Перевод чисел в различных системах счисления.
Для
перевода
числа
из
десятичной
системы
счисления в систему счисления с другим основанием
поступают следующим образом:
а) Для перевода целой части числа его делят
нацело на основание системы, фиксируя остаток. Если
неполное частное не равно нулю продолжают делить
его нацело. Если равно нулю остатки записываются в
обратном порядке.
б) Для перевода дробной части числа ее умножают
на основание системы счисления, фиксируя при этом
целые части полученных произведений. Целые части в
дальнейшем
умножении
не
участвуют.
производиться до получения 0
Умножение
в дробной
части
произведения или до заданной точности вычисления.
в)
Ответ
записывают
в
виде
сложения
переведенной целой и переведенной дробной части
числа.
Пример: перевод чисел из десятичной системы счисления в
двоичную систему счисления.
Перевести число 75,375 в двоичную систему счисления.
а) переведем в двоичную систему целую часть - 75
75 : 2 = 37 ( 1 )
37 : 2 = 18 ( 1 )
18 : 2 = 9 ( 0 )
9:2= 4(1)
4:2= 2(0)
2:2= 1(0)
1:2= 0(1)
Закончив деление, запишем остатки в обратном порядке, и
получим искомый результат:
75=10010112
б) переведем в двоичную систему дробную часть - 0,375
0,375
2
0,750
2
1,500
2
1,000
Выделенные числа запишем в естественном порядке и получим
дробное число в двоичной системе счисления:
0,375 = 0,0112
в) получив целую и дробную части числа в двоичном виде
(75=10010112 и 0,375 = 0,0112 ) можем сделать вывод:
75,375=75+0,375
=
10010112+0,0112=1001011,0112,
значит
75,375=1001011,0112
Пример: перевод чисел из десятичной системы счисления в
шестнадцатеричную систему счисления.
Представить десятичное число 157,23 в шестнадцатеричной
системе счисления. Целая часть числа равна 157, дробная - 0,23.
а) переведем в двоичную систему целую часть - 157
157 : 16 = 9 (13 или D)
9 : 16 = 0
(9)
Закончив деление, запишем остатки в обратном порядке, и
получим искомый результат:
157=9D 16
а) переведем в двоичную систему дробную часть - 0,23.
Результат умножения 0,23 на 16 равен 3,68. Целая часть этого
числа равна 3, значит первый коэффициент дробной части равен 3.
Дробная часть равна 0,68. Снова умножим ее на основание системы:
0,68*16=10,88. Целая часть равна 10 или в шестнадцатеричной
системе А. Дробная часть равна 0,88, она опять умножается на 16 и
так далее.
Выпишем весь процесс:
0,23 * 16 = 3,68 ( 3 )
0,68 * 16 = 10,88 ( А )
0,88 * 16 = 14,08 ( Е )
0,08 * 16 = 1,28 ( 1 )
0,28 * 16 = 4,48 ( 4 )
0,48 * 16 = 7,68 ( 7 )
0,68 * 16 = 10,88 ( А )
0,88 * 16 = 14,08 ( Е )
0,08 * 16 = 1,28 ( 1 )
0,28 * 16 = 4,48 ( 4 )
0,48 * 16 = 7,68 ( 7 )
0,68 * 16 = 10,88 ( А )
0,88 * 16 = 14,08 ( Е )
Замечаем, что последовательность чисел 0,68; 0,88; 0,08; 0,28;
0,48 повторилась уже 2 раза и начинается в третий раз. Получается
бесконечная
шестнадцатеричная
дробь
в
которой
период
(бесконечно повторяемая последовательность цифр) заключен в
скобки:
157,23=9D,3(АЕ147)16
Для перевода числа в десятичную систему счисления
из системы счисления с другим основанием каждый
коэффициент
переводимого
числа
умножается
на
основание системы в степени соответствующей
этому
коэффициенту
и
полученные
результаты
складываются.
Пример: перевод чисел из двоичной системы счисления в
десятичную систему счисления
Перевести число 1001011,0112 в десятичную систему счисления
1001011,0112
=
1*26+0*25+0*24+1*23+0*22+1*21+1*20+0*2-1+1*2-2+1*2-3
=64+8+2+1+0,25+0,125=75,375
Двоичная система проста, так как использует две цифры, но
громоздка. В десятичной хранить числа в памяти возможно, но сложен
перевод из десятичной в двоичную и обратно и занимает много
времени. Необходима система счисления компактнее двоичной, но с
более простым переводом.
23 = 8
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Для перевода из двоичной системы счисления в
восьмеричную необходимо разбить данное двоичное
число вправо и влево от запятой на триады (три
цифры)
и
представить
соответствующим
каждую
восьмеричным
кодом.
триаду
При
невозможности разбиения на триады допускается
добавление нулей слева в целой записи числа и справа в
дробной части числа. Для обратного перевода каждую
цифру
восьмеричного
числа
представляют
соответствующей триадой двоичного кода.
Двоичная система
Десятичная
Восьмеричная
счисления
Шестнадцатеричная
система
система
система счисления
Триады Тетрады
счисления
счисления
(0-7)
(0-15)
0
000
0000
00
0
1
001
0001
01
1
2
010
0010
02
2
3
011
0011
03
3
4
100
0100
04
4
5
101
0101
05
5
6
110
0110
06
6
7
111
0111
07
7
8
1000
10
8
9
1001
11
9
10
1010
12
A
11
1011
13
B
12
1100
14
C
13
1101
15
D
14
1110
16
E
15
1111
17
F
16
10000
20
10
Пример: перевод чисел из двоичной системы счисления в
восьмеричную систему счисления.
Переведем
число
1001011,0112
в
восьмеричную
систему
счисления. Разобьем данное число на триады, приписав слева
недостающие нули:
001 001 011 , 011
1
1
3 , 3
и заменим каждую триаду соответствующим восьмеричным кодом (см.
таблицу). Можем сделать вывод:
1001011,0112 = 113,38
Пример: перевод чисел из восьмеричной системы счисления
в двоичную систему счисления.
Переведем число 347,258 в двоичную систему счисления. Каждую
цифру восьмеричного числа заменим соответствующей триадой (см.
таблицу).
3
4
7
, 2
5
011 100 111 , 010 101
Запишем ответ, удалив нули слева в записи числа:
347,258 = 11100111,0101012
Восьмеричная система компактнее двоичной и с более простым
переводом чисел, однако, современные требования к ЭВМ заставили
создавать шестнадцатеричную систему счисления.
24 = 16
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Правило перевода из двоичной системы счисления в
шестнадцатеричную: разбить двоичное число вправо
и влево от запятой на тетрады (по 4 цифры) и
представить
каждую
шестнадцатеричным
тетраду
кодом.
соответствующим
При
невозможности
разбиения на тетрады допускается добавление нулей
слева в целой записи числа и справа в дробной части
числа.
Для
обратного
перевода
каждую
цифру
шестнадцатеричного числа представляют тетрадой
двоичного кода.
Пример: перевод чисел из двоичной системы счисления в
шестнадцатеричную систему счисления.
Переведем число 1001011,0112 в шестнадцатеричную систему
счисления. Разобьем данное число на тетрады, приписав слева в
целой части, и справа в дробной части недостающие нули:
0100 1011, 0110
4
В ,
6
и заменим каждую тетраду соответствующим шестнадцатеричным
кодом (см. таблицу). Можем сделать вывод:
1001011,0112 = 4В,616
Пример: перевод чисел из шестнадцатеричной системы
счисления в двоичную систему счисления.
Переведем число А4F,C516 в двоичную систему счисления.
Каждую цифру шестнадцатеричного числа заменим соответствующей
тетрадой (см. таблицу).
A
4
F
,
C
5
1010 0100 1111 , 1100 0101
Запишем ответ, удалив нули слева в записи числа:
A4F,C516 = 101001001111,110001012
10
2
8
16
0
000
0
0
1
001
1
1
2
010
2
2
3
011
3
3
4
100
4
4
5
101
5
5
6
110
6
6
7
111
7
7
8
1000
10
8
9
1001
11
9
10
1010
12
A
11
1011
13
B
12
1100
14
C
13
1101
15
D
14
1110
16
E
15
1111
17
F
Скачать

Для перевода числа из десятичной ... счисления в систему счисления с ... поступают следующим образом: