Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» - 2014 НЕИЗВЕСТНЫЕ СВОЙСТВА ИЗВЕСТНОЙ ЛИНИИ

Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» - 2014
Точные науки (от 14 до 17 лет)
НЕИЗВЕСТНЫЕ СВОЙСТВА ИЗВЕСТНОЙ ЛИНИИ
Таран Евгения ,16 лет
Чурсина Марина,16 лет
ученицы 10-го класса
Руководитель работы:
Ковалева Ольга Александровна,
учитель математики,
КГУ «Комплекс школа-детский сад № 33»
Караганда, Казахстан
2014 г.
«Нельзя отрицать, что буквально с первого взгляда круг привлекает нас своей простотой,
однако даже самому консервативному астроному достаточно лишь мимолетного знакомства
с эллипсом, чтобы убедиться в том, что идеальная простота круга сродни бессмысленной
улыбке идиота. По сравнению со сведениями, которые несет эллипс, круг не дает ничего.
Возможно, рассчитывая на физическую простоту Вселенной, мы тоже мыслим
окружностями, проецируя свое элементарное мышление на бесконечно запутанный
окружающий мир».
«Математика — царица и служанка науки» Эрик Т. Белл.
Введение
Впервые с такой знакомой с детства геометрической фигурой, как эллипс, мы
столкнулись на уроке алгебры, когда изучали уравнения с двумя переменными. Одно из
уравнений было нам незнакомо, и нам было предложено выяснить, какую линию оно задает.
Это было уравнение хорошо знакомого нам эллипса. Но описать его свойства мы могли
лишь частично. Как выяснилось, в школьном курсе математики не изучаются его свойства,
хотя эту фигуру знают все, она привлекает внимание изяществом формы. Особенно поразило
нас высказывание Эрика Т.Белла, нам захотелось узнать его смысл, для этого выяснить
какими удивительными свойствами, отличными от окружности, обладает эллипс.
Цель исследования – исследовать свойства эллипса, методы его построения, выяснить,
какие из них имеют практическое значение, и познакомить с ними учащихся класса.
Задачи:
1. Выяснить с помощью онлайн тестирования, какими сведениями об эллипсе владеют
школьники
2. Рассмотреть историю изучения свойств эллипса
3. Исследовать свойства линии с помощью онлайн сервисов для построения графиков и
аналитическим путем, сопоставить их со свойствами окружности.
4. Выяснить существующие способы построения эллипса
5. Выяснить применение свойств эллипса
6. Обобщить результаты работы в виде презентации и представить на занятии
факультатива
Объект исследования – эллипс.
Предмет исследования – свойства эллипса и методы его построения.
Гипотеза – если эллипс обладает изяществом формы, то вероятно, он обладает и
удивительными, отличными от окружности свойствами, методами построения.
Методы исследования: теоретический и эмпирический.
Теоретический метод включает изучение литературы по теме и исследование свойств
фигуры.
Эмпирический метод исследования представляет собой работу, в основу которой
положены реальные опытные данные, полученные на основе жизненного опыта, практики
построения эллипсов различными способами.
Теоретическая часть исследования расширит наши представления о линиях второго
порядка и их свойствах. Результаты исследования будут также иметь практическую
значимость, расширят наши представления о существующих современных способах
построения линий,
материалы нашей работы могут использоваться
для занятий
факультатива.
ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ЭЛЛИПСА.
Замечательный геометрический объект – эллипс - привлекает внимание не только
изяществом своей формы, но и многими удивительными свойствами. С этой фигурой
знакомы все, Вы можете с ней встретиться в астрономии и географии (траектории движения
планет и спутников, форма земного меридиана, путь электрона вокруг ядра атома), в
черчении, рисовании и стереометрии (рисунки технических деталей, круглых предметов и
геометрических тел). Но что такое эллипс, чем он интересен, какими свойствами обладает,
об этом в школьной программе ничего не говорится.
Для выяснения актуальности нашего исследования был проведен онлайн-опрос с
помощью сервиса конструктор тестов Online Test Pad.
Таким образом, первоначально
выдвинутая гипотеза о том, что респонденты имеют поверхностные представления об
эллипсе и его свойствах подтвердились (Приложение 1).
В то время как выяснилось, что эллипс был известен еще в Древней Греции. Его открыл
некий Менехм около 360 года до нашей эры, а до нас она дошли по замечательному
сочинению выдающегося математика Аполлония, написанному примерно 200 лет спустя.
Эллипс является линией второго порядка, то есть он является коникой (наряду с параболой
и гиперболой). Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых в
декартовой системе координат удовлетворяют уравнению второго порядка:
a11x2 +2a12xy+a22y2 +2b1x+2b2y+c=0.
Само слово «эллипс» происходит от древне-греческого ἔλλειψις — опущение, недостаток.
Мы сразу высказали предположение о том, что этот недостаток связан с окружностью.
Исследование свойств эллипса
Поскольку окружность определялась как ГМТ, то логичным было предположить, что
эллипс тоже может быть определен как ГМТ. По определению эллипсом называется
множество точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до данных точек F1 и F2,
есть постоянная величина, обозначим ее 2а, большая расстояния между данными точками.
Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса, а расстояние между ними - фокальным
расстоянием, обозначим его 2с. Слово "фокус" в переводе с латинского означает "очаг",
"огонь". Окружность фокусов не имеет. Это одно из отличий между окружностью и
эллипсом.
Рис. 1
Рис.2
Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и
равная удвоенной большей полуоси. В истинности этого утверждения можно убедиться с
помощью построения графиков в онлайн-конструкторе
1
МF1+MF2=10
a=5
2
МF1+MF2=20
a=10
3
МF1+MF2=4
a=2
4
МF1+MF2=15
a=7.5
5
МF1+MF2=12
a=6
6
МF1+MF2=30
a=15
Таблица 1.
Основные обозначения элементов эллипса





— большая полуось;
— малая полуось;
— фокальное расстояние (полурасстояние между фокусами);
— фокальный параметр;
— перифокусное расстояние (минимальное расстояние от фокуса до точки на
эллипсе);
— апофокусное расстояние (максимальное расстояние от фокуса до точки на
эллипсе);

Рассмотрим каждый из них по порядку.
1. Фокальные радиусы
Пусть М – произвольная точка эллипса с фокусами F1 и F2. Отрезки F1 M и F2 M (так же как
и длина этих отрезков) называются фокальными радиусами точки М. Постоянную сумму
фокальных радиусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой
точки М эллипса имеем:
F1 М+ F2 M=2a.
Расстояние F1 F2 между фокусами обозначают через 2с. Так как
F1 M+F2 M>F1 F2,
то
2а>2с, т.е. а>с.
Пусть дан какой-нибудь эллипс с фокусами F 1 , F2.
Возьмём на плоскости произвольную точку М и обозначим её координаты через х и у.
Обозначим, далее, через r1 и r2 расстояния от точки М до фокусов (r1=F1 M, r2=F2 M). Точка
М будет находиться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда
r1+r2=2a.
Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r1 и r2 их
выражениями через координаты х, у.
Так как F1 F2=2c и так как фокусы F1 и F2 расположены на оси 0х симметрично относительно
начала координат, то они имеют соответственно координаты (-с; 0) и (+с; 0); приняв это во
внимание находим:
r1= х  с   у 2 ,r2= х  с   у 2 .
Заменяя r1 и r2 найденными выражениями, получаем:
2
2
х  с2  у 2  х  с2  у 2
 2а
Это и есть уравнение эллипса в декартовой системе координат, так как ему
удовлетворяют координаты точки М (х; у) в том и только в том случае, когда точка М лежит
на этом эллипсе. Перенесем первый радикал в другую часть уравнения и, после чего
возведём обе части равенства в квадрат; получим:
х  с2  у 2  4а 2  4а х  с2  у 2  х  с2  у 2 ,
или
а х  с   у 2  а 2  сх
Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдём:
а 2 х 2  2а 2 сх  а 2 с 2  а 2 у 2  а 4  2а 2 сх  с 2 х 2 ,
2
откуда
а



 с2 х2  а2 у2  а2 а2  с2 .
Здесь мы введём в рассмотрение новую величину
2
b= а 2  с 2 ;
геометрический смысл величины b будет раскрыт несколько позднее; сейчас мы только
заметим, что а>c, следовательно, а2 –с2>0. Из равенства имеем:
b2=а2–с2,
вследствие чего уравнению можно придать вид
b 2 х 2  а 2 у 2  а 2b 2
или
х2 у2

1
а2 b2
Данное уравнение называется каноническим уравнением эллипса.
Уравнение
х2 у2

 1,
а2 b2
определяющее эллипс, является уравнением второй степени; таким образом, эллипс есть
линия второго порядка.
Помимо канонического
уравнения существует параметрическое уравнение и
уравнение в полярных координатах.
Исследование формы эллипса.
Исследуем форму эллипса путём анализа его канонического уравнения
х2 у2

1
а2 b2
1)
Симметричность
Уравнение содержит члены только с чётными степенями. Следовательно функция четная.
Из этого следует первое свойство эллипса: эллипс симметричен как относительно
оси Ох, так и относительно оси Оу.
Если М (х; у) – какая-нибудь точка этого эллипса, т. е. если числа х, у удовлетворяют
уравнению, то числа х,- у также удовлетворяют уравнению; следовательно, точка М, (х; -у)
также лежит на этом эллипсе. Но точка М, (х; -у) симметрична точке М(х; у) относительно
оси Ох. Таким образом, все точки эллипса расположены парами, симметрично относительно
оси Ох. Это означает, что если мы перегнём чертёж по оси Ох, то верхняя часть эллипса
совместиться с его нижней частью. То есть, эллипс симметричен по отношению к оси Ох.
Симметричность рассматриваемого эллипса относительно оси Оу доказывается
совершенно аналогично (на основании того, что если числа х. у удовлетворяют уравнению,
то ему удовлетворяют и числа – х, у).
2)
Чтобы исследовать форму эллипса, выразим
из канонического уравнения величину у как функцию от х:
 х2 
у   b 2 1  2 
 а 
или
b
а2  х2 .
а
Зная, что эллипс симметричен относительно каждой из координатных осей,
рассмотрим ту его часть, которая лежит в первой координатной четверти.
Эта часть эллипса лежит в верхней полуплоскости, значит ей соответствует этак + в
правой части уравнения ; а так как она лежит и в правой полуплоскости, то для всех её точек
х  0. Таким образом, мы должны изобразить график функции
у
у
b
а2  х2
а
при условии х  0.
Возьмём сначала х=0, тогда у=b. Точка В(0; b) является самой левой точкой
рассматриваемого графика. Пусть теперь х увеличивается, начиная от нуля. При увеличении
х подкоренное выражение будет уменьшаться; вместе с тем, следовательно, будет
уменьшаться и величина у. Таким образом, переменная точка М(х; у), движется вправо и
вниз совпадает с точкой А(а; 0), лежащей на оси Ох. При дальнейшем увеличении х, т. е. при
х>а, подкоренное выражение становится отрицательным, а значит, у – мнимым. Отсюда
следует, что точка А является самой правой точкой графика. Итак, частью эллипса,
расположенной в первой координатной четверти, является дуга В1А2
Если произвести зеркальные отражения дуги ВА относительно координатных осей, мы
получим весь эллипс (рис.3);
Рис.3.
Оси симметрии эллипса называют обычно просто его осями, а точку пересечения
осей – центром эллипса. Точки, в которых эллипс пересекает свои оси, называются его
вершинами. На рис.6 вершины эллипса это точки А, А,, В и В,. Осями эллипса принято
называть также отрезки АА,=2а и ВВ,=2b. Если эллипс расположен относительно
координатных осей так, что фокусы его находятся на оси Ох, то b  а 2  с 2 , следовательно,
а  b.
В этом случае отрезок ОА=а называют большой полуосью эллипса, отрезок ОВ=b –
малой полуосью. Но, само собой разумеется, эллипс, может быть расположен так, что его
фокусы будут на оси Оу; тогда b>a и большой полуосью его будет отрезок ОВ=b. Длина
отрезка ОА на оси абсцисс обозначается через а, а длина отрезка ОВ на оси ординат
обозначается через b.
3)
Частные случаи:
Если b=а, уравнение
х2 у2

1
а2 b2
х2  у2  а2 ;
принимает вид
а это уравнение окружности радиуса а (с центром в начале координат). Тогда окружность
должна рассматриваться как частный случай эллипса.
4) Свойство ограниченности .
Эллипс является ограниченной фигурой, прямоугольником АВСД со сторонами 2а и 2в.
Каждое слагаемое в левой части канонического уравнения эллипса :
0 ≤ х2 / а2 ≤ 1,
0 ≤ х2 / в2 ≤ 1.
Отсюда вытекает, что
-а ≤ х ≤ а,
-в ≤ х ≤ в.
Следовательно, эллипс представляет собой ограниченную кривую, лежащую между
отрезками прямых х = ± а и у = ± в, т.е. в прямоугольнике АВСД, вершинами которого
являются точки пересечения прямых (рис.4).
Рис. 4
Этот прямоугольник называется основным прямоугольником эллипса (рис.5).
Рис. 5
Диаметром эллипса (также как и у окружности) называют произвольную хорду,
проходящую через его центр. Диаметр эллипса проходит через его центр и касательные в
концах отрезка диаметра параллельны хордам, которые делятся этим диаметром пополам.
Эксцентриситет эллипса.
Исследование формы эллипса проведено с помощью сервиса
http://chalochalo.ru/mathbook/index.php?id=10 , при этом изменение значений коэффициентов
регулировалось с помощью слайдеров.
Для начала проведено исследование формы эллипса в зависимости от расстояния между
фокусами (Рис.6):
Рис.6
Опытным путем мы увидели, что чем ближе к друг другу фокусы, тем более форма эллипса
приближается к окружности, и чем дальше друг от друга фокусы, тем более вытянутой
становится форма эллипса.
Рис. 7
Опытным путем выяснено, что форма эллипса зависит расстояния между фокусами,
между большой и малой полуосями.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами
этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой  , получаем:
с
 .
а
Так как с<a, то  <1, т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы (этим
объясняется происхождение слова «ἔλλειψις» - недостаток, в смысле эксцентриситета)
Так как с 2  а 2  b 2 ; поэтому
с2 а2  b2
b
 

 1  
2
а2
а
а
2
2
отсюда
2
b
b
  1  
и
 1  2 .
а
а
 
Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а
отношение осей, в свою очередь, определяется эксцентриситетом. Таким образом,
эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем
b
меньше 1-  2 , тем меньше, следовательно, отношение
; значит, чем больше
а
эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности b=а и  =0.
Таким образом, можно сделать вывод: чем больше эксцентриситет эллипса ε = с/а (т.е.
чем ближе ε к единице), тем больше «сплющен» (вытянут эллипс к оси ОХ), и чем меньше
эксцентриситет (т.е. чем ближе ε к нулю), тем более «круглым», и соответственно ближе к
окружности становится эллипс.
Из курса физики мы знаем, что по закону Кеплера, каждая планета Солнечной системы
движется по эллиптической траектории, в одном из фокусов которой находится Солнце.
Ближайшая к Солнцу точка A называется перигелий, а наиболее удалённая от него точка B афелий. По эллиптическим траекториям вращаются вокруг Земли тысячи искусственных
спутников.
Рассмотрим эксцентриситеты планет: эксцентриситет орбиты Меркурия 0,21; Венеры –
0,007; Земли – 0,017; Луны – 0,055; Марса – 0,093; Юпитера – 0,048; Сатурна 0,056; Урана
– 0,047; Нептуна – 0,009; Плутона – 0,249. Чем меньшую массу имеет тело, тем
эксцентриситет орбиты у нее больше. Однако эксцентриситеты планет не идут ни в какое
сравнение с эксцентриситетом комет, которые движутся по очень вытянутым орбитам.
Например, комета Галлея имеет эксцентриситет 0,967.
Фокальные радиусы эллипса.
Рассмотрим произвольную точку М (х; у), лежащую на данном эллипсе. Если r1 и r2 –
фокальные радиусы этой точки, то
r1 
Из равенства мы имеем:
х  у 
2
у2 ,
r2 
 х  с 2  у 2
х  с2  у 2 .
а
с
х.
а
с
  и принимая во внимание вторую из формул, получим:
а
r 2  f   х,
По определению эллипса r1+r2=2а; отсюда и из предыдущего
r1  а  х .
Итак, имеют место формулы
r1  а  х,

r2  а  х.
Директрисы эллипса. Директориальное свойство эллипса.
Две прямые, которые перпендикулярны большой оси эллипса и расположены симметрично
относительно центра эллипса на расстоянии от него, называются директрисами. Прямые х
Так как
= ± а / ε называются директрисами эллипса (правая и левая) (Рис.8) . Каждой из директрис
ставится в соответствие тот фокус эллипса, который лежит по ту же сторону от центра, т.е.
директрисе QP – фокус F, а директрисе Q'P' - фокус F'.
Значение директрисы эллипса выявляется следующим утверждением.
Если r" – расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d –
расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение
r/d есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса: r/d = ε.
Рис. 8
Так как для эллипса ε < 1, то всякая точка эллипса ближе к фокусу, чем к соответствующей
директрисе.
Если большая ось эллипса остается неизменной, а эксцентриситет стремится к нулю (т. е.
эллипс все меньше отличается от окружности), то директрисы неограниченно удаляются от
центра.
Таким образом, определение эллипса можно сформулировать следующим образом: Эллипс –
ГМТ, для которых расстояние r от фокуса и расстояние d до некоторой фиксированной
прямой (директрисы) величина постоянная и равна r/d = ε.
У окружности директрисы нет.
Параметрическое уравнение эллипса.
Пусть дан эллипс
х2 у2

 1.
а2 b2
Опишем вокруг его центра две окружности, одну – радиусом а, другую – радиусом b
(считаем а>b); проведём через центр эллипса произвольный луч и обозначим буквой t
полярный угол этого луча (рис. 7). Проведённый луч пересечёт большую окружность в
некоторой точке Р, меньшую – в некоторой точке Q. Проведём затем через точку Р прямую,
параллельную оси Оу, через точку Q – прямую, параллельную оси Ох; пусть М – точка
пересечения этих прямых, а Р1 и Q1 – проекции точек Р и Q на ось абсцисс.
Рис.9.
Выразим координаты точки М через t. По определениям тригонометрических функций из
прямоугольного треугольника:
х  ОР1  ОР  cos t  a cos t,
У=Р1 М=Q1 Q=OQ sin t=b sin t.
Таким образом,
х  а cos t ,

y  b sin t. 
Уравнение выражает координаты произвольной точки эллипса как функции
переменного параметра t; таким образом, уравнения представляют собой параметрическое
уравнение эллипса.Пусть 0<b<a – произвольные действительные числа. Тогда система
уравнений
,
является параметрическими уравнениями эллипса в канонической для эллипса системе
координат.
Достаточно доказать, что система уравнений равносильна уравнению , т.е. они имеют одно и
то же множество решений.
1) Пусть (х, у) – произвольное решение системы . Разделим первое уравнение на а, второе –
на b, возводим оба уравнения в квадрат и складываем:
.
Т.е. любое решение (х, у) системы удовлетворяет уравнению эллипса в каноническом виде.
2) Обратно, пусть пара (х, у) является решением уравнения
.
Из этого равенства следует, что точка с координатами
лежит на окружности
единичного радиуса с центром в начале координат, т.е. является точкой тригонометрической
окружности, которой соответствует некоторый угол
:
Рис. 10.
Из определения синуса и косинуса сразу же следует, что
,
, где
, откуда и следует, что пара (х, у) является решением системы ,
ч.т.д.
Построение графиков эллипсов, заданных параметрическим уравнением, было выполнено с
помощью сервиса http://grafikus.ru/plot2d#parametric. (Рис. 11). Опытным путем продолжено
выяснение свойств эллипса, в зависимости от а и в.
Рис. 11
Уравнение эллипса в полярных координатах
Если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в
полярных координатах
будет иметь вид
где ε — эксцентриситет, а p — фокальный параметр.
Рис. 12
Примеры графиков функции в полярных координатах (Рис. 13,14):
R(t) = 2/(1-0.6*cos(t))
Рис. 13
Рис. 14
Касательные к эллипсу
Так же как и к окружности , к эллипсу можно провести касательные.
Касательной к эллипсу называется прямая, имеющая с эллипсом только одну общую точку.
Пусть А – произвольная точка эллипса с фокусами F1, F2. Тогда касательной к эллипсу,
проходящей через точку А, является прямая, содержащая биссектрису угла, смежного с
углом F1А F2.
Рис. 15
Докажем, что прямая а, содержащая биссектрису угла смежного с углом
F1А F2, будет касательной к эллипсу.
Обозначим АF1 + А F2 = с. Рассмотрим точку F на прямой F1А, для которой АF = АF2 .
Тогда прямая а будет серединным перпендикуляром к отрезку FF2. Для произвольной точки
А' прямой а, отличной от А, имеем:
А' F2 = А' F и А' F1 + А' F2 = А' F1 + А' F > F1F = с.
Это означает, что точка А' не принадлежит эллипсу, следовательно, прямая а имеет только
одну общую точку А с эллипсом, то есть является касательной.
Уравнение касательной к эллипсу в точке (х, у) будет иметь вид
хХ + уУ = 1.
а2
в2
Пример. Эллипс задан каноническим уравнением х2 + у2 =1 .
25 9
Написать уравнение касательной к эллипсу в точке М (0; 3).
Решение. Уравнение касательной имеет вид
хХ + уУ = 1.
а2
в2
Значит, 0 ·Х + 3∙ У = 1.
25
9
У= 3.
В данном случае уравнение касательной можно было найти, не используя уравнение
касательной в общем виде. Так как касательную надо провести через одну из вершин
эллипса.
Рис. 16
Построение касательной к эллипсу.
Пусть эллипс задан своими фокусами F1, F2 и постоянной c. Используя циркуль и
линейку, построим касательную к эллипсу, проходящую через данную точку C.
С центром в точке C и радиусом CF2 проведем окружность. С центром в точке F1 и
радиусом c проведем другую окружность и найдем ее точки пересечения с первой
окружностью (рис. 4). Таких точек может быть две F', F", одна или ни одной, в зависимости
от расположения точки C. В первом случае проведем биссектрисы углов F'СF2, F"СF2.
Соответствующие прямые a', a" являются серединными перпендикулярами к отрезкам F'F2,
F"F2 и, значит, будут искомыми касательными к эллипсу. Для построения точек касания
проведем прямые F1F', F1F" и найдем их точки пересечения A', A" с касательными a', a"
соответственно CA' и CA" будут искомыми.
Во втором случае, когда проведенные окружности имеют одну общую точку
(касаются), мы будем иметь одну касательную. Если же окружности не имеют общих точек,
то касательных нет.
Рис. 17
Рис. 18
Нормалью в точке М эллипса называется перпендикуляр МN к касательной МТ.
Рис. 19
Рис. 20
Нормаль и касательная к эллипсу являются биссектрисами соответственно внутреннего и
внешнего углов между радиус – векторами точки касания.
Оптическое свойство эллипса
1. Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что
отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.
2. Свет от источника, находящегося вне любого из фокусов, отражается эллипсом так,
что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.
Пусть
и
-- фокусы эллипса,
-- произвольная точка на эллипсе. Тогда нормаль
(перпендукуляр к касательной) к эллипсу в точке
делит угол
пополам.
Рис.21 .Отражение лучей света от эллипса
Данное свойство имеет достаточно простой физический смысл. Если из одного фокуса
выходит в плоскости эллипса луч света, то отразившись от самого эллипса, он обязательно
пройдет через другой фокус. Возьмем поверхность, образованную вращением эллипса
вокруг большой оси, и будем считать, что внутри она зеркальная. В один из фокусов
поместим источник света. Тогда все лучи, выходящие из источника, отражаясь от
поверхности, пройдут через другой фокус, то есть освещенность в обоих фокусах будет
одинаковой. Отражение от эллипса обладает одним важным свойством. Проведем
касательную к какой-нибудь точке эллипса. Прямые, соединяющие эту точку с фокусами,
образуют равные углы с касательной. Представим себе вертикальную металлическую
полоску, ограничивающую эллипс. Если волна или материальная точка выйдет из фокуса и
будет двигаться по прямой, то, отразившись от края, она окажется точно во втором фокусе.
Более того, двигаясь из фокуса к границе эллипса с постоянной скоростью, тело или волна
окажется во втором фокусе через один и тот же промежуток времени, независимо от
первоначального направления движения. Вообразим, что в неглубокий эллиптический бак
налита вода. Если опустить палец в то место, где находится фокус эллипса, то через
несколько секунд вокруг второго фокуса сойдутся круговые волны.
Площадь и периметр эллипса.
И площадь, и периметр эллипса имеют большое практическое значение.
Площадь эллипса можно найти по формуле S = πав.
Рис. 23
Площадь сектора ВОМ можно найти по формуле Sсектора = ав arccos х/а
2
Площадь сегмента МВN: Sсегмента = ав arccos х – ху.
а
Периметр эллипса можно приближенно найти по формулам
__
L = π(1,5(а + в) - √ав);
L = π(а + в)64 - 3λ4 , где λ= а – в .
64 -16λ2
а +в
Вычисление площади и периметра эллипса связано с практическими потребностями,
например, при выполнении в форме эллипса гипсокартонного потолка, разметка клумбы на
огороде или пришкольном участке.
На школьной площадке надо сделать клумбу в виде эллипса длиной 3 м и
площадью равной 1,5π м2.
Решение.
Так как S = πав, то в = S/ πа. а = 1,5 м,
в = 1,5π/ 1,5π = 1 (м).
c2 = a2 – в2, с2 = 1,25, с ≈1,12 м.
Значит, надо колышки поставить на расстояние равное 2с ≈ 2,24м, а веревку взять длиной 2а
+ 2с ≈ 3 + 2,24 = 5,24(м) .
Эллипс как проекция окружности на плоскость. Эллипс как сечение круглого
цилиндра.
Проекция окружности на произвольную плоскость является эллипсом.
Пусть окружность k, лежащая в плоскости  , проектируется на некоторую
плоскость a. Обозначим через k, геометрическое место проекций всех точек окружности k;
нужно показать, что k, есть эллипс. Для удобства рассуждений будем предполагать, что
плоскость а проходит через центр окружности k. Введём на плоскости а декартову
прямоугольную систему координат, приняв в качестве оси Ох прямую, по которой
пересекаются плоскости а и  , в качестве начала координат – центр окружности k, через  острый угол между плоскостями а и  . Пусть Р – произвольная точка окружности k, М – её
проекция на плоскости а, Q – проекция на оси Ох, t – угол, который составляет отрезок ОР с
осью Ох. Выразим координаты точки М через t. Тогда
х  OQ  OP  cos t  a cos t ,
у  QM  QP  cos   OP  sin t cos   a cos  sin t.
Обозначив постоянную величину a cos  буквой b, получим:
x  a cos t
y  b sin t
Эти уравнения в точности совпадают с параметрическими уравнениями эллипса;
следовательно, линии k, является эллипсом (с большой полуосью а и малой полуосью b=a
cos  )
Каждое сечение круглого цилиндра плоскостью, не параллельной его оси, есть
эллипс.
Рис.24
Рис.25.
Для доказательства рассмотрим какой-нибудь круглый цилиндр и секущую плоскости а
(рис.); линию, которая образуется в сечении, обозначим через k,. Пусть О – точка, в которой
плоскость а пересекает ось цилиндра; проведём через точку О плоскость  ,
перпендикулярную к оси. Эта плоскость пересечёт цилиндр по окружности k. Обозначим
через а радиус этой окружности, через  - острый угол между плоскостями а и  . Выберем
затем на плоскости а координатные оси так, как показано на рис.6. Возьмём на линии k,
произвольную точку М; пусть Р – её проекция на плоскости  , Q – проекция на ось Ох, t –
угол, который составляет отрезок ОР с осью Ох. Выразим координаты точки М через t,
имеем:
х  OQ  OP  cos t  a cos t ,
QP
OP  sin t
a
у  QM 


sin t.
cos 
cos 
cos 
а
 b,
Полагая
cos 
получим:
х  а cost, y  b sin t .
Эти уравнения представляют собой параметрические уравнение эллипса; таким образом,
линия k, является эллипсом, что и требовалось доказать
Основные теоретические выводы:
1. Эллипс - геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух
фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина;
требуется, чтобы эта постоянная была больше расстояния между фокусами.
(Фокальное свойство эллипса)
2. Эллипс является кривой второго порядка и удовлетворяет общему уравнению вида
3. Эллипс может быть задан
А) каноническим уравнением
Б) параметрическим уравнением
В) уравнением в полярных координатах
4. Эллипс является коническим сечением.
5. Эллипс также можно описать как:
А) пересечение плоскости и кругового цилиндра
Б) как ортогональную проекцию окружности на плоскость.
В) фигуру, которую можно получить из окружности, применяя
аффинное преобразование
6. Основные параметры, связанные с эллипсом:





Проходящий через фокусы эллипса отрезок AB, концы которого лежат на эллипсе,
называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в
вышеприведённом уравнении.
Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через
центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется
малой осью эллипса.
Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.
Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях
называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и
обозначаются a и b.
Расстояния и от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются
фокальными радиусами в этой точке.

Расстояние
называется фокальным расстоянием.



Величина
называется эксцентриситетом.
Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр.
Радиус эллипса в данной точке (расстояние от его центра до данной точки)
вычисляется по формуле
— угол между радиус-вектором данной точки и осью абсцисс.


Фокальным параметром
называется половина длины хорды, проходящей
через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса.
Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия
эллипса

, где
или
эллиптичностью:
Величина,
равная
называется сжатием эллипса. Для окружности коэффициент
сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент сжатия и эксцентриситет
эллипса связаны соотношением
Для каждого из фокусов существует прямая, называемая директрисой, такая, что
отношение расстояния от произвольной точки эллипса до его фокуса к расстоянию от
этой точки до данной прямой равно эксцентриситету эллипса. Расстояние между
фокусом и директрисой равно
7. Свойства эллипса
 Окружность является частным случаем эллипса
 Эллипс является ограниченной фигурой, которую можно поместить в
прямоугольник АВСД со сторонами 2а и 2в.
 Свойство симметричности
 Если и
— фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол
между касательной в этой точке и прямой
равен углу между этой касательной
и прямой
.
 Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными
прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это
позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса,
а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
 Точки пересечения эллипса с осями являются его вершинами. Эксцентриситет
эллипса
равен
отношению

Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к
нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет
ближе к единице, тем он более вытянут.
 Оптические свойства
А) Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так,
что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.
Б) Свет от источника, находящегося вне любого из фокусов, отражается эллипсом так,
что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.
ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
2.1. Способы построения эллипса
Одной из задач, имеющих практическое значение, является задача построения эллипса.
Рассмотрим различные способы: непрерывным движением, с помощью чертежных
инструментов, подручных средств, cпециальных программ для построения графиков
функций и установим связь между способом построения и используемым для него свойством
эллипса.
1. Построение эллипса простейшим прибором.
Зная определение эллипса, можно сделать простейший прибор, вычерчивающий
эллипс. Для этого надо взять две булавки с ниткой, воткнуть их в чертежную доску,
взять карандаш и двигать его по бумаге так, чтобы грифель карандаша все время натягивал
нитку. Тогда кончик грифеля будет рисовать на бумаге эллипс. (рис.8. ) Такой способ
построения называется способом непрерывного движения и основан на том факте, что сумма
расстояний от любой точки до фокусов величина постоянная и равна 2а.
Рис. 26
Рис. 27
Рис.28
2. Построение с помощью полоски бумаги.
Второй способ более универсален и не требует шнурка, гвоздей. Для этого
достаточно взять полоску или лист бумаги с ровным обрезом (можно для
получения ровной кромки полоску согнуть вдоль). На ровной линии полоски
вплотную к ее кромке делаются засечки: (1;2) = (АО) и (1;3) = (DO). Перемещая
полоску по полю эллипса так, чтобы точки 2 и 3 находились на линиях осей или
их продолжении, будем иметь последовательное перемещение точки 1 по линии.
На этом принципе основано устройство эллипсографа.
Рис. 29
Рис.30
3. Способ получения эллипса из листа бумаги.
Укажем способ получения эллипса из листа бумаги. Вырежем из бумаги
большой круг и в любом его месте, отличном от центра, поставим точку F.
Сложим круг так, чтобы эта точка совместилась с какой-нибудь точкой F'
окружности круга и на бумаге образовалась линия сгиба a . Линия сгиба будет
серединным перпендикуляром к отрезку FF' и, следовательно, касательной к
эллипсу. Разогнем круг и снова согнем его, совместив точку с другой точкой
окружности круга. Сделаем так несколько раз, пока вся бумага не покроется
линиями сгибов. Линии сгибов будут касательными к эллипсу. Граница участка
внутри этих сгибов будет иметь форму эллипса. В основу построения положено
свойство касательных к эллипсу.
Рис. 31
4. Построение по точкам
Для построения понадобится построить две концентрические окружности
радиусами а и b (а b)
Рис. 32
Через центр эллипса проводится произвольный луч, который пересечет большую
окружность в некоторой точке, и меньшую окружность в другой точке. Через
первую точку проведем прямую, параллельную оси Оу, а через вторую точку,
параллельную Ох. Точка пересечения этих прямых и есть точка эллипса.
Аналогично выполняется построение остальных точек эллипса.
5. Построение с помощью сковороды
Мартин Гарднер предлагает свой способ. Для демонстрации этого способа
понадобится сковородка и картонный круг диаметром, вдвое меньшим диаметра
сковороды. Оклейте внутренний борт сковороды материей, чтобы круг при
вращении не соскальзывал с него. Полосками клейкой ленты укрепите на дне
сковороды лист бумаги. Продырявьте круг в любом месте отточенным концом
карандаша до соприкосновения с бумагой и начните катить диск по краю
сковороды. На бумаге появится эллипс.
Рис. 33
6. Построение с помощью перегибов.
Необходимо вырезать из бумаги большой круг и в любом его месте, кроме
центра, поставить точку. Сложить круг так, чтобы эта точка оказалась под любой
точкой окружности на краю диска. Разогнуть листок и снова согнуть, прикрыв
точку уже другим местом на окружности. Сделать так несколько раз, пока вся
бумага не покроется сгибами, которые образуют семейство касательных к
эллипсу. Если лист бумаги перегибать так, чтобы край его все время проходил
через точку, не совпадающую с центром листа, то огибающая линия сгиба будет
эллипсом.
Рис. 34
7. Построение с помощью эллипсографа (эллиптического циркуля)
Изобретение предназначено для вычерчивания эллипсов и может быть использовано в
проектно-конструкторских организациях, конструкторских бюро и учебных заведениях.
Содержит основание, в котором выполнены продольные пазы, в которых с возможностью
продольного перемещения размещены ползуны с установленными в них шарнирами,
связанными с подвижной линейкой, на которой закреплен пишущий элемент. Основание
эллипсографа по середине продольного паза снабжено осевым шарниром, с вертикально
установленной, эксцентрично расположенной поворотной стойкой, жестко связанной с
малой линейкой, на которой размещен верхний ползун. Верхний ползун вертикальным
шарниром соединен с нижним ползуном, охватывающим подвижную линейку, которая
шарнирно установлена на вертикальной опоре, жестко закрепленной на ползуне. Пишущий
элемент установлен с возможностью продольного перемещения и фиксации. Продольный
паз в поперечном сечении основания выполнен Т-образным. Осевой шарнир выполнен в
виде цилиндрического или конического кольца или диска. Обеспечивается точность
построения эллипса при простейшей установке прибора и его относительно малых
габаритах, а также вычерчивание эллипса с размерами, значительно превышающими размер
прибора.
Рис.35
Рис. 36
8. Построение эллипса на клетчатой бумаге.
Рассмотрим несколько практических задач, связанных с построением эллипса на
клетчатой бумаге с помощью циркуля и окружностей:
1.Покажем способ нахождения фокусов данного эллипса.
Рис. 37
Проведем отрезки AB и CD, соответственно, наибольшей и наименьшей длины. С центром в
точке C и радиусом OA = OB опишем окружность. Ее точки пересечения с AB будут
искомыми фокусами.
3. На клетчатой бумаге построим несколько точек, сумма расстояний от которых до точек
F1 и F2 равна 8 (стороны клеток равны
Рис. 38
4. На клетчатой бумаге построим несколько точек, сумма расстояний от которых до
точек F1 и F2 равна 10 (стороны клеток равны 1). Рис.38
3. Даны фокусы F1, F2 и точка на эллипсе. Построим ещё несколько точек этого эллипса.
Рис. 39
9. Построение эллипса с помощью программы Microsoft Excel.
Если уравнение задано в декартовых координатах, то следует перевести его в
полярные, используя формулы: X=R*COS(F), Y=R*SIN(F). Следовательно, математическая
модель у нас уже есть. Рассмотрим пример построения эллипса.
Задача. Построить эллипс, заданный уравнением:
Решение. Найдем уравнение данной линии в полярных координатах:
Для программы Microsoft Excel: R=9/(5-4*COS(F))
Предположим, что угол F изменяется в интервалах от 0 до 2  . Для того, чтобы построить
эту кривую наиболее точно, с малым шагом изменения угла F, как мы это делали при
построении тригонометрических функций, мы выберем шаг изменения 0,1.
Построим компьютерную модель исследования.
Формулы будут записаны в терминах электронных таблиц следующим образом:
А2
0,1
А3
=А2+0,1
B2
=9/(5-4*COS(F))
C2
=SIN(А2)
D2
=COS(А2)
E2
=B2*D2
F2 =В2*C2
Тогда получаем следующее распределение по столбцам электронной таблицы:
F
R
cos(F)
sin(F)
X
Y
0,1 8,823674 0,995004 0,099833 0,880897 8,779592
0,2 8,335389 0,980067 0,198669 1,655986 8,169236
0,3 7,635828 0,955336 0,29552 2,256542 7,294785
0,4 6,840174 0,921061 0,389418 2,663689 6,300217
-0,1 8,823674 0,995004 -0,09983
-0,8809 8,779592
-0,2 8,335389 0,980067 -0,19867 -1,65599 8,169236
-0,3 7,635828 0,955336 -0,29552 -2,25654 7,294785
-0,4 6,840174 0,921061 -0,38942 -2,66369 6,300217
-0,5 6,041608 0,877583 -0,47943
-2,8965 5,302009
-0,6 5,298302 0,825336 -0,56464 -2,99165 4,372877
-0,7 4,637666 0,764842 -0,64422 -2,98767 3,547083
-0,8 4,066559 0,696707 -0,71736 -2,91717 2,833199
-0,9 3,580579 0,62161 -0,78333 -2,80476 2,225723
-1 3,170364 0,540302 -0,84147 -2,66777 1,712955
0,5 6,041608 0,877583 0,479426 2,896501 5,302009
0,6 5,298302 0,825336 0,564642 2,991646 4,372877
0,7 4,637666 0,764842 0,644218 2,987667 3,547083
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
3
4
5
4,066559
3,580579
3,170364
2,8252
2,534805
2,290074
2,08327
1,907972
1,758912
1,631801
1,52315
1,430125
1,350421
1,004468
1,181944
2,328378
0,696707
0,62161
0,540302
0,453596
0,362358
0,267499
0,169967
0,070737
-0,0292
-0,12884
-0,2272
-0,32329
-0,41615
-0,98999
-0,65364
0,283662
0,717356
0,783327
0,841471
0,891207
0,932039
0,963558
0,98545
0,997495
0,999574
0,991665
0,973848
0,9463
0,909297
0,14112
-0,7568
-0,95892
2,917171
2,804764
2,667769
2,517839
2,362537
2,206619
2,052958
1,903192
1,758162
1,6182
1,483316
1,353327
1,227935
0,14175
-0,8945
-2,23274
2,833199
2,225723
1,712955
1,2815
0,918506
0,612592
0,354087
0,134965
-0,05136
-0,21025
-0,34606
-0,46234
-0,56197
-0,99442
-0,77257
0,660473
Таблица 2.
Для построения графика выделим информационный блок E2..F63, так как аргумент F, будем
изменять от 0,1 до 5 радиан. Получим следующий график (Рис. 40).
Рис. 40
4.1.
Применение эллипса.
За счет того, что эллипс обладает изящной формой и целым рядом удивительных свойств,
он находит применение в различных сферах жизни человека.
В изобразительном искусстве эллипс применяется при изображении тени,
отбрасываемой от круглых тел.
Рис. 42
Лежащий на столе мяч отбрасывает эллиптическую тень, образованную сечением светового
конуса, в который вписан шар. Мяч касается стола точно в одном из фокусов эллипса.
Представим себе сферу с большим радиусом, которая вписана в тот же конус, но касается
стола снизу; тогда точка касания будет вторым фокусом эллипса. Обе сферы служат основой
знаменитого доказательства (принадлежащего Ж. Данделену, бельгийскому математику XIX
века) того, что в сечении конуса плоскостью действительно получается эллипс.
Рис.43
В резьбе по дереву используются эллиптические рамы.
Рис. 44
В дизайне в качестве логотипа
Широко используется эллипс в графическом дизайне в качестве эмблем, логотипов,
товарных знаков, например, автомобилей (Приложение 2). Эллипс символизирует
Космическое Яйцо, йони. Две его стороны олицетворяют снижение и восхождение,
инволюцию и эволюцию. Наклоненный эллипс — это динамика и напор, современность и
инновационность. По мнению дизайнеров, такая форма логотипа хорошо подходит для
предприятий новой экономики. Эллипс широко используется в логотипах автомобилей.
«Тойота» изображена в виде эллипсов. Вообще, изображение окружности говорит о достатке
и самореализации, воплощении главных целей и задач. Каждый эллипс в логотипе Тойота
несет свою смысловую нагрузку. Внешний эллипс символизирует технические возможности,
развитие технологий. Внутренние эллипсы соответственно, означают сердце продукта и
самого покупателя.
Круглый бильярдный стол
Льюис Кэрролл написал небольшую книжку о круглом бильярдном столе. В одиннадцатом
издании Британской энциклопедии в примечании к статье о бильярде написано: «В 1907 году
в Англии был для разнообразия введен овальный стол». Однако ни у этого стола, ни у
круглого стола Льюиса Кэрролла лузы не было, и только в июле 1964 года Эдвин Э.
Робинсон получил патент на круглый бильярдный стол с четырьмя лузами. Тогда же в США
появилась придуманная Артуром Фриго игра «Эллиптипул», в которой луза располагалась в
одном из фокусов. Возможны три варианта поведения шара на круглом столе. Если послать
шар без закручивания из фокуса в любом направлении, то он отразится от края и вернется во
второй фокус. Пусть движение шара ничем не замедляется, тогда, отскочив от борта, он
будет каждый раз проходить через фокус (а). Однако после нескольких отскоков траектория
шара практически совпадет с главной осью эллипса. Если шар послан не из фокуса, то он
никогда не попадет в промежуток между фокусами и будет все время двигаться по прямым,
касательным к маленькому внутреннему эллипсу с теми же фокусами (б). Если шар запущен
между фокусами, то он останется там навсегда и будет перемещаться от борта к борту,
никогда не пересекая двух гипербол, фокусы
которых совпадают с фокусами эллипса (в).
Рис.
Архитектура
Эллипс более свойствен мышлению древних римлян и художников стиля Барокко. В форме
эллипса выстроен гигантский Колизей. В архитектуре Барокко часто повторяются
эллиптические картуши, эллипсообразные подкупольные пространства.
Рис. 46
Колизей (75—80 гг. н. э.)— крупнейший амфитеатр Рима, предназначавшийся для боев
гладиаторов и других состязаний. Эллиптический в плане (размеры в главных осях около
156х188 м) и грандиозный по высоте (48,5 м), он вмещал до 50 тыс. зрителей. Колизей имел
форму удлиненного круга и стоял на 80 арках, над которыми поднимались арки меньшего
размера. 240 огромных арок в три яруса снаружи окружают колоссальный эллипс. За ним
располагались сводчатые галереи — места отдыха зрителей и бойкой торговли. На первый
взгляд, арок так много, как сот в улье, но при этом однообразия нет. Каждая арка
оказывается под другим углом и к солнцу, и к зрителю, на арки по-разному падают тени.
Они однородны, но не ординарны.
«Золотой эллипс» в архитектуре пирамид
Рис. 47
Трудно встретить человека, который не слышал бы об излучении чудодейственных
энергетических волн пирамидой Хеопса. Многие исследователи полагают, что причиной
таких свойств является архитектура пирамиды, поскольку она базируется на мерах "золотого
сечения" и "золотых" пропорций. В этой связи одни исследователи стремятся разгадать
базовый алгоритм построения "золотых" мер и пропорций пирамиды, другие - исторические
истоки знаний строителей пирамиды о "золотых" мерах, третьи ищут их проявление в
Природе и в человеческом созидательном творчестве и т.д. Например, польский
исследователь Ян Грежджельский в своей книге "Энергетично-геометрический код
природы" (1986 г.), "золотое" сечение пирамиды Хеопса трансформировал на созданную им
теоретическую гипотезу "термодинамического равновесия "эллипсоидальной" модели
распространения лучей в оптических кристаллах".. Ян Грежджельский, согласно
публикации,
описывает нижеследующий алгоритм формирования геометрической
"эллипсоидальной" модели, которой он присвоил имя
"золотой эллипс".
"Золотой эллипс формируется с помощью двух ромбов ACBD и ICJD, вписанных в эллипс".
Золотые" ромбы ACBD и ICJD состоят из 4-х прямоугольных треугольников типа OCB или
OCJ, которые являются золотыми прямоугольными треугольниками). Считается, что
именно этот прямоугольный треугольник является главной геометрической идеей пирамиды
Хеопса".
Ян Грежджельский, используя геометрические соотношения "золотого" прямоугольного
треугольника, построил оригинальную геометрическую фигуру, которая является эллипсом
по
определению
и
основана
на
"золотой
пропорции"
r=(1+v---5)/2 ." Численные отношения пространственных параметров эллипса, построенного
архитектором
пирамиды
Хеопса
и
"введенных"
Яном
Грежджельским:
Численное
отношение
длин
полуосей
(осей)
эллипса;
1,2720196
:
1,6180339
=
0,7861513;
1,6180339
:
1,2720196=1,2720196.
Численное
отношение
сторон
прямоугольного
треугольника
OCJ:
OC : CJ = 1,2720196 : 1,6180339 = 0,7861513; CJ : OJ = 2,0581708 : 1,6180339= 1,2720196.
Отношение
сторон
подобных
прямоугольных
треугольников
OCB
и
OCJ
OB/OC=OC/OJ=BC/CJ=1/1,2720196=1,2720196/1,6180339=1,6180339/2,0581708=0,7861513
По каким параметрам мы должны присваивать имя "золотой"? Эллипсу, думается, имя
"золотой" следует присваивать по числу отношения его полуосей (осей). Если оно
выражается числами "золотой" пропорции, следовательно, эллипс - "золотой". Это правило
аналогично можно перенести на отношения сторон треугольников.
Современная архитектура
Рис. 48
Жилой дом “Экологический эллипс”
Местонахождение: Токио, Япония
Архитекторы: Масаки Эндо и Масахиро Икеда
Годы строительства: 2000-е года
Рис. 49
Рис. 50
Эллиптические арки
Рис. 51
В дизайне (Приложение 3.)
А) гипсокартонных конструкций, в том числе и потолков
Б) мебели
В) межкомнатных арок
Рис. 52
Звуковые эффекты в архитектуре зданий
Оптическое свойство эллипса лежит в основе любопытного акустического эффекта,
наблюдаемого в некоторых пещерах и зданиях – речь человека, стоящего в некоторой точке,
отлично слышна в другой, существенно удаленной от нее точки. В таких случаях стены или
потолки помещений имеют форму эллипсов. Это свойство используют архитекторы для
создания поразительных звуковых эффектов: «говорящих» бюстов, «мистического» шепота,
«потусторонних» звуков.
Если источник звука находится в одном из его фокусов, то максимальная слышимость
будет в другом фокусе. Поэтому если крыша здания или его стены имеют эллипсоидальную
форму, то вне зависимости от остальной архитектуры здания два человека, находящиеся в
фокусах эллипсоида, могут прекрасно пошептаться, не обращая внимания на окружающих.
Наличие подобного «пятна» максимальной слышимости — основное отличие
эллипсоидальных галерей от круговых. В последних есть просто область слышимости.
Если у вас появится желание построить собственное шепчущее строение, то необходимо
выбрать в качестве его основания эллипс. Такая форма хороша тем, что можно поболтать с
находящимся во втором фокусе гостем, не открывая своего инкогнито и совершенно без
посторонних ушей.
Созданное таким образом строение, возможно, войдет в ряд мировых
достопримечательностей, таких как стена шепота в Китае, собор святого Петра в Риме,
скульптурный зал Капитолия, комната у входа в бар в нижнем этаже Центрального вокзала в
Нью-Йорке.
«Шепчущие галереи»
«Шепчущие галереи» — название не совсем правильное: конечно, шепчут не сами стены —
перешептываются люди около этих стен, однако устоялся именно этот термин. В мире
известно несколько таких шепчущих галерей, стен и зданий, связанных в основном с
религиозными святилищами или капищами.
Понятно, что служители соответствующих религиозных культов или управляющие этими
строениями всячески поддерживают мнение об их магической исключительности, даже —
священной таинственности, потому что это отвечает их интересам.
Подобное мнение навязывается непросвещенной публике посредством умелой, хорошо
поданной и широко распространяемой рекламы. Обычному человеку некогда задумываться о
реальных, обусловленных законами природы причинах этого таинственного явления.
Из-за нехватки времени или образования он охотно верит в то, что ему внушают. Мы все
любим тайны. Толпы туристов и просто любопытных с замиранием сердца
перешептываются в этих удивительных строениях.
Ше́пчущая галере́я (в физике употребляется термин «эффект шепчущей галереи») —
помещение, обладающее следующей особенностью: шёпот в нём хорошо распространяется
вдоль стен, но не слышен в остальной части помещения. Обычно такие помещения имеют
круглую или эллиптическую форму. В помещениях круглой формы шёпот стоящего у стены
человека будет слышен вдоль стен, но не в центре помещения. В помещениях эллиптической
формы, слова произнесенные шёпотом в одном из фокусов эллипса будут услышаны только
в другом фокусе, но не в остальном помещении, причем шёпот будет услышан, даже если
расстояние между фокусами весьма существенно. Эффект шепчущей галереи в круглых
помещениях связан с распространением вдоль стены акустической волны, испытывающей
многократное полное внутреннее отражение. При этом при замыкании волны формируется
характерная стоячая волна, прижимающаяся к стенкам галереи, получившая название моды
шепчущей галереи. Впервые эффект был исследован Рэлеем в шепчущей галерее Собора
Святого Павла в Лондоне.
Знаменитые
«комнаты
шепотов»
представляют
собой
помещения
с
эллипсоидальными потолками. Слабый звук, произнесенный в одном из фокусов, отчетливо
слышен во втором. В США наиболее известна галерея шепотов в Скульптурном зале
Капитолия, без ее посещения не обходится ни одна экскурсия. Прекрасная комната шепотов,
правда, меньшего размера, у входа в бар в нижнем этаже Центрального вокзала в НьюЙорке. Двое людей, стоящих там лицом к стене в диагонально противоположных углах
квадратной площадки, хорошо слышат друг друга, даже когда на площадке толпятся люди.
Строения, в которых можно наблюдать эффект
Памятники архитектуры
Рис. 53
 Мечеть Селимие, Турция
 Храм Гроба Господня, Иерусалим
 Тадж-Махал, Индия
 Стена шёпотов в Храме Неба, Китай
 Собор Святого Петра, Ватикан
 Санта-Мария-дель-Фьоре, Флоренция
 Собор Святого Павла, Лондон
 Арка влюблённых, Казань
 Невьянская наклонная башня, Россия г. Невьянск
 Станция «Маяковская» Московского Метрополитена[2].
 Восточная проездная арка Новгородского детинца, Великий Новгород
Другие здания
Центральный вокзал Нью-Йорка, галерея напротив бара «Устрица»
 Черновицкий национальный университет имени Юрия Федьковича — в аудиториях с
эллиптическими сводами на первом этаже корпуса на Соборной площади и в
корпусах бывшей резиденции митрополитов
 Лекционный зал в полукруглом корпусе Одесской национальной академии связи
имени Попова
 Аудитория Военно-медицинской Академии, расположенная в куполе бывшей церкви
Божией Матери «Всех скорбящих радости» при (бывшей) Обуховской больнице
Императрицы Екатерины II. Санкт-Петербург, район Витебского вокзала
 Коридоры с полукруглым потолком (например эскалаторные спуски в метро).
 Одна из келий Пафнутьево-Боровского монастыря
В литературе
Герои романа Жюля Верна «Матиас Шандор» оказываются помещенными в тюрьму
Пизинской крепости, в здание с коридором эллиптической формы, благодаря чему главный
герой, Матиас Шандор, случайно подслушивает разговор, определивший все дальнейшее
развитие сюжета:
Странное, но вполне объяснимое законами акустики явление неожиданно открыло ему
тайну, которую он уже не надеялся разгадать.
Шагая по камере, граф Шандор несколько раз останавливался в углу, около двери,
выходившей в коридор эллиптической формы, куда вели и двери других камер. Стоя в
этом углу, он услышал звуки отдалённых голосов, но слов не мог разобрать. Сперва он
не обратил на это внимания; но вдруг расслышал имя — своё собственное имя, —
тогда он насторожился.
Здесь, по видимому, происходило акустическое явление, подобное тем, какие
наблюдаются в круглых галереях под куполами или под сводами эллиптической формы.
Слова, произнесённые на одной стороне эллипса, как бы пробегают вдоль изогнутой
стены и раздаются на противоположной стороне, но их невозможно услышать ни в
какой другой точке эллипса. То же явление можно наблюдать в склепах парижского
Пантеона, в куполе собора святого Петра в Риме, а также в «Галерее вздохов»
собора святого Павла в Лондоне. В таких случаях каждое слово, даже сказанное
шёпотом в одном акустическом фокусе, можно расслышать в противоположном
фокусе.»
В природе тоже можно встретить эллипсы. Например, птицы во время выбора места
будущего гнезда делают облёт участка по кругу или эллипсу.
При радиации зона фактического заражения имеет форму эллипса и включается в зону
возможного заражения. От центра взрыва (аварии) по направлению среднего ветра проводят
ось прогнозируемых зон заражения, определяют по таблицам длину и максимальную
ширину каждой зоны заражения, отмечают их точками на карте. Через эти точки и проводят
эллипсы.
В технике
Если на двух одинаковых эллипсах нанести зубчики, то получится две шестеренки. Насадим
их на оси, отстоящие на расстояние 2а, так, чтобы эти оси проходили через фокусы
эллипсов, тогда эти шестеренки будут все время в зацеплении, но при равномерном
вращении одной оси другая будет вращаться, то быстрее, то медленнее, что часто бывает
необходимо в разных машинах и аппаратах.
В астрономии
Немецкий астроном Иоганн Кеплер, продолжатель дела Коперника, доказал, что
орбиты всех планет представляют собой вытянутые окружности – эллипсы, т.е. все тела
Солнечной системы движутся вокруг Солнца по эллипсам. По эллипсам движутся вокруг
Земли ее искусственные спутники и естественный спутник – Луна.
Рис. 54
Рис. 55
Кольца Урана и Сатурна также имеют эллиптическую форму.
Рис. 56
В 1679 году Исаак Ньютон показал, что любое тело в поле тяготения будет двигаться
по коническому сечению.
Рис. 57
С понятием эллипса в астрономии связаны и эллиптические галактики. Они составляют
примерно 25 % от общего числа галактик высокой светимости. Их принято обозначать
буквой E (англ. elliptical). Типичная Е-галактика выглядит как сфера или эллипсоид, диск в
ней практически полностью отсутствует. Эллиптические галактики, как и сферические
компоненты у галактик других типов, почти лишены межзвездного газа, а следовательно и
молодых звезд. Звезды эллиптических галактик обращаются вокруг центра галактики очень
медленно (скорость вращения обычно не превышает нескольких десятков км/с).
Рис. 58
Рис. 59
Эллиптическая галактика М32
Орбиты большинства комет – сильно вытянутые эллипсы
Рис. 60
Рис.61
Комета Галлея движется по эллиптической Комета Хейла–Боппа, 1997 год.
орбите в направлении, противоположном
направлению вращения планет.
Основные выводы:
1. Построение эллипса может быть выполнено очень точно с помощью
специальных приспособлений (Эллиптический циркуль или эллипсограф)
2. Построение может быть выполнено с помощью подручных средств (колышков,
нити, перегибами круга, с помощью полоски бумаги).
3. Существуют более современные способы построения графиков эллипса в
каноническом, параметрическом виде и в полярных координатах с помощью
онлайн-сервисов.
4. Современные программы, например, Microsoft Excell, позволяют выполнять
построение эллипсов с большой степенью точности.
5. Эллипс находит самое широкое применение в различных сферах благодаря
изяществу формы и своим свойствам: в искусстве, дизайне, архитектуре,
физике и технике, астрономии, в природе, стереометрии, географии, его
свойства описаны в художественной литературе.
6. Для закрепления навыков применения свойств эллипса и решения задач
необходимо научиться находить основные параметры эллипса. (Приложение 2.
)
7. Результаты исследования рассмотрены на заседании факультатива и на уроке
физики.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1.
Первоначально выдвинутая гипотеза о том, что форма эллипса зависит от его,
отличных от окружности, свойств нашла свое подтверждение.
2.
Методы построения эллипса различны и основаны на его свойствах.
3.
Существуют современные способы, облегчающие исследование свойств эллипса с
помощью его графиков.
4.
Результаты онлайн-опроса о свойствах эллипса значительно улучшились после
проведения цикла занятий факультатива.
5.
Материалы работы имеют практическую значимость, так как существенно расширяют
наши представления о кривых второго порядка, свойствах эллипса.
6.
Используемые теоретические и эмпирические методы привели к положительному
результату – всестороннему исследованию эллипса и его свойств.
7.
Работа может быть продолжена в направлении исследования неизвестных свойств
других линий второго порядка - параболы и гиперболы.
Список источников информации и иллюстраций:
Литература:
1. Савелов А.А. Плоские кривые. – М.: ГИФ-МЛ, 1960
2. Гильберт Д., Кон-Фостен С. Наглядная геометрия. – М.: Наука, 1981.
3. Моденов П.С. Аналитическая геометрия М.: Наука, 1969
4. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика, 1989
5. Математический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1988
6. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. – М.: – наука, 1978 .
Сайты в Интернете:
1.Сергиенко П.Я. Алгоритм построения "золотых" мер и пропорций пирамиды
Хеопса http://www.a3d.ru/architecture/stat/192
2.http://ru.wikipedia.org/wiki/%D8%E5%EF%F7%F3%F9%E0%FF_
%E3%E0%EB%E5%F0%E5%FF Шепчущая галерея
3.Сергей Сухинин Эффект шепчущей галереи«Наука из первых рук» №3, май 2006
4.Опрос: http://onlinetestpad.com/ru-ru/Survey/Neizvestnye-svojstva-izvestnoj-linii733/Default.aspx
5. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1%81
Иллюстрации:
1. фотографии из личного архива
2. http://go.mail.ru/search_images?q=%D1%8D%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1
%81%20#urlhash=3146374544094866387 эллипс
3. http://go.mail.ru/search_images?q=%D1%8D%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1
%81%20#urlhash=4690859747267385934 эллипс
4. http://go.mail.ru/search_images?q=%D1%8D%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1
%81%20#urlhash=1466798695905399680 эллипс
5. http://go.mail.ru/search_images?q=%D1%8D%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1
%81%20#urlhash=3114484793865000879 эллипс
6. http://go.mail.ru/search_images?q=%D1%8D%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1
%81%20#urlhash=9120129139768545393 эллипсограф
7. http://go.mail.ru/search_images?q=%D1%8D%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1
%81%20#urlhash=202317589230089743 дверь
8. http://go.mail.ru/search_images?q=%D1%8D%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1
%81%20#urlhash=3436448850585820503 арка
9. http://go.mail.ru/search_images?q=%D1%8D%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1
%81%20#urlhash=1998568084262844575 столик
10. http://go.mail.ru/search_images?q=%D1%8D%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1
%81%20#urlhash=4382632726071710668 столик
11. http://go.mail.ru/search_images?q=%D1%8D%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1
%81%D0%BE%D0%B8%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B5+%D0%B3%D0%B0%D
0%BB%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8#urlhash=78761379209
08300186 эллипсоидные галактики
12. http://www.diary.ru/~nezhna4you/?tag=15149 шепчущие галереи
13. http://go.mail.ru/search_images?q=%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D1%87%D0
%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5+%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D
1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE+%D1%8D%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%
D1%81%D0%B0#urlhash=6433223791331540189 оптическое свойство
14. http://go.mail.ru/search_images?q=+%D1%8D%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D
1%81#urlhash=2587089117466704432 сечения
Приложение 1.
Опрос «Неизвестные свойства известной линии»
http://onlinetestpad.com/ru-ru/Survey/Neizvestnye-svojstva-izvestnoj-linii-733/Default.aspx
Приложение 2 . Задания на нахождение основных параметров эллипса .
1.
Постройте кривую
Найдите фокусы и эксцентриситет.
Решение. Разделим обе части уравнения на 36. Получаем уравнение
Это -- каноническое уравнение эллипса,
,
. Делаем чертеж
Рис. Эллипс, заданный уравнением
Находим
.
,
Фокусы --
,
,
эксцентриситет
2. Нарисуйте эллипс
. Найдите его фокусы и эксцентриситет.
Решение. Уравнение запишем в виде
(12.7)
Это -- каноническое уравнение эллипса при
Эллипс, заданный уравнением
,
. Делаем чертеж
находим
. Значит, фокусы в системе координат
,
, а в системе координат
Эксцентриситет равен
-- координаты
имеют координаты
,
.
3. Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что его полуоси a = 6, b = 4;
Решение.
Простейшее уравнение эллипса имеет вид
получим
. Подставляя сюда a = 6, b = 4,
4. Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что расстояние между
фокусами 2c = 10, а большая полуось 2a = 16;
Решение: Имеем 2c = 10; c = 5; 2a = 16; a = 8.
Чтобы написать уравнение эллипса, следует найти малую полуось b. Между
величинами a, b и c у эллипса существует зависимость a2 - b2 = c2, или b2 = a2 - c2. В
нашем случае b2 = 64 - 25 = 39, и уравнение эллипса будет иметь вид
5. Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что большая полуось a = 12, а
эксцентриситет
e
=
0,5;
Решение: a = 12; e = 0,5; известно, что
определения получаем уравнение
; в этой формуле неизвестно c. Для его
отсюда c = 6.
Теперь, зная, что a = 12, c = 6, пользуясь отношением a2 - c2 = b2, найдем, что b2 = 144
- 36 = 108; a2 = 144.
Уравнение будет
.
6. Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что малая полуось b = 8, а
эксцентриситет
e
=
0,6;
.
Решение: b = 8; e = 0,6;
, отсюда
. Напишем соотношение a2 2
2
2
c = b и подставим в него c = 0,6a; b = 8. Получим a = 0,36a2 = 64; 0,64a2 = 64; a2 =
100.
Уравнение эллипса будет иметь вид
7. Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что сумма полуосей a + b = 12,
а расстояние между фокусами
Решение: a + b = 12,
.
.
Для определения уравнения эллипса надо знать a и b. Нам известно, что
= 18; a2 - b2 = c2.
; c2
Поэтому (a + b)(a - b) = 18. Подставляя сюда a + b = 12, найдем, что a - b = 1,5.
Решая систему уравнений
получим, что a = 6,75, b = 5,25. Уравнение эллипса запишется в виде
8. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 4x2 + 9y2 =
144.
Решение: Преобразуем это уравнение к простейшему виду
обе части заданного уравнения на 144, получим
. Разделив
.
Отсюда заключаем, что a2 = 36, b2 = 16. Значит, a = 6, 2a = 12; b = 4, 2b = 8. Зная a и
b, из соотношения a2 - c2 = b2 найдем c. Подставим a = 6; b = 4 и получим, что
Координаты фокусов будут
и
. Эксцентриситет эллипса
.