Принцип Дирихле в графах

Принцип Дирихле в графах + …
1. (Задача Рамсея). Доказать, что в любой компании из шести человек всегда найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.
2. Доказать, что в полном графе из 6 вершин с ребрами двух цветов найдутся три вершины, образующие треугольник с ребрами одного цвета.
3. На плоскости отмечено 6 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждую пару
этих точек соединили красным или синим отрезком. Доказать, что найдутся три точки, образующие
треугольник одного цвета.
4. Шесть школьников участвуют в шахматном однокруговом турнире. Докажите, что всегда среди них
найдутся три участника турнира, которые либо провели все встречи между собой, либо еще не сыграли друг с другом ни одной партии.
5. Каждый из 17 ученых переписывается с остальными. В их переписке речь идет о трех темах. Каждая
пара ученых переписывается друг с другом лишь по одной теме. Доказать, что не менее трех ученых
переписываются друг с другом по одной и той же теме.
6. В компании из семи мальчиков каждый имеет среди остальных не менее трех братьев. Доказать, что
все семеро - братья.
7. В компании собралось 9 человек. Оказалось, что каждый дружит не менее, чем с пятью присутствующими. Доказать, что в компании найдутся три друга (каждый дружит с остальными двумя).
8. В трехмерном пространстве 9 точек размещены так, что никакие три не лежат на одной прямой.
Каждая точка соединена отрезками в точности с четырьмя другими. Доказать, что всегда найдется
хотя бы один треугольник с вершинами в этих точках.
9. В классе 25 учеников. Известно, что среди любых четырех учеников найдутся хотя бы два друга. Доказать, что в классе есть ученик, у которого не менее 8 друзей.
10. В школе 610 учеников. Известно, что среди любых 30 учеников школы найдутся хотя бы два друга.
Доказать, что есть ученик, у которого более 20 друзей.
11. К празднику 10 друзей послали друг другу открытки, так что каждый послал 5 открыток. Докажите,
что найдутся двое, которые послали открытки друг другу.
12. В компании 16 человек. Каждому из них нравятся 8 человек из компании. Доказать, что есть двое,
которые нравятся друг другу.
13. В однокруговом волейбольном турнире участвовали 14 команд. Доказать, что можно найти 3 команды, что любая из остальных 11 команд проиграла встречу хотя бы 1-й из этих 3-х команд (ничьих не
бывает).
14. Можно ли подобрать компанию где у каждого ее члена было бы ровно пять друзей, а у любых двух ровно два общих друга?
15. Можно ли подобрать компанию, где у каждого ее члена было бы ровно шесть друзей, а у любых двух
- ровно два общих друга?
16. В турнире в один круг участвуют 15 команд. Докажите, что в некотором матче встретятся команды,
сыгравшие перед этим в сумме нечетное число матчей.
…+ принцип крайнего
19. На плоскости отмечено n2 точек. Некоторые из них соединены дугами, но каждая пара не более,
чем одной. Доказать, что найдутся две точки, из которых выходит одинаковое количество дуг.
20. Доказать, что в компании из пяти человек по крайней мере двое имеют одинаковое число знакомых в
этой компании.
21. В розыгрыше кубка по футболу в один круг участвуют 30 команд. Доказать, что в любой момент
найдутся две команды, сыгравшие одинаковое количество игр.
22. Доказать, что у любого выпуклого многогранника найдутся две грани с равным числом сторон.
23. На конгрессе собрались ученые, среди которых есть друзья. Оказалось, что никакие двое ученых,
имеющих равное число друзей, не имеют общих друзей. Доказать, что найдется ученый, который
имеет ровно одного друга.