Определение коэффициента вязкости воздуха капиллярным

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
факультет радиофизики и электроники
кафедра физики
Методические указания
к лабораторной работе
Определение коэффициента вязкости воздуха
капиллярным методом
автор – составитель доцент Данейко И.К.
Утверждено на
заседании кафедры физики
«18 » сентября 2008 г
Протокол № 2
МИНСК 2008
Лабораторная работа № 10
Определение коэффициента вязкости воздуха капиллярным методом.
Цель работы: определить коэффициент вязкости воздуха . Вычислить с помощью
его среднюю длину свободного пробега и эффективный диаметр молекулы.
I. О вязкости.
Явление внутреннего трения (вязкости) в газах или жидкостях заключается в выравнивании скоростей движения различных слоев газа или жидкости, если эти скорости
различны и газ или жидкость предоставлены сами себе. Это выравнивание скоростей в
газах) происходит благодаря тому, что молекулы из слоя с большей (меньшей) скоростью переносят упорядоченный импульс этого слоя к слою, движущемуся с меньшей
(большей) скоростью и, следовательно, скорость последнего увеличивается (уменьшается). Изменение же скорости слоя газа, согласно второму закону динамики, свидетельствует о подействовавшей на него силе, которую называют силой внутреннего
трения.
Таким образом, вязкость как физическое явление, связана с возникновением сил
трения между слоями газа или жидкости, перемещающимися друг относительно друга
с различными по величине скоростями. Причем, как экспериментально установил И.
Ньютон, чем больше различие между скоростями этих слоев и чем больше площадь их
соприкосновения, тем больше сила внутреннего трения. Опишем опыт И. Ньютона.
В сосуде с исследуемой жидкостью на упругой горизонтальной узкой пластинке
(пружина) AB укреплена небольшая пластина C площади S из материала, смачиваемого исследуемой жидкостью (рис. 1).
Рис. 1
На малом расстоянии x за ней помещается длинная пластина D. Если заставить
пластину D двигаться кверху со скоростью u, то благодаря внутреннему трению она
приведет в движение прилегающие слои жидкости, которые в свою очередь будут действовать на пластину C. В результате пластина C испытает направленную кверху силу
F и сместится несколько из положения равновесия. По положению на шкале E конца
пружины можно определить величину силы F, если пружина была предварительно
проградуирована.Результаты опытов показали, что сила F обратно пропорциональна
расстоянию x между пластинами, прямо пропорциональна площади S пластины C и
)
Механизм вязкости в жидкостях иной, чем в газах.
2
прямо пропорциональна относительной скорости u обеих пластин. Таким образом,
И. Ньютоном была экспериментально установлена формула
u
(1)
F 
S,
x
где положительная величина  - коэффициент вязкости или коэффициент внутреннего
трения.
u
Величина
называется средним градиентом скорости между слоями жидкости.
x
Чтобы найти истинный градиент скорости, надо перейти к пределу, сделав расстояние
x между слоями бесконечно малым. Тогда формула И. Ньютона (1) примет вид:
du
(2)
F 
S.
dx
du
Величина
показывает, как быстро изменяется скорость жидкости или газа в
dx
направлении оси x, перпендикулярной к направлению движения плоских параллельных слоев.
Как видно из (2), физический смысл коэффициента вязкости  заключается в том,
что он численно равен силе действующей на единицу площади поверхности, параллельной скорости течения газа или жидкости, при градиенте скорости равном единице.
Единицей измерения коэффициента вязкости  является Па  с = кг/(мс).
Из теории явлений переноса следует, что вязкость  для газов определяется следующим соотношением [1, стр. 211]:
1
(3)
  v  ,
3
где  - плотность газа, <> - средняя длина свободного пробега молекулы, < v > - средняя арифметическая скорость молекулы газа, определяемая по формуле [1, стр. 62]:
8 RT
v =
,
(4)
pm
где R – газовая постоянная,  - молярная масса, T – температура газа.
Из теории также следует, что средняя длина свободного пробега связана с эффективным диаметром d молекулы выражением [1, стр. 193]:
1
 
,
(5)
2 d 2 n
где n – число молекул в единице объема газа.
II. Методы измерения вязкости.
Первым вискозиметром (прибор, измеряющий коэффициент вязкости), описанным в
литературе (1752 г.), является прибор М.В. Ломоносова, который оценивал вязкость
жидкости по скорости ее вытекания из воронки. В воронке помещался шар, и скорость
вытекания жидкости зависела от зазора между стенками воронки и шара. Этот зазор
можно было регулировать перемещением шара вдоль оси, чем достигалось изменение
пределов измерения. Приборы, основанные на таком принципе, применяются и в
настоящее время – это так называемые вискозиметры Сейболта, Редвуда, Энглера и
другие. Главная причина, по которой эти приборы еще изготавливают, крайняя про3
стота устройства и применения. Однако они пригодны для сравнительно грубых измерений.
Современные методы измерения вязкости газов (жидкостей) подразделяют на два
вида: для приборов с установившимся и неустановившимся течением газа (жидкости).
Эти методы позволяют выразить результат измерения вязкости в единицах длины,
массы и времени (в отличие от методов измерения в условных единицах) и базируются
на решенных в замкнутой форме задачах гидромеханики о течении вязкого газа (жидкости), ограниченного твердыми стенками.
Среди приборов с установившимся течением газа (жидкости) наибольшее распространение получил капиллярный метод – течение газа (жидкости) в круглой трубе.
Этот метод основывается на законе Пуазейля, точно получаемого теоретически. Ввиду
большого значения этого закона для вискозиметрии, ниже приведем его вывод.
Методы, основанные на теории неустановившегося течения газа (жидкости), сводятся к измерению параметров колебательных процессов (логарифмический декремент
затухания, время одного полного колебания и др.). Среди этих методов широкое применение нашли приборы, использующие законы затухания крутильных колебаний
диска, сферы или цилиндра, подвешенных на тонкой нити в исследуемом газе или
жидкости.
III. Капиллярный метод. Формула Пуазейля.
Теоретически наиболее разработанным и экспериментально исследованным методом измерения вязкости является капиллярный. В 1840 г. Пуазейль, профессор физики
Парижской медицинской школы, опубликовал результаты опытного исследования течения воды по тонким капиллярным трубкам. Ему удалось найти зависимость между
протекающей в единицу времени через поперечное сечение трубки воды (расходом) Q,
разностью давлений P = P1 – P2 на концах капилляра, длиной трубки L и ее диаметром d. Эта зависимость, получившая название закона Пуазейля, имеет вид
Pd 4
QC
,
(6)
L
где C – некоторая постоянная величина.
В дальнейшем этот закон был выведен теоретически. Приведем его вывод.
Вывод закона течения жидкости (газа) по трубке основан на следующих предположениях: 1) все частицы жидкости (газа) движутся со скоростями, параллельными оси
трубки, т. е. переносная скорость жидкости (газа) как целого (сплошного), не имеет
составляющей перпендикулярной оси трубки (ламинарность); 2) частицы жидкости
(газа), прилегающие к стенкам, имеют скорость, равную нулю; 3) течение жидкости
(газа) установившееся (стационарное); 4) жидкость (газ) не сжимается.
Мысленно выделим отрезок трубки (рис. 2,а) между сечениями I-I и II-II.
Рис. 2
4
Рассмотрим внешние силы, действующие на заштрихованный цилиндрический объем жидкости (газа) радиуса r. На торцы этого цилиндра действуют силы, обусловленные давлениями P1 и P2. Если жидкость (газ) движется от сечения I к сечению II, то,
очевидно, P1 > P2.
Равнодействующая сил давления, приложенных к торцам заштрихованного цилиндра, равна
F1   r 2  P1  P2    r 2 P
(7)
и эта сила направлена слева направо.
На боковую поверхность рассматриваемого цилиндра действуют касательные усилия, равнодействующая которых определяется по формуле Ньютона (2):
du
(8)
F2   2 rL
dr
и направление этой силы трения будет справа налево.
Так как течение жидкости (газа) установившееся, то должно иметь место равенство
F1 = F2, т. е.
du
(9)
 r 2 P   2 rL.
dr
du
Из этого равенства можно найти величину
, а затем получить закон распределеdr
ния скоростей по сечению трубки.
Увидеть это распределение скоростей можно на простом опыте (рис. 3). Для этого
заполняют часть цилиндрической трубки вязкой жидкостью, например, глицерином.
Сверху осторожно наливают подкрашенного глицерина так, чтобы между слоями получилась резкая
граница. Затем открывают кран, находящийся в
нижней части трубки. Через некоторое время слой
окрашенного глицерина в нижней своей части принимает форму вытянутого языка. Это значит, что с
наибольшей скоростью глицерин течет по оси трубки. С приближением к стенке скорость течения
уменьшается и около самой стенки обращается в
нуль. Быстрота изменения скорости слоев в направлении, перпендикулярном оси трубки, характеризуdu
ется производной
. Легко видеть, что эта произdr
водная должна быть отрицательной. С учетом этого
замечания из выражения (9) находим
Рис. 3
du
r P
(10)

;
dr
2L
после интегрирования
P r 2
u
 C.
(11)
4 L
5
Постоянную C находим из условия, что при r = R, v
=
0и C
P r 2
, и окончательно
4 L
P 2 2
(12)
 R  r .
4 L
Выражение (9) является уравнением параболы. На рис. 2,б приведена зависимость
скорости u слоев в зависимости их от расстояния r от оси трубки.
Сила F внутреннего трения, действующая на единицу площади, разделяющей два
соседних слоя, изменяется линейно с радиусом r:
du P
F 

r,
(13)
dr 2 L
имеет наибольшее значение у стенок трубки и равное нулю у ее оси (рис. 2,в). Зависимость (13) следует из соотношений (2) и (10).
Определим, наконец, объем V жидкости (газа), протекающей в единицу времени через поперечное сечение трубки. Для этого все сечение разобьем на концентрические
кольца весьма малой толщины dr. Все частицы жидкости (газа) в пределах этого кольца будут иметь равные переносные скорости, определяемые формулой (12). Умножив
площадь кольца, равную 2rdr, на скорость u, получим расход жидкости (газа) через
кольцевое сечение
P( R 2  r 2 )rdr
dV  u  2 rdr 
;
2 L
после интегрирования получим
PR 4
V
.
(14)
8 L
Расход за время t, очевидно, будет определяться формулой
PR 4t
Vt 
.
(15)
8 L
Выражение (15) носит название формулы или закона Пуазейля. Она показывает, что
вязкость  можно определить, измеряя ее расход Vt, перепад давления P на длине
трубки L и ее радиус R.
Прежде, чем применять формулу Пуазейля в конкретной ситуации, всегда следует
убедиться в том, что течение жидкости (газа) является ламинарным. В реальной жизни
мы редко встречаемся с ламинарным течением. Движение воды в водопроводе и в реке, движение воздуха в атмосфере практически всегда оказывается турбулентным.
Разделить эти два режима можно, исследуя зависимость расхода от давления. Известно, что при ламинарном течении расход пропорционален давлению, а при турбулентном – корню квадратному из него. Однако характер течения жидкости или газа проще
определять с помощью числа Рейнольдса, которое определяется по формуле
Re  u0 R  /  ,
(16)
u
где u0 – средняя скорость течения жидкости (газа),  – ее плотность. В гладких трубах
круглого сечения течение имеет ламинарный характер, если Re < 1000.
6
IV. Описание установки для измерения вязкости воздуха.
Определение вязкости воздуха производится по формуле (15):
PR 4t
(17)

.
8LVt
Для измерения величин,
входящих в правую
часть выражения (17),
используется установка,
представленная на
рис. 4. Когда вода при
открытом кране 1 выливается из сосуда 2, давление воздуха в нем
уменьшается. Поэтому
давление в точке A каппилляра 3 станет больше, чем давление в точке
B и воздух станет постуРис. 4
пать через каппиляр в
сосуд.
Поток воды с помощью крана 1 можно отрегулировать так, чтобы разность H уровней воды в U – образном манометре сохранялась постоянной. Это будет означать, что
разность давлений воздуха вне сосуда и внутри него, а следовательно и на концах капилляра, будет неизменной и равной
P  PA  PB  0 gH ,
(18)
где 0 - плотность воды. Так как в нашем случае P << P, то плотность воздуха в сосуде и вне его с большой точностью можно полагать одинаковой, т. е. воздух считается
несжимаемым, как того требует четвертое предположение при выводе формулы Пуазейля. Так как вода в этих условиях тоже практически не сжимается, то объем вытекшей за время t из сосуда воды равен объему Vt, втекающего в сосуд через капилляр за
это же время воздуха.
Таким образом, измерив в опыте объем Vt жидкости, вытекшей из сосуда за время t,
разность давлений P  0 gH на концах капилляра, а также его длину L и радиус R,
вычисляют по формуле Пуазейля (17) коэффициент вязкости  воздуха.
7
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
V. Порядок выполнения работы.
С помощью крана 1 отрегулируйте такое истечение воды в химический стакан,
чтобы разность H уровней в U – образном манометре была постоянной.
Замерьте по секундомеру время t, в течение которого мензурка, подставленная
под кран 1, наполнится до объема 100150 см3. При этом разность уровней в манометре должна быть постоянной.
Повторите измерения пункта 2 пять раз. Вычислите среднее арифметическое значение объема < Vt >, а также времени < t >.
По формуле (17) вычислите вязкость  воздуха.
Используя найденное значение вязкости  воздуха и выражение (3), вычислите
среднюю длину свободного пробега <  > молекул воздуха. Давление и температуру воздуха определить по показаниям лабораторных барометра и термометра.
Вычислите эффективный диаметр d молекул воздуха, используя формулу (5) и
найденное значение <  >.
VI. Контрольные вопросы.
Зависит ли вязкость  воздуха от его плотности?
Объясните механизм зависимости вязкости воздуха от температуры.
Было ли ламинарным течение воздуха в капилляре во время опыта?
На сколько отличаются плотности воздуха внутри и вне сосуда во время опыта?
VII. Литература.
1. Данейко И.К. Молекулярная физика. Мн., 2006 г.
8