«Процентные расчеты»

Элективные курсы по теме:
«Процентные расчеты»
Пояснительная записка:
Задачи с процентами играют важную роль в формировании логического мышления и
математической культуры у школьников. Каждое занятие, а также все они в целом направлены на
то, чтобы развивать интерес школьников к предмету, познакомить их с новыми идеями и методами,
расширить представления об изучаемом в основной школе материале, а главное порешать
интересные задачи. Широта применения в жизни процентных вычислений огромна: это распродажа
и тарифы, штрафы и банковские операции, голосование Сюжеты задач взяты из реальной жизни.
Решаться они могут разными способами. Важно только, чтобы каждый ученик выбрал свой способ
решения, наиболее ему удобный и понятный.
Материал для занятий подобран таким образом, чтобы можно было проиллюстрировать
применение процентные вычисления на практике, показать связь математики с другими
областями знаний, подчеркнуть эстетические аспекты изучаемых вопросов.
Решение задач с процентами открывает перед учащимися значительное число эвристических
приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применимых в
исследованиях и на любом другом математическом материале. Задания с процентами
постоянно предлагаются на едином государственном экзамене.
Цели и задачи курса:


повторить, обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме, полученные в
курсе основной школы;
познакомить с методами решения различного вида задач с процентами, рассмотреть
основные типы заданий, которые предлагались на ЕГЭ.
Планирование
№ п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Тема
Повторение.
Задачи на изменение величин.
Распродажа.
Тарифы.
Штрафы
Банковские операции, зарплаты.
Голосование
Задачи на смеси
Кол-во часов
1
2
2
2
1
3
1
4
Повторение.
Решение любых задач на проценты сводится к основным трем действиям с процентами:

Нахождения процента от числа.
Пример. Найти 15% от числа 60. Решение. 60 · 0,15 = 9. Ответ: 9

Нахождение числа по его процентам.
Пример. Найти число, 12% которого равны 30. Решение. 12% неизвестного числа нам известны –
это 30. Какое же это неизвестное число? Это число (х) обозначаем за 100% и находим его
из пропорции:
12% — 30
30  100
12 30
 , х
 250
100% — х.
100 х
12
Ответ: 250
1
 Нахождению процентного отношения чисел.
Пример. Сколько процентов составляет 120 от 600?
120
100%  20% . Ответ: 20%
Решение.
600
I.
Задачи на изменение величин.
Пример 1. Собрали 140 кг грибов, влажность которых составляла 98%. После подсушивания их
влажность снизилась до 93%. Какова стала масса грибов после подсушивания?
Решение. Влажность 140 кг грибов равна 98%, значит в них содержится 98% воды и 2% сухого
вещества, что составляет 140 · 0,02 = 2,8(кг). В подсушенных грибах 2,8 кг сухой массы составляют
уже 100% - 93% = 7%. Следовательно, масса подсушенных грибов равна 2,8 : 7 · 100 = 40(кг).
Ответ: 40 кг.
Пример 2. В первый день со склада было отпущено 20% имевшихся яблок. Во второй день – 180%
от того количества яблок, которое было отпущено в первый день. В третий день – оставшиеся 88 кг
яблок. Сколько килограммов яблок было на складе первоначально?
Решение. Обозначим за х (кг) количество яблок на складе. В первый день отпустили 0,2х (кг), а во
второй – 1,8 · 0,2х = 0,36х (кг). В третий день отпустили х – (0,2х + 0,36х) =0,44х (кг), а это
составляет 88 кг. Получим уравнение: 0,44х = 88, х = 200.
(Ответ: 200)
Пример 3. Объем ежегодной добычи нефти первой, второй и третьей скважинами относятся как 7 :
6 : 5. Планируется уменьшить годовую добычу нефти первой скважины на 4 %, а из второй – на 2
%. На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы
суммарный объем добываемой за год нефти не изменился.
Решение. Обозначим коэффициент пропорциональности за k, тогда из первой скважины добывали
7k, из второй – 6k, из третьей - 5k.
Уменьшили добычу нефти из первой скважины на 0,04 · 7k = 0,28k, из второй – на 0,02 · 6k = 0,12k,
т.е всего уменьшили на 0,28k + 0,12k = 0,4k. Тогда из третьей скважины надо увеличить добычу
нефти на (0,4k : 5k) · 100 = 8%.
Ответ: 8
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. Объем ежегодной добычи угля первой, второй и третьей шахтами относится как 1: 2: 4.
Первая шахта планирует уменьшить годовую добычу угля на 8%, а вторая на 2%. На сколько
процентов должна увеличить годовую добычу угля третья шахта, чтобы суммарный объем
добываемого за год угля не изменился?
(Ответ: 3)
Задача 2. Сумма двух чисел равна 1100. Найдите наибольшее из них, если 6% одного из них равны
5% другого.
(Ответ: 600)
Задача 3. За год стипендия студента увеличилась на 32%. В первом полугодии стипендия
увеличилась на 10%. Определите, на сколько процентов увеличилась стипендия во втором
полугодии?
(Ответ: 20)
Задача 4. Зарплату повысили на p%. Затем новую зарплату повысили на 2р%. В результате двух
повышений зарплата повысилась в 1,32 раза. На сколько процентов зарплата была повышена во
второй раз?
(Ответ: 20)
Задача 5. Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На сколько процентов необходимо
теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня?
(Ответ:25)
II.
Распродажа.
Пример 1 Зонт стоил 360 р. В ноябре цена зонта было снижена на 15%, а в декабре – еще на
10%. Какой стала стоимость зонта в декабре?
2
Решение.
1) 100 – 15 = 85(%) – стоимость зонта в ноябре
2) 360 · 0,85 = 306(р) стоил зонт в ноябре.
3) 100 – 10 = 90(%) –стоимость зонта в декабре по отношению к ноябрю.
4) 306 · 0,9 = 275,4(р) – стоит зонт в декабре.
Ответ: 275,4 р
Дополнительный вопрос. На сколько процентов по отношению к первоначальной цене подешевел
зонт?
Решение. Найдем отношение последней цены к исходной и выразим его в процентах, т.е. 275,4 :
360 · 100 = 76,5(%) – составляет новая цена от старой.
100 – 76,5 = 23,5(%) – на 23,5% подешевел зонт.
Ответ: на 23,5%
Пример 2 (демонстрационный вариант 2005 г) Торговая база закупила у изготовителя партию
альбомов и поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя.
Магазин установил розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце
сезона магазин снизил розничную цену на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по
сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел альбом за 70,2 р.?
Решение. Пусть х р – цена изготовителя.
30% этой цены 0,3х р.
оптовая цена х + 0,3х = 1,3х р.
20% оптовой цены – 0,2 · (1,3х) = 0,26х р
розничная цена будет 1,3х + 0,26х = 1,56х р.
10% розничной цены – 0,1 · 1,56х = 0,156х р.
цена на распродаже 1,56х – 0,156х = 1,404х р
эта цена известна и равна 70,2 р., то 1,404х = 70,2
х= 50
50 р. – цена изготовителя.
70,2 – 50 = 20,2 (р.) – на 20,2 р. покупатель заплатит больше по сравнению с ценой
изготовителя.
Ответ: на 20,2 р.
Пример 3. На осенней ярмарке фермер планирует продать не менее одной тонны лука. Ему
известно, что при хранении урожая теряется до 15% его массы, а при транспортировке - до 10%.
Сколько лука должен собрать фермер, чтобы осуществить свой план?
Решение. Просчитаем худший вариант. Пусть нужно собрать х т лука.
Тогда после хранения может остаться 100 – 15 = 85(%) лука, что составляет
х · 0,85 = 0,85х т.
На ярмарку будет доставлено 100 – 10 = 90(%) лука, т.е. 0,85х · 0,9 = 0,765х т, что составило
1т. Получаем уравнение:
0,765х = 1
х  1,3
Ответ: не менее 1,3 т
Пример 4. На сезонной распродаже магазин снизил цены на обувь сначала на 24%, а потом еще на
10%. Сколько рублей можно сэкономить при покупке кроссовок, если до снижения цен они стоили
593 р.?
Решение. В реальной жизни часто вместо точных подсчетов удобно выполнять прикидку. В этой
1
задаче 593 р. – это примерно 600 р., а 24% - это примерно . Четверть от 600 р. составляет 150 р.
4
Значит после первой уценки цена кроссовок снизилась на 150 р. и стола примерно 450 р. После
второй уценки на 10% цена стала 450 · 0,9 = 405 р., т.е. снизилась на 45 р. В итоге кроссовки
подешевели на 150 + 45 = 195 р.
Ответ: Сэкономить можно около 195 р.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. Антикварный магазин приобрел старинный предмет за 30 000 р. и выставил его на
продажу, повысив цену на 60%. Но этот предмет был продан лишь через неделю, когда магазин
3
снизил его новую цену на20%. Какую прибыль получил магазин при продаже антикварного
предмета?
(Ответ 8400 р.)
Задача 2. На весенней распродаже в одном магазине шарф стоимостью 350 р. уценили на 40%, а
через неделю ещё на 5%. В другом магазине шарф такой же стоимости уценили сразу на 45%. В
каком магазине выгоднее купить шарф?
(Ответ: выгоднее купить во втором магазине )
Задача 3. Во время распродажи масляные краски для рисования стоимостью 213 р. за коробку
продавали на 19% дешевле. Сколько примерно денег сэкономит художественная студия, если она
купит партию в 150 коробок?
(Ответ: примерно 6 000 р.)
Задача 4. Магазин в первый день продал 40% имеющихся овощей. За второй день он продал 80%
овощей, проданных в первый день. В третий день – оставшиеся 28 кг. Сколько килограммов овощей
было в магазине первоначально?
(Ответ: 100)
Задача 5. Цена изделия составляла 1000 рублей и была снижена сначала на 10%, а затем еще на
20%. Какова окончательная цена товара?
(Ответ: 720)
Задача 6. Цену товара повысили на 25%, а затем новую цену повысили еще на 10% и, наконец,
после перерасчета произвели повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили
первоначальную цену товара?
(Ответ: 54)
Задача 6. Изделие, цена которого 500 рублей, сначала подорожало на 10%, а затем - еще на 20%.
Какова окончательная цена изделия?
(Ответ: 660)
Задача 7. Цену на некоторый товар сначала снизили на 30%, а затем повысили на 20%. На сколько
процентов изменилась первоначальная цена товара? (Ответ: 16)
Задача 8. Цену некоторого товара снизили на 15%, а потом – еще на 20%. Найдите общий процент
снижения цены.
(Ответ: 32)
Задача 9. Цена первого товара повысилась на 30%, а потом – еще на 5%. Цена второго товара
повысилась на 25%. После повышения цены товаров сравнялись. Найдите, на сколько процентов
первоначальная цена второго товара больше первоначальной цены первого товара.
(Ответ: 9,2)
Задача 10. Магазин выставил на продажу шубу, назначив цену на 150% выше оптовой. В конце
сезона эта цена была снижена на 20%, а на распродаже весной новая цена была снижена еще на 40%
и шуба была продана за 36000 рублей. Какую прибыль получил магазин?
(Ответ:
6000)
III.Тарифы.
Пример 1. В газете сообщается, что с 10 июля согласно новым тарифам стоимость отправления
почтовой открытки составит 3 р. 15 к. вместо 2 р. 75 к. Соответствует ли рост цен на услуги
почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14,5%?
Решение. Найдем разность тарифов: 3,15 – 2,75 = 0,4(р) и отношение ее к старой цене, т.е. 0,4 : 3,15
 0,13. Выразив это отношение в процентах, получим 13%.
Ответ: да, соответствует.
Дополнительный вопрос. Сколько будет стоить отправка заказного письма, если сейчас эта услуга
оценивается в 5 р.50 к.?
Решение: 5,5 · (1 + 0,13) = 6,22 (р) – стоимость заказного письма.
Ответ: 6 р. 22 к.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. В начале года тариф на электроэнергию составлял 40 к. за 1 кВт·ч. В середине года он
увеличился на 50%, а в конце года - еще на 50%. Как вы считаете, увеличился ли тариф на 100%,
менее чем на 100%, более чем на 100%?
(Ответ: тариф на электроэнергию увеличился более чем на 100%)
4
Задача 2. Стоимость проезда в городском автобусе составляла 5 р. В связи с инфляцией она
возрасла на 200%. Во сколько раз повысилась стоимость проезда в автобусе? Можно ли ответить на
вопрос задачи, не зная стоимости проезда?
(Ответ: в 3 раза)
Задача 3. В этом году тарифы на услуги лодочной станции оказались на 20% ниже, чем в прошлом
году. Можно ли утверждать, что в прошлом году тарифы были на 20% выше, чем в нынешнем году?
(Ответ: нет)
IV.Штрафы
Пример1. Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося
ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15-го числа каждого месяца, после чего за
каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за месяц.
Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?
Решение. Найдем 4% от 250 р.: 250 · 0,04 = 10 р.
За каждый просроченный день сумма оплаты будет увеличиваться на 10 р. Если родители просрочат
оплату на один день, то им придется заплатить 250 + 10 = 260 р., за неделю - 250 + 10 · 7 = 320 р.
Ответ: 320 р.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. За несвоевременное выполнение договорных обязательств сотрудник фирмы лишается
25% месячного оклада, и, кроме того, за каждый просроченный месяц к штрафу прибавляется 5%
месячного оклада. Оклад сотрудника 10 000 р. В каком размере он должен заплатить штраф при
нарушении сроков на 5 месяцев?
(Ответ: 5 000 р.)
V.
Банковские операции, зарплаты.
Пример 1. За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 8% годовых. Вкладчик положил на счет
в банк 5 000 р. и решил в течении пяти лет не снимать деньги со счета и не брать процентные
начисления. Сколько денег будет на счете вкладчика через год, через два года, через пять лет?
Решение.
Первый способ. 1) 5 000 · 0,08 = 400(р) – процентные начисления за год
2) 5 000 + 400 = 5 400(р) – окажется на счете через год.
В конце второго года банк будет начислять проценты уже на новую сумму.
3) 5 400 · 0,08 = 432(р) – процентные начисления за второй год.
4) 5 400 + 432 = 5832(р) – окажется на счете через два года.
5) 5832 · 0,08 = 466,56 (р) - процентные начисления за третий год.
6) 5832 + 466,56 = 6298,56 (р) - окажется на счете через три года.
7) 6298,56 · 0,08 = 503,8848 (р) - процентные начисления за четвертый год.
8) 6298,56 + 503,8848 = 6802,4448 (р) - окажется на счете через четыре года.
9) 6802,4448 · 0,08 = 544,195584 (р) - процентные начисления за пятый год.
10) 6802,4448 + 544,195584 = 7346,64 (р) – будет на счете через пять лет.
Ответ: 7346 р. 64 к.
Второй способ через год начальная сумма вклада увеличится на 8%, значит, новая сумма составит
от первоначальной 108%. Таким образом, через год вклад увеличится в 108 : 100 = 1,08 раза и
составит 5000 · 1,08 (р). ещё через год сумма на счете будет (5000 · 1,08) · 1,08 = 5000 · 1,082 (р).
Аналогично рассуждая получим, что через три года на счете будет 5000 · 1,083 (р). Видно, что вклад
растет в геометрической прогрессии и через пять лет на счете вкладчика будет 5000 · 1,085 =
7346,64 (р).
Следует обратить внимание учащихся, что в рассмотренной ситуации начислялись так
называемые сложные проценты, т.е. при вычислении процентов исходили из величины, полученной
на предыдущем шаге, - начислялись «проценты на проценты». Если процент годовых прибавляется
к первоначальному взносу и через t лет взнос а (руб.) принимает значение х (руб.), то это значение
определяется по формуле
t
p 

х = а 1 
 .
 100 
5
Пример2. (Тренировочные КИМы для подготовки к ЕГЭ 2006 г). Банк ежегодно увеличивает на одно
и то же число процентов сумму, имеющуюся на вкладе к моменту начисления процентов. На
сколько процентов ежегодно увеличивается сумма, если за два года она возросла с 1500 до 1815
руб.?
Решение. Пусть банк ежегодно увеличивает имеющуюся на вкладе к моменту начисления
процентов сумму на х % . пользуясь формулой вычисления сложных процентов, получим 1500 ·
1815 100 2
x 
 100  x 

2
1


1815

1815
;
1500
·
;
(100
+
х)
=
; (100 + х)2 = 12100. По




1500
 100 
 100 
условию задачи 100 + х >0, значит 100 + х = 110, т.е. х = 10. Банк ежегодно увеличивает сумму на
10%.
Ответ: 10
2
2
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 р. на вклад, годовой доход по которому
составляет 12%. Какая сумма будет лежать на его счете через год; через два года; через шесть лет?
(Ответ: 2240 р; 2508 р. 80к.; 3947 р. 65 к.)
Задача 2. Банк обещает вкладчикам удвоить их сбережения за пять лет, если они воспользуются
вкладом «Накопление» с годовой процентной ставкой 16%. Проверьте, выполнит ли банк свое
обязательство.
(Ответ: да, вклад увеличится в 1,165 раз. т.е. более чем в два раза)
Задача 3. В прошлом году Антон для оплаты своего обучения воспользовался кредитом сбербанка,
взяв сумму 40 000 р. с обязательством возвратить кредит (с учетом 20% годовых) через 3 года. В
этом году снижены процентные ставки для кредита на оплату обучения в образовательных
учреждениях: с 20% до 19% годовых. Поэтому у Бориса, последовавшего примеру брата, долг
окажется меньше. На сколько?
(Ответ: примерно на 1700 р.)
Задача 4. Найдите первоначальную сумму вклада (в рублях), если после истечения двух лет она
выросла на 304,5 рубля при 3% годовых.
(Ответ: 5000)
Задача 5. Сберегательный банк в конце года начисляет 2% к сумме, находившейся на счете. На
сколько рублей увеличится первоначальный вклад в 5000 р. через 3 года?
(Ответ: 306,04)
Задача 6. Сберегательный банк в конце года начисляет 5% к сумме, находившейся на счете. На
сколько процентов увеличится первоначальный вклад в 2000 р. через 2 года?
(Ответ: 10,25)
VI.
Голосование
Пример 1. Из 550 учащихся школы в референдуме по вопросу о введении Ученического совета
участвовали 88% учащихся. На вопрос референдума 75% принявших участие в голосовании
ответили «да». Какой процент от числа всех учащихся школы составили те, кто ответил
положительно?
Решение. 1) 550 · 0,88 · 0,75 = 363 (чел.) – число учащихся утвердительно ответивших на вопрос
референдума
2) 363 : 550 = 0,66 - это 66%
Ответ: 66%
Дополнительный вопрос. Можно ли ответить на вопрос задачи, не зная числа учащихся школы?
Ответ: да.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. Собрание гаражного кооператива считается правомочным, если в нем приняли участие
2
3
всех его членов, и вопрос считается решенным, если за него проголосовали не менее 50%
присутствовавших. В гаражном кооперативе 240 человек. На собрание пришли 168, а за
6
положительное решение обсуждаемого вопроса проголосовали 86 человек. Какое принято
решение?
(Ответ: положительное.)
VII. Задачи на смеси
Задачи на смеси (растворы, сплавы) удобно решать по так называемому правилу квадрата, который
широко применяется химиками. Всякая смесь или сплав характеризуется концентрацией –
процентным содержанием какого-то равномерно распределенного в смеси вещества. Под понятие
концентрации подходят жирность (молока), влажность (грибов), крепость (соляных или вводноспиртовых растворов) и т.д.
Правило квадрата. Пусть требуется получить смесь концентрации с процентов из растворов А и В
концентрации а и b процентов соответственно. Пусть а < b. Задача разрешима, если a < c < b.
Возьмем квадрат и запишем в его левых углах числа а и b, а в центре – число с. затем по
диагоналям от больших чисел отнимают меньшие и разности записывают в правых углах
квадрата. Эти числа показывают, что растворы А и В следует смешивать в отношении (b - c) :
(c – а).
Способ квадрата дает правильный результат.
Пусть при смешивании m кг раствора А и n кг раствора В концентрации а и b процентов
соответственно получится раствор С концентрации с (а < b < c). Тогда масса вещества,
mn
 c . В тоже время она равна
равномерно распределенного в новой смеси, равна
100
mn
m
n
m
n
a
 b . Получили уравнение:
a
b=
c
100
100
100
100
100
am + bn = cm + cn·
cm – am = bn - cn
m( c - a) = n(b - c )
m bc

n c a
Это означает, что растворы А и В следует смешивать в отношении (b – c) : (c - a).
m cb

В обратную сторону: если два раствора смешали в отношении (b – c) : (c – а ), т.е.
n a c
(а < b < c), то
m(a - c) = n(c - b),
cm – am = bn – cn,
am + bn = cm + cn,
c(m + n)= am +bn
am  bn
c=
mn
Пример 1. Имеется два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 230 г золота и 20 г
меди, а второй слиток – 240 г золота и 60 г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и
получили 300 г сплава, в котором оказалось 84% золота. Определите массу (в граммах) куска,
взятого от первого слитка.
Решение. Первый слиток имеет массу 230 + 20 = 250 г.
Концентрация золота в нем 230 : 250 · 100% = 92% .
Второй слиток имеет массу 240 + 60 = 300 г.
Концентрация золота в нем 240 : 300 · =80%
7
По правилу квадрата найдем отношение, в котором нужно смешивать первый слиток со вторым: (
84 - 80) : (92 - 84) = 4: 8 = 1: 2.
Всего должно получиться 300 г сплава, то получим 300 : 3 · 1 = 100 г
Ответ: 100 г.
Пример 2. Из сосуда, доверху наполненного 94%-м раствором кислоты, отлили 1,5 л жидкости и
долили 1,5 л 70%-го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 86%-й раствор
кислоты. Сколько литров раствора вмещает сосуд?
Решение.
Пусть х л вмещает сосуд. Смешали 1,5 л раствора концентрации 70% и (х – 1,5) л
16 x  1,5
– концентрации 94%. По правилу квадрата (Рис.1) получаем:
; х = 4,5

8
1,5
Рис.1
рис.2
Рис. 3
Рис. 4
Пример 3. В бидон налили 4 л молока трехпроцентной жирности и 6 л молока шестипроцентной
жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне? Решение.
Пусть х искомая величина. По правилу квадрата (Рис.2) получаем:
6x 4
 ;
х = 4,8.
Ответ: 4,8
x3 6
Пример 4. В колбе было 800 г восьмидесятипроцентного спирта. Провизор отлил из колбы 200 г
этого спирта и добавили в неё 200 г воды. Определите концентрацию (в процентах) полученного
спирта.
Решение. Воду будем считать спиртом нулевой концентрации. Пусть искомая величина х.
x
600

По правилу квадрата (Рис.3) получаем
; х =60.
Ответ: 60
80  x 200
Можно решить еще и так: 800 -200 = 600 г осталось 80% -го спирта, то спирта в нем 600 · 0,8
= 480 г. Долили 200 г воды, спиртового раствора стало 800 г, процент спирта в нем 480 : 800 ·
100 = 60.
Ответ: 60
Пример 5 Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг больше, чем цинка.
Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в которой 75% меди. Сколько
килограммов меди было в куске латуни первоначально?
Решение. Пусть первоначально меди было х кг. Тогда латуни было 2х – 11 кг, а процент меди в
x
 100 процентов. Поскольку «медность» куска меди 100%, то по правилу
куске: р =
2 x  11

2 х  11
25
100 х 
 2 х 11 ;

;
300   75 
75  р
12
2 х  11 

300 = 150х – 825 – 100х; 50х = 1225; х = 24,5
квадрата (Рис. 4) получаем:
З00= 75(2х - 11)- 100х;
Пример 6. Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содержащего 8% соли, чтобы
получить 5%-й раствор? ( Алгебра, 8 класс. Под ред. Г.В.Дорофеева)
8
Решение. Составим уравнение по условию задачи.
Пусть х г – количество воды, которое надо добавить. Так как исходное количество
раствора – 50 г, то новое количество – (50 + х)г.
Количество соли в исходном растворе составляет 8% от 50 г, т.е. 0,08 · 50 г.
Количество соли в новом растворе составляет 5% от (50 + х), т.е. 0,05 · (50 + х) г.
Так как количество соли от добавления воды не изменилось, то оно одинакова в исходном и новом
растворах. Получаем уравнение: 0,08 · 50 = 0,05 ·(50 + х).
Решив уравнение, получим х = 30. Ответ: надо добавить 30 г воды.
Пример 7. Сколько граммов 75%-го раствора кислоты надо добавить к 30 г 15%-го раствора этой
же кислоты, чтобы получить 50%-й раствор?
Решение. 1) х г – количество 75% -го раствора кислоты, которое надо добавить;
2) (30 + х) г - масса получившегося 50% -го раствора кислоты;
3) 0,75х г – количество кислоты в х г 75% -го раствора;
4) 4) 0,15 · 30 г - количество кислоты в 30 г 15% -го раствора;
5) 0,5 (30 + х) г – количество кислоты в 50% -ом растворе.
Получаем уравнение: 0,75 х + 0,15 · 30 = 0,5(30 + х)
х = 42
Ответ: 42 г
Для более сложных и запутанных задач можно применить решение с помощью систем уравнений.
Пример 8. В колбу налили некоторое количество 60%-го раствора соли и некоторое количество
80%-го раствора этой же соли. Получили 35 мл раствора, содержащего 72% соли. Сколько
миллилитров каждого раствора налили в колбу?
Решение. Пусть налили 60%-го раствора соли х мл, а 80%-го раствора у мл. Всего получилось 35
мл, получим уравнение х + у = 35.
Количество соли в 60%-ом растворе 0,6х мл, а в 80%-м - 0,8у мл, всего в полученном растворе 35 ·
0,72 = 25,2 мл. Получим второе уравнение 0,6х +0,8у = 25,2.
Получили систему уравнений:
х + у = 35
0,6х +0,8у = 25,2
Решив систему, получим, что х = 14 мл, у = 21 мл.
Ответ: 14 мл 60%-го раствора и 21 мл 80%-го раствора.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. В колбе было 200 г 80%-го спирта. Провизор отлил из колбы некоторое количество этого
спирта и затем добавил в неё столько воды, чтобы получить 60%-ый спирт. Сколько граммов воды
добавил провизор? (Ответ: 50 г.)
Задача 2. Сколько граммов воды надо добавить к 80 г раствора, содержащего 15% соли, чтобы
получить 12% -й раствор?
(Ответ: 20 г)
Задача 3. Сколько граммов воды надо добавить к 180 г стропа, концентрация сахара в котором 25%,
чтобы получить сироп с концентрацией сахара 20%?
(Ответ: 45 г)
Задача 4. Сколько граммов 25%-го сахарного сиропа надо добавить к 200 г воды, чтобы
концентрация сахара в полученном растворе была 5%?
(Ответ: 50 г)
Задача 5. Сколько граммов воды надо выпарить из 80 г 6%-го раствора соли, чтобы получить
раствор, содержащий 10% соли?
(Ответ: 32 г)
Задача 6. Сколько граммов 30% -го раствора соли надо добавить к 80 г 12% -го раствора этой же
соли, чтобы получить 20%-ый раствор этой же соли?
(Ответ: 64 г)
Задача 7. Два слитка, один из которых содержит 35% серебра, а другой 65%, сплавляют и получают
слиток массой 20 г, содержащий 47% серебра. Какова масса каждого из этих слитков?
(Ответ: 12 г и 8 г)
9
Задача 8. Для проведения опыта научный сотрудник химической лаборатории смешал 4%-ый
раствор некоторого химического вещества и 10%-ый раствор этого же вещества и получил 75 мл
8%-го раствора. Сколько миллилитров 4%-го раствора и сколько 10%-го раствора было взято?
Ответ: 25 мл 4%-го и 50 мл 10%-го раствора
Задача 9. Влажность сухой цементной смеси на складе составляет 18%. Во время перевозки из-за
дождей влажность смеси повысилась на 2%. Найдите массу привезенной смеси, если со склада было
отправлено 400 кг.
Ответ: 410
Задача 10. К 120 г раствора, содержащего 80% соли, добавили 480 г раствора, содержащего 20%
той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе?
(Ответ: 32)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Литература.
«Избранные вопросы математики» ж-л «Математика в школе» №10-2003 г.
В.А. Петров «Процентные расчеты на ЕГЭ» ж-л «Математика для школьников», №22006
ЕГЭ 2007. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся.
«Интеллект-Центр», 2007 г.
Варшавский И.К., Гаиашвили М.Я., Глазков Ю.А. «Тренировочные контрольные
измерительные материалы для подготовки к ЕГЭ 2006 г. по математике». ж-л
«Математика для школьников», №2- 2006
ЕГЭ Математика. Репетитор 2006 М. «Просвещение» «Эксмо» 2006
Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. Математика. Алгебра. Функции.
Анализ данных. 8 класс. М. «Просвещение» 2005г.
Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. Математика. Алгебра. Функции.
Анализ данных. 9 класс. М. «Просвещение» 2005г.
10