Прогиб свободно-опертой балки прямоугольного сечения при

Прогиб свободно-опертой балки прямоугольного сечения при равномернораспределенной нагрузке
Исходные данные:
Площадь напрягаемой наиболее растянутой продольной арматуры:
- Площадь напрягаемой арматуры в растянутой зоне
Asp = 4 см2 = 4 / 10000 = 0,0004 м2;
Площадь напрягаемой сжатой или наименее растянутой продольной арматуры:
- Площадь напрягаемой арматуры в сжатой зоне
A'sp = 4 см2 = 4 / 10000 = 0,0004 м2;
Преднапряжение:
- Предварительное натяжение арматуры (без учета потерь) ssp = 500 МПа;
- Расстояние между гранями упоров l = 300 см = 300 / 100 = 3 м;
- Деформация анкеров Dl = 0,2 см = 0,2 / 100 = 0,002 м;
- Температурный перепад Dt = 65 °C;
- Потери от неодновременности натяжения арматуры Dssp3 = 30 МПа;
Защитный слой:
- Расстояние от центра тяжести растянутой арматуры до грани элемента
as = 3 см = 3 / 100 = 0,03 м;
- Расстояние от центра тяжести сжатой арматуры до грани элемента
a's = 3 см = 3 / 100 = 0,03 м;
- Расстояние от центра тяжести растянутой напрягаемой арматуры до грани элемента
ap = 3 см = 3 / 100 = 0,03 м;
- Расстояние от центра тяжести сжатой напрягаемой арматуры до грани элемента
a'p = 3 см = 3 / 100 = 0,03 м;
Параметры расчета по деформационной модели:
- Максимальное количество этапов решения kmax = 10 ;
- Количество участков в сечении бетона nh = 6 ;
- Точность решения d = 3 %;
Усилия:
- Продольная сила N = 1 тс = 1 / 101,97162123 = 0,009807 МН;
Размеры элемента:
- Длина элемента l = 600 см = 600 / 100 = 6 м;
Предельный прогиб:
- Величина обратная к предельному значению относительного прогиба 1/[f/L] kf = 200 ;
Размеры сечения:
- Высота сечения h = 40 см = 40 / 100 = 0,4 м;
- Ширина прямоугольного сечения b = 20 см = 20 / 100 = 0,2 м;
Площадь ненапрягаемой наиболее растянутой продольной арматуры:
- Площадь растянутой арматуры As = 4 см2 = 4 / 10000 = 0,0004 м2;
Площадь ненапрягаемой сжатой или наименее растянутой продольной арматуры:
- Площадь сжатой арматуры A's = 4 см2 = 4 / 10000 = 0,0004 м2;
Нормативная нагрузка:
- Постоянная и временная длительная нормативная равномерно-распределенная нагрузка
ql, n = 2 тс/м = 2 / 101,97162123 = 0,019613 МН/м;
- Полная нормативная равномерно-распределенная нагрузка
qn = 2 тс/м = 2 / 101,97162123 = 0,019613 МН/м;
Результаты расчета:
Прогиб элемента прямоугольного сечения при равномерно-распределенной нагрузке
Расчетная схема - свободно-опертая балка.
Коэффициент, зависящий от расчетной схемы элемента и вида нагрузки:
S=0,1042 .
Изгибающий момент от полной нормативной нагрузки:
M = qn l2/8=0,019613 · 62/8 = 0,08826 МН м .
Изгибающий момент от постоянной и длительной нормативной нагрузки:
Ml = ql, n l2/8=0,019613 · 62/8 = 0,08826 МН м .
Определение кривизны при прогибе железобетонного элемента
Класс бетона - B30.
Нормативное значение сопротивления бетона осевому сжатию для предельных состояний первой
группы принимается по табл. 1 Rbn = 22 МПа .
Нормативное значение сопротивления бетона осевому растяжению для предельных состояний первой
группы принимается по табл. 1 Rbtn = 1,75 МПа .
Расчетное значение сопротивления бетона осевому сжатию для предельных состояний второй группы:
Rb, ser = Rbn =22 МПа (формула (1); п. 2.1.2 ).
Расчетное значение сопротивления бетона осевому растяжению для предельных состояний второй
группы:
Rbt, ser = Rbtn =1,75 МПа (формула (2); п. 2.1.2 ).
Предельные относительные деформации бетона при сжатии:
ebo=0,002 .
Предельные относительные деформации бетона при растяжении:
ebto=0,0001 .
Относительная влажность воздуха окружающей среды - 40 - 75%.
Коэффициент ползучести принимается по табл. 5 fb, cr = 2,3 .
Класс ненапрягаемой продольной арматуры - A400.
Нормативное значение сопротивления ненапрягаемой арматуры осевому растяжению:
Rs, n=400 МПа .
Класс напрягаемой арматуры - A800.
Нормативное значение сопротивления напрягаемой арматуры осевому растяжению:
Rsp, n=800 МПа .
Значение модуля упругости арматуры
Модуль упругости арматуры:
Es=200000 МПа .
Модуль упругости арматуры:
Esp=200000 МПа .
eso = Rs, n/Es=400/200000 = 0,002 .
ssp1 = 0,9 Rsp, n=0,9 · 800 = 720 МПа .
es2=0,025 .
esp2=0,015 .
es, ult = es2 =0,025 .
esp, ult = esp2 =0,015 .
Площадь сечения бетона сжатой зоны:
Ab = b h=0,2 · 0,4 = 0,08 м2 .
Площадь участка сечения бетона:
Abi = Ab/nh=0,08/6 = 0,013333 м2 .
Предварительное натяжение напрягаемой арматуры S':
s'sp = ssp =500 МПа .
nh r 10 (60% от предельного значения) - условие выполнено .
nh t 1 (600% от предельного значения) - условие выполнено .
Zbi = h · (0,5-(i-0,5)/nh)
Zb2i = Zbi2
Задание величины предварительного напряжения арматуры
ssp=500 МПа r 0,9 Rsp, n=0,9 · 800=720 МПа (69,444444% от предельного значения) - условие
выполнено .
Определение потерь от релаксаций напряжений в арматуре.
Способ натяжения арматуры - механический.
Потери от релаксации напряженний арматуры:
Dssp1 = 0,1 ssp=0,1 · 500 = 50 МПа (формула (17); п. 2.2.3.3 ).
Определение потерь от температурного перепада
Потери от температурного перепада:
Dssp2=0 МПа .
Потери от деформации анкеров
Потери от деформации анкеров натяжных устройств:
Dssp4 = (Dl/l) Esp=(0,002/3) · 200000 = 133,333333 МПа (формула (23); п. 2.2.3.6 ).
Первые потери предварительного напряжения арматуры:
Dssp[1] = Dssp1+Dssp2+Dssp3+Dssp4 =
=50+0+30+133,3333 = 213,3333 МПа (формула (26); п. 4.3.4.1 ).
Определение потерь от усадки бетона
Деформации усадки бетона:
eb, sh=0,0002 .
Потери от усадки бетона:
Dssp5 = eb, sh Esp=0,0002 · 200000 = 40 МПа (формула (24); п. 2.2.3.7 ).
Продолжение расчета по п. 4.3.3.2
I. Проверка условия образования трещин при непродолжительном действии полной
нагрузки
Вид нагрузки - постоянная и длительная.
Т.к. кратковременная нагрузка отсутствует (1/r)1 и (1/r)2 - определять не требуется.
II. Определение кривизны от продолжительного действия постоянных и временных
длительных нагрузок
Изгибающий момент от постоянной и длительной нормативной нагрузки:
Ml = M =0,08826 МН м .
Нормальная сила от постоянной и длительной нормативной нагрузки:
Nl = N =0,009807 МН .
Действие постоянных и временных длительных нагрузок
Элемент - изгибаемый.
Изгибающий момент:
M = Ml =0,08826 МН м .
Коэффициент условия работы бетона, учитывающий длительность действия нагрузки:
gb1=0,9 .
Конструкция бетонируется - в горизонтальном положении.
Коэффициент условия работы бетона, учитывающий попеременное замораживание и оттаивание
бетона:
gb3=1 .
Коэффициент условия работы бетона, учитывающий характер разрушения бетонных конструкций:
gb4=1 .
Нормативное значение сопротивления бетона осевому сжатию для предельных состояний первой
группы:
Rbn = gb1 gb3 gb4 Rbn =0,9 · 1 · 1 · 22 = 19,8 МПа .
Нормативное значение сопротивления бетона осевому растяжению для предельных состояний первой
группы:
Rbtn = gb1 Rbtn =0,9 · 1,75 = 1,575 МПа .
Начальный модуль упругости принимается по табл. 4 Eb = 32500 МПа .
Начальный модуль упругости, принимаемый при продолжительном действии нагрузки:
Eb, t = Eb/(1+fb, cr)=32500/(1+2,3) = 9848,484848 МПа (формула (3); п. 2.1.2 ).
sb1 = 0,6 Rbn=0,6 · 19,8 = 11,88 МПа .
eb1 = sb1/Eb=11,88/9848,484 = 0,001206 .
Относительная деформация бетона принимается по табл. 6 eb2 = 0,0048 .
sbt1 = 0,6 Rbtn=0,6 · 1,575 = 0,945 МПа .
Модуль упругости бетона при растяжении:
Ebt = Eb =9848,484 МПа .
ebt1 = sbt1/Ebt=0,945/9848,484 = 0,000096 .
По табл. 6 ebt2 = 0,00031 .
Расчетное сопротивление продольной арматуры сжатию:
Rsc=355 МПа .
Расчетное сопротивление продольной арматуры сжатию:
Rspc=500 МПа .
Вторые потери предварительного напряжения арматуры:
Dssp[2] = Dssp[1]+Dssp5+Dssp6=213,3333+40+0 = 253,3333 МПа .
sspj = ssp-Dssp[2]=500-253,3333 = 246,6667 МПа .
espj = sspj/Esp=246,6667/200000 = 0,001233 .
s'spj = ssp-Dssp[2]=500-253,3333 = 246,6667 МПа .
e'spj = s'spj/Esp=246,6667/200000 = 0,001233 .
Коэффициент приведения арматуры к бетону:
a = Esp/Eb=200000/9848,484 = 20,307694 .
Относительная деформация сжатого бетона при sb=Rb:
eb, ult = eb2 =0,0048 .
Этап решения 1
D11b = S [Eb Abi Zb2i vi] (i=1-6) = (9848,484·0,013333·0,027778·1) + (9848,484·0,013333·0,01·1) +
(9848,484·0,013333·0,001111·1) + (9848,484·0,013333·0,001111·1) + (9848,484·0,013333·0,01·1) +
(9848,484·0,013333·0,027778·1) = 10,21299 МН · м2.
D13b = S [Eb Abi Zbi vi] (i=1-6) = (9848,484·0,013333·0,166667·1) + (9848,484·0,013333·0,1·1) +
(9848,484·0,013333·0,033333·1) + (9848,484·0,013333·-0,033333·1) + (9848,484·0,013333·-0,1·1) +
(9848,484·0,013333·-0,166667·1) = 0 МН · м.
D33b = S [Eb Abi vi] (i=1-6) = (9848,484·0,013333·1) + (9848,484·0,013333·1) + (9848,484·0,013333·1) +
(9848,484·0,013333·1) + (9848,484·0,013333·1) + (9848,484·0,013333·1) = 787,859 МН.
Zs = h/2-as=0,4/2-0,03 = 0,17 м .
Z's = -h/2+a's=-0,4/2+0,03 = -0,17 м .
Zsp = h/2-ap=0,4/2-0,03 = 0,17 м .
Z'sp = -h/2+a'p=-0,4/2+0,03 = -0,17 м .
D11 = D11b+Es (As Zs2 vs/ys, j+A's Z's2 v's/y's, j)+Esp (Asp Zsp2 vsp/ysp, j+Asp Z'sp2 v'sp/y'sp, j) =
=10,21299+200000 · (0,0004 · 0,172 · 1/1+0,0004 · -0,172 · 1/1)+200000 · (0,0004 · 0,172 · 1/1+0,0004 · -0,172 · 1/1)
= 19,46099 МН м2 .
D13 = D13b+Es (As Zs vs/ys, j+A's Z's v's/y's, j)+Esp (Asp Zsp vsp/ysp, j+Asp Z'sp v'sp/y'sp, j) =
=0+200000 · (0,0004 · 0,17 · 1/1+0,0004 · -0,17 · 1/1)+200000 · (0,0004 · 0,17 · 1/1+0,0004 · -0,17 · 1/1) = 0 МН м .
D33 = D33b+Es (As vs/ys, j+A's v's/y's, j)+Esp (Asp vsp/ysp, j+A'sp v'sp/y'sp, j) =
=787,859+200000 · (0,0004 · 1/1+0,0004 · 1/1)+200000 · (0,0004 · 1/1+0,0004 · 1/1) = 1107,859 МН .
D13p = Esp (Asp Zsp espj vsp+Asp Z'sp e'spj v'sp) =
=200000 · (0,0004 · 0,17 · 0,001233 · 1+0,0004 · -0,17 · 0,001233 · 1) = 6,979336E-20 .
D33p = Esp (Asp espj vsp+A'sp e'spj v'sp) =
=200000 · (0,0004 · 0,001233 · 1+0,0004 · 0,001233 · 1) = 0,19728 .
Момент инерции приведенного поперечного сечения:
Ired = D11 =19,46099 м4 .
Площадь приведенного поперечного сечения:
Ared = D33 =1107,859 м2 .
Т.к. k = 1 :
Изгибающий момент, воспринимаемый нормальным сечением элемента при образовании трещин:
Mcrc = D13 ebt2+D13p-(D33 ebt2+D33p) (D11-D13 h/2)/(D13-D33 h/2) =
=0 · 0,00031+6,979336E-20-(1107,859 · 0,00031+0,19728) · (19,46099-0 · 0,4/2)/(0-1107,859 · 0,4/2) = 0,047492 МН
м.
D = D11 D33-D132=19,46099 · 1107,859-02 = 21560,03292 МН2 м2 .
D1 = D33 (Mcrc-D13p)+D13 D33p =
=1107,859 · (0,047492-6,979336E-20)+0 · 0,19728 = 52,61444 МН2 м2 .
D2 = -D11 D33p-D13 (Mcrc-D13p) =
=-19,46099 · 0,19728-0 · (0,047492-6,979336E-20) = -3,839264 МН2 м2 .
(1/r)crc = D1/D=52,61444/21560,03 = 0,00244 м (-1) .
eo, crc = D2/D=-3,839264/21560,03 = -0,000178 .
es, crc = eo, crc+(1/r)crc Zs=-0,000178+0,00244 · 0,17 = 0,000237 .
e's, crc = eo, crc+(1/r)crc Z's=-0,000178+0,00244 · -0,17 = -0,000593 .
esp, crc = eo, crc+(1/r)crc Zsp=-0,000178+0,00244 · 0,17 = 0,000237 .
e'sp, crc = eo, crc+(1/r)crc Z'sp=-0,000178+0,00244 · -0,17 = -0,000593 .
D = D11 D33-D132=19,46099 · 1107,859-02 = 21560,03292 МН2 м2 .
D1 = D33 (M-D13p)+D13 D33p=1107,859 · (0,08826-6,979336E-20)+0 · 0,19728 = 97,779635 МН2 м2 .
D2 = -D11 D33p-D13 (M-D13p) =
=-19,46099 · 0,19728-0 · (0,08826-6,979336E-20) = -3,839264 МН2 м2 .
Полная кривизна:
(1/r) = D1/D=97,77963/21560,03 = 0,004535 м (-1) .
eo = D2/D=-3,839264/21560,03 = -0,000178 .
es = eo+(1/r) Zs=-0,000178+0,004535 · 0,17 = 0,000593 .
esi = es =0,000593 .
Т.к. esi=0,000593 > -eso=-0,002=-0,002 и esi=0,000593 r eso=0,002 :
ssi = Es esi=200000 · 0,000593 = 118,6 МПа .
Напряжения в продольной растянутой арматуре:
ss = ssi =118,6 МПа .
e's = eo+(1/r) Z's=-0,000178+0,004535 · -0,17 = -0,000949 .
esi = e's =-0,000949 .
Т.к. esi=-0,000949 > -eso=-0,002=-0,002 и esi=-0,000949 r eso=0,002 :
ssi = Es esi=200000 · -0,000949 = -189,8 МПа .
s's = ssi =-189,8 МПа .
esp = eo+(1/r) Zsp=-0,000178+0,004535 · 0,17 = 0,000593 .
esi = esp =0,000593 .
esp1 = 0,9 Rsp, n/Esp=0,9 · 800/200000 = 0,0036 .
esp2=0,015 .
espo = Rsp, n/Esp+0,002=800/200000+0,002 = 0,006 .
Т.к. esi=0,000593 t 0 и esi=0,000593 < esp1=0,0036 :
ssi = esi Esp=0,000593 · 200000 = 118,6 МПа .
Предварительное натяжение в рассматриваемой арматуре без учета потерь:
ssp = ssi =118,6 МПа .
e'sp = eo+(1/r) Z'sp=-0,000178+0,004535 · -0,17 = -0,000949 .
esi = e'sp =-0,000949 .
esp1 = 0,9 Rsp, n/Esp=0,9 · 800/200000 = 0,0036 .
esp2=0,015 .
espo = Rsp, n/Esp+0,002=800/200000+0,002 = 0,006 .
Т.к. esi < 0 :
ssi = esi Esp=-0,000949 · 200000 = -189,8 МПа (формула (15); п. 2.2.2.8 ).
s'sp = ssi =-189,8 МПа .
ys, j = 1/(1+0,8 es, crc/es)=1/(1+0,8 · 0,000237/0,000593) = 0,757731 .
y's, j = 1/(1+0,8 e's, crc/e's) =
=1/(1+0,8 · -0,000593/-0,000949) = 0,666714 .
ysp, j = 1/(1+0,8 esp, crc/esp)=1/(1+0,8 · 0,000237/0,000593) = 0,757731 .
y'sp, j = 1/(1+0,8 e'sp, crc/e'sp) =
=1/(1+0,8 · -0,000593/-0,000949) = 0,666714 .
vs = ss/(Es es/ys, j)=118,6/(200000 · 0,000593/0,757731) = 0,757731 .
v's = s's/(Es e's/y'sp, j) =
=-189,8/(200000 · -0,000949/0,666714) = 0,666714 .
vsp = ssp/(Esp (esp/ysp, j+espj)) =
=118,6/(200000 · (0,000593/0,757731+0,001233)) = 0,294205 .
v'sp = s'sp/(Esp (e'sp/y'sp, j+e'spj)) =
=-189,8/(200000 · (-0,000949/0,666714+0,001233)) = 4,984271 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = esp =0,000593 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,000593 > ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi=0 МПа .
sbsp = sbi =0 .
Коэффициент армирования:
mspj = Asp/Ab=0,0004/0,08 = 0,005 .
Расстояние между центрами тяжести сечения рассматриваемой группы стержней арматуры и
приведенного поперечного сечения элемента:
ysj = Zsp =0,17 м .
sbpj = sbsp =0 .
Потери от ползучести бетона:
Dssp6 = 0,8 a fb, cr abs(sbpj)/(1+a mspj (1+ysj2 Ared/Ired) (1+0,8 fb, cr)) =
=0,8 · 20,30769 · 2,3 · abs(0)/(1+20,30769 · 0,005 · (1+0,17 2 · 1107,859/19,46099) · (1+0,8 · 2,3)) = 0 МПа (формула
(25); п. 2.2.3.8 ).
Вторые потери предварительного напряжения арматуры:
Dssp[2] = Dssp[1]+Dssp5+Dssp6=213,3333+40+0 = 253,3333 МПа .
sspj = ssp-Dssp[2]=500-253,3333 = 246,6667 МПа .
espj = sspj/Esp=246,6667/200000 = 0,001233 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = e'sp =-0,000949 .
Т.к. ebi r 0; ebi=-0,000949 < eb1=0,001206 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Eb ebi=9848,484 · -0,000949 = -9,346211 МПа .
s'bsp = sbi =-9,346211 МПа .
Коэффициент армирования:
mspj = A'sp/Ab=0,0004/0,08 = 0,005 .
Расстояние между центрами тяжести сечения рассматриваемой группы стержней арматуры и
приведенного поперечного сечения элемента:
ysj = Z'sp =-0,17 м .
sbpj = s'bsp =-9,346211 .
Потери от ползучести бетона:
Dssp6 = 0,8 a fb, cr abs(sbpj)/(1+a mspj (1+ysj2 Ared/Ired) (1+0,8 fb, cr)) =
=0,8 · 20,30769 · 2,3 · abs(-9,346211)/(1+20,30769 · 0,005 · (1+-0,172 · 1107,859/19,46099) · (1+0,8 · 2,3)) =
198,112859 МПа (формула (25); п. 2.2.3.8 ).
Вторые потери предварительного напряжения арматуры:
Dssp[2] = Dssp[1]+Dssp5+Dssp6=213,3333+40+198,1129 = 451,4462 МПа .
s'spj = s'sp-Dssp[2]=500-451,4462 = 48,5538 МПа .
e'spj = s'spj/Esp=48,5538/200000 = 0,000243 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb1=-0,000178+0,004535 · 0,166667 = 0,000578 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,000578 > ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi=0 МПа .
v1=0 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb2=-0,000178+0,004535 · 0,1 = 0,000276 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,000276 > ebto=0,0001 и ebi=0,000276 r ebt2=0,00031 :
Группа предельных состояний - вторая.
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Rbtn =1,575 МПа .
v2 = sbi/(Eb ebi)=1,575/(9848,484 · 0,000276) = 0,579431 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb3=-0,000178+0,004535 · 0,033333 = -0,000026833 .
Т.к. ebi r 0; ebi=-0,000026833 < eb1=0,001206 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Eb ebi=9848,484 · -0,000026833 = -0,264264 МПа .
v3 = sbi/(Eb ebi)=-0,264264/(9848,484 · -0,000026833) = 0,999999 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb4=-0,000178+0,004535 · -0,033333 = -0,000329 .
Т.к. ebi r 0; ebi=-0,000329 < eb1=0,001206 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Eb ebi=9848,484 · -0,000329 = -3,240151 МПа .
v4 = sbi/(Eb ebi)=-3,240151/(9848,484 · -0,000329) = 1,0 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb5=-0,000178+0,004535 · -0,1 = -0,000632 .
Т.к. ebi r 0; ebi=-0,000632 < eb1=0,001206 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Eb ebi=9848,484 · -0,000632 = -6,224242 МПа .
v5 = sbi/(Eb ebi)=-6,224242/(9848,484 · -0,000632) = 1,0 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb6=-0,000178+0,004535 · -0,166667 = -0,000934 .
Т.к. ebi r 0; ebi=-0,000934 < eb1=0,001206 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Eb ebi=9848,484 · -0,000934 = -9,198484 МПа .
v6 = sbi/(Eb ebi)=-9,198484/(9848,484 · -0,000934) = 1,0 .
MAX(ABS(es);ABS(e's))=max(abs(0,000593);abs(-0,000949))=0,000949 r es, ult=0,025 (3,796% от
предельного значения) - условие выполнено .
MAX(ABS(esp);ABS(e'sp))=max(abs(0,000593);abs(-0,000949))=0,000949 r esp, ult=0,015 (6,326667% от
предельного значения) - условие выполнено .
eb, max = abs(eo+(1/r) h/2)=abs(-0,000178+0,004535 · 0,4/2) = 0,000729 .
eb, max=0,000729 r eb, ult=0,0048 (15,1875% от предельного значения) - условие выполнено .
Этап решения 2
D11b = S [Eb Abi Zb2i vi] (i=1-6) = (9848,484·0,013333·0,027778·0) + (9848,484·0,013333·0,01·0,579431) +
(9848,484·0,013333·0,001111·0,999999) + (9848,484·0,013333·0,001111·1) + (9848,484·0,013333·0,01·1) +
(9848,484·0,013333·0,027778·1) = 6,013244 МН · м2.
D13b = S [Eb Abi Zbi vi] (i=1-6) = (9848,484·0,013333·0,166667·0) + (9848,484·0,013333·0,1·0,579431) +
(9848,484·0,013333·0,033333·0,999999) + (9848,484·0,013333·-0,033333·1) + (9848,484·0,013333·-0,1·1) +
(9848,484·0,013333·-0,166667·1) = -27,40746 МН · м.
D33b = S [Eb Abi vi] (i=1-6) = (9848,484·0,013333·0) + (9848,484·0,013333·0,579431) +
(9848,484·0,013333·0,999999) + (9848,484·0,013333·1) + (9848,484·0,013333·1) + (9848,484·0,013333·1) =
601,3242 МН.
Zs = h/2-as=0,4/2-0,03 = 0,17 м .
Z's = -h/2+a's=-0,4/2+0,03 = -0,17 м .
Zsp = h/2-ap=0,4/2-0,03 = 0,17 м .
Z'sp = -h/2+a'p=-0,4/2+0,03 = -0,17 м .
D11 = D11b+Es (As Zs2 vs/ys, j+A's Z's2 v's/y's, j)+Esp (Asp Zsp2 vsp/ysp, j+Asp Z'sp2 v'sp/y'sp, j) =
=6,013244+200000 · (0,0004 · 0,172 · 0,757731/0,757731+0,0004 · -0,172 · 0,666714/0,666714)+200000 · (0,0004 ·
0,172 · 0,294205/0,757731+0,0004 · -0,172 · 4,984271/0,666714) = 28,819151 МН м2 .
D13 = D13b+Es (As Zs vs/ys, j+A's Z's v's/y's, j)+Esp (Asp Zsp vsp/ysp, j+Asp Z'sp v'sp/y'sp, j) =
=-27,40746+200000 · (0,0004 · 0,17 · 0,757731/0,757731+0,0004 · -0,17 · 0,666714/0,666714)+200000 · (0,0004 ·
0,17 · 0,294205/0,757731+0,0004 · -0,17 · 4,984271/0,666714) = -123,798884 МН м .
D33 = D33b+Es (As vs/ys, j+A's v's/y's, j)+Esp (Asp vsp/ysp, j+A'sp v'sp/y'sp, j) =
=601,3242+200000 · (0,0004 · 0,757731/0,757731+0,0004 · 0,666714/0,666714)+200000 · (0,0004 ·
0,294205/0,757731+0,0004 · 4,984271/0,666714) = 1390,45594 МН .
D13p = Esp (Asp Zsp espj vsp+Asp Z'sp e'spj v'sp) =
=200000 · (0,0004 · 0,17 · 0,001233 · 0,294205+0,0004 · -0,17 · 0,000243 · 4,984271) = -0,011539 .
D33p = Esp (Asp espj vsp+A'sp e'spj v'sp) =
=200000 · (0,0004 · 0,001233 · 0,294205+0,0004 · 0,000243 · 4,984271) = 0,125915 .
Момент инерции приведенного поперечного сечения:
Ired = D11 =28,81915 м4 .
Площадь приведенного поперечного сечения:
Ared = D33 =1390,456 м2 .
D = D11 D33-D132=28,81915 · 1390,456--123,79892 = 24745,592391 МН2 м2 .
D1 = D33 (M-D13p)+D13 D33p=1390,456 · (0,08826--0,011539)+-123,7989 · 0,125915 = 123,17798 МН2 м2 .
D2 = -D11 D33p-D13 (M-D13p)=-28,81915 · 0,125915--123,7989 · (0,08826--0,011539) = 8,726243 МН2 м2 .
Полная кривизна:
(1/r) = D1/D=123,178/24745,59 = 0,004978 м (-1) .
eo = D2/D=8,726243/24745,59 = 0,000353 .
es = eo+(1/r) Zs=0,000353+0,004978 · 0,17 = 0,001199 .
esi = es =0,001199 .
Т.к. esi=0,001199 > -eso=-0,002=-0,002 и esi=0,001199 r eso=0,002 :
ssi = Es esi=200000 · 0,001199 = 239,8 МПа .
Напряжения в продольной растянутой арматуре:
ss = ssi =239,8 МПа .
e's = eo+(1/r) Z's=0,000353+0,004978 · -0,17 = -0,000493 .
esi = e's =-0,000493 .
Т.к. esi=-0,000493 > -eso=-0,002=-0,002 и esi=-0,000493 r eso=0,002 :
ssi = Es esi=200000 · -0,000493 = -98,6 МПа .
s's = ssi =-98,6 МПа .
esp = eo+(1/r) Zsp=0,000353+0,004978 · 0,17 = 0,001199 .
esi = esp =0,001199 .
esp1 = 0,9 Rsp, n/Esp=0,9 · 800/200000 = 0,0036 .
esp2=0,015 .
espo = Rsp, n/Esp+0,002=800/200000+0,002 = 0,006 .
Т.к. esi=0,001199 t 0 и esi=0,001199 < esp1=0,0036 :
ssi = esi Esp=0,001199 · 200000 = 239,8 МПа .
Предварительное натяжение в рассматриваемой арматуре без учета потерь:
ssp = ssi =239,8 МПа .
e'sp = eo+(1/r) Z'sp=0,000353+0,004978 · -0,17 = -0,000493 .
esi = e'sp =-0,000493 .
esp1 = 0,9 Rsp, n/Esp=0,9 · 800/200000 = 0,0036 .
esp2=0,015 .
espo = Rsp, n/Esp+0,002=800/200000+0,002 = 0,006 .
Т.к. esi < 0 :
ssi = esi Esp=-0,000493 · 200000 = -98,6 МПа (формула (15); п. 2.2.2.8 ).
s'sp = ssi =-98,6 МПа .
ys, j = 1/(1+0,8 es, crc/es)=1/(1+0,8 · 0,000237/0,001199) = 0,86346 .
y's, j = 1/(1+0,8 e's, crc/e's) =
=1/(1+0,8 · -0,000593/-0,000493) = 0,509613 .
ysp, j = 1/(1+0,8 esp, crc/esp)=1/(1+0,8 · 0,000237/0,001199) = 0,86346 .
y'sp, j = 1/(1+0,8 e'sp, crc/e'sp) =
=1/(1+0,8 · -0,000593/-0,000493) = 0,509613 .
vs = ss/(Es es/ys, j)=239,8/(200000 · 0,001199/0,86346) = 0,86346 .
v's = s's/(Es e's/y'sp, j) =
=-98,6/(200000 · -0,000493/0,509613) = 0,509613 .
vsp = ssp/(Esp (esp/ysp, j+espj)) =
=239,8/(200000 · (0,001199/0,86346+0,001233)) = 0,457354 .
v'sp = s'sp/(Esp (e'sp/y'sp, j+e'spj)) =
=-98,6/(200000 · (-0,000493/0,509613+0,000243)) = 0,680563 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = esp =0,001199 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,001199 > ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi=0 МПа .
sbsp = sbi =0 .
Коэффициент армирования:
mspj = Asp/Ab=0,0004/0,08 = 0,005 .
Расстояние между центрами тяжести сечения рассматриваемой группы стержней арматуры и
приведенного поперечного сечения элемента:
ysj = Zsp =0,17 м .
sbpj = sbsp =0 .
Потери от ползучести бетона:
Dssp6 = 0,8 a fb, cr abs(sbpj)/(1+a mspj (1+ysj2 Ared/Ired) (1+0,8 fb, cr)) =
=0,8 · 20,30769 · 2,3 · abs(0)/(1+20,30769 · 0,005 · (1+0,17 2 · 1390,456/28,81915) · (1+0,8 · 2,3)) = 0 МПа (формула
(25); п. 2.2.3.8 ).
Вторые потери предварительного напряжения арматуры:
Dssp[2] = Dssp[1]+Dssp5+Dssp6=213,3333+40+0 = 253,3333 МПа .
sspj = ssp-Dssp[2]=500-253,3333 = 246,6667 МПа .
espj = sspj/Esp=246,6667/200000 = 0,001233 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = e'sp =-0,000493 .
Т.к. ebi r 0; ebi=-0,000493 < eb1=0,001206 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Eb ebi=9848,484 · -0,000493 = -4,855303 МПа .
s'bsp = sbi =-4,855303 МПа .
Коэффициент армирования:
mspj = A'sp/Ab=0,0004/0,08 = 0,005 .
Расстояние между центрами тяжести сечения рассматриваемой группы стержней арматуры и
приведенного поперечного сечения элемента:
ysj = Z'sp =-0,17 м .
sbpj = s'bsp =-4,855303 .
Потери от ползучести бетона:
Dssp6 = 0,8 a fb, cr abs(sbpj)/(1+a mspj (1+ysj2 Ared/Ired) (1+0,8 fb, cr)) =
=0,8 · 20,30769 · 2,3 · abs(-4,855303)/(1+20,30769 · 0,005 · (1+-0,172 · 1390,456/28,81915) · (1+0,8 · 2,3)) =
107,322333 МПа (формула (25); п. 2.2.3.8 ).
Вторые потери предварительного напряжения арматуры:
Dssp[2] = Dssp[1]+Dssp5+Dssp6=213,3333+40+107,3223 = 360,6556 МПа .
s'spj = s'sp-Dssp[2]=500-360,6556 = 139,3444 МПа .
e'spj = s'spj/Esp=139,3444/200000 = 0,000697 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb1=0,000353+0,004978 · 0,166667 = 0,001183 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,001183 > ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi=0 МПа .
v1=0 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb2=0,000353+0,004978 · 0,1 = 0,000851 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,000851 > ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi=0 МПа .
v2=0 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb3=0,000353+0,004978 · 0,033333 = 0,000519 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,000519 > ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi=0 МПа .
v3=0 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb4=0,000353+0,004978 · -0,033333 = 0,000187 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,000187 > ebto=0,0001 и ebi=0,000187 r ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Rbtn =1,575 МПа .
v4 = sbi/(Eb ebi)=1,575/(9848,484 · 0,000187) = 0,855204 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb5=0,000353+0,004978 · -0,1 = -0,000145 .
Т.к. ebi r 0; ebi=-0,000145 < eb1=0,001206 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Eb ebi=9848,484 · -0,000145 = -1,42803 МПа .
v5 = sbi/(Eb ebi)=-1,42803/(9848,484 · -0,000145) = 1,0 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb6=0,000353+0,004978 · -0,166667 = -0,000477 .
Т.к. ebi r 0; ebi=-0,000477 < eb1=0,001206 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Eb ebi=9848,484 · -0,000477 = -4,697727 МПа .
v6 = sbi/(Eb ebi)=-4,697727/(9848,484 · -0,000477) = 1,0 .
MAX(ABS(es);ABS(e's))=max(abs(0,001199);abs(-0,000493))=0,001199 r es, ult=0,025 (4,796% от
предельного значения) - условие выполнено .
MAX(ABS(esp);ABS(e'sp))=max(abs(0,001199);abs(-0,000493))=0,001199 r esp, ult=0,015 (7,993333% от
предельного значения) - условие выполнено .
eb, max = abs(eo+(1/r) h/2)=abs(0,000353+0,004978 · 0,4/2) = 0,001349 .
eb, max=0,001349 r eb, ult=0,0048 (28,104167% от предельного значения) - условие выполнено .
d1 = 100 abs(((1/r)p-(1/r))/(1/r)p)=100 · abs((0,004535-0,004978)/0,004535) = 9,768467 .
d2 = 100 abs((eo, p-eo)/eo, p) =
=100 · abs((-0,000178-0,000353)/-0,000178) = 298,314607 .
Расхождение результатов:
d = max(d1 ; d2)=max(9,768467;298,3146) = 298,3146 % .
Этап решения 3
D11b = S [Eb Abi Zb2i vi] (i=1-6) = (9848,484·0,013333·0,027778·0) + (9848,484·0,013333·0,01·0) +
(9848,484·0,013333·0,001111·0) + (9848,484·0,013333·0,001111·0,855204) + (9848,484·0,013333·0,01·1) +
(9848,484·0,013333·0,027778·1) = 5,085368 МН · м2.
D13b = S [Eb Abi Zbi vi] (i=1-6) = (9848,484·0,013333·0,166667·0) + (9848,484·0,013333·0,1·0) +
(9848,484·0,013333·0,033333·0) + (9848,484·0,013333·-0,033333·0,855204) + (9848,484·0,013333·-0,1·1) +
(9848,484·0,013333·-0,166667·1) = -38,75919 МН · м.
D33b = S [Eb Abi vi] (i=1-6) = (9848,484·0,013333·0) + (9848,484·0,013333·0) + (9848,484·0,013333·0) +
(9848,484·0,013333·0,855204) + (9848,484·0,013333·1) + (9848,484·0,013333·1) = 374,9164 МН.
Zs = h/2-as=0,4/2-0,03 = 0,17 м .
Z's = -h/2+a's=-0,4/2+0,03 = -0,17 м .
Zsp = h/2-ap=0,4/2-0,03 = 0,17 м .
Z'sp = -h/2+a'p=-0,4/2+0,03 = -0,17 м .
D11 = D11b+Es (As Zs2 vs/ys, j+A's Z's2 v's/y's, j)+Esp (Asp Zsp2 vsp/ysp, j+Asp Z'sp2 v'sp/y'sp, j) =
=5,085368+200000 · (0,0004 · 0,172 · 0,86346/0,86346+0,0004 · -0,172 · 0,509613/0,509613)+200000 · (0,0004 ·
0,172 · 0,457354/0,86346+0,0004 · -0,172 · 0,680563/0,509613) = 14,021541 МН м2 .
D13 = D13b+Es (As Zs vs/ys, j+A's Z's v's/y's, j)+Esp (Asp Zsp vsp/ysp, j+Asp Z'sp v'sp/y'sp, j) =
=-38,75919+200000 · (0,0004 · 0,17 · 0,86346/0,86346+0,0004 · -0,17 · 0,509613/0,509613)+200000 · (0,0004 · 0,17 ·
0,457354/0,86346+0,0004 · -0,17 · 0,680563/0,509613) = -49,717726 МН м .
D33 = D33b+Es (As vs/ys, j+A's v's/y's, j)+Esp (Asp vsp/ysp, j+A'sp v'sp/y'sp, j) =
=374,9164+200000 · (0,0004 · 0,86346/0,86346+0,0004 · 0,509613/0,509613)+200000 · (0,0004 ·
0,457354/0,86346+0,0004 · 0,680563/0,509613) = 684,126526 МН .
D13p = Esp (Asp Zsp espj vsp+Asp Z'sp e'spj v'sp) =
=200000 · (0,0004 · 0,17 · 0,001233 · 0,457354+0,0004 · -0,17 · 0,000697 · 0,680563) = 0,001218 .
D33p = Esp (Asp espj vsp+A'sp e'spj v'sp) =
=200000 · (0,0004 · 0,001233 · 0,457354+0,0004 · 0,000697 · 0,680563) = 0,083062 .
Момент инерции приведенного поперечного сечения:
Ired = D11 =14,02154 м4 .
Площадь приведенного поперечного сечения:
Ared = D33 =684,1265 м2 .
D = D11 D33-D132=14,02154 · 684,1265--49,717732 = 7120,654408 МН2 м2 .
D1 = D33 (M-D13p)+D13 D33p=684,1265 · (0,08826-0,001218)+-49,71773 · 0,083062 = 55,418085 МН2 м2 .
D2 = -D11 D33p-D13 (M-D13p)=-14,02154 · 0,083062--49,71773 · (0,08826-0,001218) = 3,162873 МН2 м2 .
Полная кривизна:
(1/r) = D1/D=55,41808/7120,654 = 0,007783 м (-1) .
eo = D2/D=3,162873/7120,654 = 0,000444 .
es = eo+(1/r) Zs=0,000444+0,007783 · 0,17 = 0,001767 .
esi = es =0,001767 .
Т.к. esi=0,001767 > -eso=-0,002=-0,002 и esi=0,001767 r eso=0,002 :
ssi = Es esi=200000 · 0,001767 = 353,4 МПа .
Напряжения в продольной растянутой арматуре:
ss = ssi =353,4 МПа .
e's = eo+(1/r) Z's=0,000444+0,007783 · -0,17 = -0,000879 .
esi = e's =-0,000879 .
Т.к. esi=-0,000879 > -eso=-0,002=-0,002 и esi=-0,000879 r eso=0,002 :
ssi = Es esi=200000 · -0,000879 = -175,8 МПа .
s's = ssi =-175,8 МПа .
esp = eo+(1/r) Zsp=0,000444+0,007783 · 0,17 = 0,001767 .
esi = esp =0,001767 .
esp1 = 0,9 Rsp, n/Esp=0,9 · 800/200000 = 0,0036 .
esp2=0,015 .
espo = Rsp, n/Esp+0,002=800/200000+0,002 = 0,006 .
Т.к. esi=0,001767 t 0 и esi=0,001767 < esp1=0,0036 :
ssi = esi Esp=0,001767 · 200000 = 353,4 МПа .
Предварительное натяжение в рассматриваемой арматуре без учета потерь:
ssp = ssi =353,4 МПа .
e'sp = eo+(1/r) Z'sp=0,000444+0,007783 · -0,17 = -0,000879 .
esi = e'sp =-0,000879 .
esp1 = 0,9 Rsp, n/Esp=0,9 · 800/200000 = 0,0036 .
esp2=0,015 .
espo = Rsp, n/Esp+0,002=800/200000+0,002 = 0,006 .
Т.к. esi < 0 :
ssi = esi Esp=-0,000879 · 200000 = -175,8 МПа (формула (15); п. 2.2.2.8 ).
s'sp = ssi =-175,8 МПа .
ys, j = 1/(1+0,8 es, crc/es)=1/(1+0,8 · 0,000237/0,001767) = 0,903097 .
y's, j = 1/(1+0,8 e's, crc/e's) =
=1/(1+0,8 · -0,000593/-0,000879) = 0,649475 .
ysp, j = 1/(1+0,8 esp, crc/esp)=1/(1+0,8 · 0,000237/0,001767) = 0,903097 .
y'sp, j = 1/(1+0,8 e'sp, crc/e'sp) =
=1/(1+0,8 · -0,000593/-0,000879) = 0,649475 .
vs = ss/(Es es/ys, j)=353,4/(200000 · 0,001767/0,903097) = 0,903097 .
v's = s's/(Es e's/y'sp, j) =
=-175,8/(200000 · -0,000879/0,649475) = 0,649475 .
vsp = ssp/(Esp (esp/ysp, j+espj)) =
=353,4/(200000 · (0,001767/0,903097+0,001233)) = 0,553988 .
v'sp = s'sp/(Esp (e'sp/y'sp, j+e'spj)) =
=-175,8/(200000 · (-0,000879/0,649475+0,000697)) = 1,339121 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = esp =0,001767 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,001767 > ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi=0 МПа .
sbsp = sbi =0 .
Коэффициент армирования:
mspj = Asp/Ab=0,0004/0,08 = 0,005 .
Расстояние между центрами тяжести сечения рассматриваемой группы стержней арматуры и
приведенного поперечного сечения элемента:
ysj = Zsp =0,17 м .
sbpj = sbsp =0 .
Потери от ползучести бетона:
Dssp6 = 0,8 a fb, cr abs(sbpj)/(1+a mspj (1+ysj2 Ared/Ired) (1+0,8 fb, cr)) =
=0,8 · 20,30769 · 2,3 · abs(0)/(1+20,30769 · 0,005 · (1+0,17 2 · 684,1265/14,02154) · (1+0,8 · 2,3)) = 0 МПа (формула
(25); п. 2.2.3.8 ).
Вторые потери предварительного напряжения арматуры:
Dssp[2] = Dssp[1]+Dssp5+Dssp6=213,3333+40+0 = 253,3333 МПа .
sspj = ssp-Dssp[2]=500-253,3333 = 246,6667 МПа .
espj = sspj/Esp=246,6667/200000 = 0,001233 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = e'sp =-0,000879 .
Т.к. ebi r 0; ebi=-0,000879 < eb1=0,001206 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Eb ebi=9848,484 · -0,000879 = -8,656817 МПа .
s'bsp = sbi =-8,656817 МПа .
Коэффициент армирования:
mspj = A'sp/Ab=0,0004/0,08 = 0,005 .
Расстояние между центрами тяжести сечения рассматриваемой группы стержней арматуры и
приведенного поперечного сечения элемента:
ysj = Z'sp =-0,17 м .
sbpj = s'bsp =-8,656817 .
Потери от ползучести бетона:
Dssp6 = 0,8 a fb, cr abs(sbpj)/(1+a mspj (1+ysj2 Ared/Ired) (1+0,8 fb, cr)) =
=0,8 · 20,30769 · 2,3 · abs(-8,656817)/(1+20,30769 · 0,005 · (1+-0,172 · 684,1265/14,02154) · (1+0,8 · 2,3)) =
190,840246 МПа (формула (25); п. 2.2.3.8 ).
Вторые потери предварительного напряжения арматуры:
Dssp[2] = Dssp[1]+Dssp5+Dssp6=213,3333+40+190,8402 = 444,1735 МПа .
s'spj = s'sp-Dssp[2]=500-444,1735 = 55,8265 МПа .
e'spj = s'spj/Esp=55,8265/200000 = 0,000279 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb1=0,000444+0,007783 · 0,166667 = 0,001741 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,001741 > ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi=0 МПа .
v1=0 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb2=0,000444+0,007783 · 0,1 = 0,001222 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,001222 > ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi=0 МПа .
v2=0 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb3=0,000444+0,007783 · 0,033333 = 0,000703 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,000703 > ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi=0 МПа .
v3=0 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb4=0,000444+0,007783 · -0,033333 = 0,000185 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,000185 > ebto=0,0001 и ebi=0,000185 r ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Rbtn =1,575 МПа .
v4 = sbi/(Eb ebi)=1,575/(9848,484 · 0,000185) = 0,864449 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb5=0,000444+0,007783 · -0,1 = -0,000334 .
Т.к. ebi r 0; ebi=-0,000334 < eb1=0,001206 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Eb ebi=9848,484 · -0,000334 = -3,289394 МПа .
v5 = sbi/(Eb ebi)=-3,289394/(9848,484 · -0,000334) = 1,0 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb6=0,000444+0,007783 · -0,166667 = -0,000853 .
Т.к. ebi r 0; ebi=-0,000853 < eb1=0,001206 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Eb ebi=9848,484 · -0,000853 = -8,400757 МПа .
v6 = sbi/(Eb ebi)=-8,400757/(9848,484 · -0,000853) = 1,0 .
MAX(ABS(es);ABS(e's))=max(abs(0,001767);abs(-0,000879))=0,001767 r es, ult=0,025 (7,068% от
предельного значения) - условие выполнено .
MAX(ABS(esp);ABS(e'sp))=max(abs(0,001767);abs(-0,000879))=0,001767 r esp, ult=0,015 (11,78% от
предельного значения) - условие выполнено .
eb, max = abs(eo+(1/r) h/2)=abs(0,000444+0,007783 · 0,4/2) = 0,002001 .
eb, max=0,002001 r eb, ult=0,0048 (41,6875% от предельного значения) - условие выполнено .
d1 = 100 abs(((1/r)p-(1/r))/(1/r)p)=100 · abs((0,004978-0,007783)/0,004978) = 56,347931 .
d2 = 100 abs((eo, p-eo)/eo, p) =
=100 · abs((0,000353-0,000444)/0,000353) = 25,779037 .
Расхождение результатов:
d = max(d1 ; d2)=max(56,34793;25,77904) = 56,34793 % .
Этап решения 4
D11b = S [Eb Abi Zb2i vi] (i=1-6) = (9848,484·0,013333·0,027778·0) + (9848,484·0,013333·0,01·0) +
(9848,484·0,013333·0,001111·0) + (9848,484·0,013333·0,001111·0,864449) + (9848,484·0,013333·0,01·1) +
(9848,484·0,013333·0,027778·1) = 5,086717 МН · м2.
D13b = S [Eb Abi Zbi vi] (i=1-6) = (9848,484·0,013333·0,166667·0) + (9848,484·0,013333·0,1·0) +
(9848,484·0,013333·0,033333·0) + (9848,484·0,013333·-0,033333·0,864449) + (9848,484·0,013333·-0,1·1) +
(9848,484·0,013333·-0,166667·1) = -38,79965 МН · м.
D33b = S [Eb Abi vi] (i=1-6) = (9848,484·0,013333·0) + (9848,484·0,013333·0) + (9848,484·0,013333·0) +
(9848,484·0,013333·0,864449) + (9848,484·0,013333·1) + (9848,484·0,013333·1) = 376,1304 МН.
Zs = h/2-as=0,4/2-0,03 = 0,17 м .
Z's = -h/2+a's=-0,4/2+0,03 = -0,17 м .
Zsp = h/2-ap=0,4/2-0,03 = 0,17 м .
Z'sp = -h/2+a'p=-0,4/2+0,03 = -0,17 м .
D11 = D11b+Es (As Zs2 vs/ys, j+A's Z's2 v's/y's, j)+Esp (Asp Zsp2 vsp/ysp, j+Asp Z'sp2 v'sp/y'sp, j) =
=5,086717+200000 · (0,0004 · 0,172 · 0,903097/0,903097+0,0004 · -0,172 · 0,649475/0,649475)+200000 · (0,0004 ·
0,172 · 0,553988/0,903097+0,0004 · -0,172 · 1,339121/0,649475) = 15,895971 МН м2 .
D13 = D13b+Es (As Zs vs/ys, j+A's Z's v's/y's, j)+Esp (Asp Zsp vsp/ysp, j+Asp Z'sp v'sp/y'sp, j) =
=-38,79965+200000 · (0,0004 · 0,17 · 0,903097/0,903097+0,0004 · -0,17 · 0,649475/0,649475)+200000 · (0,0004 ·
0,17 · 0,553988/0,903097+0,0004 · -0,17 · 1,339121/0,649475) = -58,498164 МН м .
D33 = D33b+Es (As vs/ys, j+A's v's/y's, j)+Esp (Asp vsp/ysp, j+A'sp v'sp/y'sp, j) =
=376,1304+200000 · (0,0004 · 0,903097/0,903097+0,0004 · 0,649475/0,649475)+200000 · (0,0004 ·
0,553988/0,903097+0,0004 · 1,339121/0,649475) = 750,153027 МН .
D13p = Esp (Asp Zsp espj vsp+Asp Z'sp e'spj v'sp) =
=200000 · (0,0004 · 0,17 · 0,001233 · 0,553988+0,0004 · -0,17 · 0,000279 · 1,339121) = 0,004209 .
D33p = Esp (Asp espj vsp+A'sp e'spj v'sp) =
=200000 · (0,0004 · 0,001233 · 0,553988+0,0004 · 0,000279 · 1,339121) = 0,084535 .
Момент инерции приведенного поперечного сечения:
Ired = D11 =15,89597 м4 .
Площадь приведенного поперечного сечения:
Ared = D33 =750,153 м2 .
D = D11 D33-D132=15,89597 · 750,153--58,498172 = 8502,37369 МН2 м2 .
D1 = D33 (M-D13p)+D13 D33p=750,153 · (0,08826-0,004209)+-58,49817 · 0,084535 = 58,105967 МН2 м2 .
D2 = -D11 D33p-D13 (M-D13p)=-15,89597 · 0,084535--58,49817 · (0,08826-0,004209) = 3,573064 МН2 м2 .
Полная кривизна:
(1/r) = D1/D=58,10597/8502,374 = 0,006834 м (-1) .
eo = D2/D=3,573064/8502,374 = 0,00042 .
es = eo+(1/r) Zs=0,00042+0,006834 · 0,17 = 0,001582 .
esi = es =0,001582 .
Т.к. esi=0,001582 > -eso=-0,002=-0,002 и esi=0,001582 r eso=0,002 :
ssi = Es esi=200000 · 0,001582 = 316,4 МПа .
Напряжения в продольной растянутой арматуре:
ss = ssi =316,4 МПа .
e's = eo+(1/r) Z's=0,00042+0,006834 · -0,17 = -0,000742 .
esi = e's =-0,000742 .
Т.к. esi=-0,000742 > -eso=-0,002=-0,002 и esi=-0,000742 r eso=0,002 :
ssi = Es esi=200000 · -0,000742 = -148,4 МПа .
s's = ssi =-148,4 МПа .
esp = eo+(1/r) Zsp=0,00042+0,006834 · 0,17 = 0,001582 .
esi = esp =0,001582 .
esp1 = 0,9 Rsp, n/Esp=0,9 · 800/200000 = 0,0036 .
esp2=0,015 .
espo = Rsp, n/Esp+0,002=800/200000+0,002 = 0,006 .
Т.к. esi=0,001582 t 0 и esi=0,001582 < esp1=0,0036 :
ssi = esi Esp=0,001582 · 200000 = 316,4 МПа .
Предварительное натяжение в рассматриваемой арматуре без учета потерь:
ssp = ssi =316,4 МПа .
e'sp = eo+(1/r) Z'sp=0,00042+0,006834 · -0,17 = -0,000742 .
esi = e'sp =-0,000742 .
esp1 = 0,9 Rsp, n/Esp=0,9 · 800/200000 = 0,0036 .
esp2=0,015 .
espo = Rsp, n/Esp+0,002=800/200000+0,002 = 0,006 .
Т.к. esi < 0 :
ssi = esi Esp=-0,000742 · 200000 = -148,4 МПа (формула (15); п. 2.2.2.8 ).
s'sp = ssi =-148,4 МПа .
ys, j = 1/(1+0,8 es, crc/es)=1/(1+0,8 · 0,000237/0,001582) = 0,892978 .
y's, j = 1/(1+0,8 e's, crc/e's) =
=1/(1+0,8 · -0,000593/-0,000742) = 0,609997 .
ysp, j = 1/(1+0,8 esp, crc/esp)=1/(1+0,8 · 0,000237/0,001582) = 0,892978 .
y'sp, j = 1/(1+0,8 e'sp, crc/e'sp) =
=1/(1+0,8 · -0,000593/-0,000742) = 0,609997 .
vs = ss/(Es es/ys, j)=316,4/(200000 · 0,001582/0,892978) = 0,892978 .
v's = s's/(Es e's/y'sp, j) =
=-148,4/(200000 · -0,000742/0,609997) = 0,609997 .
vsp = ssp/(Esp (esp/ysp, j+espj)) =
=316,4/(200000 · (0,001582/0,892978+0,001233)) = 0,526526 .
v'sp = s'sp/(Esp (e'sp/y'sp, j+e'spj)) =
=-148,4/(200000 · (-0,000742/0,609997+0,000279)) = 0,791552 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = esp =0,001582 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,001582 > ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi=0 МПа .
sbsp = sbi =0 .
Коэффициент армирования:
mspj = Asp/Ab=0,0004/0,08 = 0,005 .
Расстояние между центрами тяжести сечения рассматриваемой группы стержней арматуры и
приведенного поперечного сечения элемента:
ysj = Zsp =0,17 м .
sbpj = sbsp =0 .
Потери от ползучести бетона:
Dssp6 = 0,8 a fb, cr abs(sbpj)/(1+a mspj (1+ysj2 Ared/Ired) (1+0,8 fb, cr)) =
=0,8 · 20,30769 · 2,3 · abs(0)/(1+20,30769 · 0,005 · (1+0,17 2 · 750,153/15,89597) · (1+0,8 · 2,3)) = 0 МПа (формула
(25); п. 2.2.3.8 ).
Вторые потери предварительного напряжения арматуры:
Dssp[2] = Dssp[1]+Dssp5+Dssp6=213,3333+40+0 = 253,3333 МПа .
sspj = ssp-Dssp[2]=500-253,3333 = 246,6667 МПа .
espj = sspj/Esp=246,6667/200000 = 0,001233 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = e'sp =-0,000742 .
Т.к. ebi r 0; ebi=-0,000742 < eb1=0,001206 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Eb ebi=9848,484 · -0,000742 = -7,307575 МПа .
s'bsp = sbi =-7,307575 МПа .
Коэффициент армирования:
mspj = A'sp/Ab=0,0004/0,08 = 0,005 .
Расстояние между центрами тяжести сечения рассматриваемой группы стержней арматуры и
приведенного поперечного сечения элемента:
ysj = Z'sp =-0,17 м .
sbpj = s'bsp =-7,307575 .
Потери от ползучести бетона:
Dssp6 = 0,8 a fb, cr abs(sbpj)/(1+a mspj (1+ysj2 Ared/Ired) (1+0,8 fb, cr)) =
=0,8 · 20,30769 · 2,3 · abs(-7,307575)/(1+20,30769 · 0,005 · (1+-0,172 · 750,153/15,89597) · (1+0,8 · 2,3)) =
162,373231 МПа (формула (25); п. 2.2.3.8 ).
Вторые потери предварительного напряжения арматуры:
Dssp[2] = Dssp[1]+Dssp5+Dssp6=213,3333+40+162,3732 = 415,7065 МПа .
s'spj = s'sp-Dssp[2]=500-415,7065 = 84,2935 МПа .
e'spj = s'spj/Esp=84,2935/200000 = 0,000421 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb1=0,00042+0,006834 · 0,166667 = 0,001559 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,001559 > ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi=0 МПа .
v1=0 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb2=0,00042+0,006834 · 0,1 = 0,001103 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,001103 > ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi=0 МПа .
v2=0 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb3=0,00042+0,006834 · 0,033333 = 0,000648 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,000648 > ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi=0 МПа .
v3=0 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb4=0,00042+0,006834 · -0,033333 = 0,000192 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,000192 > ebto=0,0001 и ebi=0,000192 r ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Rbtn =1,575 МПа .
v4 = sbi/(Eb ebi)=1,575/(9848,484 · 0,000192) = 0,832933 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb5=0,00042+0,006834 · -0,1 = -0,000263 .
Т.к. ebi r 0; ebi=-0,000263 < eb1=0,001206 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Eb ebi=9848,484 · -0,000263 = -2,590151 МПа .
v5 = sbi/(Eb ebi)=-2,590151/(9848,484 · -0,000263) = 1,0 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb6=0,00042+0,006834 · -0,166667 = -0,000719 .
Т.к. ebi r 0; ebi=-0,000719 < eb1=0,001206 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Eb ebi=9848,484 · -0,000719 = -7,08106 МПа .
v6 = sbi/(Eb ebi)=-7,08106/(9848,484 · -0,000719) = 1,0 .
MAX(ABS(es);ABS(e's))=max(abs(0,001582);abs(-0,000742))=0,001582 r es, ult=0,025 (6,328% от
предельного значения) - условие выполнено .
MAX(ABS(esp);ABS(e'sp))=max(abs(0,001582);abs(-0,000742))=0,001582 r esp, ult=0,015 (10,546667% от
предельного значения) - условие выполнено .
eb, max = abs(eo+(1/r) h/2)=abs(0,00042+0,006834 · 0,4/2) = 0,001787 .
eb, max=0,001787 r eb, ult=0,0048 (37,229167% от предельного значения) - условие выполнено .
d1 = 100 abs(((1/r)p-(1/r))/(1/r)p)=100 · abs((0,007783-0,006834)/0,007783) = 12,193242 .
d2 = 100 abs((eo, p-eo)/eo, p) =
=100 · abs((0,000444-0,00042)/0,000444) = 5,405405 .
Расхождение результатов:
d = max(d1 ; d2)=max(12,19324;5,405405) = 12,19324 % .
Этап решения 5
D11b = S [Eb Abi Zb2i vi] (i=1-6) = (9848,484·0,013333·0,027778·0) + (9848,484·0,013333·0,01·0) +
(9848,484·0,013333·0,001111·0) + (9848,484·0,013333·0,001111·0,832933) + (9848,484·0,013333·0,01·1) +
(9848,484·0,013333·0,027778·1) = 5,082119 МН · м2.
D13b = S [Eb Abi Zbi vi] (i=1-6) = (9848,484·0,013333·0,166667·0) + (9848,484·0,013333·0,1·0) +
(9848,484·0,013333·0,033333·0) + (9848,484·0,013333·-0,033333·0,832933) + (9848,484·0,013333·-0,1·1) +
(9848,484·0,013333·-0,166667·1) = -38,66171 МН · м.
D33b = S [Eb Abi vi] (i=1-6) = (9848,484·0,013333·0) + (9848,484·0,013333·0) + (9848,484·0,013333·0) +
(9848,484·0,013333·0,832933) + (9848,484·0,013333·1) + (9848,484·0,013333·1) = 371,992 МН.
Zs = h/2-as=0,4/2-0,03 = 0,17 м .
Z's = -h/2+a's=-0,4/2+0,03 = -0,17 м .
Zsp = h/2-ap=0,4/2-0,03 = 0,17 м .
Z'sp = -h/2+a'p=-0,4/2+0,03 = -0,17 м .
D11 = D11b+Es (As Zs2 vs/ys, j+A's Z's2 v's/y's, j)+Esp (Asp Zsp2 vsp/ysp, j+Asp Z'sp2 v'sp/y'sp, j) =
=5,082119+200000 · (0,0004 · 0,172 · 0,892978/0,892978+0,0004 · -0,172 · 0,609997/0,609997)+200000 · (0,0004 ·
0,172 · 0,526526/0,892978+0,0004 · -0,172 · 0,791552/0,609997) = 14,069469 МН м2 .
D13 = D13b+Es (As Zs vs/ys, j+A's Z's v's/y's, j)+Esp (Asp Zsp vsp/ysp, j+Asp Z'sp v'sp/y'sp, j) =
=-38,66171+200000 · (0,0004 · 0,17 · 0,892978/0,892978+0,0004 · -0,17 · 0,609997/0,609997)+200000 · (0,0004 ·
0,17 · 0,526526/0,892978+0,0004 · -0,17 · 0,791552/0,609997) = -48,290555 МН м .
D33 = D33b+Es (As vs/ys, j+A's v's/y's, j)+Esp (Asp vsp/ysp, j+A'sp v'sp/y'sp, j) =
=371,992+200000 · (0,0004 · 0,892978/0,892978+0,0004 · 0,609997/0,609997)+200000 · (0,0004 ·
0,526526/0,892978+0,0004 · 0,791552/0,609997) = 682,972954 МН .
D13p = Esp (Asp Zsp espj vsp+Asp Z'sp e'spj v'sp) =
=200000 · (0,0004 · 0,17 · 0,001233 · 0,526526+0,0004 · -0,17 · 0,000421 · 0,791552) = 0,004297 .
D33p = Esp (Asp espj vsp+A'sp e'spj v'sp) =
=200000 · (0,0004 · 0,001233 · 0,526526+0,0004 · 0,000421 · 0,791552) = 0,078596 .
Момент инерции приведенного поперечного сечения:
Ired = D11 =14,06947 м4 .
Площадь приведенного поперечного сечения:
Ared = D33 =682,973 м2 .
D = D11 D33-D132=14,06947 · 682,973--48,290552 = 7277,090915 МН2 м2 .
D1 = D33 (M-D13p)+D13 D33p=682,973 · (0,08826-0,004297)+-48,29055 · 0,078596 = 53,549018 МН2 м2 .
D2 = -D11 D33p-D13 (M-D13p)=-14,06947 · 0,078596--48,29055 · (0,08826-0,004297) = 2,948815 МН2 м2 .
Полная кривизна:
(1/r) = D1/D=53,54902/7277,091 = 0,007359 м (-1) .
eo = D2/D=2,948815/7277,091 = 0,000405 .
es = eo+(1/r) Zs=0,000405+0,007359 · 0,17 = 0,001656 .
esi = es =0,001656 .
Т.к. esi=0,001656 > -eso=-0,002=-0,002 и esi=0,001656 r eso=0,002 :
ssi = Es esi=200000 · 0,001656 = 331,2 МПа .
Напряжения в продольной растянутой арматуре:
ss = ssi =331,2 МПа .
e's = eo+(1/r) Z's=0,000405+0,007359 · -0,17 = -0,000846 .
esi = e's =-0,000846 .
Т.к. esi=-0,000846 > -eso=-0,002=-0,002 и esi=-0,000846 r eso=0,002 :
ssi = Es esi=200000 · -0,000846 = -169,2 МПа .
s's = ssi =-169,2 МПа .
esp = eo+(1/r) Zsp=0,000405+0,007359 · 0,17 = 0,001656 .
esi = esp =0,001656 .
esp1 = 0,9 Rsp, n/Esp=0,9 · 800/200000 = 0,0036 .
esp2=0,015 .
espo = Rsp, n/Esp+0,002=800/200000+0,002 = 0,006 .
Т.к. esi=0,001656 t 0 и esi=0,001656 < esp1=0,0036 :
ssi = esi Esp=0,001656 · 200000 = 331,2 МПа .
Предварительное натяжение в рассматриваемой арматуре без учета потерь:
ssp = ssi =331,2 МПа .
e'sp = eo+(1/r) Z'sp=0,000405+0,007359 · -0,17 = -0,000846 .
esi = e'sp =-0,000846 .
esp1 = 0,9 Rsp, n/Esp=0,9 · 800/200000 = 0,0036 .
esp2=0,015 .
espo = Rsp, n/Esp+0,002=800/200000+0,002 = 0,006 .
Т.к. esi < 0 :
ssi = esi Esp=-0,000846 · 200000 = -169,2 МПа (формула (15); п. 2.2.2.8 ).
s'sp = ssi =-169,2 МПа .
ys, j = 1/(1+0,8 es, crc/es)=1/(1+0,8 · 0,000237/0,001656) = 0,897269 .
y's, j = 1/(1+0,8 e's, crc/e's) =
=1/(1+0,8 · -0,000593/-0,000846) = 0,640715 .
ysp, j = 1/(1+0,8 esp, crc/esp)=1/(1+0,8 · 0,000237/0,001656) = 0,897269 .
y'sp, j = 1/(1+0,8 e'sp, crc/e'sp) =
=1/(1+0,8 · -0,000593/-0,000846) = 0,640715 .
vs = ss/(Es es/ys, j)=331,2/(200000 · 0,001656/0,897269) = 0,897269 .
v's = s's/(Es e's/y'sp, j) =
=-169,2/(200000 · -0,000846/0,640715) = 0,640715 .
vsp = ssp/(Esp (esp/ysp, j+espj)) =
=331,2/(200000 · (0,001656/0,897269+0,001233)) = 0,537907 .
v'sp = s'sp/(Esp (e'sp/y'sp, j+e'spj)) =
=-169,2/(200000 · (-0,000846/0,640715+0,000421)) = 0,940627 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = esp =0,001656 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,001656 > ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi=0 МПа .
sbsp = sbi =0 .
Коэффициент армирования:
mspj = Asp/Ab=0,0004/0,08 = 0,005 .
Расстояние между центрами тяжести сечения рассматриваемой группы стержней арматуры и
приведенного поперечного сечения элемента:
ysj = Zsp =0,17 м .
sbpj = sbsp =0 .
Потери от ползучести бетона:
Dssp6 = 0,8 a fb, cr abs(sbpj)/(1+a mspj (1+ysj2 Ared/Ired) (1+0,8 fb, cr)) =
=0,8 · 20,30769 · 2,3 · abs(0)/(1+20,30769 · 0,005 · (1+0,17 2 · 682,973/14,06947) · (1+0,8 · 2,3)) = 0 МПа (формула
(25); п. 2.2.3.8 ).
Вторые потери предварительного напряжения арматуры:
Dssp[2] = Dssp[1]+Dssp5+Dssp6=213,3333+40+0 = 253,3333 МПа .
sspj = ssp-Dssp[2]=500-253,3333 = 246,6667 МПа .
espj = sspj/Esp=246,6667/200000 = 0,001233 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = e'sp =-0,000846 .
Т.к. ebi r 0; ebi=-0,000846 < eb1=0,001206 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Eb ebi=9848,484 · -0,000846 = -8,331817 МПа .
s'bsp = sbi =-8,331817 МПа .
Коэффициент армирования:
mspj = A'sp/Ab=0,0004/0,08 = 0,005 .
Расстояние между центрами тяжести сечения рассматриваемой группы стержней арматуры и
приведенного поперечного сечения элемента:
ysj = Z'sp =-0,17 м .
sbpj = s'bsp =-8,331817 .
Потери от ползучести бетона:
Dssp6 = 0,8 a fb, cr abs(sbpj)/(1+a mspj (1+ysj2 Ared/Ired) (1+0,8 fb, cr)) =
=0,8 · 20,30769 · 2,3 · abs(-8,331817)/(1+20,30769 · 0,005 · (1+-0,172 · 682,973/14,06947) · (1+0,8 · 2,3)) =
183,900016 МПа (формула (25); п. 2.2.3.8 ).
Вторые потери предварительного напряжения арматуры:
Dssp[2] = Dssp[1]+Dssp5+Dssp6=213,3333+40+183,9 = 437,2333 МПа .
s'spj = s'sp-Dssp[2]=500-437,2333 = 62,7667 МПа .
e'spj = s'spj/Esp=62,7667/200000 = 0,000314 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb1=0,000405+0,007359 · 0,166667 = 0,001632 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,001632 > ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi=0 МПа .
v1=0 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb2=0,000405+0,007359 · 0,1 = 0,001141 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,001141 > ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi=0 МПа .
v2=0 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb3=0,000405+0,007359 · 0,033333 = 0,00065 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,00065 > ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi=0 МПа .
v3=0 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb4=0,000405+0,007359 · -0,033333 = 0,00016 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,00016 > ebto=0,0001 и ebi=0,00016 r ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Rbtn =1,575 МПа .
v4 = sbi/(Eb ebi)=1,575/(9848,484 · 0,00016) = 0,999519 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb5=0,000405+0,007359 · -0,1 = -0,000331 .
Т.к. ebi r 0; ebi=-0,000331 < eb1=0,001206 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Eb ebi=9848,484 · -0,000331 = -3,259848 МПа .
v5 = sbi/(Eb ebi)=-3,259848/(9848,484 · -0,000331) = 1,0 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb6=0,000405+0,007359 · -0,166667 = -0,000822 .
Т.к. ebi r 0; ebi=-0,000822 < eb1=0,001206 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Eb ebi=9848,484 · -0,000822 = -8,095454 МПа .
v6 = sbi/(Eb ebi)=-8,095454/(9848,484 · -0,000822) = 1,0 .
MAX(ABS(es);ABS(e's))=max(abs(0,001656);abs(-0,000846))=0,001656 r es, ult=0,025 (6,624% от
предельного значения) - условие выполнено .
MAX(ABS(esp);ABS(e'sp))=max(abs(0,001656);abs(-0,000846))=0,001656 r esp, ult=0,015 (11,04% от
предельного значения) - условие выполнено .
eb, max = abs(eo+(1/r) h/2)=abs(0,000405+0,007359 · 0,4/2) = 0,001877 .
eb, max=0,001877 r eb, ult=0,0048 (39,104167% от предельного значения) - условие выполнено .
d1 = 100 abs(((1/r)p-(1/r))/(1/r)p)=100 · abs((0,006834-0,007359)/0,006834) = 7,682177 .
d2 = 100 abs((eo, p-eo)/eo, p) =
=100 · abs((0,00042-0,000405)/0,00042) = 3,571429 .
Расхождение результатов:
d = max(d1 ; d2)=max(7,682177;3,571429) = 7,682177 % .
Этап решения 6
D11b = S [Eb Abi Zb2i vi] (i=1-6) = (9848,484·0,013333·0,027778·0) + (9848,484·0,013333·0,01·0) +
(9848,484·0,013333·0,001111·0) + (9848,484·0,013333·0,001111·0,999519) + (9848,484·0,013333·0,01·1) +
(9848,484·0,013333·0,027778·1) = 5,106424 МН · м2.
D13b = S [Eb Abi Zbi vi] (i=1-6) = (9848,484·0,013333·0,166667·0) + (9848,484·0,013333·0,1·0) +
(9848,484·0,013333·0,033333·0) + (9848,484·0,013333·-0,033333·0,999519) + (9848,484·0,013333·-0,1·1) +
(9848,484·0,013333·-0,166667·1) = -39,39085 МН · м.
D33b = S [Eb Abi vi] (i=1-6) = (9848,484·0,013333·0) + (9848,484·0,013333·0) + (9848,484·0,013333·0) +
(9848,484·0,013333·0,999519) + (9848,484·0,013333·1) + (9848,484·0,013333·1) = 393,8664 МН.
Zs = h/2-as=0,4/2-0,03 = 0,17 м .
Z's = -h/2+a's=-0,4/2+0,03 = -0,17 м .
Zsp = h/2-ap=0,4/2-0,03 = 0,17 м .
Z'sp = -h/2+a'p=-0,4/2+0,03 = -0,17 м .
D11 = D11b+Es (As Zs2 vs/ys, j+A's Z's2 v's/y's, j)+Esp (Asp Zsp2 vsp/ysp, j+Asp Z'sp2 v'sp/y'sp, j) =
=5,106424+200000 · (0,0004 · 0,172 · 0,897269/0,897269+0,0004 · -0,172 · 0,640715/0,640715)+200000 · (0,0004 ·
0,172 · 0,537907/0,897269+0,0004 · -0,172 · 0,940627/0,640715) = 14,510676 МН м2 .
D13 = D13b+Es (As Zs vs/ys, j+A's Z's v's/y's, j)+Esp (Asp Zsp vsp/ysp, j+Asp Z'sp v'sp/y'sp, j) =
=-39,39085+200000 · (0,0004 · 0,17 · 0,897269/0,897269+0,0004 · -0,17 · 0,640715/0,640715)+200000 · (0,0004 ·
0,17 · 0,537907/0,897269+0,0004 · -0,17 · 0,940627/0,640715) = -51,203755 МН м .
D33 = D33b+Es (As vs/ys, j+A's v's/y's, j)+Esp (Asp vsp/ysp, j+A'sp v'sp/y'sp, j) =
=393,8664+200000 · (0,0004 · 0,897269/0,897269+0,0004 · 0,640715/0,640715)+200000 · (0,0004 ·
0,537907/0,897269+0,0004 · 0,940627/0,640715) = 719,27305 МН .
D13p = Esp (Asp Zsp espj vsp+Asp Z'sp e'spj v'sp) =
=200000 · (0,0004 · 0,17 · 0,001233 · 0,537907+0,0004 · -0,17 · 0,000314 · 0,940627) = 0,005003 .
D33p = Esp (Asp espj vsp+A'sp e'spj v'sp) =
=200000 · (0,0004 · 0,001233 · 0,537907+0,0004 · 0,000314 · 0,940627) = 0,076688 .
Момент инерции приведенного поперечного сечения:
Ired = D11 =14,51068 м4 .
Площадь приведенного поперечного сечения:
Ared = D33 =719,2731 м2 .
D = D11 D33-D132=14,51068 · 719,2731--51,203752 = 7815,317773 МН2 м2 .
D1 = D33 (M-D13p)+D13 D33p=719,2731 · (0,08826-0,005003)+-51,20375 · 0,076688 = 55,957807 МН2 м2 .
D2 = -D11 D33p-D13 (M-D13p)=-14,51068 · 0,076688--51,20375 · (0,08826-0,005003) = 3,150276 МН2 м2 .
Полная кривизна:
(1/r) = D1/D=55,95781/7815,318 = 0,00716 м (-1) .
eo = D2/D=3,150276/7815,318 = 0,000403 .
es = eo+(1/r) Zs=0,000403+0,00716 · 0,17 = 0,00162 .
esi = es =0,00162 .
Т.к. esi=0,00162 > -eso=-0,002=-0,002 и esi=0,00162 r eso=0,002 :
ssi = Es esi=200000 · 0,00162 = 324 МПа .
Напряжения в продольной растянутой арматуре:
ss = ssi =324 МПа .
e's = eo+(1/r) Z's=0,000403+0,00716 · -0,17 = -0,000814 .
esi = e's =-0,000814 .
Т.к. esi=-0,000814 > -eso=-0,002=-0,002 и esi=-0,000814 r eso=0,002 :
ssi = Es esi=200000 · -0,000814 = -162,8 МПа .
s's = ssi =-162,8 МПа .
esp = eo+(1/r) Zsp=0,000403+0,00716 · 0,17 = 0,00162 .
esi = esp =0,00162 .
esp1 = 0,9 Rsp, n/Esp=0,9 · 800/200000 = 0,0036 .
esp2=0,015 .
espo = Rsp, n/Esp+0,002=800/200000+0,002 = 0,006 .
Т.к. esi=0,00162 t 0 и esi=0,00162 < esp1=0,0036 :
ssi = esi Esp=0,00162 · 200000 = 324 МПа .
Предварительное натяжение в рассматриваемой арматуре без учета потерь:
ssp = ssi =324 МПа .
e'sp = eo+(1/r) Z'sp=0,000403+0,00716 · -0,17 = -0,000814 .
esi = e'sp =-0,000814 .
esp1 = 0,9 Rsp, n/Esp=0,9 · 800/200000 = 0,0036 .
esp2=0,015 .
espo = Rsp, n/Esp+0,002=800/200000+0,002 = 0,006 .
Т.к. esi < 0 :
ssi = esi Esp=-0,000814 · 200000 = -162,8 МПа (формула (15); п. 2.2.2.8 ).
s'sp = ssi =-162,8 МПа .
ys, j = 1/(1+0,8 es, crc/es)=1/(1+0,8 · 0,000237/0,00162) = 0,895225 .
y's, j = 1/(1+0,8 e's, crc/e's) =
=1/(1+0,8 · -0,000593/-0,000814) = 0,631791 .
ysp, j = 1/(1+0,8 esp, crc/esp)=1/(1+0,8 · 0,000237/0,00162) = 0,895225 .
y'sp, j = 1/(1+0,8 e'sp, crc/e'sp) =
=1/(1+0,8 · -0,000593/-0,000814) = 0,631791 .
vs = ss/(Es es/ys, j)=324/(200000 · 0,00162/0,895225) = 0,895225 .
v's = s's/(Es e's/y'sp, j) =
=-162,8/(200000 · -0,000814/0,631791) = 0,631791 .
vsp = ssp/(Esp (esp/ysp, j+espj)) =
=324/(200000 · (0,00162/0,895225+0,001233)) = 0,532439 .
v'sp = s'sp/(Esp (e'sp/y'sp, j+e'spj)) =
=-162,8/(200000 · (-0,000814/0,631791+0,000314)) = 0,835385 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = esp =0,00162 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,00162 > ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi=0 МПа .
sbsp = sbi =0 .
Коэффициент армирования:
mspj = Asp/Ab=0,0004/0,08 = 0,005 .
Расстояние между центрами тяжести сечения рассматриваемой группы стержней арматуры и
приведенного поперечного сечения элемента:
ysj = Zsp =0,17 м .
sbpj = sbsp =0 .
Потери от ползучести бетона:
Dssp6 = 0,8 a fb, cr abs(sbpj)/(1+a mspj (1+ysj2 Ared/Ired) (1+0,8 fb, cr)) =
=0,8 · 20,30769 · 2,3 · abs(0)/(1+20,30769 · 0,005 · (1+0,17 2 · 719,2731/14,51068) · (1+0,8 · 2,3)) = 0 МПа (формула
(25); п. 2.2.3.8 ).
Вторые потери предварительного напряжения арматуры:
Dssp[2] = Dssp[1]+Dssp5+Dssp6=213,3333+40+0 = 253,3333 МПа .
sspj = ssp-Dssp[2]=500-253,3333 = 246,6667 МПа .
espj = sspj/Esp=246,6667/200000 = 0,001233 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = e'sp =-0,000814 .
Т.к. ebi r 0; ebi=-0,000814 < eb1=0,001206 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Eb ebi=9848,484 · -0,000814 = -8,016666 МПа .
s'bsp = sbi =-8,016666 МПа .
Коэффициент армирования:
mspj = A'sp/Ab=0,0004/0,08 = 0,005 .
Расстояние между центрами тяжести сечения рассматриваемой группы стержней арматуры и
приведенного поперечного сечения элемента:
ysj = Z'sp =-0,17 м .
sbpj = s'bsp =-8,016666 .
Потери от ползучести бетона:
Dssp6 = 0,8 a fb, cr abs(sbpj)/(1+a mspj (1+ysj2 Ared/Ired) (1+0,8 fb, cr)) =
=0,8 · 20,30769 · 2,3 · abs(-8,016666)/(1+20,30769 · 0,005 · (1+-0,172 · 719,2731/14,51068) · (1+0,8 · 2,3)) =
176,055111 МПа (формула (25); п. 2.2.3.8 ).
Вторые потери предварительного напряжения арматуры:
Dssp[2] = Dssp[1]+Dssp5+Dssp6=213,3333+40+176,0551 = 429,3884 МПа .
s'spj = s'sp-Dssp[2]=500-429,3884 = 70,6116 МПа .
e'spj = s'spj/Esp=70,6116/200000 = 0,000353 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb1=0,000403+0,00716 · 0,166667 = 0,001596 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,001596 > ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi=0 МПа .
v1=0 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb2=0,000403+0,00716 · 0,1 = 0,001119 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,001119 > ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi=0 МПа .
v2=0 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb3=0,000403+0,00716 · 0,033333 = 0,000642 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,000642 > ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi=0 МПа .
v3=0 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb4=0,000403+0,00716 · -0,033333 = 0,000164 .
Т.к. ebi > 0; ebi=0,000164 > ebto=0,0001 и ebi=0,000164 r ebt2=0,00031 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Rbtn =1,575 МПа .
v4 = sbi/(Eb ebi)=1,575/(9848,484 · 0,000164) = 0,975141 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb5=0,000403+0,00716 · -0,1 = -0,000313 .
Т.к. ebi r 0; ebi=-0,000313 < eb1=0,001206 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Eb ebi=9848,484 · -0,000313 = -3,082575 МПа .
v5 = sbi/(Eb ebi)=-3,082575/(9848,484 · -0,000313) = 1,0 .
Относительная деформация укорочения бетона:
ebi = eo+(1/r) Zb6=0,000403+0,00716 · -0,166667 = -0,00079 .
Т.к. ebi r 0; ebi=-0,00079 < eb1=0,001206 :
Напряжения в бетоне в элементе i:
sbi = Eb ebi=9848,484 · -0,00079 = -7,780302 МПа .
v6 = sbi/(Eb ebi)=-7,780302/(9848,484 · -0,00079) = 1,0 .
MAX(ABS(es);ABS(e's))=max(abs(0,00162);abs(-0,000814))=0,00162 r es, ult=0,025 (6,48% от
предельного значения) - условие выполнено .
MAX(ABS(esp);ABS(e'sp))=max(abs(0,00162);abs(-0,000814))=0,00162 r esp, ult=0,015 (10,8% от
предельного значения) - условие выполнено .
eb, max = abs(eo+(1/r) h/2)=abs(0,000403+0,00716 · 0,4/2) = 0,001835 .
eb, max=0,001835 r eb, ult=0,0048 (38,229167% от предельного значения) - условие выполнено .
d1 = 100 abs(((1/r)p-(1/r))/(1/r)p)=100 · abs((0,007359-0,00716)/0,007359) = 2,704172 .
d2 = 100 abs((eo, p-eo)/eo, p) =
=100 · abs((0,000405-0,000403)/0,000405) = 0,493827 .
Расхождение результатов:
d = max(d1 ; d2)=max(2,704172;0,493827) = 2,704172 % .
Т.к. d =2,704172 % r d=3 % :
Расчет закончен при достижении требуемой сходимости результатов
Кривизна:
(1/r)3 = (1/r) =0,00716 м (-1) .
III. Определение прогиба
Т.к. кратковременная нагрузка отсутствует (1/r)1 = (1/r)2.
(1/r) = (1/r)1-(1/r)2+(1/r)3 = (1/r)3
Прогиб:
f = S l2 (1/r)=0,1042 · 62 · 0,00716 = 0,026859 м (формула (100); п. 4.3.2.4 ).
f =0,026859 м r (1/kf) l=(1/200) · 6=0,03 м (89,53% от предельного значения) - условие выполнено .
Во всех случаях прогиб изгибаемого элемента не должен превышать 1/150 пролета или 1/75 вылета
консоли:
f =0,026859 м r l/150=6/150=0,04 м (67,1475% от предельного значения) - условие выполнено .