Тренировочные упражнения для подготовки учащихся к ЕГЭ по теме: «Системы счисления»

Воронова Н.В.,
учитель информатики
МОУ «Гимназия №1» г. Калачинска
Тренировочные упражнения
для подготовки учащихся к ЕГЭ
по теме: «Системы счисления»
От автора:
Назначение Единого государственного экзамена по информатике – оценить
общеобразовательную подготовку выпускников XI классов общеобразовательных
учреждений и абитуриентов с целью итоговой аттестации и отбора в
профильные учреждения высшего профессионального образования. Содержание
экзаменационной работы определяется на основе утвержденного Министерством
образования Российской Федерации обязательного минимума содержания
среднего (полного) общего образования по информатике.
Работа состоит из трех частей. Каждая из частей предусматривает
наличие заданий разного уровня сложности – базовый, повышенный и высокий.
Часть 1 содержит 20 заданий из всех тематических блоков,
представленных программой по информатике. Эти задания предполагают выбор
одного варианта ответа из четырех предложенных. В этой части
на
повышенном уровне сложности проверяются знания и умения по следующим
темам: «Информация и измерение информации», «Основы программирования:
массивы», «Основы логики», «Обработка графической информации», «Основы
алгоритмизации: исполнение алгоритмов».
Часть 2 включает задания по темам: «Системы счисления», «Основы
логики», «Алгоритмизация», «Телекоммуникационные технологии» – всего 8
заданий с кратким ответом. На повышенном уровне сложности необходимо
показать знания и умения по темам: «Системы счисления», «Скорость передачи
информации», «Основы алгоритмизации: исполнение алгоритмов», «Поиск
информации в Интернете», «Преобразование логических выражений» (одно из
заданий представлено высоким уровнем сложности).
Задания части С направлены на проверку сформированности умений записи
и анализа алгоритмов. На повышенном и высоком уровне сложности проверяются
умения по теме «Технология алгоритмизации и программирования».
1.
2.
3.
4.
5.
План подготовки учащихся к ЕГЭ по информатике.
Актуализировать теоретические основы учащихся по теме (вспомнить
основные понятия, алгоритмы, используя записи учащихся в тетради или
обращаясь к учебнику, дополнительной литературе).
Применить теоретические знания на практике (решение задач на применение
алгоритма, правила; на совершение последовательных действий, приводящих
к верному результату).
Рассмотреть возможные ошибки (может быть и ловушки, в заданиях ЕГЭ
таковые имеются среди вариантов ответа в части А), которые могут быть
допущены учащимися при решении заданий.
Разработать цикл тренировочных упражнений по теме (включаются задания
из вариантов ЕГЭ прошлых лет, из дополнительной литературы, источников
Интернет; рабата выполняется учителем).
Анализ и проверка заданий, выполненных учащимися.
Задания ЕГЭ по информатике включают в себя ряд вопросов, относящихся
к определенной теме курса.
В работе я предлагаю рассмотреть тему «Системы счисления»,
включающую задания части А и В (А3, А4, А11, В3).
1.
2.
3.
4.
5.
Возможные варианты заданий по данной теме:
Перевести число из одной системы счисления в другую.
Указать, сколько единиц (нолей) содержит двоичная запись десятичного
числа.
Выполнить арифметические операции в различных системах счисления с
предоставлением результата в определенной системе счисления.
Закодировать последовательность символом двоичным кодом и представить
результат в определенной системе счисления.
Расположить числа в порядке возрастания в заданной системе счисления.
1.Теоретические основы темы «Системы счисления».
Учащиеся должны знать.
1.Понятия: система счисления, позиционные и непозиционные системы счисления.
Таблица 1.
Название системы
Основание
Алфавит
счисления
Десятичная
10
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная
2
0, 1
Восьмеричная
8
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная
16
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C,
D, E, F
2
2.Формулу развернутой формы записи числа.
3.Алгоритмы перевода чисел в различные системы счисления (из десятичной в
двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и, наоборот; из двоичной в
восьмеричную и шестнадцатеричную и наоборот).
4.Алгоритмы выполнения арифметических операций (сложение, умножение,
вычитание) в десятичной и двоичной системах счисления.
5. Принципы кодирования и декодирования информации.
Учащиеся должны
практических задач.
применять
полученные
знания
через
решение
Перевод чисел из одной системы счисления в другую (задание А3)
Алгоритм 1. Перевод десятичного (целого) числа в двоичную, восьмеричную,
шестнадцатеричную системы счисления.
1.Последовательно выполнять деление данного числа на основание системы
счисления (2, 8, 16) до тех пор, пока остатки от деления и неполные частные не
будут меньше основания системы счисления.
2.Полученные остатки и последнее частное (а это и есть цифры числа в новой
системе счисления), привести в соответствие с алфавитом заданной системы
счисления (смотри таблицу 1).
3.Записать число в новой системе счисления, начиная с последнего частного (в
обратном порядке).
Пример 1. Перевести число 3710 в двоичную систему счисления.
37
-36
2
18
-18
1
0
2
9
-8
2
4
-4
1
0
2
2
-2
2
1
0
Таким образом, 3710 = 1001012
Возможные ошибки при выполнении задания:
 вычислительные ошибки;
 в записи шестнадцатеричного числа при переводе из десятичной системы
счисления (цифры, начиная с 10, заменяются на заглавные буквы латинского
алфавита);
 при записи числа в новой системе счисления.
3
Алгоритм 2. При переводе чисел из
двоичной, восьмеричной или
шестнадцатеричной систем счисления числа в десятичную систему счисления
необходимо использовать развернутую форму записи числа. Расставив степени
(начиная с ноля) справа налево и записав сумму произведений, найти число в
десятичной системе счисления.
Пример 2. Перевести числа 110012, 1238, 15FC16 в десятичную систему счисления.
Решение:
43210
1 1 0 0 12 = 1·24 + 1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20 = 16 + 8 + 1 = 2510
210
1 2 38 = 1·82 + 2·81 + 3·80 = 64 + 16 + 3 = 8310
3210
1 5 F C16 = 1·163 + 5·162 + 15·161 + 12·160 = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 562810
Возможные ошибки при выполнении задания:
 при расставлении степеней заданного числа;
 вычислительные ошибки;
0
 особое внимание обратить на использование формулы а = 1.
Алгоритм 3. Перевод двоичного числа в восьмеричную, шестнадцатеричную
системы счисления.
1.Двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой (для
восьмеричной системы счисления – 3 цифры - триады, так как 23 = 8; для
шестнадцатеричной системы счисления – 4 цифры - тетрады, так как 24 = 16).
2.Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее необходимо
дополнить слева нолями до нужного числа разрядов.
3.Рассмотреть каждую группу цифр как n-разрядное двоичное число и записать
число в соответствующей системе счисления.
Пример 3. Перевести двоичное число 1110011 в восьмеричную и
шестнадцатеричную системы счисления.
Решение:
1.Переводим число в восьмеричную систему счисления, разбив число на триады:
0 0 1 1 1 0 0 1 1 2
1
6
3
Таким образом, 11100112 = 1638
2.Переводим число в шестнадцатеричную систему счисления, разбив число на
тетрады:
0 1 1 1 0 0 1 1 2
7
3
4
Таким образом, 11100112 = 7316
Возможные ошибки при выполнении задания:
 вычислительные ошибки;
 при разбиении числа на триады или тетрады;
 четко знать алфавит шестнадцатеричной системы счисления.
Алгоритм 4. При переводе восьмеричного или шестнадцатеричного числа в
двоичную систему счисления необходимо перевести отдельно каждую цифру
восьмеричного (шестнадцатеричного) числа в двоичную систему счисления
(использовать алгоритмы 1 , 2).
Пример 4. Перевести число 5268 = ?2
Решение: 58 = 1012
28 = 0102
68 = 1102
Таким образом, 5268 = 1010101102.
Пример 5. Перевести число 1АС16 = ?2
Решение: 116 = 00012
А16 = 10102
С16 = 11002
Таким образом, 5268 = 0001101011002 = 1101011002
(Примечание: три нуля, записанные слева, в ответе можно не писать).
Возможные ошибки при выполнении задания:
 вычислительные ошибки;
 при переводе чисел в двоичную систему счисления;
 при записи чисел в шестнадцатеричной системе счисления;
 при записи восьмеричного (шестнадцатеричного) числа в двоичной системе
счисления (восьмеричное число содержит 3 цифры, шестнадцатеричное – 4;
недостающие цифры в числе дополняются нолями);
 при переписывании двоичного числа в ответ, можно потерять какую-либо
цифру и ответ уже будет на верным, а он может находиться среди вариантов
ответа.
Тренировочные упражнения
1. Как представлено число 8310 в двоичной системе счисления?
1) 10010112 2) 11001012 3) 10100112 4) 1010012
2. Сколько единиц в двоичной записи числа 195?
1) 5
2) 2
3) 3
4) 4
3. Сколько единиц в двоичной записи числа 173?
1) 7
2) 5
3) 6
4) 4
4. Как представлено число 25 в двоичной системе счисления?
1) 10012
2) 110012
3) 100112
4) 110102
5. Как представлено число 82 в двоичной системе счисления?
1) 10100102 2) 10100112 3) 1001012 4) 10001002
6. Как представлено число 263 в восьмеричной системе счисления?
5
1) 3018
2) 6508
3) 4078
4) 7778
7. Как записывается число 5678 в двоичной системе счисления?
1) 10111012
2) 1001101112
3) 1011101112 4) 111101112
8. Как записывается число A8716 в восьмеричной системе счисления?
1) 4358 2) 15778
3) 52078
4) 64008
9. Как записывается число 7548 в шестнадцатеричной системе счисления?
1) 73816 2) 1A416
3) 1EC16
4) A5616
10. Как представлено число 225 в шестнадцатеричной системе счисления?
1) 1Е 16
2) 14116
3) Е116
4) 11416
Выполнение арифметических операций
(сложение, умножение, вычитание)
в десятичной и двоичной системах счисления
(задание А4)
При решении заданий данного типа, необходимо перевести все числа в одну
систему счисления (двоичную или десятичную, удобнее всего в десятичную) и
выполнить указанные арифметические операции.
Пример 6. Чему равна сумма чисел 438 и 5616 ?
1) 1218
2) 1718
3)6916
4) 10000012
Решение (вариант 1, через десятичную систему):
1)Переведем числа в десятичную систему счисления:
438  4 * 81  3 * 8 0  3510
5616  5 *161  6 *16 0  8610
2) Выполняем сложение чисел: 3510 + 8610 = 12110
3) Переводим результат во все системы, в которых даны ответы (пока не найдем
нужный):
12110 = 11110012 = 1718 = 7916
или
переводим все варианты ответов в десятичную систему счисления:
1218 = 81,
1718 = 121,
6916 = 105,
10000012 = 65
4) Верный ответ – 2 .
Возможные ошибки при выполнении задания:
 вычислительные ошибки;
 при переводе чисел из одной системы счисления в другую;
 в применении развернутой формы записи числа;
 при записи чисел в шестнадцатеричной системе счисления (если в записи
есть буквы);
 при выполнении задания получаем число 121 10; среди вариантов ответов тоже
есть число 121, но записано оно в восьмеричной системе счисления, а это
может сбить ученика и он выберет не тот вариант ответа. В задании ловушка.
Решение (вариант 2, через двоичную систему):
1)Переведем числа в двоичную систему счисления:
6
438  100 0112  1000112 (каждая цифра восьмеричного числа отдельно переводится в
три двоичных – триаду);
5616  0101 0110 2  1010110 2 (каждая цифра шестнадцатеричного числа
отдельно
переводится в четыре двоичных – тетраду).
2) Выполняем сложение чисел в двоичной системе счисления:
1000112
+
10101102
11110012
3) Переводим все варианты ответов в двоичную систему счисления:
1218 = 001 010 0012
= 10100012
1718 = 001 111 0012 = 11110012
6916 = 0110 10012 = 11010012
10000012 не нужно переводить, так как это число заведомо не подходит.
4) Правильный ответ – 2.
Возможные ошибки при выполнении задания:
 вычислительные ошибки;
 при переводе чисел из одной системы счисления в другую;
 при записи восьмеричного (шестнадцатеричного) числа в двоичной системе
счисления (восьмеричное число содержит 3 цифры, шестнадцатеричное – 4;
недостающие цифры в числе дополняются нолями);
 при выполнении арифметических операций в двоичной системе счисления;
 применяется три вида алгоритмов, в каждом из которых можно допустить
ошибку; много вычислений.
Примечание: если выбирать наиболее легкий и рациональный способ решения, то
конечно это вариант 1; но каждый вправе выбирать свой вариант решения, главное,
чтобы он был правильный.
Тренировочные упражнения
1.Вычислите сумму чисел x и y, при x = A6 16, y = 758. Результат представьте в
двоичной системе счисления.
1) 110110112 2) 111100012 3) 111000112 4) 100100112
2.Значение выражения 1016 + 108 • 102 в двоичной системе счисления равно
1) 10102
2) 110102
3) 1000002
4) 1100002
3.Вычислите сумму двоичных чисел x и y, если x = 10101012 и y = 10100112
1) 101000102 2) 101010002 3) 101001002 4) 101110002
4.Вычислите значение суммы 102 + 108 +1016 в двоичной системе счисления.
1) 101000102 2) 111102
3) 110102
4) 101002
5.Вычислите сумму чисел x и y, при x = 271 8, y = 111101002. Результат представьте
в шестнадцатеричной системе счисления.
1) 15116
2) 1AD16
3) 41216
4) 10B16
6.Вычислите сумму чисел x и y, при x = A116, y = 11012. Результат представьте в
десятичной системе счисления.
1) 204
2) 152
3) 183
4) 174
7
7.Вычислите сумму чисел x и y, при x = 568, y = 11010012. Результат представьте в
двоичной системе счисления.
1) 111101112 2) 100101112 3) 10001112
4) 110011002
8.Вычислите сумму чисел x и y, при x = 5A16, y = 10101112. Результат представьте в
восьмеричной системе счисления.
1) 1518
2) 2618
3) 4338
4) 7028
9.Вычислите сумму чисел x и y, при x = 1278, y = 100101112. Результат представьте
в десятичной системе счисления.
1) 214
2) 238
3) 183
4) 313
10.Вычислите A8116 + 37716. Результат представьте в той же системе счисления.
1) 21B16
2) DF816
3) C9216
4) F4616
Кодирование и декодирование информации (задание А 11)
Пример 7. Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двухразрядные
последовательные двоичные числа (от 00 до 11, соответственно). Если таким
способом закодировать последовательность символов БАВГ и записать результат
шестнадцатеричным кодом, то получится
1) 4B16
2) 41116
3)BACD16 4) 102316
Решение:
1) По условию коды букв такие: A – 00, Б – 01, В – 10 и Г – 11 (получены путем
последовательного прибавления единицы).
2) Последовательность БАВГ кодируется так: 01 00 10 11 = 1001011
3) Так как результат необходимо представить в шестнадцатеричной системе
счисления, то разобьем число на тетрады справа налево и каждую тетраду
переведем в шестнадцатеричную систему счисления.
Таким образом, 10010112 = 0100 10112 = 4B16
4) Правильный ответ – 1.
Возможные ошибки при выполнении задания:
 вычислительные ошибки;
 при переводе чисел из одной системы счисления в другую;
 при записи восьмеричного (шестнадцатеричного) числа в двоичной системе
счисления (восьмеричное число содержит 3 цифры, шестнадцатеричное – 4;
недостающие цифры в числе дополняются нолями);
 при выполнении арифметических операций в двоичной системе счисления.
Тренировочные упражнения
1. Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двухразрядные
последовательные двоичные числа (от 00 до 11 соответственно). Если таким
способом закодировать последовательность символов ГБАВ и записать результат в
шестнадцатеричной системе счисления, то получится:
1) 13216 2) D216 3) 310216 4) 2D16
8
2. Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двухразрядные
последовательные двоичные числа (от 00 до 11 соответственно). Если таким
способом закодировать последовательность символов ГБВА и записать результат
шестнадцатеричным кодом, то получится:
1) 13816 2) DBCA16
3) D816
4) 312016
3. Для 5 букв латинского алфавита заданы их двоичные коды (для некоторых букв из двух бит, для некоторых - из трех). Эти коды представлены в таблице:
a
b
c
d
e
000 110 01
001 10
Определите, какой набор букв закодирован двоичной строкой 1100000100110
1) baade 2) badde 3) bacde 4) bacdb
4. Для кодирования букв А, Б, В, Г используются четырехразрядные
последовательные двоичные числа от 1000 до 1011 соответственно. Если таким
способом закодировать последовательность символов БГАВ и записать результат в
восьмеричном коде, то получится:
1) 175423
2) 115612 3) 62577
4) 12376
5. Для кодирования букв А, В, С, D используются трехразрядные последовательные
двоичные числа, начинающиеся с 1 (от 100 до 111 соответственно). Если таким
способом закодировать последовательность символов CDAB и записать результат в
шестнадцатеричном коде, то получится:
1) А5216 2) 4С816 3) 15D16 4) DE516
6. Для кодирования букв К, L, М, N используются четырехразрядные
последовательные двоичные числа от 1000 до 1011 соответственно. Если таким
способом закодировать последовательность символов KMLN и записать результат
в восьмеричном коде, то получится:
1) 846138 2) 1052338
3) 123458 4) 7763258
7. Для 5 букв латинского алфавита заданы их двоичные коды (для некоторых букв –
из двух бит, для некоторых – из трех). Эти коды представлены в таблице:
а
b
с
d
е
100
110
011
01
10
Определите, какой набор букв закодирован двоичной строкой 1000110110110, если
известно, что все буквы в последовательности – разные:
1) cbade 2) acdeb 3) acbed 4) bacde
8. Для 6 букв латинского алфавита заданы их двоичные коды (для некоторых букв
из двух бит, для некоторых – из трех). Эти коды представлены в таблице:
А
В
С
D
Е
F
00
100
10
011
11
101
Определите, какая последовательность из 6 букв закодирована двоичной строкой
011111000101100.
9
1) DEFBAC
2) ABDEFC
3) DECAFB
4) EFCABD
9. Для кодирования букв А, В, С, D используются четырехразрядные
последовательные двоичные числа, начинающиеся с 1 (от 1001 до 1100
соответственно). Если таким способом закодировать последовательность символов
CADB и записать результат в шестнадцатеричном коде, то получится:
1) AF52162) 4CB816
3) F15D16
4) В9СА16
10. Для кодирования букв А, Б, В, Г используются четырехразрядные
последовательные двоичные числа от 1000 до 1011 соответственно. Если таким
способом закодировать последовательность символов АГВБ и записать результат в
восьмеричном коде, то получится:
1) 105651
2) 156501 3) 811109 4) 8ВА9
Системы счисления (задание В3)
Пример 8. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не
превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре
оканчивается на 11?
Решение
1)Алфавит четверичной системы счисления состоит из четырех цифр – 0, 1, 2, 3.
Таким образом, нас интересуют числа от 4 до 25, оканчивающиеся на 11 в
четверичной системе счисления.
2)Переведем каждое число из этого промежутка в четверичную систему счисления
(каждое число делим на 4 до тех пор, пока остатки и последнее частное не будет
меньше четырех).
3)Из всех чисел выберем только те, которые оканчиваются на 11. Таких чисел всего
два: 5 и 21.
Возможные ошибки при выполнении задания:
 вычислительные ошибки;
 при переводе чисел в четверичную систему счисления, в частности в
определении алфавита четверичной системы счисления;
 при записи чисел именно в порядке возрастания, как требуется в задании;
 понятие «не превосходящие 25» означает «меньше или равно 25», а не строго
меньше 25.
Тренировочные упражнения
1) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем
счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.
2) В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается в виде
110. Укажите это основание.
3) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем
счисления, в которых запись числа 39 оканчивается на 3.
4) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем
счисления, в которых запись числа 29 оканчивается на 5.
10
5) В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 129
записывается как 1004. Укажите это основание.
6) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем
счисления, в которых запись числа 40 оканчивается на 4.
7) В системе счисления с некоторым основанием число десятичное 25
записывается как 100. Найдите это основание.
8) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем
счисления, в которых запись числа 27 оканчивается на 3.
9) Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не
превосходящие 26, запись которых в троичной системе счисления
оканчивается на 22?
10)
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не
превосходящие 30, запись которых в четверичной системе счисления
оканчивается на 31?
Ответы к тренировочным упражнениям.
№ упражнения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Задание А3
3
4
2
2
1
3
3
3
3
3
Задание А4
3
3
2
3
2
4
2
2
2
2
Задание А11
2
3
3
2
4
2
2
3
4
1
Задание В3
6, 9, 18
3
4, 6, 9, 12, 18, 36
6, 8, 12, 24
5
6, 9, 12, 18, 36
5
4, 6, 8, 12, 24
8, 17, 26
13, 29
Литература:
1. Информатика. Задачник-практикум в 2т. / Под ред. И.Г.Семакина, Е.К.Хеннера:
Том 1. – М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004.
2. Информатика и информационные технологии. Учебник для 10-11 классов / Н.
Д.Угринович. – 2-е издание. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.
3. ЕГЭ. Информатика: Раздаточный материал тренировочных тестов / И. Ю. Гусева.
– СПб.: Тригон, 2008.
11
12