УРОК ПО ТЕМЕ: «Движения. Центральная симметрия. Осевая симметрия.

УРОК ПО ТЕМЕ:
«Движения.
Центральная симметрия.
Осевая симметрия.
Зеркальная симметрия.
Параллельный перенос».
(С использованием компьютерных технологий)
Геометрия 11 класс
Цели урока:
познакомить учащихся с понятиями движения
пространства и основными видами движений.
Задачи:
Образовательные: способствовать формированию
знаний обучающихся о понятии движения
пространства,
ознакомить
обучающихся
с
основными видами движений: центральная
симметрия,
осевая
симметрия,
зеркальная
симметрия, параллельный перенос;
Развивающие:
способствовать
развитию
логического и пространственного мышлений и
формированию познавательного интереса у
обучающихся;
Воспитательные: способствовать формированию
научного мировоззрения.
Тип урока:
изучение нового материала.
Оборудование:
тетради, письменные принадлежности, доска, мел,
компьютер.
Структура урока:
 организационный момент;
 изучение нового материала;
 закрепление изученного материала:
 решение задачи по готовым чертежам,
 самостоятельное решение с последующей
проверкой;
 подведение итогов;
 домашнее задание.
Ход урока.
I. Организационный момент.
1) Приветствие.
2) Проверка присутствующих.
3) Проверка готовности кабинета к уроку.
II. Изучение нового материала.
У: В курсе планиметрии мы познакомились с движениями плоскости, т. е.
отображениями плоскости на себя, сохраняющими расстояние между точками. А
сегодня мы познакомимся с понятием движения пространства. Что мы понимаем под
словами отображение пространства на себя? Допустим, что каждой точке M
пространства поставлена в соответствие некоторая точка M 1 , причём любая точка M 1
пространства оказалась поставленной в соответствие какой-то точке M. Тогда говорят,
что задано отображение пространства на себя. Также говорят, что при данном
отображении точка M переходит (отображается) в точку M 1 . Под движением
пространства понимается отображение пространства на себя, при котором любые две
точки А и В переходят (отображаются) в какие-то точки À1 и Â1 так, что À1 Â1  ÀÂ .
Далее учитель предлагает ученикам найти на рабочем столе компьютера папку «УРОК»
и открыть её.
Открыть документ «Теория» Приложение 1 и предложить списать в тетрадь данное
определение и примеры движения.
У: Изучим каждый пример более детально. Рассмотрим центральную симметрию.
Перейдём к Приложению 2.
Приложение 2, рис. 1.
Обозначим буквой О центр симметрии и введём прямоугольную систему координат
Oxyz. Установим связь между координатами двух точек M (x; y; z) и M1 (x 1 , y1 , z1 ) ,
симметричных относительно точки О.
Рассмотрим случай, когда точки О и М не совпадают, значит О − середина отрезка
ÌÌ 1 .
По
формулам
для
координат
середины
отрезка
получаем
x  x1
 0;
2
y  y1
z  z1
 0;
 0  x1   x;
2
2
y1   y;
z1   z. Эти формулы верны и в
том случае когда точки О и М совпадают (учащиеся должны объяснить почему).
Приложение 2, рис. 2.
Рассмотрим две точки À (x1 , y1 , z1 ) и Â (x 2 , y 2 , z 2 ) и докажем, что расстояние
между симметричными им точками À1 и Â1 равно АВ. Точки À1 и Â1 имеют
координаты
A1 ( - 1x, - y1 , - z1 ) и Â1 (-x2 , - y 2 , - z 2 ) .
x2  x1 2   y2  y1 2  z2  z1 2 и
 x2  x1 2   y2  y1 2   z2  z1 2 . Очевидно, что ÀÂ  À1Â1 .
двумя точками находим: ÀÂ 
À1 Â1 
По формуле расстояние между
У: Рассмотрим осевую симметрию. Перейдём к Приложению 3.
Приложение 3, рис. 1.
Введём прямоугольную систему координат Oxyz так, чтобы ось Оz совпадала с осью
симметрии, установим связь между координатами двух точек M (x; y; z) и
M1 (x 1 , y1 , z1 ) , симметричных относительно оси Оz.
Если точка М не лежит на оси Оz, то ось Оz:
1) проходит через середину отрезка ÌÌ 1 и
2) перпендикулярна к нему.
По формулам для координат середины отрезка из первого условия получаем
x  x1
 0;
2
y  y1
 0  x1   x; y1   y . А второе условие означает, что аппликаты
2
точек M и M1 равны: z1  z .Эти формулы верны и в том случае, когда точка М лежит
на оси Оz (обучающиеся должны объяснить почему).
Приложение 3, рис. 2.
Рассмотрим две точки À (x1 , y1 , z1 ) и Â (x 2 , y 2 , z 2 ) и докажем, что расстояние
между симметричными им точками À1 и Â1 равно АВ. Точки À1 и Â1 имеют
координаты A1 (-x1 , - y1 , z1 ) и Â1 (-x2 , - y 2 , z 2 ) . По формуле расстояние между двумя
x2  x1 2   y2  y1 2  z2  z1 2 и
 x2  x1 2   y2  y1 2  z2  z1 2 . Очевидно, что ÀÂ  À1Â1 .
точками находим: ÀÂ 
À1 Â1 
У: Рассмотрим зеркальную симметрию. Перейдём к Приложению 4.
Приложение 4, рис. 1.
Введём прямоугольную систему координат Oxyz так, чтобы плоскость Оxy совпадала с
осью
симметрии,
установим
связь
между
координатами
двух
точек
M (x; y; z) и M1 (x 1 , y1 , z1 ) , симметричных относительно плоскости Оxy.
Если точка М не лежит на плоскости Оxy, то эта плоскость:
3) проходит через середину отрезка ÌÌ 1 и
4) перпендикулярна к нему.
По формулам для координат середины отрезка из первого условия получаем
z  z1
 0  z1   z . А второе условие означает, что отрезок ÌÌ 1 параллелен оси Оz ,
2
и, следовательно, x1  x, y1  y . Эти формулы верны и в том случае, когда точка М
лежит в плоскости Оxy (обучающиеся должны объяснить почему).
Приложение 4, рис. 2.
Рассмотрим
стороны от
рассуждения
точками À1
две точки À (x1 , y1 , z1 ) и Â (x 2 , y 2 , z 2 ) ,расположенные по разные
плоскости Оxy (если расположены по одну сторону от плоскости,
аналогичны) и докажем, что расстояние между симметричными им
и Â1 равно АВ. Точки À1 и Â1 имеют координаты A1 (x1 , y1 , - z1 ) и
Â1 (x 2 , y 2 , - z 2 ) .
По формуле
расстояние
между двумя точками
x2  x1 2   y2  y1 2  z2  z1 2 и
2
2
2
À1 Â1  x2  x1    y2  y1    z2  z1  . Очевидно, что
находим:
ÀÂ 
ÀÂ  À1 Â1 .
У: Рассмотрим параллельный перенос. Перейдём к Приложению 5.
Приложение 5.
При параллельном переносе на вектор p любые две точки А и В переходят в точки
À1 и Â1 такие, что ÀÀ1  ð и ÂÂ1  ð . По правилу треугольника ÀÂ1  ÀÂ  ÂÂ1 ,
но
с другой стороны, тоже по правилу треугольника, ÀÂ1  ÀÀ1  À1 Â1 . Из
этих двух равенств получаем ÀÂ  ÂÂ1  ÀÀ1  À1Â1 , или ÀÂ  p  p  À1Â1
,
оттуда ÀÂ  À1Â1 , а значит ÀÂ  À1 Â1 .
Далее немного красоты симметрии в живой природе.
III. Закрепление изученного материала. (15-20 мин.)
№ 478 (устное решение задачи на готовых чертежах).
Прежде чем приступить к решению этой задачи, учащиеся разбиваются на группы по
4-5 человек, используя готовые чертежи, совместными усилиями пытаются найти
верные ответы на поставленные вопросы. Далее следует проверка правильности
выбранных ответов.
Найдите координаты точек, в которые переходят точки А(0; 1; 2), В(3; -1; 4), С(1; 0; -2)
при а) центральной симметрии относительно начала координат; б) осевой симметрии
относительно
координатных осей;
в) зеркальной симметрии относительно
координатных плоскостей (открыть документ «№ 478») .
Далее учащимся предлагается закрыть данную документ; открыть учебник на странице
125 и приступить к самостоятельному решению задачи № 479 а) в рабочих тетрадях.
Докажите, что при центральной симметрии: а) прямая, не проходящая через центр
симметрии, отображается на параллельную ей прямую.
После 5-7 минут самостоятельной работы учащимся предлагается найти на рабочем
столе компьютера документ «№ 479 а)», чтобы проверить насколько были верны их
выводы.
IV. Подведение итогов урока.
У: Сегодня на уроке мы показали, что отображение пространства на себя, является
движением. Примерами тому служат центральная, осевая, зеркальная симметрия,
параллельный перенос. Мы также убедились, что при движении отрезок переходит в
равный ему отрезок, прямая − в прямую, плоскость − в плоскость.
V.
Домашнее задание.
Учащиеся должны открыть документ «Домашнее задание».
П54-П57; вопросы 15-17; № 480 а)
1. Выучить основные понятия и доказательства теорем.
2. Ответы на вопросы выполнить письменно.
3. Индивидуальное задание учащимся: подготовить сообщения: «Симметрия в
природе», «Симметрия в технике».
4.Рекомендации к задаче № 480 а):
доказать, что при центральной симметрии с центром О плоскость α
отображается на плоскость  1 , можно разными способами:
1) аналогично тому, как при решении задачи № 479 а) было доказано,
что прямая АВ отображается на прямую À1 Â1 ,
2) можно решить задачу № 486 б), из утверждения которой следует, что
плоскость α отображается на плоскость  1 .