Примеры решения транспортных задач

Национальный Технический Университет Украины «КПИ»
Реферат
Тема:
РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ МЕТОДАМИ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ.
Часть II (примеры)
Выполнил: Дрюк Я.А.
Проверил: Яганов П.О.
КИЕВ 2001
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОГЛАВЛЕНИЕ ................................................................................................................................................ 1
Пример № 1.Транспортная задача закрытого типа без ограничений пропускной способности,
представленная в матричной форме ..................................................................................................... 1
Пример № 2.Транспортная задача закрытого типа, представленная в сетевой форме, без ограничений
пропускной способности ....................................................................................................................... 7
Пример № 3.Транспортная задача закрытого типа, представленная в матричной форме, с
ограничениями пропускной способности ............................................................................................ 9
Пример № 4.Транспортная задача открытого типа, представленная в матричной форме без ограничений
пропускной способности ..................................................................................................................... 13
Пример № 5. ................................................................................................................................................... 19
ЛИТЕРАТУРА ............................................................................................................................................... 25
Пример № 1.
Транспортная задача закрытого типа без ограничений пропускной способности, представленная в матричной форме
На 4 станциях имеется избыток пустых вагонов в размере соответственно 100, 120, 150 и 50 вагонов. Необходимо
распределить данные вагоны по 7 станциям с недостатком порожняка (соответственно 70, 50, 60, 30, 50, 70 и 90 вагонов). Расстояние между каждой станцией отправления (избытка вагонов) и каждой станцией назначения (недостатка порожняка) представлено в виде матрицы (табл.1). Необходимо составить план распределения вагонов между
указанными станциями с минимальным суммарным пробегом пустых вагонов.
Таблица 1
Исходные данные транспортной задачи
Станция от- Избыток
правления
пустых
вагонов
Станция назначения
5
6
7
8
9
10
11
Недостаток пустых вагонов
1
2
3
4
100
120
150
50
70
50
60
30
50
70
90
15
23
28
13
12
16
21
X1,5
X1,6
X1,7
X1,8
X1,9
X1,10
X1,11
24
17
24
11
11
12
18
X2,5
X2,6
X2,7
X2,8
X2,9
X2,10
X2,11
8
19
16
18
9
17
15
X3,5
X3,6
X3,7
X3,8
X3,9
X3,10
X3,11
12
28
18
16
21
20
25
X4,5
X4,6
X4,7
X4,8
X4,9
X4,10
X4,11
Разработка плана перевозок означает, что необходимо указать, сколько пустых вагонов каждая станция отправления
должна отправить в адрес каждой станции назначения. В верхних левых углах каждой клетки вышеприведенной
таблицы указано расстояние перевозки вагонов (или другой показатель критерия оптимизации) cij, в нижних правых
углах – количество вагонов xij.
Это задача закрытого типа, так как суммарное количество избыточных пустых вагонов равно суммарному количеству
требующихся вагонов (420 = 420).
Математическая модель задачи будет представлена следующим образом.
Целевая функция (суммарный пробег пустых вагонов) определяется по формуле:
1
Система ограничений
где ai – ресурсы i-й станции отправления; bj – потребность j-й станции назначения.
Для решения задачи необходимо построить исходный опорный план перевозок,
который в дальнейшем будет подвергаться корректировке.
Методы построения исходного опорного плана перевозок
Исходный опорный план перевозок может быть построен различными методами.
Здесь приводятся наиболее распространенные из них.
Метод северо-западного угла (диагональный). Построение начального опорного
плана начинается с левой верхней клетки (называемой северо-западным углом) матрицы и продолжается, двигаясь
далее вправо по строке и вниз по столбцу (табл. 2).
Таблица 2
Исходный опорный план, построенный методом северо-западного угла
Станция от- Избыток
правления
пустых
вагонов
Станция назначения
5
6
7
8
9
10
11
Недостаток пустых вагонов
70
50
60
30
50
70
90
1
100
15
70
23
30
28
13
12
16
21
2
120
24
17
20
24
60
11
30
11
10
12
18
3
150
8
19
16
18
9
40
17
70
15
40
4
50
12
28
18
16
21
20
25
50
Значение целевой функции составит
· 60 + 11 · 30 + 11 · 10 + 9 · 40 + 17 · 70 + 15 · 40 + 25· 50 = = 7360 ваг-км
Метод минимального элемента. Построение начального опорного плана начинается с клетки, имеющей минимальное
расстояние перевозки в таблице. Эта клетка исключается из дальнейшего рассмотрения матрицы, потом заполняется
клетка с очередным минимальным элементом и т.д. (табл. 3).
Таблица 3
Исходный опорный план, построенный методом “минимального элемента”
Станция от- Избыток пу- Станция назначения
правления
стых ваго5
6
7
8
9
нов
10
11
Недостаток пустых вагонов
70 50
60
30
50
70
90
1
100
15 23
30
28
10
13
12
16
21
60
2
120
24 17
20
24
11
30
11
12
70
18
3
150
8
19
70
16
18
9
50
17
15
30
4
50
12 28
18
16
21
20
25
2
50
Значение целевой функции составит
L = 23 · 30 + 28· 10 + 21· 60 + 17· 20 + 11· 30 + 12· 70 + 8 · 70 + 9· 50 + 15· 30 + 18· 50 = 6100 ваг-км.
Метод наименьшего критерия в столбце. Построение начального опорного плана начинается с клетки с минимальным расстоянием перевозки в столбце и далее по столбцу (табл. 4).
Таблица 4
Исходный опорный план, построенный методом наименьшего критерия в столбце
Значение целевой функСтанция от- Избыток Станция назначения
ции
составит
правления
пустых
6
7
8
9
10
11
L =
16· 60 + 21· 40 + 17· 50 +
вагонов 5
11·
30 + 11· 30 + 12· 10 + 8·
Недостаток пустых вагонов
70 +
16· 60 + 9· 20 + 25· 50 =
6380
ваг-км.
70
50
60
30
50
70
90
Метод наименьшего критерия
1
100
15
23
28
13
12
16
21
в
строке.
Построение
60
40
начального опорного плана
начинается с клетки с ми2
120
24
17
24
11
11
12
18
нимальным расстоянием пе50
30
30
10
ревозки в строке и далее по
строке (табл. 5).
3
150
8
19
16
18
9
17
15
Таб70
60
20
лица 5
Исходный опорный план, по4
50
12
28
18
16
21
20
25
строенный
методом
50
наименьшего критерия в
строке
Станция от- Избыток
правления
пустых
вагонов
Станция назначения
5
6
7
8
9
10
11
Недостаток пустых вагонов
70
50
60
30
50
70
90
1
100
15
20
23
28
13
30
12
50
16
21
2
120
24
17
50
24
11
11
12
70
18
3
150
8
50
19
16
10
18
9
17
15
90
4
50
12
28
18
50
16
21
20
25
Значение целевой функции составит
L = 15· 20 + 13· 30 + 12· 50 + 17· 50 + 12· 70 + 8· 50 + 16· 10 +15· 90 + 18· 50 = 5790 ваг-км.
Метод двойного предпочтения. Сначала просматривают все строки матрицы и в каждой из них (строк) отмечают
элемент с минимальной стоимостью (*). Затем просматривают столбцы и также отмечают в них элемент с минимальной стоимостью (+). В клетки с двумя знаками помещают максимально возможные перевозки. Затем заполняются
клетки, отмеченные один раз и клетки с возможно меньшей стоимостью (табл. 6).
Таблица 6
Исходный опорный план, построенный методом двойного предпочтения
Станция от- Избыток
правления
пустых
вагонов
Станция назначения
5
6
7
8
9
10
11
Недостаток пустых вагонов
1
100
70
50
60
30
50
70
90
15
23
30
28
10
13
12 *
16
21
60
3
2
120
24
3
150
4
50
17 +
20
24
11
*+
30
11 *
12 +
70
18
8
* 19
+
70
16 +
18
9 +
50
17
15 +
30
12 *
18
50
16
21
20
25
28
Значение целевой функции составит
L = 23· 30 + 28· 10 + 21· 60 + 17· 20 + 11· 30 + 12· 70 + 8· 70 + 9· 50 + 15· 30 + 18· 50 = 6100 ваг-км.
Более подробно эти методы рассмотрены в.
Как видно из приведенных расчетов наименьшее значение целевой функции (суммарный пробег пустых вагонов) получено при построении начального опорного плана методом наименьшего критерия в строке (L = 5790 ваг-км). Так
как целью данной задачи является получение минимального суммарного пробега пустых вагонов, то для дальнейшего рассмотрения выбирается исходный опорный план, построенный именно этим методом.
Наиболее известным методом решения транспортных задач закрытого типа является метод потенциалов, разработанный академиками Л.А. Канторовичем и М.В. Говуриным.
Алгоритм решения транспортной задачи закрытого типа, представленной в матричной форме, без ограничений пропускной способности методом потенциалов
1. Исходный опорный план проверяется на условие «вырождения».
Согласно теореме Данцига количество занятых клеток в оптимальном плане не должно превышать суммарного числа
строк и столбцов (суммы количества пунктов отправления и назначения):
Кз = m + n – 1 ,
(6)
где Кз – число занятых клеток; m – число строк матрицы (пунктов отправления); n – число столбцов (пунктов назначения).
Естественно, этому же условию должен отвечать исходный опорный план. Если это условие не выполняется, то исходный опорный план составлен неверно.
Если Кз = m + n – 1 , задача решается обычным порядком.
Если Кз < m + n – 1 , задача называется «вырожденной» и распадается на несколько самостоятельных задач. Чтобы
этого избежать, назначаются дополнительные фиктивные перевозки (перевозки равные 0). В нашем примере условие «вырождения» выполняется во всех случаях (К з ? 10), однако, в случае построения начального опорного плана
методом наименьшего критерия в строке, задача является «вырожденной» (9<10). Для устранения “вырождения”
назначаем фиктивную перевозку в клетку на пересечении строки 2 и столбца 9 (табл. 7). Теперь количество занятых
клеток равно сумме строк и столбцов.
4
Таблица 7
Скорректированный исходный опорный план, построенный методом наименьшего критерия в строке
Станция от- Избыток
правления
пустых
вагонов
Станция назначения
5
6
7
8
9
10
11
Недостаток пустых вагонов
70
50
60
30
50
70
90
1
100
15
20
23
28
13
30
12
50
16
21
2
120
24
17
50
24
11
11
0
12
70
18
3
150
8
50
19
16
10
18
9
17
15
90
4
50
12
28
18
50
16
21
20
25
2. Одной из строк присваивается произвольный потенциал. Удобнее всего начать со строки, имеющей наибольшее
число занятых клеток, а величину потенциала выбрать больше, чем любое расстояние (или другой показатель критерия оптимизации) в матрице условий.
Экономическая сущность метода потенциалов. Предположим, что в каком-либо пункте отправления, например
“1”, стоимость единицы продукции равняется 100 условным единицам. Тогда в пунктах потребления “5”, “8”, “9” стоимость единицы продукции, с учетом стоимости перевозки, будет соответственно равна 100 + 15 = 115, 100 + 13
=113, 100 + 12 =112 условным единицам. Пункт потребления “5” также “связан” с пунктом производства “3” (табл.
8), поэтому он может получать продукцию по своей цене. Тогда стоимость продукции в пункте “3”, с учетом стоимости доставки, будет составлять 115 – 8 = 107 условных единиц и т.д. Стоимости, найденные таким образом для всех
пунктов, носят условный характер и называются потенциалами. В дальнейшем, потенциалы строк будут обозначаться Ui , а потенциалы столбцов – Vj.
В примере присваивается потенциал первой строке U1 = 100 (табл.8).
Таблица 8
План перевозок пустых
вагонов (начальный)
Начальное значение целевой функции составит
Lнач = 15· 20 + 13 · 30 +
12· 50 + 17· 50 + 11· 0 +
12· 70 + 8· 50 + 16· 10
+15· 90 + 18· 50 = 5790
ваг-км.
3. Через занятые клетки
определяются потенциалы
столбцов,
связанных
с
первой строкой по формуле
Vj = Ui + cij,
(7)
где cij – критерий расстояния (или другой показатель критерия оптимизации) в заданной клетке.
4. Через занятые клетки определяются потенциалы строк, связанных со столбцами, получившими потенциал, по
формуле
Ui = Vj - cij.
(8)
5. Пункты 3 и 4 повторяются до тех пор, пока все столбцы и строки не получат потенциал. Это всегда возможно, если выполняется условие «вырождения» Кз = m + n - 1. Клетки с фиктивными перевозками рассматриваются как занятые.
6. Проверка на оптимальность. План считается оптимальным, если соблюдаются следующие условия:
Vj - Ui  cij, при xij = 0 (клетка свободна),
(9)
Vj - Ui = cij, при xij > 0 (в клетке назначена перевозка).
5
В табл. 8 для клетки (1,11) 122 – 100 = 22 >21, т.е. нарушение в данной клетке составляет 1. Для клетки (2, 8) 113 –
101 = 12 >11, нарушение 1. Аналогично, в клетке (2,11) нарушение составляет 3 (122 – 101 = = 21 > 18). Для
остальных свободных и занятых клеток условия оптимальности [см. формулу (9)] выполняются. Результаты проверки
приведены в табл.8. Так как в матрице перевозок имеются нарушения условий оптимальности, данный начальный
опорный план не является оптимальным. Он может быть улучшен за счет клеток с нарушениями. Рекомендуется выбирать клетки с наибольшим нарушением, хотя это не гарантирует упрощения решения. В данном примере можно
выбрать клетку (2,11) с нарушением
Формальное правило улучшения плана:
а) начиная с клетки, имеющей нарушение, ходом “шахматной ладьи” строится замкнутый контур с вершинами в занятых клетках;
б) начиная с клетки, имеющей нарушение, нумеруются вершины контура (направление обхода контура значения не
имеет). Вершине в клетке (2,11) присваивается номер 1, в клетке (3,11) – номер 2, в клетке (3,5) – номер 3, (1,5) – 4,
(1,9) – 5, (2,9) – 6;
в) в четных вершинах находится минимальная перевозка: min {90;20;0} = 0 в вершине (2,9);
г) для балансировки матрицы в нечетные клетки найденное значение прибавляется, из четных – вычитается. Получается новый, улучшенный план (табл.9). При этом значение целевой функции составит
L = 15· 20 + 13·30 + 12· 50 + 17· 50 + 12· 70 +18· 0 + 8· 50 + 16· 10 +15· 90 + 18· 50 = 5790 ваг-км.Значение целевой функции осталось неизменным, так как по контуру была перенесена фиктивная перевозка, равная 0.
Таблица 9
План перевозок пустых вагонов (первая корректировка)
Для нового плана перевозок
(табл.9) повторяются пункты 1 – 6 алгоритма решения
методом потенциалов. Условие “вырождения” [см. формулу (6)] в новой матрице
(табл.9) выполняется. Присваиваются
потенциалы
всем строкам и столбцам
[см. формулы (7) и (8)]. Как
видно из табл.8 и 9 изменились потенциалы во 2-й
строке и в 6-м и 10-м столбцах. Проверяется новая матрица на условие оптимальности [см. формулу (9)]. В новой матрице нарушение имеется
только в одной клетке (1,11) и равно 122 – 100 = 22 > 21. Строится новый контур (1,11) – (3,11) – (3,5) – (1,5). Присваиваются номера вершинам контура и определяется минимальная перевозка в четных вершинах. Это будет min
{20; 90} = 20 в вершине (1,5). Данная перевозка переносится по контуру.
Таблица 10
Оптимальный план перевозок пустых вагонов
Станция
Избыток
отправления пустых
вагонов
Станция назначения
5
6
7
8
Ui
9
10
11
Недостаток пустых вагонов
70
50
60
30
50
70
90
1
100
15
23
28
13
30
12
50
16
21
20
100
2
120
24
17
50
24
11
11
12
70
18
0
103
3
150
8
70
19
16
10
18
9
17
15
70
106
4
50
12
28
18
50
16
21
20
25
104
114
120
122
113
112
115
121
Vj
Полученный новый план перевозок (табл.10) имеет конечное значение целевой функции
Lкон = 13· 30 + 12· 50 + 21· 20 + 17· 50 + 12· 70 + 18· 0 + 8· 70 + 16· 10 + 15· 70 + 18· 50 = 5770 ваг-км.
6
Проверяем новый план перевозок (табл.10) согласно пунктам 1– 6 алгоритма решения методом потенциалов.
Условие “вырождения” [см. формулу (6)] выполняется. После присвоения потенциалов всем столбцам и строкам новой матрицы (табл.10) нарушений условия оптимальности [см. формулу (9)] нет, значит данный план перевозок является оптимальным.
В результате решения данной задачи методом потенциалов и проведенных преобразований получен оптимальный
план перевозок, который приводит к уменьшению значения целевой функции (суммарное расстояние пе
2. Транспортная задача закрытого типа, представленная в сетевой форме, без ограничений пропускной способности
Сетевой способ решения задачи не требует составления матрицы перевозок, а позволяет вести расчет прямо на схеме путей сообщения – сети.
Сеть состоит из вершин и звеньев. Квадратами обозначены вершины (станции) отправления. Числитель внутри квадрата – номер вершины (станции) отправления, знаменатель – объем отправляемых вагонов (продукции). Кружками
обозначены вершины (станции) назначения, числитель – номер вершины, знаменатель – объем потребления. Числа
на звеньях – расстояние перевозок (или другой критерий оптимизации) ci,j+1 между станциями i и j+1.
Пример № 2.
Транспортная задача закрытого типа, представленная в сетевой форме,
без ограничений пропускной способности
Сетевой способ решения задачи не требует составления матрицы перевозок, а позволяет вести
расчет прямо на схеме путей сообщения – сети.
Сеть состоит из вершин и звеньев. Квадратами обозначены вершины (станции) отправления.
Числитель внутри квадрата – номер вершины (станции) отправления, знаменатель – объем отправляемых вагонов (продукции). Кружками обозначены вершины (станции) назначения, числитель – номер вершины, знаменатель – объем потребления. Числа на звеньях – расстояние
перевозок (или другой критерий оптимизации) ci,j+1 между станциями i и j+1.
Условия задачи взяты из примера № 1. Схема (сеть) дороги с указанием объема отправления, прибытия вагонов и
расстояния между станциями указаны на рис.1.
Рис. 1. Исходные данные к примеру № 2
Эта задача закрытого типа, так как суммарное количество
избыточных пустых вагонов равно суммарному количеству
требующихся вагонов (420 = 420). Математическая модель
задачи будет выглядеть следующим образом.
Общее суммарное расстояние перевозки (целевая функция)
Система ограничений:
(i=1,2,3,4)
(j= 1,2..7)
xij ? 0, (i = 1,2,...,4; j = 1,2,...,7), где ai – ресурсы i-го пункта отправления; bj – потребность j-го пункта назначения.
Решение транспортной задачи в сетевой форме начинают с составления исходного плана.
Точных алгоритмов составления исходного опорного плана не существует. Рекомендуется начать составление исходного опорного плана с вершины, имеющей наибольший объем отправления, и выбирать звенья с наименьшим расстоянием (затратами), назначая на них максимально возможные перевозки. Следует избегать встречных перевозок.
Распределение перевозок необходимо осуществлять таким образом, чтобы обеспечить отправление всех вагонов со
всех станций отправления и удовлетворить потребность в пустых вагонах всех станций назначения. Возможный исходный план перевозок приведен на рис.2.
Рис. 2. Исходный план перевозок
7
Начальное значение целевой функции (общее суммарное
расстояние перевозки) для исходного плана перевозок составит
Lнач = 70· 15 +30· 70 + 50· 17 + 30· 11 + 40· 18 + 50· 25 +
30· 11 + 20· 9 + 60· 16 + 70· 17 = 7370 ваг-км.
Звенья называются базисными (занятыми), если по ним осуществляются перевозки. Направление перевозки указывается стрелкой, число около стрелки – объем перевозки по данному звену (количество вагонов) xj,j+1.
Алгоритм решения транспортной задачи, представленной в
сетевой форме, методом потенциалов такой же, как и транспортной задачи, представленной в матричной форме:
1.
Исходный опорный план проверяется на условие
«вырождения».
Кз S – 1 ,
(10)
где Кз – число занятых звеньев сети; S – число вершин, вошедших в полигон сети.
Данному условию должен отвечать любой план перевозок, в том числе исходный опорный план. Если это условие не
выполняется, то исходный опорный план составлен неверно и необходимо найти замкнутый контур (или контуры) из
базисных звеньев и “снять” с него минимальную перевозку.
Если Кз = S – 1 , задача решается обычным порядком.
Если Кз < S – 1 , задача называется “вырожденной” и распадается на несколько самостоятельных задач. Чтобы этого
избежать, на свободные звенья назначаются дополнительные фиктивные перевозки (перевозки равные 0). В нашем
примере условие вырождения выполняется (10 = 11 – 1), поэтому задача не является “вырожденной “ и решается
обычным порядком.
2.
Начальный потенциал выбирается произвольно и присваивается произвольной вершине (рекомендуется
начинать с наиболее удаленной вершины).
Первой вершине присваивается потенциал V 1 = 100 ( см. рис. 2).
3.Через занятые базисные звенья определяют потенциалы каждой последующей вершины V j+1, связанной с предыдущей вершиной Vj по формулам:
перевозка “попутная”
Vj+1 = Vj + cj,j+1,
(11)
перевозка “встречная”
Vj+1 = Vj - cj,j+1,
(12)
где cj,j+1 – критерий расстояния (или другой показатель критерия оптимизации) на заданном звене.
4.
Пункт 3 повторяется до тех пор, пока всем вершинам сети не будет присвоен потенциал. Это возможно, если
выполняется условие «вырождения» Кз = S – 1. Звенья с фиктивными перевозками рассматриваются как занятые.
Исходя из формулы (11), потенциал вершины 5 будет равен V 5 = 100 + 15 =115, а потенциал вершины 2 равен V 2 =
100 + 17 = 117. Далее присваиваются потенциалы от вершин 5 и 2. Вершина 5 не имеет связующих (занятых) звеньев ни с одной из вершин сети. Вершина 2 связана с вершиной 6 (V 6 = 117+17 = 134), вершиной 8 (V8 = 117 + 11
=128), вершиной 11 (V11 = 117+18 = 135) и вершиной 9 (V 9 = 117 +11 = 128). От вершины 11 по формуле (12) определяется потенциал вершины 4 (V4 = 135 – 25 =110). От вершины 9 определяется потенциал вершины 3 (V 3 = 128 –
9 = 119). От вершины 3 определяются потенциалы вершины 10 (V 10 = 119 + 17 = 136) и вершины 7 (V 7 = 119 + 16 =
135). Присвоенные потенциалы обозначены подчеркнутой цифрой около вершины (рис.2).
5.
Полученный начальный план проверяется на оптимальность. План считается оптимальным, если соблюдаются следующие условия:
/Vj+1 – Vj /≤ cj,j+1, при xj,j+1 = 0 (звено свободно),
(13)
/ Vj+1 – Vj /= cj,j+1, при xj,j+1 > 0 (по звену назначена перевозка).
В нашем примере для звена 5–2 условие оптимальности выполняется (/115 – 117/ = 2 < 24), а для звена 5–6 – не
выполняется (/134 – 115/ = 19 > 12) и нарушение составляет 7. Аналогично, имеются нарушения на звене 1–7 (/135
– 100/ = 35 > 28) и звене 8–4 (/110 – 128/ = 18 > 16). Нарушения соответственно 7 и 2. Для остальных звеньев
условие оптимальности выполняется. Данный план не является оптимальным, так как имеются нарушения условия
оптимальности [см. формулу (13)].
6.
Корректировка плана производится в следующей последовательности:
а) строится замкнутый контур, состоящий из звена с наибольшим нарушением, и базисных звеньев: (5–6) – (6–2) –
(2–1) – (1–5);
8
б) выбирается направление движения по контуру от вершины звена с нарушением, имеющей меньший потенциал, к
вершине с большим потенциалом (от вершины 5 к вершине 6) и далее по выбранному контуру;
в) определяется минимальная встречная перевозка в данном контуре: min {50;30} = 30 в звене (1–2). Это значение
принимается для дальнейшей корректировки;
г) “обходится” контур по выбранному направлению и вычитается найденное значение из всех встречных потоков,
прибавляется к попутным. При этом звено 2–1 освобождается от перевозки, а на звеньях вне контура перевозки
остаются без изменений (рис. 3).16 20 50 18
Рис. 3. Скорректированный план перевозок (первая корректировка)
Значение целевой функции составит
L = 100· 15 + 30· 12 + 20· 17 + 30· 11 + 30· 11 + 40· 18 + 50·
25 + 20· 9 + 70· 17 + 60· 16 = =7160 ваг-км.
Согласно алгоритму решения транспортной задачи, представленной в сетевой форме, методом потенциалов (пункты 1–5),
данный скорректированный план также проверяется на оптимальность [формулы (10–13)].
В данном плане имеется нарушение условия оптимальности
[см. формулы (13)] в звене 4–8 (/121 – 103/ = 18 > 16). Поэтому согласно пункту 6 алгоритма решения транспортной
задачи, представленной в сети, методом потенциалов корректируется план перевозок (рис. 4).
Рис. 4. Скорректированный план перевозок (вторая корректировка)
После проверки по условиям оптимальности видно, что данный план является оптимальным (отсутствуют нарушения
условий оптимальности).
Конечное значение целевой функции составит
Lкон = 100· 15 + 30· 12 + 20·17 + 30· 11 + 70· 18 + 30· 16 +
2· 25 + 20· 9 + 70· 17 + 60· 16 = 7100 ваг-км.
Как видно из расчетов, итоговый план перевозок улучшен по
сравнению с исходным на 270 ваг-км (Lнач – Lкон = 7370 –
7100).
ревозок) относительно начального плана на 20 ваг-км (5790 –
5770 = 20).
Пример № 3.
Транспортная задача закрытого типа, представленная в матричной форме, с ограничениями пропускной способности
Транспортные задачи без ограничений на практике встречаются редко. Гораздо чаще,
при решении транспортных задач, приходится иметь дело с ограничениями пропускной способности в тех или иных клетках (в задачах, представленных в матричной форме) или звеньев
(в задачах, представленных в сетевой форме).
Пропускной способностью клеток или звеньев называется максимально возможное количество перевозок, которое можно перевести в данной клетке или по звену.
Решение транспортных задач с ограничениями производится аналогично решению задачи без
ограничений. Однако имеется ряд особенностей. Рассмотрим это на примере.
9
Для транспортной задачи, представленной в матричной форме с ограничениями пропускной способности, необходимо найти оптимальный план, при котором будет выполняться условие наименьшего суммарного объема тоннокилометровой работы. Для этого необходимо выполнить следующие действия:
 составить математическую модель задачи;
 составить начальный план, проверить по условию “вырождения”, рассчитать суммарный объем тоннокилометровой работы;
 решить задачу методом потенциалов, рассчитать суммарный объем тонно-километровой работы оптимального плана;
 сравнить начальный и оптимальный варианты.
Исходные данные к задаче приведены в табл.11.
Таблица 11
Объем отправления и потребления грузов
Станция назначения
В2
В3
В4
В5
В6
Станция
Ресурсы, В1
отправления тыс. т
Объем потребления, тыс. т
В7
В8
100 50
90
90
190 130 170 80
100
В9
А1
200
70
40
105 65
200 75
20* 80
60**
45
А2
250
25
30
45
40
25
65
30
15
60
25
А3
100
75
35
75
120 80
40
70
20
40
80
А4
250
15
55
45
10
20
65
110 75
30
20
А5
200
15
25
15
15
20
35
25
80
70
85
20
Примечания: 20* – расстояние перевозки от i-й станции отправления до j-й станции назначения, км, 60** – ограничение пропускной способности.
Решение начинается с составления математической модели задачи. Целевой функцией является минимальная тоннокилометровая работа, которая определяется по формуле
min ,
где lij — расстояние перевозки от i-й станции отправления до j-й станции назначения;
xij — объем перевозки от i-й станции отправления до j-й станции назначения.
Система ограничений для данной задачи
, (i = 1,2,...,5),
, (j = 1,2,...,9),
xij > = 0, (i = 1,2,...,5; j = 1,2,...,9).
Для решения задачи составляется начальный план. Исходный опорный план составляется с помощью одного из методов (см. пример № 1).
10
Таблица 12
Исходный опорный план
В данном примере воспользуемся методом наименьшего критерия в строке. Назначенные пеВ
В
В
В
В
В
В
В
В
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Станция
Ресурсы,
ревозки записываются в правом
отправления тыс. т
Объем потребления, тыс. т
нижнем углу клетки и подчеркиваются. В клетке с ограниче90 90 190 130 170 80
100 100 50
нием пропускной способности
не может быть записана переА1
200
70 40 105 65
200 75
20
80
45
возка большая, чем само огра90
60
50
60
ничение (клетки A1B7, A2B8, A3B8,
A5B4). Исходный опорный план,
А2
250
25 30 45
40
25
65
30
15
25
полученный с помощью этого
90
100
60
метода представлен в табл.12.
60
В полученном плане в клетке
A5B4 назначенная перевозка
А3
100
75 35 75
120 80
40
70
20
80
превышает пропускную способ60
40
ность (70 > 35). Эта перевозка
40
была назначена для того, чтобы
А4
250
15 45 10
20
65
110 75
30
20
удовлетворить
потребность
55
190 60
столбца B4. Следовательно, данный план необходимо скоррекА5
200
15 15 15
20
25
80
20
70
85
тировать. Строится контур кор25
35
70
20
40
ректировки (A5B3 – A5B4 – A4B4 –
70
A4B3). В данном контуре необходимо снять лишнюю перевозку в размере 35 в клетке A 5B4. Для этого значения назначенных перевозок в клетках
вершин контура изменяют на необходимую величину (35), поочередно отнимая и прибавляя выбранное значение к
существующим значениям перевозок в клетках вершин контура. Получаем скорректированный исходный опорный
план (табл.13).
Таблица 13
Скорректированный исходный опорный план
Станция назначения
Станция назначения
В4
В5
В6
В7
Станция
Ресурсы, В1 В2 В3
отправления тыс. т
Объем потребления, тыс. т
В8
В9
90 90 190 130 170 80
100 100 50
А1
200
70 40 105 65
90
200 75
20
60
60
80
45
50
А2
250
25 30 45
90
40
25 65
100
30
15
60
60
25
А3
100
75 35 75
120 80
70
20
40
40
80
А4
250
15 45 10 20
55
155 95
65
110 75
30
20
А5
200
15 15 15
25
35
25
70
80
20
70
85
20
35
35
40
60
20
40
Начальное значение целевой функции (суммарный объем тонно-километровой работы) составит
Fнач = f (x) = 90 · 40 + 60
· 25 + 100
· 20 +155 ·10 + 95 · 20 +
35 · 15 + 35 · 20 + 70 · 25 + 20 · 80 + 40· 20 = 24725 тыс. ткм.
Полученный исходный план проверяется на условие “вырождения” [см. формулу (6)]:
11
Nз
– 1, где Nз – число занятых базисных клеток.
Клетка называется базисной, если в ней назначена перевозка. Однако, занятая клетка, в которой перевозка равна
ограничению пропускной способности, не является базисной (в примере – клетки A1B7, A2B8, A3B8, A5B4). Такая клетка
называется насыщенной. В то же время клетка с перевозкой, меньшей чем ограничение пропускной способности в
той же клетке, является базисной.
В полученном плане количество клеток Nз = 11, а суммарное число строк и столбцов m + n – 1 = 5 + 9 – 1 = 13. Задача “вырожденная”, необходимо назначить две фиктивные перевозки (в примере – в клетки A5B2 и A4B8). Клетки с
фиктивными перевозками считаются базисными.
Полученный исходный план проверяется
на оптимальность. Для этого всем строкам
и столбцам присваиваются потенциалы
(табл.14).
Таблица 14
Присвоение потенциалов
Для транспортной задачи с ограничениями
план считается оптимальным, если соблюдаются следующие условия:
Vj – Ui ≤ cij, при xij = 0 (клетка свободна),
Vj – Ui = cij,
(14)
при a ij > xij > 0 (базисная клетка),
Vj – Ui ≥ cij, при xij = a ij (перевозка в клетке равна ограничению), где Vj – потенциал j–го столбца; Ui – потенциал i-й
строки; a ij – ограничение пропускной способности.
В данном исходном плане имеются три клетки с нарушением условий оптимальности [см. формулу (14)]. Для клетки
А1В6 разность потенциалов V6 – U1 = 180 – 75 = 105, что больше стоимости перевозки в данной клетке, равной 75
единиц. Нарушение первого условия оптимальности составляет Н16 = 105 – 75 = 30. Записываем его в правом верхнем углу матрицы перевозок (табл.14). Аналогично, для клетки А 2В6 разность потенциалов V6 – U2 = 180 – 100 = 80,
при стоимости перевозки 65, нарушение первого условия оптимальности составляет Н26 = 80 – 65 = 15. В клетке А3В8
определено нарушение третьего условия оптимальности, которое составляет Н 38 = 25.
Так как данный исходный план не является оптимальным, он может быть улучшен за счет клеток с нарушениями.
Для улучшения плана выбирается клетка с наибольшим нарушением А1В6 (нарушение 30).
Следуя формальному правилу улучшения плана (см.пример №1), “ходом шахматной ладьи” строится контур корректировки с вершинами в выбранной клетке с нарушением и в базисных клетках (А 1В2 – А1В6 – – А5В2 – А5В6). Вершины
контура нумеруются начиная с клетки с нарушением. Определяется минимальная перевозка в четных вершинах контура min{20; 90} = 20 в клетке А5В6. Данная перевозка “переносится” по контуру, в нечетные клетки найденное значение прибавляется, из четных – вычитается. Получается новый скорректированный улучшенный план (табл.15).
Таблица 15
Итоговый план перевозок
Станция назначения
В2
В3
В4
В5
В6
В7
Станция
Ресурсы, В1
отправления тыс. т
Объем потребления, тыс. т
В8 В9
Ui
90
90
190 130 170 80
100 100
50
А1
200
70
40
70
105 65
200 75
20
20
60
60
80
45
50
75
А2
250
25
90
30
45
40
25 65
100
30
15
60
60
25
100
А3
100
75
35
75
120 80
70
20
40
40
80
110
А4
250
15
55
45
10 20
155 95
110 75
30
0
20
105
65
40
60
12
А5
200
15
25
15
20
15
35
20
35
35
25
70
80
20
40
70
125 115 115 125 125 150 120 135
Vj
85
100
120
Конечное значение целевой функции составит
Fкон = f (x) = 70· 40 + 20· 75 + 60· 20 + 50· 45 + 90· 25 + 100· 25 + 60· 15 + 60· 40 + + 40· 20 + 155· 10 + 95· 20 +
20· 15 + 35· 15 + 35· 20 + 70· 25 + 40· 20 = 24125 тыс. ткм.
Полученный скорректированный план перевозок проверяется на оптимальность по формуле (14).
В данном плане отсутствуют нарушения условий оптимальности для всех клеток, следовательно, план оптимален и
итоговый план перевозок улучшен по сравнению с исходным на 600 ткм (F нач – Fкон = 24725 – 24125).
Пример № 4.
Транспортная задача открытого типа, представленная в матричной
форме без ограничений пропускной способности
Перед рассмотрением транспортных задач открытого типа необходимо заметить, что такие задачи на практике встречаются чаще, чем задачи закрытого типа.
Постановка транспортной задачи открытого типа также несколько отличается от постановки закрытой транспортной задачи, так как суммарный объем производства не равен суммарному объему потребления .
Возможны два варианта транспортной задачи открытого типа. Если ,
то математическая модель транспортной задачи открытого типа
чает в себя целевую функцию
min (max)
вклю-
и следующую систему ограничений:
, (i = 1,2,...,m),
,(j = 1,2,...,n),
.
Если ,
то система ограничений будет записана иначе:
, (i = 1,2,...,m),
,(j = 1,2,...,n),
.
Решение транспортных задач открытого типа можно производить методом потенциалов, если предварительно привести ее к “закрытому” типу. Это достигается введением дополнительного
фиктивного потребителя Вфикт (поставщика
Афикт)
с объемом потребления (производства) ( ).
13
Стоимость перевозки в клетках, связанных с фиктивным потребителем (поставщиком),
принимается равной нулю.
Однако более удобным при решении транспортных задач открытого типа представляется
метод условно-оптимальных пленов, разработанный А.Л. Лурье.
Рассмотрим решение транспортных задач открытого типа на примерах.
Для транспортной задачи открытого типа в матричной форме необходимо найти оптимальный план, при котором
будет выполняться условие наименьшей себестоимости перевозки. Для этого необходимо выполнить следующие
действия:
составить математическую модель задачи;
 составить начальный план, рассчитать суммарную себестоимость перевозок;
 решить задачу методом условно-оптимальных планов, рассчитать суммарную себестоимость перевозок конечного плана;
 проверить полученный план на оптимальность методом потенциалов;
 проанализировать начальный и оптимальный варианты.
Данные по объему производства и потребления и матрица себестоимостей перевозок приведены в табл.16.
Таблица 16
Объем отправления и потребления грузов
Станция назначения
В2
В3
В4
В5
Станция
Ресурсы, В1
отправления тыс. т
Объем потребления, тыс. т
В6
В7
80
90
190
130
150
160
150
А1
200
80
40
90
100
35
75
80
А2
250
10
30
45
40
30
65
30
А3
100
20
35
60
60
80
30
70
А4
250
40
25
10
25
65
50
60
А5
200
15
50
20
20
40
80
20
Составляется математическая модель задачи. Для этого определяются суммарные ресурсы станций
отправления и суммарные потребности станций назначения,
тыс. т,
тыс. т.
Суммарный объем производства
превышает суммарный объем потребления на 50 тыс. т. Эта задача открытого типа.
Целевой функцией будет являться минимальная суммарная себестоимость перевозок
(i = 1,2,...,5),
,при следующих ограничениях,
,(j = 1,2,...,7), .
Решение задачи методом условно-оптимальных планов начинается с составления исходного плана. Методика построения исходного плана перевозок вытекает из сущности метода условно-оптимальных планов, которая
заключается в следующем.
Для каждого потребителя оптимальным является поставщик с наименьшими затратами на перевозки, но выполнить
это простое правило невозможно, так как этого не позволяют объемы производства оптимальных поставщиков. Поэтому некоторых потребителей приходится прикреплять к менее выгодным поставщикам, стараясь свести к минимуму суммарные потери из-за этого “нерационального” прикрепления.
При построении исходного плана в каждом j-м столбце матрицы стоимостей находится клетка с минимальным критерием стоимости и в неё записывается перевозка, равная полной потребности данного столбца, x ij = bj. При наличии
нескольких клеток с минимальной стоимостью поставка b j распределяется между ними произвольно. Так, для потребителя В1 это будет клетка А2В1 с себестоимостью 10 руб./т, для потребителя В2 это клетка А4В2 с себестоимостью 25
руб./т и т.д.
Исходный план перевозок представлен в табл.17
14
Таблица 17
Исходный план перевозок
Начальное значение целевой функции
составит
Cнач = f (x) = 80· 10 + 90· 25 + 190· 10
+ 130· 20 + 150· 30 + 160· 30 + 150·
20 = = 19850 тыс. руб.
Значение целевой функции данного
начального плана является минимальным, т.е. отвечает критерию оптимальности, но не отвечает существующей системе ограничений. Следовательно, необходимо продолжить решение. Задача решается методом
условно-оптимальных планов.
Алгоритм решения транспортной задачи открытого типа методом условно-оптимальных планов
Определяются суммы поставок по каждой строке
, а также избытки и недостатки между ресурсами
поставщиков и предусмотренными поставками по формуле
(15)
Разности Ri называются избытками или недостатками в зависимости от знака, получаемого в результате математического действия. Так, в примере R 1 =200 – 0 = +200, R2 = 250 – (80 + 150) = +20, R3 = 100 – 160
= -60, R4 = 250 – (90 + 190) = -30, R5 = 200 – (130 + 150) = -80. Полученные значения разностей с сохранением знака записываем во вспомогательную графу матрицы (табл.17).
Проверка на оптимальность. Если в последней графе все разности R i имеют одинаковый знак или равны нулю, то
решение считается законченным и план является оптимальным. В примере имеются строки с разнозначными разностями Ri, поэтому расчеты продолжаются.
Все строки в зависимости от знака разности классифицируются на избыточные и недостаточные. Строка считается
абсолютно избыточной, если Ri > 0 и абсолютно недостаточной, если R i < 0. Строки, где Ri = 0 классифицируются на
относительно избыточные и относительно недостаточные, согласно пункту 1 примечаний к данному алгоритму решения. В примере первая и вторая строки абсолютно избыточные, а третья, четвертая и пятая строки абсолютно недостаточные.
Корректировка матрицы стоимостей. Эта корректировка включает в себя следующие действия:
а) в каждом столбце, имеющем поставку в недостаточной строке определяется клетка с минимальной стоимостью в
избыточной строке minCijизб. Например, в первом столбце, в недостающих строках поставок нет, поэтому такая клетка не определяется. Во втором столбце – это будет клетка А2В2 с себестоимостью minC22изб= min{40; 30} = 30 руб./т.
В третьем столбце – клетка А2В3 с себестоимостью minC23изб= min{90; 45} = 45 руб./т. В четвертом столбце – клетка
А2В4, в пятом не определяется, в шестом – клетка А2В6 и в седьмом – клетка А2В7;
б) в каждом столбце, имеющем перевозку в недостаточной строке, определяется разность между найденной минимальной стоимостью в избыточных строках minCijизб и стоимостью в занятой клетке недостаточной строки
Cijзан(-) по формуле
(16)
Для первого столбца D 1 не определяется из-за отсутствия minCijизб, для второго столбца D 2 = 30 – 25 = 5, для третьего – D 3 = 45 – 10 = 35 и т.д. Значения D j фиксируются во вспомогательной строке матрицы перевозок (см.
табл.17);
в) определяется наименьшее значение из всех D j (D = min D j), которое прибавляется ко всем стоимостям во всех
клетках недостающих строк (в том числе и в столбцах, где D j не определялось). Для плана перевозок, представленного в табл. 17, D = min{5;35;20;35;10} = 5. Получаем новую скорректированную матрицу стоимостей (табл.18).
15
5.
Определяются связи между строками, возникшие в результате преобразования матрицы стоимостей в пункте
4 данного алгоритма.
Строка s считается связанной с другой строкой при соблюдении следующих двух условий:
а) в каком-либо столбце k имеется совпадение стоимостей, Csk = Cik;
б) в клетке sk имеется поставка xsk >0.
Связь строк указывает возможное направление переноса поставки, так как в результате корректировки матрицы стоимостей выравниваются стоимости в клетках связанных строк и в матрице появляется новая допустимая клетка с
минимальной стоимостью в столбце. Так, после корректировки стоимостей, во втором столбце они выравнялись в
клетках А2В2 и А4В2 (С22 = С42 = 30).
6.
Через клетки с выравненными стоимостями строится замкнутый контур от избытка в избыточной строке до
недостатка в недостаточной строке. В табл. 17 такая цепь показана пунктирной линией.
7.
Начиная от вершины с избытком в избыточной строке, вершины построенного контура нумеруются. Величина
переноса поставки по построенному контуру определяется как минимальное значение из избытка, недостатка и значения назначенной поставки в нечетных вершинах построенного контура по формуле
D x = min {Rнач; Rкон; Хijнеч },
(17)
где Rнач – избыток в избыточной строке, с которой начинается контур переноса; R кон – недостаток в недостаточной
строке, с которой заканчивается контур переноса; Хijнеч – поставки в нечетных вершинах построенного контура.
Для плана перевозок, представленного в табл. 17 Dx=min{20;30;90} = 20.
8.
Осуществляется перенос выбранного значения D x и корректируются поставки в матрице перевозок. Для этого найденное значение D x вычитается от цифровых значений в нечетных вершинах контура и прибавляется к цифровым значениям в четных вершинах. В результате получается новый скорректированный план перевозок (табл.18).
Далее выполняются пункты 1–8 алгоритма решения задачи методом условно-оптимальных планов. Согласно пункту 2
алгоритма в новом скорректированном плане перевозок имеются строки с разнозначными разностями R i, следовательно расчеты необходимо продолжить (табл. 19–21).
Примечания:
При классификации строк на избыточные и недостаточные в таблице могут встретиться нулевые строки (например,
вторая строка в табл.18). Для определения знака таких строк находится связь с какой-либо из строк через клетки с
выравненными стоимостями и нулевой строке присваивается наименование относительно избыточной или относительно недостаточной в зависимости от того, с какой строкой обнаружится связь. В примере вторая строка табл.19
является относительно недостаточной, так как имеется её связь с четвертой строкой посредством клеток А 2В2 – А4В2 .
Относительно недостаточные строки могут в следующем плане перевозок оказаться относительно избыточными и
наоборот. В табл.19 вторая строка стала относительно избыточной, так как имеется её связь через занятые клетки
А1В5 – А2В5 с абсолютно избыточной первой строкой, четвертая строка является относительно избыточной из-за её
связи с относительно избыточной второй строкой посредством А2В2 – А4В2.
При построении замкнутого контура его очертания могут не повторять очертания прямоугольника, т.е. иметь более
четырех вершин. Например, в табл.18 контур был построен исходя из того, что кроме новой связи А 1В5 – А2В5 сохранилась и старая связь через клетки с выравненными себестоимостями А 2В2 – А4В2.
16
Таблица 18
Скорректированный план перевозок (первая корректировка)
Для плана перевозок, представленного в табл. 18
D = min{70; 10; 75; 75; 5; 40; 55} =
5; D x = min {200; 150; 70; 10} =
10.
Таблица 19
Скорректированный план перевозок (вторая корректировка)
Для плана перевозок, представленного
в табл. 19,
D = min{5; 20; 5} = 5; D x = min {190;
140; 150; 80} = 80.
Таблица 20
Скорректированный план перевозок (третья корректировка)
Для плана перевозок, представленного
в табл. 20, D = min{15} = 15; D x = min
{110; 60; 60; 160; 60} = 60.
17
Таблица 21
Скорректированный план перевозок (четвертая корректировка)
Станция назначения
Ri
(избыток,
недостаток)
В4
В5
В6
В7
Станция
Ресурсы, В1 В2 В3
отправления тыс. т
Объем потребления, тыс. т
80 90 190 130 150 160 150
А1
200
80 40 90
100 35 75
150
80
+50
А2
250
15 35 50
80 90
45
35
35
80
+0
А3
100
50 65 90
90
110 60 100
100
+0
А4
250
50 35 20 35
190
75
60
60
70
+0
А5
200
30 65 35
35 55
130
95
35
70
+0
70
Таблица 22
Конечный план перевозок
Станция назначения
Станция
отправления
Ресурсы,
тыс. т
В1
В2
В3
В4
В5
В6
В плане, представленном в табл.
21, все строки являются избыточными, следовательно решение
закончено. Для расчета суммарной себестоимости перевозок конечного плана и проверки решения методом потенциалов необходимо восстановить первоначальную реальную матрицу себестоимостей перевозок (табл. 22).
В7
Ri
(избыток,
недостаток)
Объем потребления, тыс. т
80
90
190
130
150
160
150
А1
200
80
40
90
100
35
50
75
80
А2
250
10
80
30
90
45
40
30
65
30
80
А3
100
20
35
60
60
80
30
100
70
А4
250
40
25
10
90
25
65
50
60
60
А5
200
15
50
20
20
130
40
80
20
70
Конечное значение целевой функции (суммарная себестоимость перевозок конечного плана) составит
Cкон = f (x) =150· 35 + 80· 10 + 90· 30 + 80· 30 + 100· 30 + 190· 10 + 60· 50 + 130· 20 + 70· 20 = 23050 тыс. руб.
Полученный конечный план необходимо проверить на оптимальность методом потенциалов.
Так как методом потенциалов можно решать только транспортные задачи закрытого типа, данную транспортную задачу открытого типа необходимо привести к закрытому виду. Для этого вводится дополнительный фиктивный потребитель Bфикт с объемом потребления равным = 1000 – 950
= 50 тыс./т.
Себестоимость перевозок в клетках, связанных с фиктивным потребителем, принимается равной нулю (табл.23).
18
Таблица 23
Проверка решения методом потенциалов
После введения в матрицу
перевозок фиктивного поВ2
требителя при проверке на
В
В
В
В
В
В
В
U
1
3
4
5
6
7
фикт
i
Станция
Ресурсы,
условие “вырождения” выотправления тыс. т
Объем потребления, тыс. т
ясняется, что задача “вырожденная”, так как Nзан =
90
80
190 130 150 160 150 50
10, а сумма m + n = 5 + 8
А1
200
80
40
90 100 35 75
80 0
100 = 13. Вводятся две фик150
50
тивные перевозки, равные
нулю в клетки А2В5 и А2В6.
Далее, после присвоения
А2
250
10
30
45 40 30 65
30 0
105 потенциалов строкам и
80
90
0
0
80
столбцам и проверки плана по условиям оптимальА3
100
20
35
60 60 80 30
70 0
140 ности, выясняется, что
нарушений условий опти100
мальности в данном плане
нет. Представленный для
А4
250
40
25
10 25 65 50
60 0
120 проверки план перевозок
190
60
является оптимальным.
В завершение решения
проанализиА5
200
15
50
20 20 40 80
20 0
115 необходимо
ровать начальный и ко130
70
нечный планы перевозок.
Самым оптимальным пла115
135
130 135 135 170 135 100
Vj
ном перевозок несомненно
является начальный план,
так как при его составлении все потребители прикреплялись к самым выгодным поставщикам. Однако этот план не
может быть реализован из-за нехватки продукции в пунктах А5, А3 и А4. Начальный план показывает, что пункт производства А1 является неперспективным и желательно развивать производство прежде всего в пунктах А 5, А3 и А4,
причем, в первую очередь, именно в пункте А 5 (до 280 тыс. т продукции). Также можно сказать, что план, представленный в табл.18, вызывает увеличение общей себестоимости перевозок на 20? 5 = 100 тыс.руб., в табл. 19 – на 10·
(5 + 5) = 100 тыс. руб., в табл. 20 – еще на 80· (5 + 5 + 5) = 1200 тыс. руб., в табл. 21 – на 60·(5 + + 5 + 5 + 15) =
1800 тыс. руб.
Итого, общие дополнительные затраты, связанные с прикреплением потребителей к менее выгодным поставщикам
из-за ограничений производства, составляют 3200 тыс. руб., что подтверждается при сравнении начального и конечного значений целевой функции D C = Cкон – Cнач = = 23050 – 19850 = 3200 тыс. руб.
Также, на каждом этапе расчета можно сопоставить увеличение целевой функции с затратами по альтернативному
варианту. Например, план, представленный в табл.21, можно реализовывать, если развитие производства в пункте
А3 до 160 тыс. т не потребует затрат больше чем 1800 тыс. руб.
Необходимо также отметить, что в конечном плане перевозок оказалось не вывезено из пункта А 1 50 тыс. т продукции в связи с ее суммарным переизбытком.
Станция назначения
Пример № 5.
Автотранспортному объединению, в составе которого 5 автохозяйств А 1, А2, А3, А4, А5 с парком автомашин соответственно 30, 40, 20, 30 и 50 однородных автомобилей поступили заказы на предоставление этих автомобилей предприятиям P1, P2, P3, P4, P5, P6 в количестве 35, 25, 40, 30, 35 и 35 соответственно. Необходимо составить план прикрепления автомобилей автохозяйств объединения к данным предприятиям при условии минимального суммарного
порожнего пробега от автохозяйств до предприятий. Расстояния от всех автохозяйств до всех предприятий в километрах известны и представлены в матрице расстояний (табл.24).
19
Таблица 24
Исходные данные
Предприятие
Автохозяйство
P1
P2
P3
P4
Парк
автомашин Потребность в автомобилях
P5
P6
35
25
40
30
35
35
А1
30
15
10
15
30
25
40
А2
40
10
20
20
35
20
45
А3
20
22
30
30
45
34
30
А4
30
25
36
30
48
50
43
Для составления математической
модели
задачи
определяются
суммарный парк автомобилей автотранспортного объединения и
суммарные потребности в автомобилях
предприятий,
автомашин,
автомашин.
Суммарный объем заказов превышает
суммарное наличие автомобилей
А5
50
30
25
26
40
60
50
в автохозяйствах на 30 автомашин. Это задача открытого типа.
Целевой функцией будет являться минимальный суммарный порожний пробег автомобилей
, где xij – количество автомобилей i-го автохозяйства, поданных j-му предприятию.
, (i = 1,2,...,5),
Система ограничений
,(j = 1,2,...,6),
.
Составляется начальный план прикрепления автомобилей при условии, что каждому предприятию автомобили будут выделены с ближайшего автохозяйства (табл. 25).
Таблица 25
Начальный план прикрепления автомобилей
Значение целевой функции составит
Lнач = f(x) = 10· 25 + 15· 40 + 30· 30
+ 10· 35 + 20· 35 + 30· 35 = 3850
км.
В примере имеются строки с разнозначными разностями Ri (первая,
вторая, третья строки являются абсолютно недостаточными, а четвертая и пятая строки – абсолютно избыточными), поэтому план не является оптимальным, расчеты продолжаются и производится первая корректировка. Определяются значения
D j для каждого столбца [по формуле (16)] и находится минимальное из этих отношений, согласно пункту 4 алгоритма решения задач, D = min {15; 15;
11; 10; 30; 13} = 10.
Строится контур корректировки и находится значение корректировки Dx [по формуле (17)] Dx= min {50;30;65} = 30.
Выбранное значение D x переносится и корректируются поставки в матрице назначений автомобилей. Для этого
найденное значение D x вычитается от цифровых значений в нечетных вершинах контура и прибавляется к значениям в четных вершинах. Получается новый скорректированный план прикрепления автомобилей (табл.26) с увеличенными на величину D в недостаточных строках расстояниями перевозки.
20
Таблица 26
Скорректированный план прикрепления автомобилей (первая корректировка)
Для плана перевозок, представленного
в табл. 26, D = min{5; 5; 1; 20; 3} = 1;
D x = min {20; 40; 35} = 20. Разности
Ri разнозначные, план не является оптимальным, решение продолжается
(табл. 27–29) согласно алгоритму.
Таблица 27
Скорректированный план прикрепления автомобилей (вторая корректировка)Для плана перевозок, представленного
в табл. 27,
D = min{4; 15; 4; 8; 19; 2} = 2; D x =
min {30; 35; 15} = 15.
Таблица 28
Скорректированный план прикрепления автомобилей (третья корректировка)
Для плана перевозок, представленного в табл. 28, D = min{2; 13; 2; 6;
14} = 2; D x = min {15; 20; 15} = 15.
21
Таблица 29
Скорректированный план прикрепления автомобилей (четвертая корректировка)
В плане, представленном в табл.
29, все строки являются недостаRi
P1
P2
P3
P4
P5
P6
точными, следовательно решение
Парк
Автохозяйство
закончено. Для расчета суммарноавтомашин Потребность в автомобилях
го порожнего пробега автомобилей конечного плана прикрепле35
25
40
30
35
35
ния и проверки решения методом
А1
30
30
25
30
45
40
55
-0
потенциалов необходимо восста25
5
новить первоначальную реальную
матрицу себестоимостей перевоА2
40
25
35
35
50
35
60
-30
зок (табл. 30). Причем здесь
35
35
необходимо заметить, что автохозяйство А2 имеет в наличии тольА3
20
33
41
41
56
45
41
-0
20
ко 40 автомашин, поэтому предоставить предприятиям P1 и P5 оно
А4
30
25
36
30
48
50
43
-0
может 40 вместо заказанных 70
15
15
автомашин. Следовательно, какое-либо из этих предприятий поА5
50
34
29
30
44
64
54
-0
лучит автомашин меньше чем бы20
30
ло заказано. Исходя из условия
наименьшего порожнего пробега автомашин предприятию P 5 будет выделено только 5 машин из 35 заказанных.
Таблица 30
Конечный план прикрепления автомобилей
Конечное
значение
целевой
Предприятие
функции составит
P1
P2
P3
P4
P5
P6
Lкон = f (x) = 10· 25 + 15· 5 + 10·
Парк
Автохозяйство
автомашин Потребность в автомобилях
35 + 20· 5 + 30· 20 + 30· 15 +
43· 15 + 26· 20 + 40· 30 = 4190
км.
35
25
40
30
35
35
Итак, из расчета следует, что
А1
30
15
10
15
30
25
40
конечное
значение
целевой
25
5
функции превысило начальное
значение на
А2
40
10
20
20
35
20
45
DL=Lкон–Lнач=4190–3850=340 км.
35
5
Полученный
конечный
план
А3
20
22
30
30
45
34
30
необходимо проверить на опти20
мальность методом потенциалов.
Данную транспортную задачу
А4
30
25
36
30
48
50
43
открытого типа необходимо при15
15
вести к задаче закрытого типа.
А5
50
30
25
26
40
60
50
Для этого вводится дополнитель20
30
ный фиктивный поставщик (автохозяйство) Афикт с парком автомашин, равным
Предприятие
= 200 – 170 = 30 автомобилей. Расстояния в клетках, связанных с фиктивным автохозяйством, принимаются равными нулю (табл. 31).
После введения в матрицу перевозок фиктивного поставщика при проверке на условие “вырождения” выясняется,
что данное условие не выполняется, так как Nзан = 10, а сумма m + n = 5 + 6 = 12. Вводится фиктивная перевозка в
клетку А2P2. После присвоения потенциалов строкам и столбцам, и проверки плана по условиям оптимальности
[формула (9)], выясняется, что в плане есть нарушения условий оптимальности. Производится корректировка плана
прикрепления автомобилей методом потенциалов (табл.31–34).
22
Таблица 31
Проверка решения методом потенциалов
Таблица 32
Проверка решения методом потенциалов (первая корректировка)
Таблица 33
Проверка решения методом потенциалов (вторая корректировка)
23
Таблица 34
Проверка решения методом потенциалов (третья корректировка)
Предприятие
Парк
Автохозяйство
автомашин
P1
P2
P3
P4
P5
P6
Ui
Потребность в автомобилях
35
25
40
30
35
35
А1
30
15
0
10
25
15
5
30
25
40
50
А2
40
10
5
20
20
35
20
35
45
55
А3
20
22
30
30
45
34
30
20
49
А4
30
25
30
36
30
48
50
43
44
А5
50
30
25
26
35
40
15
60
50
39
Афикт
30
0
0
0
0
15
0
0
15
79
65
60
65
79
75
79
Vj
В плане прикрепления автомобилей, приведенном в табл.34, выполняются условия оптимальности
[см. формулу (9)], следовательно
план оптимален.
Таблица 35
Конечный итоговый план прикрепления автомобилей
Итоговое значение целевой функции составит
P
P
P
P
P
P
1
2
3
4
5
6
Lитог = f(x) = 10· 25 + 15· 5 + 10· 5
Парк
Автохозяйство
+ 20· 35 + 30· 20 + 25· 30 + 26· 35
автомашин Потребность в автомобилях
+ 40· 15 = = 3935 км.
Итак, план, скорректированный ме35
25
40
30
35
35
тодом
потенциалов,
позволил
А1
30
15
10
15
30
25
40
уменьшить суммарный порожний
25
5
пробег автомобилей по сравнению
со значением целевой функции, поА2
40
10
20
20
35
20
45
лученным в результате решения
5
35
методом условно-оптимальных плаА3
20
22
30
30
45
34
30
нов. Величина уменьшения целевой
20
функции
DL=Lитог–Lкон=3935–4190=-255 км.
А4
30
25
36
30
48
50
43
При анализе решения видно, что
30
автомобили недопоставлены предА5
50
30
25
26
40
60
50
приятиям P4 (в количестве 15 авто35
15
машин) и P6 (в количестве 15 автомашин), в отличие от плана, приведенного в табл.31, где из-за нехватки автомобилей, был не полностью выполнен заказ предприятия P 5 (недопоставка
30 автомашин).
Предприятие
24
ЛИТЕРАТУРА
Акулиничев В.М., Кудрявцев В.А., Корешков А.Н. Математические методы в эксплуатации железных дорог. – М.:
Транспорт, 1981.
Высшая математика: Математическое программирование / А.В. Кузнецов, В.А. Сакович, Н.И. Холод. – Минск.:
Высш.шк., 1994.
Математическое моделирование экономических процессов на железнодорожном транспорте / А.Б. Каплан, А.Д.
Кутыев Г.М. Методические указания для практических занятий по курсу “Исследование операций, системы и модели
управления”. – Хабаровск: ХабИИЖТ, 1987.
25