Теория матриц - Основные образовательные программы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФИЛИАЛ ТЮМГУ В Г. ТОБОЛЬСКЕ
Естественнонаучный факультет
Кафедра физики, математики и МП
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
____________________ ФИО
«___» __________ 2014 г.
Валицкас А.И.
Учебно-методический комплекс по дисциплине
«ТЕОРИЯ МАТРИЦ»
Код и направление подготовки
05.01.00 “Педагогическое образование”
Профиль подготовки
“Математика и информатика”
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
заочная
Тобольск
2014
Содержание
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины ………………………………………………………..
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы …………………...
1.3. Компетенции обучающегося ………………..……………………………………...
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине …………………..
Структура и трудоёмкость дисциплины …………………………………….................
Содержание дисциплины ………………………………………………………………...
Планы практических занятий …………………………………………………………...
Лабораторный практикум ………………………………………………………………..
Примерная тематика курсовых работ ………………………………………………….
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины …………………………………………………………………….
Контрольные материалы промежуточной аттестации……………………………….
Образовательные технологии ……………………………………………………………
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ………………...
Перечень информационных технологий и справочных систем ………………………..
Материально-техническое обеспечение дисциплины …………………………………
Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины …………...
Приложение: Контрольная работа по теории чисел ОЗО …………..............................
2
3
3
5
6
6
8
8
9
9
9
9
11
12
12
13
14
14
Er
ror
!
Bo
ok
ma
rk
not
def
ine
d.
1. Пояснительная записка
1.1 Цели и задачи дисциплины. Дисциплина “Теория матриц” призвана дополнить и углубить знания студентов, полученные ими при изучении алгебры. Знакомство с линейной алгеброй и началами теории линейных операторов
позволяет изложить многие важные для приложений результаты о разнообразных
нормальных формах матриц.
Изучение
методов теории матриц, безусловно,
необходимо для подготовки квалифицированных специалистов по специальности
05.01.00.62 – “Педагогическое образование”.
Поэтому цель дисциплины “Теория матриц” триедина:
 овладение студентами математическим аппаратом теории матриц, фундаментальными теоретическими положениями этого раздела линейной
алгебры;
 воспитание и развитие их математической культуры;
 осознание ими прикладного характера математики в целом и линейной
алгебры в частности.
Вместе с тем, изучение теории матриц преследует и следующие цели:
 обеспечение понятийной базы для других предметов, использующих
матрицы в качестве математического аппарата, и дальнейшего самостоятельного изучения;
 владение системой основных математических структур и аксиоматическим методом;
 освоение методологии построения математических моделей;
 пополнение запаса стандартных алгоритмов для решения некоторых типовых задач теоретико-числовыми методами;
 сопровождение теоретического материала широким спектром разнообразных задач и упражнений для самостоятельного решения, позволяющим более глубоко прочувствовать теоретические положения дисциплины и развить у студентов навыки самостоятельной работы;
3
 знание основных этапов истории математики и получение представлений о современных тенденциях её развития.
Дисциплина “Теория матриц” должна решать следующие задачи:
 вооружать студентов фундаментальными теоретическими знаниями по
матричным методам;
 давать достаточный терминологический и понятийный запас, необходимый для самостоятельного изучения специальной литературы;
 предлагать строгие формальные доказательства основных результатов,
развивая культуру мышления студентов;
 демонстрировать наглядность большинства идей излагаемой теории,
открывающую дорогу многим приложениям;
 учить навыкам формулировки разнообразных теоретических и практических задач на языке матриц;
 демонстрировать применение матричных методов для решения разнообразных практических задач;
 пополнить алгоритмический запас студентов, позволяющий им решать
типовые задачи;
 обеспечить разнообразный материал для самостоятельной работы.
В результате изучения дисциплины “Теория матриц” у студентов формируются навыки в следующих основных видах деятельности, предусмотренные
стандартом высшего профессионального образования:
 научно-исследовательская и научно-изыскательская:
применение основных понятий, идей, и методов дисциплины для решения базовых задач;
решение математических проблем, соответствующих квалификации,
возникающих при проведении научных и прикладных исследований;
подготовка обзоров, аннотаций, составление рефератов и библиографии по тематике проводимых исследований.
 производственно-технологическая:
4
использование математических методов обработки информации, полученной в результате экспериментальных исследований или производственной деятельности;
применение численных методов решения базовых математических задач и классических задач естествознания в практической деятельности;
сбор и обработка данных с использованием современных методов
анализа информации и вычислительной техники.
 организационно-управленческая:
создание эффективных систем внедрения в практику результатов
научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ.

преподавательская:
преподавание физико-математических дисциплин и информатики в
образовательных и средних образовательных учреждениях при специализированной переподготовке.
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы. Дисциплина “Теория матриц” относится к дисциплинам по выбору вариативной части учебного цикла дисциплин Федерального государственного образовательного
стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлению “Педагогическое образование”.
Изучение дисциплины предполагает знакомство с общим курсом линейной
алгебры.
Содержание дисциплины “Теория матриц” тесно связано с другими курсами, предусмотренными учебным планом по специальности 05.01.00.62:
5
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с
обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
1.
2.
3.
4.
Наименование обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
Модуль 1
Алгебра многочленов
Линейная алгебра
Аналитическая геометрия
Теория игр и методы
принятия решений
Модуль 2
Модуль 3
+
Модуль 4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
При этом изучение теории матриц должно не только создать базу для изучения вышеперечисленных предметов и решения прикладных задач, но обеспечить, в первую очередь, понимание фундаментального характера изучаемой теории.
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
данной образовательной программы. В совокупности с другими дисциплинами
базовой части математического цикла ФГОС ВПО дисциплина “Теория матриц” обеспечивает инструментарий формирования следующих компетенций бакалавра направления “Математика”.
• осознает социальную значимость своей будущей профессии, обладает мотивацией к осуществлению профессиональной деятельности (ОПК-1);
• способен нести ответственность за результаты своей профессиональной деятельности (ОПК-4).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине: Студент, изучивший дисциплину, должен
ЗНАТЬ
• основные виды матриц;
• связь между элементарными преобразованиями строк матрицы и умножением
матрицы на элементарные матрицы;
• определение ранга матрицы и его простейшие свойства;
6
• теорему Гамильтона-Кэли;
• специфику линейности в структуре решений общего линейного матричного
уравнения;
• определение жордановой формы матрицы.
УМЕТЬ
• выполнять элементарные преобразования строк и приводить матрицу к каноническим ступенчатым видам;
• выполнять L-U разложение матриц;
• находить скелетное разложение матрицы;
• находить собственные числа и собственные векторы матриц;
• приводить ортогональную матрицу к каноническому виду;
• находить общие решения простейших одночленных и двучленных уравнений;
• пользоваться критерием диагонализируемости матрицы;
• находить канонический вид идемпотентной матрицы;
• приводить матрицу к жордановой форме геометрическим методом;
• приводить матрицу к жордановой форме алгебраическим методом;
• находить общие решения матричных уравнений AX – XB = C и AX – XA = C;
• вычислять простейшие функции от матриц.
ВЛАДЕТЬ
• методами решения рассмотренных при изучении дисциплины задач;
• навыками применения современного математического инструментария для решения задач математики и информатики;
• методикой построения, анализа и применения математических моделей для
прикладных задач математики и информатики.
7
2. Структура и трудоёмкость дисциплины
Курс: II . Форма промежуточной аттестации: зачёт на II курсе. Общая
трудоёмкость дисциплины составляет 3 зачётных единиц, 108 академических
часов, из них 14 часов аудиторных занятий, 90 часов самостоятельной работы
студентов.
Таблица 2.
Вид учебной работы
Аудиторные занятия
В том числе:
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа
Общая трудоемкость
3
зач. ед. 108 час
Вид промежуточной аттестации
Всего
часов
14
–
6
8
90
3
108
Семестры
III
14
–
6
8
90
3
108
зачёт
3. Содержание дисциплины
Модуль I: Знакомство с матрицами
Виды матриц. Канонические ступенчатые виды матриц. Элементарные преобразования строк и
столбцов. Скелетное и L-U разложения матриц. Ранг матрицы и его свойства. Инвариантные
подпространства. Спектральная задача для квадратных матриц. Характеристическое уравнение матрицы и её минимальный многочлен. Теорема Гамильтона-Кэли. Спектры нильпотентных, идемпотентных, ортогональных и симметричных матриц. Спектр матричного полинома.
Подобные матрицы. Приведение ортогональных матриц к каноническому виду.
Модуль II: Простейшие линейные матричные уравнения
Общее линейное уравнение A1X1B1 + … + AkXkBk = C, структура решений. Кронекерово
произведение матриц. Анализ двучленного уравнения AX + YB = C. Диагонализируемые и
идемпотентные матрицы.
Модуль III: Жорданова форма матрицы
Вспомогательные сведения из линейной алгебры. Корневые подпространства, жордановы
клетки и циклические подпространства. Приведение матрицы к жордановому виду (геометрический подход). Деление матричных многочленов. Инвариантные множители и элементарные
делители матриц (обзор результатов). Приведение матрицы к жордановому виду (алгебраический подход).
Модуль VI: Применение жордановой формы к решению
некоторых матричных уравнений
Анализ уравнений AX – XB = C и AX–XA = C. Уравнения Xn = I и Xn = С. Функции от
матриц. Нормы матриц. Сходимость матричных степенных рядов. Решение некоторых матричных уравнений с помощью рядов. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью жордановой формы матриц.
8
4. Планы практических занятий
Таблица 3.
№
занятия
Модуль
1
I–II
2-3
III
4
IV
План практического занятия
Теорема Гамильтона-Кэли. Спектры нильпотентных, идемпотентных,
ортогональных и симметричных матриц. Спектр матричного полинома.
Подобные матрицы. Общее линейное уравнение
A1X1B1 + … + AkXkBk = C,
структура решений.Уравнение AXB = C. Уравнение AX + YB = C.
Диагонализируемые и идемпотентные матрицы.
Построение циклических базисов корневых подпространств. Деление
матричных многочленов. Инвариантные множители и элементарные
делители матриц (обзор результатов). Приведение матрицы к жордановому виду (алгебраический подход).
Анализ уравнений AX – XB = C и AX–XA = C. Уравнения Xn = I и
Xn = С. Функции от матриц. Уравнения AX – XB = C ,
AX – XА = C и Xn = C.
5. Лабораторный практикум
Лабораторный практикум по дисциплине не предусмотрен.
6. Примерная тематика курсовых работ
Курсовые работы по дисциплине не предусмотрены.
7. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
по итогам освоения дисциплины
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ
РАЗДЕЛ I. Знакомство с матрицами
1.
2.
3.
4.
Тема: Теорема Гамильтона-Кэли.
Что такое характеристический многочлен матрицы ?
Убедитесь непосредственно, что матрицы первого, второго и третьего порядков являются корнями своих характеристических многочленов.
Может ли матрица быть обратимой, если свободный член характеристического многочлена нулевой ?
Сформулируйте теорему Гамильтона-Кэли.
9
РАЗДЕЛ II. Простейшие линейные матричные уравнения
1.
2.
3.
4.
5.
Тема: Кронекерово произведение матриц.
Что такое кронекерово произведение матриц ?
Если A  M(m, n, F), B  M(p, q, F), то какого размера будет кронекерово
произведение A  B ?
Приведите пример вычисления кронекерова произведения двух конкретных
матриц.
Как связан определитель кронекерова произведения двух квадратных матриц с их определителями ?
Какова связь кронекерова произведения A  B двух матриц с уравнением
AXB = C ?
РАЗДЕЛ III. Жорданова форма матрицы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
1.
2.
3.
4.
Тема: Деление матричных многочленов.
Что такое матричный многочлен ?
Какие матрицы можно подставлять в матричный многочлен вместо его переменной ?
Всегда ли возможно деление двух матричных многочленов ?
Приведите пример деления двух матричных многочленов ?
На какие двучлены можно делить любой матричный многочлен ?
Всегда ли левое частное совпадает с правым частным ?
Всегда ли левый остаток совпадает с правым ?
Тема: Инвариантные множители и элементарные делители.
Что такое -матрица ?
Что называется каноническим видом -матрицы ?
Что такое матричный элементарный делитель -матрицы ?
Как привести -матрицу к каноническому виду ?
Приведите конкретную -матрицу к каноническому виду.
Что такое инвариантные множители ?
Как связаны инвариантные множители с минорами -матрицы ?
Как связаны инвариантные множители с элементарными делителями
матрицы ?
-
Тема: Алгебраический метод приведения к жордановой форме.
Что такое жорданова клетка ?
Дайте определение жордановой формы матрицы.
Опишите алгоритм алгебраического приведения матрицы к жордановой
форме.
Как находится сопрягающая матрица при алгебраическом подходе к нахождению жордановой формы ?
10
5. Приведите конкретную матрицу к жордановой форме с помощью
матриц.
-
Тема: Решение нормальных систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
1. Что такое нормальная система линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами ?
2. Опишите общий метод решения нормальных систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
3. Как решается нормальная система, матрица которой является клеткой
Жордана ?
4. Решите конкретную систему вида X  J  X , где J – клетка Жордана.
5. Решите конкретную систему общего вида.
8. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности
характеризующих этапы формирования компетенций
Зачёт по дисциплине проверяет умение решать стандартные задачи.
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЗАЧЁТУ
1. Матрицы над полем. Основные алгебраические операции над матрицами:
сложение, умножение на скаляр, умножение, транспонирование. Их основные
свойства. Примеры.
2. Ранг матрицы: различные определения и свойства ранга. Примеры.
3. Матрицы и линейные операторы: матрица линейного оператора, построение
линейного оператора с заданной матрицей. Алгебра линейных операторов и
её изоморфизм алгебре матриц. Примеры.
4. Теорема о сумме рангов двух аннулирующих друг друга матриц: если AB =
0, то rg(A) + rg(B)  k, где k – количество столбцов в A. Примеры.
5. Элементарные матрицы и их основные свойства. Связь элементарных матриц
с элементарными преобразованиями строк и столбцов матрицы. Примеры.
6. Элементарные матрицы. Теорема о каноническом по строкам и столбцам виде матрицы. Примеры.
7. Линейные матричные уравнения. Решение матричного уравнения. Теорема о
структуре решений линейного матричного уравнения. Примеры.
8. Теорема о решениях матричного уравнения AXB = C. Примеры.
9. Теорема о решениях матричного уравнения AX – YB = C. Примеры.
10. Характеристический многочлен квадратной матрицы. Теорема ГамильтонаКэли.
11. Минимальный многочлен квадратной матрицы. Его основные свойства.
Примеры.
11
12. Сумма и прямая сумма подпространств векторного пространства. Критерии
прямой суммы подпространств. Примеры.
13. Инвариантные подпространства линейного оператора. Примеры. Теорема о
полураспавшемся виде матрицы линейного оператора. Примеры.
14. Прямые суммы инвариантных подпространств. Теорема о полураспавшемся
виде матрицы линейного оператора. Примеры.
15. Жорданова клетка. Теорема о жордановых клетках (характеристический и
минимальный многочлены, инвариантные подпространства, неразложимость).
16. Корневые подпространства линейного оператора. Разложение векторного
пространства в прямую сумму инвариантных подпространств. Примеры.
17. Циклические подпространства. Разложение корневых подпространств в прямые суммы циклических. Алгоритм нахождения циклических базисов. Примеры.
18. Жорданова форма матрицы. Теорема о существовании и единственности
жордановой формы. Примеры.
19. Применения жордановой формы: матрицы нильпотентные, идемпотентные,
диагонализируемые. Примеры.
20. Применения жордановой формы: решение матричных уравнений
AX –
XB = C и AX – XA = C. Примеры.
9. Образовательные технологии
Используются:
а) аудиторная работа:
 информационные лекции,
 проблемные лекции,
 активные и интерактивные формы занятий.
б) внеаудиторная работа
 домашние контрольные и самостоятельные работы,
 внеаудиторные индивидуальные консультации.
10. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1.
2.
3.
4.
Винберг. Э.Б. Курс алгебры. – М.: Факториал, 2001.
Гантмахер Ф.Г. Теория матриц. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
Кострикин А.И. Введение в алгебру (в 3-х ТТ.). – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000.
Сборник задач по алгебре / Под ред. А.И. Кострикина. – М.: ФИЗМАТЛИТ,
2001.
12
5.
6.
7.
8.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – СПб.: Издательство “Лань”, 2005.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Лаборатория
Базовых Знаний, 2001.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. – СПб.: Издательство “Лань”, 2002.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
б) дополнительная литература:
Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. – М.: Наука, 1984.
Ланкастер П. Теория матриц – М.: Наука, 1978.
Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1970.
Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1977.
Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. –
М.: Физматгиз, 1960.
14. Хорн Р., Джонсон И. Матричный анализ. – М.: Наука, 1989.
9.
10.
11.
12.
13.
в) периодические издания:
г) мультимедийные средства:
д) Интернет-ресурсы:
1.
Матрица // Википедия: свободная энциклопедия. – Электрон. дан. – Режим
доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Матрица_(математика)
11. Перечень информационных технологий, используемых при
осуществлении образовательного процесса по дисциплине, включая перечень программного обеспечения и информационных справочных
систем (при необходимости)
При выполнении практических работ в качестве информационных технологий может использоваться следующее программное обеспечение:
 Microsoft Word.
 Microsoft Excel.
 Microsoft PowerPoint.
13
12. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Компьютерный класс, оснащённый средствами мультимедиа и компьютерами:
микропроцессор не ниже Pentium IV, объём ПЗУ не меньше 2-3 ГБ, объем ОЗУ
не меньше 512 МБ, операционная система Windows XP / 7 с текстовым редактором Word – 2003 и средами программирования TurboPascal или Delphi.
13. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
Дисциплина по выбору “Теория матриц” призвана развивать математическую
культуру, вооружать студентов фундаментальными понятиями, алгоритмами и
методами, позволяющими в будущем овладеть самостоятельно дополнительными
знаниями, необходимыми в их дальнейшей работе.
Центральное место в курсе занимает изучение нормальной жордановой формы матрицы. Конечно, не обязательно овладеть разными способами приведения
матрицы к этому каноническому виду. Однако, для специалиста высокой математической культуры необходимо иметь представление, как о геометрическом, так
и об алгебраическом способах, основанных на совершенно разных, но плодотворных идеях, знакомство с которыми полезно и при решении других задач.
Желательно там, где возможно, вести изложение на инвариантном операторном языке. Это создаёт удобства не только в обозначениях, но помогает глубже
осознать алгебраическую суть рассуждений.
Предполагается широко использовать в обучении нестандартные задачи и
упражнения, богатый запас которых имеется на кафедре физики, математики и
МП.
Зачёт по дисциплине проверяет умение решать стандартные задачи.
14
Приложение I
Примерные контрольные задания по дисциплине
 1 2 2
1. Решите уравнения АX = 0, YA = 0, где А =  1 4 3  .
0 2 1


1
 1 2 2
2. Найдите  1 1 0  .


0 2 1
3. Докажите, что обратимая матрица – не делитель нуля.
2
4. Решите уравнение AXB = C , AX – YB = C, где A   1

1
 2
5. Исследуйте на диагонализируемость A    6

 0
2
6. Решите уравнение AX = B , XA = B, где A  
1
15
1  2
1 1 ,

0  3
 1
B 2

 3
 1  2

3 4 .

0
5 
1
,
1
1
B  
 2
1

0
.
1
0 ,

1
 6
C 4

  10
0 
2 

 2