Document 610932

Пример 1а.
Для составной конструкции АВС (Рис. 1) определить реакции опор А и В,
а также усилия в шарнире С, возникающие под действием заданной нагрузки,
если F  10 кН , q  4 кН м , М  8 кНм .
Решение.
Отбросив
внешние
связи,
q
F
изобразим конструкцию под действием
С

активной нагрузки и опорных реакций
B
(Рис.2,а). При этом распределенную
нагрузку заменим равнодействующей,
3м
М
которая приложена на расстоянии
2
xQ  CB  2  м 
A
3
1м
1м
3м
от шарнира С и имеет модуль
Q
q  BC 4  3

 6 кН  ,
2
2
Рис.1
Силу F представим в виде двух составляющих:
F1  F  cos 600  10  0,5  5 кН  ,
F2  F  sin 60 0  10  0,866  8,66 кН  .
Изобразим также левую (Рис.2,б) и правую (Рис.2,в) часть конструкции,
приложив к ним помимо активной нагрузки и опорных реакций усилия в
шарнире С, которые, согласно третьему закону Ньютона, связаны между собой
равенствами:
X C   X C/ ,
YC  YC/ .
(а)
Решение задачи целесообразно начать с правой части конструкции, т.к.
она содержит только три неизвестных реакции, что соответствует числу
уравнений равновесия. Запишем уравнения равновесия:
F  0: X  0,
 M F   0 : R  3  Q  2  0 
F  0: Y  Q  R  0  Y
пр
kx
пр
С
пр
ky
/
C
B
k
/
C
B
/
C
Q2 62

 4 кН  ,
3
3
 RB  Q  4  6  2 кН  .
RB 
Теперь рассмотрим равновесие левой части конструкции. Согласно
равенствам (а),
X C  X C/  0 , YC  YC/  2 кН  .
Знак ”минус” в последних равенствах опущен, т.к. в векторных равенствах, т.к.
в векторных равенствах (а) он указывает на противоположность направлений
векторов X C и X C/ и векторов YC и YC/ , а этот факт уже учтен нами при
составлении расчетной схемы – указанные векторы изображены
противоположно направленными.
F2
F1
С
B
М
3м
A
XА
YА
RВ
Q
МА
1м
1м
2м
1м
а)
F2
F1
YC
X С/
С X
С
МА
XА
B
YС/
М
A
С
RВ
Q
б)
в)
YА
Рис.2
Таким образом, в левой части конструкции остается только три
неизвестных реакции, которые могут быть определены из уравнений
равновесия:
 F  0 : X  F  X  0  X  F  X  5  0  5 кН  ,
 F  0 : Y  F  Y  0  Y  F  Y  8,66  2  10,66 кН  ,
 M F   0 : M  M  F  3  F 1  Y  2  X  3  0 
лев
kx
А
лев
ky
А
лев
А
k
1
2
А
C
А
C
A
1
1
2
2
C
C
C
C
 M A   M  F1  3  F2 1  YC  2  X C  3 
 8  5  3  8,66  1  2  2  0  3  19,66 кН 
Выполним проверку полученных результатов. Согласно аксиоме
затвердевания, конструкция в целом также должна удовлетворять уравнениям
равновесия. Подставив в уравнения равновесия найденные значения реакций,
получим
 F  X  F  5  5  0 ,
 F  Y  F  Q  R  10,66  8,66  6  4  0 ,
 M F   M  M  F  3  F 1  Q  4  R  5 
цел
ky
A
цел
ky
цел
А
A
k
1
2
B
A
1
2
B
 19,66  8  5  3  8,66  1  6  4  4  5  0 .
Реакции определены верно.
Пример 1б.
На составную конструкцию АВС
(Рис.3) действуют сосредоточенная
F  20 2 кН ,
сила
равномерно
распределенная
нагрузка
интенсивности q  3 кН м и пара сил с
моментом М  8 кНм . Определить
реакции опор А и В, а также усилия,
возникающие в сочленении С.
F
С
45 

М
2м
B
A
4м
4м
Рис.3
Решение.
Расчетная схема задачи изображена на Рис.4. Здесь
Q  q  4  12 кН  ,
2
 20 кН  ,
2
2
F2  F  sin 450  20 2 
 20 кН 
2
F1  F  cos 450  20 2 
В данной задаче, в отличие от предыдущей, каждая часть конструкции
содержит по четыре неизвестных реакции, что превышает число уравнений
равновесия. Конструкция в целом также содержит четыре неизвестных, однако
нетрудно заметить, что в точках А и В пересекаются по три линии действия
реакций. Следовательно, уравнение моментов, составленное относительно
любой из указанных точек, будет содержать только одну неизвестную.
Составим уравнение моментов относительно точки А и найдем из него
реакцию YB :
 M Aцел Fk   0 :
 M  F1  2  Q  6  YB  8  0
M  F1  2  Q  6 8  40  72

 15 кН  .
8
8
Теперь правая часть конструкции содержит только три неизвестные
реакции и может быть полностью рассчитана:
YB 
 Fkxпр
 0 : XB  0,
 Fkyпр
 0 :  RC/  Q  YB  0  RC/  YB  Q  15  12  3 кН  ,
 M Aпр Fk   0 :
 M С/  RC/  4  Q  2  0 
 M С/  RC/  4  Q  2  3  4  12  2  36 кНм 
F2
F1
2м
С
М
Q
XВ
A
XА
YА
4м
2м
2м
B
YВ
а)
F1
YС
F2
С
М С/
МС
С
YС/
М
Q
A
XА
YА
б)
в)
XВ
B
YВ
Рис.4
Как следует из третьего закона Ньютона,
RC  RC/  3 кН  ,
М C  М C/  36 кНм
Осталось определить две реакции: X А и YА . Они могут быть найдены из
рассмотрения равновесия левой части конструкции или конструкции в целом.
Рассмотрим конструкцию в целом, а уравнения равновесия левой части оставим
для проверки полученных результатов. Одно уравнение (уравнение моментов
относительно точки А) уже было использовано для определения реакции YB .
Составим два оставшихся уравнения:
 Fkxцел
 0 : X A  F1  X B  0
X A   F1  X B  20  0  20 кН  ,
 Fkyцел
 0 : YA  F2  Q  YB  0
YA  F2  Q  YB  20  12  15  17 кН 
Проверим, находится ли в равновесии левая часть конструкции, которая
не рассматривалась при определении опорных реакций:
F
 X A  F1  20  20  0 ,
F
 YA  F2  RC  17  20  3  0 ,
лев
kx
лев
ky
 M F   М  F  2  R
лев
A
k
1
C
 4  M C  8  20  2  3  4  36  0 .
При найденных значениях реакций левая часть конструкции находится в
равновесии, следовательно, реакции определены верно.