства, содержащего цилиндрическую полость /Ростовский университет. – Ростов на Дону, 1983. – 11 с. – Деп. в ВИНИТИ 27.01.84, № 498-84. 142 Селезнев М.Г. К задаче о возбуждении волнового поля в упругом полупространстве осциллирующей нагрузкой, равномерно движущейся по заглубленной цилиндрической полости /Ростовский университет. – Ростов на Дону, 1983. – 20 с. – Деп. в ВИНИТИ 2.08.83, № 4263-83. 143 Никитин И.С. Задача о подвижной нагрузке на границе упругого полупространства с цилиндрической полостью //Изв. АН СССР. МТТ. – 1984. – № 3. – С. 93-99. 144 Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. – М.: Наука, 1976. – 400 с. 145 Рашидов Т.Р. Динамическая теория сейсмоустойчивости сложных систем подземных сооружений. – Ташкент: ФАН, 1973. – 180 с. 146 Рашидов Т.Р., Хожметов Г.Х. трубопроводов. – Ташкент, 1986. – 152 с. Сейсмостойкость подземных 147 Ильичев В.А., Шехтер О.Я. Определение динамических напряжений и перемещений в упругой полуплоскости //Основания и фундаменты при сейсмических и динамических воздействиях: с6. тр. НИИОСП. – М., 1976. – С. 67-73. 148 Айталиев Ш.М., Алексеева Л.А., Украинец В.Н. Влияние свободной поверхности на тоннель мелкого заложения при действии подвижных нагрузок //Изв. АН КазССР. Сер. физ.-матем. – 1986. – № 5. – С. 75-80. 149 Гузь Л.И., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. – Киев: Наукова думка, 1978. – 308 с. 150 Алексеева Л.А. О колебаниях упругой полуплоскости при действии стационарного источника цилиндрических волн //Изв. АН КазССР. Сер. физ.матем. – 1983. – № 5. – С. 1-5. 151 Алексеева Л.А. О колебаниях упругой полуплоскости, ослабленной круговым отверстием //Изв. АН КазССР. Сер. физ.-матем. – 1984. – № 1. – С. 1-5. 152 Алексеева Л.А. Стационарная дифракция волн на круговом отверстии в упругой полуплоскости //Прикл. математика и механика. – 1985. – Т. 49, вып. 2. – С. 299-306. 153 Алексеева Л.А. Фундаментальные решения уравнений движения упругого полупространства при дозвуковых бегущих нагрузок //Изв. МОН РК, НАН РК. Сер. физ.-матем. – 2002. – № 5. – С.53-58. 154 Алексеева Л.А. Действие стационарных бегущих нагрузок в упругом полупространстве //Математический журнал. – Алматы, 2003. – Т. 3, № 1. – С.18-25. 155 Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. – М.: Наука, 1979. – 560 с. 156 Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. – Минск: Наука и техника, 1968. – 584 с. 157 Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. – М. – Л.: Физматгиз, 1962. – 708 с.
