«Геометрия без измерений и вычислений» (Из опыта работы
advertisement
Маркова Галина Федотовна учитель математики МОУ «СОШ № 16» г. Новочебоксарск Тема: Геометрия без измерений и вычислений Проблема: решение задач на построение с помощью лишь одного инструмента; деление на равные части механическим способом. угла Цель: на примере ряда задач показать, что при решении задач на построение можно обходиться только одним инструментом и возможно деление угла на три равные части механическим способом Задачи: Изучить научно – историческую литературу по теме; подбор соответствующих теме проекта задач и их доказательство; показать красоту, занимательность и практичность решения задач на построение, создать презентацию проекта. Введение Искусство построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки было высоко развито в древней Греции. Линейкой пользовались ещё в Древнем Египте, но циркуль изобрели именно в Греции. Возможно, два этих инструмента потому и стали основными, что позволяли начертить две простейшие линии – прямую и окружность, а в математике решение задачи минимальными средствами всегда считалось признаком совершенства. В задачах на построение весьма важно четко сформулировать «правила игры», т.е. определить, какие операции можно выполнять с помощью циркуля и линейки. Правила эти простые: линейка считается односторонней, делений на ней нет и наносить их нельзя; с её помощью можно провести прямую через две заданные точки, и это всё; циркулем по заданной точке О и отрезку АВ разрешается построить окружность с центром О и радиусом, равным АВ; точки пересечения построенных или заданных линий считаются построенными; разрешается выбирать произвольную точку на плоскости, на или вне построенной прямой или окружности. Несколько простейших построений (деление отрезка пополам, проведение перпендикуляра и др.) обычно принимают за основные, а всё более сложные сводят к ним. В Древней Греции предпочитали построения с помощью циркуля и линейки. Однако, применяли и другие приспособления, например, линейку с нанесенными на неё двумя метками. Такая линейка, в частности позволяет решить задачу Паппа: провести через точку, лежащую внутри угла, отрезок данной длины с концами на сторонах угла. Конечно, окружность линейкой начертить нельзя. Условно считают, что окружность построена, если указаны центр и какаянибудь её точка. Самый большой интерес у геометров вызывали задачи, в которых рамки дозволенного не расширялись, а сужались. Первое из геометрических ограничений состояло в том, что раствор циркуля запрещалось изменять. Персидский математик Мохаммед Абу-ль- Вефа в Х веке написал трактат на эту тему и привел изящные решения многих задач. Проблемой решения задач на построение с помощью лишь одного инструмента ученики столкнулись в 7 классе. Тогда же они узнали, что любой угол можно разделить на 2, 4, …, 2 n равных частей построением биссектрисы угла. А вот как разделить угол на три равных угла, т.е. возможно ли построить трисектрису? Ответы на эти вопрос им предстояло найти самим, изучив научно – методическую литературу, посидев в Интернете. Результатом поиска стали следующие работы. Работа № 1. Построение с помощью одного циркуля. В 1797г. итальянец Маскерони опубликовал работу «Геометрия циркуля». В ней доказывается, что любое построение, которое выполняется циркулем и линейкой, можно сделать с помощью одного циркуля. Разумеется, циркулем нельзя провести прямую, поэтому Маскерони считал прямую построенной, если построены две её точки. Рассмотрим теперь несколько задач, в которых запрещается пользоваться линейкой, а все построения нужно выполнить только циркулем. Одна из таких задач заинтересовала Наполеона I (интересовавшегося, как известно, математикой). Прочтя книгу о таких построениях итальянского ученого Маскерони, он предложил французским математикам следующую задачу: данную окружность разделить на четыре равные части, не прибегая к линейке. Эта старинная задача занимает в геометрии почетное место. В ней требуется построить правильный четырехугольник, что то же самое, разделить окружность на четыре равные части. Древние умели делить круг на 2,3,4,5,6,8,10,12,15 частей с помощью циркуля и линейки. Вообще, правильный 2п-угольник можно получить из правильного п-угольника путём деления пополам дуг, на которые вершины п-угольника разбивают его описанную окружность. Таким способом на основе k -угольника легко построить все (2п ∙k)-угольники. Построить правильные 7- и 9- угольник нельзя. Карл Фридрих Гаусс на рубеже XVIII и XIX столетий доказал, правильный п-угольник, где п – простое число, может быть построен с помощью циркуля и линейки в том и только в том случае, когда п имеет вид 22k + 1. Вот первые несколько таких чисел – 3,5,17, 257, 65537. Итак, рассмотрим решение задачи деления окружности только с помощью циркуля. З а д а ч а №1. Задача Наполеона. Разделить окружность на четыре равные части З а д а ч а № 2. Задача увеличения расстояния между точками З а д а ч а № 3. Без линейки увеличить расстояние между данными точками А и В, в пять раз, вообще в заданное число раз. Работа № 2. Построение с помощью одной линейки. При решении геометрических задач на построение обычно пользуются линейкой и циркулем. Мы сейчас увидим, однако, что иной раз удается обходиться без циркуля в таких случаях, где на первый взгляд он представляется совершенно необходимым. З а д а ч а 1. Центр тяжести пластинки Известно, что центр тяжести однородной пластинки, имеющей форму прямоугольника или форму ромба, находится в точке пересечения диагоналей, а если пластинка треугольная, то в точке пересечения медиан, если круглая, то в центре этого круга. Попробуем теперь смекнуть, как найти построением центр тяжести пластинки, составленной из двух произвольных прямоугольников, соединенных в одну фигуру Г-образной формы. Условимся при этом пользоваться только линейкой и ничего не измерять и не вычислять. З а д а ч а 2. Построение перпендикуляра. Обходясь без циркуля, опустить перпендикуляр полуокружности, центр которой не указан. из точки А к диаметру данной Работа № 3. Задача о трисекции угла. Несложно разделить любой угол с помощью циркуля и линейки на две, а некоторые углы – и на три равные части. Разделение угла на три равные части называется трисекцией угла. Например, мы можем построить треть прямого угла, поделив пополам угол правильного треугольника, а проведя биссектрису в образовавшемся угле в 30º, получим угол величиной 15º - треть угла 45º. Наверное, подобные построения и вселили надежду открыть способ трисекции любого угла посредством циркуля и линейки. Эту задачу пытались решить ещё в V в. до н.э. в Греции. Никомед и Архимед использовали для решения этой задачи особую кривую— конхоиду. Свои методы и способы решения этой задачи предлагал и Виет. Гиппий Элитский (около 420 г.до н.э.) для трисекции угла использовал кривую, впоследствии названной квадратрисой. И только французский математик П.Ванцель в 1837 г. первым строго доказал, что невозможно осуществить трисекцию циркулем и линейкой. Простейший трисектор. Но математика вовсе не отвергает возможность выполнить это деление при помощи какихлибо иных приборов. Придумано много механических приборов для достижения указанной цели. Такие приборы называются трисекторами. Простейший трисектор изготовлен из плотной бумаги по описанию, взятому из «Занимательной геометрии» Я. И. Перельмана. Это будет подсобным чертежным инструментом. Трисектор устроен следующим способом. Примыкающая к полукругу полоска АВ равна по длине радиусу полукруга. Край полоски ВD составляет прямой угол с прямой АС, он касается полукруга в точке В. Длина этой полоски произвольна. Заключение Проделанная работа позволяет сделать следующие выводы: 1) геометрические задачи на построение с помощью одной только линейки и одного циркуля разрешимы и имеют изящное научное доказательство; 2) решение задачи трисекции угла невозможно посредством циркуля и линейки; эта задача разрешима лишь механическими способами; 3) необходимо повышать интерес учащихся к изучению геометрии, активизировать их познавательную деятельность. С этой целью и написана эта работа: показать красоту, занимательность и практичность решения задач на построение. Надеюсь, нам это удалось. Осуществить эту задачу помогли средства информационно – коммуникационной технологии.
