Риск менеджмент в страховании

Министерство образования и науки Российской Федерации
ГОУ ВПО «Волжский государственный инженерно-педагогический
университет»
В.А. Лаврентьев
РИСК-МЕНЕДЖМЕНТ В СТРАХОВАНИИ
Учебно-методическое пособие
Нижний Новгород
2011
ББК 65.271
Л 13
Рецензенты:
Удалов Ф.Е. – доктор экономических наук, профессор
Аспидов А.И. – доктор технических наук, профессор
Лаврентьев В.А. Риск-менеджмент в страховании: Учебно-методическое
пособие. - Нижний Новгород: ВГИПУ, 2011. – 90 с.
ISBN
Пособие содержит краткое теоретическое изложение и практическое
применение методов определения количественных характеристик рисковых
ситуаций в страховании.
Подробно рассмотрен математический аппарат анализа рисковых
ситуаций (распределение числа выплат и потерь по страховому портфелю,
общие принципы моделирования рисков, индивидуальная и коллективная
модели рисков). Приведены актуальные темы и реальные расчётные
ситуации из практики страхования.
Пособие предназначено студенческому контингенту и професорскопреподовательскому составу для использования в учебном процессе по
специализации менеджмент в страховании.
ББК 65.271
ISBN
© Лаврентьев В.А., 2011
© ВГИПУ, 2011
2
Содержание
Глава 1. Сущность и основные понятия риск-менеджмента .............................. 4
1.1. Риск-менеджмент и его роль в минимизации потерь при реализации
рисковых ситуаций .............................................................................................. 4
1.2. Теоретические подходы к управлению рисками .................................. 9
Глава 2. Краткий обзор математических методов анализа рисковых ситуаций
................................................................................................................................. 23
2.1. Основные обозначения и определения ................................................ 23
2.2. Распределение числа выплат и потерь по страховому портфелю ... 31
2.3. Модель индивидуального и коллективного рисков ........................... 50
Глава 3. Расчёт тарифных ставок. Различные задачи о разорении .................. 70
3.1. Общие принципы определения премий ............................................... 70
3.2. Определение вероятности выполнения компанией своих
обязательств по портфелю ................................................................................ 76
Заключение ............................................................................................................ 82
Литература ............................................................................................................. 89
3
Глава 1. Сущность и основные понятия риск-менеджмента
1.1. Риск-менеджмент и его роль в минимизации потерь при реализации
рисковых ситуаций
В основе риск-менеджмента лежит целенаправленный поиск и
организация работы по снижению степени риска, искусство получения и
увеличения дохода (выигрыша, прибыли) в неопределенной хозяйственной
ситуации.
Конечная цель риск-менеджмента соответствует целевой функции
предпринимательства. Она заключается в получении наибольшей прибыли
при оптимальном, приемлемом для предпринимателя соотношении прибыли
и риска.
Риск-менеджмент представляет собой систему управления риском и
экономическими, точнее, финансовыми отношениями, возникающими в
процессе этого управления. Риск-менеджмент включает в себя стратегию и
тактику управления.
Под стратегией управления понимаются направление и способ
использования средств для достижения поставленной цели. Этому способу
соответствует определенный набор правил и ограничений для принятия
решения. Стратегия позволяет сконцентрировать усилия на вариантах
решения, не противоречащих принятой стратегии, отбросив все другие
варианты. После достижения поставленной цели стратегия как направление и
средство ее достижения прекращает свое существование. Новые цели ставят
задачу разработки новой стратегии.
Тактика - это конкретные методы и приемы для достижения
поставленной цели в конкретных условиях. Задачей тактики управления
является выбор оптимального решения и наиболее приемлемых в данной
хозяйственной ситуации методов и приемов управления.
4
Риск-менеджмент как система управления состоит из двух подсистем:
управляемой подсистемы (объекта управления) и управляющей подсистемы
(субъекта управления).
Схематично это можно представить следующим образом:
Объектом управления в риск-менеджменте являются риск, рисковые
вложения капитала и экономические отношения между хозяйствующими
субъектами
в
процессе
реализации
риска.
К
этим
экономическим
отношениям относятся отношения между страхователем и страховщиком,
заемщиком
и
кредитором,
между
предпринимателями
(партнерами,
конкурентами) и т.п.
Субъект управления в риск-менеджменте - это специальная группа
людей (финансовый менеджер, специалист по страхованию, аквизитор,
актуарий, андеррайтер и др.), которая посредством различных приемов и
способов управленческого воздействия осуществляет целенаправленное
функционирование объекта управления.
Процесс воздействия субъекта на объект управления, т.е. сам процесс
управления, может осуществляться только при условии циркулирования
определенной
информации
между
управляющей
и
управляемой
подсистемами. Процесс управления независимо от его конкретного
содержания всегда предполагает получение, передачу, переработку и
использование информации. В риск-менеджменте получение надежной и
достаточной в данных условиях информации играет главную роль, так как
оно позволяет принять конкретное решение по действиям в условиях риска.
Информационное обеспечение функционирования риск-менеджмента
состоит из разного рода и вида информации: статистической, экономической,
коммерческой, финансовой и т.п.
Эта информация включает осведомленность о вероятности того или
иного страхового случая, страхового события, наличии и величине спроса на
5
товары, на капитал, финансовой устойчивости и платежеспособности своих
клиентов, партнеров, конкурентов, ценах, курсах и тарифах, в том числе на
услуги страховщиков, об условиях страхования, о дивидендах и процентах и
т.п.
Любое решение основывается на информации. Важное значение имеет
качество
информации.
Чем
более
расплывчата
информация,
тем
неопределеннее решение. Качество информации должно оцениваться при ее
получении, а не при передаче. Информация стареет быстро, поэтому ее
следует использовать оперативно.
Как указывалось выше, сущность риск-менеджмента заключается как в
управлении риском, так и в формировании оптимальных финансовых
отношений, возникающих в процессе этого управления. Отсюда возникает
многопрофильная ролевая архитектура риск-менеджмента, достаточно полно
описываемая составом и структурой его функций.
Риск-менеджмент выполняет определенные функции. Различают два
типа функций риск-менеджмента:
1.
Функции объекта управления.
2.
Функции субъекта управления.
К функциям объекта управления в риск-менеджменте относится
организация:

разрешения риска;

рисковых вложений капитала;

работы по снижению величины риска;

процесса страхования рисков;

экономических
отношений
и
связей
между
субъектами
хозяйственного процесса.
К функциям субъекта управления в риск-менеджменте относятся:

прогнозирование;
6

организация;

регулирование;

координация;

стимулирование;

контроль.
Прогнозирование в риск-менеджменте представляет собой разработку
на перспективу изменений финансового состояния объекта в целом и его
различных частей. Прогнозирование - это предвидение определенного
события. Оно не ставит задачу непосредственно осуществить на практике
разработанные прогнозы. Особенностью прогнозирования является также
альтернативность в построении финансовых показателей и параметров,
определяющая разные варианты развития финансового состояния объекта
управления на основе наметившихся тенденций. В динамике риска
прогнозирование может осуществляться как на основе экстраполяции
прошлого в будущее с учетом экспертной оценки тенденции изменения, так и
на основе прямого предвидения изменений. Эти изменения могут возникнуть
неожиданно. Управление на основе предвидения этих изменений требует
выработки у менеджера определенного чутья рыночного механизма и
интуиции, а также применения гибких экстренных решений.
Организация в риск-менеджменте представляет собой объединение
людей, совместно реализующих программу рискового вложения капитала на
основе определенных правил и процедур. К этим правилам и процедурам
относятся: создание органов управления, построение структуры аппарата
управления,
установление
взаимосвязи
между
управленческими
подразделениями, разработка норм, нормативов, методик и т.п.
Регулирование в риск-менеджменте представляет собой воздействие на
объект
управления,
посредством
которого
достигается
состояние
устойчивости этого объекта в случае возникновения отклонения от заданных
7
параметров.
Регулирование
охватывает
главным
образом
текущие
мероприятия по устранению возникших отклонений.
Координация
в
риск-менеджменте
представляет
собой
согласованность работы всех звеньев системы управления риском, аппарата
управления и специалистов.
Координация обеспечивает единство отношений объекта управления,
субъекта управления, аппарата управления и отдельного работника.
Стимулирование в риск-менеджменте представляет собой побуждение
финансовых менеджеров и других специалистов к заинтересованности в
результате своего труда.
Контроль
в
риск-менеджменте
представляет
собой
проверку
организации работы по снижению степени риска. Посредством контроля
собирается информация о степени выполнения намеченной программы
действия, доходности рисковых вложений капитала, соотношении прибыли и
риска, на основании которой вносятся изменения в финансовые программы,
организацию финансовой работы, организацию риск-менеджмента. Контроль
предполагает анализ результатов мероприятий по снижению степени риска.
По сути, совокупность координирующей и контролирующей функцией
в
риск-менеджменте
определяет
процесс
управления
потерями
при
реализации рисковых ситуаций. Рассмотрим этот процесс более подробно.
8
1.2. Теоретические подходы к управлению рисками
Риски и управление ими исследуются в нескольких предметных
областях, таких как страхование, экономика, управление, медицина,
исследование операций, инженерия, и рассматриваются с разных точек
зрения.
В простейшем случае риск приравнивается к возможному негативному
событию и определяется как «событие, представляющее материальную
угрозу чьему-либо состоянию». Иными словами, риски приравниваются к
возможным нежелательным событиям (или к возможному снижению
полезности). В контексте управления рисками под «чьим-либо состоянием»
понимается благополучие организации. С этой точки зрения управлять
рисками можно, применяя страхование и получая компенсацию, если
негативное событие произойдет. Другой возможный подход – планирование
бесперебойной работы, позволяющее продолжить функционирование после
нежелательных событий.
В некоторых предметных областях, таких как медицина, акцент
делается на вероятности негативных событий, а не на их последствиях,
поскольку последние зачастую являются необратимыми, фатальными
(например, смерть пациента в результате инфаркта) и заострять внимание на
них нет смысла. Определяются факторы, влияющие на вероятности
(наследственность, вредные привычки и т.п.), а риск трактуется как
«вероятность
опасного
неблагоприятного
исхода».
Данный
подход
применяется при страховании жизни, где для получения оценок вероятностей
используются таблицы смертности, а «приемлемый риск» относится к людям
с низкой вероятностью умереть в течение страхового периода (и,
соответственно, с низкой вероятностью выплаты компенсации страховой
компанией).
9
Финансисты считают риском вариацию распределения исходов, а
мерой риска – диапазон колебаний. Риск определяется как непостоянство
стоимости портфеля ценных бумаг, а управление рисками означает решение
минимаксной задачи – выбор между риском и доходами. Портфель ценных
бумаг
пытаются
комплектовать
так,
чтобы
обеспечить
наивысшие
ожидаемые доходы при заданном уровне рисков и наименьший уровень
рисков для заданного ожидаемого дохода.
При страховании от несчастных случаев (в частности, при страховании
автомобилей) риск трактуется как ожидаемые потери и определяется как
произведение возможного ущерба на его вероятность. И ожидаемый ущерб, и
его вероятность могут меняться в широких пределах (от незначительного до
полной утраты автомобиля, от очень небольшой для аккуратных водителей
до заметной для лихачей).
При проведении анализа рисков важно различать риски экзогенные и
эндогенные. Первые не поддаются управлению, они не зависят от чьих-либо
действий. Примером могут служить землетрясения. Можно в какой-то
степени влиять на размер ущерба, строя здания по определенным стандартам,
но предотвратить землетрясение пока невозможно. Эндогенные риски
зависят от действий людей. Многие риски, например риск автомобильной
аварии, являются смешанными. Водитель не может влиять на поведение
других участников движения, но от его собственного поведения, его манеры
езды (и от выбора автомобиля) зависит многое, в том числе ущерб от аварии,
если таковая произойдет. Чтобы стимулировать поведение водителей,
минимизирующее эндогенные риски, в страховой сумме предусматривают
удерживаемую составляющую. Будучи ответственным за часть ущерба,
водитель должен действовать с осторожностью.
Инструментальные средства управления рисками реализуются с учетом
различия
между
экзогенными
и
эндогенными
рисками.
Например,
финансисты считают неопределенность экзогенным риском и для управления
10
рисками применяют такие методы, как диверсификация, страхование и
распределение активов. Нет возможности непосредственно повлиять на
вероятности событий. В медицине и инженерии часть рисков всегда
являются
эндогенными,
поддающимися
уменьшению.
Пациентов
информируют о том, на что они могут вилять, им рекомендуют здоровый
образ жизни и специальные диеты. Работников знакомят с правилами
техники безопасности, принимают меры по снижению аварийности и
травматизма.
В информационных технологиях принят по сути тот же взгляд на
риски, что и при страховании от несчастных случаев. Суммарный риск
определяется как математическое ожидание ущерба, то есть как сумма
произведений вероятностей каждого из негативных событий на величины
потерь от них:
R = Сумма (по i) {P (Ui) * L (Ui)}
Несмотря на кажущуюся простоту и очевидность, приведенная
формула не подчиняется обычным арифметическим законам, поэтому
желательно рассматривать не только итоговую величину риска, но и ее
составляющие. Причин тому несколько.
Оценка рисков действует на протяжении определенного периода.
Чтобы иметь основания применять аппарат теории вероятностей, этот период
должен быть достаточно большим (три-пять лет). Если вероятность события
(например, пожара) мала, рассматриваемый период следует еще увеличить.
Но за это время ИС существенно изменится, и старые оценки потеряют
смысл. Следовательно, при оценке рисков событиями с вероятностью
меньше определенного порогового значения можно пренебречь, несмотря на
то, что потенциальный ущерб от них может быть велик. Отметим, что это
противоречит традиционной практике, когда руководители склонны уделять
чрезмерное внимание рискам с большим ущербом и малой вероятностью. На
самом деле, на первом плане должны быть риски с умеренным ущербом, но
11
высокой вероятностью (например, атаки вредоносного программного
обеспечения), многократно реализующиеся в течение рассматриваемого
периода.
Вероятность негативного события нет возможности оценить скольконибудь
точно. Для
этого
нет
ни
теоретических
предпосылок, ни
накопленного статистического базиса. Нет возможности и для обоснованной
оценки влияния контрмер на вероятности; можно воздействовать на факторы,
от которых вероятности зависят, но количественный эффект воздействий
предсказать нельзя.
Наконец, негативные события могут не быть независимыми. Одно из
них может исключать другое (например, пожар и затопление) или, напротив,
вызывать каскадный эффект, как это бывает при перегрузке критически
важных компонентов.
В силу приведенных здесь соображений целесообразно трактовать
риски не как числовые значения, а как точки на плоскости, где
координатными осями служат вероятности и потери (см. рис. 1). Линиями
уровня для функции риска служат гиперболы.
Величина ущерба
*U4: высокий риск
*U1: низкий риск
*U2: умеренный риск
*U5: высокий риск
*U3: низкий риск
Вероятность события
Рис. 1. Представление рисков в виде точек на координатной
плоскости.
12
Риск события U1 относится к числу обычно переоцениваемых
руководителями; на практике, в силу низкой вероятности, большей частью
подобных рисков целесообразно пренебречь.
Управлению рисками соответствует перемещение точек по плоскости.
Обычно стремятся приблизиться к началу координат вдоль одной оси, не
меняя значения другой координаты. Впрочем, если удастся уменьшить сразу
обе координаты, это будет еще лучше.
Обоснованное управление рисками возможно только в сравнительно
узких областях, когда известны возможные негативные события, когда число
их относительно невелико (обозримо, в пределах нескольких десятков) и
когда существуют реалистичные оценки вероятностей и потерь. В других
случаях экономическая целесообразность нейтрализации рисков может
оцениваться только интуитивно. Правда, нейтрализация многих рисков
требуется
действующим
законодательством
(например,
обеспечение
противопожарной безопасности), поэтому соответствующие контрмеры
можно считать обязательными.
Одной из областей, важных с практической точки зрения и хорошо
проработанных в плане управления рисками, является аутсорсинг по
управлению
информационной
системой
(в
частности,
контроль
ее
информационной безопасности). Здесь выделены восемь угроз:
1.
Непредвиденно
дисциплину
управления
способствующими
высокие
ИС.
негативному
затраты
на
"Уязвимостями"
событию)
переход
(то
есть
являются
на
новую
факторами,
отсутствие
у
организации опыта аутсорсинга, неопределенность в законодательстве.
2.
Затраты на переход на обслуживание другой организацией
(включая попадание в заложники обслуживающей организации, возврат к
исходному состоянию и переход на обслуживание новой организацией).
Уязвимости: специфичность ИС, узкий выбор обслуживающих организаций,
размеры и сложность ИС, взаимосвязь разных видов деятельности.
3.
Дорогостоящие
поправки
к
контракту.
неопределенность, технологический разрыв, сложность задачи.
13
Уязвимости:
4.
Споры и тяжбы с обслуживающей организацией. Уязвимости:
проблемы измеримости, недостаток опыта (у одной или обеих сторон) по
заключению контрактов на аутсорсинг, неопределенность законодательства,
недостаток культуры.
5.
Снижение качества обслуживания. Уязвимости: взаимосвязь
разных видов деятельности, недостаток опыта, слишком большой размер
и/или финансовая нестабильность обслуживающей организации, проблемы
измеримости.
6.
Превышение
затрат.
Уязвимости:
недостаток
опыта
по
управлению контрактом на аутсорсинг, проблемы измеримости, недостаток
опыта у поставщика услуг.
7.
Потеря компетенции. Уязвимости: размеры и сложность ИС,
близость к основной деятельности организации, взаимосвязь разных видов
деятельности.
8.
Скрытые затраты на обслуживание. Уязвимости: сложность
разных видов деятельности, проблемы измеримости.
Рассмотрим управление идентифицированными рисками на примере
страховой компании, отдавшей на аутсорсинг решение проблемы 2000 года
для своих унаследованных систем. Вероятности и потери оценивались по
семибалльной шкале. В таблице 1 и на рисунке 2 показаны риски до и после
применения мер управления.
Таблица 1.
Риски при аутсорсинге проекта Y2K до и после применения мер
управления.
Номер риска
=
1
2
3
4
5
6
7
8
до
1
1
1
1
1
1
4
1
Вероятности:
после
1
1
1
1
1
1
2
1
14
Потери:
=
1
2
3
4
5
6
7
8
до
1
1
1
1
1
1
4
1
Рис. 2. Риски при аутсорсинге проекта Y2K до и после применения мер
управления.
Из таблицы и рисунка видно, что удалось снизить три риска с
номерами (2), (5) и (6), причем в первых двух случаях уменьшались только
возможные потери, а в последнем – и вероятность, и потери. Отметим, что
единственным серьезным был риск номер (6), хотя руководители в первую
очередь обращали внимание на риски (2) и (5), игнорируя их относительно
небольшую вероятность.
Чтобы не стать заложником внешней организации (управление риском
(2)), страховая компания разбила проект на этапы и заключала отдельный
контракт для каждого из них. Тем самым каждый контракт имел обозримый
срок, а его результаты могли реально контролироваться. Если работа
внешней организации оказалась бы неудовлетворительной, отношения с ней
могли быть оперативно прекращены. Со снижением качества обслуживания
(риск (5)) страховая компания боролась, предусмотрев в контракте систему
штрафов (в пять раз превышающих общую стоимость контракта). Для
противодействия превышению затрат, страховая компания заранее оговорила
гарантированную плату и методику измерения дополнительных расходов с
15
учетом особенностей отдельных компонентов ИС. Тем самым понижалась и
вероятность, и воздействие риска.
Представление рисков в виде точек на плоскости является удачным с
психологической точки зрения, поскольку оно разделяет два разных аспекта
риска – вероятность и воздействие, и наглядно показывает, с чем в первую
очередь нужно бороться и насколько это удалось.
Можно воспользоваться еще одним представлением рисков – в виде
деревьев уязвимостей, угроз и контрмер (рис. 3). Здесь Vi – уязвимости, Ti,j –
угрозы, эксплуатирующие уязвимости, Ci,j – контрмера, нейтрализующая
угрозу i,j, Li,j – недостаток контрмер для угрозы i,j.
Рис. 3. Представление рисков в виде дерева уязвимостей, угроз и
контрмер.
Значение для Vi, Ti,j, Li,j и Ci,j целесообразно нормировать, так чтобы
суммы по i Vi и Ti,j равнялись 1, а также Li,j + Ci,j = 1.
Кроме вероятностных параметров, в оценке рисков участвуют
константы – критичность активов (CA) и их стоимость (CC). Общая
ожидаемая сумма потерь выражается соотношением
Общий остаточный риск * CA * CC
Предположим, имеется домашний компьютер, по отношению к
которому рассматриваются пять уязвимостей с вероятностями 0.2, 0.2, 0.1,
0.05 и 0.45. Первую из них могут использовать две угрозы с вероятностями
16
0.35 и 0.65, вторую – три (0.4, 0.2, 0.4), третью – две (0.3, 0.7), Четвертую –
три (0.25, 0.25, 0.5), пятую – две (0.3, 0.7). Пусть, наконец, значения
недостатков контрмер оцениваются как 0.3, 0.4, 0.4, 0.1, 0.25, 0.25, 0.15, 0.25,
0.4, 0.4, 0.2, 0.15. Тогда общий остаточный риск составит 0.239375. Если
критичность компьютера оценена как 0.4, а стоимость – как 2500, то
ожидаемая сумма потерь составляет 239.38.
Можно предложить и другие формализмы для управления рисками.
Предположим, имеется M пар (актив, угроза). Для каждой такой пары риск
вычисляется по обычной формуле
Rk = Pi * Ij
Здесь k – номер пары, Pi – вероятность реализации угрозы по
отношению к "парному" активу, Ij – воздействие реализации этой угрозы на
актив, Rk – величина риска.
Пусть, далее, риски считаются допустимыми, если для всех k Rk <= Ra,
где Ra – порог допустимости. Избыточные риски, которые требуется
нейтрализовать, можно выразить соотношениями вида:
/ Rk – Ra, если Rk > Ra
rk =
\ 0, если Rk <= Ra
Пусть N – число положительных rk, то есть число пар (актив, угроза),
риски которых нуждаются в нейтрализации. Отбросим нулевые избыточные
риски и перенумеруем оставшиеся. Можно вычислить среднее значение
избыточного риска rMean, воспользовавшись формулой
rMean = ((сумма по k от 1 до N) rk) / N
Значение rMean можно рассматривать не только как средний
избыточный риск, но и как оценку безопасности информационной системы в
целом. Эту оценку можно нормализовать, воспользовавшись формулой
rMeanNrorm = rMean / (Rmax – Ra)
17
где Rmax – максимальный из возможных рисков Rk, то есть
произведение максимального из возможных значений Pi и Ij в выбранной
шкале измерений.
Значения
rMeanNrorm,
близкие
к
0,
характеризуют
уровень
информационной безопасности ИС как весьма высокий. Близкие к 1
значения, напротив, характерны для слабо защищенных информационных
систем. При желании отрезок [0, 1] можно разбить на интервалы, выделив
тем самым нужное число уровней безопасности.
Кроме
среднего
арифметического,
можно
вычислить
среднее
квадратичное значение положительных избыточных рисков:
sigma = кв.корень (((сумма по k от 1 до N) (rk*rk)) / N)
Как и средний избыточный риск, среднее квадратичное значение
можно нормализовать:
sigmaNorm = sigma / (Rmax – Ra)
Нормализованное среднее квадратичное значение, как и величину
rMeanNrorm,
можно
напрямую
использовать
для
оценки
уровня
информационной безопасности организации, если разбить отрезок [0, 1] на
соответствующее число интервалов. Значения, близкие к 0, свидетельствуют
о высоком уровне защищенности, близкие к 1 – о низком. Преимущество
среднего квадратичного значения по сравнению со средним арифметическим
в том, что первое более устойчиво к добавлению пар с небольшими
избыточными рисками и более чувствительно к аномально высоким рискам.
Рассмотрим пример. Пусть вероятности и воздействия оцениваются по
шестибалльной шкале, от 0 до 5, а приемлемым считается риск, равный 8.
Тогда Ra = 8, Rmax = 25 (5*5). Пусть, далее, имеются две организации. Для
первой из них рассматриваются следующие пары (актив, угроза) и
ассоциированные с ними характеристики (табл. 2).
18
Таблица 2.
Таблица рисков для первой организации
Актив / угроза
Уровень
вероятности
Уровень
воздействия
Риск
Избыточный
риск
Отдел кадров / вирусы
3
5
15
7
Отдел кадров / физический
доступ сотрудников
2
5
10
2
Отдел кадров / физический
доступ внешних лиц
5
5
25
17
Бухгалтерская система /
шпионское ПО
2
5
10
2
Бухгалтерская система /
поломка
1
1
1
0
Пусть для второй организации аналогичная таблица выглядит так
(табл. 3).
Таблица 3.
Таблица рисков для второй организации
Актив / угроза
Уровень
вероятности
Уровень
воздействия
Риск
Избыточный
риск
Отдел кадров / вирусы
3
5
15
7
Отдел кадров / физический
доступ сотрудников
3
5
15
7
Отдел кадров / физический
доступ внешних лиц
3
4
12
4
Бухгалтерская система /
шпионское ПО
4
4
16
8
Средние значения рисков сведены в таблице 3. Видно, что
нормализованные средние арифметические значения избыточных рисков у
двух организаций близки, в то время как нормализованное среднее
квадратичное значение у первой организации заметно выше (а уровень
безопасности, соответственно, ниже). Причина в аномально высоком риске
19
внешнего физического вторжения, то есть в наличии ярко выраженного
слабого звена.
Таблица 4.
Средние значения избыточных рисков для рассматриваемых
организаций
Средние значения избыточных рисков
Организация 1
Организация 2
Среднее арифметическое
7
6.5
Нормализованное среднее арифметическое
0.41
0.38
Среднее квадратичное
9.30
6.67
Нормализованное среднее квадратичное
0.55
0.39
Для оценки прогресса организации в области информационной
безопасности важны не абсолютные значения рисков, а их уменьшение в
результате
выбора
и
реализации
контрмер.
При
этом
в
качестве
количественной меры риска может быть использовано время, требующееся
на успешную атаку системы при заданных мотивации и квалификации
злоумышленника. Увеличение этого времени свидетельствует о повышении
уровня безопасности.
Рассматриваются
два
варианта
информационной
системы
–
первоначальный и укрепленный, то есть полученный в результате выбора и
реализации контрмер. Методология оценки времени, требующегося на
успешную атаку, включает следующие шаги:

формирование анализируемой конфигурации системы;

формирование
количественной
модели
рисков
для
анализируемой конфигурации системы;

формирование и ранжирование требований безопасности для
анализируемой конфигурации системы;

идентификация уязвимостей;
20

категорирование уязвимостей каждого компонента системы по
типу компрометации;

оценка времени компрометации каждого компонента системы;

генерация графа компрометации и путей атаки;

нахождения путей атак с минимальным временем;

повторение
предыдущих
шагов
для
первоначальной
и
укрепленной конфигурации системы;

получение оценки снижения рисков.
На первом шаге, при формировании анализируемой конфигурации
системы предлагается ограничиться двумя типами компонентов.
К первому относятся граничные устройства, то есть устройства,
входящие в систему и непосредственно (без маршрутизации, экранирования,
фильтрации и т.п.) доступные из внешних сетей. Во второй тип входят
основные цели потенциальных злоумышленников, то есть устройства,
контроль над которыми дает атакующим нужную степень контроля над всей
ИС организации.
Количественная модель рисков базируется на стандартной формуле
R=P*D
где R – величина риска, P – вероятность успешной атаки, D – ущерб от
нее.
Вероятность P можно представить в виде произведения следующих
условных вероятностей:
P = Pi * Pa * Pb * Pc * Pd
где

Pi – вероятность того, что данная информационная система
попадет в список возможных целей злоумышленника;

Pa – вероятность того, что система будет выбрана из списка и
атакована;
21

Pb – вероятность того, что будут взломаны граничные
компоненты;

Pc – вероятность того, что атака окажется успешной, то есть
достигшей основных целей;

Pd – вероятность того, что злоумышленником будет нанесен
предполагаемый ущерб.
Естественно,
что
указанные
подходы
не
исчерпывают
всей
совокупности минимизации потерь от реализации рисковых ситуаций в
страховании. Существует отработанная система методов управления рисками
в страховой деятельности.
22
Глава 2. Краткий обзор математических методов анализа
рисковых ситуаций
2.1. Основные обозначения и определения
Слово риск в буквальном переводе означает "принятие решения",
результат которого неизвестен, т.е. небезопасен. Ряд явлений обладают тем
неприятным свойством, что если они происходят, то обязательно влекут за
собой потери, размер которых может принять катастрофические масштабы.
Про такие явления говорят "риск", или "риск потерь".
В различных источниках можно встретить самые разнообразные
толкования этого понятия. Приведем для примера некоторые из них:
* Риск – нечто, что может произойти, а может и не произойти. Риск –
это гипотетическая возможность наступления ущерба.
* Есть также точка зрения, согласно которой о риске можно говорить
только тогда, когда существует возможность отклонения между плановым и
фактическим результатами. Это отклонение случайно и может принимать как
положительные, так и отрицательные значения. Реализация отрицательного
отклонения
являет
собой
неблагоприятный
исход.
Опасность
неблагоприятного исхода на одно ожидаемое
явление называется риском.
*Риск
–
единственное
случайное
событие,
которое
наступает
вопреки воле человека.
*
Риск
–
вероятность
определенного
уровня
потерь.
Страховой риск – термин, имеющий четыре смысловых
значения:
1. Вероятность нанесения ущерба от страхового случая.
2. Конкретный страховой случай.

Шахов В.В. Введение в страхование. Экономический аспект. — М.: Финансы и (Статистика. 1994,
стр. 15.
23
3. Часть
стоимости
имущества,
не
охваченная
страхованием
и
оставляемая тем самым на риске страхователя.
4. Конкретные объекты страхования по их страховой оценке и степени
вероятности нанесения ущерба.
Виды риска
Риски, поддающиеся страхованию, разделяют на:
1.
Страхование жизни.
2.
Страхование иное, чем страхование жизни.
Такое разделение обусловлено рядом принципиальных отличий риска
смерти от прочих видов риска. Во-первых, в случае страхования жизни
наступление страхового случая возможно только однажды и оно прекращает
действие договора. Во-вторых, величина риска (а именно, вероятность смерти)
зависит от возраста застрахованного и возрастает со временем, по прочим же
видам риск можно считать постоянным во времени.
Во второй категории подразумевают следующие виды риска:
*
которое
но
страхование
не
обычно
является
имеет
компенсационный
ответственности
на
пропорциональным
лимит
характер.
гарантий.
Страхование
неопределенную
сумму,
и
иметь,
Такое
может
не
страхование
гражданской
носит
ответственности
определяется в Гражданском кодексе РФ. Спектр видов страхования
ответственности
широк
и
продолжает
расти.
Приведем
наиболее
распространенные виды:
— гражданская ответственность владельцев недвижимости за ущерб;
который они могут причинить соседям, третьим лицам или их арендаторам,
гражданская ответственность арендаторов за возможный ущерб соседям или
собственнику;*
24
— гражданская ответственность владельцев транспортных средств. В
экономической сфере деятельности встречается профессиональная гражданская
ответственность, гражданская ответственность руководителей предприятий за
несчастные случаи, произошедшие с их персоналом, ответственность за
загрязнение окружающей среды, риски ядерного загрязнения и т.д. В
некоторых странах (например, во Франции) введены неограниченные
гарантии как за телесные повреждения, так и за материальный ущерб. В
нашей стране среди приоритетных направлений страховой деятельности
выделяют, в частности, страхование ответственности и такие его виды, как:
— страхование
гражданской
ответственности
владельцев
авто-
транспортных средств;
— страхование ответственности за невыполнение обязательств;
— страхование
профессиональной
ответственности
аудиторов
и
деятельности нотариусов, занимающихся частной практикой.
При этом на долю страхования различных видов ответственности
приходится по данным 1994 года 4,2% от общего объема страховых премий
по всем видам страхования;
* страхование имущества, страховая стоимость которого может быть
определена. Если страховая сумма меньше стоимости застрахованного
имущества, то такое страхование также пропорционально и как страхование
ответственности носит компенсационный характер;
* страхование специальных рисков. Сюда относят риски, вероятность
реализации которых за один год не может быть оценена, что вызывает
необходимость заключения договоров на более длительные сроки. Здесь же
рассматривают риски, связанные с очень редкими явлениями, но ущерб по
которым может иметь катастрофические размеры;
* предпринимательские
риски.
Здесь
подразумеваются
риски
финансовых потерь, связанных с мошенничеством, небрежностью или
25
халатностью служащих, а также риски, связанные с понижением доходов:
— риск предпринимателя, вложившего в дело свои средства, связанный
с возможностью недополучения прибыли или потери вложенных средств;
— риск кредитора;
— риски финансовых потерь, связанные с возможным уменьшением
денежной единицы;
собственные риски страховой компании. Для обеспечения
*
безопасности
может
от
собственных
использовать
страховой
рисков
страховой
компании
страховая
фонд.
могут
быть
компания
Собственные
не
риски
классифицированы
в
соответствии с причинами, их порождающими. Так, например:
–
сформированный
страховой
фонд
не
достаточен
для
выплаты возмещений;
— перестраховочный риск;
— управленческий риск;
— имущественный риск.
Приведенный список рисков, возможно, не является полным, но в
данном рассмотрении мы будем касаться только этих рисков.
Фактор риска и необходимость покрытия возможного ущерба в
результате
его
проявления
вызывают
потребность
в
страховании.
Многообразие форм проявления риска, частота и тяжесть последствий его
проявления вызывают необходимость тонкой организации страхования.
Из широкого спектра различных рисков выделим те, которые поддаются
страхованию.
Следуя
признакам
таких
явлений,
укажем
главные
характеристики таких рисков.
1. Очевидно, что могут рассматриваться только массовые явления,
имеющие тенденцию к бесконечному повторению. Следовательно, для
каждого такого явления можно говорить о вероятности его наступления.
26
2. Кроме того, эти явления должны носить объективный характер, т.е.
не зависеть от проявления чьей-либо воли.
3. И, наконец, ущерб, производимый данными событиями, должен
поддаваться исчислению. Под этим понимается не столько существование
верхней оценки потерь, сколько возможность значение их выразить в
денежных единицах.
В рамках теории риска разработана система понятий, моделей и
методов, позволяющих количественно оценить финансовые риски
в
деятельности страховой компании. Некоторые из них являются предметом
данного рассмотрения.
В своем изложении для удобства под риском будем понимать следующее.
Пусть случайные величины N, У, X описывают: N – число страховых
случаев на один договор, У – величину возможных потерь на один страховой
случай (при условии, что он произошел), X – размер потерь страховой
компании в результате наступления страховых случаев.
Пусть наступление страхового случая за один период страхования
характеризуется вероятностным распределением FN (x), a потери, возможные
в результате одного страхового события, описываются вероятностным
распределением 𝐹𝑥(𝑥). Пару (𝐹𝑁 (𝑥); 𝐹𝑥 (𝑥)) будем называть риском. Для
удобства изложения разделим риск клиента (𝐹𝑁 (𝑥); 𝐹𝑦(𝑥)) и риск
страховой
компании,
связанный
с
договором
(𝐹𝑁(𝑥); 𝐹𝑥(𝑥)). Смысл этого деления состоит
в
данного
клиента,
следующем.
Клиент
имеет риск (𝐹𝑁(𝑥); 𝐹𝑦(𝑥)), что означает, что для него страховое событие
происходит согласно распределению
вероятностей 𝐹𝑁 числа
страховых
случаев, а потери, которые могут произойти в результате страхового события,
описываются случайной величиной У, имеющей распределение 𝐹𝑦 . Для
страховой компании, заключившей договор страхования данного
клиента, этот договор индуцирует риск (𝐹𝑁 (𝑥);
27
риска
𝐹𝑥(𝑥)), имеющий то же распределение числа случаев FN, что и риск
клиента, а потери компании состоят в выплатах, которые она будет
предпринимать по искам данного клиента. Эти выплаты описывает случайная
величина X, имеющая распределение 𝐹𝑥.
Случайные величины У и X зависимы, но не одинаковы.
Множество дискретных распределений случайных величин обозначим
как
ℊ , а множество непрерывных распределений случайных величин
обозначим как ℱ. Таким образом, понятно, что 𝐹𝑁 ∈ ℊ всегда.
Часто используются биномиальное, пуассоновское и геометрическое
распределения числа требований. Распределения потерь могут быть как
дискретными, так и непрерывными.
Итак, этап первый – выяснение риска – подразумевает следующие
шаги:
1. Определение класса принадлежности изучаемого риска.
2. Оценка вероятностных распределений потерь и числа случаев,
определяющих риск.
3. Выбор методов проверки адекватности получаемой на первом шаге
оценки риска.
Будем рассматривать один вид страхования исходя из того, что он
должен быть по крайней мере безубыточен, т.е. портфель объединен одним
страховым фондом. Как отмечалось выше, финансовые потоки, образующие и
расходующие страховой фонд, тесно связаны с категорией вероятности.
Поэтому возможно описать финансовую систему страхования в терминах
теории вероятностей. Введем следующие обозначения, которые будут
использоваться при описании всех задач (в случае их изменения на это будет
специально указано):
п – число договоров в исследуемом портфеле;
Ni – количество исков от договора с номером;
28
𝑛
𝑁 = ∑ 𝑁𝑖 − общее число исков по портфелю;
𝑖=1
М – число договоров, предъявивших хотя бы один риск. Если
по
договору возможно не более одного риска, то М = 𝑁;
𝑞𝑖 – вероятность страхового случая для договора с номером i.
Везде, где не будет дополнительных оговорок, будем предполагать, что
портфель однороден относительно вероятности страхового случая, то есть
𝑞𝑖 = q, ∀i = 1, … , 𝑛;
Si – страховая сумма по договору с номером i;
𝐽
𝑌𝑖 – размер j-го по порядку возмещения, выплачиваемого по договору
с номером i;
𝑁𝑖
𝑗
𝑋𝑖 = ∑ 𝑌𝑖 – общее возмещение по договору с номером 𝑖.
𝑗=1
𝑉𝑖 =
𝑋𝑖
– относительное страховое возмещение по договору с номером
𝑆𝑖
i;
𝑛
𝑋 = ∑ 𝑋𝑖 − общее возмещение по портфелю.
𝑖 =1
Большинство приведенных характеристик страхового портфеля имеют
случайную природу, для анализа которой понадобятся следующие функции и
числовые характеристики.
Пусть
𝐾∈ℱ
–
некоторая
дискретная
случайная
величина,
принимающая значения К0 , К1 , … с некоторыми вероятностями 𝑝𝑖 = Р(К =
К𝑖 ):
𝐾 𝐾 … 𝐾𝑚 …
𝐾={ 0 1
,
𝑝0 𝑝1 … 𝑝𝑚 …
∞
𝑝𝑖 ≥ 0 ∀𝑖 = 0, … , ∑ 𝑝𝑖 = 1
𝑖=0
29
Пусть 𝑍 ∈ ℱ – непрерывная случайная величина, имеющая плотность
𝑓𝑧(𝑥) и функцию распределения 𝐹𝑧(𝑥).
Среднее значение (математическое ожидание, первый момент) для К
и Z равны, соответственно
∞
𝐸𝐾 = ∑ 𝑝𝑖 𝐾𝑖
𝑖=0
∞
∞
𝐸𝑍 = ∫ 𝑥𝑓𝑍 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥𝑑𝐹𝑍 (𝑥)
−∞
−∞
Математическое ожидание случайной величины означает то, "что
ожидается в среднем за достаточно продолжительный промежуток времени". В
частности, для К математическое ожидание ЕК – среднее ожидаемое число
исков от однородного портфеля за "обычный" интервал времени.
Второй момент для К и Z равны, соответственно
∞
𝐸𝐾 2 = ∑ 𝑝𝑖 ∗ 𝐾𝑖2 ,
𝑖=0
∞
∞
𝐸𝑍 2 = ∫ 𝑥 2 ƒ𝑍 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝐹𝑍 (𝑥)
−∞
−∞
Дисперсия случайной величины определяется как разность второго
момента и квадрата первого момента:
𝑉𝑎𝑟𝑡𝑓 = ЕК2 − (ЕК)2
Дисперсия представляет собой среднее квадратичное отклонение
значений случайной величины от ее математического ожидания, т.е.
дисперсия оценивает уровень возможных флуктуации случайной величины.
Среднеквадратичным отклонением случайной величины называют
арифметический корень из ее дисперсии 𝜎К = √𝑉𝑎𝑟𝐾.
Коэффициентом вариации случайной величины называют отношение
ее среднеквадратичного отклонения к среднему значению 𝑊𝐾 = 𝜎К/ЕК.
30
Производящая функция дискретной случайной величины К – функция
вспомогательного аргумента t, определенная как
∞
𝘨𝐾 (𝑡) = 𝐸𝑡 𝐾 = ∑ 𝑡 𝑘 𝑝𝑘
𝑘=0
Преобразование Лапласа неотрицательной непрерывной случайной
величины Z – функция вспомогательного аргумента t, определенная как
∞
∞
𝜑(𝑡) = 𝐸𝑒 −𝑡𝑍 = ∫ 𝑒 −𝑡𝑥 ƒ𝑍 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 −𝑡𝑥 𝑑𝐹𝑍 (𝑥)
0
0
Преобразования Лапласа и производящие функции обладают целым
рядом замечательных свойств.
Мы будем использовать то, что среднее и дисперсия случайной величины
могут быть найдены при помощи определенных выше функций следующим
образом:
𝐸𝐾 = 𝘨′𝐾 (𝑡)⃒t =1
𝑉𝑎𝑟𝐾 = 𝘨′′𝐾 (𝑡) + 𝘨′𝐾 (𝑡) − [𝘨′𝐾 (𝑡)]2 ⃒ t =1
𝐸𝑍 = −𝜑𝑍′ (𝑡)⃒t = 0 𝑉𝑎𝑟𝐾 = 𝜑𝑍′′ (𝑡) − [𝜑𝑍′ (𝑡)]2 ⃒ t = 0
Кроме того, мы будем использовать тот факт, что для независимых
случайных величин производящая функция (преобразование Лапласа) их
суммы равно произведению производящих функций
(преобразований
Лапласа) слагаемых
𝘨𝐾1 +𝐾2 (𝑡) = 𝘨𝐾1 (𝑡) ∗ 𝘨𝐾2 (𝑡), 𝜑𝑍1 +𝑍2 (𝑡) = 𝜑𝑍1 (𝑡) ∗ 𝜑𝑍2 (𝑡)
2.2. Распределение числа выплат и потерь по страховому портфелю
Число выплат по портфелю является дискретной случайной величиной
и может принимать значения 0, 1, 2, 3, ... с некоторыми вероятностями. Для
31
определения вероятного числа выплат определяющее значение имеет такая
характеристика случайной величины, как ее распределение рk = P (N = k):
𝑁={
0 1 2…𝑛
𝑝0 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑛
𝑁
𝑝𝑘 ≥ 0,
∑ 𝑝𝑘 = 1
𝑖=0
Предположим, что фактические значения случайной переменной N за
некоторое количество периодов в прошлом известны. На основании
имеющихся данных можно рассчитать выборочные оценки для среднего
значения и дисперсии числа исков. Обозначим их как MN и DN
соответственно.
Тогда
основная
задача
состоит
в
подборе
такого
гипотетического распределения вероятностей для N, которое соответствует с
некоторой заданной точностью наблюдаемым значениям N. В этой главе мы
не рассматриваем способы проверки адекватности подобранного распределения
фактическим данным (это будет сделано в главе 4), а лишь укажем, как
можно подбирать параметры распределений. Наиболее распространены
следующие распределения.
Биномиальное распределение
Предположим, что для всех договоров некоторого портфеля страховое
событие может реализоваться за время действия договора только один раз и
вероятность того, что оно произойдет, одинакова для всех и равна д. Тогда
общее число исков по данному портфелю за фиксированный промежуток
времени будет иметь биномиальное распределение вероятностей. Это
означает, что
𝑝1 = 𝑃(𝑁 = 𝑖) = 𝐶𝑖𝑛 𝑞 𝑖 (1 − 𝑞)𝑛−𝑖
Производящая функция биномиального распределения
𝘨𝑁 (𝑡) = (1 − 𝑞 + 𝑞𝑡)𝑛
32
Отсюда легко рассчитать числовые характеристики – среднее значение
и дисперсию биномиальной случайной переменной:
𝘨′𝑁 (𝑡) = ((1 − 𝑞 + 𝑞𝑡)𝑛 )′ = 𝑛𝑞(1 − 𝑞 + 𝑞𝑡)𝑛−1 ,
𝘨′𝑁 (1) = 𝑛𝑞;
𝗀′′N (t) = (nq(1 − q + qt)n−1 )′ = n(n − 1)q2 (1 − q + qt)n−2 ,
P(K = k)
0.3
0.27067 0.27203
0.25
0.2
0.15
0.1
0.18136
0.13398
0.09022
0.03572
0.05
0.01173
0.0008
3E-05
0.00328
0.00017
0
k
Рис. 4. Биномиальное распределение общего числа выплат по
портфелю в диапазоне [0,10]; для портфеля из 200 договоров с
вероятностью страхового случая 0,01.
𝘨′′𝑁 (1) = 𝑛(𝑛 − 1)𝑞2 ⇒ 𝐸𝑁 = 𝘨′𝑁 (1) = 𝑛𝑔,
𝑉𝑎𝑟𝑁 = 𝘨′′𝑁 (1) + 𝘨′𝑁 (1) − (𝑞𝑁′ (1))2 = 𝑛𝑞(1 − 𝑞)
П р и м е р 1. Для портфеля из 200 договоров с вероятностью страхового
случая 0,01 графическое распределение общего числа выплат по портфелю в
диапазоне [0, 1] представлено на рис. 4.
Распределение Пуассона
На практике во многих случаях число договоров достаточно велико, а
вероятность страхового случая q мала. В случае, если среднее число выплат
33
nq за рассматриваемый период является некоторым постоянным числом Я, то
биномиальное
распределение
можно
приблизить
более
простым
–
распределением Пуассона:
𝑘 𝑒−𝜆
𝑝𝑘 = 𝑃(𝑁 = 𝑘) = 𝜆
𝑘!
,
𝑘 = 0, 1, 2, …
P(K = k)
0.3
0.270671 0.270671
0.25
0.2
0.180447
0.15 0.135335
0.090224
0.1
0.036089
0.05
0.01203
3.8E-05
0.000859
0.003437
0.000191
0
k
Рис. 5. Распределение Пуассона на интервале [0, 10] в случае, если
среднее число выплат nq за рассматриваемый период является некоторым
постоянным числом λ (пример 1).
Применительно к нашему примеру распределение Пуассона на
интервале [0, 10] графически будет выглядеть, как на рис. 5. Производящая
функция распределения Пуассона
𝘨𝑁 (𝑡) = 𝑒 𝜆(𝑡−1)
Нетрудно
рассчитать,
что среднее значение и дисперсия равны
λ:
𝘨′𝑁 (𝑡) = 𝜆𝑒 𝜆(𝑡−1) ,
𝘨′𝑁 (1) = 𝜆
34
𝘨′′𝑁 (𝑡) = 𝜆2 𝑒 𝜆(𝑡−1) ,
𝘨′′𝑁 (1) = 𝜆2 ⇒
⇒ 𝐸𝑁 = 𝘨′𝑁 (1) = 𝜆,
𝑉𝑎𝑟𝑁 = 𝘨′′𝑁 (1) + 𝘨′𝑁 (1) − (𝑞𝑁′ (1))2 = 𝜆
Пуассоновское распределение может применяться и в том случае,
если по договору может быть несколько выплат. В этом случае q =
число
выплат/число договоров.
Пуассоновское распределение играет очень важную роль в
страховой математике, так как оно может применяться при
соблюдении следующих условий:
 во время коротких временных интервалов может быть предъявлено
не более одного требования о выплате;
 вероятность предъявления требования в течение временного интервала
пропорциональна длине интервала и не зависит от его положения во
времени;
 количества
требований,
предъявленных
в
непересекающиеся
интервалы времени, независимы.
Очевидно, что выполнения этих условий можно с приемлемой точностью
ожидать от реального процесса предъявления требований о выплате страховых
возмещений.
Геометрическое распределение
Дискретная
случайная
величина
N
имеет
геометрическое
распределение вероятностей, если оно задано как
р𝑖 = 𝑃(𝑁 = 𝑖) = (1 − 𝑞)𝑞𝑖,
0 < 𝑞 < 1,
𝑖 = 0, 1, …
Производящая функция геометрического распределения
35
1−𝑞
𝘨𝑁 (𝑡) = 1−𝑞𝑡
Среднее значение и дисперсия равны соответственно
𝑞
𝑞
𝑉𝑎𝑟𝑁 = 1−𝑞
2
𝐸𝑁 = 1−𝑞,
П р и м е р 2. Пусть выборочное среднее число исков для некоторого
портфеля договоров равно 0.2. Тогда EN = q/(1 – q) = 0.2, следовательно, q =
1/6.
Гистограмма
геометрического
распределения
для
этого
случая
представлена на рис. 6.
Р(К = к)
Рис. 6. Гистограмма геометрического распределения исков для случая
(пример 2), когда выборочное среднее число исков для некоторого портфеля
договоров равно 0.2 (EN = q/(1 - q) = 0.2, q = 1/6).
Геометрическое распределение является частным случаем а = 1 более
общего и сложного распределения – отрицательного биномиального.
Отрицательное биномиальное распределение
Число выплат также можно приблизить отрицательным биномиальным
распределением с параметрами q и 𝛼:
𝑝𝑖 = 𝑃(𝑁 = 𝑖) =
𝛼(𝛼+1)…(𝛼+𝑖−1)
(1
𝑖!
− 𝑞)𝛼 𝑞 𝑖
𝑖 = 0, 1, . . ..
Производящая функция отрицательного биномиального распределения
36
1−𝑞 𝛼
𝘨𝑁 (𝑡) = (1−𝑞𝑡)
Отсюда без труда могут быть рассчитаны числовые характеристики.
Среднее и дисперсия отрицательного биномиального распределения
равны соответственно
𝛼𝑞
𝛼𝑞
𝐸𝑁 = 1−𝑞
, 𝑉𝑎𝑟𝑁 = (1−𝑞)
2
Для отрицательного биномиального распределения дисперсия больше
среднего, что дает возможность в некоторых случаях надеяться на более
адекватный результат.
Пример 3. Пусть для некоторого портфеля известно, что оценки
среднего значения и дисперсии равны соответственно MN = 2 и DN = 3. Тогда
параметры отрицательного биномиального распределения могут быть
найдены как решения системы из двух уравнений
𝛼𝑞
{
𝐸𝑁 = 1−𝑞 ≈ 2
𝛼𝑞
𝑉𝑎𝑟𝑁 = (1−𝑞)2 ≈ 3
относительно переменных q и а. Решая систему, получаем, что
q = 1 / З и 𝛼 = 4. Гистограмма распределения для рассматриваемого примера
представлена на рис. 7.
Рис. 7. Гистограмма отрицательного биномиального распределения
рисков для некоторого портфеля страховых договоров (пример 3).
37
Распределения потерь
За исключением редких случаев (таких, как уже упоминавшееся
страхование только на случай полной гибели), в имущественном страховании
размер возмещения может принимать любое значение от нуля до страховой
𝑗
суммы. Это означает, что случайные величины 𝑌𝑖 (j-е по порядку страховое
возмещение по договору с номером i) и Xi (сумма страхового возмещения,
выплаченного по i-му договору за период его действия при условии, что
страховой
случай
произошел)
являются
непрерывными
случайными
величинами. Природа непрерывной случайной величины
А может быть описана функцией распределения вероятностей
𝐹𝐴 (𝑥) = Р(А ≤ х)
или плотностью распределения вероятностей (если она существует)
ƒ𝐴 (𝑥) = 𝐹𝐴′ (𝑥)
Распределение случайной величины – одно из основных понятий
теории вероятностей, играющее также очень важную роль в актуарной
математике. Для страховой компании принимаемый на страхование риск
потери
–
это
отрицательная
по
своим
возможным
экономическим
последствиям случайная величина. Значение ее характеристик позволяет дать
ей стоимостную оценку, а также дать прогноз финансового состояния
компании.
Пусть имеются фактические значения ущерба, который был понесен
одинаковыми объектами в результате страхового случая на
некоторого времени.
Тоща можно считать,
что известны выборочные
оценки для среднего значения и дисперсии случайной
описывающей
возможные
потери
протяжении
величины
Y,
в результате страхового случая.
Обозначим их значения как Му и Dy соответственно. Тогда, как и прежде,
38
возникает задача подбора гипотетического распределения Fy(x), наилучшим
образом отвечающего фактическим данным. Здесь, как и прежде, мы не
ставим задачи проверки гипотезы о виде распределения (это будет сделано в
главе 4). В этом параграфе мы лишь укажем некоторые часто применяемые
распределения и то, как подбирать их параметры. В актуарной литературе
применяются следующие непрерывные распределения для описания убытка
по одному договору и по одному страховому случаю:
Равномерное распределение
Случайная величина У имеет равномерное распределение на отрезке [а,
b], если ее плотность постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его:
ƒ𝑌 (𝑥) =
1
,
{𝑏−𝑎
0,
𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
иначе
0,
𝐹𝑌 (𝑥) = {
𝑥−𝑎
,
𝑏−𝑎
1,
𝑥<𝑎
𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
𝑥>𝑏
Графически равномерное распределение убытка для этого случая
представлено на рис. 8.
Рис. 8. Графики функции распределения вероятностей и плотности
вероятностей, равномерно распределенной на интервале [а, Ь] случайной
величины.
39
Преобразование Лапласа для равномерно распределенной случайной
величины
1
𝜑𝑌 (𝑡) = (𝑏−𝑎)𝑡
Средние потери и дисперсия равны соответственно
𝐸𝑌 =
𝑏−𝑎
,
2
𝑉𝑎𝑟𝑌 =
(𝑏−𝑎)2
12
П р и м е р 4. Пусть для некоторого объекта страхования убытки,
возможные в результате, скажем, пожара, равномерно распределены от нуля
до полной стоимости объекта. Пусть стоимость объекта оценена в 120 ден.
ёд. Тогда средние потери для этого объекта равны ЕY = (120 - 0) / 2 = 60, а
дисперсия – VarY = (120 - 0)2 / 12 = 1200.
Очевидно,
что
в
большинстве
реальных
случаев
равномерное
распределение не подходит для описания размера ущерба. На практике
убытки разных размеров имеют разную вероятность возникновения. Для их
описания используются следующие виды непрерывных распределений:
Экспоненциальное распределение
Случайная
величина
имеет
экспоненциальное
распределение
с
параметром λ > 0, если ее плотность имеет вид:
ƒ𝑌 (𝑥) = 𝜆𝑒 −𝜆𝑥 ,
𝑥 > 0,
функция распределения:
𝐹𝑌 (𝑥) = 1 − 𝑒 −𝜆𝑥 ,
Преобразование
Лапласа
для
𝑥>0
экспоненциальной
случайной
величины имеет вид:
𝜆
𝜑𝑌 (𝑡) = 𝑡+𝜆
Отсюда легко получается, что среднее значение и дисперсия равны
соответственно
40
1
1
𝐸𝑌 = 𝜆,
Для
среднее
экспоненциально
равно
𝑉𝑎𝑟𝑌 = 𝜆2
распределенной
среднеквадратичному
случайной
отклонению,
что
величины
является
довольно жестким условием.
П р и м е р 5. Пусть для некоторого объекта страхования средние убытки
от пожара за год оцениваются как MY = 50. Предположим, что потери для
данного объекта имеют экспоненциальное распределение. Так как 𝑀𝑌 ≈ 1/𝜆,
параметр распределения 𝜆 ≈ 0.02 . Тогда экспоненциальное распределение
убытка при пожаре на интервале [0, 150] будет графически выглядеть как на
рис. 9 и 10.
Используя формулы для 𝐹𝑌 (𝑥) и ƒ𝑌 (𝑥), определим для этого примера
вероятность предъявления требования в сумме 70 ден.
F (x)
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0 10
270
20
300
30
40
50
60
70
80
90 100 110 120 130 140 150 160 170 x
Рис. 9. График функции распределения вероятностей при
экспоненциальном распределении убытка при пожаре со средним
убытком 50 за год на интервале [0, 150].
41
f (x)
0,02
0,015
0,01
0,005
0 10
270
20
300
30
40
50
60
70
80
90 100 110 120 130 140 150 160 170 x
Рис. 10. График плотности распределения вероятностей при
экспоненциальном распределении убытка при пожаре со средним убытком
50 за год на интервале [0, 150].
ед.
–
Р(70 ≤ 𝑌 ≤ 71) ≈ ƒ𝑌 (70) ≈ 0.004932. А вероятность,
что предъявленное требование будет составлять сумму не более 70 ден. ед.
– P(𝑌 ≤ 70) = 𝐹𝑌 (70) = 0.7534.
Отметим, что, предполагая экспоненциальное распределение для
потерь, мы, таким образом, подразумеваем возможность катастрофически
больших значений убытков (нет ограничения на х сверху). Тем не менее,
плотность экспоненциального распределения является быстро убывающей
функцией х, что делает вероятность больших значений убытков ничтожно
малой. В нашем примере вероятность того, что возможные убытки превысят
среднее ожидаемое значение в 1.4 раза, меньше 0.5%.
Характерная черта экспоненциального распределения – большое число
небольших исков и возможность редких очень больших исков, то есть оно
является асимметричным и «длиннохвостым».
Распределение Парето
Случайная величина У имеет распределение Парето с параметрами 𝜆 >
0 и 𝛼 > 0, если ее плотность задана как
42
𝛼
𝜆
ƒ𝑌 (𝑥) = 𝜆 (𝜆+𝑥)𝛼+1 ,
𝑥>0
Функция распределения в этом случае задана как
𝜆
𝐹𝑌 (𝑥) = 1 − (𝜆+𝑥)𝛼
Числовые
характеристики
для
случайной
величины,
имеющей
распределение Парето, рассчитаем, используя формулы (2.1) и (2.2). Среднее
значение
∞
∞
𝛼
𝜆
𝛼+1
𝐸𝑌 = ∫ 𝑥 ∗ 𝜆 (𝜆+𝑥)
𝑑𝑥 = {замена 𝑦 = 𝜆 + 𝑥} =
𝛼𝜆𝛼+1
𝜆
0
∫(𝑦 − 𝜆) 𝑦 −𝛼−1 𝑑𝑦 =
𝜆
∞
𝑦 𝛼+1
𝑦 −𝛼
= 𝛼𝜆𝛼 ∫(𝑦 −𝛼 − 𝜆𝑦 𝛼−1 )𝑑𝑦 = 𝛼𝜆𝛼 −𝛼+1 − 𝜆 −𝛼 ⃒
𝜆
видно,
∞
=
𝜆
что этот интеграл сходится только при а > 1.
В этом
случае он равен
𝜆−𝛼+1
= 𝛼𝜆𝛼 (− −𝛼+1 −
𝜆−𝛼+1
)
−𝛼
𝛼𝜆
𝜆
= 𝑎−1 − 𝜆 = 𝛼−1
Для второго момента имеем
∞
𝛼
𝛼+1
𝜆
𝐸𝑌 2 = ∫ 𝑥 2 ∗ 𝜆 (𝜆+𝑥)
𝑑𝑥 =
0
∞
= {замена 𝑦 = 𝜆 + 𝑥} =
𝛼𝜆𝛼+1
𝜆
∫(𝑦 − 𝜆)2 𝑦 −𝛼−1 𝑑𝑦 =
𝜆
∞
= 𝛼𝜆𝛼 ∫(𝑦 −𝛼+1 − 2𝜆𝑦 𝛼 + 𝜆2 𝑦 −𝛼−1 )𝑑𝑦 =
𝜆
−𝛼 ∞
𝑦 −𝛼+2
𝑦 −𝛼+1
𝑦⃒
= 𝛼𝜆𝛼 −𝛼+2 − 2𝜆 −𝛼+1 + 𝜆2 −𝛼 =
𝜆
видно, что этот интеграл сходится только при 𝛼 > 2. В этом случае он
равен
𝜆−𝛼+2
= 𝛼𝜆𝛼 (− −𝛼+2 − 2
𝜆−𝛼+2
)
−𝛼
2𝜆2
= (𝛼−1)(𝛼−2)
Отсюда получаем выражение для дисперсии
𝜆2 𝛼
𝑉𝑎𝑟𝑌 = 𝐸𝑌 2 − (𝐸𝑌)2 = (𝛼−1)(𝛼−2)
43
Как отмечено выше, конечное среднее распределение Парето имеет
только при 𝛼 > 1 , а конечную дисперсию – при 𝛼 > 2 . Коэффициент
вариации случайной величины, имеющей распределение Парето равен 𝑊𝑌 =
𝜎𝑌/𝐸𝑌 = √𝛼/(𝛼 − 2). Видно, что коэффициент вариации всегда больше
единицы. Это говорит о том, что характерная особенность распределения
Парето – вероятность больших значений исков достаточно велика.
П р и м е р 6. Для массива убытков со средним 50 и дисперсией 4000
предположим
в
качестве
гипотетического
распределения
потерь
распределение Парето. Первый шаг – оценка параметров распределения.
Воспользуемся методом моментов для подбора значений параметров 𝛼 и 𝜆.
Тогда
𝜆
{
𝐸𝑌 = 𝛼−1 ≈50
𝜆2 𝛼
𝑉𝑎𝑟𝑌 = (𝛼−1)2(𝛼−2)≈4000
– система из двух уравнений относительно переменных а и А. Разрешая
ее, получаем, что 𝛼 =
Тогда,
16
3
и 𝜆 = 650/3.
например,
на
интервале
[0, 150]
графически
это
распределение выгладит, как на рис. 11 и 12.
F (x)
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0 10
270
20
300
30
40
50
60
70
80
90 100 110 120 130 140 150 160 170 x
Рис. 11. График функции распределения вероятностей, если убыток
имеет распределение Парето со средним 50 и дисперсией 4000 на интервале
[0, 150].
44
Для этого примера вероятность убытка размером 70 ден. ед. – Р(70 ≤
𝑌 ≤ 71) ≈ ƒ𝑌 (70) ≈ 0.0418 ,
а
вероятность
предъявления
убытка
размером не более 70 ден. ед. – 𝐹𝑌 (70) = 0.7753.
Распределение Парето также асимметрично, но "хвост" у него более
тяжелый, чем у экспоненциального распределения, то есть вероятность
больших размеров возмещений больше, чем в предыдущем случае.
f (x)
0,02
0,015
0,01
0,005
0 10
270
20
300
30
40
50
60
70
80
90 100 110 120 130 140 150 160 170 x
Рис. 12. График плотности распределения вероятностей, если убыток
имеет распределение Парето со средним 50 и дисперсией 4000 на интервале
[0, 150].
Гамма-распределение
Случайная величина Y имеет гамма-распределение с параметрами 𝜆 >
0 и 𝛼 > 0, если:
1
ƒ𝑌 (𝑥) = Г(𝛼)𝜆𝛼 𝑥 𝛼−1 𝑒 −𝜆𝑥 ,
𝑥≥0
𝑥
𝜆𝛼
𝐹𝑌 (𝑥) = Г(𝛼) ∫ 𝑡 𝛼−1 𝑒 −𝜆𝑡 𝑑𝑡,
0
∞
где Г – гамма − функция,
Г (𝑥) = ∫ 𝑡 𝑥−1 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡,
0
45
Преобразование Лапласа для гамма-распределения
𝑡
𝜑𝑌 (𝑡) = (1 + 𝜆)−𝛼
Отсюда,
используя
(2.4),
находим
среднее
значение
для
случайной величины, имеющей гамма-распределение:
𝑡
1
𝛼
𝜑𝑌′ (𝑡) = −𝛼(1 + 𝜆)−𝛼−1 ∙ 𝜆,
𝜑𝑌′ (0) = − 𝜆
𝑡
1
𝜑𝑌′′ (𝑡) = (−𝛼)(−𝛼 − 1)(1 + 𝜆)−𝛼−2 ∗ 𝜆,
𝜑𝑌′′ (0) =
𝛼
−𝛼(−𝛼−1)
𝜆2
𝛼
𝐸𝑌 = −𝜑𝑌′ (0) = 𝜆 ,
𝑉𝑎𝑟𝑌 = 𝜑𝑌′′ (0) − (𝜑𝑌′ (0))2 = 𝜆2
Пример - 7. Для данных предыдущего примера (средние убытки
составили 50, а дисперсия – 4000 ден. ед.) предположим теперь гаммараспределение убытков. Параметры гамма-распределения 𝛼 и 𝜆 можно
подобрать аналогичным образом:
𝐸𝑌 =
{
𝑉𝑎𝑟𝑌 =
𝛼
≈ 50;
𝜆
𝛼
≈ 4000.
𝜆2
5
⇒ {
𝜆 ≈ 400,
5
𝛼 ≈ 8.
Тогда гамма-распределение на интервале [0, 150] будет выглядеть, как
на рис. 13 и 14.
F (x)
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0 10
270
20
300
30
40
50
60
70
80
90 100 110 120 130 140 150 160 170 x
Рис. 13. График функции распределения вероятностей при гаммараспределении убытков при пожаре для некоторого объекта страхования на
интервале [0, 150].
46
Рис. 14. График плотности вероятностей при гамма-распределении
убытков при пожаре для некоторого объекта страхования на интервале [0,
1501.
Для данного примера вероятность убытка размером в 70 дей. ед.
приблизительно равна Р(70 ≤ 𝑌 ≤ 71) ≈ ƒ𝑌 70) = 0.0038 . Вероятность
убытка размером не более 70 ден. ед – 𝐹𝑌 (70) = 0.7575.
При 𝑥 → ∞ плотность гамма - распределения убывает быстрее, чем
плотность распределения Парето, но медленнее, чем экспоненциальная
плотность. Это означает, что для одинакового размера убытка вероятность его
возникновения
при
гамма
–
распределении
больше,
чем
при
экспоненциальном распределении, но меньше, чем при распределении
Парето. При 𝛼 > 1 гамма – распределение отвечает ситуации, когда иски в
основном сгруппированы вокруг некоторого значения, а небольшие иски
возможны, но маловероятны.
Бета-распределение
Непрерывная
случайная
величина
Y
имеет
бета-распределение
вероятностей, если ее функции распределения вероятностей и плотности
вероятностей заданы как
𝑥
Г(𝛼+𝛽)
𝐹𝑌 (𝑥) = 𝑃(𝑌 ≤ 𝑥) = Г(𝛼)+Г(𝛽) ∫ 𝑡 𝛼−1 (1 − 𝑡)𝛽−1 𝑑𝑡
0
0 ≤ 𝑥 ≤ 1,
47
Г(𝛼+𝛽)
ƒ𝑌 (𝑥) = 𝑥 𝛼−1 (1 − 𝑥)𝛽−1 Г(𝛼)+Г(𝛽),
1 ≤ 𝛼 < ∞,
1≤𝛽<∞
Среднее значение и дисперсия равны, соответственно,
𝛼
𝛼𝛽
𝐸𝑌 = 𝛼+𝛽,
𝑉𝑎𝑟𝑌 = (𝛼+𝛽)2(𝛼+𝛽+1)
Квадратичное распределение
Непрерывная случайная величина У имеет квадратичное распределение
вероятностей, если ее функции распределения вероятностей и плотности
вероятностей заданы как
𝑥3
𝐹𝑌 (𝑥) = 𝑝(𝑌 ≤ 𝑥) = 𝑎 3 +
𝑏𝑥 2
2
+ 𝑐𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
ƒ𝑌 (𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
с коэффициентами a, b и с такими, что 𝑓𝑌 (𝑥) ≥ 0 для
0 ≤ х ≤ 1 и ∫ ƒ𝑌 (𝑥)𝑑𝑥 = 1 . Среднее значение и дисперсия для
случайной величины, имеющей квадратичное распределение вероятностей,
равны соответственно
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎
𝐸𝑌 = 15 + 8 + 4,
𝑏
𝑐
𝑉𝑎𝑟𝑌 = 18 + 10 + 4
Нормальное распределение
Случайная величина Y имеет нормальное распределение, если
ƒ𝑌 (𝑥) =
1
2 /2𝐷
√2𝜋𝐷
𝑒 −(𝑥−𝐴)
,
𝑥
𝐹𝑌 (𝑥) =
1
√2𝜋𝐷
(𝑡−𝐴)2
−
∫ 𝑒 2𝐷 𝑑𝑡
= Ф[
𝑥−𝐴
√𝐷
]
−∞
где Ф – стандартная нормальная функция распределения. Среднее
значение ЕY = А, а дисперсия VarY = D.
48
П р и м е р 8. Для нашего примера нормальное распределение со
средним А = 50 и дисперсией D = 4000 на интервале [0, 150] будет выглядеть,
как на рис. 15 и 16.
F (x)
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0 10
270
20
300
30
40
50
60
70
80
90 100 110 120 130 140 150 160 170 x
Рис. 15. График функции распределения вероятностей при нормальном
распределении потерь со средним 50 и дисперсией 4000 на интервале [0, 150].
Отметим, что вероятность убытка размером 70 ден. ед. равна вероятности
убытка размером 30 ден. ед.: Р(70 ≤ У ≤ 71) ≈ ƒ𝑌 (70) = ƒ𝑌 (30) =
0.00600019. Вероятность убытка не более 70 ден. ед. – 𝐹𝑌 (70) = 0.6241.
f (x)
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0 10
270
20
300
30
40
50
60
70
80
90 100 110 120 130 140 150 160 170 x
Рис. 16. График плотности вероятностей при нормальном распределении
потерь со средним 50 и дисперсией 4000 на интервале [0, 150].
49
Нормальное распределение имеет нулевую асимметрию, то есть
вероятность убытков, отличающихся от среднего в обе стороны на
одинаковую величину, одинакова (поэтому ƒ𝑌 (70) = ƒ𝑌 (30)).
Для убытка по одному страховому случаю и по одному договору это не
является типичным. Нормальное распределение имеет гораздо большее
значение при исследовании общих выплат по группе договоров. На этом его
свойстве основаны методики расчета страховых тарифов.
2.3. Модель индивидуального и коллективного рисков
Классификация рисков
Как уже говорилось выше, существуют различные подходы к
классифицированию риска. Мы приводим здесь такой способ классификации,
который
упрощает
моделирование
рисков.
Сразу
отметим,
что
классифицируются риски, поддающиеся страхованию и страховой компании,
а не риски вообще. Мы будем называть классификацией процесс,
заключающийся в разделении потенциально застрахованных на различные
однородные группы с целью определения страховых взносов для каждой
группы. Он состоит в следующем.
В
качестве
первой
категории
деления
рисков
выделим
продолжительность риска во времени. В соответствии с этой категорией
риски можно разбить на «краткосрочные» и «долгосрочные».
Краткосрочные риски – время действия риска мало и можно пренебречь
влиянием инфляции и инвестиционным доходом,
который можно было бы получить за это время с премии за данный
риск. Условимся считать протяженность такого риска единицей времени.
Долгосрочные риски – влиянием времени пренебречь нельзя.
50
Следует отметить, что здесь идет речь о временной протяженности
риска или сроке действия соответствующего договора, а не о динамике
риска. Динамика риска (зависимость от времени) может рассматриваться
как в моделях краткосрочных рисков, так и в долгосрочных моделях. В этом
случае говорят о «динамических» моделях риска. В противном случае, то
есть если в исследовании не присутствует временная зависимость, говорят о
«статических» моделях риска.
Следующая категория предполагает деление рисков в соответствии с
тем, сколько раз страховое событие может происходить с одним субъектом
и, следовательно, сколько требований о возмещении может поступить по
одному договору. Различают два случая. Страховое событие может произойти
с одним субъектом только один раз. Типичным примером такого события
является смерть. Страховое событие может произойти с одним субъектом
более одного раза. Типичными примерами таких событий могут послужить
кража, авария. В первом случае говорят об индивидуальном риске,
во
втором – о коллективном.
Модель индивидуального риска
Здесь мы будем говорить «страховой портфель», подразумевая под
этим
совокупность
застрахованных
рисков,
объединённых
с
целью
минимизации. Каждая такая совокупность характеризуется следующими
признаками и соответствующими им параметрами:
1.
Число объектов в совокупности. Удобнее говорить о числе
договоров, попавших в данную совокупность.
2.
Максимальная
величина
определена).
51
возможного
убытка
(если
она
3.
Распределения требований и потерь, характеризующие риски,
вошедшие в данную совокупность,
и связанные с ними числовые
характеристики.
4.
Характеристики зависимости рисков, вошедших в совокупность.
5.
Числовые характеристики общей совокупности.
Для начала мы будем рассматривать стационарный портфель, то есть
такую совокупность договор, для которой сохраняется равновесие между
«приливом» и «отливом» договоров.
Однородный портфель
Далее мы будем говорить «однородный» портфель, подразумевая, что
все риски данного портфеля одинаковы то есть заданы как (𝐹𝑁 , 𝐹𝑋1 ) или же
тогда, когда данный портфель устроен как объединение нескольких групп
одинаковых рисков причем это объединение по крайней мере не увеличивает
несбалансированность групп рисков рассматриваемых по отдельности. На
практике, говоря об однородности портфеля, оценивают тем или иным
способом
сбалансированность
распространенны
в
силу
данной
простоты
так
совокупности.
называемый
Наиболее
«коэффициент
однородности», рассчитываемый как отношение максимальной страховой
суммы данной совокупности к средней страховой сумме, и «критерий
однородности», утверждающий, что однородным является тот портфель, для
которого отклонение страховых сумм от средней не превосходит 2. Для
формирования
однородных
портфелей
производят
так
называемое
«выравнивание риска», страховщик делит риск со страхователем или
перестраховщиком. Далее мы рассмотрим то, как это выглядит с формальной
точки зрения.
Наш подход в определенной степени «теоретичен», но и применять мы
его собираемся для построения теоретических размеров фондов страховых
52
обязательств
и
премий.
Мы
в
качестве
определяющего
критерия
однородности портфеля будем рассматривать коэффициент вариации выплат
по данному портфелю (степень риска – см. выше) и, кроме того, будем
рассчитывать
значения
«коэффициента
однородности»
и
«критерия
однородности» там, где для нас это будет возможно.
Предварительное определение степени риска групп договоров на
основе сравнения коэффициентов вариации
Пример 14. Пусть портфель договоров состоит из договоров двух
типов. Потери по одному договору первого типа описывает случайная
величина Y, принимающая значения 8, 4 и 1 с вероятностями 1/16, 3/16, 3/4
соответственно –
1
𝐸𝑌1 = 2
16
3
3
𝐸12 = 7
𝑌1 = 4,
Числовые характеристики 𝑌:
4
16
3
3
𝑉𝑎𝑟
𝑌
=
3
1
{
4
{ 1, 4
8,
Потери для договоров второго типа равномерно распределены на
отрезке от нуля до восьми. Страховое событие возникает с одинаковой
вероятностью для всех договоров данного портфеля и вероятность эта равна
0.05. Для простоты предположим, что договоров обоих типов в портфеле
поровну, скажем по 10. Тогда числовые характеристики для части портфеля,
состоящей из договоров первого типа
𝐸1 = 𝑛 ∙ 𝐸𝑋1 = 10𝑞𝐸𝑋1 = 1
𝑉1 = 𝑛 ∙ 𝑉𝑎𝑟𝑋1 = 10𝑞(𝐸𝑌12 − 𝑞(𝐸𝑋1 )2 ) ≈ 3,523
𝑊1 = 𝑊(𝑋 (1) ) =
√𝑉1
≈ 1,877
𝐸1
Для договоров второго типа числовые характеристики равны
53
𝐸2 = 𝑛 ∙ 𝐸𝑋2 = 10𝑞𝐸𝑌2 = 2
𝑉2 = 𝑛 ∙ 𝑉𝑎𝑟𝑋2 = 10𝑞(𝐸𝑌22 − 𝑞(𝐸𝑋2 )2 ) ≈ 10,27
𝑊2 = 𝑊(𝑋 (2) ) =
√𝑉2
≈ 1,6
𝐸2
Степень риска для портфеля равна
𝐸 = 𝐸1 + 𝐸2 = 3
𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 ≈ 13,793
𝑊 = 𝑊(𝑋) =
√𝑉
≈ 1,238
𝐸
Здесь мы обозначили как 𝑋 (1) и 𝑋 (2) – случайные величины,
описывающие выплаты по первой и второй частям портфеля соответственно.
Мы видим, что при объединении двух групп договоров в один портфель
степень риска 𝑊 результирующего портфеля стала меньше, чем степени
риска 𝑊1 и 𝑊2 для каждой из частей. Это говорит о том, что результирующий
портфель
лучше
сбалансирован,
чем
каждая
из
групп
договоров,
рассматриваемая отдельно. Но понятно, что данное улучшение достигается
за счет договоров второй группы. Это необходимо учесть при вычислении
тарифов. Здесь мы подразумеваем, что в этом случае тарифы для договоров
разных групп данного портфеля должны быть различны, иначе менее
выгодный риск (первый) по расчетам будет оплачиваться за счет второго.
Это сделает рассчитанный тариф более привлекательным для клиентов,
имеющих риск первого типа, что в конечном итоге может привести к
превышениям выплат. Как уже говорилось выше, в рамках статических
моделей изучаемые объекты рассматриваются вне зависимости от времени.
Таким образом, по сути, статическая модель описывает состояние изучаемых
объектов в единичном интервале времени. Приведем наиболее простую, но в
некотором отношении типичную модель.
Основные предположения модели
54
Будем рассматривать портфель договоров страхования, имеющих
одинаковую
временную
протяженность
(равную
единице
времени),
заключенных в момент времени 0 и завершающихся не позднее момента
времени 1. Все договора портфеля относятся к одному страховому событию.
Пусть
1.
Число договоров в данном портфеле фиксировано и неслучайно.
2.
Риски клиентов независимы между собой.
3.
Плата за страховку вносится страхователем полностью в начале
анализируемого
периода (в момент 0) и
никаких дополнительных
поступлений от страхователей в течение периода до 1 нет.
4.
Распределение потерь для всех договоров портфеля одинаково.
5.
Размер требования в случае страхового события выплачивается
полностью и сразу по предъявлении иска (до момента 1).
В рамках данной модели изучается состояние активов страховой
компании к моменту завершения действия договоров, а основная задача –
расчет фонда страхового возмещения, обеспечивающего финансовую
устойчивость, и, следовательно, определение страхового взноса по такому
риску.
Обозначения, определения и используемые функции
Для построения модели введем следующие обозначения:
𝑛 - число договоров в портфеле;
𝑗 - номер договора (индекс клиента);
𝑞 - вероятность страхового события для одного клиента;
𝑁𝑗 = {10
𝑞
1−𝑞
- индикатор страхового события для 𝑗 клиента;
𝑛
𝑁 = ∑ 𝑁𝑗 − общее число требований к моменту 1 по данному портфелю;
𝑗=1
55
𝑌𝑗 - возможные потери одного клиента;
𝐹𝑌𝑗 - функция распределения потерь для одного клиента.
Если существует плотность распределения потерь, то обозначим ее как
𝑓𝑌𝑗 . Согласно предположению 4 (см. выше), потери одинаково распределены
для всех клиентов портфеля, поэтому индекс клиента 𝑗 у случайной
величины 𝑌𝑗 можно заменить, скажем 1.
𝑋𝑗 - выплаты на одного клиента;
𝑋𝑗 = 𝑁𝑗 ∙ 𝑌𝑗
𝑛
𝑋 = ∑ 𝑋𝑗 − суммарные выплаты к моменту 1 по данному портфелю;
𝑗=1
𝛾 - уровень надежности выполнения обязательств страховой компании
по выплатам;
𝑈 - размер фонда возмещений, который с надежностью 𝛾 обеспечивает
выплаты по всем требованиям для данного портфеля.
Таким образом, договора портфеля имеют риск (𝐹𝑁𝑗 , 𝐹𝑌𝑗 ). Суммарный
риск компании по данному портфелю, следовательно (𝐹𝑁 , 𝐹𝑋 ).
Формализация модели индивидуального риска
Разделим рассмотрение на четыре части, подразумевающие некоторые
различия в подходах к построению модели, а общую схему рассмотрения
представим следующими шагами:

ограничения, обусловливающие данный случай;

расчет резерва страховых выплат;

сбалансированность.
1. Число договоров в портфеле велико. Портфель содержит одинаковые
риски.
.
56
Выполнение страховой компанией своих обязательств по требованиям
о выплате с надежностью 𝛾 формально можно записать как
𝑃(𝑈 − 𝑋 ≥ 0) = 𝛾
Тогда, если число договоров в портфеле велико, то можно применить
центральную предельную теорему для оценки 𝑈
𝑃(𝑋 ≤ 𝑈) = 𝑃 (
𝑋 − 𝐸𝑋
𝑈 − 𝐸𝑋
→
)≤
𝜎𝑋
𝜎𝑋
𝛼(𝛾)
→ ∫
−∞
1 −𝑥 2/2
𝑒
𝑑𝑥 = 𝛾
2𝜋
где 𝛼(𝛾) соответствующая 𝛾 квантиль стандартного нормального
распределения со средним 0 и дисперсией 1, 𝐸𝑋 – среднеожидаемые выплаты
по всему портфелю договоров, а 𝜎𝑋 – среднеквадратичное отклонение этих
выплат. Как и раньше, будем предполагать, что случайные величины 𝑁 и 𝑌
независимы. Тогда для расчета числовых характеристик суммарных выплат
можно воспользоваться результатом (2.17) и записать
+∞
𝑛
𝐸𝑋 = 𝐸𝑁 ∙ 𝐸𝑌1 = 𝐸(∑ 𝑁𝑗 ) ∙ ∫ 𝑡𝑑𝐹𝑌1 (𝑡) =
𝑗=1
−∞
+∞
𝑛𝑞 ∙ ∫ 𝑡𝑑𝐹𝑌1 (𝑡);
−∞
𝑉𝑎𝑟𝑋 = 𝑉𝑎𝑟𝑁 ∙ (𝐸𝑌1 )2 + 𝑉𝑎𝑟𝑌1 ∙ 𝐸𝑁 =
+∞
𝑛𝑞(1 − 𝑞) ∙ ( ∫ 𝑡𝑑𝐹𝑌1 (𝑡)) 2 +
−∞
+∞
+∞
𝑛𝑞 ∙ ( ∫ 𝑡𝑑𝐹𝑌1 (𝑡) − ( ∫ 𝑡𝑑𝐹𝑌1 (𝑡)) 2 );
−∞
−∞
𝜎𝑋 = √𝑉𝑎𝑟𝑋
57
И, следовательно, необходимый для
покрытия возмещений
резервный фонд можно посчитать как
𝑈 − 𝐸𝑋
= 𝛼(𝛾) ⇒ 𝑈 = 𝛼(𝛾)𝜎𝑋 + 𝐸𝑋 = 𝐿 + 𝐸𝑋
𝜎𝑋
Величину L называют фондом суммарной страховой нагрузки. Следует
отметить, что условия применения центральной предельной теоремы в этом
случае соблюдены, а именно, случайные величины 𝑋𝑖 независимы и
одинаково распределены.
Отметим, что справедлива следующая уценка погрешности
аппроксимации нормальным распределением
𝑥
1
𝑠𝑢𝑝
𝑋 − 𝐸𝑋
1
≤ 𝑥} − ∫
𝑒 𝑡 2 𝑑𝑡| ≤
|𝑃 {
𝑥
𝜎𝑋
√2𝜋
−∞
0,7975
𝐸|𝑋1 |3
, если
3
(𝑉𝑎𝑟𝑋1 )2 √𝑛
𝑋𝑖 одинаково распр.
33 ∑𝑛𝑖=1 𝐸|𝑋𝑖 |3
3 , если 𝑋𝑖 не одинаково распр.
4
𝑛
{ (∑𝑖=1 𝑉𝑎𝑟𝑋𝑖 )2
Коэффициент вариации (степень риска) в этом случае можно
рассчитать как
1/2
𝜎𝑋
𝑛𝑞(1 − 𝑞)(𝐸𝑌1 )2 + 𝑛𝑞𝐸𝑌12 − 𝑛𝑞(𝐸𝑌1 )2
𝑊(𝑋) =
=(
)
𝐸𝑋
𝑛2 𝑞 2 (𝐸𝑌1 )2
1/2
𝑞(𝐸𝑌1 )2 + 𝐸𝑌12
=(
)
𝑛𝑞(𝐸𝑌1 )2
1/2
1
𝐸𝑌12
= [ (1 +
)]
𝑛
𝑞(𝐸𝑌1 )2
где как A мы обозначили число
𝐸𝑌12
𝑞(𝐸𝑌1 )2
=
1/2
1
= ( (1 + 𝐴))
𝑛
,
, не зависящее от объёма
портфеля n и являющееся целиком характеристикой риска одного договора.

Использованы материалы семинары по теории риска, проводимого актуарным центром МГУ им.
М.В. Ломоносова.
58
Мы видим, что степень риска портфеля убывает как 1/√𝑛 и возрастает
пропорционально 𝐴 + 1.
Пример 15. Пусть портфель состоит из 40 независимых договоров,
1
потери по каждому имеют экспоненциальное распределение со средним =
𝜆
2, а вероятность наступления страхового случая одинакова для всех договор
портфеля и равна 0,04. Требуемая надёжность обеспечения выплат 𝛾 = 0,95.
Тогда числовые характеристики для потерь на один договор
𝐸𝑌1 = 2,
𝐸𝑌12 =
2
=8
𝜆2
𝑉𝑎𝑟𝑌1 = 𝐸𝑌12 − (𝐸𝑌1 )2 = 4
Следовательно, для числовых характеристик общих выплат можно
записать
𝐸𝑋 = 𝑛𝑞𝐸𝑌1 = 40 ∙ 0,04 ∙ 2 = 3,2
𝑉𝑎𝑟𝑋 = 𝑛𝑞(1 − 𝑞)(𝐸𝑌1 )2 + 𝑛𝑞(𝐸𝑌12 − (𝐸𝑌1 )2 ) =
= 40 ∙ 0.04 ∙ 0.96 ∙ 4 + 40 ∙ 0.04 ∙ 4 = 7,936
𝜎𝑋 = √𝑉𝑎𝑟𝑋 ≈ 2.82
Размер страхового резерва, который с вероятностью 𝛾 обеспечит все
выплаты, согласно (2.10) равен
𝑈 = 1,645 ∙ 2,82 + 3,2 = 7,8389
Погрешность гауссовского приближения можно рассчитать. Для этого
необходимо рассчитать третий момент для величины X.
∞
𝐸𝑋13 = 𝐸𝑁𝑗3 ∙ 𝐸𝑌13 = 𝑞 ∙ ∫ 𝑥 3 𝜆𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥 = 𝑞 ∙
0
6
= 0,04 ∙ 48 = 1,92
𝑥3
Тогда погрешность аппроксимации нормальным распределением в
этом случае оценивается сверху числом
0,7975
𝐸|𝑋1 |3
(𝑉𝑎𝑟𝑋1 )3/2 √𝑛
= 0,7975
59
1,92
√40 ∙ 64
≈ 0,0048
Степень риска в этом случае можно рассчитывать как
𝜎𝑋
𝑉𝐴𝑟𝑋 1/2
𝑊𝑋 =
=(
) = 0,775 < 1,
(𝐸𝑋)2
𝐸𝑋
что говорит о том, что данный портфель более или менее хорошо
сбалансирован.
Модель коллективного риска
В моделях индивидуального риска рассматривают отдельные договоры и
связанные с ними возможные выплаты. Для получения характеристик
портфеля в целом суммируются характеристики отдельных договоров. С
формальной точки зрения получается простая модель, в том случае, если один
(любой) договор портфеля может привести только к одному требованию о
выплате (или не привести к нему).
Только такие договора и связанные с ними риски рассматривает модель
индивидуального риска. Тем не менее, известно, что в большинстве видов
имущественного страхования один договор может привести более чем к
одному требованию. Такие договора и связанные с ними риски рассматривают
в моделях коллективного риска.
Здесь как в модели индивидуального риска основной задачей мы
поставим обоснование размера страхового резерва, обеспечивающего выплаты
по требованиям для одного портфеля договоров коллективного риска.
Здесь как в модели индивидуального риска основной задачей мы
поставим обоснование размера страхового резерва, обеспечивающего выплаты
по требованиям для одного портфеля договоров коллективного риска.
Основные предположения модели
60
Будем рассматривать портфель договоров страхования, имеющих
одинаковую
временную
протяженность
(равную
единице
времени),
заключенных в момент времени 0 и завершающихся не позднее момента
времени 1. Это в некотором роде статический случай, ибо отсутствует
временная переменная. Все договора портфеля относятся к одному
страховому событию. Пусть
1.
Риски клиентов независимы между собой.
2.
Плата за страховку вносится страхователем полностью вначале
анализируемого
периода (в момент 0) и
никаких дополнительных
поступлений от страхователей в течение периода до 1 нет.
3.
Распределение потерь для всех договоров портфеля одинаково.
4.
Размер требования в случае страхового события выплачивается
полностью и сразу по предъявлении иска (до момента 1).
5.
Выплаты по требованиям независимы и одинаково распределены.
В рамках данной модели изучается состояние активов страховой
компании к моменту завершения действия договоров, а основная задача, как
уже
говорилось
выше,
–
расчет
фонда
страхового
возмещения,
обеспечивающего финансовую устойчивость и, следовательно, определение
страхового взноса по такому риску.
Обозначения, определения, используемые функции
Обозначим как 𝑋𝑗 > 0 величину -го по счету требования о выплате.
Тогда суммарные выплаты могут быть описаны случайной величиной
𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑁 ,
где 𝑁 – случайная величина, описывающая общее количество исков за
анализируемый период. Иными словами, здесь мы имеем дело с суммой
случайного числа одинаково распределенных слагаемых. Производящая
61
функция для такой суммы есть композиция преобразования Лапласа для
случайной величины, описывающей размер ущерба и производящей функции
числа случаев:
𝘨𝑋 (𝑡) = 𝘨𝑁 (𝜑𝑋𝑗 (𝑡)),
и распределение выплат по портфелю можно попытаться восстановить
разложением производящей функции в ряд Тейлора в нуле. Стоит отметить,
что
в
случае
дискретных
потерь
вместо
преобразования
Лапласа
рассматривается производящая функция.
В некоторых случаях (распределение выплат дискретно или возможные
значения 𝑁 малы) расчет распределения общих выплат
упрощается
использованием сверток:
𝐹𝑋 (𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) =
∞
= ∑ 𝑃 (𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑘 ≤ 𝑥|𝑁 = 𝑘) ∙ 𝑃(𝑁 = 𝑘) =
𝑘=0
∞
𝑘
= ∑(𝐹𝑋∗1 ) 𝑃(𝑁 = 𝑘),
𝑘=0
где как ( 𝐹𝑋∗1 )𝑘 обозначена k-кратная свертка распределения потерь на один
договор.
Числовые характеристики для общих выплат можно рассчитать,
используя первую и вторую производные производящей функции, взятых в
нуле. В результате элементарных преобразований производных получаются
выражения для расчета числовых характеристик общих выплат в модели
коллективного риска
𝐸𝑋 = 𝐸𝑁 ∙ 𝐸𝑌1 ,
𝑉𝑎𝑟𝑋 = 𝑉𝑎𝑟𝑁(𝐸𝑌1 )2 + 𝑉𝑎𝑟𝑌 ∙ 𝐸𝑁
Отметим, что, несмотря на внешнюю похожесть формул, приведённых
выше, для вычисления характеристик, различие между ними выявляет
принципиальное
различие
моделей.
62
В
индивидуальной
модели
рассчитываются характеристики по одному договору, а затем результаты
суммируются по известному числу договоров. В коллективной же модели
число договоров не нужно знать по той причине, что моделируется число
требований о выплате.
Определение вероятности выполнения компанией
своих обязательств по портфелю договоров
имущественного страхования
Вероятность выполнения страховой компанией своих обязательств по
портфелю на момент завершения всех договоров математически выражается
следующим образом:
𝑃(𝑋 ≤ 𝑢0 ) = 𝑃(𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛 ≤ 𝑢0 ) =
= 𝑃(𝑌1 + 𝑌2 + ⋯ + 𝑌𝑁 ≤ 𝑢0 ).
где 𝑢0 –
это сумма,
которую компания может выплатить по
данному портфелю (назовем ее начальным резервом). То есть точное
решение
определению
задачи
нахождения вероятности 𝑃(𝑋 ≤ 𝑢0 ) сводится
функции
к
распределения 𝐹𝑋 (𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥). Как уже
отмечалось выше, это распределение имеет следующий вид:
𝐹𝑋 (𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) =
∞
= ∑ 𝑃(𝑌1 + ⋯ + 𝑌𝑁 ≤ 𝑥|𝑁 = 𝑘) ∙ 𝑃(𝑁 = 𝑘) =
𝑘=0
∞
= ∑ 𝐹𝑌∗𝑘 (𝑥) ∙ 𝑃(𝑁 = 𝑘),
𝑘=0
где 𝐹𝑌∗𝑘 (𝑥) – свертка -го порядка распределения Fy(x), определяемая
для непрерывной случайной величины У как
63
𝑥
𝐹𝑌∗2 (𝑥) = 𝐹𝑌+𝑌 (𝑥) = ∫ 𝐹𝑌 (𝑥 − 𝑦)𝑑𝐹𝑌 (𝑦)
0
Применяя эту формулу 𝑛 - 1 раз, можно подсчитать функцию
распределения 𝑛 слагаемых. Но так как определение вероятности неразорения
предполагает расчет функции распределения большого числа слагаемых, то это
дает возможность простого приближенного расчета. Приближенный расчет
основан на гауссовском (нормальном) приближении, которое в свою очередь
основано на центральной предельной теореме (ЦПТ) теории вероятности.
Применение ЦПТ возможно при большом количестве договоров страхования
(при nq > 5 и n(l - q) > 5)*. Страхование тяготеет к массовому охвату в силу
своей сути – перераспределения ущерба немногих пострадавших между всеми
застрахованными. Поэтому гауссовское приближение неадекватно отражает
ситуацию для небольших страховых компаний, но надо сказать, что
целесообразность существования небольших страховых компаний сама по
себе проблематична. Всерьез занимающаяся страхованием в условиях
настоящей конкуренции страховая компания – это скорее исключение, чем
правило. С таких позиций возможно применение гауссовского приближения
для определения вероятности неразорения страховой компании.
Предположим, что все договора рассматриваемого портфеля имеют
одинаковые риски, то есть распределение потерь Fy (x) на один страховой
случай одинаково для всех договоров, а страховое событие для всех
характеризуется вероятностным распределением FN. Тогда гауссовское
приближение выглядит следующим образом:
𝑋 − 𝐸(𝑋) 𝑢0 − 𝐸(𝑋)
𝑢0 − 𝐸𝑋
𝑃(𝑋 ≤ 𝑢0 ) = 𝑃 (
≤
) = Ф(
).
√𝑉𝑎𝑟𝑋
√𝑉𝑎𝑟𝑋
√𝑉𝑎𝑟𝑋
Кроме рассмотренной выше статической постановки задачи о
неразорении в зависимости от начального резерва, решенной с помощью
64
двух методов – точного расчета и оценки, основанной на гауссовском
приближении, рассмотрим еще несколько другую се постановку. Теперь
нашей задачей будет нахождение вероятности неразорения в зависимости от
двух начальных параметров – начального резерва (uQ) и нетто-ставки (Тн).
Для этого случая примем условие, что нетто-ставки одинаковы для всех
договоров данной группы.
Сначала оценим вероятность того, что разность между собранными
нетто-премиями и выплатами по договорам страхования будет меньше
некоторого числа 𝑟 с помощью гауссовского приближения (Р0 ).
Введем следующие обозначения, которые часто будут использоваться в
дальнейшем: 𝑆𝑖 – страховая сумма договора с номером 𝑖. Будем
считать
величины 𝑆 𝑖 случайными. Для некоторого упрощения предположим, что
рассматриваемый портфель состоит из договоров индивидуального риска, то
есть за время действия договора от него не может поступить более одного
требования о выплате возмещения. Тогда, как и прежде,
𝑞 – вероятность страхового события;
𝑋𝑖 – возмещение на один договор;
𝑅𝑌 =
√𝑉𝑎𝑟𝑌
– коэффициент вариации возможных в результате
𝐸𝑌
страхового случая потерь на один договор;
𝑅𝑆 =
√𝑉𝑎𝑟𝑆
– коэффициент вариации страховых сумм;
𝐸𝑆
𝑚 = 𝐸𝑉𝑖 = 𝐸
𝑋𝑖
𝑆𝑖
– среднеожидаемое относительное возмещение на
один договор.
В предположении независимости страховой суммы и возмещения по
одному договору, можно сказать, что
𝑚=𝐸
𝑋𝑖
𝐸𝑌𝑖
=𝑞
𝑆𝑖
𝐸𝑆𝑖
65
2
𝑋𝑖 𝑚2 (1 − 𝑞 + 𝑅𝑤
− 𝑞𝑅𝑆2 )
𝑑 = 𝑉𝑎𝑟 =
= 𝑑2
2
𝑆𝑖
𝑞 + 𝑞𝑅𝑆
2
–
дисперсия
относительного
страхового
возмещения
на
один
договор;
Пн𝑖 – нетто-премия по i-му договору. Пн𝑖 = Тн ∙ 𝑆𝑖 .
Тогда
для
вероятности
неразорения
при
𝑛→∞
можно
записать, что
𝑟 − 𝑛 ∙ 𝐸(Пн𝑖 − 𝑋𝑖 )
𝑃 [∑(Пн𝑖 − 𝑋𝑖 ) ≤ 𝑟] = Ф {
}=
2
√𝑛𝑑
𝑖
𝑟 − 𝑛 ∙ 𝐸𝑆𝑖 ∙ (Тн − 𝑚)
Ф{
}
√𝑛𝑑2
Соответственно, вероятность неразорения 𝜓 = 1 − 𝑃[∑(Пн𝑖 − 𝑋𝑖 ) ≤ 𝑟].
Таким образом, задача определения вероятности выполнения компанией
своих обязательств по всему портфелю к моменту завершения всех
договоров может быть решена с помощью математических методов. В
зависимости от предпочтений компании и от имеющихся данных можно
использовать точный расчет или различные оценки. Чем менее детальные
статистические данные имеет компания, тем более приблизительным будет
расчет. Но при массовом проведении страхования точность приближения
весьма велика. Вследствие относительной простоты и удовлетворительной
точности при достаточно большом количестве договоров (в работе Г.И.
Фалина, в частности говорится, что для N достаточен порядок нескольких
десятков) чаще всего применяется гауссовское приближение. Достоинство
гауссовского приближения в том, что не надо искать распределения размера
отдельной выплаты и числа выплат. В таком случае мы обходим этот этап и

Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании. – М.: Российский юридический
издательский дом, 1994, стр. 55.
66
сразу выходим на решение поставленной задачи – определение вероятности
неразорения.
Решение задач по оценке общего ущерба путём свёртки в формате
модели коллективного риска
Процедура выполняется в малых по размеру и неоднородных по
составу портфелях, в которых распределение ущерба не согласуется с
нормальным законом.
Предположим, что надо найти риск-премию и надбавку за риск для
портфеля из четырёх договоров, по которым с вероятностью 0,1 возможна
компенсация ущерба или частичного в 100 тыс. руб., или полного в 200 тыс.
рублей. Для оценки устойчивости этого портфеля следует оценить
распределение суммарного ущерба по всем договорам, учитывая, что
вероятность отсутствия какой-либо компенсации q = 1 - 0,1 - 0,1 = 0,8.
При этом риск-премия по одному договору определяется элементарно:
РП = 100 0,1 + 200 0,1 + 0 0,8 = 30 тыс. руб., а для четырёх договоров она
равняется 30 4 = 120 тыс. рублей. Но её хватает для возмещения только
частичного ущерба по одному договору. Поэтому для нахождения
относительной риск-надбавки применяется свёртка независимых одинаково
распределённых случайных величин (договоров) с последовательным
переходом от одной к двум, от двух к трём и т.д.
Для двух договоров с их вероятностями 0,8; 0,1 и 0,1 в каждом
возможны девять перекрёстных произведений вероятностей, сведённых в
матрицу:
0,64 0,08 0,08
0,08 0,01 0,01
0,08 0,01 0,01
67
Эта матрица преобразуется в вероятности ущерба для новой случайной
величины - объединения двух договоров - путём сложения вероятностей по
диагоналям снизу вверх. Получаются следующие числа: 0,64; 0,08+0,08=0,16;
0,08+0,01+0,08=0,17; 0,01+0,01=0,02; 0,01.
Теперь добавляется третий договор с его вероятностями 0,8; 0,1; 0,1 и
образуется матрица их перекрёстных произведений с вероятностями суммы
двух предыдущих договоров:
0,512 0,128 0,136 0,015 0,008
0,064 0,016 0,017 0,002 0,001
0,064 0,016 0,017 0,002 0,001
Складывая их по диагоналям снизу вверх, получаем вероятности
ущерба для новой случайной величины - объединения трёх договоров. То
есть: 0,512 0,192 0,216 0,049 0,027 0,003 0,001.
Аналогично строится матрица для присоединения четвёртого договора
с его вероятностями 0,8; 0,1 и 0,1. Так, выполнив перекрёстное
перемножение этих вероятностей с общими для трёх договоров, получим:
0,4096 0,1536 0,1728 0,0392 0,0:116 0,0024 0,0008
0,0512 0,0192 0,0216 0,0049 0.0С27 0,0003 0,0001
0,0512 0,0192 0,0216 0,0049 0,0С27 0,0003 0,0001
Эта матрица преобразуется в распределение вероятностей ущерба для
новой случайной величины - объединения четырёх договоров - путём
сложения вероятностей по диагоналям снизу вверх. То есть: 0,4096; 0,2048;
.0,2432; 0,080; 0,0481; 0,010; 0,0038; 0,0004; 0,0001.
В порядке контроля отметим, что сумма матричных, а также
сложенных по диагоналям вероятностей должна быть равна 1.
Наконец, выполняя кумуляцию этих величин нарастающим итогом,
получаем общие вероятности ущерба в целом по четырём договорам:
0,4096 0,6144 0,8576 0,9376 0,9857 0,9957 0,9995 0,9999 1.
68
Эти значения соответствуют вероятностям неразорения при количестве
собранных риск-премий по каждому из четырёх договоров. Так, если их не
будет ни в одном договоре, то вероятность неразорения 0,4096, то есть
портфель быстро обанкротится. При одной собран той риск-премии по 30
тыс. рублей в каждом договоре (всего 120 тыс. руб.) вероятность неразорения
0,6144 (меньше 62%), что тоже недопустимо мало. Значат, в страховой взнос
надо включать надбавку за риск.
Если она составит одну риск-премию на все четыре договора, то есть
по 30/4 = 7,5 тыс. рублей на один договор, то вероятность неразорения
повысится до 0,8576 (более 85%), что близко к норме. А если надбавка за
риск будет равна риск-премии в каждом договоре, то вероятность
неразорения составит 0,9957, что прекрасно для портфеля. Но столько
платить вряд ли согласятся клиенты, поэтому компромиссное решение
заключается в надбавке за риск в каждом договоре в размере половины рискпремии, что обеспечивает вполне приемлемую вероятность неразорения
0,9376 (около 94%).
69
Глава 3. Расчёт тарифных ставок. Различные задачи о разорении
3.1. Общие принципы определения премий
Как и для любого другого хозяйствующего субъекта, действующего в
условиях рыночной экономики, для страховой компании
одной из
важнейших задач является определение себестоимости производимого
продукта, в данном случае – страховой услуги. Как уже говорилось выше,
ставка для страховой компании – это определенная цена неопределенного
обязательства. Поэтому наиболее корректное определение ставки основано
на некотором усреднении имеющейся (или предполагаемой) группы договоров
и соответственно – на нахождении статистических характеристик этой
группы. Задача данного параграфа – привести методы расчета тарифных
ставок по имущественному страхованию. Необходимо сразу отметить, что,
говоря о тарифных ставках, мы будем подразумевать нетто-ставки, а именно –
их минимально допустимый уровень, т.е. себестоимость страховой услуги.
Расчет тарифных ставок будет проводиться на основе накопленной
статистики. В отличие от этого метода существует метод расчета ставок на
основе функции полезности. В его основе лежат не столько статистические
характеристики портфеля, сколько соотношения денежных предпочтений
компании и страхователя. В этом методе исследуется, насколько компания и
страхователь оценивают определенную сумму денег по сравнению с денежной
оценкой неопределенного риска. Как, отмечается в литературе, данный метод
значительно сложней. Для его применения необходимо иметь четкую систему
оценки компанией предпочтительности одной суммы денег по сравнению с
другой, что не представляется возможным в реальных условиях (по крайней
мере, на данный момент развития страхового дела в России). Поэтому будет
70
рассматриваться метод расчета тарифных ставок на основе, имеющейся у
страховой компании статистики.
Будем предполагать, что компания имеет статистические данные,
адекватно отражающие то страховое поле, с которым она работает, и что эта
статистика сопоставима. Примем следующие допущения:
1.
Портфель
договоров,
нетто-ставки
для
которого
будут
рассчитываться (перспективный 'портфель), содержит договора одинакового
объема ответственности.
2.
Договора страхования независимы и ожидаемые выплаты по ним
(случайные величины Xj одинаково распределены.
3.
Так же, как и в предыдущих моделях, мы не будем учитывать
инфляцию, инвестиционный доход и налоги
4.
Страховые премии вносятся полностью в начале периода
страхования.
5.
Число договоров в перспективном портфеле фиксировано и
неслучайно и достаточно велико, что дает возможность применения j
центральной предельной теоремы теории вероятностей.
Для
рассматриваемой
модели
мы
предполагаем
одинаковое
распределение выплат, то есть однородность договоров, следовательно,
единственным отличием договоров будут страховые суммы. На практике это,
естественно, не так и все договора отличаются друг от друга по степени
риска. Но все равно, усреднение тарифов проводится в любом случае, а
индивидуальная дифференциация устанавливается скорее экспертным путем,
попросту говоря "на глаз". Математически обосновать дифференциацию
премий по договорам можно путем факторного анализа очень большого
объема адекватной и сопоставимой информации. Вследствие недоступности
для страховых компаний такой информации по большинству видов
имущественного страхования, мы остановимся на методах определения
71
среднего по портфелю тарифа, исходя из предположения однородности
рисков.
Обозначения, используемые в предыдущем разделе, сохраняются.
Введем следующие обозначения (в терминах Методики расчета тарифных
ставок по рисковым видам страхования,
утвержденной распоряжением
Росстрахнадзора № 02-03-36 от 08.07.93 г.): Нетто-ставка страхового тарифа
– Тн – часть ставки страхового взноса с единицы страховой суммы,
предназначенная для обеспечения текущих страховых выплат по договорам
страхования. Пн – нетто-премия, Пн = Тн ∙ 𝑆, где S – страховая сумма. Т –
основная часть нетто-ставки, соответствующая средним выплатам
страховщика, По – соответствующая часть нетто-премии; Тр – рисковая
надбавка, учитывающая вероятность превышения суммы выплат по
перспективному портфелю над ее средним значением, Пр – соответствующая
часть нетто-премии.
Выше был указан способ расчета резерва страховых выплат,
обеспечивающих с заданной надежностью у все выплаты по портфелю
договоров. В этом случае величина резерва страховых выплат может быть
рассчитана как
𝑈 = а(𝛾) ∙ 𝜎Х + 𝐸𝑋 = 𝐿 + ЕХ
Пусть страховая нетто-премия устроена следующим образом:
Пн𝑖 = По𝑖 + Пр𝑖 = Е𝑋𝑖 + Пр𝑖
Такая структура нетто-ставки вытекает из принципов эквивалентности
отношений страховщика и страхователя и финансовой устойчивости
страховой компании. Принцип эквивалентности состоит в следующем:
страхователь должен заплатить страховщику столько, сколько в среднем на
него ожидается произвести выплат. Но, принимая на себя риск страхователя,
страховщик кроме средних ожидаемых потерь должен взимать некоторую
72
плату "за риск" – некоторым образом компенсирующую возможные флуктуации выплат.
Действительно, если премия по i-му договору страхования равна
ожидаемому убытку по этому договору: Пнi= Е(Хi), то, применяя гауссовское
приближение, для вероятности неразорения по перспективному портфелю
получим
𝑃 (𝑋 ≤ ∑ Пн𝑖 ) = 𝑃 (𝑋 ≤ ∑ 𝐸𝑋𝑖 ) =
𝑖
𝑖
= 𝑃(𝑋 − 𝐸𝑋 ≤ 0) = 𝑃 (
𝑋 − 𝐸𝑋
≤ 0) = Ф(0) = 0.5
√𝑉𝑎𝑟𝑋
Это неприемлемая величина вероятности неразорения с позиций
принципа финансовой устойчивости. То есть необходимо введение рисковой
надбавки с целью выполнения условия финансовой
Устойчивости, заключающегося в том, что собранных премий должно
хватить на выплату возмещений с заданной вероятностью 𝛾 , близкой к
единице:
𝑃 (𝑋 ≤ ∑ Пн𝑖 ) = ∑(По𝑖 + Пр𝑖 ) = 𝛾
𝑖
𝑖
Таким образом, определение нетто-премии – это как бы решение
задачи о неразорении "наоборот".
Итак, сумма начального резерва (сумма премий) может быть рассчитана
по формуле (3.1), с одной стороны, и с другой – суммированием правых
частей равенства (3.2). Иными словами,
𝑈 = 𝛼(𝛾)𝜎𝑋 + 𝐸𝑋 =
= ∑(𝐸𝑋𝑖 + Пр𝑖 ) = ∑ 𝐸𝑋𝑖 + ∑ Пр𝑖 =
𝑖
𝑖
= 𝐸𝑋 + ∑ Пр𝑖
𝑖
73
𝑖
с заданной вероятностью обеспечивает выполнение обязательств
страховой компании по договорам страхования. Сравнивая правую и левую
части равенства (3.3), получаем, что 𝐿 = 𝛼(𝛾)𝜎Х – часть резерва,
получающаяся суммированием рисковых надбавок. Назовем ее "фондом
суммарной страховой надбавки". Для определения премии страхователя
осталось решить вопрос о распределении фонда суммарной рисковой
надбавки между различными договорами. Существуют различные подходы к
решению этого вопроса. Остановимся на следующих.
Пропорциональность индивидуальным ожидаемым выплатам
Так как мы предположили однородность портфеля договоров, то
единственно
возможным
принципом
распределения
будет
пропорциональность ожидаемому убытку по данному договору:
Пр𝑖 = 𝑘 ∙ 𝐸𝑋𝑖
Коэффициент пропорциональности 𝑘должен быть таким, чтобы сумма
всех рисковых надбавок Пр𝑖 равнялась суммарному фонду страховой
надбавки L. Отсюда находим выражение для Пр𝑖
𝐿 = ∑ Пр𝑖 = ∑ 𝑘 ∙ 𝐸𝑋𝑖 = 𝑘 ∙ 𝐸𝑋 ⇒
𝑖
𝑖
⇒𝑘=
𝐿
𝐸𝑋
Следовательно, рисковая надбавка в этом случае должна определяться
по формуле
Пр𝑖 =
𝛼(𝛾)𝜎𝑋
𝐸𝑋𝑖
𝐸𝑋
Таким образом, для нетто-премии по i-му договору получается
следующее выражение:
Пн𝑖 = По𝑖 + Пр𝑖 =
74
= 𝐸(𝑋𝑖 ) + 𝛼(𝛾)√𝑉𝑎𝑟𝑋
𝐸𝑋𝑖
=
𝐸𝑋
= 𝐸𝑋𝑖 [1 + 𝛼(𝛾)√𝑉𝑎𝑟𝑋 ∕ 𝐸𝑋]
Коротко укажем другие принципы определения рисковой надбавки, для
случая, когда компания объединяет объекты с различными степенями риска
одним страховым фондом, хотя имеет возможность оценить вероятность
наступления и распределение индивидуального убытка для каждого риска. В
таком случае возможны следующие способы установления рисковых
надбавок.
Пропорциональность индивидуальным дисперсиям
Здесь
предполагается,
что
индивидуальная
рисковая
надбавка
пропорциональна дисперсии индивидуальных выплат:
Пр𝑖 = 𝑘𝑖 ⋅ 𝑉𝑎𝑟𝑋𝑖
Проводя рассуждения аналогично тому, как это было сделано в случае
пропорциональности индивидуальным средним выплатам, получим
Пр =
Пропорциональность
𝛼(𝛾)𝜎𝑋
∙ 𝑉𝑎𝑟𝑋𝑖
𝑉𝑎𝑟𝑋
индивидуальным
среднеквадратическим
отклонениям
Здесь
предполагается,
что
индивидуальная
рисковая
надбавка
пропорциональна среднеквадратичному отклонению индивидуальных выплат:
Пр𝑖 = 𝑘𝑖 ∙ 𝜎𝑋𝑖
Рассуждая аналогичным (3.4) образом, получим выражение для Пр:
Пр =
𝛼(𝛾)𝜎𝑋
∑𝑖 √𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑖 )
Переход базы распределения рисковых надбавок от ожидаемого убытка
к дисперсии и к среднеквадратическому отклонению означает уменьшение
75
рисковой надбавки для i-го договора, если коэффициент рассеяния убытка по
этому договору меньше, чем коэффициент рассеяния общей ожидаемой
суммы выплат по портфелю, т.е. 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑖 )/𝐸(𝑋𝑖 ) < 𝑉𝑎𝑟(𝑋)/𝐸(𝑋) В случае
полностью однородного портфеля использование всех указанных выше трех
баз определения рисковой нагрузки дает одинаковый результат.
3.2. Определение вероятности выполнения компанией своих
обязательств по портфелю
Задача
параграфа
–
решение
задачи
определения
вероятности
неразорения компании на примере конкретного портфеля договоров огневого
страхования непромышленных объектов. Результатом должен быть прогноз
важнейшей характеристики страховой компании – возможности выполнения
обязательств по заключенным договорам страхования. Эта задача разделена
относительно момента ее решения. Сначала рассматривается статическая
постановка задачи, когда вероятность неразорения определяется на момент
завершения всех договоров портфеля. Затем рассматривается динамическая
постановка, при которой вероятность неразорения определяется на любой
момент времени в бесконечном интервале. Слово "динамическая" в таком
случае означает независимость вероятности неразорения от времени, а
использование динамических характеристик портфеля (скорости поступления премий и осуществления выплат) при ее расчете.
Определение вероятности неразорения по завершении всех договоров
портфеля
Пусть некоторый портфель состоит из 251 договора имущественного
страхования. Известно, что за наблюдаемый период по
76
Этим договорам было предъявлено 42 требования о выплате. Значения
отдельных выплат представлены в табл. 5 (выплаты упорядочены по
возрастанию).
Таблица 5
Выплаты страховых возмещений с 18.05.95 по 10.03.96
140
185
555
783
1074
1155
1163
1250
1725
2000
2950
3000
3141
3384
3850
4685
4800
4839
5230
7850
11362,5
11500
11582,5
11820
11880
12850
13575
14653
14700
15000
15585
18405
25756
30573
36312
42250
43205
43730
109563
169662
185700
393000
Общее возмещение составило S = 1296243, среднее возмещение на
один страховой случай – Sb = 30867.214.
Используем гауссовское приближение для распределения суммы выплат
страховых возмещений по всему портфелю. В соответствии с выше
приведённым, вероятность неразорения в зависимости от уровня начального
резерва и0 выглядит следующим образом:
𝑢0 − 𝑛𝐸𝑋
𝑃(𝑋 < 𝑢0 ) = Ф{
}
√𝑉𝑎𝑟𝑋
Ф(x) – табличная функция нормального распределения со средним 0 и
дисперсией 1.
Для нашего портфеля: п = 251, ЕХ = 1922,43, VarX= = 117061278,4.
«Сумма выплат по портфелю составила 482529$. Определим
неразорения 𝜓 для 𝑢0 = 400000$, 450000$,
500000$,
значений начального резерва, близких к X.
Для и0 = 400000$
400000 − 251 ∙ 1922,426295
𝜓 = Ф{
}=
√251 ∙ 117061278,4
77
то
вероятность
есть
для
Видно, что, несмотря на то что суммы в 500000 хватило для
удовлетворения всех требований о выплате, вероятность неразорения при
таком резерве очень мала. Для наглядности построим график зависимости
вероятности неразорения у от резерва uQ в интервале и0 G
[300000;
1500000] для рассматриваемого портфеля, включающего 251 договор (рис.
17).

10 000
400 000
500 000
600 000
700 000
800 000
900 000
Рис. 17. График зависимости вероятности неразорения 𝝍 от резерва
u0 в интервале u0 ∈ [300000; 1500000] для рассматриваемого портфеля
страховщика.
Используя эти данные, можно подсчитать, какой резерв должна иметь
компания, чтобы обеспечить с заданной вероятностью все выплаты по
портфелю. Можно определить вероятность неразорения не только в
зависимости от резерва, но и от количества договоров, планируемых к
заключению. Установим следующие уровни резерва: 500000$, 750000$,
1000000$, 1500000$, 2000000$, 2500000$ и 3000000$ и следующие объемы
портфеля: 251, 500 и 1000 договоров. Результат представим в табл. 6:
78
Таблица 6.
Вероятность неразорения в зависимости от начального резерва и
объема портфеля
Резерв
251
0,54059135
0,94066614
0,99873128
1
1
1
1
500000
750000
1000000
1500000
2000000
2500000
3000000
Теперь
Количество договоров
500
0,028300231
0,191323239
0,563686264
0,987027287
0,999991209
1
1
сопоставим
графики
1000
1,61031Е-05
0,000305506
0,003508595
0,108480221
0,589682891
0,954304985
0,999182158
вероятностей
неразорения
210
270
для
портфелей с указанными объемами.
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
50
80
120
150
180
240
300
Y
251 договор
500 договоров
1 000 договоров
Рис. 18. Графики вероятностей неразорения страховой компании в
зависимости от начального резерва и объема портфеля (число договоров –
251; 500 и 1000).
Из табл. 6 и из графиков видно, что вероятность неразорения тем выше,
чем большей суммой денег располагает страховая компания и чем больше
объем портфеля. То есть фактически мы получили в самом общем
приближении математическое подтверждение зависимости надежности
страховой компании от ее размера.
79
Рассмотрим вероятность выполнения компанией своих обязательств по
портфелю в зависимости не только от начального Резерва, но и от неттоставки. Используя гауссовское приближение, будем определять вероятность
неразорения по следующей формуле:
При 𝑛 → ∞
𝑃 [∑(Пн𝑖 − 𝑋𝑖 ) < 𝑟] =
𝑖
𝑟 − 𝑛 ∙ 𝐸[Пн𝑖 − 𝑋𝑖 ] 2
= Ф{
𝘨 }=
√𝑛
𝑟 − 𝑛 ∙ 𝐸𝑆𝑖 ∙ [Тн − 𝑚]
= Ф{
},
√𝑛𝘨2
где
𝑚 = 𝐸𝑋𝑖/𝑆𝑖 = 𝑞𝐸𝑉𝑖/𝐸𝑆𝑖 , √𝑉𝑎𝑟𝑉/𝐸(𝑉) = 𝑅𝑉 ,
√𝑉𝑎𝑟𝑆
= 𝑅𝑆 ,
𝐸𝑆
𝑉𝑎𝑟𝑋𝑖
=
𝑆𝑖
= 𝑚2 (1 − 𝑞 + 𝑅𝑉2 − 𝑞𝑅𝑆2 )/(𝑞 + 𝑞𝑅𝑆2 ) = 𝐷2
Здесь Пн𝑖 – нетто-премия по i-му договору, Пн𝑖 = Тн𝑆𝑖 ,
𝘨2 = 𝑉𝑎𝑟[Пн𝑖 − 𝑋𝑖 ] = 𝑉𝑎𝑟(𝑆𝑖 )[Тн − 𝑚]2 + [𝐸(𝑆𝑖 )]2 [1 + 𝑅𝑆2 ]𝐷2 .
Если взять значение нетто-ставки 0,1%, то уже при нулевом начальном
резерве получается значение вероятности неразорения, очень близкое к 1: V
= 0,999998302.
Поэтому
данный
метод
по
отношению
к
рассматриваемому
конкретному портфелю интересен не в качестве базового метода вычисления
вероятности неразорения, а как метод решения некоторых специфических
задач. Например, перед компанией стоит цель завоевать новый рынок
любыми средствами и другого способа, кроме демпинговых ставок, у нее нет,
или ей надо остаться на рынке при данном уровне ставок. В таком случае
применение данного метода дает нам возможность определить вероятность
80
выполнения компанией своих обязательств, если она решает остаться на этом
рынке. Этот же метод позволяет определить уровень начального резерва,
необходимый для выполнения своих обязательств с заданной вероятностью,
если ставки слишком низки, чтобы покрыть все выплаты. Например, пусть
компания вынуждена применять нетто-ставку 0.03%. Тогда график (рис. 13)
вероятности неразорения в зависимости от резерва будет выглядеть
следующим образом:
То есть при данных условиях, чтобы выполнить все обязательства по
портфелю с вероятностью 0,999, компания должна иметь резерв 428865$.
Рассмотренные два способа применения гауссовского приближения очень
похожи. В самом деле, так как результат определяется на момент завершения
всех договоров портфеля, то сумму нетто-премий можно рассматривать в
качестве начального резерва. А начальный резерв, в свою очередь, можно
разделить пропорционально страховым суммам и считать частью премии.
Поэтому и выводы будут аналогичными.
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
50
100
150
200
250
300
350
400
450
U (тыс)
0,3
Рис 19. График вероятности неразорения страховой компании в зависимости от
0,2
резерва (нетто-ставка равна 0.03%).
0,1
0
81
Заключение
Рассмотренный теоретический материал и применение отдельных
методов на практическом материале страховой компании приводят к
следующим выводам. Как указывалось выше, страхование – очень
специфическая
область
экономических
отношении.
Уникальность
оказываемой страховой компанией платной услуги (принятие на себя риска
за определенную плату) обусловливает черты страхования, выделяющие его
в обособленную подотрасль экономической категории финансов. Одним из
важнейших понятий страхования является понятие риска и, стоответственно,
- риск-менеджмента. Риск, принимаемый на страхование, характеризуется
вероятностью и неопределенностью своей реализации в будущем. Однако
решение о его принятии на страхование необходимо принимать в данный
настоящий момент.
Перераспределительная
сущность
страхования
предполагает
объединение принятых на страхование объектов в замкнутый фонд.
Результаты
по
такой
группе
(портфелю
договоров
страхования)
–
поступление премий, осуществление выплат, характеристика ущерба и т.д. –
являются не чем иным, как статистическим наблюдением. Следовательно,
появляется возможность использовать результаты такого наблюдения для
выработки критериев принятия решений в условиях неопределенности. И для
организации такого наблюдения, и для обработки его результатов, и для их
оценки необходимо использование математических и статистических
методов. Так как объектом наблюдения является финансовая система, то есть
совокупность процессов образования и расходования денежных фондов, то
применение математико-статистических методов в страховании будет
представлять
собой
инструментарием
финансово-математический
риск-менеджмента.
82
анализ,
Вероятностные
являющийся
характеристики
финансовой
системы
страхования
обусловливают
необходимость
применения таких методов в процессе экономического анализа деятельности
компании.
Практическая апробация изложенного в данной работе материала
позволяет
сделать
следующие
выводы.
Рассматривая
финансово-
экономический анализ портфеля договоров страхования как систему, можно
в общем плане выделить две его составляющие: организация сбора данных и
их анализ. В задачи данной работы входило применение методов финансовоматематического анализа в разрезе некоторых конкретных финансовых
задач. Не предполагалось освещение вопросов, связанных с организацией
самого наблюдения: сбор данных, обеспечение их сопоставимости и т.д.
Однако, столкнувшись с практикой организации статистического учета,
определенное и достаточно большое время пришлось потратить именно на
сбор и первичную обработку данных. Поэтому некоторые выводы по
результатам проделанной работы относятся и к этой области финансовоматематического анализа.
Основной вывод – при осуществлении риск-менеджмента необходимо
ведение статистического учета во всех оперативных подразделениях
компании по единой форме. Банально звучащими, но от этого не менее
актуальными являются требования единообразности показателей и их
сопоставимости. В данной работе количественные характеристики договоров
с целью их очищения от инфляции были пересчитаны в доллары США. Это
не идеальный вариант (ведь существует и долларовая инфляция), поэтому,
возможно,
стоит
предусмотреть
возможность
использования
пользовательского индекса инфляции. Для более глубокого экономического
анализа страхования необходимо ведение учета в разрезе отдельных рисков,
с
разделением
по
ним
страховых
возмещений.
Для
обеспечения
репрезентативности статистических данных необходим учет за максимально
83
возможный промежуток времени. Из этого следует, что реорганизация
статистического
учета,
ведущегося
в
настоящее
время,
должна
подразумевать и соответствующее изменение статистического учета за все
время осуществления страховой деятельности в компании.
Непосредственные
задачи
финансового
характера,
являющиеся
областью применения финансово-математического анализа и рассмотренные
в данной работе по отношения к портфелю договоров огневого страхования
непромышленных объектов, приводят к следующим выводам.
Вероятность неразорения является интегральной характеристикой
осуществления риск-менеджмента, ее возможности выполнить принятые на
себя обязательства по договорам страхования, составляющим портфель.
Компания обладает резервом по данному портфелю, превышающим
расчетное минимально допустимое значение резерва, обеспечивающее
выполнение обязательств по портфелю. Динамика поступления премий и
осуществления выплат возмещений обеспечивает финансовую устойчивость
портфеля (точнее всего вида огневого страхования непромышленных
объектов в компании) в будущем.
Необходимо подчеркнуть различие динамического и статического
подходов к определению вероятности неразорения. Статический подход
имеет
своим
основополагающим
принципом
замкнутость
перераспределительных отношений страхования, поэтому он отражает
ситуацию именно с данной конкретной совокупностью договоров (и именно
поэтому он лежит в основе расчета тарифов на основе накопленной
статистики).
Динамический
подход
призван
дать
характеристику
ликвидности компании, ее возможности выплатить страховое возмещение по
любому договору (в рамках рассматриваемого вида страхования) в любой
момент времени. Поэтому недопустимо его применение в ситуации, когда
при
нехватке
сформированных
ранее
84
резервов
выплаты
по
ранее
заключенным договорам производятся за счет поступлений по вновь
заключаемым. В таком случае формальное применение метода даст
оптимистический результат при фактическом строительстве «финансовой
пирамиды» и начинающемся кризисе финансовой системы данного вида
страхования. Общая ситуация с огневым страхованием (как промышленных,
так
и
непромышленных
объектов)
в
САО
позволяет
говорить
о
рентабельности данного вида страхования, уверенном его развитии и,
следовательно,
о
корректности
применения
данного
метода
для
характеристики ликвидности компании по данному виду страхования.
Результаты применения метода показывают, что компания в состоянии
выполнить
все
принятые
на
себя
обязательства
и
обеспечить
самоокупаемость и прибыльность огневого страхования непромышленных
объектов.
Финансовый анализ портфеля в отношении тарифной политики
говорит о существенном превышении минимально допустимых тарифов.
Однако говорить об этом следует, учитывая относительно небольшую
продолжительность рассматриваемого периода. При соблюдении допущения
об отсутствии повышающегося тренда убыточности и чрезвычайно больших
(катастрофических) убытков можно сказать, что применяемые тарифы
гарантируют выполнение компанией принятых по договорам обязательств и
получение прибыли по страховым операциям.
Решена задача обоснования скидки с премии в случае применения
франшизы,
которая
распространенности
является
франшизы
актуальной
по
договорам
вследствие
огневого
широкой
страхования
(преимущественно безусловной). Существующая практика определения
скидки основана только на опыте и существующей рыночной конъюнктуре.
Нисколько
не
ставя
под
сомнение
возможность
существования
и
необходимость применения такого метода надо отметить следующее.
85
Сущность рассматриваемого вопроса вероятностная, как и большинства
других элементов страхования. Вследствие этого возможно применение в
этом случае математического аппарата. Рассмотренный математический
метод ориентирован не на обоснование скидки по отношению к минимально
допустимому тарифу, а на нахождение «справедливого соотношения» между
тарифом без скидки и тарифом со скидкой. С позиций финансовой
устойчивости при превышении общего уровня ставок над минимально
допустимым (а именно такая ситуация наблюдается для рассматриваемого
портфеля) возможно дать скидку больше любой расчетной. В самом деле,
ведь страховой компании все равно, из каких именно частей (премий)
образован страховой фонд, главное, чтобы их сумма не была меньше
допустимой. Но в таком случае это будет несправедливо по отношению к
страхователю. Поэтому финансовая задача определения скидки с премии при
применении франшизы должна также быть решена с помощью более
объективных математических методов. В результате апробации таких
методов по отношению к портфелю договоров огневого страхования
непромышленных объектов получились следующие результаты. Во-первых,
само применение франшизы резко повышает финансовую устойчивость, так
как основная доля выплат – это мелкие убытки (как в абсолютном, так и в
относительном
выражении).
Во-вторых,
по
договору
с
франшизой
теоретически может предоставляться значительная скидка с премии.
Теоретическое расчетное значение данной скидки значительно превышает
применяемое на практике. Из этого следует, что применение франшизы по
договорам данного портфеля (учитывая допущение о репрезентативности
данных
по
портфелю
–
и
по
договорам
огневого
страхования
непромышленных объектов в целом) ведет к повышению финансовой
устойчивости данного вида и увеличению его прибыльности. Расчетное
значение может служить некоторым ориентиром, верхней границей
86
применяемых скидок. На данный момент до этой границы достаточно далеко
и рынок позволяет удерживать сложившийся уровень ставок и скидок.
В
целом
комплексного
финансово-математического
анализа
страхования на исследованной базе не проводится. Такое положение
неудивительно, так как он является частью экономического анализа, который
в области страхования в нашей стране только начинает свое развитие. Это
относится ко всем его составляющим: к системе показателей и критериев их
оценки, организации учета, прогнозирования и т.д. Определенную роль в
этом играет то, что довольно значительное количество страховых компаний
до конца не осознало необходимость комплексного экономического анализа
своей деятельности и исследования поля, на котором они работают. Пытаясь
заглянуть в будущее, можно сказать, что с усилением конкуренции все
больше внимания будет уделяться экономии, рациональному ведению дела и
как следствие – обоснованному выбору в пользу того или иного решения в
условиях неопределенности, присущих страхованию. В соответствии с этим
большее значение будет иметь и финансово-математический анализ как
достаточно действенный инструмент оценки ситуации, выработки критериев
принятия решений, а зачастую и содержательной постановки задачи.
Возможно, что развитию экономического анализа в страховании будет
способствовать усиление регулирования деятельности страховых компаний
со стороны государства. Если обратиться к практике зарубежных государств,
имеющих несравнимо более высокое развитие, как страхового дела, так и
уровня его регулирования, то можно заметить, что государственному
регулированию в этой области придается довольно большое значение. Во
многом, поэтому уровень финансово-математического анализа в зарубежных
компаниях очень высок. Постепенно и в России появляются признаки
движения в таком направлении. Если говорить о причинах, которые могут
ускорить развитие финансово-математического анализа в российских
87
компаниях, то это принятие нормативных актов об обязательном «актуарном
аудите» страховщиков (этот вопрос периодически поднимается в печати),
общее усиление государственного контроля и регулирования страховой
деятельности, усиление конкуренции на страховом рынке. Важнейшей
причиной, которая должна и может ускорить развитие экономического
анализа вообще и финансово-математического анализа как его составляющей
в частности является осознание необходимости его применения изнутри, у
руководства компанией. Надо отметить, что те, кто пришел на этот рынок не
случайно и собирается остаться на нем всерьез и надолго, в последнее время
все больше осознают необходимость экономического анализа, а главное –
делают реальные шаги для его осуществления. Трудности, с которыми
сталкиваются созданные с такой целью подразделения, очень большие – от
уже отмеченных недостатков статистического учета до непонимания со
стороны коллег. Однако другого пути нет, законы рыночной экономики
вынуждают все больше внимания уделять риск-менеджменту при оценке
проводимой деятельности. В такой области, как страхование, одним из
основных инструментов для этого является финансово-математический
анализ, основанный на теории вероятности и статистике.
88
Литература
1.
Шахов В.В. Введение в страхование. Экономический аспект., М.:
Финансы и статистика, 1994.
2.
Шахов В.В. Страхование как самостоятельная экономическая
категория. Финансы, 2, 38-41, 1995.
3.
Страховое дело под ред. Рейтмана Л.И., М.: Банковский и
биржевой научно-консультационный центр, 1992.
4.
Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании, М.:
Российский юридический издательский дом, 1994.
5.
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1-
2 Мир, М., 1967.
6.
Левин Б.Р. Теория надежности Радиотехнических систем, М.:
Советское радио, 1978.
7.
Федотова М.А. Инвестиционные решения в условиях риска.
Финансы, 11 (1992).
8.
Сухов
В.А.
Роль
собственного
капитала
в
обеспечении
регулирование
финансовой
финансовой устойчивости страховщиков. Финансы, 4 (1995).
9.
Сухов
В.А.
Государственное
устойчивости страховщиков. М.: Анкил, 1995.
10.
Турбина
К.Е.
Финансовые
механизмы
страхового
рынка.
Финансы, 11 (1994).
11.
Фишберн П. Теория полезности. Сборник Методологические
основы и математические методы. Ред. Дж. Моудер, С. Элмаграби, пер. с
англ., М.: Мир 1981.
12.
Кини Р. Теория принятия решений. Сборник Методологические
основы и математические методы. Ред. Дж. Моудер, С. Элмаграби, пер, с
англ., М.: Мип 1981.
13.
Оуэн Г. Теория игр. М.: Мир, 1971.
89
14.
Алипрантис К., Браун Д., Беркеншо О. Существование и
оптимальность конкурентного равновесия. М.: Мир, 1995.
15.
Бурроу К. Основы страховой статистики. М.: Анкил, 1996.
16.
Науменко П., Малафиевский С. По схеме Бернулли, Страховое
дело, № 9, стр. 52 1993.
17.
Рябикин В.И., Тихомиров С.Н., Баскаков В.Н. Страхование и
актуарные расчёты. – М.: Экономист. 2006. – 459 с.
18.
Сахирова Н.П. Страхование. Учеб. пособие. – М.: ПРОСПЕКТ,
2006. – 732 с.
19.
Страхование. Учебник под ред. доктора экономических наук,
профессора Т.А. Федоровой. – М.: Экономист. 2006. – 874 с.
20.
Сурков С.Н., Шоргин С.Я., Шухов А.Г. Анализ методики
Росстрахнадзора расчёта тарифных ставок по рисковым видам страхования
(Методика (1)). Финансы, № 9, стр. 37-39, 1994.
21.
Галатенко В.А. Управление рисками: обзор употребительных
подходов // JetInfo, № 11,12, 2006.
90