Управление образования Фрунзенского районного совета Общеобразовательная школа І-ІІІ ступеней №2

Управление образования Фрунзенского районного совета
Общеобразовательная школа І-ІІІ ступеней №2
Гомульчинская Лариса Владимировна
Соколенко Елена Николаевна
КОМПЕТЕНТНОСТНЫЙ ПОДХОД
ИЛИ
ЧЕМУ И КАК УЧИТЬ
(из опыта работы учителей математики ООШ №2
г. Харькова)
Харьков – 2006 г.
КОМПЕТЕНТНОСТНЫЙ ПОДХОД
ИЛИ ЧЕМУ И КАК УЧИТЬ
(из опыта работы учителей математики ООШ №2 г. Харькова)
Данная работа представляет собой результат поисковоисследовательской деятельности. В свете компетентностного
подхода к обновлению содержания образования были рассмотрены две сугубо математические проблемы – обучение учащихся
2 – 6 –х классов решению уравнений и алгебраическому способу
решения задач и обучение учащихся 10 – 11 классов решению
заданий с параметрами. Каждая из работ предлагает систему работы, результатом которой, как надеются авторы, будет уровень
деятельности необходимый и достаточный для минимальной
успешности.
Гомульчинская Л.В., Соколенко Е.Н. – учителя математики
ООШ №2 г. Харькова
Х., 2006, 69 с.
Рецензент:
Схвалено науково-методичною
радою управління освіти
Фрунзенської районної ради
Протокол №____ від ________ 2006 р.
/Передрук та тиражування забороняється/
2
Что прекраснее всего? Мир, ибо все, что прекрасно устроено, является его частью.
Что мудрее всего? Время, оно породило одно и породит другое.
Что обще всем? Надежда: ее имеют и те, у кого
нет ничего другого.
Что полезнее всего? Добродетель, ибо благодаря
ей все иное может найти применение и стать полезным.
Что самое вредное ? Порок, ибо в его присутствии
портится почти все.
Что сильнее всего? Необходимость, ибо оно
непреодолима.
Что самое легкое? То, что соответствует природе, ибо даже наслаждения часто утомляют.
Мудрее всего Время, ибо оно обнаруживает все.
Ищи одну Мудрость.
Выбирай одно Благо.
Фалес Милетский
3
СОДЕРЖАНИЕ
I. Компетентностный подход или чему и как учить . . . . . . . . . . . 5
II. Методические рекомендации к теме «Решение уравнений» . 9
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1. Становление классической алгебры . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1 Линейные и квадратные уравнения в первых
цивилизациях античности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Арифметика Диофанта . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Арабская математика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Ал-хорезми и рождение «ал-джабр» . . . . . . . 24
2. Уравнения и А.Н. Толстой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3. Что такое алгебра? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4. Виды заданий для учащихся . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1. Общие сведения об уравнениях . . . . . . . . . . . 30
4.2. Алгебраический способ решения задач . . . . 33
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
III. Методические рекомендации к теме «Решение задач с параметрами» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1. Знакомство с параметром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2. Уравнения первой степени с одним неизвестным . . . 51
3. Уравнения второй степени с параметром. иррациональные уравнения простейшие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4. Биквадратные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5. Системы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6. Неравенства первой степени с одним неизвестным. неравенства второй степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7. Иррациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8. Показательные и логарифмические уравнения . . . . . 62
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4
I. Компетентностный подход или чему и как учить.
Известно, что обучаемость детей – различна: одни более восприимчивы к новой информации и способам ее познания, другие
– менее, а у третьих такая сопротивляемость обучению, что их
продвижение и до стандарта трудно дотянуть. Но профессиональная педагогическая задача – научить каждого ученика определенному кругу знаний – обязательна. Это справедливо. И родители, и ученик вправе ожидать от педагога результат: если
ученик учился, то он должен быть научен.
Весьма существенный вопрос – научен чему? Что понимаем
мы сегодня, когда говорим о качестве образования? Уж поистине удивляем мы весь мир: «если мы такие умные, то почему мы
такие бедные?» Творческий, самостоятельный человек, умеющий адекватно оценивать ситуацию и проживать ее оптимальным образом для себя и окружающих, - вот результат образование, востребованный сегодня. С трудом осваиваем мы простую
данность: все зависит от меня, никто мне ничего не должен, никто не выстелет мне дорогу коврами. Каждый пишет сам свой
жизненный сценарий, определяя его содержание собственными
возможностями и усилиями. Стать образованным означает также
включиться в социальную жизнь, выбрать полезную и интересную профессию, получит высоко оплачиваемую работу. Поэтому хорошее образование неразрывно связано со стремлением к
успеху, социальному благополучию и признанию. Предполагается, что образованный человек имеет и высокий уровень нравственных качеств. Зачем же иначе образование, если оно не является основой благородства человека? Следовательно, наряду с
другими знаниями надо овладевать и знаниями этическими, основой культуры поведения. Естественно, в перечне составляющих хорошее образование было бы правильным иметь и образование нравственное, и образование о правилах этикета, а особенно об умении проявлять культуру поведения в повседневной
жизни.
5
Помимо названного следует сказать еще об одном очень важном: умении человека обновлять свои знания всю жизнь, владении способами нахождения нужной информации и обработки ее.
Но прежде, надо иметь потребность в знаниях, которая выражается в познавательном интересе (учиться - интересно, узнавать
новое – любопытно, радостно от от нового знания, чтение – удовольствие, думать постоянная потребность). А помимо этого –
умение учиться (понимать учебные задачи, рефлексировать познавательные затруднения, владеть высоким качеством интеллектуальных действий), обладание организованным умом (логичность, критичность, концентрация внимания, оценки аргументов); креативность (оригинальность решений, альтернативность, гибкость ума и личностная смелость). Знание языков –
родного и одного - двух иностранных, свободное общение и
возможность получать и сравнивать информацию из различных
источников, а также владение телекоммуникационными информационными средствами.
Результат образования оценивается не суммой ЗУНов, а уровнем сформированности основных, ключевых компетентностей в
интеллектуальной, гражданско-правовой, коммуникационной,
информационной и других жизненно важных сферах.
В связи с этим, безусловно, произойдут изменения. Но какими
будут эти изменения? Изменяться ли способы обучения детей? А
что должно измениться в работе любого учителя? А как должен
измениться сам учитель? Где в его жизни будет место для овладения новыми способностями ?
Компетентностный подход – это естественный этап обновления содержания образования. Но что значит он для учителя?
Ушли в забытье системы педагогов – новаторов: В.Шаталова,
П.Эрдниева, С.Лысенковой и других. В педагогике всегда что –
нибудь возникает, все начинают говорить о необходимости
внедрения и потом забывают. Вечным и незыблемым остается
только урок и классно – урочная система. Все так хорошо упорядочено, даже думать не надо: звенит звонок, все – за парты,
«Здравствуйте, садитесь. Что было задано?» Дело в том, что це-
6
лый ряд умений и знаний, осваиваемых в школе, уже не принадлежит никакому профессиональному занятию.
Новый подход требует и нового взгляда на существующие
формы управления школой, переподготовки кадров, самообразования учителя. Говоря о самообразовании учителя, речь идет об
освоении и внедрении в педагогическую деятельность следующих компетентностей:
самостроительная – минимальное овладение деятельностью
по самопроектированию, конструированию своих и привлечение
внешних ресурсов, самореализации и рефлексии;
социальная или компетентность солидарности: минимальное
овладение коммуникативной деятельностью, само- и взаимопомощи в общественной жизни;
индивидуально-репродуктивная – конструирование своих и
привлечение внешних ресурсов для минимального овладения
родительской, педагогической и творчески созидающей деятельностью;
социально-репродуктивная – конструирование своих и привлечение внешних ресурсов для минимального овладения теми
или иными профессиональными деятельностями;
поисково-исследовательская - конструирование своих и привлечение внешних ресурсов для минимального овладения основами исследовательской деятельности.
Категория компетентности является следствием новой экономики и нового подхода к человеческим ресурсам. Она возникла
из потребности в адаптации человека к слишком часто меняющимся условиям. Беря во внимание последний факт, можно сказать, что компетентностный подход актуален как никогда.
К.Роджерс, которого по праву считают основоположником
гуманистической психологии, писал, что критерии успешной
педагогической деятельности те же, что и критерии успешной
психотерапии, так как в основе своей данные виды деятельности
близки: один помогает другому (другим) изменяться, усовершенствоваться. Для этого необходимы: эмпатия, принятие детей
без каких-либо условий, теплое отношение, поддержка, откры-
7
тое, аутентичное поведение, позволяющее выражать во взаимодействиях свою истинную сущность.
Научите всех людей верному заработку, и не станет половодья грабежей-мятежей. Научите культуре труда, чудодейственным технологиям, научите самопомощи, самоорганизации, самоуправлению и резко уменьшится тоска по кнуту. Научите не
только смотреть, но и видеть. Научите не только мыслям, но и
мыслить. Не бояться будущего.
Учится учитель – учится ученик…
8
II. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ТЕМЕ
«РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ»
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Уравнения составляют основу классической алгебры но, к
большому сожалению, курс математики средней школы не
включает в себя хотя бы частичное освещение истории развития
данной дисциплины и ее основных понятий. Может это и является одной из причин того, что уравнения школьного курса либо
существуют «сами по себе», либо, в старших классах применяются при решении определенного класса задач. И совершенно не
берется во внимание тот факт, что метод уравнений был создан
для рационализации вычислительного процесса. Суть этого метода заключается в следующем
1. Искомые величины получают особые обозначения. Мы
пользуемся для этой цели буквенными знаками (предпочтительно последними строчными буквами латинского алфавита x, y, z,
u, v). Условия задачи с помощью этих знаков и знаков действий
«переводится на математический язык», т.е. связи между данными и искомыми величинами мы выражаем не словами и фразами разговорного языка, а математическими знаками. Каждая
такая «математическая фраза» и есть уравнение
2. После этого мы решаем уравнение, т.е. находим значение
искомых неизвестных величин. Решение уравнения производится механически, но по общим правилам. Нам не приходится
больше учитывать особенности данной задачи; мы только должны применять, раз навсегда установленные правила и приемы.
(Выводом этих правил и занимается в первую очередь алгебра)
Таким образом, уравнения нужны, чтобы механизировать
труд вычислителя. После того, как уравнение составлено, решение его можно получить вполне автоматически. Вся трудность
решения задачи сводится лишь к составлению уравнения.
Следовательно, при изучении данной темы необходимо обязательное рассмотрение следующих вопросов:
9
Зачем нужны уравнения?
Как составлять уравнения?
Общие сведения об уравнениях.
Основные приемы решения уравнений.
Классификация уравнений.
Уравнение первой степени с одним неизвестным.
Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными и т. п.
Список вопросов можно продолжать, однако ограничимся
лишь теми из них, которые входят в содержание математики 2 –
5 классов. Существующие учебники математики для 2 – 5-х
классов не содержат материал для отработки вышеназванных
вопросов. В начальной школе уравнения возникают из ниоткуда
и считаются лишь одной из разновидностью заданий. Теоретический материал – отрывочный, бессистемный, описательного
характера содержится лишь в учебниках 5-ого и 6-ого классов. К
этому времени учащиеся уже прорешали достаточное количество уравнений и, естественно, выделили для себя свой способ
решения. Интуитивно выделенный способ содержит в себе, в
лучшем случае, почти заклинание «…чтобы найти первое слагаемое надо…» или указание типа «…из большего числа вычитаем
меньшее…» и т.д. Конечно же, эти правила не работают в старше школе, однако они усваивались более длительный промежуток времени, поэтому лучше запомнились. И в старшей школе
учитель вынужден совмещать решение двух различных проблем:
- исправление ошибочного представления
- обучение решению уравнений.
Решение уравнений в начальной школе осуществляется без
детального изучение или хотя бы описания основных теоретических понятий, без выделения общих приемов решения, а лишь на
основании выученного правила нахождения неизвестного компонента в простейших уравнениях вида:
10
А+х=В
А–х=В
х–А=В
х∙А=В
х:А=В
А:х=В
Незначительное усложнение формы записи уравнения, без
введения дополнений приводящих к изменению процесса решения, уже ставят большую часть учащихся в затруднительное положение.
К 5-ому классу официально считается, что учащиеся уже в
достаточной степени овладели необходимым практическим и
теоретическим минимумом и в состоянии работать самостоятельно – решать и соответственно выделять класс задач требующих алгебраического решения в качестве основного или вспомогательного, решать уравнения с модулями, преобразовывать
уравнения и сводить их к простейшим и т.д. Однако как показывает практика решение уравнений по-прежнему остается «большой загадкой» для многих учащихся.
Не вооружив учащихся общим способом, не отработав основных теоретических положений, а лишь увеличив временной
промежуток бессистемного решения разнотипных уравнений,
нельзя добиться положительных результатов в обучении.
Здесь следует оговориться и отметить, что другая образовательная система – развивающие обучение иначе подходит к изложению данной темы и, в основном, рассматривает ключевые
вопросы. Уравнение, в этом случае, рассматривается как логическое завершение решения задачи об уравнивании двух величин.
Параллельно в этой задаче рассматривается и основное свойство
уравнения. Далее процесс решения сводится к выделению частей
и целого и соответствующих алгоритмов для их нахождения.
Введение понятий «часть» и «целое» значительно облегчает
работу учащихся по классификации, выделению общего способа
решения простейших уравнений.
И снова, пожалуй, следует оговориться. Любой опытный учитель, видя серьезный разрыв в содержании материала, будет искать пути выхода из создавшейся ситуации. Но все это требует
затрат сил, энергии, времени.
Данная работа является с одной стороны справочным материалом, а с другой – методическим и дидактическим материалом.
Задания, которые предлагаются, вернее их разновидности, уже
много раз применялись на практике и приводили к определен11
ным положительным результатам. Но это все равно лишь малая
часть того, что предстоит сделать для разработки такой сложной
и красивой темы как «Уравнения».
Цель работы – показать то, что уже в основном есть и предоставить возможность каждому творчески дополнить, переработать предоставленный материал, отыскивая свой путь преподавания.
1. СТАНОВЛЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЫ
Еще задолго до появления термина «алгебра» существовали
некоторые стереотипные рецепты, являющиеся зачатками техники решения практических задач.
Мало-помалу развивался исторический процесс выделения
правил абстрактного алгебраического исчисления – исчисления,
производимого над выражениями, содержащими одну неизвестную величину; этот процесс был тесно связан с процессом становления арифметики. Из правил и рецептов складывалась методика, почти исключительным объектом, которой продолжала
вплоть до начала XIX в. оставаться теория уравнений.
В ходе этого двойного развития складывалась и уточнялась
система обозначений арифметических операций и алгебраического исчисления. Множества, с которыми работали арифметики
и алгебраисты, постепенно расширялись – от множества натуральных чисел до множества рациональных положительных чисел, а затем до квадратичного расширения последнего и почти в
то же время до некоторого аналога наших действительных чисел, и, наконец, до отрицательных и комплексных чисел.
1.1 Линейные и квадратные уравнения в первых
цивилизациях античности
Еще в глубокой древности при рассмотрении конкретных задач встречались примеры, которые можно интерпретировать как
образцы решения уравнений первой и второй степени.
Вавилон.
12
В вавилонских табличках встречаются численные задачи,
сформулированные описательно, т.е. без символических обозначений, с помощью слов и фраз, решение которых представлено
как последовательность правил, которые нужно выполнить, но
без какого бы то ни было их обоснования.
Вавилоняне использовали геометрический язык, причем неизвестное х они называли стороной, а его вторую степень, х2 , квадратом. В случае двух неизвестных их называли длиной и
шириной, а их произведение – площадью. Но, несмотря на эту
терминологию, они без колебания вычитали сторону из площади. Так, текст 13901 из Британского музея «Я вычитаю сторону
квадрата из его площади и получаю 14,30» можно перевести на
алгебраический язык уравнением х2 – х = 14,30.
Историк Гетш провел анализ типов уравнений, встречающихся у вавилонян, и методов их решения. Эти методы оставались
почти постоянными с раннего вавилонского периода (1800г. до
н.э.) до эпохи Селевкидов (около 300 г. до н.э.) Мы находим
здесь линейные уравнения с одним неизвестным и системы двух
уравнений с двумя неизвестными, состоящими из одного линейного уравнения и одного уравнения второй степени:
Х±У = а
и
ху = в
Х±У = а
и
х2 + у2 = в
В случае систем общий метод состоял в разрешении одного из
уравнений относительно одного неизвестного и в подстановке
соответствующего выражения в другие уравнения. Иногда
встречался так называемый метод «больше или меньше»: если
имелось уравнение х + у = а и второе уравнение относительно х
и у , то полагали х = а/2 + s и у = а/2 – s . После подстановки во
второе уравнение получали одно квадратное уравнение относительно s. Точно так же, если имелось уравнение х – у = а, вавилоняне полагали
Х = s + а/2
и
у = s – а/2.
13
Пример вавилонской задачи. Перевод в десятичную систему
счисления.
Площадь квадрата, прибавленная к его стороне, равна 45/
3
х2 + х =
4
Положи 1 единицу
1
Раздели 1 на два: 30/
1
1
∙1=
2
2
Умножь полученное на 30/ : 15/
1
1 1
∙ =
2 2
4
/
/
Прибавь 15 к 45 : 1
1
3
+ =1
4
4
Это квадрат от 1
1 =1
Вычти 30/, которое ты перемножал, из 1 : 30/
1
1
1- =
2
2
Ты получил сторону квадрата
1
х=
2
Египтяне
У нас еще меньше оснований говорить о египетской алгебре,
чем о вавилонской. Среди сотни задач, содержащихся в папирусе Ринда и Московском папирусе (около 1700 г. до н.э.), большинство связаны с повседневной жизнью и касаются распределения хлеба, зерна или скота. Чаще всего они решались одними
14
арифметическими методами или использованием линейных
уравнений типа
х + ах = в
или
х + ах + сх = в
Линейное уравнение с одним неизвестным умели решать еще
в Древнем Вавилоне и Египте более чем 4 тысяч лет назад. Приведем задачу из папируса Ринда (его называют также папирусом
Ахмеса), хранящегося в Британском музее и относящемуся к периоду 2000 – 1700гг. до н.э.:
«Найти число, если известно, что от прибавления к нему ⅔
его и вычитания от полученной суммы ее трети получается число 10»
Решение этой задачи сводится к решению линейного уравнения:
х+
2
2
1
х - (х + х) = 10,
3
3
3
х=9
Египтяне за 2000 лет до н.э. имели для обозначения неизвестного числа особый символ и название (последнее произносится
«хау» или «аха» и условно переводится словом «куча»).
«Куча. Ее седьмая часть, ее целое. Что составляет 19».
х+
x
7
= 19
Вся трудность для египтян заключалась в выборе единиц измерения и их подразделений. В самом деле, кроме дроби 2/3
египтяне пользовались при вычислениях только аликвотными
дробями (дробями с числителем, равным единице). Вообще при
решении таких задач пользовались методом «ложного положения». Например, «Когда писец говорит тебе 10, то от чего это
будет 2/3 или 1/10?» запись в виде уравнения дает (2/3)∙х +
(1/10)∙х = 10. Если взять 30, то 2/3 равны 20, а 1/10 равна 3 и итог
15
равен 23. Однако нам нужно получить 10 – на сколько нужно
умножить 23, чтобы получить 10 ? Этот метод «ложного положения» четко можно было выделить еще у китайцев. Он был
распространен на Запад арабами под названием «ал-катаян»,
«китайский».
Задача 40 из папируса Ринда.
Пример арифметической прогрессии и метод ложного положения.
Распределить 100 караваев хлеба между 5 человеками так,
чтобы 1/7 общего количества караваев у трех последних равнялась количеству караваев у первых двух. Чему равна разность?
Приняв за разность 5½ и 1 за первый член, найдем первое
приближение : 1, 6½, 12, 17½, 23, что дает в сумме 60, т.е. ⅔ от
100.
Таким образом, прибавляем к каждому члену ⅔ его самого и
1
получаем решение: 1⅔, 10∙(2/3 + 1/6), 20, 29 , 38 ⅓, что в сумме
6
дает 100.
1.2 Арифметика Диофанта
История сохранила нам мало черт биографии замечательного
древнего математика Диофанта. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице – надписи, составленной в
форме математической задачи.
Здесь погребен Диофант, и камень могильный
При счете искусном расскажет нам,
Сколь долог был его век.
Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни;
В двенадцатой части, затем прошла его светлая юность.
Седьмую часть жизни прибавим – перед нами очаг Гименея.
Пять лет проистекли; и прислал Гименей ему сына.
Но горе ребенку! Едва половину он прожил
Тех лет, что отец, как скончался несчастный.
16
Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжелой.
И умер, прожив для науки. Скажи мне,
Скольких лет достигнув, смерть воспринял Диофант?
Мы приведем эту запись.
На родном языке
На языке алгебры
Путник! Здесь прах погребен
Диофанта. И числа поведать

Могут, о чудо, сколь долг
Был век его жизни.
Часть шестую его представляло 
Прекрасное детство.
6
Двенадцатая часть протекла

Еще жизни – покрылся
12
Пухом тогда подбородок.
Седьмую в бездетном

Браке провел Диофант.
7
Прошло пятилетие; он
Был осчастливлен рожденьем
5
Прекрасного первенца сына,
Коему рок половину лишь

Жизни прекрасной и светлой
Дал на земле по сравненью с 2
отцом.
И в печали глубокой
Старец земного удела конец
  

    5 4
Воспринял, переживши
6 12 7
2
Года четыре с тех пор, как
Сына лишился.
Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял
Диофант?
17
Решив уравнение и найдя, что  =84, узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился в 21 год, стал отцом на 38
году, потерял сына на 80-м году и ум6ер в возрасте 84 года.
Диофант открыл новую главу в математике, и невозможно
выявить. Какие невидимые источники питали его творчество.
Жизнь Диофанта мало известна, и даже насчет дат его жизни не
пришли к общему соглашению (Ш в.н.э.). Его великий труд
«Арифметика» включал в себя, как он сам во введении сообщил,
тринадцать книг
C XVI в. известны только шесть книг. Они содержатся в греческом манускрипте, обнаруженном в 1464 г. Региомонтаном в
Венеции и являвшемся копией более древнего манускрипта. Неясно, где располагались семь недостающих книг в общей структуре трактата.
Ныне возникла опасность, что прежнее прочтение Диофанта
окажется неверным, и анализ его труда нужно будет проводить
заново. Действительно, недавно в Иране(1972 г.) были обнаружены и идентифицированы четыре из арифметических книг
Диофанта. Речь идет об арабском манускрипте, датируемом 1175
г., который оказался копией знаменитого перевода Диофанта на
арабский язык, приписываемого Коста ибн Лука (умер около 912
г.), под названием «Искусство алгебры». Об «Искусстве алгебры» упоминали древние арабские библиографы, и, кроме того,
известно, что с X в. такие математики, как Абу-л-Вафа и алКараджи обращались к этому переводу и комментировали его.
«Арифметику» нельзя считать теоретическим трудом по
арифметике в пифагорейском смысле – пифагорейцы термин
“арифметика” предназначали для теории чисел, которая считалась дисциплиной без определенного метода, но требующий от
ума некоего рода божественной интуиции. А этот трактат ближе
всего к традициям вычислительной математики, или логистики.
Однако в период, когда Диофант работал над составлением своей книги, это первоначальное различие уже, по-видимому, стерлось – это видно и из самого выбора названия и из того, что
практические задачи у Диофанта всегда сначала формулируются
в абстрактной форме, а числовые данные вводятся позже. Эта
18
общая абстрактная формулировка радикальным образом отличает Диофанта от вавилонских математиков.
Разумно считать «Арифметику» компиляцией, аналогичной
«Началам» Евклида, составленной одним автором, но являющейся плодом коллективной традиции.
Шесть греческих книг являются собранием 189 числовых задач, снабженных решениями.
Книга I в греческом варианте посвящена определенным задачам первой и второй степени с одним или несколькими неизвестными. Вот пример: «Найти два таких числа, чтобы их сумма
и произведение равнялись заданным числам. Нужно, чтобы
квадрат полусуммы искомых отличался от их произведения на
квадрат. Это необходимое условие формирования, Пусть их
сумма будет 20, а произведение 96».
Диофант действовал следующим образом: он полагал, что
разность двух чисел равна двум аритмам (аритм обозначал неизвестную величину), скажем 2d. Тогда эти два числа равны 10 + d
и 10 – d. Имеем (10 + d)(10 – d) = 96, 100 – d2 = 96 и d = 2. В современных обозначениях, если х и у – искомые числа, полагаем
x + у = 20, x∙у = 96, x – у = 2d,
тогда
x y x y

 10  d
2
2
,
x y x y
y

 10  d
2
2
.
x
Получаем ху = 100 – d2 = 96, откуда d = 2. Первое число равно
10 + 2 = 12, второе 10 – 2 = 8. Мы узнаем здесь метод «больше
или меньше», который использовали вавилоняне.
Таким образом, условие разрешимости выражается соотношением
19
((х + у)/2)2 – ху = полный квадрат.
У Диофанта оно имеет целью получение лишь рациональных
положительных решений.
Действительно, если мы положим х + у = а и х∙у = в, то получим
a
 (a / 2) 2  b которые будут рациональными, если
2
(a/2)2 – b – полный квадрат, что непосредственно дает
((х + у)/2)2 – х∙у = полный квадрат
Мы начали с этого очень простого примера, потому что он
возвращает нас к задаче из «Начал» Евклида, состоящей в отыскании двух чисел, сумма и произведение которых известны.
Можно заведомо констатировать отсутствие обращений, к какому бы то ни было геометрическому построению и обнаружить
начатки разрешающего алгоритма, который бесспорно роднит
Диофанта с вавилонянами. Эта разрешающая процедура присутствует во многих аналогичных задачах, состоящих в решении
систем уравнений с двумя неизвестными, и приводит с помощью
исключения к квадратному уравнению. На самом деле квадратных уравнений как таковых у Диофанта нет, хотя он и обещал во
введении их рассмотреть, но, тем не менее, многие примеры доказывают, что он был знаком с их решением.
Коэффициенты уравнений были всегда рациональными положительными числами, часто даже целыми, и если уравнение
не имело рациональных положительных корней, Диофант его
отбрасывал и объявлял не имеющим смысла; иногда он изменял
числовые значения, чтобы сделать уравнение разрешимым в его
смысле. В противоположность Герону Александрийскому или
Архимеду, допускавшим в решении геометрических задач иррациональные числа, которые они затем пытались найти приближенно, Диофант проявил себя большим приверженцем арифметики и алгебры. Для него статус чисел распространялся лишь на
20
положительные рациональные числа. Разумеется, отрицательное
решение было немыслимо.
Наконец, если уравнение второй степени имеет два допустимых корня, Диофант либо упоминал лишь об одном из них, либо, если он находил эти два решения с помощью различных
процедур, то не пытался объединить их общим представлением.
Пять других книг в основном посвящены неопределенным
уравнениям, т.е. уравнениям и системам уравнений со многими
неизвестными, которые, вообще говоря, имеют большее число
решений. И здесь Диофант ограничился исключительно рациональными решениями.
Пример неопределенной задачи Диофанта.
Найти такие три числа, чтобы квадрат суммы всех трех, вычтенный из каждого числа, давал квадрат. Положим сумму этих
трех чисел аритмом.
Условия задачи можно перевести так:
X – (X + Y + Z)2 = α2
Y – (X + Y + Z)2 = β2
Z – (X + Y + Z)2 = γ2
Диофант полагал X + Y + Z = x, откуда (X + Y + Z)2 = x2.
Затем он делал следующие подстановки:
X = 2x2, Y = 5x2, Z = 10x2,
которые обращали все три уравнения в тождества
α2 = x2, β2 = 4x2, γ2 = 9x2.
Затем он подставлял эти значения в соотношение
X+Y+Z=x
и получал
21
2x2 + 5x2 + 10x2 = x
17x2 = x, x = 1/17, x2 = 1/289.
Решение Диофанта таково
X = 2/289, Y = 5/289, Z = 10/289.
1.3 Арабская математика
Развитие арабской математики началось в VII в. нашей эры,
как раз в эпоху возникновения религии ислама. Она выросла из
многочисленных задач, поставленных торговлей, архитектурой,
астрономией, географией, оптикой, и глубоко сочетала в себе
стремление решить эти практические задачи и напряженную
теоретическую работу.
В развитии арабской математики можно различить два этапа:
прежде всего усвоение в VII и VIII вв. греческого и восточного
наследия. Багдад был первым крупным научным центром в
правления ал-Мансура (754 – 775) и Гарун ал – Рашида(786 –
809). Там было большое количество библиотек, и изготовлялось
много копий научных трудов, Переводились труды античной
Греции(Евклид, Архимед, Аполлоний, Птолемей, Диофант).
Изучались также труды из Индии, Персии и Месопотамии.
Но к IX в. сформировалась настоящая собственная арабская
математическая культура, и новые работы вышли за рамки,
определенные эллинским математическим наследием.
Первым знаменитым ученым багдадской школы был Мухаммед ал-Хорезми, деятельность которого протекала в первой половине IX в. Он входил в группу математиков и астрономов, которые работали в Доме Мудрости, своего рода академии, основанной в Багдаде В правление ал-Маммуна (813-833). Сохранились пять работ ал-Хорезми, частично переработанные, из которых два трактата об арифметике и алгебре оказали решающее
воздействие на дальнейшее развитие математики.
22
Его трактат об арифметике известен только в латинском варианте XIII в., который, без сомнения, не является точным переводом. Его можно было бы озаглавить «Книга о сложении и вычитании на основе индийского исчисления». Это, во всяком случае,
первая книга, в которой изложены десятичная система счисления и операции, выполняемые в этой системе, включая умножение и деление. В частности, там использовался маленький
кружочек, выполнявший функции нуля. Ал-Хорезми объяснял,
как произносить числа, используя понятия единицы, десятка,
сотни, тысячи, тысячи тысяч…, которые он определил. Но форма использованных ал-Хорезми цифр неизвестна, возможно, это
были буквы арабского алфавита или арабские цифры Востока. В
действительности чисто буквенная система счисления просуществовала очень долго, о чем свидетельствуют «Книга по арифметике для писцов и торговцев», написанная Абу-л-Вафа между
961 и 976 гг., и знаменитая «Достаточная книга о науке арифметике», написанная ал-Караджи в конце X – начале XI в.
Умножение и деление на два рассматривались как отдельные
операции. Вспомним, что они играли очень важную роль в египетской математике. По-видимому, ал-Хорезми обучал индийскому методу извлечения квадратного корня и использовал способ приближения, который можно представить следующим образом:
N 
1
10 k
N  10 2 k
В латинском варианте книге по арифметике ал-Хорезми сообщается, что он приводил в качестве приближения квадратного
корня из числа N = a2 + r величину
N a
r
. Отметим,
2a
что слово алгоритм, которое вплоть до начала нового времени
означало вычисление в десятичной позиционной системе, происходит от латинизированного варианта имени ал-Хорезми.
23
1.4 Ал-Хорезми и рождение «ал-джабр»
Самым значительным трудом ал-Хорезми можно считать
«Краткую книгу об исчислении ал-джабр и ал-мукабала», которую можно рассматривать как сочинение по основам алгебры на
арабском языке и которая оказала сильное влияние благодаря
своим многочисленным латинским переводам на всю средневековую западную науку. Большая часть этой работы посвящена
практическим задачам – насущным задачам повседневной жизни
той эпохи, в частности задачам раздела наследства, связанным с
очень сложными мусульманскими правами наследования. Трактат ал-Хорезми учит, как решать уравнения первой и второй
степени с числовыми коэффициентами. Его алгебра целиком риторическая, он не использовал символов даже для чисел. Тем не
менее он различал три вида чисел: просто числа, которые он
обозначал «дирхам» (по названию греческой денежной единицы
драхмы); неизвестное, которое он называл «шай» (вещь) или
«джизр», когда речь шла о корне уравнениея; наконец, он использовал «маал», чтобы обозначить квадрат неизвестного.
Все уравнения приводились к шести каноническим типам, которые ал-Хорезми и его ученики записывали в формах, эквивалентных следующим:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
ах2 = вх;
ах2 = с
вх = с
ах2 + вх = с
ах2 + с = вх
вх + с = ах2 .
Все коэффициенты были
складывались. Чтобы решать
основные операции:
1. операция ал-джабр (что
полнение»), которая состояла
24
положительные, и члены только
эти уравнения, были введены две
означает «дополнение» или «восв избавлении от членов со знаком
«минус» в одной части уравнения путем прибавления к обеим
частям уравнения одинаковых членов;
2. операция ал-мукабала (что означает «противопоставление»,
«уравновешивание»), которая состояла в сокращении равных
членов в обеих частях уравнения.
2. УРАВНЕНИЯ И А.Н. ТОЛСТОЙ
Известный физик А.В. Цингер в своих воспоминаниях о Л.Н.
Толстом рассказывает о следующей задаче, которая очень нравилась великому писателю:
«Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое
больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая артель осталась на
большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?»
В этом случае, кроме главного неизвестного – числа косцов
(обозначим через χ); удобно ввести еще и вспомогательное –
размер участка, скашиваемого одним косцом в один день (обозначим его через y). Хотя задача и не требует его определения,
оно облегчит нам нахождение главного неизвестного.
Выразим через χ и y площадь большого луга. Луг этот косили
полдня χ косцов; они скосили
1
2
 y =
y
2
Вторую половину дня его косила только половина артели, то

есть
косцов; они скосили
2

1
y
 y
2 2
4
25
Так как к вечеру был скошен весь луг, то площадь его равна
y
2
+
y
4

3   y
4
Выразим теперь через χ и y площадь меньшего луга. Его ко
сили полдня
косцов и скосили площадь
2

1
y
 y
2 2
4
Прибавим недокошенный участок, как равный y (площади,
скашиваемой одним косцом за один день работы), и получим
площадь меньшего луга
y
4
y
  y  4 y
4
Остается перевести на язык алгебры фразу: «первый луг вдвое
больше второго», и уравнение составлено:
3   y   y  4 y
3   y
:
 2 , или
2
4
4
  y  4 y
Сократим дробь в левой части уравнения на y; вспомогательное неизвестное благодаря этому исключается, и уравнение принимает вид
3 
 2,
 4
отсюда χ =8.
В артели было 8 косцов.
26
«История этой задачи такова – рассказывает профессор А.В.
Цингер – В Московском университете на математическом факультете в те времена, когда учились мой отец и мой дядя
И.И.Раевский (близкий друг Л.Н.Толстого), среди прочих предметов преподавалось нечто вроде педагогики. Для этой цели
студенты должны были посещать отведенную для университета
городскую школу и там, в сотрудничестве с опытными искусными учителями упражняться в преподавании. Среди товарищей
Цингера и Раевского был некий студент Петров, по рассказам –
чрезвычайно одаренный и оригинальный человек. Этот Петров
(умерший очень молодым, кажется, от чахотки) утверждал, что
на уроках арифметики учеников портят, приучая их к шаблонным задачам и шаблонным способам решения. Для утверждения
этой мысли Петров изобретал задачи, которые вследствие
нешаблонности очень затрудняли «опытных искусных учителей», но легко решались более способными учениками, еще не
испорченными учебой. К числу таких задач (их Петров сочинил
несколько) относится и задача об артели косцов. Опытные учителя, разумеется, легко могли решать ее при помощи уравнения,
но простое арифметическое решение от них ускользало. Между
тем, задача настолько проста, что привлекать для ее решения алгебраический аппарат совсем не стоит.
Если большой луг косила вся артель и полдня пол-артели, то
1
ясно, что за полдня пол-артели скашивает
луга. Следователь3
1 1 1
но, на малом лугу остался нескошенным участок в   .
2 3 6
1
Если один косец в день скашивает
луга, а скошено было
6
6 2 8
  , то косцов было 8.
6 6 6
Толстой, всю жизнь любивший фокусные, не слишком хитрые задачи, эту задачу знал от моего отца еще с молодых лет.
Когда об этой задаче пришлось мне беседовать с Толстым – уже
стариком, его особенно восхитило то, что задача делается гораз27
до яснее и прозрачнее, если при ее решении пользоваться самым
примитивным чертежом»
В «Арифметике» Л.Ф. Магницкого за 1703 год содержится
следующая задача.
Отец ученика спросил учителя, сколько у того учится ребят.
Учитель ответил, что если бы у него было учеников еще столько,
сколько сейчас есть, и полстолька, и четверть столько и сын
спрашивающего, то их было бы ровно 100 человек.
Решение.
х+х+
x x
 + 1 = 100.
2 4
3. ЧТО ТАКОЕ АЛГЕБРА?
Я говорю, … что искусство алгебры и алмукабалы есть научное искусство, предмет которого составляют абсолютное число и измеримые величины, являющиеся неизвестными, но отнесенные к какой-либо известной вещи, по которой их можно
определить. Эта вещь есть или количество или отношение, не
связанное ни с чем другим. И это ты должен глубоко вникнуть.
Омар Хаям
Алгебра учит рассуждать о величинах. При этом она изображает их буквами и означает особыми знаками зависимость
между ними.
Давидов А.Ю.
Алгебра – это язык, не пользующийся словами, а только математическими символами. Если этот язык символов нам знаком, то на него можно перевести интересующие нас выражения повседневного языка.
Пойа Д.
Алгебра дает общую «отмычку», которой открываются любые задачные «замки», тогда как арифметика подбирает к
каждой задаче свой «ключ».
Андронов И.К.
28
Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и
ту же задачу тремя различными способами, чем решить тричетыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче
и эффективнее. Так вырабатывается опыт.
Соейр У.
Уравнение – аналитическая запись задачи с разысканием значений аргументов, при которых значения двух функций равны.
Аргументы, от которых зависят эти функции, называют обычно
неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения
функций равны, решениями или корнями уравнения; о таких
значениях неизвестных говорят, что они удовлетворяют данному
уравнению
Совокупность решений данного уравнения зависит от области
М значений, допускаемых для неизвестных. Уравнение может не
иметь решений в М, тогда оно называется неразрешимым в области М. Если уравнение разрешимо, то оно может иметь одно
или несколько, или даже бесконечное множество решений.
Если уравнение имеет решениями все числа области М, то
оно называется тождеством в области М.
Процесс разыскания решений уравнений заключается обычно
в замене уравнения равносильным. В некоторых случаях приходится заменять данное равносильным, для которого совокупность корней шире , чем у данного уравнения, Поэтому, если
при решении уравнения действием, могущим привести к появлению посторонних корней, то все полученные корни преобразованного уравнения проверяют подстановкой в исходное уравнение.
Линейное уравнение алгебраическое – алгебраическое уравнение 1-ой степени, т.е. уравнение
а1х1 + а2х2 + …+ аnхn = в
где n – натуральные числа; аi называются коэффициентами
при неизвестных и являются заданными; вi называются свобод-
29
ными членами и также являются заданными; х i называются неизвестными и являются искомыми.
Историческим первым разделом линейной алгебры была теория линейных уравнений (алгебраических). В связи с решением
систем линейных уравнений возникло понятие определителя. В
1750 г. было получено правило Крамера для решения системы
линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу
неизвестных и определитель из коэффициентов при неизвестных
отличен от нуля. В 1849 г. был предложен метод Гаусса для решения систем линейных уравнений с числовыми коэффициентами. Этот метод является простейшим по числу применяемых
операций и используется с различными изменениями также для
приближенного решения систем уравнений, коэффициенты которых известны приближенно.
В связи с изучением систем линейных уравнений и их определителей появилось понятие матрицы. Понятие ранга матрицы,
предложенное Г.Фробениусом в 1877г., позволило явно выразить условия совместности и определенности системы линейных
уравнений в терминах коэффициентов этой системы. Тем самым
в конце 19 века было завершено построение общей теории систем линейных уравнений.
4. ВИДЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ
4.1. Общие сведения об уравнениях.
I. Выписать математические выражения, которые являются
уравнением.
A+B=C
0,1x = 3
2x + 11 = 114
A+x=C
0,1x  6
2x – 11  114
A+x  C
1,3x  24
2x = 114 - 69
x=F+S
1,8 +3,5 = x
0x = 0
2
2,7x -5,7 =23,9
x = 16
9 x = 81
7
x–0=x
x = 49
1x = x
9
30
II. Запиши математические символы, которые используются
при записи уравнений.
III. Преобразуя уравнение 3x = 24 , получи еще одно уравнение тождественно равное данному. Сколько таких уравнений
можно получить? Существуют ли какие-то ограничения?
IV. Из трех заданных чисел составь как можно больше уравнений.
V. Запиши уравнение, решением которого является:
x = целое – часть
x = часть + часть
VI. Запиши уравнение, решение которого не принадлежит
множеству натуральных чисел.
VII. Придумай уравнение, которое бы имело бесконечное
множество решений.
VIII. При выполнении этих заданий учащиеся работают с материалами из приложения 1.
1. Выписать уравнения, где неизвестное является частью.
2. Выписать уравнения, где неизвестное является целым.
3. Выписать уравнения, которые не имеют решения на множестве натуральных чисел.
4. Выписать уравнения, которые не имеют решения на множестве целых чисел.
5. Выписать уравнения, которые имеют два корня.
6. Выписать уравнения, которые имеют бесконечное множество решений.
7. Выписать уравнения, корнями которого будет обыкновенная дробь.
8. выписать уравнения, корнями которого будет десятичная
дробь.
31
9. Выписать уравнения, в которых 0 будет являться корнем
или одним из корней.
10. Выписать уравнение, в котором два неизвестных.
11. Выписать уравнение, корни которого ты сможешь найти
только подбором значений.
12. Выписать уравнения, при решении которых необходимо
выполнить только одно арифметическое действие.
13. Выписать уравнения, при решении которых необходимо
выполнить только два арифметических действия.
14. Выписать уравнения, при решении которых необходимо
выполнить более двух арифметических действий.
15. Выписать уравнения, при решении которых будет выполняться только одна операция:
сложение,
вычитание,
умножение,
деление.
16. Выписать уравнения, при решении которых будут последовательно выполняться следующие операции:
сложение и умножение,
сложение и сложение,
сложение и вычитание,
вычитание и умножение,
вычитание и сложение,
вычитание и вычитание,
вычитание и деление,
сложение и деление,
деление и умножение,
деление и сложение,
деление и вычитание,
деление и деление,
умножение и умножение,
умножение и сложение,
умножение и вычитание,
умножение и деление.
32
17. Выписать уравнения, при решении которых необходимо
раскрыть скобки.
18. Выписать уравнения, при решении которых необходимо
выполнить группировку.
19. Что общего между уравнением №____ и уравнением
№___?
20. Чем отличаются уравнения №____ и уравнение №____?
21. Из уравнений №____ и №-____ найти такие, сумма корней
которых равнялась бы ____ .
22. Из уравнений №___ и уравнений №___ найти такие, разность корней которых равнялась бы _____ .
4.2. Алгебраический способ решения задач.
Задачи на составление уравнений или, текстовые задачи,
представляют собой традиционный раздел элементарной математики. Интерес к нему вполне понятен. Решение задач подобного рода способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, умения самостоятельно
осуществлять небольшие исследования.
Предлагаемые задания для учащихся предполагают поэтапную подготовку учащихся к решению текстовых задач алгебраическим способом. С этой целью перед каждым заданием указан
ключевой вопрос, на отработку которого предлагаются задания.
В работе указаны типы заданий, а различные вариации учитель
может составить исходя из уровня подготовки и притязаний детского коллектива.
Зачем нужны уравнения?
1. Какую из предложенных задач ты бы решал с помощью
уравнения?
а) Сколько весит кусок сплава, на изготовление которого
кг
пошло 0,6 дм3 меди (удельный вес 8,9
) и 0,4 дм3 цинка
дм
(удельный вес 0,7)?
33
б) Кусок сплава меди и цинка объемом 1 дм3 весит 8,14 кг.
Найти объемные количества меди и цинка в этом сплаве при известном удельном весе соответствующих элементов.
2. Почему предложенные задачи можно решить только с помощью уравнения? О скольких величинах идет речь в задаче?
Какие величины известные, а какие неизвестные? Как связаны
между собой исходные величины? Что является целым, а что частью? Чем является неизвестное – частью или целым?
а) Бабушка развела гусей и кроликов. У них всех вместе 25
голов и 54 лапки. Сколько гусей и кроликов у бабушки?
б) Петров получил за работу на 16 руб. больше, чем получил
Иванов. Вместе они получили 112 руб. Сколько получили за работу Петров и Иванов?
в) Петров получил за работу на 16 руб. больше, чем половина
суммы, которую получил Иванов. Вместе они получили 112 руб.
Сколько получили за работу Петров и Иванов?
г) В трех ящиках 400 кг яблок. Количество яблок в первом
ящике составляет половину количества яблок во втором ящике и
третью часть яблок в третьем ящике. Сколько яблок в каждом
ящике?
д) Учительница загадала число. Если к этому числу прибавить
17, а от полученного числа отнять 28, а затем прибавить еще 73,
то получится 86. Какое число загадала учительница?
3. Придумай задачу о 2-х и 3-х колесных велосипедах, которая решалась бы с помощью уравнения.
4. Придумай задачу, которая решалась бы с помощью уравнения.
5. Найди на указанных страницах учебника задачи, которые
решались бы с помощью уравнения.
Как составлять уравнение?
34
Составить уравнение – значит выразить в математической
форме связь между данными ( известными ) задачи и искомыми
( неизвестными ) величинами. Иными словами «перевести»
текст задачи на другой язык. Естественно, чтобы перевод соответствовал оригиналу необходимо иметь словарь. Отличие данного словаря от словаря по английскому языку заключается в
том, что соответствующему символу алгебраического языка, будет соответствовать не только слово, а иногда и целое выражение. Следовательно, на первом этапе целесообразно заняться
именно такими переводами. Чем лучше ученик освоит новый
язык, тем глубже и эффективнее будет происходить подготовка.
И когда на определенном этапе при чтении текстовой задачи в
голове ученика будет осуществляться «автоматический перевод»
на язык алгебры, то на листе бумаги возникнет сама собой краткая форма записи задачи. О том на сколько это важно практикующим педагогам говорить не следует, однако можно провести
несложный эксперимент: возьмите одну и ту же задачу и предложите для решения двум разным классам, но одни учащиеся
будут решать текстовую задачу со всеми вытекающими отсюда
последствиями, а другой класс будет решать задачу, условие которой уже представлено краткой записью.
Варианты для отработки данного навыка могут быть различными, вплоть до составления «словарей» с собственной символикой или традиционно принятой для этого. Какой путь выбрать
зависит от учителя и от детского коллектива. Однако стоит заметить, что поспешное навязывание ребенку общепринятого символа или озвучивание детской идеи «взрослыми» словами заведомо снижает мыслительную активность. В рамках данной работы это лишь замечание, однако, данная проблема довольно широко освещена в педагогической теории. Мы еще так далеки от
того, чтобы доподлинно уяснить себе как работает мозг ребенка,
каким образом происходит осознание. Каждый значок, который
предложил ученик это результат его мыслительной деятельности, причем данный результат понимается сверстниками гораздо
быстрее и самое главное с ним удобно работать детям. Хотя его
не сразу понимают взрослые и не успокаиваются до тех пор пока
35
ребячья идея не облекается в привычные для взрослого «одежды».
Задания для учащихся можно превратить в занимательную
игру про шпионов, когда необходимо шифровать и дешифровать
определенные тексты. Можно предложить задание, в котором
необходимо употребить как можно меньше слов, но составить
сообщение определенного характера. Игра в переводчиков и
шпионов имеет своей целью лишь одно, овладение языком алгебры. А детские задумки сыграют роль всевозможных диалектов. Для наиболее полного овладения новым языком следует чередовать прямые и обратные задания. Когда ученики в полной
мере овладеют техникой перевода, следует предложить им «прогулку» по страницам различных учебников математики для поиска интересных форм краткой записи условия задач или текстов задач похожих на какаю–либо определенную запись краткого условия задачи, без последующего их решения.
Примерные задания для учащихся.
1. По данной краткой записи составь уравнение.
а)
б)
С кг
I корзина – ? кг яблок
II корзина - ? кг яблок, на К кг больше (меньше)
С кг
I корзина - ? кг яблок
II корзина - ? кг яблок, в К раз больше (меньше)
2. Подставь недостающие данные в математическую запись,
соответствующую краткому условию из задания 1.
________ + ( ______ ? _____ ) = _________
3.Расставь знаки арифметических действий в математической
записи, соответствующей краткому условию из задания 1.
X __ X __ K __ C
36
4.Напишите недостающие слова в текст задачи, для которой
задано уравнение.
а) X + 3X = 124
В _____ ящике было ____ 3 _____ _____ кг яблок, чем во
________. Найти сколько кг яблок в каждом ящике, если их общая масса 124 кг.
б) (X – 4) + X = 66
В ____ ящике было ____ 4 _____ яблок ______,чем _____
_____. Найти сколько кг яблок было в каждом ящике, если их
общая масса составляет 66 кг.
5.Заполни пропуски в записи уравнения и соответствующей
ему краткой записи условия задачи. Придумай тексты задач.
Найди на соответствующих страницах учебника задачи, которые
имеют сходное решение.
а) X __ 8 __ X __ 189
189 кг
I______ - ______
II_____ - _______, 8 ____ _____
б) X __ 10 __ X __ 9 __ X __ 121
121 кг
I______ - __9_____
II_____ - __10_____
III_____ - ________
6. Составь уравнения к предложенным кратким условиям задач.
а)
I__ - ?__
А ___ II__ - ? ___, на К ___ больше
Ш ___ - ?__, на С ___ больше
37
б)
I__ - ?__
А ___ II__ - ? ___,в К раз больше
Ш ___ - ?__, в С раз больше
в)
А ___
I__ - ?__
II__ - ? ___,в К раз больше
Ш ___ - ?__, на С ___ больше
А ___
I__ - ?__
II__ - ? ___, в К больше
Ш ___ - ?__, в С больше
г)
д)
I__ - ?__
А ___ II__ - ? ___,в К раз больше
Ш ___ - ?__, на С ___ больше
е)
I__ - Б штук ___ -?___
А ___
II__ - С штук ___-?___, на К ___больше
ж)
I__ - Б штук ___
-?___
II__ - С штук ___
-?___, в К раз больше
А ___
7. К предложенным кратким записям условий задач из задания 6 составь тексты. Найди на соответствующих страницах
учебника задачи, которые соответствуют кратким записям условий в задании 6.
8. Составь к уравнениям тексты задач и запиши краткое условие к ним.
x + 4x = 210
x + 4x + 2x = 210
x + (x – 14) = 1000
2x + 3(x – 5) = 100
38
12x + (x + 9) = 700
9. Составь тексты задач и запиши уравнения к предложенным
кратким записям условий.
I ___ - ? ___,
a
от всего
b
II ___ - ?___,
c
от всего
d
А ___
III ___ - ?
I ___ - ? ___,
a
от всего
b
II ___ - ?___,
c
от
d
А ___
III___ - ?
I ___ - ? ___,
a
от всего
b
II ___ - ?___,
c
от всего
d
? ___
III___ - К __
39
I ___ - ? ___,
a
от всего
b
II ___ - ?___,
c
от
d
? ___
III ___ - К___
I ___ - ? ___,
a
от всего
b
II ___ - ?___,
c
от всего
d
А ___
III ___ - ?____,
k
от
m
IV ___ - ?
I ___ - ? ___,
a
от всего
b
II ___ - ?___,
c
от всего
d
? ___
III ___ - ?____,
k
от
m
IV ___ - К ___
a, b, c, d, k, m – принадлежат натуральным числам.
10. Составь к предложенным уравнениям тексты задач и запиши краткие условия.
40
4
2
x + x = 1616
9
3
1
4
x - x  x = 70
2
5
1 5 1
x(1 – (   )) = 119
3 6 6
1
2
1
x - x  (1  ) x  79
4
5
4
ЛИТЕРАТУРА
1. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты.
Очерки по истории математики: Пер. с франц. – М.: Мир, 1986. –
432 с.
2. ДЭ т.2, второе издание. Из-во «Просвещение», Москва 1964
г.
3. Л.Ф. Магницкий «Арифметика» , 1703 г.
4. ДЭ. Юный математик
5. Школьникам о математике и математиках. Москва «Просвещение»,1981 г.
ПРИЛОЖЕНИЕ
1) 4743 + ( x + 2074 ) = 9643
2) ( x + 475 ) + 842 = 16471
3) x + 3 = 40
4) (60 + x ) = 100
5) ( x – 427 ) – 45 = 28
6) 893 – ( 542 + y ) = 117
7) 26 + ( x – 11 ) = 84
8) 45 – ( x + 9 ) = 14
9) 27 + 62 = x
10) 85 – x = 27
11) x – 33 = 70
12) 23 + x = 60
13) x + 660 = 900
14) 73 – 20 = x
15) x * 3 = 12
16) x : 6 = 60
17) 20: x = 5
18) 48 + x = 60
19) 180 – x = 400
20) x + 48 = 30
21) x – 180 = 540
22) x + 76 = 76
23) 48 + x = 40
24) (x – 52891) –193 = 5328
41
25) x – 15 = 100
26) 50 – x = 9
27) x * 5 + 15 = 50
28) 56 : x – 7 = 0
29) 30 – x * 2 = 16
30) ( x + 2 ) * 3 = 21
31) x + 3547 = 2491 + 3518
32) 4 * x – 12 = 8
33) ( x – 3 ) * ( x – 2 ) = 0
34) ( x – 4 ) * ( x – 7 ) = 0
35) ( x – 8 ) : 4 = 14
36) ( x + 1 ) : 6 + 7= 12
37) 65 : ( x + 4) – 6 = 7
38) x : 12 – 11 = 14
39) 42 : ( x – 1 ) = 14
40) 56 – 39 : x = 43
41) 95 : y = 19
42) y : 17 = 14
43) 29 : x = 1
44) 0 : y = 0
45) k : 1 = k
46) 17 : z = 17
47) 44676 : ( x – 251 ) = 204
48) ( x – 7 ) * ( y – 15 ) = 0
49) x + 7315 = 18005 + 5949
50) 4732 – x = 12462 : 62
51) x : 504 = 2871 – 1983
52) x * 4003 = 43727 – 39724
53) x * 0 = 0
54) x – 0 = x
55) x * 1 = x
56) x : x = 1
57) 19 + x = 1
58) 101 – x = 510
1
59) 1 – x =
2
42
60) x * 2 =
3
4
1
1
+x=
2
10
1
1
62)
+x=
10
2
63) m + m – 3 = 39
64) 28y – 13y – 7y – 25 = 39
65) 31a + 18a – 4a + 37 = 217
66) 18x + 5 + x + 17+4x = 91
67) 9x – x + 4x = 48
68) 75*2 + (75+67) * x = 434
69) 252 – 14*18 = 20y
70) x + 0 = x
15
3
71) y –
=
28
28
7
15
72)
+a=
20
20
x
5
17
73)
+
=
39
39
39
14
x
5
74)
–
=
17 17
17
75) x – 0,5971 = 1,0089
76) 28 – x = 13,4
77) 8,6 – x + 2,75 = 1,85
78) 4x –8 = 15
79) 28 – 5x = 15
80) 18 + 8x = 88
1
81) 5 : x =
20
82) ( a + 3 ) – 13 = 42
83) 19x – 0,18 = 19,01
84) 2,27 – 2 х = 0,09
85) 5,08 + 12 х = 29,74
86) 3х + 1,2х + 6,7х = 109
61)
87) ( а – 0,95 )*0,18 = 0,549
88) 3х + х = 6
89) 8х – 2х = 10,2
90) 12,4х = 12,4х
91) 1,5 + х = 1,5 х
92) 1,05х = 1,05х
93) х0,5 = 0,6х
94) (а – 0,95 )*0,18 = 5.49
95) ( 8.5 – у )* 7,2 = 37,44
96) 2,5*( х – 18,7) = 50,5
97) ( 41,9 – у) : 4,7 = 3,5
98) 0,2х*62,5 – 3,25 = 4,25
99) 3,2*(1,5х – 1) = 44,8
100)( 0,87у – 0,64у)*10:2:3=0
101) 10*(1,37у-0,12у):5:8 = 0
102) ( х + 15)*8 = 96
103) (100 – х)*4 = 24
104) 100 – 4х = 24
105) 15*(643 – х ) = 225
106) 15*(643 – х:2) = 225
107) 15*(643 – 2х) = 225
108) 15*х = 225
109) 7958:х = 346
110) 7958 : (823 – х) = 346
111)15*7958:(823 – 20х)=346
112) ( х – 15) + 60 = 90
113) (х + 15) + 60 = 90
114) 170 – ( 25 + х) = 70
115) 170 + ( 25 + х ) = 270
116) ( х – 15 ) – 60 = 90
117) ( х + 15 ) – 60 = 90
118) 170 – (25 + х) = 150
119) 170 + (25 + х) = 170
120) х*2 – 3987 = 2013
121) 100 : х = 398*2 – 786
122) х : 3 – 528 = 3697
123) 3982 + 2 : х = 3983
124) Х : 2 = 2378*8 – 2378*7
125) 10*Х + 58 = 258
126) Х : 10 – 894 1356 + 198
127) 5002 – Х : 10 = 4807
128) Х* 100 – 594 = 2406
129) Х*356 = 161 + 195
130) Х*693 = 0
131)312*Х = 396 – 36*11
132) Х*634 = 57*634–634*57
133) Х*9 = 87000- 86919
134) (Х – 3864):9 – 368=5936
135) Х:9 + 16937 = 136002
136) Х:9 = 2784 + 928
137) 38925 + Х*2 = 40925
138) Х:5897 = 9837 – 9828
139) 9*Х = 4576 – 4531
140) 6000 – Х:2 = 537
141) (Х:9):2 = 387
142) Х:9 + 5786 = 12032
143) (Х – 8792):2+378=56239
144) 3278 + Х:9 = 8219
145) Х*У = 0
146) Х : У = 0
147) Х:У = 1
148) Х*У = 1
149) х + у = 0
150) х – у = 0
151) х*( х - 1) = 0
152) (х - 2)*(5 – х) = 0
43
III. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ТЕМЕ
«РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ»
Введение
Работа предназначена для изучения решения задач с параметром. Так как нередко после очередного сезона вступительных
экзаменов со стороны «абитуриентов» звучат в адрес приемных
комиссий упреки по содержанию экзаменационных задач, как
правило, ученики утверждают, что ряд задач в школе не проходили.
Математическое содержание задач не выходит за пределы
программы для поступающих, хотя для их решения, ни для кого
не секрет, можно решить пройдя целенаправленную подготовку.
Нас будут интересовать задания повышенной сложности, обладающие диагностической ценностью, иными словами это задачи
с помощью которых можно проверить знание основных разделов
школьной математики, уровень математического и логического
мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности, а главное, перспективные возможности успешного овладения курса высшей математики.
Такой диагностической ценностью и прогностической в полной мере обладают задачи с параметром.
Решению задач с параметром в школе уделяют мало внимания, поэтому ученики, не прошедшие «параметрическую терапию», врядли смогут справиться с конкурсными задачами институтских экзаменов.
1. Знакомство с параметром
В данной части укажем разделы математики в школьной программе, где ученики сталкиваются с идеей параметра.
1.1. Рассмотрим следующие примеры.
- Функция прямая пропорциональность: y = k*x (x и y - переменные, k – параметр, k ≠ 0).
44
- Линейная функция : y = k*x + b, k и b – параметры.
- Линейное уравнение: a*x + b = 0 x = -b/a, a и b – параметры, x
– переменная. Это линейное уравнение первой степени.
- Квадратичное уравнение: a*x2 + b*x + c = 0, x – переменная;
a, b и c – параметры, a ≠ 0
- К задачам с параметром в курсе школьной программы можно
отнести решение линейных, квадратичных уравнений, исследование количества корней в зависимости от значений параметра.
Так решение квадратного уравнения
a*x2 + b*x + c = 0, а ≠ 0
x12 =
-b± b2 -4*a*c
;
2*a
D = b2 – 4*a*c;
D > 0 – 2 корня;
D = 0 – один корень;
D < 0 – корней нет в области действительных чисел, область
комплексных чисел.
1.2 Рассмотрим примеры, начиная с элементарных и заканчивая более сложными, продемонстрировав необходимость аккуратного обращения с параметром. В некоторых задачах замена
параметра делает задачу элементарной.
Примеры
1.2.1 Сравнить: -а и 3*а
Решение:
Рассмотрим три случая:
Если а < 0, -а > 3*а
Если а = 0, -а = 3*а
Если а > 0, -а < 3*а
1.2.2 Решить уравнение:
а*x = 1;
x = 1/a; а ≠ 0
При а = 0 решений нет.
1.2.3 Решить уравнение:
(а2 – 1)*х = а + 1
Решение уравнения разбивается на три случая:
45
1. а = 1, 0*х = 2 – решений нет
2. а = - 1, 0*х = 0 – для любого х
3. а ≠ ±1, х= 1
a-1
Ответ. а = -1, для любого х; а = 1, нет решений; если а ≠ ± 1, то
х=
1.2.4 Решить неравенство:
а*х < 1
a > 1, x < 1/a;
а = 0, для любого х;
a < 0, х > 1/a
Ответ. a < 0, x > 1/a; если а = 0 для любого х; a > 0, то х < 1/a
1.2.5 При каких значениях а уравнение
а*(а + 3)*х2 + (2*а + 6)*х – 3*а – 9 = 0
имеет более одного корня?
Решение: а = 0 и а = - 3
При а = 0 уравнение имеет единственное решение, при а = -3
любое действительное число является решением данного уравнения.
D = 4*(а + 3)2*(3*а + 1); D > 0 при а > -1/3
а Є (-1/3; +∞ ) исключает точку а = 0.
Ответ. а = -3 или -1/3 < a < 0 или а > 0.
1.2.6 При каких а уравнение ( x – 1 )*( х – а ) = 0 имеет единственное решение?
Решение. При любом а х = 1 – корень данного уравнения и
требование единственности решения сводит задачу к поиску
условий, при которых уравнению «запрещено» иметь корни, отличные от единицы. В то же время множитель ( х – а ) как бы
предлагает еще один корень х = а, и, на первый взгляд, значение
а = 1 представляется достаточным для ответа. Но более внимательный анализ позволяет «отмести» х = а за счет области определения уравнения: при a < 0, х = а не является корнем.
Ответ. а = 1 или а < 0
46
x 2 -a*x+1
1.2.7 При каких значениях а уравнение
= 0 имеет
x+3
единственное решение?
Решение. Данное уравнение равносильно системе:
 x 2 -a*x+1=0

 x  3
Наличие квадратного уравнения и условие единственности
решения, естественно, приведут к поиску корней дискриминанта. Вместе с тем условие х ≠ -3 должно привлечь внимание. И
«тонкий момент» заключается в том, что квадратное уравнение
системы может иметь два корня! Но обязательно один из них
должен равняться – 3. D = a2 – 4; D = 0; если а = ±2; х = -3 корень
уравнения х2 – а*х + 1 = 0 при а = -10/3, причем при таком значении а второй корень квадратного уравнения отличен от -3.
Ответ. а = ±2 или а = -10/3
1.2.8 Решить уравнение:
2x +3 2x +7
2*a
+ x = x
x
2 -2 2 -4 4 -6*2x +8
Решение. Пусть 2х = у, у>0
y+3 y+7
2*a
+
=
;
y-2 y-4  y-2  * y-4 
Запишем уравнение системы:
 y+3* y-4 +  y+7 * y-2 =2*a ,
у2 + 2*у – 13 – а = 0;
D = 4*(14 + а)
При а< -14 корней не имеет.
Для а  -14
у1 = -1 –
14+a ,
у2= -1 + 14+a
Так как у>0, у1 не является решением.
47
14+a >0,а > -13
Для у2 получаем -1 +
y 2  2 , y 2  4 , т.е.
 14+a -1  2

 14+a -1  4

a  11
a  5
Итак, исходное уравнение при a> -13,a = 11,a  -5 равносильно уравнению
2x = 14+a-1; x = log2( 14+a -1 ).
Ответ.
x=log 2

Если

а
>
-13,
а
 11,
а

-5,
то
14+a -1 ;если а  -13, а = 11, а = -5 то уравнение кор-
ней не имеет.
1.2.9 Решить уравнение:
m* sin 2 x-5*cos2 x  =cosx* 3*m2 +5*m2 *tg 2 x
Решение.
m* sin 2 x-5*cos 2 x  = m *cosx* 3+5*tg 2 x .
Рассмотрим три случая:
1) m=0 в этом случае корнем уравнения будет любое значение переменной х из области определения уравнения, т.е. х –
любое, кроме x=
π
+πk , k  Ζ ;
2
2
2
2) m>0, sin x-5*cos x=cosx* 3+5*tg
Переходим к уравнению – следствию:
 sin x-5*cos x  =3*cos x+5*sin x ,
1-6*cos x  =5-2*cos x ;
2
2
2
2
2
2
2
18*cos4 x-5*cos 2 x-2=0 ;
48
2
2
x.
2 
 2
cos
x= cosx=

9 
;

1
2
 cos x= 
cosx=
2 
2
2
.
2
2
Проверкой устанавливаем, что cosx=
нием.
Итак, x=±
3)
2
не является реше2
3
π+2πk . k  Ζ .
4
m<0,
тогда
π
5*cos 2 x-sin 2 x=cosx* 3+5*tg 2 x , x=± +2*πk , k  Ζ .
4
π
Ответ.m=0, x –любое, кроме x= +πk , k  Ζ
2
3*π
m>0, x=±
+2*πk , k  Ζ
4
π
m<0, x=± +2*πk , k  Ζ .
4
1.2.10 Решить неравенство :
x+a  x+1 .
Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух
систем:


 x+1<0;
 x<-1;




x+a

0;

 x  -a;




x+1  0;
x  -1;



2
2
  x+a  x +2*x+1;   x +x+1-a  0;
49
Очевидно первая система совокупности имеет решение, если
-a<-1, т.е. при a>1. Для совместности второй системы необходимо чтобы множество решений неравенства
x 2 +x+1-a  0 было непустым.
Это означает, что D=4*a-3 соответствующего квадратного
трехчлена должен быть неотрицательным. Следовательно,
3
a .
4
Рассмотрим два случая:
3
 a  1 и a>1.
4
3
Если
 a  1 , то решением квадратного неравенства будет
4
отрезок
 -1- 4*a-3 -1+ 4*a-3 
;

 . Поэтому вопрос о решении вто2
2


рой системы сводится к исследованию расположения числа -1
относительно полученного промежутка. Легко показать, что от-
3

-1- 4*a-3
резок  ; 1 - решение неравенства -1 
. Следо2
4

вательно, в рассматриваемом случае полученный отрезок будет
и решением второй системы, и всей совокупности, поскольку
первая система, как было указано ранее, не имеет решения при
a  1.
Если a>1, то
-1- 4*a-3
-1+ 4*a-3
и решением второй системы
<-1<
2
2
будет отрезок
50

-1+ 4*a-3 
-1;
 , а первой системе удовлетворяет проме2


жуток -a; -1  .
Значит. В этом случае рассматриваемая совокупность имеет

решением отрезок -a;

-1+ 4*a-3 
.
2

3
-1- 4*a-3
-1+ 4*a-3
; ес a  1, то
x
4
2
2
-1+ 4*a-3
ли a>1, то -a  x 
, при других a решений нет.
2
Ответ. Если
2. Уравнение первой степени с одним неизвестным
каких значениях a,b,m и n уравнение
a*x+b=m*x+n :
1) не имеет решений;
2) имеет бесконечное множество решений.
2.2. Решить уравнение n* x+a  =x+b . Рассмотреть случаи
2.1.
При
1) n  1;
2) n=1, a  b ;
3) n=1, a=b .
2.3. Решить уравнение.
2
1) a*x+b =b*x+a
2
x-a x-1
+
=2
x-1 x-a
a
1 3*a 2 -4*a+3
3)
+
=0
x-a x+a
a 2 -x 2
2)
51
4)
a-x x-b b* x-1 -2
+
=
x-1 1+x
1-x 2
Определить при каких
 a-2 * x-1 =a 2 :
1) имеет нулевое решение;
2) не имеет решений.
2.5. Решить уравнение.
2.4.

значениях,
а
уравнение

2
1) a -6*a+5 *x=a-1
2) a*x=b
x-2
=0
x+a
4) x + x-a =0 .
3)
3. Уравнения второй степени с параметром.
иррациональные уравнения простейшие
3.1 Решить уравнения.
x =-a
2)  x-a  * x-1=0
x-a
3) 2
=0
x -4*x+3
x 2 -4*x+3
4)
=0
x-a
1)
3.2 При каких значениях а уравнение  a+4  *x +6*x-1=0
имеет единственное решение?
3.3
При
каких
значениях
а
уравнение
2
 2*a+8*x -  a+4 *x+3=0 имеет единственное решение?
3.4 При каких значениях а уравнения
2
1)  a+6  *x -8*x+a=0 ,
2
52
2) a* 2*a+4  *x -  a-2  *x-5*a-10=0
имеют более одного решения?
3.5 Найти все значения параметра а, при которых графики
2
функций y=  a+5  * x  7 и y=  3*a+15 * x  4 не имеют
общих точек?
3.6 Решить уравнения.
1)  x  a  *  x  a   2* a * x  a *  3* a  2* x  ;
2
2)  x+13*a   9 *  x  3* a   4 *  x  10 * a  ;
3)
2
2
2
 2*a+x  *  2 * b  x    2 * a  x  *  2 * b  x   2 * a 2  8* b 2  0
;
4)  x-a  *  x  b    a  b  * x   b  x  *  a  x  ;
x-m
m
;

n
xn
a*x+4
a 8
6)
;

a
a*x 4
7)  x+c  *  x  c   a *  a  2* c  ;
5)

8) n * 1  x   n  x
2
2
2
.
2
3.7 Решить уравнения.
ax
1 b * x
;

1 a * x
bx
x-a
xa

2)
;
a*x+b x  b
x2  2 * a * x
x
1
3)
;


2
x3  a3
 x  a  a * x x  a
1)
53
a-x    x  b 

a 2  b2
4)
, a  b, a+b  0 .

2
2
 a  x    x  b  a 2  b2
2
2
3.8 Определить при каких значениях k один из корней следующих уравнений равен нулю.
2
1) 2*x  x  3* k  5  0 ;
2
2) 3*x  k * x  2* k  0,1  0 ;
3) x   k  1 * x  k  4  0 ;
2
2
4)  k+2  * x  5* x  k  k  0 .
3.9 Определить при каких значениях n следующие уравнения
имеют корни, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку.
2
2
1) x  n *  x  1  x  0 ;
2
2
2) 2*x  n * x  18  n  0 ;
2
3) 2*x  x   n  2  *  n * x  1  n  1  0 ;
2
4) x  4* x  n * x  2* n  1  0 ;
2
5) 3* x  n * x  2* n  18  0 .
3.10 Определить при каких значениях а следующие уравнения
имеют двойной корень равный нулю.
2
1) x  a * x  2* a  0 ;
2
2) x  2* x  a * x  a  2  0 .
3.11 Решить уравнения.
2
2
2
1) x  2* a * x  a  b  0 ;
2
2) x 2  2 *  a  b  * x  4 * a * b  0;
3) x 2  3* a * x  2 * a 2  0;
4) x 2  a * x  2 * a 2  0.
3.12
2
1) a*x   a  1 * x  1  0 ;
54

2) a * b * x  a  b
2

2
2
2
* x  a *b  0 ;
 * x   a  b
 1  a *  x  1  2 * x .
3) a*b*x  a  b
4) x
2
2
2
2
 0;
2
3.13
1) x* x+3  a *  a  3  2*  a * x  1 ;
2)  x-a    x  b    a  b  ;
2
2
2
3)  x-a   1  a * x   2* x  2* a *  a  2  * x ;
2
2
4) 1+a*x  * x  1  x  * a  a  1.
3.14
2
1
1
a ;
a
x
1
1
2) x-  m  ;
m
x
b*x
2*a *b
3) x+
;

x-2*a x  2 * a
b
a
4)

 2.
x-a x  b
1) x+
3.15
x-a x  b

 2  0;
x-b x  a
x
2*a
8* a 2
2)
;


x  a x  a x2  a2
x-a x  b 4 * a * b
3)


 0;
x-b x  a a 2  b 2
 x-a  *  x  c    x  b  *  x  c   1 .
4)
b  a  * b  c   a  b  *  a  c 
1)
55
3.16
 x-a    x  b   a 2  b2 ;
1)
2
2
 a  x    x  b  a 2  b2
2
2
1 1 1
1
;
  
a b x ab x
2
a  b
a
b

3)
;


a+x b  x
a *b
1
1
1 1
4)

  .
x a x b a b
2)
3.17
1)  x-1 *  x  2    a  1 *  a  2  ;
2)
x-4
 x  5
2
a4

 a  5
2
.
4. Биквадратные уравнения
4.1 Решить уравнения.


1) x  a  1 * x  a  0 ;
4
2
2
2
2) x  16* m  16* x  m * x ;
4
2
2

 m
2
2
2
2
4
4) m * n * x
2
4
2
* x ;
 n * x  m
3) x  a * b  a  b
4
2
2
2
4
2
2
* n2  0 ;
5) x   m * n  1 * x  m * n  0 ;
4
2
6) x  m * n   m  n  * x .
4
2
4.2 Дано биквадратное уравнение a*x  b * x  c  0 , где a,
b и c – данные действительные числа, причем a>0. Введя вспомогательное неизвестное
4
56
2
y = x2, исследовать корни данного уравнения и результаты исследования занести в таблицу.
5. Системы уравнений
5.1 Решить системы уравнений.
 x  y   a,
2
 x * y  2 * a .
1) 
 x+y=2*a+b,
2
 x*y=a  a * b.
2) 
 x  y  2,
2
 x * y  a  1.
3) 

x-y=1,
2
 x*y=a  a.
4) 
 x+y=3*m,
2
x * y  2 * m .
5) 
x 2  y 2  2 * a2 ,
6) 
 x  y  2 * a.
 x 2  y 2  3* a 2 ,
7) 
 x  y  a.
57
x 2  y 2  5 * a2 ,
8) 
 x  y  3* a.
y
x  y

,
 2
a 1
9) 
 x * y  a  1.
 a  1
x-y+1

 1,

10) 
2*a
2 * x  y 2  a 2  1.
y
 a-b

 0,

11)  x
ab
 x  y  2 * b.
 2
a 2  b2
2
,
x  y 
12) 
2

x y  a.

5.2 Решить системы уравнений введя вспомогательную переменную.
 x 2  x * y  m,
1)  2
 y  x * y  n.
58
x
 a
 x-y = 2*a ,
2) 
 3*a = y ;
 x+y a
 x+a y-a
 a + y =5,
3) 
 x+a - a-y =- 1 ;
 x
a
2
 x+a y+a
 x + a =3,
4) 
 a-x - a-y = 5 .
y 2
 a
6. Неравенства первой степени с одним неизвестным.
Неравенства второй степени
6.1. Решить неравенство.
1) x+3  a6 ;
2) a* x  0 ;
3) a* x  0 ;
4) a 2 * 2 x  a ;
5) x  2 * x  2  0 .
6.2
При
каких
2
 x-a  *
a
значениях
а
неравенство
x  3  0 имеет единственное значение?
6.3 При каких а решением неравенства
является луч?
 x-a  *  x  4   0
2
59
6.4 При каких а неравенство 2*x-a>0 является следствием
неравенства x+2*a-3>0 ?
6.5 При каких а из неравенства 0<x<1 следует неравенство
2
x  a2  0 ?
6.6 При каких а большее из двух чисел 5*a-1 и 2*a равно
квадрату меньшего ?
6.7 При каких значениях k следующие неравенства удовлетворяются тождественно.
2
1) 5*x  x  k  0 ;
2) x  12 * x   2 * k  1 *  k  1  0 ;
2
3) k*x  10 * x  5  0 ;
2
4) kx  2 *  k  1 * x  4 * k  0 ;
2
x2  k * x  1
 2;
5)
x2  1
x2  k * x  2
6) -3<
 2.
x2  x  1
7. Иррациональные уравнения.
7.1 Решить уравнения.
1
1)  x-a  2  x  a ;
x+a  x  a  2* a ;
2)

3) a  b * x
2
1
2
  b * x  2 * a * b 
1
2
 a  2*b ;
1


4)
1+x+ x  1  x  x 2   a ;


5) a-x  x  2  a  2 ;

60

6) a*


x 1
1
7)  a-1 *  x  1
 x  1;

1
2
 1;
1
1
 12

8) a* x  2   x 2  2 ;


9) x+a  a  x ;
10)
ax
ax

 x;
a
x
11) 3 a  x  3 b  x 
12)
13)
14)
3
a  b  2* x ;
a  x  3 a  x  0;
a  x *
a  x   x  b * x  b
a  x  xb
x+c+ x 2  c 2
x  c  x2  c2
15) 2* a+x 

 a b;
9 *  x  c
;
8* c
a  x  a  x  x *a  x ;
16)
a 2  x  b2  x  a  b ;
17)
a-x  b  x  a  b ;
61
1+a -2 * x 2  x * a 1
1
 ;
1  a 2 * x 2  x * a 1 4
18)
1+a 2 * x 2  a * x
19)
1  a2 * x2  a * x

1
.
c2
8. Показательные и логарифмические уравнения.
8.1 Решить уравнения.
a x  a 2*x 1 ;
1)
3
2)
x+1
a  x a2 ;
3) b* b 
x
4) a
5) a
6) a
3
 3-x * 2*x1
x 2  x 6
b2 ;
1
1
loga *sin x
 blogb *cos x  0 .
8.2 При каких значениях параметра а корни квадратного урав2
нения x  2* x  log3 a  0 действительные ?
8.3 В интервале  0;1 найти подмножество тех x, для которых
8log a x
1
справедливо неравенство  
 81 
62
1
 
3
log a 2 x
.
8.4 Найти в интервале 1;+  подмножество тех x, для которых справедливо неравенство
lg  3* log a x  log a 2 x  4   lg 8  2 * log a x  .
8.5 Решить уравнения.
1)
x 2 1
a 3 * 2*x2 a * 4 a 1  1 ;
2) 3*log x*a 2 x 
1
* log
2
x
a
x  2;
3)
1+a+a 2  a 3  ...  a x1  a x  1  a  * 1  a 2  * 1  a 4  * 1  a8 
.
Заключение
Таким образом, задачи с параметром охватывают практически
весь курс школьной математики, что позволяет с их помощью
проверить знание основных разделов школьной математики
учащимися, уровень их математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности,
перспективные возможности успешного овладения курсом высшей математики, а главное, подготовить будущих абитуриентов
к решению конкурсных задач институтских экзаменов.
Литература
1. Шкиль М.И., Слепкань З.И., Дубинчук О.С. Алгебра начала
анализа. 11 класс. – 435 с.
2. Сканави М.И. Сборник задач по математике – С. 667.
63
3. Вишенський В.О., Перетюк М.О., Самойленко А.М. Задачи
по математике. - К.: Высшая школа, 1985. -264 с.
4. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Необходимые
условия в задачах спараметрами - М.: Просвещение, 1984. - 399
с.
5. Дорофеев Г.В. Квадратичный трехчлен в задачах. - Львов,
1991. - с. 94
6. Габович И.Г., Горнштейн П.И. Сколько корней имеет уравнение? – Квант, 1985, - 24-35 с.
7. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10-11 классов средней школы,
1989 – 92 с.
Ответы
§3
ban
3.1 a = m, b  n; a = m, b = n; 2. 1.
n 1
3.2 Нет корней; 3. для любого x. 3. 1. a+b, если a  b ; любое число, a = b;2. Если a  1 нет корней; любое число, кроме 1, если
a = 1.
3.3 2  a  3 , если a  1 , любое число, кроме  1 , если a  1 ; 0,
если a = 1,5.
3.4 1. 1 и -2; 2.
1
3.5 Если a = 1, x – любое; если a  5, a  1, x 
.
a5
3.6 Если a = 0 и b  0 , то решений нет; a = 0,b = 0 x – любое; если
b
a  0, x  .
a
3.7 Если a = -2, то решений нет, если a  2 , то x = 2.
3.8 Если a  0 , то решений нет; если a = 0,x = 0.
§4
4.1 Если a >0, то решений нет; если a  0, x  a 2 .
4.2 a = - 4 или a = -13
64
4.3 Если a = 1 или a = 3, то решений нет; если a  1, a  3, то x =
a.
4.4 Если a = 1, то x = 3; если a = 3, то x = 1, если a  1, a  3 , то x
= 1, x = 3.
19
a5
4.5 
3
4.6 a = 20
4.7 a) -8 < a < -6 или -6 < a < 2;
1
б) a = -2 или < a < 0, или a > 0.
40
19
 a  5.
4.8 3
ba
4.9 а)  2a ; б)  5a ; в)  a  2b ; г) 0;
; д)0; m + n; е)
2
a4

; ж)  a  c ; з) любое действительное число, если n  1 ;
a
 n, если n  1 .
4.10 а)  1, если ab  1 ; любое действительное число, не равное
b, если ab = 1.
a  2b  a 2
б) 0;
, если a  1 .
1 a
в) –a/
2 ab
г) 0;
.
ab
2
4.11 а) 1 ; б) 0,05; в)  2 ; г) 0;1.
3
4.12 а)  1 ; б) 0; в) 1; г) -4; д) нет решений.
4.13 а) 0;8; б)  2 .
4.14 а) a-b ;a+b; б) 2a; 2b; в) a, 2a; г) –a, 2a.
1
a b
ab ab
a 1
,
4.15 а) 1;
; б) , ; в)
; г) -1;
.
a
b a
b
a
a 1
a2  a 1
4.16 а) a-1; a-2; б) a, b; в) 1; г) 1; .
a
65
1
1
ab
; б) m;
; в) –b; г) a+b;
.
a
m
2
ab
4.18 а)
, если a  b ; нет корней, если a = b;
2
б) -2а; 3а, если a  b ; нет корней, если а = в;
a2  b2
a2  b2
в)
и
, если a  0, b  0, a  b ;
2a
2b
a
г) 2, если a  0, b  0 ; , если b  a, a  0 ; нет корней, если
2
a  b;
д) a,b.
2 ab
4.19 а) 0;
;
ab
б) если a+b = 0, ab  0 , то уравнение удовлетворяет любое
x  0, a  b  0, ab  0,a,b ; если ab =
действительное число
0, то уравнение не имеет корней;
ab
a
a2  b2
в) если a 2  b 2 ,
;, если a = b; x = - , если a
ab
2
ab
= -b нет корней;
2ab
г) если a 2  b 2 , x  a  b и x 
; если a = b, то x =
ab
2a,если a = -b, x = 0.
4a  15
.
4.20 a;
a4
§5
5.1.1.  1; a
5.1.2.  4; m
5.1.3.  a;b
m n
5.1.4.  ;
n m
5.1.5.  1; mn , mn > 0
4.17 а) a;-
5.1.6  m; n,m  0, n  0
66
5.2  m; n,m  0, n  0
§6
6.1 (a;-2a), (-2a;a).
6.2 (a; a+b), (a+b;a).
6.3 (1-a;-a-1); ( a+1; a-1).
6.4 (a;a – 1);( 1 – a; -a).
6.5 ( m;2m); (2m;n).
6.6 ( a; -a).
6.7 ( a; -2a).
6.8 ( -2a;-a); ( -a; -2a).
6.9 ( a+1; a-1); ( -a-1; 1-a).
6.10 ( 3a – 4; a – 3); ( a; 1 – a).
6.11 ( a + b; a – b); ( b – a; -a – b).
ab ab
ab ab
;
;
6.12 (
); (
).
2
2
2
2
m mn n mn
;
6.13 а) ( 
);
mn
mn
a 2 3a 2
;
б) (  2a; a ); ( 
);
2
2
a
в) ( 2a; -a); ( -3a; - );
b
a
г) ( -a;2a); ( ; -a).
2
§7
7.1.1. Если a  0, то x – любое; если a  0, то x < -3, x > -3; если a > 0, то x > 0.
7.1.2 Если a > 0, то x > 0; если a  0, то решений нет.
7.1.3 Если a  0, то x  0 ; если a > 0, то x = 0.
7.1.4 Если a < 0, то x – любое; если a = 0, то решений нет; если a
> 0, то x > -log 2 a .
7.1.5 Если a  0, то x – любое; если a = 0, то x < 1,x > 1.
7.2 a = -3.
7.3 a  4.
67
b
.
5
7.5 a  1 или a  1.
6  11
7.6 a = 1 или a =
.
25
7.7.1. k > 0,05;
7.7.2. k < -3,5; k > 5;
7.7.3. k < -5;
7.7.4. k  1;
7.4 a 
7.7.5. k  2;
7.7.6. -1 < k < 2.
§8
8.1 a; a+1.
8.2 a.
8.3 2a +b.
a2 a2  4
.
8.4
4 a2 1
8.5 a; 2если a  2 .
8.6 a + 1, если a  1 .
8.7 a a  2, если a  1.
8.8 a + 4, если a  4.
(a  1) 2
a  1; a  1 нет решений.
8.9
4
a
; a   1;1 решений нет.
8.10 2 / 3
a 1
ab
8.11 a; b;
.
2
8.12 –a; 1-a.
8.13 a; b
5
29
8.14 при c > 0; c; c ; при c  0 решений нет.
3
21
8.15 Если a > 0, x = -a, если a < 0 решений нет.
8.16 Нет решений.


68


8.17 a; -b
3
8.18 a.
4
c2 1
c2 1
1 c2
, то есть при c > 0
8.19
; при c < 0
.
2a c
2ac
2ac
§9
9.1.1. -3/4;
9.1.2. -2;
9.1.3. -2/3.
9.1.4. -1/2.
9.1.5. -2; 3.

9.1.6 πk 
4
9.2. 0;3.
1
.
a4
9.4. Если 0 < a < 1, то искомое подмножество пусто; если a > 1,
то 0 < x < a.
9.5.1. 5;-3
9.5.2. x = a, x= 4/3
9.5.3. 15 при a = 1.
9.3. Если 0 < a <1, то 0 < x < a 8 ; если a > 1, то 0 < x <
69