Филиал Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова в г.Ташкенте Ситаблаев Энвер Диляверович ДИПЛОМНАЯ РАБОТА на тему «Преследование жертв автоматов-жертв автоматомхищником с красками» по направлению 010500 - «Прикладная математика и информатика» КР рассмотрена и рекомендована к защите Научный руководитель: м.н.с. Зав. кафедрой «МаТИС» д.ф.-м.н., профессор _________Кудрявцев В.Б. ______________ Волков Н.Ю. «___»_________2012 год «___»____________2012 год Ташкент 2012 Аннотация Изучается процесс преследования автоматами с красками («хищников») независимых друг от друга автоматов («жертв») на плоскости, а так же задача преследования одним автоматом-хищником с краской одного автомата-жертвы, без красок на одномерной ленте. Показано преимущество автоматов с красками над коллективами автоматов. В частности, ряд задач по поимке жертв на плоскости, которые в работах Н.Ю. Волкова и Ю.С. Бутковой были решены коллективами из трех автоматов-хищников, в данной работе решаются одним автоматомхищником с красками. Показана возможность поимки одним автоматомхищником с одной краской любой жертвы с несамопересекающейся траекторией, оставляющей след. Доказана лемма о существовании физически реализуемой траектории, которая не может быть реализована автоматам с краской на полосе. Содержание 1. 2. 3. 4. 5. Введение Основные понятия и результаты Доказательство вспомогательных лемм Доказательство основных результатов Список использованной литературы Введение Рассматривается автоматный аналог ситуации преследования хищниками жертв. Исследуется вопрос преследования одним автоматом хищником с краской независимых систем автоматов-жертв. Будем считать, что жертвы способны “видеть” хищника в некоторой своей окрестности, но “не видят” других жертв. Таким образом, жертвы образуют независимую систему. Н.Ю. Волковым в работе [2] показано, что для обхода плоскости нужно три автомата без красок, двое из которых – камни, т.е. не могут двигаться самостоятельно. Так же описаны малые коллективы автоматов без красок, которые обходят лабиринты разного типа. В данной работе построены автоматы с одной краской и одним состоянием, обходящие все рассмотренные в работе [2] лабиринты. Ю.С. Бутковой в работе [3] введен класс автоматов-жертв. Доказано, что поимка на плоскости всех жертв из этого класса может быть осуществлена коллективом из трех автоматов-хищников, но может быть осуществлена меньшим числом хищников без красок. В данной работе построен автомат– хищник с одной краской, ловящий на плоскости всех автоматов-жертв из класса. Аналогично, в работе [2] показано, что один автомат-хищник без краски не способен осуществлять поимку заданного автомата-жертвы на плоскости. Для решения этой задачи в [2] используется коллектив из трех автоматовхищников. В данной работе подобная задача решена при помощи одного хищника с краской, в предположении, что жертва, которую необходимо поймать, оставляет на плоскости след раз в несколько тактов. Построен автомат–хищник с одной краской, ловящий на плоскости фиксированный автомат-жертву, оставляющий такие следы. В данной работе также построен автомат-хищник с одной краской, ловящий на плоскости любых автоматов-жертв, оставляющих след, с несамопересекающимися траекториями. Основные понятия и результаты. Будем использовать стандартные обозначения для множеств натуральных и целых чисел N и Z, соответственно. Положим N0 = N U{0}.Множество клеток, на которые плоскость разбивается целочисленной решеткой, обозначим через Z2, сопоставляя каждой клетке координаты ее нижнего левого угла. Назовем r-окрестностью клетки (x0,y0) множество D(x0,y0),r = { (x, y) є Z2 | (|x-x0|+|y-y0| ≤ r)}, где r є N0. Будем считать, что задана определенная нумерация клеток множества D(x0,y0),r. Определим следующие лабиринты – подмножества Z2. = Z2, = {(x, y) | x є Z, y є N}, (l) = {(x, y) | 0 < y ≤ l, x, y є Z}, = {(x, y) | x, y є N}, (l) = {(x, y) | 0 < y ≤ l, x, y є N}, (l) = {(x, y) | 0 < y ≤ l, 0 < x ≤ l, x, y є N}.Здесь l є N. Эти лабиринты назовем соответственно, плоскостью, полуплоскостью, lполосой и l-полосой, квадрантом и l-квадрантом. Рассмотрим автоматный аналог ситуации преследования хищниками своих жертв. В качестве пространства преследования будем рассматривать лабиринт L, являющийся одним из лабиринтов , , (l), (l), , (l). Хищник и жертвы представляются в виде автоматов, которые находясь в какой-либо клетке лабиринта, умеют обозревать некоторую её окрестность, и, в зависимости от вида (конфигурации) этой окрестности и своего состояния, способны перемещаться в другую клетку лабиринта. Поведение каждого автомата определяется его начальным расположением в лабиринте, его «физическими параметрами» - обзором и скоростью, а также его внутренней логикой. Определим хищников и жертв более формально. Под автоматом будем понимать инициальный конечный автомат вида Ά=(A,Q,B,φ,ψ,q0), где A-входной, B-выходной, Q-внутренний алфавиты автомата Ά, φ:QxA→ Q и ψ:QxA→B – функции переходов и выходов Ά, соответственно, q0єQ – его начальное состояние. Алфавит A определяет возможности Ά “видеть” происходящее вокруг, а алфавит B - его возможности перемещаться. Алфавит Q и функции φ и ψ задают внутреннюю логику автомата Ά. Под автоматом с краской будем понимать семерку вида Ά с =(A,Q,B,С,φ,ψ,q0), где A-входной, B-выходной, Q-внутренний алфавиты автомата Ά с, С – множество красок, φ:QxA→ Q и ψ:QxA→BxC – функции переходов и выходов Ά с, соответственно, q0єQ – его начальное состояние. Выходной алфавит B, автомата Ά с есть множество пар вида ( , ), где є , єC. Рассмотрим автомат Ά с, перемещающийся по Z2. Выходным алфавитом Ά с является множество B = , где параметр VєN называется скоростью автомата Ά с. Следующие определения будем считать верными для автоматов и для автоматов с краской. Входной алфавит A зависит от параметра RєN (R≥V), называемого обзором автомата Ά с и способа взаимодействия Ά с с другими автоматами. Возможны два случая такого взаимодействия: 1) Ά с является элементом независимой системы автоматов; 2) Ά с является элементом коллектива автоматов. Автомат с краской со скоростью V и обзором R будем обозначать как Ά с (R,V). Пусть Ά с (R,V) находится в клетке (x0,y0). Множество D(x0,y0),V называется окрестностью хода Ά с, а множество D(x0,y0),R – зоной обзора Ά с. Будем говорить, что автомат обходит плоскость, если для любой клетки u плоскости существует такт t, такой что клетка u попадает в зону обзора автомата. Рассмотрим две системы автоматов Wc(R,V) (хищник) и U=(U1,…,Un)(R’,V’) (жертвы), где R и R’ - обзоры, а V и V’ – скорости хищника и жертв, соответственно. Здесь U – независимая система автоматов. Положим N’ =(R’ +1)2 +(R’)2 – размер зоны обзора жертвы. Для каждого i =1,…,n строку (a1,…,aN’), такую, что для любого k =1,…,N’ 1, если в k-й клетке зоны обзора Ui находится хищник; ak = 0, иначе; назовем Ui -конфигурацией. Каждая Ui –конфигурация однозначно задает клетки зоны обзора Ui, в которых находится хищник. Положим N =(R +1)2 +(R)2 – размер зоны обзора хищника. Cтроку (a1,…,aN), такую, что для любого k =1,…,N 1, если в k-й клетке зоны обзора W находится жертва; ak = 0, белый цвет; 2..m+1, окрашена в один из цветов 1..m назовем W-конфигурацией. W–конфигурация однозначно задает клетки зоны обзора W, в которых находится жертва. Расположения на плоскости жертв и хищника и состояния хищников однозначно задают все Ui – конфигурации и Wс - конфигурация. Множество всех Ui – конфигураций при всевозможных расположениях жертв и хищника и состояний хищника обозначим как F’. Аналогично, Wс – конфигураций обозначим как F. Входным алфавитом каждой жертвы Ui является множество всех пар вида (F1,F2),где F1є({0}UF’), а F2єF’. Входным алфавитом хищника Wс является множество всех пар вида (F1,F2), где F1, F2єF. Момент времени 2τ (τ єN0) называется моментом хода жертв с номером τ. Момент (2τ+1) называется моментом хода хищников с номером τ. Промежуток времени [2τ, (2τ+1)] называется тактом с номером τ. Время взаимодействия автоматов будем измерять в тактах. Преследование хищником независимой системы жертв происходит следующим образом. Фиксируются начальные (в нулевой момент времени) расположения хищника и жертв на плоскости. В нулевой момент каждая жертва Ui воспринимает в качестве входного символа пару (0,F2),где Ui конфигурация F2 задает клетки зоны обзора Ui,в которой находится хищник. В момент 2τ (τєN) каждая жертва Ui воспринимает в качестве входного символа пару (F1,F2), задающую клетки зоны обзора Ui, в которых находятся хищник в моменты (2τ-1) и 2τ. В каждый момент 2τ (τєN0) жертва Ui, в соответствии со своими функциями переходов и выходов, определяет свое следующее состояние, выходной символ b, и перемещается на вектор b. В момент (2τ+1) (τєN0) хищник Wс воспринимает в качестве входного символа пару (F1,F2), задающую клетки зоны обзора Wс ,в которых находятся жертвы в моменты 2τ и (2τ+1), и, в соответствии со своими функциями переходов и выходов, определяет свое следующее состояние, выходной символ b, и перемещается на вектор b. Хищник Wс “ловит” жертву, если жертва в некоторый момент времени оказалась в окрестности хода хищника. Пойманная жертва исчезает с плоскости. Wс “ловит” независимую систему жертв, если в процессе преследования Wс ловит каждую жертву. Пусть автомат Ά с перемещается по плоскости и его выходные символы в такты t, t+1,…, T равны bt, bt+1,…, bT, соответственно. Вектором перемещения Ά с за промежуток времени [t,T] называется вектор s= bt + bt+1 + … + bT. В работе [2] показано, что автомат, двигающийся так, что в его зону обзора не попадают другие автоматы, имеет периодическую последовательность выходных символов и периодическую последовательность переходов. Движение автомата Wс(R, V)с краской не периодично. Поэтому далее в этой работе под вектором перемещения, если не оговорено другое, будем понимать вектор перемещения за период выходной последовательности автомата, считая, что она не имеет предпериода. Далее будем считать, что обзор жертвы всегда не больше обзора хищника, а скорость жертвы всегда меньше скорости хищника. Иначе при разумном поведении жертвы, она никогда не будет поймана. Под целочисленным вектором (отрезком) будем понимать вектор (отрезок) начало и конец которого имеют целочисленный координаты. Направлением s будем называть любой целочисленный вектор s. Будем говорить, что клетка u принадлежит целочисленному отрезку (лучу) a, если этот отрезок (луч) пересекает внутреннюю часть клетки. Клетками отрезков (лучей) с направляющими векторами (0,1), (1,0), (0,-1), (1,0), будем считать клетки лежащие справа для вектора (0,1), слева для (0,-1), сверху для (1,0), снизу для (-1,0) от отрезка (луча, прямой), пересекаемые более чем в одной точке. Нулевым направлением будем называть вектор (0,0). Рассмотрим некоторое ненулевое направление s. Пусть es –минимальный целочисленный вектор сонаправленный с вектором s. Тогда вектор es будем называть минимальным шагом в направлении s. Будем говорить, что жертва (хищник) U принадлежит классу А1, если 1. Её (его) вектор перемещения нулевой. 2. Существует натуральное число k, такое что, если хищник(жертва) не появлялся в зоне обзора U за последние k тактов, то жертва (хищник) осуществляет периодическое движение без предпериода с нулевым вектором перемещения. Теорема 1: Для каждого лабиринта , , , , , существует 1 автомат с одной краской Wc (1,1), который его обходит. Теорема 2: Для любого Nmax N, существует хищник-автомат с краской Wс (R,V), который ловит любую независимую систему жертв U=(U1, …, Um)(R-1,V-1), такую, что каждая жертва принадлежит классу А1, и max{n1, n2,…, nm} ≤ Nmax, где ni – количество состояний Ui. Далее будут рассматриваться автоматы преследование автоматов с красками. Изначально предполагаем, что все клетки плоскости белого цвета, либо цвета 0. Следом назовем множество клеток, окрашенных в фиксированную краску. Краска жертвы отлична от краски хищника. Автомат хищник распознает след оставленный жертвой. Будем говорить, что жертва U принадлежит классу A2, если 1) При наличии в зоне обзора своей краски ведут себя так же, как и при ее отсутствии («не видят» ее). 2) Жертва движется по плоскости без предпериода. 3) Число состояний жертвы не больше чем N. 4) В каждый фиксированный такт оставляет след. Теорема 3: Для любой жертвы U (R-1,V-1), принадлежащей классу A2, существует автомат хищник с краской W (R,V), который ловит эту жертву. Соседними, к клетке ( , ) будем называть клетки, которые расположены от нее на расстоянии 1, т.е. | – xj | + | – yj | = 1, где xj, yj є Z. Будем говорить, что жертва U(1,1) принадлежит классу A3 если у каждой клетки следа ( , ) есть не более 2-х соседних клеток следа, т.е. след жертвы будет представлять собой непересекающеюся кривую на плоскости. Теорема 4: Для любой жертвы из A3 существует автомат хищник с краской W (2,2), который ловит жертву. Глава 2 Поведение автоматов с красками на одномерной ленте Обозначим множества натуральных и целых чисел, как Положим и , соответственно. . Множество клеток, на которые плоскость разбивается целочисленной решеткой, обозначим . Определим подмножество обе сторону ленту, разбитую на клетки: – бесконечную в (рис. 1). (рис. 1). Каждой клетке бесконечной в обе стороны ленты сопоставлена координата её. Отрезок из клеток, находящихся от клетки на расстоянии, не превосходящем r, назовем r-окрестностью клетки Будем считать, что задана нумерация клеток множества - слева направо, т.е. первая клетка отрезка – самая левая, последняя – самая правая. Последовательность клеток "х1,...,хt,...., называется физически реализуемой автоматом со скоростью V, если каждая клетка в этой последовательности удалена от предыдущей клетки не более, чем на расстояние |х(t+1)-x(t)|<=V. Весь период непериодического движения автомата будем называть, сознательным движением автомата. Определим движение автомата как последовательность его выходных символов b(1),…b(i)…, где b(i) – целые числа. Выходные символы b(i) принимающие неотрицательное значение будем для удобства обозначать символом А(i), а b(i) принимающие отрицательные значения - будем обозначать В(i) Лемма 3. Существует физически реализуемая траектория на полосе, которую не может реализовать автомат с красками. Доказательство вспомогательных утверждений. Лемма 1. Существует автомат с краской, который обходит плоскость. Построим автомат в явном виде: Входные данные берутся с обзора R=1 A NSWE N WE NS E S E SWE SW NSW N W N W N WE N E N E NS E S E S E S E SW W N W N E Q Ψ Φ (↑,1) (→,2) (↓,3) (↓,4) (←,4) (←,1) (↑,1) (↑,1) (↑,2) (→,2) (→,2) (→,3) (↓,3) (↓,3) (↓,4) (↓,4) (←,4) (←,1) (↑,2) (→,3) Лемма 2: Существует такой автомат хищник с красками Wс(R,V) такой, что если Wс во время своего функционирования обнаруживает некоторую жертву U’ при некоторых начальных расположениях хищника и жертв, то Wс ловит жертву U’ при тех же начальных расположениях. Доказательство: Рассмотрим автомат хищник с красками Wс (R,V). Положим что, при таком функционировании автомат Wс обнаруживает некоторую жертву U при некоторых начальных расположениях. Для обнаружения возможны следующие варианты: 1. В момент τ-1 жертва находится в зоне обзора, а в момент τ уже покинула её. 2. В момент τ-1 жертвы нет в зоне обзора, а в момент τ она попадает в неё. 3. В моменты τ-1 и τ жертва находится в зоне обзора. Преследование жертвы будет происходить следующим образом: в случае 1 хищник, обнаруживший жертву, будет двигаться к той клетке, в которой жертва находилась в момент τ-1, в случаях 2 и 3 – к той клетке, в которой жертва находится в момент τ. Причем, если несколько жертв находятся в зоне обзора хищника, он выбирает для преследования любую из них (U’). За каждый такт хищник делает шаг с максимальной скоростью. Пусть (x,y) координаты клетки, к которой в данный такт движется хищник. Тогда хищник делает шаг (signx*V, 0) , если |x|≥V (x, signy*(V-|x|)) , иначе. Докажем, что при таком движении хищник через конечное число тактов поймает жертву. Пусть автоматы Wс и U’ в момент времени τ находятся в клетках с координатами (xW, yW) и (xU’,yU’) соответственно. Расстояние между автоматами ρτ в момент τ будем измерять по манхэттенской метрике. В момент обнаружения τ жертвы U’(R’,V’) автоматом Wс ρτ ≤ R. Поскольку V’<V, то ρτ+2 ≤ ρτ - (V-V’) < ρτ Таким образом, расстояние между хищником и жертвой уменьшается. Причем, если жертва движется с максимальной скоростью, то расстояние между хищником и жертвой за каждый такт уменьшается на 1. Следовательно, для того, чтобы поймать жертву, хищнику требуется не более R-V тактов. Лемма доказана. Доказательство основных результатов Теорема 1: 1)Существует 1 автомат с одним состоянием и с одной краской Wc (1,1), который обходит . Доказательство: Построим автоматы в явном виде: 1) A Q Ψ Φ (↑, 1) (→,1) (↓,1) (↓,1) (←,1) (←,1) (↑,1) (↑,1) (→,1) NSWE N WE NS E S E SWE SW NSW N W N E 2) Обход . Будем обозначать «_» борт. A NSWE N_WE N_ E N WE N W NSW _W N_W N W N WE N E NS E S E _W N E SW Q Ψ (↓, ) (→,1) (↑,1) (←,1) (←,1) (↓,1) (←,1) (↑,1) (↑,1) (→,1) (→,1) (↓,1) (↓,1) (→,1) (↑,1) (↓,1) Φ 3) Обход A NSWE _SWE N_WE N WE _ WE _SW SW _W N_ E N E _ E _ _ Ψ Q Φ (↓, ) (↓, ) (↑,1) (↑,1) (←, 1) (↓, 1) (↓, 1) (→, 1) (↑,1) (↑,1) (←, 1) (←, 1) (→, 1) 5) Обход A Q NSWE N_WE NS_E N__E N_ E N WE N _ N _E N E NS E S E _ E N E N W Ψ Φ (↓,) (←,) (↓,) (→, 1) (↑,1) (←, 1) (↑,1) (→, 1) (→, 1) (↓, 1) (↓, 1) (→, 1) (↑,1) (←, 1) 6) Обход A NSWE _SWE _S_E _W_S N_W_ Q Ψ (↓, ) (↓, ) (↓, ) (←, ) (↓, ) Φ NSW_ N_WE N__E N _E _ _E _S E S E _ E N_ E N E _S E S _ N_ _ N E (←, ) (↑,1) (↑,1) (→, 1) (→, 1) (↓, 1) (↓, 1) (→, 1) (↑,1) (↑,1) (↓, 1) (↓, 1) (↑,1) (↑,1) Теорема 2: Для любого Nmax N, существует автомат хищник с краской Aс = Wс (R,V), который ловит любую независимую систему жертв U=(U1, …, Um)(R-1,V-1), такую, что каждая жертва принадлежит классу А1, и max{n1, n2,…, nm} ≤ Nmax, где ni – количество состояний Ui. Доказательство: Рассмотрим автомат хищник с краской Wс(R,V) описанный в лемме 1. Этот автомат, стартуя из любой клетки плоскости расположения, обходит плоскость. Поскольку каждая клетка плоскости может принадлежать траектории некоторой жертвы, автомат Wс, обходя плоскость, проверяют каждую клетку своей зоны обзора, на принадлежность траектории некоторой жертвы, ожидая появления жертвы в ней Nmax тактов подряд. По прошествии этих Nmax тактов будем считать клетку проверенной автоматом. Поскольку все жертвы принадлежат классу A1, их траектории, соответствующие периодичной части последовательности выходных символов, замкнуты. По условию теоремы, число состояний каждой жертвы n ≤ Nmax. Следовательно, если некоторая клетка принадлежит периодичной части траектории некоторой жертвы, за Nmax тактов эта жертва посетит ее. Автомат стартует из канонического расположения и начинает обходить плоскость согласно алгоритму, заданному в лемме 1. Если в зоне обзора автомата нет жертв, то Wс действует согласно описанию , за тем исключением, что каждому шагу Wс, предшествует группа Nmax тактов, в течение которых автомат неподвижен. Таким образом, автомат в начальные Nmax тактов неподвижен, далее автомат чередует шаг, соответствующий шагу автомата Wс по лемме 1 с группой шагов по Nmax тактов. Очевидно, что следую заданному алгоритму обхода, в какой-то момент хищник обнаружит жертву. Кроме того, если хищник обнаружил жертву, и обнаружение произошло не в начальные Nmax тактов, то жертва не обнаруживает хищника. Это следует из того, что обзор жертвы на единицу меньше обзора хищника. Из построения автомата видно, что на каждом такте, за исключением начальных Nmax тактов, не проверенными для Wс могут быть только те клетки, которые находятся на расстоянии R от него. Т.е., на предыдущих тактах автоматом было установлено, что клетки, расположенные на расстоянии меньшем R от W, не принадлежат траектории какой-либо жертвы. Следовательно, если автомат W обнаруживает жертву, то она расположена на расстоянии R от него. Поскольку обзор жертвы R-1, то жертва не обнаруживает хищника. Если в момент τ-1 жертва находится в зоне обзора, а в момент τ уже покинула её, хищник продолжает придерживаться своего алгоритма обхода плоскости. Очевидно, что жертва не обнаружила его, поэтому не меняет траекторию. Если в момент τ-1 жертвы нет в зоне обзора, а в момент τ она попадает в неё или в моменты τ-1 и τ жертва находится в зоне обзора, хищник начинает преследование. Преследование автоматом W жертвы происходит следующим образом. Автомат W движется с максимальной скоростью в направлении жертвы, и при каждом ходе он раскрашивает клетку, в которой он находиться последовательно, в занумерованный цвет. Как было доказано в лемме 1, ему нужно не более чем R-V тактов, для того чтобы настичь жертву, а следовательно ему нужно R-V красок для того, чтобы оставить последовательность красок, по которым он вернется к границе спирали, по которой он обходил плоскость. Ввиду того, что спираль разделена на четыре части красками 1,2, 3,4, автомат может найти точку, откуда он стартовал. Т.е. если на границе спирали он видит краску 4, то он идет на север, пока не увидит краску 3, далее идет запад, до тех пор, пока не увидит краску 2, после чего он занимает место, ближайшей клетки, с краской 1, которая и является точкой старта, откуда он стартовал изначально. С этой клетки начинается обход плоскости заново. Нам нужно обходить плоскость счетное число раз, потому как во время преследования жертвы, хищник мог «спугнуть» других жертв, будучи обнаженными ими и они могли изменить свои траектории. Очевидно, для реализации автомата требуется конечное число состояний автоматов и (V-R+5) красок. Поскольку каждый раз после поимки жертвы возвращается в начальное расположение, и все жертвы принадлежат классу A1, все жертвы будут пойманы. Теорема доказана. Теорема 3: Для любой жертвы U (R-1,V-1), принадлежащей классу A3, существует автомат хищник с краской W (R,V), который ловит эту жертву. Доказательство: Случаи, когда во время обхода в обзор автомата попала жертва, рассматриваться не будут, т.к. они доказаны в лемме 2. Рассмотрим автомат W из леммы 1. Он обходит плоскость счетное число раз. Ввиду того, что автомат обходит каждую клетку плоскости счетное число раз, то в какой-то такт в его обзор попадет след жертвы. Первый найденный след жертвы, будет точкой старта, для нового обхода, с новым набором красок. Те, что остались на плоскости автоматом игнорируются и воспринимаются, как белые. Повторяется процесс обхода, только теперь центром спирали будет являться первый найденный след автомата. Понятно, что в какой-то момент автомат найдет второй след, который будет находиться на границе спирали обхода. Через эти два следа можно построить вектор перемещения жертвы. То, как можно наикратчайшим путем от границы 4-х цветной спирали добраться до её центра, уже было показано в доказательстве теоремы 2. Ввиду того, что у автомата жертвы не более N состояний, то, хищнику, просто нужно запомнить не более чем N* (V-1) состояний, между двумя найденными следами, которые определяют вектор перемещения жертвы. Далее, автомат просто движется по вектору перемещения жертвы, в одном из направлений. Если на следующей точке вектора он видит след, то он продолжает движение по вектору в этом направлении. Если следа не обнаружил, то останавливается в этой точке и ждет N тактов. Если жертва не появилась, он идет в другом направлении, придерживаясь этого алгоритма. Ввиду того, что жертва принадлежит классу A2. Теорема доказана. Теорема 4: Для любой жертвы из A3 существует автомат хищник с краской W (2,2), который ловит жертву. Доказательство: Как было доказано в теореме 1: автомат с краской может обойти плоскость, то есть существует такт, в который в обзор автомата попадет либо сама жертва, либо её след. Если в обзор попала сама жертва, то автомат начинает преследование, и как было доказано в лемме 2, жертва будет поймана. В том, случае, когда хищник встречает след, ввиду того, что траектория жертвы несамопересекающаяся у нее будет не более двух направлений. Хищник выбирает любое и начинает двигаться по следу с максимальной скоростью. Возможно 2 случая: 1) Жертва будет настигнута на конце следа 2) След закончиться В случае 2, автомат придет к точке старта жертвы. Он начинает двигаться по этому следу с максимальной скоростью, и ввиду превосходства в скорости, жертва будет настигнута. Лемма 3. Существует физически реализуемая траектория на полосе, которую не может реализовать автомат с красками. Доказательство. Рассмотрим следующую физически реализуемую траекторию: Изначально, Ac(V, R) и N состояниями расположен в нулевой координате. Нужно используя следующий набор выходных символов A(1),…A(i),B(1),… A(1),…A(i),B(1),… такой что (i -1 > R) дойти до клетки с координатой ([N*(С+1)^2R/(i+1)]+1)*(i-1)*V и вернутся в точку старта. В обзор автомата попадает 2*R клеток ленты. Рассмотрим случай поведения автомата без краски. В обзор будут попадать только белые клетки, соответственно, для сознательного движения, каждый шаг будет использоваться отличное состояние. Разобьем весь путь автомата на промежутки типа A(1),…A(i),B(1). За этот промежуток автомат без краски сумеет преодолеть расстояние равное (i - 1)*V. Сколько таких промежутков сможет осуществить автомат с N состояниями сознательно? – [N/(i +1)]. За такой промежуток времени автомат проходит расстояние равное (i - 1)*V, Т.е. автомат в [N/(i - 1)]*(i - 1)*V координате уже не сможет посчитать следующий промежуток A(1),…A(i),B(1) и он зациклится. Т.е. Он не сможет используя данную выходную последовательность добраться до координаты ([N/(i + 1)] + 1)*(i - 1)*V и вернутся в точку старта. В случае с красками, автоматом отличает С красок, которые он имеет и белую, в которую по определению закрашена лента изначально. В обзоре попадают 2*R клеток. Можно получать (С+1)^2R не повторяющихся комбинаций красок в этой зоне обзора. Т.е. сперва фиксируем 2R-1 краску, и получаем, что можно С+1 способ раскраски. Фиксируем 2R – 2 красок и получаем (С+1)(С+1) способов. Раскрашивая все клетки обзора, можно получить (С+1)^2R отличных наборов раскрашенных клеток. Это дает нам то, что автомат с красками может с одним состоянием ((С+1)^2R – 1)*V клетку вправо сознательно. Для этого ему нужно будет красить клетки всевозможными комбинациями(С+1)^2R красок. Т.е. (С+1)^2R состояний автомата без краски становятся эквивалентны 1 состоянию автомата с краской. Заменим количество состояний у автомата без краски на N*(С+1)^2R/(i+1) и получим [N*(С+1)^2R/(i+1)]*(i-1)*V оценку, после которой автомат с краской не сможет вычислить свой такт. Т.е. он не сможет используя вышеописанные выходные символы дойти до координаты с номером ([N*(С+1)^2R/(i+1)]+1)*(i1)*V и вернуться в точку старта. Лемма Доказана. Список использованной литературы: [1] В. Б. Кудрявцев, С. В. Алешин, А. С. Подколзин “Ведение в теорию автоматов”, Москва, Наука, 1985, стр. 8-31. [2] Н. Ю. Волков “Об автоматной модели преследования”, Дискретная математика, т.19, вып.2., стр. 131-160, 2007 г. [3] Ю.С. Буткова «Преследование автоматов-жертв малочисленными коллективами автоматов-хищников», дипломная работа, Ташкент 2009г.