- pedportal.net

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«БРЯНСКИЙ ТЕХНИКУМ ЭНЕРГОМАШИНОСТРОЕНИЯ
И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»
ОРГАНИЗАЦИЯ АУДИТОРНОЙ И ВНЕАУДИТОРНОЙ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
РАБОТЫ СО СТУДЕНТАМИ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
ЕН.01 МАТЕМАТИКА
из опыта работы преподавателя математики
Степаковой Надежды Васильевны
2015 год
В своей работе я руководствуюсь ФГОС СПО по специальностям, реализуемым в нашем техникуме. Я веду учебную дисциплину ЕН.01 Математика,
входящую в математический и общий естественнонаучный цикл.
Максимальный объем учебной нагрузки обучающегося составляет 105
академических часа в неделю, включая все виды аудиторной и внеаудиторной
(самостоятельной) учебной работы по освоению основной профессиональной
образовательной программы. На внеаудиторную самостоятельную работу отводится 35 часов.
Увеличение доли самостоятельной работы обучающихся, внедрение
и реализация новых ФГОС требует соответствующей организации учебного процесса и составления учебно-методической документации, разработки
новых дидактических подходов для глубокого самостоятельного усвоения
обучающимися учебного материала.
В связи с этим, возрастает роль и ответственность преподавателей в
части организации и управления самостоятельной работы обучающихся.
Самостоятельная работа проводится с целью:
• систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и
практических умений обучающихся;
• углубления и расширения теоретических знаний;
• формирования умений использовать нормативную, правовую, справочную документацию и специальную литературу;
• развития познавательных способностей и активности обучающихся:
творческой инициативы, самостоятельности, ответственности, организованности;
• формирование самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, совершенствованию и самоорганизации;
• формирования общих и профессиональных компетенций;
• развитию исследовательских умений.
В своей работе я использую следующие виды и формы самостоятельной
работы студентов:

Самостоятельное изучение материала по учебной литературе.

Подготовка к различным формам промежуточной и итоговой
аттестации (к тестированию, контрольной работе, зачету, экзамену).

Выполнение домашних контрольных работ.

Самостоятельное выполнение практических заданий репро-
дуктивного типа (ответы на вопросы, тренировочные упражнения, опыты,
задачи, тесты).

Выполнение творческих заданий.

Доклады
Содержание самостоятельной аудиторной и внеаудиторной работы
определяю в соответствии с рекомендуемыми видами заданий согласно примерной и рабочей программы.
Виды заданий для аудиторной и внеаудиторной самостоятельной работы, их содержание и характер могут носить как вариативный, так и дифференцированный характер. При составлении заданий стараюсь учитывать
специ-
фику специальности, а также индивидуальные особенности обучающихся.
Перед выполнением обучающимися аудиторной и внеаудиторной самостоятельной работы провожу инструктаж по выполнению задания, который
включает

цель задания;

его содержания;

сроки выполнения;

ориентировочный объем работы;

основные требования к результатам работы;

критерии оценки.
В процессе инструктажа, предупреждаю обучающихся о возможных
типичных ошибках, встречающихся при выполнении задания. Инструктаж провожу за счет объема времени, отведенного на изучение дисциплины.
Во время выполнения обучающимися внеаудиторной самостоятельной
работы и при необходимости провожу консультации за счет общего бюджета
времени, отведенного на консультации.
Самостоятельная работа провожу индивидуально или группами обучающихся на занятиях в зависимости от цели, объема, конкретной тематики самостоятельной работы, уровня сложности, уровня умений обучающихся.
Этапы организации самостоятельной работы:
• разработка системы самостоятельной работы обучающихся, отражая
содержание самостоятельной работы студентов в рабочей программе дисциплины
• определение объема учебного содержания и количества часов, отводимых на самостоятельную работу обучающихся;
• разработка комплекта методических материалов для организации самостоятельной работы: задания, инструкции по его выполнению; требования к
результату; оценочный инструментарий;
• определение периодичности контроля;
• определение системы индивидуальной работы с обучающимися;
• своевременное доносение полной информации о самостоятельной работе до обучающихся.
В настоящее время актуальным становятся требования к личным качествам
современного студента – умению самостоятельно пополнять и обновлять знания, вести самостоятельный поиск необходимого материала, быть творческой
личностью. Ориентация учебного процесса на саморазвивающуюся личность
делает невозможным процесс обучения без учета индивидуально-личностных
особенностей обучаемых, предоставления им права выбора путей и способов
обучения.
Появляется новая цель образовательного процесса – воспитание личности, ориентированной на будущее, способной решать типичные проблемы и задачи исходя из приобретенного учебного опыта и адекватной оценки конкретной ситуации.
Решение этих задач требует повышения роли самостоятельной работы
студентов над учебным материалом, усиления ответственности преподавателя
за развитие навыков самостоятельной работы, за стимулирование профессионального роста студентов, воспитание их творческой активности и инициативы.
Введение в практику учебных программ и модулей с повышенной долей
самостоятельной работы активно способствует модернизации учебного процесса.
При выполнении аудиторной самостоятельной работы учитываю, что
материал первого курса необходимо повторить с обучающимися, поэтому изученный материал студенты повторяют по карточкам консультантам, затем выполняют простейший тест, далее более сложные задания и практические работы по темам. Привожу примеры использования такого материала.
Примеры аудиторной самостоятельной работы по темам
«Первообразная и интеграл»
Карточка-консультант по теме
«Правила вычисления первообразных»
Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке X, если для всех xc из X выполняется условие F’(x)=f(x)
𝑥3
Пример: Докажите что функция F(x)=
3
является первообразной для функции
F(x)=𝑥 2 на (−∞; +∞).
𝑥3
1
3
3
Решение: F’(x)=( )’= 3𝑥 2 = 𝑥 2 = 𝑓(𝑥) для всех X на промежутке (−∞; +∞)
𝑥3
Докажем что функция F’(x)= +10 так же является первообразной для f(x)=x2
3
𝑥3
F’(x)=(
3
𝑥3
+ 10)′ = ( )′ + (10)′ = 𝑥 2 + 0 = 𝑥 2 = 𝑓(𝑥)
3
Вывод: Для функции F(x)=𝑥 2 существует множество первообразных вида
𝑥3
F(x)+C= +C.
3
Основное свойство первообразных: Для заданной функции f(x) существует
множество первообразных, все они отличаются друг от друга значением постоянной величины, и записывается в виде F(x)+C
Таблица первообразных
Заданная функция
K–
Число
Общий вид ее
первообразных
Kx+c
Xn
n≠1
𝑋
𝑛
1
√𝑥
sinX
cosX
1
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
1
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
2√𝑥+C cosX+c sinX+C tgX+C ctgX+C
𝑒𝑥
𝑎𝑥
1
𝑥
𝑒𝑥
+𝐶
𝑎
𝑙𝑛𝑎 + 𝐶
𝑙𝑛|𝑥|
+𝐶
Правила вычисления первообразных
Правило 1
Правило 2
Правило 3
Первообразная
суммы
Первообразная
произведения k
на f(x)
Первообразная
сложной функции f(kx+b)
𝑥4
f+g
F+G
2+x3
2x+ 4 + 𝐶
kf(x)
kF(x)
5x6
57 +𝐶
F(kx+b)
sin2x
1
− 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶
2
f(kx+b)
1
𝑘
𝑥7
1 Правило: Первообразная от суммы функций равна сумме первообразных.
2 Правило: Первообразная произведения kf(х) равна произведению постоянного множителя на первообразную данной функции.
3 Правило: Чтобы найти первообразную от сложной функции, надо поправочный множитель
1
𝑘
умножить на первообразную данной функции.
Карточка консультант по теме
«НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ»
Определение: неопределённым интегралом функции f называют множество
первообразных этой функции ∫(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶
f(x) dx подынтегральное выражение,
f(x) подынтегральная функция,
dx знак дифференциала указывает, какая переменная входящая в выражение
f(x)
является аргументом, dx присутствует там, где есть символ ∫
𝑑𝑥
= −𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑑𝑥
∫
= 𝑡𝑔𝑥 + 𝐶
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
∫
𝑥 𝑛+1
∫ 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑛+1
𝑛
∫
∫
𝑑𝑥
1
=
−
+𝐶
𝑥2
𝑥
𝑑𝑥
√𝑥
∫ 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶
= 2√𝑥 + 𝐶
∫
𝑑𝑥
= arcsin 𝑥 + 𝐶
√1 − 𝑥 2
𝑑𝑥
∫
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶
1 + 𝑥2
𝑎𝑥
𝑥
∫ 𝑎 𝑑𝑥 =
+𝐶
𝑙𝑛 𝑎
∫ sin 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶
∫ sin 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶
dx
∫ √1−x2 = arcsinx + C
Первое правило: интеграл от суммы функции равен сумме интегралов этих
функций
∫(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
Второе правило: постоянный множитель можно вынести за знак интеграла
∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Третье правило: чтобы найти интеграл от сложной функции, надо воспользоваться формулой:
∫ 𝑓(𝑘𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 =
1
𝐹(𝑘𝑥 + 𝑏) + 𝐶
𝑘
Тест по теме «Первообразная»
Вариант 1
а
1
б
5
0
2
4
в
x+c
3x
2sinx
5
5x+c
д
5x3+c
а
5x
c
24x
1
24x
3
-2cosx+c
2cosx
2
4
tgx
tgx+c
3tgx
3tgx+c
3
5
+c
6
sinx
7
56x
8
x
1
0
7
cos5x
sin5x+c
sin5x
+c
-sin5x+c
cosx
3
б
в
0
г
д
6х+с
3x
3х+с
5х+с
+c
2
cosx
-
6
8
г
3x
+
3
Вариант 2
72x+c
2cosx
-x
2sinx
-2sinx
-2sinx+c
4ctgx+c
-x
sin3x
4ctgx
-
cos3x
-
+c
72
+c
2sinx+c
2
-4ctgx
4
0
- +c
osx+c
- cos3x
- cos3x
20
Расчетное задание по теме «Неопределённый интеграл»
Текст задания
Вариант 1
Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования (для
№ 1-5).
1

1.   5 cos x  3x 2  dx .
x

8
5
4
3x  x  x
2. 
dx .
x5
3.  6 x  3 2 x  4dx .

1
4.
  cos
5.
 1  16 x

2

x
dx
2

dx .

1 x2 
1
.
Найти неопределенные интегралы методом подстановки (для № 6-8).
3
6.  8 x  4  dx .
12 x 3  5
 3x 4  5x  3dx .
6
8.  x 5  e x dx .
7.
9. Найти неопределенный
 x  5cos xdx .
интеграл
методом
интегрирования
по
частям:
Вариант 2
Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования (для
№ 1-5).
1

1.   6 sin x  4 x 3  dx .
x

9
7
6
x  3x  2 x
dx .
2. 
x7
3.  7 x  2 2 x  5dx .

1
4.
  1  x
5.

2

1 
dx .
sin 2 x 
dx
.
4  9x 2
Найти неопределенные интегралы методом подстановки (для № 6-8).
4
6.  7 x  5 dx .
18 x 2  3
 6 x 3  3x  8dx .
8
8.  x 7  e x dx .
7.
9. Найти неопределенный
 x  2sin xdx
интеграл
методом
интегрирования
по
частям:
Расчетное задание по теме «Определённый интеграл»
Вариант 1
1. Вычислить определенный интеграл:
 4 x
2
2

 x  3 dx .
0
2. Вычислить определенный интеграл методом подстановки:
3
 2 x  1 dx .
3
2
3. Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями: y   x 2  4, y  0, x  2, x  2 .
4. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс кри-
волинейной
трапеции,
ограниченной
линиями:
y  x , y  0, x  1, x  4 .
5. Скорость движения точки изменяется по закону v  3t 2  2t  1 (м/с).
Найти путь S, пройденный точкой за 10 с от начала движения.
Вариант 2
1. Вычислить определенный интеграл:
 2 x
3
2

 x  4 dx .
0
1
2. Вычислить определенный интеграл методом подстановки:  3x  14 dx .
0
3. Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями: y   x 2  1, y  0, x  1, x  1 .
4. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной
трапеции,
ограниченной
линиями:
y  x , y  0, x  0, x  1 .
5. Скорость движения точки изменяется по закону v  9t 2  8t (м/с). Найти
путь S, пройденный точкой за четвертую секунду.
Практическая работа
“Методы интегрирования”
Цель работы:
На конкретных примерах научиться находить неопределенный интеграл различными способами
Содержание работы:
Таблица интегралов
n 1
dx
x  C, (n  1)
1.  x dx 
n 1
7. 
2.  dx  x  C
8.  tgxdx  ln cos x  C
n
3. 
dx
 ln x  C
x
2
sin x
 ctgx  C
10.  e dx  e  C
x
x
5.  cos xdx  sin xdx
6. 
dx
2
cos x
 tgx  C

14. 
9.  ctgxdx  ln sin x  C
x
4.  sin xdx   cos xdx
13.
x
a C
11.  a dx 
ln a
12.

dx
1  x2
15. 
16. 
dx
1

arctgx  C
2
2
a

a x
dx
1
ax

ln
C
2
2
a
a

x

a x
2
dx
1  x2
 arcsin x  C
dx
a x
2
 arcsin
2
x
C
a
 arctgx  C
Методы интегрирования
1. Непосредственное интегрирование
Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подынтегральной функции, которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы.
3
Пример 1: Вычислите  ( x  3x  sin x)dx
Решение: Для вычисления интеграла сначала воспользуемся 2 и 3 свойствами
неопределенного интеграла, а затем применим 1 и 4 табличные интегралы:
31
11
3
3
x
x
 ( x  3x  sin x)dx   х dx  3   xdx   sin xdx  3  1  3  1  1  cos x  C 
4
3
 х   х 2  cos x  С
4
2
3  2 x  x2
dx
Пример 2: Вычислите 
x
Решение: Для вычисления интеграла сначала каждый член числителя почленно
разделим на знаменатель, затем воспользуемся 2 и 3 свойствами неопределенного
интеграла и применим 1 и 3 табличные интегралы
2
3  2 x  x2
3
2x
dx
1
x
dx   dx  
dx   dx  3  
 2   dx   xdx  3 ln x  2 x   x2  c

x
x
x
x
x
2
2. Метод замены переменной (метод подстановки)
Он является одним из наиболее эффективных и распространенных приемов интегрирования, позволяющих во многих случаях упростить вычисление интеграла.
Суть этого метода состоит в том, что путем введения новой переменной интегрирования заданный интеграл сводится к новому интегралу, который легко вычисляется
непосредственным интегрированием.
Пример 3: Вычислите  (3x  4) dx
3
Решение:
Введем
новую
переменную
dt  t   dx  (3x  4)  dx  3dx , откуда
dx 
dt
3
3
 (3x  4) dx   t 
=
3x-4,
тогда
. Подставим новую переменную в
интеграл (вместо выражения 3х-4 подставим t, вместо
3
t
dx подставим
dt
3
).
dt t 4

C
3 12
Далее нужно вернуться к первоначальной переменной. Для этого сделаем обратную замену (вместо t подставим выражение 3х-4), получим окончательный
ответ.
 (3x  4) dx 
3
(3х  4)
12
4
С
Вариант 1
Вариант 2
«3»
«5»
5dx
а)  1 
x
а) 
2
б)  ( x3  3x  sin x)dx
в)  (2x1)
4
г)  sin 3 xdx
б) 
«3»
3  2 x  x2
x
5  25 x 2
в) 
г)  3
5
x
2
x
e dx
2  ex
costdt
1  sin x
«5»
3dx
а)  1  2
x
4
б)  ( x  2 x 
1
)dx
x
в)  (3x 4)
а) 
2
x  7 x  12
x
б) 
23 x  3x 2
2
x
3
г)  sin 2 xdx
sin xdx
в)  2  3 cos x
г) 
2 et dt
(2  et )
2
Практическая работа
“Нахождение площади криволинейной трапеции”
Цель работы:
1. Познакомить с понятием криволинейной трапеции
2. На конкретных примерах научиться находить площадь криволинейной
трапеции
Содержание работы:
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой у=f(х),
двумя прямыми х=а и х=b и осью абсцисс, вычисляется с помощью определенного интеграла по формулам:
Пример : Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
координат и прямой х=2.
у   х 2  2 х  3 , осями
Решение: Построим данные линии
Найдем точки пересечения графика функции с осью Ох: у   х 2  2 х  3 ,
 х2  2 х  3  0 , х1  1, х 2  3
1
1
2
0
1
S   (  х 2  2 х  3)dx   ( x 2  2 x  3)dx  (
3
2
3
x
x
 x 2  3 x)  (  x 2  3 x) 
3
3
0

1
1
8
1
5 2 5 12
 1  3  (  4  6)  (  1  3)    
 4(кв.ед.)
3
3
3
3 3 3 3
I вариант
II вариант
III вариант
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = х2+4х
у = х 2,
у = 4х - х2,
у = х+4
у = 2-х2
у = 4-х
Внеаудиторная самостоятельная работа по предмету «Математика»
при нагрузке 105 часов распределена по темам следующим образом.
Распределение видов и объема внеаудиторной самостоятельной работы
между разделами дисциплины «Математика»
Таблица 1 – Распределение видов и объема внеаудиторной самостоятельной работы между разделами дисциплины
Раздел дисциплины
Раздел 1. Комплексные числа
Раздел 2 «элементы
математического
анализа »
2.1 Предел функции
2.2
Производная
функция и ее приложение
2.3 Интеграл и его
приложение
Объем
часов
на
раздел
6
Вид ВСР
Доклад №1 «История развития комплексных чисел
Доклад№2 «Использование комплексных чисел при
решении электротехнических задач
Решение задач по разделу
Сам. работа №1 «Предел функции»
3
3
Сам. работа №2 «Дифференциальное исчисление»
Подготовить доклад “Применение производной при решение электротехнических задач”
Сам. работа №3 «Интегральное исчисление»
Подготовить доклад И.Ньютон и Ф.Лейбниц Основоположники интегрального исчисления
2.4 Ряды
Объем
ВСР
(час)
4
Подготовить доклад “Применение формулы Маклорена
к приближенному вычислению определенных интегралов”
Решение задач по разделу
2.5 Дифференциальные уравнения
Самостоятельная работа №4
Подготовить доклад примеры использования дифференциальных уравнений на практике
4
5
Домашняя контрольная работа «Простейшие дифференциальные уравнения»
Раздел 3 Векторы
Самостоятельная работа №5
3
Решение задач по разделу
Подготовить доклад «Применение кругов Элера при решении логических задач »
Сделать таблицы « Основные тождества алгебры множеств»
Раздел 3.1 Множества и операции
над ними
Раздел
3.2
Элементы математической
логики
Решение задач по разделу.
Сделать таблицы «Формулы алгебры логики»
3
2
Раздел 4
Численные методы
Подготовить доклад « Вычисление погрешностей электрических приборов»
Раздел 5
Основы теории вероятности и математической статистики
Подготовить доклады, презентации по темам:
3
«История развития теории вероятностей»
«Вклад русских учёных в развитие теории вероятности»
«Роль теории вероятности в современной науки и жизнедеятельности человека»
Общий объем
аудиторных часов
по дисциплине
70
Общий объем ВСР
2
35
Выполнение студентами ВСР способствует формированию общих компетенций:
ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести
за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных),
результат выполнения заданий.
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного
развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение
квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.
ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).
Содержание внеаудиторной самостоятельной работы
1 Задания к выполнению самостоятельных работ
Самостоятельные работы выполняются индивидуально в свободное от
занятий время.
Студент обязан:

перед выполнением самостоятельной работы, повторить теоретиче-
ский материал, пройденный на аудиторных занятиях;

выполнить работу согласно заданию;

по каждой самостоятельной работе представить преподавателю отчет
в виде письменной работы или модели геометрического тела;

ответить на поставленные вопросы.
При выполнении самостоятельных работ студент должен сам принять
решение об оптимальном использовании возможностей программного обеспечения. Если по ходу выполнения самостоятельной работы у студентов возникают вопросы и затруднения, он может консультироваться у преподавателя.
Каждая работа оценивается по пятибалльной системе. Критерии оценки приведены в конце методических рекомендаций.
Самостоятельная работа №1
«Предел и непрерывность функции»
Цель работы: отработка навыков вычисления пределов функций
Краткие теоретические сведения
Определение. Число b называется пределом функции f(x) в точке x0, если для
всех значений х, достаточно близких к x0 и отличных от x0, значения функции
f(x) сколь угодно мало отличаются от числа b.
Пишут: lim f x   b .
x x0
Свойства пределов. Пусть существуют пределы lim f x  a и lim g x  b .
xx0
x x 0
Тогда:
1. Предел константы равен самой константе: lim c  c .
x x0
2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:
lim  f x   g x   a  b .
xx0
3. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих
функций: lim  f x g x  a  b .
xx0
4. Постоянный множитель выносится за знак предела: lim k  f x   k  a .
x x0
5. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций:
f x  a
lim
 , если g x   0 .
x  x0 g  x 
b
6. Показатель степени можно выносить за знак предела:
n
n
lim  f x    lim f x   a n .
x x0
 xx0

Задания: Повторить правила раскрытия неопределённостей
второй замечательные пределы.
0 
, , первый и
0 
Непосредственное вычисление пределов




х2  2х
7х  5
х  2 ; 2) lim
1) lim
; 4) lim
; 5) lim х3  3х 2 ;
3х  2 х ; 3) lim
х 5
х 4 х  3
х 5 10  2 х
х 2
х2
2
5х 2  2 х  4
х2  2х  2
5х  4
х2  2
; 7) lim
;
8)
;
9)
;
lim
lim
2
х 0 ,1 1  х
х 0 2 
х 1
х 2  х  1 х  1
х 1
х
6) lim
х  3х  2 ; 11)
10) хlim
 1
х2
2 х 2  5х  3
3х 2  х
х3  4 х  5
;
12)
;
13)
;
lim
lim
х 1 4 х 2  13 х  3
х 2
х 0 4 х 3  х  10
х2  6
lim
4 х 2  5х 1
3
14) lim
; 15) lim
.
х 3 2 х  6
х 1 2 х 2  х  1
Раскрытие неопределенности вида
І. 16) lim
х 2
20) lim
х 2
0
0
х2  4
х2  6х  9
х 4  16
х4  4х2  4
lim
lim
lim
; 17) х3 2
; 18) х2
; 19)
;
х 2
х2  2х
х  3х
х 2
х3  2 х
4х2  9
х 2  5х  6
3х 3  х
х 2  7 х  10
lim 2
; 21) lim3
; 22) lim
;
23)
;
х 5 х  9 х  20
х 0
х 2
х
х 2 х  3
2
х2  9
х2  4
3х 2  11х  6
3 х
24) lim
; 25) хlim
; 26) lim
; 27) lim
;
х 3 х 3  27
х 3 х 2  2 х  3
 2 х  2
х 3 2 х 2  5 х  3
28) lim
х 5
х 4  25
3х 2  8 х  4
4х2  7х  2
х 3
lim
lim
lim
;
29)
;
30)
;31)
;
х 3 х 2  9
х  2 5 х 2  14 х  8
х2 5 х 2  9 х  2
х2  5
ІІ. 32) lim
х 0
х
2 х  2 х
; 33) lim
; 34) lim
х 0
х

0
5х
1  3х  1
х 5
х 1 1
; 35) lim
;
х

5
х
2  х 1
36) lim
х 6
х6
х
х 2 3
1 х  1 х
; 37) lim
; 38) lim
; 39) lim
;
2
х

7
х

0
х

0
х  49
3х
х 3 3
х4 2
40) lim
х 7
1 1 х2
х 2 3
х х
1  3х  1  2 х
lim
; 41) lim
;
42)
;
43)
;
lim
2
2
х 0
х 1 х  х
х 0
х  х2
х 7
х
44) lim
1  3х 2  1
х2
2х 1  5
1  3х  2 х  6
lim
; 45) lim
;
46)
;
47)
lim
2
2
3
х 3
х 5
х 2
х 3
х  5х
х х
2х  2
х 0
Раскрытие неопределенности вида


5х3  2 х 2  3
2 х 3  3х 2  5 х  7
2х  3
4х  9
48) lim
; 49) lim
; 50) lim
; 51) lim 3
;
х  5 х  7
х  2 х 2  3 х  5
х 
х  3 х  4 х 2  х  2
7х  4
52) lim
х 
х4  х2  2
х3  х 4
10 х 2  х  6
х3  2 х  6
;
53)
;
54)
;
55)
;
lim
lim
lim
х 
х  3 х 3  х 2  26
х  х 5  х 6
х3  х  1
3х  х 2
56) lim
х 
60) lim
х 
10 х 4  8 х 2  3
х2  4х  3
х2  2х  5
3х 3  4 х  8
;
57)
;
58)
;
59)
;
lim
lim
lim
х 
х  х 3  3 х  7
х  5 х 3  27 х 2  х
5 х 4  3х 3  5
х5
5х3  4 х 2  1
8х 2  6 х  3
І замечательный предел
sin 5 x
4tgx
2arctg 5 x
sin 3 x
arcsin 3 x
lim
lim
lim
; 62) lim
;
63)
;
64)
;
65)
; 66)
х 0 9 х
х 0 3 arcsin 2 х
х 0
х  0 5 х cos x
5х
5х
1  cos 4 x
1  cos 4 x
1  cos x
1  cos 8 x
lim
; 67) lim
; 68) lim
; 69) lim
.
2
2
х 0
х

0
х

0
х

0
х
5х
1  cos 6 x
2 хtg2 x
61) lim
х 0
ІІ замечательный предел
х
 2
70) lim
1   ;
х 
 х
3х
 4
71) lim
1   ;
х 
 х
х
 х 
72) lim

 ;
х  х  1


1
3 х х
73) lim 
 .
х 0
 3 
Непрерывность функции
х  1,
 х  4, если
 2
74) f х    х  2, если  1  х  1,
 2 х,
если
х  1.

х  0,
  х, если

75) f х   sin x, если 0  х   ,
 х  2, если
х  .

если
х  0,
  х,

2
76) f х    х  1 , если 0  х  2,
 х  3,
если
х  2.

х  0,
 2 х, если

77) f х    х , если 0  х  4,
 1,
если
х  4.

Вопросы для самопроверки
1. Что называется функцией одной независимой переменной?
2. Перечислить основные элементарные функции.
3. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.
4. Что такое предел функции y = f(x) при x→ a?
5. Дайте определение правого и левого пределов функции y = f(x)
6. Дайте определение предела последовательности.
7. Какая функция называется бесконечно большой величиной при x→ a и
x→ +∞?
8. Какова связь между бесконечно большой и бесконечно малой величинами?
9. Сформулировать правила предельного перехода в случае арифметических
действий.
10.В чём состоит правило предельного перехода для непрерывной функции?
Домашняя контрольная работа «Простейшие дифференциальные
уравнения»
Цель работы: развитие навыков решения простейших уравнений, нахождение общих и частных решений.
Краткие теоретические сведения
Дифференциальными называются уравнения, которые содержат искомую
фукнцию, её производные и (или) дифференциалы различных порядков, независимые переменные.
Решить дифференциальное уравнение – это значит найти такую функцию,
подстановка которой в это дифференциальное уравнение превращает его в
тождество.
Решения, содержащие конкретные значения постоянных, называются
частными решениями дифференциального уравнения.
№
1
Задание:
1 вариант
2 вариант
Общим решением дифференциального уравнения
2
является …
Общим решением дифференциального уравнения
является …
Найти общее решение дифференциально- Найти общее решение дифференциальго уравнения
ного уравнения
(x + 5)dy – (y +10)dx = 0
(x - 10)dy – (y -5)dx = 0
3
Частными решениями дифференци-
Частными решениями дифференциального уравнения
ального уравнения
ляются …
4
5
яв-
являются …
От 1 г радия C через t минут осталось Период полураспада радиоактивного
0,125 г. Найти t, если его период по- вещества равен 1 ч. Через сколько чалураспада равен 3 мин.
сов его количество уменьшится в 10
раз? Вычислите, какая доля радия
останется через 1000 лет, если период
его полураспада равен 1550 лет.

Одно тело имеет температуру 200 , а Два тела имеют одинаковую темперадругое – 100  . Через 10 мин остывания туру 100  . Они вынесены на воздух
этих тел на воздухе с температурой 0  (его температура 0  ). Через 10 мин
первое тело остыло до температуры температура одного тела стала 80  , а
100  , а второе – до 80  . Через сколько второго - 64  . Через сколько минут
минут температуры тел сравняются?
после начала остывания разность их
температур будет равна 25 ?
Вопросы для самоконтроля
1. Какое дифференциальное уравнение называется дифференциальным
уравнением первого порядка?
2. Что такое общее решение дифференциального уравнения первого порядка?
3. Что такое частное решение и в чём суть начальных условий для дифференциального уравнения первого порядка?
4. Что такое дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными и каким методом его можно решить?
5. Какие дифференциальные уравнения первого порядка называются линейными, каков метод их решения?
Критерии оценки внеаудиторной самостоятельной работы
1 Рейтинговая карта оценки самостоятельной работы по дисциплине
«Математика»
За выполнение заданий студентам выставляется балл согласно рейтинговой карты, приведенной в таблице 3.
Таблица 3 – Рейтинговая карта
Тема
Деятельность студента
Раздел 1
Сам. раб №1 «Предел и непрерывность функции»
Сам. раб №2 «Дифференциальное исчисление»
Сам. раб №3 «Интегральное исчисление»
Контрольная работа «Простейшие дифференциальные
уравнения»
Итого
Количество баллов по ВСР
Мин. Макс.
кол-во кол-во
баллов баллов
3
3
3
5
5
5
3
5
12
20
20
40
3.2 Критерии оценки самостоятельных работ
За выполнение самостоятельной работы студенту выставляется балл рейтинга по критериям, представленным в таблице 4.
Таблица4 – Критерии рейтинговой оценки самостоятельной работы студента
№
п/п
1.
2.
3.
Критерии оценки
Максимальный
Средний балл
балл рейтинга
рейтинга
Отношение к Фиксирова- Работа сдана в Работа сдана с
работе
ние
срока требуемые сроки задержкой на 1-2
сдачи рабонедели
ты
Способность
Просмотр
Полное выполнеДопускает одну
самостоятельно файла в
ние работы, отошибку (неточвыполнять раличной пап- сутствие ошибок
ность) при выполботу
ке студента
нении работы
Умение отвеСобеседоГрамотно отвеча- Допускает незначать на вопрование (зает на поставленчительные ошибсы, пользощита) при
ные вопросы
ки в изложении
ваться профес- сдаче рабоалгоритма задания
сиональной
ты
лексикой
Оцениваемые
навыки
Метод
оценки
Минимальный
балл рейтинга
Работа сдана с
задержкой на 3-4
недели
Допускает две,
три ошибки при
выполнении работы
Допускает ошибки в изложении
алгоритма задания. Имеет ограничен
ный словарный
запас
Приложение А
Методические рекомендации по выполнению практических занятий
Для того чтобы практические занятия приносили максимальную пользу,
необходимо помнить, что упражнение и решение ситуативных задач проводятся по вычитанному на лекциях материалу и связаны, как правило, с детальным
разбором отдельных вопросов лекционного курса. Следует подчеркнуть, что
только после усвоения лекционного материала с определенной точки зрения (а
именно с той, с которой он излагается на лекциях) он будет закрепляться на
практических занятиях как в результате обсуждения и анализа лекционного материала, так и с помощью решения ситуативных задач. При этих условиях студент не только хорошо усвоит материал, но и научится применять его на практике, а также получит дополнительный стимул (и это очень важно) для активной проработки лекции.
При самостоятельном решении поставленных задач нужно обосновывать
каждый этап действий, исходя из теоретических положений курса. Если студент видит несколько путей решения проблемы (задачи), то нужно сравнить их
и выбрать самый рациональный. Полезно до начала решения поставленных задач составить краткий план решения проблемы (задачи). Решение проблемных
задач или примеров следует излагать подробно, нужно сопровождать комментариями, схемами, чертежами и рисунками, инструкциями по выполнению.
Следует помнить, что решение каждой учебной задачи должно доводиться до окончательного логического ответа, которого требует условие, и по возможности с выводом. Полученный результат следует проверить способами, вытекающими из существа данной задачи.
Приложение Б
Методические рекомендации по выполнению контрольной работы
Контрольная работа — промежуточный метод проверки знаний студента с целью определения конечного результата в обучении по данной теме или разделу.
Домашняя контрольная работа дается 1-2 раза в учебном году по дисциплине. Она призвана систематизировать знания, позволяет повторить и закрепить материал. При ее выполнении студенты ограничены во времени, могут использовать любые учебные пособия, консультации с учителем. Каждому студенту дается свой вариант работы, в который включаются творческие задания
для формирования разносторонней развитой личности.
Цели выполнения контрольной работы: выявление качества усвоения
знаний, умений и навыков которые должны быть сформированы в результате
обучения и их коррекция по полноте, глубине, обобщенности, осознанности.
Контрольная работа должна быть написана грамотно, грамматические и синтаксические ошибки не допустимы, смысловая нагрузка должна прослеживаться через всё решение.
Методические рекомендации к оформлению доклада
В современном обществе человек должен уметь работать с информацией.
Работа с информацией становится главным содержанием профессиональной
деятельности человека, необходимым компонентом информационной культуры.
Работа над докладом не только позволяет учащемуся приобрести новые
знания, но и способствует формированию важных научно- исследовательских
умений, освоению методов научного познания, приобретению навыков публичного выступления.
Данное методическое пособие содержит требования и рекомендации по
написанию докладов. Доклад – публичное сообщение, представляющее собой
развернутое изложение на определенную тему, вид самостоятельной работы,
который используется в учебных и внеаудиторных занятиях и способствует
формированию навыков исследовательской работы, расширяет познавательные
интересы, приучает критически мыслить.
Чтобы выступление было удачным, оно должно хорошо восприниматься
на слух, быть интересным для слушателей. При выступлении приветствуется
активное использование мультимедийного сопровождения доклада (презентация, видеоролики, аудиозаписи).
Доклады, сдаваемые в письменном виде, могут быть приняты преподавателем в виде зачетных работ. Преподаватель, практикующий такую форму отчетности, заранее предлагает список тем докладов для подготовки студентов.
При подготовке доклада, в отличие от других видов студенческих работ, может
использоваться метод коллективного творчества.
Преподаватель может дать тему сразу нескольким студентам одной группы, использовать метод докладчика и оппонента. Студенты могут подготовить
два выступления с противоположными точками зрения и устроить дискуссию,
например, на занятии по философии – между материалистом и идеалистом. После выступления докладчик и содокладчик, если таковой имеется, должны ответить на вопросы слушателей.
Доклад по теме: «История интегрального исчисления»
Имеется несколько типов интегралов: неопределенный и определенный интегралы, интеграл Римана и Римана-Стилтьеса, интеграл Лебега и ЛебегаСтилтьеса, интеграл Даниэля. По области интегрирования интегралы подразделяются на кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.
Историческая справка
Интегрирование берет свое начало ещё в древнем Египте примерно с
1800 года до н. э., о чем свидетельствует Московский математический папирус
(или математический папирус Голенищева).
Первым известным методом для расчёта интегралов, является метод,
«для исследования площади или объёма криволинейных фигур». Метод исчерпывания,
Евдокс Книдский - древнегреческий математик, механик и астроном. Который был предложен примерно в 370 до н. э. Суть этого метода заключается в
следующем: фигура, площадь или объем которой которых площадь или объём
уже известны.
Этот метод получил свое дальнейшее развитие в работах древнегреческого математика, физика и инженера Архимеда (287 до н.э. - 212 до н.э.) для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга. Аналогичные
методы были разработаны в Китае в третьем веке нашей эры китайским математиком Лю Хуэйем (ок. 220 - ок. 280), который с их помощью находил площадь круга.
Для нахождения объёма шара этот метод использовали китайский математик, астроном, механик, писатель Цзу Чунчжи (429 - 500) вместе со своим
сыном, также математиком и астрономом, правителем области и государственным казначеем, Цзу Гэном.
Далее большой шаг вперед в развитии интегрального исчисления был
предпринят в 11 веке в Ираке арабским ученым-универсалом, математиком,
механиком, физиком и астрономом Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хасан ибн аль-
Хайсам аль-Басри (965-1039) (или Ибн ал-Хайсамом) в Европе известном как
Alhazen), который в своей работе "Об измерении параболического тела" приводит формулы для суммы последовательных квадратов, кубов и четвёртых степеней, и ряд других формул для сумм рядов. С помощью этих формул он проводит вычисление, равносильное вычислению определённого интеграла:
Используя математическую индукцию, он смог обобщить свои результаты для интегралов от многочленов до четвёртой степени. Таким образом, он
был близок к поиску общей формулы для интегралов от полиномов не выше
четвёртой степени.
Следующий значительный толчок в исчислении интегралов состоялся
лишь в 16 веке в работах итальянского математика Бонавентура Франческо Кавальери (1598 - 1647), в которых описывался предложенный им метод неделимых, а также в работах французского математика Пьера де Ферма (1601 - 1665).
Этими учеными были заложены основы современного интегрального исчисления.
Дальнейшее развитие связано с деятельностью английского математика,
физика и богослова Исаака Барроу (1630 - 1677) и итальянского математика и
физика, ученика Галилея Эванджелиста Торричелли (1608 - 1647), которые
представили первые намеки на связь между интегрированием и дифференцированием.
За время становления интегрального исчисления менялось и обозначение
интеграла. Английский физик, механик, математик и астроном Исаак Ньютон
(1643 - 1727) использовал, правда не во всех своих работах, в качестве символа
интегрирования значок квадрата перед обозначением функции или вокруг него,
а также вертикальную черту над функцией, но эти обозначения не получили
широкого распространения.
Современное обозначение неопределённого интеграла было введено
немецким философом, логиком, математиком, механиком, физиком, юристом,
историком, дипломатом, изобретателем и языковедом Готфридом Вильгельмом
Лейбницем (1646 - 1716) в 1675 году. Он образовал символ интеграла из буквы
"длинная s" (от первой буквы слова Summa - сумма).
Современное обозначение определённого интеграла, с указанием пределов интегрирования, было впервые предложено французским математиком и
физиком Жаном Батистом Жозефом Фурье (1768 - 1830) в 1819-20 годах. Сам
термин "интеграл" придумал швейцарский математик Якоб Бернулли (1654 1705) в 1690 году.
Применение интегралов на практике
Основной задачей дифференциального исчисления является определение для
заданной
ла
ции
функции
ее производной
или
ее
дифференциа-
. Обратная задача, состоящая в определении функпо ее известным производной
или дифференциалу
ставляет собой основную задачу интегрального исчисления.
, пред-
Литература
Основная:
1. В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова Математика, учебное пособие для среднего профессионального образования: Ростов-на-Дону, Феникс, 2009 г.
Дополнительная:
2. Филимонова Е.В. «Математика», учебное пособие для студентов средних
профессиональных учебных заведений, Ростов-на-Дону, Феникс, 2008 г.
3. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. «Математика», учебное пособие для студентов средних специальных учебных заведений, М., Высшая школа, 2011
г.
4. Е. С. Баранова, Н. В. Васильева, В. П. Федотов, Практическое пособие по
высшей математике. Типовые расчеты, учебное пособие, М., « Питер»,
2009