2. Теория принятия решений

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
Медведева Н.С., Моисеева Ю.А., Степанов А.Г., Усикова И.В.
СИСТЕМЫ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ
РЕШЕНИЯ
Оптимальные методы и теория принятия
решений
Учебно – методическое пособие
Санкт-Петербург
2008
3
УДК 681.3.06(075)
ББК 32.79
С
Системы поддержки принятия решения. Оптимальные методы и теория принятия
решений: учеб.-метод. пособие/ Медведева Н.С., Моисеева Ю. А., Степанов А.Г.,
Усикова И.В.; ГУАП. -СПб., 2007. -00 с.
В учебно-методическом пособии рассматривается основные положения теории
принятия решений и цикл лабораторных работ по дисциплине «Системы поддержки
принятия решения» в части оптимальных методов и теории принятия решений.
Излагается методика выполнения лабораторных работ и приводятся необходимые
рекомендации.
обучающихся
Учебно-методическое
по
специальностям
пособие
предназначено
«Прикладная
информатика
для
в
студентов,
экономике»,
«Информационный сервис» и может быть использовано в составе дисциплины
«Разработка
управленческого
решения»
при
подготовке
по
экономическим
специальностям, для которых требуется изучение теории принятия решений.
Рецензент: профессор Международного банковского института доктор технических
наук Кричевский М.Л.
© Н.С. Медведева 2008
© Ю.А. Моисеева 2008
© А.Г. Степанов 2008
© И.В. Усикова 2008
4
Содержание
ВВЕДЕНИЕ ......................................................................................................................... 8
1.
ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ................................................................................... 9
1.1.
Методы поиска экстремумов функций ...................................................................................................... 10
1.2.
Учет ограничений на значения переменных............................................................................................. 13
1.3.
Использование Excel для поиска экстремумов функций ........................................................................ 17
Лабораторная работа №1. Методы поиска экстремумов с помощью надстройки Поиск решения пакета Excel
..................................................................................................................................................................................... 26
2.
ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ......................................................................... 32
2.1.
Основные понятия теории принятия решений ........................................................................................ 32
2.2.
Математическая классификация задач разработки управленческого решения ............................... 35
2.3.
Однокритериальная статическая задача разработки управленческого решения в условиях
определенности ............................................................................................................................................................. 38
Лабораторная работа №2. Решение однокритериальной статической задачи в условиях определенности ...... 43
2.4.
Однокритериальная статическая задача разработки управленческого решения в условиях риска
45
Метод сведения задачи в условиях риска к детерминированной .......................................................................... 47
Лабораторная работа №3. Решение однокритериальной статической задачи в условиях риска методом
сведения стохастической задачи к детерминированной ........................................................................................ 48
Методы оптимизации в среднем............................................................................................................................... 50
Алгоритмический метод решения задачи в условиях риска .................................................................................. 53
Лабораторная работа №4. Решение однокритериальной статической задачи в условиях риска
алгоритмическим методом ........................................................................................................................................ 54
Метод Монте-Карло при решении задачи в условиях риска ................................................................................. 55
Лабораторная работа №5. Решение однокритериальной статической задачи в условиях риска методом
Монте-Карло .............................................................................................................................................................. 58
Задачи в условиях риска с несколькими стохастическими параметрами ............................................................. 60
2.5.
Однокритериальная статическая задача в условиях неопределенности............................................. 60
Игры с противником. ................................................................................................................................................. 63
5
Лабораторная работа №6. Решение однокритериальной статической задачи в условиях неопределенности
при играх с противником .......................................................................................................................................... 67
Игры с природой. ....................................................................................................................................................... 70
Лабораторная работа №7. Решение однокритериальной статической задачи в условиях неопределенности
при играх с природой................................................................................................................................................. 71
Игры с природой с экспериментами. ....................................................................................................................... 74
Лабораторная работа №8. Решение однокритериальной статической задачи в условиях неопределенности
при играх с природой с экспериментами ................................................................................................................. 77
2.6.
Многокритериальные задачи ...................................................................................................................... 80
Лабораторная работа №9. Решение многокритериальной задачи ......................................................................... 84
2.7.
Динамические задачи разработки управленческого решения .............................................................. 86
Общая постановка динамической задачи разработки управленческого решения ............................................... 86
Метод сетевого планирования .................................................................................................................................. 88
Методы теории массового обслуживания ............................................................................................................... 90
Метод динамического программирования .............................................................................................................. 92
Задача управления запасами ..................................................................................................................................... 94
Методы вариационного исчисления и теории оптимального управления ........................................................... 97
Метод сведения дискретной динамической задачи к статической ....................................................................... 98
Лабораторная работа №10. Решение дискретной задачи разработки управленческого решения методом
сведения динамической задачи к статической ...................................................................................................... 100
2.8.
Рациональные решения .............................................................................................................................. 102
Общий алгоритм разработки управленческого решения ..................................................................................... 102
Нереализуемые оптимальные решения .................................................................................................................. 105
Разработка альтернатив для принятия рациональных решений .......................................................................... 105
2.9.
Экспертные методы ..................................................................................................................................... 108
Определение круга экспертов ................................................................................................................................. 108
Задачи, решаемые при проведении экспертизы .................................................................................................... 110
Разработка анкеты .................................................................................................................................................... 112
Разработка методов обработки результатов .......................................................................................................... 113
Проведение анкетирования, обработка и выдача результатов и принятие решения ......................................... 114
Литература ................................................................................................................................................................ 115
ПРИЛОЖЕНИЕ А. ПРИМЕР ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА ОТЧЕТА О ВЫПОЛНЕНИИ
ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ. ........................................................................................ 117
6
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТОВ О ВЫПОЛНЕНИИ ЛАБОРАТОРНЫХ
РАБОТ ............................................................................................................................ 118
Пример содержания отчета по лабораторной работе №2 «Решение однокритериальной статической задачи в
условиях определенности»...................................................................................................................................... 118
Пример содержания отчета по лабораторной работе №3 «Решение однокритериальной статической задачи в
условиях риска методом сведения стохастической задачи к детерминированной» .......................................... 124
Пример содержания отчета по лабораторной работе №4 «Решение однокритериальной статической задачи в
условиях риска алгоритмическим методом» ......................................................................................................... 126
Пример содержания отчета по лабораторной работе №5 «Решение однокритериальной статической задачи в
условиях риска методом Монте-Карло» ................................................................................................................ 128
Пример содержания отчета по лабораторной работе №6 «Решение однокритериальной статической задачи в
условиях неопределенности при играх с противником» ...................................................................................... 133
Пример содержания отчета по лабораторной работе №7 «Решение однокритериальной статической задачи в
условиях неопределенности при играх с природой» ............................................................................................ 136
Пример содержания отчета по лабораторной работе №8 «Решение однокритериальной статической задачи в
условиях неопределенности при играх с природой с экспериментами» ............................................................ 138
Пример содержания отчета по лабораторной работе №9 «Решение многокритериальной задачи» ................ 140
Пример содержания отчета по лабораторной работе №10 «Решение дискретной задачи разработки
управленческого решения методом сведения динамической задачи к статической» ....................................... 145
Предметный указатель ............................................................................................................................................ 151
7
Введение
Системы
поддержки
принятия
решения
представляют
собой
класс
информационных систем, предназначенных для решения управленческих задач.
Работа
таких
систем
позволяет
автоматизировать
процесс
разработки
управленческого решения за счет компьютерного поиска наилучшего варианта
решения, подбора необходимой информации, формализации уже имеющихся
знаний в предметной области и их использования в своих целях, решения задач
измерения, ранжирования и классификации. На сегодняшний день отсутствует
единый подход к классификации подобных систем. В основе настоящей работы
лежит один из возможных вариантов такой классификации, представленный на
рис. 1. В ее основе лежит разделение имеющихся знаний в рассматриваемой
области на теоретические и прикладные. Во многом такое деление оказывается
условным, поскольку развитие методов решения прикладных задач неизбежно
приводит и к развитию теоретической их составляющей. С другой стороны,
потребности практики обучения требуют систематизации уже имеющихся знаний и
использования их в практических задачах. Поэтому в учебно-методическом пособии
используется сочетание теоретической и практической составляющих используемой
классификации в рамках единой рубрикации.
Настоящее учебно-методическое пособие содержит только часть материала,
имеющего непосредственное отношение к системам поддержки принятия решения, а
именно
оптимальные
методы
и
теорию
принятия
решения.
Остальные
составляющие структуры рис. 1 будут описаны в последующих публикациях.
8
Системы
поддержки
принятия решений
Теоретическая
составляющая
Теория
искусственного
интеллекта
Математическая
статистика
Теория
принятия
решений
Теория
экспертного
оценивания
Прикладная
составляющая
Системы
экспертной
поддержки
Экспертные
системы
Системы
информационной
поддержки
Системы
управления
базами данных
Инженерия
знаний
OLAP оперативный
анализ данных
Data Mining интеллектуальн
ый анализ
данных
Модели и
методы анализа
данных
Поисковые
системы
Библиотечные
системы
Системы
модельной
поддержки
Оптимальные
методы
Методы
моделирования
Рис. 1. Используемая классификация систем поддержки принятия решения
9
1.
Оптимальные методы
Методы поиска экстремумов функций
1.1.
Экстремумом функции y  f (x) на интервале (a, b) называется наибольшее
или наименьшее значение функции относительно некоторой окрестности. Это
значение может отличаться от наибольшего или наименьшего значения на всей
области определения. Найти экстремум ymax – это значит найти такое значение
аргумента xmax , при котором функция имеет максимум или минимум (рис. 2).
y
ymax
a
b
xmax
x
Рис. 2. Экстремум функции на интервале определения
Традиционным методом поиска экстремума является дифференциальное
исчисление (метод И. Ньютона). Необходимым условием существования экстремума
дифференцируемой на интервале функции является равенство нулю первой ее
производной.
Соответствующая
Достаточным
условием
точка
существования
рассматривается
максимума
как
критическая.
дифференцируемой
на
интервале функции является отрицательное значение второй производной функции
в критической точке, а минимума - положительное значение второй производной.
Если вторая производная в рассматриваемой точке равна нулю, то экстремум не
существует, а критическая точка является точкой перегиба.
Предположим,
что
функция
изменяет
свое
значение
на
интервале
определения ( a, b) , но имеет экстремум вне интервала. Тогда возникает задача
поиска находящихся как раз на границах интервала максимального и минимального
10
значения функции (рис. 3). Отметим, что первая производная функции на границах
интервала определения в этом случае вовсе не обращается в нуль. Поэтому
использование традиционного метода поиска экстремума (метода И. Ньютона) в
данном случае оказывается невозможным.
y
ymax
a
b
xmax
x
Рис. 3. Экстремум на границе интервала определения
Функция
нескольких
дифференцируема
в
некой
переменных
точке
y  f x1 , x2 ,..., xn 
(полный
также
дифференциал).
может
Если
быть
функция
дифференцируема в некой точке, то существуют частные производные по каждой из
переменных,
причем
в
критической
точке
они
обращаются
в
нуль
f
f
f
 0,
 0, . . . ,
 0. (обратное не верно). В зависимости от конкретного вида
x1
x2
xn
функции y  f x1 , x2 ,..., xn  таких точек может быть ни одной, одна или несколько.
Существование критической точки является необходимым, но не достаточным
условием экстремума. Для его нахождения необходимо вычислить вторые чистые и
смешанные производные критериальной функции
2 f 2 f
2 f 2 f
2 f
2 f
2 f
2 f
,
, ... , 2 ,
,
, ... ,
,
, ... ,
.
x1xn x2 x3
xn1xn
x12 x22
xn x1x2 x1x3
Производная в некой точке по направлению может рассматриваться как
производная
сечения
многомерной
функции
плоскостью,
образованной
направлением и точкой. Вектор производных функции по каждой из координат в
некой точке называется градиентом функции в заданной точке, а сам метод поиска
экстремумов градиентным.
11
Достаточное условие существования локального экстремума формулируется
следующим образом [15]: пусть функция y  f x1 , x2 ,..., xn  имеет критическую точку
( x10 , x20 ,..., xn0 ), определяемую за счет вычисления выражений
f
f
f
 0,
 0, . . . ,
 0.
x1
x2
xn
Тогда, если дифференциал второго порядка


n
2 f
x i x j ,
j 1 x i x j
n
d 2 f x10 , x 20 ,..., x n0  
i 1
больше нуля, то функция y  f x1 , x 2 ,..., x n  имеет минимум, а если меньше нуля, то
функция y  f x1 , x 2 ,..., x n  имеет максимум при любых xi и x j , не обращающихся в
нуль одновременно. Если в зависимости от xi и x j значение дифференциала
может принимать и положительные, и отрицательные значения, то экстремума в
критической точке нет.
Если функция y  f x1 , x 2 ,..., x n  имеет несколько экстремумов, то их обычно
называют локальными. Наибольший их локальных максимумов или наименьший из
локальных минимумов называют глобальным.
В
качестве
примера
рассмотрим
функцию
двух
переменных
f ( x1, x2 )  x14  x24  x12  2 x1x2  x22 . Приравняем к нулю ее первые частные
производные
f
 4 x13  2 x1  2 x2  0,
x1
f
 4 x23  2 x1  2 x2  0.
x2
Вычитая из первого уравнения второе, имеем
4 x13  4 x23  0 , откуда x1  x2 .
Подставляя x1  x2 в выражения для частных производных, имеем 4 x13  4 x1  0 .
Получившееся уравнение имеет три решения: 0, 1, -1. Тогда критическими точками
являются f (0,0) , f (1,1) и f (1,1) .
Вторые частные производные имеет вид
2 f
2 f
2 f
2 f
 12, x12  2,
 2,
 2,
 12 x 22  2.
x1 x1
x1 x 2
x 2 x1
x 2 x 2
12
Следуя [6], «разумным» образом выберем комбинацию приращений x1 и x2
равными +1 и –1, поскольку такие значения соответствуют максимально возможному
диапазону изменения аргументов при переходе от одной критической точки к другой.
Результаты вычислений вторых частных производных и дифференциала второго
порядка при различных комбинациях x1 и x2 сведены в таблицу 1.
Как следует из таблицы 1, в критической точке (0,0) локального экстремума
нет. А вот в точках (1,1) и (-1,-1) имеют место локальные минимумы. Поскольку в
рассматриваемом примере значения критериальной функции в точках (1,1) и (-1,-1)
равны между собой, в качестве оптимального решения можно выбрать любое из
двух предложенных.
Таблица 1. Расчеты критических точек
Критическая
2 f
2 f
2 f
2 f
точка x10 , x 20 
x1 x1
(0,0)
x1 x 2
-2
(1,1)
-2
10
(-1,-1)
1.2.
x 2 x1
-2
x 2 x 2
-2
-2
-2
10

x1
x2
d 2 f x10 , x20
1
1
-8
-1
1
0
1
-1
0
-1
-1
8
1
1
16
-1
1
24
1
-1
24
-1
-1
16

f ( x10 , x 20 )
0
-2
Учет ограничений на значения переменных
Существенный вклад в математическую теорию экстремальных задач был
внесен Л.В. Канторовичем, впервые сформулировавшим и решившим задачу,
позднее
получившую
название
задачи
линейного
программирования.
Математическая постановка этой задачи сводится к поиску переменных, входящих в
выражение линейной критериальной функции и, в общем случае, в неограниченное
конечное количество дополнительных функций ограничений (тоже линейных),
которые в частности могут представлять собой неравенства. Дальнейшее развитие
идей
Л.В.
Канторовича
привело
к
появлению
теории
математического
программирования, расширившей класс используемых функций. Так в некоторых
13
случаях удается решать задачи с нелинейными критериальными функциями (задачи
квадратичного программирования, геометрического программирования и т. п.).
Отметим, что термин программирование в данном случае используется только как
название
математического
метода
и
непосредственного
отношения
к
программированию на ЭВМ не имеет.
Рассмотрим простейшую задачу математического программирования, у
которой имеется линейная целевая функция и линейные ограничения. Такая задача
называется задачей линейного программирования. Будем считать, что у этой задачи
имеется n переменных и m ограничений. Тогда целевая функция E ( X ) может быть
записана в виде:
n
E ( X )  c1 x1  c2 x2  ...  cn xn   c j x j  max (1)
j 1
Если по смыслу задачи целевая функция должна обращаться в минимум, то для
получения выражения (1) в ней достаточно поменять значения всех коэффициентов
ci на противоположные (  ci ).
Набор ограничений может быть записан в виде:
n

a
x

a
x

...

a
x

a1 j x j  b1 ,

1n n
 11 1 12 2
j 1

n

a
x

a
x

...

a
x

a 2 j x j  b2 ,
 21 1

22 2
2n n
(2)
j 1

. . . . . . . . . . . . . . . . .

n

a
x

a
x

...

a
x

a mj x j  bm .

m2 2
mn n
 m1 1
j 1

Тогда исходными данными (параметрами задачи) являются наборы коэффициентов
a ij , bi , c j , а ее решением – значения x j , удовлетворяющие выражениям (1, 2).
Кроме этого, в задачах, связанных с экономикой и менеджментом, обычно имеет
место набор дополнительных n ограничений
xi  0. Отметим, что параметры
задачи связанны со значениями решения xi выражениями вида
n
    i  i (3)
i 1
Оптимальное
программирования
решение
X  ( x1 , x2 ,..., xn )
рассматриваемой
представляет
14
собой
задачи
линейного
набор
переменных,
обеспечивающих максимум значения целевой функции E ( X ) . Отыскание этого
набора представляет собой математическую задачу, которая может быть решена
различными способами.
Задача
наглядную
линейного
программирования
геометрическую
интерпретацию.
при
n2
допускает
Например,
если
достаточно
задача
поиска
экстремума имеет вид
 E  x1  x 2  max,
2 x  x  6,
2
 1

 x1  x 2  3,
0,5 x  x  1,
1
2

 x1  x 2  2,
то
может
быть
найдено
ее
плоскостное
решение
(рис.
4). Здесь ребра
четырехугольника ABCD образуют область допустимых значений переменных,
заданную соответствующими ограничениями. Оптимальное решение может быть
найдено за счет перемещения графика целевой функции E  x1  x2 параллельно
самому себе до тех пор, пока он не пройдет через точку A . В этом случае
оптимальное решение является единственным. Если бы целевая функция имела
вид 2 x1  x2  max , то имело бы место бесконечное множество оптимальных
решений, лежащих на отрезке AB .
Распространенным методом решения задачи линейного программирования
является так называемый симплекс – метод. В его основе лежит так называемая
симплекс-таблица, которая составляется по определенным правилам исходя из
исходных данных задачи (1, 2). Доказано, что, производя последовательные
преобразования этой таблицы по определенным правилам, можно получить
оптимальное решение задачи линейного программирования [1].
В основе методов решения нелинейных задач с ограничениями лежит так
называемый метод Лагранжа. Наличие ограничения сужает возможности отыскания
экстремума. В этом случае, как правило, экстремум функции y  f x1 , x2 ,..., xn  не
совпадает с локальным экстремумом, определенным с помощью классического
метода и называется условным. Для решения подобных задач строится специальная
функция, обычно называемая функцией Лагранжа
15
m
L( x 2 , x 2 ,..., x n )  f ( x1 , x 2 , x n )    j g j ( x1 , x 2 ,..., x n ).
j 1
x2
11
9
 x1
 x2
2
7
5

0 ,5 x 1
A
3
x2 
1
D
B
C
1
-1
1
3
5
x1
-1

ma
x
6

x2
x1 
x2
2x 1
E
x1 
x2 
3
Рис. 4. Графическая интерпретация метода линейного программирования
В отличие от обычной функции y  f x1 , x2 ,..., xn  функция Лагранжа имеет
дополнительно m переменных  j по числу ограничений. Основная идея метода
сводится к отысканию экстремумов функции Лагранжа ранее рассмотренным
способом приравнивания к нулю частных производных. После отыскания локальных
экстремумов функции Лагранжа необходимо выбрать среди них те, которые
16
обеспечивают в зависимости от условия задачи наибольшее или наименьшее
значение функции y  f x1 , x2 ,..., xn  .
Набор множителей Лагранжа  j имеет определенный смысл, заключающийся
в том, что их значение определяет величину изменения оптимального решения в
зависимости от изменения соответствующего ограничения. Уравнения ограничений
могут быть записаны в виде неравенств, например:
g j ( x1 , x2 ,..., xn )  b j .
При решении таких задач приходится выполнять итеративную процедуру
отыскания
экстремума,
задавая
область
допустимых
значений
переменных
( x1 , x 2 ,..., x n ) . Экстремум целевой функции может достигаться в этом случае как
внутри области, так и на ее границе. Для построения области допустимых решений
следует записать уравнения линий уровня целевой функции – множество точек
плоскости, в которых целевая функция постоянна.
f ( x1 , x2 ,..., xn )  С.
Определив направление возрастания (убывания) целевой функции, построив,
например, линии уровня для разных значений C , линия уровня перемещается в
нужном направлении внутри области допустимых значений переменных с целью
отыскания наибольшего (наименьшего) значения.
1.3.
Использование Excel для поиска экстремумов
функций
Электронные таблицы Excel фирмы Microsoft имеют встроенные средства
решения задач поиска экстремума, оформленные в виде так называемой
надстройки. Перед началом работы надо убедиться в том, что в составе
сгенерированного на вашей ЭВМ пакета Excel требуемая надстройка установлена.
Для этого выберите режим Сервис главного меню и проверьте, есть ли в
открывшемся ниспадающем меню пункт Поиск решения (рис. 5). Если строка меню
Поиск решения отсутствует, то выберите пункт меню Сервис / Надстройки и в
открывшейся форме включите режим Поиск решения (рис. 6). Если и в этом окне
пункт Поиск решения отсутствует, то это означает, что на вашей машине
17
установлена сокращенная версия электронных таблиц и требуется переустановка
пакета Excel.
Надстройка Поиск решения (рис. 7) позволяет, задавая некоторую ячейку в
виде
целевой
(Установить
целевую
ячейку),
при
условии
обеспечения
зависимости результата вычислений в ней от значений некоторых изменяемых ячеек
(Изменяя ячейки) с учетом заданных ограничений (Ограничения) получить набор
переменных в изменяемых ячейках, обеспечивающий или максимальное, или
минимальное, или заданное значение целевой ячейки.
В качестве параметров режима (рис. 8) задаются методы поиска экстремума.
Так, при установке флажка Линейная модель надстройка ищет экстремум
симплекс-методом.
Флажок
Неотрицательные
значения
накладывает
дополнительное ограничение на значения переменных задачи. Его установка
эквивалентна введению ограничения x j  0 .
Примечание. Если флажок Линейная модель выключен, решение задачи ведется методом
Ньютона или градиентным с использованием прямых или центральных конечных разностей на
основе линейной или квадратичной оценки уменьшения приращения экстремума в зависимости от
установленных флажков. Эти методы позволяют, в частности, решать нелинейные и
целочисленные задачи поиска экстремумов.
Рис. 5. Пункт меню Поиск решения
18
Рис. 6. Включение надстройки Поиск решения
Режим
Автоматическое
масштабирование
позволяет
перейти
к
отображению данных в относительных единицах, а при установке флажка
Показывать результаты итераций включается пошаговый режим. Также к числу
параметров относится ограничение по времени процесса поиска решения в секундах
(Максимальное время) (максимально 32767) и количеству итераций (Предельное
число итераций). Вариант настройки параметров режима Поиск решения может
быть сохранен.
Примечание. Точность соответствия результата заданному значению (Относительная
погрешность), допустимого отклонения экстремума от оптимального значения при использовании
режима целочисленной математики (Допустимое отклонение), а также условие прекращения
поиска экстремума (Сходимость), задающее величину относительного приращения экстремума за
последние пять итераций относятся к параметрам, используемым при решении задачи методом
Ньютона или градиентным.
Рис. 7. Главная форма надстройки Поиск решения
Рассмотрим задачу линейного программирования (1,2), записанную в виде
целевой (критериальной) функции и набора ограничений, с конкретными числовыми
данными, полученными с помощью датчика случайных чисел.
19
 Е ( X )  9,20 x1  7,15 x 2  6,01x3  7,61x 4  max,

q1 ( X )  1,10 x1  6,09 x 2  6,56 x3  2,63x 4  30,52,
q 2 ( X )  7,08 x1  7,02 x 2  8,95 x3  5,93x 4  51,11,

q 3 ( X )  1,45 x1  7,49 x 2  6,51x3  9,56 x 4  31,23,
q ( X )  9,81x  9,60 x  9,14 x  4,91x  26,28,
1
2
3
4
 4
q 5 ( X )  1,44 x1  3,38 x 2  3,06 x3  8,15 x 4  39,40, (4)
q ( X )  7,42 x  1,92 x  3,66 x  2,03x  57,47,
1
2
3
4
 6
q 7 ( X )  9,83 x1  2,22 x 2  8,62 x3  5,82 x 4  53,61,

q8 ( X )  6,78 x1  5,43x 2  5,19 x3  1,07 x 4  44,30,
q 9 ( X )  6,36 x1  5,14 x 2  3,81x3  1,13x 4  84,54,

 x j  0.
На рис. 9 изображен рабочий лист Excel с данными задачи (4). Для всех ячеек,
предназначенных для хранения данных, был задан числовой формат с двумя
знаками после запятой режимом Формат/Ячейки…/Число. Матрица aij размещена
в диапазоне ячеек B8:E16. Значения ограничений bi находятся в диапазоне ячеек
G8:G16. Весовые коэффициенты целевой функции c j занесены в диапазон ячеек
B5:E5. Кроме этого, для хранения переменных x j зарезервирован диапазон ячеек
B3:E3. Значения x j предварительно были обнулены, однако это не является
обязательным, поскольку система может начать поиск экстремума с любой
начальной комбинации. Очевидно, что в данном случае m  9 , n  4 .
Рис. 8. Параметры надстройки Поиск решения
Выражение (3) представляет собой ничто иное, как сумму N попарных
произведений некоторых наборов чисел, которые должны быть заданы в табличной
форме или рассчитаны средствами пакета Excel. Рассчитаем значение целевой
20
функции E ( X ) в ячейке F5. Ее программирование сводится к заданию выражения
типа (3), которое можно рассчитать непосредственно на основе формулы Excel
=B3*B5+C3*C5+D3*D5+E3*E5. Тем не менее, по ряду причин, более удобно
воспользоваться встроенной функцией СУММПРОИЗВ(B5:E5;$B$3:$E$3), которая
автоматически определяет количество слагаемых n и дает результат вычислений в
соответствии с (3). Использование абсолютного формата записи диапазона ячеек,
используемого для хранения x j , не является обязательным, однако удобно для
последующих действий, которые могут выполняться способом копирования.
Выражения, определяющие расход ресурсов qi (X ) программируются в ячейки
F8, F9,…, F16 аналогично предыдущему с той только разницей, что в качестве
первого аргумента функции СУММПРОИЗВ() выступает соответствующая строка
матрицы aij , а второй аргумент по-прежнему есть диапазон ячеек B3:E3, заданный в
абсолютом формате и используемый для хранения переменных x j .
Примечание. Остальная информация, нанесенная на рабочий лист (рис. 9), используется для
пояснения принципа размещения данных. Она представляет собой либо текстовые строки,
записанные в определенные ячейки, либо внедренные объекты и носит вспомогательный
характер. Поэтому при повторении примера на ЭВМ она может быть опущена.
Рис. 9. Вариант размещения данных на рабочем листе
Выполненные
ранее
в
операции
(заполнение
таблиц
данными
и
программирование формул) позволяют полностью подготовиться собственно к
решению
задачи
оптимизации.
Теперь
нам
необходимо
вызвать
режим
Сервис/Поиск решения. В открывшейся главной форме меню режима Поиск
21
решения (рис. 7) надо указать адрес нашей целевой ячейки F5 и проверить или
задать тип экстремума (в нашем случае Установить целевую ячейку равной
максимальному значению). В окне Изменяя ячейки задаем адреса ячеек
переменных X  ( x1 , x 2 ,...x n ) (в нашем случае B3:F3). Нажав кнопку Добавить в
открывшейся таблице (рис. 10) Добавление ограничения в поле Ссылка на ячейку
вводим
адреса
левых
частей
неравенств
(2)
(в
нашем
случае
F8:F16).
Устанавливаем (сохраняем) требуемые знаки неравенств (в нашем случае
 ).
Войдя в окно Ограничение, задаем адреса ячеек, содержащих значения bi (в нашем
случае G8:G16). Нажав кнопку Параметры, в открывшейся таблице (рис. 8) задаем
режим Линейная модель и Неотрицательные значения, после чего нажимаем
кнопку OK. Результат этих действий отображен на рис11.
Нажимаем кнопку Выполнить и получаем решение задачи, показанное на рис. 12. В
результате выполнения команды Поиск решения в таблице Результаты поиска
решения могут быть выданы следующие диагностические сообщения:
Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности
выполнены (имеет место в рассматриваемом случае).
Поиск не может найти подходящего решения.
Значения целевой ячейки не сходятся.
Если решение найдено, то на рабочем листе Excel в изменяемых ячейках
находятся значения переменных x i (в нашем случае 1,13; 0,00; 0,00; 3,10),
обеспечивающие максимальное значение целевой функции (в нашем случае 33,95).
Для сохранения результатов вычислений на рабочем листе необходимо выбрать
пункт Сохранить найденное решение.
Если в результате решения задачи оптимизации выдается сообщение Поиск
не может найти подходящего решения, то это означает, что условия задачи
несовместны,
т.
е.
не
существует
такого
набора
значений
переменных
X  ( x1 , x 2 ,...x n ) , который удовлетворял бы имеющимся ограничениям.
Диагностическое сообщение Значения целевой ячейки не сходятся выдается
Excel в том случае, когда при поиске максимума целевой функции область
допустимых значений целевой функции не ограничена сверху (целевая функция
возрастает неограниченно). Для устранения этой причины целесообразно увеличить
количество ограничений на значения переменных.
22
Рис. 10. Добавление ограничений
Рис. 11. Подготовленная к решению задача линейного программирования
По результатам решения в случае установки режима Линейная модель
(симплекс-метод) могут быть представлены три типа отчетов: по результатам, по
устойчивости и по пределам. Если они требуются, то в меню результаты поиска
решения в окне Тип отчета (рис. 12) необходимо выделить соответствующие строки.
23
Отчет по результатам (рис. 13) содержит начальные (Исходно) и конечные
(Результат) значения целевой функции и изменяемых ячеек, а также сводку
результатов использования ресурсов. В этой сводке в столбце Статус символами
связанное или несвязанное обозначаются соответственно полное или неполное
использование соответствующего ресурса. В рассматриваемом примере полностью
израсходованы Ресурс 3 и Ресурс 4.
Рис. 12. Результат решения задачи линейного программирования
Отчет по устойчивости (рис. 14) показывает значения нормированной
стоимости оценок (Нормир. стоимость), определяющих насколько изменится
целевая функция при принудительном включении в план единицы продукции. Кроме
этого в отчете содержатся величины использованных ресурсов (Результ. значение),
их теневые цены, показывающие насколько изменится целевая функция при
увеличении соответствующего ресурса на единицу, а также используемые значения
ограничений. Колонки Допустимое увеличение (уменьшение) задают диапазон
изменения значений переменных и ограничений, сохраняющих общую структуру
решения задачи.
24
Рис. 13. Отчет по результатам
Рис. 14. Отчет по устойчивости
Отчет по пределам (рис. 15) показывает возможный диапазон изменения
значений переменных, сохраняющий структуру оптимального решения, а также
получающиеся в этом случае значения целевой функции.
25
Примечание. Конкретные реализации состава таблиц отчетов по пределам и устойчивости могут
отличаться от приведенных выше.
Рис. 15. Отчет по пределам
Лабораторная работа №1. Методы поиска экстремумов с помощью
надстройки Поиск решения пакета Excel
Задание
Установите у себя на машине надстройку Поиск решения и научитесь решать
задачи поиска экстремума с ее помощью.
Порядок выполнения работы
1. Создайте новую рабочую книгу Excel.
2. Убедитесь, что в вашей рабочей книге в пункте главного меню Сервис
имеется пункт Поиск решения (рис. 5). Если он отсутствует, то выберите
пункт меню Сервис / Надстройки и в открывшемся окне включите режим
Поиск решения (рис. 6). Если и в этом окне пункт Поиск решения
отсутствует, то это означает, что на вашей машине установлена сокращенная
версия электронных таблиц, поэтому произведите установку пакета Excel
заново.
3. Возьмите
в
качестве
основы
для
решения
задачу
линейного
программирования (1, 2). Для задания значений параметров используйте (4).
26
Задайтесь количеством неизвестных вашей задачи n и выделите на рабочем
листе Excel группу смежных ячеек для хранения x j . Обнулите эти ячейки.
4. Выберите на рабочем листе группу свободных смежных ячеек для хранения
коэффициентов ci . Задайтесь значениями коэффициентов ci из (4) и занесите
их в соответствующие ячейки.
5. Выберите на рабочем листе свободную ячейку для хранения результатов
вычисления
целевой
функции
(1).
Воспользовавшись
функцией
СУММПРОИЗВ(), запрограммируйте в выбранной ячейке формулу для
вычисления значения целевой функции. Меняя данные в ячейках
xj ,
убедитесь в правильности прогаммирования целевой функции.
6. Выберите
на
рабочем
листе
группу
смежных
ячеек
для
хранения
коэффициентов a ij . Задайтесь значениями коэффициентов a ij из (4) и
занесите их в соответствующие ячейки.
7. Выделите на рабочем листе группу свободных смежных ячеек для хранения
коэффициентов bi . Задайтесь значениями коэффициентов bi из (4) и занесите
их в соответствующие ячейки.
8. Выберите на рабочем листе группу свободных смежных ячеек для хранения
результатов вычисления сумм
n

a
x

a
x

...

a
x

a1 j x j ,

1n n
 11 1 12 2
j 1

n

a
x

a
x

...

a
x

a2 j x j ,
 21 1

22 2
2n n
(5).
j 1

. . . . . . . . . . . . . . . . .

n

a
x

a
x

...

a
x

amj x j .

m2 2
mn n
 m1 1
j 1

9. Воспользовавшись функцией СУММПРОИЗВ(), рассчитайте в выбранных
вами ячейках значения (5). Меняя данные в ячейках x j , убедитесь в
правильности вычисления (5).
10. Выполните команду Сервис / Надстройки / Поиск решения и в открывшейся
форме Поиск решения в поле Установить целевую ячейку укажите ячейку,
в которой рассчитывается целевая функция (см. шаг 5). В окне Изменяя
ячейки укажите область, в которой размещены управляемые переменные
27
X  ( x1 , x2 ,...xn ) (см. шаг 3). В поле Ограничения нажмите кнопку Добавить, и
в открывшейся форме Добавление ограничений в поле Ссылка на ячейку
укажите адреса ячеек, созданных на шагах 8 и 9. В среднем окне задайте вид
ограничения. В окно Ограничения занесите адреса ячеек, в которых
размещаются коэффициенты bi (см. шаг 7). Закройте форму Добавление
ограничений и убедитесь, что введенные вами ограничения появились в
области Ограничения на панели Поиск решения.
11. Нажмите кнопку Параметры и перейдите к форме Параметры поиска
решения.
Ознакомьтесь
Установите
флажок
с
настройками
Неотрицательные
параметров
значения.
по
умолчанию.
Установите
другие
значения параметров по своему усмотрению. Вернитесь в окно Поиск
решения.
12. Нажмите кнопку Выполнить и получите результат работы надстройки. Если
вы
получаете
диагностическое
сообщение
Решение
найдено.
Все
ограничения и условия оптимальности выполнены, то закажите все
предлагаемые отчеты. Ознакомьтесь с их содержанием и убедитесь, что
результаты вычислений совпадают с результатами, представленными на
рис. 13, 14, 15. Если вы получаете другое диагностическое сообщение или
другие
результаты
оптимизации,
то ищите
ошибку программирования
надстройки Поиск решения или задания исходных данных и повторите
решение задачи и генерацию отчетов.
13. По
согласованию
индивидуальное
с
преподавателем
задание
на
выберите
вычисление
себе
из
таблицы 2
экстремума.
Выполните
программирование и получите решение. Убедитесь, что вычисленное вами
значение целевой ячейки совпадает со значением E , указанным в таблице 2.
Ознакомьтесь с отчетами, генерируемыми системой.
14. Вернитесь к программируемой задаче. На панели Поиск решения в поле
Ограничения
нажмите
кнопку
Изменить
и
на
форме
Добавление
ограничений для выбранных вами параметров задайте дополнительное
ограничение
Целое.
Сравните
первоначальные
результаты в работы в целочисленном режиме.
28
результаты
работы
и
Контрольные вопросы
1. Какие методы поиска экстремумов существуют?
2. Почему при решении задачи Канторовича нельзя воспользоваться методом
Ньютона?
3. Что такое целевая функция?
4. В чем разница между линейными и нелинейными задачами?
5. Почему количество ограничений задачи не связано с количеством ее
переменных?
6. Каково назначение надстройки Поиск решения?
7. Какой смысл флажка Неотрицательные значения формы Параметры
поиска решения?
8. Какой смысл флажка Линейная модель формы Параметры поиска
решения?
9. Какой смысл параметра ограничения Целое?
10. Что означает статус Связанное в отчете по результатам?
Отчет о работе
Подготовьте
отчет о
выполненной лабораторной работе.
Он должен
содержать титульный лист, формулировку задания, пример результатов вычислений
экстремума,
результаты
решения
индивидуального
задания
из
таблицы
2,
результаты исследования решения задачи в зависимости от различных вариантов
установки ограничения Целое. Сформулируйте выводы, которые можно сделать по
результатам выполненной работы.
Вариант титульного листа отчета, какой он был в 2007-2008 учебном году,
приведен в приложении А. С действующим вариантом титульного листа можно
ознакомиться на http://standarts.guap.ru
29
Вариант
Таблица 2. Индивидуальные задания на вычисление экстремумов функций.
c1
c 2 с3 с 4 с5 с 6 a11 a12 a13 a14 a15 a16
b1 a11 a12 a13 a14 a15 a16
b1 a11 a12 a13 a14 a15 a16 b1
E
1
7,5 20,7 25,2 48,7 43,1 58,6 38,2 10,1 59,6 89,9 88,5 95,8 478,7 35,0 51,3 59,7 61,7 27,1 9,3 716,2 29,7 87,0 87,5 91,4 46,8 79,5 643,8 338,3
2
76,5 51,9 15,3 6,1 45,7 57,5 1,5 40,7 86,3 13,9 24,5 4,5 347,0 0,2 47,3 97,9 65,4 70,4 87,0 472,8 34,4 9,7 15,3 0,3 2,1 90,7 888,2 2263,5
3
18,7 51,5 8,9 0,9 69,4 37,2 3,2 16,4 22,0 1,7 28,5 34,3 414,4 30,5 5,2 61,0 16,9 42,1 49,6 288,7 99,6 28,4 86,4 95,7 18,3 49,6 774,8 1306,0
4
42,3 6,2 6,6 41,7 57,3 60,8 55,4 35,7 37,2 35,6 91,0 46,6 778,5 41,8 79,4 97,9 75,8 11,3 39,6 599,2 55,7 94,5 87,4 90,0 60,3 99,1 962,5 696,2
5
77,5 31,9 15,7 14,2 6,3 76,7 42,6 30,4 97,6 80,7 99,1 25,6 737,3 73,8 93,1 81,8 89,0 57,5 0,3 848,1 31,4 43,8 62,8 35,8 80,1 47,1 237,8 587,3
6
34,0 83,8 19,8 51,1 1,0 94,6 95,2 5,3 70,5 81,7 97,3 46,6 959,0 19,9 89,4 30,6 3,8 4,6 59,4 696,6 29,4 33,5 14,6 0,9 72,4 57,6 255,3 1187,7
7
88,0 95,8 50,5 11,3 3,4 17,4 30,0 75,0 35,1 77,6 7,4 19,8 744,9 20,1 23,9 20,6 57,5 61,6 68,1 456,6 80,2 97,1 86,5 66,0 29,2 49,2 95,6 105,0
8
77,6 42,6 68,2 66,0 51,3 50,5 6,4 35,8 48,7 51,1 37,3 98,6 297,3 51,5 65,1 64,6 98,5 89,3 21,1 485,4 66,3 16,5 12,5 83,3 49,0 2,7 126,0 469,3
9
37,4 47,3 18,9 3,0 47,6 1,2 4,1 23,1 0,5 92,6 10,0 25,7 620,5 19,6 73,0 24,3 12,8 37,9 86,3 294,2 82,7 89,4 70,6 48,2 25,9 89,1 190,5 350,3
10
70,5 67,4 4,7 17,4 73,7 83,7 77,6 68,0 80,9 72,4 8,5 13,2 77,9 33,5 75,5 66,4 91,1 30,4 3,6 216,8 76,7 35,2 87,6 20,4 79,7 96,8 600,0 557,1
11
89,6 46,3 35,7 62,0 95,7 29,7 75,6 62,7 17,4 40,5 55,2 71,2 818,5 65,1 25,9 94,2 27,6 90,5 27,9 798,1 7,9 94,6 1,3 51,1 32,0 27,0 853,8 1300,8
12
60,6 17,2 22,1 20,8 43,5 70,1 55,5 18,1 97,0 68,7 52,9 79,7 576,3 41,8 58,4 74,0 60,5 60,4 53,2 319,6 92,4 5,0 11,6 95,7 69,7 5,8 274,2 436,3
13
61,5 55,3 0,4 48,7 65,6 86,4 80,6 26,2 17,8 86,7 11,5 6,0 911,3 37,0 31,2 64,8 6,1 31,5 29,6 523,2 62,5 30,6 60,9 68,3 94,9 86,1 82,2 148,9
14
71,4 16,8 46,2 57,9 30,5 55,9 76,2 73,8 98,6 92,6 90,4 54,5 941,5 95,8 15,8 50,2 63,8 24,4 34,1 415,9 98,5 57,3 80,2 1,6 52,2 50,6 105,5 425,2
15
92,9 70,8 97,6 83,9 8,7 51,4 50,1 67,5 49,0 14,6 3,8 79,6 663,1 92,0 21,8 78,9 48,3 28,7 37,9 302,5 72,8 0,9 42,0 63,7 48,9 35,4 226,4 835,7
16
57,3 46,2 34,5 97,1 5,9 26,5 67,2 73,2 58,5 15,2 89,2 37,8 809,5 59,0 0,6 58,9 90,9 54,0 97,1 221,2 21,5 62,7 81,6 23,5 72,0 42,9 193,6 335,5
30
Вариант
c1
c 2 с3 с 4 с5 с 6 a11 a12 a13 a14 a15 a16
b1 a11 a12 a13 a14 a15 a16
b1 a11 a12 a13 a14 a15 a16 b1
E
17
78,5 99,3 38,8 77,0 16,2 44,8 20,0 20,6 33,4 32,5 30,0 80,2 694,1 93,1 12,7 29,0 10,5 58,6 35,1 410,8 15,4 89,6 99,0 3,6 56,2 55,0 96,3 1688,8
18
18,8 76,8 65,8 50,0 38,3 23,4 69,6 27,1 90,4 3,9 70,9 45,4 796,5 96,5 28,8 65,9 54,0 37,7 53,2 461,6 70,4 94,6 43,4 85,1 88,4 63,9 91,8 139,2
19
96,3 61,5 59,0 30,9 88,2 44,9 51,7 25,7 29,1 80,2 78,9 67,6 536,2 26,7 37,2 89,6 99,2 64,1 56,3 581,2 19,0 45,3 34,5 85,3 58,6 68,4 144,8 735,6
20
88,2 23,4 24,5 24,7 14,8 84,4 75,5 94,9 61,9 72,2 96,8 36,9 728,6 64,0 2,7 6,5 68,4 13,3 85,3 515,8 78,7 91,8 82,2 87,6 94,3 95,6 917,6 744,6
21
30,1 37,3 39,8 75,7 80,4 75,4 85,0 55,7 87,3 44,1 21,8 85,9 760,4 4,3 27,9 8,7 81,1 61,2 54,6 4,9
22
28,9 4,5 68,1 48,1 74,1 59,2 28,0 70,3 70,7 37,6 33,0 8,6 808,3 47,2 79,0 20,4 38,0 52,2 83,2 638,4 42,7 30,0 26,5 28,8 97,0 63,9 237,5 610,7
23
77,9 2,6 82,2 35,7 92,8 32,1 97,7 28,6 53,4 40,7 99,8 89,5 823,6 96,7 4,4 84,1 44,1 93,6 26,3 995,2 7,3 20,0 78,3 88,7 28,0 69,3 753,5 981,7
24
88,5 79,0 28,8 65,2 74,1 6,4 81,1 90,9 57,5 70,6 40,1 11,1 32,5 25,4 65,0 98,6 0,6 57,5 35,2 973,7 4,4 61,5 35,0 34,9 59,9 3,1 971,9 60,0
25
51,9 77,9 15,2 29,1 57,2 57,0 89,7 38,6 9,6 77,8 78,4 66,6 945,7 94,7 75,6 93,0 94,0 80,8 53,4 932,2 93,5 87,7 81,5 2,7 86,6 77,3 296,8 460,6
Примечание. Для всех ограничений предполагается знак
7,2 37,3 67,3 21,3 62,4 75,2 153,1 34,4
 . Сами оптимальные решения X  ( x1 , x2 ,..., xn ) не представлены. Для контроля
правильности ваших вычислений используйте значение целевой функции
E(X ) .
31
2.
Теория принятия решений
Основные понятия теории принятия решений
2.1.
В основе теории принятия решений лежит понятие проблемы. Большая
Советская Энциклопедия (БСЭ) дает следующее определение понятия проблема:
«Проблема (от греч. рroblema – задача), в широком смысле сложный теоретический
или
практический
вопрос,
требующий
изучения,
разрешения,
в
науке
–
противоречивая ситуация, выступающая в виде противоположных позиций в
объяснении каких либо явлений, объектов, процессов и требующая адекватной
теории для их разрешения. Важной предпосылкой успешного решения проблемы
служит
ее
правильная
постановка.
Неверно
поставленная
проблема
или
псевдопроблема уводит в сторону от решения подлинных проблем».
В учебнике по разработке управленческих решений [2] дается с одной стороны
более узкое, а с другой стороны более точное определение этого понятия:
«Проблема - понятие, характеризующее разницу между действительным и
желаемым состоянием объекта». Применительно к задачам нашего изложения мы
рассматриваем понятие проблемы в следующем виде: проблема - субъективно
сформулированное описание ситуации, в которой имеется расхождение между
действительным и желаемым состоянием объекта и разрешение которой позволяет
получить некий эффект
При разрешении проблемы преследуется некая цель. Цель - это один из
элементов
поведения
и
сознательной
деятельности
человека,
который
характеризует предвосхищение в мышлении результата деятельности и пути его
реализации с помощью определенных средств. Цель выступает как способ
интеграции различных действий человека в некоторую последовательность или
систему. Анализ деятельности как целенаправленной предполагает выявление
несоответствия между наличной жизненной ситуацией и целью, то есть выявление
проблемы. Достижение цели является процессом преодоления этого несоответствия
и разрешения проблемы с получением эффекта.
Предполагается, что цель или цели недвусмысленно сформулированы, имеют
сроки исполнения, мотивируют действия исполнителя в необходимом направлении и
совместимы
с
интересами
организации
32
и
отдельных
групп
исполнителей.
Официальные цели определяют общее назначение организации, декларируются в
уставе,
а
также
заявляются
публично
руководителем.
Они
объясняют
необходимость организации для общества, имеют внешнюю направленность и
выполняют важную защитную функцию, создавая организации соответствующий
имидж. Оперативные цели определяют, чем на самом деле в текущий период
занимается организация, и могут не полностью совпадать с официальными целями.
Такие цели имеют внутреннюю направленность и призваны мобилизовать ресурсы
организации. Формой их выражения может быть план работы.
Операционные цели еще более конкретны и измеряемы. Они направляют
деятельность конкретных работников и позволяют давать оценку их работе. Такие
цели
формулируются
в
виде
конкретных
заданий
отдельным
группам
и
исполнителям. Именно операционные цели легче всего формализуются и их
достижение точнее всего фиксируется. В соответствии с БСЭ «операция (от лат.
оperatio – действие), 1)законченное действие или ряд действий, направленное на
решение определенной задачи, достижение поставленной цели, … 2)очередное
периодически повторяющееся действие, входящее в круг функций, задач данного
учреждения, предприятия или их отдела …».
Степень достижения цели операции удобно измерять критерием. По
определению БСЭ «критерий (от греч. kriterion – средство для суждения), признак,
на основании которого производится оценка, определение или классификация чеголибо; мерило суждения, оценки». Существуют и другие, более точные определения
критерия. Так, в соответствии с [3], «критерием называется математическое
выражение цели». Еще одно определение дается в книге [4]: «под критерием будем
понимать
некоторую
функцию
от
состояния
системы,
отражающую
цели
функционирования системы в каждый определенный отрезок времени». Фактически
критерий представляет собой некую математическую функцию, в том числе и
функцию времени, значения которой могут быть вычислены. Очевидно, что далеко
не для каждой цели можно подобрать математический критерий. С другой стороны,
если такой критерий существует, то его величина характеризует степень достижения
этой самой цели.
В
теории
принятия
решений
принято
оперировать
так
называемыми
альтернативами. По определению БСЭ «альтернатива (от лат. alter – один из
двух), ситуация, в которой надлежит произвести выбор одной из двух исключающих
33
друг
друга
возможностей
(эти
возможности
также
нередко
называются
альтернативами) …». Тем не менее, количество альтернатив может быть и большим
двух. Обычно в теории принятий решений оперируют таким определением:
«Альтернатива - вариант решения задачи разработки управленческого решения».
Таких вариантов может быть два, несколько или бесконечное количество. Таким
образом, под решением понимается выбор альтернативы. С другой стороны, если
альтернатива одна, то решение принимать не надо, поскольку выбор отсутствует.
Выбор альтернативы можно производить по самым разным правилам.
Наибольший интерес представляет альтернатива, которая обеспечивает наилучшее
значение критерия. Очевидно, что это решение соответствует максимуму или
минимуму критериальной функции. Для обозначения такого решения обычно
используют термин оптимальное. В соответствии с БСЭ «оптимальный (от лат.
optimus- наилучший), наиболее благоприятный, лучший из возможных (напр., О.
решение)». Тогда оптимальное решение - альтернатива, которая обеспечивает
максимум критерия (критериальной функции) из числа всех возможных. Факт
существования оптимального решения надо доказать. Это можно сделать,
например, воспользовавшись ранее рассмотренными методами поиска экстремумов
функций.
Оптимальные решения на практике достаточно редки. Это объясняется в
первую очередь объективными сложностями записи выражений критериальных
функций как функций аргументов и параметров решаемой задачи. В некоторых
случаях это сделать просто невозможно, а в некоторых возникают проблемы с
решением
задачи
поиска
экстремума.
Поэтому
достаточно
часто
практики
сталкиваются с необходимостью выбора из конечного набора альтернатив,
полученных самыми разными способами. Делать этот выбор можно разными
методами.
Наиболее
логичным
и
разумным
представляется
выбор
той
альтернативы из числа имеющихся, которая обеспечивает наилучшее значение
критериальной функции.
В соответствии с БСЭ «рационализм (франц. rationalisme, от лат. ratkmalis разумный, ratio - разум), филос. направление, признающее разум основой познания
и поведения людей». Если делается разумный выбор, то возникает так называемое
рациональное решение - альтернатива, которая обеспечивает максимум критерия
(критериальной функции) из числа всех найденных. В отличие от оптимального
34
решения, рациональное решение может быть улучшено, если каким-либо способом
будет найдена альтернатива, обеспечивающая лучшее значение критериальной
функции.
Кроме рационального может существовать еще большое количество других
методов
выбора
вариантов
решений.
Очевидно,
что
любой
отличный
от
рационального метод выбора альтернативы не может обеспечить значение
критериальной функции лучшее, чем имеет место при рациональном и, тем более,
оптимальном решении. Мотивы, побуждающие людей делать нерациональный
выбор, могут быть самыми разными. Не вдаваясь в детали, будем называть
нерациональные решения случайными.
Математическая классификация задач разработки
2.2.
управленческого решения
Классификация задачи разработки управленческого решения представляет
собой процедуру ее анализа с выделением существенных классифицирующих
признаков. В
литературе,
в
частности
в
[13],
предложен
большой
набор
классифицирующих признаков. К их числу относятся:

природа и специфика способа воздействия на объект управления: решения
политические,
экономические,
технические,
конструкторские,
технологические и т.п.;

объект решения: ориентированные на цель (постановочные) или на средства
или
структурные
(основополагающие)
решения
или
процессуальные
(ситуационные) решения;

надежность исходной информации;

связь
с
планирующей
иерархией:
стратегические,
тактические
и
оперативные решения;

повторяемость:
одноразовые,
случайные
решения,
повторяющиеся
решения;

достаточность: общие и специализированные решения;

вид процесса принятия решения: объединенные и последовательные
решения;
35

количество решений, встречающихся в процессе процедуры принятия
решения:
статические
и
динамические,
одноступенчатые
и
многоступенчатые;

лицо, принимающее решение: единоличные, индивидуальные, групповые,
коллективные решения;

организационное
распределение
решений:
централизованные
и
децентрализованные решения;

взаимная зависимость - независимость;

автономные и дополняющие друг друга решения;

учет изменения данных: жесткие и гибкие решения;

эффективность: неэффективные, рациональные, оптимальные решения;

приемлемость последствий: приемлемые и неприемлемые для объектов
управления и (или) внешней среды;

возможность реализации: реализуемые и нереализуемые ;

степень риска: допустимый, критический, катастрофический риски;

ответственность: юридическая (уголовная или гражданская), социальная,
моральная;

объект управления: система (системотехнические решения) и процесс
(исследование операций);

характер эффективности использования ресурсов и технологий: ординарные
(обычные), синергические или асинергические.
Очевидно, что приведенный перечень далеко не полон и может пополняться при
дальнейшем развитии теории менеджмента и принятия решения. Приведенная
классификация позволяет определенным образом структурировать практические
задачи и унифицировать методы их решения. Однако приведенный перечень
классификационных
признаков
вряд
ли
когда-то
будет
полностью
описан
соответствующими математическими выражениями.
В то же время, для создания компьютерных систем поддержки принятия решения
необходим математически формализованный подход к видам управленческих задач.
Определенную ясность в этот вопрос вносят естественнонаучные дисциплины,
расширение методов которых на другие области знаний позволяет создать методику
разработки управленческого решения [14]. В этом смысле чрезвычайно полезной
36
оказывается классификация, предложенная в работе [3], где вводятся (рис. 16)
следующие классифицирующие признаки:

количество критериев: однокритериальные и многокритериальные;

зависимость параметров от времени: статические и динамические;

уровень данных: определенность, риск, неопределенность.
Указанная классификация, распространяясь на большинство возможных
видов задач разработки решений, позволяет относительно несложно отыскать
раздел математической теории, использование которого позволило бы грамотно
решить
соответствующую
задачу.
Отметим,
что
классификация
рис. 16
предусматривает целую палитру математических методов, общие названия которых
также приведены на рис. 16 в нижнем ярусе иерархии.
При решении практических задач следует учесть, что универсальным
методом, пригодным для всех случаев жизни, являются экспертные процедуры.
Люди интуитивно пришли к этому методу, собирая старейшин, организуя вече, думы,
конгрессы, советы и другие органы для решения важных вопросов своей жизни.
Много усилий было положено и на разработку способов обработки мнений,
высказанных экспертами, уточнения процедур голосования и т.п. Родившись
первоначально как чисто эмпирическое мероприятие, экспертные процедуры стали
пополняться строгим математическим содержанием, позволяющим, в том числе,
определить степень компетентности или пристрастия эксперта, уточнить результаты
экспертизы по предварительным итогам и т.п. Являясь внешне очень простым и
естественным методом, экспертные процедуры могут использоваться для решения
любых задач разработки управленческого решения, то есть по существу становятся
универсальным инструментом исследователя, выручающим его всякий раз, когда
ему неизвестно, что делать. Основным недостатком экспертных процедур является
принципиальная невозможность получения на их основе оптимального решения.
Невозможно доказать, что принятое в результате экспертизы решение является
наилучшим или (что одно и тоже) нет решения данного вопроса лучшего, чем
принятое.
Разработке оптимальных решений посвящено большое число математических
методов, в частности перечисленных на рис. 16. Их изучение позволяет получить
решения более высокого качества, чем даваемое экспертными процедурами. В то
же время на математические решения накладывается большое число ограничений,
37
что часто существенно сужает возможности решения задачи, а в некоторых случаях
делает их решение невозможным. Искусство исследователя, разрабатывающего
управленческое решение, заключается в правильном выборе модели решаемой
задачи и, как следствие метода ее решения.
При изучении дисциплины предлагается первоначально идти обратным путем:
из всего множества реальных или возможных задач разработки управленческого
решения
сначала
выделить
оптимальные
задачи,
решаемые
наиболее
исследованными математическими методами. На примере таких задач можно
изучить методологию их постановки и формулирования, освоить методы их
решения, и на этой базе расширять круг возможных задач и методов решения,
доходя в конечном итоге до задач в условиях неопределенностей концептуального
характера, то есть до задач, в которых отсутствуют выраженные цели, ограничения и
связи. Следует отметить, что специалист обязан уметь решать прямую задачу, то
есть классифицировать проблему в соответствии с предложенными признаками и
выбрать метод решения на основе результата классификации.
Однокритериальная статическая задача разработки
2.3.
управленческого решения в условиях определенности
Альтернативы в задачах экономики и менеджмента сводится к различным
вариантам использования ресурсов. К числу таких ресурсов можно отнести
материальные, финансовые, людские и время. Время относится к особой категории
ресурсов,
расходом
которых
управлять
невозможно.
Однокритериальная
статическая задача управленческого решения в условиях определенности – это
задача с набором из n независящих от времени контролируемых параметров
(параметров,
которыми
можно
управлять
в
интересах
решающего
задачу)
X  ( x1 , x2 ,..., xn ) ; набором из m не зависящих от времени ограничений
G  ( g1 , g 2 ,..., g m ) ; набором не зависящих от времени неконтролируемых параметров,
которые
определяются
(i  1,2,.., m) ,
условием
задачи
C  (c1 , c 2 ,..., c n ) ,
Ai  (a1i , a2i ,..., ani )
B  (b1 , b2 ,..., bm ) ; с одним не зависящим от времени критерием
E  E (C , X ) . Формальная математическая запись однокритериальной статической
задачи в условиях определенности имеет вид:
38
 E  E (C , X );
C  (c , c ,..., c );
1
2
n

 X  ( x1 , x2 ,..., xn );

 g i  g i ( Ai , X ), , bi ;
 Ai  (a1i , a2i ,..., ani );

(i  1,2,.., m).
Решение такой задачи – это одна из альтернатив X  ( x1 , x2 ,..., xn ) . Она может
быть выбрана случайно (случайное решение). Если набор таких альтернатив был
заранее разработан, то, выбирая наилучшую из них по значению критериальной
функции,
мы
имеем
рациональное
решение.
Наконец,
если
мы
можем
воспользоваться оптимальным методом, то метод и должен автоматически
определить наилучшую альтернативу X  ( x1 , x2 ,..., xn ) из числа возможных. В этом
случае будет обеспечено оптимальное (максимальное или минимальное) значение
критерия E  E (C , X ) при заданных значениях неконтролируемых параметров.
Очевидно, что случайные решения мало кого устраивают. При разработке
рациональных решений перед принятием решения (выбором альтернативы) нам
необходимо провести работу по разработке набора альтернатив, удовлетворяющих
ограничениям задачи. В зависимости от конкретной задачи для выполнения такой
работы нам может потребоваться достаточно много усилий, например, разработать
несколько альтернативных проектов. Очень часто так и приходится поступать. В то
же время, в нашем случае основной интерес представляет процесс выбора, а не
разработки альтернативы. Поэтому для лучшего понимания метода нам было бы
удобно генерировать альтернативы автоматически, что позволяют оптимальные
методы.
В
принципе,
мы
можем
воспользоваться
любым
известным
нам
оптимальным методом поиска экстремума функции. Поэтому для определенности
для
изучения
способов
управленческого
решения
решения
однокритериальной
воспользуемся
программирования.
39
статической
методами
задачи
математического
Задачи принятия
решения
Однокритериальные
В условиях
определенности
Математическое
программирование
В условиях риска
Математическое
программирование
Теория вероятности
Метод Монте-Карло
Экспертные
процедуры
Статические
Динамические
В условиях
неопределенности
В условиях
определенности
Теория
статистических
решений
Теория игр
Теория
минимакса
Экспертные
процедуры
Многокритериальные
Вариационное
исчисление
Теория оптимальных
систем управления
Теория
многокритериальных
задач
В условиях риска
Теория случайных
процессов
Статистическая
динамика
Экспертные
процедуры
Рис. 16. Математическая классификация задач принятия решения
40
В условиях
неопределенности
Теория
дифференциальных игр
Экспертные
процедуры
Задача Л.В. Канторовича (1, 2), рассматриваемая применительно к экономике
и
менеджменту,
получила
название
производственной
задачи
или
задачи
распределения ресурсов. Действительно, если уравнение (1) описывает доход или
прибыль от производственной деятельности, а выражения (2) описывают расход
имеющихся
принятых
во
внимание
ресурсов,
которые
необходимы
для
осуществления производственной деятельности, то решение этой задачи позволяет
получить оптимальную по критерию дохода или прибыли программу выпуска
продукции X  ( x1 , x2 ,..., xn ) . Полученное в этом случае максимальное значение
целевой функции E  E (C , X ) есть ни что иное, как максимально возможный доход
или прибыль, которые можно получить в конкретной ситуации. Таким образом, для
постановки этой задачи необходимо придать конкретный смысл неконтролируемым
параметрам C  (c1 , c 2 ,..., c n ) , Ai  (a1i , a2i ,..., ani ) и B  (b1 , b2 ,..., bm ) . Например,
значения
C  (c1 , c 2 ,..., c n )
могут
быть
отпускными
ценами
соответствующих
наименований продукции, значения Ai  (ai1 , ai 2 ,..., ain ) - это коэффициенты расхода
ресурса i на выпуск единицы продукции соответствующего вида, а B  (b1 , b2 ,..., bm ) это наличие соответствующего ресурса.
Примечание. В задаче, решенной в процессе выполнения лабораторной работы номер 1,
исходные данные были сформированы от датчика случайных чисел. Полученное решение
математически является оптимальным, но оно никак не может быть интерпретировано по
отношению к какой либо практической задаче. Если выбрать практическую задачу, решаемую
методом
линейного
или
математического
программирования,
и
задать
значения
неконтролируемых параметров на основе реальных данных, то полученное решение имеет
практический смысл.
Существует
еще
несколько
вариантов
постановки
задачи,
решаемой
методами математического программирования. Задача о назначениях имеет
следующий смысл. Пусть имеется n кандидатов на n должностей. Эффект от
назначения кандидата i на должность j оценивается как c ij . Необходимо так
назначить кандидатов на должности, чтобы максимизировать общий эффект
n
n
E   cij xij  max .
j 1 i 1
Очевидно, что один кандидат может быть назначен только на одну должность.
Это обстоятельство может быть формализовано в виде ограничений
n
 xij  1 ,
i 1
n
x
j 1
41
ij
1.
Поскольку кандидат может быть или назначен, или не назначен на соответствующую
должность, имеет место еще одно ограничение x ij {1,0} . Решение задачи есть
квадратная матрица с единичными элементами.
Транспортная задача оптимизирует перевозки между несколькими пунктами
отправки и получения груза. Пусть существует m пунктов отправки грузов, в каждом
их которых имеется груз ai . Их надо доставить n получателям в объеме b j . Здесь i
и j номера пунктов отправления и получения груза. Затраты на перевозку груза из
пункта i в пункт j определяются как c ij . Необходимо составить оптимальный план
перевозки так, чтобы
m
n
E   cij xij  min .
j 1 i 1
Если предположить, что все грузы должны быть перевезены, то ограничения
задачи имеют вид
m
n
i 1
j 1
.  ai   b j
Решением задачи является матрица размерностью m на n элементов x ij , каждый из
которых имеет смысл объема перевозки из пункта i в пункт j .
Задача составления смесей внешне похожа на задачу распределения
ресурсов. Смысл задачи – минимизировать затраты на изготовление смеси
различных веществ, например, при изготовлении бетона, так, чтобы при этом
гарантировать наличие в смеси определенных составляющих, например, цемента, в
заданном количестве. Тогда выражение для целевой функции имеет вид
n
c1 x1  c2 x2  ...  cn xn   c j x j  min .
j 1
Выражения для ограничений приобретают вид
 x1  x 2  ...  x n  bi ,

n
a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n   a 2 j x j  b2 ,

j 1

. . . . . . . . . . . . . . . . .
n

a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n   a mj x j  bm .

j 1
42
Здесь первое неравенство задает общий объем смеси, а выполнение остальных
гарантирует наличие в ней принципиально необходимых компонентов в заданном
количестве.
Задача о ранце предусматривает выбор из имеющегося набора предметов.
Предположим, что имеется n видов предметов, а ценность каждого определяется
коэффициентом c i . Каждый вид предметов имеет, например, объем ai . Из общего
количества предметов необходимо выбрать такой набор, чтобы максимизировать
его ценность
n
c1 x1  c2 x2  ...  cn xn   c j x j  max ,
j 1
при этом общий объем предметов не должен превысить некоторой величины
предельного объема V
n
a
j 1
j
xj V .
Решение задачи позволяет оптимальным способом приблизить отобранный набор к
заданному объему обеспечивая максимальную ценность выборки. Отметим, что
если количество предметов какого-то вида ограничено, то это обстоятельство можно
учесть, добавив в задачу ограничение вида xi  bi .
Лабораторная работа №2. Решение однокритериальной
статической задачи в условиях определенности
Задание
Придумайте собственную задачу разработки управленческого решения, которая
может быть решена с использованием методов математического программирования.
Используйте одну из возможных ее постановок – задача распределения ресурсов,
задача о назначениях и т.п. Обеспечьте задание реальных (на основе справочных
данных, или данных, полученных в результате проведения дополнительных
специальных исследований) значений неконтролируемых параметров c i и a ij .
Задайтесь значениями ограничений b j .
43
Порядок выполнения работы
1. Составьте краткое описание предприятия, в интересах которого решается
задача и опишите проблему, которая должна быть разрешена.
2. Сформулируйте цель разрешения проблемы.
3. Сформулируйте критерий, который должен использоваться при решении
задачи.
4. Опишите способ, которым были получены неконтролируемые параметры
задачи.
5. Сделайте математическую запись задачи
6. Запрограммируйте задачу средствами Excel и решите ее. Получите отчеты по
результатам, пределам и устойчивости и проанализируйте их.
Контрольные вопросы
1. Чем статические задачи отличаются от динамических?
2. Что значит «задача в условиях определенности»?
3. Чем оптимальные решения отличаются от рациональных?
4. Что такое случайное решение?
5. Какие существуют методы поиска альтернатив
6. Каков смысл задачи распределения ресурсов?
7. Каков смысл задачи о назначениях?
8. Каков смысл задачи о составлении смесей
9. Каков смысл транспортной задачи?
10. Каков смысл задачи о ранце?
Отчет о работе
Подготовьте
отчет о
выполненной лабораторной работе.
Он должен
содержать титульный лист, формулировку задания, исходные данные, описание
проблемы, которая была разрешена, математическую формулировку задачи и
результаты ее решения. Сформулируйте выводы, которые можно сделать по
результатам выполненной работы.
Пример содержания отчета о выполнении лабораторной работы приведен в
приложении Б.
44
Однокритериальная статическая задача разработки
2.4.
управленческого решения в условиях риска
В литературе по экономике и менеджменту, в частности в учебниках по
разработке
определения
управленческого
понятия
формулировка:
неблагоприятный
риск
риска.
–
исход;
решения,
Так,
принятие
встречаются
например,
решений
вероятность
в
в
[7]
самые
приводится
условиях,
отклонения
разнообразные
следующая
когда
величины
возможен
фактического
инвестиционного дохода от величины ожидаемого, неопределенность получения
убытка при страховании. В [8] можно прочитать, что в самом широком смысле риск –
это опасность возникновения ущерба. Объем этого понятия включает сферы
деятельности по производству продукции, товаров, услуг, выполнению социальноэкономических и научно-технических проектов, по товарно-денежным и финансовым
операциям. Как отмечено там же, риск характеризуется на качественном и
количественном уровнях в виде затрат (либо снижения доходов), а также может
иметь абсолютное (физическое, материально-вещественное) или стоимостное
выражение. Риск может быть рассчитан и в относительных показателях как
отношение величины возможных потерь к сумме основных и оборотных средств
предприятия либо к общим затратам ресурсов, ожидаемым доходам от намечаемых
действий. В [9] указывается на тесную связь понятий риска и неопределенности,
связывается неопределенность с разработкой управленческого решения, а риск с
его реализацией, отмечается, что неопределенность – основная причина появления
рисков. Все выше изложенные соображения являются, безусловно, правильными и
широко используются в экономике и менеджменте.
Следуя предложенным определениям, было бы логично объявить все не
точно известные данные неопределенностями и ограничиться подсчетом возможных
убытков в интегральном выражении. Тем не менее, аналитические науки, в
частности исследование операций [3], разработали методы более точных расчетов
результатов деятельности, связанной с различными неопределенностями. Эти
методы базируются на более узком понимании терминов риск и неопределенность.
Как указано в [3], принятие решения в условиях риска – это ситуация, когда действия
по реализации принятого решения приводят к возможности появления одного из
множества результатов, причем каждый результат имеет известную вероятность
45
появления. Учитывая этот подход, будем использовать следующее определение:
задача разработки управленческого решения в условиях риска предусматривает
существование в определении критерия оптимальности и (или) в ограничениях
стохастических
факторов,
характеристиками.
Иногда
то
есть
такие
случайных
задачи
величин
называют
с
известными
стохастическими.
В
формулировке конкретной задачи случайный параметр может быть, например, один.
Существуют задачи, когда таких параметров несколько, а в предельном случае все
входящие в задачу параметры могут быть случайными величинами. Математически
такая задача может быть записана как
 E  E (C , X , Y1 , Y2 ,..., Yq );

C  (c1 , c 2 ,..., c n , y1 , y 2 ,...);
 X  ( x1 , x 2 ,..., x n );

 g i  g i ( Ai , X , Yi1 , Yi 2 ,...), , {bi , Yb1 , Yb 2 ,...};
 A  (a , a ,..., a , y , y ,...);
1i
2i
ni
i1
i2
 i
(i  1,2,.., m).
где
символом
Y
обозначен
случайный
параметр,
который
замещает
соответствующий детерминированный коэффициент в A, B, C .
Непосредственное решение задачи оптимизации со случайным значением
параметра не имеет практического смысла. Действительно, найденное нами
решение соответствует только одному из бесчисленного множества значений
случайного параметра, которое может никогда не повториться. Поэтому полученное
таким способом решение совсем не обязательно даст наилучшие результаты при
повторяющихся экспериментах, так как сами значения критериальной функции
начинают носить случайный характер.
Для устранения этого несоответствия разработаны специальные методы
решения подобных задач. Их классификация представлена на рис. 17. В
соответствии с ней имеется две основные группы таких методов: сведение
стохастической задачи к детерминированной и оптимизация в среднем.
46
Методы решения
задач в условиях
риска
Сведение
стохастической
задачи к
детерминированной
Критерий
оптимальности
может быть получен
аналитически
Оптимизация в
«среднем»
Критарий
оптимальности может
быть получен с
помощью алгоритма
Метод Монте Карло
Рис. 17. Методы решения задач в условиях риска
Метод сведения задачи в условиях риска к детерминированной
Метод сведения задачи в условиях риска к детерминированной может быть
использован в том случае, когда в распоряжении исследователя имеется некоторая
ограниченная выборка случайного процесса, в то время как точный вид закона
распределения неизвестен. Обычно так бывает, когда на практике впервые
сталкиваются с необходимостью учета случайного параметра, в то время как
детальное исследование статистических свойств случайного процесса еще не
произведено или его даже невозможно осуществить. В этом случае можно
попытаться получить решение, которое использует только имеющиеся в нашем
распоряжении данные.
В основе метода лежит замена случайных параметров их неслучайными
характеристиками,
например,
математическим
ожиданием,
максимальным
и
минимальным значением. Для отыскания решения на место случайного параметра
подставляется значение его математического ожидания. Далее решается задача
оптимизации тем же способом, каким она решалась в случае детерминированной
задачи. Полученное решение рассматривается как основное. Дополнительно
расчетом проверяются ситуации, когда случайный параметр имеет максимальное и
минимальное
значение.
Как
результат
рассчитываются
границы
критериальной функции при ранее полученном основном решении.
47
изменения
Лабораторная работа №3. Решение однокритериальной
статической задачи в условиях риска методом сведения
стохастической задачи к детерминированной
Задание
Используйте придуманную вами задачу разработки управленческого решения.
Задайтесь параметром, который может рассматриваться в условиях риска, и решите
ее методом сведения стохастической задачи к детерминированной.
Порядок выполнения работы
1. Из общего числа параметров вашей задачи разработки управленческого
решения выберите один, который будет рассматриваться в условиях риска
(см. например, (7)) и согласуйте его с преподавателем.
n

a
x

x

...

a
x

a1 j x j  b ,

11
1
2
1
n
n

12
1
j 1

n

a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n   a 2 j x j  b2 ,
(7)
j 1

. . . . . . . . . . . . . . . . .

n

a
x

a
x

...

a
x

a mj x j  b .

m2 2
mn n
 m1 1
m
j

1

a
2. Получите выборку значений этого параметра и определите ее параметры
(рис. 18).
48
.
Рис. 18. Пример расчета параметров случайного процесса
3. Подставьте на место параметра среднее значение и получите решение
X  ( x1 , x2 ,..., xn ) и соответствующее ему значение критериальной функции.
4. Используя решение X  ( x1 , x2 ,..., xn ) рассчитайте значения критериальной
функции
при
минимальном
и
максимальном
значении
исследуемого
параметра.
Контрольные вопросы
1. Что такое риск?
2. Чем задача в условиях риска отличается от детерминированной задачи?
3. Какие детерминированные параметры случайного процесса вы знаете?
4. Как определить детерминированные параметры случайного процесса?
5. В чем заключается основная идея метода сведения задачи в условиях риска к
детерминированной?
6. Когда можно пользоваться методом сведения задачи в условиях риска к
детерминированной?
7. Какой
смысл
имеет
решение,
полученное
при
максимальном
или
полученное
при
минимальном значении случайного параметра?
8. Почему
нецелесообразно
использовать
решение,
максимальном или минимальном значении случайного параметра?
49
9. Почему в качестве оптимального используется решение, полученное при
среднем значении случайного параметра?
10. Как можно использовать значение критериальной функции, полученное при
подстановке в оптимальное решение максимального или минимального параметра?
Отчет о работе
Подготовьте
отчет о
выполненной лабораторной работе.
Он должен
содержать титульный лист, формулировку задания, исходные данные, описание
проблемы, которая была разрешена. Укажите случайный параметр, взятый в
рассмотрение,
и
обоснуйте
его
выбор.
Приведите
используемый
набор
статистических данных и результаты его обработки. Приведите результаты решения
задачи.
Сформулируйте
выводы,
которые
можно
сделать
по
результатам
выполненной работы.
Пример содержания отчета о выполнении лабораторной работы приведен в
приложении Б.
Методы оптимизации в среднем
По меткому замечанию одного из исследователей, методы теории принятия
решения дают возможность получать плохие результаты в тех случаях, когда
другими способами получить результаты оказывается просто невозможно. Во
многом
это
утверждение
можно
отнести
и
к
методу
сведения
задачи
к
детерминированной. Вполне естественно желание улучшить результаты решения за
счет максимально возможного учета характеристик случайного процесса. Считается,
что наиболее полная информация о нем содержится в функции распределения.
Функция распределения случайной величины y  F ( x)  P( x  X ) определяет
вероятность того, что значение случайной величины x будет меньше некоторого
значения X . На рис. 19 показан пример функции распределения. Отметим, что
может быть определена и обратная функция x   ( y ) , которая связывает значения
вероятности с аргументом. На рис. 19 стрелками показан процесс вычисления
прямой и обратной функции распределения.
50
F(x)
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
Рис. 19. Пример функции распределения случайной величины
В зависимости от вида случайного процесса его функция распределения
может описываться самыми разнообразными математическими выражениями.
Случайная величина называется дискретной, если она может принимать только
конечное
или
счетное
множество
значений.
Для
описания
таких
функций
распределения пользуются, например, биноминальным, гипергеометрическим или
пуассоновским
распределениями
Непрерывные
[1].
случайные
величины
рассматриваются в совокупности с их плотностью распределения f (x) , где
x
F ( x) 
 f (t )dt .

Задание функции распределения случайного параметра предусматривает
задание его вида, т.е. собственно математического выражения, и значений
параметров, входящих в это математическое выражение. Среди многих известных
функций
распределения
упомянем
распределение
Гаусса
или
нормальное
распределение, для которого
f ( x) 
 ( x  m) 2 
exp 
.
2 2 
2 

1
Здесь m математическое ожидание и  стандартное отклонение - параметры
распределения. Особое значение нормального распределения в теории и практике
51
основывается на так называемой центральной предельной теореме. В соответствии
с ней, если случайная величина представляется как сумма большого числа не
зависящих друг от друга слагаемых, каждое из которых вносит в сумму лишь
незначительный вклад, то эта сумма распределена приблизительно нормально [1].
Примечание. Определение вида закона распределения, т.е. математического выражения,
описывающего
функцию
распределения
случайной
величины,
представляет
собой
самостоятельную задачу исследования, которая выходит за пределы настоящей дисциплины. В то
же время если это выражение известно (задано), то параметры закона распределения m и 
могут быть определены на основании исследования конкретной выборки. Наконец, если закон
распределения случайной величины неизвестен на момент принятия решения (например, в случае
отсутствия достаточного статистического материала), то по имеющейся выборке могут быть
определены такие ее характеристики как среднее, максимальное и минимальное значения. Это
обстоятельство использовалось в методе сведения задачи в условиях риска к
детерминированной.
Методы оптимизации в среднем предусматривают замену ранее выбранного
критерия оптимизации. Поскольку параметр принимает случайные значения,
рассчитанная на его основе критериальная функция также становится случайной, в
связи с чем задача ее максимизации становится бессмысленной. В то же время
можно ставить и решать, например, задачу максимизации среднего значения
критериальной функции. В литературе [5] этот вариант получил название
М-постановки задачи. Еще одним вариантом постановки задачи можно считать
обеспечение некоторого значения целевой функции с заданной вероятностью
(Р-постановка). Для линейной задачи с q случайными параметрами выражение для
функции распределения критериальной функции имеет вид
E    ... E i (A, X , y1 , y 2 ,..., y q ) f ( y1 , y 2 ,..., y q )dy1 dy 2 ...dy q  E ( A, X , D) , (6)
где D - массив статистических характеристик случайных величин, а f ( y1 , y 2 ,..., y q ) закон
распределения
вероятностей
случайных
величин.
Как
и
в
случае
детерминированной задачи, решение представляет собой некое оптимальное
действие
X  ( x1 , x2 ,..., xn ) ,
удовлетворяющее
имеющимся
ограничениям
и
обеспечивающее E  E ( A, X , D)  max{ E  E ( A, X , D)} . Если функция распределения
целевой функции известна, то решение задачи управленческого решения сводится к
отысканию значений управляемых параметров X  ( x1 , x2 ,..., xn ) , соответствующих
максимуму среднего значения целевой функции или обеспечивающих заданную
вероятность получения некого ее минимального значения. Поэтому в основе любого
метода оптимизации в среднем лежит расчет функции распределения целевой
функции.
52
Аналитический метод решения задачи разработки управленческого решения
предусматривает непосредственное вычисление выражения (6). На практике, если
дополнительно принимать во внимание ограничения, это оказывается весьма
затруднительным. Поэтому при изучении настоящей дисциплины аналитический
метод использоваться не будет.
Алгоритмический метод решения задачи в условиях риска
Метод предусматривает существование алгоритма вычисления показателя
эффективности, что собственно и реализовано, например, в виде надстройки Поиск
решения. Предположим, что нам необходимо численно построить функцию
распределения
целевой
функции.
Зададимся
набором
вероятностей
P  ( p1 , p2 ,..., pi ) , для которых мы будем ее вычислять. Если функция распределения
случайного параметра известна, то, решая обратную задачу, мы можем получить
значение параметра, например a12 , которое не будет превышено с заданным
значением вероятности
p i . Подставляя это значение на место случайного
параметра и, решая задачу поиска экстремума, мы можем получить значение
критериальной функции E i , которое не будет превышено с заданным значением
вероятности p i и соответствующее ему решение X i  ( x1i , x2i ,..., xni ) . Выполняя эту
операцию
для
всех
значений
вероятностей
P  ( p1 , p2 ,..., pi ) ,
получаем
табулированную функцию распределения E и соответствующие каждому значению
E варианты решений X  ( x1 , x2 ,..., xn ) . Далее на основании анализа полученной
таблицы
собственно
выбирается
оптимальное
решение
X  ( x1 , x2 ,..., xn ) ,
соответствующее максимуму среднего значения при М-постановке ( p  0,5 при
симметричной функции распределения) или заданному значению вероятности p i
при Р-постановке.
53
Лабораторная работа №4. Решение однокритериальной
статической задачи в условиях риска алгоритмическим методом
Задание
Используйте придуманную вами задачу разработки управленческого решения.
Задайтесь параметром, который может рассматриваться в условиях риска, и решите
ее алгоритмическим методом.
Порядок выполнения работы
1. Задайтесь параметром, который может рассматриваться в условиях риска.
Это может быть тот же самый параметр или какой-либо другой (тогда первый
параметр рассматривается в условиях определенности). Согласуйте с
преподавателем выбранный вами параметр.
2. Задайтесь законом распределения случайного параметра.
3. Получите выборку значений этого параметра и определите на ее основе
параметры функции распределения.
4. Задайтесь
набором вероятностей
P  ( p1 , p2 ,..., pi ) , для которых будет
строиться итоговая функция распределения (например. 0,001; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4;
0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 0,999).
5. Решая обратную задачу по заданным значениям вероятностей, определите
величину параметра, значение которого не будет превышено с заданной
вероятностью (например, при нормальном законе распределения, с помощью
функции Excel НОРМОБР()).
6. Подставляя значения параметра, решите оптимальную задачу (Поиск
решения)
и
найдите
значение
критериальной
функции
и
решение,
соответствующее этому параметру.
7. Постройте график функции распределения критериальной функции.
8. Выберите оптимальное решение, соответствующее максимуму среднего
значения критериальной функции (М-постановка) или заданному значению
вероятности (Р-постановка).
54
Контрольные вопросы
1. Почему для решения задачи в условиях риска требуется замена критерия
оптимальности?
2. Как связаны между собой функция распределения и плотность распределения
случайного процесса?
3. Почему обычно выбирают нормальный закон распределения?
4. Что такое обратная функция от функции распределения?
5. В чем заключается основная идея аналитического метода?
6. В чем заключается основная идея алгоритмического метода?
7. Как осуществляется выбор оптимального решения при М-постановке?
8. Как осуществляется выбор оптимального решения при Р-постановке?
9. Какие соображения определяют выбор набора вероятностей P  ( p1 , p2 ,..., pi ) ,
для которых строится итоговая функция распределения?
10. Что представляет собой решение задачи в условиях риска?
Отчет о работе
Подготовьте
отчет о
выполненной лабораторной работе.
Он должен
содержать титульный лист, формулировку задания, исходные данные, описание
проблемы, которая была разрешена. Укажите случайный параметр, взятый в
рассмотрение,
и
обоснуйте
его
выбор.
Приведите
используемый
набор
статистических данных и результаты его обработки. Постройте график функции
распределения
целевой
функции.
Приведите
результаты
решения
задачи.
Сформулируйте выводы, которые можно сделать по результатам выполненной
работы.
Пример содержания отчета о выполнении лабораторной работы приведен в
приложении Б.
Метод Монте-Карло при решении задачи в условиях риска
Метод предусматривает существование алгоритмической и программной
модели решения задачи и замену реального случайного процесса его имитацией от
датчика случайных чисел. Свое название метод Монте-Карло получил по имени
казино, находящегося в княжестве Монако в одноименном городе, в котором
55
исторически было сосредоточено большое число игровых заведений. Вероятно
первые разработчики этого метода на основе анализа последовательностей
случайных чисел, генерируемых колесом рулетки, пытались создать методику
выбора очередного числа, на которое и должна была бы быть сделана ставка.
Поскольку возможностей для непосредственных экспериментов в здании казино нет,
было предложено определить закон распределения чисел для конкретного стола, а
далее имитировать эту последовательность в лабораторных условиях с целью
отыскания необходимого алгоритма. Заметим, что поскольку казино в Монако
существуют до сих пор, этот эксперимент закончился неудачей.
В соответствии с методом Монте-Карло на основании известной функции
распределения случайного процесса генерируется выборка значений от датчика
случайных чисел. В современной практике используется программная генерация
таких чисел на основе стандартных и относительно несложных алгоритмов.
Подобный подход позволяет, при необходимости, повторить генерацию выборки с
заданным законом распределения или создать новую с тем же законом. Одним из
недостатков программного метода является возникающая в некоторых случаях
периодичность значений, борьба с которой ведется за счет настройки датчика. Тем
не
менее,
говорить
о
том,
что
программным
методом
генерируется
последовательность полностью случайных чисел, не приходится. Поэтому в
литературе программные датчики называют обычно датчиками псевдослучайных
чисел.
Для решения задачи разработки управленческого решения методом МонтеКарло также необходимо знать функцию распределения случайного параметра.
Если она известна, то исследователь может отказаться от реальных данных,
получение которых сопряжено с известными трудностями, и заменить их выборками
значений от программного датчика. Количество таких значений может существенно
превышать
объемы
распределения
реальных
реальных
и
выборок,
но,
сгенерированных
в
случае
данных,
совпадения
точность
законов
получаемых
результатов существенно возрастает. При решении задачи в Excel для вызова
датчика случайных чисел необходимо включить надстройку Анализ данных, в
пункте Сервис главного меню выбрать пункт Анализ данных, а в открывшемся
меню Инструменты анализа пункт Генерация случайных чисел.
56
Основной задачей использования метода является построение функции
распределения целевой функции с сохранением полученных для каждого значения
решений. Далее на ее основе выбирается оптимальное решение, соответствующее
вероятности p  0,5 (при симметричной функции распределения) при М-постановке
или с заданным значением вероятности при Р-постановке, как это делалось при
реализации алгоритмического метода.
Для
параметра
каждого
решается
критериальной
гистограмма
значения
функции
сгенерированного
оптимизационная
и
распределения
датчиком
задача
соответствующее
критериальной
ей
и
случайных
определяется
решение.
функции,
на
чисел
значение
Далее
строится
основе
которой
принимается решение.
Примечание. Гистограмма (эмпирическая плотность распределения) строится следующим
способом. Проводится разбиение оси аргументов на конечное число граничащих друг с другом
промежутков 1 ,...,  k . Затем подсчитывают число mi значений, полученных в нашем случае от
 i (1  i  k ) . Эти числа называются групповыми
частотами. Над  i рисуют прямоугольник высоты mi / N , где N - общее количество в нашем
датчика случайных чисел, лежащих в диапазоне
случае сгенерированных датчиком чисел. Возникающий ступенчатый график и есть гистограмма.
Для получения эмпирической функции распределения (интегральная гистограмма распределения)
строят ступенчатый график, у которого высота прямоугольника при  i есть сумма значений
i
 m . Очевидно, что при правильной работе датчика случайных чисел при уменьшении
j 1
i
i и
соответствующем увеличении k эмпирическая функция распределения будет стремиться к
заданной функции распределения случайного процесса [1].
Подобный способ удобен при наличии программной реализации задачи
математического программирования в виде, например, самостоятельной функции.
При использовании для расчетов Excel для построения гистограммы достаточно в
пункте Сервис главного меню выбрать пункт Анализ данных, а в открывшемся
меню Инструменты анализа пункт Гистограмма. В открывшемся меню необходимо
указать диапазон значений случайных чисел, сгенерированных от датчика, и в
качестве параметров вывода Интегральный процент.
При использовании надстройки Поиск решения каждый расчет требует
некоторого количества ручных операций. Для уменьшения трудоемкости вычислений
гистограмма распределения случайного параметра может быть построена до
решения задачи оптимизации. В этом случае для расчета значений критериальной
функции могут быть использованы средние значения карманов гистограммы, а
соответствующие им значения критериальной функции встретятся в итоговом
57
распределении столько раз, сколько они были в исходной гистограмме. Фактически
задача в этом случае сводится к замене оцифровки оси абсцисс гистограммы
распределения значениями критериальной функции при сохранении значений
ординат.
Лабораторная работа №5. Решение однокритериальной
статической задачи в условиях риска методом Монте-Карло
Задание
Используйте придуманную вами задачу разработки управленческого решения.
Задайтесь параметром, который может рассматриваться в условиях риска, и решите
ее методом Монте-Карло.
Порядок выполнения работы
1. Задайтесь параметром, который может рассматриваться в условиях риска.
Это может быть тот же самый параметр или какой-либо другой. Согласуйте с
преподавателем выбранный вами параметр.
2. Задайтесь законом распределения случайного параметра.
3. Получите выборку значений этого параметра и определите на ее основе
параметры функции распределения.
4. Запустите датчик псевдослучайных чисел и сгенерируйте выборку объемом не
менее 10000 значений.
5. Постройте гистограмму распределения случайных чисел от датчика.
6. Рассчитайте средние значения карманов распределения
7. Подставьте средние значение карманов гистограммы в качестве параметра и
решите задачу оптимизации, определяя при этом решение и значение
критериальной функции.
8. Замените на построенной ранее гистограмме значения на оси абсцисс на
значения критериальной функции и постройте график функции распределения
целевой функции (интегральное представление).
9. Выберите оптимальное решение, соответствующее максимуму среднего
значения критериальной функции (М-постановка) или заданному значению
вероятности (Р-постановка).
58
Контрольные вопросы
1. В чем заключается основная идея метода Монте-Карло?
2. Как воспользоваться датчиком случайных чисел?
3. Почему программный датчик случайных чисел часто называют датчиком
псевдослучайных чисел?
4. В чем заключается основное достоинство метода Монте-Карло?
5. Как принимается оптимальное решение при использовании метода МонтеКарло?
6. Какие методы принятия решения на основе функции распределения
критериальной функции вы знаете?
7. Что такое гистограмма случайного процесса и чем она отличается от функции
или плотности распределения?
8. Как построить гистограмму распределения случайного процесса?
9. Чем управляет ключ гистограммы Интегральный процент?
10. Как определить параметры закона распределения при генерации случайных
чисел?
Отчет о работе
Подготовьте
отчет о
выполненной лабораторной работе.
Он должен
содержать титульный лист, формулировку задания, исходные данные, описание
проблемы, которая была разрешена. Укажите случайный параметр, взятый в
рассмотрение,
и
обоснуйте
его
выбор.
Приведите
используемый
набор
статистических данных и результаты его обработки. Приведите график гистограммы
распределения случайных чисел, сгенерированных датчиком. Постройте график
функции распределения целевой функции. Приведите результаты решения задачи.
Сформулируйте выводы, которые можно сделать по результатам выполненной
работы.
Пример содержания отчета о выполнении лабораторной работы приведен в
приложении Б.
59
Задачи в условиях риска с несколькими стохастическими
параметрами
Методика решения задач в условиях риска с несколькими случайными
параметрами
базируется
на
расчете
величины
стохастической
поправки,
определяемой с учетом всех входящих в выражение случайных параметров. В
простейшем случае случайные параметры считаются некоррелированными и
распределенными по одинаковому закону распределения, например нормальному, с
известными
дисперсиями
и
математическими
ожиданиями.
Тогда
детерминированный эквивалент вероятностного ограничения может быть записан в
виде [6]
n
n
 aij x j  Ô 1 (i )

j 1
j 1
x  i2  b ,
2 2
ij j
где aij , b j - математические ожидания,  ij2 ,  j2 - дисперсии случайных величин aij , b j .
Символом Ô 1 ( i ) обозначена обратная функция нормального стандартного (в
отличие от использовавшегося в при решении предыдущей задачи обычного)
распределения
Ô (t ) 
1
2
t
 exp{

t2
}dt
2
а  i - заданный уровень вероятности. В остальном методика решения задачи
совпадает с описанной ранее.
2.5.
Однокритериальная статическая задача в условиях
неопределенности
Задача разработки управленческого решения в условиях неопределенности в
отличие от задачи в условиях риска возникает в том случае, когда мы не
располагаем никакой статистической информацией о параметрах случайных
величин, не имеем их выборок и, как следствие, не можем составить или получить
выражение для функции распределения, определить моменты и т.п. Поэтому
рассчитать
вероятность
получения
определенного
значения
показателя
эффективности оказывается невозможным, хотя он и принимает случайные
значения в каждом конкретном эксперименте при его многократном повторении.
60
Можно выделить два случая, характеризующих вероятность получения
определенного значения критериальной функции. Во-первых, эти вероятности могут
не иметь физического смысла, поскольку входящие в задачу неопределенные
факторы имеют не стохастическую природу. К их числу относятся стратегические
неопределенности, объясняющиеся участием в задаче нескольких разумных сторон,
преследующих, в частности, противоположные цели. Неопределенность в задаче
возникает потому, что нам неизвестны действия, которые будут предприняты
сторонами (противником), и мы должны принимать решение в отсутствие полной
информации.
Кроме
этого,
в
задаче
могут
возникать
концептуальные
неопределенности, связанные с принятием особо сложных решений и вызванные
нечетким
представлением
о
собственных целях и
возможностях,
целях и
возможностях других сторон. Во-вторых, на решение задачи могут оказывать
влияние
стохастические
неопределенности,
возникающие
из-за
отсутствия
информации о характере влияющих процессов, но не предусматривающие
разумного вмешательства. В этом случае обычно говорят о воздействии природы на
решение задачи, предполагая при этом отсутствие точек излома и разрыва и
наличие инерционности в характеристиках мешающих факторов.
Наиболее сложным случаем для выработки управленческого решения
является ситуация, когда у нас полностью отсутствует любая (в том числе и
экспертная) информация о вероятностях возможных состояний природы. В этом
случае решение приходится принимать исходя из анализа платежной матрицы или
матрицы рисков. Согласно максиминному критерию Вальда выбирается стратегия,
гарантирующая выигрыш не меньший, чем
E  max {min {Eij }} .
1i  m 1 j  n
Данный критерий ориентирует на наихудшие условия и рекомендует выбирать
стратегию, для которой в самом тяжелом случае выигрыш максимален. Обычно
критерий Вальда называют критерием крайнего пессимизма.
Критерий
минимаксного
риска
Сэвиджа
рекомендует
в
условиях
неопределенности выбирать ту стратегию, при которой величина риска принимает
наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации. Сущность критерия
Сэвиджа – любыми путями минимизировать риск. Критерий Сэвиджа также
относится к критериям крайнего пессимизма, однако в этом случае в отличие от
61
критерия Вальда худшим считается не минимальный выигрыш, а максимальная его
потеря (максимальный риск)
r  min {max{rij }} .
1i m 1 j n
Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица рекомендует при выборе решения
выбирать нечто среднее между крайним пессимизмом и оптимизмом
E  max{ min {Eij }  (1   ) max{Eij }}
1i m
1 j n
1 j n
В этом выражении  введенный Гурвицем некий коэффициент (мера пессимизма),
выбираемый экспертным путем из интервала между 0 и 1. Очевидно, что при   1
критерий Гурвица превращается в критерий Вальда.
Математически задача разработки управленческого решения в условиях
неопределенности может быть записана в виде
 E  E (C , X , Z 1 , Z 2 ,..., Z q );

C  (c1 , c 2 ,..., c n , y1 , y 2 ,...);
 X  ( x1 , x 2 ,..., x n );

 g i  g i ( Ai , X , Z i1 , Z i 2 ,...), , {bi , Z b1 , Z b 2 ,...};
 A  (a , a ,..., a , z , z ,...);
1i
2i
ni
i1
i2
 i
(i  1,2,.., m).
где Z j - конкретная реализация неопределенного фактора. Неконтролируемые
переменные z принимают случайное значение и могут относиться либо к категории
не стохастических (игры с противником), либо стохастических (игры с природой)
случайных величин.
Основные методы решения задач в условиях неопределенности разработаны
в математической теории игр [3, 10]. Предполагается, что правила игры известны
всем ее участникам и обязательно выполняются. Каждый случай игры называется
партией. Элементами партии являются ходы, которые могут быть личными
(сознательное действие) и случайными. Каждый из игроков руководствуется
совокупностью правил, однозначно определяющих выбор его ходов, называемую
стратегией. Число таких стратегий может быть конечным или бесконечным.
Результатом игры является выигрыш или проигрыш игроков. Например, если в игре
участвуют только два игрока, преследующие прямо противоположные цели, то
выигрыш одного игрока означает точно такой же проигрыш другого. Такая игра
называется парной антагонистической игрой с нулевой суммой.
62
Игры с противником.
Рассмотрим
задачу
разработки
управленческого
решения
с
одним
неопределенным фактором Z , принимающим только два возможных значения
Z  ( z1 , z 2 ) при выборе противником соответственно стратегий N1 и N 2 . Заметим, что
хотя мы не знаем, какие конкретно значения на практике будут принимать
неопределенные
факторы,
но
мы
можем
предположить,
что
они
примут
определенные значения и вести дальнейшие рассуждения в отношении именно
предполагаемых нами значений Z  ( z1 , z 2 ) . Будем считать, что этот фактор влияет
на критериальную функцию E  E (C , X , Z ) или на ограничения g i  g i ( Ai , X , Z ) .
Найдем два оптимальных решения
X1 и
X 2 , с учетом двух возможных и
предполагаемых нами стратегий противника N1 и N 2 соответствующие выражениям
E11  max{ E (C , X 1 , z1 )},
E22  max{ E (C , X 2 , z 2 )}.
Полученные решения X 1 и X 2 представляют собой наши наилучшие действия
(стратегии) M 1 и M 2 в том случае, когда мы угадали дальнейшее развитие событий.
Используя уже полученные решения X 1 и X 2 , рассчитаем значения показателя
эффективности при условии, что мы не угадали ответ противника:
E12  E (C , X 1 , z 2 ),
E21  E (C , X 2 , z1 ).
Занесем полученные значения в так называемую платежную матрицу, где
строки M 1 и M 2 представляют собой наши возможные стратегии, а столбцы N1 и N 2
возможные стратегии противника
Стратегии
N1
N2
M1
E11
E12
M2
E21
E22
Очевидно, что аналогичная матрица может быть построена и при большем числе
возможных стратегий m , а также при большем числе неопределенных факторов n .
63
Отыщем решение игры, пользуясь методами теории игр. Найдем нашу
оптимальную стратегию, не зависящую от действий противника. В этом случае
возникает вопрос о выборе критерия оптимальности. Например, в качестве
используемой стратегии можно выбрать стратегию, которая приносит возможный
максимальный выигрыш. Такая стратегия может оказаться весьма рискованной,
поскольку в конкретной ситуации противник может ответить стратегией, приводящей
к
большему
проигрышу.
Более
разумным
представляется
воспользоваться
стратегией, которая минимизирует наш возможный проигрыш. Обозначим  i
минимальный выигрыш при выборе стратегии i при всех возможных стратегиях
противника
 i  min {Eij }  min{ Ei1 , Ei 2 } .
j 1, 2,..., n
Из всех возможных наших стратегий выберем стратегию, которая обеспечит
нам наибольшее значение нашего минимального выигрыша
  max { i }  max{1 , 2 }  max min {Eij } .
i 1, 2,..., m j 1, 2,..., n
i 1, 2,..., m
Назовем 
нижней ценой игры (наш гарантированный выигрыш при любой
стратегии противника).
Если цели игроков противоположны, что имеет место в антагонистической
игре, то противник заинтересован уменьшить наш выигрыш, и будет выбирать
соответствующие стратегии. Вполне естественно предположить, что противник
владеет методами оптимизации и теории игр и в свою очередь проводит
аналогичные вычисления. Тогда полученная им платежная матрица будет иметь
другие числовые значения, но ее смысл в отношении выбираемых стратегий не
изменится. Поэтому мы можем анализировать возможные стратегии противника
исходя из имеющейся у нас нашей платежной матрицы. Очевидно, что все это
справедливо только в том случае, когда мы рассмотрели все возможные стратегии
противника.
Примечание. Если противник не будет пользоваться оптимальными методами, то это просто
приведет к его дополнительному проигрышу.
Найдем наш максимальный выигрыш при каждой стратегии противника
 j  max {Eij }  max{ E1 j , E 2 j } .
i 1, 2,..., m
Для того чтобы минимизировать свой проигрыш, противник выберет стратегию, в
которой наш выигрыш минимален
64
  max { i }  max{ 1 ,  2 }  min
max {Eij } .
j 1, 2,..., n i 1, 2,..., m
j 1, 2,..., n
Назовем выигрыш  верхней ценой игры. Очевидно, что если по каким-то причинам
противник не воспользовался своей оптимальной стратегией, то наш выигрыш
только возрастет. Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то их значение 
называют чистой ценой игры
    .
Стратегии, соответствующие чистой цене игры, называются чистыми, а их
совокупность дает оптимальное решение. Используя оптимальное решение, мы
получаем минимальный гарантированный выигрыш  независимо от поведения
противника. Пара чистых стратегий M i и N j дает оптимальное решение игры тогда
и только тогда, когда соответствующий им элемент E ij является одновременно
наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация
называется седловой точкой, а соответствующая ей игра - игрой с седловой точкой.
Если седловая точка в платежной матрице отсутствует, то существует
несколько наших чистых стратегий и стратегий противника, позволяющих получить
цену игры. Выбор нами одной из стратегий наталкивается на естественное
противодействие противника, желающего минимизировать свой проигрыш и
выбирающего ответную стратегию с учетом информации о нашем выборе. Это
обстоятельство приводит к тому, что мы вынуждены хранить свой выбор в тайне и,
кроме этого, чередовать свои стратегии при многократном повторении игры по
случайному закону. Если так не делать, то противник привыкнет к тому, что мы
играем одинаково, и с учетом этого будет строить свою игру. Смешанной стратегией
S M называется применение стратегий M 1 , M 2 ,..., M m с вероятностями p1 , p2 ,…, p m ,
причем
m
p
i 1
i
 1 . (8)
Будем записывать смешанные стратегии в виде матрицы
 M M ...M m 
 ,
S M   1 2
 p1 p2 ... pm 
или в виде вектора S M   p1 , p2 ,..., pm  . Смешанные стратегии противника запишем
аналогично, обозначая соответствующие вероятности буквой q :
65
 N N ...N n 
 ,
S N   1 2
 q1q2 ...qn 
n
q
i
j 1
или
S N  q1 , q2 ,..., qn  .
Найдем
 1,
оптимальную
стратегию
S M   p1 , p2 ,..., pm  ,
обеспечивающую нам средний выигрыш не меньший, чем цена игры  (      ).
Математическое
ожидание
нашего
выигрыша
при
реализации
противником
стратегии N j
m
E j   Eij pi .
i 1
Если  - цена игры, то при условии   0 имеем набор n ограничений
m
E
i 1
ij
pi   .
Учитывая (8), будем искать набор pi , обеспечивающий максимальную цену игры  ,
для чего сделаем замену переменных xi  pi / . Запишем итоговые выражения для
целевой функции и ограничений задачи оптимизации выбора стратегий
1
m
 xi    min,
i 1

m
 g i   Eij xi  1.

i`
и решим задачу линейного программирования. Элементы нашей оптимальной
смешанной стратегии
SM
определяются подстановкой
pi  xi . Оптимальная
смешанная стратегия противника определяется аналогично:
n
 Eij q j   ,
j 1
 n
  q j  1,
 j 1`
а задача линейного программирования формулируется в виде
1
n
 x j    max,
j 1

n
 g i   Eij x j  1.

j 1`
66
Тогда результатом решения задачи разработки управленческого решения
будет последовательность наших стратегий, реализуемых по случайному закону с
заданными вероятностями их появления.
Лабораторная работа №6. Решение однокритериальной
статической задачи в условиях неопределенности при играх с
противником
Задание
Используйте придуманную вами задачу разработки управленческого решения.
Задайтесь параметром, который может быть в условиях неопределенности в
результате возможных действий противника. Рассматривайте случай дуальной игры
с противником с нулевой суммой и решите задачу.
Порядок выполнения работы
1. Из общего числа параметров вашей задачи разработки управленческого
решения выберите один, который будет рассматриваться в условиях
неопределенности. Согласуйте с преподавателем выбранный вами параметр.
2. На основе анализа ситуации в зависимости от возможных действий
противника задайтесь n возможными значениями случайного параметра
Z ( z1 , z 2 ,..., zi ,...) , для которых будет делаться расчет. Каждое значение этого
параметра будет определять одну из наших стратегий и одну из возможных
стратегий противника.
3. Решая задачу с помощью надстройки Поиск решения, определите значение
критериальной функции и соответствующие ему решения в предположении,
что стратегия противника угадана, то есть мы предполагаем значение
параметра z i , и в результате действий противника он принимает именно такое
значение.
4. Постройте платежную матрицу, заполните ее диагональ значениями Eii и
отдельно запишите соответствующие им решения X i .
67
5. Используя выражение для показателя эффективности, рассчитайте значения
критериальной функции Eij в предположении, мы используем стратегию i , то
есть решение X i , а в результате действий противника параметр принимает
значение z j .
6. Заполните значениями Eij свободные клетки платежной матрицы.
7. Просматривая колонки платежной матрицы ( j  1,2,..., j ,... ), найдите для каждой
строки i наш гарантированный минимальный выигрыш  i  min{ Eij } .
8. Найдите
номер
нашей
стратегии,
обеспечивающей
нам
максимум
гарантированного выигрыша (нижнюю цену игры)   max{  i } .
9. Просматривая строки платежной матрицы ( i  1,2,..., i,... ), найдите для каждого
столбца j гарантированный максимальный проигрыш противника (верхнюю
цену игры)  i  max{ Eij } .
10. Найдите
номер
стратегии
противника, обеспечивающей
ему минимум
гарантированного выигрыша   min{  i } .
11. Сравните верхнюю и нижнюю цены игры и определите факт наличия или
отсутствия седловой точки.
12. Если седловая точка существует (    ), то определите оптимальное
решение
задачи
Xi
соответствующее
номеру
чистой
стратегии,
обеспечивающей   max{  i } .
13. Если седловая точка отсутствует (    ), то определите набор k своих
стратегий M 1 , M 2 ,..., M k , которые обеспечивают значение  k , имеют свой
выигрыш Eij и будут чередоваться нами в случайном порядке. Аналогично
определите набор l стратегий противника N1 , N 2 ,..., N l . Сформируйте новую

матрицу Eij размером k  l , элементы которой представляют выборку из
платежной матрицы в соответствии с принятыми в рассмотрение стратегиями.
14. Отдельно
сформулируйте
и
решите
еще
одну
программирования, принимая во внимание l ограничений
68
задачу
линейного
1
k
 xi    min,
i 1

k 
 g j   Eij xi  1.

i 1`
15. В соответствии с полученным решением X  ( x1 , x2 ,..., xk ) по формуле pi  xi
определите набор вероятностей P  ( p1 , p2 ,..., pk ) , с которыми необходимо
чередовать стратегии M 1 , M 2 ,..., M k .
Контрольные вопросы
1. Чем задача в условиях неопределенности отличается от задачи в условиях
риска?
2. Что такое стратегия?
3. Что такое дуальная игра?
4. В каком случае игра может называться игрой с нулевой суммой?
5. В каком случае игра классифицируется как игра с противником?
6. Как составляется платежная матрица?
7. Чем
элементы
диагонали
платежной
матрицы
отличаются
от
других
элементов?
8. Что такое седловая точка?
9. В каком случае седловая точка может отсутствовать?
10. Что такое нижняя и верхняя цены игры?
Отчет о работе
Подготовьте
отчет о
выполненной лабораторной работе.
Он должен
содержать титульный лист, формулировку задания, исходные данные, описание
проблемы, которая была разрешена. Укажите случайный параметр, взятый в
рассмотрение, и обоснуйте его выбор. Приведите обоснование выбора его значений.
Представьте платежную матрицу и результаты ее обработки. Определите факт
наличие или отсутствия седловой точки. Если она существует, то приведите
результаты решения задачи. Если седловой точки нет, то приведите набор
стратегий, взятых в рассмотрение, представьте формулировку и результаты
решения задачи определения набора вероятностей, с которыми будут чередоваться
69
стратегии, и поставьте каждой в соответствие решение. Сформулируйте выводы,
которые можно сделать по результатам выполненной работы.
Пример содержания отчета о выполнении лабораторной работы приведен в
приложении Б.
Игры с природой.
Отличительной особенностью игр с природой является то обстоятельство, что
природа рассматривается как некоторая незаинтересованная инстанция, поведение
которой неизвестно, но, во всяком случае, не содержит элемента враждебности и
сознательного противодействия достижению наших целей. Как и в случае игр с
противником, нам должна быть известна платежная матрица, соответствующая
нашему выигрышу при различных своих стратегиях и состояниях (стратегиях)
природы. Если в случае игры с противником предполагать определенные
вероятности появления его стратегий не представлялось возможным, то в
рассматриваемой ситуации нам полезно дополнительно располагать информацией
о вероятностях появления возможных состояний природы, заданной, например, в
виде смешанных стратегий
 N N ...N n 
 ,
S N   1 2
 q1q2 ...qn 
n
q
i
j 1
 1.
Задача заключается в выборе в конкретных условиях наиболее выгодной
собственной стратегии, а отбрасывать «невыгодные» с точки зрения природы
стратегии нельзя. Исходя из этого в теории статистических решений [3] вводится
понятие риска
rij   j  Eij ,
где rij наш риск при использовании стратегии M i в ответ на состояние природы N j , а
 j - максимально возможный наш выигрыш при состоянии природы N j . Если нам
известны вероятности возможных состояний природы q j , то было бы логичным в
качестве своей стратегии принять одну из наших возможных стратегий M 1 , M 2 ,..., M m ,
максимизирующую наш средний выигрыш
70
n
E  max { Eij q j } .
1i m
j 1
Отметим, что указанная стратегия одновременно минимизирует средний риск.
Примечание. В случае игры с природой количество наших возможных стратегий
отличаться от количества возможных стратегий природы n .
m может
При выборе оптимальной стратегии одну из существенных трудностей
представляет определение конкретного набора вероятностей q j . Если нет никаких
гипотез
о
вероятности
появления
определенного
состояния
природы,
то
используется принцип недостаточного основания Лапласа, когда вероятности
назначаются равными друг другу
q1  q2  ...  qn 
1
.
n
Если у нас существуют некоторые предположения о вероятностях появления
определенных событий, то мы можем их расставить в порядке убывания их
правдоподобности (ранжировать) и поставить им в соответствие некоторый ряд
чисел, определенный, в том числе, и экспертным путем. Отметим, что в любом
случае справедливо утверждение
n
q
j 1
j
1.
Лабораторная работа №7. Решение однокритериальной
статической задачи в условиях неопределенности при играх с
природой
Задание
Используйте придуманную вами задачу разработки управленческого решения.
Задайтесь параметрами, которые могут быть в условиях неопределенности.
Рассмотрите случай игры с природой и решите задачу.
Порядок выполнения работы
1. Из общего числа параметров вашей задачи разработки управленческого
решения выберите один, который будет рассматриваться в условиях
неопределенности. Согласуйте с преподавателем выбранный вами параметр.
71
2. На основе анализа ситуации в зависимости от возможных воздействий
природы задайтесь
m
возможными значениями случайного параметра
Z ( z1 , z 2 ,..., z m ) , для которых будет делаться расчет. Каждое значение этого
параметра
будет
определять
одну
из
наших
возможных
стратегий
M 1 , M 2 ,..., M m
3. Из числа значений случайного параметра Z ( z1 , z 2 ,..., z m ) задайтесь n ( m  n )
возможными значениями, которые определяют возможные стратегии природы
N 1 , N 2 ,..., N n и вероятности их появления q j , обеспечив выполнение условия
n
q
j 1
j
1.
4. Решая задачу с помощью надстройки Поиск решения, определите значение
критериальной функции и соответствующие ему решения в предположении,
что стратегия природы угадана, то есть мы предполагаем значение параметра
z i , и в результате действий природы он принимает именно такое значение.
5. Постройте платежную матрицу, заполните ее диагональ значениями E ij и
отдельно запишите соответствующие нашим стратегиям решения X i .
6. Используя полученное решение
Xi
для каждой строки
i подставляя
соответствующее стратегии природы N j значение параметра z j в выражение
для критериальной функции рассчитайте остальные элементы платежной
матрицы E ij .
7. В соответствии с максиминным критерием Вальда выберите стратегию,
гарантирующая выигрыш не меньший, чем
E  max {min {Eij }} .
1i  m 1 j  n
8. Определите наш максимальный выигрыш
 i при каждой стратегии природы и
рассчитайте матрицу риска в соответствии с выражением
rij   j  Eij
9. В соответствии с критерием минимаксного риска Сэвиджа определите
стратегию, обеспечивающую минимальный риск
r  min {max{rij }} .
1i m 1 j n
72
10. Задайтесь несколькими значениями  ( 0    1 ) и выберите стратегии в
соответствии с критерием пессимизма-оптимизма Гурвица
E  max{ min {Eij }  (1   ) max{Eij }} .
1i m
1 j n
1 j n
11. Сравните результаты расчетов и принятые решения при использовании
критериев Вальда, Сэвиджа и Гурвица при различных
.
Контрольные вопросы
1. Чем игры с природой отличаются от игр с противником?
2. Почему при играх с природой можно задавать значения вероятностей
возникновения стратегий природы?
3. Как можно определить вероятность возникновения стратегии природы?
4. Чем матрица риска отличается от платежной матрицы?
5. В чем заключается разница между критерием Вальда и критерием Сэвиджа?
6. В чем заключается разница между критерием Вальда и критерием Гурвица?
7. Почему игры с природой оказываются сложнее игр с противником?
8. Что общего и в чем отличие методик разработки управленческого решения
при играх с противником и играх с природой?
9. Что такое смешанная стратегия?
10. Из каких соображений следует выбирать параметр  критерия Гурвица?
Отчет о работе
Подготовьте
отчет о
выполненной лабораторной работе.
Он должен
содержать титульный лист, формулировку задания, исходные данные, описание
проблемы, которая была разрешена. Укажите случайный параметр, взятый в
рассмотрение, и обоснуйте его выбор. Приведите обоснование выбора его значений.
Представьте платежную матрицу и результаты ее обработки. Укажите решение,
полученное при использовании критерия Вальда. Представьте матрицу риска и
укажите решение, полученное при использовании критерия Сэвиджа. Приведите
результаты решения задачи с использованием критерия Гурвица. Покажите
зависимость принятого решения от значения параметра  критерия Гурвица.
Сформулируйте выводы, которые можно сделать по результатам выполненной
работы.
73
Пример содержания отчета о выполнении лабораторной работы приведен в
приложении Б.
Игры с природой с экспериментами.
Рассмотренные выше игры с природой предусматривали необходимость
принятия нами решения в условиях неопределенности на основе имеющихся у нас
данных, используемых в процессе вычислений. Такие данные принято называть
априорными.
В
некоторых
неопределенностями
случаях
появляется
при
решении
возможность
задач
с
природными
проведения
различных
экспериментов, позволяющих получить дополнительную информацию и тем самым
снизить степень неопределенности в отношении действительного состояния
природы. Очевидно, что проведение экспериментов связано с затратой ресурсов.
Возникают естественные вопросы: стоит ли проводить эксперимент, сколько должно
быть экспериментов, в каком порядке надо проводить эксперименты. Некоторые
ответы на эти вопросы дает теория игр с экспериментами.
Назовем единичным такой эксперимент, объем и порядок которого заранее
определены и не могут быть изменены в процессе его проведения. Отметим, что
собственно
методику
эксперимента
должен
разрабатывать
специалист
в
предметной области, а мы можем только делать вывод о целесообразности его
проведения
на
основании
имеющейся
априорной
информации.
Единичный
эксперимент не обязательно состоит только из одного испытания. В процессе его
проведения может быть получена целая выборка значений, однако принципиальным
является то обстоятельство, что объем выборки N конечен и известен заранее.
Возможен и другой способ организации эксперимента. В процессе проведения
эксперимента после каждого испытания мы можем принимать решение, прекратить
ли дальнейшие испытания и выбрать ли какую либо стратегию из числа возможных
или продолжить испытания с целью увеличения объема информации. Такие
эксперименты называют последовательными. Максимальное допустимое количество
выборок в процессе проведения последовательного эксперимента тоже может быть
известно заранее (в этом случае говорят об усеченном последовательном
эксперименте), или быть неограниченным (неограниченный последовательный
эксперимент).
74
Будем считать, что в нашем распоряжении имеется набор m стратегий M i ,
которые он может использовать в ответ на одну из n возможных стратегий природы
N j , появляющуюся с вероятностью qi при условии
n
q
j 1
Известна
также
платежная
j
матрица
1.
Eij .
Для
снижения
неопределенности
относительно действительного состояния природы мы можем провести эксперимент,
стоимость которого известна и равна
C . Пусть в результате проведения
эксперимента состояние природы станет известно точно. Необходимо сделать
вывод о целесообразности проведения эксперимента.
Наш средний выигрыш Ei при использовании стратегии M i может быть
определен как
n
Ei   Eij q j . (9)
j 1
В
качестве
оптимальной
стратегии
может
быть
выбрана
стратегия
M,
максимизирующая наш средний выигрыш
n
E  E ( M )  max { Eijq j } .
1 i  m
j 1
Предположим теперь, что в результате проведения эксперимента удалось точно
установить стратегию природы N j . Очевидно, что в этом случае мы должны
выбирать стратегию, обеспечивающую наш максимальный выигрыш
 j  max
{Eij } . (10)
1 i  m
Оценим теперь средний возможный выигрыш после проведения эксперимента
n
 ср   q j  j  C ,
j 1
где
С
- стоимость проведения эксперимента. Отсюда появляется условие
целесообразности проведения эксперимента
E   ср
или
n
n
j 1
j 1
max{ Eij q j }    i qi  C .
1 i  m
75
Преобразовывая неравенство, имеем
n
n
n
C   i qi  max { Eij q j }  min { q j ( j  Eij )} . (11)
j 1
1im
1im
j 1
j 1
Выражение в круглых скобках есть ничто иное как риск
rij   j  Eij .
Тогда правая часть неравенства есть минимальный средний риск, откуда вытекает
условие целесообразности проведения эксперимента: затраты на эксперимент
должны быть меньше минимального среднего риска, иначе от эксперимента следует
воздержаться
и
в
качестве
оптимальной
следует
выбрать
стратегию
максимизирующую средний выигрыш или минимизирующую средний риск.
Рассмотрим случай, когда с помощью эксперимента не удается точно
определить состояние природы, но возможно получить одно из k несовместимых
событий
S1 , S2 ,..., Sk , связанных определенными вероятностями с состояниями
(стратегиями) природы. Обозначим условную вероятность появления исхода Si
эксперимента при условии стратегии природы
символом
Nj
wij . Поскольку
S1 , S2 ,..., Sk образуют полную систему событий, справедливо
k
w
i 1
ij
 1;1  j  n .
Будем считать, что все значения wij известны, а также известна стоимость
проведения эксперимента C . Нас по прежнему будет интересовать вопрос:
целесообразно ли проведение эксперимента и если да, то какую стратегию
необходимо выбрать при том или ином исходе эксперимента. Предположим, что в
результате эксперимента был получен результат Sl . Определим апостериорные
вероятности стратегий природы по теореме Байеса [6]
v jl  P( N j S l ) 
q j wij
n
q
j 1
j
.
wlj
Далее для каждой стратегии рассчитаем величину условного среднего выигрыша
при условии результата эксперимента Sl
т
E   Eij v jl .
ср
il
j 1
76
Очевидно, что оптимальной будет стратегия M i , обеспечивающая максимум
условного среднего выигрыша при конкретном исходе эксперимента Sl
El  max{Eilср } .
1 i  m
Вероятность появления условного выигрыша
El
совпадает с вероятностью
появления события S l . Обозначим ее символом hl . Тогда
n
hl   q j wlj .
j 1
Величина выигрыша с использованием эксперимента
k
E эксп   El hl .
l 1
С другой стороны наш выигрыш без проведения эксперимента определяется
выражением
n
E  max{ Eij q j } .
1 i  m
j 1
Отсюда вытекает условие целесообразности проведения эксперимента
C  Eэксп  Е
Если
проведение
эксперимента
признано
целесообразным,
то
необходимо
разработать систему так называемых решающих правил, смысл которой сводится к
следующему: какую стратегию M i
необходимо выбрать, если эксперимент дал
результат S l ?
Лабораторная работа №8. Решение однокритериальной
статической задачи в условиях неопределенности при играх с
природой с экспериментами
Задание
Используйте придуманную вами задачу разработки управленческого решения.
Задайтесь параметрами, которые могут быть в условиях неопределенности.
Рассмотрите случай игры с природой с экспериментами и решите задачу.
77
Порядок выполнения работы
1. Из общего числа параметров вашей задачи разработки управленческого
решения выберите один, который будет рассматриваться в условиях
неопределенности. Согласуйте с преподавателем выбранный вами параметр.
2. На основе анализа ситуации в зависимости от возможных воздействий
природы задайтесь
m возможными значениями случайного параметра
Z ( z1 , z 2 ,..., z i ,..., z m ) , для которых будет делаться расчет. Каждое значение
этого параметра будет определять одну из наших возможных стратегий
M 1 , M 2 ,..., M i ,..., M m
3. Из числа значений случайного параметра Z ( z1 , z 2 ,..., z i ,..., z m ) задайтесь n
( m  n ) возможными значениями, которые определяют возможные стратегии
природы N1 , N 2 ,..., N j ,..., N n и вероятности их появления q i , обеспечив
выполнение условия
n
q
j 1
j
 1.
4. Решая задачу с помощью надстройки Поиск решения, определите значение
критериальной функции и соответствующие ему решения в предположении,
что стратегия природы угадана, то есть мы предполагаем значение параметра
zi , и в результате действий природы он принимает именно такое значение.
5. Постройте платежную матрицу, заполните ее диагональ значениями Eij и
отдельно запишите соответствующие нашим стратегиям решения X i .
6. Используя полученное решение
X i для каждой строки i подставляя
соответствующее стратегии природы N j значение параметра z j в выражение
для критериальной функции рассчитайте остальные элементы платежной
матрицы Eij .
7. По формуле (9) рассчитайте средний выигрыш при использовании каждой из
m наших возможных стратегий.
8. Определите величину максимального среднего выигрыша и соответствующую
ему стратегию E  E (M ) .
78
9. Предположите, что в результате эксперимента вам удалось точно узнать
состояние природы. Тогда по формуле (10) вычислите его величину
 i для
каждой вашей стратегии.
10. Учитывая, что стратегии природы чередуются с некоторыми вероятностями
q j , рассчитайте ваш выигрыш
n
    j qi .
j 1
11. Задайтесь
неким
эксперимента,
эксперимента
и
значением
определите
C,
определяющим
величину
среднего
стоимость
выигрыша
с
такого
учетом
 ср    C .
12. Определите результат вычисления неравенства E 
 ср и примите решение о
целесообразности или нецелесообразности проведения эксперимента.
13. Проведите
исследование
зависимости
целесообразности
проведения
эксперимента от величины затрат C .
Контрольные вопросы
1. Чем игры с природой с экспериментами отличаются от обычных игр с
природой?
2. Что такое априорные данные?
3. Когда целесообразно проведение эксперимента?
4. Что такое единичный эксперимент?
5. Что такое последовательный эксперимент?
6. Как определить наш средний возможный выигрыш после проведения
эксперимента?
7. Как рассчитать максимальный средний выигрыш?
8. Что представляет собой решение задачи?
9. В чем отличие методики целесообразности определения эксперимента по
критериям Вальда и Сэвиджа?
10. Что такое апостериорные данные?
79
Отчет о работе
Подготовьте
отчет о
выполненной лабораторной работе.
Он должен
содержать титульный лист, формулировку задания, исходные данные, описание
проблемы, которая была разрешена. Укажите случайный параметр, взятый в
рассмотрение, и обоснуйте его выбор. Приведите обоснование выбора его значений.
Представьте
платежную
матрицу
и
результаты
ее
обработки.
Укажите
предполагаемые затраты на эксперимент и полученные в соответствии с ними
решения. Сформулируйте выводы, которые можно сделать по результатам
выполненной работы.
Пример содержания отчета о выполнении лабораторной работы приведен в
приложении Б.
2.6.
Многокритериальные задачи
Многокритериальная задача разработки управленческого решения возникает
в том случае, когда результат ее решения должен удовлетворять нескольким
противоречивым требованиям. В этом случае эффективность решения оценивается
совокупностью неких локальных критериев e1 , e2 ,..., ek , которые могут различаться
своими коэффициентами относительной важности 1 , 2 ,..., k . Тогда говорят, что
локальные критерии образуют вектор критериев E  (e1 , e2 ,..., ek ) , а коэффициенты
вектора важности вектор   (1 , 2 ,..., k ) . Для решения многокритериальной задачи
необходимо найти такое значение вектора управления X , которое обеспечит
оптимальное значение вектора критериев
E  E( X )  optE( X ), .
В методике решении многокритериальных задач дополнительным важным
вопросом оказывается выбор принципа оптимальности. Обычно он строится на
основе различных способов компромисса между составляющими вектора критериев.
Примечание. Под компромиссом понимается соглашение между противоположными, различными
мнениями, направлениями и т.д., достигнутое путем взаимных уступок.
Компромисс
можно
отыскать
только
в
том
случае,
когда
возникает
противоречие между локальными критериями, то есть когда при изменении решения
показатели по одному критерию улучшаются, а по всем другим ухудшаются. Если
изменение решения приводит к улучшению показателей по различным критериям, то
80
имеет место ситуация согласия, которая не представляет интереса для решения
задачи
оптимизации.
Определение
области
компромисса,
то
есть
области
допустимых значений решения Х , для которой имеют место противоречия между
составляющими
векторного
критерия
эффективности,
само
по
себе
уже
представляет достаточно важную задачу, поскольку ее решение существенно
уменьшает количество альтернатив. Дальнейший поиск оптимального решения
заключается в выборе схемы компромисса, которая соответствует отысканию некой
скалярной функции
 от вектора критериев
E ( X ) , обеспечивающей
opt E ( X , )  max  ( E ( X )) .
При решении практических задач составляющие вектора критериев должны
быть приведены к единой размерности или нормализованы. Кроме этого, локальные
критерии могут иметь различную степень важности, в связи с чем при выборе
оптимального решения это обстоятельство также приходится принимать во
внимание. В целом при выборе схемы компромисса приходится решать сложные
концептуальные
проблемы,
что
обычно
приходится
делать
с
помощью
эвристических процедур.
На рис. 20 рассмотрена графическая иллюстрация метода отыскания
возможного компромисса для двухкритериальной задачи. По осям координат
отложены значения локальных критериев e1 и e2 , достигаемых при различных
допустимых значениях решения X . Кривая ABCDE очерчивает область допустимых
значений критериальных функций e1 и e2 и фактически определяет область
согласия. Основной интерес для оптимизации представляет участок кривой BD ,
точки которой находятся в области компромисса (в точке B имеется максимум по
критерию
e2 ,
а
в
точке
D
по
критерию
e1 ).
Решением
оптимальной
двухкритериальной задачи разработки управленческого решения является такое
значение вектора управления X , которое обеспечивает положение решения на
кривой BC удовлетворяющее некоторому принципу компромисса, определяющему
правило
уступки
по
каждому
из
критериев.
Так,
например,
точка
C
и
соответствующее ей решение двухкритериальной задачи выбрана в области
компромисса (на кривой
BD ) как удовлетворяющее требованию одинаковой
абсолютной уступки по критериям e1 и e2 .
81
e2
e2max
B
C
Уступка e2
D
Уступка e1
A
E
e1max
e1
Рис. 20. Область согласия и область компромисса при решении
многокритериальных задач
В
литературе
компромисса.
описано
Наиболее
несколько
простым
распространенных
является способ
способов
скаляризации
выбора
векторного
критерия. В этом случае
k
E  max( E ( X ))  max  ei [ X ]i . (12)
i 1
и
задача
разработки
управленческого
решения
из
многокритериальной
превращается в однокритериальную. Значения весовых коэффициентов
 i могут
быть получены экспертным путем и задаются в абсолютном или относительном
виде. В последнем случае
k

i 1
i
 1.
Если скаляризация векторного критерия не представляется возможной, то можно
воспользоваться методом, основанном на принципе равенства. В этом случае
E  opt ( E( X ))  Ee1  e2  e3 ,...,  ek ,
то есть наилучшим считается такое решение, при котором достигается равенство
локальных критериев. При практической реализации этот метод может оказаться
82
неудобным, поскольку он может выводить решение из области компромисса.
Вариантом этого метода является принцип квазиравенства, при реализации
которого добиваются не точного равенства, а обеспечения разности между
величинами локальных критериев, не превышающих некоторой заданной величины
 . Тогда
E  opt ( E ( X ))  E{| eq  ev |  } , q, v  1,2,..., k . (13)
Еще одним вариантом решения задачи оптимизации является принцип
максимина. В этом случае задача оптимизации решается для каждого из локальных
критериев, после чего отыскивается такое значение вектора управления в области
компромисса, которое обеспечивает максимум наименьшего значения локального
критерия
E  opt ( E( X ))  max min{ ei }, 1  i  k .
Принцип справедливой уступки предлагают компромисс, при котором
суммарный
абсолютный
или
относительный
уровень
снижения
одного
или
нескольких критериев не превосходит суммарного абсолютного или относительного
уровня повышения других критериев. Можно сказать [3], что принцип абсолютной
уступки соответствует критерию
k
E  max{ ei },
i 1
а относительной уступки критерию
k
E  max{ eq }.
q 1
Принцип выделения главного критерия заключается в том, что среди
локальных критериев выделяется один главный, проводится оптимизация по этому
критерию, а затем обеспечивается требование, чтобы величины других критериев не
были бы меньше некоторых заданных величин. Вариантом этого метода является
принцип последовательной уступки, при котором показатели эффективности
ранжируются в порядке убывания важности. Далее находят решение обращающее в
максимум главный показатель эффективности
e1 . После этого назначается
некоторая уступка e1 , которая позволяет максимизировать значение показателя e 2 .
Далее снова назначается уступка e 2 и максимизируется значение показателя e3 и
83
т.д. Полученное в итоге оптимальное в рамках выбранной схемы компромисса
решение обеспечивает значение показателя эффективности в пределах величин
заданных уступок.
В целом процедура решения многокритериальной задачи разбиваются на два
этапа: собственно оптимизацию в соответствии с одним из ранее рассмотренных
методов по каждому из критериев и выбор схемы компромисса между локальными
критериями.
Лабораторная работа №9. Решение многокритериальной задачи
Задание
Используйте придуманную вами задачу разработки управленческого решения.
Сформулируйте еще одну цель ее разрешения и задайтесь соответствующим этой
цели
критерием.
Решите
задачу,
используя
различные
способы
выбора
компромисса.
Порядок выполнения работы
1. Сформулируйте еще одну или несколько целей, которые должны быть
достигнуты при решении вашей задачи и подберите соответствующие
критерии.
Составьте
вектор
критериев
E  (e1 , e2 ,..., ek ) .
Согласуйте
с
преподавателем выбранные вами дополнительные критерии.
2. Решая задачу оптимизации по каждому критерию, убедитесь в том, что они
противоречивы, то есть в том, что оптимальное решение по одному критерию
не совпадает с оптимальным решением по другим. Если это не так, то
исключите один из критериев из рассмотрения.
3. Составьте вектор важности   (1 , 2 ,..., k ) на основе экспертной оценки
значимости критериев задачи и решите ее методом скаляризации векторного
критерия, для чего в поле Установить целевую ячейку главного меню
надстройки Поиск решения рис. 7 выберите ячейку, реализующую формулу
(12).
84
4. Проведите исследование зависимости решения многокритериальной задачи,
полученного методом скаляризации векторного критерия, от значений вектора
важности   (1 , 2 ,..., k ) .
5. Если локальные критерии E  (e1 , e2 ,..., ek ) имеют одинаковые размерности, то
решите задачу методом квазиравенства (13). Для этого в поле Установить
целевую ячейку главного меню надстройки Поиск решения рис. 7 выберите
ячейку, рассчитывающую величину одного из критериев, а остальные
выражения, связывающие между собой локальные критерии e i e j , добавьте
в ограничения, и решите задачу оптимизации.
6. Если локальные критерии E  (e1 , e2 ,..., ek ) имеют одинаковые размерности, то
решите задачу методом максимина.
7. Решите задачу методом выделения главного критерия, для чего задайте
последовательно каждый из критериев как главный и с помощью надстройки
Поиск решения получите соответствующие ему решения.
8. Решите задачу методом последовательной уступки. Для этого проведите
ранжирование критериев. С помощью надстройки Поиск решения получите
оптимальное решение, соответствующее первому критерию. Задайтесь
величиной уступки по первому критерию, переведите соответствующее
решение в ограничения и решите задачу оптимизации по второму критерию.
Снова задайтесь величиной уступки уже по второму критерию, добавьте
соответствующее выражение в ограничения и аналогично продолжайте
процесс оптимизации до тех пор, пока список критериев не будет исчерпан.
9. Сравните результаты решения задачи, полученные различными методами, и
представьте их в таблице.
Контрольные вопросы
1. Когда задача становится многокритериальной?
2. Что такое вектор важности?
3. Что такое компромисс?
4. Что такое область согласия?
5. Что такое область компромисса?
6. В чем заключается основная идея метода скаляризации векторного критерия?
85
7. В чем заключается основная идея метода квазиравенства?
8. В чем заключается основная идея метода последовательной уступки?
9. Что такое абсолютная и относительная уступки?
10. Чем скаляр отличается от вектора?
Отчет о работе
Подготовьте
отчет о
выполненной лабораторной работе.
Он должен
содержать титульный лист, формулировку задания, исходные данные, описание
проблемы, которая была разрешена. Укажите дополнительные критерии, взятые в
рассмотрение, и обоснуйте его выбор. Представьте таблицу результатов решения
задачи
при
использовании
различных
способов
выбора
компромисса.
Сформулируйте выводы, которые можно сделать по результатам выполненной
работы.
Пример содержания отчета о выполнении лабораторной работы приведен в
приложении Б.
2.7.
Динамические задачи разработки управленческого
решения
Общая постановка динамической задачи разработки
управленческого решения
Задача
разработки
управленческого
решения
переходит
в
категорию
динамических в том случае, когда входящие в ее состав параметры оказываются
функциями времени. Следует отметить, что в некоторых задачах время может
рассматриваться как ресурс. Его специфической особенностью является то
обстоятельство, что расходом времени невозможно управлять. Вместе с тем учет
времени как ресурса оказывается принципиальным для целого класса задач, в
основе
которых
лежит,
например,
требование
минимизации
времени,
затрачиваемого на выполнение работы.
В других задачах время может выступать в качестве дополнительного
параметра, значение которого изменяется самопроизвольно по известному закону.
Динамические задачи разработки управленческого решения могут рассматриваться
86
как в предположении непрерывности времени как аргумента, так и в предположении,
что значимые параметры задачи определяются только в некоторые фиксированные
моменты времени. В первом случае говорят о непрерывных динамических задачах,
а во втором о дискретных. Математически при переходе от непрерывной задачи к
дискретной непрерывное время t заменяется неким набором дискретных отсчетов
t  nt n , где n - номер отсчета, а t n - шаг дискретизации, n  0,1,2,..., N  1,... - номер
отсчета.
Обычно
рассматривают
эквидистантные
задачи,
для
которых
t n  t  const . Наконец, в некоторых случаях число рассматриваемых моментов
времени N может быть конечным.
Формально динамическая задача разработки управленческого решения может
быть описана следующим выражением:
 E  E C, X,Y1 ,Y2 ,...,Yq ,Z 1 ,Z 2 , ...,Zr ,t ;

C=c1 , c2 , ...,cn ,t ;
 X   x1 ,x2 ,...,xn ,t ;

 

 g  g  A , X,Y ,Y ,...,Z ,Z ,...,t =
 i
 
i
i
1i
2i
1i
2i

 
 

i  1, 2 , ... , m;

 Ai=a1i ,a 2 i ,...,ani ,t ;
 y  y (t);
j
 j
 z k  z k (t).
bi (t ) 


 Ybi , t  ;
Z , t 
 bi 
Дискретное представление исходных параметров заставляет вводить в
рассмотрение не интегральные зависимости, а суммы. Формально такая замена
проводится достаточно легко, однако в этой операции имеется ряд тонких моментов,
которые необходимо принимать во внимание. К их числу следует в первую очередь
отнести размер выборки
N . Если число
N
сравнительно велико, а шаг
дискретизации t оказывается относительно небольшим, процедура дискретизации
параметра не оказывает существенного влияния на результат решения (рис. 21 a).
87
x(t)
x(t)
t
t
а)
б)
Рис. 21 Дискретизация непрерывного процесса с маленьким а) и большим б)
шагами
Ситуация существенно меняется в том случае, когда за время интервала
дискретизации параметр успевает существенно измениться, а само число его
отсчетов невелико (рис. 21 б). Если в первом случае можно говорить о
приближенном дискретном представлении непрерывного параметра, то во втором
речь идет о существенном искажении вида параметра, что приводит к серьезным
изменениям в структуре решения и может дать существенно отличные результаты.
На
настоящий
динамических
задач
момент
разработки
отсутствует
исчерпывающая
управленческого
решения,
классификация
поэтому
далее
представлена коллекция различных вариантов их постановки и методов решения.
Метод сетевого планирования
В основе методов сетевого планирования лежит так называемый сетевой
граф, пример которого показан на рис. 22. В кружках графа обычно отмечают
различные события, например «Завершены монтажные работы». Стрелки графа
означают собственно работу, которая может потребовать определенных ресурсов, в
том числе и времени. Важной особенностью сетевого графа является возможность
определения полного времени, которое требуется на выполнение работы. Оно
определяется так называемым критическим путем, который представляет собой
последовательность событий, достижение которых требует максимально большого
времени. Очевидно, что если бы граф не имел разветвлений, то полное время
выполнения работ совпадало бы с суммой времен, затраченных на каждую работу.
Однако, в случае ветвлений, некоторые из работ параллельных ветвей могут быть
завершены раньше. Тогда полное время выполнения параллельных работ
88
определяется временем выполнения самой длинной работы. Она и оказывается на
критическом пути.
Применительно
к
сетевому
графику
может
быть
поставлена
задача
оптимизации использования материальных, трудовых и финансовых ресурсов.
Например, если имеется несколько параллельных ветвей графа, то работа,
лежащая на критическом пути, обязательно должна быть обеспечена всеми
необходимыми
ресурсами.
В
то
же
время
остальные
работы
могут,
при
необходимости, начаты с некоторой задержкой. Эта задержка может быть
запланирована и использована для того, чтобы один и тот же ресурс первоначально
использовался для выполнения одной работы, а потом другой. Время окончания
любой работы должно быть согласовано с временем окончания работы, лежащей на
критическом пути, поскольку иначе задержанная с началом работа сама окажется на
критическом пути.
Завершены
монтажные
работы
Документация готова
Завершены
прочие
работы
Завершен
косметический ремонт
Сдано
заказчику
Рис. 22. Пример сетевого графа выполнения строительных работ
Сетевой график может рассматриваться как в условиях определенности, так и
в условиях риска и неопределенности. В случае риска можно говорить и среднем
времени выполнения работы и рассчитывать его теми же методами, которые
использовались
при
решении
статических
задач.
Аналогично
в
случае
неопределенности можно рассматривать оптимальные стратегии.
Сетевые
графики
широко
используются
в
современной
методологии
управления различными видами деятельности, имеющими четко обозначенное
начало и конец, и получившими название «Управление проектами». Проект –
комплекс взаимосвязанных мероприятий, предназначенных для достижения в
течение заданного времени и при установленном бюджете поставленных задач с
четко определенными целями.
89
Для
поддержки
проекта
существуют
специальные
программные
средства,
позволяющие автоматизировать многие операции, связанные с разработкой,
оптимизацией и реализацией проекта. На рис. 23 показан пример выдачи
программой пакета Microsoft Project последовательности работ проекта в виде так
называемой диаграммы Ганта. Удобство такой диаграммы заключается в том, что
система сразу выделяет цветом работы, находящиеся на критическом пути, а также
дополнительно выдает информацию о сроках (датах) каждой работы. Кроме этого,
система может строить и обычный сетевой график (рис. 24), отображать загрузку и
расход ресурсов, контролировать ход выполнения проекта, в том числе и расход его
сметы и многое другое.
Рис. 23. Диаграмма Ганта.
Методы теории массового обслуживания
Система массового обслуживания – это модель некоторой реальной системы,
в которой имеется случайный поток требований на обслуживание, которое ведется в
90
системе с некоторыми определенными правилами. Теория массового обслуживания
имеет своей целью разработку методов и моделей оценивания эффективности
процессов массового обслуживания и качества реализующих их систем, а также
моделей и методов организации данных процессов и систем, обеспечивающих
требуемую их эффективность и качество [10]. На рис. 25 в качестве примера
приведен один из простейших вариантов таких систем.
Задачи разработки управленческого решения, решаемые методами теории
массового обслуживания, относятся к категории задач в условиях риска, а основным
методом решения подобных задач можно считать метод Монте-Карло. Оптимизация
принимаемых решений на основе использования теории массового обслуживания
может вестись, в частности, за счет выбора количества устройств обработки
требований на обслуживание.
Рис. 24. Сетевой график, выдаваемый системой управления проектами
91
Источник
требований на
обслуживание
Заявки на
обслуживание
Накопитель
Требования на
обслуживание
Устройство
обработки
Обслуженные
требования
Отклоненные
требования
Рис. 25. Пример одноканальной системы массового обслуживания
Метод динамического программирования
Динамическим программированием называется метод оптимизации, в котором
процесс принятия решения может быть разбит на шаги [11]. Каждый шаг переводит
объект управления из состояния S k в состояние S k 1 посредством управления X k .
Если общее количество шагов равно n , то можно говорить о последовательности
состояний
системы,
S0 , S1 ,..., S k 1 , S k ,..., S n1 , S n
которую
она
принимает
в
результате воздействия n различных управлений X ( X 1 , X 2 ,..., X k ,..., X n ). Целевая
функция системы зависит от начального состояния и управления
E  E (S 0 , X ) .
Предполагается, что состояние системы S k в конце k -того шага зависит только от
предшествующего состояния S k 1 и управления на k -том шаге X k . Тогда уравнение
состояния системы имеет вид
S k   k ( S k 1 , X k ),
k  1,2,..., n.
Если считать целевую функцию аддитивной от показателя эффективности каждого
шага, то на шаге k ek  ek ( Sk 1 , X k ), и целевая функция имеет вид
n
E   ek ( S k 1 , X k ).
k 1
Решением задачи динамического программирования является определение такого
управления
X ( X 1 , X 2 ,..., X n ) , которое переводит систему из состояния S 0 в
состояние S k при наибольшем (наименьшем) значении E .
Для решения задачи динамического программирования был сформулирован
так
называемый
принцип
оптимальности.
следующему: каково бы ни было состояние
Его
s
смысл
которого
сводится
к
системы в результате выполнения
какого-либо числа шагов, управление на ближайшем шаге нужно выбирать так,
92
чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах
приводило к максимальному выигрышу на всех оставшихся шагах включая данный.
Рассмотрим последний шаг n . Состояние системы к началу шага S n1 , X n
управление, а en ( S n1 , X n ) - целевая функция. Согласно принципу оптимальности
управление X n нужно выбирать так, чтобы для любого состояния S n1 получался
условный максимум целевой функции e (S n1 )
en ( S n1 )  max{ en ( S n1 , X n )}.
Решение
X ( S n 1 ) ,
при
котором
достигается
называется
e (S n1 )
условным
оптимальным управлением на шаге n . Условный максимум целевой функции
отыскивается для всех возможных состояний системы на последнем шаге. Далее
рассматривается совместно последний и предпоследний шаг. Целевая функция в
этом случае имеет вид
en1 (S n2 , X n1 )  en (S n1 ).
Отыскивается условное оптимальное управление на двух последних шагах для всех
возможных состояний системы на предпоследнем шаге
en 1 ( S n 2 )  max {en 1 ( S n 2 , X n 1 )  en ( S n 1 )}.
Xn _1
Состояние
системы
при
известном
управлении
X n1
определяется
как
S n1   n1 ( S n2 , X n1 ) , в связи с чем целевая функция e ( S n2 ) зависит только от
состояния на предыдущем шаге и текущего управления. Далее рассматривается
три, четыре и т.д. последних шага. В общем случае для шага k получается
уравнение
Белмана,
впервые
разработавшего
метод
динамического
программирования.
ek (S k 1 )  max{ek (S k 1 , X k )  ek 1 (S k )}.
{Xk }
В результате условной оптимизации могут быть получены последовательности
значений критериальной функции и условных управлений
en (S n1 ), en1 ( S n2 ),..., e2 (S1 ), e1 (S 0 ),
X n ( S n1 ), X n1 ( S n2 ),..., X 2 ( S1 ), X 1 ( S 0 ).
93
Решение задачи динамического программирования получается в результате
подстановки конкретного значения S 0 в выражение для решения на первом шаге
X 1 ( S 0 ) и e1 ( S 0 ) . Далее определяется состояние первого шага
S1  1 ( S 0 , X 1 )
и так далее для всех n шагов. Оптимальное решение задачи получается при
последовательном расчете оптимальных решений
X i (Si )
и
ei ( S i 1 )
и новых
состояний S i 1   i 1 ( S i X i ) .
При практической реализации метода динамического программирования на
ЭВМ возникает ряд трудностей, связанных, в частности, со способами описания
состояния объекта управления. Как правило, рассматривается конечное число
состояний объекта управления на каждом шаге. Тем не менее, наибольший интерес
представляет случай отыскания оптимального состояния объекта из бесконечного
числа
возможных
состояний,
например,
методом
математического
программирования. В доступной литературе такие материалы отсутствуют, кроме
того, не имеется сведений о программной реализации метода динамического
программирования, хотя потребность в решении таких задач в достаточно велика.
Из сказанного следует, что доведение методов динамического программирования до
практического использования представляет собой актуальную и важную задачу
исследования.
Задача управления запасами
Задача управления запасами впервые была описана и решена в 1915 году
Фордом Хариссом. В ее основе лежит проблема, связанная с рассогласованием
режимов работы поставщика и потребителя. Наличие склада позволяет обеспечить
независимость работы потребителя от условий поставки материальных ресурсов.
Задача управления запасами имеет цель отыскания решения, минимизирующего
общие затраты на приобретение и хранение запасов. Предполагается, что общая
сумма затрат на хранение запасов складывается из двух основных составляющих:
затраты на пополнение запасов (издержки поставок) и затраты на собственно
хранение (издержки по содержанию запаса).
94
Издержки поставок включают стоимость получаемого товара, расходы по
доставке и контролю, оформлению документации, предварительные расходы на
поиск поставщика и оформление с ним договора. Часть издержек поставок зависит
от размеров поставляемой партии материалов, а часть зависит только от самого
факта поставки и пропорциональна числу партий. Логично предположить, что
издержки поставок уменьшаются с ростом размера заказа. Тогда из соображений их
уменьшения целесообразно делать заказ как можно реже максимально большим
объемом.
Издержки
по
содержанию
запаса
включают
расходы
по
складскому
помещению (электроэнергия, тепло), на оплату труда персонала, страховку, потери
материала, на амортизацию капиталовложений в оборудование склада, потери от
связывания средств в незавершенном производстве. Сюда же могут быть отнесены
потери от старения товара, порчи и хищений. Естественно предположить, что
издержки по содержанию запаса растут по мере увеличения объема запаса, а из
соображений их уменьшения было бы хорошо иметь минимальный объем запасов и
даже, если возможно, вообще отказаться от складского хозяйства.
На рис. 26 представлен график зависимости величины запаса от времени. При
управлении запасами необходимо выбирать момент заказа и объем партии. Сами
запасы могут расходоваться также партиями, (например, суточная норма). Это
обстоятельство отмечено на графике ступеньками. Отсутствие запаса на складе
может привести к остановке производства и, как следствие, штрафным санкциям.
95
О
тс
за утс
па тв
со ие
в
Подача
заказа
Уровень
повторного заказа
Размер заказа
Уровень запасов
Время
поставки
Время
Рис. 26. Зависимость запаса от времени
Пусть штрафные санкции отсутствуют. Будем считать, что издержки поставок
зависят только от числа поставок, а заказ выполняется одинаковыми партиями P ,
следующими с интервалом t 0 с издержками на поставку каждой партии C0 . Тогда за
время T будет поставлено z  T t0 партий товара размером P  P z , а общие
издержки составят C  z  C0 .
Кроме этого будем считать, что издержки от хранения C хр пропорциональны
размеру хранимой партии P (рис. 27). Предположим, что заказ выполняется
мгновенно, а партия расходуется равномерно и на момент заказа складской запас
отсутствует. Тогда выражение полных издержек (рис. 27) будет иметь вид
Å  C0
P Ñ õð PT

.
P
2
Общие затраты на хранение имеют выраженный минимум. Поэтому возникает
оптимизационная задача. Дифференцируя по P , имеем
E
PC0 CõðT

,
P2
2
96
откуда размер оптимальной партии
2 P C 0
.
C õðT
P  Pîïò 
Последнее выражение в литературе получило название формулы Уилсона
или формулы наиболее экономичного объема партии.
Задача управления запасами становится многономенклатурной, если в
рассмотрение принимается несколько видов запасов с разными условиями поставки
и расходования. В этом случае можно минимизировать как затраты на поставку и
хранение каждого вида запасов, так и всех запасов совместно.
Стоимость
Общая стоимость запасов
Изд
ан
и хр
к
ж
ер
С то и
мост
ь
зака
я
ен и
за
Размер заказа q
Рис. 27. Зависимость затрат на запасы
Методы вариационного исчисления и теории оптимального
управления
Вариационное исчисление – математическая дисциплина, посвященная
отысканию экстремальных (наибольших или наименьших) значений функционалов
[1]. В свою очередь под функционалом понимается числовая (действительная или
комплексная)
Вариационное
функция,
определенная
исчисление
является
на
некотором
естественным
множестве
развитием
функций.
той
главы
математического анализа, которая посвящена задаче отыскания экстремумов
функций. В основе постановки задач классического вариационного исчисления
лежат задачи управления физическими процессами. Во всех вариантах таких задач
97
речь идет о способе задания наилучшего в том или другом смысле управления,
обеспечивающего минимизацию или максимизацию некой цели управления.
В одной из возможных постановок [6] предметом вариационного исчисления
является отыскание неизвестных функций y (x) или yi (x) , реализующих максимум
или минимум определенных интегралов вида
x2
I   F [ y ( x), y ( x), x]dx
x1
или
x2
I   F [ y1 ( x), y 2 ( x),..., y n ( x); y1 ( x), y 2 ( x),..., y n ( x); x]dx,
x1
где F - функция, описывающая взаимосвязь поведения объекта в зависимости от
управления. На функцию
F
накладывается ряд требований, в частности,
требования непрерывности производных на интервале определения, что всегда
обеспечивается в задачах с физическими процессами и не всегда в задачах
экономики и менеджмента. В большинстве приложений функции y (x) или yi (x)
выбираются не среди множества всех возможных функций от x , а среди множества
функций определенного класса. Такое допущение оправдано в связи с тем, что
возможности управления процессом очень часто ограничивают класс возможных
функций неким заранее заданным.
Развитие
идей
вариационного
исчисления
привело
к
определенной
модернизации постановки исходной задачи в виде учета ограничений функции y (x)
и созданию теории оптимального управления. Методы решения подобных задач
опираются на реализацию так называемого принципа максимума Понтрягина [1].
Практическая
реализация
методов
вариационного
исчисления
и
теории
оптимального управления позволяет решать динамические задачи разработки
управленческого решения.
Метод сведения дискретной динамической задачи к статической
Одним из возможных методов разработки управленческого решения для
динамических задач является метод, основанный на представлении динамической
задачи в виде набора самостоятельно существующих статических задач. Пусть
98
рассматривается L дискретных моментов времени. Для каждого из них можно
сформулировать самостоятельную задачу разработки управленческого решения
(например, однокритериальную статическую в условиях определенности) 1
E[k ]  E (C[k ], X [k ])  max,
g i [k ]  g i ( A[k ], X [k ]) {, , }b j [k ],
где k - текущий дискретный момент времени, 0  k  L 1.
Рассмотрим совместную однокритериальную статическую задачу в условиях
определенности,
решение
которой
представляет
Х
собой
набор
из
L
самостоятельных решений X [k ] для текущего момента времени k . Будем считать,
что критериальная функция новой совместной задачи определяется как сумма
критериальных функций для каждого момента времени, а ограничения для каждого
момента времени добавляются к общему списку ограничений задачи. Тогда условие
новой задачи можно записать как
L
Е[k ]   E (C[k ], X [k ])  max,
k 0
g i [k ]  g i ( A[k ], X [k ]) {, , }bi [k ],
а общее количество уравнений ограничений увеличилось в L раз. Таким образом,
решение динамической задачи сводится к решению статической задачи разработки
управленческого
решения
и
может
осуществляться
рассмотренными
ранее
методами.
Реализация метода в общем случае приводит к существенному росту
трудоемкости вычислений. Отметим, что если количество переменных при
использовании метода всегда возрастает в L раз, то число уравнений ограничений
может
быть
значительно
сокращено
за
счет
конкретного
рассмотрения
динамических параметров. Так, если к категории динамических относятся один или
несколько параметров bi , то рассмотрение каждого из них во времени увеличивает
количество ограничений в
L
раз. Для статических
bi
нет необходимости
увеличивать количество уравнений, поскольку в этом случае они имеют смысл
величины
имеющегося
ресурса
на
весь
интервал
планирования.
Наконец,
зависимость от времени неконтролируемых факторов C и A вообще может быть
1
Здесь и далее в квадратных скобках указан номер отсчета дискретного аргумента
99
легко учтена при записи выражения целевой функции или ограничений особенно в
численной форме.
Практическая реализация метода сведения динамических задач к статическим
может быть осуществлена с использованием современных программных средств,
реализующих,
например,
метод
линейного
программирования.
При
выборе
используемой программы следует обращать внимание на ограничения программы
по максимальному числу переменных и ограничений. Таким образом, метод
сведения динамических задач к статическим может быть использован для решения
динамических задач разработки управленческого решения.
Лабораторная работа №10. Решение дискретной задачи разработки
управленческого решения методом сведения динамической задачи
к статической
Задание
Используйте придуманную вами задачу разработки управленческого решения.
Переведите ее в категорию динамических дискретных задач и найдите решение,
обеспечивающее экстремум критериальной функции задачи, записанной как сумма
ее значений для каждого момента времени
Порядок выполнения работы
1. Возьмите в качестве основы решенную вами в процессе выполнения
лабораторной работы №2 однокритериальную статическую задачу в условиях
определенности.
2. Определите параметр задачи, который будет рассматриваться как зависящий
от времени. Согласуйте с преподавателем выбранный вами параметр.
3. Задайтесь количеством интервалов времени L , применительно к которым
будет решаться задача.
4. Увеличьте общее количество переменных задачи в L раз. Например, при
L  3 для задачи, изображенной на рис. 9, общее количество переменных
станет равным 12. Для определенности в обозначения решения введите
100
указание момента времени. Например, обозначение x 3 [ 2] означает третий
элемент вектора управления, рассматриваемый в момент времени k  2 .
5. Задайте значения весовых коэффициентов целевой функции c j [k ] для
1  k  L . Например, просто скопируйте в соответствующие ячейки рабочего
листа значения c j [1] , если вы считаете, что они не зависят от времени.
6. Вставьте, если это необходимо, дополнительные строки ограничений для
k  2 , дополнив значениям параметры a ij [k ] при k  2 . Повторите эти
действия для всех остальных возможных значений k .
7. Запрограммируйте выражения, определяющие расход соответствующего
ресурса с учетом увеличения общего числа неизвестных задачи.
8. В соответствующих строках задайте величины ограничений для каждого
момента времени b i [k ] .
9. Запрограммируйте общее выражение для целевой функции как сумму
произведений значений c j [k ] на x j [k ] и назначьте эту ячейку в качестве
целевой в надстройке Поиск решения (рис. 7).
10. В поле Изменяя значения укажите все значения x j [k ] .
11. В поле Ограничения введите величины израсходованных ресурсов, знаки
неравенств и наличие ресурса..
12. Решите задачу поиска оптимального решения и получите оптимальное
решение X [k ]  ( x1[k ], x2 [k ],..., x j [k ],..., xn [k ]) .
13. Проведите исследование зависимости решения от характера изменения
динамического параметра.
Контрольные вопросы
1. Когда задача становится динамической?
2. В чем заключается отличие дискретных задач от непрерывных?
3. Как шаг дискретизации влияет на качество преобразования непрерывного
сигнала к дискретному?
4. Как ставятся задачи оптимизации в управлении проектами?
5. Как ставятся задачи оптимизации в теории массового обслуживания?
6. В чем основная идея метода динамического программирования?
101
7. Как ставятся задачи оптимизации при управлении запасами?
8. Для каких целей можно использовать преобразования Фурье?
9. Чем постановка задачи теории оптимального управления отличается от
постановки задачи вариационного исчисления?
10. В чем заключается основная идея метода сведения дискретной динамической
задачи к статической?
Отчет о работе
Подготовьте
отчет о
выполненной лабораторной работе.
Он должен
содержать титульный лист, формулировку задания, исходные данные, описание
проблемы, которая была разрешена. Укажите динамические параметры, взятые в
рассмотрение, и обоснуйте его выбор. Представьте таблицу результатов решения
задачи.
Сформулируйте
выводы,
которые
можно
сделать
по
результатам
выполненной работы.
Пример содержания отчета о выполнении лабораторной работы приведен в
приложении Б.
2.8.
Рациональные решения
Общий алгоритм разработки управленческого решения
В рассмотренных выше оптимальных задачах разработки управленческого
решения множество альтернатив, как правило, представляло собой бесконечное
количество вариантов решений, генерируемых автоматически. В дискретных
оптимальных задачах количество альтернатив может быть конечным, однако
возможность их автоматического создания по-прежнему сохраняется. Практики
заинтересованы в использовании оптимальных методов, поскольку, с одной
стороны, они получают лучшее из возможных решение задачи, а с другой
освобождаются от необходимости генерации альтернатив и их отбора. Если
оптимальные процедуры по каким-то причинам не могут быть использованы, то
разработка вариантов решения задачи проводится другими методами.
К сожалению, существует много практических случаев, когда рассчитать или
реализовать оптимальное решение становится невозможным. Это обстоятельство
приводит к необходимости создания общего алгоритма процедуры разработки
102
управленческого решения, представленной на рис. 28, и учитывающей другие
варианты методов поиска решений, отличные от оптимальных.
В основе процедуры разработки управленческого решения всегда лежит
проблема и цель ее разрешения. Далее должны быть определены ограничения и
сделана попытка подобрать критерий достижения цели разрешения проблемы. Если
установлено, что критерий может существовать, проводится его окончательная
формулировка и анализируются возможности использования оптимальных методов
решения задачи. Если они существуют, то проводится решение задачи с их
использованием.
Если
оптимальный метод решения задачи нереализуем
или вообще
отсутствует, то необходимо заняться разработкой альтернатив. На практике это
означает, что приходится разрабатывать возможные варианты решения задачи,
удовлетворяющие имеющим ограничениям и оценивать каждый вариант по
значению критерия. Соответственно, если задача оказывается в условиях риска, то
необходимо рассчитать, например, среднее значение показателя эффективности
для каждого варианта. Для задач в условиях неопределенности также строится
платежная матрица или матрица риска, только ее значения рассчитываются на
основе
предложенных
многокритериальной,
альтернатив.
то
проводится
Наконец,
расчет
если
всех
задача
критериев
оказывается
для
каждой
альтернативы и выбирается принцип компромисса. После этого выбирается
альтернатива,
наилучшим
образом
удовлетворяющая
выбранного принципа компромисса.
103
критериям
с
учетом
Да
Идентификация
и постановка
проблемы
Есть критерий
Нет
Формулирование
критерия и
классификация
задачи
Принятие
проблемы
Да
Критерий
метрический
Нет
Формулировка
цели разрешения
проблемы
Да
Есть
оптимальный
метод
Определение
ограничений
Нет
Решение задачи
класификации
или
ранжирования
Разработка
альтернатив
Метод находит
оптимальную
альтернативу
Экспертная
процедура
Сравнение
альтернатив по
критерию
Подбор критерия
Принятие
решения
Рис. 28. Общий алгоритм разработки управленческого решения
Иногда
возникают
ситуации,
когда
критерий
выражается
только
в
качественной форме, например, «лучше – хуже». Такие критерии принято называть
неметрическими [12]. Сравнение альтернатив по неметрическому критерию можно
выполнить (в том числе и автоматически) за счет решения задачи ранжирования или
классификации с использованием методов теории экспертного оценивания и систем
экспертной поддержки (рис. 1). Все это приводит к появлению дополнительной ветви
общей процедуры разработки управленческого решения рис. 28.
Наконец, в случае слабо структурированных задач и отсутствия возможности
использования критерия как средства оценки альтернатив, приходится прибегать к
экспертным процедурам (см. стр. 108).
104
Нереализуемые оптимальные решения
Рассмотрим некоторые причины, которые обуславливают невозможность
принятия и реализации оптимальных решений.
Физическая нереализуемость. Оптимальное решение может относиться к
категории нереализуемых решений. Причина возникновения подобной ситуации
определяется недостаточно полным учетом ограничений ресурсов в математической
модели. Так, например, решение статической задачи может не учитывать
ограничения по имеющимся трудовым ресурсам в смысле их квалификации. В
динамических задачах известны случаи, когда для расчета оптимального решения
необходимо предварительно иметь бесконечную реализацию исходного процесса.
Существование физически нереализуемых решений представляет определенный
практический интерес как средство оценки потенциально достижимой эффекта
(предельное значение критерия).
Техническая нереализуемость. Реализация или даже расчет оптимального
решения
могут
оказаться
невозможными
чисто
по
техническим
причинам,
определяемыми текущим состоянием имеющихся в распоряжении разработчика
технических средств. Такая ситуация возникает в том случае, когда объем реальной
задачи
не
соответствует
техническим
характеристикам
вычислителя
или
вычислитель неисправен или отсутствует, или произошел сбой вычислений, утрата
данных, использование ошибочных данных и т.п. К этой же категории следует
отнести ситуации, когда полученные результаты решения уже не представляют
интереса для исследователя, поскольку они поступают после принятия решения.
Как следствие, при возникновении нереализуемых оптимальных решений
приходится пользоваться методами разработки рациональных решений.
Разработка альтернатив для принятия рациональных решений
Отметим, что на практике подавляющее большинство решений, принимаемых
к разработке и реализации, относится к категории рациональных. Если используются
методы теории принятия решений, то качество разработки рациональных решений в
первую очередь определяется качеством разработки альтернатив.
Разработка рациональных решений также начинается с формулирования
проблемы и определения цели или целей ее разрешения, на основе которой
105
формулируется критерий или критерии и принцип компромисса. Кроме этого,
определяются
ограничения,
который
могут
существенно
сократить
число
разрабатываемых альтернатив.
Разработка
альтернатив
автоматизированными
или
может
ручными
проводиться
методами.
автоматическими,
Автоматические
методы
предусматривают использование оптимальных методов решения задачи в случае,
когда имеет место их физическая или техническая нереализуемость. Так, например,
может быть автоматически сгенерировано ограниченное число вариантов решения
или варианты, дающие приближенное решение. Другим вариантом использования
автоматических методов может быть генерация случайного набора альтернатив,
например, на основе использования датчиков случайных чисел.
Автоматизированные методы подразумевают участие в процедуре генерации
альтернатив человека. Им может быть, например, эксперт или сам постановщик
задачи. В этом случае можно существенно сократить количество альтернатив за
счет отбраковки «заведомо плохих».
Наконец, ручные методы не предусматривают существенной автоматизации и
используются в тех случаях, когда альтернативы оказываются, например, весьма
сложными или не поддающимися формализации.
При использовании автоматизированного и ручного метода генерации
альтернатив целесообразно первоначально попытаться определить множество
допустимых значений альтернатив. Очевидно, что это множество обязательно
должно удовлетворять ограничениям задачи. Тем не менее, в некоторых случаях на
этапе разработки альтернатив, особенно если их очень много, можно вводить
дополнительные ограничения, отбрасывающие заведомо худшие.
Найденные альтернативы должны быть подвергнуты сравнению с критерием и
в качестве рационального решения должна выбираться альтернатива с наилучшим
значением критериальной функции. Методы разработки альтернатив рациональных
решений представлены на рис. 29.
Имеющиеся в распоряжении исследователя альтернативы не обязательно
исчерпывают весь возможный список, поскольку некоторые из них могут быть еще
не найдены (например, не придуман ход в шахматной партии) или они еще в
принципе не существуют, но могут появиться в будущем или были когда–то в
прошлом (например, вариант обмена квартиры). Оптимальные решения в таких
106
случаях просто не существуют, поскольку никто не может гарантировать, что не
будет придуман ход лучше или не появится новый вариант обмена.
Методы разработки
альтернатив
рациональных решений
Автоматизирова
нные
Автоматические
На основе
оптимальных
методов
На основе
оптимальных
методов
На основе
моделирования
На основе
моделирования
Ручные
Работа
экспертных групп
Работа
экспертных групп
Рис. 29. Методы разработки альтернатив при принятии рациональных решений
Особый интерес представляет случай, когда ищется только две альтернативы
решения. Подобного рода решения называют бинарными [25] или решениями типа
делать – не делать [29]. Заметим, что решение подобного рода в свое время
принимал Гамлет.
Бинарные решения встречаются в практической деятельности достаточно
часто по той простой причине, что третья и последующие альтернативы могут
просто не отыскиваться. Действительно, если решается вопрос «быть или не быть»,
то вопрос «как быть» неизбежно отходит на второй план. Процедура принятия
бинарных решений ничем существенным не отличается от обычной и также
заключается в сравнении альтернатив по критерию.
Если альтернативы найдены, то их выбор и, соответственно, принятие
решения в рациональных задачах также осуществляется вручную. Все это в
конечном итоге может привести к существенным затратам труда и времени.
В
остальном
процедура
принятия
решения
ничем
существенным
не
отличается от рассмотренной ранее при использовании оптимальных методов. Если
критериев несколько, то используются методы решения многокритериальных задач.
Наличие
случайных
параметров
в
альтернативах
может
переводить
рассматриваемые задачи к задачам в условия риска и неопределенности. Методы
решения
подобных
задач
сводятся
к
расчету
функции
распределения
критериального параметра и определению наиболее выгодной стратегии. Если
критерий является неметрическим, то выбор альтернативы осуществляется за счет
107
формулирования бинарных отношений (лучше – хуже). Во многих случаях
оказываются применимы процедуры экспертного оценивания. Наконец известны
варианты, когда подобные решения принимаются случайным методом, например,
подбрасывая монетку.
Наличие большего числа альтернатив по сравнению со случаем бинарного
решения технически усложняет процедуру их отбора, но не вносит в нее
принципиальных изменений. Так, в отличие от бинарного случая, увеличивается
количество сравнений альтернатив. Если выполняется, например, процедура их
попарного сравнения, то общее число сравнений определяется как число сочетаний
из количества альтернатив по два и может очень быстро расти, что может привести
к технической нереализуемости решения. Искусство принятия решения заключается,
в
частности,
в
рационального
точном
определении
решения,
числа
сохраняющих
его
рассматриваемых
в
категории
альтернатив
реализуемых
и
обеспечивающего наилучшие из числа возможных результаты.
Экспертные методы
2.9.
Определение круга экспертов
Экспертиза
является
универсальным
методом
решения
задач
управленческого решения и используется в тех случаях, когда отсутствуют (или не
найдены) критерии, позволяющие решить задачу оптимально или рационально. По
своей сути экспертиза базируется на использовании человеческого опыта и
проводится с привлечением экспертов. В соответствии с БСЭ, «эксперт (от лат.
expertus - опытный), 1) специалист в области науки, техники, иск-ва и др. отраслей,
приглашаемый для исследования к.-л. вопросов, решение к-рых требует спец.
знаний. 2) В праве лицо, обладающее спец. знаниями и привлекаемое органами
расследования, суда и иными гос. (напр., арбитраж) и обществ, (напр., третейский
суд) органами для проведения экспертизы».
Если
проблема
идентифицирована,
поставлена,
принята,
определены
ограничения, сформулированы цели ее разрешения, но не найден критерий, то
начинают
выполняться
действия
по
подготовке
и
организации
экспертизы. Общая схема ее проведения представлена на рис. 30.
108
проведения
Начало
экспертной
процедуры
Подбор
экспертов
Проведение
анкетирования
Оценка и
коррекция
альтернатив
Разработка
альтернатив
Обработка и
выдача
результатов
Принятие
решения
Разработка
анкеты
Да
Разработка
метода
обработки
результатов
Результаты
предъявляются
экспертам?
Завершение
экспертной
процедуры
Нет
Рис. 30. Общая схема экспертной процедуры
Процедура подбора экспертов сводится к определению круга лиц, имеющих
достаточную квалификацию для решения рассматриваемой проблемы. Можно
предложить несколько методов отыскания потенциальных экспертов.
Во-первых,
существуют
традиционно
сложившиеся
и
устоявшиеся
объединения специалистов в самых различных областях знаний. К их числу
относится Академия наук с ее отделениями и научно исследовательскими
подразделениями, различные научные общества (автоматики, географическое и
т.п.),
объединения
по
интересам
(нумизматики,
филателисты
и
т.п.),
специализированные научные журналы с их редколлегиями и устоявшимся кругом
постоянных авторов и так далее. Отметим, что указанные объединения созданы для
решения собственных задач, однако входящих в их состав специалистов можно
привлечь для проведения экспертизы в интересах рассматриваемой проблемы.
Во-вторых, могут существовать предприятия различных организационных
форм, специализирующихся именно на проведении экспертизы. К их числу
относятся различные экспертные советы, арбитраж, бюро судебно-медицинской
экспертизы, организации, занимающиеся проведением экспертизы после дорожнотранспортных происшествий и тому подобное.
В-третьих,
могут
существовать
временные
объединения специалистов,
например, в рамках различных научных и практических конференций. Как правило,
до их проведения формируется оргкомитет, в который включаются признанные
109
специалисты. После проведения конференцией публикуются труды, в которые
включаются отмеченные оргкомитетом работы по рассматриваемой тематике,
авторы
которых
продемонстрировали
понимание
проблемы
и
получили
существенный результат.
Наконец, в-четвертых, можно попытаться создать собственный коллектив
экспертов.
Конечно, отбор персоналий для проведения экспертизы можно провести
случайно, однако существует метод, позволяющий решить эту задачу более-менее
объективно. В его основе лежит следующая технология. Формируется список лиц,
которые с точки зрения организатора экспертизы имеют какое-либо отношение к
рассматриваемой проблеме. К каждому потенциальному участнику экспертизы
обращаются с просьбой составить свой список лиц, которые могут принимать
участие в обсуждении проблемы. Далее процедура повторяется уже с новым
списком. Как следствие, некоторые из ранее внесенных в список фамилий
повторяются, а некоторые добавляются заново. Процедура повторяется до тех пор,
пока множество включенных в список потенциальных экспертов прекращает
расширяться. Конкретный список экспертов определяется на основе анализа
полученного множества. Как правило, их количество не превышает 10 человек.
Вполне очевидно, что проведение экспертизы потребует определенных
затрат. Поэтому целесообразность ее проведения во многом определяется
ожидаемым
эффектом
от
разрешения
проблемы.
Принятие
решения
о
целесообразности проведения экспертизы целесообразно проводить на основе
методов, используемых при решении задач в условии неопределенности (игры с
природой с экспериментами).
Задачи, решаемые при проведении экспертизы
При
всем
многообразии
возможных
предметов
экспертизы
и
форм
проведения, результатом работы экспертов является либо генерация новых
альтернатив, либо решение задачи оценивания.
Генерация новых альтернатив может произойти, например, как в виде
предложения одного из экспертов или в результате «мозгового штурма». Очевидно,
что новая альтернатива должна удовлетворять ограничениям и способствовать
110
разрешению проблемы. Если это так, то может потребоваться новая экспертиза с
учетом вновь появившихся вариантов.
В большинстве случаев результатом работы экспертной группы может быть
решение задачи оценивания в одном из трех возможных вариантов: измерение,
ранжирование и классификация.
Под измерением понимается операция, посредством которой определяется
отношение
одной
(измеряемой)
величины
к
другой
однородной
величине,
принимаемой за единицу. Число, выражающее такое отношение, называется
численным значением измеряемой величины. На практике это может быть некая
физическая единица или бальная оценка. В процессе проведения экспертизы
экспертам может быть предложено дать собственную оценку измеряемой величины
в некотором диапазоне значений и с некоторым шагом дискретизации. Примером
такой оценки может быть оценка при защите выпускной работы.
Слово
ранжирование
происходит
от
немецкого
слова
rangicrung
и
французского ranger - ставить в ряд и имеет два значения: расстановка солдат в
шеренге по росту и размещение в определённом порядке, по степени важности,
значительности. Результатом работы экспертов при решении задачи ранжирования
может быть распределение альтернатив или их составляющих по степени важности.
Ранжирование может быть строгим и мягким. В последнем случае третье место,
например, могут занять два или три участника.
Классификация (от лат. classis - разряд, класс и facio - делаю, раскладываю),
система соподчинённых понятий (классов объектов) какой-либо области знания или
деятельности человека, часто представляемая в виде различных по форме схем
(таблиц) и используемая как средство для установления связей между этими
понятиями или классами объектов. Решение задачи классификации – это
разнесение объектов по классам на основе сравнения рассматриваемых объектов с
заданными образцами, эталонными представителями классов. Эксперт в процессе
работы рассматривает предложенные ему объекты и соотносит их представленной
ему системой классов. Возможен вариант, когда конкретный эксперт предложит
дополнить систему классов, однако в этом случае остальным экспертам придется
выполнять работу по классификации заново.
111
Разработка анкеты
Форма проведения экспертизы может быть самой разной, но обычно в ее
основе лежит анкетирование экспертов. На подготовительном этапе разработчиком
экспертизы
должны
быть
предложены
варианты
разрешения
проблемы
(альтернативы). На их основе разрабатывается анкета для эксперта. Анкета
представляет собой набор вопросов, на которые эксперт должен дать ответ. При
разработке вопросов анкеты следует иметь в виду, что эксперт может решить задачу
оценивания, а также может предложить дополнительные альтернативы.
Структурно набор вопросов в анкете должен быть логически связан с
центральной задачей экспертизы. Система вопросов в анкете должна отвечать
следующим требованиям [13]:
1. вопросы должны быть сформулированы в общепринятых терминах;
2. формулировка
вопроса
должна
исключать
всякую
смысловую
неопределенность;
3. обеспечивать достижение цели экспертизы;
4. соответствовать проблеме;
5. обеспечивать единое и однозначное толкование результатов анкетирования;
6. обеспечивать использование конкретного способа верификации2 результатов
экспертизы.
Задавая вопросы в отношении задачи оценивания, разработчик экспертизы
должен четко понимать, к какому виду задачи относится конкретный вопрос:
измерение, ранжирование или классификация. Как следствие, при решении задачи
измерения должна быть предложена единица измерения и определена шкала. При
постановке вопроса в отношении задачи ранжирования должны быть объявлены его
правила (строгое – мягкое), а также определена номенклатура объектов. Наконец
постановка вопроса, предусматривающего решение задачи классификации, должна
быть задана иерархия классов и классификационные признаки.
2
Верификация (позднелатинское verifica-tio - доказательство, подтверждение, от латинского verus -
истинный и facio - делаю), эмпирическое подтверждение теоретических положений науки путём
"возвращения" к наглядному уровню познания, когда идеальный характер абстракций игнорируется и
они "отождествляются" с наблюдаемыми объектами.
112
Анкета может содержать вопросы, позволяющие добавлять альтернативы и
классификационные группы. В этом случае ответ на вопрос не может быть
формализован и предусматривает описание вносимого предложения. Необходимо
осознавать, что наличие подобных вопросов может повлечь за собой повторение
процедуры экспертного оценивания.
Разработка методов обработки результатов
При подготовке экспертизы разрабатывается метод оценки по каждому из
вопросов анкеты, а также метод выставления совокупной оценки.
Методы обработки результатов экспертного оценивания, как правило,
основываются на методах статистического оценивания. При подготовке экспертизы
заранее выбирается один из известных методов или придумывается свой. Для
примера к числу таких методов могут быть отнесены: вычисление среднего значение
оценок, вычисление медианы, вычисление максимума и другие в зависимости от
особенностей рассматриваемой проблемы. Кроме этого, необходимо оценить
погрешность оценки, представляющую собой средний квадрат отклонения оценок
экспертов.
Для
построения
совокупной
оценки
результатов
анкетирования
могут
использоваться методы выбора компромисса, использовавшиеся для решения
многокритериальных задач (см. п. 2.6). Так, например, при задании определенных
весовых коэффициентов каждого измеряемого параметра можно воспользоваться
методом скаляризации векторного критерия. Если в результате оценивания
решалась задача ранжирования, то для построения совокупной оценки можно
использовать метод последовательной уступки. Наконец, в зависимости вида от
разрешаемой
проблемы,
возможно
сочетание
различных
методов
выбора
компромисса.
Качество работы экспертов можно оценить по так называемому коэффициенту
конкордации, учитывающему разброс погрешностей оценок каждого эксперта по
отношению к средней оценке всей группы. Подобный метод позволяет не принимать
во внимание склонность экспертов к выставке либо более жестких, либо более
мягких оценок по сравнению с группой, и в то же время выявить эксперта, чьи оценки
в одних случаях занижены, а в других завышены.
113
Количество экспертов, непосредственно включаемых в состав экспертной
группы,
влияет
на
качество
проведения
экспертизы.
Разными
авторами
предлагаются разные методы определения их числа в зависимости от величины
ожидаемой ошибки. Так, например, в [13] предложена следующая эмпирическая
формула:
N min  0,5 * (3 / b  5),
где
b
-
верхнее
значение
относительной
ошибки
оценивания
( 0  b  1 ).
Оговаривается, что должна наблюдаться стабилизация средней оценки, о чем
свидетельствует тот факт, что включение или исключение эксперта из группы не
изменяет относительную оценку искомой величины более, чем на b .
Проведение анкетирования, обработка и выдача результатов и
принятие решения
Само проведение анкетирования сводится к заполнению анкет. Далее анкеты
поступают на обработку в соответствии с заранее выбранным методом. Результаты
обработки по каждому пункту анкеты обезличиваются и представляются, например,
в виде оценки измеряемого параметра, итогового ранжирования или классификации.
В некоторых случаях они могут быть снова представлены экспертам как совокупная
оценка группы. Для исключения случайных ошибок процедура анкетирования может
быть сделана повторно. В этом случае эксперт, зная оценку группы, может изменить,
а может и не изменять свою оценку. Новые результаты снова подвергаются
обработке и процедура повторяется до тех пор, пока эксперты не отказываются
менять свои оценки. Подобный прием получил в литературе название метод Делфи.
Если
анкетирование
предусматривало
предложение
дополнительных
альтернатив или классификационных групп, то по его результатам вносятся
изменения в анкету и процедура анкетирования повторяется снова.
По итогам экспертной процедуры предлагается окончательное решение. В
качестве него используется альтернатива, получившая наилучшую итоговую оценку.
114
Литература
1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и
учащихся втузов. – 13-е изд., исправленное. – М.: Наука, Гл. ред. Физ.-мат. Лит.,
1986. -544с.
2.
Фатхутдинов Р.А. Разработка управленческого решения: Учебник для
вузов. - 2-е изд., доп. - М.: ЗАО «Бизнес-школа» «Интел-Синтез», 1998, 272 с.
3.
Теория прогнозирования и принятия решений. Учебное пособие. Под ред.
С.А. Саркисяна. М.: Высшая школа, 1977, 351 с.
4.
Цигичко В.Н. Руководителю - о принятии решений. - 2-е изд., испр. и доп. -
М.: ИНФРА - М, 1996, 272 с.
5.
Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0 / СПб.:
BHV Санкт-Петербург, 1997, 384 с.
6.
Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике для научных работников и
инженеров. – М.: Наука, 1970, -720 с.
7.
Литвак Б.Г. Разработка управленческого решения: Учеб. – М:. Дело, 2000. –
392 с.
8.
Юкаева
В.С.
Управленческие
решения:
Учебное
пособие.
–М.:
Издательский дом “Дашков и К”, 1999. –292 с.
9.
Смирнов Э.А. Разработка управленческих решений: Учебник для вузов. –
М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 271 с.
10.
Математическое
моделирование
социально-экономических
процессов:
Учебное пособие / Заболотский В.П., Оводенко А.А., Степанов А.Г., Юсупов Р.М. /
СПбГУАП. СПБ., 2003, 192 с.
11.
Глухов В.В. Менеджмент: Учебник.-СПб.: Специальная Литература, 1999. –
700с.
12.
Брахман Т.Р. Многокритериальность и выбор альтернативы в технике. –М:
Радио и связь, 1984, - 208 с.
13.
Глущенко В.В., Глущенко И.И. Разработка управленческого решения.
Прогнозирование - планирование. Теория проектирования экспериментов. - г.
Железнодорожный, Моск. обл.: ТОО НПЦ «Крылья», 1997 - 400 с.
14.
Теория выбора и принятия решений: Учебное пособие. - М.: Наука. Главная
редакция физико-математической литературы, 1982. - 328 с.
115
15.
Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черешных Ю.Н., Математические методы
в экономике: Учебник. – М.:МГУ им. М.В. Ломоносова, Издательство «ДИС», 1998. –
368 с.
16.
Цигичко В.Н. Руководителю - о принятии решений. 2-е изд., испр. И доп. –
М.: ИНФРА-М, 1996. – 272. с.
116
Приложение А. Пример титульного листа отчета о
выполнении лабораторной работы3.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ»
Факультет 8
Специальность
Кафедра 82
Отчет
по лабораторной работе на тему
Методы поиска экстремумов с помощью надстройки Поиск решения пакета Excel
Дисциплина: Системы поддержки принятия решения
Работу выполнил(а)
студент(ка) группы
№
подпись, дата
инициалы, фамилия
подпись, дата
инициалы, фамилия
Работу принял
должность, уч. степень, звание
Санкт-Петербург
2008
3
Отчет может выполняться как в рукописной, так и в печатной форме. Листы отчета должны иметь
нумерацию (на первом титульном листе номер не ставится) и должны быть скреплены. С актуальным
на текущий учебный год вариантом титульного листа можно ознакомиться на http://standarts.guap.ru/
117
Приложение Б. Содержание отчетов о выполнении
лабораторных работ
Пример содержания отчета по лабораторной работе №2 «Решение
однокритериальной статической задачи в условиях
определенности»
1. Исходные данные:
Предприятие выпускает восемь видов товаров, реализуемых по известным
ценам (таблица П1). Для производства указанных товаров используется 15 видов
ресурсов (таблица П2). Рассматривалась проблема недостаточности дохода
предприятия. Целью решения задачи является определение такого количество
товаров каждого вида, которое максимизировало бы доход предприятия. Поэтому в
качестве
критерия
рассматривается
величина
дохода
от
реализации
все
произведенной продукции.
2. Решение:
Задача представляет собой разновидность производственной задачи или
задачи распределения ресурсов. В рассматриваемом примере неконтролируемые
параметры были выбраны случайным способом. Математическая запись задачи
имеет вид:
n
E ( X )  c1 x1  c2 x2  ...  cn xn   c j x j  max .
j 1
При этом:
n

a
x

a
x

...

a
x

a1 j x j  bi ,

12 2
1n n
 11 1
j 1

n

a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn   a2 j x j  b2 ,
j 1

. . . . . . . . . . . . . . . . .

n

am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn   amj x j  bm .
j 1

С помощью Excel исходные данные оформлены в виде таблиц П1 и П2:
118
Таблица П1. Выпускаемая продукция
Товары
Товар 1
Товар 2
Товар 3
Товар 4
Товар 5
Товар 6
Товар 7
Товар 8
Количество (шт.)
0
0
0
0
0
0
0
0
Цена (руб.)
25
23
10
22
18
19
24
20
Доход
0
Таблица П2. Ресурсы
Ресурсы
Ресурс 1 (ед.
измерения)
Ресурс 2 (ед.
измерения)
Ресурс 3 (ед.
измерения)
Ресурс 4 (ед.
измерения)
Ресурс 5 (ед.
измерения)
Ресурс 6 (ед.
измерения)
Ресурс 7 (ед.
измерения)
Ресурс 8 (ед.
измерения))
Ресурс 9 (ед.
измерения)
Ресурс 10 (ед.
измерения)
Ресурс 11 (ед.
измерения)
Ресурс 12 (ед.
измерения)
Ресурс 13 (ед.
измерения)
Ресурс 14 (ед.
измерения)
Ресурс 15 (ед.
измерения)
Товар
1
Товар
2
Товар
3
Товар
4
Товар
5
Товар
6
Товар
7
Товар
8
Расход
ресурса
Знак
неравенства
Наличие
2
4
3
5
3
1
4
3
0
<=
150
0,5
0,7
0
0,8
0,3
0
0
0,6
0
<=
65
12
24
30
0
0
10
15
22
0
<=
650
5
7
9
1
3
4
5
2
0
<=
200
0
0
0
5
8
5
0
0
0
<=
320
20
18
22
18
23
21
20
17
0
<=
850
9
6
8
4
7
8
9
5
0
<=
600
0
0,6
0,9
0,5
0,8
0,4
0,2
0,7
0
<=
490
8
9
7
8
7
8
9
9
0
<=
700
12
15
11
14
13
15
16
11
0
<=
750
0,22
0,35
0,45
0,12
0,05
0,19
0,25
0,36
0
<=
220
54
23
48
39
27
31
52
48
0
<=
2100
13
18
19
15
12
14
17
16
0
<=
1000
2
4
2
1
5
7
1
3
0
<=
450
27
25
20
24
18
24
25
22
0
<=
1100
С помощью функции СУММПРОИЗВ() в ячейке Доход рассчитана величина
дохода (таблица П1), а также расход ресурсов (таблица П2) (первоначально они
равны нулю, поскольку вектор количества товара еще не подобран).
После выполнения программы надстройки Поиск решения, где в качестве
целевой функции была задана ячейка Доход, в качестве изменяемых параметров
ячейки Количество (таблица П1), добавлены ограничения, а также во вкладке
Параметры был установлен флажок Линейная модель в результате расчетов
получаем:
Таблица П3. Оптимальный выпуск продукции
Товары
Количество (шт.)
Цена (руб.)
Товар 1
Товар 2
13,93127 3,200906
25
23
Товар 3
Товар 4
Товар 5
Товар 6
0 5,386733 0,599527
10
22
18
При этом ресурсы расходуются в следующем количестве:
119
Товар 7
0 20,1504
19
24
Товар 8
0
Доход
20 1034,812
Таблица П4. Расход ресурсов на выпуск продукции
Ресурсы
Ресурс 1 (ед.
измерения)
Ресурс 2 (ед.
измерения)
Ресурс 3 (ед.
измерения)
Ресурс 4 (ед.
измерения)
Ресурс 5 (ед.
измерения)
Ресурс 6 (ед.
измерения)
Ресурс 7 (ед.
измерения)
Ресурс 8 (ед.
измерения))
Ресурс 9 (ед.
измерения)
Ресурс 10 (ед.
измерения)
Ресурс 11 (ед.
измерения)
Ресурс 12 (ед.
измерения)
Ресурс 13 (ед.
измерения)
Ресурс 14 (ед.
измерения)
Ресурс 15 (ед.
измерения)
Товар
1
Товар
2
Товар
3
Товар
4
Товар
5
Товар
6
Товар
7
Товар
8
Расход
ресурса
Знак
неравенства
Наличие
2
4
3
5
3
1
4
3
150
<=
150
0,5
0,7
0
0,8
0,3
0
0
0,6
13,69
<=
65
12
24
30
0
0
10
15
22
546,25
<=
650
5
7
9
1
3
4
5
2
200
<=
200
0
0
0
5
8
5
0
0
31,73
<=
320
20
18
22
18
23
21
20
17
850
<=
850
9
6
8
4
7
8
9
5
351,68
<=
600
0
0,6
0,9
0,5
0,8
0,4
0,2
0,7
9,12
<=
490
8
9
7
8
7
8
9
9
368,90
<=
700
12
15
11
14
13
15
16
11
620,80
<=
750
0,22
0,35
0,45
0,12
0,05
0,19
0,25
0,36
9,90
<=
220
54
23
48
39
27
31
52
48
2100
<=
2100
13
18
19
15
12
14
17
16
669,27
<=
1000
2
4
2
1
5
7
1
3
69,20
<=
450
27
25
20
24
18
24
25
22
1100
<=
1100
При решении задачи средствами пакета Excel сформированы отчеты по
результатам, по устойчивости и по пределам.
Отчет по результатам (Таблица П5) содержит начальные (Исходно) и
конечные (Результат) значения целевой функции и изменяемых ячеек, а также
сводку результатов использования ресурсов. В столбце Статус символами
связанное или несвязанное обозначены соответственно полное или неполное
использование соответствующего ресурса. В рассматриваемом примере полностью
израсходованы Ресурс 1,4,6,12,15. Установлено, что следует обратить внимание на
нерациональное управление запасами ресурсов 2,5,8,11 и 14, которые заказываются
в гораздо большем количестве, чем требуется для производства продукции.
120
Таблица П5. Отчет по результатам
Microsoft Excel 11.0 Отчет по результатам
Рабочий лист: [Книга1]Лист1
Отчет создан: 24.01.2008 15:13:45
Целевая ячейка (Максимум)
Ячейка
R3C10
Имя
Исходное значение
цена доход
Результат
0
1034,81178
Изменяемые ячейки
Ячейка
Имя
Исходное значение
Результат
R2C2
количество товар 1
0
13,93127316
R2C3
количество товар 2
0
3,200905723
R2C4
количество товар 3
0
0
R2C5
количество товар 4
0
5,386733224
R2C6
количество товар 5
0
0,599526554
R2C7
количество товар 6
0
0
R2C8
количество товар 7
0
20,15039625
R2C9
количество товар 8
0
0
Ограничения
Формула
Статус
R7C10
Ячейка
ресурс 1 расход
Имя
Значение
150
R7C10<=R7C12
связанное
0
R8C10
ресурс 2 расход
13,69551513
R8C10<=R8C12
не связан.
51,30448487
R9C10
ресурс 3 расход
546,252959
R9C10<=R9C12
не связан.
103,747041
R10C10
ресурс 4 расход
200
R10C10<=R10C12
связанное
0
R11C10
ресурс 5 расход
31,72987855
R11C10<=R11C12
не связан.
288,2701214
R12C10
ресурс 6 расход
850
R12C10<=R12C12
связанное
0
R13C10
ресурс 7 расход
351,6840778
R13C10<=R13C12
не связан.
248,3159222
R14C10
ресурс 8 расход
9,123610539
R14C10<=R14C12
не связан.
480,8763895
R15C10
ресурс 9 расход
368,9024547
R15C10<=R15C12
не связан.
331,0975453
R16C10
ресурс 10 расход
620,8033141
R16C10<=R16C12
не связан.
129,1966859
R17C10
ресурс 11 расход
9,899180476
R17C10<=R17C12
не связан.
210,1008195
R18C10
ресурс 12 расход
2100
R18C10<=R18C12
связанное
0
R19C10
ресурс 13 расход
669,2749074
R19C10<=R19C12
не связан.
330,7250926
R20C10
ресурс 14 расход
69,20093145
R20C10<=R20C12
не связан.
380,7990685
R21C10
ресурс 15 расход
1100
R21C10<=R21C12
связанное
0
R2C2
количество товар 1
13,93127316
R2C2>=0
не связан.
13,93127316
R2C3
количество товар 2
3,200905723
R2C3>=0
не связан.
3,200905723
R2C4
количество товар 3
0
R2C4>=0
связанное
0
R2C5
количество товар 4
5,386733224
R2C5>=0
не связан.
5,386733224
R2C6
количество товар 5
0,599526554
R2C6>=0
не связан.
0,599526554
R2C7
количество товар 6
0
R2C7>=0
связанное
0
R2C8
количество товар 7
20,15039625
R2C8>=0
не связан.
20,15039625
R2C9
количество товар 8
0
R2C9>=0
связанное
0
121
Разница
Таблица П6. Отчет по устойчивости
Microsoft Excel 11.0 Отчет по устойчивости
Рабочий лист: [Книга1]Лист1
Отчет создан: 24.01.2008 15:13:46
Изменяемые ячейки
Ячейка
Имя
Результ.
Нормир.
Целевой
Допустимое
Допустимое
значение
стоимость
Коэффициент
Увеличение
Уменьшение
R2C2
количество товар 1
13,93127316
0
25
0,577405187
1,223531802
R2C3
количество товар 2
3,200905723
0
23
1,442382813
2,075922819
R2C4
количество товар 3
0
-11,19164265
10
11,19164265
1E+30
R2C5
количество товар 4
5,386733224
0
22
0,954790997
1,240420272
R2C6
количество товар 5
0,599526554
0
18
3,905247181
1,339655172
R2C7
количество товар 6
0
-2,761977666
19
2,761977666
1E+30
R2C8
количество товар 7
20,15039625
0
24
2,116417086
0,599347775
R2C9
количество товар 8
0
-0,542237032
20
0,542237032
1E+30
Ограничения
Ячейка
Имя
Результ.
Теневая
Ограничение
Допустимое
Допустимое
значение
Цена
Правая часть
Увеличение
Уменьшение
150
10,10407632
52,11972979
R7C10
ресурс 1 расход
150
0,2317183
R8C10
ресурс 2 расход
13,69551513
0
65
1E+30
51,30448487
R9C10
ресурс 3 расход
546,252959
0
650
1E+30
103,747041
R10C10
ресурс 4 расход
200
0,191012248
200
23,5330596
34,78747204
R11C10
ресурс 5 расход
31,72987855
0
320
1E+30
288,2701214
R12C10
ресурс 6 расход
850
0,139949568
850
123,4126984
5,738916256
R13C10
ресурс 7 расход
351,6840778
0
600
1E+30
248,3159222
R14C10
ресурс 8 расход
9,123610539
0
490
1E+30
480,8763895
R15C10
ресурс 9 расход
368,9024547
0
700
1E+30
331,0975453
R16C10
ресурс 10 расход
620,8033141
0
750
1E+30
129,1966859
R17C10
ресурс 11 расход
9,899180476
0
220
1E+30
210,1008195
R18C10
ресурс 12 расход
2100
0,038004323
2100
66,95402299
395,3180212
R19C10
ресурс 13 расход
669,2749074
0
1000
1E+30
330,7250926
R20C10
ресурс 14 расход
69,20093145
0
450
1E+30
380,7990685
R21C10
ресурс 15 расход
1100
0,693713977
1100
11,89989785
60,50583658
Отчет по устойчивости (Таблица П6) показывает значения нормированной
стоимости оценок (Нормир. стоимость), определяющие насколько изменится
целевая функция при принудительном включении в план единицы продукции. Кроме
этого в отчете содержатся величины использованных ресурсов (Результ. значение),
их теневые цены, показывающие насколько изменится целевая функция при
увеличении соответствующего ресурса на единицу, а также используемые значения
ограничений. Колонки Допустимое увеличение (уменьшение) задают диапазон
122
изменения значений переменных и ограничений, сохраняющих общую структуру
решения задачи.
Отчет по пределам (Таблица П7) показывает возможный диапазон изменения
значений переменных, сохраняющий структуру оптимального решения, а также
получающиеся в этом случае значения целевой функции.
Таблица П7. Отчет по пределам
Microsoft Excel 11.0 Отчет по пределам
Рабочий лист: [Книга1]Отчет по пределам 1
Отчет создан: 24.01.2008 15:13:46
Целевое
Ячейка
R3C10
Имя
Значение
цена доход
1034,81178
Изменяемое
Ячейка
Имя
Значение
Нижний
Целевой
Верхний
Целевой
предел
результат
предел
результат
R2C2
количество товар 1
13,93127316
0
686,5299506
13,93127316
1034,81178
R2C3
количество товар 2
3,200905723
0
961,1909479
3,200905722
1034,81178
R2C4
количество товар 3
0
0
1034,81178
0
1034,81178
R2C5
количество товар 4
5,386733224
0
916,3036486
5,386733221
1034,811779
R2C6
количество товар 5
0,599526554
0
1024,020302
0,599526554
1034,81178
R2C7
количество товар 6
0
0
1034,81178
0
1034,81178
R2C8
количество товар 7
20,15039625
0
551,2022695
20,15039625
1034,81178
R2C9
количество товар 8
0
0
1034,81178
0
1034,81178
3. Выводы:
В результате проведенных вычислений установлено, что для получения
максимально возможного дохода, равного 1034,812 р., необходимо производить
товары в следующем объеме:

товар 1: 13,93127 единиц;

товар 2: 3,200906 единиц;

товар 4: 5,386733 единиц;

товар 5: 0,599527 единиц;

товар 7: 20,1504 единиц,
и отказаться от производства товаров 3,6 и 8.
123
Пример содержания отчета по лабораторной работе №3 «Решение
однокритериальной статической задачи в условиях риска методом
сведения стохастической задачи к детерминированной»
1. Исходные данные:
Предприятие выпускает восемь видов товаров. Для производства указанных
товаров
используется
недостаточности
дохода
15
видов
ресурсов.
предприятия.
Рассматривалась
Требуется
определить
проблема
программу
производства товаров различного вида, обеспечивающую максимум среднего
дохода предприятия. Параметры задачи представлены теми же числовыми
данными, которые использовались при выполнении работы №2, за исключением
отпускной цены товара 1, которая рассматривается как случайная величина.
2. Решение:
В
результате
проведенного
исследования
были
собраны
следующие
статистические данные, характеризующие цену товара 1: {26,74; 23,69; 25,90; 19,11;
17,14; 22,26; 20,06; 28,87; 11,34; 34,63; 19,27; 25,59; 19,12; 7,93; 23,44}. Эти данные
были перенесены на рабочий лист Excel. Затем с помощью пункта Описательная
статистика из надстройки Анализ данных определены параметры выборки
(Таблица П8):
Таблица П8. Описательная статистика
Среднее
21,6728
Стандартная ошибка
1,723347
Медиана
22,26497
Мода
#Н/Д
Стандартное отклонение
6,674494
Дисперсия выборки
44,54887
Эксцесс
0,643064
Асимметричность
-0,28118
Интервал
26,69477
Минимум
7,934314
Максимум
34,62908
Сумма
325,0921
Счет
15
Далее с помощью надстройки Поиск решения последовательно решалась
задача оптимизации, причем условия ограничений не менялись, а цена товара 1
124
задавалась равной значению среднего (математического ожидания), минимума и
максимума (Таблица П8). Результаты поиска экстремума приведены в таблицах П9,
П10, П11. Анализ полученных результатов показал, что решение (количество товара
каждого вида, которое надо выпустить для достижения максимальной прибыли)
существенно зависит от цены товара 1.
Таблица П9. Решение задачи
подстановке среднего значения
Товары
Товар 1
Товар 2
Товар 3
10,38275 4,276096
Количество (шт.)
21,6728
Цена (руб.)
линейного
Товар 4
Товар 5
0 3,066826
23
10
Товары
Товар 1
Товар 2
Товар 3
0 1,247327
Количество (шт.)
7,934314
Цена (руб.)
23
Товар 4
Товар 1
Количество (шт.)
Цена (руб.)
Товар 2
0
10
22
Товар 3
34,62908
18
Товар 5
0
35,60091 2,721088
18
24
Товар 7
линейного
Товар 5
22
Доход
20 994,7645
программирования
19
при
Товар 8
24
Доход
20 983,3927
программирования
Товар 6
при
Товар 8
0 5,951532 32,03849 3,635068
Товар 4
10
19
Товар 6
0 2,947846
23
Товар 7
линейного
Таблица П11. Решение задачи
подстановке максимального значения
Товары
Товар 6
0 1,015535 20,2161 4,971969
22
Таблица П10. Решение задачи
подстановке минимального значения
программирования
Товар 7
при
Товар 8
0
0
0
18
19
24
0
Доход
20 1360,264
Поскольку конкретное значение цены товара 1 на момент планирования было
неизвестно, в качестве результирующего было выбрано решение, максимизирующее
среднее значение прибыли. Для его отыскания на место случайного значения
параметра товар 1 было подставлено математическое ожидание случайного
параметра товар 1 из таблицы П8. Далее средствами надстройки Поиск решения
была решена задача оптимизации (таблица П9). Полученное в этом случае решение
рассматривается как основное. На основе полученного решения был проведен
расчет максимального и минимального возможного дохода, который мог бы быть
получен при реализации этого решения в случае, когда реальное значение
случайного параметра будет минимальным или максимальным (таблицы П12 и П13).
Таблица П12. Оценка величины дохода в случае, когда параметр
принимает минимальное значение
Товары
Количество (шт.)
Цена (руб.)
Товар 1
Товар 2
10,38275 4,276096
7,934314
23
Товар 3
Товар 4
0 3,066826
10
22
125
Товар 5
Товар 6
Товар 7
Товар 8
0 1,015535 20,2161 4,971969
18
19
24
Доход
20 852,121324
Таблица П13. Оценка величины дохода в случае, когда параметр
принимает максимальное значение
Товары
Товар 1
Товар 2
Товар 3
10,38275 4,276096
Количество (шт.)
34,62908
Цена (руб.)
Товар 4
Товар 5
0 3,066826
23
10
22
Товар 6
Товар 7
Товар 8
0 1,015535 20,2161 4,971969
18
19
24
Доход
20 1129,28641
3. Выводы:
Результатом решения задачи разработки управленческого решения явилась
программа выпуска товаров и оценка предполагаемого дохода, представленная в
таблице П14. Среднее значение дохода равно 994,76. Ожидаемое изменение
величины дохода колеблется в пределах от 852,12 до 1129,29.
Товар 3
Товар 4
Товар 5
Товар 6
Товар 7
Товар 8
Доход
средний
Доход
минимальны
й
Доход
максимальны
й
сведения
Товар 2
методом
Товар 1
задачи
Товары
Таблица П14. Результат решения
стохастической задачи к детерминированной
Количество (шт.)
10,383
4,276
0
3,067
0
1,015
20,21
4,9719
994,76
852,12
1129,29
Пример содержания отчета по лабораторной работе №4 «Решение
однокритериальной статической задачи в условиях риска
алгоритмическим методом»
1. Исходные данные:
Предприятие выпускает восемь видов товаров. Для производства указанных
товаров
используется
недостаточности
дохода
15
видов
ресурсов.
предприятия.
Рассматривалась
Требуется
определить
проблема
программу
производства товаров различного вида, обеспечивающую максимум среднего
дохода предприятия. Параметры задачи представлены теми же числовыми
данными, которые использовались при выполнении работы №2, в том числе
используется и ранее полученная выборка случайных значений цены товара 1.
Предполагается, что закон распределения цены товара 1 нормальный.
2. Решение:
С помощью надстройки Анализ данных, получена описательная статистика
рассматриваемой выборки (Таблица П8). Задались набором значений вероятностей,
для которых будет строиться итоговая функция распределения {0,001; 0,1; 0,2; 0,3;
126
0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 0,999} и принят во внимание закон распределения
случайной величины.
В процессе решения обратной задачи по заданным значениям вероятностей,
определена величина параметра, значение которого не будет превышено с
заданной вероятностью (при заданном нормальном законе распределения это
сделано с помощью встроенной статистической функции НОРМОБР()). Результаты
сведены в таблицу П15.
Таблица П15. Решение задачи алгоритмическим методом
Вероятность
цена 1
(руб.)
0,001
1,0471
983,3927
0
1,247
0
0
0
5,952
32,038
3,635
0,1
13,1191
983,3927
0
1,247
0
0
0
5,952
32,038
3,635
0,2
16,0554
983,3927
0
1,247
0
0
0
5,952
32,038
3,635
0,3
18,1727
983,3927
0
1,247
0
0
0
5,952
32,038
3,635
0,4
19,9818
983,3927
0
1,247
0
0
0
5,952
32,038
3,635
0,5
21,6728
994,7655
10,383
4,276
0
3,067
0
1,016
20,216
4,972
0,6
23,3638
1012,987
11,580
4,676
0
3,068
0,552
0
18,806
5,305
0,7
25,1729
1037,221
13,931
3,201
0
5,387
0,600
0
20,150
0
0,8
27,2902
1102,542
34,847
1,817
0
1,968
3,692
0
0
0
0,9
30,2265
1204,865
34,847
1,817
0
1,968
3,692
0
0
0
0,999
42,2985
1650,628
38,403
1,141
0
0
0
0
0
0
Доход
Товар 1
Товар 2
Товар 3
Товар 4
Товар 5
Товар 6
Товар 7
Товар 8
На рис. П1 показан график функции распределения дохода предприятия
(критериальной функции) с учетом случайной цены товара 1. Итоговое решение
принимается исходя из соображений максимизации среднего дохода предприятия,
которое имеет место при вероятности p  0,5 (М-постановка). Задавшись значением
вероятности p  0,8 , имеем решение задачи в Р-постановке.
3. Выводы:
Решение задачи представлено в таблице П16.
Таблица П16. Результат решения задачи алгоритмическим методом
Вид решения
Товар 1
М-постановка
10,383
34,847
Р-постановка
Товар 2 Товар 3 Товар 4
Товар 5
Товар 6
Товар 7
Товар 8
Доход
4,276
1,817
0
3,692
1,016
0
20,216
0
4,972
0
994,7655
1102,542
0
0
3,067
1,968
127
Функция распределения дохода
1,2
Вероятность
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
500
1000
1500
2000
Целевая функция
Рис. П1. Функция распределения дохода полученная алгоритмическим методом
Пример содержания отчета по лабораторной работе №5 «Решение
однокритериальной статической задачи в условиях риска методом
Монте-Карло»
1. Исходные данные:
Предприятие выпускает восемь видов товаров. Для производства указанных
товаров
используется
недостаточности
дохода
15
видов
ресурсов.
предприятия.
Рассматривалась
Требуется
определить
проблема
программу
производства товаров различного вида, обеспечивающую максимум среднего
дохода предприятия. Параметры задачи представлены теми же числовыми
данными, которые использовались при выполнении работы №2, в том числе
используется и ранее полученная выборка случайных значений цены товара 1.
Предполагается, что закон распределения цены товара 1 нормальный.
128
2. Решение:
С помощью надстройки Анализ данных, получена описательная статистика
рассматриваемой выборки (Таблица П8). Используя датчик случайных чисел с
нормальным
законом
распределения
при
значениях
среднего
21,672667,
стандартного отклонения 6,6748606 и случайного рассеивания 11111 сгенерирована
выборка объемом 10000 случайных чисел. На ее основе с помощью надстройки
Анализ данных пункт Гистограмма, построена гистограмма распределения
случайных чисел от датчика (рис. П2):
Гистограмма
350
120,00%
300
100,00%
Частота
250
80,00%
200
60,00%
150
40,00%
100
Товар 1
37,13019981
40,72659764
44,32299547
47,9193933
0,00%
22,74460849
26,34100632
29,93740415
33,53380198
0
1,166221517
4,762619346
8,359017175
11,955415
15,55181283
19,14821066
20,00%
-2,430176313
50
Частота
Интегральный %
Рис. П2 Гистограмма распределения параметра цена1 полученная на основе
обработки выборки из 10 тысяч отсчетов
Далее значения границы кармана распределения были подставлены на место
параметра цена товара 1 и с помощью надстройки Поиск решения были найдены
соответствующее каждому значению оптимальное решение и значение показателя
эффективности. Результаты решения записаны в строки таблицы П17 в виде
значения критериальной функции и решения. На их основе с помощью точечной
129
диаграммы
была
построена
функция
распределения
дохода
рис.
П.3.
Результирующее решение было найдено исходя из соображений максимизации
среднего
значения
p  0,4992
целевой
функции
(М-постановка).
Задавшись
значением вероятности p  0,8017 , имеем решение задачи в Р-постановке.
Функция распределения дохода
120,00%
Вероятность
100,00%
80,00%
60,00%
40,00%
20,00%
0,00%
0
500
1000
1500
Целевая функция
2000
Функция распределения дохода
Рис. П3. Функция распределения дохода полученная методом Монте-Карло
Таблица П17. Решение задачи методом Монте-Карло
Граница
Частота Интегральный %
кармана
Среднее
кармана
ЦФ
Товар 1
Товар 2 Товар 3 Товар 4 Товар 5 Товар 6
Товар 7
Товар 8
-2,43
1
0,01%
-2,17329 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
-1,916
0
0,01%
-1,65952 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
-1,403
0
0,01%
-1,14575 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
-0,889
1
0,02%
-0,63198 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
-0,375
0
0,02%
-0,11821 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
0,1387
3
0,05% 0,395565 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
0,6525
2
0,07% 0,909336 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
1,1662
4
0,11% 1,423108 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
1,68
0
0,11% 1,936879 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
2,1938
6
0,17%
2,45065 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
2,7075
8
0,25% 2,964421 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
3,2213
8
0,33% 3,478192 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
3,7351
11
0,44% 3,991963 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
130
Граница
Частота Интегральный %
кармана
Среднее
кармана
ЦФ
Товар 1
Товар 2 Товар 3 Товар 4 Товар 5 Товар 6
Товар 7
Товар 8
4,2488
9
0,53% 4,505734 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
4,7626
12
0,65% 5,019505 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
5,2764
15
0,80% 5,533276 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
5,7902
12
0,92% 6,047048 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
6,3039
20
1,12% 6,560819 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
6,8177
28
1,40%
7,07459 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
7,3315
35
1,75% 7,588361 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
7,8452
28
2,03% 8,102132 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
8,359
39
2,42% 8,615903 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
8,8728
58
3,00% 9,129674 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
9,3866
44
3,44% 9,643445 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
9,9003
56
4,00% 10,15722 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
10,414
72
4,72% 10,67099 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
10,928
75
5,47% 11,18476 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
11,442
70
6,17% 11,69853 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
11,955
97
7,14%
12,2123 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
12,469
112
8,26% 12,72607 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
12,983
132
9,58% 13,23984 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
13,497
146
11,04% 13,75361 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
14,01
171
12,75% 14,26739 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
14,524
160
14,35% 14,78116 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
15,038
175
16,10% 15,29493 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
15,552
210
18,20%
15,8087 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
16,066
207
20,27% 16,32247 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
16,579
254
22,81% 16,83624 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
17,093
248
25,29% 17,35001 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
17,607
235
27,64% 17,86378 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
18,121
253
30,17% 18,37755 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
18,634
274
32,91% 18,89133 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
19,148
267
35,58%
19,4051 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
19,662
271
38,29% 19,91887 983,393
0 1,247
0
0
0 5,952 32,038 3,635
20,176
278
41,07% 20,43264 983,856
1,995 0,836
0
0
0 4,618 31,572 3,919
20,69
260
43,67% 20,94641 987,224 10,383 4,276
0 3,067
0 1,016 20,216 4,972
21,203
292
46,59% 21,46018 992,558 10,383 4,276
0 3,067
0 1,016 20,216 4,972
21,717
333
49,92% 21,97395 997,892 10,383 4,276
0 3,067
0 1,016 20,216 4,972
22,231
325
53,18% 22,48772 1003,23 10,383 4,276
0 3,067
0 1,016 20,216 4,972
22,745
296
56,14% 23,00149 1008,79
0 3,068 0,552
11,58 4,676
131
0 18,806 5,305
Граница
Частота Интегральный %
кармана
Среднее
кармана
ЦФ
23,258
297
59,11% 23,51527 1014,74
23,772
279
24,286
Товар 1
Товар 2 Товар 3 Товар 4 Товар 5 Товар 6
Товар 8
0 3,068 0,552
0 18,806 5,305
61,90% 24,02904 1021,29 13,931 3,201
0 5,387
0,6
0
20,15
0
254
64,44% 24,54281 1028,44 13,931 3,201
0 5,387
0,6
0
20,15
0
24,8
275
67,19% 25,05658
1035,6 13,931 3,201
0 5,387
0,6
0
20,15
0
25,313
278
69,97% 25,57035 1042,76 13,931 3,201
0 5,387
0,6
0
20,15
0
25,827
284
72,81% 26,08412 1060,51 34,847 1,817
0 1,968 3,692
0
0
0
26,341
263
75,44% 26,59789 1078,42 34,847 1,817
0 1,968 3,692
0
0
0
26,855
246
77,90% 27,11166 1096,32 34,847 1,817
0 1,968 3,692
0
0
0
27,369
227
80,17% 27,62543 1114,22 34,847 1,817
0 1,968 3,692
0
0
0
27,882
181
81,98% 28,13921 1132,13 34,847 1,817
0 1,968 3,692
0
0
0
28,396
221
84,19% 28,65298 1150,03 34,847 1,817
0 1,968 3,692
0
0
0
28,91
188
86,07% 29,16675 1167,94 34,847 1,817
0 1,968 3,692
0
0
0
29,424
172
87,79% 29,68052 1185,84 34,847 1,817
0 1,968 3,692
0
0
0
29,937
157
89,36% 30,19429 1203,74 34,847 1,817
0 1,968 3,692
0
0
0
30,451
130
90,66% 30,70806 1221,65 34,847 1,817
0 1,968 3,692
0
0
0
30,965
119
91,85% 31,22183 1239,55 34,847 1,817
0 1,968 3,692
0
0
0
31,479
115
93,00%
31,7356 1257,45 34,847 1,817
0 1,968 3,692
0
0
0
31,992
94
93,94% 32,24937 1275,36 34,847 1,817
0 1,968 3,692
0
0
0
32,506
78
94,72% 32,76315 1293,26 34,847 1,817
0 1,968 3,692
0
0
0
33,02
82
95,54% 33,27692 1312,13 35,601 2,721
0 2,948
0
0
0
0
33,534
63
96,17% 33,79069 1330,42 35,601 2,721
0 2,948
0
0
0
0
34,048
72
96,89% 34,30446 1348,71 35,601 2,721
0 2,948
0
0
0
0
34,561
63
97,52% 34,81823
1367 35,601 2,721
0 2,948
0
0
0
0
35,075
35
97,87%
35,332 1385,29 35,601 2,721
0 2,948
0
0
0
0
35,589
34
98,21% 35,84577 1403,58 35,601 2,721
0 2,948
0
0
0
0
36,103
43
98,64% 36,35954 1422,55 38,403 1,141
0
0
0
0
0
0
36,616
25
98,89% 36,87331 1442,28 38,403 1,141
0
0
0
0
0
0
37,13
20
99,09% 37,38709 1462,01 38,403 1,141
0
0
0
0
0
0
37,644
16
99,25% 37,90086 1481,74 38,403 1,141
0
0
0
0
0
0
38,158
12
99,37% 38,41463 1501,47 38,403 1,141
0
0
0
0
0
0
38,672
13
99,50%
1521,2 38,403 1,141
0
0
0
0
0
0
39,185
9
99,59% 39,44217 1540,94 38,403 1,141
0
0
0
0
0
0
39,699
8
99,67% 39,95594 1560,67 38,403 1,141
0
0
0
0
0
0
40,213
5
99,72% 40,46971
1580,4 38,403 1,141
0
0
0
0
0
0
40,727
5
99,77% 40,98348 1600,13 38,403 1,141
0
0
0
0
0
0
41,24
3
99,80% 41,49725 1619,86 38,403 1,141
0
0
0
0
0
0
41,754
4
99,84% 42,01103 1639,59 38,403 1,141
0
0
0
0
0
0
38,9284
11,58 4,676
Товар 7
132
Граница
Частота Интегральный %
кармана
Среднее
кармана
42,268
3
99,87%
42,5248 1659,32 38,403 1,141
0
0
0
0
0
0
42,782
3
99,90% 43,03857 1679,05 38,403 1,141
0
0
0
0
0
0
43,295
1
99,91% 43,55234 1698,78 38,403 1,141
0
0
0
0
0
0
43,809
1
99,92% 44,06611 1718,51 38,403 1,141
0
0
0
0
0
0
44,323
1
99,93% 44,57988 1738,24 38,403 1,141
0
0
0
0
0
0
44,837
1
99,94% 45,09365 1757,97 38,403 1,141
0
0
0
0
0
0
45,351
2
99,96% 45,60742
1777,7 38,403 1,141
0
0
0
0
0
0
45,864
2
99,98% 46,12119 1797,43 38,403 1,141
0
0
0
0
0
0
46,378
0
99,98% 46,63497 1817,16 38,403 1,141
0
0
0
0
0
0
46,892
1
99,99% 47,14874 1836,89 38,403 1,141
0
0
0
0
0
0
47,406
0
99,99% 47,66251 1856,62 38,403 1,141
0
0
0
0
0
0
47,919
0
99,99% 48,17628 1876,35 38,403 1,141
0
0
0
0
0
0
ЦФ
Товар 1
Товар 2 Товар 3 Товар 4 Товар 5 Товар 6
Товар 7
Товар 8
3. Выводы:
Решение задачи представлено в таблице П18. Отметим, что сами решения,
полученные
алгоритмическим
методом
и
методом
Монте-Карло,
совпали.
Отклонение расчетной величины ожидаемого дохода, полученное при расчете
разными методами, связано с погрешностями задания параметров, поскольку при
использовании метода Монте-Карло в качестве значения бралось ближайшее
значение середины кармана гистограммы.
Таблица П18. Результат решения задачи методом Монте-Карло
Вид решения
Товар 1
Товар 2
М-постановка
10,383
34,847
4,276
1,817
Р-постановка
Товар
3
0
0
Товар 4
Товар 5
Товар 6
3,067
1,968
0
3,692
1,016
0
Товар 7
20,216
0
Товар 8
4,972
0
Доход
997,892
1114,22
Пример содержания отчета по лабораторной работе №6 «Решение
однокритериальной статической задачи в условиях
неопределенности при играх с противником»
1. Исходные данные:
Предприятие выпускает восемь видов товаров. Для производства указанных
товаров
используется
недостаточности
дохода
15
видов
ресурсов.
предприятия.
Рассматривалась
Требуется
определить
проблема
программу
производства товаров различного вида, обеспечивающую максимум среднего
дохода предприятия. Параметры задачи представлены теми же числовыми
данными, которые использовались при выполнении работы №2. Рассмотрена задача
133
с одним неопределенным параметром Z , принимающим только два возможных
значения Z  ( z1 , z 2 ) при выборе противником соответственно стратегий N1 и N 2 .
Случайным параметром в условиях неопределенности принята цена товара 1.
Предположено, что данных о законе распределения случайного параметра нет.
Выдвинута гипотеза о том, что в результате возможных действий противника
(конкурента) цена товара 1 может принимать два значения Z  ( z1 , z2 )  (25,35) .
2. Решение:
Найдены два оптимальных решения X 1 и X 2 , с учетом двух возможных и
предполагаемых нами стратегий противника N1 и N 2 соответствующие выражениям
E11  max{ E (C , X 1 , z1 )},
E22  max{ E (C , X 2 , z 2 )}.
Полученные решения X 1 и X 2 представляют собой наши оптимальные
действия (стратегии) M 1 и M 2 в том случае, когда мы угадали дальнейшее развитие
событий. Решение с ценой z1 представлено в таблице П19.
Таблица П19. Решение X 1 при z1
Товары
Товар 1
Товар 2
Товар 3
Товар 4
Товар 5
Товар 6 Товар 7 Товар 8
Доход
Количество (шт.)
13,93127 3,200906
Цена
25
0 5,386733 0,599527
23
10
22
18
0 20,1504
19
0
24
20 1034,812
Решение с ценой z 2 представлено в таблице П20.
Таблица П20. Решение X 2 при z 2
Товары
Товар 1
Товар 2
Товар 3
Товар 4
Товар 5 Товар 6 Товар 7 Товар 8
Доход
Количество (шт.)
35,60091 2,721088
Цена
35
23
0 2,947846
10
22
0
0
0
18
19
24
0
20 1373,469
Рассчитаны значения показателя эффективности при условии, что мы не
угадали ответ противника
E12  E (C , X 1 , z 2 )  1174,125;
E21  E (C , X 2 , z1 )  1017,46.
Таким образом, рассчитаны все элементы Eij платежной матрицы (таблица
П21), где строки M 1 и M 2 представляют собой наши возможные стратегии, а
134
столбцы
N1
и
N2
возможные стратегии противника, и отдельно записаны
соответствующие им решения X i :
Таблица П21. Платежная матрица задачи при играх с противником
Стратегии
N1
N2
M1
1034,812
1174,125
M2
1017,46
1373,469
Обозначим  i минимальный выигрыш при выборе стратегии i при всех
возможных стратегиях противника
 i  min {Eij }  min{ Ei1 , Ei 2 }.
j 1, 2,
По стратегии M 1 минимальный выигрыш составит 1034,812 , а по стратегии M 2
1017,46 .
Из возможных наших стратегий по критерию Вальда (критерий "крайнего
пессимизма) выбрана стратегия, которая обеспечивает нам наибольшее значение
нашего минимального выигрыша:
  max{ i }  max{1 , 2 }  max min {Eij } .
i 1, 2 j 1, 2
i 1, 2
Очевидно, что это будет стратегия M 1 . Нижняя цена игры   1034,812 (наш
гарантированный выигрыш при любой стратегии противника).
В предположении, что противник вооружен теми же знаниями, которые
использовали мы, определена наилучшая стратегия для него. Поскольку имеет
место дуальная игра, наш выигрыш есть проигрыш противника.
Найден наш максимальный выигрыш при каждой стратегии противника
 j  max{Eij }  max{ E1 j , E2 j } .
i 1, 2
По стратегии N1 максимальный выигрыш составит 1034,812 , а по стратегии N 2
1373,469 . Для того, чтобы минимизировать свой проигрыш, противник выберет
стратегию, в которой наш выигрыш минимален:
  min { i }  min{ 1 ,  2 }  min max{Eij } .
j 1, 2
j 1, 2 i 1, 2
135
Очевидно, что это будет стратегия N1 . Назовем выигрыш   1034,812 верхней ценой
игры. Верхняя и нижняя цены игры совпадают, то есть мы получили чистую цену
игры  :
    .
Стратегии, соответствующие чистой цене игры, называются чистыми, а их
совокупность дает оптимальное решение. Используя оптимальное решение, мы
получаем минимальный гарантированный выигрыш
 независимо от поведения
противника. Пара чистых стратегий M i и N j дает оптимальное решение игры тогда
и только тогда, когда соответствующий им элемент Eij является одновременно
наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Таким образом,
имеется седловая точка.
3. Выводы:
Решение задачи соответствует стратегии M 1 и дает оптимальное решение
{13,93; 3,20; 0; 5,39; 0,56; 0; 20,15; 0}.
Пример содержания отчета по лабораторной работе №7 «Решение
однокритериальной статической задачи в условиях
неопределенности при играх с природой»
1. Исходные данные
Предприятие выпускает восемь видов товаров. Для производства указанных
товаров
используется
недостаточности
дохода
15
видов
ресурсов.
предприятия.
Рассматривалась
Требуется
определить
проблема
программу
производства товаров различного вида, обеспечивающую максимум среднего
дохода предприятия. Параметры задачи представлены теми же числовыми
данными, которые использовались при выполнении работы №2. Рассмотрена задача
с одним неопределенным параметром Z , принимающим только два возможных
значения Z  ( z1 , z 2 ) при выборе природой соответственно стратегий N1 и N 2 .
Случайным параметром в условиях неопределенности принята цена товара 1.
Предположено, что данных о законе распределения случайного параметра нет.
Выдвинута гипотеза о том, что в результате возможных действий природы цена
136
товара 1 может принимать два значения Z  ( z1 , z2 )  (25,35) . Вероятности появления
возможных состояний природы q1 и q 2 заданы соответственно 0,35 и 0,65.
2. Решение:
Платежная матрица построена методом, использованным в лабораторной
работе №6, и представлена в таблице П22. Использовали понятие риска
rij   j  Eij ,
где rij наш риск при использовании стратегии M i в ответ на состояние природы N j , а
 j - максимально возможный наш выигрыш при состоянии природы N j . Получили
следующую матрицу риска (таблица П23):
Таблица П22. Платежная матрица задачи при играх с природой
Стратегии
N1
N2
M1
1034,812
1174,125
M2
1017,46
1373,469
Таблица П23. Матрица риска задачи при играх с природой
Риск
N1
N2
r1
0
199,3449
r2
17,35146
0
В качестве оптимальной выбрали стратегию, максимизирующую наш средний
выигрыш с учетом заданных вероятностей появления возможных состояний
природы:
n
E  max { Eij q j } .
1i m
j 1
По первой строке матрицы средний выигрыш равен:
E1  1034,812 * 0,35  1174,125 * 0,65  1125,365 ;
E2  1017,46 * 0,35  1373,459 * 0,65  1248,866 .
Отсюда следует, что максимизирует средний выигрыш стратегия M 2 .
Подобным образом определили стратегию, минимизирующую средний риск:
r1  0 * 0,35  199,3449 * 0,65  129,5742 ;
137
r2  17,35146 * 0,35  0 * 0,65  6,073012 .
Ясно, что минимизирует риск также стратегия M 2 .
Рассмотрели решение задачи по критерию Гурвица, для чего задались
коэффициентом   0,3 (здесь  - мера пессимизма Гурвица):
E  max { min {Eij }  (1   ) max {Eij }} ,
1i  m
1 j  n
1 j  n
E1  0,3 *1174,125  0,71034,812  1076,706 ,
E1  0,3 *1373,469  0,7 *1017,460  1124,263 .
3. Выводы:
Если бы вероятности появления событий природы были бы неизвестны, то
согласно максиминному критерию Вальда, должна быть выбрана стратегия,
гарантирующая выигрыш не меньший, чем
E  max {min {Eij }} .
1i  m 1 j  n
Так же, как и в игре с противником, оптимальной становится стратегия M 1 и
соответствующее ей решение {13,93; 3,20; 0; 5,39; 0,56; 0; 20,15; 0}.
Если учитывать вероятности появления событий природы, то по критерию
минимаксного риска Сэвиджа выбирается стратегия M 2 и соответствующее ей
решение {35,60; 2,72; 0; 2,95; 0; 0; 0; 0}, при которой величина риска принимает
наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации.
По критерию Гурвица при   0,3 также оптимальной становится стратегия
M 2 и соответствующее ей решение {35,60; 2,72; 0; 2,95; 0; 0; 0; 0}.
Пример содержания отчета по лабораторной работе №8 «Решение
однокритериальной статической задачи в условиях
неопределенности при играх с природой с экспериментами»
1. Исходные данные:
Предприятие выпускает восемь видов товаров. Для производства указанных
товаров
используется
недостаточности
дохода
15
видов
ресурсов.
предприятия.
Рассматривалась
Требуется
определить
проблема
программу
производства товаров различного вида, обеспечивающую максимум среднего
138
дохода предприятия. Параметры задачи представлены теми же числовыми
данными, которые использовались при выполнении работы №2. Рассмотрена задача
с одним неопределенным параметром Z , принимающим только два возможных
значения Z  ( z1 , z 2 ) при выборе природой соответственно стратегий N1 и N 2 .
Случайным параметром в условиях неопределенности принята цена товара 1.
Предположено, что данных о законе распределения случайного параметра нет.
Выдвинута гипотеза о том, что в результате возможных действий природы цена
товара 1 может принимать два значения Z  ( z1 , z2 )  (25,35) . Вероятности появления
возможных состояний природы q1 и q 2 заданы соответственно 0,35 и 0,65.
2. Решение.
Воспользовались результатами выполнения предыдущих работ и рассчитали
платежную матрицу в предположении Z  ( z1 , z2 )  (25,35) . Она имеет тот же вид, что
и в игре с противником (таблица П24):
Таблица П24. Платежная матрица задачи при играх с природой с
экспериментами
Стратегии
N1
N2
M1
1034,812
1174,125
M2
1017,46
1373,469
Учитывая тот факт, что вероятности появления возможных состояний природы
q1 и q 2 равны соответственно 0,35 и 0,65, провели расчеты по строкам платежной
матрицы и получили следующие значения среднего выигрыша:
E1  1034,812 * 0,35  1174,125 * 0,65  1125,365 ;
E2  1017,46 * 0,35  1373,459 * 0,65  1248,866 .
Отсюда следует, что средний выигрыш максимизирует стратегия M 2 , а его величина
равна
E  E ( M 2 )  1248,866 .
Предположили, что стоимость проведения эксперимента С  10 , а в его
результате удалось установить, что природа выберет стратегию N1 . Как следствие,
мы должны выбрать стратегию M 1 , которая обеспечивает наш максимальный
139
выигрыш. Оценка среднего возможного выигрыша после проведения эксперимента
имеет вид:
n
 ср   q j  j  C  1034,812 * 0,35  1373,469 * 0,65  10,0  1244,939 .
j 1
3. Выводы:
E   ср , проведение эксперимента нецелесообразно. Условие
Поскольку
целесообразности проведения эксперимента E 
 ср выполняется в том случае,
когда С  6,084 .
Пример содержания отчета по лабораторной работе №9 «Решение
многокритериальной задачи»
1. Исходные данные:
Предприятие выпускает восемь видов товаров. Для производства указанных
товаров
используется
недостаточности
15
дохода
видов
ресурсов.
предприятия.
Рассматривалась
Требуется
определить
проблема
программу
производства товаров различного вида, обеспечивающую максимум среднего
дохода предприятия. Параметры задачи представлены теми же числовыми
данными, которые использовались при выполнении работы №2. Сформулированы
дополнительные цели и критерии для решения задачи. Так, первой целью остается
достижение
максимального
дохода.
В
качестве
второй
и
третьей
цели
рассматривается максимизация использования ресурсов 5 и 8. Стремление к
максимизации расхода указанных ресурсов оправданно, поскольку из имеющегося
количества ресурса 5, составляющего 320 единиц, используется 31,7 единиц, а для
ресурса 8 из 490 единиц используется 9,1 единиц.
2. Решение:
Первоначально была решена задача оптимизации по каждому локальному
критерию. Решение по критерию 1 (максимизация дохода) представлено в таблице
П25, а расход ресурсов в таблице П26:
Таблица П25. Оптимальный выпуск продукции по критерию 1
Товары
Количество (шт.)
Товар 1
Товар 2
13,93127 3,200906
Товар 3
0
Товар 4
Товар 5
5,386733 0,599527
140
Товар 6
Товар 7
Товар 8
0
20,1504
0
Доход
25
Цена (руб.)
23
10
22
18
19
24
20
1034,812
Таблица П26. Расход ресурсов на выпуск продукции по критерию 1
Ресурсы
Ресурс 1 (ед.
измерения)
Ресурс 2 (ед.
измерения)
Ресурс 3 (ед.
измерения)
Ресурс 4 (ед.
измерения)
Ресурс 5 (ед.
измерения)
Ресурс 6 (ед.
измерения)
Ресурс 7 (ед.
измерения)
Ресурс 8 (ед.
измерения))
Ресурс 9 (ед.
измерения)
Ресурс 10 (ед.
измерения)
Ресурс 11 (ед.
измерения)
Ресурс 12 (ед.
измерения)
Ресурс 13 (ед.
измерения)
Ресурс 14 (ед.
измерения)
Ресурс 15 (ед.
измерения)
Товар
1
Товар
2
Товар
3
Товар
4
Товар
5
Товар
6
Товар
7
Товар
8
Расход
ресурса
Знак
неравенства
Наличие
2
4
3
5
3
1
4
3
150
<=
150
0,5
0,7
0
0,8
0,3
0
0
0,6
13,69
<=
65
12
24
30
0
0
10
15
22
546,25
<=
650
5
7
9
1
3
4
5
2
200
<=
200
0
0
0
5
8
5
0
0
31,73
<=
320
20
18
22
18
23
21
20
17
850
<=
850
9
6
8
4
7
8
9
5
351,68
<=
600
0
0,6
0,9
0,5
0,8
0,4
0,2
0,7
9,12
<=
490
8
9
7
8
7
8
9
9
368,90
<=
700
12
15
11
14
13
15
16
11
620,80
<=
750
0,22
0,35
0,45
0,12
0,05
0,19
0,25
0,36
9,90
<=
220
54
23
48
39
27
31
52
48
2100
<=
2100
13
18
19
15
12
14
17
16
669,27
<=
1000
2
4
2
1
5
7
1
3
69,20
<=
450
27
25
20
24
18
24
25
22
1100
<=
1100
Расчеты по критерию 2 представлены в таблицах П27 и П28:
Таблица П27. Оптимальный выпуск продукции по критерию 2
Товары
Товар 1
Товар 2
Товар 3
Товар 4
Товар 5
Товар 6
Товар 7
Товар 8
Количество (шт.)
0,00
0,00
0
0,00
36,96
0
0,00
0
Цена (руб.)
25
23
10
22
18
19
24
20
Доход
665,2174
Таблица П28. Расход ресурсов на выпуск продукции по критерию 2
Ресурсы
Ресурс 1 (ед.
измерения)
Ресурс 2 (ед.
измерения)
Ресурс 3 (ед.
измерения)
Ресурс 4 (ед.
измерения)
Ресурс 5 (ед.
измерения)
Ресурс 6 (ед.
измерения)
Ресурс 7 (ед.
измерения)
Ресурс 8 (ед.
измерения))
Ресурс 9 (ед.
измерения)
Ресурс 10 (ед.
измерения)
Ресурс 11 (ед.
измерения)
Ресурс 12 (ед.
измерения)
Товар
1
Товар
2
Товар
3
Товар
4
Товар
5
Товар
6
Товар
7
Товар
8
Расход
ресурса
Знак
неравенства
Наличие
2
4
3
5
3
1
4
3
110,8696
<=
150
0,5
0,7
0
0,8
0,3
0
0
0,6
11,09
<=
65
12
24
30
0
0
10
15
22
0,00
<=
650
5
7
9
1
3
4
5
2
110,8696
<=
200
0
0
0
5
8
5
0
0
295,65
<=
320
20
18
22
18
23
21
20
17
850
<=
850
9
6
8
4
7
8
9
5
258,70
<=
600
0
0,6
0,9
0,5
0,8
0,4
0,2
0,7
29,57
<=
490
8
9
7
8
7
8
9
9
258,70
<=
700
12
15
11
14
13
15
16
11
480,43
<=
750
0,22
0,35
0,45
0,12
0,05
0,19
0,25
0,36
1,85
<=
220
54
23
48
39
27
31
52
48
997,8261
<=
2100
141
Ресурсы
Товар
1
Товар
2
Товар
3
Товар
4
Товар
5
Товар
6
Товар
7
Товар
8
Расход
ресурса
Знак
неравенства
Наличие
13
18
19
15
12
14
17
16
443,48
<=
1000
2
4
2
1
5
7
1
3
184,78
<=
450
27
25
20
24
18
24
25
22
665,2174
<=
1100
Ресурс 13 (ед.
измерения)
Ресурс 14 (ед.
измерения)
Ресурс 15 (ед.
измерения)
Расчеты по критерию 3 представлены в таблицах П29 и П30:
Таблица П29. Оптимальный выпуск продукции по критерию 3
Товары
Товар 1
Товар 2
Товар 3
Товар 4
Товар 5
Товар 6
Количество (шт.)
0,00
0,00
0
0,00
15,12
0
Цена (руб.)
25
23
10
22
18
19
Товар 7
Товар 8
Доход
0,00 29,54545
24
20
863,0435
Таблица П30. Расход ресурсов на выпуск продукции по критерию 3
Ресурсы
Ресурс 1 (ед.
измерения)
Ресурс 2 (ед.
измерения)
Ресурс 3 (ед.
измерения)
Ресурс 4 (ед.
измерения)
Ресурс 5 (ед.
измерения)
Ресурс 6 (ед.
измерения)
Ресурс 7 (ед.
измерения)
Ресурс 8 (ед.
измерения))
Ресурс 9 (ед.
измерения)
Ресурс 10 (ед.
измерения)
Ресурс 11 (ед.
измерения)
Ресурс 12 (ед.
измерения)
Ресурс 13 (ед.
измерения)
Ресурс 14 (ед.
измерения)
Ресурс 15 (ед.
измерения)
Товар
1
Товар
2
Товар
3
Товар
4
Товар
5
Товар
6
Товар
7
Товар
8
Расход
ресурса
Знак
неравенства
Наличие
2
4
3
5
3
1
4
3
133,9921
<=
150
0,5
0,7
0
0,8
0,3
0
0
0,6
22,26
<=
65
12
24
30
0
0
10
15
22
650,00
<=
650
5
7
9
1
3
4
5
2
104,4466
<=
200
0
0
0
5
8
5
0
0
120,95
<=
320
20
18
22
18
23
21
20
17
850
<=
850
9
6
8
4
7
8
9
5
253,56
<=
600
0
0,6
0,9
0,5
0,8
0,4
0,2
0,7
32,78
<=
490
8
9
7
8
7
8
9
9
371,74
<=
700
12
15
11
14
13
15
16
11
521,54
<=
750
0,22
0,35
0,45
0,12
0,05
0,19
0,25
0,36
11,39
<=
220
54
23
48
39
27
31
52
48
1826,383
<=
2100
13
18
19
15
12
14
17
16
654,15
<=
1000
2
4
2
1
5
7
1
3
164,23
<=
450
27
25
20
24
18
24
25
22
922,1344
<=
1100
Очевидно, что оптимальное решение по одному критерию не совпадает с
оптимальным решением по другим, т.е. критерии противоречивы. Задались
вектором
важности
критериев
  {0,5;0,25;0,25}
и
решили
задачу
методом
скаляризации векторного критерия воспользовавшись формулой:
k
E  max( E ( X ))  max  ei [ X ]i .
i 1
Оптимальное решение при выбранной схеме компромисса и заданных
значениях вектора важности имеет вид {21,18; 0; 0; 19,61; 3,19; 0; 0; 0}, а
E  534,1919 .
142
Значения локальных критериев равны соответственно e1  1018,412 , e2  123,59 ,
e3  12,36 .
При другом векторе важности   {0,3;0,3;0,4} :
E  350,551.
При этом e1  920,1149 ; e2  221,26 ; e3  20,34 , а оптимальное решение имеет
вид {0; 0; 0; 26,44; 0; 17,82; 0; 0}.
Воспользовались
методом
квазиравенства,
при
реализации
которого
добиваются обеспечения разности между величинами локальных критериев, не
превышающих некоторой заданной величины  . Предположили, что все локальные
критерии имеют одинаковые единицы измерения. Тогда
E  opt ( E ( X ))  E{| eq  ev |  } , q, v  1,2,..., k .
Пусть   1 . Установили в качестве целевой ячейку, содержащую расчет
дохода,
а
| e1  e2 |  ,
выражения
| e2  e3 | 
| e1  e3 |  ,
записали
как
дополнительные ограничения. Решая задачу оптимизации, получили таблицы П31 и
П32:
Таблица П31.
квазиравенства
Оптимальный
выпуск
продукции
Товары
Товар
1
Товар
2
Товар 3
Товар
4
Товар 5
Товар
6
Товар
7
Товар
8
Количество
(шт.)
0
0
0,088889
0
0,011111
0
0
0
Цена (руб.)
25
23
10
22
18
19
24
20
по
принципу
Критерий 2 Критерий 3
Доход
e1
e2
e3
1,088888846 0,088889 0,088889
Таблица П32. Расход ресурсов на выпуск продукции по принципу
квазиравенства
Ресурсы
Ресурс 1 (ед.
измерения)
Ресурс 2 (ед.
измерения)
Ресурс 3 (ед.
измерения)
Ресурс 4 (ед.
измерения)
Ресурс 5 (ед.
измерения)
Ресурс 6 (ед.
измерения)
Ресурс 7 (ед.
измерения)
Ресурс 8 (ед.
измерения))
Ресурс 9 (ед.
измерения)
Ресурс 10 (ед.
измерения)
Ресурс 11 (ед.
измерения)
Товар
1
Товар
2
Товар
3
Товар
4
Товар
5
Товар
6
Товар
7
Товар
8
Расход
ресурса
Знак
неравенства
Наличие
2
4
3
5
3
1
4
3
0,3
<=
150
0,5
0,7
0
0,8
0,3
0
0
0,6 0,003333332
<=
65
12
24
30
0
0
10
15
22
2,666666826
<=
650
5
7
9
1
3
4
5
2
0,833333365
<=
200
0
0
0
5
8
5
0
0
0,088888846
<=
320
20
18
22
18
23
21
20
17
2,211111106
<=
850
9
6
8
4
7
8
9
5
0,788888894
<=
600
0
0,6
0,9
0,5
0,8
0,4
0,2
0,7 0,088888889
<=
490
8
9
7
8
7
8
9
9
0,7
<=
700
12
15
11
14
13
15
16
11
1,122222212
<=
750
0,22
0,35
0,45
0,12
0,05
0,19
0,25
0,36 0,040555558
<=
220
143
Ресурсы
Ресурс 12 (ед.
измерения)
Ресурс 13 (ед.
измерения)
Ресурс 14 (ед.
измерения)
Ресурс 15 (ед.
измерения)
Товар
1
Товар
2
Товар
3
Товар
4
Товар
5
Товар
6
Товар
7
Товар
8
Расход
ресурса
Знак
неравенства
Наличие
54
23
48
39
27
31
52
48
4,566666778
<=
2100
13
18
19
15
12
14
17
16
1,822222259
<=
1000
2
4
2
1
5
7
1
3
0,233333317
<=
450
27
25
20
24
18
24
25
22
1,977777788
<=
1100
| e1  e2 | 
| e1  e3 | 
1
1
0,999999957
0,999999957
4,29969E-08
4,29969E-08
| e2  e3 | 
Решение задачи оптимизации по принципу максимина совпадает с решением
при максимизации локального критерия 3 (таблица П29), поскольку он во всех трех
случаях имеет минимальное значение.
Принцип абсолютной уступки соответствует критерию:
k
E  max{ ei },
i 1
В нашем случае составляет E  1162,84 , при этом e1  983,33 , e2  164,04 , e3  15,47 .
Вектор решения равен {11,58; 0; 0; 23,51; 0; 9,30; 0; 0}.
Компромисс по принципу последовательной уступки. Предположили, что
критерии ранжированы по важности в соответствии с их номерами. Нашли
оптимальное решение по критерию e1 . Назначили уступку e1  10% , которая
вносится в качестве ограничения и позволяет максимизировать значение локального
критерия e 2 . Тогда e1  931,33 , а e2  211,11 . Ввели уступку по второму критерию
e2  10% и максимизировали значение показателя e3 . Тогда e1  931,33 ; e2  190,01 , а
e3  22,42 . Вектор решения имеет вид {0; 0; 0; 22,69; 0,01; 15,29; 0; 7,07}.
3. Выводы:
Результаты решения многокритериальной задачи, полученные с помощью
различных методов выбора компромисса, сведены в таблицу П33.
144
Таблица П33. Результаты решения многокритериальной задачи на
основе различных принципов выбора компромисса
Метод
Решение
e3
e1
e2
Скаляризации векторного критерия
  {0,5;0,25;0,25}
1018,41
123,59
12,36
{21,18; 0; 0; 19,61; 3,19; 0; 0; 0}
  {0,3;0,3;0,4}
920,11
221,26
20,34
{0; 0; 0; 26,44; 0; 17,82; 0; 0}
Максимин
863,04
120,95
32,78
{0,00; 0,00; 0; 0,00; 15,12; 0; 0,00; 29,55}
Квазиравенство
1,09
0,09
0,09
{0; 0; 0,088889; 0; 0,011111; 0; 0; 0}
Принцип абсолютной уступки
983,33
164,04
15,47
{11,58; 0; 0; 23,51; 0; 9,30; 0; 0}
Принцип последовательной
уступки
931,33
190,01
22,42
{0; 0; 0; 22,69; 0,01; 15,29; 0; 7,07}
Скаляризации векторного критерия
Пример содержания отчета по лабораторной работе №10 «Решение
дискретной задачи разработки управленческого решения методом
сведения динамической задачи к статической»
1. Исходные данные:
Предприятие выпускает восемь видов товаров. Для производства указанных
товаров
используется
недостаточности
15
дохода
видов
ресурсов.
предприятия.
Рассматривалась
Требуется
определить
проблема
программу
производства товаров различного вида, обеспечивающую максимум среднего
дохода предприятия. Параметры задачи представлены теми же числовыми
данными, которые использовались при выполнении работы №2. Предполагается,
что цена товара 1 изменяется в течение времени и на первом дискретном моменте
планирования имеет значение c1[1]  25 , а на втором - c1[2]  35 . Кроме этого,
рассматривается
два
варианта
использования
ресурсов.
В
первом
случае
предполагается, что для каждого отсчета времени ресурсы возобновляются в
прежнем объеме. Во втором случае предполагается, что уже в первом интервале
времени ресурсы двух интервалов доступны в полном объеме, а ресурсы, не
использованные в первом отсчете времени, сохраняются и могут быть использованы
во втором.
2. Решение.
145
Оптимальное решение статической задачи при c1[1]  25 представлено в
таблицах П34 и П35, а при c1[2]  35 в таблицах П36 и П37.
Таблица П34. Решение при c1[1]  25
Товары
Товар 1
Количество (шт.)
Товар 2
13,93127 3,200906
25
Цена (руб.)
23
Товар 3
0
10
Товар 4
Товар 5
Товар 6
Товар 7
Товар 8
0
20,1504
0
Доход
19
24
20
1034,812
5,386733 0,599527
22
18
Таблица П35. Ресурсы при c1[1]  25
Ресурсы
Ресурс 1 (ед.
измерения)
Ресурс 2 (ед.
измерения)
Ресурс 3 (ед.
измерения)
Ресурс 4 (ед.
измерения)
Ресурс 5 (ед.
измерения)
Ресурс 6 (ед.
измерения)
Ресурс 7 (ед.
измерения)
Ресурс 8 (ед.
измерения))
Ресурс 9 (ед.
измерения)
Ресурс 10 (ед.
измерения)
Ресурс 11 (ед.
измерения)
Ресурс 12 (ед.
измерения)
Ресурс 13 (ед.
измерения)
Ресурс 14 (ед.
измерения)
Ресурс 15 (ед.
измерения)
Товар
1
Товар
2
Товар
3
Товар
4
Товар
5
Товар
6
Товар
7
Товар
8
Расход
ресурса
Знак
неравенства
Наличие
2
4
3
5
3
1
4
3
150
<=
150
0,5
0,7
0
0,8
0,3
0
0
0,6
13,69
<=
65
12
24
30
0
0
10
15
22
546,25
<=
650
5
7
9
1
3
4
5
2
200
<=
200
0
0
0
5
8
5
0
0
31,73
<=
320
20
18
22
18
23
21
20
17
850
<=
850
9
6
8
4
7
8
9
5
351,68
<=
600
0
0,6
0,9
0,5
0,8
0,4
0,2
0,7
9,12
<=
490
8
9
7
8
7
8
9
9
368,90
<=
700
12
15
11
14
13
15
16
11
620,80
<=
750
0,22
0,35
0,45
0,12
0,05
0,19
0,25
0,36
9,90
<=
220
54
23
48
39
27
31
52
48
2100
<=
2100
13
18
19
15
12
14
17
16
669,27
<=
1000
2
4
2
1
5
7
1
3
69,20
<=
450
27
25
20
24
18
24
25
22
1100
<=
1100
Таблица П36. Решение при c1[2]  35
Товары
Товар 1
Товар 2
35,60091 2,721088
Количество (шт.)
35
Цена (руб.)
23
Товар 3
Товар 4
Товар 5
Товар 6
Товар 7
Товар 8
0
2,947846
0
0
0
0
Доход
10
22
18
19
24
20
1373,469
Таблица П37. Ресурсы при c1[2]  35
Ресурсы
Ресурс 1 (ед.
измерения)
Ресурс 2 (ед.
измерения)
Ресурс 3 (ед.
измерения)
Ресурс 4 (ед.
измерения)
Ресурс 5 (ед.
измерения)
Ресурс 6 (ед.
измерения)
Ресурс 7 (ед.
измерения)
Товар
1
Товар
2
Товар
3
Товар
4
Товар
5
Товар
6
Товар
7
Товар
8
Расход
ресурса
Знак
неравенства
Наличие
2
4
3
5
3
1
4
3
96,8254
<=
150
0,5
0,7
0
0,8
0,3
0
0
0,6
22,06349
<=
65
12
24
30
0
0
10
15
22
492,517
<=
650
5
7
9
1
3
4
5
2
200
<=
200
0
0
0
5
8
5
0
0
14,73923
<=
320
20
18
22
18
23
21
20
17
814,059
<=
850
9
6
8
4
7
8
9
5
348,5261
<=
600
146
Ресурсы
Ресурс 8 (ед.
измерения))
Ресурс 9 (ед.
измерения)
Ресурс 10 (ед.
измерения)
Ресурс 11 (ед.
измерения)
Ресурс 12 (ед.
измерения)
Ресурс 13 (ед.
измерения)
Ресурс 14 (ед.
измерения)
Ресурс 15 (ед.
измерения)
Товар
1
Товар
2
Товар
3
Товар
4
Товар
5
Товар
6
Товар
7
Товар
8
Расход
ресурса
Знак
неравенства
Наличие
0
0,6
0,9
0,5
0,8
0,4
0,2
0,7
3,106576
<=
490
8
9
7
8
7
8
9
9
332,8798
<=
700
12
15
11
14
13
15
16
11
509,2971
<=
750
0,22
0,35
0,45
0,12
0,05
0,19
0,25
0,36 9,138322
<=
220
54
23
48
39
27
31
52
48
2100
<=
2100
13
18
19
15
12
14
17
16
556,0091
<=
1000
2
4
2
1
5
7
1
3
85,03401
<=
450
27
25
20
24
18
24
25
22
1100
<=
1100
Для решения динамической задачи в Excel построена совместная таблица
П36 с данными динамической задачи. Она образована как результат слияния
данных задачи при k  1 и k  2 . Исходя из особенностей входного диалога
надстройки Поиск решения, все изменяемые переменные размещены в смежных
ячейках, а рассчитываемые колонки Расход ресурсов сгруппированы в правой части.
Решение осуществлялось средствами надстройки Поиск решения. В качестве
целевой использовалась дополнительная ячейка, содержащая сумму доходов при
k  1 и k  2 . Изменяемыми параметрами были ячейки Количество (шт.) обоих
интервалов планирования, а в качестве ограничений использовались ограничения
первого и второго отсчетов k  1 и k  2 . Исходные данные и некоторые результаты
решения задачи в предположении, что для каждого отсчета времени имеется один и
тот же набор ресурсов представлены в таблице П38.
Далее было предположено, что с самого начала в нашем распоряжении
имелись ресурсы сразу двух интервалов планирования. Не использованные в
первом интервале ресурсы полностью переходили на второй интервал. Остаток
ресурсов для k  2 вычислялся в соответствующей ячейке по формуле как разность
между общим количеством ресурсов и их количеством, израсходованном в первом
интервале времени таблица П39.
3. Выводы:
Результаты решения задачи приведены в таблицах П40 и П41.
147
Таблица П38. Данные динамической задачи при c1[1]  25 и c1[2]  35
Номер отсчета
k 1
k 2
k 1
Товары
Товар 1
Товар 2
Товар 3
Товар 4
Товар 5
Товар 6
Товар 7
Товар 8
Товар 1
Товар 2
Товар 3
Товар 4
Товар 5
Товар 6
Товар 7
Товар 8
Количество (шт.)
13,93
25
0
10
5,39
22
0,60
18
0
19
20,15
24
0
20
35,60
Цена (руб.)
3,20
23
2,72
23
0
10
2,95
22
0
18
0
19
0
24
0
20
35
k 2
Доход
Доход
1034,81178
1373,46939
Ресурсы
Товар 1
Товар 2
Товар 3
Товар 4
Товар 5
Товар 6
Товар 7
Товар 8
Товар 1
Товар 2
Товар 3
Товар 4
Товар 5
Товар 6
Товар 7
Товар 8
Расход
ресурса
Знак
неравенства
Ресурс 1 (ед.
измерения)
2
4
3
5
3
1
4
3
2
4
3
5
3
1
4
3
150
<=
150
96,83
<=
150
Ресурс 2 (ед.
измерения)
0,5
0,7
0
0,8
0,3
0
0
0,6
0,5
0,7
0
0,8
0,3
0
0
0,6
13,70
<=
65
22,06
<=
65
Ресурс 3 (ед.
измерения)
12
24
30
0
0
10
15
22
12
24
30
0
0
10
15
22
546,25
<=
650
492,51
<=
650
Ресурс 4 (ед.
измерения)
5
7
9
1
3
4
5
2
5
7
9
1
3
4
5
2
200
<=
200
200
<=
200
Ресурс 5 (ед.
измерения)
0
0
0
5
8
5
0
0
0
0
0
5
8
5
0
0
31,73
<=
320
14,74
<=
320
Ресурс 6 (ед.
измерения)
20
18
22
18
23
21
20
17
20
18
22
18
23
21
20
17
850
<=
850
814,06
<=
850
Ресурс 7 (ед.
измерения)
9
6
8
4
7
8
9
5
9
6
8
4
7
8
9
5
351,68
<=
600
348,53
<=
600
Ресурс 8 (ед.
измерения))
0
0,6
0,9
0,5
0,8
0,4
0,2
0,7
0
0,6
0,9
0,5
0,8
0,4
0,2
0,7
9,12
<=
490
3,11
<=
490
Ресурс 9 (ед.
измерения)
8
9
7
8
7
8
9
9
8
9
7
8
7
8
9
9
368,90
<=
700
332,88
<=
700
Ресурс 10 (ед.
измерения)
12
15
11
14
13
15
16
11
12
15
11
14
13
15
16
11
620,80
<=
750
509,30
<=
750
Ресурс 11 (ед.
измерения)
0,22
0,35
0,45
0,12
0,05
0,19
0,25
0,36
0,22
0,35
0,45
0,12
0,05
0,19
0,25
0,36
9,90
<=
220
9,14
<=
220
Ресурс 12 (ед.
измерения)
54
23
48
39
27
31
52
48
54
23
48
39
27
31
52
48
2100
<=
2100
2100
<=
2100
Ресурс 13 (ед.
измерения)
13
18
19
15
12
14
17
16
13
18
19
15
12
14
17
16
669,27
<=
1000
556,01
<=
1000
Ресурс 14 (ед.
измерения)
2
4
2
1
5
7
1
3
2
4
2
1
5
7
1
3
69,20
<=
450
85,03
<=
450
Ресурс 15 (ед.
измерения)
27
25
20
24
18
24
25
22
27
25
20
24
18
24
25
22
1100
<=
1100
1100
<=
1100
148
Наличие
Расход
ресурса
Знак
неравенства
Наличие
Таблица П39. Решение динамической задачи при c1[1]  25 и c1[2]  35 с учетом перераспределения ресурсов
Номер отсчета
k 1
k 2
k 1
k 2
Товары
Товар 1
Товар 2
Товар 3
Товар 4
Товар 5
Товар 6
Товар 7
Товар 8
Товар 1
Товар 2
Товар 3
Товар 4
Товар 5
Товар 6
Товар 7
Товар 8
Количество (шт.)
0
4,73
0
2,64
0
0
0
0
71,20
0,71
0
3,25
0
0
0
0
Цена (руб.)
25
23
10
22
18
19
24
20
35
23
10
22
18
19
24
20
Доход
Доход
166,9797
Знак
неравенства
2579,9591
Наличие
Расход
ресурса
Знак
неравенства
Наличие
Ресурсы
Товар 1
Товар 2
Товар 3
Товар 4
Товар 5
Товар 6
Товар 7
Товар 8
Товар 1
Товар 2
Товар 3
Товар 4
Товар 5
Товар 6
Товар 7
Товар 8
Расход
ресурса
Ресурс 1 (ед.
измерения)
2
4
3
5
3
1
4
3
2
4
3
5
3
1
4
3
32,14
<=
300
161,51
<=
267,86
Ресурс 2 (ед.
измерения)
0,5
0,7
0
0,8
0,3
0
0
0,6
0,5
0,7
0
0,8
0,3
0
0
0,6
5,43
<=
130
38,70
<=
124,576
Ресурс 3 (ед.
измерения)
12
24
30
0
0
10
15
22
12
24
30
0
0
10
15
22
113,58
<=
1300
871,46
<=
1186,42
Ресурс 4 (ед.
измерения)
5
7
9
1
3
4
5
2
5
7
9
1
3
4
5
2
35,77
<=
400
364,23
<=
364,23
Ресурс 5 (ед.
измерения)
0
0
0
5
8
5
0
0
0
0
0
5
8
5
0
0
13,21
<=
640
16,27
<=
626,792
Ресурс 6 (ед.
измерения)
20
18
22
18
23
21
20
17
20
18
22
18
23
21
20
17
132,75
<=
1700
1495,37
<=
1567,25
Ресурс 7 (ед.
измерения)
9
6
8
4
7
8
9
5
9
6
8
4
7
8
9
5
38,96
<=
1200
658,09
<=
1161,03
Ресурс 8 (ед.
измерения))
0
0,6
0,9
0,5
0,8
0,4
0,2
0,7
0
0,6
0,9
0,5
0,8
0,4
0,2
0,7
4,16
<=
980
2,05
<=
975,84
Ресурс 9 (ед.
измерения)
8
9
7
8
7
8
9
9
8
9
7
8
7
8
9
9
63,73
<=
1400
602,03
<=
1336,27
Ресурс 10 (ед.
измерения)
12
15
11
14
13
15
16
11
12
15
11
14
13
15
16
11
107,98
<=
1500
910,61
<=
1392,02
Ресурс 11 (ед.
измерения)
0,22
0,35
0,45
0,12
0,05
0,19
0,25
0,36
0,22
0,35
0,45
0,12
0,05
0,19
0,25
0,36
1,97
<=
440
16,30
<=
438,03
Ресурс 12 (ед.
измерения)
54
23
48
39
27
31
52
48
54
23
48
39
27
31
52
48
211,90
<=
4200
3988,10
<=
3988,10
Ресурс 13 (ед.
измерения)
13
18
19
15
12
14
17
16
13
18
19
15
12
14
17
16
124,82
<=
2000
987,20
<=
1875,18
Ресурс 14 (ед.
измерения)
0
4,73
0
2,64
0
0
0
0
71,20
0,71
0
3,25
0
0
0
0
21,57
<=
900
148,50
<=
878,43
Ресурс 15 (ед.
измерения)
25
23
10
22
18
19
24
20
35
23
10
22
18
19
24
20
181,73
<=
2200
2018,27
<=
2018,27
149
Таблица П40. Решение при c1[1]  25 и c1[2]  35
Товары
Товар 1
Товар 2
Товар 3
Товар 4
Товар 5
k
1
2
Товар 6
Товар 7
Товар
8
Доход
Количество (шт.)
13,93127 3,200906
0
5,386733 0,599527
0
20,1504
0
1034,812
Количество (шт.)
35,60091 2,721088
0
2,947846
0
0
0
1373,469
0
Итого за два интервала времени
2408,281
Таблица П41. Решение при
c1[1]  25
перераспределения ресурсов
Товары
Товар 1
Товар 2
Товар 3
Товар 4
Товар 5
k
1
Количество (шт.)
2
Количество (шт.)
0
4,732319
35,60091 2,721088
и
c1[2]  35
с
учетом
Товар 6
Товар 7
Товар
8
Доход
0
2,64256
0
0
0
0
166,9797
0
2,947846
0
0
0
0
2579,9591
Итого за два интервала времени
150
2736,9388
Предметный указатель
альтернатива, 31
критерий неметрический, 102
аналитический метод, 51
критерий Сэвиджа, 59
анкетирование, 110
метод Монте-Карло, 53
бинарные отношения, 106
методы оптимизации в среднем, 50
гистограмма, 55
множители Лагранжа, 15
датчик случайных чисел, 54
обратная функция, 48
дискретизация, 85
оптимальное решение, 32, 100
дифференциальное исчисление, 8
плотность распределения случайной величины, 49
задача измерения, 109
проблема, 30
задача классификации, 109
распределение Гаусса, 49
задача линейного программирования, 11, 12
распределение нормальное, 49
задача о назначениях, 39
рациональное решение, 32, 37, 103
задача о ранце, 41
решение случайное, 33
задача оценивания, 108
стратегия, 60
задача ранжирования, 109
функция Лагранжа, 13
задача распределения ресурсов, 39
функция распределения случайной величины, 48
задача составления смесей, 40
цель, 30
задача транспортная, 40
центральная предельная теорема, 50
компромисс, 78, 111
эксперт, 106
критерий, 31
экспертиза, 106
критерий Вальда, 59
экспертные процедуры, 35
критерий Гурвица, 60
экстремум, 8
151