Основная формула теории упругого режима фильтрации

Т6 - Основная формула теории упругого режима фильтрации.
Интерференция скважин в условиях упругого режима. Исследование
скважин на неустановившемся режиме фильтрации, определение
коллекторских свойств пласта. Скин-фактор.
Основная формула теории упругого режима
Имея дело с горизонтальным упругим пластом большой
протяженности и единственной скважиной, движение жидкости можно
моделировать как плоскорадиальное, а скважину считать точечным стоком
(источником) с Rс=0.
Давление в любой точке упругого пласта будет функцией двух
переменных – расстояния r от этой точки до стока (источника) и времени t:
Р  Pr , t  .
Пусть скважина вскрывает неограниченный упругий пласт в некоторый
начальный момент времени t=0 и действует непрерывно с постоянным
дебитом Q. Распределение давления в пласте определяется интегрированием
уравнения (7.6.12), которое для плоскорадиального движения запишется в
виде:
  2 P 1 P 
P
.
 

 r 2 r r 
t


Зададим начальные и граничные условия:
начальное условие -
Pr , t   Рк при t=0;
условие на внутренней границе -
Q
условие на внешней границе -
2Kh  P 
;
 
  r  r 0
Pr , t   Рк при r= .
Точное решение этой задачи при Rc=0 дается формулой:
 r 2 
Q 

Pk  Pr , t  
 E i  


4Kh 
 4 t 

- основная формула теории упругого
режима фильтрации
(7.6.18)
- интегральная показательная функция,
значения которой имеются в таблицах.
 r 2   e u

 Ei  
 u du
 4 t 

 r2
4 t
2 
 r2 

  1 функцию  E   r 
Прии малых значениях аргумента 
i
 4 t 



 4 t 
можно приближенно заменить формулой:
 r2 
  ln 4 t  0,5772 ,тогда
 Ei  
 4 t 
r2


Pk  Pr , t  

Q  4 t
 ln
 0,5772  .
4Kh  r 2

Расход жидкости Q’ через любую цилиндрическую поверхность
радиуса r (т.е. в любом сечении пласта) и скорость фильтрации
соответственно определяются по формулам:
Q r , t  
K P
2rh  Qe
 r
V
Q
e
2rh

r2
4 t ,
r2

4 t .
Из последней формулы следует, что стационарная скорость V 
Q
2rh
достигается очень быстро на небольших расстояниях от скважины.
Пьезометрические кривые для бесконечного пласта, эксплуатируемого
скважиной с постоянным дебитом Q, имеют вид логарифмических линий:
P
t1
t2
t3
r
0
Углы касательных на забое скважины одинаковы для всех кривых.
7.6.6. Интерференция скважин в условиях упругого режима
При совместной работе в пласте нескольких добывающих и
нагнетательных скважин изменения давления, вызванные работой каждой
скважины, алгебраически суммируются по принципу суперпозиции.
Скорости фильтрации в любой точке пласта суммируются геометрически.
Для расчета изменения пластового давления используется основная
формула упругого режима. Хотя эта формула выведена для точечного стока в
бесконечном пласте, В.Н.Щелкачев показал, что ею можно с высокой
степенью точности пользоваться и в расчетах притока упругой жидкости к
скважине конечного радиуса в открытом или закрытом конечном пласте.
n Qj 

 r 2 
j 
PM  Pk  Pr , t   
 E i  
 

4

Kh
4

t

j 1




 r 2 
 n
j 

Q j  E i  
,

4Kh j 1 
 4 t 



(7.6.19)
где PM  Рк  P - изменение давления в произвольной точке пласта M; n –
число скважин; Qj – дебит j-ой скважины, причем Qj>0, если скважина
добывающая, и Qj<0, если скважина нагнетательная; rj – расстояние от
центра j-ой скважины до точки М.
Если скважины начали работать в разное время, то формула (7.6.19)
будет иметь вид:

 r2
 n
j
PM  Pk  Pr , t  
Q j  Ei  

4Kh j 1 
 4 t j



 ,


где tj – время, прошедшее с начала работы j-ой скважины.
7.6.8. Определение коллекторских свойств пласта по данным
исследования скважин на неустановившемся режиме
Гидродинамические методы исследования пластов и скважин,
связанные с замерами пластовых и забойных давлений, называются
пьезометрическими. Различают две группы пьезометрических методов – при
установившихся и неустановившихся режимах.
Методы исследования скважин на неустановившемся режиме тесно
связаны с теорией упругого режима, так как после пуска или остановки
скважины на ее забое и в пласте возникают длительные процессы
перераспределения давления.
Чаще всего при гидродинамическом исследовании измеряют
восстановление забойного давления после остановки скважины, ранее
продолжительное время работавшей с постоянным дебитом. Давление
измеряют с помощью скважинных глубинных манометров и строят график
изменения давления с течением времени – кривую восстановления давления
(КВД).
С помощью основной формулы теории упругого режима можно
получить следующую функциональную зависимость между изменением
забойного давления Рс и временм t:
 r 2  Q  4 t
 Q  4 t

Q 
c 





Pс 
 Ei 

ln
 0,5772 
ln
 ln 1,781  
 4 t  4Kh  r 2
 4Kh  r 2

4Kh 
c
c







Q
2,25 t
7.6.22 

 2,3  lg
,
2
4Kh
rc
где rc - приведенный радиус скважины.
Перепишем формулу (7.6.22) в виде:
Pс 
2,3Q
2,3Q 2,25 
lg t 
lg
4Kh
4Kh
rc2
или
Pс  A lg t  B .
Это – уравнение прямой линии. Здесь А – угловой коэффициент прямой
в координатах Р(lgt):
A  tg 
2,3Q
,
4Kh
(7.6.23)
В – отрезок, отсекаемый на оси Р асимптотой при lgt=0:
В
2,3Q 2,25 
lg
4Kh
rc2
.
(7.6.24)
Обработка КВД и определение по ним коллекторских свойств пласта
проводятся следующим образом. Снятую манометром КВД после остановки
скважины перестраивают в полулогарифмических координатах - Р(lgt). На
фактических КВД обычно четко выделяются два прямолинейных участка,
первый из которых (1) характеризует призабойную зону, а второй (2) –
удаленную зону пласта.
Изменение
проницаемости
в
призабойной
зоне
пласта,
обусловливающее форму начального участка КВД, в зарубежной литературе
именуется «скин-эффектом».
Рс
2
2
1
В2
0
1
lgtп
В1
Рс
lgt
Каждый участок КВД обрабатывается отдельно и дифференцированно
определяются параметры призабойной и удаленной зон пласта. Находятся
отрезки, отсекаемые продолжениями прямолинейных участков на оси Рс (В1
и В2), и тангенсы углов наклона прямых к оси абсцисс (А1 и А2). При этом
важно помнить, что
A  tg 
Р2  Р1
lg t 2  lg t1
.
Kh
Затем с помощью равенства (7.6.23) определяется параметр  

,
называемый гидропроводностью пласта:
для призабойной зоны
K h 2,3Q
1  1 
;

4A1
для удаленной зоны
2 
K 2h


2,3Q
4A2
.
Затем находят проницаемость и пьезопроводность:
для призабойной зоны
 
K1  1 ;
h
для удаленной зоны
 
K2  2
h
При необходимости из
приведенный радиус скважины:
1 
;
уравнения
rc 
2,25  1
10
B1
A1
2 
(7.6.24)
.
K1
 m ж   с 
K2
 m ж   с 
можно
;
.
определить