Построение линии конечной конфигурации для ... манипулятора, основанного на механизмах параллельной ...

Построение линии конечной конфигурации для многосекционного
манипулятора, основанного на механизмах параллельной кинематики с
помощью кривой Безье второго порядка.
Введение.
К
настоящему
времени
разнообразие
роботов,
классифицируемых по назначению, характерным признакам принципиального,
схемного и конструктивного решений, чрезвычайно широко, что лишь отчасти
отражено в монографической и учебной литературе. В большинстве случаев
манипуляторы роботов имеют незамкнутые кинематические цепи, т.е. они
имеют механизмы последовательной структуры.
Манипуляторы параллельной структуры представляют достаточно
широкий диапазон механизмов, имеющих ряд преимуществ по сравнению с
традиционными механизмами роботов. В механизмах параллельной структуры
выходное звено связано с основанием несколькими кинематическими цепями.
Общее число степеней свободы складывается. Эти механизмы воспринимают
нагрузку подобно пространственным фермам и поэтому отличаются от
манипуляторов с последовательным расположением звеньев повышенными
показателями по точности и грузоподъемности.
Главным преимуществом подобного рода механизмов является то, что его
общее число степеней свободы складывается из чисел степеней свободы
совместно работающих модулей. Двигатели указанных модулей могут быть
расположены ближе к основанию, и они испытывают относительно меньшее
влияние при движениях механизма. Кроме того, один из модулей может
обеспечить коррекцию некоторых перемещений другого модуля [1].
Указанные выше достоинства, позволяют использовать подобного типа
механизмы
для
обслуживания
технологического
оборудования,
самостоятельное выполнение некоторых технологических операций (сварки,
окраски и т.п.), работа в экстремальных условиях (под водой, в космосе, в
условиях сильной радиации или высокой химической концентрации вредных
веществ). Но приходится констатировать, что они пока мало используются в
робототехнике. Среди этих причин сложность управления данными
манипуляторами, ограниченный объем рабочего пространства, недостаточная
проработанность методик, которые позволяли бы получать как оптимальные
варианты конструкций, так и наиболее подходящие для выбранной
конструкции алгоритмы автоматического или автоматизированного управления
приводами [2].
Помимо
односекционных
манипуляторов
подобного
типа,
разрабатываются и многосекционные манипуляторы.
Следует отметить, что такие манипуляторы еще меньше исследованы, что
объясняется высокой сложностью и, в общем случае, неоднозначностью
аналитического решения. Есть очень ограниченное количество научных работ,
предлагающих решение лишь отдельных задач исследования многосекционных
манипуляторов на параллельных структурах [2].
1
Постановка задачи. Кинематический синтез является одним из важнейших
этапов проектирования манипуляционных механизмов. В рамках этого этапа
необходимо получить решение обратной задачи кинематики. Обратная задача
кинематики заключается в вычислении значений обобщенных координат
каждой секции, при заданном расположении рабочего органа и известной
кинематической схеме механизма.
Конечной конфигурацией манипуляционного механизма называется
совокупность значений обобщенных координат, соответствующих значениям
заданных координат рабочего органа и его ориентацией относительно мировой
системы координат. Линией конечной конфигурации механизма является
кривая, проходящая через центральные точки всех секций механизма.
В работе предлагается решение задачи автоматизированного синтеза
кривой определяющей линию конечной конфигурации многосекционного
манипулятора, основанного на механизмах параллельной кинематики.
Рассмотрим синтез кривой на примере механизма параллельной
кинематики типа трипод, являющегося представителем класса подобного рода
механизмов (Рис. 1). Трипод состоит из неподвижного основания, подвижной
платформы и трех приводов соединенных с помощью сферических шарниров
[2].
Рис. 1
Движение манипулятора будем рассматривать в рабочей зоне без
геометрических препятствий, и каких – либо других пространственных
ограничений.
Построим линию конечной конфигурации манипуляционного механизма с
заданным количеством секций, координатами и ориентацией рабочего органа
(Рис. 2).
2
y

Tn1
90 T (x, y, z )
n
T2
T1
x
z
y

0
Tn1 9 Tn (x, y, z )
T2
T1
z
x
Рис. 2
где Ti - центральная точка секции
 - угол поворота подвижной платформы последней секции в плоскости
XZ
3
 - угол поворота подвижной платформы последней секции в плоскости
YZ
Использование кривой Безье второго порядка. В работе предлагается
использование кривой Безье.Это обусловлено тем, что изменение геометрии
кривой Безье осуществляется за счет изменения количества и расположения
опорных точек. Основным недостатком в этом случае является то, что опорные
точки не лежат непосредственно на самой кривой, а всего лишь образуют
пространственный многоугольник, внутри которого она расположена. Однако,
поскольку в режиме работы без ограничений основной целью является
попадание механизма в заданную точку, то кривая Безье удовлетворяет всем
требованиям, предъявляемым к траектории расположения механизма.
К преимуществам использования кривой Безье можно отнести
следующее:
1. Уравнения кривой представлены в параметрическом виде. Это позволяет
быстро решить задачу вычисления центральных точек секций,
расположенных на кривой, с помощью подстановки значения параметра
2. Простота вычисления координат опорных точек. Для кривой Безье
второго порядка требуется вычислить координаты всего одной опорной
точки, поскольку координаты двух оставшихся опорных точек известны из
входных данных. Это обусловлено тем, что координаты первой и последней
точек кривой совпадают с соответствующими точками определяющего
многоугольника
3. Векторы касательных к кривой по направлению совпадают с первой и
последней сторонами многоугольника. Это гарантирует необходимое
расположение конечной секции
4. Степень многочлена, определяющего участок кривой, на единицу меньше
количества точек соответствующего многоугольника. При использовании
трех опорных точек, получается система уравнений, состоящая из
многочленов второго порядка.
Расчет центральных точек секций манипулятора с помощью кривой
Безье второго порядка. Кривая Безье – параметрическая кривая, задаваемая
следующим выражением [4]:
n
B(t )   Pi  bi , n (t ), 0  t  1
(1)
i 0
где Pi - функция компонент векторов опорных вершин, а bi, n (t ) базисные функции кривой Безье.
n
bi , n (t )     t i  (1  t ) ni
(2)
i
 
n
n!
где   
- число сочетаний из n по i , где n - степень
i
i
!

(
n

i
)!
 
полинома, i - порядковый номер опорной вершины.
4
Кривая Безье второго порядка (n  2) задается тремя опорными точками:
P0 , P1, P2 .
B(t )  (1  t ) 2  P0  2  t  (1  t )  P1  t 2  P2 , t  [0,1]
(3)
На рисунке 3 рассмотрен случай, при котором опорная точка P2
расположена в плоскости XZ .
y
y


T ( xt , yt , zt )
P2
P1
P1
P2
P0
P0
x
z
x
z
Рис. 3
P0 - точка начала координат
P2 - точка начала координат
В данной работе рассмотрен случай, при котором отрезок P1P2 является
перпендикуляром к подвижному основанию последней секции манипулятора.
Это обусловлено тем, что подобное решение позволяет существенно сократить
объем вычислений, необходимых для решения обратной задачи кинематики.
Для нахождения координаты y точки P1 используется проекция на
плоскость XY (Рис. 4).

y
xt
y

P2
к
P1
Рис. 4
Из треугольника, представленного на рисунке 4:
x
x
cos  t  k  t
k
cos
где k - гипотенуза, образованного треугольника
sin  
y
y  k  sin 
k
(4)
(5)
5
В результате преобразований получаем выражение: y  xt  tg
Для нахождения координаты z точки P1 используется проекция на
плоскость XZ (Рис. 5).

z
P1
z
xt

P2
k
Рис. 5
Из треугольника получаем, что z  xt  tg 
Далее находим координаты точки P1 :
x1  0;
y1  y t  xt  tg  ;
z1  zt  xt  tg  .
Система уравнений кривой Безье второго порядка имеет следующий вид
[4]:
 x  (1  t )2  x0  2  (1  t )  t  x1  t 2  x2

2
2
(6)
 y  (1  t )  y0  2  (1  t )  t  y1  t  y2

2
2
 z  (1  t )  z0  2  (1  t )  t  z1  t  z2
Далее с помощью подстановки параметра t вычисляются координаты
центральных точек секций.
Например, рассмотрим случай, когда t  0,2 и количество секций n=5. В
этом случае значение параметра t вычисляется по формуле:
ti  ti 1  t , i  1n
(7)
В этом случае расстояния между двумя соседними точками будет
одинаковым. Это означает, что для попадания в заданную точку суммарное
выдвижение приводов каждой секции будет равным. Однако могут возникать
случаи, при которых требуется обеспечить неравномерное выдвижение секций.
Для этого необходимо изменять параметр t [0;1] , по определенному
нелинейному закону, задаваемому условиями задачи.
Получение набора кривых, возможно за счет варьирования координат
опорной точки P2 . На рисунке 6 представлен случай, при котором проекция
точки P2 на плоскость XY не лежит на оси y .
6
y
y
T(xt , yt , zt )

P2
P2
P1
P1
P0
P0
x
z
x
z
Рис. 6
На рисунке 7 представлена визуализация решения задачи построения
линии конечной конфигурации для механизма с заданной структурой.
Построен геометрически подобный трехмерный прототип проектируемого
механизма. Механизм находится в сложенном положении.
T3
T2
T1
T0
Рис. 7
Заключение. В данной работе представлен метод построения линии
конечной конфигурации для многосекционного манипулятора, основанного на
механизмах параллельной кинематики с помощью кривой Безье второго
7
порядка. Преимущество предложенного метода заключается в том, что для
построения линии конечной конфигурации в рабочем пространстве без
геометрических ограничений не требуется вычисление промежуточных точек
между мировой системой координат и координатами точки схвата. Это
значительно сокращает количество вычислений, а кривая Безье является
оптимальной кривой с точки зрения гладкости.
Список литературы
1. Глазунов В.А., Колискор А.Ш., Крайнев А.Ф. Пространственные механизмы
параллельной структуры. М. : Наука, 1991, 96 с.
2. Глазунов В.А., Колискор А.Ш., Крайнев А.Ф., Модель Б.И. Принципы
классификации и методы анализа пространственных механизмов с
параллельной структурой. / Проблемы машиностроения и надежности машин.
Машиноведение. 1990, № 1, с. 41-49.
3. Хейло С.В., Глазунов В.А., Сухоруков Р.Ю. Решение задачи кинематики
поступательно-направляющего
манипулятора.
//
Машиностроение
и
инженерное образование. 2011. № 2. С. 11-16.
4. Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики // М.:
Мир, 2001 – 604с.
8