Тема 5. Уравнения 1

Тема 5. Линейные уравнения первого порядка и
уравнения, приводящиеся к ним
5.1. Линейные уравнения первого порядка
Уравнение y  p( x) y  q( x)
(5.1)
линейное относительно неизвестной функции y , (а также любое уравнение, с помощью
алгебраических преобразований приводящиеся к виду (5.1)), называется неоднородным
линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Функция p  x   0 , q  x   0 должны быть непрерывными в некоторой области,
например на отрезке [a;b], для того, чтобы выполнялись условия теоремы Коши
существования и единственности решения.
Если в (5.1) p( x)  0 или q( x)  0, то получим дифференциальные уравнения с
разделяющимися переменными.
В случае, когда
q ( x)  0, уравнение (5.1) называют однородным линейным
дифференциальным уравнением.
Общее решение уравнения (5.1) всегда можно записать в виде
 p ( x ) dx 
 p ( x ) dx dx  C 
ye 
  q( x)e



(5.2)
где С – произвольная постоянная.
Наиболее употребительным способом решения уравнения (5.1) является метод
вариации произвольной постоянной. Сущность метода состоит в следующем. Сначала
ищется решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (5.1):
y  p ( x) y  0
(5.3)
Затем в общем решении уравнения (5.3) произвольную постоянную С считают некоторой
дифференцируемой функцией от x: C=C(x). Эту функцию находят из дифференциального
уравнения с разделяющимися переменными, которое получается в результате подстановки
общего решения уравнения (5.3) в уравнении (5.1).
Пример 5.1. Решить уравнение y  2 xy  2 xe x
2
(5.4)
Сначала находим решение однородного уравнения, соответствующего данному:
y  2 xy  0. Разделяя переменные и интегрируя, находим:
y  Ce x
2
(5.5)
Формула (5.5) представляет собой общее решение однородного уравнения, где С –
произвольная постоянная. Для получения всех решений данного уравнения считаем C=C(x)
и требуем, чтобы функция y  C ( x)e x удовлетворяла уравнению (5.4), т.е.
2
Ce x  2 xCe x  2 xCe x  2 xe x или C  2 x. Отсюда находим C ( x)  x 2  C
2
2
2
2
(5.6)
где C  новая произвольная постоянная. Подставив (5.6) в (5.5), окончательно получим
y  ( x2  C)e x .
2
5.2. Обмен ролями между функцией и аргументом
Некоторые уравнения становятся линейными, если в них поменять ролями функцию
и аргумент.
Пример 5.2. Решить уравнение y  (2 x  y3 ) y '.
Предложенное уравнение линейное относительно x . Так как
записать в виде
yx  2 x  y 3 или
dy 1

, то его можно
dx dx
dy
yx  2 x  y 3 .
(5.7)
Общим решением однородного уравнения yx  2 x  0 является функция
x  Cy 2 .
(5.8)
Считая, что C  C ( y ) , и подставляя (5.8) в (5.7), получим последовательно
y(Cy 2  2Cy)  2Cy 2  y 3  C   1  dC  dx  C  x  C.
Подставляя (5.9) в (5.8), имеем общее решение
(5.9)
x  y 2 ( x  C ).
5.3 Уравнения, приводимые к линейным
К линейным уравнениям приводятся также уравнения вида:
f ( y )
dy
 a( x) f ( y )  b( x),
dx
(5.10)
dy
 a ( x)  b( x)e ny ,
dx
(5.11)
dy
 a ( x ) y  b( x ) y n ,
dx
(5.12)
dy
 a ( x ) y  b( x ) y 2  c ( x )
dx
(5.13)
Уравнение вида (5.10) сводится к линейному, если положить f ( y )  z ( x). Тогда
получаем
f ( y ) y  z( x) и
z  a( x) z  b( x).
В уравнении (5.11) целесообразно провести замену e ny  z ( x). Тогда получим
ne ny y  z,

z
 a ( x) z  b( x) (n  0).
n
Уравнение (5.12) называется уравнением Бернулли. Оно приводится к линейному с
помощью замены z ( x)  y1n
(n  0, n  1 , так как в этих случаях оно уже линейное).
Пример 5.3. Решить уравнение 3 y  y 
1
.
y2
Чтобы свести данное уравнение Бернулли к линейному, разделим обе части на
выражение
1
. Получаем
y2
3 y 2 y  y 3  1.
(5.14)
Произведем замену z ( x)  y 3 .
(5.15)
Тогда z( x)  3 y 2 y
(5.16)
z  z  1.
Подставим (5.15) и (5.16) в (5.14), имеем
Последнее
уравнение не только линейное, но и
z  1  z 
разделяющимися переменными
ln | z  1|  x  ln C  z  1  Ce x
является
уравнением с
dz
 dx 
z 1
 z  Ce x  1.
получаем общее решение исходного уравнения
Производя обратную подстановку,
y 3  Ce x  1.
Уравнение (5.13) называется уравнением Риккатти. В общем случае уравнение
Риккатти не решается в квадратурах. Если же известно частное решение yчастное ( x), то
уравнение (5.13) сводится к уравнению Бернулли с помощью замены y  yчастное ( x)  z ( x).
Если частное решение неизвестно, то его ищут по виду правой части (5.13), понижая при
этом его степень.
Пример 5.4. Решить уравнение
y  2 xy  y 2  5  x 2
(5.17)
Поскольку правая часть уравнения Риккатти представляет собой квадратичное
выражение, то частное решение будем искать в виде
yч  ax  b,
(5.18)
где a , b - неизвестные коэффициенты, которые находим, подставляя (5.18) в (5.17),
приравнивая
коэффициенты
последовательно
при
соответствующих
степенях
x,
т.е.
получаем
a  2 x(ax  b)  (ax  b)2  5  x 2 , 
 a 2  2a  1,

  a 2  2a  x 2   2ab  2b  x  a  b 2   x 2  5,   2ab  2b  0, 
 a  b2  5

 ( a  1) 2  0,

 2b( a  1)  0, 
 b2  5  a

 a  1,

a  1, b  0,
 b 2  5  a.

Если b=0, то последнее уравнение системы не будет выполняться, т.к.
Следовательно, a  1, b  2.
0  5 1  0  4.
Значит, за частное решение можно принять либо
yч ( x)  x  2, либо yч ( x)  x  2.
Допустим yч ( x)  x  2. Делаем замену y  x  2  z ( x).
Подставляя (5.19) в (5.17), получим
z  4 z   z 2 .
(5.19)
Последнее является уравнением Бернулли. Сводим его к линейному, поделив обе части на
1
1
z   4  1.
2
z
z
z2 :
(5.20)
1
1
Производим замену t ( x)  , тогда t    2 z . Подставляя замену в (5.20), получаем
z
z
t  4t  1. Решая последнее как уравнение с разделяющимися переменными, получаем
общее решение уравнения (5.20) 4t  1  Ce4 x , или
4
4
 1  Ce 4 x  z ( x)  4 x . Подставляя
z
Ce  1
последнее выражение в (5.14), получим общее решение исходного уравнения (5.17)
y  x2
4
Ce  1
4x
.
Задания для работы на семинаре
y
C

 1  2 ln x  Ответ : y  x ln x   .
x
x

1.
y 
2.
1
1


y  2 y  x  e x , y (0)  1  Ответ : y  x  e x  (1  e 2 x )  .
2
4


3.
y  3 y  e 2 x y 2 , y (0)  1.
4.
y  ytgx 
5.
1
 

y 2 dx   x  ye y  dy,




 Ответ : y  e  .
1
, y ( )  5
cos x
2 x
 Ответ : y  5cos x  sin x  .
1



y (0)  3  Ответ : x  e y (3  y )  .




1
1 1 

y (1)  1  Ответ : y  (1   x )  .
x
e e 

6.
xdy   e  x  y  dx,
7.
y 
8.
y  4 xy  2 xe x
9.
xy  y 2  (2 x  1) y  x 2  2 x.
10. y 
x 3

y(1)  2  Ответ : y 
.
2 x

y
y2

,
x 3 x 3
2
y

x2 
 x2
Ответ
:
y


e
(
C

) .

2 

1
1
1
y  y 2  2 , yч ( x)   .
x
x
x
Задания для самостоятельной работы
1.
x
2.
1  x  y  y   e x ,
2
 1 y  4 xy  3,
'
3. y  2 x  x2  y  ,


x3  3x 

y  0   0 Ответ : y 
.
2
2


x

1




1 

y  0   0  Ответ : y  e  x ln
.
1 x 

y  0  0
Ответ : y  x
2

1  ex .
2
4. cos ydx   x  2cos y  sin ydy,
 xy  1 ln x  2 y,
6.
x
7.
 2x  y  dy  ydx  4ln ydy,
 1 y  xy  x3  x,
8. y  3x 2 y  x 2 e x  0,
3
9. y  2 y  y 2 e x

4

1 1 
 2
 Ответ : x   sin y  
.
2  cos y 



ln 5 x  ln 2 x 
y  e   0  Ответ : y 
.
3


5.
2
y 0 
y
 2   1 Ответ : y  x 1.
2
Ответ : x  2ln y 1  y .
y(0)  1
y (0)  0
1 3 x3 

 Ответ : y  x e  .
3


1


.
 Ответ : y  2 x
x 
Ce  e 



1
10.  2 x 2 y ln y  x  y  y  Ответ : x 
.
2
y (C  ln y ) 



x4
2

11. xy  2 x y  4 y  Ответ : y  (C  ln x) 2  .
4


12. y 
13.
x 2x
e y
y
Ответ : y  e
x

x2  C .


dx  1
y 
   2 x  dy  Ответ : x  2
.
x y
y C 


1


14. xy  y  y 2 ln x  Ответ : y 
.
ln x  1  Cx 



2e x
15. y  y  y 2 cos x  0  Ответ : y  x
.
e (cos x  sin x)  C 

16. y  2 y 2 
6
.
x2
17. ye x  y 2  2 ye x  1  e 2 x ,
yч  e x .
18. y  y 2  2 y sin x  sin 2 x  cos x  0,
19. xy   2 x  1 y  y 2   x2 .
20. 3 y  y 2 
2
 0.
x2
yч  sin x.