Режимы испарения и поле скоростей жидкости внутри

Режимы испарения и поле скоростей жидкости…
С.З. ДУНИН, О.В. НАГОРНОВ, Н.В. СТАРОСТИН
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
РЕЖИМЫ ИСПАРЕНИЯ И ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ ЖИДКОСТИ
ВНУТРИ ВЫСЫХАЮЩЕЙ КАПЛИ С ЗАКРЕПЛЕННОЙ ЛИНИЕЙ КОНТАКТА
В работе был рассмотрен процесс высыхания капли с закрепленной линией контакта, покоящейся на плоской
подложке. Была поставлена и решена задача о нахождении поля скоростей течения жидкости внутри капли, получено и
проанализировано аналитическое выражение для поля скоростей. Полученные результаты позволяют сделать выводы о
распределении вещества на подложке, остающегося после полного высыхания капли.
Капля жидкости, покоящаяся на твердой подложке, представляет собой достаточно простую
физическую систему, однако на протяжении уже 200 лет идет непрерывное изучение явлений,
происходящих в капле при ее испарении [1]. После высыхания капли, в которой было растворено
вещество, на подложке остается депозит, довольно сложной формы. Понимание процесса образования этого депозита и контроль его образования представляет интерес для многих областей науки
и техники. Например, производители красителей используют большое число различных добавок
для того, чтобы получить равномерное окрашивание поверхности. Также эффекты неравномерного распределения депозита на подложке вредны и для роста двумерных протеиновых кристаллов
внутри капли [2, 3]. При производстве нанопроволок [4] или нанесении на поверхность различных
ячеистых структур [5] неравномерность в распределении вещества по подложке наоборот представляет интерес.
Существует ряд экспериментальных работ, посвященных наблюдению за высыханием капли
и анализу получающихся структур [6, 7]. Главная причина, почему возможны различные распределения депозита на подложке, – это течение жидкости внутри капли, и, в его следствии, перенос
вещества. Течение возникает из-за того, что при испарении жидкости на поверхности капли возникают области, в которых необходимо восполнить потерю жидкости. Например, области с более
сильным испарением. В технологическом процессе изменить скорость испарения жидкости с поверхности капли можно при помощи нанесения различных ПАВ на поверхность.
Будем рассматривать каплю жидкости в форме шарового сегмента. Это означает, что рассматриваемая капля содержит небольшой объем жидкости, чтобы под действием сил поверхностного натяжения принять такую форму. То есть число Бонда, равное отношению объемных сил к
поверхностным, мало ( Bo  g (   f )d 2 1  1 , где g – ускорение свободного падения;  – плотность жидкости;  f – плотность окружающего воздуха; d – диаметр капли и  – поверхностное
натяжение). Также для простоты предположим, что поверхность капли образует с подложкой прямой угол, т.е. капля является полусферой. Пусть в капле растворено такое количество вещества,
которое необходимо для создания неподвижной линии контакта, однако позволяет рассматривать
жидкость как идеальную. Таким образом, площадь поверхности, занимаемая каплей, остается

неизменной. Испарение происходит с полосы шириной 0  1    2  с постоянной скоростью
2
J. В процессе испарения высота каждой точки поверхности капли уменьшается. Но, так как испарение в обычных условиях, – медленный процесс, можно рассматривать задачу как квазистационарную со специфичными граничными условиями.
Из закона сохранения массы жидкости можно получить связь между скоростью движения
свободной поверхности un , скоростью испарения жидкости J и нормальной к поверхности скорости течения жидкости vn . Здесь и далее  – плотность жидкости:
vn  J  un .
(1)
Все величины рассматриваются как функции угла  (рис. 1).
Предполагая потенциальность течения, получим, что потенциал скорости должен удовлетворять уравнению Лапласа
  0 .
Режимы испарения и поле скоростей жидкости…
Рис. 1. Иллюстрация к постановке задачи. Испарение происходит в полосе от 1 до  2
Пусть нам известна ширина полосы испарения и скорость верхней точки свободной поверхности капли u0  un (0) . Тогда можно получить связь между J и u0 . Для этого рассмотрим потерю
массы капли за время dt:
dt  JdS  dV  R 2u0 dt .
u0
1
.
(2)
cos 1  cos 2 2
Таким образом, используя выражения (1) и (2) и переходя от полусферы к сфере, получаем
следующее граничное условие
u0

 u0 cos  
(  1 )  (  2 )  (    2 )  (    1 ) ,
r r  R
2(cos 1  cos 2 )
где () – функции Хэвисайда.
Общий вид решения уравнения Лапласа в сферической области
J
Отсюда получаем

(r , )   Ak
k 0
  P (cos ) .
r
R
k
k
Для определения коэффициентов Ak применим к граничному условию преобразование
Фурье–Лежандра:


2k  1 

Pk (cos )sin d  .
  bk Pk (cos ) , где bk 
2 0 r
r r  R k 0
Производя необходимые вычисления, находим b0  0 , b2 k 1  0 :




 k

(1)l (4k  2l )!
b2k  u0 4k 1 

2
k

1
2  l 0 2
l!(2k  l )!(2k  2l )!(2k  2l  2) 
u

1
+ 0
P
(cos 1)  P2k 1(cos 1)  P2k 1(cos 2)  P2k 1(cos 2) .

2 cos 1  cos 2  2k 1
Поле скоростей запишется в виде


b
r 2k 1
r 2k 1 '
   b2k
P2k (cos )er   2k
P2k (cos )sin e .
R
k 1
k 1 2k R
На рисунках изображено поле скоростей жидкости для различных конфигураций полосы испарения (рис. 2 – 4). На границе капли пунктиром обозначена та область поверхности, с которой
происходит испарение, сплошной линией – области, с которых испарение не происходит, стрелки
показывают направление и относительную величину скорости течения жидкости.
 
 
Режимы испарения и поле скоростей жидкости…
Рис. 2. Поле скоростей течения жидкости
при полосе испарения от 0 до π/2
Рис. 4. Поле скоростей течения жидкости
при полосе испарения от π/6 до π/3
При свободном испарении со всей поверхности капли возникает течение сверху вниз
и от центра к краю (рис. 2), что согласуется с
экспериментальными результатами [6, 7]. В
случае наличия на поверхности капли как областей с испарением, так и областей без испарения (например, при нанесении различных ПАВ
на поверхность), течение возникает таким образом, чтобы восполнить потерю жидкости в областях испарения (см. рис. 3 и 4). Таким образом, влияя на конфигурацию испарения жидкости с поверхности капли, можно влиять на конечное распределение растворенного вещества
по подложке.
В случае капли в форме шарового сегР
мента для аналогичных выкладок необходимо
ис. 3. Поле скоростей течения жидкости
использовать уравнения, записанные в тороипри полосе испарения от 0 до π/6
дальных координатах.
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-исследовательские кадры инновационной России» на 2009–2013 годы (ГК П943) и АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы», проект 2.1.1/6827.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Young T. // Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1805. V. 95. P. 65.
Denkov N. D.,Velev O. D.,Kralchevsky P. A. et al. // Langmuir. 1992. V. 8. P. 3183.
Dimitrov A. S., Dushkin C. D., Yoshimura H. et al // Langmuir. 1994. V. 10. P. 432.
Ondarcuhu T., Joachim C. // Europhys. Lett. 1998. V. 42. P. 215.
Boneberg J., Burmeister F., Shafle C. // Langmuir. 1997. V. 13. P. 7080.
Deegan R. D. // Phys. Rev. E. 2000. V. 61. P. 475.
Deegan R. D., Bakajin O., Dupont T. F. et al // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. P. 756.