Уравнения в школьном курсе математики.

МОУ СОШ №16
Тема:
Уравнения
математики.
Учитель: Тарас М.В.
2006 год
в
школьном
курсе
Общие методы решения уравнений.
Рассмотрим общие идеи, общие методы, которые пронизывают всю
школьную линию уравнений с 7 по 11 классы.
Этих общих методов – три: метод разложения на множители, метод введения
новых переменных, функционально-графический. Каждому из этих методов
посвящен отдельный пункт.
П.1. Метод разложения на множители.
Суть этого метода заключается в следующем: пусть нужно решить уравнение
и
f(x) = 0
пусть
f(x) = f1 (x) ∗ f2 (x) ∗ f3 (x).
Тогда уравнение f(x) = 0 можно заменить совокупностью более простых
уравнений:
f1 (x) = 0,
f2 (x) = 0
f3 (x) = 0
Найдя корни уравнений этой совокупности, и отобрав из них те, что
принадлежат области определения уравнения f(x) = 0, мы получим корни
уравнения f(x) = 0.
Пример 1. Решить уравнение.
2 +6x+5
(√x + 2 − 3) ∗ (2x
− 1) ∗ lg( x − 3) = 0
Решение:
Задача сводится к решению совокупности трех уравнений:
√x + 2 = 3 (1);
2 +6x+5
2x
= 1 (2);
(1)
=> x+2=9; x1 = 7;
(2)
=> x 2 + 6x + 5 = 0, x2 = −1; x3 = −5;
(3)
lg( x − 3) = 0 (3);
=> x − 3 = 1; x4 = 4;
Область определения исходного уравнения задается условиями
x+2≥0
=> x > 3.
{
x−3>0
Значит, из найденных четырех корней отбираем два 7 и 4. Это будут корни
уравнения.
Ответ: 4; 7.
Приемы разложения выражения f(x) на множители. В школе они изучаются
некомпактно. В 7 классе – один прием; в 8 классе – еще два, в 9-11 классах –
еще один-два. В итоге это сводится к следующему набору: вынесение общего
множителя
за
скобки,
способ
группировки,
использование
формул
сокращенного умножения (типа a2 − b2 = (a − b) ∗ (a + b)), разложение
квадратного трехчлена ax 2 + bx + c = a(x − x1 ) ∗ (x − x2 ), где x1 , x2 корни
квадратного
трехчлена.
Иногда
добавляется
искусственный
прием
представление одного из слагаемых в виде некоторой суммы, или в
частности, прибавление и вычитание одного и того же выражения с целью
последующей перегруппировки слагаемых.
Пример 2.
Решить уравнение
x 3 − 7x + 6 = 0
Решение. Представив слагаемое 7x в виде (x + 6х), получим
x 3 − x − 6x + 6 = 0
x(x 2 − 1) − 6(x − 1) = 0
x(x − 1)(x + 1) − 6(x − 1) = 0
(x + 1)(x(x − 1) − 6 = 0
x = 1;
x2 + x − 6 = 0
D = 1 + 24 = 25
2
x1,2
−1 ∓ 5
=
|
2
−3
Ответ: 1; 2; -3
Пример 3.
Решить уравнение.
x 4 − 8x + 63 = 0
Решение. Прибавим и отнимем слагаемое 16x 2 , кроме того, представим
слагаемое 63 в виде 64-1.
Получим:
x 4 + 16x 2 −16x 2 − 8x + 64 − 1 = 0
(x 4 + 16x 2 +64) − (16x 2 + 8x + 1) = 0
(x 2 + 8)2 − (4x + 1)2 = 0
(x 2 + 8 − 4x − 1)(x2 + 8 + 4x + 1) = 0
(x 2 − 4x + 7)(x 2 + 4x + 9) = 0
D1 = 4 − 7 = −3 < 0; D2 = 4 − 9 = −5 < 0;
Ни одно их них не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.
Теорема 1.
Если x = x1 корень многочлена p(x), то многочлен p(x) можно разложить на
множители, одним из которых будет x − x1 .
Пример 4.
Решить уравнение.
x 3 + 2x 2 − 5x + 2 = 0
Решение:
Замечаем, что x1 = 1 корень уравнения, т.е. корень многочлена p(x) = x 3 +
2x 2 − 5x + 2
p(x) = x 3 + 2x 2 − 5x + 2
p(1) = 1 + 2 − 5 + 2
p(x) − p(1) = (x 3 − 1) + 2(x 2 − 1) − 5(x + 1) = (x − 1)(x 2 + x + 1) +
2(x − 1)(x + 1) − 5(x + 1) = (x − 1)(x 2 + x + 1 + 2x + 1 − 5) =
(x − 1)(x 2 + 3x − 2)
Т.е. x − 1 = 0, x = 1
x 2 + 3x − 2 = 0; D = 9-4(-2) =17
x1,2 =
−3 ∓ 17
2
Ответ: 1;
−3∓√17
2
Замечание 3. Прием «вычитания столбиком» сравнительно не сложен, но
эффективнее другой прием: осознанное выделение множителя x − x1 . В
примере 4 надо осознанно выделить множитель x − 1.
Вот как это выглядит.
x 3 + 2x 2 − 5x + 2 = (x 3 + x 2 ) + (3x 2 − 3x) + (−2x + 2)
= x 2 (x − 1) + 3x(x − 1) − 2(x − 1) = (x − 1)(x 2 + 3x − 2)
Замечание 4. Обычно говорят: всё это хорошо, но ведь нужна «зацепка», т.е.
угадывание первого корня. Можно ли его угадать? Оказывается можно, хотя
и не всегда. Об этом говорит следующая теорема.
Теорема
2.
Если
x1
целочисленный
корень
многочлена
с
p(x)
целочисленными коэффициентами, то x1 - делитель свободного члена
многочлена.
Алгоритм использования метода разложения на множители для решения
уравнений вида
p(x) = 0, где p(x) - многочлен с целочисленными коэффициентами:
1)
Выпишите все делители свободного члена многочлена p(x)
2)
Выберите из них число x1 , которое является корнем многочлена p(x)
3)
Разложите p(x) на множители, осознанно выделяя множитель (x − x1 )
Пример 5.
Решить уравнение 6x 3 + 13x 2 − 19x − 12 = 0
Решение. 1) выпишите все делители свободного члена, т.е. числа
−12; ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12;
2) будем последовательно вычислять p(xk ), подставляя вместо
выписанные значения:
p(1) = 6 + 13 − 19 − 12 ≠ 0
p(−1) = −6 + 13 + 19 − 12 ≠ 0
p(2) = 48 + 52 − 38 − 12 ≠ 0
p(−2) = −48 + 52 + 38 − 12 ≠ 0
p(3) = 162 + 117 − 57 − 12 ≠ 0
p(−3) = −162 + 117 + 57 − 12 ≠ 0
xk
Значит x1 = −3
3) Разложим p(x) на множители, выделяя множитель x + 3:
p(x) = 6x 3 + 13x 2 − 19x − 12 = 6x 3 + 18x 2 − 5x 2 − 15x − 4x − 12
= 6x 2 (x + 3) − 5x(x + 3) − 4(x + 3) = (x + 3)(6x 2 − 5x − 4);
4) (x + 3)(6x 2 − 5x − 4) = 0
(x + 3) = 0,
x = −3
6x 2 − 5x − 4 = 0
D = 25+4*6*4 = 25 + 96 = 121(112 )
16 4
x1,2
5 ± 11 12=3
=
|
12 −1
2
1
4
2
3
Ответ:−3; − ;
Пример 6.
Решить уравнение:
61+x + 51+2x = 30 + 150x
Решение.
6 ∙ 6x + 25x ∙ 5 = 30 + 150x
6 ∙ 6x + 25x ∙ 5 − 30 − (25 ∙ 6)x = 0
6x (6 − 25x ) + 5(25x − 6) = 0
(6 − 25x )(6x − 5) = 0
25x = 6; 6x = 5
25x = 25log25 6 → x1 = log 25 6
6x = 6log6 5 → x2 = log 6 5
ответ: log 6 5 ; log 25 6.
П.2. Метод введения новых переменных.
Умение удачно ввести новую переменную – важный элемент математической
культуры школьника. Новая переменная в уравнениях иногда действительно
очевидна, иногда несколько завуалирована, но ощущается.
Пример 7.
Решить уравнение.
√x 2 − x + 2 + √x 2 − xx 2 + 7 = √2x 2 − 2x + 21
Решение. Положив y = x 2 − x, получим
√y + 2 + √y + 7 = √2y + 21
y + 2 + y + 7 + 2√(y + 2)(y + 7) = 2y + 21
√y 2 + 9y + 14 = 6
y 2 + 9y + 14 = 36
y 2 + 9y − 22 = 0
y1 = 2,
y2 = −11
Проверка найденных значений подстановкой в уравнение
√y + 2 + √y + 7 = √2y + 21 показывает, что y=2 удовлетворяет этому
уравнению, у=-11 нет, это посторонний корень.
x 2 − x = 2 → x1 = 2, x2 = −1
Ответ: 2; -1.
Пример 8.
Решить уравнение
3x+1 + 1
4
= x−2
7
3
Решение.
Так как 3x+1 = 3 ∙ 3х
3х
3x−2 = , то уравнение можно преобразовать к виду
9
3 ∙ 3х + 1 36 х
= х; 3 =y
7
3
3y + 1 36
=
7
y
3y 2 + y = 252
3y 2 + y − 252 = 0
y1 = 9,
y2 = −
3х = 9; х = 2 или
28
3
3х = −
28
, не имеет решений.
3
Ответ: 2.
Пример 9.
Решить уравнение.
cos 2х − 5 sin х − 3 = 0
cos 2х = cos 2 х − sin2 х = (1 − sin2 х) − sin2 х = 1 − 2sin2 х
1 − 2sin2 х − 5 sin х − 3 = 0, пусть sin х = у,
1 − 2у2 − 5у − 3 − 0
2у2 + 5у + 2 = 0
y1 = −2,
y2 = −
1
2
Возвращаясь к исходной переменной, получаем sin х = −
х = (−1)n+1 ∙
1
2
π
+ πn
6
π
Ответ: х = (−1)n+1 ∙ + πn, n ∈ Z.
6
Пример 10.
Решить уравнение lg 2 x 3 + log 0,1 10x − 7 = 0
Решение.
Подготовимся к введению новой переменной:
lg 2 x 3 = (lgx 3 )2 = (3 lg x)2 = 9lg 2 x,
log 0,1 10x = −lg10x = −(lgx + lg10) = −lgx − 1
Перепишем уравнение в виде
9lg 2 x − lgx − 1 − 7 = 0, введем новую переменную lgx = у,
9у2 − у − 8 = 0
y1 = 1,
y2 = −
8
9
Осталось решить два уравнения:
−8
8
lgx = − → х2 = 10 9
9
lgx = 1 → х1 = 10
−8
Ответ: 10; 10 9
Пример 11.
Решить уравнение 3x 3 − x 2 − 11x − 6 = 0
Решение: алгоритм, о котором в п.1 мы говорили, здесь не проходит – из
делителей числа 6: (±1; ±2; ±3; ±6) ни один не является корнем уравнения.
Сделаем так: умножим все члены уравнения на 9 – это позволяет переписать
старший член уравнения в виде 27x 3 , т.е. (3x 3 ) и введем новую переменную
у=3х. Имеем
27x 3 − 9x 2 − 99x − 54 = 0
У=3х
у3 − у2 − 33у − 54 = 0
1) Выпишем делители свободного члена ±1; ±2; ±3; ±6; ±9; ±18; ±27; ±54.
2) Подставляем эти числа по очереди в уравнение, находим
y1 = −2 - корень уравнения (-8-4+66-54=0)
3)
Разложим
многочлен
p(y) = у3 − у2 − 33у − 54 = у3 + 2у2 − 3у2 −
6y − 27у − 54 = у2 (y + 2) − 3y(y + 2) − 27(y + 2) = (y + 2)(у2 − 3y − 27)
4)
Из уравнения у2 − 3y − 27 = 0
3 ± √9 + 108 3 ± √117
=
2
2
y
2
x1= , x1= −
3
3
y2,3 =
x2,3 =
3 ± 3√13
2∙3
2
1±√13
3
2
Ответ: − ;
x2,3 =
1 ± √13
2
.
Пример 12.
Решить уравнение
2x 4 − 7x 3 + 9x 2 − 7x + 2 = 0
Решение. Разделив обе части уравнения почленно на x 2 , получим
7 2
2x 2 − 7x + 9 − + 2 = 0
х х
2 (x 2 +
1
1
) − 7 (x + ) + 9 = 0
2
x
x
Положим
1
x + = у, тогда
x
y2 = x2 +
1
x2
+ 2, т.е. x 2 +
1
x2
= у2 − 2
Теперь наше уравнение можно переписать в виде
2(у2 − 2) − 7у + 9 = 0
2у2 − 4 − 7у + 9 = 0
2у2 − 7у + 5 = 0
y1 = 1,
y2 =
5
2
Остается решить совокупность уравнений
1
1)
x+ =1
2)
x+ =
x
1
5
x
2
Ответ: 2;
1
2
Пример 13.
Решить уравнение
81x 2
x +
= 40
(9 + х)2
2
Решение.
Заметив, что левая часть уравнения имеет структуру А2 + В2 , дополним ее до
полного квадрата, добавив и вычтя 2АВ:
81x 2
9x
9x
x +
−
2x
∙
+
2x
∙
= 40
(9 + х)2
9+x
9+x
2
9x
18x 2
− 40 = 0
(x −
)+
9+x
9+x
2
9x + x 2 − 9x
18x 2
− 40 = 0
(
) +
9+x
9+x
2
x2
18x 2
+
− 40 = 0
(
)
9+x
9+x
x2
=y
9+x
у2 + 18у − 40 = 0
y1 = 2,
1)
x2
9+x
y2 = −20
=2
x 2 − 18 − 2x
=0
9+x
2
{x − 18 − 2x = 0
9+x≠0
2)
x2
9+x
= −20
−80 < 0
Д1 = 1 + 19
x2 +20(9+х)
9+x
=0
x1,2 = 1 ± √19
x 2 + 20х + 180 = 0
∅
Ответ: 1 ± √19
Пример 14.
Решить уравнение:
2(x 2 + х + 1)2 − 7(х − 1)2 = 13(x3 − 1)
Решение:
Заметим, что x 3 − 1 = (х − 1)(x 2 + х + 1),
Введем две новые переменные x 2 + х + 1 = а
х−1=b
тогда уравнение примет вид
2a2 − 7b2 = 13ab или
2a2 − 13ab − 7b2 = 0
Разложив левую часть на множители:
2a2 + ab − 14ab − 7b2 = 0
a(2a + b) − 7b(2a + b) = 0
(a − 7b)(2a + b) = 0
a − 7b = 0
2a + b = 0
Д2 = 100 − 180 =
Возвращаясь
к
исходной
переменной,
получаем
совокупность
двух
уравнений x 2 + x + 1 − 7(x − 1) = 0
2(x 2 + х + 1) + (x − 1) = 0
1
Ответ: 2; 4; -1;- .
2
Замечание 9: можно ли было при решении этого уравнения обойтись одной
переменной? Да, если догадаться почленно разделить обе части уравнения на
(x 2 + х + 1)2 . Тогда уравнение примет вид:
2
х−1
х−1
2 − 7( 2
) = 13 ∙ 2
x +x+1
x +x+1
Новая
х−1
переменная
x2 +x+1
=у
преобразует
уравнение
в
квадратное
относительно у:
7у2 + 13у − 2 = 0
Пример 15.
Решить уравнение
√2x + 3 + √x + 1 = 3x + 2√2x 2 + 5x + 3 − 16
Решение.
Заметив,
что
√2𝑥 2 + 5𝑥 + 3 = √(2𝑥 + 3)(х + 1) = √2𝑥 + 3 ∙
√𝑥 + 1, введем две новые переменные
√2𝑥 + 3 = 𝑎√2𝑥 + 3
√𝑥 + 1 = 𝑏
Тогда уравнение примет вид
𝑎 + 𝑏 = 3𝑥 − 16 + 2𝑎𝑏
Осталось догадаться, что сделать с 3𝑥, как выразить 3𝑥 через a и b.
𝑎2 = 2𝑥 + 3
𝑏2 = 𝑥 + 1
𝑎2 + 𝑏 2 = 3𝑥 + 4;
т. е. 3𝑥 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 4, и уравнение
𝑎 + 𝑏 = 3𝑥 − 16 + 2𝑎𝑏 можно переписать в виде
𝑎 + 𝑏 = (𝑎2 + 𝑏 2 − 4) − 16 + 2𝑎𝑏
Далее имеем (𝑎 + 𝑏)2 − (𝑎 + 𝑏) − 20 = 0
Введем еще одну новую переменную 𝑎 + 𝑏 = у
Получим у2 − у − 20 = 0
𝑦1 = 5,
𝑦2 = −4
𝑎+𝑏 =5
𝑎 + 𝑏 = −4
√2𝑥 + 3 + √𝑥 + 1 = 5
→ 𝑥=3
√2𝑥 + 3 + √𝑥 + 1 = −4 не имеет решений
Ответ: 3.
Пример 16.
Решите уравнение.
3
3
3
√(29 − 𝑥)2 + √(𝑥 − 1)2 = 7 + √(29 − 𝑥)(𝑥 − 1)
Решение.
Введем две новые переменные:
3
√29 − 𝑥 = 𝑦
3
√𝑥 − 1 = 𝑍, тогда заданное уравнение можно будет переписать в виде
𝑦 2 − 𝑦𝑧 + 𝑧 2 = 7
Заметим, что 𝑦 3 = 29 − 𝑥
𝑧3 = 𝑥 − 1
Значит 𝑦 3 + 𝑧 3 = 28
Т.о. относительно новых переменных y,z мы получим систему двух
уравнений
𝑦 2 − 𝑦𝑧 + 𝑧 2 = 7
{ 3
𝑦 + 𝑧 3 = 28
Применим метод деления: разделим левую часть второго уравнения на левую
часть первого, а правую – на правую (потери решений не происходит, т.к.
правые части обоих уравнений отличны от нуля).
𝑦 3 +𝑧 3
𝑦 2 −𝑦𝑧+𝑧 2
=
28
7
, т.е.
𝑦+𝑧 =4
Далее решаем систему уравнений
𝑦+𝑧=4
, например, методом подстановки 𝑧 = 4 − у
{ 2
𝑦 − 𝑦𝑧 + 𝑧 2 = 7
𝑦 2 − 𝑦(4 − 𝑦) + (4−𝑦)2 = 7
3𝑦 2 − 12𝑦 + 9 = 0
𝑦 2 − 4𝑦 + 3 = 0
𝑦 =3
{ 1
𝑧1 = 1
𝑦 =1
{ 2
𝑧2 = 3
Возвращаясь к переменной х, получим
3
−𝑥 =3
{ √29
3
√𝑥 − 1 = 1
3
(1)
−𝑥 =1
{ √29
3
√𝑥 − 1 = 3
(2)
Из (1) системы находим 𝑥1 = 2, из второй 𝑥2 = 28.
Ответ: 2; 28.
П.3. Функционально-графический метод.
Идея графического метода решения уравнения 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) проста и
понятна: нужно построить графики функций 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑔(𝑥) найти точки
их пересечения, абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения.
Графический метод позволяет определить число корней уравнения, найти
точные значения корней (хотя и редко, но это все-таки удается), угадать
значение корня - это совсем не мало.
А вот очень яркая разновидность графического метода: если одна из функций
𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) убывает, другая возрастает на промежутке Х, то на этом
промежутке уравнение 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) либо имеет только один корень (рис. 1а),
либо вообще не имеет корней (рис.1б). В подобных случаях даже графики
функций 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) чертить не надо: если мы установили разный характер
монотонности функций 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑔(𝑥) и каким-то образом подобрали
(угадали) один корень уравнения 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥), то уравнение полностью
решено – этот корень единственный.
Y
Убывает
Y
Возрастает
Возрастает
Х
0
Х
0
Убывает
Единственный
(а)
корень
(б)
Есть еще несколько свойств функций, которые могут быть полезны при
решении уравнений (потому-то эта совокупность приемов охватывается
термином «функционально-графический метод», а не «графический метод»).
Если, например наибольшее значение функции f(x) на промежутке Х равно
А, а наименьшее значение функции g(x) на Х тоже равно А, то уравнение
f(x) = g(x) равносильно на Х системе уравнений
f(x) = А
{
g(x) = А
Короче
(своеобразный
«опорный
утверждения).
Если fнаиб. = gнаим. = А, то
f(x) = g(x) ↔
f(x) = А
{
g(x) = А
Рассмотрим несколько примеров:
Пример 17.
Решить уравнение.
√x = |x − 2|
сигнал»
для
сформулированного
Решение. Графики функций у=√x, у=|x − 2| пересекаются в двух точках (1;1)
(4;2) рис.2. Значит, уравнение имеет два корня: x1 = 1, x2 = 4
Y
𝑦 = |𝑥 − 2|
𝑦 = √𝑥
Х
1
4
Рис. 2
Ответ: 1; 4.
Пример 18.
Решить уравнение
5
1+x2
= x 2 − 4x + 5.
Решение.
Графики функций y =
5
1+x2
и y = x 2 − 4x + 5 пересекаются в двух точках
(0; 5) и (2; 1). Значит, уравнение имеет два корня: x1 = 0, x2 = 2 ( рис.3)
Ответ: 0; 2.
Y
𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 5
5
𝑦=
5
1 + 𝑥2
Х
2
Рис. 3
Пример 19.
Решить уравнение:
x 2 + 5x − 42 = 0
Решение. Действуя, как и раньше, можно подобрать целочисленный корень,
x1 = 2 и разложить x 2 + 5x − 42 на множители, выделив множитель х-2:
x 2 + 5x − 42 = (x − 2)q(x)
_x 2 + 5x − 42 |
x 5 − 2x 4
_2x 4 + 5x
2x 4 − 4x 3
_ 4x 3 + 5x
x−2
x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 8x + 21
4x 3 − 8x 2
_ 8x 2 + 5x
8x 2 − 16x
_ 21x − 42
21x − 42
0
Но вот с уравнением четвертой степени g(x) = 0 у нас ничего не получится.
Оказывается, значение x1 = 2 множество корней исчерпывается. Если
переписать уравнение в виде x 2 = 42 − 5x, то заметив, что функция y = x 5
возрастает, а функция y = 42 − 5x убывает, можно сделать вывод о
единственности корня.
Ответ: 2.
Пример 20.
3
7
5
5
Решить уравнение ( )x + = 2x
Решение.
Нетрудно заметить, что х=1 – корень уравнения. Так как, далее, функция
3
7
5
5
y = ( )x +
убывает, а функция у = 2x возрастает, то других корней это
уравнение не имеет.
Ответ: 1.
Пример 21.
Решить уравнение 5x + 12x = 13x
Решение. Нетрудно заметить, что х=2 корень уравнения. Но рассуждать, как
в предыдущем примере, мы не можем, все имеющиеся функции 5x , 12x , 13x
имеют одинаковый характер монотонности – возрастают.
Поступим так: разделим обе части уравнения почленно на 12x :
5
13
12
12
Получим ( )x + 1 = ( )x
Вот теперь всё в порядке:
5
Функция у = ( )x + 1 убывает;
12
13
Функция у = ( )x возрастает,
12
Значит можно сделать вывод о единственности корня.
Ответ: 2.
Пример 22.
Решить уравнение √2 + sin2 4х = sin х − cos х
Решение.
f(x) = √2 + sin2 4х, тогда f(x) ≥ √2, так как sin2 4х ≥ 0
Пусть g(x) = sin х − cos х
Тогда
g(x) = √2 (
1
√2
sin х −
1
√2
π
π
4
4
cos х) = √2(sin х cos − sin cos х) =
π
π
√2 sin (х − ); замечаем, что g(x) ≤ √2, т.к. sin (х − ) ≤ 1
4
4
fнаим = g наиб = √2 ,значит, уравнение f(x) = g(x) сводится к системе
f(x) = √2
уравнений {
, т.е. к системе
g(x) = √2
√2 + sin2 4х = √2
{
π
√2 sin (х − ) = √2
4
Из 1-го уравнения системы получим sin 4х = 0, 4х = πn, x =
πn
4
π
Из 2-го уравнения системы получим sin (х − ) = 1
4
π π
= + 2πk
4 2
3π
x=
+ 2πk
4
х−
Серия x =
x=
3π
4
3π
4
+ 2πk входит в серию x =
πn
4
+ 2πk – решение системы, а потому и заданного уравнения.
Ответ:
3π
4
+ 2πk.
Пример 23.
Решить уравнение:
log x2−4х+6 3 + log 3 (x 2 − 4х + 6) = 6х − x 2 − 7
Решение.
Имеем x 2 − 4х + 6 = (х − 2)2 + 2
Уж во всяком случае (х − 2)2 + 2 > 1, это значит, что у имеющихся
логарифмов и основания, и логарифмируемое число больше 1, тогда оба
логарифма положительны (если a > 1, b > 1, то log a b > 0)
Далее, log x2−4х+6 3 =
1
log3
x2 −4х+6
Значит, структура левой части уравнения такова:
А+
1
,
А
где А > 0
Но сумма двух взаимно обратных чисел всегда не меньше 2, т.е. А +
причем знак равенства достигается только при А=1 (в самом деле,
1
А
≥ 2,
1
А2 − 2А + 1 (А − 1)2
А+ −2=
=
≥ 0)
А
А
А
Итак, если левую часть заданного уравнения обозначить f(x), то fнаим = 2 и
достигается это равенство при условии
log 3 (x 2 − 4х + 6) = 1, т.е.
x 2 − 4х + 6 = 3
x 2 − 4х + 3 = 0
Рассмотрим правую часть обозначенного уравнения, обозначим ее g(x).
Имеем,
g(x) = 6x − x 2 − 7 = 2 − x 2 + 6x − 9 = 2 − (x − 3)2 ,
ясно,
что
g(x) ≤ 2, т. е. g наиб = 2 и достигается это равенство при условии
(x − 3)2 = 0
Итак, для уравнения f(x) = g(x) имеем fнаим = g наиб = 2, значит уравнение
равносильно системе уравнений
g(x) = 2
{
f(x) = 2
x 2 − 4х + 3 = 0
x = 1, x2 = 3
или {
, т. е. { 1
2
(x − 3) = 0
x=3
Решением системы будет общее значение x = 3, это единственный корень
заданного уравнения.
Ответ: 3.
А теперь рассмотрим несколько более сложных примеров на применение
функционально-графического метода.
Пример 24.
Решить уравнение
1 x−6
2 2
x 2 − 2x + 1
( )
+ (√x − 5 ) + 13 =
+x
2
3
x−3
Решение.
Выполнив понятные преобразования, получим
1 x−6 22 (x − 1)2
( )
+
=
2
3
x−3
Замечаем, что это уравнение имеет корень 6.
Докажем, что других корней нет.
(1)
1
22
2
3
Функция у = ( )x−6 +
убывает.
Если окажется, что функция у =
(x−1)2
возрастает в области определения
x−3
2
заданного уравнения, т.е. на луче [5 ; +∞), то можно будет сделать вывод о
3
том, что х=6 единственный корень уравнения (1).
Найдем производную функции у =
Получим уI =
2(x−1)(x−3)−(x−1)2
=
(x−3)2
(x−1)2
x−3
(x−1)(x−3)
(x−3)2
2
(x−1)2
3
x−3
Если х ≥ 5 , то уI > 0, т.е. функция у =
2
возрастает на луче [5 ; +∞),
3
что и требовалось установить.
Ответ: 6.
Пример 25.
Решить уравнение.
3x 4 − 16x 3 + 18x 2 + 36 = √72 + 6х − x 2
Решение.
Рассмотрим функцию
f(x) = 3x 4 − 16x 3 + 18x 2 + 36.
Имеем f I (x) = 12x 3 − 48x 2 + 36x = 12x(x 2 − 4x + 3) = 12x(x − 1)(x − 3)
-
+
0
min
-
1
max
+
3
min
Рис. 5
Знаки производной меняются так, как показано на рис.5.
Значит х=0 – точка минимума,
ymin = f(0) = 36
x=1 – точка максимума,
ymax = f(3) = 9
График функции f(x) схематично изображен на рис.6.
x
Замечаем, что fнаим = 9.
Y
40
30
20
10
9
Х
1
2
3
2. рассмотрим функцию
g(x) = √72 + 6х − x 2
Имеем g(x) = √81 − 9 + 6х − x 2 = √81 − (х − 3)2
Замечаем, что g наиб = √81 = 9
3. так как fнаим = g наиб = 9, то заданное уравнение сводится к системе
f(x) = 9
уравнений {
,
g(x) = 9
Оба уравнения этой системы, как мы видели выше, обращаются в верные
равенства при х=3.
Это единственный корень уравнения.
Ответ: 3.
Литература:
А.Г. Мордкович «Уравнения в школьном курсе математики»