Научно-исследовательская деятельность кафедры связана

Научно-исследовательская
деятельность
кафедры
связана
с
решением
фундаментальных и прикладных задач в области теории функций и функционального
анализа, дифференциальных уравнений, математической физики.
Основные направления научных работ кафедры
Одно из направлений научной работы кафедры представлено профессором
В.А.Треногиным. Оно связано с применением предложенного им в своё время современного
аналитического метода теории бифуркаций в банаховых пространствах – метода ЛяпуноваШмидта, названного им так в честь этих выдающихся ученых, заложивших основы теории
бифуркаций решений нелинейных интегральных уравнений.
Профессором Б.Г.Разумейко проводилась совместная с кафедрами института физикохимии материалов работа, связанная с построением математических моделей в
нанотехнологиях.
Продолжена работа по направлению «Информационные технологии в высшем
образовании», в рамках которой подготовлены и прочитаны электронные версии лекций по
следующим дисциплинам: математический анализ, уравнения математической физики,
теория вероятностей и математическая статистика, обыкновенные дифференциальные
уравнения, функциональный анализ, аналитическая геометрия, элементы линейной и общей
алгебры.
Основные научные и технические результаты
1. Редукция задачи к бифуркационному уравнению часто позволяет провести ее
законченное исследование, использующее алгебраические, топологические,
вариационные, групповые и численные методы. В практических задачах всё чаще и чаще
встречаются ситуации, когда их линейная часть не является ни фредгольмовым, ни
нетеровым оператором. Кроме того, при высоких вырождениях через точку бифуркации
может проходить много ветвей решений и даже поверхностей, составленных из решений.
Получены результаты, связанные с этим кругом вопросов.
2. Рассматривалась задача Коши для абстрактного параболического дифференциального
уравнения в банаховом пространстве Х
x(t )  Bx  R( x) , x(0)=0 (1)
в следующих предположениях:
I. B - замкнутый линейный оператор с плотной в X областью определения D;
II. B - фредгольмов оператор в следующем случае: его подпространство нулей N(B) nмерно, а область значений замкнута в X и имеет n-мерное прямое дополнение;
III. - B является генератором ограниченной на X аналитической полугруппы U(t);
IV. нелинейный оператор R(x) является аналитическим в смысле Фреше в точке x=0 и
R(0)=R(0)=0.
В предшествовавших работах полугруппа U(t) предполагалась экспоненциально
убывающей, а оператор B непрерывно обратимым. На основе леммы Шмидта-Треногина
задача (1) редуцируется к эквивалентной задаче Коши в Rn, являющейся аттрактором
уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта. На этом пути установлен ряд утверждений об
устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову тривиального решения (1).
Кроме того, для дифференциального уравнения (1) рассмотрена задача о периодических
решениях (бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа). Эти же аргументы применялись к
дифференциальному уравнению вида (1) с линейным оператором (вырожденным или
невырожденным) при производной.
3. Решалась задача об определении потенциальной энергии несжимаемой тяжелой
капиллярной флотирующей жидкости в трехмерном слое бесконечной глубины со
свободной верхней границей. Вычислена асимптотика периодических режимов на
свободной верхней границе, близкой к горизонтальной плоскости, ответвляющихся от
основного течения с постоянной скоростью V в направлении оси Ox. Исследована их
устойчивость относительно возмущений тех же периодов. Использовались методы
симметрийной теории бифуркаций и группового анализа дифференциальных уравнений,
первый метод А.М. Ляпунова в применении к обыкновенному дифференциальному
уравнению, в правой части которого стоит нелинейный оператор конечномерного
уравнения разветвления.
Выполнение хоздоговорных и бюджетных работ
Грант РФФИ 07-01-91680_РА_а «Исследование устойчивости разветвляющихся
решений абстрактных параболических уравнений методами А.М. Ляпунова с приложениями
к нелинейным явлениям»
Научн. рук. – проф. В.А.Треногин
Заказчик – ГОУ ВПО Ульяновский Политехнический институт
Финансирование 2008 г. – 150000 рублей
Основные публикации
1. Треногин В.А. Бифуркационное уравнение в направлении допустимого касательного
вектора. – Тезисы докладов 3-ей международной конференции «Функциональные
пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы
математического образования», посв. 85-летию Л.Д.Кудрявцева. М.: МФТИ, 2008. –
С.193-196.
2. Vladilen A. Trenogin, Natalia N. Avxentieva, Luiza R. Kim-Tyan, Use of Jordan chains in
stability and bifurcation problems, XVIth Conf. on Applied and Industrial Mathematics (CAIM2008) 9-12.10.2008 Oradea University, Romania, Abstracts, р. 63-64.
3. V.A. Trenogin, Two reduction schemes in investigation of asymptotic stability by Lyapounov
for abstract parabolic differential equations, XVI-th Conf. on Applied and Industrial
Mathematics (CAIM-2008) 9-12.10.2008 Oradea University, Romania, Abstracts, р. 64
4. Artyom N. Andronov, Luiza R. Kim-Tyan, Boris V. Loginov, Bifurcation and stability in the
problem on capillary-gravity waves on the surface of floating layer. XVIth Conf. on Applied
and Industrial Mathematics (CAIM-2008) 9-12.10.2008 Oradea University, Romania, Abstracts,
p.3
5. Дзидзигури Э.Л., Сидорова Е.Н., Разумейко Б.Г. Анализ гранулометрического состава
нанодисперсных порошков металлов. – Материалы научно-технической конференции
"Применение дисперсных и ультра-(нано)-дисперсных порошковых систем в
промышленных технологиях". Санкт-Петербург, 2008. – С. 45-46.
6. Дзидзигури Э.Л., Сидорова Е.Н., Разумейко Б.Г. Методы исследования размерных
характеристик наноматериалов и их взаимосвязи. – Международный форум по
нанотехнологиям. Москва, 3-5 декабря 2008.
7. Ким-Тян Л.Р., Недосекина И.С. Размышления об «инновационных технологиях» в
образовании. – Тезисы докладов 3-ей международной конференции «Функциональные
пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы
математического образования», посв. 85-летию Л.Д.Кудрявцева. М.: МФТИ, 2008. –
С.770-772.
8. Ким-Тян Л.Р., Недосекина И.С. Инновационные технологии в образовании и математика.
– Труды Средневолжского математического общества, 2008, том 10, №1, с.336-338.
9. Шишкова Е.В. Регуляризация задачи численного дифференцирования. - Математика.
Механика: Сб.научн.тр. - Саратов: Изд-во Сарат.ун-та, 2008. - Вып. 10. С. 95-101.
Участие в конференциях
1. 3-я Международная конференция «Функциональные пространства. Дифференциальные
операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посв. 85-летию
Л.Д.Кудрявцева, 25-28 марта 2008, Москва, РУДН.
2. 8-я Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения", 1216 мая 2008 года, Саранск.
3. XVIth Conf. on Applied and Industrial Mathematics (CAIM-2008), 9-12.10.2008, Oradea
University, Romania.
4. Научно-техническая конференция «Применение дисперсных и ультра-(нано)-дисперсных
порошковых систем в промышленных технологиях», 8-10 июля 2008, Санкт-Петербург.
5. Международный форум по нанотехнологиям, 3-5 декабря 2008, Москва.
Объекты интеллектуальной собственности (патенты, НОУ–ХАУ)
Заявка №2008127198 на выдачу патента на изобретение «Способ получения магнитотвердого
композиционного материала с нанокристаллической структурой»/ Лилеев А.С., Разумейко
Б.Г., Викторов В.Н., Жуков Д.Г., Старикова А.Н., Дупляков А.В. Приоритет заявки
07.07.2008.