Геометрические методы решения физических задач
advertisement
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
_________физический факультет___________
(Наименование института, факультета)
УТВЕРЖДАЮ
___________________________
"__" __________________20__ г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
Математические методы решения физических задач (Б2.В.1)
Направление подготовки
педагогическое образование
050100
Профиль подготовки
Физика и информатика
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Саратов,
2011
1
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Математические методы решения физических задач» (ММРФЗ) являются: формирование навыков моделирования (представления) аналитических задач графически; развитие логического мышления, интуиции, воображения; систематизация и закрепление практических навыков использования математических приемов (интегрирование, дифференцирование, применение систем линейных уравнений, а также исследование математических функций) и методов при решении конкретных физических задач из разных разделов
дисциплины «Общая и экспериментальная физика», как неотъемлемые компоненты
системы общекультурных, профессиональных и специальных компетенций бакалавра.
Основные задачи курса: научиться представлять аналитическое условие задачи графически и наоборот; понимать (находить) в условии математической задачи
физический смысл; показать на примерах решения задач на различие способов
оформления решения в математике и в физике.
2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Математические методы решения физических задач»
(Б2.В.1) относится к вариативной части математического и естественнонаучного
цикла.
Для освоения дисциплины «Математические методы решения физических задач» (Б2.В.1) по профилю «Физика и информатика», в связи с ее интегративной спецификой студенты должны использовать знания, умения и виды деятельности, сформированные в процессе изучения школьного курса физики, дисциплин и модулей на других уровнях образования: «Методика использования межпредметных связей в процессе решения задач по физике» (Б1.В.2), «Основы реферирования научно-технической литературы» (Б1.В.3), «Естественнонаучная картина мира» (Б2.Б.3), «Практикум решения физических задач», «Экспериментальная
физика», «Общая и экспериментальная физика», « Математика».
Поскольку студенты уже получили определенную теоретическую подготовку и по математике, и по физике, на первое место выходит систематизация и практическое применение математических методов и средств вычислительной техники
в решении конкретных физических задач.
Освоение курса ММРФЗ способствует более успешному изучению дисциплины «Общая и экспериментальная физика» (Б3.В.1), «Основы теоретической физики» (Б3.В.2), «Экспериментальная физика и компьютерное моделирование физических процессов (Б3.В.6), «Методика воспитания и обучения физике» (Б3.Б.4).
К «входным» знаниям, умениям и готовности студента, необходимым при
освоении данной дисциплины и приобретенным в результате освоения предшествующих дисциплин предъявляются следующие требования:
Знание и навыки практического применения элементарных математических
действий, включая алгебраические преобразования, геометрические и тригонометрические формулы и теоремы; числовые последовательности; методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
Знание основ математического анализа, включая пределы функций; таблицы
производных и правила дифференцирования; таблицы первообразных и основные
правила интегрирования.
2
Знание основных физических величин и единиц измерений; знание формулировок и понимание смысла физических законов и определений физических величин.
Освоение курса ММРФЗ необходимо для успешного изучения разделов теоретической физики и прохождения педагогической практики в школе.
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины (модуля)
общекультурные компетенции (ОК)
- владение культурой мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке цели, выбору путей её достижения (ОК-1);
- способность использовать знания о современной естественнонаучной картине
мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4);
- готовность к использованию основных методов, способов и средств получения,
хранения, переработки информации, к работе с компьютером как средством управления информацией (ОК-8);
- способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-9);
общепрофессиональные компетенций (ОПК)
- осознание социальной значимости своей будущей профессии, владение мотивацией к осуществлению профессиональной деятельности (ОПК-1);
- способность нести ответственность за результаты своей профессиональной деятельности (ОПК-4).
в области педагогической деятельности (ПК)
- способность реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в
различных образовательных учреждениях (ПК-1);
- готовность применять современные методики и технологии, в том числе и информационные, для обеспечения качества учебно-воспитательного процесса на
конкретной образовательной ступени конкретного образовательного учреждения
(ПК-2);
- способность использовать возможности образовательной среды, в том числе информационной, для обеспечения качества учебно-воспитательного процесса (ПК-4);
специальные компетенции (СК)
- знать концептуальные и теоретические основы физики, ее место в общей системе
наук и ценностей, историю развития и современное состояние (СК-1);
- владеть системой знаний о фундаментальных физических законах и теориях, физической сущности явлений и процессов в природе и технике (СК-2).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
•Знать:
- рациональные приемы сведения задачи по физике к формулировке соответствующей математической задачи, основанной на использовании необходимых физических законов, и ее дальнейшего решения.
•Уметь
- проводить необходимые тождественные преобразования математических выражений; решать системы алгебраических и тригонометрических уравнений; использовать теоремы геометрии в процессе решения физических задач;
- находить производные от степенных, показательных, логарифмических и триго3
нометрических функций, учитывая единицы измерения входящих в них физических величин;
- составлять подынтегральные функции в рамках решения физической задачи и
проводить интегрирование с использованием наиболее подходящего метода.
4. Структура и содержание дисциплины (модуля)
Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетных единицы 72 часа,
включает практические занятия – 36 часов, а также самостоятельную работу студентов – 36 часов.
Структура дисциплины
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7
8
9
10
11
12
13
14
Раздел дисциплины
Семестр
Не
Виды учебной
де- работы, включая
ля
самостоятельсе- ную работу стумес дентов и трудотра емкость (в часах)
Формы текущего
контроля успеваемости (по
неделям семестра)
Формы промежуточной аттестации (по семестрам)
Л
Пр
Ср
Часть 1. «Элементарная математика в решении физических задач»
Тема 1.
2
1
2
2
Д/з;№1-21
1.1. – 1.2.
Тема 1.
2
2
2
2
Д/з;№22-44
1.3. – 1.5.
Тема 2.
2
3
2
2
Д/з;№45-64
2.1. – 2.2.
Тема 2.
2
4
2
2
Д/з;№65-83
2.3. – 2.6.
Тема 3.
2
5
2
2
Д/з;№84-114
3.1. – 3.2.
Тема 3.
2
6
2
2
№115-145
3.3. – 3.4.
Тема 3.
2
7
2
2
№146-176
3.5.
Тема 3.
2
8
2
2
№177-189
3.6.
Промежуточная аттестация по результатам самостоятельной работы
Часть 2. «Дифференцирование и интегрирование в решении физических задач»
Тема 4.
2
9
2
2
Д/з: №1-21
4.1.
Тема 5.
2
10
2
2
Д/з: №22-43
5.1. – 5.2.
Тема 5.
2
11
2
2
Д/з: №44-65
5.3. – 5.5.
Тема 5.
2
12
2
2
Д/з: №66-84
5.6.
Тема 6.
2
13
2
2
Д/з: №85-112
6.1. – 6.2.
Тема 6.
2
14
2
2
Д/з: №113-140
6.3.
4
15
16
17
18
Тема 6.
6.4. – 6.6.
Тема 6.
6.7. – 6.10.
Тема 6.
6.11. – 6.14.
Итоговое зачетное занятие
ИТОГО
2
15
2
2
Д/з: №141-168
2
16
2
2
Д/з: №169-196
2
17
2
2
Д/з: №197-220
2
72
18
2
36
2
36
Зачет
Содержание дисциплины
Содержание дисциплины «Математические методы решения физических
задач» разделено на две части: «Элементарная математика в решении физических
задач» и «Дифференцирование и интегрирование в решении физических задач». В
ходе изучения каждой части для осуществления текущего контроля применяется
метод консультаций. По окончании изучения части осуществляется промежуточный контроль усвоения учебного материала. Самостоятельная работа студентов
предполагает решение задач на определенную тему в соответствии с учебным планом. Условия задач для самостоятельного решения, а также справочные материалы
и примеры решения представлены в методических разработках.
Для контроля уровня сформированности компетенций, качества знаний, умений и навыков, стимулирования самостоятельной работы студентов применяется
тестовая и балльная системы оценки освоения учебного модуля.
Тематика практических занятий и самостоятельной работы студентов:
Тема 1. Физические задачи, сводимые к действиям с числовыми последовательностями.
1.1. Введение.
1.2. Краткая математическая справка.
1.3. Примеры решения задач – механика.
1.4. Примеры решения задач - молекулярная физика.
1.5. Примеры решения задач - электричество.
Тема 2. Физические задачи, сводимые к решению системы линейных алгебраических уравнений.
2.1. Методы составления систем линейных алгебраических уравнений.
2.2. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
2.3. Примеры решения задач – механика.
2.4. Примеры решения задач - молекулярная физика.
2.5. Примеры решения задач - электричество.
2.6. Примеры решения задач – магнетизм.
Тема 3. Геометрические методы решения задач.
3.1. Краткая математическая справка.
3.2. Типовые примеры задач.
3.3. Примеры решения задач – кинематика.
3.4. Примеры решения задач – статика.
3.5. Примеры решения задач – электродинамика.
3.6. Примеры решения задач – оптика.
Тема 4. Использование предельных переходов в решении физических задач.
4.1. Примеры – решения задач – механика.
Тема 5. Дифференцирование при решении физических задач.
5.1. Краткая математическая справка.
5
5.2. Примеры решения задач с использованием дифференцирования.
5.3. Примеры решения задач – скорость.
5.4. Примеры решения задач – ускорение.
5.5. Примеры решения задач – мощность.
5.6. Примеры решения задач – поиск экстремума функций.
Тема 6. Интегрирование при решении физических задач.
6.1. Краткая математическая справка.
6.2. Выбор области и переменной интегрирования.
6.3. Примеры решения задач – кинематика.
6.4. Криволинейный интеграл.
6.5. Примеры решения задач – кинематика.
6.6. Примеры решения задач – работа по перемещению тел.
6.7. Поверхностные интегралы.
6.8. Примеры решения задач – гидравлика.
6.9. Примеры решения задач – электростатика.
6.10. Примеры решения задач – магнитостатика.
6.11. Интегралы по объему.
6.12. Примеры решения задач – определение массы.
6.13. Примеры решения задач – определение центра тяжести.
6.14. Примеры решения задач – определение энергии электромагнитного поля.
5. Образовательные технологии
В соответствии с требованиями ФГОС ВПО по педагогическому направлению подготовки в рамках изучения модуля «Математические методы решения
физических задач» по профилю «Физика и информатика» реализация компетентностного подхода должна предусматривать широкое использование в учебном
процессе активных и интерактивных форм проведения занятий в сочетании с внеаудиторной работой с целью формирования и развития профессиональных навыков
обучающихся.
Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, определяется
главной целью (миссией) программы, особенностью контингента обучающихся и
содержанием конкретных дисциплин, и в целом в учебном процессе они составляют не менее 50% аудиторных занятий.
Основными педагогическими технологиями при изучении данной дисциплины являются индивидуализация и дифференциация обучения, развивающее обучение, проблемное обучение и деятельностный подход.
Специфическими технологиями являются технологии организации учебной
деятельности учащихся при проведении практических аудиторных занятий, на которых отрабатываются математические приемы и методы на примере физических
задач из различных разделов курса физики.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Самостоятельная работа студентов проводится с целью воспитания у
них творческой активности, привития навыков работы со справочной и технической литературой, а также для систематического постоянного изучения
дисциплины. Основная форма самостоятельной работы – выполнение инди6
видуального задания по решению физических задач, предусматривающему
использование изучаемого математического приема или метода в соответствии с учебным планом. Еженедельный контроль за качеством выполнения
задания (и соответствующие консультации в случае необходимости) осуществляются во время очередного аудиторного занятия.
Задания на самостоятельную работу; необходимый справочный материал, примеры развернутого решения типовых задач представлены в методических разработках Методическое пособие к курсу «Математические методы решения физических задач. Часть I. Элементарная математика» и Методическое пособие к курсу «Математические методы решения физических
задач. Часть 2. Дифференцирование и интегрирование», тексты которых
приводятся ниже.
Математические методы решения физических задач.
Часть I. Элементарная математика
Авторы:
Васильев Александр Евгеньевич – доцент, кандидат технических наук;
Недогреева Наталья Герасимовна – доцент, кандидат педагогических наук
Курс «Математические методы решения физических задач» призван
помочь студентам выработать необходимые навыки использования математических приемов и методов при решении конкретных физических задач.
Поскольку студенты уже получили определенную теоретическую подготовку
и по математике, и по физике, на первое место выходит их самостоятельная
практическая работа. Для ее успешного проведения необходимы подборки
(сборники) физических задач, структура которых отражает (в порядке возрастания сложности) наиболее характерные математические приемы и методы, начиная от элементарной математики и до систем дифференциальных
уравнений. Причем по каждому из разделов требуется достаточное число заданий одного уровня сложности, чтобы работа студентов была действительно самостоятельной.
В связи с этим, методическое пособие содержит два больших раздела
под условными названиями «Элементарная математика» и «Элементы высшей математики». В свою очередь, каждый из разделов включает в себя тематические подразделы; для элементарной математики это « Числовые последовательности и прогрессии», «Системы алгебраических и уравнений»,
«Геометрические методы решения физических задач». «Элементы высшей
математики» включают в себя темы «Производные и пределы», «Интегральное исчисление», «Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Действия с векторными величинами», «Использование комплексных выражений».
Каждый из подразделов содержит необходимый теоретический материал – математические определения, ключевые соотношения и формулы; их
использование иллюстрируется на конкретных примерах решения физических задач. Однако основное содержание пособия – это подборка физических
задач для самостоятельного решения, большая часть которых составлена на
7
основе опыта преподавания авторами этого курса и имеет оригинальный характер.
Элементарная математика
Числовые последовательности и прогрессии
Необходимые сведения из математики
Довольно часто протекающие физические процессы или явления описываются числовыми последовательностями. Среди множества числовых
последовательностей выделяются арифметическая и геометрическая
последовательности.
1. Арифметическая последовательность (аn)
Определяется условиями: 1) а1 = а; 2) аn+1 = аn+d, где d – разность
арифметической прогрессии.
Свойства арифметической прогрессии:
a an
a n 1 a n a n 2 a n 1 ;
a n 1 n 2
2
Формула n-го члена: a n a1 d n 1 .
Формула суммы n первых членов последовательности:
n
n
Sn a1 a n 2a1 d(n 1) .
2
2
2. Геометрическая последовательность (bn)
Определяется условиями: 1) b1 b, b 0 ;
2) b n 1 b n q, q 0
Здесь q – знаменатель прогрессии.
Свойства геометрической прогрессии:
bn1 bn bn 2 , bn 0 .
b n 1 : b n b n 2 : b n 1 ;
n 1
Формула n-го члена: bn b1 q
Формула суммы n первых членов последовательности:
n
bn q b1 b1 q 1
Sn
q 1
q 1
Сумма бесконечной геометрической прогрессии
b
S
2
b bq bq ... , где q 1 :
1 q .
Примеры решения задач
«Тележка»
Тележка массой 20 кг может двигаться без трения по горизонтальному участку пути, но в начальный момент времени покоится. В задний борт тележки
один за другим ударяются и упруго отскакивают мячи; масса каждого 400 г.
8
Скорость мячей до удара (относительно дороги) одинакова и равна 20 м/с.
Какую скорость приобретает тележка после попадания 10-го мяча?
Дано: М = 20 кг; m = 0,4 кг; u = 20 м/с; v0 = 0; n = 10.
Найти: v10.
Решение:
Учитывая, что тележка движется в горизонтальном направлении (вдоль
оси х) без трения, запишем закон сохранения импульса в проекции на ось х
после k+1 (абсолютно упругого) удара мяча:
M v K m u M v K 1 m u1
(0.1).
Здесь vК и vК+1 – скорости тележки до- и
после удара; u1 – скорость мяча (относительно дороги) после удара. По закону сохранения энергии получаем:
M v 2K 1 m u12 M v K2 m u 2
2
2
2
2
(0.2)
Группируя слагаемые с одинаковой
массой по одну сторону равенства, из
уравнений (0.1) и (0.2) получаем:
M vK 1 vK m u u1
Mv
2
K 1
(0.3)
v 2K m u 2 u12
(0.4)
Разделив второе уравнение на первое, а также вспомнив формулу для
разности квадратов, получаем:
v K 1 v K u1 u
(0.5)
Получаем систему из двух линейных алгебраических уравнений (0.3) и
(0.5), решение которой дает: разделим первое уравнение на m, сложим уравнения; тогда
Mm
2mu
(0.6)
vK 1
vK
Mm
Mm
Для k = 0, начальная скорость тележки v0 = 0; отсюда скорость тележки
2m u
Mm
после первого удара мяча v1
. Обозначая
q , последнее
Mm
Mm
уравнение запишем в виде:
v K 1 q v K v1
(0.7)
Получили так называемое реккурентное соотношение – правило, по которому можно найти следующий член числовой последовательности (vК+1),
9
если известен предыдущий член (vК). Применяя формулу (0.7) для k = 2,
получаем
v2 q v1 v1 v1 q 1
(0.8)
Для скорости тележки после третьего удара, т.е. для k = 3, получим:
v3 v1 q 2 q 1
(0.9)
Продолжая дальше, для скорости тележки после очередного k –того
удара мяча получаем
v K v1 q K 1 ... q 2 q 1
(0.10)
Выражение в скобках представляет собой сумму SК-1 членов геометрической прогрессии, в которой первый член равен 1, а знаменатель равен q.
Эта сумма выражается формулой:
q K 1 1
SK 1 1
(0.11)
q 1
Соответственно, из формул (0.10) и (0.11) получаем выражение для
скорости тележки после k –того удара в виде:
q K 1 1
v K v1
(0.12)
q 1
Используя полученные выше соотношения, в данном случае получаем:
v1
2 0, 4 20
20 0, 4
= 0,784314 м/с; q
удара v10 0,784314
0,960789 1
0,96078 1
20 0.4
20 0.4
=0,96078; тогда после 10-го
= 6,59431 м/с ≈ 6,6 м/с.
Ответ: v10 ≈ 6,6 м/с.
«Гвоздь»
Гвоздь длиной 50 мм забивают в однородную стенку равномерными
ударами молотка, причем после первого удара гвоздь зашел в стену на 10 мм.
Сколько еще потребуется ударов, чтобы полностью забить гвоздь, если сила
сопротивления стены пропорциональна глубине погружения гвоздя?
Дано: L = 50 мм; x1 = 10 мм; Fc L x
Найти: N
Решение:
Полагая, что удар молотка по шляпке гвоздя является абсолютно неупругим, на основании закона сохранения импульса запишем:
mМ vМ mМ m u
(0.13)
Здесь mМ - масса молотка; m- масса гвоздя; vМ- скорость молотка в момент удара и u- начальная скорость гвоздя вместе с молотком. Из последнего
10
соотношения выразим u, а также запишем выражение для кинетической
энергии системы «молоток + гвоздь» в первое мгновенье после удара:
mМ
1
mМ
(0.14)
u vМ
; W0 m М v М 2
mМ m
2
mМ m
Преодолевая сопротивление среды, гвоздь продвинется в глубь стены
на некоторую величину x1, причем весь запас кинетической энергии расходуется на совершение работы против силы сопротивления, т. е.
(0.15)
W0 Fc x1; Fc x1
Здесь α - некий коэффициент пропорциональности между силой сопротивления и средней глубиной погружения гвоздя после первого удара. Из
соотношения (0.15) получаем:
1
2 W0
W0 x12 ; x1
(0.16)
2
Так как по условию задачи все удары одинаковы, то система «гвоздь +
молоток» получает при каждом ударе одинаковую порцию энергии. Однако
перемещение гвоздя каждый раз будет разным, поскольку возрастает глубина
погружения и, соответственно, сила сопротивления среды. В итоге после
второго удара имеем:
x
W0 x1 2 x 2 ; из этого соотношения получаем квадратное уравнение
2
относительно x2: x 2 2 x1 x 2
2
2 W0
= 0.
Решая уравнение, получаем (оставляем лишь один корень, имеющий
физический смысл – величина перемещения гвоздя x2 должна быть положительной):
x 2 x1
2 1
(0.17)
Аналогичным образом находим для третьего удара:
x
x
W0 x1 x 2 3 x 3 x1 2 3 x 3
2
2
Соответствующее квадратное уравнение для x3 имеет вид:
2 W0
x 32 2 2 x1 x 3
.
Его решение (корень, имеющий
физический смысл):
x3
3 2 x1
(0.18)
Сравнивая выражения (0.17) и (0.18), можно уловить закономерность, которая позволяет записать алогичную формулу для перемещения после некоторого к-того удара:
11
xk
k k 1 x1
(0.19)
Общее перемещение гвоздя после k ударов находим суммированием
перемещений после каждого удара; получаем:
k
L k x i k x1
(0.20)
i 1
Теперь ответить на вопрос задачи совершенно легко: необходимое число ударов, чтобы забить гвоздь полностью, находим из соотношения (0.20):
L
k k
x1
2
(0.21)
2
50
В рассматриваемом случае общее число ударов k = = 25 ;
10
поскольку один удар уже был сделан, то осталось еще 24 удара.
Ответ: N=24.
«Насос»
Из сосуда емкостью 2 л выкачивают воздух с помощью насоса с рабочей камерой объемом 50 мл. Начальное давление воздуха в сосуде равно атмосферному давлению р0 = 760 мм рт ст. Считая процесс изотермическим,
определить, через сколько циклов откачки давление воздуха в сосуде составит 10 мм рт ст.
Дано: Vb = 2 10-3 м3; Vn = 5 10-5 м3; р0 = 760 мм рт ст; рn=10 мм рт ст.1
Найти: N.
Решение:
После очередного к – того цикла в сосуде устанавливается некоторое
давление рk; насос захватывает порцию этого воздуха объемом Vn и выталкивает его в атмосферу; в сосуде устанавливается новое давление рk+1. Процесс
протекает изотермически в соответствии с уравнением:
pk Vb pk 1 Vb Vn
(0.22)
Получаем реккурентное соотношение, с помощью которого находим давление газа после очередного цикла:
Vb
p k 1 p k
(0.23)
Vb Vn
С математической точки зрения соотношение (1.2) определяет геометрическую прогрессию, знаменатель которой
В данном случае, удобно использовать внесистемные единицы измерения
давления (мм рт ст), т. к. в окончательное выражение входит отношение
начального и конечного давлений
1
12
Vb
Vb Vn
С помощью формулы (1.2) последовательно находим:
p1 p0 q; p2 p1 q p0 q 2 ; pk p0 q k
Что выразить число циклов N, необходимых для достижения давления
находим логарифм от обеих частей выражения в случае, когда k N :
ln pN p0
N
ln q
Подставляя числовые значения величин, получаем:
ln 10
2 103
760 175
q
0.976; N
3
5
2 10 5 10
ln 0.976
q
(0.24)
(0.25)
pN ,
(0.26)
Ответ: N = 175.
«Конденсаторы»
Батарея содержит цепочку конденсаторов, емкость которых изменяется
по определенному закону, а именно: 1,25 мкФ, 1 мкФ, 0,8 мкФ и т. д. Первый
конденсатор заряжается от источника до напряжения 120 В; затем с помощью переключателей первый конденсатор соединяется со вторым, второй – с
третьим, и т. д. Требуется найти заряд и энергию, полученные 10-м по счету
конденсатором.
Дано: С1 = 1,25 мкФ, С2 = 1 мкФ,
С3 = 0,8 мкФ;U1 = 120 В
Найти: q10, W10
Решение: (См. рис 1.1)
К задаче из примера 1.4
Первый конденсатор заряжается от источника до напряжения U1; при этом заряд, который получает конденсатор, определяется формулой:
q1 C1 U1
(0.27)
Энергия заряженного конденсатора может быть выражена:
1
(0.28)
W1 C1 U12
2
Первый конденсатор отсоединяют от источника и подсоединяют к следующему конденсатору; его емкость может быть выражена через емкость первого конденсатора:
C2 C1 b
(0.29)
Указанные в условии данные позволяют легко установить закономерность, по которой изменяется емкость каждого последующего конденсатора.
Это геометрическая последовательность, знаменатель которой
C
C
1
0.8
b 2 3
0.8
(0.30)
C1 C2 1.25 1
13
Происходит перераспределение заряда между 1 и 2 конденсаторами;
величина заряда q2 может быть выражена из условия равенства напряжений
на обоих конденсаторах и закона сохранения заряда, т. е.
q1` q 2
; q1` q 2 q1 . Отсюда легко находим:
C1 C2
C2
(0.31)
q2
q1 q1
C1 C2
Используя соотношение (0.29), выражение для параметра ξ можно
представить в виде:
b C1
b
(0.32)
C1 b C1 1 b
Аналогичным образом получаем соотношение, выражающее заряд 3 конденсатора q3 через заряд предыдущего конденсатора q2:
C3
b C2
b
(0.33)
q3
q2
q2
q2 q2
C2 C3
C2 b C2
1 b
Сравнивая выражения(0.33) и (0.31), приходим к выводу, что величину
заряда, получаемого каждым последующим конденсатором при его соединении с предыдущим можно рассматривать как очередной член геометрической
прогрессии со знаменателем ξ. В дальнейшем, величину заряда, получаемого
k-тым конденсатором, будем обозначать qk0. Тогда выражение для k-того
члена геометрической прогрессии:
q k0 q10 k 1 C1U0 k 1
(0.34)
После того, как k-тый по счету конденсатор будет соединен со следующим в цепочке, он передаст дальше часть своего заряда; соответственно,
уменьшится его напряжение:
1
U0
(0.35)
U k1 U k0
1 b 1 b k
Тогда величину заряда, оставшегося у k-того конденсатора, можно выразить формулой:
bk 1
CU
(0.36)
q k1 Ck U k1 C1U0
1 0 k
k
b
1 b
Энергия конденсатора выражается формулой:
1
q2
W C U2
2
2C
(0.37)
14
Здесь значения напряжения и электроёмкости конденсатора необходимо брать для соответствующего конденсатора в соответствующем состоянии.
С учетом соотношений(0.34) и (0.30) легко находим выражение для
энергии, получаемой k-тым по счету конденсатором:
q
k 1 2
Wk
1
2 C1 b k 1
q 2 2
1
2 C1 b
k 1
(0.38)
По виду последнего выражения убеждаемся, что энергия очередного
конденсатора также представляет собой соответствующий член геометрической прогрессии. Используя формулу (0.32), находим знаменатель этой
прогрессии:
2 1
b2
b
(0.39)
g
2
b b 1 b 1 b 2
Таким образом, энергия k-того конденсатора выражается формулой:
(0.40)
Wk W1 g k 1
Подставляя числовые значения величин, окончательно находим заряд 10 - го
по счету конденсатора:
0.8
q1 1.25 106 120 1.5 104 Кл ;
4 9;
1 0.8
q10 1.5 104 4 9 1.0 107 Кл 0,1мкКл
Находим также его энергию:
9
1.5 10
W
4 2
1
2 1.25 106
9 103 Дж 9мДж;
g
0.8
1 0.8
2
0.2469;
Wk 9 0.2469 3.07 105 мДж 30,7нДж
9
Ответ: q10 = 0,1 мкКл, W10= 30,7 нДж.
Задачи для самостоятельного решения
Первый километр туристы прошли достаточно бодро, двигаясь со средней
скоростью 6 км/ч, но затем средняя скорость стала падать на 25% на каждом
километре пути. Сколько времени уйдет у туристов на преодоление дистанции в 8 км, если они сохранят свой ритм движения? (≈ 4,5 ч).
Первый километр пути велосипедисты проехали за 2 минуты; потом скорость
движения стала убывать в геометрической прогрессии, так что на последний
(9-й) километр ушло уже 6 минут. Какова была средняя скорость велосипедистов на всем пути?
(16,3 км/ч).
Первый круг (270 м) спортсмены пробежали за 45 с; затем средняя (на круг)
скорость спортсменов убывала в геометрической прогрессии, и на девятом
15
(последнем) круге составляла уже 3 м/с. Какое время показали спортсмены
на этой дистанции?
(9 мин 47,2 с).
В первую секунду полета ускорение ракеты составляло 10 м/с2; затем в каждую последующую секунду оно увеличивалось на 20%. Какой скорости достигнет ракета при указанных условиях через 10 с движения? (396 м/с).
В первую секунду полета ускорение ракеты составляло 12 м/с2; затем в каждую последующую секунду оно увеличивалось на 15%. Найдите среднюю
скорость ракеты за первые 8 с движения
(≈ 78 м/с).
Трогаясь с места, автомобиль за первую секунду движения развил скорость
8 м/с; в каждую последующую секунду ускорение автомобиля уменьшалось
на 20%. Какой максимальной скорости может достигнуть автомобиль при таком характере движения?
(144 км/ч).
Трогаясь с места, автомобиль за первую секунду движения развил скорость
8 м/с; в каждую последующую секунду ускорение автомобиля уменьшалось
на 20%. За какое примерно время скорость автомобиля достигнет 120 км/ч?
(≈ 8 с)
Трогаясь с места, автомобиль за первую секунду движения развил скорость
8 м/с; в каждую последующую секунду ускорение автомобиля уменьшалось
на 20%. Сколько метров пройдет автомобиль за 6 с движения? (122 м).
В течение первой секунды от начала движения ускорение грузовика было
6,0 м/с2; в каждую последующую секунду ускорение убывало на 60%. Какова
средняя скорость автомобиля за первые 8 с движения?
(44 км/ч).
К концу первой секунды от начала движения скорость автомобиля была
4,6 м/с; в каждую последующую секунду его ускорение убывало на 15 %. Какой максимальной скорости достигнет автомобиль при этих условиях?
(110,4 км/ч).
Тележка массой 9,6 кг может двигаться без трения по горизонтальному
участку пути, но в начальный момент времени покоится. В задний борт тележки один за другим ударяются и упруго отскакивают мячи; масса каждого
400 г. Скорость мячей до удара (относительно дороги) одинакова и равна
20 м/с. Какую скорость приобретает тележка после попадания 4-го мяча?
(5,67 м/с).
После толчка маневрового тепловоза, железнодорожный вагон массой 80 и
покатился со скоростью 1 м/с, столкнувшись с вагоном массой 70 т; тот, в
свою очередь, покатился дальше, столкнувшись со следующим вагоном массой 60 т. Считая все удары абсолютно упругими, определите скорость последнего вагона
(1,15 м/с).
После толчка маневрового тепловоза, железнодорожный вагон массой 60 и
покатился со скоростью 0,8 м/с, столкнувшись с вагоном массой 50 т; тот, в
свою очередь, покатился дальше, столкнувшись со следующим вагоном мас16
сой 40 т. Считая все удары абсолютно упругими, определите скорость последнего вагона
(0,97м/с).
Тележка массой 14,6 кг может двигаться без трения по горизонтальному
участку пути, но в начальный момент времени покоится. В задний борт тележки один за другим ударяются и упруго отскакивают мячи; масса каждого
400 г. Скорость мячей до удара (относительно дороги) одинакова и равна
15 м/с. Какую скорость приобретает тележка после попадания 6-го мяча?
(4,2 м/с).
Тележка массой 4,6 кг может двигаться без трения по горизонтальному
участку пути, но в начальный момент времени покоится. В задний борт тележки один за другим ударяются и упруго отскакивают мячи; масса каждого
400 г. Скорость мячей до удара (относительно дороги) одинакова и равна
10 м/с. Какую скорость приобретает тележка после попадания 8-го мяча?
(7,52 м/с).
Чтобы забить гроздь в доску на треть своей длины, потребовалось ровно три
удара молотком. Сколько ещё раз надо ударить, чтобы забить гвоздь полностью?
(24).
Прораб Зябликов заметил, что в результате пятого удара бабы копра, свая
продвинулась в грунт ещё на 12 см. На сколько всего погрузилась свая в
грунт за все эти пять ударов?
(114 см).
Из опыта возведения фундамента в этом районе было известно, что требуется
16 ударов бабы копра, чтобы забить сваю в грунт на треть своей длины. А
сколько потребуется ударов, чтобы баба вошла в грунт на следующую треть
своей длины?
(48).
После некоторой тренировки, плотник Сидоров стал забивать 120 – ти миллиметровый гвоздь в сосновый брус за 4 удара (если не промахнется). На
сколько погружается гвоздь в древесину в результате 4-го удара? (16 мм).
Чтобы забить гроздь в доску на половину своей длины, потребовалось ровно
три удара молотком. Сколько ещё раз надо ударить, чтобы забить гвоздь
полностью?
(9).
В емкость объемом 25 л нагнетается воздух, находившийся в атмосфере при
давление 100 кПа. Объем рабочей камеры насоса 1,25 л. Сколько потребуется
циклов работы насоса, чтобы давление воздуха в емкости (перед этим открытой) достигло 2,4 МПа при той же температуре?
(480).
В емкость объемом 100 л нагнетается воздух, находившийся в атмосфере при
давление 100 кПа. Объем рабочей камеры насоса 1,25 л. Сколько потребуется
циклов работы насоса, чтобы давление воздуха в емкости (перед этим открытой) достигло 0,8 МПа при той же температуре?
(640).
Баллоны объемом 2,5 л заполняют сжатым воздухом до получения давления
0,5 МПа (при исходном давлении 100 кПа) от резервуара объемом 50 л, в котором начальное давление воздуха было 2,5 МПа. Считая процесс заполне17
ния баллонов изотермическим, определите, каким будет давление воздуха в
резервуаре после заполнения 50 баллонов
(1,5 МПа).
Баллоны объемом 4 л заполняют сжатым воздухом до получения давления
0,4 МПа (при исходном давлении 100 кПа) от резервуара объемом 100 л, в
котором начальное давление воздуха было 1,6 МПа. Считая процесс заполнения баллонов изотермическим, определите, какое максимальное число
баллонов можно заполнить при указанных выше условиях (до 100).
Баллоны объемом 2,5 л заполняют сжатым воздухом до получения давления
0,5 МПа (при исходном давлении 100 кПа) от резервуара объемом 100 л, в
котором начальное давление воздуха было 2,0 МПа. Считая процесс заполнения баллонов изотермическим, определите, какое максимальное число
баллонов можно заполнить при указанных выше условиях (до 150).
Из сосуда емкостью 0,9 л выкачивают воздух с помощью насоса с рабочей
камерой объемом 100 мл. Начальное давление воздуха в сосуде равно
р0 = 100 кПа. Считая процесс изотермическим, определить, каким будет давление в сосуде через 16 циклов работы насоса
(18,53 кПа).
Из сосуда емкостью 5 л выкачивают воздух с помощью насоса с рабочей камерой объемом 100 мл. Начальное давление воздуха в сосуде равно атмосферному давлению р0 = 760 мм рт ст. Считая процесс изотермическим,
определить, через сколько циклов откачки давление воздуха в сосуде составит 1 мм рт ст
(335).
Из сосуда емкостью 1 л выкачивают воздух с помощью насоса с рабочей камерой объемом 100 мл. Начальное давление воздуха в сосуде равно
р1 = 100 кПа. Считая процесс изотермическим, определить, каким будет давление воздуха в сосуде через 100 циклов работы насоса
(7,26).
Из сосуда объемом 100 л газ перекачивают в другой такой же сосуд с помощью поршневого насоса с объемом рабочей камеры 5 л. В начальный момент
времени давление в обоих сосудах было одинаковым. Во сколько раз будут
отличаться давления в сосудах через 16 циклов работы насоса? (3,54).
Из сосуда объемом 50 л воздух перекачивают в другой такой же сосуд с помощью поршневого насоса с объемом рабочей камеры 0,5 л. В начальный
момент времени давление в обоих сосудах было одинаковым. Во сколько раз
будут отличаться давления в сосудах через 16 циклов работы насоса? (1,35).
Из сосуда объемом 20 л воздух перекачивают в другой такой же сосуд с помощью поршневого насоса с объемом рабочей камеры 1 л. В начальный момент времени давление в обоих сосудах было одинаковым. Во сколько раз
будут отличаться давления в сосудах через 8 циклов работы насоса? (2,01).
В цилиндре под поршнем площадью 10 см2 и массой 20 г, который может передвигаться без всякого трения, находится идеальный газ. Поршень находится в равновесии на высоте 60 см над дном цилиндра; давление воздуха над
поршнем равно атмосферному (101,3 кПа). На поршень сверху кладут одну
18
за другой одинаковые гирьки по 20 г. На сколько переместится поршень после добавления 5-й гирьки?
(2,5 см)
В цилиндре под поршнем площадью 10 см2 и массой 50 г, который может передвигаться без всякого трения, находится идеальный газ. Поршень находится в равновесии на высоте 40 см над дном цилиндра; давление воздуха над
поршнем равно атмосферному (101,3 кПа). На поршень сверху кладут одну
за другой одинаковые гирьки по 50 г. На сколько переместится поршень после добавления 5-й гирьки?
(1,5 см)
Демонстрационный прибор представляет собой (см.
рис.1.3) два металлических сосуда, закрепленные один
над другим. Сосуды соединены проводником друг с другом, так что их потенциал один и тот же, равный 1 кВ.
Нижний сосуд представляет собой сферу радиусом 10 см с
маленьким отверстием сверху. Из верхнего сосуда в нижний одна за другой начинают падать капли воды (потенциал каждой капли равен потенциалу сосуда). Считая
капли сферическими с радиусом 1 мм, определите потенциал сосудов после падения 150-й капли
(4,45 кВ).
h
Демонстрационный прибор представляет собой
(см. рис. 1.3) два металлических сосуда, закрепленные один над другим. Сосуды соединены проводником друг с другом, так что их потенциал один и тот
же. Нижний сосуд представляет собой сферу с маленьким отверстием сверху.
Из верхнего сосуда в нижний одна за другой начинают падать капли воды
(потенциал каждой капли равен потенциалу сосуда). После падения 20–й и
30–й капель потенциал сосудов был равен, соответственно, 2,0 кВ и 3,0 кВ.
Считая капли сферическими, определите потенциал сосудов после падения
50-й капли (6,75 кВ).
Демонстрационный прибор представляет собой (см. рис. 1.3) два металлических сосуда, закрепленные один над другим. Сосуды соединены проводником друг с другом, так что их потенциал один и тот же. Нижний сосуд представляет собой сферу радиусом 2,5 см с маленьким отверстием сверху. Из
верхнего сосуда в нижний одна за другой начинают падать капли воды (потенциал каждой капли равен потенциалу сосуда). Считая капли сферическими с радиусом 1 мм, определите, сколько капель должно попасть в нижний
сосуд, чтобы потенциал увеличился в 7 раз
(50).
Батарея из 8 параллельно включенных конденсаторов подсоединена к источнику с напряжением 24 В. Ёмкость первого конденсатора равна 32 мкФ; каждый из последующих конденсаторов имеет ёмкость, меньшую ёмкости
предыдущего на 25%. Требуется определить величину суммарного электрического заряда, накопленного батареей
(2,76 мКл).
Батарея из 8 параллельно включенных конденсаторов подсоединена к источнику с напряжением 100 В. Ёмкость первого конденсатора равна 4 мкФ; каж19
дый из последующих конденсаторов имеет ёмкость, большую ёмкости
предыдущего на 20%. Требуется определить энергию, накопленную конденсаторами батареи
(0,33 Дж).
К источнику с напряжением 60 В
подключена батарея конденсаторов с переключателями
(см. рис. 1.4) Электроёмкость
первого из них С1 = 1 мкФ; для
каждого последующего ёмкость
больше предыдущего ровно в два раза. Первый конденсатор заряжают от источника; затем с помощью переключателя замыкают на второй. Затем второй
переключают с первого на третий, и т. д. Требуется определить величину заряда, который достанется последнему, седьмому конденсатору
(5,27 мкФ).
К источнику с напряжением 300 В подключена батарея конденсаторов с переключателями (см. рис. 1.4). Электроёмкость первого из них С1 = 0,01 мкФ;
для каждого последующего ёмкость больше предыдущего ровно в 1,5 раза.
Первый конденсатор заряжают от источника; затем с помощью переключателя замыкают на второй. Затем второй переключают с первого на третий, и т.
д. Требуется определить величину напряжения на последнем, пятом конденсаторе
(7,68 В).
К источнику с напряжением 300 В подключена батарея конденсаторов с переключателями (см. рис. 1.4). Электроёмкость первого из них С1 = 0,05 мкФ;
для каждого последующего ёмкость больше предыдущего ровно в 2 раза.
Первый конденсатор заряжают от источника; затем с помощью переключателя замыкают на второй. Затем второй переключают с первого на третий, и т.
д. Требуется определить суммарную величину заряда, накопленного первыми
четырьмя конденсаторами
(12,04 мкКл).
К источнику с напряжением 300 В подключена батарея конденсаторов с переключателями (см. рис. 1.4). Электроёмкость первого из них С1 = 0,01 мкФ;
для каждого последующего ёмкость меньше предыдущего на 30%. Первый
конденсатор заряжают от источника; затем с помощью переключателя замыкают на второй. Затем второй переключают с первого на третий, и т. д. Требуется определить величину заряда последнего, восьмого конденсатора
(7,68 В).
Батарея конденсаторов содержит 8 конденсаторов, емкость которых изменяется по определенному закону, а именно: 1,25 мкФ, 1 мкФ, 0,8 мкФ и т. д.
Первый конденсатор заряжается от источника до напряжения 120 В; затем с
помощью переключателей первый конденсатор соединяется со вторым, второй – с третьим, и т. д. (см. рис. 1.4). Требуется найти заряд и энергию последнего конденсатора.
20
К источнику с напряжением 600 В подключена батарея конденсаторов с переключателями (см. рис. 1.4). Электроёмкость первого из них С1 = 0,2 мкФ;
для каждого последующего ёмкость больше предыдущего ровно в 1,25 раза.
Первый конденсатор заряжают от источника; затем с помощью переключателя замыкают на второй. Затем второй переключают с первого на третий, и
т. д. Требуется определить энергию предпоследнего, седьмого от начала конденсатора
(1,61 мкДж).
Системы алгебраических уравнений
Общий принцип решения физических задач сводится к следующему.
Из условия задачи выясняем, что в данном случае происходит, т. е. каков
смысл рассматриваемых физических явлений или процессов. Записываем математические соотношения, связывающие между собой встречающиеся величины, на основе соответствующих физических законов, теорем или определений. Часть из этих величин задана в условии, или может быть определена из справочных таблиц (при этом убеждаемся, что все единицы измерения,
в которых даны числовые значения, согласованы, или соответствуют системе
СИ). Остальные величины считаются неизвестными. Получаем таким образом одно, два или больше уравнений. Причем уравнения могут быть самыми
разными – от линейных алгебраических, до дифференциально - интегральных уравнений в частных производных. В данном случае ограничиваемся
рассмотрением наиболее простых задач, сводимых к линейным алгебраическим уравнениям.
Если число независимых (т. е. не сводимых друг к другу) уравнений
равно числу неизвестных величин, то «физическая часть» задачи заканчивается, и можно переходить к её «математической части». Система уравнений
приводится к каноническому (стандартному) виду; выбирается тот или иной
метод решения уравнений в зависимости от числа уравнений и их вида.
Необходимые математические сведения
Система линейных алгебраических уравнений в общем случае определяется значениями коэффициентов уравнений {аi,j} и свободными членами
{bi}, где i = 1, 2…n – порядковый номер уравнения; j = 1, 2…n – порядковый
номер неизвестного параметра. В развернутом виде система уравнений может быть представлена следующим образом:
а11х1+ а12х2+…+ а1nхn = b1;
(1)
а21х1+ а22х2+…+ а2nхn = b2;
(2)
………………………………………
аn1х1+ аn2х1+…+ аnnхn = bn;
(n).
Возможные методы решения системы линейных алгебраических уравнений, сформулированных в процессе решения физической задачи, сводятся
к следующему.
3. Метод подстановки
21
Из первого уравнения выражаем одно из неизвестных, например,
a x a x ... a1n x n
; подставляем это выражение в оставшиеся уравx1 12 2 13 3
a11
нения; тогда вместо системы из n уравнений относительно n неизвестных после соответствующих алгебраических преобразований получается система из
n-1 уравнений относительно n-1 неизвестных. Затем из одного из этих уравнений выражаем следующее неизвестное, подставляем в оставшиеся уравнения, и так до тех пор, пока не останется только одно уравнение относительно
одного неизвестного в виде ахк = b. Находим отсюда хк = а/b; а затем последовательно все остальные неизвестные. Такой метод оказывается удобным в
том случае, когда решаемая физическая задача содержит много переменных,
но связывающие их уравнения достаточно простые, т. е. многие из коэффициентов уравнений равны нулю.
4. Метод Гаусса
Метод Гаусса сводится к преобразованию коэффициентов уравнений и
свободных членов с помощью умножения (деления) на определенное число
так, чтобы коэффициенты при одинаковых неизвестных в соседних уравнениях отличались только знаком. Тогда при их сложении, соответствующие
неизвестные взаимо уничтожаются, уменьшая тем самым число оставшихся
неизвестных. Продолжая подобную операцию, приходим к одному уравнению с одним неизвестным, решение которого уже очевидно. Затем в обратной последовательности определяем все остальные неизвестные. Форма записи проводимых операций может быть различна, но целесообразнее всего
записывать только сами коэффициенты уравнений (и свободные члены) на
каждом этапе решения. Конкретный пример решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса приведен ниже (Пример 4).
5. Метод Крамера
Метод Крамера предполагает вычисление определителей, составленных из коэффициентов уравнений Δ, и определителей Δк, к = 1, 2, …, n, полученных заменой к-того столбца определителя Δ на столбец свободных чле
нов. Тогда искомые неизвестные выражаются формулой x k k . Практи
чески, при вычислениях определителей вручную (а не с помощью компьютера) этот метод имеет смысл использовать для решения систем из трех уравнений; при большем числе уравнений рациональнее использовать метод
Гаусса. Пример использования метода Крамера при решении системы уравнений приведен ниже (Пример 3).
Примеры решения задач
«Блоки»
Механическая система включает в себя подвижный (1) и неподвижный
(2) блоки массами m1 = 0,2 кг, m2 = 0,8 кг и груз массой m3 = 0,4 кг (см.
Рис. 1.1). Масса блока 1 распределена по его ободу; блок 2 представляет со22
бой однородный диск. Определите ускорение груза 3 а3 и силы натяжения
шнура Т1
Дано: m1 = 0,2 кг, m2 = 0,8 кг; m3 = 0,4 кг;
Найти: а3; F01; F12; F23.
Решение: (см. рис. 2.1).
Из трех тел, входящих в состав механической
системы, груз 3 движется поступательно; неподвижный блок 2 только вращается; подвижный блок 1
движется плоско параллельно, т. е. его ось движется
поступательно, а блок вращается вокруг этой оси.
Составляем уравнения движения для каждого из тел,
предварительно указав на рисунке векторы действующих на тела сил. При этом соединяющие тела нити
предполагаются невесомыми и нерастяжимыми, а
оба блока вращаются без трения.
Тогда для груза 3: m3a 3 m3g F23 (0.41);
для неподвижного блока 2: I22 F23 F12 R 2 (0.42)
;
для поступательного движения центра масс подвижного блока 1:
m1a1 F01 F12 m1g (0.43);
для вращения блока 1 вокруг своей оси: I11 F12 F01 R1 (0.44).
Здесь R1, R2 – радиусы блоков.
Следующая группа уравнений описывает кинематическую связь между
телами системы. В отсутствии скольжения нити по ободам блоков, ускорение
груза 3 равно тангенциальному ускорению точек на ободе блока 2, т. е.
a 3 2 R 2 (0.45).
Ускорение оси блока 1 ровно в два раза меньше ускорения груза 3, т. е.
a 3 2a1 (0.46). Это следует из анализа движения блока 1: он «катится» вверх
по нити 01, и точка касания является мгновенным центром скоростей. При
этом для блока 1 также a1 1R1 (0.47).
Итого получаем 7 уравнений для определения семи неизвестных величин: a1, a3, ε1; ε2; F01; F12; F23.
Поскольку каждое из уравнений достаточно простое, т.е. включает в
себя 2-3 неизвестных величины, решать его удобнее методом подстановки,
последовательно сокращающей число ставшихся неизвестных. Сначала из
уравнений (0.45) и (0.47) выражаем угловые ускорения блоков 1 и 2; учитываем при этом соотношение (0.46). После подстановки этих выражений в
оставшиеся уравнения получаем:
m3a 3 m3g F23
(0.48);
2
I2a 3 F23 F12 R 2
(0.49);
m1a 3 2 F01 F12 2m1g
(0.50);
23
I1a 3 2 F12 F01 R12
(0.51).
Дальнейшее решение системы из 4-х уравнений удобнее провести методом Гаусса; для этого перепишем систему уравнений, приводя её к каноническому (стандартному) виду:
m3a 3 0 0 F23 m3g
(0.52);
I2
(0.53);
a 3 0 F12 F23 0
R 22
m1a 3 2F01 2F12 0 2m1g
(0.54);
I1
(0.55).
a 3 2F01 2F12 0 0
R12
Сложение уравнений (0.52) и (0.53) с учетом разных знаков перед F23
даёт:
I2
m3 2 a 3 0 F12 0 m3g
R2
(0.56);
Уравнение (0.56) умножаем на 4, после чего складываем с оставшимися
уравнениями (0.54) и (0.55); при этом уничтожаются неизвестные F01 и F12:
4I 2
I1
4m
m
3
a 3 0 0 0 4m3 2m1 g
1
R 22
R12
(0.57)
Учитывая условие задачи, преобразуем коэффициент при а3 в последнем уравнении. Если масса блока 1 распределена по ободу, а блок 2 представляет собой однородный диск, то их моменты инерции относительно осей
вращения выражаются формулами: I1 m1R12 и I2 0,5 m2 R 22 . Радиусы блоков R1 и R2 сокращаются; тогда из уравнения (0.57) получаем выражение для
ускорения груза 3 в виде:
2m3 m1
(0.58).
a3 g
m1 m2 2m3
Подставляя числовые значения масс тел, получаем: а3 = 0,33g ≈ 3,27 м/с2.
Силы упругости нитей, связывающих блоки, находим из сформулированных
выше уравнений. Из уравнения (0.52), используя выражение для ускорения
F23 m3 g a 3 2 m3g
3
(0.58), получаем:
≈ 0,667×0,4×9,81 ≈ 2,616 Н.
F F23 m2a 3 1 4m3 m2 g
6
Из уравнения (0.53) получаем: 12
≈ 1,308 Н.
Из уравнения (0.55) находим последнюю неизвестную величину – силу F01:
F01 F12 m1a 3 1 4m3 m2 2m1 g
6
≈ 0,654 Н.
Ответ: а3 = 3,27 м/с2; F01 = 0,654 Н; F12 = 1,308 Н; F23 = 2,616 Н
24
«Плита»
Плита АВ весом Р = 10 кН, закрепленная шарнирно в точке А (см.
Рис. 1.2), образует угол α = 400 с плоскостью горизонта. В этом положении
плиту удерживает стержень ВС, который соединен с плитой шарнирно и образует с плоскостью горизонта угол
β = 650. Помимо собственного веса, на
плиту действует сила F = 4 кН, направление которой образует угол γ = 600 с
плоскостью плиты. Указанные на рисунке размеры имеют следующие значения: a = 3 м; b = 1,6 м; c = 1,4 м. Требуется найти реакции шарнира RАХ, RАУ и
усилие в стержне N.
Дано: Р = 10 кН; α = 400; β = 650; F = 4 кН; γ = 600.
Найти: RАХ, RАУ; N.
Решение: (см. рис. 2.2).
Для определения трех неизвестных величин требуется составить три
уравнения; эти уравнения выражают условия равновесия твердого тела, имеющего ось вращения. Отсутствие вращения плиты удобнее выразить как отсутствие поворота вокруг оси "А" условием: сумма моментов всех сил относительно этой оси равна 0; или
m
A
(Fk ) = 0. Сюда входят: момент силы тя-
k
жести плиты, Р, плечо которой hР = а×cos α; момент силы F, который удобнее
выразить через составляющую силы, перпендикулярную поверхности плиты:
Fn = F sin γ; момент силы упругости (реакции N) стержня, нормальная составляющая которой Nn = N×sin(1800 – α –β) = N×sin(α+β). Тогда в уравнение
равновесия входит лишь одна неизвестная величина – реакция стержня N,
что упрощает дальнейшее решение системы уравнений. С учетом направлений сил и правилом знаков для моментов, получаем:
F sin a b P a cos N sin( ) a b c 0
(0.59)
Оставшиеся два уравнения выражают отсутствие перемещения плиты
вдоль оси ОХ и ОУ; это равенство нулю суммы проекций действующих сил
на соответствующие оси:
F
R AX F cos( ) N cos 0 ;
(0.60)
R AY P F sin( ) N sin 0 .
(0.61)
kX
k
F
kY
k
25
Метод решения полученной системы уравнений выбираем с учетом того, что в первом уравнении содержится лишь одно неизвестное; тогда из
(0.59) находим реакцию стержня:
F sin a b P a cos 4 sin 600 4,6 10 3 cos 400
= -1,216 Н (0.62)
N
6 sin1050
a b c sin( )
Отрицательное значение реакции N = -1,216 Н показывает, что при
данных нагрузках стержень оказывается сжатым, а не растянутым, как предполагалось при составлении уравнения. Находим теперь реакции шарнира: из
уравнения (0.60) R AX F cos( ) N cos 4 cos 200 1.216 cos650 =
= 4,273 Н.
Соответственно, из уравнения (0.61) получаем:
R AY P F sin( ) N sin 10 4 sin 200 1.216 sin 650 = 7,530 Н.
Ответ: RАХ = 4,273 Н; RАУ = 7,530 Н; N = -1,216 Н.
«Смесь газов»
В баллоне емкостью 25 л под давлением 3,26 МПа и температуре 280К
находится смесь гелия, водорода и углекислого газа. Масса всей смеси 100 г.
Чтобы нагреть смесь до 590 К, ей пришлось сообщить 2,0 МДж теплоты. Какова масса каждого газа, входящего в смесь?
Дано: p = 0,3 МПа; V = 2,5 л; m = 1 кг; t = 2700С; Q = 800,7 кДж; ΔТ = 720 К.
Справочные данные: молярные массы указанных в условии газов имеют следующие значения: гелий: μ1 = 0,004 кг/моль; водород:
μ2 = 0,002 кг/моль; углекислый газ: μ1 = 0,044 кг/моль.
Найти: m1; m2; m3.
Решение:
Неизвестными величинами являются массы компонентов газовой смеси; обычно их выражают через массовые доли (αк = mк/ m, к = 1, 2, 3). Для
определения трёх неизвестных величин требуются три уравнения, которые
предстоит составить на основе физических условий задачи.
По закону Дальтона, давление газовой смеси p выражается через парциальные давления отдельных газов соотношением: p = p1 + p2 + p3. Считая
газы идеальными, запишем уравнения состояния для к-той компоненты в виде:
p k V k m RT . Здесь R = 8,314 Дж/моль К – универсальная (мольная)
k
газовая постоянная; остальные величины определены выше. Тогда выраже
pV
ние для закона Дальтона принимает вид: 1 2 3
(0.63).
1 2 3 mRT
Второе важное условие задачи – это указанное значение подводимой
теплоты Q для нагревания на ΔТ градусов. Молярная теплоёмкость идеального газа определяется числом степеней свободы i теплового движения его
i
молекул; при изохорном нагревании (V = const), CVk R ; при этом, для од2
26
ноатомного гелия (Не) i1 = 3; для двухатомного водорода (Н2) i2 = 5; для трехатомного углекислого газа (СО2) i3 = 6. Тогда общее количество подводимой
1
к смеси теплоты выражается формулой: Q 3 1 5 2 6 3 m R T .
2
3 2
1
Отсюда легко получаем второе уравнение относительно искомых парамет
2Q
ров: 3 1 5 2 6 3
(0.64).
1
2
3 m R T
Последнее уравнение вполне очевидно – сумма всех массовых долей
смеси должна быть равна единице; т. е. 1 2 3 1 (0.65).
Дальнейшее решение рациональнее проводить не в общем буквенном, а
в числовом виде, т. е. использовать числовые значения коэффициентов уравнений и свободных членов. Находим с11 = 1/μ1 = 250; с12 = 1/μ2 = 500;
с3 = 1/μ3 = 250/11 (единицы измерения – моль/кг). Соответствующий свободpV
3,26 106 25 103
ный член: d1
= 350,098 моль/кг.
mRT
1 8,314 280
Для уравнения (0.64) аналогичным образом получаем:
с21 = 3/μ1 = 750 моль/кг; с22 = 5/μ2 = 2500 моль/кг; с23 = 6/μ3 = 1500/11 моль/кг;
2Q
2 2,0 106
= 1551,99 моль/кг.
d2
mR T 1 8,314 (590 280)
Чтобы коэффициенты уравнений были одного порядка, разделим первое уравнение на 100, второе – на 1000. Получаем систему трех линейных
алгебраических уравнений относительно трех неизвестных:
2,51 5 2 0,2272733 3,50098
(0.66)
0,751 2,5 2 0,136363 1,55199
1 2 3 1
Будем решать эту систему уравнений с помощью формул Крамера:
1 1 , 2 2 , 3 3 (0.67). Здесь Δ и Δк – определители, составленные
из коэффициентов системы уравнений и свободных членов:
2,5
5 0,227273
0,75 2,5 0,13636 = 2,44317;
1
1
1
3,50098 5 0,22727
1 1,55199 2,5 0,13636 = 0,98145;
1
1
1
2,5 3,50098 0,22727
2 0,75 1,55199 0,13636 = 1,20846;
1
1
1
27
2,5
5
3,50098
3 0,75 2,5 1,55199 = 0,25326.
1
1
1
Решение системы уравнений: 1
3
0, 25326
2.44317
0,98145
2.44317
= 0,4017; 2
1, 20846
2.44317
= 0,4946;
= 0,1037. Тогда масса каждого из газов, входящих в состав сме-
си будет: m1 = 0,4017×100 = 40,17 г; m2 = 0,4946×100 = 49,46 г;
m3 = 0,1037×100 = 10,37 г.
Ответ: m1 = 40,17 г; m2 = 49,46 г; m3 = 10,37 г.
«Схема»
Электрическая цепь содержит два источника тока с ЭДС Е1 = 12 В и Е2 = 24 В; три
резистора с сопротивлениями R1 = 10 Ом;
R2 = 20 Ом; R3 = 30 Ом (см. Рис. 1.3) Найти
силу токов в ветвях цепи.
Дано: Е1 = 12 В; Е2 = 24 В; R1 = 10 Ом;
R2 = 20 Ом; R3 = 30 Ом.
Найти: I1; I2; I3.
Решение: (см. рис. 2.3).
Укажем (произвольно) положительные направления токов в ветвях и
положительные направления обхода контуров (см. рис). По первому правилу
Кирхгофа для узла "а" получаем первое уравнение для токов:
I1 I 2 I3 0
(0.68)
По второму правилу Кирхгофа для контура 1 получаем второе уравнение:
R1I1 R 3I3 E1
(0.69)
По второму правилу Кирхгофа для контура 2 получаем третье уравнение:
R 2 I 2 R 3I3 E 2
(0.70)
28
Подставляя числовые значения величин ЭДС и сопротивлений, получаем систему уравнений относительно I1; I2; I3. предполагая её решение методом Гаусса, в дальнейшем будем записывать только коэффициенты уравнений и свободные члены, опуская сами неизвестные величины. Тогда исходная система уравнений принимает вид:
1
1
1
0
10
0
30
12
0
20
30
24
Разделим вторую строку на -30, третью – на 30, чтобы в предпоследнем
столбце появились значения -1 и 1; получаем:
1
1
1
0
(а)
-1/3 0
-1
-0,4 (б)
0
2/3
1
0,8 (в)
Складываем строки: (а)+(б) и (б)+(в); тогда получаем две строки:
2/3 1
0
-0,4 (г)
-1/3 2/3
0
0,4 (д).
Строку (д) делим на -2/3, чтобы во второй колонке получилась -1:
2/3 1
0
-0,4 (е);
1/2 -1
0
-0,6 (ж).
Складываем строки (е)+(ж):
7/6 0
0
-1; делим на 7/6:
1
0
0
-6/7.
Получаем, что первое неизвестное, т. е., сила тока в первой ветви, равна I1 = -6/7 ≈ -0,857 А. Из строки (е) получаем значение I2 = -0,4-(2/3)×(-6/7) =
= 6/35, или I2 ≈ 0,171 А. Из строки (а) получаем: I3 = -I1-I2 = 6/7-6/35 = 24/35 ≈
≈ 0,686 А.
Ответ: I1 = -6/7 ≈ -0,857 А; I2 = 6/35 ≈ 0,171 А; I3 = 24/35 ≈ 0,686 А.
Направление тока в 1-й ветви противоположно указанному на схеме цепи.
Задачи для самостоятельного решения
Через блок (однородный диск) массой 2 кг и радиусом 20 см переброшена
невесомая нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы массами 3 и 5 кг. Найдите (в отсутствии скольжения нити) ускорение грузов и силы натяжения нитей.
Через блок (однородный диск) массой 4 кг и радиусом 20 см переброшен невесомый нерастяжимый трос, к концам которого прикреплены грузы массами
20 и 50 кг. Найдите (в отсутствии скольжения троса) ускорение грузов и силы натяжения нитей.
Барабан лебедки радиусом 45 см может вращаться вокруг горизонтальной
оси, причем момент инерции барабана относительно этой оси составляет
20 кг м2, а момент силы трения равен 150 Н м. На барабан намотан (невесомый) трос, к концу которого подвешен груз массой 300 кг. С каким ускоре29
нием будет опускаться груз, и какова при этом сила натяжения троса?
(а = 6,54 м/с2; Т = 0,98 кН).
Барабан лебедки радиусом 45 см может вращаться вокруг горизонтальной
оси, причем момент инерции барабана относительно этой оси составляет
20 кг м2, а момент силы трения равен 200 Н м. На барабан намотан (невесомый) трос, к концу которого подвешен груз массой 500 кг. С каким ускорением будет опускаться груз, и какова при этом сила натяжения троса?
(а = 7,45 м/с2; Т = 1,18 кН).
Барабан лебедки радиусом 45 см может вращаться вокруг горизонтальной
оси, причем момент инерции барабана относительно этой оси составляет
20 кг м2, а момент силы трения равен 400 Н м. На барабан намотан (невесомый) трос, к концу которого подвешен груз массой 400 кг. С каким ускорением будет опускаться груз, и какова при этом сила натяжения троса?
(а = 6,09 м/с2; Т = 1,49 кН).
Через блок, выполненный в виде колеса, перекинута нить, к концам которой
привязаны грузы с массами m1 = 100 г и m2 = 300 г. Массу колеса М=200 г
считать равномерно распределенной по ободу, массой спиц пренебречь.
Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, и силы натяжения
нити по обе стороны блока.
Цилиндр, расположенный горизонтально, может вращаться около оси, совпадающей с осью цилиндра. Масса цилиндра m1 = 12 кг. На цилиндр намотали шнур, к которому привязали гирю массой m2 = 1 кг. С каким ускорением
будет опускаться гиря? Какова сила натяжения шнура во время движения гири?
Механическая система включает в себя подвижный (1)
и неподвижный (2) блоки массами m1 = 0,2 кг, m2
= 0,8 кг и груз массой m3 = 0,4 кг (см. рис. 2.4). Масса
блока 1 распределена по его ободу; блок 2 представляет
собой однородный диск. Определите ускорение груза 3.
Механическая система включает в себя подвижный (1)
и неподвижный (2) блоки массами m1 = 0,2 кг, m2
= 0,8 кг и груз массой m3 = 0,4 кг (см. рис. 2.4). Масса блока 1 распределена
по его ободу; блок 2 представляет собой однородный диск. Определите силу
натяжения нити, Т.
Механическая система включает в себя подвижный (1) и неподвижный (2)
блоки массами m1 = 0,2 кг, m2 = 0,5 кг и груз массой m3 = 0,4 кг (см. рис. 2.4).
Масса блока 1 распределена по его ободу; блок 2 представляет собой однородный диск. Определите ускорение оси блока 1.
Механическая система включает в себя подвижный (1) и неподвижный (2)
блоки массами m1 = 0,4 кг, m2 = 0,2 кг и груз массой m3 = 0,8 кг (см. рис. 2.4).
30
Масса блока 2 распределена по его ободу; блок 1 представляет собой однородный диск. Определите ускорение груза 3.
Плита АВ весом Р = 4 кН, закрепленная
шарнирно в точке А (см. рис. 2.5), образует угол α = 450 с плоскостью горизонта. В этом положении плиту удерживает
стержень ВС, который соединен с плитой шарнирно и образует с плоскостью
горизонта угол β = 600. Помимо собственного веса, на плиту действует сила
F = 8 кН, направление которой образует
угол γ = 500 с плоскостью плиты. Указанные на рисунке размеры имеют следующие значения: a = 2,4 м; b = 1,6 м;
c = 0,8 м. Требуется найти реакции шарнира RАХ, RАУ и усилие в стержне N.
Плита АВ весом Р = 5 кН, закрепленная шарнирно в точке А (см. рис. 2.5),
образует угол α = 400 с плоскостью горизонта. В этом положении плиту
удерживает стержень ВС, который соединен с плитой шарнирно и образует с
плоскостью горизонта угол β = 650. Помимо собственного веса, на плиту действует сила F = 6 кН, направление которой образует угол γ = 600 с плоскостью плиты. Указанные на рисунке размеры имеют следующие значения:
a = 3 м; b = 1,6 м; c = 1,4 м. Требуется найти реакции шарнира RАХ, RАУ и
усилие в стержне N.
Крышка погреба АВ весом Р = 180 Н ((см. рис. 2.5) удерживается в открытом
состоянии под углом α = 450 к линии горизонта с помощью стержня ВС, соединенного шарнирно с крышкой и опорой. Стержень образует с горизонтом
угол β. На крышку под углом γ к её плоскости действует сила F = 60 Н. Требуется найти реакции шарнира RАХ, RАУ, удерживающего крышку, и усилие в
стержне N, если a = 40 см; b = 25 см; c = 15 см.
Балка АВ весом 1,8 кН подвешена на
тросах 1, 2 и 3, которые образуют с
вертикальной линией углы α = 400,
β = 250 и γ = 150 (см. рис. 2.6). Найдите силы натяжения тросов N1, N2 и
N3, если а = 3 м, b = 2 м.
Балка АВ весом 1,2 кН подвешена на тросах 1, 2 и 3, которые образуют с вертикальной линией углы α = 450, β = 300 и γ = 150 (см. рис. 2.6). Найдите силы
натяжения тросов N1, N2 и N3, если а = 2,4 м, b = 1,6 м.
Балка АВ весом 4,8 кН подвешена на тросах 1, 2 и 3, которые образуют с вертикальной линией углы α = 450, β = 250 и γ = 150 (см. рис. 2.6). Найдите силы
натяжения тросов N1, N2 и N3, если а = 3,6 м, b = 2,4 м.
31
Подвесной мостик держится на трех веревках, образующих с вертикальной
линией углы α = 400, β = 200 и γ = 150 (см. рис. 2.6). По мостику проходит
альпинист, вес которого (вместе с рюкзаком) равен 1,2 кН, что значительно
больше веса самого мостика. Определите силы натяжения веревок в положении, когда альпинист прошел уже 60% от общей длины мостика.
Подвесной мостик держится на трех веревках, образующих с вертикальной
линией углы α = 300, β = 300 и γ = 150 (см. рис. 2.6). По мостику проходит
альпинист, вес которого (вместе с рюкзаком) равен 1,2 кН, что значительно
больше веса самого мостика. Определите силы натяжения веревок в положении, когда альпинист прошел уже 75% от общей длины мостика.
Подвесной мостик держится на трех веревках, образующих с вертикальной
линией углы α = 450, β = 300 и γ = 150 (см. рис. 2.6). По мостику проходит
альпинист, вес которого (вместе с рюкзаком) равен 1000 Н, что значительно
больше веса самого мостика. Определите силы натяжения веревок в положении, когда альпинист прошел уже 55% от общей длины мостика.
В баллоне емкостью 40 л находится смесь гелия, азота и углекислого газа.
Масса всей газовой смеси 100 г; давление 0,83 МПа и температура 380 К.
Чтобы увеличить температуру смеси на 280 К, необходимо количество теплоты, равное 42,1 кДж. Какова масса каждого газа из состава смеси? (33,87 г;
41,50 г; 24,63 г).
В баллоне емкостью 20 л под давлением 3,58 МПа и температуре 290 К находится смесь аргона, азота и углекислого газа. Масса всей смеси 1000 г. Чтобы
нагреть смесь до 580 К, ей надо сообщить количество теплоты, равное
165 кДж. Какова масса каждого газа, входящего в смесь? (322 г; 480 г; 198 г).
Смесь аргона, кислорода и углекислого газа с общей массой 2,00 кг занимает
объем 1,2 м3, имеет начальную температуру 170С и находится под давлением
105 кПа. При изобарном нагревании газовой смеси на 3500С к ней подвели
количество теплоты, равное 377 кДж. Определите массу каждого из газов,
входящих в состав смеси. (442 г; 680 г; 877 г).
Смесь азота, кислорода и углекислого газа с общей массой 10,0 кг занимает
объем 2,5 м3, имеет начальную температуру 70С и находится под давлением
315 кПа. При изобарном нагревании газовой смеси на 1800С к ней подвели
количество теплоты, равное 1,28 МДж. Определите массу каждого из газов,
входящих в состав смеси.(7,39 кг; 1,77 кг; 0,84 кг).
В баллоне объёмом 50 л содержится газовая смесь из гелия, азота и углекислого газа общей массой 100 г при температуре 280 К и давлении 0,59 МПа.
При нагревании на 460 К внутренняя энергия смеси увеличивается на
80 кДж. Определите массу каждого из газов, входящих в состав смеси.
(44,8 г; 17,0 г; 38,3 г).
При силе тока 10 А во внешней цепи выделяется мощность 200 Вт, а при силе тока 15 А выделяется мощность 240 Вт. Каковы внутреннее сопротивление, ЭДС и сила тока короткого замыкания генератора
32
Батарея гальванических элементов замкнута на внешнее сопротивление 10
Ом и дает ток 3 А. Если вместо первого сопротивления включить сопротивление 20 Ом, то ток станет равным 1,6 А. Найдите ЭДС и внутреннее сопротивление батареи.
Электрическая цепь (см. рис. 2.7) содержит
два источника тока с ЭДС Е1 = 120 В и
Е2 = 60 В; три резистора с сопротивлениями
R1 = 50 Ом; R2 = 25 Ом; R3 = 20 Ом. Найти
силу токов в ветвях цепи
(7,2 А; 16,8 А; 24,0 А).
Электрическая цепь (см. рис. 2.7) содержит
два источника тока с ЭДС Е1 = 120 В и
Е2 = 24 В; три резистора с сопротивлениями R1 = 40 Ом; R2 = 20 Ом;
R3 = 60 Ом. Найти силу токов в ветвях цепи (1,2 А; 2,4 А; 1,2 А).
Электрическая цепь (см. рис. 2.7) содержит два источника тока с ЭДС
Е1 = 90 В и Е2 = 60 В; три резистора с сопротивлениями R1 = 40 Ом;
R2 = 25 Ом; R3 = 50 Ом. Найти силу токов в ветвях цепи
(0,33 А; 1,73 А; 2,07 А).
Электрическая цепь(см. рис. 2.7) содержит два источника тока с ЭДС
Е1 = 27 В и Е2 = 45 В; три резистора с сопротивлениями R1 = 50 Ом;
R2 = 25 Ом; R3 = 20 Ом. Найти силу токов в ветвях цепи
(4,14 А; 7,56 А; 11,7 А).
Электрическая цепь (см. рис. 2.7) содержит два источника тока с ЭДС
Е1 = 36 В и Е2 = 90 В; три резистора с сопротивлениями R1 = 100 Ом;
R2 = 50 Ом; R3 = 40 Ом. Найти силу токов в ветвях цепи
(3,969 А; 6,84 А; 10,8 А).
Электрическая цепь (см. рис. 2.7) содержит два источника тока с ЭДС
Е1 = 180 В и Е2 = 90 В; три резистора с сопротивлениями R1 = 40 Ом;
R2 = 100 Ом; R3 = 100 Ом. Найти силу токов в ветвях цепи (0,9 А; 1,26 А;
2,16 А).
Электрическая цепь (см. рис. 2.7) содержит два источника тока с ЭДС
Е1 = 36 В и Е2 = 18 В; резисторы с сопротивлениями R1 = 4 Ом; R2 = 10 Ом;
R3 = 10 Ом. Найти силу токов в ветвях цепи (1,8 А; 2,52 А; 4,32 А).
Три аккумулятора с ЭДС Е1 = 12 В;
Е2 = 24 В; Е3 = 36 В соединили одноименными полюсами (см. рис. 2.8). Определите силы
токов, протекающих через каждый аккумулятор, если их внутренние сопротивления
равны соответственно 1; 1,5 и 1,2 Ом
(11,2 А; 0,533 А; 10,667 А).
33
Три аккумулятора с ЭДС Е1 = 24 В; Е2 = 24 В; Е3 = 18 В соединили одноименными полюсами (см. рис. 2.8). Определите силы токов, протекающих
через каждый аккумулятор, если их внутренние сопротивления равны соответственно 1; 1,5 и 1,2 Ом
(2 А; 1,33 А; 3,33 А).
Источники тока с ЭДС 24; 12 и 18 В и внутренними сопротивлениями 0,6;
1,2 и 1,2 Ом соответственно соединены одноименными полюсами, как показано на (см. рис. 2.8). Определите значения силы токов, протекающих через
каждый источник
(7,5 А; 6,25 А; 1,25 А).
Источники тока с ЭДС 6; 12 и 9 В и внутренними сопротивлениями 1,2; 0,4
и 0,6 Ом соответственно соединены одноименными полюсами, как показано
на (см. рис. 2.8). Определите значения силы токов, протекающих через каждый источник
(3,33 А; 5 А; 1,67 А).
Источники тока с ЭДС 6; 6 и 9 В и внутренними сопротивлениями 0,4; 0,4 и
0,6 Ом соответственно соединены одноименными полюсами, как показано на
(см. рис. 2.8). Определите значения силы токов, протекающих через каждый
источник.
(1,875 А; 1,875 А; 3,75 А).
Геометрические методы решения физических задач
Во многих случаях, решение задач из различных разделов физики оказывается значительно проще при использовании соответствующих геометрических методов. Это в первую очередь касается таких разделов физики, как
кинематика и статика в механике, электростатика, геометрическая оптика и
др. Речь идет не только о геометрических построениях, иллюстрирующих
условие задачи, а о самих алгоритмах решения, использующих геометрические понятия и соотношения.
Необходимые математические сведения
Чаще всего при решении физической задачи возникает необходимость
построения треугольников и дальнейшего определения их параметров – углов и сторон. В связи с этим, будет полезным вспомнить следующие основные формулы.
1. Для треугольника с произвольным соотношением сторон
Для треугольника АВС, углы которого обозначены буквами α, β и γ (см. рис. 3.1), справедливы соотношения и теоремы:
Сумма углов 1800 (или π радиан).
Теорема синусов:
sin sin sin
BC
AC
AB
34
Теорема косинусов:
BC
2
AC AB 2 AC AB cos
2
2
2. Для прямоугольного треугольника
Пусть в треугольнике АВС угол при вершине С –
прямой (см. рис. 3.2), т. е. равен 900 или
рад.
2
Тогда справедливы следующие обозначения, соотношения и теоремы:
Стороны треугольника: АВ = с – гипотенуза; АС =
b и ВС = а – катеты.
Теорема Пифагора:
2
2
2
BC AC AB , или c2 a 2 b2 .
Соотношения сторон треугольника, выраженные через тригонометрические функции:
a c sin , b c cos , a b tg , b a ctg .
3. Для равнобедренного треугольника
Две из трех сторон треугольника равны между собой.
Углы, примыкающие к равным сторонам, также равны между собой.
Медиана, высота и биссектриса, проведенные из вершины, в которой
сходятся равные стороны, совпадают между собой.
4. Основные тригонометрические соотношения
Формулы двойного аргумента:
sin 2 2sin cos ;
cos2 cos2 sin 2 ;
cos2 1 2sin 2 ; cos2 2cos 2 1;
Основные тригонометрические тождества
sin 2 cos2 1; tg ctg 1;
tg
sin
cos
; ctg
;
cos
sin
1
1
; ctg 2 1
.
2
cos
sin 2
cos cos cos sin sin ; sin sin cos cos sin
tg 2 1
sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin ;
tg tg
tg tg
tg
.
tg
;
1 tgtg
1 tgtg
Формулы суммы и разности синусов (косинусов):
35
cos
; sin sin 2sin
cos
;
2
2
2
2
cos cos 2cos
cos
; cos cos 2sin
sin
;
2
2
2
2
Таблица значений тригонометрических функций для часто встречающихся аргументов
sin sin 2sin
0
150
300
450
600
750
900
0
π/12
π/6
π/4
π/3
5π/12
π/2
sin α
0
0,2588
0,5000
0,7071
0,8660
0,9659
1,0000
cos α
1,000
0,9659
0,8660
0,7071
0,5000
0,2588
0
tg α
0
0,2679
0,5774
1,0000
1,7321
3,7321
–
ctg α
–
3,7321
1,7321
1,0000
0,5774
0,2679
0
Формулы приведения:
sin sin ; sin cos ;
2
sin cos ;
2
3
sin sin ; sin sin ; sin cos ;
2
3
sin cos ;
cos sin
cos cos
2
2
cos sin
2
cos cos
cos cos
3
3
cos sin cos sin
2
2
tg ctg
tg ctg
tg tg
2
2
ctg tg
ctg ctg ctg tg
2
2
Используя формулы приведения и данные таблицы значений тригонометрических функций в пределах 1-й четверти, можно найти значения тригонометрических функций в более широком интервале изменения аргумента.
Например,
sin 2100 sin(1800 300 ) sin300 0,500 ;
cos 1650 cos(1800 150 ) cos15 0,9659 ;
36
cos 1650 cos(900 750 ) sin 750 0,9659 ;
tg1050 tg(900 150 ) ctg15 3,7321
и т. д.
Примеры решения задач
«Перехват»
В точке В находится человек, и ему надо успеть на автобус А, который движется по дороге со скоростью 54 км/ч. Их
взаимное расположении задано
размерами треугольника АВС,
S = 400 м и α = 150. В каком
направлении следует бежать человеку со скоростью 5,49 м/с,
чтобы успеть на автобус? Какой
должна быть наименьшая скорость человека, чтобы встретиться с автобусом при указанных условиях?
(считается, что при появлении человека на дороге автобус сразу же останавливается).
Дано: vА = 54 км/ч=15 м/с; S = 400 м; vВ = 5,49 м/с; α = 150.
Найти: Направление, т. е. угол β.
Решение: (см. рис. 3.3)
Чтобы направление движения человека стало очевидным, надо представить, что автобус неподвижен. Тогда человеку надо двигаться по прямой
от точки В до точки А. «Остановить» автобус можно, рассматривая движение
тел в системе отсчета, связанной с автобусом. Тогда по теореме сложения
скоростей скорость человека относительно автобуса равна:
v BA v B v A
(0.71)
Какой бы ни была (по модулю) относительная скорость человека, вектор v BA непременно должен быть направлен в точку А. Вычитание вектора
v A дает параллельный перенос прямой АВ вправо (штрих - пунктирная линия на рисунке). Если перебрать все возможные направления движения человека, т. е. вектора v B , то получим дугу окружности (радиусом vВ). Тогда геометрическое решение получается как точки пересечения этой дуги со смещенной прямой АВ. Две точки пересечения соответствую случаям, когда человек бежит навстречу автобусу, или вдогонку ему. Выбирая первый вариант
как более рациональный, получаем треугольник скоростей, соответствующий
выражению (0.71).
37
Далее наступает «геометрическая» часть решения задачи. По теореме
синусов для треугольника скоростей, в котором угол α = 150; а угол при вершине В легко выражается через искомый угол β: B 900 , получаем:
sin sin(900 ) cos( )
vB
vA
vA
v
15
Отсюда cos A sin
0,2588 = 0,7071; α + β = 450 и
vB
5, 49
0
0
0
β = 45 – 15 = 30 .
(0.72)
Наименьшее значение скорости человека vВ min, при которой задача ещё
имеет решение, геометрически соответствует касанию дуги окружности
смещённой прямой АВ. При этом треугольник скоростей получается прямоугольным; катет vBmin vA sin 15 sin150 = 3,88 м/с.
Ответ: β = 300; vВ min = 3,88 м/с.
Подобный приём – переход в подвижную систему координат, связанную с одним из тел рассматриваемой кинематической системы – может быть
использован при решении целого класса кинематических задач. Рассмотрим
следующий пример.
«Переправа»
Скорость катера, отчалившего от берега реки
в точке А, равна 4 м/с относительно воды; вектор
скорости составляет угол 750 с направлением течения реки (см. рис. ). На сколько метров снесет катер
за счет течения, когда он достигнет противоположного берега, если ширина реки 400, м, а скорость
течения 0,5 м/с?
Дано: β = 750; vК = 2,5 м/с; vР = 0,747 м/с;
L = AD = 400 м.
Найти: S = BC.
Решение: (см. рис. 3.4)
Используя теорему сложения скоростей, получаем:0
v vP vK
(0.73)
Вектор скорости реки направлен вдоль берега; вектор скорости катера
составляет с ним угол β = 750. Получаем треугольник скоростей, соответствующий выражению (0.73). Проекции векторов на вертикальную ось можно выразить следующим образом:
v y v K sin v x tg v K cos v P tg
(0.74)
Из последнего соотношения выражаем
38
vK sin
2,5sin 750
=
tg
vK cos vP 2,5cos750 0,747
(0.75)
Тогда α = 600.
Из треугольника АDС находим DС = АD сtgα; из треугольника АDВ
находим DВ = АD сtg β; тогда искомое расстояние S = BC = L (сtg α- сtg β).
Подставляя
числовые
значения,
получаем:
0
0
S = 400×(сtg 60 – сtg 75 ) = 124 м.
Ответ: S = 124 м.
«Перекресток»
К перекрестку двух дорог, пересекающихся под углом 600, приближаются два автомобиля со скоростями 36 км/ч и 54 км/ч. В начальный момент
времени автомобили находились от перекрестка на расстояниях 250 м и
180 м соответственно. Каким будет минимальное расстояние между автомобилями в процессе движения?
Дано: v1 = 36 км/ч = 10 м/с;
3
s2 = 54 км/ч = 15 м/с; s1 = 120 м;
s2 = 150 м.
2
4
5
Найти: rmin
V12
Решение: (см. рис. 3.5)
Перейдем в систему отсчета, связанную с одним из автомобилей,
например, вторым. Тогда скорость первого автомобиля в этой системе отсчета на основании теоремы сложения
скоростей выражается формулой:
v12 v1 v 2
V1
11
V2
(0.76)
Графическое сложение векторов (см. рис 1.2) дает вектор v12 , направление которого определяет траекторию движения автомобиля в этой системе
отсчета. Теперь решение задачи становится совершенно очевидным: расстояние между вторым (теперь неподвижным) автомобилем, обозначенным на
рисунке цифрой 2, и траекторией движения первого автомобиля (прямая линия) определяется по перпендикуляру. Таким образом, задача по физике сводится к задаче по геометрии: необходимо найти отрезок 14 по известным
значениям отрезков 13 ( s1 = 150 м); 23 ( s2 = 120 м); углу = 600. Решая эту
задачу, находим:
39
Из треугольника 123 по теореме косинусов:
s12 s12 s 22 2 s1 s 2 cos
(0.77)
250 180 2 250 180 cos60 223.4м
Из треугольника скоростей по теореме косинусов:
2
2
0
v12 v12 v 22 2 v1 v 2 cos
(0.78)
10 15 2 10 15 cos60 13.23м с
2
2
0
Из треугольника скоростей по теореме синусов:
sin sin
; отсюда
v1
v12
v
10
0.866 400.9
находим угол : arcsin 1 sin arcsin
13.23
v12
Из треугольника 123 по теореме синусов:
угол 2 :
sin 2 sin
; отсюда находим
s1
s12
s
250
2 arcsin 1 sin arcsin
0.866 75.7 0
223.4
s12
Искомое расстояние rmin находим из прямоугольного треугольника 124:
rmin s24 s12 sin 2 223.4 sin 75.7 40.9 127.7м
Ответ: rmin = 127,7 м
«Кривошип»
Кривошип ОА длиной r = 10 см вращается с угловой скоростью 2 с-1.
Найти скорость точки В в момент времени, когда угол поворота кривошипа
= 300, если АВ = 2 ОА.
Дано: ω = 2 с-1; ОА = r = 10 см,
АВ = 2 r; = 300.
Найти: vВ.
Решение: (см. рис. 3.6)
При вращении кривошипа ОА
длиной r вокруг точки О с угловой скоростью ω линейная скорость точки А
vA r
выражается
формулой:
(0.79).
При этом вектор линейной скорости перпендикулярен кривошипу ОА.
Точка В принадлежит одновременно и шатуну АВ, и ползуну В, который может двигаться только горизонтально. В данном случае, он будет двигаться влево, что определяется направлением вращения кривошипа ОА.
40
Движение шатуна (твердого тела) как это известно из теоретической механики, можно представить как вращение вокруг некоторой точки, называемой
мгновенным центром скоростей (МЦС). Положение этой точки определяется
как пересечение прямых, перпендикулярных векторам скоростей точек А и
В. Очевидно, в данном случае получаем точку С, где BC OB и AC OA . В
итоге получаем прямоугольный (по построению) треугольник ОВС с острым
углом = 300. Чтобы определить катет ВС этого треугольника, рассмотрим
треугольник ОАD, из которого находим OD OA cos r cos
(0.80).
Рассмотрим далее треугольник ОАВ; используя теорему синусов, получаем:
sin sin
OA
(0.81)
, sin sin
0,5 sin = 0,25.
OA
AB
AB
Здесь учтено, что синус угла = 300 равен 0,5. По значению синуса угла β
находим его косинус, использую основное тригонометрическое тождество:
cos 1 sin 2 1 0,252 = 0,96825. Т. к. АВ = 2 r, получаем:
OB r cos 2cos = r (0,866 + 2×0,96825) = 2,8025 r
(0.82)
Находим теперь BC OB tg = 2,8025 r×0,577 = 1,6180 r (0.83)
и
OB 2,8025r
= 3,2361 r
(0.84). Из последнего соотношения нахоOC
cos
0.866
дим AC OC OA = 3,2361 r – r = 2,2361 r
(0.85).
Линейную скорость точки А можно выразить через угловую скорость вращения вокруг мгновенного центра скоростей: v A C AC ; отсюда находим
v
C A ; тогда скорость точки В может быть найдена как
AC
BC
BC
1,6180
= 0,145 м/с
vB C BC vA
r
2 0,10
AC
AC
2,2361
Ответ: vВ = 0,145 м/с.
«Уголок»
Равнобедренный треугольник АВС движется в своей плоскости так, что вектор скорости
точки А направлен вдоль стороны АВ, вектор
скорости точки В направлен вдоль стороны СВ.
При этом угол α = 500, а модуль скорости
vА = 10 см/с. Определите модуль скорости точки
С.
Дано: α = 500; vА = 10 см/с.
Найти : vС.
Решение: (см. рис. 3.7)
41
Плоское движение жесткого тела удобно описывать, используя понятие
мгновенного центра скоростей (МЦС). Эта точка может быть найдена как пересечение прямых, перпендикулярных векторам скорости точек твердого тела. Для этого необходимо знать направления векторов скорости хотя бы двух
точек тела. В данном случае известны направления скорости точек А и В.
Соответствующим построением находим положение точки Р – МЦС треугольника АВС. Получаем треугольник АВР – прямоугольный по построению; угол при вершине В – дополнительный до 900 к углу α = 500.
Обозначая сторону треугольника АВ как 2а, находим из треугольника
АВР катет РА: PA 2a tg 90 2a ctg (0.86); высота треугольника
АВС AD a tg
(0.87); тогда PD a (tg 2ctg ) (0.88). Учитывая,
что СD = а, из треугольника СDР по теореме Пифагора находим гипотенузу
РС: PC CD 2 PD 2 a 1 tg 2ctg
2
(0.89).
Скорости точек А и С выражаются через мгновенную угловую скорость вращения фигуры относительно точки Р: v A PA; vC PC
(0.90). Отсюда находим выражение для скорости точки С:
1 tg 2ctg
PC
vC v A
vA
PA
2ctg
Подставляя числовые значения, получаем:
vC 10
1 tg500 2 ctg500
2 ctg500
2
(0.91)
2
= 18,1 см/с.
Ответ: vС = 18,1 см/с.
«Кронштейн»
К стене с помощью шарниров A, B прикреплен кронштейн, на вершину
С которого действует сила F под углом к горизонту. Стержни АС и ВС образуют с вертикальной стеной углы и соответственно. Найти усилия в
стержнях.
Дано: = 600; = 450; = 150; F = 20 Н
Найти: N1; N2
Решение: (см. рис. 3.8)
42
Узел С кронштейна находится в равновесии
под действием силы F, реакций стержней N1, N2;
условие равновесия заключается в равенстве нулю равнодействующей, или векторной суммы
всех сил: N1 N 2 F 0 . Геометрически, сложение трех векторов дает треугольник, причем
стороны треугольника образованы этими векторами. Направление вектора F задано, реакции
стержней N1 ; N 2 направлены вдоль самих стержней, причем стержень ВС сжат, и вектор реакции направлен от В к С; стержень АС растянут, вектор реакции направлен от С к А.
В образованном треугольнике сил известна одна сторона (F = 20 Н), а также
углы треугольника – они могут быть выражены через заданные углы = 600,
= 450, = 150. Действительно,
a 900 450 b 900 1200 ; c 150 (0.92)
Оставшиеся две стороны треугольника, т. е. искомые усилия в стержнях, могут быть найдены по теореме синусов:
N1
N2
F
(0.93)
sin b sin a sin c
Подставляя числовые значения, получаем:
sin 1200
sin b
N1 F
20
67 Н
sin c
sin 150
sin 450
sin a
N2 F
20
55 Н
sin c
sin 150
Ответ: N1 = 67 Н; N2 = 55 Н
«Лестница»
43
Человек поднимается по легкой лестнице
длиной 2 м, образующей угол 300 с вертикальной стеной. Коэффициенты
трения стены и пола равны соответственно 0,2 и 0,4. На какую максимальную
высоту сможет подняться человек?
Дано: L = 2 м; α = 300; μА = 0,2; μВ = 0,4;
Найти: h.
Решение: (см. рис. 3.9)
В точках A и B на лестницу действуют нормальные силы реакции,
направленные перпендикулярно соответствующей поверхности, и силы трения, максимальное значение которых определяется коэффициентами трения.
Результирующие силы реакции опор образуют с нормалями углы , . Линии
действия этих сил пересекаются в точке E.
Из условия равновесия следует, что суммарный момент всех сил, действующих на лестницу, быть равен нулю, причем моменты можно брать относительно любой точки. Если выбрать точку Е, то момент равнодействующей силы тяжести лестницы и человека должен быть равен нулю, так как реакции не создают момента относительно этой точки. Тогда точка D приложения результирующей силы находится на пересечении лестницы с вертикалью, опущенной из точки Е.. Координату x точки D находим из условия пересечения прямых АЕ и ВЕ, уравнения которых имеют вид:
yA tg x Lcos ; yB ctg x Lsin
(0.94)
Предельные углы трения β и γ связаны с коэффициентами трения μА и
μВ соотношениями: μА = tg β и μВ = tg γ; тогда приравнивая y A ; y B , получаем
выражение для координаты точки пересечения xD = xЕ:
xE L
sin B cos
1 A B
(0.95)
В зависимости от значения параметров – угла наклона лестницы α, коэффициентов трения μА и μВ – значение xЕ может изменяться в широких пределах, в том числе, принимать положительные и отрицательные значения.
Если координата xD, (0 ≤ xD ≤ Lsin ), характеризующая положение человека
на лестнице, отвечает условию xЕ ≤ xD, то можно не опасаться падения.
Максимальная высота h, на которую сможет подняться человек, определяется соотношением:
h L cosa x ctg B L cos
A ctg
1 A B
(0.96)
Подставляя числовые значения, находим:
0
0 0.2 ctg30
h 0.4 2 cos30
1.24м
1 0.2 0.4
44
Ответ: h = 1,24 м.
«Столкновение шаров»
Шар 1 попадает в точно такой же неподвижный
шар 2 (см. рис.1.1). После абсолютно упругого удара
шар 1 оказывается в точке, положение которой определяется значениями a = 26 см и s = 45 см. На сколько
переместится шар 2 к этому же моменту времени?
Дано: a = 26 см; s = 45 см.
Найти: s2
Решение: (см. рис. 3.10)
При абсолютно упругом не центральном ударе
выполняются законы сохранения импульса и кинетической энергии шаров. Угол отклонения налетающего
шара определяется прицельным расстоянием b. По закону сохранения импульса получаем:
p0 p1 p 2 , или p1 p0 p 2
(0.97)
Последнее соотношение дает треугольник импульсов с острым углом α
при вершине. Направление вектора импульса второго шара после удара
определяется прицельным расстоянием b; очевидно, такой же импульс, но
противоположного направления, получает шар 1. Рассматривая геометрический треугольник, определяемый положениями шара 1, находим угол α из
соотношения:
tg
a
s
(0.98)
Из закона сохранения кинетической энергии шаров получаем:
p02
2m
p12
2m
p 22
2m
(0.99)
Из треугольника импульсов по теореме косинусов можно выразить
квадрат импульса второго шара:
p22 p02 p12 2 p0p1 cos
(0.100)
Из уравнений (0.99) и (0.100) получаем p02 p12 p02 p12 2 p0p1 cos ,
откуда следует: p1 p0 cos . Т.е. треугольник импульсов в этом случае (одинаковая масса шаров) оказывается прямоугольным. Искомое перемещение
второго шара может быть найдено из соотношения начальных импульсов
шаров в первое мгновенье после удара; считая, что перемещения каждого
шара пропорционально его импульсу, получаем:
45
s 2 p 2 p0 sin
tg
s1 p1 p0 cos
В свою очередь, из геометрического треугольника имеем:
s
s1
cos
Тогда s2 s
tg
s tg 1 tg 2 a 1 a
s
cos
2
(0.101)
(0.102)
= 30 см.
Ответ: s2 = 30 см.
«Кулон»
В вершинах треугольника со сторонами a = 8 см, b = 5 см, c = 11 см (см.
рис. 1.1) расположены электрические заряды q1 = 15 нКл; q2 = 2 нКл и
q3 = 10 нКл.
Найдите
силу,
действующую на
третий заряд.
Дано: a = 8 см, b
= 5 см, c = 11 см;
q1 = 2 нКл;
q2 = 15 нКл и
q3 = 10 нКл.
Найти: F3
Решение: (см. рис. 3.11)
k q1 q 2
1
Ф
; здесь k
9 109 ; направле2
r12
4 0
м
ние вектора силы совпадает с прямой, соединяющей заряды.
По закону Кулона F12
Из принципа суперпозиции следует, что в случае нескольких зарядов результирующая сила находится как векторная сумма каждой пары зарядов:
F3 F13 F23 . Геометрическое сложение векторов дает треугольник сил, из которого модуль силы F3 находим из теоремы косинусов:
(0.103)
F3 F132 F232 2 F13 F23 cos
Используя формулы приведения для тригонометрических функций, находим:
cos cos . В свою очередь, cos находим из геометрического треугольника:
b2 c2 a 2
2
2
2
(0.104)
a b c 2 b c cos ; cos
2bc
46
Подставляя выражения для силы Кулона, вынося из-под корня F13 , из
выражения
(0.103)получаем:
q
k q1 q3
F3
1 2
2
c
q1
2
4
2
q c
c
2 2 cos
q1 b
b
(0.105)
Подставляя числовые значения, находим:
52 112 82
Из выражения (0.104): cos
0.745
2 5 11
9 109 15 109 10 109
F3
0.112
Из выражения (0.105):
2
2 112
2 112
1
2
0.745 1.72 104 Кл
2
2
15 5
15 5
Ответ: F3 1.72 104 Н 172мкН
«Сложение колебаний»
Найти результат сложения n = 5 электромагнитных когерентных колебаний равной амплитуды
Е1 = 10 В/м, если каждое из последующих отличается по фазе на π/6 рад от предыдущего.
Дано: n = 5; Е0 = 10 В/м.
Найти: Е5; β.
Решение: (см. рис. 3.12)
Основной приём, который можно использовать для определения амплитуды результирующего
колебания (при сложении n = 5 колебаний с одинаковой частотой) – это метод векторных диаграмм. Суть его в том, что колебания равной частоты, отличающиеся начальной фазой, можно представить
векторами. Тогда амплитуда колебания представляется модулем вектора, а
его начальная фаза – углом наклона вектора к оси абсцисс. Сложение синусоид заменяется сложением соответствующих векторов, что оказывается значительно проще.
Сложение векторов сводится к тому, что каждый последующий вектор
откладывается от конца предыдущего (см. рисунок). В данном случае, амплитуды колебаний (и модули векторов) одинаковы; каждый следующий
вектор поворачивается на одинаковый угол α = π/6 рад. Вектор, представляющий суммарное колебание, соединяет начало первого и конец последнего
из векторов суммы. Тогда его модуль даёт амплитуду результирующего колебания, а угол наклона – начальную фазу. Задача, таким образом, сводится к
чисто геометрической.
47
Результат геометрического построения – шестиугольник, вписанный в
окружность некоторого радиуса R; очевидно, R = ОА = ОВ = ОС. Угол при
вершине треугольника АОВ равен α; тогда в треугольнике АОС угол при
n
вершине: n (0.106); т. е.
. Находим (по теореме косинусов)
6
En AC R 2 R 2 2 R 2 cos R 2 1 cos
(0.107)
Используя известное тригонометрическое соотношение 2sin 2 1 cos 2 ,
получаем: E 2R sin
(0.108). Аналогичным образом из треугольника
n
2
АОВ находим: амплитуда каждого из складываемых колебаний может быть
представлена в виде: E 0 2R sin (0.109). Из выражений (0.106), (0.108) и
2
sin n
2
(0.109) находим: E n E 0
sin
колебания
2
n
2
(0.110).
Фаза результирующего
2
n 1
2
(0.111)
sin 5
12 = 37,32 В/м;
Подставляя числовые значения, получаем: E5 10
sin
β = 2 α = π/3 рад.
12
Ответ: Е5 = 37,32 В/м; β = π/3 рад.
Задачи для самостоятельного решения
Корабль (А) идет прямолинейным курсом; в
точке В по направлению α = 450 скрывается
подводная лодка, готовя торпедные аппараты
(см. рис. 3.13). Под каким углом β надо выпустить торпеду, чтобы наверняка поразить
цель, если скорость торпеды в 2,732 раза
больше скорости корабля? (β = 150).
Два транспорта идут пересекающимися курсами и наверняка встретятся,
причем α = 150 и β = 300 (см. рис. 3.13). Расстояние между ними АВ = 4 км;
скорость корабля А равна 5 м/с. Через какое время произойдет встреча судов?
(9 мин 26 сек).
Почтовый поезд А шел по прямому участку пути (штат Канзас). Банда гангстеров (на лошадях) поджидали свой час в точке В – это в 300-х метрах от
полотна железной дороги АС и в 600-х метрах от поезда (см. рис. 3.13). В
каком направлении (угол β) должны скакать всадники, чтобы захватить добычу, если скорость поезда больше в 2 раз?
(β = 450).
48
Паром переправляется на другой берег реки, двигаясь равномерно под углом α = 450 к течению. Скорость парома относительно воды равна 9 км/ч; вектор относительной скорости образует угол β = 600 с
направлением течения (см. рис. 3.14). Какова скорость течения в этом месте реки? (0,915 м/с).
Паром переправляется на другой берег реки, двигаясь относительно воды равномерно под углом
β = 750 к течению (см. рис. 3.14). Скорость парома относительно воды в 5 раз
больше скорости течения. На сколько метров ниже по течению паром пристанет к другому берегу, если ширина реки 600 м?
(DС = 285 м).
Паром отошел от причала в пункте А, взяв курс на пункт С на противоположном берегу реки, удаленный от А на расстояние 1,5 км, и расположенный
ниже по течению на 750 м (см. рис. 3.14). При этом рулевому пришлось держать курс относительно направления течения реки на β – α = 150 больше.
Определите скорость течения реки, если паром прибыл в пункт назначения
через 12,5 мин после отправления.
(0,285 м/с).
Моторная лодка переправлялась на противоположный берег реки, двигаясь
относительно берега под углом α = 450; при этом ее скорость относительно
воды в два раза больше скорости течения (см. рис. 3.14). Определите угол β
между вектором относительной скорости лодки и течением.
(β = 750).
В густом тумане от берега от причалов в точках А и В (АВ = 360 м) одновременно отошли две лодки, двигаясь под углами = 600 и = 450 к берегу
(см. рис. 3.15). Найдите скорости лодок, если
ровно через 5 мин они столкнулись
(vА = 3,28 м/с; vВ = 4,02 м/с).
В густом тумане от берега от причалов в точках
А и В (АВ = 480 м) одновременно отошли две
лодки, двигаясь под углами = 750 и = 450 к берегу (см. рис. 3.15). Найдите
скорости лодок, если ровно через 5,5 мин они столкнулись
(vА = 2,06 м/с; vВ = 2,81 м/с).
От причала А со скоростью 2,75 м/с под углом 750 к берегу отошла моторная
лодка. Одновременно с ней, от причала В, удаленном от причала А на расстояние 300 м (см. рис. 3.15) отправился катер, держа курс под углом 600 к
берегу. Через какое время катер настигнет лодку при указанных условиях?
(через 6 мин 5 с).
От причала А со скорость 3,4 м/с под углом 750 к берегу отошла моторная
лодка. Одновременно с ней, от причала В, (см. рис. 3.15) отправился катер,
держа курс под углом 600 к берегу. С какой скоростью должен двигаться катер, чтобы догнать лодку при указанных условиях?
(3,8 м/с).
49
От причала А со скоростью 3 м/с под углом 600 к берегу отошла моторная
лодка. Одновременно с ней, от причала В (см. рис. 3.15) отправился катер,
скорость которого 5,2 м/с. В каком направлении должен двигаться катер,
чтобы встретиться с лодкой?
(β = 300).
(*) От берега в точке А со скоростью v1 = 4 м/с отошла лодка контрабандистов, держа курс = 600 относительно берега (см. рис. 3.15). Катер пограничников находился в точке В на расстоянии s = 600 м и вышел в погоню
ровно через 2,5 мин после отплытия контрабандистов, двигаясь под углом
β = 450 относительно берега. Определите скорость катера, если он настиг
нарушителей через 4 мин 19,8 сек
(v2 = 7,73 м/с).
(*)От берега в точке А со скоростью v1 = 4 м/с отошла лодка контрабандистов, держа курс = 750 относительно берега (см. рис. 3.15). Катер пограничников находился в точке В на расстоянии s = 509 м и вышел в погоню
ровно через 1,5 мин после отплытия контрабандистов, двигаясь под углом
β = 600 относительно берега. Через какое время после начала погони нарушители будут пойманы?
(5 мин 36 с).
(*)От берега в точке А со скоростью v1 = 4 м/с отошла лодка контрабандистов, держа курс = 750 относительно берега (см. рис. 3.15). Катер пограничников находился в точке В на расстоянии s = 480 м и вышел в погоню
ровно через 2 мин 50 с после отплытия контрабандистов, двигаясь под углом
β = 450 относительно берега. С какой скоростью должен идти катер, чтобы
догнать нарушителей?
(v2 = 5,46 м/с).
Два судна находятся на расстоянии S = АВ = 4 км и
продолжают двигаться каждый своим курсом (α = 600 и
β = 450) (см. рис. 3.16). Скорости судов А и В равны
21 км/ч и 27км/ч соответственно. На какое минимальное расстояние сблизятся суда в процессе движения?
(990 м).
Два судна находятся на расстоянии S = АВ = 4 км и продолжают двигаться
каждый своим курсом (α = 600 и β = 450) – (см. рис. 3.16). Скорости судов А и
В равны 12 км/ч и 16 км/ч соответственно. На какое минимальное расстояние
сблизятся суда в процессе движения?
(638 м).
К перекрестку двух дорог, пересекающихся под углом 600, приближаются два
автомобиля со скоростями 108 км/ч и 90 км/ч. В начальный момент времени
автомобили находились от перекрестка на расстояниях 240 м и 320 м соответственно. Каким будет минимальное расстояние между автомобилями в
процессе движения?
(25 м).
К перекрестку двух дорог, пересекающихся под углом 750, приближаются два
автомобиля со скоростями 18 м/с и 28 м/с. В начальный момент времени автомобили находились от перекрестка на расстояниях 340 м и 480 м соответственно. Каким будет минимальное расстояние между автомобилями в процессе движения?
(29 м).
50
К перекрестку двух дорог, пересекающихся под углом 750, приближаются два
автомобиля со скоростями 20 м/с и 25 м/с. В начальный момент времени автомобили находились от перекрестка на расстояниях 250 м и 400 м соответственно. Каким будет минимальное расстояние между автомобилями в процессе движения?
(61 м).
Кривошип ОА длиной r = 16 см вращается с угловой скоростью 6 рад/с
(см. рис. 3.17). Найти скорость точки В
в момент времени, когда угол поворота
кривошипа = 300, если АВ = 1,85 ОА.
(0,712 м/с).
Кривошип ОА длиной r = 16 см вращается с угловой скоростью 6 рад/с
(см. рис. 3.17). Найти скорость точки В в момент времени, когда угол поворота кривошипа = 300, если АВ = 1,85 ОА.
(0,712 м/с).
Скорость движения ползуна В в кривошипно – шатунном механизме в положении, когда угол поворота кривошипа α = π/6, равна 3,0 м/с. При этом
длина кривошипа ОА составляет 120 мм; длина шатуна – 216 мм
(см. рис. 3.17). Определите угловую скорость вращения кривошипа.
(33,4 рад/с).
Кривошип ОА длиной r = 85 мм вращается с угловой скоростью 21,5 рад/с
(см. рис. 3.17). Найти скорость точки В в момент времени, когда угол поворота кривошипа = 600, если длина шатуна АВ = 178,5 мм.
(2,0 м/с).
Скорость движения ползуна В в кривошипно – шатунном механизме
(см. рис. 3.17) в положении, когда угол поворота кривошипа α = π/4, равна
1,19 м/с. При этом длина кривошипа ОА составляет 75 мм; длина шатуна –
165 мм. Определите угловую скорость вращения кривошипа.
(16,7 рад/с).
Кривошип ОА длиной r = 16 см вращается с угловой скоростью 6 рад/с
(см. рис. 3.17). Найти скорость точки В в момент времени, когда угол поворота кривошипа = 300, если АВ = 1,85 ОА.
(0,712 м/с).
Ступенчатое колесо, у которого радиусы ступеней связаны соотношением R r 3 , катится по
горизонтальной поверхности на своей внутренней ступени со скоростью v0 = 20 см/с
(см. рис. 3.18). Определите модуль скорости точки А, положение которой определяет угол = 450
(vА = 50,8 см/с).
Ступенчатое колесо с радиусами ступенек r и R = 1,75 r равномерно катится
по горизонтальной поверхности (см. рис. 3.18). Найдите скорость оси колеса,
если скорость точки В, положение которой определяется углом = 300, равна
20 см/с
(v0 = 18,4 см/с).
51
Ступенчатое колесо с радиусами ступенек r и R = 2 r равномерно катится по
горизонтальной поверхности (см. рис. 3.18). Найдите скорость оси колеса,
если скорость точки А, положение которой определяется углом = 300, равна
10 см/с.
(v0 = 5,1 см/с).
Ступенчатое колесо, у которого радиусы ступеней связаны соотношением R
= 1,8 r, равномерно катится по горизонтальной поверхности со скоростью
v0 = 20 см/с (см. рис. 3.18). Найдите скорость точки А, положение которой
определяется углом = 300
(vА = 49,2 см/с).
Ступенчатое колесо, у которого радиусы ступеней связаны соотношением R
= 1,6 r, равномерно катится по горизонтальной поверхности со скоростью
v0 = 20 см/с (см. рис. 3.18). Найдите скорость точки В, положение которой
определяется углом = 300
(vВ = 31,2 см/с).
Ступенчатое колесо равномерно катится по горизонтальной поверхности на
своей внутренней ступени радиусом r = 7,5 см (см. рис. 3.18). Скорость точки
А, положение которой определяется углом = 300, в 1,5 раза больше скорости оси колеса v0. Найдите радиус внешней ступени R.
(R = 16 см).
Ступенчатое колесо, у которого радиусы ступеней связаны соотношением
R r 2 , равномерно катится по горизонтальной поверхности на своей
внутренней ступени (см. рис. 3.18). Найдите положение точки А (соответствующий угол ), скорость которой относительно поверхности равна по модулю скорости центра колеса v0
( = -450).
Ступенчатое колесо, у которого радиусы ступеней связаны соотношением R
= 2,1 r равномерно катится по горизонтальной поверхности со скоростью
v0 = 10 см/с (см. рис. 3.18). Найдите скорость точки А, положение которой
определяется углом = 300
(vА = 27,4 см/с).
Ступенчатое колесо равномерно катится по горизонтальной поверхности на
своей внутренней ступени радиусом r = 10,0 см (см. рис. 3.18). Скорость точки А, положение которой определяется углом = 300, в 1,7 раза больше скорости диаметрально противоположной точки В. Найдите радиус внешней
ступени R
(R ≈ 14,5 см).
Ступенчатое колесо равномерно катится по горизонтальной поверхности на
своей внутренней ступени радиусом r = 12,0 см (см. рис. 3.18). Скорость точки А, положение которой определяется углом = 300, в 1,8 раза больше скорости диаметрально противоположной точки В. Найдите радиус внешней
ступени R
(R ≈ 15,1 см).
Ступенчатое колесо, у которого радиусы ступеней связаны соотношением
R r 3 , равномерно катится по горизонтальной поверхности на своей
внутренней ступени (см. рис. 3.18). Найдите положение точки А (соответствующий угол ), скорость которой относительно поверхности равна по модулю скорости центра колеса v0
( = -600).
52
Равнобедренный треугольник АВС движется в
своей плоскости так, что вектор скорости точки А
направлен вдоль стороны АВ, вектор скорости
точки В направлен вдоль стороны СВ
(см. рис. 3.19). При этом угол α = 600, а модуль
скорости vА = 20 см/с. Определите модуль скорости точки С
(vС = 52,9 см/с).
Равнобедренный треугольник АВС движется в
своей плоскости так, что вектор скорости точки А направлен вдоль стороны
АВ, вектор скорости точки В направлен вдоль стороны СВ (см. рис. 3.19).
При этом угол α = 750, а модуль скорости vА = 5 см/с. Определите модуль
скорости точки С
(vС = 40,9 см/с).
Равнобедренный треугольник АВС движется в своей плоскости так, что вектор скорости точки А направлен вдоль стороны АВ, вектор скорости точки В
направлен вдоль стороны СВ (см. рис. 3.19). При этом угол α = 750, а модуль
скорости vА = 5 см/с. Определите модуль скорости точки В
(vВ = 19,3 см/с).
Равнобедренный треугольник АВС движется в своей плоскости так, что вектор скорости точки А направлен вдоль стороны АВ, вектор скорости точки В
направлен вдоль стороны СВ (см. рис. 3.19). При этом угол α = 600, а модуль
скорости vС = 5 см/с. Определите модуль скорости точки В(vВ = 15,1 см/с).
Равнобедренный треугольник АВС движется в своей плоскости так, что вектор скорости точки А направлен вдоль стороны АВ, вектор скорости точки В
направлен вдоль стороны СВ (см. рис. 3.19). При этом угол α = 600, а модуль
скорости vВ = 10 см/с. Определите модуль скорости точки С
(vС = 13,2 см/с).
Равнобедренный треугольник АВС движется в своей плоскости так, что вектор скорости точки А направлен вдоль стороны АВ, вектор скорости точки В
направлен вдоль стороны СВ (см. рис. 3.19). При этом угол α = 600, а модуль
скорости vС = 5 см/с. Определите модуль скорости точки А
(vА = 3,78 см/с).
Равнобедренный треугольник АВС движется в своей плоскости так, что вектор скорости точки А направлен вдоль стороны АВ, вектор скорости точки В
направлен вдоль стороны СВ (см. рис. 3.19). При этом угол α = 750, а модуль
скорости vВ = 12 см/с. Определите модуль скорости точки С
(vС = 25,4 см/с).
Равнобедренный треугольник АВС движется в своей плоскости так, что вектор скорости точки А направлен вдоль стороны АВ, вектор скорости точки В
направлен вдоль стороны СВ (см. рис. 3.19). При этом угол α = 750, а модуль
скорости vС = 10 см/с. Определите модуль скорости точки А
(vА = 1,22 см/с).
53
Равнобедренный треугольник АВС движется в своей плоскости так, что вектор скорости точки А направлен вдоль стороны АВ, вектор скорости точки В
направлен вдоль стороны СВ (см. рис. 3.19). При этом угол α = 750, а модуль
скорости vС = 13 см/с. Определите модуль скорости точки В
(vВ = 6,14 см/с).
Равнобедренный треугольник АВС движется в своей плоскости так, что вектор скорости точки А направлен вдоль стороны АВ, вектор скорости точки В
направлен вдоль стороны СВ (см. рис. 3.19). При этом угол α = 750, а модуль
скорости vА = 4 см/с. Определите модуль скорости точки С
(vС = 32,7 см/с).
Человек массой 80 кг поднимается по легкой лестнице, образующей угол 300
с гладкой вертикальной стенкой, на которую опирается лестница. Нижний
конец лестницы шарнирно прикреплен к полу. С какой силой будет давить
лестница на стенку, когда человек прошел 2/3 пути?
(302 Н).
Брус АВ длиной 1,5 м одним концом опирается на пол, а другим прислонен к
стене. Центр тяжести бруса находится на расстоянии 0,5 м от верхнего конца
А. Коэффициенты трения стены и пола составляют 0,25 и 0,5 соответственно.
Какой максимальный угол может быть между брусом и полом?
(≈ 480).
Брус АВ длиной 2,4 м одним концом опирается на пол, а другим прислонен к
стене. Центр тяжести бруса находится на расстоянии 0,8 м от нижнего конца
В. Коэффициенты трения стены и пола составляют 0,15 и 0,30 соответственно. Какой максимальный угол может быть между брусом и полом?
(≈ 440).
Электромонтер Замыкаев привык ставить свою лестницу к стене под углом
150, не больше. По лестнице он поднимался не более чем на 60% её длины.
Принимая, что коэффициент трения между лестницей и стенкой равен 0,15,
определите необходимый (для равновесия) коэффициент трения между лестницей и полом.
(0,16).
Крышку стола для настольного тенниса обычно ставили к стене так, что угол
между крышкой и полом был не меньше 600. Полагая, что коэффициент трения между стеной и крышкой равен 0,2, определите минимальный коэффициент трения между крышкой и полом, чтобы она не падала
(0,273).
Лестницу поставили к стене под углом 300, но когда Вася, поднимаясь по
ней, наступил на 4-ю ступеньку из 7-ми возможных, она угрожающе поползла вниз. Считая, что коэффициент трения между лестницей и стенкой равен
0,15,опредлите, каким был коэффициент трения между лестницей и полом.
(0,318).
54
Стойки АС и ВС (см. рис. 3.20) соединены шарнирно в узле С, и также шарнирно закреплены в узлах А и В на горизонтальной поверхности. Углы
наклона стоек к горизонту составляют
α = 750 и β = 450. С помощью этой конструкции поднимают груз Р = 10 кН.
Требуется найти усилия в стойках, NА и
NВ
(NА =8,16 кН; NВ =2,99 кН).
Стойки АС и ВС (см. рис. 3.20) соединены шарнирно в узле С, и также шарнирно закреплены в узлах А и В на горизонтальной поверхности. Углы
наклона стоек к горизонту составляют α = 600 и β = 450. С помощью этой
конструкции поднимают груз Р = 20 кН. Требуется найти усилия в стойках,
NА и NВ
(NА = 14,64 кН; NВ = 10,35 кН).
Стойки АС и ВС (см. рис. 3.20) соединены шарнирно в узле С, и также шарнирно закреплены в узлах А и В на горизонтальной поверхности. Углы
наклона стоек к горизонту составляют α = 750 и β = 450. Найдите максимальный вес груза, который можно поднимать с помощью этой конструкции, если
стойки выдерживают усилия не более 12 кН.
(Р = 14,7 кН).
Стойки АС и ВС (см. рис. 3.20) соединены шарнирно в узле С, и также шарнирно закреплены в узлах А и В на горизонтальной поверхности. Углы
наклона стоек к горизонту составляют α = 750 и β = 600. Найдите максимальный вес груза, который можно поднимать с помощью этой конструкции, если
стойки выдерживают усилия не более 15 кН.
(Р = 21,2 кН)).
Шар радиусом R и весом Р = 20 Н висит на гладкой вертикальной стене, привязанный к шнурку АВ длиной L = 2 R.
(см. рис. 3.21). Определите силу реакции стенки N и силу
натяжения шнурка Т. (N = 7,07 Н; Т = 21,2 Н).
Шар радиусом R и весом Р = 16 Н висит на гладкой вертикальной стене, привязанный к шнурку АВ длиной L = 2,5 R.
(см. рис. 3.21). Определите силу реакции стенки N и силу
натяжения шнурка Т
(N = 4,77 Н; Т = 16,7 Н).
Шарик весит на нити, прикрепленный к гладкой вертикальной
стене (см. рис. 3.21), причем длина нити L = 1,5 R. Определите
наибольшую массу шара, если известно, что нить выдерживает усилие не более 18 Н
(m = 1,68 кг).
Шар радиусом R = 4 см и массой 2 кг висит на гладкой вертикальной стене,
привязанный к шнурку АВ (см. рис. 3.21). Какой может быть минимальная
длина шнурка, если он выдерживает усилие не более 32,7 Н?
(4 см).
55
Шар 1, двигаясь с некоторой скоростью, попадает в точно такой же неподвижный шар 2 (см. рис. 3.22). После
абсолютно упругого удара шар 1 оказывается в точке,
положение которой определяется значениями a = 20 см
и s = 35 см. На сколько переместится шар 2 к этому же
моменту времени?
(23 см).
Шар 1, двигаясь с некоторой скоростью, попадает в точно такой же неподвижный шар 2 (см. рис. 3.22). После
абсолютно упругого удара шар 1 оказывается в точке,
положение которой определяется значениями a = 40 см
и α = 300. На сколько сантиметров переместится шар 2 к
этому же моменту времени?
(46 см).
Шар 1, двигаясь с некоторой скоростью, попадает в точно такой же неподвижный шар 2 (см. рис. 3.22). После абсолютно упругого
удара шар 1 оказывается в точке, положение которой определяется значениями a = 16 см и s = 36 см. На сколько переместится шар 2 к этому же моменту
времени?
(17,5 см).
Шар 1, двигаясь с некоторой скоростью, попадает в точно такой же неподвижный шар 2 (см. рис. 3.22). После абсолютно упругого удара шар 1 оказывается в точке, положение которой определяется значениями s = 42 см и
α = 300. На сколько сантиметров переместится шар 2 к этому же моменту
времени?
(28 см).
Каким должно быть прицельное расстояние b (см. рис. 3.22), чтобы после абсолютно упругого удара о такой же неподвижный шар 2 шар 1 диаметром
3,0 см попал в точку с координатами a = 16 см и s = 36 см?
(2,74 см).
Каким должно быть прицельное расстояние b (см. рис. 3.22), чтобы после абсолютно упругого удара о такой же неподвижный шар 2 шар 1 диаметром
3,0 см попал в точку с координатами a = 24 см и s = 48 см?
(2,68 см).
Каким должно быть прицельное расстояние b (см. рис. 3.22), чтобы после абсолютно упругого удара о такой же неподвижный шар 2 шар 1 диаметром
4,25 см отклонился на угол α = 300?
(3,68 см).
Шар 1, двигаясь со скоростью 80 см/с, попадает в точно такой же неподвижный шар 2 и после абсолютно упругого удара изменяет направление движения на угол α = 300 (см. рис. 3.22). Определите скорость шара 1 после удара.
(69,3 см/с).
Каким должно быть прицельное расстояние b (см. рис. 3.22), чтобы после абсолютно упругого удара о такой же неподвижный шар 2 шар 1 диаметром
3,8 см попал в точку с координатами a = 16 см и s = 42 см?
(3,55 см).
Шар 1, двигаясь со скоростью 1,25 м/с, попадает в точно такой же неподвижный шар 2 и после абсолютно упругого удара попадает в точку с координа56
тами a = 24 см и s = 48 см (см. рис. 3.22). Определите скорость шара 1 после
удара.
(1,12 см/с).
Шар 1, двигаясь со скоростью 0,85 м/с, попадает в точно такой же неподвижный шар 2 и после абсолютно упругого удара попадает в точку с координатами a = 35 см и s = 72 см (см. рис.3.10). Определите скорость шара 2
после удара.
(0,37 см/с).
Каким должно быть прицельное расстояние b (см. рис. 3.22), чтобы после абсолютно упругого удара о такой же неподвижный шар 2 шар 1 диаметром
3,60 см попал в точку с координатами a = 21 см и s = 36 см?
(3,11 см).
В вершинах треугольника со сторонами
a = 11 см, b = 8 см, c = 5 см (см. рис. 3.23)
расположены электрические заряды
q1 = 15 нКл; q2 = 20 нКл и q3 = -10 нКл.
Найдите силу F3, действующую на третий
заряд (0,5 мН).
В вершинах треугольника со сторонами a = 10 см, b = 8 см, c = 6 см
(см. рис. 3.23) расположены электрические заряды q1 = 50 нКл; q2 = -40 нКл
и q3 = 20 нКл. Найдите силу F3, действующую на третий заряд (2,74 мН).
В вершинах треугольника со сторонами a = 2,2 см, b = 1,6 см, c = 1,0 см
(см. рис. 3.23) расположены электрические заряды q1 = 25 нКл; q2 = 20 нКл и
q3 = 10 нКл. Найдите силу F3, действующую на третий заряд
(20,7 мН).
В вершинах треугольника со сторонами a = 12 см, b = 9 см, c = 6 см
(см. рис. 3.23) расположены электрические заряды q1 = 5 нКл; q2 = -10 нКл и
q3 = 8 нКл. Найдите силу F3, действующую на третий заряд
(0,15 мН).
Две длинные параллельные нити находятся на расстоянии 5 см друг от друга.
На нитях равномерно распределены заряды с линейными плотностями τ1 = -5
нКл/м и τ2 = 10 нКл/м. Определить напряженность электрического поля в
точке, удаленной от первой нити на расстояние 3 см и от второй на расстояние 4 см
(Е = 5,41 кВ/м).
На расстоянии 20 см друг от друга находятся два точечных заряда
q1 = 50 нКл и q2 = -100 нКл. Определить силу, действующую на третий заряд q3 = 20 нКл, удаленный от первого заряда на 10 см, и от второго – на
15 см
(1,74 мН).
Две длинные параллельные нити находятся на расстоянии 2,5 см друг от друга. На нитях равномерно распределены заряды с линейными плотностями τ1
=15 нКл/м и τ2 = 8 нКл/м. Определить напряженность электрического поля
в точке, удаленной от первой нити на расстояние 1,5 см и от второй на расстояние 2 см
(Е = 19,4 кВ/м).
На расстоянии 12 см друг от друга находятся два точечных заряда
q1 = 35 нКл и q2 = -70 нКл. Определить силу, действующую на третий заряд
57
q3 = 10 нКл, удаленный от первого заряда на 5 см, и от второго – на 1 см
(2,48 мН).
Два точечных заряда q1 = -12 нКл и q2 = 8 нКл располагаются на расстоянии
а = 5 см друг от друга. Определите напряженность электрического поля Е в
точке, удаленной от зарядов на расстояния b = 4 см и с = 3 см
(128 кВ/м).
Две длинные параллельные нити находятся на расстоянии 5 см друг от друга.
На нитях равномерно распределены заряды с линейными плотностями τ1 =
16 нКл/м и τ2 = -12 нКл/м. Определить напряженность электрического поля
в точке, удаленной от первой нити на расстояние 8 см и от второй на расстояние 6 см
(Е = 5,09 кВ/м).
Два точечных заряда q1 = 6 нКл и q2 = 9 нКл располагаются на расстоянии
а = 8 см друг от друга. Определите напряженность электрического поля Е в
точке, удаленной от зарядов на расстояния b = 5 см и с = 2 см
(186 кВ/м).
На расстоянии 7 см друг от друга находятся два точечных заряда q1 = 16 нКл и q2 = 24 нКл. Определить силу, действующую на третий заряд
q3 = 5 нКл, удаленный от первого заряда на 5 см, и от второго – на 3 см
(0,694 мН).
Два точечных заряда q1 = -16 нКл и q2 = 24 нКл располагаются на расстоянии а = 8 см друг от друга. Определите напряженность электрического поля
Е в точке, удаленной от зарядов на расстояния b = 6 см и с = 3 см
(138 кВ/м).
Луч света падет на плоскопараллельную пластинку, показатель преломления которой
n = 1,64; толщина d = 8,2 мм (см. рис. 3.24).
Угол падения луча = 400. На какую величину х
сместится луч, проходящий пластинку?
(х = 2,6 мм).
На прозрачную пластинку толщиной 4,81 мм
под углом 750 падает из воздуха луч света (см. рис. 3.24). Определите величину х смещения луча на выходе из пластинки, если угол преломления равен
450 (3,40 мм).
Луч света падет на плоскопараллельную пластинку, показатель преломления
которой n = 1,545; толщина d = 5,83 мм (см. рис. 3.24). Угол падения луча
= 450. На какую величину х сместится луч, проходящий пластинку?
(х = 2,00 мм).
На прозрачную пластинку толщиной 4,81 мм под углом 600 падает из воздуха
луч света (см. рис. 3.24). Определите величину х смещения луча на выходе из
пластинки, если угол преломления равен 450
(1,76 мм).
58
Луч света падет на плоскопараллельную пластинку, показатель преломления
которой n = 1,545; толщина d = 7,40 мм (см. рис. 3.24). Угол падения луча
= 300. На какую величину х сместится луч, проходящий пластинку?
(х = 1,51 мм).
На прозрачную пластинку толщиной 5,40 мм под углом 600 падает из воздуха
луч света (см. рис. 3.24). Определите величину х смещения луча на выходе из
пластинки, если угол преломления равен 300
(3,12 мм).
Луч света падет на плоскопараллельную пластинку, показатель преломления
которой n = 1,625; толщина d = 5,45 мм (см. рис. 3.24). Угол падения луча
= 600. На какую величину х сместится луч, проходящий пластинку?
(х = 3,00 мм).
Найти амплитуду и фазу результирующего колебания при сложении n = 3
электромагнитных когерентных колебаний равной амплитуды Е1 = 20 В/м,
если каждое из последующих отличается по фазе на π/6 рад от предыдущего
(54,6 В/м; 300).
Найти амплитуду и фазу результирующего колебания при сложении n = 9
электромагнитных когерентных колебаний равной амплитуды Е1 = 0,6 В/м,
если каждое из последующих отличается по фазе на π/12 рад от предыдущего
(4,25 В/м; 600).
Найти амплитуду и фазу результирующего колебания при сложении n = 13
электромагнитных когерентных колебаний равной амплитуды Е1 = 10 В/м,
если каждое из последующих отличается по фазе на π/12 рад от предыдущего
(76 В/м; 900).
Найти амплитуду и фазу результирующего колебания при сложении n = 17
электромагнитных когерентных колебаний равной амплитуды Е1 = 5 В/м, если каждое из последующих отличается по фазе на π/12 рад от предыдущего
(30,4 В/м; 1200).
При сложении n = 9 колебаний равной частоты и амплитуды, каждое из которых сдвинуто по фазе на одинаковую величину α, получилось колебание,
описываемое уравнением x(t) 150 sin(t 2 ) . Определите амплитуду и
3
фазовый сдвиг складываемых колебаний
(А0 = 54,9; α = 300).
При сложении n = 17 колебаний равной частоты и амплитуды, каждое из которых сдвинуто по фазе на одинаковую величину α, получилось колебание,
описываемое уравнением x(t) 100 sin(t 2 ) . Определите амплитуду и
3
фазовый сдвиг складываемых колебаний
(А0 = 16,45; α = 150).
При сложении n = 11 колебаний равной частоты и амплитуды, каждое из которых сдвинуто по фазе на одинаковую величину α, получилось колебание,
описываемое уравнением x(t) 100 sin(t 5 ) . Определите амплитуду и
6
фазовый сдвиг складываемых колебаний
(А0 = 100; α = 300).
59
Последовательный участок цепи переменного тока содержит резистор и катушку индуктивности, напряжения на которых равны 40 В и 60 В соответственно. Найдите напряжение на всем участке, если индуктивное сопротивление катушки равно её активному сопротивлению
(92,7 В).
Последовательный участок цепи переменного тока содержит резистор и катушку индуктивности, напряжения на которых равны 20 В и 15 В соответственно. Найдите напряжение на всем участке, если индуктивное сопротивление катушки в 3 раз меньше её активного сопротивления
(33,8 В).
Последовательный участок цепи переменного тока содержит резистор и катушку индуктивности, напряжения на которых равны 100 В и 75 В соответственно. Найдите напряжение на всем участке, если индуктивное сопротивление катушки в 3 раз больше её активного сопротивления (152 В).
Определите амплитуду А и фазу φ результирующего колебания при сложении колебаний, протекающих по законам: x1 (t) 20 sin(t ) , см;
x 2 (t) 10 sin(t ) , см;
4
x 3 (t) 20 sin(t ) , см.
6
3
(А = 48,7 см; φ = 45 ).
0
Определите амплитуду А и фазу φ результирующего колебания при сложении колебаний, протекающих по законам: x1 (t) 15 sin(t ) , см;
x 2 (t) 10 sin(t ) , см;
4
6
x 3 (t) 24 sin(t ) , см.
3
(А = 48,7 см; φ = 45 ).
0
Определите амплитуду А и фазу φ результирующего колебания при сложении колебаний, протекающих по законам: x1 (t) 12.5 sin(t ) , см;
x 2 (t) 14.5 sin(t ) , см;
3
x 3 (t) 7.5 sin(t ) , см.
4
12
(А = 33,0 см; φ ≈ 30 ).
0
60
Дифференцирование при решении физических задач
Необходимость дифференцирования, т. е. вычисления производных от
той или иной функции при решении физической задачи может возникнуть в
различных случаях. Во-первых, некоторые физические величины уже по
определению имеют дифференциальный характер, т. е. являются производными по тому или иному параметру: скорость, ускорение, мощность, сила
тока, ЭДС электромагнитной индукции и др. б) Во-вторых, в задачах на поиск экстремумов, в которых требуется найти наименьшее или наибольшее
значения какой-то физической величины. Необходимым условием экстремума является равенство нулю первой производной от этой функции.
Необходимые математические сведения
Производной функции y f (x) называется такая новая функция, которая при каждом значении независимой переменной x равна пределу отношения приращения y функции к приращению x независимой переменной
f (x)
или
x при произвольном стремлении x к нулю. f (x) lim
x 0 x
f (x x) f (x)
.
f (x) lim
x 0
x
5. Предел функции.
Говорят, что функция f x A при x a (A и a - числа), или
lim f x A ,
xa
если для любого 0 существует . 0 такое, что
f x A при
0 x a . Аналогично lim f x A ,
x
если f x A при x N . Употребляется также условная запись
limf x , которая обозначает, что f x E при 0 x a E , где E
x a
– произвольное положительное число.
6. Односторонние пределы.
Если x a и x a , то условно пишут x a 0 ; аналогично, если x a и
x a , то это записывается так: x a 0 . Числа f a 0 lim f x и
x a 0
f a 0 lim f x называют соответственно пределом слева функции f x
x a 0
в точке a и пределом справа функции f x в точке a (если эти числа существуют).
Для существования предела f x при x a необходимо и достаточно,
чтобы имело место равенство
f a 0 f a 0 .
61
Если существуют limf1 x и limf 2 x , то имеют место следующие
x a
x a
теоремы:
1) lim f1 x f 2 x limf1 x limf 2 x ;
x a
x a
x a
2) lim f1 x f 2 x limf1 x limf 2 x ;
x a
x a
x a
f1 x
f1 x lim
x a
3) lim
x a f x
f2 x
2
lim
x a
lim f x 0 .
x a
2
Частое применение находят следующие пределы:
x
1
sin x
1
lim
1 ; lim 1 lim 1 a a e 2,71828....
x 0
x
a 0
x
x
7. Геометрический смысл производной
Значение производной f (x) при заданном значении x 0 равно тангенсу
угла, отсчитываемого от положительного направления оси Ox против часовой стрелки до касательной к графику функции y f (x) в точке с абсциссой
x 0 , то есть угловому коэффициенту этой касательной. f (x 0 ) tg k
Уравнение касательной к графику функции y f (x) в точке M 0 (x 0 ; y0 ) :
y y0 f (x 0 )(x x 0 )
8. Механический смысл производной
Мгновенная скорость неравномерного прямолинейного движения есть
производная от функции, выражающей зависимость пройденного пути s от
времени t . s f (t), v f (t)
9. Правила дифференцирования:
u,v,w
(
- функции аргумента x , по которому проводится дифференцирование)
Производная алгебраической суммы:
Производная произведения:
(u v w) u v w .
(uv) uv uv,(uvw) uvw uvw uvw . В частности
u 1
(Cu) Cu, u
C C .
u uv uv
,v 0
2
v
v
Производная частного (дроби)
. В частности
Cu
C
2
u .
u
62
Производная сложной функции: Если y f (u), u (x) , то
f (x) f (u)(x) .
Основные формулы дифференцирования:
63
C 0 .
(x n ) nx n 1 ; частные случаи: x 1, ( x ) 1 .
2 x
(a ) a ln a . Частный случай: e x e x .
x
x
1
1
; частный случай: (ln x) .
x ln a
x
1
1
(sin x) cos x ; (cos x) sin x . (tgx)
; (ctgx) 2 .
2
cos x
sin x
1
1
1
; (arccos x)
. arctg x
;
(arcsin x)
1 x2
1 x2
1 x2
1
arcctg x
1 x2
Производные от гиперболических функций:
0.5
sh x ch x ; ch x sh x . arcsh x x 2 1 ;
(log a x)
arcch x x 2 1
0.5
.
th x 1 th x
2
;
cth x 1 cth x
2
.
Примеры решения физических задач
с использованием дифференцирования
Из стальной проволоки сделали кольцо радиусом 50 см. С какой максимальной частотой может вращаться кольцо вокруг оси, проходящей через
его центр перпендикулярно плоскости кольца, если допустимое напряжение
в сечении 160 МПа, а плотность материала 7,8 г/см3?
Дано: R = 50 см; adm = 160 МПа; ρ = 1,8 г/см3
Найти: n
Решение:
При вращении кольца в его сечении возникают механические напряжения, обусловленные действием центробежной силы на каждый из участков
кольца. Рассмотрим малый участок кольца, определяемый центральным углом 2α (см. рис.). Очевидно,
масса ∆m этого участка составляет некоторую малую долю массы всего кольца, определяемую как
отношение длины дуги выделенного участка к
длине окружности; тогда центробежную силу, действующую на этот участок кольца, можно выразить:
(0.112)
Fцб m 2 R
64
Здесь 2n - угловая скорость вращения кольца.
Условие равновесия выделенного кольца выражает равенство нулю
всех сил, действующих на этот участок:
(0.113)
Fцб 2 N sin
Здесь N - продольная сила упругости, возникающая в сечении кольца.
Из соотношений(0.112) и (0.113) получаем:
(0.114)
m 2 R 2 N sin
Массу кольца можно выразить через плотность материала и объем:
(0.115)
m r 2 2R
Тогда уравнение (0.114) принимает вид:
r 2 2R 2 R 2 N sin
(0.116)
Отсюда выражаем силу упругости N :
2
N
Rr
sin
(0.117)
Окончательное выражение для силы упругости получаем с помощью
предельного перехода, т. е.
2
2
N lim
Rr Rr
(0.118)
0 sin
Механическое напряжение определяется формулой
условия прочности adm получаем:
N
; тогда из
S
N Rr 2n
2
2
2Rn adm
2
r
r
2
Из последнего соотношения выражаем частоту вращения n:
1
adm
n
2R
(0.119)
(0.120)
Подставляя числовые значения величин, предварительно выражая их в
системе СИ, получаем:
1
1,6 108
n
45,6c1
3
2 3,14 0,5 7,8 10
Ответ: максимальная частота вращения n max 45.6c1 .
65
Диск радиусом R = 2 см несет на себе равномерно распределенный
электрический заряд q = 4 нКл. Считая известным распределение напряженности электрического поля по оси диска:
2kq
E 2 1 cos , где α - угол, под которым виден радиR
ус диска с некоторой точки оси диска, найдите значение
напряженности поля в точках, удаленных от плоскости
диска на расстояния а) 0,2 мм и б) 2 м
Дано: R = 2 см; q = 4 нКл; h1 = 0,2 мм; h2 = 2 м;
2kq
E 2 1 cos
R
Найти: Е1; Е2
Решение:
Очевидно, что в первом случае расстояние от плоскости диска до точки наблюдения значительно меньше размеров самого диска, т. е. отношение x h1 R 1 . Учтем, что cos можно выразить через радиус диска R и расстояние от плоскости диска h:
h
x
(0.121)
1 cos 1
1
R2 h2
1 x2
Преобразуем выражение для напряженности, совершая предельный переход при x 0 .
2kq
x 2kq
E1 lim 2 1
(0.122)
2
2
x 0
R
R
1 x
Полученное выражение можно преобразовать, представляя коэффициент пропорциональности k в виде: k 1
; тогда
40
2kq
q
(0.123)
E1 2
,
R
20 R 2 20
что совпадает с формулой для напряженности электрического поля, создаваемого бесконечной плоскостью с равномерным распределением заряда. Подставляя числовые значения, находим:
E1
2 9 109 4 109
0,02
2
1,8 105 В 180 кВ
м
м
Во втором случае расстояние h2 от диска до точки наблюдения значительно больше радиуса диска, что соответствует условию 0 . Выражая
радиус диска через угол α, из выражения для Е получаем:
2kq 1 cos `
R h tg ; E 2 2
(0.124)
h
tg 2
66
Чтобы получить формулу, справедливую для случаев, когда R
находим предел соотношения (0.124) при 0 :
2kq 1 cos 2kq
1 cos
E 2 lim 2
2 lim
2
0
tg h 0 tg 2
h
h,
(0.125)
Имеем неопределенность типа 0 ; чтобы раскрыть ее, можно либо ис0
пользовать правило Лапиталя, либо преобразовать тригонометрическое выражение в числителе. В первом случае получаем:
cos3 1
1 cos
sin
(0.126)
lim
lim
lim
2
2
0
tg 0 2 tg cos 0 2 2
Во втором случае используем формулы для синуса и косинуса двойного угла, что дает:
2
2
cos 2 1
1 cos
2 sin 2 cos 1
(0.127)
lim
lim
lim
0
2
2
2
0
0
tg
2
2
cos
2 sin cos
2
2
2
Окончательное выражение для напряженности электрического поля заряженного диска на достаточно большом от него расстоянии принимает вид:
kq
(0.128)
E2 2 ,
h
что совпадает с известным выражением для поля точечного заряда.
Вычисления по формуле (0.128) дают:
9 109 4 109
E2
9 В
2
м
2
E2 9 В .
Ответ: E1 180 кВ
м
м
Уравнения движения материальной точки на плоскости имеют вид:
t
t
x 2 cos 3 , см, y 5 3 sin , см. Найдите скорость, ускорение точки, а
3
6
также необходимую для движения мощность Р1 в момент времени t1 = 1 с,
если масса точки m = 100 г.
t
t
Дано: x 2 cos 3 , см; y 5 3 sin , см; t1 = 1 с, m = 100 г.
3
6
Найти: Р1
67
Решение:
Мгновенная мощность Р1 может быть выражена через мгновенную
скорость точки v1 и действующую в этот момент времени силу F1; в свою
очередь, действующую на точку силу легко выразить через ее массу и ускорение; в итоге получаем:
P1 F1 v1 m a x1v x1 a y1v y1 ;
(0.129)
Здесь использовано выражение для скалярного произведения векторов.
Чтобы воспользоваться формулой (0.129), необходимо найти скорость и
ускорение точки в момент времени t1 = 1 с.
Модуль скорости точки выражается через проекции вектора скорости
на оси координат:
v1 v 2x1 v 2y1 ;
(0.130)
Скорость точки в проекциях на оси координат равна производной от
координат по времени, т. е.
vx
vy
dx d
t
2
t
2 cos 3 sin ;
dt dt
3
3
3
dy d
t
t
5 3 sin cos .
dt dt
6 2
6
(0.131)
По формуле (0.131) и находим числовые значения скорости в момент време
3
6
ни t1 = 1 с, учитывая, что sin cos
3
0.8660 . Получаем:
2
2
2 3.14` 3
sin
1.8138 см ;
с
3
3
3
2
3.14` 3
v y1 cos
2,2214 см ;
с
2
6
3
2
v1 1.81382 2,22142 2.8679 2.87 см .
с
Находим проекции вектора ускорения на оси координат как производные от
скорости по времени:
dv
d 2
t
2 2
t
a x x sin
cos ;
dt dt 3
3
9
3
dv y d
t
2
t
ay
cos sin .
dt dt 2
6
12
6
v x1
68
Находим числовые значения проекций ускорения в момент времени
t1 = 1 с:
22
2 3.142 3
a x1
cos
1.8994 см 2 ;
с
9
3
9
2
2
3.142 3
a y sin
0.7123 см 2 ;
с
12
6
12
2
a1 1.89942 0.71232 2.0286 2,03 см 2 .
с
Используя соотношение (0.129), находим мгновенную мощность:
P1 0.1 1.8994 1.8138 0.7123 1.2214 0.5027 0.5 Вт .
Ответ: v1 2.87 см ; a1 2,03 см 2 ;
с
с
P1 0.5 Вт .
Колесо радиусом 20 см вращается по
закону: 0.2t 3 1.2t 2 1.8t , рад. Найдите
полное ускорение точек, лежащих на ободе
колеса, в моменты времени, когда скорость
вращения равна 0.
Дано: R = 20 см; 0.2t 3 1.2t 2 1.8t .
Найти: а0
Решение:
Находим угловую скорость колеса как производную от угла поворота
по времени:
d d
(0.132)
0.2t 3 1.2t 2 1.8t 0.6t 2 2.4t 1.8
dt dt
Выражение (0.132) для угловой скорости представляет собой квадратный
трехчлен; его корни определяются условием: = 0, т. е.
0.6t 2 2.4t 1.8 0; t 2 4t 3 0;
(0.133)
t1,2 2 22 3; t1 3 c, t 2 1 c
Угловое ускорение колеса находим как производную от угловой скорости по времени:
d d
0.6t 2 2.4t 1.8 1.2t 2.4;
(0.134)
dt dt
69
В моменты времени t1 = 1 с и t2 = 3 с угловое ускорение колеса принимает значения: ε1 = 1,2 с-2; ε2 = -1,2 с-2.
Полное ускорение точек, лежащих на ободе колеса, может быть представлено как векторная сумма нормального и тангенциального ускорений;
т. к. эти векторы взаимно перпендикулярны, то модуль полного ускорения
выражается формулой:
a a 2n a 2
R R
2
2
2
(0.135)
Учитывая соотношение (0.133), полное ускорение точек на ободе колеса из выражения (0.135) в моменты времени t1 = 1 с и t2 = 3 с будет составлять
а1 = а2 = 0,24 м/с2.
Ответ: а1 = а2 = 0,24 м/с2.
Материальная точка массой 10 г движется по плоскости в соответствии
2
с уравнениями: x 2sin( t); y 3 cos( t) (x, y выражены в см; t – в сек)
9
9
Найдите модуль силы, действующей на точку в момент времени t1 = 3 c.
2
Дано: x 2sin( t); y 3 cos( t) , см; t1 = 3 c; m = 10 г.
9
9
Найти: F1
Решение: Искомую силу можно выразить с помощью второго закона
Ньютона через массу и ускорение; если в проекциях на оси координат
Fx ma x ; Fy ma y , то модуль силы F1 Fx 2 Fy 2 ; тогда для решения задачи
необходимо лишь найти ускорения точки в заданный момент времени.
Находим сначала выражения для скорости точки в проекциях на оси координат:
dx d
2 4
2
(0.136);
vx
2sin( t) cos( t)
dt dt
9 9
9
vy
dy d
3 cos( t) sin( t)
dt dt
9 9
9
(0.137).
Находим ускорение точки в проекциях на оси координат:
dv x d 4
2
8 2
2
ax
cos( t)
sin( t)
dt
dt 9
9
81
9
ay
dv y
dt
d
2
sin(
t) cos( t)
dt 9
9 81
9
(0.138);
(0.139).
70
В момент времени t1 = 3 c из соотношений (0.138) и (0.139) получаем:
82
2
2
2
a x1
sin( 3) 0.844 м/с ; a y1 cos( 3) 0.061 м/с2.
81
9
81
9
Искомая сила теперь выражается формулой:
F1 m a 2x1 a 2y1 0.010 (0.844)2 (0.061)2 8.46 103 Н = 8,46 мН.
Ответ: F1 = 8,46 мН.
За какое минимальное время можно добраться из точки А в точку С,
если скорость движения по полю u = 0,6 м/с; по дороге (BD) скорость v =
1 м/с; расстояния AB = 200 м и BC = 340 м.
Дано: u = 0.4 м/с; v = 1 м/с; BC = 200 м.
Найти: tмин
Решение:
Обозначим заданные расстояния: АВ = s;
ВС = L. Пусть оптимальное направление движения по полю определяется углом α (см. рис).
Тогда общее время движения можно выразить
формулой:
s
L s tg
(0.140)
t
u cos
v
Условие минимума функции t t() - равенство нулю производной от
времени по углу, т. е.
dt
d
s
L s tg
d d u cos
v
(0.141)
s sin
s
s sin 1
0;
u cos 2 v cos 2 cos 2 u
v
Получаем, что оптимальный угол определяется соотношением
u
(0.142)
sin
v
Тогда минимальное время движения через поле находим из соотношений
(0.140) и (0.142), заменяя косинус и тангенс их выражениями чрез синус, а
синус – через отношение скоростей. Получаем:
t opt
s
u 1 sin
2
s sin
v 1 sin
2
L s
1
v v 1 sin 2
v
L
sin
u
v
2
L L
s v
v u L s
2
2
v u 1 1 ;
v v L u
v 2 u 2 u v v uv
s
(0.143)
71
Подставляя числовые значения, находим:
2
200
80
1
383 c 6.4 мин
t мин
1
1
1 200 0.4
Ответ: t opt 6.4 мин
Найдите минимальную силу, необходимую для того, чтобы сдвинуть с
места сундук массой 150 кг, если коэффициент трения покоя 0,8.
Дано: m 150 кг; 0,8.
Найти: Fмин
Решение: На тело действуют сила тяжести mg , сила нормальной реакции опоры N , сила трения FТР , некоторая внешняя сила F ,величину и
направление которой необходимо найти. Минимальному значению силы трения соответствует движение без ускорения; при этом в проекциях на оси координат получаем:
F cos FТР ; N mg F sin
(0.144).
Используя выражение для максимальной силы трения покоя, получаем:
FТР N (mg F sin ) (0.145). Тогда
условие равномерного движения принимает вид: F cos (mg F sin ) ; отсюда
mg
(0.146).
cos sin
Чтобы найти минимальное значение силы, рассмотрим производную от знаменателя последнего выражения по углу ; минимальному значению силы
соответствует максимальное значение выражения cos sin . Тогда из
условия экстремума функции получаем:
d
cos sin sin cos 0 и tg . Значения синуса и косинуd
выражаем необходимую внешнюю силу: F
са выразим через тангенс: sin
cos
1
1 tg
2
1
1
2
tg
1 tg 2
1
0 0.8
2
1 2
0.8
0 0.82
0.625 .
0,781 . Подставляя числовые значения
величин в формулу для силы, находим: Fмин
0,8 150 9,8
918 Н.
0,781 0,8 0,625
Ответ: Fмин = 918 Н.
Equation Section (Next)
72
Сила тока в электрической цепи, показанной на рис. 1.3, изменяется по
закону i(t) 2sin(20 t ) , А. Индуктивность катушки L 0,4 Гн. Како6
во напряжение UL на катушке в момент времени t1, когда напряжение на
резисторе UR равно половине максимального?
Дано: i(t) 2sin(20 t ) ; L 0,4 Гн.;
6
UR = 0,5 URмакс
Найти: UL
Решение: Напряжение на индуктивности в цепи пеdi(t)
ременного тока выражается формулой: u(t) L
dt
(1.1); в данном случае получаем:
d
uL
2sin(20 t ) 40 cos(20 t ) .
6
6
dt
Напряжение на резисторе с учетом условия задачи u R R i(t) 0,5 U Rмакс .
Это означает, что значение синуса равно 0,5 в этот момент времени. Используя известное тригонометрическое тождество, находим значение косинуса:
cos 1 sin 2 1 0.52 0.866 .
Напряжение на катушке индуктивности в указанный момент времени
U L 40 0,866 108,8 В.
Ответ: UL = 108,8 В.
Equation Section (Next)
Напряжение на конденсаторе ёмкостью 0,05 мкФ изменяется в зависимости от времени (t, мс) по закону u(t) 20 exp 0.25t , В. Найдите максимальное значение силы тока через конденсатор.
Дано: С = 0,05 мкФ; u(t) 20 exp 0.25t , В (2.1)
Найти: Imax
Решение: Из определения ёмкости конденсатора следует: q(t) C u(t) ;
dq(t)
сила тока равна скорости изменения заряда конденсатора: i(t)
; тогда
dt
du(t)
i(t) C
(2.2). Анализируя выражение (2.1), находим: коэффициент в
dt
1
0,25 106 , с-1, поскольку
аргументе экспоненциальной функции есть
RC
время t измеряется в микросекундах (мкс). В общем виде, вместо выражения
d
t
) . Т. к. CU m = const, получа(2.2) следует записать: i(t) CU m exp(
dt
RC
ем: i(t) 0,05 106 20 0,25 106 exp( 0,25t) 0.25 exp( 0,25t) , А. Экс73
поненциальная функция exp(0,25t) убывает во всей области определения;
её наибольшее значение (при t = 0) составляет 0,25 А.
Ответ: Imax= 0,25 А.
Квадратная рамка со стороной а = 10 см, содержащая 200 витков тонкого провода, вращается в магнитном поле с индукцией В = 0,2 Тл вокруг оси,
лежащей в плоскости рамки и проходящей через её центр параллельно стороне. Угол поворота рамки с течением времени изменяется по закону
(t) 0.02t 3 0.4t 2 3t / 6 . Определите величину ЭДС, индуцируемую в
рамке в начальный момент времени.
Дано: а = 10 см, N = 200; В = 0,2 Тл; (t) 0.02t 3 0.4t 2 3t / 6 (2.3)
Найти: Ε.
Решение: По закону электромагнитной индукции величина ЭВС, индуцируемой во всех N витках рамки, определяется формулой:
d
(2.4)
N
dt
где магнитный поток BS cos . Здесь угол поворота рамки по условию
определяется выражением (2.3). Тогда используя правила дифференцирования сложной функции, получаем:
E BSN sin (t) (t) BSN sin (t) 0,06t 2 0,8t 3
(2.5)
В начальный момент времени t = 0 получаем: (0) / 6 ; тогда
E BSN sin 3 0,2 0,01 200 0,5 3 0,6 В .
6
Ответ: Е = 0,6 В.
Задачи для самостоятельного решения
Механика
1. Какой минимальной толщины должны быть стенки стального баллона
диаметром 240 мм, в котором содержится газ азот под давлением 4 МПа, если допускаемое нормальное напряжение в стенках не превышает 160 МПа?
(3 мм).
2. К гидроцилиндру масло подавалось по медной трубке с внешним диаметром 12 мм и толщиной стенок 0,85 мм. Каким может быть максимальное давление масла в системе, если допускаемое напряжение на разрыв составляет
60 Н/мм2
(9,1 МПа).
3. От магистрального газопровода к цеху газ шел по стальной трубе с внешним диаметром 60 мм и толщиной стенок 2 мм. Каково максимально допу74
стимое давление газа в трубе, если механическое напряжение в стенках трубы не должно превышать 180 Н/мм2 ?
(12 МПа).
4. Материал стенок цилиндрического корпуса батискафа рассчитан на максимальное напряжение сжатия 430 Н/мм2. Какой толщины должны быть
стенки корпуса диаметром 1,82 м, если батискаф должен погружаться на глубину до 6 км?
(130 мм).
5. Перемещение некоторого тела вдоль прямолинейной траектории можно
выразить следующей формулой s(t) 50 cos 0,05t cos 0,15t , м, где
время движения t выражается в секундах. Определите закон, по которому изменяется ускорение тела.
6. Координата прямолинейно движущегося тела изменяется с течением
времени по закону x t t 2 2t 1 ln t 2 (в системе единиц СИ).
Определите ускорение тела в момент времени t1 = 2 с (1,25 м/с2).
7. Маневровый тепловоз двигается по железнодорожным путям в соответствии с уравнением: s(t) 0,04t 3 1,2t 2 15t . В какой момент времени скорость тепловоза будет максимальной? Какова эта максимальная скорость?
8. Координата прямолинейно движущегося тела изменяется с течением
времени по закону x(t) 0,01t 3 0,6t 2 15t , м. Каково ускорение тела в
момент его полной остановки?
9. Закон прямолинейного движения некоторого тела описывается формулой: s(t) 200 ln (0.1t) 2 1 , м. Какова максимальная скорость тела?
10. Координата прямолинейно движущейся частицы происходит по закону
x 3t 2.5t 2 0.25t 3 . Найти среднее значение ускорения за интервал времени от t1 = 1c до t2 = 6c.
11. Материальная точка движется прямолинейно; уравнение движения имеет
вид: x 0.06t 3 3t . Найти скорость и ускорение точки в момент времени t1 =
0 и t2 = 3 с. Каково среднее значение ускорения за первые 3 с?
3
12. Уравнение движения точки массой 2 кг имеет вид: x 0.125t 6t .
Определить мощность, развиваемую источником силы, действующей на точку в момент времени t = 2 с.
13. Прямолинейное движение материальной точки описывается законом
3
2
x 0.2t 1.5t . Найдите максимальное и среднее значения скорости точки
от начального момента t = 0 до полной остановки, а также наибольшее по
модулю ускорение в этом же временном интервале.
14. Координата прямолинейно движущегося тела изменяется в соответствии
3
2
с формулой x At Bt . Найдите ускорение тела в начальный момент вре75
мени, если тело остановилось через 4 с после начала движения, переместившись на 12,8 м.
15. Прямолинейное движение материальной точки массой 20 г описывается
3
2
законом x 0.8t 4.8t 7.2t . Найдите величину силы, действующей на
точку в момент времени, когда она остановилась в начале координат.
16. Координата прямолинейно движущегося тела изменяется в соответствии
3
2
с формулой x At Bt C . Найдите скорость и ускорение тела в начальный момент времени, если при t1 = 1 с максимальное перемещение точки от
начала координат составило –2 м; а в момент времени t2 = 3 c скорость тела
равнялась нулю.
17. Уравнения движения точки на плоскости имеют вид: x(t) 2sin(0,25 t) ,
y(t) 3 2cos(0,5 t) , см. Найдите тангенциальное ускорение точки в момент
времени t1 = 1c.
18. Точка движется в плоскости (x, y); уравнения её движения имеют вид:
t
t
x(t) 6cos , см, и y(t) 2 1,5sin , см. Определите макси 4 3
2 6
мальную скорость точки (5,2 м/с).
19. Уравнения движения двух материальных точек по прямой имеют вид:
x1 4t 2 12t 5; x 2 0.5t 2 3t 12 . В какой момент времени скорости
этих точек будут одинаковыми? Чему равны скорости и ускорения точек в
этот момент?
20. Уравнение прямолинейного движения тела массой 10 кг задано (в системе СИ) выражением: x(t) t 3 1,5t 2 2t 1 . Каково изменение импульса тела
за 2 с с момента начала движения?
21. Определить скорость и ускорение тела, совершающего колебания по закону (в системе СИ): x(t) 2 sin(2t ) в момент времени t = 2 с.
6
4
22. Некоторое тело массой m = 20 кг движется вдоль прямой по закону
x(t) At sin(t) , где А = 0,1 м; ω = π. Найдите закон, по которому изменяется действующая на тело сила.
23. Тело массой m = 10 кг движется вдоль некоторой прямой по закону
x(t) At cos(t / 3) , где А = 0,25 м; ω = 20π. Найдите закон, по которому
изменяется мощность действующей на тело силы.
24. Шток выходного звена механизма движется согласно уравнению
s(t) 0,025t 2 t 0 t , м. В пределах рабочего хода (движение штока в положительном направлении) его максимальная скорость составляет 0,3 м/с. Какова наибольшая мощность привода, если масса движущихся частей 120 кг?
76
25. Поступательное движение поршня механизма описывается выражением:
s(t) 2 t 8arc tg(0,25t) 16 ln(1 0,0625t 2 ) , (перемещение s, см; время
t, мс). Определите наибольшую мощность сил сопротивления в интервале
времени [0; 9 мс], если масса движущихся частей 120 кг (31,7 кВт).
26. Анализ видеозаписи испытаний показал, что после столкновения с
ограждением движение автомобиля можно было описать выражением:
2
10
s(t) 25t 1 arc tg(2,5t) ln(1 6.25t) , м. Определите максимальную
силу, подействовавшую после столкновения на манекена массой 80 кг, сидевшего на месте водителя.
27. Точка движется по окружности радиусом R=4 м. Закон ее движения выражается уравнением S 8 2t 2 . В какой момент времени нормальное ускорение точки равно 9 м/с2?
28. Уравнение движения тела по окружности радиуса 20 см имеет вид:
s(t) 2t 2 15 t , см. Определите полное ускорение тела в момент времени,
когда оно возвращается в исходную точку (а ≈ 5,1 м/с2).
29. Диск радиусом R=0,2м вращается вокруг оси, проходящей через его
центр перпендикулярно плоскости диска согласно уравнению
(t) t 3 7,5t 2 12t , рад. Найдите полное ускорение точек на окружности
диска для моментов времени t1 = 1с и t2 = 4с (1,8 м/с2).
30. Вал двигателя механизма вращается по закону (t) 0.2t 3 3t 2 , рад. Какова максимальная скорость вращения вала? Сколько оборотов успевает сделать вал от момента начала наблюдения до полной остановки?
31. Вращение барабана сепаратора (момент инерции 5 кг м2) описывается
выражением t 20 t 2 2t 4 ln t 2 2t 4 t 1 2 , рад. Какой
будет кинетическая энергия барабана через 2 сек после начала движения?
32. Точка движется по окружности радиусом R=4 м. Закон ее движения выражается уравнением S 4t 3 2.12t . В какой момент времени нормальное
ускорение точки равно (по модулю) тангенциальному?
33. Колесо радиусом 20 см вращается по закону: (t)=-0.2t 3 1.2t 2 1.8t .
Найдите в интервале времени от 0 до 5 с наибольшую и наименьшую угловую скорость колеса.
34. Колесо радиусом 20 см вращается по закону: (t)=-0,1t 3 0,6t 2 0,9t .
Найдите момент времени, при котором угловое ускорение будет максимальным.
77
35. Колесо радиусом 25 см вращается по закону: (t) 0.4t 3 2.4t 2 6.4t .
Найдите в интервале времени от 0 до 5 с наибольшее и наименьшее нормальные ускорения точек, лежащих на ободе колеса.
36. Барабан лебедки подъемного механизма диаметром 400 мм вращается по
закону: (t) 0.1t 3 0.15t 2 2.4t . Найдите перемещение поднимаемого груза в интервале времени от 0 до момента остановки подъемника.
37. Вращение вала механизма, момент инерции которого составляет 20 кг м2,
описывается уравнением (t) t 2 3 t , рад. Определите наибольшее значение момента импульса механизма в интервале времени [1; 3] с.
38. Вращение вала механизма, момент инерции которого составляет 20 кгм2,
описывается уравнением (t) 0,8t 2 3 t , рад. Определите величину
наибольшего вращающего момента, действующего на вал при 0 ≤ t ≤ 3 c.
39. Угловая скорость вращения барабана механизма изменяется с течением
времени по закону: (t) t 4arc tg(0,25t) 8 ln(1 0,0625t 2 ) , рад/с. Найдите наибольший вращающий момент, действующий на барабан, если его момент инерции не превышает 8 кг м2 (25 Н м).
40. Вал механизма (приведённый момент инерции 20 кгм2) начинает вращение по закону (t) 4arc tg(t 1) , рад/с. Полагая, что двигатель развивает
постоянный момент МДВ = 300 Н м, определите наименьший и наибольший
момент сил сопротивления за первые 4 с вращения (220 и 292 Н м)
41. Автомобиль, преодолевает затяжной подъем, профиль которого хорошо
1
описывает выражение h(s) 46,2 0.005s 2 1 , м, двигаясь с постоян
ной скоростью. В каком месте подъема от двигателя потребуется максимальная мощность?
42. Шайба, двигаясь с начальной скоростью v по гладкой поверхности, попа2
дает на участок, профиль которого определен выражением y( x)
.
2
x
1
1
Найдите наибольшую и наименьшую скорость шайбы в интервале 0 x 2 м.
2
Идеальный газ
43. Газ расширяется, увеличивая свой объем от 2 до 12 л, причем давление
газа при этом изменяется от 0,167 до 0,107 МПа в соответствии с выражени1
ем: p(V) V (V 2)2 12 , МПа. Каким было при этом максимальное
давление газа? (0,25 МПа).
44. Зависимость давления газа р, МПА, от объема, V, л, при расширении от
3 до 8 л определяется выражением p(V) 0,4 arcsin (0,1V) 0,125V . Определите интервал изменения объема, в котором работа газа положительна.
78
45. Идеальный газ в количестве 0,25 моль расширяется от объёма 4 л до объ1
ёма 6 л согласно уравнению p(V) 0,4V V 2 6 , МПа (значения
объема в этом выражении измеряются в литрах). Требуется определить
наименьшую и наибольшую температуру газа в этом процессе (358 К; 377 К).
2
46. Некоторый газ участвует в процессе расширения от объема 4 л до объема
1
2
10 л, описываемом уравнением p(V) 0,8V V 5 11 , МПа. Какова
наибольшая температура газа в этом процессе? (787 К).
47. Для некоторого процесса, в котором участвует 0,1 моль идеального газа,
зависимость давления (МПа) от объема (л) выражается формулой:
p(V) 0.01 R 8 V 2 , где объем газа изменяется от 1,2 до 2,5 л. Найдите
наибольшую температуру газа в этом процессе (400 К).
48. Идеальный газ в количестве 0,4 моль расширяется от объёма 4 л до объё1
ма 6 л согласно уравнению p(V) 0,8V V 1 3 , МПа (значения объ
ема в этом выражении измеряются в литрах). Требуется определить
наибольшую температуру газа в этом процессе (428 К).
2
49. Идеальный газ в количестве 0,4 моль расширяется от объёма 4 л до объё1
ма 6 л согласно уравнению p(V) 2V V 5 15 , МПа (значения объе
ма в этом выражении измеряются в литрах). Требуется определить наименьшую температуру газа в этом процессе.
2
50. Для некоторого процесса, в котором участвует 2 моль газа , зависимость
давления (МПа) от объема (л) в интервале от 1 до 10 л выражается формулой:
0.42V
2.52
. Найдите наибольшую температуру газа в этом
p(V)
2
V
V 1 1
4
процессе (960 К).
51. Температура 0,4 моль газа в процессе его расширения от 4 до 10 л изме1
2
няется по закону: T(V) 200V 2 V 4 9 , К. Определите наибольшее
давление газа в этом процессе (0,33 МПа).
52. В некотором процессе температура 100 моль газа зависит от его объёма в
соответствии с формулой T(V) 150V 3ln V 1 V , К, где значения объёма указаны в м3. Определите максимальное давление газа (161,6 кПа).
53. В некотором процессе температура 100 моль газа зависит от его объёма в
соответствии с формулой T(V) 80V 4ln V 1 V , К, где значения объёма указаны в м3. Определите максимальное давление газа (169,3 кПа).
79
54. Температура 125 моль идеального газа зависит от его объёма, м3, согласно выражению: T(V) 160 4ln(V 1) 1 , К. Определите максимальную
температуру газа в указанном процессе
(407 К).
55. В процессе расширения ν = 125 моль идеального газа его давление изме 4ln(V 1)
нялось в соответствии с формулой p(V) 25R
1 , кПа. ОпредеV
лите максимальную температуру газа в этом процессе
(509 К).
56. В процессе расширения ν = 200 моль идеального газа его давление изме 7ln(V 3)
1 , кПа. Опреденялось в соответствии с формулой p(V) 8R
V
лите максимальную температуру газа в этом процессе
(385 К).
57. В процессе расширения ν = 200 моль идеального газа его давление изме 6ln(V 3)
1 , кПа. Опреденялось в соответствии с формулой p(V) 8R
V
лите давление газа, когда его температура будет максимальной (172 кПа).
58. Как изменяется объем ν = 4 моль идеального газа при нагревании от
Т1 = 360 К до Т2 = 420 К, если его давление определяется выражением
2
p(T) p0 T 1 , кПа, где р0 = 0,1 МПа, Т0 = 300 К. Найдите наибольшее
T0
значение объема газа в этом процессе. (Убывает; 3 м3).
59. Как изменяется температура 1 моля идеального газа в некотором процес2
p
1 , где V0 = 2 R, л (R –
се, который определяется уравнением V V0
p0
универсальная газовая постоянная); p0 = 100 кПа; если давление газа увеличивается от 0,15 до 0,2 МПа? (уменьшается в 3 раза).
60. Идеальный газ в количестве 0,4 моль расширяется согласно уравнению
V(x) (5x 7) , л; где х – некоторый параметр, изменяющийся от 0 до 0,9.
arcsin x
Давление газа при этом изменяется по закону p(x) 20R 1
, кПа.
Какова наибольшая температура газа в этом процессе? (398 К)
61. Идеальный газ в количестве 0,5 моля увеличивает свой объем от 4 до 10 л
V0 2
V0
в процессе, описываемом уравнением p(V) p0 4
, где давлеV
V
ние р0 = 75 кПа; объём V0 = 4 л. Каковы значения наименьшей и наибольшей
температуры газа в этом процессе? (325 К; 401 К)
62. Температура в поперечном сечении плоской стенки (0 ≤ х ≤ 18 см) изменяется по закону t(x) 20 1 cos 0,05 (x 1), 0 C ; плотность теплового
80
потока через стенку q = 4π, Вт/м2. Определите закон изменения коэффициента теплопроводности с координатой х, λ(х). Каково наименьшее значение коэффициента теплопроводности? (0,04 Вт/(м К)).
63. Распределение температуры через поперечное сечение плоской стенки
описывается выражением: t(x) 20 arc tg 0,15(x 15) , 0 C , где координата х
выражается в см; 0 ≤ х ≤ 25 см. Плотность теплового потока через стенку составляет 6 Вт/м. Определите наименьшее и наибольшее значение коэффициента теплопроводности стенки (0,02 и 0,12 Вт/(мК)).
Электродинамика
64. Заряд конденсатора идеального колебательного контура изменяется с течением времени по закону q(t) 0,5 sin(2 t ) , мкКл, где время t задано в
3
мкс. Определите амплитудное значение силы тока в контуре (3,1 А)
65. Величина электрического заряда q, мкКл, переносимого через поперечное
сечение проводника, выражается формулой q(t) 4t sin(3t ) , мкА, где
момент времени, t, измеряется в мкс. Определите закон изменения силы тока
в цепи.
66. Величина электрического заряда, переносимого через поперечное сечение проводника, изменяется со временем по закону q(t) (15 t) t 2 , мкКл.
Определите закон изменения силы тока в цепи. В какой момент времени сила
тока максимальна? (t = 5 с).
67. Электрический заряд q, мкКл, переносимый через поперечное сечение
проводника, зависит от времени t, мс, по закону: q(t) arc tg t 0,5t . Каково
максимальное значение силы тока? (0,285 мА).
68. Распределение потенциала вдоль области взаимодействия описывается
функцией (x) 20 ch(x 2) , В, где координата х, мм, изменяется в пределах от до 4 мм. Определите закон изменения напряженности электрического
поля в этой области.
69. Распределение потенциала вдоль оси равномерно заряженного диска радиусом R = 2 см описывается выражением (x) 50 ( R 2 x 2 x) , В. Здесь
координата х – расстояние от плоскости диска до точки наблюдения – указывается в миллиметрах. Требуется найти напряженность электрического поля
в центре диска (5 кВ/м).
70. Потенциал электрического поля в зазоре между электродами изменяется
по закону: (x) 10 th x 2 , В, где координата х выражена в мм. Определите максимальную напряженность электрического поля в зазоре (10 кВ/м).
71. Потенциал электрического поля в зазоре между электродами изменяется
по закону: (x) 2 (x 1)arcsin(x 1) 1 (x 1) 2 , В, где 0 ≤ х ≤ 2 мм.
81
Определите наибольшую напряженность электрического поля в зазоре
(3,1 кВ/м)
72. По тонкому кольцу радиусом R = 2 см равномерно распределён заряд
q = 5 мкКл; потенциал электрического поля на оси кольца описывается выражением (x) 100 R 2 x 2
0,5
, В. Здесь координата х, см – расстояние от
плоскости кольца до точки наблюдения. Требуется определить распределение напряженности электрического поля Е(х).
73. Зависимость напряжения на конденсаторе ёмкостью С = 0,1 мкФ от времени описывается выражением u(t) 10 sin(2t ) cos(3t ) . Опре3
3
делите закон изменения тока через конденсатор.
74. Заряд конденсатора, q, мкКл, с течением времени t, с, изменяется по закону q(t) t tg(1,5 0,25t) . Определите закон изменения силы тока через
конденсатор.
75. Напряжение на конденсаторе ёмкостью 0,01 мкФ изменяется в зависимости от времени (t, мкс) по закону u(t) 100 1 exp 0.5t , В. Найдите максимальное значение силы тока через конденсатор (0,5 А).
76. Через индуктивный элемент электрической цепи (L = 0,25 Гн) прошел
2
импульс тока, описываемый выражением i(t) t 0,8t , А, где 0 ≤ t ≤ 5 c.
Определите закон изменения напряжения на этом элементе.
77. Через индуктивный элемент электрической цепи (L = 0,1 Гн) прошел импульс тока, описываемый выражением i(t) 2sin 2 t cos 2 2t , А, где
0 ≤ t ≤ π/4 c. Определите закон изменения напряжения на этом элементе.
78. Сила тока, протекающего через катушку индуктивности L = 0.2 Гн, изменяется во времени по закону i(t) 2 ln(10t 1) , А. В какой момент времени
индуктивное напряжение будет равно 2 В? (0,1 с).
79. Сила тока через катушку индуктивности L = 0.1 Гн, изменяется от времени t, мс, по закону i(t) 8cos(2t 0.25) 6sin(t 0.5) , мА. Каково
напряжение на катушке в момент времени t1 = 1 мс? (7,07 В).
80. Замкнутый проводящий контур площадью 2 см2 пронизывается магнитным полем, линии которого перпендикулярны плоскости контура, а индукция поля изменяется по закону B(t) 0,25t 2 t arc tg(t) 0,5ln(1 t 2 ) , мТл
(здесь время t выражено в мкс). Определите ЭДС электромагнитной индукции в момент времени время t = 1 мкс.
81. Магнитный поток через контур изменяется с течением времени по закону
(t) 10 arcsin(t 1) , мВб, где время t измеряется в мс. Определите
2
ЭДС электромагнитной индукции в момент времени t1 = 1 мс.
82
82. Магнитный поток через контур, сопротивление которого 0,25 Ом, изменяется с течением времени по закону (t) 20 arcsin5(t 1) , мВб, где время
t измеряется в мс. Определите максимальное значение индукционного тока.
83. Индукция магнитного поля, пронизывающего плоскости катушки, изменяется с течением времени (в миллисекундах) по закону, определенному выражением B(t) 1 0,625t 2 1 t 2 t arcsin t , Тл. В какой момент времени
ЭДС индукции в катушке будет максимальной?
(0,6 мс).
84. Магнитный поток, пронизывающий проводящий контур (сопротивление
которого 0,2 Ом) изменяется с течением времени (в миллисекундах) по закону (t) 5t t 1 ln(t 1) , мкВб. Определите максимальное значение индукционного тока в контуре
(20 мА).
Интегрирование при решении физических задач
Операция интегрирования часто используется при решении разнообразных физических задач. Сама по себе искомая величина может иметь интегральный характер, т.е. по своей сути представлять собой суммарный результат совместного действия бесконечно малых факторов. Например, пройденный телом путь, работа, и др. (дифференциальные величины характеризуют
состояние, процесс или явление в данной точке, в данный момент времени).
Интегрирование как предельный случай суммирования большого числа малых вкладов необходимо в физических задачах с непрерывно распределенными параметрами.
Необходимые сведения из математики
10. Основные правила интегрирования.
1) Если F/ x f x , f x dx F x C , где С – произвольная постоян-
ная.
2) Af x dx A f x dx , где А – постоянная величина.
3) f x f x dx f x dx f x dx .
4) Если f x dx F x C и u x , то f u du F u C .
1
В частности, f ax b dx F ax b C a 0 .
a
1
2
1
2
11. Таблица простейших интегралов.
dx
x n 1
ln x C .
I. x dx
II.
C , n 1.
x
n 1
dx
1
x
1
x
arctg
C
arcctg
C1 , a 0 .
III. 2
x a2 a
a
a
a
n
83
IV.
x
2
dx
1
x a
ln
C , a 0 .
2
a
2a x a
a 0 .
V.
VI.
dx
x2 a
dx
a
2
dx
1
ax
ln
C,
2
x
2a a x
ln x x 2 a C , a 0 .
a2 x2
arcsin
x
x
C arccos C1 , a 0 .
a
a
ax
VII. a dx
C , a 0 ; e x dx e x C .
ln a
VIII. sin xdx cos x C . IX. cos xdx sin x C .
x
dx
cos
tgx C . XI.
dx
sin
ctgx C .
2
x
x
dx
x
XII.
ln tg C ln cos ec x ctgx C .
sin x
2
dx
x
XIII.
ln tg C ln tgx sec x C .
cos x
2 4
X.
2
dx
thx C .
XVI.
ch x
chxdx shx C .
dx
cthx C .
XVII.
sh x
XIV. shxdx chx C . XV.
2
2
12. Некоторые методы интегрирования
Интегрирование путем подведения под знак дифференциала.
Правило 4) значительно расширяет таблицу простейших интегралов. А
именно, в силу этого правила таблица интегралов оказывается справедливой
независимо от того, является переменная интегрирования независимой переменной или дифференцируемой переменной.
2. Метод постановки
Замена переменной в неопределенном интеграле.
Полагая x t , где t – новая переменная и – непрерывно дифференцируемая функция, будем иметь: f x dx f t / t dt .
Функцию стараются выбирать таким образом, чтобы первая часть формулы приобрела более удобный для интегрирования вид.
Тригонометрические подстановки.
а) Если интеграл содержит радикал
x a sin t ; отсюда
a 2 x 2 , то обычно полагают
a 2 x 2 a cos t .
84
x 2 a 2 , то полагают x a sec t ; отсю-
б) Если интеграл содержит радикал
да
x 2 a 2 a tg t .
x 2 a 2 , то полагают x a tgt ; отсюда
в) Если интеграл содержит радикал
x 2 a 2 a sec t .
Заметим, что тригонометрические подстановки не всегда оказываются
выгодными. Иногда вместо тригонометрических подстановок удобнее пользоваться гиперболическими подстановками, которые имеют аналогичный характер.
3. Формула интегрирования по частям.
Если u x и v x – дифференцируемые функции, то
udv uv vdu .
Иногда, чтобы свести данный интеграл к табличному, приходится применять формулу интегрирования по частям несколько раз. В некоторых случаях с помощью интегрирования по частям получают уравнения, из которого
определяется искомый интеграл.
4. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен
1. Интегралы вида
mx n
ax 2 bx cdx . Основной прием вычисления – приве-
дение квадратного трехчлена к виду:
ax 2 bx c a x k l
2
,
(*)
где k и l – постоянные. Для выполнения преобразования (*) удобнее всего
из квадратного трехчлена выделить полный квадрат. Можно также пользоваться подстановкой 2ax b t .
Если m 0 , то, приводя квадратный трехчлен к виду (*), получаем табличные интегралы III или IV (см. таблицу простейших интегралов).
2. Интегралы вида
mx n
ax bx c
2
. Методы вычислений аналогичны разо-
бранным выше. В конечном итоге интеграл приводится к табличному интегралу V, если a 0 , и VI, если a 0 .
3. Интегралы вида
mx n
dx
ax bx c
2
. С помощью обратной подста-
1
t эти интегралы приводятся к интегралам вида 2.
mx n
4. Интегралы вида ax 2 bx cdx . Путем выделения из квадратного
новки
трехчлена полного квадрата данный интеграл сводится к одному из следующих двух основных интегралов:
85
а)
б)
x 2
a2
x
2
a x dx
a x arcsin C ,
2
2
a
x
A
x 2 A dx x 2 A ln x x 2 A C .
2
2
2
2
5. Интегрирование рациональных функций
1. Метод неопределенных коэффициентов. Интегрирование рациональной
функции после выделения целой части сводится к интегрированию правильной рациональной дроби
Px
Qx ,
(*)
где P x и Q x – целые многочлены, причем степень числителя Px ниже
степени знаменателя Q x . Если
Q x x a ... x l , где a,..., l l – различные действительные корни
многочлена Q x и ,..., – натуральные числа (кратности корней), то
справедливо разложение дроби (*) на простейшие дроби:
P x
A
L
A
A2
L
L2
1
...
... 1
...
2
2
Qx x a x a
x l x l
x a
x l
(**)
Для вычисления неопределенных коэффициентов A1 , A 2 , …, L обе
части тождества (**) приводят к целому виду, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях переменой x (первый способ). Можно
также определить эти коэффициенты, полагая в равенстве (**), или ему эквивалентном, x равным подходяще подобранным числам (второй способ).
2. Метод Остроградского.
Если Q x имеет кратные корни, то
P(x)
X(x)
Y(x)
Q(x) dx Q (x) Q (x) dx ,
1
(***)
2
где Q1 x – общий наибольший делитель многочлена Q x и его производной Q / x ,
Q2 x Q x : Q1 x , X x и Y x – многочлены с неопределенными ко-
эффициентами, степени которых соответственно на единицу меньше степеней Q1 x и Q2 x .
Неопределенные коэффициенты многочленов X x и Y x вычисляются при помощи дифференцирования тождества (***).
6. Интегрирование некоторых иррациональных функций
1. Интегралы вида
86
p1
p2
q
q
ax b 1 ax b 2
R x, cx d , cx d ,...dx
,
(*)
где R – рациональная функция и p1 , q1 , p2 , q 2 , …–целые числа.
ax b
zn ,
Интегралы вида (*) находятся с помощью подстановки
cx d
где n – общее наименьшее кратное чисел q1 , q 2 …
2. Интегралы вида
Pn x
ax bx c
2
dx ,
(**)
где Pn x – многочлен степени n Полагают
Pn x
ax bx c
2
dx Qn 1 x ax 2 bx c
dx
ax bx c
2
, (***)
где Qn 1 x – многочлен степени n 1 с неопределенными коэффициентами и
– число.
Коэффициенты многочлена Qn 1 x и число находятся при помощи
дифференцирования тождества (***).
3. Интегралы вида
x
dx
ax bx c
1
t.
вида (**) с помощью подстановки
x
n
2
приводятся к интегралам
7. Интегрирование тригонометрических функций
1. Интегралы вида
m
n
sin x cos x dx Imn
(*)
где m и n – целые числа.
1) Если m 2k 1 – нечетное положительное число, то полагают
Im,n sin 2k x cos n xd cos x 1 cos 2 x cos n xd cos x .
k
Аналогично поступают, если n – нечетное положительное число.
2) Если m и n – четные положительные числа, то подынтегральное выражение (*) преобразуется с помощью формул:
1
1
1
1 cos 2x , sin 2 x 1 cos 2x , sin x cos x sin 2x .
2
2
2
3) Если m и n – целые отрицательные числа одинаковой четности
sin 2 x
то
87
I m,n
dx
cos ec x sec 2 xd tgx
sin x cos x
2
1
1 2 1 tg 2 x
tg x
2
2
d tgx
1 tg x
2
1
2
tg x
d tgx
В частности, к этому случаю сводятся интегралы
d x
dx
2
и
cos x .
sin x
2
4) Интегралы вида tg m xdx (или ctg m xdx ),
x
d
dx
1
2
sin x 21 x x
sin cos
2
2
где m – целое положительное число, вычисляются с помощью формулы
tg 2 x sec 2 x 1 (или соответственно ctg 2 x cos ec 2 x 1 ).
5) В общем случае интегралы I m ,n вида (*) вычисляются с помощью формул
приведения (рекуррентных формул), выводимых обычно интегрированием по
частям.
2. Интегралы вида
sin mx cos nxdx , sin mx sin nxdx и cos mx cos nxdx .
В этих случаях применяются формулы:
1
sin m n x sin m n x ;
2
1
2) sin mx sin nx cos m n x cos m n x ;
2
1
3) cos mx cos nx cos m n x cos m n x .
2
1) sin mx cos nx
3. Интегралы виды
R sin x,cos x dx ,
(**)
где R – рациональная функция.
x
2t
1 t2
1) С помощью подстановки tg t , откуда sin x
, cos x
,
2
1 t2
1 t2
2dt
dx
, интегралы вида (**) приводятся к интегралам от рациональных
1 t2
функций новой переменной t .
2) Если имеет место тождество R sin x, cos x R sin x,cos x , то для
приведения интеграла (**) к рациональному виду можно применить подста-
88
t
новку tgx t . Здесь sin x
1 t
,
2
cos x
1
1 t
2
и
x arctgt ,
dt
.
1 t2
8. Интегрирование гиперболических функций
Интегрирование гиперболических функций вполне аналогично интегрированию тригонометрических функций.
Следует помнить основные формулы:
1
1) ch 2 x sh 2 x 1; 2) sh 2 x ch2x 1 ;
2
1
1
3) ch 2 x ch2x 1 ; 4) sh x ch x sh 2x .
2
2
9. Применение тригонометрических и гиперболических подстановок для
нахождения интегралов вида
dx
R x,
ax 2 bx c dx ,
(*)
где R – рациональная функция.
Преобразуя квадратный трехчлен ax 2 bx c в сумму или разность
квадратов, сводим интеграл (*) к одному из следующих типов:
1) R z, m 2 z 2 dz ; 2) R z, m 2 z 2 dz ; 3) R z, z 2 m 2 dz .
Последние интегралы берутся соответственно с помощью подстановок:
1) z msin t или z mtht , 2) z mtgt или z msht ,
3) z msec t или z mcht .
Примеры решения задач
После включения двигателя вал некоторого механизма начинает раскручиваться, причем его угловое ускорение ε изменяется с течением времени
по закону t 20 t 6 t 2 рад/с2. Требуется найти 1) установившуюся частоту вращения вала, n об/мин; 2) среднюю угловую скорость вращения,
ωср, рад/с, за первые 5 с движения.
3
Дано: t 20 t 6 t 2 ; (0) 0 .
Найти: n об/мин; ωср, рад/с.
Решение: 1) Исходя из определения углового ускорения, получаем:
приращение угловой скорости d (t)dt 20(t 6)(t 2)3 dt ; начальная угловая скорость (0) 0 . Тогда в некоторый момент времени t угловая скорость определяется выражением:
3
t
(t) 20 6 ( 2) 3 d
(2.6)
0
89
Преобразуем подынтегральное выражение, представив числитель в виде
6
1
4
суммы (ξ + 2) +4; тогда
и вместо выражения (2.6)
3
2
3
2
2
2
получаем:
t
t
1
1
d( 2)
d( 2)
1
1
(t) 20
80
20
2
2
3
2
t
2
2
4
0 2
0 2
t 2
После упрощения выражение для угловой скорости принимает вид:
t 2 3t
(2.7)
t 20
2
t 2
Значение установившейся (через достаточно большее время) угловой
скорости находим с помощью предельного перехода выражения (2.7) при
t Получаем = 20 рад/с. Соответствующая частота вращения будет
равна n 30
≈ 191 об/мин.
2) Среднее значение угловой скорости за первые t1 секунд определяется
(t1 ) (0)
формулой ср
; чтобы найти угол поворота вала за некоторое
t1
время t1 , необходимо проинтегрировать выражение (2.7):
t
t 20
2 3
0 2
2
d
(2.8)
Для этого подынтегральное выражение удобнее преобразовать к виду:
2 3
1
2
. Для этого надо в числителе выделить выраже1
2
2 2 2
2
ние для полного квадрата: 2 3 2 4 4 4 2 2 2 .
Тогда интеграл (2.8) распадается на три интеграла:
t
t
t
d
d
(2.9)
(t) 20 d 20
40
2
2
0
0
0 2
2
Все три интеграла – табличные; после интегрирования получаем:
2
t 2
(2.10)
t 20 t 1
ln
t2
2
Находим значения угла поворота: 5 0 = 60,66 рад. Тогда средняя угловая скорость ср = 12,13 рад/с.
Ответ: 1) n ≈ 191 об/мин; 2) ср = 12,13 рад/с.
90
Определить положение центра тяжести бревна длиной L = 6 м, диаметр
которого изменяется согласно выражению: d(x) d 0 exp( x) , м. Координата
0 ≤ х ≤ L указана в метрах; плотность древесины считается везде одинаковой.
При окончательном подсчете, принять d0 = 0,24 м и α = 0,1 м-1.
Дано: d(x) d0 exp( x) ,м; ρ = const; α = 0,1 м-1; d0 = 0,24 м.
Найти: хС
Решение:
Положение (координату хС) центра тяжести бревна (см. рис) можно определить с
помощью соотношения для момента силы тяжести М относительно конца, соответствующего началу координат: M P x C (2.11).
g
d(x) 2 dx
Здесь вес однородного бревна P
(2.12); момент силы тя4 0
жести можно выразить формулой
L
L
g
d 02
2
M
d(x) x dx g
x exp(2x)dx
(2.13)
4 0
4 0
L
Т. е. определение координаты центра тяжести хС сводится к вычислению интегралов exp(2x)dx и exp(x) dx x exp(2x)dx . Первый из
этих интегралов после замены х на у = -2αх, соответственно, dу = -2α dх, дает
выражение
d 02
1
P
1 exp(2 L g
(2.14)
2
4
Для нахождения второго интеграла используем метод интегрирования
по частям: u dv u v vdu . В данном случае получаем: u x, du dx и
dv exp(2x)dx ; тогда v 1
exp(2x) . В итоге получаем первооб2
разную для подынтегральной функции в виде: 1 2 1 2x exp(2x) ;
4
после подстановки пределов интегрирования получаем следующее выражеL
ние:
x exp(2x)dx 1 4
2
1 1 2L exp(2L) . Тогда момент си-
0
лы тяжести относительно левого конца бревна с учетом выражается формуd02
лой M g
1 1 2L exp(2L) (2.15). Выражение для координа162
ты центра тяжести хС принимает следующий вид:
91
xC
1 (1 2L)exp(2L) 1
exp(2L)
. Подставляя числовые
L
2 1 exp(2L)
2
1 exp(2L)
значения величин, получаем x C
1
exp(2 0,1 6)
= 2,414 м.
6
2 0,1
1 exp(2 0,1 6)
Ответ: хС = 2,414 м.
Нормальные напряжения в стальной балке длиной 4 м изменяются по
1
2
длине (0 ≤ х ≤ 4 м) по закону (x) 0 x 2 1 , где σ0 = 400 , МПа.
5
Принимая модуль Юнга для стали Е = 2 10 МПа, определите величину деформации растяжения балки.
1
2
Дано: (x) 0 x 2 1 (2.16); σ0 = 400 МПа; Е = 2 105 МПа; при
0 ≤ х ≤ 4 м.
Найти: ΔL.
Решение: Относительная деформация балки определяется обобщенным
(x)
законом Гука: dL
dx (2.17); здесь dL – элементарное удлинение элеE
ментарного участка балки длиной dх. Нормальное напряжение σ(х) изменяется по длине балки в соответствии с выражением (2.16); модуль Юнга остаётся постоянным для всей балки. Тогда общее удлинение балки ΔL можно
найти интегрированием выражения (2.17) в пределах от 0 до 4 м; получаем
4
1
0
2
L
x 2 1 dx
(2.18)
E 0
Используя замену переменной интегрирования z = х – 2, dz = dх, получаем табличный интеграл; с учетом подстановки пределов интегрирования
20
2 400 103
L
arc tg 2
1,1071 4,43 , мм.
E
2 105
Определите силу гидростатического давления на купол подводной лаборатории, имеющий
форму шарового сегмента радиусом R = 12 м и
углом раскрыва α0 =600 и находящийся на глубине H = 50 м. Плотность морской воды
ρ = 1031 кг/м3.
Дано: H = 50 м; α0 = 600; R = 12 м; ρ = 1031 кг/м3.
Найти: F.
Решение:
Учитывая симметрию купола, получаем, что сила гидростатического
давления может иметь только вертикальную составляющую. Выбираем эле92
ментарную площадку dS на поверхности купола в виде в виде бесконечно
тонкого кольца радиусом r = R sinα; тогда dS 2 R sin R d (2.19).
Гидростатическое давление на выделенной площадке можно выразить
в виде: p() g H R cos
(2.20). Сила давления на площадку
направлена перпендикулярно поверхности; чтобы найти именно вертикальную составляющую, помножим на cos . Тогда для элементарной силы получаем: dFy g H R cos 2R 2 sin cos d
(2.21). Проводя интегрирование по углу α в пределах от 0 до α0, выражение (2.21) представляем в
виде суммы двух слагаемых, содержащих тригонометрические функции
sin cos и sin cos2 соответственно.
0
0
(2.22)
F 2 R g H cos sin d R cos 2 sin d
0
0
В данном случае оказывается удобным использовать подстановку u cos ;
соответственно, du sin d . Пределы интегрирования u1 cos 0 1 и
2
u 2 cos600 0,5 . Тогда вместо (2.22) получаем:
0,5
0,5
1
1
2
2
F 2 R g H u du R u du 2 R g H u du R u 2du (2.23)
1
1
0,5
0,5
2
u
Интегралы, входящие в выражение (2.23) табличные; u du
и
2
u3
2
u du 3 . Подставляя верхний и нижний пределы интегрирования, полу7
3
чаем: F 2 R 2g H R . Подстановка числовых значений величин
24
8
дает:
7
3
F 2 3,14 122 1031 9,81 50 12 ≈ 1,4∙108Н.
24
8
2
Ответ: F = 1,4∙108 Н.
В процессе политропного (n = 2) расширения газа его объем увеличился от 20 до 50 л. Какую работу при этом совершил газ, если его начальное
давление составляло 240 кПа?
Дано: V1 = 20 л; V2 = 50 л; р1 = 240 кПа;
Найти: А12
93
V2
Решение: Работа газа выражается формулой: A12 p(V) dV (2.24);
V1
из уравнения политропного процесса зависимость давления от объема может
быть представлена в виде:
n
V1
p(V) p1
(2.25)
V
Подставляя последнее выражение в формулу (2.24) и вынося за знак
интеграла постоянные величины, получаем:
A12 p V
n
1 1
V2
V
n
dV
(2.26)
V1
В данном случае, подынтегральная функция является степенной; используя табличные значения первообразной для степенной функции, получаем:
V n 1
p1V1n
p
V
A12
V21n V11n 1 1 1 1
(2.27)
1 n
n 1 V2
Подставляя числовые значения показателя политропы n = 2, начального
V1 = 20 л и конечного V2 = 50 л объемов, а также начального давления
р1 = 240 кПа, получаем:
21
240 103 20 103 20
A12
1 = 2880 Дж.
2 1
50
Ответ: А12 = 2880 Дж.
Идеальный двухатомный газ в количестве ν = 2 моль расширяется от
объёма 2 л до 10 л по закону p(V) 250V (2V 1)1 , где объем выражен в
литрах, а давление в кПа. Найдите изменение энтропии газа в этом процессе.
Дано: V1 = 2 л, V2 = 10 л; p(V) 250V (2V 1)1 , кПа (2.28);
Найти ΔS.
Решение:
Для идеального газа, используя определение энтропии, первый закон
термодинамики и уравнение состояния, элементарное изменение энтропии
dp
dV
можно выразить в следующем виде dS C v
(2.29). Здесь Сv –
p
V
молярная изохорная теплоёмкость; γ − показатель адиабаты. Конечное изменение энтропии получается в результате интегрирования (2.29) по объему в
указанных в условии пределах. При этом следует учесть заданную зависимость давления от объема. Однако в данном случае удобнее перейти к новой
переменной интегрирования, воспользовавшись таблицей первообразных и
94
dp
dV
, или u ln (pV ) (2.30).
p
V
Тогда независимо от конкретного вида функции р(V) в результате интегрисвойствам логарифмической функции: du
u2
рования в общем виде получаем: S Cv du Cv (u 2 u1 ) , или с учетом
u1
выражения (2.30) S Cv ln(p 2 V2 ) ln(p1V1 ) .
Для двухатомного идеального газа Сv = 2,5 R, γ = 1,4. Разность логарифмов есть логарифм отношения; для заданной зависимости давления от
p V
V 1 V 1
2
2
объема (2.28) находим: S Cv ln Cv ln 1 2 (2.31).
p1 V1
V2 1 V1
Вычисления по формуле (2.31) для заданных значений параметров дают окончательный ответ: ΔS ≈ 39,7 Дж/К
По диску радиусом R = 6 см распределен электрический заряд, причем
поверхностная плотность заряда изменяется по радиусу диска в соответствии
с выражением r r 3 12r 2 36r , мкКл/м2 (2.32), где значения r берутся
в сантиметрах. Требуется найти q – величину заряда, распределенного по
всему диску.
Дано: R = 6 см; r r 3 12r 2 36r , мкКл/м2.
Найти: q.
Решение:
Выберем на диске элементарную площадку в виде
тонкого кольца радиусом r, 0 ≤ r ≤ R, шириной dr (см. рисунок). На эту элементарную площадку приходится заряд
dq 2 r dr (r) (2.33). Полный заряд на всем диске
находим интегрированием выражения (2.33) с учетом
(2.32). Вынося константы за знак интеграла, получаем:
R
q 2 r r 3 12r 2 36r dr
(2.34)
0
В данном случае имеем дело с интегрированием степенной функции; в
соответствии с правилами интегрирования получаем:
R
q 2 10 r 4 12r 3 36r 2 dr 2 10 4 R 3 0,2R 2 3R 12 , мкКл.(2.35)
4
0
Здесь множитель 10-4 появился при переводе сантиметров выражения rdr в
метры. Подставляя в выражение (2.35) числовые значения при R = 0,06 м, поq 2 104 63 0,2 62 3 6 12 = 0,163 мкКл.
лучаем:
Ответ q = 0,163 мкКл.
95
По диэлектрическому стержню длиной L = 25 см распределен электрический заряд с линейной плотностью (x) (x 2 1) , мкКл/м. Найдите
напряженность электрического поля в точке, лежащей на продолжении оси
стержня на расстоянии 0,8 L от его конца.
Дано: L = 25 см; (x) (x 2 1) , мкКл/м; а = 0,8 L.
Найти: Е.
Решение:
На элемент длины стержня dx
приходится заряд dq = τdx; создаваемое им электрическое поле имеет напряженность в точке наблюдения
k 106 x 2 1 dx
k dq
dE
0,8L x
2
0,8L x
2
(2.36)
Напряженность электрического поля, создаваемого всем стержнем, получаем интегрированием последнего выражения в пределах от 0 до L:
E k 10
6
L
x
2
1 dx
x 0,8L
2
(2.37)
0
В данном случае удобно использовать замену переменной интегрирования: x+0,8L = z; тогда x2+1 = z2−1,6L z+0,64L2+1; тогда с учетом значения
коэффициента k = 9 109 получаем:
1,8L
1, 6L 0, 64L2 1
3
E 9 10 1
(2.38)
dz
2
z
z
0,8L
Последний интеграл распадается на три табличных интеграла; в итоге
получаем
1
1
E 9 103 L 1,6L ln(2, 25) 0.64L2 1
(2.39)
1,8L 0,8L
После подстановки числовых значений (L = 0,25 м) в выражение (2.39),
получаем Е = 2,53∙104 В/м2 = 25,3 кВ/м.
Ответ: Е = 25,3 кВ/м.
Напряженность электрического поля (кВ/м) в некоторой области пространства имеет составляющую вдоль оси x (м), изменяющуюся по закону
(2.40). Найдите разность потенциалов точек
Ex 2arc tg x x
А (x1 = 0) и В (x2 = 1 м).
96
Решение:
Связь между напряженностью и потенциалом электрического поля в
данном случае принимает вид: 1 2
x2
E x dx ; т. е. все дело сводится к
x
x1
интегрированию выражения для напряженности (2.40). Получаем:
1 2
x2
x2
x2
x1
x1
x1
2arc tg x x dx 2 arc tg x dx x dx (2.41). Чтобы найти
первый интеграл, используем метод интегрирования по частям; при этом
arc tgx u, du 1 x 2 ; dx dv, v x . Тогда для первого интеграла
1
2
arc tg x x arc tg x x 1 x dx (2.42). Далее используем замену пере1
менной интегрирования: 1+х2 = z, →dz = 2x dx; получаем тогда
2
x 1 x
1
1
2
dz 1
ln z ln 1 x 2 (2.43). Второй интеграл в (2.41) –
z 2
табличный; таким образом,
1
1
1 2 2arc tg x ln 1 x 2 x 2 2 ln 2 = 0,378 кВ
2 0 4
2
1
(2.44)
Ответ: 1 2 = 0,378 кВ = 378 В.
Определите индукцию магнитного поля В, создаваемого отрезком
прямолинейного проводника с током І
в точке С на расстоянии h от проводника, из которой концы отрезка видны
под углами α1 и α2 (см. рис)
Дано: І, h; α1 и α2.
Найти: В.
Решение:
По закону Био – Савара – Лапласа, индукция магнитного поля dВ, создаваемого элементом тока І dх в точке наблюдения, лежащей на расстоянии
I
r под углом α, выражается формулой dB 0 2 dx sin (2.45). Искомое
4 r
значение индукции В, создаваемое всем отрезком проводника с током, получается в результате интегрирования выражения (2.45). Предварительно выраh d
зим переменные величины х, r через угол α: x h ctg , dx
(2.46);
sin 2
h
(2.47). Тогда вместо (2.45) после элементарных преобразований поr
sin
97
0 I
sin d (2.48). Первообразная для функции (2.48) есть
4 h
cos ; после подстановки пределов интегрирования получаем окончательI
ный ответ: B 0 cos 1 cos 2 .
4 h
лучаем: dB
Длинный прямолинейный проводник с током силой I и проводящий контур в форме трапеции расположены в одной плоскости, причем проводник параллелен
основаниям трапеции (см. рис); все необходимые размеры указаны на рисунке. Определите величину магнитного потока Ф через контур.
Дано: I; a, b, c, d
Найти: Ф
Решение:
По определению, магнитный поток через некоторую поверхность выражается формулой Bn dS (2.49), где Вn – нормальная со-
ставляющая индукция магнитного поля; dS – элементарная площадка на поверхности S. В данном случае, индукция магнитного поля, создаваемого
I
прямолинейным проводником, B 0 , причем линии индукции проходят
2 r
перпендикулярно поверхности, В = Вn. Выделим элементарную площадку на
поверхности контура в виде бесконечно узкой полоски длиной
ba
xa
r c и шириной dr. Тогда величина магнитного потока через
d
d c
0 I
1
ba
a
(r c) dr (2.50). Используя правила интегрироконтур
2 c r
d
d c
d c
0 I
ba
1
ba
a
c dr
dr (2.51). Оба инвания, получаем:
2
d c r
d
c
теграла – табличные; окончательный результат интегрирования можно пред I b a
dc
ставить в виде: 0 a
c ln(
) (b a) (2.52).
2
d
c
98
Задачи для самостоятельного решения
Механика
85. Вал начинает вращение с угловым ускорением, изменяющимся во времени по закону t 2,5 6 1 1,5t 0, 4t 2,3 в течение первых 2 се1
кунд. С какой наибольшей скоростью ωнаиб будет вращаться вал?
(ωнаиб = 4,36 с-1).
86. Ускорение автомобиля изменяется с течением времени (в секундах) по
закону a(t) 2cos(0,1t)cos(0,2t) 4sin(0,1t)sin(0,2 t) , м/с2. Сколько метров
пройдет автомобиль к моменту полной остановки, если его начальная скорость составляла 20 м/с?
(314 м)
87. Автомобиль трогается с места, причем его скорость изменяется по закону
v(t) 3 6 12x x 2 2x 4
0,5
, м/с. Определите закон движения автомоби-
ля, т. е. зависимость пройденного пути от времени.
88. Ускорение прямолинейно движущегося тела изменяется с течением времени по закону a(t) 0,3 0,05t , м/с2. С какой скоростью тело вернётся в
начало координат, где оно покоилось в начальный момент времени?
(1,8 м/с).
89. Тело начинает движение из начала координат с ускорением, которое изменяется по закону a(t) 1.5(4 t) , м/с2. Какова средняя скорость движения
тела до остановки?
(8 м/с).
90. Тело начинает движение с ускорением, которое изменяется по закону
a(t) 0,1sh(4 t) , см/с2. Определите уравнение движения тела, т. е. зависимость перемещения от времени
( s(t) 0,1 ch (4) t sh(t 4) sh(4) , см).
91. Ускорение прямолинейно движущегося тела изменяется с течением времени по закону a(t) (t 1) 1 ln(2) ln(t 1) , м/с2. Через какое время после
начала движения тело остановится? (3 с).
92. Выходное звено механизма движется поступательно с ускорением
a(t) 0,3(t 2 8t 12) , см/с2, совершая рабочий ход в интервале времени
0 ≤ t ≤6 с. Определите перемещение звена в пределах рабочего хода (10,8 см).
93. Ускорение прямолинейного движущегося тела изменяется по закону:
2
a t t 4 t 2 ,м / с2 . Определите закон движения тела, т. е. зависимость координаты от времени x t , если в начальный момент времени и
скорость, и координата тела равны нулю.
99
94. Ускорение прямолинейного движущегося тела изменяется по закону:
a t 2 t 2 t 1 ,м / с2 . Определите среднюю скорость тела за первые
2
8 с движения.
95. Автомобиль трогается с места с ускорением, зависящим от времени по
закону a(t) 2
, м/с2 и двигается прямолинейно. Найдите закон дви-
(1 t )
жения автомобиля x f (t) .
2
96. Скорость точки, движущейся прямолинейно, изменяется с течением времени по закону v(t)
10
, м/с. Насколько успеет переместиться
1 cos(0.2t)
точка за 10 сек движения?
97. Скорость тела (м/с) изменяется в зависимости от пройденного пути (м) по
закону v(s) 5cos(0.01s) . За какое время тело проходит 40 м пути?
98. Скорость тела (м/с) изменяется в зависимости от пройденного пути (м) по
36
закону v( s ) 1 s
. За какое время тело проходит 25 м пути?
1 s
99. Угловое ускорение вала после включения двигателя изменяется по закону
1,5t 2 t 15
t
5,75 , рад/с2. Какова максимальная скорость вращения
1,5t 1
вала?
100. Тело массой 0,2 кг движется прямолинейно под действием силы
F(x) 10x sin(0.1x) , Н. Какова будет скорость тела в точке с координатой
x = 32 м, если в начале координат скорость тела равнялась 0?
101. Материальная точка массой 10 г движется вдоль прямой под действием
силы F, изменяющейся со временем по закону F(t) sin( t ) t cos( t ) .
3
3
В момент времени t = 0 точка находилась в начале координат. Какова будет
скорость точки, когда она снова окажется в начале координат?
102. Движение тела происходит под действием силы, которая изменяется с
течением времени по закону F t 1 20 t 3 25 t 3
2 1,5
, кН. На
сколько изменится импульс тела в интервале времени от 0 до 6 с? (6 кН с)
103. Тело массой 0,2 кг движется прямолинейно под действием силы, изменяющейся с координатой по закону F(x) ln(4) ln(x 1) (x 1) 1 , Н. Какова максимальная скорость тела? ( vmax 10(ln 2)2 ≈ 4,8 м/с).
100
104. Определите закон движения автомобиля массой m при экстренном
торможении на скорости v0, если действующая на него сила трения изменялась в соответствии с выражением F(t) F0 1 b 2 t 2 .
1
105. Вал двигателя начинает вращение под действием прикладываемого
момента M(t) 2t 2t t 2 , кПа. Определите угловую скорость вала через
1 сек после начала движения, если приведенный момент инерции равен
50 кг м2 (35,7 с-1).
106. Движение выходного звена механизма происходит под действием суммарного вращающего момента, изменяющегося в зависимости от угла поворота φ, рад, по закону M() 1 (2 1) 2 2 2 , кН м. Определите за1
висимость кинетической энергии звена от угла поворота, если при φ = 1 рад
кинетическая энергия составляла ровно 1 кДж.
107. Барабан, момент инерции которого І, начинает вращаться под действи2
ем момента силы M(t) a t bt , где a и b < 1 – положительные постоянные.
Определите установившуюся скорость вращения барабана.
108. Вал начинает вращение под действием момента сил, изменяющегося по
2
закону M(t) 6 t 2 1 , Н м. Сколько оборотов успеет сделать вал к
моменту остановки, если приведенный момент инерции механизма составляет 2,5 кг м2?
109. Мощность двигателя, раскручивающего вал механизма с приведенным
моментом инерции J, изменяется во времени по закону
N(t) N 0 1 (t) 2
0,5
, где N0 , − константы. По какому закону изменя-
ется угловая скорость вращения вала?
110. Барабан механизма начинает раскручиваться под действием вращаю-
щего момента, изменяющегося по закону M(t) t 5 exp(0.25t) , Нм.
Суммарный момент инерции вращающихся частей механизма равен 2 кг м2.
С какой частотой будет вращаться барабан через 20 сек?
2
111. При включении двигателя вращающий момент на валу может быть вы1
ражен функцией M(t) 80 4t 1 ln 4t 1 , Нм. Какова частота вращения вала через 2 сек после включения, если приведенный момент инерции
механизма равен 10 кг м2?
112. Найдите момент инерции диска относительно оси симметрии, если радиус равен 10 см, толщина изменяется в зависимости от расстояния от оси по
закону h(r) 0.5 (1 0.15r 2 0.0125r 3 ) , где все линейные размеры указаны
в сантиметрах.
101
113. Найдите момент инерции диска относительно оси симметрии, если радиус равен 15 см, толщина изменяется в зависимости от расстояния от оси по
закону h(r) 0.25 (4 0.0375r 2 0.0025r 3 ) , где все линейные размеры указаны в сантиметрах.
114. Диаметр бревна длиной 6 м изменяется по линейному закону от 20 см
на одном конце до 30 см на другом. Найдите массу бревна, если средняя
плотность древесины 0,6 г/см3.
115. Диаметр однородного бревна длиной 6 м изменяется по линейному закону от 20 см на одном конце до 30 см на другом. Найдите положение центра
масс бревна.
116. Определить положение центра тяжести бревна длиной L = 4 м, диаметр
которого изменяется согласно выражению: d(x) d 0 exp( x) , м. Координата
0 ≤ х ≤ L указана в метрах; плотность древесины считается везде одинаковой.
При окончательном подсчете, принять d0 = 0,4 м и α = 0,05 м-1.
117. Определите массу бревна длиной L = 6 м, диаметр которого изменяется
1 x2
согласно выражению: d(x) d 0 1 c
, м. Координата 0 ≤ х ≤ L указана в
1 x2
метрах; плотность древесины считается везде одинаковой, ρ = 0,64 г/см3. При
окончательном подсчете, принять d0 = 0,25 м и с = 0,1.
118. Толщина стального (плотность 7800 кг/м3) маховика радиусом 0,40 м
изменяется по линейному закону от 50 мм в центре до 20 мм на краю. Определите момент инерции маховика относительно центральной оси, перпендикулярной средней плоскости маховика.
119. Диаметр однородного бревна длиной 6 м изменяется от 20 см на одном
конце до 30 см на другом по линейному закону. Найдите момент инерции
бревна относительно оси, проходящей через его геометрический центр перпендикулярно оси симметрии бревна.
120. Найдите положение (координату хС) центра масс однородного цилиндрического стержня, площадь поперечного сечения которого изменяется
x
вдоль оси х (м) по закону S(x) 5 cos , см2
(хС = 1,622 м).
3
121. Найдите положение (координату хС) центра масс однородного цилиндрического стержня, площадь поперечного сечения которого изменяется
2
вдоль оси х (м) по закону S(x) 10 x x 5 x 1 1 , см2
(хС = 2,07 м).
122. Определите момент инерции однородного диска радиусом 6 см относительно центральной оси (оси вращения), если его толщина изменяется в зависимости от радиальной координаты r по закону h(r) 18(9 r 2 ) 1 , см. Плотность материала диска ρ = 8 г/см3 (0,015 кг м2)
102
123. Найдите момент инерции колеса относительно его оси z, если профиль
поверхности колеса описывается выражением r(z) 10 0.5z 2 0.1z 4 (координата z отсчитывается от плоскости симметрии) а плотность материала постоянная, 8 г/см3.
124. Поплавок имеет форму тела вращения, профиль которого описывается
функцией r(z) 0.1 (1 4z 2 z 3 ) , где все размеры указаны в сантиметрах.
Считая плотность материала поплавка равной 0,2 г/см3, а длину 4 см, найдите
его массу.
125. Плотность звезды изменяется по радиусу согласно аппроксимирующему выражению (r) 0,002 0 0,0022 ( r ) 2
r0
0,5
, где 0 , r0 - плотность
вещества в центре звезды и радиус фотосферы предполагаются известными.
Определите массу звезды в пределах радиуса фотосферы, считая её сферически симметричной.
126. Определите положение центра масс детали в виде полукруга радиусом
R постоянной толщины d и плотности ρ.
127. Найдите деформацию (растяжение) однородного стержня длиной 3 м, в
котором под действием внешней нагрузки нормальное напряжение вдоль оси
распределено по закону (z) 20 (4 0.5z 2 0.05z 4 ) , где продольная координата выражена в метрах, а нормальное напряжение – в МПа. Модуль Юнга
равен 2∙105 МПа.
128. Найдите деформацию (растяжение) однородного стержня длиной 1 м, в
котором под действием внешней нагрузки нормальное напряжение вдоль оси
распределено по закону (z) 10 (2 0.25z 2 ) , где продольная координата
выражена в метрах, а нормальное напряжение – в МПа. Модуль Юнга равен
2 105 МПа.
129. Угол поворота некоторого сечения вала под действием вращающего
момента определяется формулой kMz , где k –константа, зависящая от
материала и размеров сечения. Считая, что левый торец вала закреплен,
найдите угол поворота правого сечения вала длиной L м в случае, когда вращающий момент распределен по длине вала по закону
M(z) M 0 z sin(z ) .
L
L
130. Труба газопровода с внешним диаметром 1560 мм проходит по дну реки на глубине 20 м, ровно на половину погруженная в речной песок. Определите силу гидростатического давления, действующую на 1 погонный метр
трубы в указанных условиях.
131. На дне моря, на глубине 500 м, лежит цилиндрический корпус подлодки, радиус которого 2,5 м, а длина 20 м. Корпус наполовину погрузился в
103
грунт. Какова сила гиростатического давления на корпус? (плотность морской воды 1,03 г/см3).
132. Определите силу гидростатического давления на купол подводной лаборатории, имеющий форму шарового сегмента радиусом R = 20 м и углом
раскрыва α0 =450 и находящийся на глубине H = 250 м. Плотность морской
воды ρ = 1031 кг/м3
(1,48∙109 Н).
133. Определите силу гидростатического давления на рубку глубоководного
подводного аппарата, имеющую форму шарового сегмента радиусом 1,5 м и
углом раскрыва 750, когда он находится на глубине 2500 м (плотность морской воды ρ = 1031 кг/м3).
(89,3 МН).
134. Крышка люка, через которую сливается вода из бассейна, имеет форму
сферического сегмента радиусом 0,8 м и углом раскрыва 300. Какая сила гидростатического давления действует на крышку, когда уровень воды в бассейне достигает 4 м?
(16,5 кН).
135. Определите силу гидростатического давления на
крышку люка размером L L , расположенную под водой на глубине H под углом α к вертикали (см. рис)
136. Определите момент сил гидростатического давления, действующих на крышку люка размером L L,
расположенную под водой на глубине H под углом α к
вертикали относительно оси вращения в точке О.
Идеальный газ
137. Выведите формулу для вычисления работы ν молей идеального газа
при изотермическом расширении в n раз; начальное состояние газа характеризуется температурой Т1.
138. Идеальный двух атомный газ расширяется от объёма 0,25 л до объёма
0,8 л без теплообмена с окружающей средой. Определите работу, которую
совершает газ в этом процессе, если в начальном состоянии он находился под
давлением 2 МПа
(465 Дж).
139. Газ расширяется от объёма V1 = 0,5π л, до объёма V2 = π л в некотором
1
процессе, описываемом выражением p(V) 0,8 1 cos V , МПа.
2
Определите работу газа в этом процессе
(800 Дж).
140. Выведите формулу для вычисления работы газа в политропном процессе, описываемом уравнением p p1V1n V n , где p1, V1 – давление и объем газа
в некотором начальном состоянии, n – показатель политропы.
141. Процесс расширения газа от 0,2 м3 до 0,4 м3 описывается выражением
1 x
, МПа. Какую работу совершает газ при этом? (600 кДж).
p(V) 2
2x x 2
104
142. Давление идеального газа изменяется по закону p(T) p0 eT , где
p0 , - некоторые константы. Какую работу совершает газ, если его температура в этом процессе изменяется от T1 до T2> T1.
143. Температура 0,25 моль идеального газа, К, в некотором процессе при
изменении объёма от 1 до 2 м3 выражается формулой:
V2 V 2
. Какую работу совершает газ при этом?
T V 200 2
V 2V 2
(492 Дж).
144. Процесс расширения газа от 1 до 3 м3 сопровождается изменением дав
1
ления в соответствии с выражением: p(V) 100 1
, кПа. Опре2
1 V 1
делите работу, совершаемую газом в этом процессе.
(311 кДж).
145. Определите работу, совершаемую газом при расширении от 6 до 10 м3,
если его давление изменяется в этом процессе в соответствии с формулой
1
(0.6 МДж).
p(V) 0,5V V 7,5 25 , МПа.
146. Какую работу совершит газ при изменении объёма от 3 до 6 м3 в неко
тором процессе, описываемом формулой p(V) 25 5 cos V , кПа?
3
(375 кДж).
2
147. Баллон объёмом 50 л, содержащий газ азот, нагрелся от 7 до 470С. Пренебрегая тепловым расширением стенок баллона, определите изменение энтропии газа.
148. Для идеального двухатомного газа в количестве 0,4 моль зависимость
температуры от объема газа в некотором процессе представлена выражением
T V 280 1 V 2 0,15V 3 , К. Найдите изменение энтропии газа в этом
процессе при изменении объема от 1 до 4 м3.
(16,1 Дж/К).
149. Для идеального двухатомного газа в количестве 0,8 моль зависимость
температуры от объема V в некотором процессе представлена выражением
T V 310 1 1,25V 0,25V 2 , К. Найдите изменение энтропии газа в этом
процессе при изменении объема от 1 до 3 м3.
(11,0 Дж/К).
150. Для идеального двухатомного газа в количестве 1 моль зависимость
объема от температуры в некотором политропном процессе представлена
выражением V(T) 0,1 T 0,4 , м3. Найдите изменение энтропии газа в этом
процессе при изменении температуры от 300 до 600 К
(16,7 Дж/К).
151. Для идеального трехатомного газа в количестве 2 моль зависимость
объема от температуры в некотором политропном процессе представлена
выражением V(T) 0,1 T 0,8 , м3. Найдите изменение энтропии газа в этом
процессе при изменении температуры от 280 до 700 К
(57,9 Дж/К).
105
152. Для идеального одноатомного газа в количестве 4 моль зависимость
объема от температуры в некотором политропном процессе представлена
выражением V(T) 0,25 T 0,5 , м3. Найдите изменение энтропии газа в этом
процессе при увеличении температуры в два раза
(23,05 Дж/К).
153. Для идеального одноатомного газа в количестве 5 моль зависимость
объема от температуры в некотором политропном процессе представлена
T
1 , м3. Найдите изменение энтропии газа в
выражением V(T) 0,5
320
этом процессе при увеличении температуры от 320 до 480 К
(29,7 Дж/К).
Электричество и магнетизм
154. По диэлектрическому стержню длиной L = 10 см распределён электрический заряд с линейной плотностью τ = 5 мкКл/м. Найдите напряженность
электрического поля в точке, лежащей на продолжении оси стержня на расстоянии 10 см от его конца.
155. По диску радиусом R = 3 см распределен электрический заряд, причем
поверхностная плотность заряда изменяется по радиусу диска в соответствии
с выражением r 8 ln(r 1) 0,2r , мкКл/м2 где значения r берутся в сантиметрах. Требуется найти q – величину заряда, распределенного по всему
диску.
(15 нКл).
156. По диску радиусом R = 5 см распределен электрический заряд, причем
поверхностная плотность заряда изменяется по радиусу диска в соответствии
с выражением r 5 2 ln(r 1) (t 1) 1 , мкКл/м2 где значения r берутся
в сантиметрах. Требуется найти q – величину заряда, распределенного по
всему диску.
(7,135 нКл).
157. По диэлектрическому стержню длиной L = 50 см распределен электрический заряд с линейной плотностью (x) (1, 25 x arcsin x) x , мкКл/м.
Найдите потенциал электрического поля в точке, лежащей на продолжении
оси стержня на расстоянии а = 50 см от его конца (232 В).
158. По диэлектрическому стержню длиной L распределен электрический
заряд с линейной плотностью (x) (x 2 1) , мкКл/м. Найдите напряженность электрического поля в точке, лежащей расстоянии 0,8 L от стержня на
перпендикуляре, восстановленном в его центре.
159. Точечный электрический заряд расположен на расстоянии d от проводящей бесконечной плоскости. Найдите величину индуцированного на поверхности заряда в пределах кольца с внутренним и внешним радиусами r и
R соответственно.
106
160. Определите распределения потенциала вдоль оси х, 0 ≤ х ≤ 0,8 мм, в
области, занятой электрическим полем, напряженность которого изменяется
2
по закону E(x) 10 sin x cos 2x , кВ/м.
161. Определите распределения потенциала вдоль оси х, 0 ≤ х ≤ 6 мм, в области, занятой электрическим полем, напряженность которого изменяется по
закону E(x) E 0 16 6x x 2
0,5
, кВ/м.
162. Напряженность электрического поля в некоторой области пространства
имеет составляющую вдоль оси x (см), изменяющуюся по закону
E x (1 0.25x 0.01x 2 ) 1 , кВ/м. Найдите разность потенциалов точек
А (x = 0) и В (x = 25 см)
163. Напряженность электрического поля в некоторой области пространства
имеет составляющую вдоль оси x (мм), изменяющуюся по закону
1
E x 1 cos(x 2) 1 , кВ/м. Найдите разность потенциалов точек
А (x = 0) и В (x = 4 мм)
164. Напряженность электрического поля (кВ/м) в некоторой области пространства имеет составляющую вдоль оси x (см), изменяющуюся по закону
E x (1 x
36 1
) . Найдите разность потенциалов точек А (x = 0) и
1 x
В (x = 18 см).
165. По диску радиусом R = 2 см распределён электрический заряд, причём
поверхностная плотность заряда изменяется вдоль радиальной координаты
по закону r 2 r 2 2r 2
1
, мкКл/м2, где значения r задаются в санти-
метрах. Требуется определить величину q заряда на диске.
166. Ширина кольца 2 см; средний радиус равен 3 см; распределение заряда
по кольцу даёт формула r 42 4 r 2
r
2
2r 4 , мкКл/м2. Требует2
ся найти заряд кольца q (0,75 нКл).
167. По диску радиусом R = 1 см распределён электрический заряд, причём
поверхностная плотность заряда изменяется вдоль радиальной координаты
по закону r 20 1 r 2
1
, мкКл/м2, где значения r задаются в сантимет-
рах. Требуется определить величину q заряда на диске (2,43 нКл).
168. Шар из диэлектрика радиусом R = 8 мм заряжен, причем объёмная
плотность электрического заряда изменяется вдоль радиуса шара по закону
(r) 100 sin(0, 25r 1) , мкКл/м3, причем значения r указывается в миллиметрах. Требуется найти заряд всего шара (0,155 нКл).
169. Диэлектрический шар заряжен с объемной плотностью электрического
заряда, изменяющейся вдоль радиуса по закону (r) sin(0,1 r) (r 1) 2 .
107
Здесь ρ выражается в мкКл/м3 и r в см. Определите заряд шара радиусом
10 см.
170. Определите величину электрического заряда шарового слоя, заключенного между сферами радиусов R1 = 0,2 см и R2 = 1,0 см, если объемная плотность электрического заряда изменяется вдоль радиуса в соответствии с выражением: r (r 2 4r 3)(r 4 2r 3 2r 2 ) 1 , мкКл/м3; при этом r выражается в сантиметрах.
171. Поверхностная плотность электрического заряда на поверхности полусферы выражается формулой () 0 cos() , где полярный угол изменяется в пределах от 0 до 900. Найдите величину заряда на поверхности полусферы.
172. Найдите поток вектора напряженности электрического поля через диск
радиусом R , если электрическое поле создается точечным зарядом q, расположенным на оси диска на расстоянии h от его плоскости.
173. Напряженность электрического поля в проекции на ось x описывается
функцией Ex E0x ln(kx 1) . Вдоль положительного направления этой оси
двигается заряженная частица массой m и зарядом q , скорость которой в
точке x1 равна v1. Какова будет скорость частицы в точке с координатой x2?
174. Найдите потенциал электрического поля на оси диска радиусом 0,4 см,
по которому равномерно распределен электрический заряд с поверхностной
плотностью σ = 1 мкКл/м2 на расстоянии 0,3 см от его поверхности.
175. Диэлектрический шар радиусом R заряжен с объемной плотностью
электрического заряда, изменяющейся вдоль радиуса по закону (r) 0e ax .
Определите зависимость напряженности электрического поля Е(r) от расстояния r » R от центра шара.
176. Сила тока в электрической цепи изменяется по закону i(t) 2sin( t ) ,
6
А. Какой заряд пройдет по цепи за первые 8 с?
6
(3,3 Кл).
177. По электрической цепи проходит импульс тока, описываемый функцией i(t) 50 sin 3 ( t) , А. Какой заряд пройдет по цепи за первые 2 сек?
178. Какой заряд пройдет по цепи за 40 сек, если сила тока в этой цепи из1
2
меняется по закону i(t) 10 0,025t 1 , А?
(314 Кл).
179. По электрической цепи проходит импульс тока, описываемый функцией i(t) t 2 1
2
0,5
, А. Какой заряд пройдет по цепи за первые 4 сек?
(2,887 Кл).
180. Какой заряд пройдет по цепи за 1 сек, если сила тока в этой цепи изменяется по закону i(t) arc tg t 0,5t , А?
108
181. Сила тока в электрической цепи изменяется по закону: i(t) 2t sin(t) .
Какой заряд пройдет по цепи за первые 2 с?
182. Сила тока (амперы) через конденсатор ёмкостью 2 мкФ изменяется с
течением времени (микросекунды) по закону i(t) 1,2 exp(0,75t) . Определите максимальное напряжение, до которого может зарядиться конденсатор,
если в начальный момент он не был заряжен
(6,4 В).
183. Через конденсатор ёмкостью 0,5 мкФ проходит импульс тока, описываемый выражением: i(t) 0,4 exp(0,5t) exp( t) , А, где время указывается
в микросекундах. Определите закон изменения напряжения на конденсаторе,
если в начальный момент времени он не был заряжен.
184. Конденсатор ёмкостью 0,05 мкФ заряжается при прохождении импульса тока, описываемого выражением i(t) 0,2 exp(0,25t) exp( t) , А, где
время указывается в микросекундах. До какого максимального напряжения
может зарядиться конденсатор?
(12 В).
185. Напряжение на катушке с индуктивностью 0,1 Гн изменяется с течением времени (миллисекунды) по закону u(t) 50exp(0,4t) , В. Определите
максимальное значение силы тока через катушку
(1,25 А).
186. Сила тока в электрической цепи изменяется по закону i(t) 2t sin(t) .
Какое количество теплоты выделится на сопротивлении 10 Ом за 2 с?
187. Импульс тока длительностью 2 с проходит через резистор сопротивлением 10 Ом. Какое количество теплоты выделяется в резисторе, если импульс описывается функцией i(t) 0.5 sin( t) , А.
188. Импульс тока в цепи с сопротивлением 10 Ом описывается функцией
1 t2
, А. Какова средняя мощность, рассеиваемая в этой цепи?
i(t)
1 t2
(5,7 Вт).
189. Импульс тока в цепи с сопротивлением 0,2 Ом описывается функцией
i(t) 16 t 2 16
0,5
за первые 5 с?
, А. Какова средняя мощность, рассеиваемая в этой цепи
(2,29 Вт).
190. Импульс тока в цепи с сопротивлением 5 Ом описывается функцией
t
i(t) 2sin( ) 1 , А. Определите количество теплоты, выделяющееся в
6
6
цепи за первые 8 с.
(169,6 Дж).
191. Через резистор с сопротивлением 5 Ом проходит ток, сила которого
изменяется с течением времени (секунды) по закону i(t) 0,5exp(0,2t) , А.
Какое количество теплоты выделяется в резисторе за первые 8 с?
(3 Дж).
109
192. Через участок цепи, содержащий конденсатор ёмкостью С, протекает
ток, сила которого изменяется по закону: i(t) I m t sin (t) . Определите закон изменения напряжения на конденсаторе.
193. Через участок цепи, содержащий конденсатор ёмкостью С, протекает
ток, сила которого изменяется по закону: i(t) Imet sin(t) . Определите закон изменения напряжения на конденсаторе.
194. Напряжение, подаваемое на вход интегрирующей цепочки, изменяется
со временем по закону u1 (t) U 0 2 t t 2 2t 2
1,5
, В. Определите закон
изменения напряжения u2(t) на выходе интегрирующей цепочки.
195. Напряжение на индуктивности изменяется с течением времени по закону: u L U0 sin(t) 1 sin(3t) 1 sin(5t) , В, где U0 и ω – некоторые
3
5
постоянные величины. Определите закон изменения силы тока через индуктивность.
196. Напряжение на индуктивности (L) изменяется с течением времени по
закону: u L U0 sin(t) t cos(t) , В, где U0 и ω – некоторые постоянные
величины. Определите закон изменения силы тока через индуктивность.
197. Напряжение на индуктивности (L) изменяется с течением времени по
закону: u L U 0 x 2 4x 3 x 2 2x 2 , В, где U0 – некоторая постоянная
1
величина. Определите закон изменения силы тока через индуктивность.
198. Рамка с током силой 10 А имеет форму правильного треугольника со
стороной 10 см. Найдите напряженность магнитного поля в вершинах треугольника.
199. Рамка с током силой 5 А имеет форму квадрата со стороной 20 см.
Найдите индукцию магнитного поля в точке пересечения диагоналей.
200. Бесконечный прямолинейный проводник с током силой 20 А согнут
под углом 600. Найдите индукцию магнитного поля в точке, лежащей на продолжении одной из сторон на расстоянии 10 см от вершины.
201. Бесконечный прямолинейный проводник с током силой 20 А согнут
под углом 600. Найдите индукцию магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе угла на расстоянии 10 см от вершины.
202. Два длинных параллельных проводника диаметром 8 мм расположены
на расстоянии 40 см друг от друга; по проводникам
в противоположных направлениях протекают токи
50 А. Определите магнитный поток на 1 погонный
метр поверхности между проводниками
(92,3 мкВб).
110
203. Два длинных параллельных проводника диаметром 4 мм расположены
на расстоянии 18 см друг от друга; по проводникам в противоположных
направлениях протекают токи 10 А (см. рис.4.1 ). Определите магнитный поток на 1 погонный метр поверхности между проводниками
(18,0 мкВб).
204. Два длинных параллельных проводника диаметром 6 мм расположены
на расстоянии 40 см друг от друга; по проводникам в противоположных
направлениях протекают токи 20 А. Определите среднее значение индукции
магнитного поля в пространстве между проводами
(98,0 мкТл).
205. Два длинных параллельных проводника диаметром 6 мм расположены
на расстоянии 16 см друг от друга; по проводникам в противоположных
направлениях протекают токи 50 А. Определите среднее значение индукции
магнитного поля в пространстве между проводами
(0,5 мТл).
206. Замкнутый проводящий контур с током силой 2 А имеет форму правильного шестиугольника со стороной 5 см. Найдите напряженность магнитного поля в центре контура.
207. Определите величину магнитного потока, пронизывающего поверхность в виде плоского кольца с внутренним радиусом 3 мм и внешним радиусом 5 мм, если магнитное поле симметрично относительно оси диска и опре1
деляется выражением B(r) 0,12 r 1 , Тл, (радиальная координата r указана в миллиметрах), а линии магнитной индукции перпендикулярны поверхности
(1,20 мкВб).
208. Определите величину магнитного потока, пронизывающего поверхность в виде диска радиусом 3 мм, если магнитное поле симметрично относительно оси диска и определяется выражением B(r) 0,1 r 2 2r 4
0,5
, Тл,
(радиальная координата r указана в миллиметрах), а линии магнитной индукции перпендикулярны поверхности
(1,37 мкВб).
209. Определите магнитный поток через прямоугольную площадку, ширина и положение которой относительно бесконечного прямолинейного проводника с
током I = 40 А определяется углами α1 = 450 и α2 = 150
(см. рис.). Площадка параллельна проводнику, её протяженность вдоль проводника L = 0,2 м
(0,5 мВб).
210. Определите магнитный поток через прямоугольную площадку, ширина
и положение которой относительно бесконечного прямолинейного проводника с током I = 50 А определяется углами α1 = 600 и α2 = 150 (см. рис.). Площадка параллельна проводнику, её протяженность вдоль проводника
L = 0,12 м
(0,79 мкВб).
111
211. Определите магнитный поток через прямоугольную площадку, ширина
и положение которой относительно бесконечного прямолинейного проводника с током I = 50 А определяется углами α1 = 750 и α2 = 150 (см. рис.). Площадка параллельна проводнику, её протяженность вдоль проводника
L = 0,16 м
(2,11 мкВб).
212. Плоская катушка представляет собой кольцо с внутренним диаметром
d и внешним диаметром D, толщина которого h << d. Катушка содержит N
витков тонкой ленты, полностью заполняющей объем катушки. По ленте
протекает ток силой I. Найдите индукцию магнитного поля в центре катушки.
213. При распространении электромагнитного излучения в поглощающей
среде с объемным коэффициентом поглощения α(х) оптическое расстояние τ
x
определяется выражением x d . Найдите выражение для оптиче0
ского расстояния τ(х) в случае, когда коэффициент поглощения изменяется
по закону x 4 ln(1 x) , м-1.
214. Найдите выражение для оптического расстояния τ(х) в случае, когда
коэффициент поглощения изменяется по закону x a ch(bx) , м-1.
215. Найдите выражение для оптического расстояния τ(х) в случае, когда
коэффициент поглощения изменяется по закону x a ch 2 (bx) , м-1.
216. Определите оптическое расстояние τ до объекта, удаленного от наблюдателя на 3 м в поглощающей среде с объемным коэффициентом поглощения
x 3,75 x 2 3 , м-1
1
(0,756).
217. Определите оптическое расстояние τ до объекта, удаленного от наблюдателя на 4 м в поглощающей среде с объемным коэффициентом поглощения, м-1
(0,756).
218. Видимость в тумане (расстояние, на котором ещё можно наблюдать
удаленные предметы) соответствует условию: оптическое расстояние равно
1. Какова видимость в случае, когда коэффициент поглощения выражается
формулой (x) 40 x 2 12 , км-1 , где х выражается в км
1
(6 км).
219. Видимость в тумане (расстояние, на котором ещё можно наблюдать
удаленные предметы) соответствует условию: оптическое расстояние равно
1. Какова видимость в случае, когда коэффициент поглощения выражается
формулой (x) 0,5 sin x 1 , км-1 , где х выражается в км
1
(3,14 км).
112
220. Видимость в тумане (расстояние, на котором ещё можно наблюдать
удаленные предметы) соответствует условию: оптическое расстояние равно
1. Какова видимость в случае, когда коэффициент поглощения выражается
1
формулой (x) 0,5x x 2 9 , км-1 , где х выражается в км
(4 км).
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение модуля
«Математические методы решения физических задач»
а) Основная:
1. Вычислительная математика в примерах и задачах. Изд-во: «Лань»,
2009, -368с. (http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=178&pl1_id=198).
б) дополнительная литература:
1. Григорьев Ю.М., Муравьёв В.М., 50 олимпиадных задач по физике
[Текст] / А. П. Кузнецов [и др.] ; ил. С. П. Кузнецова. - Саратов : Науч. кн.,
2006. - 60 с.
2. Экзаменационные и олимпиадные варианты задач по электродинамике
2000-2007 гг. [Текст] : учеб. пособие / В. А. Володин [и др.] ; Новосиб.
гос. ун-т, Физ. фак. - Новосибирск : [б. и.], 2007. – 113 с.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
http://edu.of.ru/svb/default.asp
http://www.exponenta.ru/educat/systemat/levitsky/index.asp
http://www.ph4s.ru/book_mat_matphys.html
http://www.resolventa.ru/uslugi/uslugistudentam.htm
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
Для изучения модуля ММРФЗ необходима обычная аудитория и простейшая вычислительная техника (калькулятор).
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО № 788 от
22.12.2009 г. с учетом рекомендаций и Примерной ООП ВПО по направлению и профилю подготовки Педагогическое образование профиль «Физика и
информатика»
113
Автор доцент кафедры ФиМИТ, к. т. н., Васильев Александр Евгеньевич
____________________________________
Программа одобрена на заседании кафедры физики и методикоинформационных технологий от 9 марта 2011 года, протокол № 9.
Подписи:
Зав. кафедрой
Декан факультета/Директор Института (факультет/Институт, где разрабатывалась программа)
Декан факультета/Директор Института (факультет/Институт, где реализуется
программа)
114
