министерство образования и молодёжной политики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И МОЛОДЁЖНОЙ ПОЛИТИКИ
СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ
ГБОУ СПО «СТАВРОПОЛЬСКИЙ РЕГИОНАЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ»
Практические работы
по дисциплине
«Статистика»
Ставрополь, 2014
Составитель: преподаватель высшей категории Набокова Т. Н.
Рецензенты: преподаватель математики высшей категории Давыдова Т. В.
преподаватель экономических дисциплин Лебеда Я. В.
Практические работы составлены на основе
ФГОС по специальности
38.02,07 (080110) Банковское дело. Предназначено для самостоятельной
работы студентов
Практические работы содержат необходимый теоретический материал
по основным темам дисциплины «Статистика», примеры решения задач,
задания для практических работ по вариантам, контрольные вопросы
2
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Статистика - одна из древнейших отраслей знания, возникшая на базе
хозяйственного
учёта.
Трудно
переоценить
роль
статистики
как
практической (экономической) деятельности людей, направленной на сбор,
обработку и анализ массовых данных, относящихся к различным явлениям
и процессам общественной жизни.
Роль статистики была значительна на разных этапах развития
государств, но особенно заметно она возросла в XX в. и сохраняется в
наши дни. Любая практика неразрывно связана с теорией познания
предмета исследования. Теория обеспечивает научный подход к пониманию
и толкованию изучаемых явлений. Накопление опыта практической
деятельности, направленной на количественное изучение массовых явлений
в общественной жизни, разработка всё новых приёмов для всесторонней
характеристики и анализа
этих явлений, в конечном счёте, привели к
формированию особой отрасли знаний - статистики как науки, содержащей
теоретические положения о методах изучения массовых явлений.
Общая теория статистики - наука о методах или способах и приёмах
исследования, применяемых при изучении массовых явлений, где имеет
место вариация признаков у отдельных единиц совокупности. (в целом
однородной по каким-либо существенным признакам), в целях:
• получения итоговых обобщающих показателей;
• изучения особенностей распределения единиц совокупности по тому
или иному признаку;
• определения средней величины того или иного количественного
показателя и его вариации;
• выявления взаимосвязи между отдельными показателями;
• изучения динамики отдельных показателей (как единичных, так и
3
агрегированных) и т.д.
Статистика
является
учебной
дисциплиной,
формирующей
необходимые профессиональные знания у экономистов, финансистов,
менеджеров,
т.к.
статистическая
грамотность
-
неотъемлемая
часть
экономического образования.
Практические работы содержат краткие методические указания по
основным темам курса, решение типовых задач по отдельным темам и задачи
для решения на практических занятиях по каждой теме.
Тематика практических занятий дана в соответствии с программой.
Каждый специалист должен:
уметь:
- собирать и регистрировать статистическую информацию;
- проводить первичную обработку и контроль материалов наблюдения;
- выполнять расчёты статистических показателей и формулировать
основные выводы;
- осуществлять комплексный анализ изучаемых социальноэкономических явлений и процессов, в том числе с использованием средств
вычислительной техники
знать:
- предмет, метод и задачи статистики;
- общие основы статистической науки;
- принципы организации государственной статистики;
- современные тенденции развития статистического учёта;
- основные способы сбора, обработки, анализа и наглядного
представления информации;
- основные формы и виды действующей статистической отчётности;
- технику расчёта статистических показателей, характеризующих
социально-экономические явления.
4
Практическая работа №1 (2 ч)
«Составление простой и комбинационной группировок».
Цель: основной частью аудиторной работы является построение
структурной, аналитической и комбинационной группировок на основе
исходных данных, содержащих индивидуальные данные о сравнительно
небольшом количестве единиц (15-20) совокупности и двух-трех показателях
в статике. Показать на примерах различные способы определения
необходимого числа групп и ширины интервала, а также подробно
рассмотреть случаи включения значений признака при их равенстве
значениям границ открытых и закрытых интервалов.
Теоретическая часть.
Группировкой называется расчленение множества единиц изучаемой
совокупности по существенным для них признакам.
С помощью группировок решаются следующие задачи:
- выделение социально-экономических типов явлений (типологическая
группировка);
- изучение структуры явления и структурных сдвигов, происходящих в нем
(структурная группировка);
- выявление связей и зависимости между явлениями (аналитическая
группировка).
Виды статистических группировок.
В соответствии с решаемыми задачами статистические группировки
делятся на типологические, структурные и аналитические.
Типологическая группировка – это разделение качественно
разнородной совокупности на классы или однородные группы, она широко
5
применяется в исследовании социально-экономических явлений и позволяет
проследить зарождение, развитие и отмирание различных типов явлений.
Таблица 1. Группировка промышленных предприятий по формам
собственности:
№ п/п Группы предприятий по формам собственности Число предприятий
Всего, ед. В % к итогу
1
Федеральная собственность
26326
93,6
2
Муниципальная собственность
89
0,3
3
Частная собственность
1366
4,9
4
Смешанная собственность
331
1,2
Итого
28112
100
% к итогу = (26326/28112)*100%=93,6%
Структурной называется группировка, в которой происходит
разделение однородной совокупности на группы, характеризующие ее
структуру по какому-либо признаку.
Пример. Группировка населения России по размеру среднедушевого дохода
(однородная совокупность, 40 ед. интервал):
№ п/п
Группы населения по размеру среднедушевого
дохода, руб./мес.
1
2
3
4
5
6
7
8
До 40
От 40 до 80
От 80 до 120
От 120 до 160
От 160 до 200
От 200 до 240
От 240 до 280
От 280 и более
Итого
Численность населения
Всего, млн.
В % к итогу
чел.
2,4
1,6
23,4
15,8
34,8
23,5
29,4
19,8
20,7
13,8
13,5
9,1
8,7
5,9
15,5
10,4
148,4
100
Аналитической называется группировка, выявляющая взаимосвязи
между изучаемыми явлениями и их признаками. Признаки можно разделить
на факторные и результативные.
Факторными называются признаки, под действием которых
изменяются другие признаки, называемые результативными. Факторный
признак: посещаемость лекций, результативный – оценка на экзамене.
6
Взаимосвязь проявляется в том, что с возрастанием значения
факторного признака систематически возрастает или убывает среднее
значение признака результативного. Таким образом, особенности
аналитической группировки следующие: в основу группировки кладется
факторный признак, каждая выявленная группа характеризуется средними
значениями результативного признака. Метод аналитических группировок
применим только при качественной однородности исследуемой
совокупности.
Группировка может быть простой и сложной. Простой называется
группировка, в которой группы образованы по одному признаку. Сложной
называется группировка, в которой группы образованы по трем или более
признакам. Сначала группы формируются по одному признаку, затем делятся
на подгруппы по второму признаку, которые в свою очередь делятся по
третьему признаку.
Принципы построения статистических группировок и классификаций.
Группировочным признаком или основанием группировки называется
признак, по которому происходит разбивка единиц совокупности на
отдельные группы.
В качестве основания группировки следует использовать только
существенные признаки. Количество групп зависит от задач исследования,
вида признака, положенного в основание группировки, численности
совокупности и степени вариации признака. От группировки следует
отличать классификацию. Классификацией называется устойчивая
фундаментальная группировка по атрибутивному признаку, который
содержит подробную номенклатуру групп и подгрупп. Классификация
устанавливается органами государственной и международной статистики, в
некоторых случаях имеет силу закона.
7
Пример. Классификация профессий в статистике труда, классификация
товаров в торговле.
При группировке по количественным признакам нужно выбрать и
соответственно установить количество групп, оно зависит от размаха
варьирования, т.е. разности между максимальным и минимальным
значениями признака. Чем больше размах варьирования, тем больше
образуется групп. Количество групп определяется по формуле Стерджеса:
n=1+3,322*lgN, где N – количество единиц совокупности, n – количество
групп.
Номограмма:
N 15-24 25-44 45-89 90-179 180-359 360-719 720-1439
n
5
6
7
8
9
10
1
Интервал группировки определяется как разность между
максимальным и минимальным значениями признака в каждой группе. Если
вариация признака проявляется в сравнительно узких границах,
распределение носит более или менее равномерный характер, то выбираются
равные интервалы (i). Величина интервала i определяется по формуле:
i
( xmax  xmin )
n
, где (xmax - xmin) – размах вариации признака в совокупности,
n – количество групп.
Вторичная группировка – это образование новых групп на основе ранее
проведенной группировки. Существуют два способа:
- укрупнение первоначальных интервалов;
- долевая перегруппировка, т.е. образование новых групп с меньшими
интервалами.
Основные задачи вторичной группировки:
8
- образование по количественным признакам качественно определенных
групп;
- для сравнения (приведение к единому интервалу двух или более
группировок);
- образование укрупненных групп, в которых яснее проступает характер
распределения.
Практическая часть
Вариант 1.
1. Известны следующие данные о численности населения Центрального
федерального округа РФ на 01.01.2002 г. в разрезе областей (млн. чел.):
1,5
1,9
1,6
2,4
1,2
1,1
0,8
1,3
2,2
0,9
1,3
1,1
1,6
1,8
2,1
1,2
Используя эти данные, постройте интервальный вариационный ряд
распределения областей Центрального федерального округа РФ, выделив три
группы областей с
равными открытыми интервалами. По какому признаку построен ряд
распределения: качественному или количественному?
2. Имеются следующие данные о результатах контрольной работы 28
студентов группы по теории статистики в 2011г.: 5, 4, 4, 4, 3, 2, 5, 3, 4,
4, 4, 3, 2, 5, 2, 5, 5, 2, 3, 3, 4, 4, 3, 3, 2, 5, 5, 4.
Постройте
ряд распределения
студентов по баллам оценок,
полученных на контрольной работе. Графически изобразите его с помощью
полигона распределения частот.
Постройте ряд распределения студентов по уровню успеваемости,
выделив в нём две группы студентов: неуспевающие (2балла); успевающие (3
балла и выше). Полученный ряд изобразите графически.
9
Вариант 2.
1. Имеются следующие данные об успеваемости 30 студентов группы по
теории статистики в летнюю сессию 2003 г.: 5,4, 3, 3, 5,4,4, 4, 3, 4, 4, 5,
4, 4, 3, 2, 5, 3, 4, 4, 4, 3, 2, 5, 2, 5, 5, 2, 3, 3.
Постройте:
а) ряд распределения студентов по оценкам, полученным в сессию, и
изобразите его графически;
б) ряд распределения студентов по уровню успеваемости, выделив в нем две
группы студентов: неуспевающих (2 балла), успевающих (3 балла и выше);
в) укажите, каким видом ряда распределения (вариационным или
атрибутивным) является каждый из этих двух рядов.
2. Известны следующие данные о результатах сдачи абитуриентами
вступительных экзаменов на I курс университета в 2012г. (баллов):
108
117
118
106
106
102
116
114
122
118
115
119
118
130
114
112
109
108
114
119
120
119
117
106
117
108
116
105
Выявить структуру абитуриентов по результатам сдачи ими вступительных
экзаменов, выделив четыре группы с равными интервалами и графически
отобразить её с помощью круговой диаграммы.
Вариант 3.
Известны следующие данные о результатах сдачи абитуриентами
вступительных экзаменов на I курс вуза в 2003 г. (баллов):
12
13
12
15
18
17
18
16
16
12
16
14
20
15
18
19
17
20
14
12
19
18
14
15
20
19
17
16
17
18
19
20
17
16
14
13
Постройте:
а) ряд распределения абитуриентов по результатам сдачи ими вступительных
экзаменов, выделив три группы абитуриентов с равными интервалами;
10
б) ряд, делящий абитуриентов на поступивших и не поступивших в вуз,
учитывая, что проходной балл составил 15 баллов.
Укажите, по какому группировочному признаку построен каждый из этих
рядов распределения: атрибутивному или количественному.
Вариант 4.
На основе имеющихся данных о стаже работы и среднемесячной заработной
плате рабочих - сдельщиков промкомбината постройте ряд распределения по
признаку стаж работы, образовав 5 групп с равными интервалами.
Отобразить построенный ряд в виде гистограммы. Сделайте выводы.
№ рабочего
п/п
Стаж
работы, лет
Месячная
зарплата, руб.
№ рабочего
п/п
Стаж
работы, лет
Месячная
зарплата, руб.
1
1,0
1502
11
12,0
1656
2
6,5
1542
12
10,5
1630
3
9,0
1653
13
9,0
1625
4
4,5
1549
14
5,0
1609
5
6,0
1567
15
10,6
1639
6
2,5
1509
16
5,0
1596
7
2,7
1542
17
5,4
1585
8
16,0
1730
18
7,5
1612
9
14,0
1703
19
8,0
1639
10
11,0
1827
20
8,5
1684
Контрольные вопросы:
1. Что представляет собой статистическая группировка?
2. В чем различие между факторными и результативными группировочными
признаками?
3. Перечислите основные задачи группировки статистических материалов.
4. Назовите виды группировок.
5. Связь между какими величинами задает формула Стерджесса?
11
6. Какие группировочные признаки используются в статистике
народонаселения?
7. Какие конкретные группировки используются в банковской практике?
12
Практическая работа №2 (2 ч)
«Составление и построение различных видов диаграмм и графиков».
Цель: основной частью аудиторной работы является рассмотрение
различных видов таблиц, определяя подлежащее, сказуемое, вид таблиц по
характеру их разработки; разработка макеты таблиц, а так же методику
компоновки статистических данных, приведенных в текстовой форме и в
табличной; построение различных видов графиков.
Теоретическая часть.
Графики обеспечивают наглядность представления данных; они
подразделяются на: линейные, плоскостные и секторные. Плоскостные — на
столбиковые и ленточные диаграммы. Широко используются фигурные
диаграммы. Пространственное представление статистических данных
достигается с помощью картограмм и картодиаграмм.
Практическая часть.
Вариант 1.
1. При помощи столбиковой диаграммы изобразите данные о числе
заключенных браков населением Росси (тыс. чел.):
1990
1995
1998
2002
1320
1075
849
1001
2. По материалам выборочного обследования бюджетов домашних
хозяйств в 2000 г. получены данные о структуре расходов на конечное
потребление населения России:
Все потребительские расходы
В том числе:
продукты питания
непродовольственные товары
оплата услуг
алкогольные напитки
стоимость натуральных поступлений
Городская местность
100
45
32
13
2
Сельская местность
100
39
25
8
2
13
продуктов питания
стоимость предоставленных в
натуральном выражении дотаций и льгот
6
25
2
1
Постройте диаграммы, изображающие структуру. Укажите, к какому виду
графиков они относятся.
Вариант 2.
1, С помощью фигур-знаков изобразите графически данные о
производстве цветного изображения о производстве телевизоров цветного
изображения в России (тыс. шт.):
1990
1995
1998
2001
2657
370
293
981
2. По данным о численности персонала, занятого исследованием и
разработками в России за 1992-2000 гг., постройте столбиковые,
полосовые и секторные диаграммы:
1992
1995
1998
2000
2001
Численность персонала
- всего
1532,6
1061
855,2
887,7
895
В том числе
Исследователи
Техники
Вспомогательный персонал
Прочий персонал
804
180,7
382,2
165,7
518,7
101,4
274,9
166
417
74,8
220,1
143,3
426
75,2
240,5
146
428,3
75,3
243,6
147,5
Вариант 3.
1. Изобразите в виде квадратной и круговой диаграммы данные о числе
крестьянских (фермерских) хозяйств 1 января (в тыс.):
1993
1996
1999
2001
2002
182,8
280,1
270,2 261,7
265,5
2. По данным о грузообороте по видам транспорта общего пользования в
России за 1990-2001 гг. постройте диаграммы: а) квадратные; б)
круговые; в) секторные.
Показатели ( млрд/ткм)
1990
1995
2000
2001
14
Все виды транспорта
5890,6
3532,6
3479,5
3591,5
2523
68
2575
508
214
2,6
1214
31
1899
297
90
1,6
1373
23
1916
100
65
2,5
1434
23
1962
94
76
2,6
В том числе:
железнодорожный
автомобильный
трубопроводный
морской
внутренний водный
воздушный
Вариант 4.
1. Постройте столбиковые и полосовые диаграммы по следующим
данным.
Вклады населения в Сберегательном банке РФ в 2003 г. (на начало
года):
Число вкладов, млн
232,9
Сумма вкладов, млн руб.
265996,1
Средний размер вклада, руб 1142,1
2. Имеются данные о посевной площади, валовом сборе и урожайности
отдельных зерновых культур( в хозяйствах всех категорий) в РФ:
Показатели
Валовой сбор зерновых культур
( в весе после доработке), млн т
В том числе:
пшеница яровая
ячмень яровой
овес
Урожайность зерновых культур
( в весе после доработке),ц с га
В том числе:
пшеница яровая
ячмень яровой
овес
Посевная площадь под зерновыми
культурами, тыс. га
В том числе:
пшеница яровая
ячмень яровой
овес
1995
1997
2000
2001
63,4
88,6
65,5
85,2
16,3
14,5
8,6
23,7
19,5
9,4
17,3
12,3
6
15,2
9,5
4,9
13,1
17,8
15,6
19,4
11,7
12
12,2
15,3
17,1
16,1
12,7
15,5
14,7
15,7
19
17,1
54705
53634
45636
47241
15715
14242
7928
17112
12027
6438
15278
8644
4518
15240
9479
4869
Изобразите приведенные в таблице данные при помощи диаграмм: а)
квадратных; б) круговых; в) столбиковых.
15
Вариант 5.
1. Имеются данные о выпуске учащихся общеобразовательными
учреждениями (тыс.чел):
Годы
1985
1990
1995
2000
Окончил основную школу
Итого
В том числе
дневную вечернюю
1820
1790
30
1894
1863
31
1918
1853
65
2200
2133
6
Окончил среднюю (полную) школу
Итого
В том числе
дневную вечернюю
1473
925
548
1035
910
125
1045
934
111
1458
1322
136
Постройте диаграммы: а) столбиковые; б) секторные.
2. Дана динамика производства отдельных видов продукции
промышленности строительных материалов в одном из регионов
России за 9 месяцев 2003г.(цифры условные):
( в % к соответствующему периоду предыдущего года)
Показатели
Цемент
Строительн
ый
Кирпич
шифер
Январь Февр
аль
94
93
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
101
95
106
108
83
101
93
89
92
130
99,9
168
97
121
95
110
104
Авгу
ст
104
сентя
брь
97
102
110
102
117
97
132
Постройте линейные графики (все кривые нанесите на одну диаграмму).
Сделайте выводы о полученной диаграмме.
Вариант 6.
1. Имеются следующие данные о распространении строительных фирм в
сельской местности по объему капитальных вложений. Постройте
полигон и гистограмму распределения:
Группы строительных
фирм по объему
капитальных вложений,
млн. руб.
Число групп, % к итогу
До 200
201-300
301-400
Свыше
400
Итого
15,1
17,4
30,5
37,0
100
2. Имеются следующие данные, характеризующие динамику развития
внешней торговли РФ (по данным таможенной статистики):
Год
Внешнеторговый оборот
В том числе
16
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
экспорт
63,3
78,2
85,2
85,1
71,3
72,9
103
101,9
124,9
131,7
138,2
114,9
103,2
136,9
импорт
38,6
46,7
46,5
53,1
43,6
30,3
33,9
Постройте линейные графики (все кривые нанесите на одну диаграмму).
Сделайте выводы о полученной диаграмме.
Вариант 7.
1. Построение столбиковой диаграммы:
Остатки вкладов населения в банках на начало конкретного месяца, млн. руб.
Показатель
Остатки вкладов
январь
205
февраль
293
март
105
апрель
93
май
104
июнь
250
2. Построение секторной диаграммы
Структура активов коммерческого банка по степени риска, %
Активы, свободные от риска
46,5
Активы с минимальным
риском
30,8
Активы с повышенным
риском
22,7
Контрольные вопросы:
1. Расскажите о назначении статистических таблиц?
2. Каковы правила построения таблиц?
3. Что называют подлежащим и сказуемым таблицы?
4. Охарактеризуйте простые, группировки и комбинационные таблицы.
5. Назовите основные виды графических изображений.
6. Для каких целей используются отдельные виды графических
изображений?
7. Какие программные продукты применяются для построения
статистических графиков?
8. Назовите конкретные таблицы, которые применяются в практике
учреждений банков, и провидите анализ их структуры.
17
Практическая работа №3 (2 ч)
«Исчисление различных видов абсолютных величин».
Цель работы: привить навыки умения студентам исчислять виды
относительных величин.
Теоретическая часть.
Исходной первичной формой выражения статистических показателей
являются абсолютные величины, они характеризуют абсолютные размеры
изучаемых явлений (масса, площадь, объем, протяженность), а также число
составляющих ее единиц.
Индивидуальные абсолютные показатели получают, как правило,
непосредственно в процессе статистического наблюдения как результат
замера, взвешивания, подсчета и оценки количественного признака.
Сводные объемные показатели, характеризующие объем признака или
объем совокупности как в целом по изучаемому объекту, так и его части,
получают в результате сводки и группировки индивидуальных значений.
Абсолютные статистические показатели всегда являются именованными
числами, они выражаются в натуральных, стоимостных или трудовых
единицах измерения.
Натуральные единицы – тонны, кг, метры, литры, штуки и т.д. В
группу натуральных также входят условно-натуральные измерители, которые
используют в тех случаях, когда какой-либо продукт имеет несколько
разновидностей. С помощью переводных коэффициентов получают условнонатуральные единицы измерения, которые позволяют определить общий
объем произведенного продукта. В условиях рыночной экономики большое
значение придается стоимостным единицам измерения, которые дают
денежную оценку социально-экономическим явлениям и процессам. Однако
18
в условиях высокой инфляции эти данные становятся несопоставимыми,
поэтому приходится производить пересчет в сопоставимые цены.
К трудовым единицам измерения, позволяющим учитывать как общие
затраты труда на предприятии, так и трудоемкость отдельных операций,
относятся человеко-дни и человеко-часы.
Пример: В 2010 году в РФ было добыто 348 млн. т. Нефти. Зная
теплоту сгорания нефти, равную 45 мДЖ/кг, рассчитаем коэффициент
перевода
45
 1,536 . С учетом данного коэффициента добытый объем нефти
29,3
эквивалентен 535 млн т условного топлива (348·1,536)
Практическая часть.
Вариант 1. Расход топлива на производственные нужды предприятия
характеризуется в отчётном периоде следующими данными:
Вид топлива
Ед. измерения
Расход
по плану
фактически
Мазут
Т
500
520
Уголь
Т
320
300
Тыс. м³
650
690
газ
Средние
калорийные
эквиваленты
(коэффициенты)
перевода
в
условное топливо составили: мазут – 1,37т, уголь – 0,9т, газ – 1,2 тыс. м³.
Определить:
- общее потребление условного топлива по плану и фактически;
- процент выполнения плана по общему расходу топлива;
- удельные веса фактически израсходованного топлива по видам
(расчёт с точностью до 0,1%).
19
Вариант 2. Данные о численности экономически активного населения и
безработных в Волгоградской области (Волгоградская область в цифрах.
2011) представлены в таблице (тысяч человек):
Показатели
Экономически активное население - всего
2008г.
2009г.
2010г.
75892
75658
75440
мужчины
38710
38527
38575
женщины
37122
37131
36865
5289
6373
5636
мужчины
2901
3468
3075
женщины
2388
2905
2562
в том числе:
Безработные – всего
в том числе:
Определить:
- удельный вес численности безработных в общей численности
экономически активного населения;
- динамику этого показателя для каждой группы населения;
- дать сравнительную оценку уровня безработицы среди мужчин и
женщин.
Контрольные вопросы:
1. Что представляют собой абсолютные величины?
2. В каких единицах измерения выражают абсолютные величины? Приведите
примеры.
20
Практическая работа №4 (2 ч)
«Исчисление различных видов относительных величин».
Цель работы: привить навыки умения студентам исчислять виды
относительных величин.
Теоретическая часть.
Относительный показатель представляет собой результат деления
одного абсолютного показателя на другой и выражается отношением двух
количественных характеристик социально-экономических явлений.
Относительные показатели выражаются в коэффициентах, % и
промилле 0/00.
Виды относительных величин: относительная величина динамики, плана,
реализации плана, структуры, сравнения, координации и интенсивности.
y0→yпл.→у1или yфакт.
1. Относительный показатель динамики (темп роста):
ОПД 
y
y
Текущий показатель
 1  i
Базисный показатель y0 yi 1
2. Относительный показатель плана:
ОПП 
y
Плановое задание
 пл.
Уровень базисного периода
y0
3. Относительный показатель реализации плана:
ОПРП 
y
Текущий показатель
 1
Плановый показатель y пл.
Существует взаимосвязь:
ОПД  ОПП  ОПРП
y1 y пл. y1


y0
y0 y пл.
4. Относительный показатель структуры (отражает соотношение
структурных частей совокупности и их целого):
ОПС 
Изучаемая часть совокупности
Вся совокупность
21
ОПС – удельный вес, процент к итогу.
5. относительный показатель сравнения.
Отражает соотношение двух показателей, относящихся к разным
территориям, но за один и тот же период или момент времени.
ОПСр 
 Население Москвы 14 
Объект А

 
Показатель, характеризующий объект Б  Население Уфы
1
6. Относительный показатель координации (отражает соотношение частей
целого между собой):
ОПК 
i  ая часть совокупности
j  ая часть совокупности
Пример, в городе проживает 500 тыс. человек взрослого трудоспособного
населения, 200 тыс. человек детей и 300 тыс. пенсионеров.
ОПКпенс.=300.000/500.000=60%.
7. Относительный показатель интенсивности.
Он характеризует степень распространения изучаемого процесса или явления
в присущей ему среде (количество поликлиник на 10 тыс. жителей).
Практическая часть.
Вариант 1.
1. Имеются следующие данные о производстве бумаги в РФ:
1998
2453
Произведено бумаги, тыс. т
1999
2968
2000
3326
2001
3415
Вычислите относительные показатели динамики с переменной и постоянной
базой сравнения. Проверьте их взаимосвязь.
2. Объем продаж АО в 2003 г. в сопоставимых ценах вырос по сравнению
с предшествующим годом на 5% и составил 146 млн руб. Определите
объем продаж в 2002г.
Вариант 2.
1. Производство автомобилей в РФ характеризуется следующими
данными (тыс. шт.):
1997
1998
1999
2000
2001
22
Всего
В том числе:
грузовые
легковые
1132
981
1130
1153
1195
146
986
141
840
176
954
184
969
173
1022
Рассчитайте относительные показатели динамики с постоянной базой
сравнения. Сделайте выводы.
2. Торговая фирма планировала в 2002 г. по сравнению с 2001 г.
увеличить оборот на 14,5%. Выполнение установленного плена
составило 102,7%. Определите относительный показатель динамики
оборота.
Вариант 3.
1. Известны следующие данные о производстве стали в РФ:
Объем
производства,
% к 1995 г.
1996
95,5
1997
94,0
1998
84,7
1999
99,8
2000
114,7
2001
114,3
Вычислите относительные показатели динамики с переменой базой
сравнения. Сделайте выводы.
2. Волжский автомобильный завод в мае 1996 г. превысил плановое
задание по реализации машин на 10,6%, продав 5576 автомобилей
сверх плана. Определите общее количество реализованных за месяц
машин.
Вариант 4.
1. Объем продаж компании Samsung в странах СНГ в первом полугодии
1996 г. составил 250 млн долл. В целом же за год компания
планировала реализовать товаров на 600 млн долл. Вычислите
относительный показатель плана на второе полугодие.
2. Имеются следующие данные об урожайности пшеницы в некоторых
странах (ц/га):
Казахстан-7,2
Россия-14,5
США-25,3
23
Китай-33,2
Нидерланды-80,7.
Рассчитайте относительные показатели сравнения.
Вариант 5.
1. Определите процент выполнения плана товарооборота по товарным
группам и удельный вес товаров во всём товарообороте по торговому
предприятию за отчётный период на основе следующих данных:
Товарные группы
Продовольственные товары
Непродовольственные товары
Всего товаров
План
тыс.
уд. вес,
руб.
%
5280
5720
Фактически
тыс.
уд. вес,
руб.
%
5520
6480
%
выполнения
плана
Сделайте выводы
2. По отделению дороги планом предусмотрено увеличение объёма
отправок груза на 10,0 %. Фактически объём отправок против
прошлого года повысился на 12,2 %.Определите, на сколько процентов
перевыполнен план по объёму отправок груза.
Контрольные вопросы:
1. Охарактеризуйте понятие «относительная величина».
2. Как определяют относительные величины реализации прогноза, динамики,
структуры, сравнения, интенсивности?
3. Приведите примеры использования относительных величин в анализе
экономических и социальных проблем переходного периода.
4. Какие виды абсолютных и относительных величин применяются в
банковской практике?
24
Практическая работа № 5 (2 ч)
«Исчисление различных видов средних величин»
Цель работы: привить навыки умения студентам:
- определять виды средних величин;
- применять средние величины в статистике.
Теоретическая часть.
Средняя величина – обобщающая характеристика совокупности
однотипных явлений по какому-либо варьирующему признаку, который
показывает уровень признака, отнесенный к единице совокупности. Средняя
величина отражает общее и типичное для всей совокупности в конкретных
условиях места и времени.
Важнейшее свойство средней состоит в том, что она отражает общее, что
присуще всем единицам статистической совокупности. Значения признака
отдельных единиц совокупности могут колебаться под влиянием множества
факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные.
Сущность средней заключается в том, что в ней взаимопогашаются
отклонения значений признака отдельных единиц совокупности,
обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения,
связанные с действием основных факторов. Средняя отражает типичный
уровень признака и абстрагируется от индивидуальных особенностей,
присущих отдельным единицам.
Типичность средней непосредственно связана с однородностью
статистической совокупности.
Определить среднюю можно через исходное соотношение средней (ИСС):
ИСС 
Объем осредняемо го признака
Объем совокупности
Например, определение средней заработной платы:
ИССз.п. 
Фонд оплаты труда
Численность работников
25
Виды средней: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя
квадратическая (кубическая), средняя геометрическая, средняя
хронологическая.
Средняя арифметическая.
Различают простую и взвешенную среднюю арифметическую.

Простая:
x
x
n

x
Взвешенная:
 (x  f )  x
f
1
 f1  x2  f 2    xn  f n
f1  f 2    f n
x – значение признака, n – количество вариантов, f – вес, который показывает
количество одинаковых вариантов (одинаковых значения признака).
Средняя гармоническая.
Различают простую и взвешенную среднюю гармоническую.

x
Простая:
n
1
x

x
Взвешенная:
w
w
x
Т.к.
f 
w
x и w  x f .
Средняя квадратическая.

Простая:
x2
n
x

x
Взвешенная:
 (x  f )
f
2
Средняя геометрическая.

xn
x 
n
x1  x2    xn
Эту формулу используют для определения среднего темпа роста.
Средняя хронологическая.
1
1
 x1  x 2     x n
2
x 2
n 1

26
Эта формула применяется при определении среднего уровня в рядах
динамики.
Все формулы можно записать в одном виде:

xk
x

k
f
f
k=1;2;-1;-2.
Средняя арифметическая.
Простая средняя арифметическая (невзвешенная) используется в тех случаях,
когда расчет осуществляется по несгруппированным данным.
Дан дискретный ряд распределения:
№ работника
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Количество деталей 43 46 46 38 44 49 43 51 44 46

43  46  46  38  44  49  43  51  44  46
 45 дет.
10

43  2  46  2  38  44  2  49  51
45 дет.
10
x
x
Средняя арифметическая взвешенная может применяться тогда, когда
отдельные значения усредняемого признака могут повторяться по несколько
раз.
Свойства средней арифметической.
1. Произведение средней величины

(x)
на сумму частот равно сумме
произведений отдельных вариантов на соответствующие частоты:

x  f   ( x  f )

x
Поскольку
 (x  f )
f .
2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней
арифметической равно нулю.


(
x

x
)
 

f0

Обоснование:
27

 ( x  f )   ( x f ) 0 ;

 ( x  f )  x  f
0
.
3. Величина средней арифметической не изменится, если вес каждого
варианта умножить или разделить на одно и тоже число.
Пусть а – постоянная величина, тогда

x
 (x  a  f )  a   (x  f )   (x  f )  x
a f
a  f
f

Следствия.
1. Если веса всех вариантов равны между собой, то средняя арифметическая
взвешенная равна простой средней.

x  a  x2  a1    xn  a1 a1   x  x
x 1 1


a1  a1   a1 (n раз)
a1  n
n
2. В качестве весов средней можно использовать вместо абсолютных величин
их удельные веса в общем итоге (доли, проценты к итогу).
m – вес в процентах, w – вес в долях.
Получаем:

x
 ( x  m)
100

и
x   ( x  w)
.
4. Если все усредненные варианты увеличить или уменьшить на постоянное
число А, то средняя арифметическая соответственно увеличится или
уменьшится на эту величину.
 ( x  A)  f    x  f     A  f   x A   f
f
f
f
f


 x A
5. Если все варианты значений признака увеличить или уменьшать в А раз, то
также соответственно изменится и средняя.
 ( A  x  f )  A   (x  f )  A  x
f
f

Нахождение средней арифметической способом моментов.
28
Допустим, что все варианты x сначала уменьшены на одно и то же число А,
затем уменьшены в i раз:
x/ 
x A
i .
Тогда:
/
x 
 x  A  
 f 

 i    1   x  A  f   1    ( x  f )   ( A  f )   1  ( x  A)  x /
i
i   f
f
f
 f  i
 
Получаем формулу для нахождения средней:

/
x  x i  A
Пример. Распределение предприятий района по объему товарооборота:
Группы
предприятий по
объему
товарооборота, млн.
руб.
300-400
400-500
500-600
600-700
Свыше 700 (700800)
Всего (∑)
Число
Середина
предприятий интервала
(f)
(x)
x-A
x A
i
x A
f
i
9
12
8
9
2
-200
-100
0
100
200
-2
-1
0
1
2
-18
-24
0
9
4
350
450
550
650
750
40
-17
Определить средний товарооборот по данной группе предприятий.
Правило закрытия интервалов.
Берем соседний интервал, находим его величину и переносим эту величину
интервала на наш открытый интервал.
А – один из центральных вариантов ряда.
i – величина интервала.
i=100, A=550.

/
x  x i  A
/
x 
17
 0.425
40

x  0.425  100  550  507.5 млн. руб.
29
/
x 
 x  A 

 i 
f
 

f

Средняя гармоническая.
Среднюю гармоническую применяют тогда, когда приходится не умножать, а
делить на варианты.
Определим среднемесячную зарплату рабочих двух предприятий по
следующим данным:
Предприятия Июль
Среднемесячная
зарплата
1
1750 (=x)
2
Всего

x июль

Число
рабочих
800 (=f)
1800
1200
200
 ( x  f )  1750  800  1800 1200  1780 руб.

2000
f
X август 
Август
Среднемесячная
зарплата
1780
1820
Число
рабочих
1406200
(=w)
2202200
3608400
3608400
w 
 1804,2 руб.
w 1406200 2202200
 x 1780  1820
Распределение работников предприятия по возрасту
Возраст Число работников
20-25
7
25-30
13
30-40
38
40-50
42
50-60
16
60-70
5
Всего
121

 x  f   4940  41 год
x
12
f
Середина интервала, x
22,5
27,5
35
45
55
65
x*f
157,5
357,5
1330
1890
880
325
4940
Практическая часть.
Вариант 1.
1. Имеются следующие данные о ценах на предлагаемое к продаже жилье
в одном из городов:
Цена 1 м2 , долл. США
300-400
400-500
Общая площадь, тыс. м2
29,4
20,5
30
500-600
600-700
700-800
7,3
7,0
4,0
Рассчитайте среднюю цену 1 м2жилья.
Вариант 2.
1. Качество продукции предприятия характеризуется следующими
данными (за месяц):
Вид продукции
А
В
С
Процент банка
1,3
0,9
2,4
Стоимость бракованной продукции, руб.
2135
3560
980
Определите средний процент брака в целом по предприятию.
Вариант 3.
1. Выпуск продукции двумя предприятиями акционерного общества
характеризуется следующими данными:
Предприятие
1
2
2012
Удельный вес
Стоимость
продукции 1
продукции
сорта,%
1сорта, млн
руб.
92
130,2
80
67,5
2013
Удельный вес Стоимость всей
продукции 1
произведенной
сорта,%
продукции, млн
руб.
95
153,7
82
65,4
Вариант 4.
1. По результатам обследования сельхозпредприятий области
получены следующие данные:
Группы
сельхозпредприятий
по среднегодовому
надою молока от
одной коровы, кг
До 2000
2000-2200
2200-2400
2400 и более
Число сельхоз
предприятий
Среднегодовое
поголовье коров (на
1
сельхозпредприятие)
Процент жира в
молоке
4
9
15
8
417
350
483
389
3,0
3,3
3,8
2,9
Определите средний надой молока на одну корову и среднюю жирность
молока.
31
Контрольные вопросы:
1. Охарактеризуйте сущность средних величин.
2. Перечислите виды средних величин.
3. Приведите формулы средней арифметической простой и средний
арифметической взвешенной. Поясните их использование на примерах.
4. Приведите формулы средней гармонической простой и взвешенной.
Поясните их использование на примерах.
5. Приведите пример использования средней хронологической в банковской
статистике.
6. Чем обусловлен выбор вида средней величины?
7. Приведите примеры использования средних величин в анализе социальноэкономических показателей и работы учреждения банка.
32
Практическая работа № 6 (2 ч)
«Исчисление показателей вариации»
Цель работы: привить навыки умения студентам исчислять абсолютные и
относительные показатели вариации.
Теоретическая часть.
Для решения некоторых практических задач нужны обобщающие
показатели, которые характеризуют особенности распределения единиц
совокупности по величине изучаемого признака.
К таким показателям относятся мода и медиана, их называют
распределительными или структурными средними.
Мода представляет собой значение изучаемого признака,
повторяющееся с наибольшей частотой. Мода отражает типичный, наиболее
распространенный вариант значения признака. В дискретном вариационным
ряду мода – значение признака, повторяющееся наибольшее число раз
(пример, магазин мужской обуви, 41 размер).
Медианой называется значение признака, приходящееся на середину
ранжированной (упорядоченной) совокупности.
Пример. Распределение рабочих по зарплате:
Группы рабочих по размеру зарплаты, руб.
(xмо)
Число рабочих,
f
Кумулятивное
1100-1200
10
10
1200-1300
30
40
1300-1400
50
90
1400-1500
60
150
1500-1600
145
295 Ме
1600-1700
110
1700-1800
80
1800-1900
15
число
33
Всего
500
Определение моды.
1. Поиск модального интервала по наибольшей частоте (наибольшему числу
рабочих).
2. Расчет показателей по формуле:
Мо  x мо  i мо 
f мо  f мо1
( f мо  f мо1 )  ( f мо  f мо1 ) , где
x м о - наименьшее значение модального интервала;
i м о - величина модального интервала;
f м о - частота модального интервала;
f м о1 - частота интервала, предшествующего модальному;
f м о1
- частота интервала, следующего за модальным.
Для примера:
x мо  1500 руб.
i мо  100 руб.
f мо  145
f мо1  60
f мо1  110
Таким образом, мода равна:
Мо  1500  100 
145  60
85
 1500  100 
 1570,8 руб.
(145  60)  (145  110)
2975
Определение медианы.
Формула для определения медианы:
f
Ме  x м е  i м е 
2
 S м е1
f ме
, где
xме
- наименьшее значение медианного интервала;
iме
- величина медианного интервала
34
S м е - кумулятивная частота медианного интервала, должна удовлетворять
условию
S ме 
f
2
(в нашем случае S ме  250 , т.к. 295>250);
f м е - частота медианного интервала;
S м е1 - накопленная частота интервала, предшествующего медианному.
В нашем случае:
x ме  1500 руб.
f
 500
i ме  100 руб.
S ме1  150
f ме  145
Таким образом, медиана равна:
500
 150
2
Ме  1500  100 
 1569 руб.
145
Показатели вариации.
Вариацией называется колеблемость, многообразие, изменяемость
величины признака. Вариация зависит от различных факторов и их сочетаний
в каждом конкретном случае, например, успеваемость. Вариация бывает
случайной и систематической.
Измерение вариации дает возможность оценить степень воздействия на
данный признак других варьирующих признаков, определение вариации
необходимо при организации выборочного наблюдения, построения
статистических моделей и т.д. Вариация существует в пространстве и
времени. Под вариацией в пространстве понимается колеблемость значений
признака по различным территориям. Вариация во времени подразумевает
изменение значений признака в различные периоды или моменты времени.
Показатели вариации делятся на две группы: абсолютные и
относительные.
35
К абсолютным показателям относятся: размах вариации, среднее
линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. К
относительным показателям относятся: коэффициент осцилляции, линейный
коэффициент вариации, коэффициент вариации.
Размах вариации (R) показывает наибольшее различие между
единицами совокупности и рассчитывается как разность между
наибольшими (xmax) и наименьшими (xmin) значениями варьирующего
признака. Размах вариации выражается именованными числами:
R  xmax  xmin
Размах вариации - важный, но не единственный показатель колеблемости
признака.
Для анализа вариации используется величина, вокруг которой происходят
колебания и рассеяния значений признака. При обобщении этих колебаний
снова применяется метод средних, чтобы найти среднюю величину этих

отклонений. Такая средняя называется средним линейным отклонением ( d ),
которое определяется как средняя арифметическая из абсолютных значений
отклонений вариант от средней:
простые

d

взвешенные


x

x

 

d
f

xx
n

f

Средний квадрат отклонений (дисперсия):
 ( x  x)

f


2 
 ( x  x)
2
2
n
2

 f

Среднее квадратическое отклонение:

  2 
 ( x  x)

2
n


 ( x  x)
f
2

 f

Относительные показатели:
36
1. Коэффициент осцилляции.
VR 
R

 100%
x
2. Линейный коэффициент вариации.

V 
d
d

 100%
x
3. Коэффициент вариации.
V 


 100%
x

Если V  33% , то совокупность однородна, x типична для данной
совокупности.
Пример. Распределение предприятий по объему товарооборота.
Группы предприятий по
объему товарооборота
Число
Расчетные показатели


предприятий, x
x*f
x

x
x

x
f
f
90-100
100-110
110-120
120-130
Всего:
28
48
20
4
100
95
105
115
125
2660
5040
2300
500
10500
10
0
10
20
280
0
200
80
560
2



 x  x  f


2800
0
2000
1600
6400
R=130-90=40 млн. руб.
 ( x  f )  10500  105 млн. руб.
100
f

x



  x  x  f  560
d

 5.6 млн. руб.
100
f

 ( x  x)

f

2

VR 
2

 f
  6400  64
100


(
x

x
)2 
 
f
R

x
 100% 

f
  64  8 млн. руб.
40
 100%  38,1%
105
37

V 
d
V 
d

 100% 
5,6
 100%  5,3%
105
 100% 
8
 100%  7,6%
105
x


x
Поскольку 7,6%≤33%, то вывод следующий: совокупность однородна,

x
типична для данной совокупности.
Вариация альтернативного признака.
Альтернативным называется атрибутивный признак, который
принимает одно из двух противоположных значений. Когда имеются два
исключающих друг друга варианта, то наличие признака обозначается через
единицу, а его отсутствие через 0 (например, наличие браков продукции).
Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле:
 2  pq
  pq
где p – доля единиц, обладающих данным признаком, а q – доля единиц, не
обладающих данным признаком. Вообще: p+q=1.
Показатели вариации альтернативного признака широко используются
в статистике при проектировании выборочного наблюдения, при
социологических обследованиях, статистическом контроле за качеством
продукции.
Пример. По данным налоговой инспекции вычислите дисперсию
альтернативного признака. В городе проверено 86 коммерческих киосков, в
37 обнаружены финансовые нарушения.
Как определить долю единиц, обладающих данным признаком:
p
37
 0.43
86
.
Тогда q=1-0.43=0.57.
2
Получим   0.57  0.43  0.245 и   0.245  0.495 .
Пример. Расчет дисперсии способом моментов.
Распределение предприятий по объему товарооборота.
38
Группы
предприятий
по объему
товарооборота,
млн. руб.
60-80
80-100
100-120
120-140
140-160
160-180
Всего:
i=20 млн. руб.
m1 
 x  A 

 i 
f
 
Число
Середина x*f x  A
i
предприятий интервала
(f)
(x)
 x  A

 f
 i 
 x  A

 f
 i 
21
27
24
16
8
4
100
-42
-27
0
16
16
12
-25
84
27
0
16
32
36
195
70
90
110
130
150
170
-2
-1
0
1
2
3
2

f
   25  0,25
100
 x  A  2 
  i   f 

  195  1,95
m2 
100
f
 x2  i 2 (m2  m12 )  400  (1.95  (0.25) 2 )  755
 x  27.5 млн. руб.
Среднее квадратическое отклонение играет важную роль в анализе рядов
распределения. В условиях нормального распределения существует
следующая зависимость между величиной среднего квадратического
отклонения и количеством наблюдений:

- в пределах
x  1
располагается 0,683, или 68,3%, количество наблюдений;

-
x  2
- 0,954, или 95,4%, количества наблюдений;

- в пределах
x  3
- 0,997, или 99,7%, количества наблюдений.
В действительности на практике почти не встречаются отклонения, которые
превышают  3 . Отклонение 3 может считаться максимально возможным.
Это положение называют «правилом трех сигм».
39
Практическая часть.
Вариант 1.
1. По результатам зимней экзаменационной сессии одного курса
студентов получено следующее распределение оценок по баллам:
Балл оценки знаний студентов
Число оценок, получаемых
студентами
2
6
3
75
4
120
Итого
300
5
99
Определите:
а ) средний балл оценки знаний студентов;
б) модальный балл успеваемости и медианное значение балла;
в) сделайте выводы о характере данного распределения.
2. Дисперсия признака равна 10, а средний квадрат его индивидуальных
значений – 140. Чему равна средняя?
Вариант 2.
1. Распределение торговых фирм по размеру месячного товарооборота
характеризуются следующими данными:
Товарооборот,
млн руб.
Число фирм
До 5
5-10
10-15
15-20
20-25
20
26
20
14
10
25 и
выше
10
Итого
100
Определите:
а) средний размер месячного товарооборота на одну фирму;
б) модальное и медианное значение месячного товарооборота;
в) сделайте выводы о характере данного распределения.
2. Средняя величина в совокупности равна 16, среднее квадратическое
отклонение –
8. Определите средний квадрат индивидуальных
значений этого признака.
Вариант 3.
Распределение строительных фирм по объему инвестиций характеризуется
следующими данными:
Объем
6-8
инвестиций,
8-10
10-12
12-14
14-16
16-18
18-20
Итого
40
млн руб.
Число фирм 4
6
32
34
27
10
7
120
Определите характеристики распределения:
а) среднюю;
б) моду;
в) среднее квадратическое отклонение;
г) коэффициент вариации и ассиметрии.
Сделайте выводы о характере распределения строительных фирм.
Вариант 4.
По результатам выборочного обследования торговых киосков города
получены следующие данные о дневной выручке частного бизнеса.
Выручка от продажи До 1
товара, тыс. у.е.
Число торговых
10
киосков
1-1,2
1,2-1,4
1,4-1,6
1,6-1,8
1,8-2,0
2,0 и выше
12
22
26
18
7
5
Найдите среднедневную выручку от продажи товаров, дисперсию, среднее
квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Объясните полученные
результаты.
Вариант 5.
По данным выборочного обследования получено следующее распределение
семей по среднедушевому доходу
Среднедушевой
доход семьи в
месяц, у. е.
Количество
обследованных
семей
До
25
25-50
50-75
75-100
100-125
125-150
150 и
выше
46
236
250
176
102
78
12
Найдите среднедушевой доход семьи в выборке, коэффициент вариации.
Объясните полученные результаты.
Вариант 6.
Распределение длины пробега автофургонов торговой фирмы
характеризуется следующими данными:
41
Длина
30-40
пробега
за один
рейс, км
Число
20
рейсов за
1 месяц
40-50
50-60
60-70
70-80
80 и
выше
Итого
25
14
18
8
5
90
Определите:
а) среднюю длину пробега;
б) среднее квадратическое отклонение;
в) коэффициент вариации.
Оцените количественную однородность совокупности.
Вариант 7.
Найдите среднюю заработную работников одного из цехов промышленного
предприятия.
Заработная 50-70
плата, у.е.
Число
12
работников
75-100
125-150
150-175
175-200
200-225
23
37
19
15
9
Рассчитайте среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение,
коэффициент вариации заработной платы. Сделайте выводы.
Контрольные вопросы:
1. Назовите абсолютные показатели вариации и опишите их свойства.
2. Назовите относительные показатели вариации и опишите их свойства.
3. Какой из показателей вариации характеризует абсолютный размер
колеблемости признака около средней величины?
4. Что характеризует коэффициент вариации?
5. Что характеризует коэффициент осцилляции?
6. Как используются показатели вариации в работе учреждений банка?
7. Чему равна вариация ряда, все члены которого равны 10 тыс. руб.?
8. Сформулируйте определения моды и медианы.
9. В чем состоит главное свойство медианы?
42
10. Как рассчитываются мода и медиана интервального ряда?
11. Что обозначают и когда используются квартальные и децильные
коэффициенты?
43
Практическая работа №7 (2 ч)
«Исчисление показателей анализа рядов динамики»
Цель работы: привить навыки умения студентам исчислять абсолютные и
относительные показатели вариации.
Теоретическая часть.
Социально-экономические явления в обществе изменяются во времени.
Изучение закономерностей развития этих явлений статистика решает путем
построения и анализа рядов динамики.
Рядом динамики называют ряд числовых значений статистического
показателя, отражающий изменение явлений во времени. Пример, уровень
жизни населения.
В каждом ряду динамики имеются два основных элемента: время, уровень,
соответствующий данному периоду времени.
В качестве показателей времени используются либо определенные
моменты времени (начало года, напр.) либо периоды времени (сутки, месяцы,
годы). Уровнем называется количественная оценка явления, изменяющегося
во времени.
В зависимости от того, как уровни ряда выражают состояние явления
на определенные моменты времени или его величину за определенные
интервалы времени, различают соответственно моментные и интервальные
ряды динамики. Моментные ряды динамики изучают состояние явления
через определенные промежутки времени на конкретную дату (остатки
вкладов банка). Интервальные ряды динамики отображают итоги развития
изучаемых явлений за отдельные периоды времени (товарооборот).
Интервальные ряды обладают свойством суммирования, т.е. каждый
его уровень является суммой уровней за более короткие периоды. Пример,
производство продукции за год равно сумме производства продукции за
каждый месяц. С помощью рядов динамики изучение закономерностей
развития осуществляется в следующих направлениях: характеристика
44
уровней развития изучаемых явлений во времени, измерение динамики
изучаемых явлений посредством системы статистических показателей,
выявление и количественная оценка основной тенденции развития, изучение
периодических колебаний, экстраполяция и прогнозирование.
Статистика изучает ряды динамики с абсолютными величинами, на их
основе получают ряды динамики относительных и средних величин.
Относительные величины: темпы роста (прироста); средние величины:
средняя урожайность, средняя численность населения.
Сопоставимость уровней рядов динамики.
Ряды динамики охватывают значительные периоды времени, за
которые могли произойти изменения, приводящие к несопоставимости
статистических данных. Основные причины несопоставимости:
1. Изменение единиц измерения или единиц счета (пример, производство
тканей в метрах нельзя сравнивать с квадратными метрами, разные
масштабы цен).
2. Методология учета или расчета показателей (пример, средняя урожайность
с засеянной площади или собранной площади).
Одним из способов приведения рядов динамики к сопоставимому виду
называется «смыкание» рядов динамики. Он заключается в объединении
двух или более рядов динамики, уровни которых вычислены по разной
методологии или с разными границами.
Пример, данные о производстве продукции в районе за период 1990-1996 г. в
млн. руб.:
Продукция
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996
До изменения границ
45
48
50
После изменения границ 63
67,2 70
71,3 73,2 74,1 75,0
70
K
 1.4
45 *1.4  63 и т.д.
50
Аналитические и обобщающие показатели динамического ряда.
45
Для анализа используются аналитические и обобщающие показатели
ряда динамики: абсолютный прирост, темпы роста и прироста, абсолютное
содержание одного процента прироста.
Сравнение уровней производится двумя способами:
1. Все уровни сравниваются с одним уровнем, принятым за базу сравнения.
Это может быть начало отсчета, начало какого-либо этапа развития.
Показатели, получаемые при этом, называются базисными.
2. Если каждый уровень сравнивается с предыдущим, то получаемые при
этом показатели называются цепными.
Абсолютный прирост представляет собой разность между двумя уровнями
динамического ярда и показывает, насколько данный уровень превышает
уровень, взятый за базу сравнения.
Цепной абсолютный прирост:
y ц . i  y i  y i 1
, где yi – текущий уровень, yi-1 – предыдущий уровень.
Абсолютный прирост базисный:
y б . i  yi  y 0
у0 – базисный уровень.
yб. i  yц.1  yц.2    yц.n   yц.i
Базисный абсолютный прирост равен сумме цепных абсолютных
приростов за тот же период.
Темп роста представляет собой отношение двух уровней: текущего и
предыдущего или базисного.
Темп роста базисный:
Тр б .i 
yi
y0
Темп роста цепной:
Трц.i 
yi
yi 1
Темп роста базисный равен произведению цепных темпов роста за тот же
период:
46
Трб.i  Tрц.1  Tрц.2    Tрц.n  Tрц.i
Темп прироста:
- в долях Тпр.  Тр  1
- в процентах Тпр.  Тр  100%
Абсолютное содержание 1% прироста:
%  А(1% пр.) 
yi 1
100
Средние показатели рядов динамики.
В интервальном ряду динамики:
- с равноотстоящими уровнями средний уровень определяется по формуле
средней арифметической простой

y
y  y
1
n
 y2    yn
n
- с неравноотстоящими уровнями средний уровень определяется по формуле
средней арифметической взвешенной

y
( y  t )
 t , где
i
i
i

y - средний уровень за период ti.
В моментном ряду динамики средний уровень определяется:
- с равноотстоящими уровнями по формуле средней хронологической
1
1
 y1  y 2  y 3     y n
2
Y 2
n 1

- с неравноотстоящими уровнями по формуле

y
( y1  y 2 )  t1  ( y 2  y3 )  t 2    ( y n1  y n )  t n1

2(t1  t 2    t n1 )
  y  y   t 
2 t
,
i
i 1
n 1
где yi, yn – уровни ряда динамики, ti – длительность интервала времени
между уровнями.
Средний абсолютный прирост, темп роста и темп прироста определяются
только по цепным значениям.
Средний абсолютный прирост (в интервальном ряду динамики):
47
y   n
y ц .i

Средний темп роста определяется по формуле средней геометрической.
Средний темп роста по цепным коэффициентам (темпам) роста:
__
Тр  n П (Трц.i )
Средний темп роста по базисным темпам роста:
__
Тр  n Трб .n
Средний темп роста по абсолютным уровням ряда динамики:
__
Тр  n
yn
y0
Средний темп прироста:
_______
___
 Тр  1
- в долях Тпр.
_______
___
 Тр  100%
- в процентах Тпр.

Средняя величина A :

A
A
i
n
Пример составления таблицы для расчета показателей ряда динамики:
Годы, Продукция,
t
млн. руб.
***
***
Абсолютный прирост, Δy
Цепной
Базисный
***
***
Темп роста, %
Цепной
Базисный
***
***
Темп
прироста
***
А(1%
пр.)
***
Практическая часть.
Вариант 1.
По имеющимся данным в таблице о производстве телевизоров в РФ:
Год
Производство телевизоров (тыс.
шт.)
1990
6682
1995
7528
2000
9371
2005
9628
2010
10650
1. Определите:
а) вид динамического ряда;
б) изменение производства телевизоров по сравнению с 1990 годом;
48
в) исчислить средний уровень ряда;
2. Постройте график.
3. Сделайте вывод.
Вариант 2.
Производство продукции предприятия характеризуется следующими
данными:
Годы
Производство продукции, тыс.
руб.
1999
100
2000
110
2001
118
2002
121
2003
130
2004
136
1. Определите показатели анализа рядов динамики базисным методом:
а) абсолютный прирост (тыс. руб.);
б) темп роста (в %);
в) темп прироста (в %).
2. Полученные показатели представить в виде таблицы.
3. Постройте график изменения производства продукции.
4. Вычислите средний уровень ряда.
5. Сделайте вывод.
Вариант 3.
Оборотные средства одной из отраслей характеризуется следующими
данными:
Годы
Оборотные средства, млрд. руб.
2001
434,8
2002
483,8
2003
523,2
2004
559,9
2005
599,4
1. Определите базисным способом:
а) абсолютный прирост (млрд. руб.);
б) темп роста (в %);
в) темп прироста (в %);
г) среднегодовой уровень оборотных средств (млрд. руб.).
2. Полученные результаты представьте в таблице, проанализируйте их и
сделайте вывод.
Вариант 4.
По имеющимся данным в таблице об объеме различного товарооборота:
Годы
2003
2004
2005
2006
2007
49
Объем различного
товарооборота (тыс. шт)
885,7
932,6
980,1
1028,7
1088,4
1. Определите вид ряда динамики.
2. Исчислите показатели ряда динамики цепным способом.
3. Определите средний уровень.
4. Сделайте вывод.
Вариант 5.
По данным выборочного обследования получено следующее распределение
семей по среднедушевому доходу
Среднедушевой
доход семьи в
месяц, у. е.
Количество
обследованных
семей
До
25
25-50
50-75
75-100
100-125
125-150
150 и
выше
46
236
250
176
102
78
12
Найдите среднедушевой доход семьи в выборке, коэффициент вариации.
Объясните полученные результаты.
Вариант 6.
Распределение длины пробега автофургонов торговой фирмы
характеризуется следующими данными:
Длина
30-40
пробега
за один
рейс, км
Число
20
рейсов за
1 месяц
40-50
50-60
60-70
70-80
80 и
выше
Итого
25
14
18
8
5
90
Определите:
а) среднюю длину пробега;
б) среднее квадратическое отклонение;
в) коэффициент вариации.
Оцените количественную однородность совокупности.
50
Вариант 7.
Найдите среднюю заработную работников одного из цехов промышленного
предприятия.
Заработная 50-70
плата, у.е.
Число
12
работников
75-100
125-150
150-175
175-200
200-225
23
37
19
15
9
Рассчитайте среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение,
коэффициент вариации заработной платы. Сделайте выводы.
Контрольные вопросы:
1. Что делает собой ряд динамики?
2. Назовите виды рядов динамики. Дайте их определение.
3. Как рассчитывается средний уровень в интервальном и моментном рядах
динамики?
4. Как определяют показатели рядов динамики?
5. Что представляет собой базисные и цепные динамики?
6. Что называется хронологической средней?
7. Каковы приемы преобразования рядов динамики?
8. Какую величину называют средним абсолютным приростом?
9. Как используются показатели рядов динамики в практической
деятельности учреждений банков?
51
Практическая работа № 8 (2 ч)
«Выравнивание рядов динамики различными способами»
Цель работы: привить навыки умения студентам по исчислению методов
анализа основной тенденции в рядах динамики.
Теоретическая часть.
Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и
устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных
колебаний.
Задача состоит в том, чтобы выявить общую тенденцию в изменении
уровней ряда, освобождённую от действия различных случайных факторов.
Для этого используют методы укрупнения интервалов, скользящей средней
и аналитического выравнивания.
Метод укрупнения интервалов состоит в том, чтобы перейти к более
продолжительным периодам времени, для которых определяется итоговое
значение или средняя величина исследуемого показателя.
Метод скользящей средней заключается в том, что фактические
уровни
ряда
заменяются
средними
уровнями,
вычисленными
по
определённому правилу.
Метод
сглаживания,
как
и
укрупнение
интервалов,
является
механическим, эмпирическим и не позволяет выразить общую тенденцию
изменения уровней в виде математической модели.
Более совершенный метод обработки рядов динамики в целях
устранения случайных колебаний и выявления тренда – выравнивание
уровней ряда по аналитическим формулам.
Задача аналитического выравнивания сводится к следующему:
52
1) определение на основе фактических данных вида (формы)
гипотетической функции ót  f (t ) , способной наиболее адекватно отразить
тенденцию развития исследуемого показателя;
2) нахождение по эмпирическим данным параметров указанной
функции (уравнения);
3) расчёт по найденному уравнению теоретических (выровненных)
уровней.
Рассмотрим подробнее выравнивание рядов динамики по уравнению
прямой:
óˆ t  a0  a1t
Расчет коэффициентов a 0 и a1 ведётся на основе метода наименьших
квадратов:
n
 ó
i t
i
2
 yˆ t   min
Если вместо абсолютного времени ti выбрать условное время таким
t
образом, чтобы
i
 0 , то параметры уравнения можно определить по
формулам:
à0 
à1 
ó
i
n
ót
t
i i
2
i
,
,
Нечётное число уровня ряда обозначается: - 3, - 2, - 1, 0 ,1 , 2, 3 и т.
д.Чётное число уровней ряда обозначается: -7, - 5, - 3, -1 , 1, 3, 5, 7 и т.д.
В обоих случаях
t
i
 0.
53
Многие процессы хозяйственной деятельности, торговли, сельского
хозяйства и других сфер человеческой деятельности подвержены сезонным
изменениям.
Анализ сезонных колебаний производится с помощью индексов
сезонности. В зависимости от существующих в ряду динамики тенденций
используются два правила построения индексов.
1. Ряд динамики не имеет ярко выраженной тенденции развития. Тогда
индекс сезонности:
Is 
yi
,
y
где y i - средний уровень ряда за одноимённые периоды времени;
y - общий средний уровень ряда за всё время наблюдения.
2. Ряд динамики имеет общую тенденцию, и она определена либо
методом скользящих средних, либо методом аналитического выравнивания.
Тогда индекс сезонности:
 n y 
I s    ik   n ,
 k 1 yˆ ik 
где ŷik - уровни ряда, полученные или в результате определения
скользящих средних для тех же периодов времени, что и исходные уровни
методом аналитического выравнивания.;
i - номер месяца или квартала, для которого определяется индекс
сезонности;
ï - число лет наблюдения за процессом.
Пример 1. Имеются следующие данные о выпуске продукции
предприятия по месяцам за год в сопоставимых ценах:
54
Месяц
1
Выпуск
млн. руб.
продукции, 5,1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5,4
5,2
5,3
5,6
5,8
5,6
5,9
6,1
6,0
5,9
6,2
Решение укрупним интервалы до трёх месяцев и рассчитаем
суммарный и среднемесячный выпуск продукции по кварталам. Новые
данные будут выглядеть следующим образом (табл.):
Данные о выпуске продукции после укрупнения интервалов
Квартал
Выпуск продукции, млн. руб.
общий
среднемесячный
1
15,7
5,23
2
16,7
5,57
3
17,6
5,87
4
18,1
6,03
Пример 2. Методом трёхзвенной скользящей средней выровнять
исходные данные о выпуске продукции предприятия за отчётный период.
Проиллюстрировать выровненную кривую на графике.
Месяцы
Выпуск продукции, млн. руб.
Месяцы
Выпуск продукции, млн. руб.
Январь
175,00
Июль
366,00
Февраль
241,00
Август
341,00
Март
300,00
Сентябрь
420,00
Апрель
270,00
Октябрь
441,00
Май
330,00
Ноябрь
453,00
Июнь
310,00
Декабрь
430,00
Решение: определим трёхзвенные скользящие средние следующим образом:
ó1 
175  241  300
 238,67 ,
3
ó21 
241  300  270
 270,33 и т.д. (см. гр. 2
3
табл.).
Месяцы
Выпуск
продукции, млн.
Скользящие
средние
Месяцы
Выпуск
продукции, млн.
Скользящие
средние
55
руб.
руб.
А
1
2
А
Январь
175,00
-
Февраль
241,00
Март
1
2
Июль
366,00
339,00
238,67
Август
341,00
375,67
300,00
270,33
Сентябрь
420,00
400,67
Апрель
270,00
300,00
Октябрь
441,00
438,00
Май
330,00
303,33
Ноябрь
453,00
441,33
Июнь
310,00
335,33
Декабрь
430,00
-
выпуск продукции. млн.
руб.
Полученные значения нанесём на график (рис. 1.)
500
400
300
200
100
0
январь
март
май
июль
сентябрь
ноябрь
месяцы
фактический
скользящий
Рис. 1. Выравнивание исходных данных с помощью скользящей средней
Пример 3. На основе имеющихся данных произвести выравнивание
ряда по прямой (цифры условные).
Год
Производство стали, млн. т
2006
2007
2008
2009
2010
141,3
144,8
146,7
151,5
149,0
Решение: решение задачи оформим таблицей.
Год
Производство
стали, млн. т.
уi
Условное
время
t i 
t 
2
tу
Теоретические
уровни
óˆ t  146.66  2.21ti
56
А
1
2
3
4
5
2006
141,3
-2
4
- 282,6
142,2
2007
144,8
-1
1
- 144,8
144,4
2008
146,7
0
0
0
146,7
2009
151,5
1
1
151,5
148,9
2010
149,0
2
4
298,0
151,1
Итого
733,3
-
10
22,1
733,3
Определяем параметры уравнения:
à0 
à1 
ó
i
n
ót
t
i i
2
i

733,3
 146,66 ,
5

22,21
 2,21
10
óˆ t  a0  a1t  146,66  2,21t (графа 5 табл.).
Таким образом, среднегодовой прирост производства стали составляет
ежегодно 2,21 т.
Пример 5. По имеющимся данным о заключении брака в городе за ряд
лет наблюдения определите индексы сезонности.
Месяц
2009г.
2010г.
2011г.
Январь
173
183
178
Февраль
184
185
179
Март
167
162
161
Апрель
142
160
184
Май
137
143
151
Июнь
145
150
156
Июль
153
167
177
Август
171
173
181
Сентябрь
143
150
157
57
Октябрь
162
165
174
Ноябрь
178
181
193
Декабрь
185
189
197
Решение: решение задачи оформим таблицей.
Месяц
2009г.
2010г.
2011г.
ói
I Si  100%
А
1
2
3
4
5
Январь
173
183
178
178,00
106,2
Февраль
184
185
179
182,67
108,9
Март
167
162
161
163,33
97,4
Апрель
142
160
184
162,00
96,6
Май
137
143
151
143,67
85,7
Июнь
145
150
156
150,33
89,7
Июль
153
167
177
165,67
98,8
Август
171
173
181
175,00
104,4
Сентябрь
143
150
157
150,00
89,5
Октябрь
162
165
174
167,00
99,6
Ноябрь
178
181
193
184,00
109,7
Декабрь
185
189
197
190,33
113,5
Итого за год
1940
2008
2088
167,67
При переходе от месячных к годовым уровням можно установить, что
тенденция роста очень незначительна.
Общий средний уровень ряда составляет:
ó
1940  2008  2088
 167,67 - среднемесячное число браков
3  12
Средний уровень января:
ó1 
173  183  178
 178 - среднее число браков в январе.
3
58
Аналогично рассчитываются средние уровни за все последующие
месяцы.
Полученные индексы сезонности дают оценку того, как в отдельные
месяцы года количество заключённых браков отклоняется от среднего
значения. Построенные по полученным индексам сезонности линейный
график наглядно показывает сезонность рассматриваемого процесса (рис. 2.).
120
100
80
60
40
20
0
январь
март
май
июль
сентябрь
ноябрь
Рис. 2. График сезонной волны числа заключённых браков
По графику можно сделать вывод, что самым непопулярными
месяцами для заключения брака являются май, июнь и сентябрь.
Практическая часть
Вариант 1. Имеются следующие данные об остатках вкладов по одному из
отделений сберегательного банка (млн. руб.):
на 1.01.11- 262,4
на 1.08.11 - 476,8
на 1.02.11 - 275,8
на 1.09.11 - 470,2
на 1.03.11 - 295,4
на 1.10.11 - 586,0
на 1.04.11 - 292,5
на 1.11.11 - 610,9
на 1.05.11 - 337,4
на 1.12.11 - 645,8
на 1.06.11 - 396,7
на 1.01.12 - 708,9
на 1.07.11 - 421,3
59
Определите:
1) средние квартальные, средние полугодовые и годовые остатки
вкладов по отделению банка.
2) Произведите сглаживание ряда динамики методом скользящей
средней;
3. Изобразите динамику остатков вкладов по определению банка на
графике.
Вариант 2. Имеются следующие данные о ежесуточной добыче угля по
шахте за первую декаду:
День
Добыча угля, т.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
800
790
804
808
805
810
800
817
820
832
Произвести сглаживание ряда методом трёхчленной переменной и
трёхчленной скользящей средней. Дать график первичного и сглаженного
рядов.
Вариант 3. Имеются данные о розничном товарообороте магазина за 20062011гг., тыс. руб.:
Год
2006
2007
2008
2009
2010
2011
Товарооборот, тыс. руб.
500,7
546,1
570,2
580,7
590,1
575,2
Для изучения общей тенденции развития розничного товарооборота:
1) изобразите исходный ряд динамики в виде линейного графика;
2) проведите аналитическое выравнивание уровней ряда по прямой,
определите выровненные (теоретические) уровни ряда динамики и нанесите
их на график с исходными (эмпирическими) данными;
3) сделайте выводы.
60
Вариант 4. Имеются данные о численности экономически активного
населения:
Год
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Численность, тыс. чел.
73811
74156
75060
75892
75658
75440
Произведите аналитическое выравнивание экономически активного
населения.
Вариант
5.
Имеются
следующие
данные
об
изменении
объёмов
промышленного производства России:
Темп роста общего объёма промышленного производства в % к декабрю
2009г.
Месяц
2010 г.
2011 г.
Январь
92,0
88,0
Февраль
90,5
86,2
Март
94,0
91,0
Апрель
88,2
88,2
Май
89,0
84,0
Июнь
90,7
83,8
Июль
86,3
83,9
Август
93,0
84,2
Сентябрь
92,6
85,0
Октябрь
94,0
91,8
Ноябрь
91,8
86,3
Декабрь
92,2
87,1
Проанализируйте сезонные изменения промышленного производства:
а) на основе индекса сезонности;
б) применяя графический метод.
61
Вариант 6. Данные о реализации товаров в торговой сети по кварталам за
три года:
Квартал
Оборот розничной торговли по
годам, млн. руб.
Оборот розничной
торговли в среднем за
1-ый
2-ой
3-ий
I
500
650
720
II
800
840
900
III
950
1020
980
IV
820
900
960
Индекс
сезонности, %
три года
Итого:
В среднем
Заполнить недостающие данные в таблице. Сделать вывод.
Вариант 7. Имеются следующие данные о продаже шерстяных тканей в
розничной сети области по кварталам за 1997 - 1999 гг., млн. руб.:
Кварталы
1997
1998
1999
I
171,9
160,0
172,1
II
138,2
113,1
176,8
III
144,4
124,2
139,1
IV
154,7
155,8
141,2
Для анализа внутригодовой динамики продажи шерстяных тканей:
а) определите индексы сезонности методом постоянной средней;
б) изобразите графически сезонную волну развития изучаемого явления
по месяцам года. Сделайте выводы.
Вариант 8.
Имеются следующие данные об отправлении грузов
железнодорожным транспортом общего пользования в регионе; млн.т.:
62
Месяцы
1997 г.
1998г.
1999г.
Январь
142
114
92
Февраль
143
108
83
Март
156
123
93
Апрель
152
122
92
Май
152
120
89
Июнь
138
115
87
Июль
131
114
85
Август
127
111
88
Сентябрь
125
108
85
Октябрь
128
111
90
Ноябрь
119
100
86
Декабрь
120
100
86
Вычислите индексы сезонности методом постоянных средних.
Контрольные вопросы:
1. Какое изменение ряда динамики называется основной тенденцией
(трендом)?
2. Какое изменение ряда динамики называется сезонным колебанием?
3. В чем сущность методов сглаживания?
4. Как рассчитывается простая скользящая средняя?
5. В чем различие определения скользящей средней по четному и по
нечетному
числу членов ряда динамики?
6. Почему при анализе динамических рядов необходимо учитывать сезонные
колебания?
7. Сформулируйте признаки сезонного динамического ряда.
8. Что показывает и как рассчитывается индекс сезонных колебаний?
9. Каков типичный период сезонной волны в экономико-статистических
рядах динамики?
63
Практическая работа № 9 (2 ч)
«Исчисление различных видов индивидуальных и агрегатных индексов»
Цель работы: привить навыки умения студентам:
- исчислять различные виды индексов;
- выявлять взаимосвязи индексов в абсолютном и относительном
выражениях;
Теоретическая часть.
Индексы относят к важнейшим обобщающим показателям, с их
помощью характеризуется развитие экономики в целом и отдельных ее
отраслей, анализируются результаты производственно-хозяйственной
деятельности предприятий и организаций, исследуется роль отдельных
факторов в формировании важнейших экономических показателей,
выявляются резервы производства.
Индексы используются в международных сопоставлениях
экономических показателей, определении уровня жизни населения,
мониторинге деловой активности в экономике.
Индекс представляет собой относительную величину, получаемую в
результате сопоставления уровней социально-экономических явлений во
времени, в пространстве или сравнение фактических данных с любым
эталоном (план, прогноз, норматив).
В результате получаются индексы: временные, территориальные и плановые.
В зависимости от уровня охвата объема изучаемой совокупности различают
индексы индивидуальные и общие. Индивидуальные индексы характеризуют
изменение отдельных единиц изучаемой совокупности, пример, индекс цены
одного товара.
Общие индексы выражают сводные результаты совместного изменения всех
единиц, образующих статистическую совокупность. Индексы обладают
синтетическими и аналитическими свойствами.
64
Синтетическое свойство индексов состоит в том, что с помощью
индексного метода производятся соединения в целое отдельных единиц
статистической совокупности. Аналитическое свойство индексов состоит в
том, что посредством индексного метода определяется влияние различных
факторов на изменение изучаемого показателя.
Индивидуальные и общие индексы.
При определении индекса производится сравнение не менее двух
величин. Как правило, в числителе стоит уровень отчетного периода, а в
знаменателе – уровень базисного периода.
В международной практике индексы принято обозначать символами i и
I (начальная буква латинского слова index). Буквой «i» обозначаются
индивидуальные (частные) индексы, буквой «I» -общие индексы. Знак внизу
справа означает период: 0 – базисный; 1 – отчетный. Помимо этого
используются определенные символы для обозначения индексируемых
показателей:
q - количество (объем) какого-либо товара в натуральном выражении;
р - цена единицы товара;
z - себестоимость единицы продукции;
t - затраты времени на производство единицы продукции;
w - выработка продукции в стоимостном выражении на одного рабочего или
в единицу времени;
v - выработка продукции в натуральном выражении на одного рабочего или в
единицу времени;
Т - общие затраты времени (tq) или численность рабочих;
pq - стоимость продукции или товарооборот;
zq - издержки производства.
Индивидуальные индексы.
1. Индивидуальный индекс физического объема продукции iq
рассчитывается по формуле:
65
iq 
q1
q0 .
Этот индекс показывает, во сколько раз возрос (уменьшился) выпуск какоголибо одного товара в отчетном периоде по сравнению с базисным, или
сколько процентов составляет рост (снижение) выпуска товара. Если из
значения индекса, выраженного в процентах, вычесть 100%, то полученная
величина покажет, на сколько процентов возрос (уменьшился) выпуск
продукции. В знаменателе может быть не только количество продукции,
произведенной за какой-то предыдущий период, но и плановое значение
(qпл), нормативное (qн) или эталонное значение, принятое за базу сравнения
(qэ). Тогда формула индивидуального индекса физического объема
продукции примет соответственно следующий вид:
Индексы других показателей строятся аналогично.
2. Индивидуальный индекс цен:
p1
p0
ip 
3. Индивидуальный индекс себестоимости продукции:
iz 
z1
z0
4. Индивидуальный индекс товарооборота:
i pq 
p1  q1
p0  q0
Индивидуальные индексы могут быть цепными и базисными.
Цепные индивидуальные индексы сравнивают данный период с
предыдущим:
p1
p0
p2
p1
p3
p2
66
В базисных индивидуальных индексах идет сравнение данных периодов с
базисным периодом:
p1
p0
p3
p0
p2
p0
Базисный индекс равен произведению цепных индексов за тот же период:
p
p
p1 p2 p3


 n  n
p0 p1 p2
pn1 p0
Индекс произведения равен произведению индексов:
i pq  i p  iq
Общие индексы.
Общие индексы представлены агрегатной формой и представлены
агрегатными индексами. В числителях и знаменателях общих индексов
содержатся наборы элементов изучаемых статистических совокупностей. Для
сопоставимости разнородных единиц в индексное соотношение вводятся
специальные сомножители, позволяющие получить однородные показатели.
1. Общий индекс товарооборота:
I pq 
p
p
1
0
 q1 
 q0 
2. Общий индекс цен:
Ip 
p
p
 q1 
1
 q1 
0
3. Общий индекс себестоимости:
Iz 
 (z
 z
1
0
 q1 )
 q1 
4. Общий индекс физического объема продукции:
Iq 
 q
 q
1
0
 p0 
 p0 
I pq  I p  I q
Пример 1. Имеются следующие данные о продаже товаров на рынке
города:
67
Товар
Продано товара, тыс.кг.
Цена за 1кг, руб.
июнь
июль
июнь
июль
яблоки
90
100
9,50
12,00
морковь
60
40
18,00
15,00
Определите:
1. Индивидуальные индексы цен и объема проданного товара;
2. Общий индекс товарооборота;
3. Общий индекс физического объема товарооборота;
4. Общий индекс цен;
5. Прирост товарооборота всего и в том числе за счет изменения цен и
объема продажи товаров.
Покажите взаимосвязь между исчисленными индексами.
Решение:
Для удобства решение задачи оформим вспомогательной таблицей:
Продано товара,
Цена за
тыс.кг.
1 кг, руб.
Товар
Расчетные графы
ip 
p1
p0
iq 
q1
q0
p0 q0
p1q1
p0 q1
июнь
июль
июнь
июль
яблоки
90
100
9,50
12,00
1,263
1,111
855
1200
950
морковь
60
40
18,00
15,00
0,833
0,667
1080
600
720
-
-
-
-
-
-
1935
1800
1670
итого
1. Общий индекс товарооборота
I pq 
pq
p q
1 1
0
0

1800
 0.930
1935
или 93 %
68
Товарооборот в июле снизился на 7% (93-100) по сравнению с июнем.
2. Общий индекс физического объёма товарооборота.
Iq 
p q
p q
0 1
0

0
1670
 0.863
1935
или 86,3 %
Это значит, что количество проданного товара в июле было меньше на
13,7% ,чем в июне.
3. Общий индекс цен
Ip 
pq
p q
1 1
0 1

1800
 1.078
1670
или 107,8 %
т.е. цены на оба товара в среднем выросли на 7,8%
4. Снижение товарооборота в целом
pq   p1q1   p0 q0  1800  1935  135тыс. руб.
Данное снижение обусловлено изменением двух факторов.
а) прирост за счёт изменения цен составил:
pq p    p1q1   p0 q1  1800  1670  130тыс. руб.
б) снижение за счёт изменения количества проданных товаров:
pqq    p0 q1   p0 q0  1670  1935  265тыс. руб.
Между исчисленными индексами существует взаимосвязь:
I pq  I p  I q  0.863  1.078  0.930
Пример 2. Имеются следующие данные о продаже товаров в магазине
города:
69
Продано в
предыдущем
периоде, тыс. руб.
Изменение количества проданных товаров в
отчетном периоде по сравнению с
предыдущем, %
1 видеотехника
300
+10
2 бытовая техника
327
+12
Товарная группа
Определите индекс физического объема товарооборота.
Решение:
Индекс физического объёма товарооборота определяется как средний
арифметический:
Iq 
i p q
p q
q
0
0
где iq 
0
,
0
q1
- индивидуальный индекс физического объёма
q0
Индивидуальные индексы количества по товарным группам составят:
i1 
100  10
 1.1
100
i2 
100  12
 1.12
100
Подставляем значения в формулу и получаем индекс физического
объёма товарооборота
Iq 
i p q
p q
q
0 0
0 0

1,1 300  1,12  327 696

 1,110 или 111,0 %
300  327
627
Следовательно, количество проданных товаров увеличилось на 11%,
что в денежном выражении составило 69 тыс. руб. (696 - 627).
Если, например, известно, что цены на эти товары снизились на 5%, то
можно определить, как изменился общий товарооборот:
I pq  I p  I q  1.11  0.95  1.045 или 104,5 %,
70
т.е. товарооборот по этим товарам увеличился на 4,5 %.
Пример 3. По имеющимся данным о продаже товаров в торговых
предприятиях района определите:
1. Изменение цен на проданные товары (индекс цен)
2. Общий индекс товарооборота
3. Общий индекс физического товарооборота
Товарооборот в действующих
ценах, тыс. руб.
Товар
Изменение средних цен во 2
квартале по сравнению с 1
кварталом, %
1 квартал
2 квартал
Обувь
60
80
+12
Трикотаж
24
30
+5
Кожгалантерея
32
45
+2
Решение:
1. Общий индекс цен исчислим в форме среднего гармонического
индекса:
Ip 
pq
pq
 i
1 1
1 1
p
Здесь i p 
Для
p1
- индивидуальный индекс цен.
p0
вычисления
этого
индекса
определим
предварительно
индивидуальные индексы цен:
Для обуви
100+12= 112 % или 1,12 в коэффициентах,
Для трикотажа
100+5= 105 % или 1,05
Для кожгалантереи
(100+2):100 = 1,02
71
Следовательно:
Ip 
pq
pq
 i

1 1
1 1
p
80  30  45
155

 1,076или107,6%
80
30
45 144


1,12 1,05 1,02
т.е. цены в среднем увеличились на 7,6 %. Сумма перерасхода,
полученная
населением от повышения цен, составила 155 – 144 = 11тыс.
руб.
2.Общий индекс товарооборота:
I pq 
p q
p q
1 1
0

0
80  30  45 155

 1,336или133,6%
60  24  32 116
Товарооборот во втором квартале вырос по сравнению с 1 кварталом на
33,6 % или на 39 тыс. руб. (155-116)
3. Общий индекс физического товарооборота:

Iq 
p1 q1
ip
p q
0
0

144
 1.241или124,1%
116
Следовательно, количество проданных товаров увеличилось на
24,1%,что составляет 28 тыс. руб. (144-116).
Практическая часть.
Вариант 1. Имеются данные о ценах и количестве проданных товаров:
Вид товара
Цена за единицу, руб.
Реализовано, тысяч единиц
Предыдущий
период
Отчетный
период
Предыдущий
период
Отчетный
период
Мясо, кг.
90,0
120,0
600
500
Молоко, л.
8,30
9,50
800
900
72
Определите общие индексы цен; физического объёма и индекс
товарооборота. Сделайте выводы и покажите взаимосвязь индексов.
Вариант 2. Себестоимость и объем продукции завода характеризуются
следующими данными:
Изделие
Себестоимость единицы изделия, тыс. руб.
Выработано продукции, тыс. руб.
январь
февраль
январь
Февраль
1
25
20
80
90
2
10
8
150
200
Определите:
1. Общий индекс затрат на все изделия;
2. Общий индекс себестоимости единицы изделия;
3. Общий индекс физического объёма продукции.
Сделайте выводы и покажите взаимосвязь индексов.
Вариант 3. Известны следующие данные по фарфорофаянсовому заводу:
Вид
изделия
Предыдущий год
Отчетный год
Затраты труда на
единицу изделия
(чел. час.)
Произведено
продукции, (шт.)
Затраты труда на
единицу изделия,
(чел. час.)
Произведено
продукции, (шт.)
Сервизы
5,0
2200
5,5
2000
Вазы
3,0
1000
2,8
1300
Определите:
1. Общий индекс трудоёмкости изделия;
2. Общий индекс физического объёма продукции;
3. Общий индекс затрат на всю продукцию;
4. Абсолютное изменение общих затрат труда - всего и в том числе за
счёт изменений в трудоёмкости изделий и объёма производства.
73
Сделайте выводы об изменениях в работе завода в отчётном периоде по
сравнению с предыдущим периодом.
Вариант 4. Реализация товаров в магазине характеризуется следующими
данными:
Вид
товара
Предыдущий период
Отчетный период
Количество,
шт.
Цена за единицу,
руб.
Количество,
шт.
Цена за единицу,
руб.
Утюги
60
700,0
70
1000,0
Кастрюли
90
550,0
100
500,0
Замки
30
60,0
30
75,0
Определите:
1. Общий индекс цен;
2. Общий индекс физического объёма проданных товаров;
3. Общий индекс товарооборота.
Покажите взаимосвязь между вычисленными индексами. Какую роль в
изменении товарооборота сыграли изменения цен и количества проданных
товаров?
4. Абсолютную величину изменения расходов населения в связи с
изменением цен. Сделайте вывод.
Вариант 5. Имеются следующие данные о производстве мебели на
мебельной фабрике:
Предыдущий
период
Отчетный период
Изменение
себестоимости единицы
продукции в отчетном
периоде по сравнению с
предыдущим, %
Диваны
120,0
118,0
- 8,0
Кресла
83,0
87,0
+ 5,0
Вид продукции
Затраты на производство , млн.руб.
74
столы
15,0
14,0
Без изменения
Определите:
1. Общий индекс себестоимости единицы продукции;
2. Общий индекс затрат на производство продукции;
3. Общий индекс физического объёма произведённой продукции;
4. Абсолютное изменение затрат в отчётном периоде по сравнению с
предыдущим за счёт изменения себестоимости и количества произведённой
продукции.
Покажите взаимосвязь между вычисленными показателями. Сделайте
выводы.
Контрольные вопросы:
1. Что понимают под индексом в статистике?
2. В чем различие индивидуальных и общих индексов?
3. Опишите различия базисных и цепных индексов.
4. Приведите пример агрегатного индекса.
5. Как рассчитывается индекс физического объема продукции?
6. Как рассчитывается индекс производительности труда?
75
Практическая работа № 10 (2 ч)
«Исчисление средних, базисных и цепных индексов»
Цель работы: привить навыки умения студентам:
- исчислять различные виды индексов;
- выявлять взаимосвязи индексов в абсолютном и относительном
выражениях;
Теоретическая часть.
Агрегированные индексы можно заменить другими формами индексов,
если для их расчета недостаточно информации. Например, отсутствуют
данные о ценах в базисном периоде, но имеются индивидуальные индексы
цен и товарооборота отчетного периода.
1. Средний арифметический индекс физического объема продукции:
Так как
iq 
q1
Iq 
q0 , то q1  q0  iq . Таким образом,
 q
 q
 i  q  p 
  q  p 
1
 p0 
0
 p0

q
0
0
0
o
2. Средний гармонический индекс цен:
Так как
ip 
p
p1
p0  1
ip
p0 , следовательно
. Получаем,
Ip 
p
1
 q1 
 p1  q1 


i
p


 
.
3. Средний гармонический индекс себестоимости:
Так как
iz 
z1
z
z0  1
z 0 , то
i z . Получаем,
Iz 
 (z
1
 q1 )
 z1  q1 

 iz 
 
Пример расчетов индексов:
Продукты Базисный период
q0, кг p0, руб./кг.
мясо
100
50
картофель 1000 5
Отчетный период q0*p0
q1, кг p1, руб./кг
80
60
5000
900
6
5000
Итого:
q1*p1
q1*p0
4800
5400
4000
4500
10000 10200 8500
Расчет основных индексов:
I pq 
p
p
1
0
 q1 
 q0 

10200
 1,02 или 102%
10000
76
Товарооборот увеличился на 2%.
Ip 
p
p
1
0
 q1 

 q1 
10200
 1,2 или 120%
8500
Цены выросли на 20%.
Iq 
 q
 q
1
0
 p0 
 p0 

8500
 0.85 или 85%
10000
Физический объем продукции уменьшился на 15%.
Выводы: товарооборот увеличился на 2%, в том числе за счет изменения цен
он вырос на 20%, а за счет изменения объема продаж он упал на 15%.
Индексы структурных сдвигов.
Выявление роли факторов динамики сложных явлений осуществляется
с помощью индексов переменного состава, постоянного состава и
структурных сдвигов.
Индекс переменного состава представляет собой отношение средних уровней
изучаемого явления, относящихся к разным периодам времени или к разным
территориям:
Z P

Z
I z пер.сост.  1
Z0

Z1 
 z  q    z  q 
q
q
1
1
0
1
0
0

По нашему примеру,
Z1 
 z  q    z  q   0.87 (87%)
q
q
.
1
1
1
0
0
0
Когда необходимо узнать, как изменялось явление только за счет
фиксированных величин, без учета структуры, применяют индексы
постоянного (фиксированного) состава:
I z фикс.сост. 
 z
 z
1
0
 q1 
 q1 
77
По нашей задаче, имеем
I z фикс.сост. 
 z
 z
1
0
 q1 
 q1 
 0.907 (90.7%)
Индексы структурных сдвигов показывают, как изменяется средняя
себестоимость только за счет изменения структуры производства:
 z  q    z  q 
q
q
 z  q    z  q   0.97 (97%)
I стр.сдв. 
q
q
В нашей задаче:
I z стр.сдв. 
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
z
1
0
Вывод: средняя себестоимость упала на 13:, в том числе за счет снижения
себестоимости на каждом предприятии он упала на 9,3%, а за счет изменения
структуры производства, т.е. количества выпускаемой продукции, она упала
на 3%.
Iп.сост.  Iф.с.  Iс.сдв.
Экономические индексы цен.
В XIX в. были построены два индекса цен, которые используются в
качестве основных в современной отечественной и зарубежной статистике.
Автором первой формулы является Пааше:
Ip 
p
p
1
0
 q1 
 q1 
Автором второй формулы был Ласпейрес:
Ip 
p
p
1
0
 q0 
 q0 
Эти формулы имеют различное экономическое содержание.
Индекс цен Пааше дает ответ на вопрос, на сколько товары в отчетном
периоде стали дороже, чем в базисном.
Индекс цен Ласпейреса показывает, во сколько раз товары базисного
периода подорожали из-за изменения цен на них в отчетном периоде.
Согласно практике, индекс цен по формуле Пааше имеет тенденцию
некоторого снижения, а индекс цен Ласпейреса – завышение темпов
инфляции.
78
Индекс Пааше используют для расчета индекса дефлятора, а индекс
цен Ласпейреса используют для расчета индекса потребительских цен
(ИПЦ). По нему рассчитывается изменение уровня жизни населения.
Дефлятор – коэффициент, переводящий значение стоимостного показателя за
отчетный период в стоимостные измерители базисного.
Американский экономист Фишер предлагает объединить эти формулы
с помощью средней геометрической:
Ip 
p1  q1 p1  q0

p0  q1 p0  q0
Этот индекс назван идеальным индексом Фишера. Идеальность заключается
в том, что индекс является обратимым во времени, т.е. при перестановке
отчетного и базисного периодов полученный «обратный» индекс – это
обратная величина первоначального индекса. Этому условию отвечает любой
идеальный индекс.
Формула, предложенная Фишером, может быть использована для
определения индекса физического объема:
Iq 
 q
 q
1
0
 p1 
 q
 p   q
1

1
0
 p0 
 p0 
Практическая часть.
Вариант 1.
На основании данных годового отчета чулочной фабрики выпуск продукции
по кварталам 1984г. составил:
Изделие
Чулки
Носки
Произведено продукции, тыс.пар.
кварталы
1
2
3
80
120
82
120
84
110
Сопоставимые цены (за
1 шт. в руб.)
4
90
110
1,5
0,8
Требуется:
79
1. Определить базисные и цепные индекс физического объема всей
продукции по кварталам.
2. Проверить правильность исчисленных показателей, используя взаимосвязь
базисных и цепных индексов.
Вариант 2.
Имеются следующие данные по отделу «Ткани» промтоварного магазина:
Фактический товарооборот, тыс. руб.
Наименование тканей
Фактический товарооборот, тыс. руб.
базисный период
текущий период
Шерсть
195,1
205,0
Шелк
78,2
85,6
Требуется:
1. Вычислить общий индекс физического объема товарооборота, если
известно, что индекс цен на эти товар был равен 96,8%.
2. Сформировать взаимосвязь между индексами.
Вариант 3.
1.Определить индивидуальный и общий индексы физического объема ,
абсолютную сумму отклонения от изменения физического объема
продукции:
Виды продукции
Выпуск продукции (т)
1 кв.
2 кв.
Цена за единицу (руб.)
1 кв.
2 кв.
АН – 2
1280
1300
75
80
РА – 3
1820
1800
30
40
2. Определить общий индекс цены и общий индекс товарооборота.
Вариант 4.
№ завода
Выплавка чугуна (т)
1 квартал
2 квартал
Себестоимость 1 т. чугуна
(руб.)
1 квартал
2 квартал
80
1
2
3
2800
3200
3500
3000
3100
3500
35
51
42
34
52
42
1.Определить индекс себестоимости по 3 заводам вместе.
Определить абсолютную сумму экономии (перерасход) от изменения
себестоимости.
2. Определить общий индекс затрат по выпуску чугуна.
3. Определить общий индекс физического объема.
Контрольные вопросы:
1. Как рассчитывается индекс производительности труда?
2. Что называют системой индексов?
3. Приведите пример взаимосвязанных индексов.
4. Какие индексы используются в денежной и банковской статистике?
5. В чем отличие индексов Ласпейреса и Пааше?
81
Литература:
Основные источники:
1. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики:
Учебник. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2013. – 416 с.
2. Рудакова Р.П., Букин Л.Л., Гаврилов В.И. Статистика. 2-е изд. – СПб.:
Питер, 2007 – 288 с.: ил. 2. Статистика. Учебник / Под ред. В.С.
Мхитаряна. - М.: Экономистъ, 2012. - 671 с.
3. Салин В.Н., Чурилова Э.Ю. Курс теории статистики для подготовки
специалистов финансово-экономического профиля: учебник. – М.:
Финансы и статистика, 20010. – 480 с.: ил.
4. Салина В.Н., Шпаковской Е.П. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 192с.
Дополнительные источники:
1. Статистика: Учебник / под ред. Елисеевой И.И. – М.: Высшее
образование, 2008. – 566 с.
2. Теория статистики: учебник / Шмойлова Р.А., Минашкин В.Г.,
Садовникова Н.А., Шувалова Е.Б.; под ред. Шмойловой Р.А. – 5-е изд.
– М.: Финансы и статистика, 2007. – 656 с.: ил.
3. Экономическая статистика: Учебник. – 3-е изд., перераб. и доп. / Под
ред. проф. Иванова Ю.Н. – М.: ИНФРА-М, 2007. – 736 с.
Периодическая печать:
1. Журнал «Вопросы статистики».
2. Журнал «Статистическое обозрение».
3. Журнал «Экономическое развитие России».
Интернет-ресурсы:
1.Элементарные понятия статистики. [Электронный ресурс]. Режим
доступа: http://www.statsoft.ru/home/textbook/default.htm, свободный. –
Электронный учебник StarSoft.
82
2.Интернет ресурсы по статистике и математике. [Электронный ресурс].
Режим доступа: http://www.kv.by/index2003250601.htm, свободный.–
Газета компьютерные вести.
83