Санкт-Петербургский промышленно-экономический колледж КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 Элементы Высшей Математики

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования
Санкт-Петербургский промышленно-экономический колледж
Заочное отделение
Специальность 080110.51 Банковское дело
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
по дисциплине
Элементы Высшей Математики
студента группы
12501
зачетная книжка № 11-5-025
ФИО студента
Хадаева Татьяна Александровна
Адрес
г. Гатчина бул. Авиаторов д.3 кв.31
E-mail:
thadaeva@mail.ru
телефон:
8-911-217 70 04
2011 год
Задача №1
Вычислить пределы функций
1.
( x 3  8)( 2 x  3  x  6)
0
    lim

x  2
2 x  3  x  6  0  x 2 (2 x  3  x  6 )( 2 x  3  x  6 )
lim
x3  8
( x  2)( x 2  2 x  4)( 2 x  3  x  6 )
( x  2)( x 2  2 x  4)( 2 x  3  x  6 )
 lim
 lim

x  2
4( x  3)  x  6
(2 x  3  x  6 )( 2 x  3  x  6 ) x2
( x  2)( x 2  2 x  4)( 2 x  3  x  6 )
( x 2  2 x  4)( 2 x  3  x  6 )
 lim

x  2
x  2
3( x  2)
3
 lim
  f (2) 
(4  4  4)( 2  2  3   2  6 ) 12(2  2) 12 * 4


 16
3
3
3
2.
7
x2   5 
7 x  5x  2   
x
lim 2
    lim 
x  3 x  4 x  6
x


4

 
x2 3  
x

7*0  5  2*0 5


3 4*0  6*0 3
2
2 
1
1
7 lim  5  2 lim 2
2 
x


x


x 
x
x 

1
1
6 
3

4
lim

6
lim

x  x
x  x 2
x2 
3.
cos 8 x  1
 2 sin 2 4 x
 sin 4 x sin 4 x


lim
 lim 

 (8)  
2
2
x 0
x 0
x 0
4x
4x
4x
 4x

sin 4 x
sin 4 x
 lim
 lim
 lim (8)  8
x 0
x

0
x 0
4x
4x
lim
4.
 2x  5 
lim 

x 
 2x 
3x
2x  5
5
 1
15
15
15
3
2x
2x
2y
2y

 lim (1  y )  lim (1  y )  e 2
y 
y 
5
5
 yx
2x
2y
Задача №2
Построить график функции, определив вид точек разрыва
 x 2  3 при
х0
 2
f ( x)  1 
при
0х4
 х
х4
 0,5 х  3 при
Функция имеет две точки разрыва
2
у  1
у  х2  3
х
х

0
х2
х   3  1,7
х 1 2 3 4
х 0 1  2
3 3
1 1
у 1 0
у 3 2 1
0
6
3 2
2
1
1 0
-1
-2
-3
2
1
2
Разрыв второго рода.
Задача №3
Найти производные функции
1.
2x 2  7
f ( x)  3x 4 
5
4x x
2x 2  7
4x x
3

3
3
1

7 2 2 2
7 
1
x  x * x 2  x 2  x2
4
4
4
2
3
1
7 2 1 2
x  x 5
4
2
5
1
21  2 1  2
21
1
3
f ( x)  12 x  x  x  12 x 3  2

8
4
8x x 4 x
f ( x)  3x 4 
3
4
у  0,5 х  3
3
6
0,5
х 6 8
х
у 0 1
5
6
7
8
2.
5  3e x
2  ex
(5  3e x )(2  e x )  (5  3e x )( 2  e x ) 0  3e x (2  e x )  (5  3e x )e x
f ( x) 


(2  e x ) 2
(2  e x ) 2
f ( x)

e x (3(2  e x )  5  3e x ) e x (6  3e x  5  3e x )
11


x 2
x 2
(2  e )
(2  e )
(2  e x ) 2
3.
f ( x)  (2 sin x  5) * ctgx
1 

f ( x)  (2 sin x  5) * ctgx  (2 sin x  5)(ctgx)  2 cos x * ctgx  (2 sin x  5) 

2
 sin x 
cos x 2 sin x
5
2 cos 2 x
2
5
2
5
 2 cos x 






cos 2 x  1 

2
2
2
sin x sin x sin x
sin x
sin x sin x sin x
sin 2 x
2 sin 2 x
5
5



 2 sin x
2
sin x
sin x sin 2 x


4.
f ( x)  (2 x 3  1) ln( x )
f ( x)  (2 x 3  1) * ln( x )  (2 x 3  1)(ln x )  6 x 2 * ln x  (2 x 3  1)
 6 x 2 * ln x  (2 x 3  1)
1
x
*
1
2 x
1
x
( x ) 
1
1
(2 x 3  1)  6 x 2 ln x  x 2 
2x
2x
Задача №4
 6 x 2 ln x 
Решить систему уравнений по формулам Крамера
 4 x  2 y  3 z  13

2 x  5 y  2 z  20
 3 x  y  4 z  8

4 2
3
5 2
2 2
2 5
  2  5 2  4*
 2*
 3*
 4(20  2)  2(8  6) 
1 4
3 4
3 1
3 1 4
 3(2  15)  4 * 18  2 *14  3 * 17  151
13
 x  20
2
5
8
1
3
2  13 *
4
5
2
1
4
 2*
20
2
8 4
 3*
20
5
8
1

 13(20  2)  2(80  16)  3(20  40)  13 * 18  2 * (64)  3 * (20)  302
x
302
2
151
4 13
y  2
20
3
2  4*
3 8  4
20
2
8  4
 13 *
2
2
3 4
 3*
2
20
3 8

 4 * (80  16)  13 * (8  6)  3(16  60)  4 * (64)  13 * (14)  3(76)  302
y
302
 2
151
4 2 13
z  2  5
3
1
20  4 *
8
5
20
1
8
 2*
2
20
3 8
 13 *
2 5
3
1

 4(40  20)  2(16  60)  13(2  15)  4 * 20  2 * (76)  13 *17  453
453
z
3
151
Проверка
 4 * 2  2 * (2)  3 * 3  13  13  13

2 * 2  5 * (2)  2 * 3  20  20  20
3 * 2  1 * (2)  4 * 3  8  8  8

Ответ: х=2, у=-2, z=3
Задача №5
Выполнить исследование свойств функции по первой и второй производным и построить
график функции f ( x)  0.2 x 3  0.3x 2  7.2 x  4
Исследование по первой производной
f ( x)  0.6 x 2  0.6 x  7.2
0.6 x 2  0.6 x  7.2  0
D  0.36  4 * 7.2 * 0.6  17.64
D  4.2
0.6  4.2
x1 
 3
1.2
0.6  4.2
x2 
4
1.2
+
↑
-3
max
↓
+
4
min
↑
Функция убывает в промежутке (-3;4) и возрастает (-∞;-3)(4;+∞)
Функция имеет
f max (3)  0.2 * (3) 3  0.3 * (3) 2  7.2 * (3)  4  5.4  0.9  21.6  4  19.3
f min (4)  0.2 * (4 3  0.3 * 4 2  7.2 * 4  4)  12.8  4.8  28.8  4  16.8
Исследование по второй производной
f ( x)  1.2  0.6
1.2 x  0.6  0
x  0.5
+
0,5
точка перегиба
График функции является выпуклым на промежутке (-∞;0.5) и вогнутым на промежутке
(0,5;+∞)
x=0.5-точка перегиба
f (0.5)  0.2 * 0.53  0.3 * 0.5 2  7.2 * 0.5  4  0.025  0.075  3.6  4  0.3
(0,5;0.3)-координаты точки перегиба
x 4 3 0
0.5
1
4
y 15.2 19.3 4
0.3
 3.3  16.8
max
перегиб
min
20
10
-4
0
4
10
20
Задача №6
Найти интегралы:
№1
 5

6
5
2
x6
5
  2 х  х 2 х  2 х  3 dx  2 ln x  6 * 3x x  2 6  3x  c 
5
4
x6
 ln x 

 3x  c
2
x x 3
№2
2
7 sin xdx
(5  3 cos x) 2
3

5  3 cos x  t
dt  (5  3 cos x)dx
dt  3 sin xdx
dt
sin xdx  
3
 1
2
 1
7 *   dt
2
3

7
7
t
3
 
3
 
t
dt


*
C 
2
3* 2 
6
23 t 2
 1
3
1
t3  7
7
 7
 *     C  33 t *     C   3 t  C
1  6
2
 6
3
№3
Задача №7
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (x-2)y=6 и x+y=9 Сделать чертеж.
y 9 x
6
x2
x2
y
x 0 9
y 9 0
x
4
1
y
1  2  3  6 6 3 2 1
0
1
3 4 5 8
у
6
0
3
8
х
Для определения а и b решим уравнение
6
9 x
x2
( x  2)(9  x)  6
9 x  18  x 2  2 x  6
 x 2  11x  24  0
x 2  11x  24  0
x1  3
x2  8
8
6 
x2
1

Sф   9  x 
 6 ln( x  2))  9(8  3)  (8 2  3 2 )  6(ln( 8  2)  ln( 3  2)) 
dx  (9 x 
3
x 2
2
2
3
1
 9 * 5  53  6(ln 6  ln 1)  45  26.5  6 * 1.5  9.5кв.ед.
2
8
Ответ: площадь фигуры равна 9,5 кв. ед.
Задача №8
Найти сумму, разность, произведение и частное от деления комплексных чисел z1 и z 2
Изобразить заданные числа на координатной плоскости
1. Сумма
z1  z 2  (2  4i)  (5  3i)  (2  5)  (4  3)i  3  i
2. Разность
z1  z 2  (2  4i)  (5  3i)  (2  5)  (4  (3))i  7  7i
3. Произведение
z1 * z 2  (2  4i) * (5  3i)  (2 * 5  4 * (3))  (4 * 5  (2) * (3))i  (10  12)  (20  6)i 
 2  14i
4. Деление
z1  2  4i (2) * 5  4 * (3)  4 * 5  (2) * (3) 



i 
z2
5  3i
25  9
5 2  (3) 2



 10  12  20  6   22 14
11 7

 i  i
i 
25  9
34 34
17 17
 34 
Im
z1
4
-2
0
-3
5
Re
z2