Краткие рекомендации для педагога

Краткие рекомендации для педагога
Материалы промежуточной аттестации по математике
за курс 10 класса
2011-1012 учебного года
Составитель: учитель математики высшей квалификационной категории
Буренкова Елена Алексеевна.
СОДЕРЖАНИЕ И СТРУКТУРА
КОНТРОЛЬНЫХ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Цель использования материалов промежуточной аттестации:
проверить знания учащихся 10 класса по математике в соответствии с
требованиями, заложенными в образовательном стандарте.
Задачи:
1) провести диагностику усвоения учащимися материала 10 класса;
2) сформировать у них компетентности, необходимые для успешной сдачи
экзамена по математике в 11 классе.
Предлагаемая работа содержит материалы для подготовки к новой форме
проверки знаний и умений школьников через проведение итоговой аттестации в
10 классе в форме ЕГЭ. Содержание экзаменационной работы выстраивается на
основе Федерального компонента государственного стандарта общего
образования 2004 года.
Контрольно-измерительные материалы содержат 11 заданий. Они состоят из
двух частей: В и С.
Задания В1 – В7 направлены на проверку достижения уровня обязательной
подготовки. С помощью этих заданий проверяется знание и понимание важных
элементов содержания (понятий, их свойств и др.), владение основными
алгоритмами.
При помощи заданий В8, С1 проверяется умение применять знания к
решению математических задач, не сводящихся к прямому применению
алгоритма, приёмов решения задач, а также применить знания в простейших
практических ситуациях.
При выполнении заданий части В и задания С1 учащиеся также должны
продемонстрировать определенную системность знаний и широту представлений,
умение переходить с одного математического языка на другой, узнавать
стандартные задачи в разнообразных формулировках.
Задания С2, С3 направлены на дифференцированную проверку
повышенного уровня владения материалом. Это задания высокого уровня
сложности, требующие развёрнутого ответа (с полной записью решения). При
выполнении этих заданий учащиеся должны продемонстрировать умение
математически грамотно записать решение, приводя при этом необходимые
обоснования и пояснения.
Исправления и зачеркивания, если они выполнены аккуратно, в каждой части
работы не являются поводом для снижения отметки.
Задания второй части ученик выполняет на черновике. Затем записывает ответ к
заданию в отведенное место.
Задания третьей части выполняются на отдельных листах с полной записью
решения.
Для оценивания результатов выполнения работ учащимися наряду с
традиционной отметкой «2», «3», «4» и «5» применяется и ещё один
количественный показатель – общий балл, который формируется путём подсчета
общего количества баллов, полученных учащимися за выполнение каждой части
работы. Каждое задание части В оценивается в 1 балл, С – 2 балла. Таким
образом, за работу обучающийся может набрать максимальное количество баллов
– 14. С помощью общего балла, расширяющего традиционную шкалу оценивания,
во-первых, проводится более тонкая дифференциация математической
подготовки, во-вторых, отметка несёт больше информации. Общий балл нагляден,
легко интерпретируется учителем, учеником, родителями. Итак, шкала перевода
набранных баллов в отметку:
0-6 баллов – «2»;
7-9 баллов – «3»;
10-11 баллов – «4»;
12-14 баллов – «5».
На выполнение аттестационной работы отводится 90 минут.
Ответы к заданиям работы прилагаются.
ИНСТРУКЦИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ
Работа состоит из двух частей. На выполнение всей работы отводится 90
минут.
В части В – 8 заданий, в части С – 3.
К заданиям части В полученный ответ надо вписать в отведённом для этого
месте. В случае записи неверного ответа зачеркните его и запишите новый.
Задания части С выполняются на отдельных листах или бланках с записью
хода решения. Текст задания можно не переписывать, необходимо лишь указать
его номер. Все необходимые вычисления, преобразования и прочее выполняйте в
черновике.
Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны в работе. С
целью экономии времени пропускайте задание, которое не удается выполнить
сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у вас
останется время, то можно вернуться к пропущенным заданиям.
Желаем успеха!
Ответы
Вариант 1.
Часть В
В1.Упростите выражение 1 –
Ответ: cos²α
𝑠𝑖𝑛2𝛼∙𝑠𝑖𝑛𝛼
2𝑐𝑜𝑠𝛼
В2. Найдите множество значений функции у = 3 + cos х
Ответ: [2 ; 4]
𝑥
В3. Решите уравнение sin = 1
2
Ответ:  + 4n, n  Z
В4. На рисунке изображён график функции
и
касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите
значение производной функции
в точке .
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому
коэффициенту касательной, который в свою очередь
равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси
абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках
(2; 4), (2; 2), (–6; 2). Углом наклона касательной к оси абсцисс будет
.
Поэтому
Ответ: 0,25.
В5. Найдите производную функции у = 2х5 + cos х
Ответ: у = 10х4 – sin х
В6. На рисунке изображен график производной функции
, определенной на
интервале
. Найдите количество точек минимума функции
на отрезке
.
Решение.
Точки минимума
соответствуют точкам
смены знака производной с
отрицательного на
положительный. На отрезке
функция имеет одну
точку минимума
.
Ответ: 1.
В7. Из точки А к данной
плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, пересекающие плоскость
соответственно в точках В и С. Найдите отрезок АС, если ВС = 6 см, угол АСВ
равен 60.
Ответ: 12 см
В8. Прямая
параллельна касательной к графику функции
. Найдите абсциссу точки касания.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту
касательной. Поскольку касательная параллельна прямой
их угловые
коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения
:
Ответ: 0,5.
Часть С
С1. Найдите наименьшее значение функции
Решение.
Найдём производную заданной функции:
на отрезке
Производная обращается в нуль в точках 0 и 2, заданному отрезку принадлежит
число 2. Определим знаки производной функции и
изобразим на рисунке поведение функции:
В точке
заданная функция имеет минимум,
являющийся её наименьшим значением на заданном
отрезке. Найдём это наименьшее значение:
Ответ: -2.
С2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания
которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми SB и
CD.
Решение.
Вместо прямой CD рассмотрим параллельную ей
прямую BE. Искомый угол равен углу SBE.
Треугольник равносторонний, поскольку
Значит,
Ответ:
.
.
С3. Решите уравнение
Решение.
Ответ:
Вариант 2
Часть В
В1. Упростите выражение
Ответ: 0
1−𝑐𝑜𝑠²𝛼
𝑐𝑜𝑠²𝛼
- tg²α
.
В2. Найдите множество значений функции у = sin х + 5
Ответ: [4 ; 6]
1
В3. Решите уравнение cos 2х =
𝜋
Ответ: ± + 𝜋n, n  Z
2
6
В4. На рисунке изображён график функции
и
касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите
значение производной функции
в точке .
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому
коэффициенту касательной, который в свою очередь
равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси
абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках
(–2; –9),
(–2; –3), (–5; –3). Углом наклона
касательной к оси абсцисс будет угол, смежный с
. Поэтому
Ответ: -2.
В5. Найдите производную функции у = 2х³ + 2sin х
Ответ: у = 6х² + 2cos х
В6. На рисунке изображен график производной функции
, определенной на
интервале
. Найдите количество точек максимума функции
на отрезке
Решение.
Точки максимума соответствуют
точкам смены знака производной с
положительного на отрицательный.
На отрезке
функция имеет
одну точку максимума
Ответ: 1
В7. Из точки M к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная,
пересекающие плоскость соответственно в точках В и К. Найдите отрезок ВК,
если МК = 17 см, угол МКВ равен 60.
Ответ: 8,5 см.
В8. Прямая
параллельна касательной к графику функции
. Найдите абсциссу точки касания.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту
касательной. Поскольку касательная параллельна прямой
их угловые
коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения
:
(х² + 8х +6) = 2х + 8; 2х + 8 = 7; 2х = -1; х = -0,5
Ответ: - 0,5.
Часть С
С1. Найдите наибольшее значение функции
Решение.
Найдём производную заданной функции:
на отрезке
.
Найдем нули производной:
и
, на заданном отрезке лежит только число
6.
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение
функции:
В точке
заданная функция имеет максимум,
являющийся её наибольшим значением на заданном
отрезке. Найдём это наибольшее значение: .
Ответ: 108.
С2. В кубе
все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до
прямой
.
Решение.
Проведем отрезок
и опустим перпендикуляр СН
на
.
Искомое расстояние равно высоте СН прямоугольного
треугольника
с прямым углом С:
.
Ответ:
.
С3. Решите уравнение
Решение.
Левая часть уравнения имеет смысл при
Если
, то
. Если
. Учитывая, что
Ответ:
.
,
, то
, из уравнения
, откуда
получаем:
.
Список литературы и Интернет-ресурсов
1.
Варианты тренировочных работ – URL: http://mathege.ru:8080/or/ege/Main
2.
Гущин Д. Д. Каталог задач по математике. Образовательный портал «Решу
ЕГЭ РФ» - URL: http://reshuege.ru/test?a=catlistwstat
3.
Математика. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений (базовый
уровень) / (А. Г. Мордкович, И. М. Смирнова, П. В. Семёнов, Л. О. Денищева, Т.
А. Корешкова, Т. Н. Мишустина); под. ред. А. Г. Мордковича, И. М. Смирновой.
М.: Мнемозина, 2011
4.
Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2012 / под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю.
Кулабухова. Ростов-на-Дону: Легион-М, 2012
5.
Примерная
программа
по
математике
(письмо
Департамента
государственной политики в образовании Минобрнауки России от 07.07.2005г №
03-1263)
6.
Программа по геометрии. 10 – 11 классы / И. М. Смирнова // Математика,
2006, № 13
7.
Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2012:
Математика / авт.-сост. И. Р. Высоцкий и др.; под ред. А. Л. Семёнова, И. В.
Ященко. М.: АСТ: Астрель, 2012
8.
Сборник нормативных документов. Математика. / сост. Э. Д. Днепров, А. Г.
Аркадьев. М.: Дрофа, 2007
9.
Федеральный компонент государственных образовательных стандартов
основного общего образования (приказ Минобрнауки от 05.03.2004г. № 1089).