Домашняя контрольная работа по теме «Кривые второго порядка»

Домашняя контрольная работа
по теме «Кривые второго порядка»
для студентов 1 курса очной формы обучения
направления «Машиностроение»
Распределение вариантов
№
ФИО студентов
Номер варианта
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Ващенко Максим
Новокщёнов Александр
Спесивцев Андрей
Ушаков Илья
Филлипов Юрий
Ярец Мария
Плешаков Денис
1
2
3
4
5
6
7
Пояснения:
Задания 1)-4) являются обязательными для решения. Каждое из этих
заданий оценивается в 1 балл.
Задание 5) (задание со *) - это задача повышенного уровня, которая
не является обязательной, но оценивается в 2 балла.
Вариант 1
1) Найти координаты центра окружности
x 2  y 2  6 x  8 y  16  0 . Сделать чертеж.
и
радиус
окружности
2) Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси
абсцисс, симметрично относительно начала координат, если:
а) его полуоси a = 6, b = 4 (построить график);
б) большая полуось a = 12, а эксцентриситет ε = 0,5;
в) большая полуось равна 4 и точка М(2; -2) лежит на эллипсе.
3) Даны фокусы гиперболы F1(—10; 0) и F2(10; 0) и ее асимптота 4х + 3у = 0.
Написать уравнение гиперболы и построить ее.
4) Найти фокальный параметр параболы, фокус, уравнение директрисы,
2
3
длину фокального радиуса точки М 1 ( ;2) и построить параболу у2=6х.
5*) Найти уравнения касательных к гиперболе 9 x 2  8 y 2  72 , проведенных из
точки С(2;0).
Вариант 2
1) Найти координаты центра окружности
x 2  y 2  10 x  4 y  13  0 . Сделать чертеж.
и
радиус
окружности
2)Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси
абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что:
а) его полуоси a = 3, b = 2(построить график);
б) расстояние между фокусами 2c = 10, а большая полуось 2a = 16;
в) расстояние между его директрисами равно 32/3 и эксцентриситет ε=3/4.
3) Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние между
фокусами
, а между вершинами
(построить график).
4) Найти фокальный параметр параболы, фокус, уравнение директрисы,
длину фокального радиуса точки М 1 (10;10) и построить параболу х2=10у.
5*) Найти уравнения касательных к эллипсу x 2  2 y 2  3 , параллельных
прямой x  2 y  1  0 .
Вариант 3
1) Найти координаты центра окружности
x 2  y 2  6 x  10 y  30  0 . Сделать чертеж.
и
радиус
окружности
2)Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси
абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что:
а) его полуоси a = 5, b = 2(построить график);
б) малая полуось b = 8, а эксцентриситет ε = 0,6;
в) сумма полуосей a + b = 12, а расстояние между фокусами 2с  6 2 .
3) Гипербола симметрична относительно осей координат, проходит через
точку
и имеет мнимую полуось
. Написать ее уравнение и
найти расстояния от точки
до фокусов. Сделать чертеж.
4) Найти фокальный параметр параболы, фокус, уравнение директрисы,
длину фокального радиуса точки М 1 (4;4) и построить параболу у2= - 4х.
5*) Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, фокус
которой находится в точке пересечения прямой 5 x  3 y  12  0 с осью
координат Оу.
Вариант 4
1) Найти координаты центра окружности
x 2  y 2  8 x  2 y  8  0 . Сделать чертеж.
и
радиус
окружности
2)Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси
абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что:
а) его полуоси a = 4, b = 2(построить график);
б) расстояние между его фокусами 2c=24 и эксцентриситет ε=12/13;
в) эллипс проходит через точки М 1 (2 3; 6 ) и М 2 (6;0) .
3) Написать уравнение гиперболы, имеющей эксцентриситет
проходящей через точку
координат.
,
и симметричной относительно осей
4) Найти фокальный параметр параболы, фокус, уравнение директрисы,
длину фокального радиуса точки М 1 ( 6 ;3) и построить параболу х2= - 2у.
5*) Найти уравнения касательных к окружности x 2  y 2  5 , параллельных
прямой y  2 x  1.
Вариант 5
1) Найти координаты центра окружности
x 2  y 2  8 x  2 y  16  0 . Сделать чертеж.
и
радиус
окружности
2)Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси
абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что:
а) его полуоси a = 3, b = 2(построить график);
б) его малая ось равна 16, а эксцентриситет ε=3/5;
в) расстояние между его фокусами 2c=6 и расстояние между директрисами
равно 50/3.
3) Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что
полуось
, а эксцентриситет
вещественная
. Сделать чертеж.
4) Найти фокальный параметр параболы, фокус, уравнение директрисы,
длину фокального радиуса точки М 1 (2 5;4) и построить параболу х2= 5у.
5*)Заданы три точки: (1,0), (0,1), (1,2). Найти уравнение окружности,
проходящей через три заданные точки.
Вариант 6
1) Найти координаты центра окружности
x 2  y 2  2 x  4 y  4  0 . Сделать чертеж.
и
радиус
окружности
2)Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси
абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что:
а) его полуоси a = 6, b = 2(построить график);
б) координаты фокусов которого (7;0) и (7;0) , а эксцентриситет равен 0,28.
в) эллипс проходит через точки М 1 (4;
4 5
) и М 2 (0;4) .
3
x
2
3) Уравнения асимптот гиперболы y   , а расстояние между фокусами
2с=10. Найти уравнение гиперболы и построить ее график.
4) Найти фокальный параметр параболы, фокус, уравнение директрисы,
длину фокального радиуса точки М 1 (4; ) и построить параболу у2= - 2х.
5*) Написать уравнение касательных к окружности x 2  y 2  2 x  19  0 ,
проведённых из точки А(1;6).
1)
Найти
координаты
Вариант 7
центра окружности
и
радиус
окружности
x 2  y 2  10 x  6 y  25  0 . Сделать чертеж.
2)Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси
абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что:
а) его полуоси a = 5, b = 1(построить график);
б) эксцентриситет 0,6 и малая ось равна 10;
в) эллипс проходит через точки М 1 (6;4) и М 2 (8;3) .
3) Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси
абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что
расстояние между директрисами равно
32
и ось 2b = 6. Сделать чертеж.
5
4) Найти фокальный параметр параболы, фокус, уравнение директрисы,
длину фокального радиуса точки М 1 (8;4) и построить параболу у2=2х.
5*)Установить, что уравнение y = 4x2 – 8x + 7 определяет параболу (записать
ее каноническое уравнение), найти координаты вершины, величину
параметра р, уравнение директрисы. Сделать чертёж.