ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В ТРУДАХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА.
С.В. Синегубов
(Воронежский институт МВД России, Воронеж.)
1. В 2007 году отмечался 300-летний юбилей великого математика Леонарда Эйлера.
Общеизвестен его вклад во многие разделы математики и физики. В течение почти 30 лет
в 1727-1741 и 1766-1783 годах Эйлер работал в России, им сделан неоценимый вклад в
становление Российской (Петербургской) Академии наук, подготовку академических
кадров для нашей страны и создание авторитетного научного сообщества, способного
решать не только фундаментальные, но и жизненно важные для своего времени
прикладные вопросы.
Именно Эйлером были даны определения наиболее известных специальных
функций и изучены их основные свойства . Так в письме к Гольдбаху в 1729 году им были
определены гамма-функции как решения давно назревшей и широко обсуждавшейся в то
время задачи об обобщении факториалов на нецелые значения аргумента. В работах 1730
и 1739 годов Эйлер ввёл бета-функции, определив для них интегральное представление и
формулу связи с гамма-функциями. Эти исследования вошли в знаменитый учебник
Эйлера “Введение в Анализ” [1], изданный в 1748 году. Им же впервые определены в
виде рядов и как решения соответствующих дифференциальных уравнений и не совсем
справедливо называемые нами сейчас функции Бесселя .
Наконец, в фундаментальном труде “Интегральное исчисление” Эйлером были
впервые даны:
интегральное представление и некоторые преобразования для
гипергеометрической функции Гаусса, определение и функциональное уравнение для
дзета-функции Римана вместе с её применениями в теории чисел, теорема сложения для
эллиптических функций [2]. Отметим, что фразу из предыдущего абзаца “…не совсем
справедливо называемые нами сейчас…” в этом абзаце нужно было бы повторить
трижды, что ничуть не принижает великих последователей Леонарда Эйлера – Гаусса,
Римана, Лежандра.
Таким образом, имя Леонарда Эйлера должно быть по исторической справедливости
связано практически со всеми основными специальными функциями.
2. История возникновения функций Бесселя связана с уравнением Риккати ,
названного так позднее по предложению Д’Аламбера. В современных обозначениях это
дифференциальное уравнение первого порядка с квадратичной нелинейностью вида
dy
 a ( x )  b( x ) y  c( x ) y 2 . Частные случаи этого уравнения (специальное уравнение
dx
Риккати) были изучены представителями многочисленной семьи Бернулли. По-видимому,
впервые вопрос о решении простейшего подобного уравнения (точнее, сводящегося к
нему заменой переменных уравнения y '  x 2  y 2 ) рассмотрен Иоанном Бернулли в 1694
г. и Якобом Бернулли в 1697 г. Уравнение достаточно долгое время не поддавалось
решению ведущих математиков. Примерно в 1703-1704 годах Якоб Бернулли нашёл
замечательную формулу для его решения в виде частного двух рядов, что, по-видимому,
считалось не вполне удовлетворительным решением задачи для тех лет, ведь само
определение функции, включающее представление в виде ряда, ещё не существовало.
1
Зато при этом впервые возникли функции Бесселя J (x ) с индексом   .
3
Исследование общего уравнения Риккати было завершено Эйлером в двух мемуарах
1760-х годов, в которых был изучен ещё один пропущенный предельный случай,
выражающийся через элементарные функции. Позднее Лиувилль доказал, что
исследованные Бернулли и Эйлером случаи выражения решения в элементарных
функциях исчерпывают все возможные. Кроме того, Эйлер указал общий метод
интегрирования уравнения Риккати путём сведения к линейному уравнению первого
порядка. Там же им было показано, что если известно одно частное решение, то общее
находится двумя квадратурами, а если известны два частных решения-то одной
единственной.
В 1738 г. Даниил Бернулли рассмотрел в его формулировке задачу о колебаниях
висящей цепи. При этом впервые была явно выписана функция J 0 ( x ) . Эйлер привёл в
1781 г. современный вывод решения этого уравнения методом разделения переменных,
который до сих пор переписывается в учебниках без изменений вместе с предложенным
им же названием – уравнение колебаний струны.
В 1764 г. Эйлер рассмотрел задачу об упругих колебаниях круглой мембраны,
которая также вошла во все современные учебники практически без изменений. В
найденном им методом разделения переменных решении впервые возникли функции
Бесселя J (x ) с произвольным целым индексом.
Затем в период 1770-1820 гг. функции Бесселя появлялись в работах Лагранжа,
Карлини, Лапласа и Пуассона. В основном в этот период исследовались их
астрономические приложения в связи с уравнением Кеплера и асимптотические формулы.
В знаменитой работе Фурье 1822 г. “Аналитическая теория теплоты” функции J 0 ( x )
использовались
при решении методом разделения переменных уравнения
теплопроводности. Фурье доказал (не совсем строго, оперируя с целыми функциями как с
многочленами), что они имеют бесконечное число вещественных нулей и не имеют
комплексных. Он также вывел разложение в цепную дробь логарифмической
производной, формулу для так называемого интеграла Бесселя, формулы для
коэффициентов разложения произвольной функции в ряд по функциям Бесселя.
Теперь необходимо упомянуть и о вкладе немецкого астронома и математика
Фридриха Вильгельма Бесселя в изучение функций, названных его именем. Они
встречаются сначала в его работе 1819 г. при выводе разложения в ряд радиус-вектора
движения планеты. Затем функции Бесселя были им подробно изучены в мемуаре
1824 г. За основу Бесселем принималось интегральное представление Фурье, которое мы
теперь называем почему-то интегралом Бесселя
1
J n ( x )   cos( x sin t  nt )dt .
(1)

0
Сам Бессель был уверен, что вышеприведённое интегральное представление (1) даёт
определение функций, согласованное с известными ранее определениями через ряды, не
только для целых, но и для всех вещественных значениях индекса. Теперь мы знаем, что
это неверно. Для нецелых n представление (1) определяет на самом деле так называемые
функции Ангера-Вебера , а для представления самих функций J (x ) оно должно быть
дополнено ещё одним слагаемым, как это следует из интегралов Шлефли и Сонина .
ЛИТЕРАТУРА.
1. Леонард Эйлер. Введение в анализ бесконечных. Т. 1-2, Изд. 2-е, М.,
Гос. физ.-мат. издательство, 1961.
2. Леонард Эйлер. Интегральное исчисление. Т. 1-3, М.-Л.,
Гос. издательство физ. – мат. литературы , 1956 – 1958.
3. Юшкевич А.П. Леонард Эйлер. М., изд-во «Знание», 1982.