Движение плоского слоя жидкости со свободной границей под

Движение плоского слоя жидкости со свободной границей под действием
термоконцентрационных сил.
Собачкина Н. Л.
1. Постановка задачи
Рассматривается осесимметрическое движение бинарной смеси.
Пусть
- компоненты вектора скорости,
,
- давление,
-
температура,
- концентрация смеси, находящейся в условиях полной
невесомости. Процесс описывается системой уравнений термодиффузии [5]. Решение
задачи будем искать в виде:
(1)
,
,
,
,
Эти решения являются частично-инвариантными относительно четырехпараметрической
подгруппы, порожденной операторами
,
,
,
[2].
Подстановка решения в систему уравнений термодиффузии и отделение переменной r
приводит к системе:
(2)
,
(3)
,
(4)
,
,
(5)
,
(6)
(7)
,
(8)
,
которую требуется решить при t> 0, 0< z <
плотность,
- кинематическая вязкость,
коэффициенты диффузии и Соре.
, где z =
- свободная граница. Здесь
- температуропроводность,
-
-
Будем считать, что коэффициент поверхностного натяжения смеси линейно зависит от
температуры и концентрации:
некоторые постоянные.
Краевые условия на неизвестной свободной границе z =
[1]:
,
, где
-
для системы (2)-(8) имеют вид
(9)
(10)
,
(11)
,
,
(12)
,
(13)
,
(14)
,
(15)
где
- давление и температура окружающего газа,
теплопроводности теплообмена, Q – заданный поток тепла.
- коэффициенты
Таким образом, соотношение (9) – кинематическое условие, (10) и (11) – динамические
условия, (12) и (13) – теплообмен с окружающим смесь газом, (14) и (15) – условия
отсутствия потока массы через свободную границу.
Предположим, что
являются четными, а w - нечетной функцией переменной
z. Тогда поверхность z = можно принять за вторую свободную границу, и к (9)-(15)
следует добавить условия симметрии:
(16)
при
Начальные условия:
(17)
2.Точное решение
Пусть в сформулированной выше задаче (2)-(17) функция u зависит только от времени t:
, тогда из уравнения неразрывности (4) найдем
уравнения (2) :
, где
. Из
. Подставляя в граничное условие (9), получим уравнение на
, которое легко интегрируется:
Из уравнений (3) и (10) находим давление:
Нетрудно увидеть, что
Таким образом, решение имеет вид:
.
,
,
,
,
,
(18)
,
Пусть теперь
. Функции
по методу Фурье решения краевых задач [3]:
определяются
,
(19)
,
(20)
Здесь
,
3.Численный расчет.
Можно видеть, что уравнения (2), (4), (5), (7) независимы от остальных. Они образуют
замкнутую начально-краевую задачу для определения функций u(z,t), w(z,t), a(z,t), h(z,t) и
l(t). После ее решения функция P(z,t) однозначно восстанавливается из (3) и (10). При этом
Pz = 0 при z = 0выполняется автоматически. Если a(z,t), h(z,t) и l(t) известны, то функции
b(z,t), g(z,t) определяются единственным образом как решения вторых краевых задач (5),
(13), (16), (17) и (8), (15), (16), (17) для линейных параболических уравнений. Сведем
задачу к отысканию только функций u(z,t),a(z,t), h(z,t) и l(t). Для этого проинтегрируем
уравнение (4) с учетом w(0,t) = 0 и исключим функцию w в уравнениях (2), (5), (7). В
полученной системе введем безразмерные переменные и функции равенствами:
(21)
,
,
,
,
,
где T0 – характерная температура, С0 – характерная концентрация.
,
Получим задачу в фиксированной области 0 < y < 1:
(22)
(23)
(24)
В (22)-(24) введены обозначения:
- число Пеле,
- число Соре,
- число Прандтля.
На свободной границе y = 1 выполнены условия:
(25)
,
(26)
,
(27)
,
(28)
где
- число Био,
- тепловое число Марангони,
концентрационное число Марангони.
-
Начальные условия при
(29)
,
,
При z = 0 выполнены условия симметрии:
(30)
Ay = Uy = Hy = 0
Решение задачи (22)-(30) определялось методом Галеркина. В качестве базисных функций
были взяты полиномы Лагранжа [4]. Причем, как следует из условий симметрии,
достаточно ограничиться четными полиномами, Pr m( y) = 0, m = 0,1,…
Приближенное решение ищется в виде:
(31)
(32)
(33)
При этом положение свободной границы определяется для любых n из уравнения:
(34)
Функции
приближений:
находятся из системы галеркинских
,
,
,
(35)
,
,
Систему (34), (35) можно преобразовывать к системе ОДУ первого порядка относительно 3
n+1 неизвестной функции
Можно показать, что решение (18) является точным решением галеркинских приближений
для любого n . В безразмерных переменных оно имеет вид:
(36)
Расчеты задачи Коши для системы 3 n+1 уравнений проводились методом Рунге-Кутта
четвертого порядка точности для n = 2 и n = 3 в галеркинских приближениях. А так же
задача была решена конечно-разностным методом. Результаты расчетов совпадают с
точностью до пятого знака.
Если начальные значения компоненты температуры и концентрации равны нулю, то
температура и концентрация равны нулю, а компонента скорости и граница
монотонно убывают.
Здесь точно воспроизводится текстовое решение.
Пусть Agas = 0, начальные значения компоненты температуры и концентрации не равны
нулю. Тогда толщина слоя, как и компонента скорости, уменьшаются. При переходе через
нуль скорость меняет знак – жидкость меняет направление движения, начинает притекать
вдоль поверхности к центру. Это объясняется тем, что поверхность натяжения сначала
уменьшается, и жидкость оттекает от центра, потом увеличивается, и жидкость снова
начинает притекать. Толщина слоя увеличивается. Концентрация растет. При этом,
минимальные значения толщины слоя и концентрации наблюдаются при смене скорости.
Пусть
, начальные значения компоненты температуры и концентрации не равны
нулю. Тогда скорость сначала уменьшается, затем увеличивается и стремится к
бесконечности. Толщина слоя уменьшается и стремится к нулю.
Если
, то граница
уменьшается и стремится к нулю.
Если
, то граница сначала убывает, а затем возрастает и выходит на
стационарное значение.
Рассматривалось влияние входящих в систему параметров на движение слоя. При
увеличении числа Био, теплового числа Марангони и Соре интенсивность течения
увеличивается. С ростом значений концентрационного числа Марангони, Прандтля и Пеле
– уменьшается.