МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

КГБОУ СПО
«Сосновоборский автомеханический техникум»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
и контрольные задания для студентов заочной формы обучения
на базе основного общего образования ( 9 классов )
2009
СОГЛАСОВАНО
Протокол №_____
От «____»____________2009
УТВЕРЖДАЮ
Зам. директора по УР
____________Л.С.Корсакова
Методические указания составлены
в соответствии с примерной программой по математике,
Государственными требованиями к минимуму
содержания и уровню подготовки выпускников
на базе среднего (полного) общего
образования.
Составитель : Петрова Н.Г.
СОДЕРЖАНИЕ :
1. Пояснительная записка.
2. Программа.
3. Методические указания .
4. Контрольные задания.
5. Литература
6. Экзаменационный материал ( тесты ).
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.
Настоящее методическое пособие предназначено для студентов
заочной формы обучения на базе основного общего образования (9
классов ) по дисциплине математика .
Данное методическое пособие ставит своей целью оказание
помощи студентам-заочникам в организации их работ по овладению
системой знаний и умений в объеме действующей программы по
математики на базе среднего (полного) общего образования. Учебная
дисциплина
«Математика»
является
естественнонаучной
,
формирующей базовые знания для освоения общепрофессиональных и
специальных дисциплин.
В результате изучения дисциплины студент должен :
иметь представления :
- о роли математики в современном мире, общности ее понятий и
представлений ;
знать и уметь:
-использовать математические методы при решении прикладных задач.
Рабочая программа по математике рассчитана на 312 часов из
них 93,6 час. на теоретические занятия и 218,4 час. на самостоятельную
учебную нагрузку студенту. Программа по математике состоит из 14
разделов.
Раздел 1 «Действительные числа»
Раздел 2 «Тригонометрические выражения»
Раздел 3 «Тригонометрические функции»
Раздел 4 «Тригонометрические уравнения»
Раздел 5 «Производная»
Раздел 6 «Применение производной»
Раздел 7 «Показательная и логарифмическая функции»
Раздел 8 «Интеграл»
Раздел 9 «Аксиомы стереометрии и их простейшие свойства»
Раздел 10 «Параллельность прямых и плоскостей»
Раздел 11 «Перпендикулярность прямых и плоскостей»
Раздел 12 «Декартовы координаты»
Раздел 13 «Многогранники, объем многогранников»
Раздел 14 «Тела вращения, объем тел вращения, площади поверхности
тел вращения»
Основной формой учебного процесса является индивидуальная
самостоятельная работа с учебной литературой
Изучать дисциплину математика необходимо в логической
последовательности:
1. Усвоить учебные материалы , согласно программы.
2. Составить ответы на вопросы для самоконтроля.
3. Выполнить контрольную работу.
4. Сдать промежуточную аттестацию в виде экзамена.
Все
непонятные
вопросы
студент
может
выяснить
в
индивидуальной консультации у преподавателя.
В соответствии с учебным планом студент должен в семестре
выполнить одну контрольную работу , которая охватывает все разделы
семестра , промежуточная аттестация в виде экзамена. Для проведения
промежуточной аттестации по дисциплине математика составлены
экзаменационные тесты , которые охватывают раздел материала за 2
семестр обучения. Экзамен по математике проводится на ПВЭМ.
Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. Содержание
каждого вопроса и условие задачи необходимо переписывать
полностью, из задания непосредственно перед ответом. Ответы должны
быть полными , конкретными, по существу заданного вопроса. Решение
задач должны быть подробно расписаны с пояснением . ответами и
выводами. Доказательство теорем должно быть оформлено подробно ,
выделены разделы : что дано, что доказать , чертеж к теореме и
доказательство самой теоремы с пояснением ( т.е. объяснение всех
пунктов доказательства ).
Данное методическое пособие является продолжением методического
пособия ( т.е. 2 часть ) по математике на базе 9 классов , выполненного
для тем 1 семестра и является заключительным .В методическое
пособие включены следующие разделы: раздел 5 «Производная»,
раздел 6 «Применение производной», раздел 8 «Интеграл» ,раздел 12
«Декартовы координаты», раздел 13 «Многогранники, объем
многогранников», раздел 14 «Тела вращения, объем тел вращения,
площади поверхности тел вращения».каждый раздел включает в себя
обязательные результаты обучения, материалы домашней контрольной
работы, материалы промежуточной аттестации( экзаменационные
тесты).
Раздел 5 «Производная»
Студент должен:
Знать:
- определение производной, ее геометрический и механический смысл;
правила и формулы дифференцирования функции; определение
дифференциала функции; определение второй производной, ее
физический смысл; достаточные признаки возрастания и убывания
функции, существования экстремума; общую схему построения
графиков функций с помощью производной; правило нахождения
наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке;
Уметь:
- дифференцировать функции, использую таблицу производных и
правила дифференцирования, находить производные сложных
функций вида f (ax + b); вычислять значения производной функции в
указанной точке; находить угловой коэффициент и угол наклона
касательной, составлять уравнение касательной к графику функции в
данной точке; находить скорость изменения функции в точке;
применять производную для исследования реальных физических
процессов (нахождение скорости неравномерного движения, угловой
скорости, силы переменного тока, линейной плотности неоднородного
стержня и т.д.); находить производные второго порядка,
- применять вторую производную для решения физических задач;
находить дифференциал функции, с помощью дифференциала
приближенно вычислять значение и приращение функции в указанной
точке; применять производную для нахождения промежутков
монотонности и экстремумов функции; проводить исследования и
строить графики функций; находить наибольшее и наименьшее
значения функции, непрерывной на промежутке; решать несложные
прикладные задачи на нахождение наибольших и наименьших
значений реальных величин.
Данном разделе рассмотрим понятие производной функции в
точке, познакомимся с правилами и формулами дифференцирования,
рассмотрим задачи в решении которых применяется понятие
производной функции.
1.Понятие производной функции в точке.
Пусть Х – произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности
фиксированной точки Х0 . Разность Х –Х0 называется приращением
независимой переменной ( или приращением аргумента ) в точке Х0 и
обозначается  Х. Таким образом  Х = Х –Х0 .
Если f ( x ) – значение функции в точке Х, а f (x0 ) – значение
функции в точке Х0 ,тогда разность между f (x) – f (x0) называется
приращением функции. Таким образом  f = f (x) – f( x0 ).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: производной функции f в точке Х0 называется
число , к которому стремится разностное отношение
f (X )  f (X 0 )
f

X
X
при X , стремящемся к нулю.
2.Основные правила и формулы дифференцирования.
Пусть u, v некоторые функции; С – числовой коффециент; тогда
 Производная суммы равна сумме производных.
 Постоянный множитель можно выносить за знак
производной
 Производная произведения равна сумме произведений
данных функций.
 Производная частного
равна
частному разности
произведения производных функций на квадрат функции
делителя.
С остальными правилами и формулами дифференцирования вы
можете познакомится в учебном пособии «Алгебра и начала анализа»
автор А.Н.Колмагоров на стр.118 – 123.
Раздел 6 «Применение производной»
Студент должен:
Знать:
- определение производной, ее геометрический и механический смысл;
правила и формулы дифференцирования функции; определение
дифференциала функции; определение второй производной, ее
физический смысл; достаточные признаки возрастания и убывания
функции, существования экстремума; общую схему построения
графиков функций с помощью производной; правило нахождения
наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке;
Уметь:
- дифференцировать функции, использую таблицу производных и
правила дифференцирования, находить производные сложных
функций вида f (ax + b); вычислять значения производной функции в
указанной точке; находить угловой коэффициент и угол наклона
касательной, составлять уравнение касательной к графику функции в
данной точке; находить скорость изменения функции в точке;
применять производную для исследования реальных физических
процессов (нахождение скорости неравномерного движения, угловой
скорости, силы переменного тока, линейной плотности неоднородного
стержня и т.д.); находить производные второго порядка,
В курсе математического анализ данной программы мы решаем
задачи , в которых применяется понятие производной. Задачи на
составление уравнения касательных к графику функции в точке,
нахождение наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке,
исследование функции и построение графика функции – для решения
данных задач мы будем использовать следующие признаки:
1. Общий вид уравнения касательных к графику функции в точке:
 У = f (Х0 ) + f( Х0 ) ' (Х – Х0 )
2. Достаточные признаки возрастания и убывания функции :
 Если производная функции больше нуля в каждой
точке интервала. то функция возрастает на данном
интервале.
 Если производная функции меньше нуля на
некотором промежутке, то функция убывает на
некотором промежутке.
 Внутренние точки области определения функции в
которых производная равна нулю или не существует,
то они называются критическими.
 Если в точке Х0 производная меняет знак с плюса на
минус, то Х0 есть точка максимума.
 Если в точке Х0 производная меняет знак с минуса на
плюс, то Х0 есть точка минимума.
3. Схема исследования функции с помощью производной:
 Найти область определения функции.
 Найти область значения функции.
 Исследовать функцию на четность и нечетность.
 Найти точки пересечения графика функции с осями
координат.
 Найти критические точки функции.
 Исследовать функцию на монотонность.
 Исследовать функцию на максимум и минимум.
 Построить
график
функции
по
данному
исследованию.
Раздел 8 «Интеграл»
Студент должен:
Знать:
- определение первообразной; определение неопределенного
интеграла и его свойства; формулы интегрирования; способы
вычисления неопределенного интеграла; определение
определенного интеграла, его геометрический смысл и свойства;
способы вычисления определенного интеграла; понятие
криволинейной трапеции, способы вычисления площадей
криволинейных трапеций с помощью определенного интеграла;
уметь:
- находить неопределенные интегралы, сводящиеся к табличным с
помощью основных свойств и простейших преобразований; выделять
первообразную, удовлетворяющую заданным начальным условиям;
восстанавливать закон движения по заданной скорости, скорость по
ускорению, количество электричества по силе тока и т.д.;
Обратная операция операции дифференцирования есть
операция интегрирования. С ней мы познакомимся в данном разделе.
1. Определение: функция F называется первообразной для
функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка
F ' ( X) =f( X).
2.Основное свойство первообразной: любая первообразная для
функции f (Х) на промежутке I может быть записана в виде F(X) +C, где
F(X) – одна из первообразных для функции f(X) на промежутке I , а Спроизвольная постоянная.
3.Для вычисления первообразной функции существуют формулы
интегрирования, с которыми вы можете познакомится с помощью
учебного пособия , страница 180-181. «Алгебра и начала анализа»
А.Н.Колмагоров.
4. Определение: совокупность всех первообразных называется
неопределенным интегралом и записывается  f ( X ) dX ; где  - знак
интеграла, f(X) – подынтегральная функция, dX – дифференциал
показывающий по какой переменной идет интегрирование.
5. Для того чтобы вычислить неопределенный интеграл нужно для
подынтегральной функции вычислить первообразную для функции и
добавить число С.
6. Интеграл вида
b
 f (X )dX называется
определенным интегралом,
a
а его значение есть число. Для вычисления определенного интеграла
применяется формула Ньютона – Лейбница
b
 f ( X )dX  F ( X )
b
a
 F ( B)  F ( A)
a
Где F( b)
и
интегрирования.
F(a) – значения первообразной в пределах
7. Понятия определенного интеграла
вычисления площади криволинейной трапеции:
используется
для
в
Sкр.т. =  f ( X )dX  F ( X ) ва  F (в)  F (а)
а
Для решения задач такого типа мы будем изображать
криволинейную трапецию, затем используя формулу Ньютона –
Лейбница вычислять ее площадь.
РАЗДЕЛ 12 «Декартовы координаты в пространстве»
Студент должен :
Знать:
- определение вектора, действий над векторами; свойства действий
над векторами; понятие прямоугольной декартовой системы
координат на плоскости и в пространстве; правила действий над
векторами, заданными координатами; формулу для вычисления
длины вектора, угла между векторами, расстояния между двумя
точками; уравнения прямой; уравнение окружности; способы решения
систем линейных уравнений;
Уметь:
- изображать вектор, производить действия над векторами; применять
правила действий над векторами, заданными координатами; применять
формулу для вычисления длины вектора, угла между векторами,
расстояния между двумя точками.
1. Возьмем три взаимно перпендикулярных прямых Х. У, Z,
пересекающиеся в одной точке О. Проведем через каждую пару этих
прямых плоскость. Плоскость, проходящая через прямые Х и У,
называется плоскостью ХУ. Две другие плоскости называются
соответственно ХZ и УZ. Прямые Х, У, Z, называются координатными
осями ( или осями координат), точка пересечения – О называется
началом координат, а плоскости называются координатными
плоскостями. Точка О разбивает каждую из осей координат на две
полупрямые –
полуоси, которые
мы
условились называть
положительной и отрицательной.
Данная система координат считается декартовой системой
координат. В которой каждая тока имеет три координаты. Например А (
х; у; z).
Выразим расстояние между двумя точками через координаты этих
точек.
А1 (х1;у1;z1 ) А2 ( х2; у2; z2) – данные точки, расстояние между ними
вычисляется по формуле:
 А1А2 = ( Х 2  Х 1 ) 2  (У 2  У 1 ) 2  ( Z 2  Z1 ) 2
Выразим координаты середины отрезка через координаты концов
этого отрезка, получим формулу :
 Х=
Х1  Х 2
;
2
У=
У1  У 2
;
2
Z=
Z1  Z 2
2
Понятие преобразования для фигур в пространстве определяется
так же, как и на плоскости. Так же. Как и на плоскости. Определяется
преобразования симметрии точки и прямой. Кроме симметрии
относительно точки и прямой в пространстве, рассматривается
симметрия относительно плоскости.
Движение в пространстве определяется так же, как и на
плоскости. А именно : движением называется преобразование, при
котором сохраняется расстояние между точками. Дословно так же, как и
для движения на плоскости , доказывается, что при движении в
пространстве прямые переходят в прямые. Полупрямые в полупрямые,
отрезки в отрезки и сохраняются углы между полупрямыми.
Новым свойством движения в пространстве является то, что
движение переводит плоскость в плоскость.
В пространстве, так же как
и на плоскости, две фигуры
называются равными, если они совмещаются движением.
Параллельным переносом в пространстве называется такое
преобразование, при котором произвольная точка (х; у; z) фигуры
переходит в точку (х+а; у+в; z+с), где числа а, в, с одни и те же для всех
точек ( х; у; z ).Параллельный перенос в пространстве задается
формулами :
Х1= х + а , У1= у+в , Z1 = z +c выражающими координаты Х1, У1 ,
Z1 точки, в которые переходит точка (х; у: z) при параллельном переносе.
Так же , как и на плоскости , доказываются следующие свойства
параллельного переноса:
 Параллельный перенос есть движение.
 При параллельном переносе точки смешаются по
параллельным ( или совпадающим ) прямым на одно и то
же расстояние.
 При параллельном переносе каждая прямая переходит в
параллельную ей прямую (или в себе ).
 Каковы бы ни были точки А и А1, существует единственный
параллельный перенос, при котором точка А переходит в
точку А1.
 При параллельном переносе в пространстве каждая
плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей
плоскость.
 Две пересекающиеся прямые образуют смежные и
вертикальные углы. Вертикальные углы равны, а смежные
углы дополняют друг друга до 1800.
 Угловая мера меньшего их них называется углом между
прямыми.
 Угол между перпендикулярными прямыми равен 900 по
определению.
 Угол между параллельными прямыми считается равным
нулю.
 Углом между скрещивающимися прямыми называется угол
между пересекающимися прямыми, которые параллельны
данным скрещивающимся прямым.
 Углом между прямой и плоскостью называется углом между
этой прямой и ее проекцией на плоскость.
 Угол между параллельными плоскостями считается равным
нулю.
2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
отрезок.
вектором
называется
направленный
Координатами вектора с началом в точке А1(х1;у1:z1) А2 ( х2: у2:z2 )
называются числа х2 –х1, у2 –у1 , z2 -z1.
Так же, как и на плоскости, определяются действия над векторами:
сложение, умножение на число и скалярное произведение.
Раздел 13. Многогранники, объем многогранников.
Студент должен:
знать:
- понятие многогранника, его поверхности, понятие правильного
многогранника; определения призмы, параллелепипеда; виды призм;
определения пирамиды, правильной пирамиды; понятие тела
вращения и поверхности вращения; определения цилиндра, конуса,
шара, сферы; свойства геометрических тел;
уметь:
- вычислять и изображать основные элементы прямых призм, пирамид,
прямых круговых цилиндра и конуса, шара; строить простейшие
сечения многогранников и круглых тел; вычислять площади этих
сечений.
1.Определение: двугранным углом называется фигура,
образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их
прямой. Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их
прямая – ребром двугранного угла.
 Угол, образованный этими полупрямыми, называется
линейным углом двугранного угла.
 За
меру
двугранного
угла
принимается
мера
соответствующего ему линейного угла. Все линейные углы
двугранного угла совмещаются параллельным переносом,
а значит равны. Поэтому мера двугранного угла не зависит
от выбора линейного угла. В пространстве так же
рассматриваются трехгранные многограннее углы.
2. Определение. Многогранник – это тело, поверхность которого
состоит из конечного числа плоских многоугольников. Простейшими
многогранниками являются – призма, пирамида и они будут объектом
нашего изучения.
3.Определение . Призмой называется многогранник, который
состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях
и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков,
соединяющих
соответствующие
точки
этих
многоугольников.
Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки,
соединяющие соответствующие вершины,- боковыми ребрами призмы.
Составляющие элементы призмы – основания, боковые грани, боковые
ребра, вершины, ребра оснований, боковые ребра, высота, диагональ
призмы, диагональ боковой грани, диагональ основания.
1
2
3
4
5
6
Основания призмы
Многоугольники, лежащие в разных
плоскостях
и
совмещаемые
параллельным переносом.
Боковые ребра
Отрезки, соединяющие соответствующие
вершины.
Боковые грани
Плоскость ,ограничивающая призму по
бокам.
Высота
Расстояние между плоскостями ее
оснований.
Диагональ призмы
Отрезок , соединяющий две вершины
призмы, не принадлежащие одной грани.
Диагональ
боковой Отрезок
,
соединяющий
две
грани
противоположные
вершины
боковой
грани.
При изучении призмы мы познакомимся с тремя видами призмы:
1
Прямая
2
Наклонная
3
Правильная
Призма у которой боковые ребра
перпендикулярны основаниям.
Призма у которой боковые ребра не
перпендикулярна основаниям.
Прямая призма у которой основания
правильные многоугольники.
4.Параллелепипед
1.Определение. Если основание призмы есть параллелограмм,
то она называется параллелепипедом. Составляющие элементы
параллелепипеда – основание, боковые грани, боковые ребра,
вершины, ребра оснований, высота, диагональ параллелепипеда,
диагональ боковой грани.
Виды параллелепипеда:
1
Прямой
2
Наклонный
3
Прямоугольный
4
Куб
Параллелепипед у которого основания
перпендикулярны основаниям.
Параллелепипед у которого боковые
ребра не перпендикулярны основаниям.
Прямой параллелепипед у которого
основания прямоугольник.
Прямоугольный
параллелепипед
у
которого все ребра равны.
5. Пирамида
1.Определение. Пирамидой называется многогранник, который
состоит из плоского многоугольника – основания пирамиды , точки, не
лежащей в плоскости основания,- вершины пирамиды и всех отрезков,
соединяющих вершину пирамиды с точками основания. К элементам
пирамиды относятся – основание, вершина пирамиды, боковая грань,
боковые ребра, высота, ось пирамиды, осевое сечение пирамиды,
диагональное сечение пирамиды. При изучении пирамиды мы будем
рассматривать правильную пирамиду, усеченную пирамиду и пирамиду.
В зависимости от основания пирамида может быть треугольной,
четырехугольной и п- угольной.
Формулы.
Призма или параллелепипед
Пирамида
Площадь основания вычисляется
по формуле в зависимости от
плоского многоугольника.
Площадь основания вычисляется
по формуле в зависимости от
плоского многоугольника.
Sб = р * h
Sб = 1 /2 р * h
Sп = 2 S б + S о
Sп = S б + S о
V = Sо * h
V = 1 / 3 *S о *h
6. К телам вращения относятся – цилиндр, конус, шар. Изучение
данного материала можно произвести по учебному пособию. При
изучении можно воспользоваться следующим планом.
 Определение тела вращения( цилиндра, конуса, шара ) .
 Элементы тела вращения ( основания, образующие, боковая
поверхность, высота, радиус, диаметр, ось симметрии,
осевое сечение, большой круг, шаровая поверхность,
диаметрально противоположные точки шара, большая
окружность ) .
 Понятие элементов тела вращения.
 Виды тел вращения ( прямой цилиндр, усеченный конус ).
 Площадь
боковой
поверхности,
площадь
полной
поверхности, объем тела вращения.
В результате изучения многогранников и тел вращения ВЫ должны
уметь их изображать, по модели указывать все элементы, давая их
определения, вычислять площадь боковой поверхности, площадь
полной поверхности и объем, строить несложные сечения
многогранников и тел вращения.
Раздел 14 «Тела вращения, объем тел вращения, площади
поверхности тел вращения»
Студент должен:
Знать:
- понятие объема и площади поверхности геометрического тела;
формулы для вычисления объемов и площадей поверхностей
геометрических тел;
Уметь:
- находить объем прямой призмы, пирамиды, прямого кругового
цилиндра и конуса, шара; находить площади поверхностей призмы,
пирамиды, цилиндра, конуса и шара.
В данном разделе мы познакомимся с телами вращения:
цилиндр, конус, шар. Сформулируем определения тел вращения,
выясним из каких элементов они состоят, какими свойствами обладают,
изучим формулы площадей поверхности тел вращения и объем.
1. ЦИЛИНДР.
Определение: цилиндром ( точнее круговым цилиндром )
называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в
донной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и
всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.
Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки , соединяющие
соответствующие точки окружностей кругов, - образующими цилиндра.
СВОЙСТВА ЦИЛИНДРА:
 Основания цилиндра равны.
 У цилиндра основания лежат в параллельных плоскостях.
 У цилиндра образующие параллельны и равны.
 Ось цилиндра параллельна образующим.
 Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра,
пересекает его боковую поверхность по окружности, равной
окружности основания.
Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности.
Боковая поверхность составлена из образующих. Цилиндр называется
прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.
Цилиндр состоит из следующих элементов: основания цилиндра,
образующие цилиндра, радиус цилиндра, высота, ось цилиндра.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: радиусом цилиндра называется радиус его основания.
Высотой цилиндра называется расстояние между
плоскостями его оснований.
Осью цилиндра называется прямая, проходящая через
центры оснований.
2. КОНУС.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: конусом ( точнее, круговым конусом)
называется тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки , не
лежащей в плоскости этого круга,- вершины конуса и всех отрезков,
соединяющих вершину конуса с точками основания.
Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности
основания, называются образующими конуса.
Поверхность конуса состоит из основания и боковой
поверхности.
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая
вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости
основания.
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его
вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты
совпадает с центром основания.
Осью прямого конуса кругового конуса называется прямая,
содержащая его высоту.
Плоскость , параллельная плоскости основания конуса,
пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с
центром на оси конуса.
Плоскость , параллельная основанию конуса и пересекающая
конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется
усеченным конусом.
3. ШАР.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: шаром называется тело, которое состоит из
всех точек пространства, находящихся, не большем данного, от данной
точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние
радиусом шара.
Граница шара называется шаровой поверхностью, или сферой.
Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые
удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок,
соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также
называется радиусом.
Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и
проходящий через центр шара, называется диаметром. Концы любого
диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.
Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга
есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на
секущую плоскость.
Любая диаметральная плоскость шара является плоскостью
симметрии. Центр шара является его центром симметрии.
Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую
точку – точку касания.
ФОРМУЛЫ:
Если R – радиус;
H – высота; S – площадь; V – объем; L –
образующая, тогда
 ЦИЛИНДР
 Sбок. = 2π R H
 V =π R2 H
 КОНУС
 Sбок. = πRL
1
 V = πR2H
3
 ШАР
 S = 4π R2
4
 V = π R2
3
Данное методическое пособие предполагает выполнение домашней
контрольной работы и подготовку к промежуточной аттестации по
дисциплине математика за 2 семестр.
Промежуточная аттестация по дисциплине математика
проводится в виде тестирования на ПВЭМ. Для проведения
промежуточной аттестации разработаны тесты, в которые включены
задания из разделов: «Производная функции в точке», «Применение
производной», «Интеграл».
Экзамен проводится для проверки ниже перечисленных знаний и
умений по дисциплине «Математика»
Студент должен:
знать:
- определение производной, ее геометрический смысл ; правила и
формулы дифференцирования; достаточные признаки возрастания и
убывания функций; существования экстремума;
- понятие первообразной; определение неопределенного
интеграла и его свойства; формулы интегрирования; способы
вычисления неопределенного интеграла; определение определенного
интеграла, его геометрический смысл и свойства; способы вычисления
определенного интеграла; понятие криволинейной трапеции, способы
вычисления площадей криволинейных трапеций
с
помощью
определенного интеграла.
уметь:
- дифференцировать функции, используя таблицу производных и
правила дифференцирования, находить производные сложных функций
вида f ax  b ; вычислять значения производной функции в указанной
точке; применять производную для нахождения промежутков
монотонности и критических точек;
- находить определенные интегралы; неопределенные интегралы
с помощью формул интегрирования; находить площади фигур.
Критерии оценки
Оценка «2» - если выполнено правильно менее
50% задания (менее 25)
Оценка «3» - если выполнено правильно от
50 % - 74 % задания (26 – 36)
Оценка «4» - если выполнено правильно от
75 % - 91 % задания (37 – 46)
Оценка «5» - если выполнено правильно от
92 % - 100 % задания (47 – 49)
КОНТРОЛЬНЫЕ
ЗАДАНИЯ
ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
( ВТОРАЯ ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ СЕССИЯ )
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Значение lim
x 0
sin 3x
равно
x
*а) 3
б) -3
в) 0
2. Значение lim x 2  5x  15 равно
x 2
а) -9
*б) 9
в) 1/9
3. lim
x 0
f
называется
x
*а) производной функции
б) первообразной функции
в) интегралом
4. Операция вычисления производной для функции называется
*а) дифференцированием
б) интегрированием
в) делением
5. Производная функции у  х n равна
х n 1
n 1
б) x n 1
*в) n  x n 1
а)
6. Производная функции y  2 sin 2x  3 равна
а) cos2x  3
*б) 4 cos2x  3
в) - cos2x  3
7. Производная функции y  sin
а) cos 2
2
x
равна
2
x
2
б) sin x  cos x
x
2
*в) sin  cos
x
2
8. Производная функции y  2x равна
а) 2x  Ln 2
2
б) 2x  2x
*в) 2x  Ln 2  2x
2
2
2
x
9. Производная функции y  2 2 равна
x
2
*а) 
б) 2х
x
2
в) 2 
10. Производная функции y  ctgx равна
1
sin 2 x
б) tgx
*а) -
в) cos x
11. Внутренние точки области определения функции называются
критическими, если в них производная равна
*а) нулю
б) функции
в) -2
12. Критические точки функции y  x 3  27 x равны
*а) -3 и 3
б) 0 и 2
в) -2 и 27
13. Функция возрастает на некотором промежутке, если ее
производная
*а) положительная
б) отрицательная
в) равна нулю
14. Функция убывает на некотором промежутке, если ее
производная
а) равна нулю
*б) отрицательная
в) положительная
15. Операция вычисления первообразной для функции
называется
а) дифференцированием
*б) интегрированием
в) делением
16. Первообразная функции y  x n равна
а) x n  c
б) n  x n 1  c
*в)
x n 1
c
n 1
17. Первообразная функции y  sin x равна
*а) - cos x  c
б) cos x  c
в) tgx  c
18. Первообразная функции y 
1
равна
x
*а) 2 x  c
б)
1
c
2 x
в) x  c
19. Первообразная функции y 
1
равна
cos 2 x
*а) tgx  c
б) - tgx  c
в) ctgx  c
1
равна
sin 2 x
20. Первообразная функции y 
*а) ctgx  c
б) - ctgx  c
в) - tgx  c
21. Первообразная функции y 
2
равна
2x - 13
2
c
2x - 14
1
б)
c
2x  12
2
*в)
c
2x  12
а)
22. Первообразная функции y  2 cos  3 равна
x
2

*а) 4 sin   3  c
x
2

x
б) 2 cos  3  c
2

x
в) 2 sin   3  c
2

23. Первообразная функции y  sin   7  равна
1
3
x
3

x
*а) - cos  7   c
3

1
x
б) - cos  7   c
3 3

1 x
в) cos  7   c
3 3

24. Первообразная функции y 
а) 45  2x 2  c
1
5  2x 2  c
1
*в)
2
45  2x   c
1
равна
5  2x 3
б)
25. Выражение  f x dx есть обозначение
*а) неопределенного интеграла
б) производной
в) определенного интеграла
26. Значение неопределенного интеграла  2x - 56 dx равно
*а)
2x  57  c
14
2x  57  c
б)
7
в) 2x  57  c
x
2
27. Значение интеграла  2cos dx равно
x
2
*а) 4 sin  c
б) 4 sin x  c
x
2
в) 2 sin  c
28. Выражение 6а  f x dx есть обозначение
а) неопределенного интеграла
*б) определенного интеграла
в) первообразной
29. Значение интеграла 20  x 5dx равно
а) 36
*б) 64
в) 16
30. Значение интеграла  23 4x 3  3x 2  2x  1dx равно
а) -40
*б) 40
в) 2
31. Площадь фигуры, ограниченная y  x 2 , у=0, х=4 равна
а) 15,4
б) 16,2
*в) 21
1
3
32. Площадь фигуры, ограниченная y  9 - x 2 , у=0 равна
*а) 36
б) 27
в) -40
33. Площадь фигуры, ограниченная y  x 4 , у=0, х=-1, х=2
а) 2
1
4
б) 12
*в)
33
5
34. Производная функции y 
*а) x 3  x 4 
1
2 x
1
б) x 3  x 4 
x
3
4
в) 3x  4x  x
x 4 x5

 x
4
5
35. Значение предела функции lim
x 3
x 3
равно
x2  9
а) 0
*б) 1/6
в) 6
3x 3  x
36. Значение предела lim
равно
x 0
x
а) 3
б) -1
*в) 1
37. Значение интеграла 
dx
равно
x2
а) 2x  c
x3
б) -  c
3
1
*в) -  c
x
38. Производная функции y 
1
3
x2
равна
5
2 3
x
3
1
б) x 2
3
а)
*в) -
2
3
3 x5
9. Первообразная функции f x  
2
равна
1  5x 6
2
c
5
251  5x 
2
б)
c
5
51  5x 
2
в)
c
7
251  5x 
*а)
40. Производная функции y  sinx равна
а) tgx
б) sin 2x
*в) cos x
г) cos 2x
41. Производная функции y   x равна
1
x
б) n x
а)
*в)  x
г) 0
42. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на
некотором промежутке, если
*а) Fx   f x 
б) Fx   0
в) Fx   Fx 
г) Fx   1
43. Если U и  - некоторые функции, то U   равна
а) U  
*б) U    U  
в) U    U  
г) U    U  

U
44. Если U и  - некоторые функции,   0 , то   равна
 
U    U  
а)


U    U  
б)

U    U  
*в)
2
г) U    U  
45. Производная функции y  2 sin 2x  6 равна
*а) 4 cos 2x
б) 4 cos x
в) 2 cos 2x
г) 2 cos x
46. Первообразная функции y  2x  3x 2  5 равна
*а) x 2  x 3  5x  c
б) 2x 2  3x 3  c
в) 2x 2  3x 3  5x  c
г) x 2  x 3  c
47. Фигура, ограниченная графиком функции y  f x  , прямыми х=а;
х=в и осью ОХ называется
а) четырехугольником
*б) криволинейной трапецией
в) треугольником
г) призмой
48. Значение  2x 2dx равно
2 3
x c
3
x3
б)
c
3
*а)
в) 4x  c
г)
4x 3
c
3
ВАРИАНТ -1
1.Что такое двугранный угол ( грань угла, ребро угла )?
2.Докажите, что у призмы
основания лежат в параллельных
плоскостях и равны, боковые ребра параллельны и равны, боковые
грани- параллелограммы.
3.Докажите, что боковая поверхность прямой призмы равна
произведению периметра основания на высоту призмы.
4.Какой многогранник называется правильным? Перечислите типы
правильных многогранников и изобразите их.
5.Запишите определение призмы. Изобразите призмы. Перечислите
элементы призмы ( основания, боковые грани, боковые ребра, ребра
оснований, высота, диагональ призмы, диагональное сечение), дав их
понятия.
6.Основание прямой призмы служит ромб. Диагонали призмы равны 8
см. и 5см., высота равна 2 см. Найдите сторону основания призмы и ее
объем.
7.Основание призмы равнобедренный треугольник со сторонами 2; 3; 3
см. Боковое ребро 4 см. и составляет с плоскостью основания угол в
450 . Найдите объем призмы.
8.Вычислите производную для функции :
 У = ( 1 -2Х)4 + ( 5Х +7 )3
3
 У = √(1 + 2Х )
3
 У = √( 5 − Х)
2
2
9.Вычислите определенный интеграл :
2
 ∫−1( Х − 10)𝑑𝑥
2𝑑𝑥
 ∫
𝑐𝑜𝑠𝑥 2
 ∫(2𝑋 +
𝑋
3
2
–sin4X)dX
10. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями :
 У =Х4 , У = 0, У = 4
 У = Х, У = -0,5Х +5, Х =-1, Х =3
11. Исследуйте и постройте схематически график функции:
 У =- Х4 +5 Х2-4
 У = Х5 – 5Х
ВАРИАНТ – 2
1.Что такое линейный угол двугранного угла? Почему мера двугранного
угла не зависит от выбора линейного угла?
2.Докажите, что у параллелепипеда противолежащие грани
параллельны и равны.
3.Что такое многогранник? Какой многогранник называется выпуклым?
4.Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали
равен сумме квадратов трех его измерений.
5.Запишите виды призмы. Изобразите наклонную треугольную призму,
прямую четырехугольную призму, правильную треугольную призму;
укажите многоугольник который является ее основанием.
6.В основании призмы лежит равносторонний треугольник, площадь
которого равна 9√3. Найти объем призмы, если ее высота в √3 раз
больше стороны ее основания.
7.Площадь диагонального сечения правильной четырехугольной
призмы равна 10√2 см2, ее высота 2 см. Определите полную
поверхность призмы.
8. Вычислите производную для функции :
 У =( 5-4Х)5+ ( 6Х-2)6
 У = √1 − 2Х
 У = 2 cos 5X+ √Х
9.Вычислите определенный интеграл :
0 (𝑥 2 −2Х)(3−2Х)
 ∫−1
(Х−2)
dX
−16
 ∫
𝑑𝑋
𝑠𝑖𝑛х2
 ∫( 5𝑥 2 + 𝑐𝑜𝑠3𝑋 − 8)𝑑𝑋
10. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями :
 У =2X, У = Х -2, Х =4
 У =Х3 , У = 0, Х -3, Х =1
11. Исследуйте и постройте схематически график функции:
 У =2Х4-9Х2 +7
 У = 5Х3 -3Х5
ВАРИАНТ – 3
1.Объясните, что такое трехгранный угол ( грани и ребра трехгранного
угла )
2.Объячните , что такое плоские и двугранные углы трехгранного угла.
3.Что такое призма ( основания призмы, боковые грани, ребра )?Что
такое высота призмы? Что такое диагональ призмы?
4.Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной
точке и точкой пересечения делятся пополам.
5.Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда
является его центром симметрии.
6.В прямой треугольной призме стороны основания равны 3см. ; 4см. ;
5 см., а полная поверхность равна 84 см2 . Определите боковую
поверхность призмы и ее высоту.
7.Найдите объем правильной четырехугольной призмы, если
диагональ ее равна √34 , а диагональ боковой грани 5 см.
8. Вычислите производную для функции :
 У =6cos(π/2-2Х)
3
 У √(3Х − 5 -(3-4Х)3
Х
 У = - 2Х4+sin4X
2
9.Вычислите определенный интеграл :
3 (𝑋 2 −3𝑋+2)(2+𝑋)
 ∫2
𝑋−1
dx
 ∫(𝑋 3 + 𝑠𝑖𝑛𝑋)𝑑𝑋
 ∫(7 + 5𝑋)13dX
10. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями :
 У =-Х,
Х
У=3- ,
4
Х =-2,
Х=1
 У = -Х2+ 2Х +3, У = 3-Х
11. Исследуйте и постройте схематически график функции:
 У= 3Х2 -4Х +5
 У = -Х4 +5Х2 -4
ВАРИАНТ – 4
1.Что такое призма? Какая призма называется прямой ( наклонной)
?Какая призма называется правильной?
2.Докажите, что боковая поверхность правильной пирамиды равна
произведению полупериметра основания на апофему.
3.Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данную
прямую в плоскости основания пирамиды и заданную точку на одной из
боковых граней.
4.Объсните , что такое усеченная пирамида, изобразите ее.
5.Основанием прямой призмы служит ромб. Диагонали призмы равны
32 см. и 24 см. , а высота 4 см. Определите боковую поверхность
призмы.
6.В прямом параллелепипеде стороны основания равны 10 см. и 6 см.
Меньшая диагональ основания равна 8 см. , а меньшая диагональ
параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 600,
Найдите его вторую диагональ.
7.В основании наклонной призмы лежит параллелограмм со сторонами
6 и 12 см. и острым углом 600, Найдите объем призмы.
8. Вычислите производную для функции :
 У =sin33X+X5-125
3
 У =√9Х + 6- (1- Х3) 4
 У = Х7+4Х2-sin5X
9.Вычислите определенный интеграл :
 ∫(𝑐𝑡𝑔 2 𝑋 + 1)𝑑𝑋
3 (𝑥 2 −4)(𝑥 2 −1)
 ∫2
𝑥 2 +𝑋−2
𝑑𝑋
 ∫(𝑠𝑖𝑛2𝑋 + 𝑐𝑜𝑠4𝑋)𝑑𝑋
10. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями :
 У =Х2-1, У = 2Х +2
 У = Х2 -4 Х +3, У = -Х2 +6Х -5
11. Исследуйте и постройте схематически график функции:
 У = 3Х2 -4Х +5
 У = 5Х3 -3Х5
ВАРИАНТ – 5
1.Что такое многогранник? Что такое грань выпуклого многогранника,
ребро, вершина?
2.Постройте сечение призмы плоскостью, параллельной боковым
ребрам.
3.Что такое параллелепипед? Какой параллелепипед называется
прямоугольным? Что такое линейные размеры прямоугольного
параллелепипеда?
4.Докажите, что плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная
ее основанию , отсекает подобную пирамиду .
5.В прямой треугольной призме стороны основания равны 3 см., 4 см. ,
5 см. , а высота 6 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.
6.Стороны основания прямого параллелепипеда равны 7 см. и 11 см.,
одна из диагоналей основания 14 см. Найдите диагонали
параллелепипеда, если известно, что боковое ребро равно 9 см.
7.Основание призмы правильный треугольник со стороной 4 см.
Боковое ребро равно 8 см. и составляет с плоскостью основания угол в
600. Найдите объем призмы.
8. Вычислите производную для функции :
 У =6cos(π/2-2Х)
3
 У √(3Х − 5 -(3-4Х)3
Х
 У = - 2Х4+sin4X
2
9.Вычислите определенный интеграл :
3 (𝑋 2 −3𝑋+2)(2+𝑋)
 ∫2
𝑋−1
dx
 ∫(𝑋 3 + 𝑠𝑖𝑛𝑋)𝑑𝑋
 ∫(7 + 5𝑋)13dX
10. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями
 У =-Х,
Х
У=3- ,
4
Х =-2,
Х=1
 У = -Х2+ 2Х +3, У = 3-Х
11. Исследуйте и постройте схематически график функции:
 У =- Х4 +5 Х2-4
 У= 3Х2 -4Х +5
ВАРИАНТ – 6
1.Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через данную
прямую в плоскости основания и данную точку на одной из боковых
граней.
2.Что такое боковая поверхность призмы ( полная поверхность )
призмы?
3.Какой параллелепипед называется прямоугольным? Что такое куб?
4.Докажите, что боковая поверхность пирамиды равна произведению
полупериметра основания на апофему.
5.Основанием прямой призмы служит ромб. Диагонали призмы равны 8
см. и 5 см.. высота равна 2 см. Найдите сторону основания призмы и ее
полную поверхность.
6.В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 2 см. ,3 см , а
диагональ
параллелепипеда
см.
Найдите
объем
√38
параллелепипеда.
7.Основание пирамиды – равнобедренный треугольник, у которого
основание равно 12 см. . а боковая сторона 10 см. Боковые грани
образуют с основанием равные двугранные углы, 450 . Найдите высоту
пирамиды.
8. Вычислите производную для функции :
 У =sin33X+X5-125
3
 У =√9Х + 6- (1- Х3) 4
 У = Х7+4Х2-sin5X
9.Вычислите определенный интеграл :
 У = ( 1 -2Х)4 + ( 5Х +7 )3
3
 У = √(1 + 2Х )
3
 У = √( 5 − Х)
2
2
10. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями :
 У =-Х,
Х
У=3- ,
4
Х =-2,
Х=1
 У = -Х2+ 2Х +3, У = 3-Х
11. Исследуйте и постройте схематически график функции:
 У =- Х4 +5 Х2-4
 У = Х5 – 5Х
ВАРИАНТ – 7
1.Запишите определение пирамиды, изобразите четырехугольную
пирамиду, выпишите основные элементы пирамиды, дайте их понятия.
2.Опредилите вид призмы, если:
 В основании – ромб, боковые грани – квадраты
 В основании – правильный четырехугольник, боковые грани –
ромбы
 В основании квадрат, боковые грани - прямоугольники.
3.Докажите свойство диагоналей прямоугольного параллелепипеда.
4.Докажите, что плоскость , пересекающая пирамиду и параллельна ее
основанию, отсекает подобную пирамиду.
5.В прямом параллелепипеде стороны основания 2√2 см. и 5 см.
образуют угол между собой 450. Меньшая диагональ параллелепипеда
равна 7 см. Найдите его объем.
6.Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 см. и 8 см.
Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту
пирамиды.
7.Основание призмы равнобедренный треугольник со сторонами 2 см.,
3см., 3 см. Боковое ребро 4 πи составляет с плоскостью основания угол
в 450 Найдите объем призмы.
8. Вычислите производную для функции :
 У =6cos(π/2-2Х)
3
 У √(3Х − 5 -(3-4Х)3
Х
 У = - 2Х4+sin4X
2
9.Вычислите определенный интеграл :
0 (𝑥 2 −2Х)(3−2Х)
 ∫−1
(Х−2)
dX
−16
 ∫
𝑑𝑋
𝑠𝑖𝑛х2
 ∫( 5𝑥 2 + 𝑐𝑜𝑠3𝑋 − 8)𝑑𝑋
10. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями
 У =Х4 , У = 0, У = 4
 У = Х, У = -0,5Х +5, Х =-1, Х =3
11. Исследуйте и постройте схематически график функции:
 У =- Х4 +5 Х2-4
 У = Х5 – 5Х
ВАРИАНТ – 8
1.Что такое круговой цилиндр (образующая цилиндра, основания
цилиндра, боковая поверхность цилиндра).
2.Докажите, что линия пересечения двух сфер есть окружность.
3.Изобразите
треугольную
правильную
пирамиду.
Запишите
определение высоты пирамиды. Что называется диагональной
плоскостью, диагональным сечением.
4.Докажите, что плоскость параллельная плоскости основания конуса,
пересекает боковую поверхность по окружности с центром на оси
конуса.
5.Каждое боковое ребро пирамиды равно 26 см. , а основанием
является прямоугольный треугольник с катетами 12 см. и 16 см.
Найдите объем пирамиды.
6.Постройте сечение четырехугольной пирамиды плоскостью,
проходящей через сторону основания и точку на одном из боковых
ребер.
7.В прямом параллелепипеде стороны основания 2√2 см. и 5 см.
образуют между собой угол в 300. Меньшая диагональ
параллелепипеда равна 8 см.Найдите объем параллелепипеда.
8. Вычислите производную для функции :
 У =( 5-4Х)5+ ( 6Х-2)6
 У = √1 − 2Х
 У = 2 cos 5X+ √Х
9.Вычислите определенный интеграл :
3 (𝑋 2 −3𝑋+2)(2+𝑋)
 ∫2
𝑋−1
dx
 ∫(𝑋 3 + 𝑠𝑖𝑛𝑋)𝑑𝑋
 ∫(7 + 5𝑋)13dX
10. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями :
 У =-Х,
Х
У=3- ,
4
Х =-2,
Х=1
 У = -Х2+ 2Х +3, У = 3-Х
11. Исследуйте и постройте схематически график функции:
 У= 3Х2 -4Х +5
 У = -Х4 +5Х2 -4
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
ВАРИАНТ – 9
Какой цилиндр называется прямым? Что такое радиус цилиндра,
высота цилиндра, ось цилиндра, осевое сечение цилиндра?
Докажите, что плоскость, параллельная плоскости основания
цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности,
равной окружности основания.
Что такое шар ( шаровая поверхность или сфера) ? Что такое радиус
шара, диаметр шара? Какие точки шара называются диаметрально
противоположными?
Докажите, что пересечение шара с плоскостью есть круг.
Найдите площадь боковой поверхности прямой призмы, если ее
боковое ребро равно 6 см. . а основание является:
 Правильный треугольник со стороной 5 см.
 Ромб со стороной 4 см.
 Прямоугольник со стороной 6 см. и 8 см.
В прямом параллелепипеде стороны основания 2 см. и 3 см. , угол
между ними 300, площадь боковой поверхности равна 10 см2,
найдите его объем
Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны
8 см. . апофема 5 см. Найдите объем пирамиды.
Вычислите производную для функции :
 У = ( 1 -2Х)4 + ( 5Х +7 )3
3
 У = √(1 + 2Х )
3
 У = √( 5 − Х)
2
2
9.Вычислите определенный интеграл :
 ∫(𝑐𝑡𝑔 2 𝑋 + 1)𝑑𝑋
3 (𝑥 2 −4)(𝑥 2 −1)
 ∫2
𝑥 2 +𝑋−2
𝑑𝑋
 ∫(𝑠𝑖𝑛2𝑋 + 𝑐𝑜𝑠4𝑋)𝑑𝑋
10. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями :
 У = Х2-3Х +2, У =Х-1
 У =Х2 +2Х -3, У = -Х2+2Х+5
11. Исследуйте и постройте схематически график функции:
 У= 3Х2 -4Х +5
 У = -Х4 +5Х2 -4
ВАРИАНТ - 10
1.Какая плоскость называется диаметральной плоскостью шара? Что
такое большой круг? Какая плоскость называется касательной к шару?
2. Докажите, что любая диаметральная плоскость шара является его
плоскостью симметрии; центр шара является его центром симметрии.
3.Что такое круговой конус, вершина конуса, образующая конуса,
основание конуса, боковая поверхность конуса?
4.Какой конус называется прямым? Что такое высота конуса, ось конуса,
осевое сечение конуса?
5.Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 13 см.; 20
см.; 21 см. Вычислите объем пирамиды, если двугранные углы равны по
300.
6.Квадрат со стороной 4 м. . вращается вокруг оси, содержащей одну из
сторон квадрата. Найти объем и площадь полной поверхности тела
вращения.
7.Шар , радиус которого равен 41 см. , пересечен плоскостью на
расстоянии 9 см. от центра. Найдите площадь сечения.
8. Вычислите производную для функции :
 У =6cos(π/2-2Х)
3
 У √(3Х − 5 -(3-4Х)3
Х
 У = - 2Х4+sin4X
2
9.Вычислите определенный интеграл :
0 (𝑥 2 −2Х)(3−2Х)
 ∫−1
(Х−2)
dX
−16
 ∫
𝑑𝑋
𝑠𝑖𝑛х2
 ∫( 5𝑥 2 + 𝑐𝑜𝑠3𝑋 − 8)𝑑𝑋
10. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями :
 У = Х2 -4Х+3, У = -Х2+6Х-5
 У = 1-Х, У = 3-2Х, Х =0
11. Исследуйте и постройте схематически график функции:
 У =- Х4 +5 Х2-4
 У = Х5 – 5Х
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Атанасян Л.С. Геометрия (10-11) – М., Просвещение, 1994.
2. Афанасьева О.Н., Бродкий Я.С., Гуткин И.И., Павлов АЛ. Cборник
задач по математике для
техникумов. – М.: Наука, 1987.
3. Валуцэ И.И. Математика для техникумов. – М.: Наука, 1990.
4. Колмогоров А. Н. Абрамов А. М. и др. Алгебра и начала анализа (10 –
11) – М., Просвещение, 1995
5. Математика для техникумов. Алгебра и начало анализа./ под ред.
Яковлева Г.Н. Ч.1. – М., Наука, 1987.
6. Математика для техникумов. Алгебра и начало анализа./ под ред.
Яковлева Г.Н. Ч.2. – М., Наука, 1988.
7. Математика для техникумов. Геометрия./ под ред. Яковлева Г.Н. – М.,
Наука, 1989.
8. Погорелов А.В. Геометрия (7 – 11) – М. Просвещение, 1997.
9. Подольский В.А. и др. Сборник задач по математике: Учебное
пособие для средних специальных учебных заведений /Подольский
В.А., Суходольский А.М. и др.– 2-е изд. перераб. и доп. – М.: Высшая
школа, 1999.
Дополнительная
1. Афанасьева О.Н., Бродский Я.С. , Павлов А.Л. Математика для
техникумов. – М.: Наука, 1991
2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное
пособие для средних специальных учебных заведений. – М.: Высшая
школа, 1997.