Математические олимпиады и соревнования – прекрасный

VI Магнитогорский турнир юных математиков
Составители:
Никифорова Н.С., педагог школы индивидуального образования одаренных детей.
Устинов А.В., педагог школы индивидуального образования одаренных детей.
Компьютерный набор:
Никифорова Н.С.
Математические соревнования как личные, так и командные, имеют много общего со
спортивными соревнованиями. Такие же систематические тренировки, интенсивный курс
подготовки на сборах, необходимая сплоченность команды и, конечно, радость победы.
Сегодня существует множество математических соревнований – это различные олимпиады,
турниры, заочные конкурсы. Среди наиболее интересных командных соревнований
школьников можно назвать регулярно проходящие турниры математических боев.
Основными целями таких турниров являются стимулирование интереса школьников к
математике, завязывание и укрепление профессиональных и дружественных контактов.
Большой популярностью пользуются, например, Уральские (Кировские) турниры и турниры
имени А.П.Савина. Это яркие и многогранные мероприятия: трудные, но интересные задачи,
математические (и не только) игры, новые знакомства. Благодаря всему этому школьники
получают огромный заряд бодрости и интеллектуального здоровья, который надолго
остается их невидимым преимуществом над окружающими. В то же время ребятам
приходится много трудиться, ведь на турнирах от них требуется не только умение решать
нестандартные задачи, но и проявлять навыки слаженной коллективной работы, публичного
выступления и аргументированной полемики.
В данном сборнике представлены задачи и результаты VI Магнитогорского турнира юных
математиков, который проходил с 28 по 31 октября на базе МОУ СОШ № 5. Турниру
предшествовала командная олимпиада, в которой приняли участие 43 команды (по 6
человек в команде) из 38 общеобразовательных учреждений города. По результатам
командной олимпиады к турниру были допущены 10 команд, которые и разыграли между
собой главный приз – переходящий кубок.
В состав жюри турнира вошли: председатель жюри – Никифорова Н.С., члены жюри –
Устинов А.В., Великих А.С., Билибенко Кристина, Дятлов Дмитрий, Тропин Леонид,
Торчинская Элина, Наумова Надежда, Рогожин Илья, Агапитов Артем, Ишмурзина Юлия.
При составлении заданий для каждого математического боя жюри турнира старалось, чтобы
каждый участник нашел для себя что-нибудь интересное.
Кроме этого в сборник вошли задачи и решения городской математической регаты,
проходившей для 9 классов школ города 24 сентября, а также задания и результаты
интеллектуальной игры «Пентагон», прошедшей для участников Магнитогорского турнира.
Задачи под номерами 3, 18, 32, 39 взяты из книги «Математика: Интеллектуальные
марафоны, турниры, бои 5-11 классы: Книга для учителя. Авторский коллектив: Блинков
А.Д., Семенов А.В. и др.»
Задачи под номерами 6, 10, 17, 23, 31, 34 предложены Устиновым А.В.
Задачи под номерами 12, 20, 30 взяты из материалов Пермских турниров юных математиков.
Задачи под номерами 4, 5, 7, 11, 15, 16, 27, 35, 36, 40 взяты из материалов Московских
олимпиад.
Задача 9 взята из книги Г.Г. Левитаса «Нестандартные задачи по математике в 4 классе».
Задача 22 предложена Поляковым Е.
2
VI Магнитогорский турнир юных математиков
Задача 37 предложена Никифоровой Н.С.
Задача 13 предложена Тропиным Н., Устиновым А.В.
Задача 38 предложена Поляковым Е.. Устиновым А.В.
Задача под номером 8 взята из материалов Математического праздника (г. Москва)
Задачи под номерами 19, 21, 28 взяты из материалов Соросовской олимпиады
Задачи математической регаты взяты из Московских олимпиад (1.1, 1.2, 2.3, 3.1, 3.2, 4.1, 4.3),
из книги «Математика: Интеллектуальные марафоны, турниры, бои 5-11 классы. Авторский
коллектив: Блинков А.Д., Семенов А.В. и др.» (2.2).
Указывая источник, из которого взята задача, жюри имело в виду только то, что раньше эта
задача им нигде не встречалась. Источники задач под номерами 1, 2 , 14, 25, 26, 29, 33 , а
также задач 1.3, 2.1, 3.3, 4.2 из математической регаты, жюри обнаружить не удалось.
Большую работу провел оргкомитет в составе Полуниной Т.Л., Дронова В.Л.,
Малыхиной Т.А.
3
VI Магнитогорский турнир юных математиков
ПРАВИЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО БОЯ
Общие положения. Математический бой – это соревнование двух команд в решении
математических задач. Он состоит из двух частей. Сначала команды одновременно получают
условия задач и определенное время на их решение. При решении задач команда может
использовать любую литературу, но не имеет права общаться по поводу решения задач ни с кем,
кроме жюри. Представитель жюри обязан давать командам все необходимые пояснения по
текстам задач. Он также следит за тем, что те существенные пояснения в тексте задачи, которые
могут повлиять на ее решение, доводились до сведения всех команд, решающих эту задачу.
Команда выбирает капитана команды и его заместителя. Во время решения задач главная
обязанность капитана – координировать действия членов команды так, чтобы имеющимися
силами решить как можно больше задач. Для этого капитан, с учетом пожеланий членов команды,
распределяет между ними задачи для решения, организует проверку найденных решений,
определяет тактику команды на предстоящем бое.
По истечении заданного времени команды, их болельщики, зрители и жюри боя
собираются в одном помещении. Команды передают жюри боя списки команд с указанием
названия команды, капитана и заместителя капитана.
Ход боя. Бой начинается с конкурса капитанов команд. В конкурсе капитанов может
участвовать любой представитель команды. Жюри боя предлагает капитанам задачу. Если какойто капитан даст правильный ответ, то он победил, а если неправильный – победил его соперник.
Если за время, отведенное на конкурс капитанов, ни один капитан не ответил, то победитель
определяется жребием. Вместо задачи жюри может предложить капитанам сыграть в игру. В
этом случае победителем считается тот, кто выигрывает игру. Возможны и другие схемы
проведения конкурса капитанов.
Команда, капитан которой победил на конкурсе капитанов, получает право первого хода.
Она может вызвать другую команду на какую-то задачу или пожелать быть вызванной.
Затем команды в соответствии с правилами боя рассказывают друг другу решения задач.
Команда, получившая вызов, выставляет докладчика задачи, который должен у доски рассказать
полное решение задачи. Другая команда выставляет оппонента, который ищет в решении
докладчика ошибки, недостатки и т.д. При этом выступления оппонента и докладчика
оцениваются жюри в баллах (за решение и за оппонирование). Если команды, обсудив
предложенное решение, все-таки до конца задачу не решили или не обнаружили допущенные
ошибки, то часть баллов (или даже все баллы) может забрать себе жюри боя. Если по окончании
боя результаты команд отличаются не более чем на 3 балла, то считается, что бой закончился
вничью. В противном случае побеждает команда, которая по окончании боя набирает больше
баллов. Если же по условиям боя он не может закончиться вничью, то жюри до боя объявляет это
командам и оглашает процедуру определения победителя.
Капитаны команд имеют право попросить жюри о предоставлении перерыва в ходе боя на 5–
10 минут (примерно через каждые полтора часа). Перерыв может предоставляться только между
обсуждением двух различных задач (между раундами). При этом команда, которая должна
сделать вызов, делает его в письменной форме (без оглашения) непосредственно перед началом
перерыва и сдает жюри, которое оглашает этот вызов сразу после окончания перерыва.
Вызовы. Бой состоит из нескольких раундов. В начале каждого раунда одна из команд
вызывает другую на одну из задач, решения которых еще не рассказывались (например: “Мы
вызываем команду соперников на задачу номер 8”). После этого вызванная команда сообщает,
принимает ли она вызов, т.е. согласна ли рассказывать решение задачи, на которую была вызвана
(ответ можно обдумывать, но не более 1 минуты). Если да, то она выставляет докладчика, который
должен рассказать решение, а вызвавшая команда выставляет оппонента, обязанность которого –
искать в решении ошибки. Если нет, то происходит проверка корректности вызова вызывающая команда обязана выставить докладчика, а отказавшаяся отвечать команда выставляет
оппонента. После раунда жюри определяет, был вызов корректным или нет. Команда, вызывавшая
некорректно, должна снова вызывать соперника в следующем раунде. Во всех остальных случаях
4
VI Магнитогорский турнир юных математиков
в следующем раунде вызывает команда, которая была вызвана до этого. Команда, желающая
сохранить выходы к доске, может отказаться выставлять оппонента. Тогда она в этом раунде не
участвует (и изменить своего решения уже не может).
В любой момент боя команда, которая должна вызывать, может отказаться это сделать.
Тогда другая команда получает право рассказать решение оставшихся задач, а команда,
отказавшаяся делать вызов, может выставлять оппонента и получать баллы за оппонирование.
Бой заканчивается, когда не осталось не обсужденных задач, или когда одна из команд
отказалась от вызова, а другая команда отказалась рассказывать решения оставшихся задач.
Ход раунда. В начале раунда докладчик рассказывает решение. Доклад должен содержать
ответы на все поставленные в задаче вопросы и доказательство правильности и полноты
полученных ответов. В частности, докладчик обязан доказать каждое сформулированное им
промежуточное утверждение либо сослаться на него, как на общеизвестное, т.е. входящее в
обычный школьный курс. Докладчик должен стремиться к ясности изложения, в частности, он
обязан повторить по просьбе оппонента или жюри любую часть своего доклада. Время на доклад
ограничивается 15 минутами, после чего жюри решает, разрешать ли докладчику рассказывать
дальше.
Докладчик может иметь бумагу с чертежами и (с отдельного разрешения жюри)
вычислениями, но не имеет права брать с собой текст решения. В докладе нельзя ссылаться
на вычисления, проведенные с помощью калькулятора или иной вычислительной техники и
не подтвержденные иным способом.
Докладчик имеет право:
– до начала выступления вынести на доску всю необходимую информацию (чертежи,
вычисления и т.п.);
– не отвечать на вопросы оппонента, заданные до начала обсуждения;
– просить оппонента уточнить свой вопрос (в частности, докладчик может предложить
свою версию вопроса: “Правильно ли я понимаю, что вы спросили о том-то и том-то?”);
– отказаться отвечать на вопрос, сказав, что: (а) он не имеет ответа на этот вопрос; (б) он
уже ответил на этот вопрос (объяснив, когда и как); (в) вопрос некорректен или выходит
за рамки научной дискуссии по поставленной задаче. В случае несогласия оппонента с
основаниями (б) и (в) арбитром выступает жюри.
Докладчик не обязан:
– излагать способ получения ответа, если он может доказать правильность и полноту
ответа другим путем;
– сравнивать свой метод решения с другими возможными методами, в том числе с точки
зрения краткости, красоты и пригодности для решения других задач.
Докладчик обязан рассказывать решение в вежливой, корректной форме, критикуя действия
оппонента, не допускать критики его личности, обращаться к оппоненту только на “Вы”.
Пока доклад не окончен, оппонент может задавать вопросы только с согласия докладчика, но
имеет право просить повторения части решения и разрешать докладчику не доказывать какиелибо очевидные с точки зрения оппонента факты. После окончания доклада оппонент имеет право
задавать вопросы докладчику. Если в течение минуты оппонент не задал ни одного вопроса, то
считается, что у него нет вопросов. Если докладчик в течение минуты не начинает отвечать на
вопрос, то считается, что у него нет ответа.
В качестве вопроса оппонент может :
– потребовать у докладчика повторить любую часть доклада;
– попросить уточнения любого из высказываний докладчика, в том числе: (а) попросить
дать определение любого термина (“Что Вы понимаете под ...”); (б) переформулировать
утверждение докладчика своими словами и попросить подтверждения (“Правильно ли я
понимаю, что Вы утверждаете следующее: ...”);
– попросить докладчика доказать сформулированное тем неочевидное необщеизвестное
утверждение (в спорных случаях вопрос об известности или очевидности решает жюри;
5
VI Магнитогорский турнир юных математиков
во всяком случае, известными считаются факты, изучающиеся в общеобразовательной
школе);
– после ответа на вопрос выразить удовлетворенность или мотивированную
неудовлетворенность ответом.
Если оппонент считает, что докладчик тянет время, придумывая решение у доски, или что
существенная часть доклада не является изложением решения обсуждаемой задачи, он имеет
право (но не ранее, чем через 10 минут после начала доклада) попросить докладчика предъявить
ответ (если таковой в задаче подразумевается) или план дальнейших рассуждений.
Оппонент обязан:
– формулировать свои вопросы в вежливой, корректной форме, обращаться к
докладчику только на “Вы”;
– критикуя доклад, не допускать критики докладчика;
– повторять и уточнять свои вопросы по просьбе докладчика или жюри.
По итогам доклада и ответов на вопросы оппонент имеет право дать свою оценку докладу и
обсуждению в одной из следующих форм: (а) признать решение правильным; (б) признать
решение (ответ) в основном правильным, но имеющим недостатки и/или пробелы с обязательным
их указанием; (в) признать решение (ответ) неправильным с указанием ошибок в обоснованиях
ключевых утверждений доклада или контрпримеров к ним (или ответу), или указанием
существенных пробелов в обоснованиях или плане решения. Если оппонент согласился с
решением, он и его команда в этом раунде больше не участвуют.
Если оппонент имеет контрпример, опровергающий решение докладчика в целом, и этот
контрпример сам является решением задачи (такое бывает, например, в случаях, когда вопрос
задачи звучит как “Можно ли …?”, “Верно ли, что …?” и т.п.), то оппонент имеет право заявить:
“Я с решением не согласен, у меня есть контрпример”, но сам контрпример пока докладчику не
предъявлять (хотя жюри имеет право потребовать от оппонента предъявления контрпримера в
письменном виде, чтобы убедиться в корректности заявления оппонента). В этом случае, если
докладчик не изменит своего решения в течение минуты или после взятого командой перерыва,
оппонент получает право предъявить докладчику упомянутый контрпример, причем докладчик и
его команда уже не имеют права менять решение или ответ.
Аналогично, если решение требует перебора случаев, оппонент имеет право заявить “Я с
решением не согласен, рассмотрены не все случаи”, не указывая пока докладчику явно, какой
именно случай не рассмотрен. Дальнейшие действия докладчика, жюри и оппонента такие же, как
в ситуации с контрпримером.
Участие жюри в обсуждении. После окончания диалога докладчика и оппонента жюри
задает свои вопросы. При необходимости оно может вмешиваться и раньше.
Выступающие и команда. Докладчик и оппонент могут обращаться к своим капитанам с
просьбой о замене или перерыве для консультации. Другое общение между командой и
докладчиком (оппонентом) допускается только во время полуминутного перерыва, который любая
команда может взять в любой момент (при этом соперники тоже могут пользоваться этим
временем). Каждая команда может взять в течение одного боя не более 6 полуминутных
перерывов (см. также ниже пункт “Число выходов к доске”). Команда имеет право полностью
использовать полуминутный перерыв, взятый командой соперников, даже если та закончила его
досрочно.
Перемена ролей. Некорректный вызов. Порядок вызовов. Если по ходу дискуссии
жюри установило, что оппонент доказал отсутствие у докладчика решения и ранее не произошел
отказ от вызова, то возможны два варианта. Если вызов на этот раунд был принят, то оппонент
получает право (но не обязан) рассказать свое решение. Если оппонент взялся рассказывать свое
решение, то происходит полная перемена ролей: бывший докладчик становится оппонентом и
может зарабатывать баллы за оппонирование. Если же вызов на этот раунд не был принят, то
говорят, что вызов был некорректным. В этом случае перемены ролей не происходит, а команда,
вызывавшая некорректно, должна снова вызывать соперника в следующем раунде. Во всех
6
VI Магнитогорский турнир юных математиков
остальных случаях в следующем раунде вызывает та команда, которая была вызвана в текущем
раунде.
Принятый вызов всегда считается корректным!
Если же оппонент не доказал, что у докладчика нет решения, но выявил в предложенном
решении некоторые конкретные недостатки, то, если ранее не произошел отказ от вызова и вызов
на этот раунд был принят, оппонент получает право (но не обязан) устранить все (или некоторые)
из этих недостатков (“залатать дыры”). Такое же право оппонент получает, если он доказал, что
у докладчика нет решения, но отказался рассказывать собственное решение. Если оппонент взялся
“залатывать дыры”, то происходит частичная перемена ролей: оппонент обязан сформулировать
предварительно, что именно он будет делать (например, разбирать такой-то не разобранный
докладчиком случай, доказывать такое-то недоказанное докладчиком утверждение или что-либо
еще), а бывший докладчик становится оппонентом и может зарабатывать баллы за оппонирование
сформулированных утверждений. При проверке корректности вызова частичная перемена ролей
невозможна.
Обратной перемены ролей ни в каком случае не происходит!
Число выходов к доске. Каждый член команды имеет право выйти к доске в качестве
докладчика или оппонента не более двух раз за бой. Команда имеет право не более трех раз за бой
заменять докладчика или оппонента, причем каждый раз выход засчитывается как тому, кого
заменили, так и тому, кто вышел на замену. Кроме того, при замене время, отведенное команде на
перерывы, уменьшается на 1 минуту (эту минуту можно использовать непосредственно перед
заменой, а можно и не использовать – в последнем случае команда соперников тоже не имеет
права пользоваться ею).
Начисление баллов. Каждая задача оценивается в 12 баллов, которые по итогам раунда
распределяются между докладчиком, оппонентом и жюри. Если докладчик, не опираясь
существенно на наводящие вопросы и иные соображения жюри и/или оппонента, рассказал
правильное и полное решение, все 12 баллов достаются ему. Если же в решении были выявлены
"дыры" (пробелы), то жюри по окончании дискуссии определяет их стоимость. После этого
оппонент, как правило, сразу получает половину стоимости обнаруженных им дыр. Если
некоторые из этих "дыр" были в ходе дискуссии полностью или частично закрыты,
соответствующая часть остатка их общей стоимости распределяется между докладчиком и
оппонентом пропорционально их вкладу в закрытие "дыр". При этом вкладом оппонента может
признаваться не только закрытие им дыры (в случае полной или частичной перемены ролей), но и
помощь докладчику в закрытии дыр путем высказанных по окончании доклада наводящих
соображений. Все оставшиеся баллы жюри забирает себе.
Если не было полной перемены ролей, то оппонент не может получить больше 6 баллов.
Если ошибки или пробелы в докладе указаны самим докладчиком и не устранены его
командой, то оппонент получает за них баллы так, как если бы он сам нашел эти недостатки. В
частности, если, получив отказ от вызова, капитан вызывающей команды сразу признается, что у
его команды нет решения, то команда соперников получает 6 баллов за оппонирование (которое в
этом случае могло бы состоять из одной фразы: “У Вас нет решения”), а вызов признается
некорректным. Докладчик и оппонент в этом случае не назначаются и выходы к доске не
засчитываются.
Капитан. Во время боя только капитан может от имени команды обращаться к жюри и
соперникам: сообщать о вызове или отказе, просить перерыв и т.д. Он имеет право в любой
момент прекратить доклад или оппонирование представителя своей команды. Если капитан у
доски, он оставляет за себя заместителя, исполняющего в это время обязанности капитана. Имена
капитана и заместителя сообщаются жюри до начала решения задач.
Жюри. Жюри является верховным толкователем правил боя. В случаях, не
предусмотренных правилами, оно принимает решение по своему усмотрению. Решения жюри
являются обязательными для команд.
7
VI Магнитогорский турнир юных математиков
Жюри может снять вопрос оппонента (например, если он не по существу), прекратить
доклад или оппонирование, если они затягиваются. Если жюри не может быстро разобраться
в решении, оно может с согласия обоих капитанов выделить своего представителя, который
продолжит обсуждение задачи совместно с докладчиком и оппонентом в другом помещении.
При этом бой продолжается по другим задачам, а очки по этой задаче начисляются позже.
Жюри ведет протокол боя. Если одна из команд не согласна с принятым жюри решением по
задаче, она имеет право немедленно потребовать перерыв на несколько минут для разбора
ситуации с участием Старшего по лиге. После начала следующего раунда счет предыдущего
раунда, как правило, изменен быть не может.
Жюри следит за порядком. Оно может оштрафовать команду за шум, некорректное
поведение, общение со своим представителем, находящимся у доски.
Жюри обязано мотивировать свои решения, не вытекающие непосредственно из правил боя.
Правила проведения математической регаты
1. В математической регате участвуют команды учащихся 6 – 8 классов. В составе
команды – 4 человека.
2. Соревнование проводится в четыре тура. Каждый тур представляет собой
коллективное письменное решение трех задач. Любая задача оформляется и сдается в
жюри на отдельном одинарном листе, причем каждая команда имеет право сдать
только по одному варианту решения каждой из задач. Эти листы раздаются командам
перед началом каждого тура. На листе указаны: номер тура, «ценность задач» в
баллах и время, отведенное командам для решения. Получив листы с заданиями,
команда вписывает на каждый из листов свое название, а уже потом приступает к
решению задач.
3. Проведением регаты руководит Координатор. Он организует раздачу заданий и сбор
листов с решениями; проводит разбор решений задач и обеспечивает своевременное
появление информации об итогах проверки.
4. Проверка решений осуществляется жюри после окончания каждого тура.
5. Параллельно с ходом проверки, Координатор осуществляет для учащихся разбор
решений задач, после чего школьники получают информацию об итогах проверки.
После объявления итогов тура, команды, не согласные с тем, как оценены их
решения, имеют право подать заявки на апелляции. В результате апелляции оценка
решений может быть как повышена, так и понижена, или же оставлена без изменений.
6. Команды-победители определяются по сумме баллов, набранных каждой командой во
всех турах.
8
VI Магнитогорский турнир юных математиков
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ РЕГАТА
Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов)
1.1. Художник Худобеднов за месяц работы написал 42 картины. На 17 из них есть лес, на 29
– река, а на 13 и то, и другое. На остальных картинах – не пойми что. Сколько картин
изображают не пойми что?
1.2. В левом нижнем углу доски 7  7 стоит фишка. Два игрока по очереди передвигают
фишку на одну из соседних по стороне клеток. Проигрывает тот игрок, после хода которого
фишка попадает в клетку, в которой она уже побывала. Кто выигрывает при правильной
игре?
1.3. В кабине лифта 20-этажного дома есть две кнопки. При нажатии на одну из них лифт
поднимается на 13 этажей, а при нажатии на другую – опускается на 8 этажей. Как попасть с
13-го этажа на 8-й?
Второй тур (10 минут; каждая задача – 7 баллов)
2.1. К натуральному числу разрешается прибавлять или отнимать сумму его цифр. Можно ли
с помощью этих операций из числа 2004 получить число 2005?
2.2. Найдите углы равнобедренного треугольника, если биссектриса, проведенная к его
основанию в два раза меньше боковой стороны.
2.3. Покрасьте шесть клеток таблицы размером 6 6 в чёрный цвет так, чтобы из неё нельзя
было вырезать ни белой полоски размером 1 6 , ни белого квадрата размером 3 3 .
Третий тур (15 минут; каждая задача – 8 баллов)
3.1. К новогоднему празднику школа покупает каждому ученику по шоколадке. Известно,
что если покупать шоколад в упаковках по 20 шоколадок в каждой, то понадобится на 5
упаковок больше, чем упаковок по 24 шоколадки. Сколько учеников в школе?
3 .2. Дана трапеция ABCD ( BC DA ). Через середину M боковой стороны AB проведена
прямая, параллельная основаниям. Биссектриса угла ABC пересекает эту прямую в точке O .
Докажите, что AO - биссектриса угла BAD .
3.3. Расставьте на шахматной доске 7 коней так, чтобы любая белая клетка находилась под
боем хотя бы одного коня.
Четвертый тур (15 минут; каждая задача – 9 баллов)
4.1. Найдите все трехзначные числа, которые уменьшаются в 5 раз после вычеркивания
первой цифры.
4.2. Три ученика – Коля, Дима и Женя – участвовали в городской математической олимпиаде
и получили одну первую, одну вторую и одну третью премии. Но им не сообщили, кто какую
премию получил. Позже Яна сказала, что Дима получил не первую, Коля – не вторую, Женя
получил вторую премию. Потом оказалось, что из этих трех высказываний верным было
только одно, а два ложны. Какую премию получил каждый ученик?
9
VI Магнитогорский турнир юных математиков
4.3. Расположите на плоскости 6 прямых и отметьте на них 7 точек так, чтобы на каждой
прямой было отмечено 3 точки.
РЕЗУЛЬТАТЫ РЕГАТЫ
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
ШКОЛА
5 (1)
48
МГМЛ
6
МЛ
65
40
67
5 (2)
59
55
53
9
12
38
13
28
64
3
31
7
62
63
19
18
61
32
команда учителей
1
51
58
16
8
14
30
66
20
10
ПЕРВЫЙ ТУР
1.1.
6
6
6
6
6
6
6
4
6
6
2
3
0
0
0
6
0
6
0
4
5
0
6
6
4
3
6
0
0
0
4
4
0
4
0
0
0
0
1.2.
0
2
2
0
2
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
2
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
2
0
0
2
2
0
0
0
0
0
2
0
1.3.
6
0
6
0
0
6
0
6
0
6
0
0
6
0
6
0
6
0
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
6
0
6
6
0
0
6
0
0
0
ВТОРОЙ ТУР
2.1.
0
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2.2.
7
7
0
2
6
7
0
7
0
6
5
6
0
7
7
6
7
7
7
2
0
6
0
4
6
2
4
2
6
0
0
0
0
2
0
0
0
7
2.3.
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
0
7
7
0
7
7
7
7
7
0
0
7
7
0
7
7
7
7
7
0
10
ТРЕТИЙ ТУР
3.1.
8
8
8
8
8
8
8
8
8
0
7
8
0
8
2
0
3
0
8
0
2
8
2
4
0
0
0
0
8
1
0
0
8
0
0
0
0
0
3.2.
8
8
8
5
0
0
7
0
8
1
0
0
0
0
0
0
4
0
8
0
0
0
0
0
0
0
0
8
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
3.3.
8
0
8
8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8
0
8
0
0
0
0
0
0
ЧЕТВЕРТЫЙ
ТУР
4.1. 4.2. 4.3.
4
0
9
4
1
9
0
2
9
3
0
9
4
0
9
3
5
0
1
0
9
8
0
0
9
0
0
1
0
9
4
2
9
3
8
0
9
3
9
1
0
9
6
2
0
1
0
9
3
0
0
0
0
9
4
0
0
3
9
0
3
0
9
2
0
9
1
0
9
4
0
0
0
2
0
3
0
9
2
3
0
5
0
9
1
2
0
4
0
0
1
0
0
3
0
0
0
3
0
3
0
0
2
0
0
2
2
0
0
0
0
2
0
0
СУММА
63
59
56
48
42
42
40
40
38
36
36
35
34
32
32
31
30
29
27
27
26
25
25
25
25
24
24
24
23
22
21
21
18
16
15
11
9
9
МЕСТО
I
I
I
II
III
III
III
III
VI Магнитогорский турнир юных математиков
РЕЗУЛЬТАТЫ РЕГАТЫ
(команды учащихся шестого и седьмого классов школы индивидуального образования
одаренных детей)
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
КОМАНДА
Анти кокос
ПГД
КНГ
Бородатые
77777
Овип локос
Девчонки
Узбеки
Святые
мученицы
ПЕРВЫЙ ТУР
ВТОРОЙ ТУР
ТРЕТИЙ ТУР
1.1.
5
3
6
6
3
0
5
1
1.2.
0
0
0
0
0
0
0
1.3.
3
0
6
6
6
6
6
2.1.
0
0
6
7
0
0
0
0
2.2.
4
0
0
0
0
0
0
2
2.3.
7
7
6
7
7
0
7
-
3.1.
0
8
8
0
0
0
-
3.2.
0
0
0
0
0
0
0
3.3.
0
0
0
0
-
6
0
6
7
0
0
0
0
0
ЧЕТВЕРТЫЙ
ТУР
4.1. 4.2. 4.3.
1
7
0
0
2
0
9
2
0
1
0
9
3
0
0
0
0
0
3
0
9
0
0
0
3
3
9
СУММА
27
12
43
38
19
6
30
9
34
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ РЕГАТЫ
1.1. Ответ. 9 картин.
Решение.
Количество картин, на которых есть хотя бы что-то,
Следовательно, не пойми что изображают 42-33=9 картин.
равно:
29  17  13  33 .
1.2. Ответ. Выигрывает второй игрок.
Решение.
Опишем выигрышную стратегию второго игрока. Разобьем все клетки
доски (кроме начальной) на пары, как показано на рисунке. На каждый
ход первого в одну из клеток некоторой пары, второй ходит в другую
клетку той же пары. Таким образом, у второго игрока всегда есть
ответный ход. Значит второй игрок выигрывает.
1.3. Ответ. Например, 13 – 5 – 18 – 10 – 2 – 15 – 7 – 20 – 12 – 4 – 17 – 9 – 1 – 14 – 6 – 19 – 11
– 3 – 16 – 8.
2.1. Ответ. Нельзя.
Решение. Если число делится на 3, то после изменения этого числа на сумму его цифр оно
по-прежнему будет делиться на 3. Число 2004 делится на 3, а число 2005 – нет.
2.2. Ответ. 30 0 , 30 0 , 120 0 .
Решение.
Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC , в котором BD - биссектриса, проведенная к
основанию. Т.к. в прямоугольном треугольнике ABD катет BD в два раза меньше
гипотенузы AB , то противолежащий этому катету угол равен 30 0 .
11
VI Магнитогорский турнир юных математиков
2.3. Ответ. Например, так
3.1. Ответ. 600 учеников.
Решение.
Пусть x - это количество требуемых упаковок. Тогда по условию задачи можно составить
уравнение:
20  x  5  20  24  x
Решая это уравнение, получим x  25. Отсюда количество учеников в школе: 25  24  600 .
3 .2. Доказательство.
Т.к. AKB  CBK  ABK , то ABK - равнобедренный
( AB  AK ). O - середина BK (по теореме Фалеса), значит
AO - медиана ABK , которая одновременно является и
биссектрисой. Следовательно, AO - биссектриса угла
BAD .
C
B
M
A
O
K
3.3. Решение.
Обозначим буквой «к» - стоящего на клетке коня. Расстановка может быть такой:
к
к
к
к
к
к
к
4.1. Ответ. 125, 250, 375.
Решение.
Пусть n  abc - искомое число. По условию 100a  10b  c  510b  c , откуда 25a 10b  c ,
т.е. c делится на 5. Если c  0 , то 5a  2b , откуда b  5 , a  2 . Если же c  5 , то 5a  2b  1 ,
откуда b  2 или b  7 .
4.2. Ответ. Женя – первый, Коля – второй, Дима – третий.
Решение.
12
D
VI Магнитогорский турнир юных математиков
Предположим, что верным было третье высказывание, т.е. Женя получил вторую премию, но
тогда Коля не мог получить вторую премию, получаем, что второе высказывание тоже
верное, чего не может быть, т.к. по условию верным было только одно высказывание.
Предположим, что верным было второе высказывание, а первое и третье – неверные. Из
первого высказывания получаем, что Дима был первым. Т.к. Коля не второй (из второго
высказывания), то он – третий. Получается, что вторая премия у Жени и третье
высказывание – верное. Противоречие.
Следовательно, верным было первое высказывание, а второе и третье – ложными. Тогда из
второго высказывания получаем, что Коля получил вторую премию, а т.к. Дима не первый,
то он третий. Осталась первая премия и ее получил Женя.
4.3. Ответ. Например, так:
13
VI Магнитогорский турнир юных математиков
Правила проведения игры «Пентагон»
«Пентагон» - интеллектуальная командная игра, цель которой – дать как можно больше
правильных ответов на поставленные вопросы.
Ход одного раунда: в начале ведущий оглашает категорию (например, «это еда» или «это
здание»). После этого следуют по очереди 5 подсказок. Команды могут давать ответ (в
письменной форме) после каждой подсказки. Если правильный ответ дан после первой
подсказки – команда получает 5 баллов, после второй – 4 балла, после третьей – 3 балла,
после четвертой – 2 балла и после пятой – 1 балл. За неправильный ответ у команды
вычитается 1 балл.
ЗАДАНИЯ И ОТВЕТЫ «ПЕНТАГОНА»
1. Женщина. (Ева)
1. Хотя одежда этой женщины и оставляла желать лучшего, моднее ее долгое время никто
не одевался.
2. Рассказывают, что по вечерам она на всякий случай пересчитывала мужу некоторые
части тела.
3. А об ее муже до сих пор напоминают яблоки, которые не трудно найти в этом зале.
4. Яблоки же очень круто изменили ее жизнь, заставив вместе с мужем переселиться
гораздо в менее комфортабельное место.
5. Все мы – ее потомки.
2. Мужчина. (Пифагор)
Его отец был резчиком по дереву, а сам он родился на острове Самос.
Ходили слухи, что он был сыном Гермеса или Аполлона.
Он полагал, что во Вселенной властвуют число, мера и ритм.
По совету своего учителя он совершил путешествие в Египет и Вавилон, где, по всей
видимости, и увлекся математикой.
5. Многие в этом зале знают кое-что о его штанах.
1.
2.
3.
4.
3. Животное. (Кузнечик)
1.
2.
3.
4.
5.
Его друзья весьма досаждают нам летом.
Смерть этого существа была весьма трагична.
Само же существо даже не могло себе представить такой смерти.
Его цвет делал его похожим на огородное растение.
А ел он одну лишь травку.
4. Символ. (Серп и Молот)
1. Это когда-то можно было найти в самых неожиданных местах.
2. Была и такая медаль, и такой завод.
3. Рассказывают, что в одном из общежитий в сове время под этим красовалась надпись
«Коси и забивай».
4. С точки зрения Владимира Даля, это «кривой нож» и «оружие к бою».
5. Это одна из известных эмблем СССР.
5. Литературный герой. (Бильбо)
1.
2.
3.
4.
Случай заставил его пуститься в путешествие.
Случайная находка не только спасла его жизнь, но и помогла его спутникам.
Зато потом от этой находки было очень трудно избавиться.
Он ростом гораздо меньше человека и у него мохнатые лапы.
14
VI Магнитогорский турнир юных математиков
5. Еще он общался с гномами, эльфами и людьми, да еще и с орками, гоблинами и др.
6. Бедствие. (Потоп)
1.
2.
3.
4.
5.
Его пережило очень небольшое количество людей.
Само слово, его обозначающее, является палиндромом.
Произошло оно в доисторическую эпоху.
Самое известное произведение, повествующее об этом бедствии – Библия.
По сути представляет из себя излишки воды.
7. Существо. (Дед Мороз)
1. Встречаются две его разновидности, которые отличаются друг от друга цветом некоторой
части тела.
2. Является для всех родственником во втором колене.
3. Но имеет одну самую любимую родственницу.
4. Его родина – Великий Устюг.
5. Увидев его, некоторые дети сразу начинают требовать подарки.
8. Литературный герой. (Гарри Поттер)
1.
2.
3.
4.
5.
На его жизнь покушались, когда он был совсем маленьким.
До 11 лет он ходил в обычную школу.
На каникулы он вынужден приезжать в семью к тетке, которая его ненавидит.
У него есть верные друзья – Рон, Гермиона, Букля…
Автор книги – Джоан Роулинг.
9. Литературный герой. (Курочка Ряба)
1.
2.
3.
4.
5.
В отличие от алхимиков, однажды добился определенного результата.
Искомый предмет стал причиной неурядиц в небогатой крестьянской семье.
Герой пообещал не повторять впредь свои алхимические опыты.
Злым гением этого литературного героя стал предмет вожделения кошки.
Этот литературный герой – вовсе не герой, а героиня, причем, судя по имени, рябая.
10. Существо. (Дракон)
1.
2.
3.
4.
5.
В Китае оно связано с культом Конфуция, оно – Нептун морей, но появляется и на суше.
История называет этих существ прародителями первых императоров.
Оно является воплощением зла на западе и добра – на востоке.
Это средство передвижения жителей планеты Перн.
Обычно оно трехглавое и огнедышащее.
11. Вид спорта. (Бокс)
1.
2.
3.
4.
5.
Площадка – квадрат 66, покрытый войлоком и брезентом.
Входит в программу Олимпийских игр, начиная с 1904 г.
Всего на площадке присутствуют три человека.
У любителей проводится по системе «три по три»
Да, собственно говоря, это просто драка.
12. Страна. (Непал)
1.
2.
3.
4.
Название страны переводится как «жилище у подножья гор»
Денежная единица – рупия.
Глава государства – король Бирендра
НА его территории расположена высочайшая вершина мира – Эверест.
15
VI Магнитогорский турнир юных математиков
5. С этой страной Англия вела англо-непальские войны.
КОМАНДА
ХЗСС
Жюри
5
59
Модуль
56
Хрю
РЕЗУЛЬТАТЫ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ ИГРЫ "ПЕНТАГОН"
ЗАДАНИЯ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
5
3
3
-2
5
1
0
-1
-3
-1
-1
3
2
4
-1
4
1
2
5
3
1
3
3
3
1
2
-1
-1
-1
-1
-2
-1
5
4
1
4
5
1
-3
2
2
1
0
0
1
-3
4
5
5
2
2
2
5
1
-1
0
-1
-2
-2
-2
4
1
0
1
-2
1
-1
2
5
5
5
5
4
3
4
2
3
4
5
2
4
1
-2
-1
-1
0
0
-1
4
3
3
3
4
5
1
-1
-2
-1
0
-2
-1
-2
16
СУММА
43
25
24
22
21
17
0
VI Магнитогорский турнир юных математиков
КОМАНДНАЯ ОЛИМПИАДА
1. Раскрасьте клетки квадрата 3 3 в пять цветов (каждую клетку одним цветом) так, чтобы
для любых двух цветов нашлись две клетки этих цветов, имеющие общую сторону.
2. Аня и Таня весят вместе 40 кг, Таня и Маня – 50 кг, Маня и Ваня – 90 кг, Ваня и Даня –
100 кг, Даня и Аня – 60 кг. Сколько весит Аня?
3. Дано: x  y  10 , x 3  y 3  370 . Найдите значение выражения x  y .
4. В некотором месяце понедельников больше, чем вторников, а воскресений больше, чем
суббот. Какой день недели был пятого числа этого месяца? Мог ли этот месяц быть
декабрем?
5. Каждый из трех человек выписал 100 различных слов. После этого слова, встречающиеся
не менее двух раз, вычеркнули. В результате у одного осталось 45 слов, у другого – 68, а у
третьего – 54. Докажите, что по крайней мере одно слово выписали трое.
6. Найдите наименьшее натуральное число такое, что если между его цифрами вставить
знаки умножения (возможно, только один), то результатом вычисления окажется число 2004.
7. Угол между двумя высотами остроугольного треугольника ABC равен 60 0 и точка
пересечения высот делит одну из них в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.
Докажите, что треугольник ABC - равносторонний.
8. На острове Контрастов живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы
всегда лгут. Некоторые жители заявили, что на острове четное число рыцарей, а остальные
заявили, что на острове нечетное число лжецов. Может ли число жителей острова быть
нечетным?
ИТОГИ КОМАНДНОЙ ОЛИМПИАДЫ
№
Школа
Название команды
1
5
Чих-пых-пых и его команда
Баллы
1 2 3 4 5 6 7 8
7 6 7 7 6 6 7 7
Сумма
53
2
5
7-1 (7 класс)
7 7 1 7 7 6 0 7
42
3
5
Победа (6 класс)
7 7 1 1 7 6 0 7
36
4
5
6
7
8
9
10
11
Сборная*
56
21
59
9
инт.№2
10
48
Рекартовцы
М-19
Луч
Великолепная десятка
Модуль-3
7
7
7
0
7
7
7
7
6
2
7
7
4
0
7
7
35
35
35
35
34
34
32
31
12
5
7-2(7 класс)
7 2 1 6 7 6 0 0
29
Пионеры
17
1
7
7
7
2
7
7
2
7
1
1
7
7
3
1
1
5
7
6
7
7
2
3
3
0
6
0
0
0
7
7
7
2
0
0
0
0
1
0
4
7
5
7
7
7
7
0
0
Место
1
вне
конкурса
вне
конкурса
2-5
6-7
8
9
вне
конкурса
VI Магнитогорский турнир юных математиков
13
14
15
16
54
65
33
12
Великолепная шестерка
Олимп
Мафия
Друзья
17
5
7-3(7 класс)
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
25
16
38
51
53
43
55
МЛ№1
32
20
13
67
7
64
26
39
40
41
66
62
30
36
61
6
58
28
Юные алгебраисты
Мозговой штурм
Охотники за удачей
Калькуляторы
Вундеркинды
Аня и Ко
Формула+
Умняшки
ХХХ
Великолепная четверка
Умники и умницы
Мудрецы
Веселые математики
Юные Пифагоры
Юные математики
Фортуна
Олимпики
Корни
Иксы
Пупсы
Умницы
Умницы и умники
7
7
7
7
2
2
7
7
7
7
0
7
28
26
25
25
7 7 1 0 0 0 0 3
18
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
18
15
14
14
14
13
12
11
11
10
9
9
8
7
7
6
6
6
6
5
3
3
2
2
2
2
7
7
2
7
0
7
7
0
2
2
2
1
7
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
0
1
2
3
1
1
0
1
2
1
2
3
1
1
3
1
1
1
1
1
2
3
3
1
3
1
1
1
0
0
1
1
0
7
7
7
4
7
0
7
4
4
0
2
7
1
0
1
7
0
2
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
4
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
3
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
2
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
2
0
3
0
7
1
0
0
7
0
4
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
* - в составе сборной – учащиеся школы №5, школы №10, школы №56.
18
10
11
12-13
вне
конкурса
14
15
16-18
19
20
21-22
23
24-25
26
27-28
29-32
33
34-35
36-39
VI Магнитогорский турнир юных математиков
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ БОИ
ПЕРВЫЙ БОЙ
9. Комиссия из трех человек работает над документами, хранящимися в сейфе. Сколько
нужно установить на сейфе разных замков и как распределить ключи от них, чтобы никакой
член этой комиссии не мог один открыть сейф, но любые два члена комиссии могли это
сделать?
10. М  А  Г  Н  И  Т  О  Г  О  Р  С  К
Замените буквы цифрами так, чтобы выполнялись все неравенства и число
МАГНИТОГОР СК было наибольшим из возможных. Одинаковым буквам соответствуют
одинаковые цифры, разным – разные.
11. Папа Карло сделал Буратино за 5 дней. На сколько процентов он должен повысить
производительность своего труда, чтобы на создание Буратино ушло 4 дня?
12. Профессор Тестер проводит серию тестов, на основании которых выставляет
испытуемому средний балл. Ответив на последний тест, Джон понял, что если бы за этот
тест он получил 97 очков, то его средний балл равнялся бы 90. Но он получил 73 очка, и
теперь его средний балл – 87. Сколько тестов в серии профессора Тестера?
13. Найдите все четверки натуральных чисел такие, что НОК любой пары чисел равен
произведению двух оставшихся.
14. Существует ли двузначное число, которое вдвое больше произведения своих цифр?
15. Точки E и F - середины сторон BC и CD квадрата ABCD . Отрезки AE и BF
пересекаются в точке K . Что больше: площадь треугольника AKF или площадь
четырехугольника KECF ?
16. Имеется 7 внешне одинаковых монет, среди которых 5 настоящих (все – одинакового
веса) и 2 фальшивых (одинакового между собой веса, но легче настоящих). Как с помощью
двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить 3 настоящие монеты?
ВТОРОЙ БОЙ
17. В некоторых клетках квадрата 5 × 5 расставьте числа 2 и 3 так, чтобы в каждом квадрате
2 × 2 была бы ровно одна двойка, а в каждом квадрате 3 × 3 – ровно одна тройка.
18. Клетки таблицы 15  15 окрашены в три цвета. Докажите, что найдутся хотя бы две
строки, в которых одинаковое количество клеток какого-то одного цвета.
19. Гирлянда состоит из 10 последовательно соединенных лампочек. Ровно одна из лампочек
перегорела, но неизвестно, какая. Для замены перегоревшей имеется годная лампочка. Чтобы
вывинтить лампочку, нужно 10 секунд, чтобы завинтить – тоже 10 секунд (временем на
остальные действия можно пренебречь). Можно ли гарантированно найти перегоревшую
лампочку
а) за 10 минут,
б) за 5 минут?
19
VI Магнитогорский турнир юных математиков
20. На каждом километре между селами Ёлкино и Палкино стоит столб с табличкой, на
одной стороне которого написано, сколько километров до Ёлкино, на другой – до Палкино.
Гуляя по этой дороге, Леня для каждой таблички подсчитал наибольший общий делитель
пары написанных на ней чисел. Все делители оказались равны либо 1, либо 3, либо 5.
Сколько километров от Ёлкино до Палкино?
21. Есть несколько обыкновенных несократимых дробей (не обязательно правильных) с
натуральными числителями и знаменателями (причем все знаменатели больше 1).
Произведение всех дробей равно 10. Все числители и знаменатели увеличили на 1. Может ли
произведение получившихся дробей оказаться больше 10?
22. Люся загадала натуральное число, большее единицы. Леня попросил Люсю возвести его в
четвертую степень, затем прибавить 4. У нового числа найти произведение всех его
делителей, вычесть из этого произведения новое число. Люся утверждает, что получилась
разность, равная нулю. Леня говорит, что Люся ошиблась. Прав ли он?
23. Квадрат разрезали на два прямоугольника. Известно, что отношение периметров этих
прямоугольников – целое число. Докажите, что прямоугольники равны.
24. На доске в строчку написаны 12 звездочек. Два игрока по очереди заменяют любую
звездочку произвольной ненулевой цифрой. Второй игрок выигрывает, если число,
получившееся после 12 ходов, делится на 13, и проигрывает в противном случае. Кто
выигрывает при правильной игре?
ТРЕТИЙ БОЙ
25. Покажите, как разрезать данную фигуру на четыре одинаковые части и сложить из них
квадрат 6  6 с шахматной раскраской?
26. Два шпиона одновременно поползли навстречу друг другу из объектов, расстояние
между которыми равно 10 км. Первый ползет со скоростью 3 км/час, а второй со скоростью
2км/час. Комар начал летать одновременно со шпионами. Сначала он сидел на первом
шпионе, затем полетел и укусил второго. Потом он тут же полетел к первому, укусил его и
т.д. Сколько пролетит комар до встречи шпионов, если его скорость 4км/час?
27. Последовательность чисел строится по следующему закону. На первом месте стоит число
7, далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на единицу.
Например, на втором месте стоит число 14, так как 7 2 =49, а 4+9+1=14. На третьем месте
стоит число 17 и так далее. Какое число стоит на 2005-м месте?
28. Когда Миша и Гриша бегут по стадиону в одну сторону, то Миша обгоняет Гришу раз в
15 минут, а когда они бегут навстречу, то встречаются раз в 5 минут. Во сколько раз
скорость Миши больше скорости Гриши?
20
VI Магнитогорский турнир юных математиков
29. Найдите все натуральные числа x и y , такие, что x 3  y 3  1  3xy .
30. Все натуральные числа поделены на хорошие и плохие. Известно, что если число A
хорошее, то и число A  6 тоже хорошее, а если число B плохое, то и число B  15 тоже
плохое. Может ли среди первых 2004 натуральных чисел быть ровно 1000 хороших?
31. Дан выпуклый четырехугольник ABCD . Точки K , L , M и N – середины сторон AB ,
BC , CD и AD соответственно. Отрезки AL и CK пересекаются в точке P . Отрезки AM и
CN пересекаются в точке Q . Известно, что APCQ – параллелограмм. Докажите, что точки
B , P , Q и D лежат на одной прямой.
32. На некотором острове расположено 15 государств. Для каждого из них хотя бы одно
соседнее государство – дружественное. Докажите, что найдется государство, у которого
четное количество дружественных соседей. (Два государства называются соседними, если у
них имеется целый кусок общей границы).
ЧЕТВЕРТЫЙ БОЙ
33. Раскрасьте клетки квадрата 5 5 в красный, желтый, зеленый и синий цвет так, чтобы 9
клеток было окрашено в синий цвет, и в любом квадрате 2 2 были клетки всех цветов.
34. Отметьте на плоскости 5 точек так, чтобы среди попарных расстояний между ними было
ровно два различных.
35. Два различных числа x и y (не обязательно целых) таковы, что x 2  2000x  y 2  2000 y .
Найдите сумму чисел x и y .
36. Во всех клетках таблицы 3 3 первоначально записаны нули. Одним ходом разрешается
прибавить ко всем четырем числам любого квадрата 2  2 по единице. Можно ли после
нескольких ходов получить следующую таблицу:
2 5 3
6 18 8
4 9 5
37. При подведении итогов одного математического боя было установлено, что баллы,
набранные жюри, составляют не более трети от суммы баллов, набранных командами.
Каково максимальное количество баллов, которое могло набрать жюри в этом бое?
38. В десятичной записи натурального числа использованы единица и 2k  1 четверка,
причем справа от единицы находится ровно три четверки. При каких k это число может
быть полным квадратом?
39. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O . Через точки A
и D проведены прямые, параллельные диагоналям, которые пересекаются в точке E .
Прямая EO пересекает сторону AD в точке K . Найдите длину EK , если AB =12см.
40. Путешественник прибыл на остров, на котором живут лжецы и правдолюбцы. Каждый
лжец, отвечая на вопрос: «Сколько...?» называет число на 2 больше, или на 2 меньше, чем
правильный ответ, а каждый правдолюбец отвечает верно. Путешественник встретил двух
21
VI Магнитогорский турнир юных математиков
жителей острова и спросил у каждого, сколько лжецов и правдолюбцев проживают на
острове. Первый ответил: «Если не считать меня, то 1001 лжец и 1002 правдолюбца», а
второй: «Если не считать меня, то 1000 лжецов и 999 правдолюбцев». Сколько лжецов и
правдолюбцев на острове? Кем оказались первый и второй жители острова?
РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ
1. Решение.
Обозначим цвета через цифры: 1, 2, 3, 4, 5. Раскраска может быть такой:
4 2 3
3 1 5
5 4 2
2. Ответ. 20 кг.
Решение.
Пусть Аня весит А кг, Таня – Т кг, Маня – М кг, Ваня – В кг, Даня – Д кг. По условию
задачи:
А+Т=40 кг,
(1)
Т+М=50 кг,
(2)
М+В=90 кг,
(3)
В+Д=100 кг,
(4)
Д+А=60 кг.
(5)
Из (1): Т=40-А, подставим это выражение в (2), получим: 40-А+М=50, М-А=10. Выразим
отсюда М и подставим в (3): А+В=80.
Найдем В и подставим в (4): Д-А=20. Выразим Д и подставим в (5): 2А=40, откуда А=20.
3. Ответ. 21.
Решение.
x  y  10  x  y 3  103  x3  y 3  3xyx  y   1000  370  3xy 10  1000  xy  21 .
4. Ответ. Четверг. Этот месяц не мог быть декабрем.
Решение.
За четыре недели с 1 по 28-е число каждый день недели встречается ровно по 4 раза, поэтому
из условия следует, что 29-е – воскресенье, 30-е – понедельник, а 31 числа нет.
5. Доказательство.
Допустим, каждое вычеркнутое слово написали ровно два человека. Так как они оба его
вычеркнули, то число вычеркнутых записей четно. Но первоначальное число записей, равное
300, четно. Поэтому должно быть четным и число оставшихся записей. Однако по условию
осталось нечетное число записей: 45+68+54=167. Противоречие.
6. Ответ. 3346 (334 × 6 = 2004)
Решение.
2004 = 1 × 2004 = 2 × 1002 = 3 × 668 = 4 × 501 = 6 × 334 = 12 × 167 = 2 × 6× 167 = 3 × 4 × 167.
Отсюда уже легко найти ответ. Добавление единицы, как множителя, увеличивает число
цифр искомого числа, а, следовательно, увеличивает и само число.
22
VI Магнитогорский турнир юных математиков
7. Доказательство.
Пусть AD и CE - высоты ABC , O - точка их пересечения. Из того,
1
что в прямоугольном AOE AOE  60 0 следует OE  AO ,
2
E
т.е. OE  OD . Значит, прямоугольные треугольники OEB и ODB
равны ( BO - общая гипотенуза). Тогда BE  BD , откуда следует,
что ABD  CBE ( ABC - общий). Отсюда AB  BC . С другой
стороны, ABC  90  BAD  AOE  60 .
ABC - равносторонний.
0
0
Значит,
A
B
D
O
C
8. Ответ. Нет.
Решение.
Предположим. Что число жителей острова – нечетное. Тогда возможно два случая:
1) рыцарей – четное число, лжецов – нечетное,
2) рыцарей – нечетное число, лжецов – четное.
Разберем первый случай. В этом случае оба высказывания жителей правдивы, а т.к. каждый
житель что-то заявлял, то получается, что все лжецы сказали правду, чего быть не может.
Во втором случае оба высказывания жителей лживы, получается, что все рыцари солгали,
чего быть не может.
9. Ответ. 3 замка, причем 1-й человек не имеет ключа от замка №1, но имеет ключи от
замков №2 и №3; 2-й человек не имеет ключа от замка №2, но имеет ключи от замков №1 и
№3; 3-й человек не имеет ключа от замка №3, но имеет ключи от замков №1 и №2.
10. Ответ. 9  6  7  4  5  3  8  7  8  1  2  0 .
Решение.
М  9 , иначе число МАГНИТОГОР СК не наибольшее. Далее, А  М и А  Г , поэтому
A  7 . Пусть A  7 , тогда Г  8 , но Г  О , т.е. О  9 , что невозможно. Пусть А  6 , тогда
Г  7 и О  8 . Поскольку Н  И , то Н  4 . Пусть Н  4 , тогда И  5 . Аналогично Р  1 ,
С  2 и К  0 . Из построения примера следует, что полученное число 967453878120 –
наибольшее из возможных.
11. Ответ. На 25%.
Решение.
За 20 дней, работая с прежней производительностью, Папа Карло смог бы сделать четыре
деревянные куклы, а, работая с новой производительностью, - пять. Т.е. за одно и то же
время он сможет сделать на одну куклу больше. Если 4 куклы составляют 100%, то одна
кукла – 25%.
12. Ответ. 8 тестов.
Решение.
Пусть n - количество тестов, b - количество баллов, набранное до последнего теста. Тогда
b  97
b  73
 90 и
 87 . Отсюда 90n  97  87n  73 ,
из условия задачи следует, что
n
n
3n  24 , n  8 .
13. Ответ. 1, 1, 1, 1.
Решение.
Пусть имеем числа a, b , c и d .
23
VI Магнитогорский турнир юных математиков
НОК a, b  ab (равенство достигается, когда a и b взаимно простые), НОК c, d   cd .
Значит, НОК a, b  НОК c, d   ab  cd  abcd . Но из условия
НОК a, b  НОК c, d   cd  ab  abcd . Значит, a взаимно просто с b , c взаимно просто с d .
Аналогично доказывается, что все числа взаимно просты.
Получаем
НОК a, b   ab
, следовательно, ab  cd (1).
НОК a, b   cd
НОК a, c   ac
, следовательно, ac  bd (2).
НОК a, c   bd
Перемножив почленно (1) и (2) получаем: a  d . Разделив (1) на (2), получаем b  c .
Проделав аналогичные операции с другими парами, получим, что a  b  c  d .
Т.е. НОК a, b  a  c  d  a 2  a  a 2  a  1 .
14. Ответ. Да, например 36. ( 36  2  3  6 )
15. Ответ. Площадь треугольника больше.
Решение.
B
Пусть 4S - площадь квадрата. Тогда площадь каждого из
треугольников ABE , ADF , BCF равна S , поэтому площадь
треугольника ABF равна 2S . Но треугольник AKB - часть треугольника
ABE , поэтому его площадь меньше S , а это означает, что площадь
треугольника AKF больше S . С другой стороны, площадь
четырехугольника KECF меньше S , так как он составляет часть
A
треугольника BCF .
E
C
K
16. Решение.
Занумеруем монеты 1, 2, …, 7. Первое взвешивание: 1, 2, 3 на одной чаше и 4, 5, 6 на другой.
а) В случае равенства среди 1, 2, 3 и 4, 5, 6 по одной фальшивой монете, а 7 – настоящая.
Второе взвешивание: 1 и 2. При равенстве 1, 2, 7 – настоящие, Если 1>2, то 1, 3, 7 –
настоящие.
б) Если 1, 2, 3 > 4, 5, 6, то 1, 2, 3 – настоящие.
17. Решение. Например, так:
2
2
3
2
2
18. Доказательство.
Предположим, что это не так, тогда в каждой из строк количество клеток каждого из цветов
различно. Следовательно, всего в таблице клеток каждого цвета должно быть не менее чем
0+1+…+14=105, т.е. клеток всех трех цветов должно быть не менее чем 315, что
противоречит тому, что в таблице 225 клеток.
19. Ответ. а) Да.
б) Да.
Решение.
24
F
D
VI Магнитогорский турнир юных математиков
а) Выворачиваем первую лампочку, вворачиваем годную, если гирлянда не горит, то первая
лампочка – годная и перегорела какая-то другая, выворачиваем годную, вворачиваем
первую. Итого, 10+10+10+10=40 секунд на одну лампочку. На 9 лампочек: 9  40  360
секунд. На десятую лампочку требуется только 20 секунд (вывернуть ее и ввернуть годную).
Всего будет потрачено 380 секунд (или меньше, если перегоревшая лампочка обнаружится
раньше), что меньше 10 минут.
б) Выворачиваем первую лампочку, вворачиваем годную (20 секунд). Если гирлянда не
горит, то первая лампочка – годная. Выворачиваем вторую лампочку, вворачиваем первую
(20 секунд) и т.д. Всего времени будет потрачено 20  10  200 секунд (или меньше), что
меньше 5 минут.
20. Ответ.15 км.
Решение.
Рассмотрим какую-нибудь табличку. Пусть на одной стороне написано k км, тогда на другой
будет написано ( S  k ) км, где S - расстояние между селами. Если НОД k , S  k =3, то
S  k  S  k  делится на 3. Аналогично получаем, что S делится на 5, т.е. расстояние от
Ёлкино до Палкино равно 15k км. Если k  2 , то найдется столб с табличкой, на сторонах
которой написаны числа 15 и 15k  1 , НОД которых равен 15, что противоречит условию.
Нетрудно убедиться, что число 15 удовлетворяет условиям задачи.
21. Ответ. Может.
Решение.
2 25 147
3 26 148
41


 10 , но


 10
 10
Например,
21 7
5
22 8 6
44
22. Ответ. Леня прав.
Решение.
Пусть исходное число a .


Так как получилась разность, равная нулю, то a 4  4 - простое (иначе произведение всех


делителей этого числа было бы больше самого числа). Докажем, что при a  1 a 4  4 составное число.

 
 

Т.е. число a 4  4 делится на a 2  2a  2 (причем a 2  2a  2  1 при
a 4  4 не может быть простым и, следовательно, Люся ошиблась.
2
2
a 4  4  a 2  2 2  2  2  a 2  2  2  a 2  a 2  2  4a 2  a 2  2a  2 a 2  2a  2

a  1 ). Значит,
23. Доказательство.
Пусть a – сторона квадрата и длина каждого из прямоугольников, b – ширина одного
прямоугольника, с – ширина другого прямоугольника (b ≥ c). Тогда имеем:
2a  b  k  2a  c , где k - целое положительное число.
Заменяя a на b + с, после преобразований получаем:
bk  2  c2k  1  0 ,
откуда следует, что k ≤ 2.
1) k=2. Тогда 3c = 0, что невозможно.
2) k =1. Тогда с = b, что и требовалось доказать.
24. Ответ. Выигрывает второй.
Решение.
25
VI Магнитогорский турнир юных математиков
Второй игрок может добиться того, чтобы число делилось на 1001 – для этого достаточно
разбить все 12 мест на пары.
25. Решение.
Заметим, что между клетками одного цвета обязательно должен пройти разрез, и получим
решение:
2
4
3
2
4
3
1
1
26. Ответ. 8 км.
Решение.
За один час шпионы проползают вместе 5 км, т.е. встретятся они через 2 часа. Комар летает
со скоростью 4 км/час, следовательно, за два часа он пролетит 8 км.
27. Ответ. 11.
Решение.
Вычислим несколько первых членов данной последовательности: 7; 14; 17; 20; 5; 8; 11; 5; 8;
11; 5; ... Таким образом, начиная с пятого члена последовательности, будет повторяться одна
и та же тройка чисел 5, 8, 11. Так как 2005-4=2001, а 2001 кратно 3, то на 2005-м месте будет
стоять число 11.
28. Ответ. В 2 раза.
Решение.
Пусть скорость Миши - x , а скорость Гриши - y . Тогда 5x  5 y  - длина целого круга
стадиона.
По условию задачи можно составить уравнение:
15x  5x  5 y   15 y ,
10 x  20 y ,
x  2y .
29. Ответ. x  1 , y  1 .
Решение.
Пусть x  y .
Если x  3 , то x 3  3xy , а, следовательно, x 3  y 3  1  3xy и исходное уравнение решений
не имеет. Значит, y  x  3 . Легким перебором убеждаемся, что подходит только пара 1,1 .
30. Ответ. Нет.
Решение.
Числа C и C  3 являются одновременно либо хорошими, либо плохими. В самом деле, если
C - хорошее, C  3 , плохое, то C  18  C  6  6  6 - хорошее, и C  18  C  3  15 плохое, противоречие. Аналогично не может быть, что C - плохое, а C  3 - хорошее (надо
рассмотреть число С  15 ). Поэтому все числа, дающие одинаковый остаток от деления на 3,
одинаковы. Таким образом, среди первых 2004 натуральных чисел хороших либо 0, либо
668, либо 1336, либо 2004.
26
VI Магнитогорский турнир юных математиков
31. Доказательство.
Проведем диагональ AC . Пусть O – середина AC . Тогда BO –
медиана треугольника ABC , а так как медианы треугольника
пересекаются в одной точке, то точки B , P и O лежат на K
одной прямой. Аналогично, точки D , Q и O лежат на одной
прямой. Но точки P , O и Q также лежат на одной
A
прямой, поскольку PQ диагональ параллелограмма
APCQ
и
диагонали параллелограмма точкой
N
пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что точки B ,
P , Q и D лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.
B
L
P
C
Q
M
D
32. Доказательство.
Предположим, что у каждого государства нечетное количество дружественных соседей,
тогда, сложив 15 нечетных чисел, получим нечетное число. С другой стороны, государство
А дружественно государству В, то и В дружественно А. Следовательно, найденная нами
сумма должна быть четной. Из полученного противоречия следует, что наше предположение
неверно и хотя бы у одного государства четное количество дружественных соседей, что и
требовалось доказать.
33. Решение.
Например, так:
34. Ответ. Условию удовлетворяют вершины правильного пятиугольника.
35. Ответ. 2000.
Решение.
Данное в условии равенство перепишем следующим образом:
2000x  y   x  y x  y  .
Т.к. x не равно y , можно сократить на x  y . Отсюда x  y  2000 .
36. Ответ. Нельзя.
Решение.
Для того чтобы в левом верхнем углу таблицы стояла двойка, нужно дважды прибавлять
единички к числам левого верхнего квадрата 2  2 . В частности, мы на 2 увеличим число в
центральном квадратике 1 1 . Аналогично, рассматривая числа в других угловых клетках
таблицы, получаем, что в центральном квадратике в конце концов должно было стоять число
0+2+3+4+5=14, а у нас там написано число 18. Противоречие.
37. Ответ. 24 балла.
Решение.
Пусть первая команда набрала x баллов, вторая команда - y баллов, а жюри - z баллов.
По правилам математического боя:
27
VI Магнитогорский турнир юных математиков
x  y  z  96 ,
а по условию задачи
z
1
x  y  .
3
z
1
96  z  ,
3
Получаем:
4
z  32 ,
3
z  24 .
Значит, жюри могло набрать максимально 24 балла.
38. Ответ. При k  1 .
Решение.
При k  1 получаем число 1444  382 . При k  2 получаем число 441444, не являющееся
2
2
полным квадратом. Пусть k  3 . Докажем неравенство: 66
...
...
...

6  44

41444  66

67 . Число
k 1
66
...
...
...

6  44

4355

56 ,
2
k 1
k
а
число
k
66
...
...
...

67  44

488

89 .
k 1
k
2k  2
2
k 1
Очевидно,
что
k
44
...
...
...
...
...

4355

56  44

41444  44

488

89 , что и требовалось доказать. Получили, что число
k
k
2k  2
k 1
k
44
...

41444 лежит между квадратами двух последовательных натуральных чисел, т.е. не
2k  2
является полным квадратом.
39. Ответ. EK =6см.
Решение.
AODE - параллелограмм, K - точка пересечения диагоналей,
следовательно, EK  KO . Из равенства треугольников BOM и
DOK : KO  OM , KD  BM . По признаку параллелограмма:
AKMB - параллелограмм. Получили: OM  OK  EK и
A
OK  OM  AB , следовательно, EK  6 см.
B
M
C
O
K
D
E
40. Ответ. Первый – лжец, второй – правдолюбец. На острове 1000 лжецов и 1000
правдолюбцев.
Решение.
Ответы первого и второго различны, поэтому вариант, когда оба правдолюбцы, не походит.
Так же невозможен вариант, когда оба лжецы, т.к. числа 1001 и 1000 отличаются на 1, а
ответы лжецов по поводу количества лжецов должны либо совпадать, либо отличаться на 4.
Случай, когда первый – правдолюбец, а второй – лжец также невозможен, т.к. в этом случае
на острове проживает 1003 правдолюбца и, значит, лжец не мог дать ответ 999. Остается
вариант, когда первый – лжец, второй – правдолюбец. Из ответа второго получаем 1000
лжецов и 1000 правдолюбцев, что соответствует ответу первого.
28
VI Магнитогорский турнир юных математиков
РЕЗУЛЬТАТЫ ТУРНИРА
КОМАНДА
1
Школа №5
Сборная*
15:47
Школа №56
48:34
Школа №59
6:62
Турнирная таблица
4
5
6
2
3
47:15
34:48
36:15
26:32
32:26
Школа №9
15:36
Школа №10
6:48
1:71
28:17
17:28
-:28
20:61
ОЧКИ
МЕСТО
71:1
6
I
4
II
6
I
61:20
6
I
31:35
4
II
2
III
0
ПГ
4
II
48:6
52:18
23:60
8
60:23
18:52
Школаинтернат
№2
Школа №48
62:6
18:40
40:18
7
35:31
28:-
24:-
-:24
-:24
24:-
* - в составе сборной – учащиеся школы №5, школы №10, школы №56.
Победители Турнира
I место
- команда школы № 56
Велижанин Николай – капитан
Матнина Екатерина – заместитель капитана
Савельева Анастасия
Тутаров Денис
Абрашенков Саша
Швыдкий Виталий
- команда школы № 59
Андреев Михаил – капитан
Габдрахманов Илья – заместитель капитана
Гришанов Александр
Виноградов Константин
Хасанов Наиль
Гольцова Лада
- команда школы № 5
Говорухин Анатолий – капитан
Ширгазина Ирина – заместитель капитана
29
VI Магнитогорский турнир юных математиков
Ткаченко Виталий
Санникова Екатерина
Жижко Артем
Асташов Дмитрий
II место
- команда школы №9, капитан Пинегин Алексей
- команда школы № 48, капитан Сорокина Евгения
- сборная команда (школы 5, 10, 56), капитан Катин Артем (шк. №56)
III место
- команда школы-интерната №2, капитан Торчинская Инесса.
Команда школы №10 была награждена похвальной грамотой.
Все участники турнира были награждены призами.
По правилам турнира переходящий кубок был передан команде школы № 56.
30