ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования Санкт-Петербургский промышленно-экономический колледж Заочное отделение Специальность 080110.51 Банковское дело КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 по дисциплине Элементы Высшей Математики студента группы 12501 зачетная книжка № 11-5-025 ФИО студента Хадаева Татьяна Александровна Адрес г. Гатчина бул. Авиаторов д.3 кв.31 E-mail: thadaeva@mail.ru телефон: 8-911-217 70 04 2011 год Задача №1 Вычислить пределы функций 1. ( x 3 8)( 2 x 3 x 6) 0 lim x 2 2 x 3 x 6 0 x 2 (2 x 3 x 6 )( 2 x 3 x 6 ) lim x3 8 ( x 2)( x 2 2 x 4)( 2 x 3 x 6 ) ( x 2)( x 2 2 x 4)( 2 x 3 x 6 ) lim lim x 2 4( x 3) x 6 (2 x 3 x 6 )( 2 x 3 x 6 ) x2 ( x 2)( x 2 2 x 4)( 2 x 3 x 6 ) ( x 2 2 x 4)( 2 x 3 x 6 ) lim x 2 x 2 3( x 2) 3 lim f (2) (4 4 4)( 2 2 3 2 6 ) 12(2 2) 12 * 4 16 3 3 3 2. 7 x2 5 7 x 5x 2 x lim 2 lim x 3 x 4 x 6 x 4 x2 3 x 7*0 5 2*0 5 3 4*0 6*0 3 2 2 1 1 7 lim 5 2 lim 2 2 x x x x x 1 1 6 3 4 lim 6 lim x x x x 2 x2 3. cos 8 x 1 2 sin 2 4 x sin 4 x sin 4 x lim lim (8) 2 2 x 0 x 0 x 0 4x 4x 4x 4x sin 4 x sin 4 x lim lim lim (8) 8 x 0 x 0 x 0 4x 4x lim 4. 2x 5 lim x 2x 3x 2x 5 5 1 15 15 15 3 2x 2x 2y 2y lim (1 y ) lim (1 y ) e 2 y y 5 5 yx 2x 2y Задача №2 Построить график функции, определив вид точек разрыва x 2 3 при х0 2 f ( x) 1 при 0х4 х х4 0,5 х 3 при Функция имеет две точки разрыва 2 у 1 у х2 3 х х 0 х2 х 3 1,7 х 1 2 3 4 х 0 1 2 3 3 1 1 у 1 0 у 3 2 1 0 6 3 2 2 1 1 0 -1 -2 -3 2 1 2 Разрыв второго рода. Задача №3 Найти производные функции 1. 2x 2 7 f ( x) 3x 4 5 4x x 2x 2 7 4x x 3 3 3 1 7 2 2 2 7 1 x x * x 2 x 2 x2 4 4 4 2 3 1 7 2 1 2 x x 5 4 2 5 1 21 2 1 2 21 1 3 f ( x) 12 x x x 12 x 3 2 8 4 8x x 4 x f ( x) 3x 4 3 4 у 0,5 х 3 3 6 0,5 х 6 8 х у 0 1 5 6 7 8 2. 5 3e x 2 ex (5 3e x )(2 e x ) (5 3e x )( 2 e x ) 0 3e x (2 e x ) (5 3e x )e x f ( x) (2 e x ) 2 (2 e x ) 2 f ( x) e x (3(2 e x ) 5 3e x ) e x (6 3e x 5 3e x ) 11 x 2 x 2 (2 e ) (2 e ) (2 e x ) 2 3. f ( x) (2 sin x 5) * ctgx 1 f ( x) (2 sin x 5) * ctgx (2 sin x 5)(ctgx) 2 cos x * ctgx (2 sin x 5) 2 sin x cos x 2 sin x 5 2 cos 2 x 2 5 2 5 2 cos x cos 2 x 1 2 2 2 sin x sin x sin x sin x sin x sin x sin x sin 2 x 2 sin 2 x 5 5 2 sin x 2 sin x sin x sin 2 x 4. f ( x) (2 x 3 1) ln( x ) f ( x) (2 x 3 1) * ln( x ) (2 x 3 1)(ln x ) 6 x 2 * ln x (2 x 3 1) 6 x 2 * ln x (2 x 3 1) 1 x * 1 2 x 1 x ( x ) 1 1 (2 x 3 1) 6 x 2 ln x x 2 2x 2x Задача №4 6 x 2 ln x Решить систему уравнений по формулам Крамера 4 x 2 y 3 z 13 2 x 5 y 2 z 20 3 x y 4 z 8 4 2 3 5 2 2 2 2 5 2 5 2 4* 2* 3* 4(20 2) 2(8 6) 1 4 3 4 3 1 3 1 4 3(2 15) 4 * 18 2 *14 3 * 17 151 13 x 20 2 5 8 1 3 2 13 * 4 5 2 1 4 2* 20 2 8 4 3* 20 5 8 1 13(20 2) 2(80 16) 3(20 40) 13 * 18 2 * (64) 3 * (20) 302 x 302 2 151 4 13 y 2 20 3 2 4* 3 8 4 20 2 8 4 13 * 2 2 3 4 3* 2 20 3 8 4 * (80 16) 13 * (8 6) 3(16 60) 4 * (64) 13 * (14) 3(76) 302 y 302 2 151 4 2 13 z 2 5 3 1 20 4 * 8 5 20 1 8 2* 2 20 3 8 13 * 2 5 3 1 4(40 20) 2(16 60) 13(2 15) 4 * 20 2 * (76) 13 *17 453 453 z 3 151 Проверка 4 * 2 2 * (2) 3 * 3 13 13 13 2 * 2 5 * (2) 2 * 3 20 20 20 3 * 2 1 * (2) 4 * 3 8 8 8 Ответ: х=2, у=-2, z=3 Задача №5 Выполнить исследование свойств функции по первой и второй производным и построить график функции f ( x) 0.2 x 3 0.3x 2 7.2 x 4 Исследование по первой производной f ( x) 0.6 x 2 0.6 x 7.2 0.6 x 2 0.6 x 7.2 0 D 0.36 4 * 7.2 * 0.6 17.64 D 4.2 0.6 4.2 x1 3 1.2 0.6 4.2 x2 4 1.2 + ↑ -3 max ↓ + 4 min ↑ Функция убывает в промежутке (-3;4) и возрастает (-∞;-3)(4;+∞) Функция имеет f max (3) 0.2 * (3) 3 0.3 * (3) 2 7.2 * (3) 4 5.4 0.9 21.6 4 19.3 f min (4) 0.2 * (4 3 0.3 * 4 2 7.2 * 4 4) 12.8 4.8 28.8 4 16.8 Исследование по второй производной f ( x) 1.2 0.6 1.2 x 0.6 0 x 0.5 + 0,5 точка перегиба График функции является выпуклым на промежутке (-∞;0.5) и вогнутым на промежутке (0,5;+∞) x=0.5-точка перегиба f (0.5) 0.2 * 0.53 0.3 * 0.5 2 7.2 * 0.5 4 0.025 0.075 3.6 4 0.3 (0,5;0.3)-координаты точки перегиба x 4 3 0 0.5 1 4 y 15.2 19.3 4 0.3 3.3 16.8 max перегиб min 20 10 -4 0 4 10 20 Задача №6 Найти интегралы: №1 5 6 5 2 x6 5 2 х х 2 х 2 х 3 dx 2 ln x 6 * 3x x 2 6 3x c 5 4 x6 ln x 3x c 2 x x 3 №2 2 7 sin xdx (5 3 cos x) 2 3 5 3 cos x t dt (5 3 cos x)dx dt 3 sin xdx dt sin xdx 3 1 2 1 7 * dt 2 3 7 7 t 3 3 t dt * C 2 3* 2 6 23 t 2 1 3 1 t3 7 7 7 * C 33 t * C 3 t C 1 6 2 6 3 №3 Задача №7 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (x-2)y=6 и x+y=9 Сделать чертеж. y 9 x 6 x2 x2 y x 0 9 y 9 0 x 4 1 y 1 2 3 6 6 3 2 1 0 1 3 4 5 8 у 6 0 3 8 х Для определения а и b решим уравнение 6 9 x x2 ( x 2)(9 x) 6 9 x 18 x 2 2 x 6 x 2 11x 24 0 x 2 11x 24 0 x1 3 x2 8 8 6 x2 1 Sф 9 x 6 ln( x 2)) 9(8 3) (8 2 3 2 ) 6(ln( 8 2) ln( 3 2)) dx (9 x 3 x 2 2 2 3 1 9 * 5 53 6(ln 6 ln 1) 45 26.5 6 * 1.5 9.5кв.ед. 2 8 Ответ: площадь фигуры равна 9,5 кв. ед. Задача №8 Найти сумму, разность, произведение и частное от деления комплексных чисел z1 и z 2 Изобразить заданные числа на координатной плоскости 1. Сумма z1 z 2 (2 4i) (5 3i) (2 5) (4 3)i 3 i 2. Разность z1 z 2 (2 4i) (5 3i) (2 5) (4 (3))i 7 7i 3. Произведение z1 * z 2 (2 4i) * (5 3i) (2 * 5 4 * (3)) (4 * 5 (2) * (3))i (10 12) (20 6)i 2 14i 4. Деление z1 2 4i (2) * 5 4 * (3) 4 * 5 (2) * (3) i z2 5 3i 25 9 5 2 (3) 2 10 12 20 6 22 14 11 7 i i i 25 9 34 34 17 17 34 Im z1 4 -2 0 -3 5 Re z2