Задача 11

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«МАЙКОПСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Факультет Инженерно-экономический
Кафедра
Высшей математики и системного анализа
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
______________О.В. Иванова
«_____»__________ 20____г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине ЕН.Ф.03 Экономико-математические методы
(наименование дисциплины)
по специальности 351000.65 Антикризисное управление
(шифр и наименование направления, специальности)
факультет Информационных систем
(наименование факультета, где осуществляется обучение по специальности, направлению)
МАЙКОП
Рабочая программа составлена на основании ГОС ВПО специальности 351000.65 "Антикризисное управление" и учебного плана МГТУ
Составитель рабочей программы канд. пед. наук, доцент
Л.Н. Мамадалиева
_____________
(подпись)
(должность, ученое звание, степень)
(Ф.И.О.)
_____________
Рабочая программа утверждена на заседании кафедры высшей математики и системного анализа (Протокол № 1 от 30.08.12 г.)
Заведующая кафедрой, канд. физ.-мат. наук, доцент
«___»________20__г.
_____________
(подпись)
Одобрено научно-методической комиссией факультета
(где осуществляется обучение)
С.К. Куижева
_____________
(Ф.И.О.)
«___»_________20_г.
Председатель
научно-методической
комиссии факультета
(где осуществляется обучение)
_______________
(подпись)
_____________
(Ф.И.О.)
Декан факультета
(где осуществляется обучение)
«___»_________20_г.
________________
(подпись)
____________
(Ф.И.О.)
СОГЛАСОВАНО:
Начальник УМУ
«___»_________20__г.
Зав. выпускающей кафедрой по специальности
______________
(подпись)
____________
(подпись)
____________
(Ф.И.О.)
___________
(Ф.И.О.)
«___»_________20__г.
2
1. Цели и задачи учебной дисциплины, её место в учебном процессе
1.1. Цели и задачи изучения дисциплины
Цель дисциплины «Экономико-математические методы» - обучение методам использования математического моделирования экономических процессов в отраслях народного хозяйства, способам статистической обработки информации, с целью принятия наилучших управленческих решений.
Задачи дисциплины:
-познакомить с математическими моделями оптимальных процессов управления;
-обучение общей постановке задачи оптимального управления для непрерывных и дискретных процессов, развитие навыков их сравнительного анализа;
- развитие навыков составления экономико-математических моделей для решения экономических задач;
- привить практические навыки анализа результатов задач для принятия оптимальных решений;
- обучить решению экономико-математических задач методами математического программирования с учетом их особенностей;
- обучить практическому применению экономико-математических методов в экономике.
Требования к знаниям, умениям и навыкам, которыми должны овладеть студенты:
Студент должен знать:
-оптимизационные модели экономической динамики;
-теоремы о достаточных условиях оптимальности для непрерывных и дискретных процессов;
-метод Лагранжа-Понтрягина для непрерывных процессов;
- количественные и качественные характеристики экономических явлений и процессов;
- характер взаимосвязей экономических процессов и явлений;
- типы факториальной зависимости при развитии общей экономической системы;
- основы математической статистики;
- методы математического программирования.
Студент должен уметь:
- использовать экономико-математические методы и модели, связанные с решением оптимизационных задач;
- использовать экономико-статистические модели и функции при сборе и обработке информации ;
- использовать экономико-математические методы как инструмент количественного измерения связей между экономическими явлениями;
-применять необходимые условия оптимальности для решения экономических задач;
-применять полученные результаты для принятия наилучших управленческих решений.
Студент должен приобрести навыки:
- решения оптимизационных задач с использованием методов линейного, нелинейного, динамического программирования;
-решения оптимизационных задач методом Лагранжа;
-решения оптимизационных задач методом Лагранжа-Понтрягина для непрерывных процессов;
- применения пакета прикладных программ при экономико-статистическом моделировании,
сборе и обработке данных;
- составления оптимизационных экономико-математических моделей;
- анализа результатов решений задач для принятия управленческих решений.
1.2. Краткая характеристика дисциплины, ее место в учебном процессе
Дисциплина изучается в V семестре.
3
Экономико-математические методы ( моделирование )– междисциплинарная дисциплина;
это раздел математики, занимающийся разработкой и применением методов и моделей сложных
социально-экономических объектов и процессов с целью выработки наилучших управленческих
решений этими процессами.
Особая роль принадлежит умению квалифицированно анализировать имеющиеся тенденции
в экономике, делать выводы, применять их для планирования и проектирования, находить оптимальные решения.
При этом приходится сталкиваться с такими задачами, эффективное и оперативное решение
которых практически невозможно без использования экономико-математических методов и применения пакета прикладных программ.
Экономико-математические методы и моделирование позволяют решать большой круг задач, связанных с оптимизацией различных экономических задач и процессов с учетом рационального использования материальных, трудовых и денежных ресурсов и др.
Дисциплина «Экономико-математические методы» предназначена для изучения студентами
основ экономико-математического моделирования с целью приобретения навыков решения практических задач.
1.3. Связь с предшествующими дисциплинами
Изучение дисциплины «Математические методы и модели в экономике» непосредственно
связано с такими дисциплинами, входящими в учебный план и предшествующими ее изучению,
как высшая математика, математическая статистика, макро- и микроэкономика.
1.4. Связь с последующими дисциплинами
Дисциплина «Экономико-математические методы» связана с изучением таких дисциплин, как стратегический менеджмент; управление предприятиями, логистика и т.д.
1.5. Выписка из ГОС ВПО
Экономико-математические методы
Использование экономико-математических методов при принятии управленческих решений. Оптимизационные модели экономической динамики. Математическая модель оптимальных процессов управления, общие постановки задачи оптимального управления для непрерывных и дискретных процессов, их сравнительный анализ. Достаточные условия оптимальности; теоремы о
достаточных условиях оптимальности для непрерывных и дискретных процессов; обобщенная
теорема о достаточных условиях оптимальности; непосредственное применение достаточных
условий оптимальности к решению задач оптимального управления. Метод ЛагранжаПонтрягина для непрерывных процессов. Метод Лагранжа для многошаговых процессов. Применение необходимых условий оптимальности для решений экономических задач.
2. Распределение часов учебных занятий по семестрам
Номер
семестра
Общий
объем
Учебные занятия
всего
Аудиторные
лекпракции
тические
5
68
34
17
17
6
68
12
8
4
лабораторные
ОФО
ЗФО
-
СРС
Форма
итоговой
аттестации
34
экзамен
56
экзамен
Количество часов в
неделю
лекции прак- лаботиче- раторские
ные
1
1
-
4
2.1. Разделы дисциплины и виды занятий
№
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Раздел дисциплины
Тема
1.
Основы
экономикоматематического моделирования.
1.1. Понятие модели и моделирования.
Классификация математических моделей.
Определение модели, моделирования, объекта, явления, процесса. Свойства модели.
Типы моделей: геометрические, физические, математические. Классификация математических моделей и их характеристики: корреляционные модели и производственные функции; балансовые модели;
оптимизационные модели. Детерминированные и стохастические модели.
1.2. Методы математического моделирования и программирования, стадии моделирования. Классические методы дифференциального исчисления. Методы математического программирования. Стадии программирования. Необходимость и возможность применения математических методов
и моделей в экономике.
Тема 2.Детерминированные экономические
модели. Методы математического программирования в решении экономических
задач.
2.1. Выпуклые множества в пространстве
Rn,их свойства. Общая задача оптимизации
и линейное программирование. Постановка
задачи. Задачи планирования производства,
задача о рационе, транспортная задача, задача о банке. Общая формулировка. Переменные задачи План. Целевая функция.
2.2. Стандартная, каноническая задача линейного программирования (ЗЛП). Геометрические свойства ЗЛП. Теоремы. Графический метод решения ЗЛП с двумя переменными. Анализ модели на чувствительность.
2.3. Симплекс-метод. Общая идея симплекс-метода.
Построение
начального
опорного плана. Симплексные таблицы.
Признак оптимальности опорного плана.
Теоремы. Переход к не худшему опорному
плану. Симплексные преобразования. Теория двойственности в линейном программировании.
Тема 3.Оптимизационные модели экономической динамики.
Практические
СРС
(семинарские)
ОФО ЗФО ОФО ЗФО ОФО ЗФО
Лекции
1
1
1
3
4
1
1
1
3
4
2
1
2
3
5
2
1
3
5
2
1
2
3
5
1
1
1
3
5
1
2
1
5
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
3.1. Задача безусловной оптимизации. Вогнутые и выпуклые функции, максимум и
минимум функции, положительно и отрицательно
определенные
квадратичные
формы. Основные теоремы безусловной
оптимизации.
3.2. Задачи условной оптимизации. Задача
на условный экстремум при ограниченияхравенствах; задача на условный экстремум
при ограничениях-неравенствах.
3.3. Классическое правило множителей Лагранжа. Метод Лагранжа. Условия КунаТакера.
3.4. Функция полезности, ее свойства. Предельная полезность и предельная норма
замещения благ. Задача оптимального выбора благ потребителем. Производственная
функция, ее основные свойства. Коэффициенты эластичности и предельные нормы
замещения факторов производства. Типовые производственные функции.
3.5. Задача оптимизации издержек производства и объема выпуска продукции.
Функция издержек. Задача максимизации
объема выпуска продукции. Функции спроса.
3.6. Динамическое программирование.
Уравнение Беллмана.
Принцип оптимальности Беллмана. Применение функции Беллмана для дискретных процессов оптимального управления.
Тема 4. Модели экономического роста.
4.1.Некоторые простейшие математические
модели экономики; модель Леонтьева.
Принцип максимума Понтрягина.
4.2. Односекторная модель оптимального
экономического роста. Решение задачи об
оптимальном росте для односекторной замкнутой системы с бесконечным горизонтом управления и положительной нормой
управления с помощью принципа Понтрягина.
ИТОГО
1
1
1
3
4
1
1
1
3
4
1
1
1
2
4
1
1
1
2
4
1
1
2
4
2
2
2
4
1
1
2
4
34
56
17
8
17
4
6
3. Содержание дисциплины
3.1. Наименование тем, их содержание, объем в часах лекционных занятий
ПоРаздел, тема учебного курса, содержание лекции
Количество
рядкочасов
вый
номер
ОФО ЗФО
лекции
1. Тема 1. Основы экономико-математического моделирования.
1.1. Понятие модели и моделирования. Классификация математических моделей. Определение модели, моделирования, объекта, явления, процесса. Свойства модели. Типы моделей: геомет1
1
рические, физические, математические. Классификация математических моделей и их характеристики: корреляционные модели
и производственные функции; балансовые модели; оптимизационные модели. Детерминированные и стохастические модели.
2. 1.2. Методы математического моделирования и программирования, стадии моделирования. Классические методы дифференциального исчисления. Методы математического программирова- 1
1
ния. Стадии программирования. Необходимость и возможность
применения математических методов и моделей в экономике.
3. Тема 2.Детерминированные экономические модели. Методы
математического программирования в решении экономических
задач.
2.1. Выпуклые множества в пространстве Rn,их свойства. Общая
2
1
задача оптимизации и линейное программирование. Постановка
задачи. Задачи планирования производства, задача о рационе,
транспортная задача, задача о банке. Общая формулировка . Переменные задачи .План. Целевая функция..
4. 2.2. Стандартная, каноническая задача линейного программирования (ЗЛП). Геометрические свойства ЗЛП. Теоремы. Графиче2
1
ский метод решения ЗЛП с двумя переменными. Анализ модели
на чувствительность.
5. 2.3. Симплекс-метод. Общая идея симплекс-метода. Построение
начального опорного плана. Симплексные таблицы. Признак оптимальности опорного плана. Теоремы. Переход к не худшему 2
1
опорному плану. Симплексные преобразования. Теория двойственности в линейном программировании.
6. Тема 3.Оптимизационные модели экономической динамики.
3.1. Задача безусловной оптимизации. Вогнутые и выпуклые
функции, максимум и минимум функции, положительно и отри1
1
цательно определенные квадратичные формы. Основные теоремы безусловной оптимизации.
3.2. Задачи условной оптимизации. Задача на условный экстре7. мум при ограничениях-равенствах; задача на условный экстре- 1
1
мум при ограничениях-неравенствах.
8. 3.3. Классическое правило множителей Лагранжа. Метод Ла1
1
гранжа. Условия Куна-Такера.
9. 3.4. Функция полезности, ее свойства. Предельная полезность и
предельная норма замещения благ. Задача оптимального выбора
благ потребителем. Производственная функция, ее основные 1
свойства. Коэффициенты эластичности и предельные нормы замещения факторов производства. Типовые производственные
7
функции.
10. 3.5. Задача оптимизации издержек производства и объема выпуска продукции. Функция издержек. Задача максимизации объема выпуска продукции. Функции спроса.
11. 3.6. Динамическое программирование. Уравнение Беллмана.
Принцип оптимальности Беллмана. Применение функции Беллмана для дискретных процессов оптимального управления.
12. Тема 4. Модели экономического роста.
4.1.Некоторые простейшие математические модели экономики;
модель Леонтьева. Принцип максимума Понтрягина.
13. 4.2. Односекторная модель оптимального экономического роста.
Решение задачи об оптимальном росте для односекторной замкнутой системы с бесконечным горизонтом управления и положительной нормой управления с помощью принципа Понтрягина.
ИТОГО
1
1
2
1
17
8
3.2. Практические (семинарские) занятия, их наименование, содержание и объём в
часах
Поряд
Наименование темы практического занятия
Тема
Коликовый
чество
номер
часов
О ЗФ
Ф О
О
Составление задачи планирования производства, задачи о раци- 1
1.
оне.
2.1-2.3
1
1
2. Решение ЗЛП графическим методом.
1
3. Анализ модели ЗЛП на чувствительность.
Решение задачи оптимального выпуска продукции симплекс- 2
1
4.
методом.
2.1-2.3
1
5. Составление двойственной задачи, ее экономический анализ.
Решение задачи условной оптимизации с применением метода 2
6.
3.2-3.3
множителей Лагранжа.
Производственные функции. Эластичность спроса от цены, эла- 1
7.
стичность предложения от цены.
Эластичность экономических функций. Функция Кобба-Дугласа. 1
8.
3.4-3.5
Задачи.
Определение издержек. Принцип минимизации издержек. Зада- 1
1
9.
чи.
Максимизация прибыли и определение объема выпуска фирмой. 1
1
10.
Задачи.
1
11. Динамическое программирование, общая схема решения.
3.5-3.6
1
12. ДП Задача распределения ресурсов.
1
13. ДП Задача распределения инвестиций.
1
14. Динамическая межотраслевая балансовая модель.
4.1
Решение задачи об оптимальном росте для односекторной замкнутой системы с бесконечным горизонтом управления и по1
15.
4.2
ложительной нормой управления с помощью принципа Понтрягина.
Всего
17
4
8
3.3.Лабораторные занятия, их наименование и объем в часах
Учебным планом лабораторные занятия не предусмотрены.
3.4. Самостоятельная работа студентов. Разделы, темы, перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы. Сроки выполнения,
объем в часах
Темы рабочей
Перечень домашних заданий и вопросов
Сроки выОбъем часов
программы самодля самостоятельного изучения
полнения
ОФО
ЗФО
стоятельного
изучения
1.
Задачи оценки рисков
сентябрь
3
5
2.
Теория оптимального управления, поста3
5
новка и классификация задач.
3.
Простейшая динамическая модель макро3
5
экономики. Простейшая задача оптимального управления.
4.
Линейная модель торговли
октябрь
3
5
5.
Задача коммивояжера, метод ветвей и гра3
5
ниц
6.
Системы массового обслуживания
октябрь,
3
5
ноябрь
7.
Модель Эванса
4
5
8.
Оптимизационные модели, теория игр.
ноябрь
4
5
9.
Статистические методы. Метод наимень4
6
ших квадратов.
10.
Модель Солоу
декабрь
2
5
11.
Ценообразование
2
5
ИТОГО
34
56
3.5. Курсовой проект (работа), его характеристика и трудоемкость, примерная
тематика
Курсовой проект учебным планом не предусмотрен.
3.6. Примерный перечень вопросов к экзамену для студентов ОФО, ЗФО
1. Понятие модели и моделирования. Классификация математических моделей. Определение модели, моделирования, объекта, явления, процесса. Свойства модели. Типы моделей: геометрические, физические, математические. Классификация математических моделей и их характеристики: корреляционные модели и производственные функции; балансовые модели; оптимизационные модели. Детерминированные и стохастические модели.
2. Методы математического моделирования и программирования, стадии моделирования. Классические методы дифференциального исчисления. Методы математического программирования.
Стадии программирования. Необходимость и возможность применения математических методов
и моделей в экономике.
3. Выпуклые множества в пространстве Rn . Их свойства.
4. Общая задача оптимизации. Линейное программирование. Задачи планирования производства.
5. Общая формулировка ЗЛП. Целевая функция, план. Каноническая и стандартная ЗЛП.
6. Геометрические свойства ЗЛП. Теоремы.
7. Графический метод решения ЗЛП с двумя и более переменными.
8. Симплекс-метод. Общая идея симплекс-метода. Построение первоначального опорного плана.
Симплексные таблицы.
9. Признак оптимальности опорного плана ЗЛП. Теоремы. Переход к нехудшему опорному плану. Симплексные преобразования.
10. Теория двойственности в линейном программировании.
9
11. Теория оптимального управления, постановка и классификация задач
12. Простейшая динамическая модель макроэкономики. Простейшая задача оптимального
управления.
13. Задача безусловной оптимизации. Вогнутые и выпуклые функции, максимум и минимум
функции, положительно и отрицательно определенные квадратичные формы.
14. Основные теоремы безусловной оптимизации.
15. Задачи условной оптимизации. Задача на условный экстремум при ограничениях-равенствах.
16. Задача на условный экстремум при ограничениях-неравенствах.
17. Классическое правило множителей Лагранжа. Метод Лагранжа. Условия Куна-Такера.
18. Функция полезности, ее свойства. Предельная полезность и предельная норма замещения
благ. Задача оптимального выбора благ потребителем.
19. Производственная функция, ее основные свойства. Коэффициенты эластичности и предельные нормы замещения факторов производства. Типовые производственные функции. Функция
Кобба-Дугласа.
20. Задача оптимизации издержек производства и объема выпуска продукции. Функция издержек.
21. Задача максимизации объема выпуска продукции. Функции спроса.
22. Некоторые простейшие математические модели экономики; модель Леонтьева.
23. Принцип максимума Понтрягина.
24. Односекторная модель оптимального экономического роста.
25. Решение задачи об оптимальном росте для односекторной замкнутой системы с бесконечным
горизонтом управления и положительной нормой управления с помощью принципа Понтрягина.
26. Особенности решения задач с искусственным базисом симплексным методом.
27. Анализ решений общих задач линейного программирования. Анализ основных и дополнительных переменных, попавших в базис. Анализ основных и дополнительных переменных, не
вошедших в базис. Коэффициенты замещения. Устойчивость оптимального решения при изменении коэффициентов целевой функции.
28. Основные элементы и стадии экономико-статистического моделирования. Понятие экономико-статистической модели. Стадии процесса моделирования: экономический анализ, сбор и обработка статистических данных, определение формы связи переменных, параметров модели, оценка степени соответствия модели изучаемому процессу.
29. Расчет параметров производственных функций. Принцип наименьших квадратов. Системы
нормальных уравнений для основных видов производственных функций. Применение линейных
моделей регрессии.
30. Оценка производственных функций с использованием методов корреляционнорегрессионного анализа. Понятие коэффициентов корреляции и корреляционного отношения и
их вычисление. Оценка погрешностей их определения. Коэффициент детерминации. Корреляционный анализ результатов решения.
31. Теория матричных игр в планировании производства. Основные понятия. Типы решаемых
задач. Теория Неймана. Алгоритм решения. Анализ результатов.
32. Динамическое программирование. Основы динамического программирования. Типы решаемых задач. Метод функциональных уравнений Беллмана.
33. Алгоритм решения задачи распределения ресурсов и инвестиций. Анализ результатов.
34. Транспортная задача, оптимизация по критерию наименьшей стоимости
10
4. Учебно-методические материалы по дисциплине
4.1. Основная и дополнительная литература
Основная литература
1. ЭБС «Айбукс» Красс, М. С. Математические методы и модели для магистрантов экономики: учеб. пособие/ М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. — СПб.: Питер, 2010. — 496 с. - Режим доступа: http://ibooks.ru/
Дополнительная литература
2. ЭБС «Айбукс» Гусева, Е.Н. Экономико-математическое моделирование: учеб. пособие/
Е.Н. Гусева. — М.: Флинта: Наука, 2011. — 216 с. - Режим доступа: http://ibooks.ru/
3. Акулич, И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах : учеб. пособие/
И.Л. Акулич. - СПб.: Лань, 2011. - 352 с.
4. Математические методы и модели в экономике и управлении (типовые расчеты): учеб.
пособие/ сост. Беданоков М.К., Шамбалева Г.В.. – Майкоп: Качество, 2011.
Сборник задач и упражнений по высшей математике. Математическое программирование
: учеб. пособие/ [А.В. Кузнецов и др.]; под общ. ред. А.В. Кузнецова, Р.А. Рутковского. - СПб.:
Лань, 2010. - 448 с.
4.2. Перечень обучающих, контролирующих компьютерных программ
1. Обучающая компьютерная программа matrix для вычисления определителей, решения систем
линейных уравнений.
2. Обучающая компьютерная программа Simplex для решения задач линейного программирования симплексным методом.
3.
Использование электронных таблиц Microsoft Excel:
а) в методах оптимальных решений в информационных технологиях, а именно в методах линейной оптимизации сетевого планирования и управления;
б) в игровых методах в информационных технологиях;
в) в методах нелинейной и векторной оптимизации.
4. Компьютерный класс (ауд. 2-45).
11
3.Дополнения и изменения в рабочей программе
за ________/________ учебный год
В рабочую программу ________________________________________________________
(наименование дисциплины)
для специальности (тей) ______________________________________________________
(номер специальности)
вносятся следующие дополнения и изменения:
Дополнения и изменения внес ___________________________________________________
(должность, Ф.И.О., подпись)
Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры ___________________
_____________________________________________________________________________
(наименование кафедры)
«____»___________________20_г.
Заведующий кафедрой
__________________
(подпись)
_____________
(Ф.И.О.)
12
Фонд оценочных средств измерения уровня освоения студентами дисциплины
« Экономико-математические методы»
специальности 351000.65 "Антикризисное управление"
Фонд оценочных средств дисциплины включает в себя:
- вопросы к экзамену для проведения промежуточной аттестации;
- контрольные задания для проведения текущего контроля знаний;
- тестовые задания для контроля остаточных знаний.
Критерии оценки знаний студента на экзамене
Оценка «отлично» - выставляется студенту, показавшему всесторонние, систематизированные, глубокие знания учебной программы дисциплины и умение уверенно применять их на
практике при решении конкретных задач, свободное и правильное обоснование принятых решений.
Оценка «хорошо» - выставляется студенту, если он твердо знает материал, грамотно и по
существу излагает его, умеет применять полученные знания на практике, но допускает в ответе
или в решении задач некоторые неточности, которые может устранить с помощью дополнительных вопросов преподавателя.
Оценка «удовлетворительно» - выставляется студенту, показавшему фрагментарный,
разрозненный характер знаний, недостаточно правильные формулировки базовых понятий,
нарушения логической последовательности в изложении программного материала, но при этом
он владеет основными разделами учебной программы, необходимыми для дальнейшего обучения
и может применять полученные знания по образцу в стандартной ситуации.
Оценка «неудовлетворительно» - выставляется студенту, который не знает большей части основного содержания учебной программы дисциплины, допускает грубые ошибки в формулировках основных понятий дисциплины и не умеет использовать полученные знания при решении типовых практических задач.
Критерии оценки знаний студентов при проведении тестирования
Оценка «отлично» выставляется при условии правильного ответа студента не менее чем
85% тестовых заданий;
Оценка «хорошо» выставляется при условии правильного ответа студента не менее чем
70% тестовых заданий;
Оценка «удовлетворительно» выставляется при условии правильного ответа студента не
менее - 51%; .
Оценка «неудовлетворительно» выставляется при условии правильного ответа студента
менее чем на 50% тестовых заданий.
13
Вопросы к экзамену для проведения промежуточной аттестации
1. Понятие модели и моделирования. Классификация математических моделей. Определение модели, моделирования, объекта, явления, процесса. Свойства модели. Типы моделей: геометрические, физические, математические. Классификация математических моделей и их характеристики: корреляционные модели и производственные функции; балансовые модели; оптимизационные модели. Детерминированные и стохастические модели.
2. Методы математического моделирования и программирования, стадии моделирования. Классические методы дифференциального исчисления. Методы математического программирования.
Стадии программирования. Необходимость и возможность применения математических методов
и моделей в экономике.
3. Выпуклые множества в пространстве Rn . Их свойства.
4. Общая задача оптимизации. Линейное программирование. Задачи планирования производства.
5. Общая формулировка ЗЛП. Целевая функция, план. Каноническая и стандартная ЗЛП.
6. Геометрические свойства ЗЛП. Теоремы.
7. Графический метод решения ЗЛП с двумя и более переменными.
8. Симплекс-метод. Общая идея симплекс-метода. Построение первоначального опорного плана.
Симплексные таблицы.
9. Признак оптимальности опорного плана ЗЛП. Теоремы. Переход к нехудшему опорному плану. Симплексные преобразования.
10. Теория двойственности в линейном программировании.
11. Теория оптимального управления, постановка и классификация задач
12. Простейшая динамическая модель макроэкономики. Простейшая задача оптимального
управления.
13. Задача безусловной оптимизации. Вогнутые и выпуклые функции, максимум и минимум
функции, положительно и отрицательно определенные квадратичные формы.
14. Основные теоремы безусловной оптимизации.
15. Задачи условной оптимизации. Задача на условный экстремум при ограничениях-равенствах.
16. Задача на условный экстремум при ограничениях-неравенствах.
17. Классическое правило множителей Лагранжа. Метод Лагранжа. Условия Куна-Такера.
18. Функция полезности, ее свойства. Предельная полезность и предельная норма замещения
благ. Задача оптимального выбора благ потребителем.
19. Производственная функция, ее основные свойства. Коэффициенты эластичности и предельные нормы замещения факторов производства. Типовые производственные функции. Функция
Кобба-Дугласа.
20. Задача оптимизации издержек производства и объема выпуска продукции. Функция издержек.
21. Задача максимизации объема выпуска продукции. Функции спроса.
22. Некоторые простейшие математические модели экономики; модель Леонтьева.
23. Принцип максимума Понтрягина.
24. Односекторная модель оптимального экономического роста.
25. Решение задачи об оптимальном росте для односекторной замкнутой системы с бесконечным
горизонтом управления и положительной нормой управления с помощью принципа Понтрягина.
26. Особенности решения задач с искусственным базисом симплексным методом.
27. Анализ решений общих задач линейного программирования. Анализ основных и дополнительных переменных, попавших в базис. Анализ основных и дополнительных переменных, не
вошедших в базис. Коэффициенты замещения. Устойчивость оптимального решения при изменении коэффициентов целевой функции.
28. Основные элементы и стадии экономико-статистического моделирования. Понятие экономико-статистической модели. Стадии процесса моделирования: экономический анализ, сбор и обработка статистических данных, определение формы связи переменных, параметров модели, оценка степени соответствия модели изучаемому процессу.
14
29. Расчет параметров производственных функций. Принцип наименьших квадратов. Системы
нормальных уравнений для основных видов производственных функций. Применение линейных
моделей регрессии.
30. Оценка производственных функций с использованием методов корреляционнорегрессионного анализа. Понятие коэффициентов корреляции и корреляционного отношения и
их вычисление. Оценка погрешностей их определения. Коэффициент детерминации. Корреляционный анализ результатов решения.
31. Теория матричных игр в планировании производства. Основные понятия. Типы решаемых
задач. Теория Неймана. Алгоритм решения. Анализ результатов.
32. Динамическое программирование. Основы динамического программирования. Типы решаемых задач. Метод функциональных уравнений Беллмана.
33. Алгоритм решения задачи распределения ресурсов и инвестиций. Анализ результатов.
34. Транспортная задача, оптимизация по критерию наименьшей стоимости
15
Контрольные задания для проверки текущей успеваемости
по дисциплине «Экономико-математические методы»
N
ДЕ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
специальности 351000.65 "Антикризисное управление"
Тематическая структура
N
Наименование
заТема задания
дидактической единицы ГОС
дания
1.
Модель Леонтьева
Оптимизационные модели экономической динамики
Математическая модель оптимальных процессов управления, общие
постановки задачи оптимального
управления для непрерывных и дискретных процессов, их сравнительный анализ.
Достаточные условия оптимальности; теоремы о достаточных условиях оптимальности для непрерывных
и дискретных процессов
Обобщенная теорема о достаточных
условиях оптимальности
Непосредственное применение достаточных условий оптимальности к
решению задач оптимального
управления
Метод Лагранжа-Понтрягина для
непрерывных процессов
2.
3.
4.
Вычисление показателей ряда динамики
Составление математической модели задачи выпуска производства
Составление математической модели задачи о размещении
5.
Кривые обучения
6.
Нахождение решение двойственной ЗЛП
7.
8.
9.
10.
7.
Метод Лагранжа для многошаговых
процессов
11.
8.
Применение необходимых условий
оптимальности для решений экономических задач
12.
Линейные по управлению процессы без
ограничений на управление
Линейные по управлению процессы с
ограничениями на управление
Открытая модель транспортной задачи
(ограничения на пропускную способность)
Нахождение условного экстремума
функции
Условие оптимальности для многошагового процесса при наличии ограничений
на управление
Задачи на условный экстремум.
1. Оптимизационные модели экономической динамики
Задача 1
Экономика представлена двумя отраслями производства: промышленностью и сельским хозяйством. За отчетный период получены следующие данные о межотраслевых поставках Xij и
векторе объемов конечного использования Y0.
ОтраслиНормы расхода
потребители
Отрасли
Y0
X
Yn
ΔY% Ресурсы
1
2
1
2
1
62
42
102
252
152
+12
1
1.8
1.3
2
32
12
62
302
202
-8
2
2.3
1.6
v
8
6
3
1.3
0.6
16
Требуется:
1. Определить матрицу коэффициентов прямых материальных затрат А, матрицу «затратывыпуск» (Е-А) и вектор конечного потребления для вектора валовых выпусков Х.
2. Определит матрицу коэффициентов полных материальных затрат В и валовые объемы
выпуска Хn для вектора конечного использования Yn.
3. Определить приросты валовых объемов выпуска, если конечное потребление должно
измениться на ΔY% по сравнению с Yn.
4. Определит матрицу полных затрат ресурсов S для матрицы М ее прямых затрат и суммарную потребность µ в ресурсах для вектора конечного использования (отчетного и
планового).
5. Определить матрицы коэффициентов косвенных затрат первого, второго и третьего порядка, сравнить сумму затрат с полными затратами В, найти абсолютные погрешности.
6. Найти потребность в продукции всех отраслей материального производства для получения единицы конечного продукта j-го вида.
Задача 2.
По данным таблицы
Годы
Количество телефонных разговоров региональной сети сотовой связи (млн.)
2003 2004 2005 2006
76
88
98
105
вычислить основные показатели ряда динамики: абсолютный цепной прирост  i ; абсолютный
ц
базисный прирост i ; ускорение
б
ц
/i ; темп роста цепной Tрц ; темп роста базисный Tрб ; темп приб
роста цепной Tп ; темп прироста базисный Tп ; абсолютное значение 1% прироста.
2. Математическая модель оптимальных процессов управления, общие постановки задачи оптимального управления для непрерывных и дискретных процессов, их сравнительный анализ.
Задача 3
На предприятии имеется возможность выпускать n видов продукции Пj ( ). При её изготовлении
используются ресурсы Р1, Р2 и Р3. Размеры допустимых затрат ресурсов ограничены соответственно величинам b1, b2 и b3. Расход i-го ( ) вида ресурса, который идёт на изготовление единицы продукции j-го вида составляет aij единиц. Цена единицы продукции j-го вида равна сj ден.
ед. Требуется симплексным методом найти план выпуска продукции по видам с учётом имеющихся ограниченных ресурсов, который обеспечивал бы предприятию максимальный доход. Необходимые числовые данные приведены в таблице.
n b1 b2 b3 а11 а12 а13 a14 а21 a22 а23 а24 a31 a32 a33 a34 c1 c2 c3 c4
4 20 37 30 2 2 3
0
3
1 1 1 2 0 1 4
11 6 9 6
Задача 4
Составить оптимальный план размещения туристов туристических групп А1, А2, А3, А4 по номерам трех корпусов В1, В2, В3, расположенных на территории туристического комплекса, так,
чтобы стоимость проживания туристов была минимальна. Стоимости проживания в номерах, количество номеров и количество туристов в группах приведены в таблице.
В1 В2 В3 Количество туристов
А1
3 4 2 40
А2
2 3 5 25
А3
4 6 2 35
А4
8 5 6 20
Количество номеров 30 45 65
17
Задача 5
На изготовление первой единицы продукции потребовалось Y1=16 ч. Уровень обучения L=80%.
Определить, сколько времени потребуется на изготовление пятой единицы продукции.
3. Достаточные условия оптимальности; теоремы о достаточных условиях оптимальности для непрерывных и дискретных процессов
Задача 6.
Сформулировать двойственную задачу для задачи 3. Найти ее решение.
Вопрос.
Как формулируется теорема о достаточных условиях оптимальности для непрерывных
процессов? Какой существенной особенностью она обладает и тем самым вызывает необходимость обращаться к обобщенной теореме?
4. Обобщенная теорема о достаточных условиях оптимальности
Задача 7
На три базы А1, А2, А3 поступил однородный груз в количествах, соответственно равных 6, 8,
10 ед. Этот груз требуется перевезти в четыре магазина В1, В2, В3, В4 соответственно в количествах 4, 6, 8, 8 ед. Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов (тыс. руб. за единицу груза).
Задача 8
Решить транспортную задачу, исходные данные которой приведены в таблице
B1
B2
B3
ai
A1
1
5
6
200
A2
2
6
7
300
A3
3
7
8
500
bj
500
400
100
1000
При дополнительных условиях: из пункта A1 в пункт B2 необходимо перевезти ровно 100 ед.
груза, из A3 в пункт B2 не более 200 ед. груза.
5. Непосредственное применение достаточных условий оптимальности к решению задач
оптимального управления
Задача 9
Туристическая фирма «КАВКАЗ» заключила контракт с компанией «ПАРУС» на покупку туристических путевок для их реализации в пяти городах в объемах: Самара - 80, Москва - 260, Ростов-на-Дону - 100, Санкт-Петербург-140, Нижний Новгород - 120 путевок.
Компания располагает тремя курортами: «Космос», «Радуга», «Звезда», которые планируют за
сезон принять соответственно 300, 250 и 250 туристов.
Определить минимальную стоимость фрахта специализированного транспорта, обеспечивающую
полное удовлетворение покупателей, при заданной матрице тарифов
.
6. Метод Лагранжа-Понтрягина для непрерывных процессов
Задача 10
Найти условный экстремум функции f(x1,x2)= x1x2 при x12+x22=8.
7. Метод Лагранжа для многошаговых процессов
18
Задача 11
Некая фирма осуществляет розничную торговлю товарами двух наименований -A и B по
цене соответственно 1000 и 900 рублей за штуку. Структура ежедневного спроса определяется
отношением 2:1 , т.е. на каждый проданный товар B продается 2 единицы товара A. Ежедневный
спрос на товары обоих наименований колеблется в пределах от 120 до 180 шт. Закупка товаров
осуществляется только на заемные средства, которые берутся под 0,1% в день. Ссуду можно
брать под залог объектов недвижимости и ее максимальная величина составляет 3800000 рублей
на любой срок, а условия возврата следующие - основной долг необходимо погашать равными
долями в течение всего срока плюс ежедневно платить 0,1% от непогашенной накануне суммы
основного долга (если, например, взят 100 тыс.руб. на 5 суток, то через сутки необходимо вернуть 20 тыс. плюс 0,1% со 100 тыс.руб., еще через сутки - следующие 20 тыс. плюс 0,1% с 80 тыс.
и т.д.).
Закупка товара осуществляется на оптовой базе, оптовая цена не зависит от объема партии и
равна 800 рублям за штуку по товару А и 600 рублям за штуку по товару В. Однако с целью стимулирования закупок более крупными партиями база берет дополнительно за каждую сделку 20
тыс. руб (т.е. за товар необходимо заплатить 20000 + 800n 1 +600n 2 руб, где n 1 - количество единиц товара A, n 2 количество единиц товара B).
Таким образом, при закупке более крупными партиями фирма экономит на условно-постоянных
затратах (меньшее количество раз платит по 20 тыс.), но в этом случае возрастает среднесуточная
величина процентов, выплачиваемых кредитору. Необходимо определить оптимальную стратегию закупок товаров фирмой, т.е. такую, при которой среднесуточный чистый доход фирмы будет максимальным. Количество закупаемых единиц товара должно быть кратно 10.
Требуется:
1. Составить экономико-математическую модель расчета оптимальной стратегии управления кредитованием оптовых закупок.
2. Используя метод множителей Лагранжа, найти оптимальную стратегию управления кредитом и оптовыми закупками фирмы.
8. Применение необходимых условий оптимальности для решений экономических задач
Задача 12.
Предприятие выпускает два вида продукции в объемах x1 , x2 . Они реализуются по ценам
40  x1 , 100  2x2 соответственно. По плану предприятие должно выпустить ровно 50 единиц
продукции. Определить план производства, обеспечивающий наибольший доход.
19
Тестовые задания для проведения контроля остаточных знаний
по дисциплине «Экономико-математические методы»
специальности 351000.65 "Антикризисное управление"
1.
Модель объекта-это:
1.Материальный или мысленно представленный объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал, воспроизводя его свойства и характеристики;
2. Достоверное отображение объекта виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков;
3.Это его гомоморфное отображение.
2.При построении модели должны соблюдаться следующие принципы:
1.Адекватность;
2.Повторяемость свойств;
3.Принцип абстрагирования от второстепенных деталей.
3.Особенно важными являются принципы:
1.Соответствие сложности модели требуемой точности результатов моделирования;
2.Баланс погрешностей различных видов;
3.Одновариантность реализаций элементов модели.
4.Линейное программирование-раздел высшей математики, изучающий:
1. Методы отыскания минимальных значений линейной функции;
2. Методы отыскания максимальных значений линейной функции
3.Методы отыскания экстремальных значений линейной функции.
5.Общей задачей линейного программирования называется задача:
1.Состоящая в определении максимального значения функции;
2. Состоящая в определении минимального значения функции;
3.Состоящая в составлении целевой функции.
6. Применение симплексного метода для решения ЗЛП предполагает:
1.Наличие первоначального опорного плана ЗЛП;
2.Вычисление алгебраических дополнений к элементам матрицы, составленной из коэффициентов СЛУ;
3.Применение симплексных преобразований для перехода к нехудшему опорному плану.
7. Методы отыскания опорного плана с учётом стоимости перевозок единицы груза:
1.Метод северо-западного угла;
2.Метод минимальной стоимости;
3.Метод Фогеля.
8. Методы оптимизации опорного плана:
1.Метод Лебедева;
2.Метод потенциалов;
3.Метод распределения
9. Динамическое программирование-метод оптимизации:
1.Для операций, в которых процесс принятия решений не зависит от этапов решения задачи;
2. Для операций, в которых процесс принятия решений разбит на этапы;
3. Для операций, в которых целевая функция является линейной.
10. Матричная игра приводится к:
20
1.Задаче линейного программирования;
2. Задаче динамического программирования;
3. Игре с природой.
11.При решении игр с природой применяются критерии оптимизма:
1.Байеса;
2.Лапласа;
3.Вальда.
12. При решении игр с природой применяются критерии пессимизма:
1. Сэвиджа;
2.Лапласа;
3. Вальда.
13.Элементы графа:
1.Вершины;
2.Рёбра;
3.Цепи.
14.Элементы сетевого графика:
1.Путь;
2.Время;
3.Скорость.
15. Сетевой график строится с соблюдением следующих правил:
1.Любые два события могут быть соединены более чем одной стрелкой;
2. В сетевом графике не должно быть замкнутых циклов;
3.Все события, кроме конечного, должны иметь следующую работу.
21
Ключи для проверки тестов для контроля остаточных знаний:
Номер
1
задания
Номер
1,3
ответа
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1,3
1,2
3
1,2
1,3
2,3
2
2
1,3
1,2
1,3
1,2
1,2
2,3
Разработчик ФОС
________________ Л.Н. Мамадалиева
Зав. кафедрой
________________ С.К. Куижева
«____» ____________ 20 ___ г.
22