Материалы III турнира

III Магнитогорский турнир юных математиков
Составители:
Никифорова Н.С., педагог школы индивидуального образования одаренных детей.
Устинов А.В., педагог школы индивидуального образования одаренных детей.
Компьютерный набор:
Никифорова Н.С.
Математические соревнования как личные, так и командные, имеют много общего со
спортивными соревнованиями. Такие же систематические тренировки, интенсивный курс
подготовки на сборах, необходимая сплоченность команды и, конечно, радость победы.
Сегодня существует множество математических соревнований – это различные олимпиады,
турниры, заочные конкурсы. Среди наиболее интересных командных соревнований
школьников можно назвать регулярно проходящие турниры математических боев.
Основными целями таких турниров являются стимулирование интереса школьников к
математике, завязывание и укрепление профессиональных и дружественных контактов.
Большой популярностью пользуются, например, Уральские (Кировские) турниры и турниры
имени А.П.Савина. Это яркие и многогранные мероприятия: трудные, но интересные задачи,
математические (и не только) игры, новые знакомства. Благодаря всему этому школьники
получают огромный заряд бодрости и интеллектуального здоровья, который надолго
остается их невидимым преимуществом над окружающими. В то же время ребятам
приходится много трудиться, ведь на турнирах от них требуется не только умение решать
нестандартные задачи, но и проявлять навыки слаженной коллективной работы, публичного
выступления и аргументированной полемики.
В данном сборнике представлены задачи и результаты III Магнитогорского турнира юных
математиков, который проходил с 19 по 23 марта на базе МОУ СОШ № 5. Турниру
предшествовала командная олимпиада, в которой приняли участие 43 команды
семиклассников (по 6 человек в команде) из 41 общеобразовательного учреждения города.
По результатам командной олимпиады к турниру были допущены 8 команд, которые и
разыграли между собой главный приз – переходящий кубок.
В программу турнира была включена математическая регата, в которой также участвовали
ученики пятых и шестых классов школы индивидуального образования одаренных детей.
В состав жюри турнира вошли: председатель жюри – Никифорова Н.С., члены жюри –
Устинов А.В., Юрасов Дмитрий, Великих А.С., Терентьев А.Г., Галимзянова Ю.Ш., Бергер
Н.Н., , Батехина О.А., Христева А.В., Моренко Яна, Билибенко Кристина, Дятлов Дмитрий,
Курбанов Дамир, Рогожин Илья, Наумова Надя
При составлении заданий для каждого математического боя жюри турнира старалось, чтобы
каждый участник нашел для себя что-нибудь интересное.
Большую работу провел оргкомитет в составе Полуниной Т.Л., Дронова В.Л.,
Малыхиной Т.А.
3
III Магнитогорский турнир юных математиков
Задачи под номерами 1, 3, 10, 42 (50, 58), 60 взяты из Санкт-Петербургских олимпиад.
Задачи под номерами 2, 6, 16, 37 (45, 53, 61), 40 взяты из Московских олимпиад.
Задача 55 взята из Магнитогорской городской олимпиады.
Задачи под номерами 5, 7, 8, 11, 14, 17, 22, 25, 27, 32, 33 (41, 49, 57), 34, 36, 44 (52), 48 (56),
63, 64 взяты из материалов Иркутских, Пермских турниров, Кубка Урала, Уральских
(Кировских), Костромских турниров.
Задачи под номерами 13, 31 предложены Юрасовым Д.
Задачи под номерами 9, 15, 18, 20, 23, 26, 28-30, 35, 38 (46), 43 (51, 59), 54 (62) предложены
Устиновым А.В.
Задача 24 предложена Дроновым В.Л., Устиновым А.В.
Задача 19 предложена Тропиным Н.
Задачи под номерами 4, 12 взяты из книги Г.Г. Левитаса «Нестандартные задачи по
математике в 4 классе»
Задача 21 предложена Поляковым Е.
Задача 39 (47) взята из математических турниров имени А.П.Савина.
Задачи регаты взяты из различных Московских математических регат.
4
III Магнитогорский турнир юных математиков
ПРАВИЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО БОЯ
Общие положения. Математический бой – это соревнование двух команд в решении
математических задач. Он состоит из двух частей. Сначала команды одновременно получают
условия задач и определенное время на их решение. При решении задач команда может
использовать любую литературу, но не имеет права общаться по поводу решения задач ни с кем,
кроме жюри. Представитель жюри обязан давать командам все необходимые пояснения по
текстам задач. Он также следит за тем, что те существенные пояснения в тексте задачи, которые
могут повлиять на ее решение, доводились до сведения всех команд, решающих эту задачу.
Команда выбирает капитана команды и его заместителя. Во время решения задач главная
обязанность капитана – координировать действия членов команды так, чтобы имеющимися
силами решить как можно больше задач. Для этого капитан, с учетом пожеланий членов команды,
распределяет между ними задачи для решения, организует проверку найденных решений,
определяет тактику команды на предстоящем бое.
По истечении заданного времени команды, их болельщики, зрители и жюри боя
собираются в одном помещении. Команды передают жюри боя списки команд с указанием
названия команды, капитана и заместителя капитана.
Ход боя. Бой начинается с конкурса капитанов команд. В конкурсе капитанов может
участвовать любой представитель команды. Жюри боя предлагает капитанам задачу. Если какойто капитан даст правильный ответ, то он победил, а если неправильный – победил его соперник.
Если за время, отведенное на конкурс капитанов, ни один капитан не ответил, то победитель
определяется жребием. Вместо задачи жюри может предложить капитанам сыграть в игру. В
этом случае победителем считается тот, кто выигрывает игру. Возможны и другие схемы
проведения конкурса капитанов.
Команда, капитан которой победил на конкурсе капитанов, получает право первого хода.
Она может вызвать другую команду на какую-то задачу или пожелать быть вызванной.
Затем команды в соответствии с правилами боя рассказывают друг другу решения задач.
Команда, получившая вызов, выставляет докладчика задачи, который должен у доски рассказать
полное решение задачи. Другая команда выставляет оппонента, который ищет в решении
докладчика ошибки, недостатки и т.д. При этом выступления оппонента и докладчика
оцениваются жюри в баллах (за решение и за оппонирование). Если команды, обсудив
предложенное решение, все-таки до конца задачу не решили или не обнаружили допущенные
ошибки, то часть баллов (или даже все баллы) может забрать себе жюри боя. Если по окончании
боя результаты команд отличаются не более чем на 3 балла, то считается, что бой закончился
вничью. В противном случае побеждает команда, которая по окончании боя набирает больше
баллов. Если же по условиям боя он не может закончиться вничью, то жюри до боя объявляет это
командам и оглашает процедуру определения победителя.
Капитаны команд имеют право попросить жюри о предоставлении перерыва в ходе боя на 5–
10 минут (примерно через каждые полтора часа). Перерыв может предоставляться только между
обсуждением двух различных задач (между раундами). При этом команда, которая должна
сделать вызов, делает его в письменной форме (без оглашения) непосредственно перед началом
перерыва и сдает жюри, которое оглашает этот вызов сразу после окончания перерыва.
Вызовы. Бой состоит из нескольких раундов. В начале каждого раунда одна из команд
вызывает другую на одну из задач, решения которых еще не рассказывались (например: “Мы
вызываем команду соперников на задачу номер 8”). После этого вызванная команда сообщает,
принимает ли она вызов, т.е. согласна ли рассказывать решение задачи, на которую была вызвана
(ответ можно обдумывать, но не более 1 минуты). Если да, то она выставляет докладчика, который
должен рассказать решение, а вызвавшая команда выставляет оппонента, обязанность которого –
искать в решении ошибки. Если нет, то происходит проверка корректности вызова вызывающая команда обязана выставить докладчика, а отказавшаяся отвечать команда выставляет
оппонента. После раунда жюри определяет, был вызов корректным или нет. Команда, вызывавшая
некорректно, должна снова вызывать соперника в следующем раунде. Во всех остальных случаях
5
III Магнитогорский турнир юных математиков
в следующем раунде вызывает команда, которая была вызвана до этого. Команда, желающая
сохранить выходы к доске, может отказаться выставлять оппонента. Тогда она в этом раунде не
участвует (и изменить своего решения уже не может).
В любой момент боя команда, которая должна вызывать, может отказаться это сделать.
Тогда другая команда получает право рассказать решение оставшихся задач, а команда,
отказавшаяся делать вызов, может выставлять оппонента и получать баллы за оппонирование.
Бой заканчивается, когда не осталось не обсужденных задач, или когда одна из команд
отказалась от вызова, а другая команда отказалась рассказывать решения оставшихся задач.
Ход раунда. В начале раунда докладчик рассказывает решение. Доклад должен содержать
ответы на все поставленные в задаче вопросы и доказательство правильности и полноты
полученных ответов. В частности, докладчик обязан доказать каждое сформулированное им
промежуточное утверждение либо сослаться на него, как на общеизвестное, т.е. входящее в
обычный школьный курс. Докладчик должен стремиться к ясности изложения, в частности, он
обязан повторить по просьбе оппонента или жюри любую часть своего доклада. Время на доклад
ограничивается 15 минутами, после чего жюри решает, разрешать ли докладчику рассказывать
дальше.
Докладчик может иметь бумагу с чертежами и (с отдельного разрешения жюри)
вычислениями, но не имеет права брать с собой текст решения. В докладе нельзя ссылаться
на вычисления, проведенные с помощью калькулятора или иной вычислительной техники и
не подтвержденные иным способом.
Докладчик имеет право :
– до начала выступления вынести на доску всю необходимую информацию (чертежи,
вычисления и т.п.);
– не отвечать на вопросы оппонента, заданные до начала обсуждения;
– просить оппонента уточнить свой вопрос (в частности, докладчик может предложить
свою версию вопроса: “Правильно ли я понимаю, что вы спросили о том-то и том-то?”);
– отказаться отвечать на вопрос, сказав, что: (а) он не имеет ответа на этот вопрос; (б) он
уже ответил на этот вопрос (объяснив, когда и как); (в) вопрос некорректен или выходит
за рамки научной дискуссии по поставленной задаче. В случае несогласия оппонента с
основаниями (б) и (в) арбитром выступает жюри.
Докладчик не обязан:
– излагать способ получения ответа, если он может доказать правильность и полноту
ответа другим путем;
– сравнивать свой метод решения с другими возможными методами, в том числе с точки
зрения краткости, красоты и пригодности для решения других задач.
Докладчик обязан рассказывать решение в вежливой, корректной форме, критикуя действия
оппонента, не допускать критики его личности, обращаться к оппоненту только на “Вы”.
Пока доклад не окончен, оппонент может задавать вопросы только с согласия докладчика, но
имеет право просить повторения части решения и разрешать докладчику не доказывать какиелибо очевидные с точки зрения оппонента факты. После окончания доклада оппонент имеет право
задавать вопросы докладчику. Если в течение минуты оппонент не задал ни одного вопроса, то
считается, что у него нет вопросов. Если докладчик в течение минуты не начинает отвечать на
вопрос, то считается, что у него нет ответа.
В качестве вопроса оппонент может :
– потребовать у докладчика повторить любую часть доклада;
– попросить уточнения любого из высказываний докладчика, в том числе: (а) попросить
дать определение любого термина (“Что Вы понимаете под ...”); (б) переформулировать
утверждение докладчика своими словами и попросить подтверждения (“Правильно ли я
понимаю, что Вы утверждаете следующее: ...”);
– попросить докладчика доказать сформулированное тем неочевидное необщеизвестное
утверждение (в спорных случаях вопрос об известности или очевидности решает жюри;
6
III Магнитогорский турнир юных математиков
во всяком случае, известными считаются факты, изучающиеся в общеобразовательной
школе);
– после ответа на вопрос выразить удовлетворенность или мотивированную
неудовлетворенность ответом.
Если оппонент считает, что докладчик тянет время, придумывая решение у доски, или что
существенная часть доклада не является изложением решения обсуждаемой задачи, он имеет
право (но не ранее, чем через 10 минут после начала доклада) попросить докладчика предъявить
ответ (если таковой в задаче подразумевается) или план дальнейших рассуждений.
Оппонент обязан:
– формулировать свои вопросы в вежливой, корректной форме, обращаться к
докладчику только на “Вы”;
– критикуя доклад, не допускать критики докладчика;
– повторять и уточнять свои вопросы по просьбе докладчика или жюри.
По итогам доклада и ответов на вопросы оппонент имеет право дать свою оценку докладу и
обсуждению в одной из следующих форм: (а) признать решение правильным; (б) признать
решение (ответ) в основном правильным, но имеющим недостатки и/или пробелы с обязательным
их указанием; (в) признать решение (ответ) неправильным с указанием ошибок в обоснованиях
ключевых утверждений доклада или контрпримеров к ним (или ответу), или указанием
существенных пробелов в обоснованиях или плане решения. Если оппонент согласился с
решением, он и его команда в этом раунде больше не участвуют.
Если оппонент имеет контрпример, опровергающий решение докладчика в целом, и этот
контрпример сам является решением задачи (такое бывает, например, в случаях, когда вопрос
задачи звучит как “Можно ли …?”, “Верно ли, что …?” и т.п.), то оппонент имеет право заявить:
“Я с решением не согласен, у меня есть контрпример”, но сам контрпример пока докладчику не
предъявлять (хотя жюри имеет право потребовать от оппонента предъявления контрпримера в
письменном виде, чтобы убедиться в корректности заявления оппонента). В этом случае, если
докладчик не изменит своего решения в течение минуты или после взятого командой перерыва,
оппонент получает право предъявить докладчику упомянутый контрпример, причем докладчик и
его команда уже не имеют права менять решение или ответ.
Аналогично, если решение требует перебора случаев, оппонент имеет право заявить “Я с
решением не согласен, рассмотрены не все случаи”, не указывая пока докладчику явно, какой
именно случай не рассмотрен. Дальнейшие действия докладчика, жюри и оппонента такие же, как
в ситуации с контрпримером.
Участие жюри в обсуждении. После окончания диалога докладчика и оппонента жюри
задает свои вопросы. При необходимости оно может вмешиваться и раньше.
Выступающие и команда. Докладчик и оппонент могут обращаться к своим капитанам с
просьбой о замене или перерыве для консультации. Другое общение между командой и
докладчиком (оппонентом) допускается только во время полуминутного перерыва, который любая
команда может взять в любой момент (при этом соперники тоже могут пользоваться этим
временем). Каждая команда может взять в течение одного боя не более 6 полуминутных
перерывов (см. также ниже пункт “Число выходов к доске”). Команда имеет право полностью
использовать полуминутный перерыв, взятый командой соперников, даже если та закончила его
досрочно.
Перемена ролей. Некорректный вызов. Порядок вызовов. Если по ходу дискуссии
жюри установило, что оппонент доказал отсутствие у докладчика решения и ранее не произошел
отказ от вызова, то возможны два варианта. Если вызов на этот раунд был принят, то оппонент
получает право (но не обязан) рассказать свое решение. Если оппонент взялся рассказывать свое
решение, то происходит полная перемена ролей: бывший докладчик становится оппонентом и
может зарабатывать баллы за оппонирование. Если же вызов на этот раунд не был принят, то
говорят, что вызов был некорректным. В этом случае перемены ролей не происходит, а команда,
вызывавшая некорректно, должна снова вызывать соперника в следующем раунде. Во всех
7
III Магнитогорский турнир юных математиков
остальных случаях в следующем раунде вызывает та команда, которая была вызвана в текущем
раунде.
Принятый вызов всегда считается корректным!
Если же оппонент не доказал, что у докладчика нет решения, но выявил в предложенном
решении некоторые конкретные недостатки, то, если ранее не произошел отказ от вызова и вызов
на этот раунд был принят, оппонент получает право (но не обязан) устранить все (или некоторые)
из этих недостатков (“залатать дыры”). Такое же право оппонент получает, если он доказал, что
у докладчика нет решения, но отказался рассказывать собственное решение. Если оппонент взялся
“залатывать дыры”, то происходит частичная перемена ролей: оппонент обязан сформулировать
предварительно, что именно он будет делать (например, разбирать такой-то не разобранный
докладчиком случай, доказывать такое-то недоказанное докладчиком утверждение или что-либо
еще), а бывший докладчик становится оппонентом и может зарабатывать баллы за оппонирование
сформулированных утверждений. При проверке корректности вызова частичная перемена ролей
невозможна.
Обратной перемены ролей ни в каком случае не происходит!
Число выходов к доске. Каждый член команды имеет право выйти к доске в качестве
докладчика или оппонента не более двух раз за бой. Команда имеет право не более трех раз за бой
заменять докладчика или оппонента, причем каждый раз выход засчитывается как тому, кого
заменили, так и тому, кто вышел на замену. Кроме того, при замене время, отведенное команде на
перерывы, уменьшается на 1 минуту (эту минуту можно использовать непосредственно перед
заменой, а можно и не использовать – в последнем случае команда соперников тоже не имеет
права пользоваться ею).
Начисление баллов. Каждая задача оценивается в 12 баллов, которые по итогам раунда
распределяются между докладчиком, оппонентом и жюри. Если докладчик, не опираясь
существенно на наводящие вопросы и иные соображения жюри и/или оппонента, рассказал
правильное и полное решение, все 12 баллов достаются ему. Если же в решении были выявлены
"дыры" (пробелы), то жюри по окончании дискуссии определяет их стоимость. После этого
оппонент, как правило, сразу получает половину стоимости обнаруженных им дыр. Если
некоторые из этих "дыр" были в ходе дискуссии полностью или частично закрыты,
соответствующая часть остатка их общей стоимости распределяется между докладчиком и
оппонентом пропорционально их вкладу в закрытие "дыр". При этом вкладом оппонента может
признаваться не только закрытие им дыры (в случае полной или частичной перемены ролей), но и
помощь докладчику в закрытии дыр путем высказанных по окончании доклада наводящих
соображений. Все оставшиеся баллы жюри забирает себе.
Если не было полной перемены ролей, то оппонент не может получить больше 6 баллов.
Если ошибки или пробелы в докладе указаны самим докладчиком и не устранены его
командой, то оппонент получает за них баллы так, как если бы он сам нашел эти недостатки. В
частности, если, получив отказ от вызова, капитан вызывающей команды сразу признается, что у
его команды нет решения, то команда соперников получает 6 баллов за оппонирование (которое в
этом случае могло бы состоять из одной фразы: “У Вас нет решения”), а вызов признается
некорректным. Докладчик и оппонент в этом случае не назначаются и выходы к доске не
засчитываются.
Капитан. Во время боя только капитан может от имени команды обращаться к жюри и
соперникам: сообщать о вызове или отказе, просить перерыв и т.д. Он имеет право в любой
момент прекратить доклад или оппонирование представителя своей команды. Если капитан у
доски, он оставляет за себя заместителя, исполняющего в это время обязанности капитана. Имена
капитана и заместителя сообщаются жюри до начала решения задач.
Жюри. Жюри является верховным толкователем правил боя. В случаях, не
предусмотренных правилами, оно принимает решение по своему усмотрению. Решения жюри
являются обязательными для команд.
8
III Магнитогорский турнир юных математиков
Жюри может снять вопрос оппонента (например, если он не по существу), прекратить
доклад или оппонирование, если они затягиваются. Если жюри не может быстро разобраться
в решении, оно может с согласия обоих капитанов выделить своего представителя, который
продолжит обсуждение задачи совместно с докладчиком и оппонентом в другом помещении.
При этом бой продолжается по другим задачам, а очки по этой задаче начисляются позже.
Жюри ведет протокол боя. Если одна из команд не согласна с принятым жюри решением по
задаче, она имеет право немедленно потребовать перерыв на несколько минут для разбора
ситуации с участием Старшего по лиге. После начала следующего раунда счет предыдущего
раунда, как правило, изменен быть не может.
Жюри следит за порядком. Оно может оштрафовать команду за шум, некорректное
поведение, общение со своим представителем, находящимся у доски.
Жюри обязано мотивировать свои решения, не вытекающие непосредственно из правил боя.
Бои за призовые места (I, II, III) являются закрытыми.
Места команд в подгруппах определяются по сумме баллов. При равенстве сумм баллов
места определяются по результатам личных встреч между командами. Если в этом случае не
удается определить места команд (команды сыграли вничью ил образовался «цикл»), то
места определяются по сумме разностей очков, набранных командами во всех боях. Если эти
результаты также равны, то места определяются по результатам командной олимпиады.
Если и эти результаты равны, места определяется жребием.
Правила проведения математической регаты
1. В математической регате участвуют команды учащихся 6 – 8 классов. В составе
команды – 4 человека.
2. Соревнование проводится в четыре тура. Каждый тур представляет собой
коллективное письменное решение трех задач. Любая задача оформляется и сдается в
жюри на отдельном одинарном листе, причем каждая команда имеет право сдать
только по одному варианту решения каждой из задач. Эти листы раздаются командам
перед началом каждого тура. На листе указаны: номер тура, «ценность задач» в
баллах и время, отведенное командам для решения. Получив листы с заданиями,
команда вписывает на каждый из листов свое название, а уже потом приступает к
решению задач.
3. Проведением регаты руководит Координатор. Он организует раздачу заданий и сбор
листов с решениями; проводит разбор решений задач и обеспечивает своевременное
появление информации об итогах проверки.
4. Проверка решений осуществляется жюри после окончания каждого тура.
5. Параллельно с ходом проверки, Координатор осуществляет для учащихся разбор
решений задач, после чего школьники получают информацию об итогах проверки.
После объявления итогов тура, команды, не согласные с тем, как оценены их
решения, имеют право подать заявки на апелляции. В результате апелляции оценка
решений может быть как повышена, так и понижена, или же оставлена без изменений.
6. Команды-победители определяются по сумме баллов, набранных каждой командой во
всех турах.
9
III Магнитогорский турнир юных математиков
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ РЕГАТА
Первый тур (10 минут, каждая задача – 6 баллов)
1.1. Известно, что (a – b + 2004), (b – c + 2004) и (c – a + 2004) — три последовательных
целых числа. Найдите эти числа.
1.2. Нарисуйте на плоскости 8 точек и соедините их непересекающимися отрезками так,
чтобы из каждой точки выходило ровно 4 отрезка.
1.3. В некотором месяце три вторника пришлись на четные числа. Каким днем недели было
20-е число этого месяца?
Второй тур (15 минут, каждая задача – 7 баллов)
2.1. Какое из чисел 20042004 2 и 20042003 20042005 больше?
2.2. В треугольнике АВС проведены биссектрисы АМ и СK, пересекающиеся в точке О.
Может ли угол АОС оказаться острым?
2.3. У трех членов жюри спросили: «Сколько команд будет участвовать в математической
регате?». Один сказал: «Меньше семнадцати». Другой: «Меньше шестнадцати», а третий:
«Меньше восемнадцати». Сколько команд участвовало в регате, если правы были в точности
двое членов жюри?
Третий тур (20 минут, каждая задача – 8 баллов)
3.1. Найдите все двузначные натуральные числа, которые в 4 раза больше суммы своих
цифр.
3.2. Можно ли расположить на плоскости (но не на одной прямой!) пять точек так, чтобы
выполнялось условие: «если три точки являются вершинами треугольника, то этот
треугольник – прямоугольный»? Ответ объясните.
3.3. Если 30 человек рассадить в зале кинотеатра, то хотя бы в одном ряду окажется не менее
двух человек. Если в зале рассадить 26 человек, то по крайней мере 3 ряда окажутся
пустыми. Сколько рядов в зале?
Четвертый тур (25 минут, каждая задача – 9 баллов)
4.1. Числа a и b - целые. Известно, что a  b  2004 . Может ли разность 7a  3b быть равна
числу 2003?
4.2. В треугольнике ABC
известно, что AH = BC.
H – точка пересечения высот AA1 и BB1. Найдите ВАС, если
4.3. В математическом кружке 20 участников. На дом задали некоторое количество задач.
Получилось так, что каждую задачу решили 2 участника, а каждый участник решил 3 задачи.
Сколько было задач?
10
III Магнитогорский турнир юных математиков
РЕЗУЛЬТАТЫ РЕГАТЫ
Команда
1.1
1.2
1.3
2.1
2.2
2.3
3.1
3.2
3.3
4.1
4.2
4.3
Шк. №5
Шк. №33
Шк. № 56
(7б)
Шк. № 48
Шк. № 67
Шк. № 65
Шк. № 56
(7а)
Шк. № 56
(сборная 7а –
7в)
Сборная шк.
№ 67 - № 48
Шк. № 56
(7в)
Сборная
5
классов (1)
Сборная
5
классов (2)
Сборная
5
классов (3)
Сборная
5
классов (4)
Сборная 5 кл.
и 7 кл. шк. №
54, №5
Сборная 6 кл.
6
0
6
0
6
1
0
0
0
2
6
6
8
3
0
6
0
0
2
0
0
0
9
9
Сум
ма
43
27
1
6
4
0
0
3
1
6
2
0
0
0
23
5
0
1
0
6
6
0
0
5
0
7
0
0
0
0
2
1
0
8
3
2
0
0
-2
0
0
4
5
0
0
0
0
0
2
9
0
22
26
16
-
6
0
0
7
4
2
6
6
9
0
9
49
2
0
6
6
7
7
1
8
6
6
7
0
9
57
1
0
6
0
0
0
0
3
0
2
9
0
0
20
0
0
6
7
7
7
-
-
-
9
0
9
45
0
0
0
0
0
4
2
0
8
0
0
9
23
0
0
1
0
0
0
2
0
0
0
0
1
4
0
0
1
0
0
4
2
5
2
0
0
9
23
0
0
6
0
0
0
0
0
5
0
0
1
12
-
0
-
0
0
7
2
2
6
9
0
8
34
1
0
5
0
0
2
3
2
6
3
0
1
23
11
Мес
то
2
2
3
III Магнитогорский турнир юных математиков
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ РЕГАТЫ
1.1. Ответ. 2003, 2004 и 2005.
Решение.
Пусть n – 1; n и n + 1 – три последовательных целых числа, тогда их сумма равна 3n, то есть
утроенному второму числу. Так как (a – b + 2004) + (b – c + 2004) + (c – a + 2004) = 6012, то n
= 2004. Значит, n – 1 = 2003; n + 1 = 2005.
1.2. Решение.
Например, так:
1.3. Ответ. Суббота
Решение.
Всего в месяце было пять вторников, поэтому первым вторником могло быть только второе
число этого месяца. Значит, 20-е число этого месяца было субботой.
2.1. Ответ. 20042004 2
Решение.
Примем число 20042004 за x . Тогда первое число равно x 2 , а второе число равно
x  1x  1  x 2  1 , значит первое число больше второго.
2.2. Ответ. Нет, не может.
Решение.
Первый способ.
Пусть АВС – данный треугольник, АM и СK – его биссектрисы (см. рис. ).
Пусть АОС – острый, то есть, АОС < 90, тогда, рассмотрев сумму углов
треугольника АОС, получим, что ОАС + ОСА > 90. Следовательно,
ВАС + BСА > 180, что невозможно, так как это углы треугольника АВС.
Второй способ.
Пусть АBС = , тогда вычислим АОС: ВАС + BСА = 180 – ; ОАС + ОСА = 90 –
0,5; АОС = 90 + 0,5 > 90, то есть, АОС – тупой.
2.3. Ответ. 16.
Решение.
Второе утверждение не может быть верно, так как в этом случае верны и два других
утверждения, что противоречит условию. Следовательно, верными являются первое и третье
утверждение, а второе – неверно. То есть, данное число меньше 17 и не меньше 16.
Единственное число, удовлетворяющее данным условиям – 16.
3.1. Ответ. 12, 24, 36, 48.
Решение.
Пусть ab - искомое число. Из условия следует, что 10a  b  4a  b или b  2a .
Поскольку b - цифра, то a может принимать значения 1, 2, 3 и 4.
3.2. Ответ. Можно.
Решение.
12
III Магнитогорский турнир юных математиков
Пример такого расположения – вершины квадрата ABCD и точка О пересечения его
диагоналей. Треугольники AOB, BOC, COD, DOA, ABC, ADC, ABD и CBD являются
прямоугольными, а тройки точек A, O, C и B, O, D треугольников не образуют.
Можно доказать, что приведенное расположение точек – единственное, удовлетворяющее
условию. Пять точек, лежащих на одной прямой, формально могли бы удовлетворять
условию, так как в этом случае не образовывается ни одного треугольника.
3.3. Ответ. 29
Решение.
Если рядов в зале больше 29, то можно рассадить 30 человек так, что во всех рядах будет не
больше одного человека, что противоречит условию, значит, рядов в зале не больше 29. Если
в зале меньше 29 рядов, то можно рассадить 26 человек так, что менее трех рядов окажутся
пустыми, что также противоречит условию, значит, в зале не менее 29 рядов. Следовательно,
в зале ровно 29 рядов.
4.1. Ответ. Нет.
Решение.
Первый способ.
Т.к. сумма чисел a и b является четным числом, то эти числа имеют одинаковую четность.
Значит, и числа 7a и 3b тоже имеют одинаковую четность, следовательно, их разность
должна быть четной, а число 2003 – нечетное.
Второй способ.
Предположим, такое возможно. Тогда a  b  2004 и 7a  3b  2003 . Из первого уравнения
выразим b и подставим во второе, получим: 10a  8015 , откуда a  801,5 - число не целое.
Противоречие.
4.2. Ответ. 45.
Решение.
Рассмотрим прямоугольные треугольники AB1H и BB1C : AH = BC (по условию); HАС =
90 – АСB = В1BС, следовательно, эти треугольники равны по гипотенузе и острому углу.
Из равенства треугольником получим, что AB1 = BB1, значит  ABB1 – прямоугольный и
равнобедренный, то есть, ВАС = АBB1 = 45.
4.3. Ответ. 30.
Решение.
Пусть было задано x задач. Из условия следует, что 20  3  x  2 , т.е. x  30 .
13
III Магнитогорский турнир юных математиков
КОМАНДНАЯ ОЛИМПИАДА
1. Раскрасьте некоторые клетки доски 8 8 так, чтобы у каждой клетки было закрашено
ровно 2 соседние? (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону).
2. Чтобы открыть сейф, нужно ввести код – число, состоящее из семи цифр: двоек и троек.
Сейф откроется, если двоек больше, чем троек, а код делится и на 3, и на 4. Найдите все
варианты кодов, открывающих сейф.
3. В лесу, состоящем из дубов и елок, компания «Пень-Инвест» вырубила одну треть всех
дубов и одну шестую всех елок. Докажите, что отчет экологической организации
«Зеленый мститель», утверждающий, что была вырублена половина всех деревьев,
содержит неверные данные.
4. Как не более чем за три взвешивания на чашечных весах без гирь найти одну фальшивую
(более легкую) монету из 20 монет?
5. За булочками к вечернему чаю выстроилась очередь. Булочки задерживались, и в каждый
промежуток между стоящими успело влезть по человеку. Булочки все еще не начали
выдавать, и во все промежутки опять влезло по человеку. Тут, наконец, принесли 85
булочек, и всем стоящим досталось по одной. Сколько человек стояло в очереди
первоначально?
6. На диагонали BD квадрата ABCD взяты точки E и F так, что прямая AE пересекает
сторону BC в точке M , прямая AF пересекает сторону CD в точке N и CN  CM .
Найдите длину диагонали квадрата, если BE  3 , EF  4 .
7. Двузначное число увеличили на 2. Сумма цифр полученного числа в два раза меньше
суммы цифр исходного числа. Какое число могло быть исходным? (Найти все
возможные варианты).
8. В начале времен в Ачухонии жили 100 рыцарей, 99 принцесс и 101 дракон. Рыцари
убивают драконов, драконы едят принцесс, а принцессы изводят до смерти рыцарей.
Древнее заклятие запрещает убивать того, кто сам погубил нечетное число других
жителей. Сейчас в Ачухонии остался всего один житель. Кто это?
14
III Магнитогорский турнир юных математиков
ИТОГИ КОМАНДНОЙ ОЛИМПИАДЫ
№
Школа
Название команды
1
2
3
4
5
6
7
8
56
56
56
5
65
48
33
67
7а
7в
Бэшки
Колхозные панки
Команда 65
Модуль-2
Апокалипсис
Юные Эйнштейны
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
54
39
55
7
13
66
1
32
18
12
19
8
49
3
25
20
40
50
38
45
59
43
47
58
37
62
61
64
60
6
10
14
63
22
4
Юные мыслители
Математики
Шестой мозг
Юные Пифагоры
Мечта
Интеллектуалы
Гроссмейстеры
Умные мысли
www.nuts.ru
Процессор
Умники
Алгоритмы
Знатоки
Пифагорики
Юный математик
Пифагоры
Лунатики
Юные математики
Рамазановцы
Эрон
Метеоры
Знатоки математики
Планета Х
Академики
Умницы
Эврика
Ботаники
7а
Дружба
Чемпионы
www.um.ru
Бригада
Ребята 5 с плюсом
баллы
1
7
7
7
7
7
7
7
7
2
7
7
7
7
7
5
3
2
3
7
6
7
7
3
7
0
6
4
7
5
7
7
7
7
7
6
5
7
7
7
7
7
7
7
7
6
7
6
7
6
7
7
6
2
7
7
7
4
7
7
2
3
2
8
7
7
5
0
1
2
4
4
Сумма
56
52
51
48
46
44
37
36
1
2
3
4
5
6
7
8
0
7
0
7
7
7
0
0
7
7
7
0
0
0
0
0
0
0
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7
7
7
4
2
2
2
2
2
0
1
7
1
2
0
0
2
2
0
2
0
0
1
2
0
0
2
0
0
0
0
2
0
0
0
3
0
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7
7
7
7
7
7
0
7
0
1
0
0
0
3
0
2
1
7
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
2
0
0
7
3
5
1
0
3
7
2
2
7
7
7
7
4
6
7
6
1
1
1
7
4
1
2
7
0
2
0
0
1
3
0
0
1
0
7
7
2
3
7
1
7
3
7
1
0
1
1
1
1
0
3
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
0
1
0
1
2
0
0
2
2
2
3
3
0
1
2
1
2
2
0
4
0
0
2
2
0
2
2
2
0
0
2
3
2
3
1
0
0
0
0
0
0
1
3
0
0
1
3
0
0
0
0
4
1
0
0
0
0
0
4
0
0
3
1
0
0
0
2
1
0
0
0
0
0
0
33
31
29
27
25
22
20
20
18
17
17
16
15
14
14
13
12
11
11
10
9
8
8
8
8
7
7
6
6
5
5
3
3
1
1
9
10
11
12
13
14
15-16
15-16
17
18-19
18-19
20
21
22-23
22-23
24
25
26-27
26-27
28
29
30-33
30-33
30-33
30-33
34-35
34-35
36-37
36-37
38-39
38-39
40-41
40-41
42-43
42-43
15
Место
III Магнитогорский турнир юных математиков
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ БОИ
ПЕРВЫЙ БОЙ
19 марта
9. Замените буквы цифрами так, чтобы выполнялось равенство
М Г И О О С
 
  
А Н Т
Г Р К
(одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным - разные).
10.В 2003 году каждый из президентов 15 республик бывшего Советского Союза послал в
подарок на день рождения каждому из остальных президентов торт с таким числом
свечек, сколько лет исполнилось имениннику. Могло ли так случится, что всего было
послано 2004 свечки?
11.Натуральное число будем считать замечательным, если при увеличении его на 2 сумма
цифр полученного числа будет в два раза меньше суммы цифр исходного числа. Сколько
замечательных трехзначных чисел?
12.Среди 2001 монеты одна фальшивая. Как в два взвешивания на чашечных весах без гирь
определить, легче эта монета или тяжелее, чем настоящая?
13.Люся задумала целое число от 1 до 10. Леня может спросить, делится ли это число на
некоторое натуральное а . За какое минимальное число вопросов Леня наверняка сможет
узнать, какое число задумала Люся?
14. Существует ли треугольник, у которого две биссектрисы его внутренних углов
перпендикулярны?
15. В каждой клетке треугольной доски (см. рисунок) сидит жук. Одновременно все жуки
переползают на соседние клетки, через одну минуту снова все жуки
переползают на соседние клетки и т. д. Могут ли все жуки через
некоторое время оказаться на одной клетке? Соседними считаются
клетки, имеющие общую сторону.
16.В некотором доме живут только супружеские пары с маленькими детьми, причем
бездетных семей нет, у каждого мальчика есть сестра и мальчиков больше, чем девочек.
Может ли оказаться, что в этом доме взрослых больше, чем детей?
ВТОРОЙ БОЙ
21 марта
17.Можно ли составить из цифр 2, 3, 4, 9 (каждую цифру можно использовать сколько
угодно раз) два числа, одно из которых в 19 раз больше другого?
18.Вдоль прямой дороги по одну сторону от нее растут ромашки. Надя и Маша делают из
этих ромашек букеты. Сначала по дороге идет Надя и срывает каждую вторую ромашку,
затем по дороге идет Маша и срывает каждую третью из оставшихся ромашек. После
того, как девочки составили свои букеты, у дороги осталось расти 10 ромашек. Сколько
ромашек в букетах Нади и Маши?
16
III Магнитогорский турнир юных математиков
19.В дремучем лесу, на чердаке избушки на курьих ножках обитает стая голодных летучих
мышей-вампиров. Каждую ночь они вылетают покушать травки. В полночь вылетает
первая мышь, через минуту – вторая, еще через минуту – третья и т.д. Каждая мышь за
минуту съедает 1м2 травы, причем она ест 5 минут, потом отдыхает 2 минуты и снова
ест. Найдите площадь съеденной мышами травы, если известно, что мыши съели ее за 42
минуты и после 41 минуты вылетевшие первыми 13 мышей решили, что уже наелись и
полетели спать.
20.Окружением натурального числа N назовем все натуральные числа, не превосходящие N
такие, что любая цифра числа из окружения является делителем N. Сколько чисел в
окружении числа 2004?
21.Леня и Люся играют в следующую игру: Люся пишет двузначное четное число, затем
Леня приписывает к нему справа еще одну цифру. Если полученное трехзначное число
является полным квадратом или простым, то Леня победил. Сможет ли Люся ему
помешать?
22. На биссектрисе угла ABC взяты точки K и L такие, что для некоторой точки M на
луче BA выполняется BK  BM , LMA  KMB ; точка N - пересечение луча BC и
прямой KM . Докажите, что треугольник NBL равнобедренный.
23.В каждой клетке треугольной доски (см. рисунок) сидит жук.
Одновременно некоторые из жуков переползают на соседние клетки,
через одну минуту снова некоторые из жуков переползают на
соседние клетки и т. д. Через какое наименьшее время после начала
движения все жуки смогут собраться в одной клетке? Соседними
считаются клетки, имеющие общую сторону.
24.По результатам математического боя одна команда набрала в 1,1 раза больше баллов, чем
другая. Известно, что бой закончился вничью. Сколько баллов набрала каждая из
команд, если ни одна из команд не набрала 0 баллов? (Бой заканчивается вничью, если
разность баллов, набранных командами, не превышает трех.)
ТРЕТИЙ БОЙ
22 марта
25.Кощей Бессмертный загадывает три цифры: a , b и c . Иван-царевич должен назвать ему
три числа x , y , z , после чего Кощей сообщает ему сумму ax  by  cz . Иван-царевич
должен отгадать задуманные числа, иначе ему отрубят голову. Как ему спастись?
26.Все буквы фразы «МАГНИТОГОРСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ» записали
в клетки прямоугольной таблицы (в одну клетку записывается одна буква), причем
четыре клетки таблицы остались пустыми. Докажите, что в таблице найдется строка (или
столбец) в которой (котором) встретятся две одинаковые буквы.
27.Леспромхоз захотел вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор
леспромхоза всех успокоил. Он сказал: «99% деревьев в лесу – сосны. Мы будем рубить
только их так, что после вырубки их станет 98%». Какую часть деревьев хочет вырубить
леспромхоз?
17
III Магнитогорский турнир юных математиков
28.Какое наименьшее число коней можно расставить на шахматной доске так, чтобы в
любом квадрате 3 × 3 была хотя бы одна клетка, которую бьет какой-нибудь конь?
29.В вершинах куба в некотором порядке записаны восемь подряд идущих натуральных
чисел. В каждую грань куба записали число, равное сумме чисел, находящихся в
вершинах этой грани. Могло ли оказаться, что в гранях куба записаны шесть подряд
идущих натуральных чисел?
30.Дан выпуклый четырехугольник. На его сторонах отмечены точки (по одной на каждой
стороне). Отмеченные точки последовательно соединены отрезками, в результате чего
четырехугольник разбился на квадрат и четыре равнобедренных треугольника, причем
основаниями треугольников служат стороны квадрата. Докажите, что исходный
четырехугольник является ромбом.
31. Люся собирается написать на доске некоторое число. Леня утверждает, что если число
будет содержать не менее 6 цифр и все цифры будут одинаковы, то он сможет, используя
знаки арифметических действий и скобок, составить из всех цифр число 100. Прав ли
Леня?
32.Турнир по волейболу проводится по необычным правилам. Команда А считается
превосходящей команду В в двух случаях: если она победила команду В в личной
встрече или если она победила команду С, победившую команду В (ничьих в волейболе
не бывает). Чемпионом объявляется команда, превосходящая все другие команды.
Докажите, что в этом турнире могут оказаться три чемпиона.
ФИНАЛЫ
23 марта
БОЙ ЗА 1-2 МЕСТА
33.Можно ли расставить в углах пятиугольника числа (не обязательно положительные и
целые) так, чтобы сумма чисел, стоящих на одной из сторон была равна 1, на концах
другой стороны была равна 2, на концах третьей стороны – равна 3, на концах четвертой
стороны – равна 4, на концах последней стороны – равна 5?
34.К первому числу прибавили второе и получили третье. Ко второму числу прибавили
третье и получили четвертое. К третьему числу прибавили четвертое и получили пятое. К
четвертому числу прибавили пятое и получили шестое. Чему равна сумма всех шести
чисел, если пятое число равно 7?
35.Можно ли разрезать килограммовый торт на несколько различных кусков так, чтобы
самый маленький кусок был вдвое меньше второго, второй по величине кусок – втрое
меньше третьего, третий – вчетверо меньше четвертого и т. д.? (Каждый кусок должен
весить целое число грамм.)
36.В таблице 4  4 расставлены числа 1, 0, -1 так, что сумма чисел в любом квадрате 3 3
равна нулю. Какая наибольшая сумма чисел может быть во всей таблице?
37.На доске написано число 321321321321. Какие цифры необходимо стереть, чтобы
получить наибольшее возможное число, делящееся на 9?
18
III Магнитогорский турнир юных математиков
38.Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Известно, что биссектрисы любых двух соседних
углов четырехугольника пересекаются в точке, равноудаленной от вершин, из которых
они проведены. Докажите, что ABCD – прямоугольник.
39.Последовательность определена следующим образом: a1 = 2, a2 = 3, an+2 =
a n1  1
для
an
любого натурального n. Найдите a2004.
40.Имеются 4 гири с маркировками 1г, 2г, 3г и 4г. Одна из них дефектная: более легкая или
более тяжелая, чем указано. Можно ли за два взвешивания узнать, какая из гирь
дефектная, и при этом определить, легче или тяжелее, чем на этой гире указано?
БОЙ ЗА 3-4 МЕСТА
41.Можно ли расставить в углах пятиугольника числа (не обязательно положительные и
целые) так, чтобы сумма чисел, стоящих на одной из сторон была равна 1, на концах
другой стороны была равна 2, на концах третьей стороны – равна 3, на концах четвертой
стороны – равна 4, на концах последней стороны – равна 5?
42.Пятизначное число А записывается только двойками и тройками, а пятизначное число В
– только тройками и четверками. Может ли произведение АВ записываться одними
двойками?
43.В классе больше 20, но меньше 30 учеников, причем мальчиков вдвое больше, чем
девочек. На 23 февраля девочки подарили мальчикам по одинаковому числу шоколадок.
Каждый день с 23 февраля по 7 марта кто-либо из мальчиков съедал одну шоколадку. 8
марта хитрые мальчики подарили все оставшиеся шоколадки девочкам. Оказалось, что в
подарке каждой девочки шоколадок столько же, сколько их было в подарке каждого
мальчика. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?
44.Кувшин уравновешивает графин и стакан; 2 кувшина весят столько же, сколько весят 3
чашки; стакан и чашка уравновешивают графин. Сколько стаканов уравновешивают
графин?
45.На доске написано число 321321321321. Какие цифры необходимо стереть, чтобы
получить наибольшее возможное число, делящееся на 9?
46.Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Известно, что биссектрисы любых двух соседних
углов четырехугольника пересекаются в точке, равноудаленной от вершин, из которых
они проведены. Докажите, что ABCD – прямоугольник.
47.Последовательность определена следующим образом: a1 = 2, a2 = 3, an+2 =
a n1  1
для
an
любого натурального n. Найдите a2004.
48.По кольцевой линии метро курсируют 24 поезда. Они идут в одном направлении с
одинаковыми скоростями и равными интервалами. Сколько поездов надо добавить,
чтобы при той же скорости уменьшить интервалы на одну пятую?
19
III Магнитогорский турнир юных математиков
БОЙ ЗА 5-6 МЕСТА
49.Расставьте в углах пятиугольника числа (не обязательно положительные и целые) так,
чтобы сумма чисел, стоящих на одной из сторон была равна 1, на концах другой стороны
была равна 2, на концах третьей стороны – равна 3, на концах четвертой стороны – равна
4, на концах последней стороны – равна 5?
50.Пятизначное число А записывается только двойками и тройками, а пятизначное число В
– только тройками и четверками. Может ли произведение АВ записываться одними
двойками?
51.В классе больше 20, но меньше 30 учеников, причем мальчиков вдвое больше, чем
девочек. На 23 февраля девочки подарили мальчикам по одинаковому числу шоколадок.
Каждый день с 23 февраля по 7 марта кто-либо из мальчиков съедал одну шоколадку. 8
марта хитрые мальчики подарили все оставшиеся шоколадки девочкам. Оказалось, что в
подарке каждой девочки шоколадок столько же, сколько их было в подарке каждого
мальчика. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?
52.Кувшин уравновешивает графин и стакан; 2 кувшина весят столько же, сколько весят 3
чашки; стакан и чашка уравновешивают графин. Сколько стаканов уравновешивают
графин?
53.На доске написано число 321321321321. Какие цифры необходимо стереть, чтобы
получить наибольшее возможное число, делящееся на 9?
54.Две перпендикулярные прямые пересекаются в точке О. На каждой прямой по обе
стороны от точки О отметили еще по одной точке. Известно, что любой треугольник
среди вершин которого есть точка О и отмеченные точки является равнобедренным.
Докажите, что отмеченные точки – вершины квадрата.
55.После того, как в двузначном натуральном числе зачеркнули одну из цифр, число
уменьшилось в 31 раз. Какую цифру и в каком числе зачеркнули? (укажите все
возможные варианты)
56.По кольцевой линии метро курсируют 24 поезда. Они идут в одном направлении с
одинаковыми скоростями и равными интервалами. Сколько поездов надо добавить,
чтобы при той же скорости уменьшить интервалы на одну пятую?
БОЙ ЗА 7-8 МЕСТА
57.Расставьте в углах пятиугольника числа (не обязательно положительные и целые) так,
чтобы сумма чисел, стоящих на одной из сторон была равна 1, на концах другой стороны
была равна 2, на концах третьей стороны – равна 3, на концах четвертой стороны – равна
4, на концах последней стороны – равна 5?
58.Пятизначное число А записывается только двойками и тройками, а пятизначное число В
– только тройками и четверками. Может ли произведение АВ записываться одними
двойками?
59.В классе больше 20, но меньше 30 учеников, причем мальчиков вдвое больше, чем
девочек. На 23 февраля девочки подарили мальчикам по одинаковому числу шоколадок.
20
III Магнитогорский турнир юных математиков
Каждый день с 23 февраля по 7 марта кто-либо из мальчиков съедал одну шоколадку. 8
марта хитрые мальчики подарили все оставшиеся шоколадки девочкам. Оказалось, что в
подарке каждой девочки шоколадок столько же, сколько их было в подарке каждого
мальчика. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?
60.Дан квадрат 5 × 5 клеток. Можно ли расставить в клетках этого квадрата плюсы и минусы
так, чтобы в любом квадрате 3 × 3 оказалось ровно 8 минусов?
61.На доске написано число 321321321321. Какие цифры необходимо стереть, чтобы
получить наибольшее возможное число, делящееся на 9?
62.Две перпендикулярные прямые пересекаются в точке О. На каждой прямой по обе
стороны от точки О отметили еще по одной точке. Известно, что любой треугольник
среди вершин которого есть точка О и отмеченные точки является равнобедренным.
Докажите, что отмеченные точки – вершины квадрата.
63.Можно ли разрезать трехклеточный уголок (см. рисунок) на 4 равные части?
64.Друзья при прощании обменялись фотографиями. Фотографий понадобилось 20. Сколько
было друзей?
21
III Магнитогорский турнир юных математиков
РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ
1. Ответ.
2. Ответ. Такой код один – 2222232.
Решение.
Т.к. двоек больше, чем троек, двоек может быть 4, 5, 6 или 7. В первом случае сумма цифр –
17, во втором – 16, в третьем – 15, а в последнем – 14. По признаку делимости на три число
делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Значит, годится только
третий вариант.
Т.е. в коде 6 двоек и 1 тройка. По признаку делимости на 4 число, образованное последними
двумя цифрами, должно делиться на 4. Это 32.
3. Доказательство.
В лесу вырубили менее половины дубов и менее половины елок. Значит, вырублено менее
половины деревьев.
4. Решение.
Разделим монеты на три группы: 9, 9 и 2 монеты. Первое взвешивание – сравниваем вес
первых двух групп. Если они одинаковы, то фальшивая монета среди двух монет третьей
группы, и вторым взвешиванием сравниваем их между собой. Та, которая легче, фальшивая. Если в первом взвешивании одна из групп окажется легче, то фальшивая монета
в ней. Делим эту группу на три группы по три монеты. Вторым взвешиванием
устанавливаем, которая из этих трех групп легче, а третьим взвешиванием находим легкую
монету в этой тройке.
5. Ответ. 22 человека.
Решение.
Перед тем, как очередь увеличилась до 85 человек, в ней стояло 85  1 : 2  43 человека, а
перед этим 43  1 : 2  22 человека.
6. Ответ. 10.
Решение.
Из условия следует равенство треугольников ABM и
B
ADN ( AB  AD , BM  DN , ABM  ADN ), откуда
BAE  DAF . Кроме того, AB  AD и ABE  ADF .
Поэтому треугольники ABE и ADF равны. Значит,
DF  BE  3 , следовательно BD  3  4  3  10 .
A
22
M
C
N
E
F
D
III Магнитогорский турнир юных математиков
7. Ответ. 59, 68.
Решение.
Искомое число должно оканчиваться на 8 или 9, иначе при увеличении его на 2 сумма цифр
не уменьшиться. Числа 98 и 99 не подходят, поэтому при увеличении на два получается
двузначное число. При этом число единиц уменьшается на 8, а число десятков увеличивается
на 1. Т.е. сумма цифр уменьшается на 7. При этом она по условию уменьшается в два раза,
следовательно, она равна 14. Т.е. искомые числа: 59 и 68.
8. Ответ. Дракон.
Решение.
Предположим, что последним остался рыцарь. Это означает, что рыцари убили всех
драконов, а драконы съели всех принцесс. Поскольку принцесс нечетное количество, один из
драконов должен был съесть нечетное число принцесс и не мог быть убит. Противоречие.
Аналогично, если последней осталась принцесса, один из рыцарей должен был убить
нечетное число драконов и не мог быть изведен до смерти. Дракон может остаться,
например, так: один из рыцарей убивает всех драконов, кроме одного, затем одна из
принцесс изводит всех рыцарей, после чего оставшийся дракон поедает всех принцесс.
9. Ответ. Например, так
3 8 9 0 0 5
     .
2 4 6 8 7 1
(решение не единственно)
10. Ответ. Такого быть не могло.
Решение. Каждый президент получил 14 тортов с одним и тем же числом свечек (равным его
новому возрасту). Поэтому общее число свечек, полученных каждым президентом, делится
на 14. Значит, и количество свечек во всех подарках делится на 14. Поскольку 2004 на 14 не
делится, то свечек не может быть ровно 2004.
11. Ответ. 11.
Решение. Замечательное число должно оканчиваться на 8 или 9, иначе при увеличении его
на 2 сумма цифр не уменьшится.
Пусть при увеличении числа на 2 перенос происходит только в разряде единиц. Тогда число
единиц уменьшается на 8, а число десятков увеличивается на 1. Т.е. сумма цифр
уменьшается на 7. Так как при этом она уменьшается в два раза, то она равна 14.
Следовательно, исходные трехзначные числа только двух видов: ab8 , где a  b  6 , и cd 9 ,
где c  d  5 . Чисел первого вида ровно 6, а второго – ровно 5.
Рассмотрим случай, когда при увеличении числа на 2 перенос разряда был также в разряде
десятков. Числа 998 и 999 замечательными не являются. В иных случаях сумма двух
последних цифр уменьшилась на 17, а первая увеличилась на 1. Общая сумма цифр
уменьшилась на 16, т.е. первоначально должна была равняться 32, а это невозможно.
12. Решение. Первым взвешиванием сравним тысячу монет с другой тысячей монет. Если
веся уравновесятся, фальшивая монета – та, которая не попала на весы. Тогда вторым
взвешиванием узнаем, тяжелее она или легче любой другой монеты. Если же весы не
уравновесятся, то возьмем, например, более легкую тысячу монет и вторым взвешиванием
сравним ее половины. Если они уравнялись, то фальшивая монета среди более тяжелой
тысячи, т.е. фальшивая монета тяжелее настоящей. А если не уравнялись, то фальшивая
монета среди более легкой тысячи, т.е. она легче, чем настоящая.
23
III Магнитогорский турнир юных математиков
13. Ответ. За 4 вопроса.
Решение. Если Люся задумала 1, то Лене, чтобы это угадать, придется получить ответ «нет»
на вопросы о делимости задуманного числа на 2, 3, 5 и 7. Т.е. меньше, чем за 4 вопроса,
сделать это нельзя. Нетрудно показать, что 4 вопросов достаточно.
14. Ответ. Не существует.
Решение. Пусть в ABC биссектрисы AA1 и BB1 перпендикулярны. Из
треугольника AOB : OAB  OBA  180 0  AOB  180 0  90 0  90 0 ,
следовательно,
A  B  2OAB  2OBA  2OAB  OBA   180 0 .
Противоречие.
B
A1
O
C
B1
A
15. Ответ. Нет.
Решение. Покрасим клетки доски в черный и белый цвета так, чтобы любые две соседние по
стороне клетки были покрашены в разные цвета. Если изначально жук находится на клетке
белого (черного) цвета, то он переползает на клетку черного (белого) цвета. Так как сначала
жуки находятся и на белых и на черных клетках, то в любой момент времени жуки также
будут находиться на клетках двух цветов, следовательно, они никогда не окажутся на одной
клетке.
16. Ответ. Не может.
Решение. Их условия вытекает, что в каждой семье есть дочь. Поэтому дочерей в доме не
меньше, чем матерей. Но мальчиков в доме больше, чем девочек, следовательно, сыновей
больше, чем отцов. Значит, детей в доме больше, чем взрослых.
Замечание. Напрашивается такое рассуждение: «так как у каждого мальчика есть сестра, а
бездетных семей нет, то в каждой семье не меньше двух детей. Поэтому детей в доме не
меньше, чем взрослых». Но это решение неверно. Если в семье есть сын, то в ней
действительно не меньше двух детей. Но в семье может быть и единственная дочь.
17. Ответ. Нет.
Решение.
Допустим такие числа a и b можно составить: a  19b . Тогда b может оканчивать на 2, 3,
4 или 9, т.к. только эти цифры можно использовать. Если b оканчивается на 2, то a должно
оканчиваться на 8 ( 2  9  18 ), если b оканчивается на 3 , то a - на 7 ( 3  9  27 ),если b
оканчивается на 4, то a - на 6 ( 4  9  36 ),если b оканчивается на 9, то a - на 1 ( 9  9  81 ). Но
цифры 8, 7, 6, 1 мы не можем использовать.
18. Ответ. У Нади – 13, 14 или 15 ромашек, у Маши – 4 или 5 ромашек.
Решение. «Восстановим» каждую третью ромашку, сорванную Машей. Возможны два
варианта: до Маши было 14 или 15 ромашек, т.е. у Маши – 4 или 5 ромашек. Аналогично,
для каждого случая «восстановим» ромашки, сорванные Надей.
19. Ответ. 666м2.
Решение.
Посчитаем, сколько травы съели бы мыши, если бы не делали перерывов и не покидали поля
в течение 42 минут:
1  42
1  2  3  ...  42 
 42  43  21  903 (м2).
2
Посчитаем теперь, сколько мыши «теряют» на перерывах: (не учитываем пока, что
некоторые мыши улетели раньше).
24
III Магнитогорский турнир юных математиков
Первая мышь отдыхала 12 минут, вторая – 11 минут, мыши с третьей по восьмую – 10
минут, девятая – 9 минут,
с десятой по пятнадцатую – 8 минут, шестнадцатая – 7 минут, с семнадцатой по двадцать
вторую – 6 минут,
двадцать третья – 5 минут, с двадцать четвертой по двадцать девятую – 4 минуты, тридцатая
– 3 минуты,
с тридцать первой по тридцать шестую – 2 минуты, тридцать седьмая – 1 минуту, мыши с
тридцать восьмой по сорок первую не отдыхали вовсе.
Итого на отдыхе «потеряно»:
1  6  2  3  6  4  5  6  6  7  6  8  9  6  10  11  12  228 м2
2
Осталось 903  228  675 м .
И, наконец, из 13 первых улетевших мышей только 9 ели бы траву. Итак, 675  9  666 м2.
20. Ответ. 280.
Решение.
Поскольку 2004 = 22 × 3 × 167, то искомые числа могут состоять только из цифр 1, 2, 3, 4 и 6.
Однозначных чисел получается 5, двузначных чисел – 52 = 25, трехзначных чисел – 53 = 125
и четырехзначных чисел – 1 × 53 = 125. Всего – 280 чисел.
21.Ответ. Сможет.
Решение.
Если Люся напишет число 20, то все полученные Леней числа будут составными и не будут
являться полными квадратами.
22.Доказательство.
B
MBK
Треугольник
равнобедренный,
поэтому
LMA  KMB  BKM . Отсюда BML  BKN . Тогда
треугольники BML и BKN равны по второму признаку. Из
равенства треугольников следует, что BL  BN .
Значит, треугольник NBL - равнобедренный.
M
K
A
N
L
C
23. Ответ. Через 3 минуты.
Решение.
Посмотрим, где будут находиться жуки, сидящие в угловых клетках доски, через 1, 2, и 3
минуты.
До начала движения:
1
2
3
25
III Магнитогорский турнир юных математиков
После
начала
движения:
1
через
две
минуты:
1
1
1
1
3 3
1
1
1
1
2
1
2
1 3
3
3 3 3
1
3
3 3 3
1
через три минуты:
2
2 2
2
1
2
2 2
2
через одну минуту:
2
2
2
2 2
2
1
1
1
1
2
3
1 2
1 3
2
1
3
3 3 3
Итак, жуки, сидящие в угловых клетках доски, встретятся не ранее, чем через 3 минуты (это
произойдет в центральной клетке доски). Ясно, что всем остальным жукам понадобится не
более 3 минут, чтобы добраться до центральной клетки. Поэтому наименьшее время, за
которое все жуки смогут собраться в одной клетке составляет 3 минуты.
24.Ответ. 10 и 11, 20 и 22 или 30 и33.
Решение.
Пусть одна команда набрала x баллов, тогда вторая – 1,1x баллов. Поскольку 1,1x – целое
число, то x кратно 10. Получаем, что 0 ≤ 1,1x – x ≤ 3 или 0,1x ≤ 3 то есть x ≤ 30, отсюда x
равно 10, 20 или 30.
25. Решение.
Иван-царевич должен назвать числа 1, 10, 100 . Тогда ax  by  cz  a  1  b  10  c  100  cba .
26. Доказательство. Из условия следует, что таблица состоит из 39 клеток, т.е. имеет
размеры 1×39 или 3×13. А так как в указанной фразе имеется четыре одинаковых буквы, то
по меньшей мере две из них попадут в одну строку или столбец.
27. Ответ. Половину.
Решение.
Возьмем за 1 все деревья в лесу. Тогда сосен, по условию, 0,99.
Пусть леспромхоз собирается вырубить x деревьев. Тогда
1
1 x

0,98 0,99  x
0,981  x  0,99  x
1
x ,
2
т.е. собираются вырубить половину деревьев.
28. Ответ. 2.
Решение.
Первый способ.
26
III Магнитогорский турнир юных математиков
Покажем, что одного коня не достаточно. Разделим доску на 4 квадрата 4 × 4. Тогда в
квадрате, диагонально противоположном тому, в котором находится конь, можно выделить
квадрат 3 × 3, в котором ни одна клетка не будет бита. Видно, что двух коней достаточно.
К К
Второй способ (решение команды школы № 48 «Модуль-2»).
Предположим, что на доске стоит ровно один конь. Если он находится не у края доски, то
можно выделить квадрат 3 3 , в центре которого будет стоять конь, и в этом квадрате ни
одна клетка не будет бита. Легко убедиться, что если конь стоит у края доски, то также
можно выделить квадрат 3 3 , в котором ни одна клетка не будет бита. Как видно из
примера (см. выше), двух коней достаточно.
29. Ответ. Нет.
Решение.
Посчитаем сумму чисел, стоящих в вершинах куба. Она равна
n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + (n+5) + (n+6) + (n+7) = 8n + 28.
Так как каждая вершина принадлежит трем граням, то сумма чисел, записанных в гранях
куба равна 3 × (8n + 28) = 24n + 84 – четное число. С другой стороны, сумма любых шести
подряд идущих чисел равна m + (m+1) + (m+2) + (m+3) + (m+4) + (m+5) = 6m + 15 – нечетное
число. Получили противоречие.
30. Доказательство.
Пусть ABCD – заданный четырехугольник.
Пусть AKN  ANK   , BKL  BLK   , CLM  CML   , тогда
  90 0   и   90 0   , значит треугольники KAN и MCL
равны, то есть AK=AN=CL=CM. Аналогично, BK=BL=CD=AD.
Тогда AB=BC=CD=AD, значит ABCD – ромб.
B
L
C
K
M
А
N
31. Ответ. Леня прав.
Решение.
Если число, написанное Люсей, состоит из 6 цифр, Леня расставит знаки и скобки
следующим образом: aaa  aa : a  100 .


Если число состоит из 7 цифр, то aaa : a  aa : a  100 .
..........
......
Если число состоит более чем из 7 цифр, то aaa  aa : a  a  a   aa



a .


все остальные
цифры
27
D
III Магнитогорский турнир юных математиков
32. Доказательство.
Пусть в таком турнире три команды обыграли всех остальных, а между собой сыграли так:
первая обыграла вторую, вторая обыграла третью, а третья обыграла первую. Тогда каждая
из них превосходит все остальные команды.
33. Ответ. Да. Например, так: 1,5; -0,5; 2,5; 0,5; 3,5. Решение не единственное.
34. Ответ. 28.
Решение.
Пусть первое число a , второе - b . Тогда третье число: a  b , четвертое: b  a  b  a  2b ,
пятое: a  b  a  2b  2a  3b , шестое: a  2b  2a  3b  3a  5b .
Найдем сумму всех шести чисел:
a  b  a  b  a  2b  2a  3b  3a  5b  8a  12b  4  2a  3b  4  7  28 .
35. Ответ. Нет.
Решение.
Пусть самый маленький кусок весит x грамм. Тогда второй по величине кусок весит 2x,
третий - 6x, четвертый - 24x, и т. д. По условию задачи получаем:
x + 2x + 6x + 24x + … = 1000.
Левая часть этого уравнения кратна трем при любом x, а правая не кратна трем.
Противоречие.
36. Ответ. 6.
Решение.
Покажем, что добиться суммы, большей 6 невозможно. Предположим, что такая таблица
существует. Выберем какую-нибудь таблицу 3 3 . Т.к. сумма чисел в ней равна нулю, то
чтобы общая сумма превосходила 6, необходимо, чтобы в оставшихся 7 клетках стояли 1. В
таблице 3 3 , сдвинутой по диагонали на одну клетку относительно выбранной ранее, будет
содержаться по крайней мере 5 из семи единиц, т.е. ее сумма не может быть нулевой.
Пример для суммы, равной 6, дается следующей таблицей.
1
1
0
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
0
1
1
37. Ответ. Две последние тройки.
Решение.
Из признака делимости на 9 следует, что сумма стертых цифр должна быть равна 6. Из двух
чисел больше то, в записи которого больше цифр. Поэтому нужно стереть две тройки. Из
двух десятиразрядных чисел больше то, у которого в старших разрядах стоят большие
цифры. Поэтому нужно стереть две последние тройки. Получаем число: 3213212121.
38.Доказательство.
Пусть биссектрисы углов А и В пересекаются в точке О. Так как АО = ВО, то углы АВО и
ВАО равны, следовательно, равны углы А и В. Аналогично, В  С  D . Поскольку
сумма углов четырехугольника равна 3600, то A  B  C  D  90 0 , значит ABCD –
прямоугольник.
28
III Магнитогорский турнир юных математиков
39. Ответ. a2004 = 1.
Решение.
Найдем несколько первых членов последовательности:
3 1
2 1
2 1
11
11
 2 , a4 =
 3.
 1 , a5 =
 1 , a6 =
 2 , a7 =
a3 =
2
1
3
2
1
Заметим, что члены последовательности повторяются через пять, то есть
a2004 = a1999 = a1994 = … = a9 = a4 = 1.
40. Ответ. Да.
Решение.
При первом взвешивании положим на одну чашку весов гири в 1г и 2г, а на другую – 3г.
Возможны три случая:
1) Весы в равновесии. Т.е. фальшивая гиря в 4г. Второе взвешивание: гири в 1г и 3г на
одной чашке весов, гиря в 4г на другой. Если перевешивает первая чашка, то
фальшивая гиря легче, чем на ней указано, а если перевешивает вторая – тяжелее.
2) Перевешивает первая чашка. Значит, гиря в 4г точно не дефектная. Второе
взвешивание: гири в 1г и 3г на одной чашке весов, гиря в 4г на другой. Если
наступило равенство, то фальшивая гиря в 2г и она тяжелее (из первого взвешивания).
Если перевешивает первая чашка, то фальшивая гиря в 1г и она тяжелее, чем на ней
указано. Если перевешивает вторая чашка, то фальшивая гиря в 3г и она тяжелее.
3) Перевешивает вторая чашка. Значит, гиря в 4г точно не дефектная. Второе
взвешивание: гири в 1г и 3г на одной чашке весов, гиря в 4г на другой. Если
наступило равенство, то фальшивая гиря в 2г и она легче (из первого взвешивания).
Если перевешивает первая чашка, то фальшивая гиря в 3г и она тяжелее. Если
перевешивает вторая чашка, то фальшивая гиря в 1г и она легче.
41. см. задачу 33.
42. Ответ: нет.
Решение.
Произведение этих чисел заключено в промежутке от 22222×33333 до 33333×44444, то есть
от 740725926 до 1481451852. Поэтому первая цифра произведения – не 2.
43. Ответ. 14 мальчиков и 7 девочек.
Решение.
Первый способ.
Пусть в классе x девочек и 2x мальчиков и каждому мальчику на 23 февраля было подарено y
шоколадок. Рассмотрим два случая:
1) не високосный год.
Тогда по условию получаем: 2 x  y  13 : x  y , откуда x  y =13 и x  1 или x  13 , но тогда
число учеников в классе либо меньше 20, либо больше 30, что противоречит условиям.
2) високосный год.
В этом случае получаем: 2x  y  14 : x  y , откуда x  y  14 и x  1, 2, 7 или 14. Из этих
вариантов условию задачи удовлетворяет только x = 7.
Второй способ (решение команды школы № 56 – 7б).
Мальчиков – четное число. Из условия следует, что шоколадок было съедено ровно столько
же, сколько в классе мальчиков. А так как было съедено 13 или 14 шоколадок, то в классе 14
мальчиков и 7 девочек.
44. Ответ. 5 стаканов.
Решение.
29
III Магнитогорский турнир юных математиков
Пусть кувшин весит к, графин – г, стакан – с, чашка – ч. Тогда по условию:
к=г+с,
2к=3ч,
с+ч=г.
Из последнего равенства 3с+3ч=3г, или 3с+2к=3г. Имеем 3с+2(г+с)=3г, откуда г=5с.
45. см. задачу 37.
46. см. задачу 38.
47. см. задачу 39.
48. Ответ. 6 поездов.
Решение.
Пусть вся линия метро - 1 (единица). Тогда расстояния между поездами равны
уменьшить интервалы на одну пятую, то они станут равными
1
. Если
24
4 1
1


, т.е. поездов
5 24 30
должно быть 30. Значит, добавить надо 30-24=6 поездов.
49. Ответ. Например, так: 1,5; -0,5; 2,5; 0,5; 3,5.
50. см. задачу 42.
51. см. задачу 43.
52. см. задачу 44.
53. см. задачу 37.
54. Доказательство.
В
А
О
С
D
Пусть А, В, С и D – отмеченные точки. Рассмотрим треугольник АОВ. Равными сторонами в
нем могут быть только стороны АО и ВО, иначе сумма углов треугольника АОВ больше 180
градусов. Аналогично, ВО = СО = DО. В четырехугольнике АВСD диагонали
перпендикулярны и равны, значит АВСD – квадрат.
55. Ответ. В числах 31, 62, 93 зачеркнули цифру десятков.
Решение.
Если в числе ab зачеркнуть цифру единиц, то по условию получаем: 10a  b  31a ,
т.е. b  21a , т.е. b  21, что невозможно, т.к. b - цифра.
30
III Магнитогорский турнир юных математиков
Если в числе ab зачеркнуть цифру десятков, то получим уравнение 10a  b  31b , т.е.
10a  30b , a  3b . Если b  1 , то a  3 ; если b  2 , то a  6 ; если b  3 , то a  9 . Больше 3
b быть не может, т.к. тогда a будет больше 9.
56. см. задачу 48.
57. см. задачу 49.
58. см. задачу 42.
59. см. задачу 43.
60. Ответ. Можно.
Например:
- - - - - (Существует много других расстановок)
+
-
-
-
61. см. задачу 37.
62. см. задачу 54.
63. Ответ. Можно. Например,
64. Ответ. 5.
Решение.
Каждый должен подарить на одну фотографию меньше, чем всего имеется друзей.
Произведение двух последовательных числе равно 20, если большее из чисел равно 5.
31
III Магнитогорский турнир юных математиков
РЕЗУЛЬТАТЫ ТУРНИРА
Турнирные таблицы
подгруппа А
Команда
1
2
3
4
Очки
Место в
подгруппе
36:49
59:19
62:30
4
2
46:23
14:50
4
1
48:28
2
3
2
4
1
56 школа (7а)
2
48 школа (Модуль-2)
49:36
3
33 школа (Апокалипсис)
19:59
23:46
4
56 школа (7в)
30:62
50:14
28:48
подгруппа Б
Команда
1
2
3
4
Очки
Место в
подгруппе
23:46
57:3
38:42
2
3
46:0
49:12
6
1
0:41
0
4
4
2
1
56 школа (Бэшки)
2
5 шк. (Колхозные панки)
46:23
3
67 шк. (Юные
Эйнштейны)
3:57
0:46
4
65 школа (Команда 65)
42:38
12:49
41:0
Финальные бои
за 1-2 места
5 школа – 48 школа
45:40
за 3-4 места
65 школа – 56 школа (7а)
36:60
за 5-6 места
33 школа – 56 школа (7б)
34:46
за 7-8 места
67 школа – 56 школа (7в)
32:42
32
III Магнитогорский турнир юных математиков
Победители Турнира
I место
команда школы № 5 (Колхозные панки):
Мошкин Виталий – капитан
Пересторонин Артем – заместитель капитана
Макеенко Александр
Бузгин Данил
Иванов Алексей
Беззубков Алексей
II место
команда школы № 48 (Модуль-2), капитан – Лебедкина Лена
III место
команда школы № 56 (7а), капитан – Бычик Максим.
Команда школы № 5 получила также переходящий Кубок Турнира.
Все участники турнира и команды, занявшие 1, 2, 3 места в математической регате, были
награждены призами.
Лучшими игроками турнира были названы Пересторонин Артем (шк. 5) и Бычик Максим
(шк.56)
33
III Магнитогорский турнир юных математиков
34