Подобие фигур. Метод подобия в задачах на построение.

32. Подобие фигур. Отношение длин и площадей.
Метод подобия в задачах на построение.
Задачи [13], [16], [2], [25], метод подобия теория [2], [24], [25]. Литература
Задача 1. Трапеция разбивается диагоналями на 4 треугольника. Определить
площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к
основаниям трапеции, равны S1 и S 2.
Решение.
B
h
E
C
O
h
А
F
D
Есть два способа решения [13,с.222]. Один из способов:
1) SABC= SDBC, SABO= SOCD (рис.)
S
OD S AOD
2
2) ODC 

; S ODC
 S BOC  S AOD ; S ODC  S1  S 2
S BOC OB S ABO
SABCD=S1+S2+2 S1 S 2 
Второй способ основан на подобии ВОС и АОD.

S1  S 2

2
Задача 2. Найти расстояния от точки пересечения медиан АВС до сторон ВС=а
и АС=b, если известно, что сумма этих расстояний равна k.
Решение
Задача 3. Пятиугольник АВСDE правильный. Требовалось построить прямую
BN, которая делит пятиугольник на части с отношением площадей 1:2.
Школьник превратил пятиугольник в равновеликий ВКТ и отметил
1
точку М на КТ так, что КМ= КТ. Другой школьник обратил
3
внимание на то, что при этом пришлось несколько раз строить
параллельные прямые. А можно ли было решить задачу, не проводя
параллельных прямых?
Решение
Задача 4. Найдите основание трапеции, у которой боковые стороны равны 25см
и 40см, а диагонали 51см и 74см.
Решение
Задача 5. В данный остроугольный АВС вписать квадрат так, чтобы две его
вершины лежали на основании треугольника, а две на боковых
сторонах.
Анализ.
Квадрат должен удовлетворять условиям:
1) две вершины лежат на АВ;
2) одна вершина на АС;
3) одна вершина на ВС.
Легко построить квадрат, удовл. первым двум условиям.
Пусть это будет квадрат K'L'N'M'. При гомотетии с центром А
и нек. коэффициентом квадрат K'L'N'M' преобразуется в
квадрат K''L''N''M'', также удовлетворяющий этим условиям.
Точка М'' окажется заведомо на прямой АМ .
 нужно среди квадратов K''L''N''M'' выбрать тот, у которого точка М'' лежит на
ВС. М''=А М''n ВС.
Построение.
1) Строим произвольный квадрат K'L'N'M', удовл. усл. 1, 2.
2) Строим прямую А М' и отмечаем точку М'' её пересечения с ВС.
3) Через М'' проводим прямую, параллельную М'N', и отмечаем точку N' , в
которой она пересекает АС.
4) Из М'' и N'' опускаем на АВ перпендикуляры M''L'' и N''K''. Получаем искомый
квадрат K''L''N''M''.
Доказательство. Т.к. N'K'L=N''K''L'' (по построению N''K''= M''L'' и
N''M''=K''L'' как отрезки параллельных между параллельными) фигуры AN'M'L' и
AN''M''L'', подобны, ибо они состоят из подобных треугольников, поэтому
N M  N M 

(по построению)  K''L''N''M'' удовлетворяет всем условиям.
M L 
M L 
Исследование. Задача всегда однозначно разрешима.
Задача 6. Провести треугольник по данному углу А =  и длине биссектрисы bA,
если известно, что высота ha делит основание а на части,
пропорциональные т и п.
Решение
Содержание