Содержание

Содержание
1. Задача 1………………………………………………………………3
2. Задача 2………………………………………………………………6
3. Задача 3………………………………………………………………13
2
Задача 1.
Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный
и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг
калийных удобрений, а в улучшенный - 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг
калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по
меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений.
Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный – 4 ден. ед. Какие и сколько
наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание
почвы и минимизировать стоимость?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые
комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что
произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?
Решение:
Вид
удобрения
Азотные
Фосфорные
Калийные
Стоимость
ед. продукта
Норма содержания удобрения на ед.продукта Необходимый
минимум
Обычный набор (I) Улучшенный набор (II)
удобрений
3
2
10
4
6
20
1
3
7
3
4
Обозначим через
х 1 - объем выпуска удобрений I вида;
х 2 - объем выпуска удобрений II вида.
Составим ограничения по удобрениям:
3х1  2 х 2  10

4 х1  6 х 2  20
1х  3х  7
2
 1
Дополнительное ограничение: х1 , х2  0 .
Составим целевую функцию задачи:
 
f X  3x1  4 x2  min
Найдем решение первого неравенства из ограничения по удобрениям
3х1  2 х2  10 . Для этого построим прямую 3х1  2 х2  10 (рис.1)
1
х1 0
3
3
х2
5
0
3
Данная прямая разбивает всю плоскость на две полуплоскости. Для
определения искомой полуплоскости подставляем координаты контрольной
точки. В качестве контрольной точки выбираем начало координат – т.О(0;0)
и подставляем в неравенство 3х1  2х2  10 . Получаем:
3  0  2  0  10;
0  10
Полученное неравенство ложно, следовательно решением первого
неравенства из системы ограничения по удобрениям является та
полуплоскость, в которой т.О(0;0) не лежит.
Аналогично решаем второе и третье неравенство из ограничения по
удобрениям.
4 х1  6 х2  20 ;
4 х1  6 х2  20 (рис.1)
х1 0
5
1 0
х2
3
3
1х1  3х2
1х1  3х2
х1 0
1
х2
2
3
7 ;
 7 (рис.1)
7
0
Для нахождения точки области допустимых решений, которая обеспечит
min значение целевой функции, необходимо рассмотреть линию уровня:
F  3x1  4x2  12 (рис.1)
х1 0 4
х2 3 0
Для определения направления возрастания целевой функции, необходимо
построить вектор, выходящий из начала координат и входящий в точку,
координаты которой определяют коэффициенты при переменных х из
выражения целевой функции.
Вектор (0;0)  (3;4) (рис.1)
Передвигаем линию уровня в обратном направлении, указанном данным
вектором, таким образом, чтобы линия уровня проходила через все вершины
области допустимых решений. Вершина ОДР, которая обеспечит самое
нижнее положение линии уровня – и будет той точкой, в которой достигается
min значение целевой функции задачи.
т.С – определяет самое низкое положение линии уровня.
Координаты т. С(2;2). Эта точка обеспечит min значение целевой функции
задачи.
4
 
f X  3x1  4 x2  min
F  3x1  4 x2  min
F  3 2  4 2
F  68
F  14
Ответ: необходимо купить 2 единицы обычного набора удобрений по цене 3
ден.ед./набор и 2 единицы улучшенного набора удобрений по цене 4
ден.ед./набор, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и
минимизировать стоимость.
Если решать задачу на max, мы не сможем определить точку, которая
обеспечит max значение целевой функции, т.к. получившаяся область
допустимых решений – незамкнутая, т.е. Fmax  .
5
Задача 2.
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья.
Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вмда
продукции представлены в таблице.
Тип
Норма расходы сырья на одно изделие Запасы
сырья
сырья
А
Б
В
Г
I
2
1
3
2
200
II
1
2
4
8
160
III
2
4
1
1
170
Цена
5
7
3
6
изделия
1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум
выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный
план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с
помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. на основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
а) проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане
исходной задачи;
б) определить, как изменится выручка от реализации продукции и план ее
выпуска при увеличении запасов сырья I и II вида на 8 и 10 единиц
соответственно и уменьшения на 5 единиц запасов сырья III вида;
в)оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10
единиц, на изготовление которого расходуется по 2 единицы каждого вида
сырья.
Решение:
1. Сформулируем экономико-математическую модель (далее ЭММ)
прямой оптимизационной задачи. Обозначим через
х1 - объем выпуска изделия А;
х2 - объем выпуска изделия Б;
х3 - объем выпуска изделия В;
х4 - объем выпуска изделия Г.
Составим функциональные ограничения прямой задачи:
2 х1  1х2  3х3  2 х 4  200

1х1  2 х2  4 х3  8 х 4  160
2 х  4 х  1х  1х  170
2
3
4
 1
Прямое ограничение задачи: х1 , х2 , х3 , х4  0 .
Целевая функция прямой задачи: f X   5x1  7 x2  3x3  6 x4  max
6
Находим значения переменных
программе Excel (рис.1, рис.2).
х , решая записанные уравнения в
Рис. 1.
Рис. 2.
7
Получаем: Х 80;0;0;10
4.а) Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане. Для
этого в функцию ограничения исходной задачи подставим значения
переменных х :
2  80  1  0  3  0  2  10  200

1  80  2  0  4  0  8  10  160 ;
2  80  4  0  1  0  1  10  170

180  200

160  160
170  170

Из получившегося первого неравенства в системе функции ограничений
можно сделать вывод, что ресурс I используется не полностью, его
двойственная оценка равна 0, т.е. у1  0 .
Из второго второго и третьего равенства из системы функции
ограничений делаем вывод, что ресурсы II и III используются полностью, их
двойственная оценка положительна, т.е. у 2  0 и у3  0 .
2. Сформулируем ЭММ двойственной задачи:
2 у1  1у 2  2 у 3  5
1у  2 у  4 у  7
 1
2
3

3
у

4
у

1
у
2
3 3
 1
2 у1  8 у 2  1у 3  6
Прямое ограничение двойственной задачи: у1 , у 2 , у3  0 .
Целевая функция двойственной задачи: f У   200 у1  160 у2  170 у3  min.
Найдем значения переменных у .
В первом пункте задачи было получено, что х2  0 и х3  0 . Это означает,
что изделия Б и В не вошли в производственную программу. Отсюда делаем
вывод, что второе и третье ограничения из системы функциональных
ограничений ДЗЛП можно из рассмотрения исключить.
В первом пункте задачи мы получили, что х1 и х 4 отличны от нуля. Из
этого делаем вывод, что А и Г в двойственных оценках не убыточны, из чего
следует, что первое и четвертое неравенства из системы функциональных
ограничений ДЗЛП можно записать в виде уравнений:
2 у1  1у 2  2 у3  5
.

2 у1  8 у 2  1у3  6
8
С учетом того, что у1 =0, получаем:
1у 2  2 у3  5

8 у 2  1у3  6
Решаем систему с двумя переменными.
1 у 2  2 у 3  5

8 у 2  1 у 3  6
9 у 2  3 у 3  11
11  3 у 3
9
34
11  3 у 3
11  15 у 3

 3 у3  5 
 5  у3 
 9


9
15
;
;

 у  11  3 у 3
 у  11  3 у 3  у  7
 2 15
 2
 2
9
9
у2 
Получаем: У  0;
7 34 
; .
 15 15 
Для проверки правильности нахождения переменных у , найдем значение
целевых функций исходной и двойственной задач:
 
f X   460
f X  5  80  7  0  3  0  6  10

f У   460
f У  200  0  160 
7
34
 170 
15
15
  
f У  f Х =460
Вывод: производственная программа является оптимальной и значения
переменных у определены правильно.
3. Анализ нулевого значения у1 выполнен в пункте №4.1.
В первом пункте задачи получено, что х2  0 и х3  0 , т.е. изделия Б и В не
вошли в производственную программу. Это означает, что изделия Б и В в
действенных оценках превосходят планируемую доходность изделия. Для
проверки данного ограничения поставим во второе и третье ограничения
ДЗЛП значения переменных у :
7
34
1 0  2   4 
7
15
15
10  7
30  4
4
2
3
15
9
7
34
 1
3
15
15
где 10 и 4
2
- затраты на ресурсы,
15
7 и 3 – планируемая доходность изделия Б и В.
Вывод: для изделий Б и В затраты на ресурсы превосходят планируемую
доходность, из чего следует, что изделия Б и В не целесообразно включать в
планируемую программу.
4.б) Определим, как изменится выручка от реализации продукции при
увеличении запасов сырья I вида на 8 единиц, II вида на 10 единиц и
уменьшении запасов III вида сырья на 5 единиц.
b1  8
b2  10
b3  5
 
f X   0  8; f X   0;
7
70
f X    10; f X   ;
15
15
f i X  y i  bi
1
1
2
2
 
 
34
170
  5; f 3 X  
;
15
15
70 170
2
 6
Суммарное f X  0  
15 15
3
f 3 X 
 
Вывод: увеличение запасов сырья I вида на 8 единиц, II вида на 10 единиц
и уменьшение запасов III вида сырья на 5 единиц приведут к уменьшению
прибыли предприятия на 6
2
условных денежных единиц.
3
Определим, как изменится план выпуска продукции при указанных
изменениях ресурсов.
В пункте №4.1. задачи было установлено, что II и III виды ресурсов
используются в производственной программе полностью. На основании
этого второе и третье неравенство из системы функциональных ограничений
ИЗЛП можно записать в виде уравнений:
1х1  2 х2  4 х3  8 х4  160

2 х1  4 х2  1х3  1х4  170
С учетом того, что х2  0 и х3  0 , получаем:
1х1  8 х4  160

2 х1  1х 4  170
После изменения запасов ресурсов будем иметь:
1х1  8 х4  160  10
;

2
х

1
х

170

5
1
4

1х1  8 х4  170

2 х1  1х4  165
10
Решая данную систему уравнений получаем новый план выпуска
продукции:
2

 х1  76 3

 х  11 2
 4
3
2
2
Новый план: Х  76 ;0;0;11 
3
 3
Старый план: Х 80;0;0;10
Найдем изменение производственного плана:
2
1
х1  76  80; х1  3
3
3
2
2
х 4  11  10; х 4  1
3
3
Вывод: при увеличении запасов второго ресурса на 10 ед. и уменьшении
запасов третьего ресурса на 5 ед. план выпуска изделия А уменьшится на
1
2
3 ед., а план выпуска изделия Г увеличится на 1 ед.
3
3
Проведем следующую проверку:
1
3
А: -3  5  
50
3
2
3
30
3
50 30
20
2
А+Г=      6
3
3
3
3
Г: 1  6 
4.в) Для определения целесообразности включения в план
дополнительного изделия Д, составим по нему ограничение двойственной
задачи.
Тип
сырья
I
II
III
Цена
изделия
А
2
1
2
5
Норма расходы сырья на одно изделие
Б
В
Г
Д
1
3
2
2
2
4
8
2
4
1
1
2
7
3
6
10
2 у1  2 у 2  2 у3  10
7
34
20  2  2
 10
15
15
7
5  10
15
11
Запасы
сырья
200
160
170
Вывод: затраты на ресурсы для изделия Д меньше планируемого дохода.
Из этого можно сделать вывод, что его целесообразно включить в
производственную программу.
12
Задача 3.
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t)
(млн руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t)
этого показателя приведен ниже в таблице.
№
Номер наблюдения (t=1,2,…,9)
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3
3
7
10
11
15
17
21
25
23
Требуется:
1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить:
1) линейную модель


Y (t )  a
0
 a1t , параметры которой оценить МНК
( Y (t ) - расчетные, смоделированные модели временного ряда).

3.
4.
5.
6.
2) адаптивную модель Брауна Y (t )  a 0  a1 k с параметром сглаживания
  0,4 и   0,7 ; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.
Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства
независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия
нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия
взять табулированные границы 2,7-3,7).
Оценить точность моделей на основе использования средней
относительной ошибки аппроксимации.
По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на
следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать
при доверительной вероятности p=70%).
Фактические значения показателя, результаты моделирования и
прогнозирования представить графически.
13
Решение:
Рис.1. Ввод данных
1. Проверим наличие аномальных наблюдений
Аномальные наблюдения искажают общую тенденцию присущую
временным рядам и приводят к построению неадекватных моделей, поэтому
аномальные наблюдения необходимо выявлять и устранять.
С помощью программы VSTAT была проведена проверка о наличии
аномальных наблюдений. Результаты проверки показали, что аномальных
явлений нет.
Рис.2. Результат проверки наличия аномальных наблюдений
2. Построим линейную модель:
Y p t   a 0  a1t ,
где а0, а1 - параметры моделей по МНК
14
Рис.3. Характеристики базы моделей
Рис.4. Результаты оценки параметров линейной модели
3. Оценка адекватности построенных моделей
Адекватность - это максимальное приближение теоретических моделей к
реально существующим экономическим закономерностям.
15
Качество модели определяется ее адекватностью, которая характеризуется
выполнением ряда свойств остаточной компонента, и точностью т.е
степенью близости теоретической модели и наблюдениям исходного ряда.
Модель признается адекватной, если остаточная компонента соответствует
следующим свойствам.
1) Случайность
2) Независимость
3)Нормальный закон распределения
1. Проверка свойств случайности осуществляется по критерию поворотных
точек (критерий пиков)
, где
р-кол-во поворотных точек , определяемых из графика остаточной
компоненты.
N- длина исходного ВР.
Остаточная компонента определяется, как разница между фактическими и
расчетными значениями наблюдения:
E(t)=y(t)-yp(t)
Точка признается поворотной, если в ней изменяется тенденция графика.
2.Проверка свойства независимости осуществляется по критерию ДарбинаУотсона
dнабл 
( E (t )  E (t  1) 2
, где E(t)-случайная компонента
 E 2 (t )
Расчетное задание d-критерия откладывается на следующей интервальной
прямой
I
II
III
IV
2
I- во временном ряду присутствует явление автокорреляции, то есть сильной
взаимной зависимости между соседними наблюдениями временного ряда, то
есть свойство независимости не выполняется
II- однозначного вывода о выполнении свойства независимости сделать
нельзя, необходимо рассчитать дополнительный показатель называемый
первым коэффициентом автокорреляции:
d1
r
( E (t )  E (t  1)
 E 2 (t )
r r
табл

d2
о выполнении свойства независимости
III-можно однозначно утверждать, что свойство независимости выполняется
16
IV- присутствие во временном ряду отрицательной автокорреляции,
необходимо рассчитать дополнительный показатель:
d   4  d , затем d  откладывается на интервальной прямой и в зависимости от
попадания в тот или иной интервал делается вывод.
3. Проверка нормального закона распределения осуществляется по RS –
критерию
, где
Emax ,E min  это максимум и минимум значения ряда остаточной компаненты
S-среднее квадратическое отклонение, определяемое следующей формулой
S
 E 2 (t )
N 1
Если RS попадает в табличный интервал RS (2,7-3,7), то делается вывод о
выполнении нормального закона распределения.
Рис.5. Характеристики остатков
17
Рис.6. Гипотеза о случайности
Рис.7. Гипотеза о нормальности
18
Рис.8. Гипотеза о независимости
Вывод: по итогам проверки этих свойств остаточной компоненты можно
сделать общий вывод об адекватности модели: ввиду невыполнения свойства
случайности, модель не является полностью адекватной и ее не
рекомендуется использовать для построения прогнозов.
4. Оценка точностей моделей.
В понятие качества кроме адекватности входит понятие точности,
которая может быть охарактеризована средней относительной
ошибкой.
19
Рис.9. Характеристики остатков
Вывод: по итогам расчетов можно сделать вывод: средняя
относительная ошибка аппроксимации по линейной модели составляет
8,85 %, следовательно, точность линейной модели можно признать
удовлетворительной.
5. Построение точечных и интервальных прогнозов
Точечный прогноз на основе кривых роста получают путем подстановки
уравнения модели соответствующих значений параметра вершин. Период
прогнозирования определяется индивидуально для каждого временного ряда
исходя из его длины и обычно не превышает 1/3 от длины временного ряда.
На основе точечных прогнозов, рассчитываются интервальные
прогнозы для чего определяется ширина доверительного интервала
, где
S-среднее квадратическое отклонение, характеризующее точность модели
р 
табличный коэффициент, характеризующий вероятность расчетов
N – длина временного ряда
К- шаг прогнозирования
20
_
t - среднее значение параметра времени
t – текущее значение параметра времени
Интервальный прогноз ограничен верхней и нижней границами. Для
нахождения верхней границы к точечному прогнозу прибавляется ширина
доверительного интервала. Для нахождения нижней границы из точечного
прогноза вычитается ширина доверительного интервала.
Рис.10. Результаты прогнозирования по линейной модели
6. Построение адаптивной модели Брауна
Выполняя аналогичный порядок действий, как и для линейной модели,
можно построить адаптивную модель Брауна. Для этого при выборе типа
модели указать «Адаптивные методы». Далее необходимо указать вид
адаптивных методов, т.е. выбрать «Метод Брауна».
21
Рис.11. Выбор адаптивной модели Брауна
7.
Рис.12. Параметры моделей
22
Рис.13. Оценка параметров адаптивной модели Брауна
Качество модели определяется ее адекватностью, которая характеризуется
выполнением ряда свойств остаточной компонента, и точностью т.е
степенью близости теоретической модели и наблюдениям исходного ряда.
Модель признается адекватной, если остаточная компонента соответствует
следующим свойствам:
1) случайность
2) независимость
3)нормальный закон распределения
1. Проверка свойств случайности осуществляется по критерию поворотных
точек (критерий пиков)
, где
р-кол-во поворотных точек , определяемых из графика остаточной
компоненты.
N- длина исходного ВР.
Остаточная компонента определяется, как разница между фактическими и
расчетными значениями наблюдения:
E(t)=y(t)-yp(t)
Точка признается поворотной, если в ней изменяется тенденция графика.
2.Проверка свойства независимости осуществляется по критерию ДарбинаУотсона
dнабл 
( E (t )  E (t  1) 2
, где E(t)-случайная компонента
 E 2 (t )
23
Расчетное задание d-критерия откладывается на следующей интервальной
прямой
I
II
III
IV
2
I- во временном ряду присутствует явление автокорреляции, то есть сильной
взаимной зависимости между соседними наблюдениями временного ряда, то
есть свойство независимости не выполняется
II- однозначного вывода о выполнении свойства независимости сделать
нельзя, необходимо рассчитать дополнительный показатель называемый
первым коэффициентом автокорреляции:
d1
r
( E (t )  E (t  1)
 E 2 (t )
r r
табл

d2
о выполнении свойства независимости
III-можно однозначно утверждать, что свойство независимости выполняется
IV- присутствие во временном ряду отрицательной автокорреляции,
необходимо рассчитать дополнительный показатель:
d   4  d , затем d  откладывается на интервальной прямой и в зависимости от
попадания в тот или иной интервал делается вывод.
3. Проверка нормального закона распределения осуществляется по RS –
критерию
, где
Emax ,E min  это максимум и минимум значения ряда остаточной компаненты
S-среднее квадратическое отклонение, определяемое следующей формулой
S
 E 2 (t )
N 1
Если RS попадает в табличный интервал RS (2,7-3,7), то делается вывод о
выполнении нормального закона распределения.
24
8.
Рис.14. Характеристика остатков
Рис.15. Гипотеза о случайности
25
Рис.16. Гипотеза о нормальности
Рис.17. Гипотеза о независимости
Вывод: по итогам проверки этих свойств остаточной компоненты можно
сделать общий вывод об адекватности модели: ввиду невыполнения свойства
случайности, модель не является полностью адекватной и ее не
рекомендуется использовать для построения прогнозов.
26
9. Оценка точности модели
В понятие качества кроме адекватности входит понятие точности, которая
может быть охарактеризована средней относительной ошибкой.
По итогам расчетов можно сделать вывод: средняя относительная ошибка по
модели Брауна составляет 8,85 точность модели Брауна можно признать
удовлетворительной.
Рис.18. Характеристики остатков
10.
Точечный прогноз на основе кривых роста получают путем подстановки
уравнения модели соответствующих значений параметра вершин. Период
прогнозирования определяется индивидуально для каждого временного ряда
исходя из его длины и обычно не превышает 1/3 от длины временного ряда.
27
На основе точечных прогнозов, рассчитываются интервальные
прогнозы для чего определяется ширина доверительного интервала
, где
S-среднее квадратическое отклонение, характеризующее точность модели
р 
табличный коэффициент, характеризующий вероятность расчетов
N – длина временного ряда
К- шаг прогнозирования
_
t - среднее значение параметра времени
t – текущее значение параметра времени
Интервальный прогноз ограничен верхней и нижней границами. Для
нахождения верхней границы к точечному прогнозу прибавляется ширина
доверительного интервала. Для нахождения нижней границы из точечного
прогноза вычитается ширина доверительного интервала.
Рис.19. Прогноз по адаптивной модели Брауна
28
11.
Рис.20. Выбор лучшей модели прогнозирования
12.
Рис.21. Оценка качества лучшей модели прогнозирования
29
13.
Рис.22. Построение прогноза по лучшей модели
Вывод: лучшей по своим характеристикам признана модель АР(0,1),
она статистически значима и обладает высоким качеством (коэффициент
детерминации равен 0,97, ошибка модели 6,78 %). По данной модели
прогноз спроса на кредитные ресурсы организации в последующие месяцы
составит 27,22 и 29,42 тысяч рублей.
30