2_Lektsii (5,3 MБ)

Лекции
ТРИАНГУЛЯЦИЯ МНОГОУГОЛЬНИКА
Вяткина Кира Вадимовна
к.ф.-м.н., старший научный сотрудник
проблемной лаборатории вычислительной биологии
Санкт-ПетербургскогоАкадемического университета
В системах компьютерной графики сложные объекты нередко представляются посредством
полигональных моделей, обработка которых сводится к обработке большого количества
многоугольников. Многоугольники же для удобства обычно разбивают на треугольники, или
триангулируют. О свойствах триангуляций многоугольников и методах их построения
сейчас и пойдет речь.
Определение 1. Многоугольником будем называть область плоскости, ограниченную
замкнутой несамопересекающейся ломаной (Рис. 1).
Рис. 1. A) Многоугольник; b),c) фигуры, не являющиеся многоугольниками.
Определение 2. Диагональю многоугольника будем называть открытый отрезок с концами
в двух различных вершинах , целиком лежащий внутри (Рис. 2).
Рис. 2. A) Отрезок
– диагональ ; b), c) отрезок
не является диагональю .
Лемма 1. Для любого многоугольника , имеющего не менее 4 вершин, существует
диагональ.
Доказательство. Рассмотрим самую левую вершину
(т.е. вершину с наименьшей
абсциссой). В случае если таких вершин несколько, выберем из них самую нижнюю (т.е.
вершину с наименьшей ординатой). Обозначим выбранную вершину через .
Пусть и – вершины , смежные с . Если открытый отрезок
целиком лежит
внутри , он является диагональю. В противном случае внутри треугольника
лежит,
по крайней мере, одна вершина (Рис. 3). Рассмотрим все такие вершины и выберем из них
наиболее удаленную от прямой
; обозначим ее через . Проведем через
прямую ,
параллельную
; обозначим точки ее пересечения с ребрами
и
через
и
,
соответственно. Треугольник
не содержит внутри вершин ; следовательно, он
целиком лежит внутри . Значит, и отрезок
целиком содержится внутри
– а
следовательно, является диагональю.
Рис. 3. Отрезок
не является диагональю; внутри треугольника
имеются вершины .

Определение 3. Триангуляцией многоугольника называется разбиение на треугольники
максимальным множеством попарно непересекающихся диагоналей (Рис. 4).
Рис. 4. Триангуляция многоугольника.
Говоря о максимальном множестве диагоналей, обладающих указанным свойством,
мы подразумеваем, что ни одна из прочих диагоналей не может быть добавлена к данному
множеству без нарушения этого свойства.
Лемма 2. Для любого многоугольника
существует триангуляция. Любая триангуляция
многоугольника имеет
диагонали и
треугольника, где – число вершин .
Доказательство проведем, пользуясь методом математической индукции. Базе индукции
соответствует случай
; тогда
является треугольником, и для построения его
триангуляции, содержащей
треугольник, требуется
диагоналей.
Предположим теперь, что утверждение леммы справедливо для всех , меньших
некоторого значения , и докажем, что тогда оно будет выполнено и для
.
Рассмотрим произвольный -угольник . Согласно Лемме 1, для
существует
диагональ. Пусть
– диагональ . Тогда
разбивает на два многоугольника
и
с
и
вершинами, соответственно, причем
. Согласно индукционному
предположению, для
и
утверждение Леммы выполнено. Рассмотрим некоторые
триангуляции
и
многоугольников
и
, соответственно, заданные
множествами
и
их диагоналей.
Заметим, что каждая из диагоналей, содержащихся во множестве
, является
также и диагональю . А добавив к этому множеству
, мы получим множество
диагоналей, определяющих триангуляцию
многоугольника .
Заметим также, что
: действительно, обойдя границу каждого из
многоугольников
и , мы побываем во всех вершинах , причем
и мы посетим
дважды, а любую другую вершину
– ровно один раз. Обозначив через
и
диагоналей в и треугольников в
, получим:
|
,
(1)
.
(2)
Осталось показать, что любая триангуляция
многоугольника
определяется
диагоналями и содержит
треугольника. Выберем в
произвольную диагональ
: как и в предыдущем рассуждении, она разобьет на два многоугольника
и , для
каждого из которых верно индукционное предположение. Отсюда следует, что количество
диагоналей и треугольников в
также определяется формулами (1) и (2),
соответственно, что и завершает доказательство.

В сущности, теперь нам уже известен способ построения триангуляции
многоугольника : следуя схеме доказательства Леммы 1, выберем в диагональ , затем
выберем диагонали в каждом из многоугольников
и , на которые разбивает , и так
далее. Формально, наш алгоритм будет выглядеть так.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Алгоритм НаивнаяТриангуляция( )
Вход: – многоугольник
Выход: – множество диагоналей , задающих его триангуляцию
Если – треугольник
Выдать 
 диагональ
// и – многоугольники, на которые разбивает
 НаивнаяТриангуляция( )
 НаивнаяТриангуляция( )
D  
Выдать
Отметим, что на шагах 4 и 5 функция НаивнаяТриангуляция( ) вызывает сама себя;
напомним, что такие функции называются рекурсивными. Предложенный же нами алгоритм
решает задачу построения триангуляции, пользуясь простейшими соображениями, а при его
разработке мы не использовали никаких приемов для того, чтобы обеспечить высокую
скорость его выполнения или минимизировать затраты памяти, необходимые для его работы.
Алгоритмы такого типа принято называть наивными (naїve).
Оценим теперь время работы нашего алгоритма1. Проверка того, что отрезок
,
соединяющий две вершины -угольника , является диагональю, может быть выполнена за
время
: для этого достаточно проверить, не пересекает ли
какое-либо из ребер , а
если нет – лежит ли
внутри или снаружи многоугольника вблизи вершин и (см. Рис.
2). Всего имеется
вариантов выбора вершин
и ; таким образом, время,
Если Вы не знакомы с нотацией «O большое», замените для себя этот абзац упрощенной фразой: «В ходе
построения триангуляции -угольника алгоритм НаивнаяТриангуляция выполнит приблизительно
несложных операций».
1
затрачиваемое на поиск диагонали –угольника, составляет
. В наименее благоприятном
для нас случае найденная диагональ разобьет на
-угольник и треугольник; таким
образом, временная сложность алгоритма НаивнаяТриангуляция является решением
рекуррентного соотношения
и составляет
.
Однако алгоритм c такой временнóй сложностью заведомо окажется слишком
медленным для решения большинства практических задач. Для того чтобы это осознать,
давайте предположим, не вдаваясь в детали, что для построения триангуляции -угольника
необходимо выполнить
операций, каждая из которых потребует 1 миллисекунды. Тогда
для построения триангуляции 10-угольника нам потребуется 10 секунд, 100-угольника –
секунд, или приблизительно 28 часов, а 1000-угольника –
секунд, или примерно 32 года
(!). Это означает, что следующей нашей целью должна стать разработка более эффективного
алгоритма, нежели описанный выше.
Определение 4. Пусть
– триангуляция многоугольника . Граф
, двойственный
триангуляции
, строится следующим образом: каждому треугольнику триангуляции
ставится в соответствие вершина графа, а вершины и соединяются ребром в том
и только том случае, если треугольники и имеют общую сторону (Рис. 5).
Рис. 5. Триангуляция многоугольника и двойственный ей граф.
Лемма 3. Граф
является деревом, степень каждой из вершин которого не превосходит
3.
Доказательство.
(1) Граф
связен (предлагаем читателю самостоятельно доказать это несложное
утверждение).
(2) Из того, что любая диагональ многоугольника разбивает его на две части, следует,
что удаление любого ребра из графа
нарушает его связность.
Из (1) и (2) заключаем, что
– дерево.
Каждая вершина
соответствует некоторому треугольнику, который смежен по
ребру не более чем с тремя другими треугольниками из
. Следовательно, степень любой
вершины
не превосходит 3.

Определение 5. Пусть , , – три последовательные вершины многоугольника , такие,
что отрезок
является диагональю . Тогда треугольник
называется ухом , а
вершина – центром этого уха (Рис. 6).
Рис. 6. Треугольник
является ухом
с центром в вершине .
Лемма 4. У любого многоугольника
есть, по крайней мере, два уха, не имеющих общих
внутренних точек.
Доказательство. Рассмотрим произвольную триангуляцию
многоугольника
и
двойственный ей граф
. Согласно Лемме 3,
– дерево. Заметим, что листья
соответствуют ушам , не имеющим общих внутренних точек. Так как у любого дерева есть,
по крайней мере, два листа, у найдется не менее двух ушей, удовлетворяющих условию
Леммы.
Теперь мы можем предложить более эффективный алгоритм построения
триангуляции многоугольника: на каждом его шаге мы будем отрезать текущему
многоугольнику ухо и переходить к обработке полученного при этом многоугольника с
числом вершин на 1 меньше.
Проверка того, определяют ли три последовательные вершины , ,
-угольника
его ухо, сводится к проверке того, является ли
диагональю ; как нам уже известно, ее
можно выполнить за время
. Число троек последовательных вершин, которые нам
придется перебрать при поиске уха , также составляет
. Тим образом, время,
затрачиваемое на отрезание уха -угольника, составляет
. Отсюда следует, что
временная сложность алгоритма «отрезание ушей» является решением рекуррентного
соотношения
и составляет
. Однако нетрудно ее уменьшить, используя следующее наблюдение.
Предположим, что для -угольника мы нашли все уши, а затем отрезали одно из
них – треугольник
, где
– диагональ . Тогда все уши
с центрами в вершинах,
отличных от и , являются ушами полученного в результате
-угольника , и для
нахождения всех ушей нам остается только выяснить, имеет ли уши с центрами в или
. Таким образом, при обработке исходного многоугольника мы затратим на нахождение
ушей
времени, а на всех последующих – лишь
. Итоговая сложность алгоритма
при этом составит
.

Определение 6. Граф -раскрашиваем, если его вершины могут быть раскрашены в
таким образом, что никакие две вершины одного цвета не будут смежны.
Рассмотрим теперь граф триангуляции T(
вершины , а ребрами – ребра и диагонали
.
цветов
), вершинами которого являются
Рис. 7. Граф триангуляции 3-раскрашиваем.
Лемма 5. Граф T(
) 3-раскрашиваем.
Доказательство. Приведем описание алгоритма, позволяющего получить требуемую
раскраску вершин.
Выберем произвольный треугольник из
и раскрасим его вершины в три различных
цвета. Таким образом, для уже раскрашенных вершин требуемое условие будет выполнено.
Данное свойство будет инвариантом нашего алгоритма – то есть, мы обеспечим его
выполнение на каждом шаге.
Далее будем просматривать треугольники из
, имитируя поиск в ширину на графе,
двойственном
, с началом в вершине, соответствующей . Заметим, что у каждого
последующего треугольника в момент обработки две вершины будут уже выкрашены в
различные цвета, и его обработка, таким образом, сведется к закрашиванию третьей
вершины неиспользованным цветом. По завершении работы алгоритма мы получим
требуемую раскраску вершин T(
).

В заключение рассмотрим так называемую задачу о картинной галерее (Art Gallery Problem)
– одну из классических задач вычислительной геометрии. Картинная галерея (или, точнее, ее
план) представлена многоугольником
на плоскости; требуется расставить в ней
охранников, представленных точками, таким образом, чтобы каждая точка галереи была под
наблюдением, а количество охранников оказалось минимальным возможным (Рис. 8). При
этом мы считаем, что точка видна из точки , если открытый отрезок
целиком лежит
внутри .
Рис. 8. Пример многоугольника, для охраны которого необходимо и достаточно трех точечных охранников.
Область, видимая из нижней точки, выделена серым.
Наивный алгоритм решения этой задачи заключается в том, чтобы триангулировать , а
затем поместить по одному охраннику в каждый из полученных треугольников. Для этого
нам потребуется
охранника. Однако мы сейчас докажем, что заведомо можно обойтись
и меньшим их числом.
Теорема 1. Для многоугольника
с
вершинами,
точечных охранников всегда
достаточно и иногда необходимо для расстановки, при которой каждая точка находилась
бы под наблюдением.
Доказательство. Построим триангуляцию
многоугольника. Согласно Лемме 5, граф
триангуляции T(
) 3-раскрашиваем. С помощью алгоритма, используемого при
доказательстве Леммы 5, построим соответствующую раскраску вершин и выберем цвет, в
который окрашено наименьшее количество вершин. Заметим, что число таких вершин не
превосходит . Поместив по охраннику в каждую из этих вершин, мы получим требуемую
их расстановку.
Пример многоугольника, для которого
охранников является необходимым их
количеством, приведен на Рис. 9: для каждого из треугольных «зубцов» потребуется
отдельный охранник.

Рис. 9. Пример многоугольника, для «охраны» которого необходимо
точечных охранников.
На этом мы завершаем наш краткий экскурс в задачи триангуляции и смежные им вопросы.
Читателю, желающему узнать о них больше, а также познакомиться с другими задачами и
методами вычислительной геометрии, мы рекомендуем обратиться к одной из
замечательных монографий [1-3], из которых в русскоязычном переводе доступна, к
сожалению, лишь одна.
Литература
1. M. De Berg, O. Cheong, M. Van Kreveld, and M. Overmars. “Computational Geometry:
Algorithms and Applications”. (Third edition). Springer-Verlag, Heidelberg, 2008.
2. J. O’Rourke. “Computational Geometry in C”. Cambridge University Press, Second Edition,
September 1998.
3. F. Preparata and M. Shamos. “Computational Geometry: An Introduction”. Springer-Verlag,
1985. (Пер. с англ.: Ф. Препарата, М. Шеймос. «Вычислительная геометрия:
введение». М.: Мир, 1989, 478 с.)
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ КОМПЬЮТЕРОВ БУДУЩЕГО
Федотов Валерий Павлович
к.ф.-м.н., доцент НИУ ИТМО
В числе атрибутов того или иного этапа развития человеческой цивилизации можно
указать на диапазон чисел, востребованных исторической эпохой. Соответственно
развиваются языковые средства (прежде всего, количественные числительные) и способы
записи чисел – системы счисления. Счет первобытных народов редко выходит за пределы
первого десятка. Анализ представления чисел с помощью римских цифр явно указывает на
то, что древним римлянам приходилось иметь дело с числами, едва превышавшими 10 3. К
концу XX века этот диапазон достиг 1080. Именно таков предел для представления чисел в
компьютерах и микрокалькуляторах (если не прибегать к специальным ухищрениям).
Примерно такова же оценка для числа элементарных частиц во вселенной. Поэтому
естественные науки никогда не потребуют чисел вне этого диапазона, а ни «традиционная»
техника, ни экономика к его границе пока даже и не приближаются. Наконец, именно в
районе 1080 обрывается список имен числительных, которые можно встретить в словарях.
Но, между тем, рубеж тысячелетий стал рубежом исторических эпох: произошла
информационная революция. Наступившее время характеризуется тотальным внедрением
компьютерной техники во все сферы человеческой жизни. Соответственно возникает
потребность и в резком расширении диапазона чисел. Ее стимулируют теоретические
исследования в области информатики, криптографии и ряда смежных дисциплин, а также
борьба с катастрофической потерей точности, возникающей в процессе вычислений.
Безобидный вопрос: сколькими способами можно заполнить информацией стандартную
дискетку, – приводит к числу около 10350000, запись всех цифр которого в десятичной системе
займет более ста толстых томов. Поэтому и встал вопрос о новых системах счисления.
Один из основателей информатики Джон фон Нейман доказал теорему о том, что
среди всех основных позиционных систем счисления именно троичная система счисления
позволяет наиболее эффективно сворачивать информацию о вещественном числе. Этот факт
базируется на том, что именно 3 ближе всех целых чисел к основанию e2.718 натуральных
логарифмов. Названный эффект можно усилить, если вместо традиционных систем
счисления использовать более сложные конструкции башенных, итерационных и
интервальных систем, построенные автором и моими учениками.
В отличие от традиционных, в основе только что упомянутых систем счисления лежит
информационный принцип: каждый очередной бит последовательно уточняет информацию о
положении точки на числовой оси. Это становится важным, например, при параллельных
вычислениях: первые цифры числа можно передавать очередному этапу алгоритма еще
задолго до того, как найдены последующие цифры. При традиционной же записи числа
первые цифры вообще не несут никакой информации о величине числа до тех пор, пока
неизвестен его порядок или положение разделяющей точки (однако все последующие цифры
вполне соответствуют этому требованию).
Первый бит информации о числе, чаще всего, совпадает с его знаком. Он служит
ответом на вопрос о сравнении числа с нулем. В качестве второго бита разумно взять знак
порядка (то есть, знак логарифма; причем совершенно безразлично, идет ли речь о
натуральных, десятичных, двоичных логарифмах, либо по другому основанию, большему
единицы). Этот бит служит ответом на вопрос о сравнении положительного числа с 1 или
отрицательного числа с –1.
В качестве последующих битов записи числа можно брать ответ на вопрос о
сравнении данного числа с числами из некоторой последовательности. Проблема в том, как
задать саму последовательность. Алгоритм формирования последовательности нужно
выбрать заранее, хотя конкретные ее члены будут строиться уже в зависимости от числа.
Все члены всех таких последовательностей с учетом порядка, в котором они могут
появиться, удобно представить в виде дерева базовых точек данной системы счисления.
Чтобы получить какую-либо итерационную систему счисления, в качестве чисел для
сравнения берут корни последовательных итераций нужной монотонной функции. В
частности, если эта функция – логарифм, основание которого не меньше e1/e.4447, то
получится башенная система счисления. Именно башенные системы счисления позволяют
убить двух зайцев. Во-первых, они лучше всего усиливают эффект названной теоремы фон
Неймана. Во-вторых, сравнительно небольшим количеством цифр они позволяют записать
числа, абсолютная величина которых не доступна не только словесной формулировке, но
даже богатому воображению. Как и в уравновешенной троичной системе, в
информационных системах счисления в роли цифр выступают буквы N, O, P со значениями –
1, 0 и +1 (с учетом модификации).
Базовой (узловой) точкой системы счисления называется число, которое имеет в этой
системе счисления конечную (по количеству цифр) запись. Минимально возможное число
цифр такой записи (без учета крайних нулей и вспомогательных знаков) называется уровнем
базовой точки. Например, в десятичной системе счисления: дробь 1/2=0.5 является базовой
точкой первого уровня, дробь 1/4=0.25 является базовой точкой второго уровня, а дробь
1/3=0.333333... вообще не является базовой точкой.
Если же речь идет об интервальных системах счисления [4], то их базовые точки
естественным образом (с учетом как неравенств между ними, так и вхождений записи одного
числа в качестве подстроки в запись другого числа) выстраиваются в двоичное дерево.
Вершиной дерева (и единственной на нулевом уровне базовой точкой) служит число,
записываемое одной лишь цифрой O (в любой башенной системе счисления это 0). На
первом уровне лежат два числа – NO и PO (в любой башенной системе счисления это –1 и 1).
На втором уровне лежат четыре числа – NNO, NPO, PNO, PPO (они равны –d, –1/d, 1/d и d ,
где через d обозначено основание башенной системы счисления). На третьем уровне лежат
восемь чисел – NNNO, NNPO, NPNO, NPPO, PNNO, PNPO, PPNO и PPPO (равные
соответственно –dd , –d1/d , –1/d1/d , –1/dd, 1/dd , 1/d1/d , d1/d и dd ). Аналогично, на каждом
последующем уровне число базовых точек удваивается (на k-ом уровне имеем 2k точек).
Запись каждого из этих чисел содержит k+1 цифру. Последней цифрой записи является O, а
k предыдущих цифр могут быть любой последовательностью цифр N и P.
В случае башенных систем счисления множество базовых точек имеет довольно
интересную геометрию. Оно обладает обоими атрибутами фракталов: самоподобием и
дробной размерностью. Причем оба свойства относятся не только к множеству базовых
точек, но и продолжаются на связи между ними (иерархию дерева и неравенства).
В последние годы все основные параметры компьютерной техники ежегодно
вырастали в среднем в 4 раза (в тысячу раз за 5 лет). Ясно, что их экспоненциальный рост не
может продолжаться бесконечно (в частности, этому препятствует и атомное строение
вещества). Как только он прекратится, производители начнут искать другие пути
усовершенствования компьютерной техники. И тогда они вынуждены будут отказаться от
двоичной системы счисления в пользу башенных систем.
Еще одним направлением применения новых систем счисления может стать
криптография. Файл любого назначения представляет собой последовательность байтов.
Поэтому его можно прочесть как число в системе счисления с основанием 256. Перевод его в
любую из информационных систем счисления затрудняет чтение файла. А если еще и
прочитать затем ту же последовательность цифр из другой системы счисления, то такой
способ шифрования создает абсолютную защиту информации.
КОНГРУЭНТНЫЕ ЧИСЛА
Лурье Борис Бениаминович
д.ф.-м.н., старший научный сотрудник ПОМИ РАН
Рациональное число S называется конгруэнтным, если существует прямоугольный
треугольник с рациональными сторонами и площадью S. Конгруэнтными числами
интересовались ещё древние математики, но почти исчерпывающий ответ на вопрос,
является ли данное число конгруэнтным, был дан лишь в конце прошлого столетия.
Заметим прежде всего, что произвольное число S и число Sq2 при рациональном q
конгруэнтны либо неконгруэнтны одновременно, так как возможно подобие с
коэффициентом q. Поэтому в качестве площади достаточно рассматривать натуральные
числа, свободные от квадратов (то есть произведения различных простых). Произвольный
треугольник с рациональными сторонами посредством подобия можно превратить в
целочисленный со взаимно простыми сторонами (пифагоров треугольник). При этом
площадь умножится на квадрат целого числа. Параметрические выражения для сторон
пифагорова треугольника хорошо известны: a=u2-v2, b=2uv, c=u2+v2, при этом площадь
такого треугольника равна uv(u+v)(u-v). Итак, бесквадратное число S является конгруэнтным
в том и только том случае, когда разрешимо в натуральных числах уравнение
uv(u+v)(u-v)=Sw2
(1)
(причем числа u,v – взаимно простые различной четности).
Египетский треугольник (3,4,5) имеет площадь 6 (в уравнении (1) надо взять u=2, v=1).
Сложнее проверить, что число 5 также конгруэнтное: самое простое решение (1) при S=5 –
u=5, v=4, w=6, определяющее треугольник со сторонами (3/2, 20/3, 41/6) и площадью 5.
Аналогично, и число 7 – конгруэнтно (u=16, v=9, w=60).
Докажем, что число 2 не конгруэнтно. Если это не так, то существуют такие натуральные
u,v,w (причем u,v – взаимно простые разной четности), что
uv(u+v)(u-v)=2w2.
Ввиду взаимной простоты сомножителей в левой части равенства один из этих
сомножителей является удвоенным квадратом, а остальные три – квадратами натуральных
чисел; при этом u+v, u-v – нечетные. Рассмотрим оба возможных случая.
1. u=2q2; v=r2; 2q2+r2=s2; 2q2-r2=t2.
2. u=q2; v=2r2; q2+2r2=s2; q2-2r2=t2.
Нереализуемость первого случая легко устанавливается посредством сравнений. Поскольку
r,s,t – нечетные, то третье равенство означает, что 2q2≡0(mod8), а четвёртое – что
2q2≡2(mod8).
Гораздо сложнее и интереснее второй случай. Здесь мы имеем: 2q2=s2+t2, 4r2=s2-t2. Значит,
2
q =((s+t)/2)2+((s-t)/2)2, то есть числа (s+t)/2, (s-t)/2, q образуют пифагорову тройку. Значит,
(s+t)/2=x2-y2, (s-t)/2=2xy (либо наоборот). Но тогда 4r2=(s+t)(s-t)=8(x+y)(x-y)xy, откуда
xy(x+y)(x-y)=2(r/2)2. И мы получили такое же равенство, от которого начинали исследование,
но в числах, которые меньше исходных! Исходя из равенства
xy(x+y)(x-y)=2(r/2)2 и
повторяя рассуждения, мы придём к такому же, но с ещё меньшими значениями и т.д. Но
убывающая последовательность натуральных чисел не может быть бесконечной. и получено
противоречие.
Продемонстрированный метод носит название «бесконечного спуска».
Ещё проще проверяется, что не конгруэнтно число 1. Аналогично предыдущему можно
доказать, что неконгруэнтны простые числа, сравнимые с 3 по модулю 8. Более громоздким
перебором вариантов доказывается, что не являются конгруэнтными числа вида 2р, когда р –
простое, сравнимое с 5 по модулю 8.
Но такие исследования, не лишенные интересных идей и остроумия, всё же довольно
кустарны. Концептуально иной подход – включение проблемы конгруэнтных чисел в
тематику, связанную с изучением эллиптических кривых.
Делая в уравнении (1) замены X=uS/v, Y=wS2/v2, мы приходим к уравнению
Y2=X(X+S)(X-S)
(2).
Эллиптической кривой называется плоская кривая, заданная уравнением Y2=f(X), где f –
многочлен третьей степени без кратных корней. Уравнение (2) задаёт именно такую кривую.
Если (x1,y1) – какая либо рациональная точка с ненулевой ординатой на кривой (2), то
найдётся и решение уравнения (1) в натуральных числах. Действительно, представим x1/S в
виде несократимой дроби u1/v с натуральным v. Тогда
u1v(u1+v)(u1-v)=Sw2, где w= y1v2/S2.
Поскольку
сомножители в левой части взаимно простые, а S свободно от квадратов. то w – число целое.
Если u1>0, то мы имеем искомое решение уравнения (1). Если же u1<0, то положив u=-u1,
приходим к равенству vu(v+u)(v-u)=Sw2, и поэтому пара (v,u) – искомая.
Итак, для того, чтобы число S было конгруэнтным, необходимо и достаточно, чтобы на
эллиптической кривой (2) существовала рациональная точка с ненулевой ординатой.
Подход, связанный с изучением эллиптических кривых, оказывается весьма эффективным
при решении многих задач. Достаточно вспомнить, что именно на этом пути было получено
доказательство Великой теоремы Ферма.
Одно из замечательных свойств эллиптических кривых состоит в том, что на них можно
«складывать» точки. Если заданы две точки на эллиптической кривой, то через них можно
провести прямую, которая (при несовпадении абсцисс этих точек) пересечет нашу кривую
еще в одной точке (ведь f(X) - многочлен третьей степени!). Она, впрочем, может совпасть с
одной из заданных точек, если имеет место касание. Под «суммой» наших точек понимается
точка, симметричная полученной относительно оси абсцисс. Если точки-слагаемые
симметричны (то есть имеют одинаковые абсциссы), суммой считается так называемая
«бесконечно удалённая точка», выполняющая роль нуля на множестве точек нашей кривой.
«Удвоить» точку на кривой – значит провести касательную к кривой в данной точке, найти
точку пересечения с кривой и отразить относительно оси X.
Если многочлен f(X) имеет рациональные коэффициенты и точки-слагаемые также
рациональны, то и сумма имеет рациональные координаты.
Конечно, говоря о секущих, касательных, точках пересечения, мы имеем в виду
аналитические выражения, а не геометрические построения.
Пусть, например, рассматривается число S=6. Египетскому треугольнику отвечают
значения (2,1) из уравнения (1) и эллиптическая кривая Y2=X(X+6)(X-6) с точкой
(x1,y1)=(12,36). Удвоим эту точку. Касательная в этой точке к нашей кривой задаётся
уравнением y=(11x-60)/2 (вообще, угловой коэффициент касательной к эллиптической
кривой определяется из уравнения 2YY′=f′(X)). Подставляя уравнение касательной в
уравнение кривой, получаем удвоенную точку (x2,y2)=(25/4,-35/8). (Искомую абсциссу проще
всего искать через формулы Виета). Этой новой точке отвечают значения u2=25, v2=24,
w2=70, и новый треугольник с площадью 6 имеет катеты 7/10, 120/7 и гипотенузу 1201/70.
При утроении получаем абсциссу x3=16428/529, откуда u3=2738, v3=529, w3=1349901 и новый
треугольник с площадью 6. Этот процесс можно продолжать.
Можно доказать, что если S – конгруэнтное число, то существует бесконечно много
прямоугольников с рациональными сторонами и данной площадью.
Как уже говорилось выше, проблема конгруэнтных чисел получила почти полное решение
в конце прошлого века, и именно на пути развития теории эллиптических кривых. Это
решение даётся теоремой Туннелла (J.Tunnell). Но прежде. чем сформулировать её, придётся
сделать небольшое отступление.
В теории эллиптических кривых важную роль играет гипотеза Бёрча-Свиннертон-Дайера
(это два математика: B.J.Birch и H.P.F.Swinnerton-Dyer). Изложить её здесь невозможно – она
требует очень серьёзных предварительных знаний. Многочисленные свидетельства и
косвенные соображения не оставляют сомнений в её справедливости. Для наших целей
достаточно принять эту гипотезу в ослабленном виде.
Изложим теперь результат Дж.Туннелла.
1. Пусть S – нечетное бесквадратное число. Рассмотрим всевозможные представления S в
виде x2+2y2+8z2, где x,y,z - целые числа (включая нуль и отрицательные). Ясно, что
таких представлений конечное число (может и вообще не быть). Если количество
указанных представлений при четных z и при нечетных z различно, то число S не
конгруэнтно (и это абсолютный результат; он ни от каких гипотез не зависит). Если же
количество представлений при четных и нечетных z одинаково, и справедлива гипотеза
Бёрча-Свиннертон-Дайера, то число S конгруэнтное.
2. Пусть S – четное бесквадратное число, то есть S=2m. Рассматриваются всевозможные
целочисленные представления числа m в виде m=x2+4y2+8z2. Далее – всё как в
предыдущем пункте.
Рассмотрим некоторые примеры.
1.S=73. Уравнение x2+2y2+8z2=73 имеет следующие целочисленные решения: (±1,±6,0),
(±3,±4,±2), (±1,0,±3). При четных z имеется 12 представлений, а при нечетных – 4.
Значит, число 73 не конгруэнтно.
2. Пусть S≡7(mod8). Нет ни одного представления S в указанном виде. Значит, все
такие числа конгруэнтны по модулю БСД-гипотезы. Те же соображения справедливы
для чисел, сравнимых с 5 или 6 по модулю 8.
3. Пусть S=41. Уравнение x2+2y2+8z2=41 имеет следующие решения: (±3,±4,0),
(±1,±4,±1) , (±5,±2,±1), (±3,0,±2), (±1,±2,±2). Количество представлений при четных и
при нечетных z одинаково. По модулю БСД-гипотезы число 41 – конгруэнтное. Явное
решение: 25х16х(25+16)х(25-16)=41х602 служит дополнительным подтверждением
гипотезы.
ВЫИГРЫШНЫЕ И ПРОИГРЫШНЫЕ ПОЗИЦИИ И ФУНКЦИЯ ГРАНДИ.
Дворкин Михаил Эдуардович
Санкт-Петербургский Академический университет —
Лицей «Физико-техническая школа»,
учитель информатики
Будем рассматривать игры для двух игроков следующего вида:
–
с полной информацией — то есть оба игрока обладают полными знаниями о ситуации
на игровом поле (например, «домино» не является таковой, так как игрок не знает, какие
кости на руке у оппонента);
–
игроки делают ходы по очереди;
–
проигрывает игрок, который не может сделать ход.
А также потребуем дополнительное условие:
–
правилами игры гарантируется, что позиция в игре не может повториться (например, с
каждым ходом строго уменьшается некоторый параметр).
В скобках заметим, что если множество возможных позиций в игре — конечное, то можно
рассмотреть ориентированный граф, в котором вершины — это все возможные позиции в
данной игре, а ребра соответствуют допускаемым правилами ходам. Поэтому описываемый
класс игр называют «игры на графах». Дополнительное же условие требует, чтобы граф был
ациклический, и соответствующий класс игр — «игры на ациклических графах».
В качестве примера рассмотрим следующую игру: на столе лежит n камней; игроки по
очереди делают ходы; ход заключается в удалении 1, 2 или 3 камней из кучи; проигрывает
тот, кто не может сделать ход, то есть видит перед собой кучу из 0 камней (ведь иначе он
может сделать ход — убрать 1 камень). В скобках: вершины соответствующего графа
соответствуют позициям «0 камней», «1 камень», …, «n камней», а ребра ведут из вершины
«p камней» в вершину «q камней» тогда и только тогда, когда 1 ≤ p-q ≤ 3.
«Классический» анализ заключается в разбиении позиций игры на выигрышные и
прогрышные. Позиция назвыается выигрышной, если для игрока, начинающего в ней,
существует выигрышная стратегия — то есть стратегия, приводящая его к выигрышу при
любой игре оппонента. Позиция называется проигрышной, если начиная с нее, игрок не
может выиграть при оптимальной игре оппонента.
«Классическое» правило классификации позиций на выигрышные и прогрышные звучит так:
–
если из позиции нельзя сделать ход, то она проигрышная (просто по правилам игры);
–
если из позиции можно сделать ход в проигрышную позицию, то она выигрышная
(игроку следует сделать этот ход и оставить оппонента в невыгодном положении);
–
если из позиции все ходы ведут в выигрышную позицию, то она прогрышная (какой
бы ход ни сделал игрок, оппонент сможет выиграть).
Расставлять пометки «выигрышная» и «проигрышная» следует в таком порядке, чтобы при
рассмотрении позиции те позиции, в которые из нее можно сделать ход, были уже
обработаны. Найти правильный порядок рассмотрения в общем случае поможет алгоритм
топологической сортировки, но во многих частных случаях такой порядок — естественный и
тривиальный.
N= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Позиция: П В В В П В В В П В
«Классический» анализ игры со взиятем 1—3 камней.
А теперь определим другие пометки для позиций, более информативные, чем «выигрышная и
проигрышная». В том же порядке, что и раньше, расставим пометки согласно следующему
правилу:
Пометка в позиции p — это минимальное неотрицательное целое число, которое не
встречается среди пометок вершин, в которые можно сделать ход из позиции p.
Пометка в позиции p называется функцией Гранди позиции p.
N= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Функция Гранди: 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1
Функция Гранди позиций игры со взятием 1—3 камней.
Это значение — минимальное неотрицательное целое число, не содержащееся в множестве S,
— имеет специальное обозначение: mex S, от слов minimal exclusion.
Утверждение. Функция Гранди равна 0 в позициях, являющихся проигрышными в
«классическом» анализе, и только в них.
Доказательство. Рассмотрим позиции в порядке их обработки при «классическом» анализе и
убедимся, что для каждой очередной позиции утверждение выполнено.
Если в «классическом» анализе позиция отмечалась проигрышной, так как хода из нее
сделать нельзя, то и функция Гранди в ней определена как mex пустого множества и равна 0.
Если позиция отмечена как выигрышная, то есть из нее можно сделать ход в проигрышную
позицию, то множество функций Гранди достижимых из нее позиций содержит ноль, а
значит mex этого множества — положительный.
Наконец, если из позиции можно сделать ход только в выигрышные позиции, вследствие чего
она была отмечена как проигрышная, то функции Гранди всех позиций, достижимых из нее,
положительны, а mex множества положительных чисел равен 0. Конец доказательства.
Итак, предложенная нотация не менее содержательна, чем концепция выигрышных и
проигрышных позиций. А теперь покажем, что она еще и весьма полезна — исследуем игры,
устроенные как «сумма» нескольких других игр.
Определение. Суммой игр G1, …, Gn называется игра для двух игроков, в которой позицией
является набор (p1, …, pn) позиций в играх G1, …, Gn соответственно, а ход заключается в
совершении одного хода ровно в одной из этих игр. Проигрывает снова тот, кто не может
сделать ход (ни в одной игре).
Проще говоря, рассмотрим ситуацию, когда двое игроков играют в несколько игр
«одновременно», делая по очереди ровно один ход ровно в одной из игр.
Теорема (Гранди). В сумме игр G1, …, Gn функция Гранди совокупной позиции (p1, …, pn)
равна побитовому исключающему «или» функций Гранди позиций p1, …, pn.
Пояснение. Исключающее «или» — это функция от двух агрументов, заданная таблицей:
a | b | a ⊕b
---+---+------0|0| 0
0|1| 1
1|0| 1
1|1| 0
Таблица истинности функции a ⊕ b — исключающего «или» двух аргументов.
Побитовое применение операции к двум числам можно описать так: числа выписываются в
двоичной системе счисления друг под другом, выровненные по правому краю, после чего в
каждом столбце операция применяется независимо от других столбцов.
3 = 112
5 = 1012
---6 = 1102
Пример: 3 ⊕ 5 = 6.
Доказательство. Рассмотрим произвольную позицию (p1, …, pn). Пусть исключающее «или»
функций Гранди этих позиций равно x. Покажем, что сделав один ход в одной игре игрок
может перейти в позицию с любым исключающим «или» строго меньшим x, и не может
перейти в позицию с исключающим «или» равным x.
Ведь когда мы докажем это утверждение, мы докажем, что понятие «исключающее “или”
функций Гранди составляющих позиций» определяется ровно по тому же правилу, что и
понятие «функция Гранди совокупной позиции» (причем оба понятия определяются
однозначно), а значит, они тождественно равны.
Сперва докажем, что исключающее «или» точно перестанет быть равным x. Действительно,
сделав ход в одной игре, игрок изменит функцию Гранди текущей позиции в этой игре с
некоего y на некое z ≠ y (по определению функции Гранди). Рассмотрим разряд (здесь и
далее: в двоичной системе счисления), в котором отличаются y и z. В соответстветствующем
столбце при вычислении побитового исключающего «или» до этого хода стояла одна цифра,
а после хода — другая. Значит, (подумайте, почему это так!) новое исключающее «или» в
этом столбце будет отличаться от старого.
Теперь покажем, что для любого t < x существует ход, после которого исключающее «или»
функций Гранди составляющих позиций станет равным t.
Рассмотрим старший из разрядов, в которых различаются t и x. Так как t < x, то в этом
разряде x имеет цифру 1, а t — цифру 0. Цифра 1 означает, что хотя бы в одной из
составляющих позиций в этом разряде стоит 1 (иначе, общее ислючающее «или» равнялось
бы 0). Выберем любую из игр, в функциях Гранди которых в этом разряде стоит 1, назовем ее
H, а соответствующую функцию Гранди — h.
Искомый ход — это ход в игре H, переводящий эту игру в позицию с функцией Гранди
h ⊕ x ⊕ t. Действительно, после этого хода общее исключающее «или» позиций нового
положения будет равняться (x ⊕ h) ⊕ (h ⊕ x ⊕ t) = t. Здесь первая скобка — исключающее
«или» функций Гранди позиций всех во всех играх кроме H, то есть оставшихся
неизменными, а вторая — функция Гранди новой позиции в игре H. (Проверьте свойства
исключающего «или», которые позволили написать это равенство!)
Осталось показать, что такой ход существует. Число h ⊕ (x ⊕ t) отличается от h ровно в тех
разрядах, в которых x отличается от t. Старший из таких разрядов был рассмотрен выше, и
мы как раз выбрали игру H, чтобы в h в этом разряде стояла 1. А значит, в числе h ⊕ x ⊕ t в
этом разряде стоит 0, а все остальные отличия приходятся на более младшие разряды.
Следовательно, h ⊕ x ⊕t меньше, чем h. И по определению функции Гранди в игре H есть
ход из текущей позиции (с функцией Гранди h) в какую-нибудь позицию с функцией Гранди
h ⊕ x ⊕ t, так как это меньшее число. Конец доказательства.
Напоследок, приведем пример. Допустим двое игроков играют сразу в три «копии»
описанной выше игры, позиции в которых: N=6, N=7 и N=9. Функции Гранди у этих позиций
равны соответственно 2, 3 и 1. А значит, функция Гранди совокупной позиции в игре-сумме
равна 2 ⊕ 3 ⊕ 1 = 0, или, иными словами, эта позиция проигрышна (можно сдаваться).
Второй пример — пусть игроки играют в четыре «копии» той же игры, и текущие позиции:
N=7, N=8, N=8, N=9. Соответствующие функции Гранди равны 3, 0, 0 и 1. Функция Гранди в
игре-сумме равна 3 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 1 = 2. То есть текущая позиция выигрышная. Найдем же
выигрышный ход! Необходимо оставить противнику позицию с исключающим «или»
равным 0. В терминах приведенного выше доказательства, x=2, t=0, и старший разряд, в
котором эти числа отличаются — это разряд «двоек» (разряд предпоследних цифр). По
приведенной конструкции, нам нужна позиция, у которой в функции Гранди в этом разряде
стоит 1. Такая игра в нашем примере только одна — это игра с N=7 и функцией Гранди
текущей позиции равной h=3. Именно в этой игре нужно сделать ход в позицию с функций
Гранди h ⊕ x ⊕ t = 3 ⊕2 ⊕ 0 = 1. (Как и обещалось в доказательстве теоремы, это число
меньше h). Такой ход (по определению) существует: надо перейти из позиции N=7 в позицию
N=5. Можно убедиться, что оставляемая противнику совокупная позиция из игр N=5, N=8,
N=8, N=9 является проигрышной.
НЕРАЗРЕШИМЫЕ ЗАДАЧИ
Дворкин Михаил Эдуардович
Санкт-Петербургский Академический университет —
Лицей «Физико-техническая школа»,
учитель информатики
Любую ли задачу можно решить с помощью программирования? Для кого-то было бы
заманчиво, но мы покажем, что ответ — нет.
Теорема. Существует задача, для которой не существует программы, которая ее решает.
(Выберем и зафиксируем любой язык программирования, назовем его P).
Неконструктивное доказательство.
Множество всех возможных программ на языке программирования P — это множество
текстов конечного размера над конечным алфавитом, а значит, это не более чем счетное
множество.
Теперь рассмотрим множество задач вида «проверить, принадлежит ли данное натуральное
число некоторому множеству S». (Например, «проверить простоту данного числа» и т. д.)
Таких задач столько же, сколько множеств S — множеств натуральных чисел. Их несчетное
множество.
А значит, нельзя каждой задаче поставить в соответствие программу, ее решающую. То есть
существуют задачи, не решаемые программами. (Причем их в некотором смысле много
больше, чем решаемых задач.)
Конструктивное доказательство.
Рассмотрим задачу об останове на конкретных входных данных:
Ввод — программа p (на языке программирования P) и строка s.
Вывод — «Yes» или «No»: верно ли, что программа p, если ее запустить и подать на вход
строку s, завершит свою работу (за конечное время).
Пусть существует программа h на языке программирования P, которая решает данную задачу.
Построим теперь программу g, которая будет «оберткой» вокруг h, делающей следующее:
–
считывает ввод — строку t;
–
запускает (вызывает внутри себя как подпрограмму) программу h, причем и в качестве
программы, и в качестве строки ей передает одинаковый аргумент — строку t;
–
дожидается ответа от h;
–
если ответ был «Yes», то заходит в бесконечный цикл (намеренно «зависает»);
–
если же ответ был «No», то заканчивает работу.
Заметим, что фраза «дожидается ответа от h» корректна: мы предположили, что программа h
решает задачу об останове на конкретных входных данных — то есть всегда за конечное
время выдает правильный ответ.
Итак, зададимся ключевым вопросом: если программе g в качестве вводных данных подать g
— ее саму же, остановится она или нет?
Предположим, что да, остановится. Значит, вызванная «внутри» h на входных данных (g, g)
даст ответ «No» (иначе g не остановится, а зависнет). Значит (ведь h дает ответ без ошибок
— проанализируем ее ответ) программа g на конкретных входных данных g не
останавливается за конечное время. Противоречие.
Предположим, что нет, не остановится. Значит, вызванная h на входных данных (g, g) даст
ответ «Yes» (иначе g остановится, а не зависнет). Значит, (анализируя ответ h) программа g на
конкретных входных данных g останавливается за конечное время. Противоречие. Конец
доказательства.
Итак, приведена задача, про которую доказано, что никакая программа ее не решает. Такие
задачи называются неразрешимыми.
Напоследок, позволим себе помечтать, что задача останова, пусть даже с пустыми входными
данными, была бы разрешима. Тогда напишем программу p:
для всех натуральных s, начиная с 3:
для всех натуральных a от 1 до s:
для всех натуральных b от 1 до s:
для всех натуральных c от 1 до s:
для всех натуральных n от 3 до s:
если an+bn=cn, то остановиться.
Программу p достаточно было бы передать на вход программе, решающей задачу об
останове, и за конечное время мы бы получили знания, существует ли решение уравнения
an+bn=cn (n ≥ 3) в натуральных числах. То есть проверка верности Великой теоремы Ферма
требовала бы не усилий математиков, а запуска одной программы.
Но это не так.
Рекомендуемое дальнейшее чтение:
–
Теорема Райса;
–
Теория вычислимости;
–
Полнота по Тьюрингу.
ТЕОРЕМЫ ПТОЛЕМЕЯ И ОБОБЩЕНИЯ КЭЗИ
Виктор Гатон
г. Вальядолид (Испания)
Хорошо известны первые две теоремы Птолемея о вписанных многоугольниках. В докладе
показаны обобщения этих теорем, опубликованных в 1881 году, и набросок их
доказательства. Они представляют из себя два сильных результата, упрощающих решение
некоторых сложных геометрических задач.
Теорема 1: Первая теорема Птолемея
Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его
противоположных сторон, обратное тоже верно.
a ·c  b·d  x·y  ABCD вписанный
Теорема 2: Первая теорема Птолемея
В условиях предыдущей теоремы верно:
y a ·d  b ·c

x a ·b  c ·d
Вспомогательный результат 1:
Если две окружности радиуса r1 и r2 касаются внешним образом, то длина отрезка общей
касательной равна 2 r1r2 (Следует из теоремы Птолемея)
Вспомогательный результат 2:
Пусть даны две окружности с центрами O1 и O2 и радиусами r1 и r2 , а t длина отрезка
общей внешней касательной, тогда выполняется соотношение
2
t 2  O1O2  (r1  r2 )2
Вспомогательный результат 3:
Пусть окружности k1 (O1; r1 ) и k2 (O2 ; r2 ) касаются изнутри третьей окружности k (O; R ) в
точках А и B соответственно. Тогда если t12 отрезок общей внешней касательной
окружностей k1 и k 2 , то верно
AB
t12 
( R  r1 )( R  r2 )
r
Подсказка: используйте теорему Пифагора и теорему косинусов.
Первая теорема Кэзи:
Если окружности k1 , k 2 , k3 и k 4 касаются изнутри другой окружности (или прямой), и
tij длины общих внешних касательных окружностей ki и k j , тогда верно соотношение
t12·t34  t23·t14  t13·t24
Обратное тоже верно: если выполняется это равенство, то окружности k1 , k 2 , k3 и
k 4 касаются другой окружности (или прямой)
Доказательствo:
 AB ·CD  AD ·BC 
t12·t34  t23·t14  
 ( R  r1 )( R  r2 )( R  r3 )( R  r4 ) 
R2


AC ·BD

( R  r1 )( R  r3 ) ( R  r2 )( R  r4 )  t13·t24
R2
(используя вспомогательные результаты).
Вторая теорема Кэзи:
В условиях предыдущей теоремы выполняется соотношение:
t12 ·t14 ( R  r3 )  t23·t34 ( R  r1 ) t13

t12·t23 ( R  r4 )  t14 ·t34 ( R  r2 ) t24
Доказательство: просто подставьте.
Далее, представлены три задачи, решение которых упрощается, если использовать теоремы
Кэзи.
Пример 1:
Окружности 1 и  2 касаются внешним образом в точке I, и обе касаются изнутри
третьей окружности  . Внешняя общая касательная пересекает  в точках B и C, а
внутренняя касательная пересекает  в точке A (противоположная сторона от BC по
отношению к точке I). Доказать, что I центр вписанной окружности треугольника ABC.
Пример 2:
Вписанная окружность треугольника касается окружности девяти точек (окружность,
проходящая через середины сторон треугольника).
Пример 3: (Британская Математическая Олимпиада, 1986)
Две параллельные прямые t1 и t 2 являются касательными к окружности k радиуса R.
Окружность k1 (r1 ) касается прямой t1 и окружности k , а окружность k2 (r2 ) касается
прямой t 2 , окружностей k и k1 . Все касательные внешние и у прямой t1 и окружностей k и
k1 нет общих точек. Выразить R как функцию от r1 и r2 .
МЕТОД ОТДЕЛЯЮЩИХ КАСАТЕЛЬНЫХ
И. Ж. Ибатулин1, А. Н. Лепес2
Неравенство Йенсена имеет множество различных применений, достаточно часто оно
используется для доказательств неравенств на международных математических олимпиадах.
При этом необходимо отметить, что неравенство Йенсена в официальных решениях и в
статьях в основном упоминается для выпуклых всюду функций, а на самих олимпиадах
неравенство Йенсена встречается как для выпуклых, так и для не выпуклых функций. В
докладе планируется обсудить это на некоторых примерах неравенств, представить
альтернативное доказательство 5 неравенств, а также исправить ошибочное решение Ercole
Suppa (см. [1], стр. 19). Особенностью предлагаемых решений является применение
касательной. Данные неравенства имеют также доказательства с применением классических
неравенств, однако практика проведения олимпиад показывает, что более половины
учащихся не догадываются до необходимых нестандартных преобразований, без которых
применение классических неравенств невозможно. В наших же решениях этого не требуется.
В общем для доказательства неравенств определенного типа нами разработан новый метод,
который получил название «метод отделяющих касательных» на XXI Международной
конференции «Математика. Образование» в г.Чебоксары. Если говорить кратко, то данный
метод заключается в следующем.
В случае, если функция f, определенная на множестве A, ограничена снизу и в
некоторой точке достигает своего наименьшего значения. То для доказательства неравенств
вида
, где
, необходимо сначала построить график функции
, далее выбрать тип касательной и точку касания в соответствии с нашей таблицей
рекомендаций. Пусть на множестве
график функции f лежит не ниже выбранной
касательной, а для множества A\G выполнено следующее
то, применив полученные неравенства, доказать требуемое неравенство.
Если функция f не ограничена снизу, то наши рекомендации применимы к тем
функциям, графики которых лежат не ниже выбранной касательной всюду на A.
Если в неравенстве участвуют несколько различных функций, то точки касания
выбираются таким образом, чтобы производные данных функций в этих точках
соответственно совпадали.
Таким образом, нами показано, что основным условием, обеспечивающим
выполнение неравенства Йенсена в заданной точке х0 при некоторых ограничениях на
переменные, является расположение графика функции по одну сторону от соответствующей
касательной, проведенной в точке х0.
Об эффективности метода отделяющих касательных можно судить хотя бы на
основании того, что в книгах [2] и [3] неравенства подходящего типа встречаются примерно
в 20% случаях, из них в 70% мы можем применить указанный метод.
Литература
1. Suppa E. Inequalities from around the world 1995-2005. Teramo, 2011. 157 p.
2. Pham Kim Hung Secrets in Inequalities (volume 1). Zalău: Gil, 2007. 251 p.
3. Chetkovski Z. Inequalities. Theorems, techniques and Problems. Verlag Berlin Heidelberg:
Springer, 2012. 444 p.
РСФМСШИ им.О.Жаутыкова, каф. Математики,
Казахстан, 050000, г. Алматы, ул.Бухар жырау, 36,
тел.: (727) 249-95-87, факс: (727) 395-01-77, е-mail: mathibragim@mail.ru
1
2
e-mail: adilsultan01@mail.ru
СЛОЖНОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Смаль Александр Владимирович
младший научный сотрудник ПОМИ РАН,
преподаватель Академического университета РАН
Для начала давайте определим, что есть «вычисление». Огромный вклад в изучение этого
вопроса сделал британский математик Алан Тьюринг (1912 - 1954). Тьюринг предложил
использовать для этих целей воображаемое вычислительное устройство, которое получило
название «Машина Тьюринга».
Машина Тьюринга состоит из бесконечной в обе стороны клеточной ленты, по которой
может перемещаться считывающая головка. В каждый момент времени считывающая
головка считывает ровно одну клетку. В каждой клетке может быть записан один символ из
некоторого наперёд заданного конечного алфавита. Шаг вычисления машины Тьюринга
состоит из считывания значения в ячейке, на которой находится головка в текущий момент,
последующей записи некоторого символа в эту ячейку (может быть того же символа) и
перемещением головки на соседнюю клетку влево или вправо. Кроме того, считывающая
головка в каждый момент времени может находиться в некотором состоянии, которое
влияет на её поведение. Таких состояний некоторое конечно число.
Оказывается, что любое вычисление, которое можно сделать на каких-то реальных
вычислительных устройствах, можно сделать и на машине Тьюринга. Поэтому понятие
вычисление можно определить как процесс вычисления машины Тьюринга, а понятие
алгоритм~--- как описание машины Тьюринга.
Определим, что такое машина Тьюринга более формально.
Машина Тьюринга — это пятёрка (A, Q, q0, qE, T), где
A - это конечный алфавит символов для ленты,
Q - это множество различных состояний, в которых может быть считывающая
головка,
q0 - это состояние головки в начальный момент времени,
qE - это состояние, придя в которое машина останавливается,
T - таблица переходов.
Таблица переходов имеет следующие поля:
1. состояние головки
2. символ на ленте
3. новое состояние головки
4. новый символ на ленте
5.
направление перемещение головки.
В таблице переходов описывается поведение машины Тьюринга, когда она встречает какойнибудь символ на ленте. Таблицу нужно читать следующим образом: первые две колонки это условие, а оставшиеся три - действия.
Рассмотрим следующую таблицу переходов с одной строкой.
Состояние
Символ
Новое состояние
Новый символ
q0
a
q1
b
Направление
→
Единственная строка в этой таблице описывает следующее правило перехода: если
считывающая головка находится в состоянии q0 и стоит на клетке, в которой записана буква
a, то на следующем шаге она записывает в эту ячейку букву b (вместо буквы a), переходит в
состояние q1 и передвигается направо.
Существуют так же различные модификации машины Тьюринга, имеющие более одной
ленты. Такие машины удобны для решения некоторых задач, но при этом они являются в
некотором смысле эквивалентными простой одноленточной машине Тьюринга, т.е. по
программе для машины Тьюринга с N лентами, решающей некоторую задачу можно
написать программу для одноленточной машины Тьюринга, которая будет решать ту же
задачу, причём будет делать это не сильно медленнее.
Пример машины Тьюринга
Давайте теперь приведём пример машины Тьюринга, которая решает какую-то реальную
задачу. Пусть на ленте записано некоторое число. Давайте напишем программу, которая
прибавит к нему единицу. Для этого давайте договоримся, что это число записано на ленте,
все оставшиеся клетки пусты, а считывающая головка в начальный момент времени
указывает на первую цифру числа. Для того, чтобы программа получилась не очень длинная,
будем записывать числа в двоичной системе счисления, т.е. в алфавите A = {0,1}
Нам потребуется множество Q из четырёх состояний {q0, q1, q2, qE}, где q0 - начальное
состояние, а qE - конечное. Осталось определить таблицу переходов T:
Состояние
q0
q0
q0
q1
q1
q1
Символ
1
0
0
1
Новое состояние
q0
q0
q1
qE
q1
qE
Новый символ
1
0
1
0
1
Направление
→
→
←
←
←
←
Мы описали некоторую машину Тьюринга (A, Q, q0, qE, T). Давайте разберёмся, как она
работает. В начале работы головка находится в состоянии q0 и указывает на первую цифру.
Первые две строки таблицы переходов описывают движение головки до правого края числа
на ленте (первая строка: если головка находится на клетке с 1, то записываем 1 и двигаемся
направо; вторая строка аналогична, но для случая, когда головка находится на клетке с 0). В
какой-то момент головка дойдёт до пустой ячейки. В этот момент применится третье
правило и головка станет указывать на последнюю цифру числа. После этого мы прибавляем
1 при помощи четвёртого и пятого правила. Причём, если последняя цифра - 0, то она
заменяется на 1 и машина останавливается. Если последняя цифра - 1, то она заменяется на 0
и головка сдвигается влево. Далее снова применяется четвёртое или пятое правило. Если
головка выйдет за левый край числа, то это значит, что число состояло из одних единиц. В
этом случае применяется последнее правило, которое дописывает 1 в пустую клетку и
машина Тьюринга остановливается.
Понимаете ли вы как написать программу, которая прибавляет к числу 2? А программу,
которая вычитает из числа единицу?
Сложность вычислений
Под сложностью вычислений понимается количество шагов, которое сделает
вычислительное устройство. В случае машины Тьюринга под количество шагов понимается
количество перемещений головки. Давайте рассмотрим количество операций, которое
совершает вычислительное устройство, как функцию от длины входа. К примеру,
рассмотрим наш пример с прибавлением единицы к числу: если число содержит n цифр, то
наша машина Тьюринга сделает не более T(n) = 2n + 1 шагов (мы проходим число сначала
слева-направо, на это уходит n шагов, а потом справа-налево до тех пор, пока не встретим
0 или пустую ячейку, это не более n+1 шага). Можно сказать, что эта задача имеет ”линейную
сложность”, т.к. количество шагов пропорционально n (т.е. функция линейна).
Можно рассмотреть более сложную задачу: пусть на ленте записано два числа, разделённые
пустой ячейкой, причём каждое число имеет не более n цифр. Рассмотрим машину
Тьюринга, которая складывает эти два числа и записывает ответ на ленту. Как можно
оценить количество операций, которое сделает эта машина? Правильный ответ - никак. Это
зависит от конкретной машины Тьюринга. Однако можно поставить вопрос иначе: сколько
операций потребуется самой “быстрой” такой машине Тьюринга. Точно дать ответ на этот
вопрос сложно. Однако можно попытаться оценить это время сверху. К примеру, можно
написать машину Тьюринга, которой потребуется не более T(n) = 4n2 операций.
Можно сказать, что данную задача имеет “квадратичную сложность”, т.е. количество
операций пропорционально квадрату длины входа.
Будем говорить, что задача имеет “полиномиальную сложность”, если существует машина
Тьюринга, которая решает её за полиномиально количество шагов, т.е. количество шагов не
превышает cnk, где c и k - некоторые константы, а n - длина входа. Рассмотренные выше
задачи прибавления единицы и сложения двух чисел очевидно имеют полиномиальную
сложность (к примеру, для прибавления единицы k = 1, а c = 3, т.к. 2n+1 ≤ 3n).
Давайте рассмотрим множество всех задач, которые можно решить за полиномиальное
время. Это множество принято обозначать P. Многие прикладные задачи лежат в этом
множестве. Считается, что если мы умеем решать задачу за полиномиальное число шагов, то
мы умеем решать эту задачу “быстро”.
Однако существуют задачи, про которые не известно, существует ли для них алгоритм,
решающий задачу за полиномиальное количество шагов. Среди таких задач есть множество
интересных, к примеру, задача о Гамильтоновом пути.
Задача о Гамильтоновом пути
В некоторой стране есть есть n городов, некоторые из которых соединены дорогами. Можно
ли объехать все города так, чтобы посетить каждый из городов ровно один раз?
Не смотря на то, что задача имеет очень простое условие, не известно алгоритмов, которые
бы решали эту задачу за полиномиальное число шагов. Лучшие алгоритмы для этой задачи
имеют экспоненциальную сложность (вроде T(n) > 2n).
С другой стороны, если нам кто-то предъявит решение (т.е. путь, посещающий все города
ровно по одному разу), то мы сможем быстро проверить, что это решение верно: для этого
достаточно проверить, что каждый город в пути встречается ровно один раз, и что путь
всегда проходит по дорогам. Другими словами, хоть мы и не умеем быстро решать эту
задачу (т.е. за полиномиальное количество шагов), однако мы можем быстро проверить
правильность решения, если нам кто-то его предъявит. Существует много других
интересных задач, которые обладают этим свойством: если нам кто-то предъявит решение,
то мы можем быстро его проверить. Множество таких задач принято обозначать NP. В
частности задача о Гамильтоновом пути принадлежит NP.
Заметим, что P содержится в NP. Действительно, если нам предъявят решение некоторой
задачи из P то мы можем проверить его просто решив задачу за полиномиальное число
шагов и сравнив полученный ответ с данным. Верно ли обратное, а точнее равны ли
множества P и NP? Над решение этого вопроса учёные бьются уже много лет. Большинство
учёных считают, что P ≠ NP, но никаких идей, как это доказать пока не известно. Более того,
данная задача входит в список “Проблем Тысячелетия”, а значит учёный, которому удастся
дать ответ на этот вопрос, получит от математического института Клея миллион долларов.
Вопрос о равенстве множеств P и NP является главной задачей теории сложности
вычислений. Решить эту проблему “с наскока” скорей всего не получится. Поэтому в теории
сложности вычислений есть множество более простых задач, за которые хоть и не дают
миллион, но решение которых может помочь продвинуться ещё на один шаг к ответу на
вопрос P = NP?
ЧТО ЖЕ ДОКАЗАЛ ПЕРЕЛЬМАН?
Дужин Сергей Васильевич
к.ф.-м.н., старший научный сотрудник ПОМИ РАН
Последним великим достижением чистой математики стало доказательство петербуржцем
Григорием Перельманом в 2002 - 2003 годах гипотезы Пуанкаре, высказанной в 1904 году и
гласящей: всякое связное, односвязное, компактное трёхмерное многообразие
без края гомеоморфно сфере S3.
В этой фразе имеется несколько терминов, который я постараюсь объяснить так, чтобы их
общий смысл стал понятен нематематикам (я предполагаю, что читатель закончил среднюю
школу и кое-что из школьной математики еще помнит).
Начнем с понятия гомеоморфизма, центрального в топологии. Вообще, топологию часто
определяют как “резиновую геометрию”, то есть как науку о свойствах геометрических
образов, которые не меняются при плавных деформациях без разрывов и склеек, а точнее,
при возможности установить между двумя объектами взаимно-однозначное и взаимнонепрерывное соответствие.
Главную идею проще всего объяснить на классическом примере кружки и бублика. Первую
можно превратить во второй непрерывной деформацией:
Эти рисунки наглядно показывают, что кружка гомеоморфна бублику, причем этот факт
верен как для их поверхностей (двумерных многообразий, называемых тором), так и для
заполненных тел (трехмерных многообразий с краем). Приведем толкование остальных
терминов, фигурирующих в формулировке гипотезы.
1. Трехмерное многообразие без края. Это такой геометрический объект, у которого каждая
точка имеет окрестность в виде трехмерного шара. Примерами 3-многообразий могут
служить, во-первых, всё трехмерное пространство, обозначаемое R3, а также любые
открытые множества точек в R3, к примеру внутренность полнотория (бублика).
Если рассмотреть замкнутое полноторие, то есть добавить и его граничные точки
(поверхность тора), то мы получим уже многообразие с краем - у краевых точек нет
окрестностей в виде шарика, но лишь в виде половинки шарика.
2. Связное. Понятие связности здесь самое простое. Многообразие связно, если оно состоит
из одного куска, или, что то же самое, любые две его точки можно соединить непрерывной
линией, не выходящей за его пределы.
3. Односвязное. Понятие односвязности сложнее. Оно означает, что любую непрерывную
замкнутую кривую, расположенную целиком в пределах данного многообразия, можно
плавно стянуть в точку, не покидая этого многообразия. Например, обычная двумерная
сфера в R3 односвязна (кольцевую резинку, как угодно приложенную к поверхности яблока,
можно плавной деформацией стянуть в одну точку, не отрывая резинки от яблока).
С другой стороны, окружность и тор неодносвязны.
4. Компактное. Многообразие компактно, если любой его гомеоморфный образ имеет
ограниченные размеры. Например, открытый интервал на прямой (все точки отрезка, кроме
его концов) некомпактен, так как его его можно непрерывно растянуть до бесконечной
прямой. А вот замкнутый отрезок (с концами) является компактным многообразием с краем:
при любой непрерывной деформации концы переходят в какие-то определенные точки, и
весь отрезок обязан переходить в ограниченную кривую, соединяющую эти точки.
Размерность многообразия - это число степеней свободы у точки, которая на нем “живет”. У
каждой точки есть окрестность в виде диска соответствующей размерности, то есть
интервала прямой в одномерном случае, круга на плоскости в двумерном, шара в
трехмерном и т.д. Одномерных связных многообразий без края с точки зрения топологии
всего два: это прямая и окружность. Из них только окружность компактна.
Примером пространства, не являющегося многообразием, может служить, например, пара
пересекающихся линий --- ведь у точки пересечения двух линий любая окрестность имеет
форму креста, у нее нет окрестности, которая была бы сама по себе просто интервалом (а у
всех других точек такие окрестности есть). Математики в таких случаях говорят, что мы
имеем дело с особым многообразием, у которого есть одна особая точка.
Двумерные компактные многообразия хорошо известны. Если рассматривать
только ориентируемые1 многообразия без края, то они с топологической точки зрения
составляют простой, хотя и бесконечный, список:
и так далее. Каждое такое многообразие получается из сферы приклеиванием нескольких
ручек, число которых называется родом поверхности. На рисунке изображены поверхности
рода 0, 1, 2 и 3.
Чем выделяется сфера из всех поверхностей этого списка? Оказывается, односвязностью: на
сфере любую замкнутую кривую можно стянуть в точку, а на любой другой поверхности
всегда можно указать кривую, которую стянуть в точку по поверхности невозможно.
Любопытно, что и трехмерные компактные многообразия без края можно в некотором
смысле классифицировать, то есть выстроить в некоторый список, хотя не такой
прямолинейный, как в двумерном случае, а имеющий довольно сложную структуру.
Тем не менее, трехмерная сфера S3 выделяется в этом списке точно так же, как двумерная
сфера в списке, приведенном выше. Тот факт, что любая кривая на S3 стягивается в точку,
доказывается столь же просто, как и в двумерном случае. А вот обратное утверждение, а
именно, что это свойство уникально именно для сферы, то есть что на любом другом
трехмерном многообразии есть нестягиваемые кривые, очень трудное и в точности составляе
содержание гипотезы Пуанкаре, о которой мы ведем речь.
Важно понимать, что многообразие может жить само по себе, о нём можно мыслить как о
независимом объекте, никуда не вложенном. (Представьте себе жизнь двумерных существ на
поверхности обычной сферы, не подозревающих о существовании третьего измерения.) К
счастью, все двумерные поверхности из приведенного выше списка можно вложить в
обычное пространство R3, что облегчает их визуализацию. Для трехмерной сферы
S3 (и вообще для любого компактного трехмерного многообразия без края) это уже не так,
поэтому необходимы некоторые усилия для того, чтобы понять ее строение.
По-видимому, простейший способ объяснить топологическое устройство трехмерной сферы
S3 - это при помощи одноточечной компактификации. А именно, трехмерная сфера S3
представляет собой одноточечную компактификацию обычного трехмерного
(неограниченного) пространства R3.
Поясним эту конструкцию сначала на простых примерах. Возьмем обычную бесконечную
прямую (одномерный аналог пространства) и добавим к ней одну “бесконечно удаленную”
точку, считая, что при движении по прямой вправо или влево мы в конце концов попадаем в
эту точку. С топологической точки зрения нет разницы между бесконечной прямой и
ограниченным открытым отрезком (без концевых точек). Такой отрезок можно непрерывно
изогнуть в виде дуги, свести поближе концы и вклеить в место стыка недостающую точку.
Мы получим, очевидно, окружность - одномерный аналог сферы.
Подобным же образом, если я возьму бесконечную плоскость и добавлю одну точку на
бесконечности, к которой стремятся все прямые исходной плоскости, проходимые в любом
направлении, то мы получим двумерную (обычную) сферу S2. Эту процедуру можно
наблюдать при помощи стереографической проекции, которая каждой точке P сферы, за
исключением северного полюса N, ставит в соответствие некоторую точку плоскости P':
Таким образом, сфера без одной точки - это топологически все равно, что плоскость, а
добавление точки превращает плоскость в сферу.
В принципе, точно такая же конструкция применима и к трехмерной сфере и трехмерному
пространству, только для ее осуществления необходим выход в четвертое измерение, и на
чертеже это не так просто изобразить. Поэтому я ограничусь словесным описанием
одноточечной компактификации пространства R3. Представьте себе, что к нашему
физическому пространств (которое мы, вслед за Ньютоном, считаем неограниченным
евклидовым пространством с тремя координатами x, y, z) добавлена одна точка “на
Бесконечности” таким образом, что при движении по прямой в любом направлении вы в нее
попадаете (то есть каждая пространственная прямая замыкается в окружность). Тогда мы
получим компактное трехмерное многообразие, которое и есть по определению сфера S3.
Легко понять, что сфера S3 односвязна. В самом деле, любую замкнутую кривую на этой
сфере можно немного сдвинуть, чтобы она не проходила через добавленную точку. Тогда мы
получим кривую в обычном пространстве R3, которая легко стягивается в точку посредством
гомотетий, то есть непрерывного сжатия по всем трем направлениям.
Для понимания, как устроено многообразие S3, весьма поучительно рассмотреть его
разбиение на два полнотория. Если из пространства R3 выбросить полноторие, то останется
нечто не очень понятное. А если пространство компактифицировать в сферу, то это
дополнение превращается тоже в полноторие. То есть сфера S3 разбивается на два
полнотория, имеющих общую границу --- тор. Вот как это можно понять.
Вложим тор в R3 как обычно, в виде круглого бублика, и проведем вертикальную прямую --ось вращения этого бублика. Через ось проведем произвольную плоскость, она пересечет
наше полноторие по двум кругам, показанным на рисунке зеленым цветом, а дополнительная
часть плоскости разбивается на непрерывное семейство красных окружностей. К их числу
относится и центральная ось, выделенная более жирно, потому что в сфере S3 прямая
замыкается в окружность. Трехмерная картина получается из этой двумерной вращением
вокруг оси. Полный набор повернутых окружностей заполнит при этом трехмерное тело,
гомеоморфное полноторию, только выглядящее необычно. В самом деле, центральная ось
будет в нем осевой окружностью, а остальные будут играть роль параллелей - окружностей,
составляющих обычное полноторие.
ВВЕДЕНИЕ В ИНВЕРСИВНУЮ ГЕОМЕТРИЮ
Косовский Николай Николаевич
к.ф.-м.н., СПбГУ
1 Степень точки относительно окружности. Пучки соосных окружностей.
Определение 1 Как известно, если даны точка M и окружность ω с центром в O и
радиусом R, то для любой прямой проходящей через M и пересекающей окружность в
точках A и B произведение длин отрезков |MA|⋅|MB| не зависит от прямой. Здесь и далее под
|AB| мы понимаем длину отрезка, соединяющего точки A и B. Зачастую вместо длин
отрезков, удобнее рассматривать так называемые направленные отрезки. То есть
считаем, что направленные отрезки, направленные в одну сторону положительны, а в
другую - отрицательны. Получается, что направленный отрезок AB=±|AB|. При этом
получается, что MA⋅MB=|MO|2−R2. Кстати, как легко видеть вместо направленных
отрезков (то есть длин со знаком) можно рассматривать векторы МА  МВ  МА  МВ .
Эту величину мы будем называть степенью точки M относительно окружности ω.
Отметим, что если M лежит вне окружности ω, то степень равняется квадрату
касательной проведенной из M к ω.
Определение 2 Радикальной осью двух неконцентрических окружностей называется
множество точек, у которых степени точки относительно одной окружности и другой
равны.
Предложение 1 Легко видеть, что у двух касающихся окружностей их радикальной осью
является их общая касательная.
Действительно, если точка лежит на касательной прямой, то ее степень относительно
окружности равна квадрату касательной. Таким образом для точек с общей касательной
равенство степеней точек относительно окружностей очевидно. С другой стороны, если
провести из точки M с радикальной оси прямую в общую точку касания, то вторые точки
пересечения с окружностями должны совпасть. В самом деле, MA⋅MB=MA⋅MB'
Предложение 2 Аналогично, у двух пересекающихся окружностей их радикальной осью
является прямая, проходящая через их точки пересечения.
В самом деле, если обозначить две точки пересечения этих окружностей за A и B, то для
точки с прямой (AB) степень точки относительно произвольной из окружностей равняется
MA⋅MB для каждой из пересекающихся окружностей. И как в предыдущем случае вторые
точки пересечения прямой (MA) с окружностями должны совпасть.
Предложение 3 Предыдущие два результата можно распространить на случай
произвольных окружностей. У двух неконцентрических окружностей их радикальной осью
является прямая, перпендикулярная прямой, соединяющей их центры.
На самом деле, этот случай можно свести с случаю пересекающихся окружностей. В самом
деле радикальной осью окружностей с центрами O1 и O2 и радиусами r1 и r2 будут точки,
удовлетворяющие МО1  r12  MO2  r22 . Таким радикальная ось не изменится, если
2
2
радиусы заменить на d 2  r12 и d 2  r22 соответственно. Легко видеть, что при больших d
такие окружности пересекутся. Это очевидно в случае, если окружности расположены одна
вне другой, но верно и в случае, если одна расположена внутри другой. (Почему? Как это
связано с тем, что окружности неконцентрические? )
Замечание 4 На самом деле, предыдущее предложение легко доказать, например, в
координатах. Доказательство будет еще проще, если систему координат выбрать так,
чтобы центр одной окружности был в начале координат, а центр другой — на оси OX.
Определение 3 Пусть зафиксирована прямая l. Две окружности называются соосными,
если l является их радикальной осью. (Дополнительно считаем, что окружность соосна
сама себе.)
Замечание 5 Очевидно, что соосность — это отношение эквивалентности. Стоит
отметить, что если заданы две окружности, то соосные им окружности будут иметь в
качестве прямой l их радикальную ось. А значит о прямой l можно не говорить.
Определение 4 Класс эквивалентности соосности называется пучком соосных
окружностей.
Замечание 6 Во-первых, добавим в пучок соосных окружностей еще и соответствующую
прямую. Зачастую прямые мы тоже будем называть окружностями (бесконечного
радиуса). Во-вторых, будем считать пучком соосных окружностей еще несколько
вырожденных случаев: пучок параллельных прямых; пучок прямых, проходящих через одну
точку; пучок концентрических окружностей.
Предложение 7 Если две окружности пересекаются в точках A и B, то через любую точку
M плоскости проходит соосная им окружность (или прямая). Более того такая
окружность единственна, если точка M отлична от точек A и B.
Действительно, это просто описанная окружность вокруг  ABM. (А что происходит, если
треугольник вырождается? )
Предложение 8 Если две окружности касаются в точке A, то через любую точку M
плоскости проходит соосная им окружность (или прямая). Более того такая окружность
единственна, если точка отлична от точки касания окружностей.
В самом деле, этот случай можно рассмотреть, как предельный вариант предыдущего случая.
А можно увидеть, что центр искомой окружности лежит на пересечении перпендикуляра к
общей касательной в точке A и серединного перпендикуляра к отрезку [AM].
Предложение 9 Если две неконцентрические окружности непересекаются, то через любую
точку M плоскости кроме двух проходит соосная им окружность (или прямая). Более того
такая окружность единственна.
Это, наверное, менее очевидное предложение, чем два предыдущих. Однако, по сути дела
нам нужно построить окружность с центром на прямой m так, чтобы степень какой-нибудь
точки A на радикальной оси была равна фиксированному числу d. Однако в этом случае
очевидно есть еще одна точка M' с искомой окружности — такая точка с прямой (AM), что
AM⋅AM'=d. Таким образом центр окружности — пересечение прямой m с серединным
перпендикуляром к ММ  . В случае М  М  вместо серединного перпендикуляра надо
рассматривать перпендикуляр к AM, проходящий через M. (Где в этом доказательстве
возникли выделенные две точки? )
Замечание 10 Что происходит с оставшимися “частично вырожденными” случаями?
Определение 5 Угол между пересекающимися окружностями — это угол между
касательными в их точке пересечения.
Замечание 11 Величина этого угла не зависит от выбора точки пересечения, так как
картинка симметрична относительно прямой, соединяющей их центры.
Предложение 12 Легко видеть, что окружности перпендикулярны тогда и только тогда,
когда радиус одной окружности, проведенный к точке пересечения является касательной.
Предложение 13 Даны две неконцентрические окружности S1 и S 2 с центрами O1 и O2,
соответственно и две окружности S1 и S2 каждая из которых перпендикулярна обеим
окружностям S1 и S 2 . Тогда радикальной осью окружностей S1 и S2 является прямая
О1О2 
Действительно, степень точки Оi относительно окружности Sj
равняется квадрату
касательной, проведенной из точки Оi к окружности Sj , то есть квадрату радиуса S j . То есть
O1 и O2 лежат на радикальной оси S1 и S2 .
Предложение 14 Для любых двух неконцентрических окружностей существует
окружность, перпендикулярная им обеим.
Глядя на предыдущее утверждение легко предположить где мог бы лежать ее центр — на их
радикальной оси. Достаточно взять точку на радикальной оси вне обеих окружностей, а в
качестве радиуса взять длину касательной (длина касательной не будет зависеть от того,
какую именно окружность рассмотреть).
Предложение 15 Даны две неконцентрические окружности S1 и S2 с центрами O1 и O2 и
перпендикулярная им окружность S1'. Тогда любая окружность S2' такая, что радикальной
осью S1' и S2' является прямая (O1O2) перпендикулярна исходным двум окружностям.
Это очевидно следует из того, что квадрат касательной из Oi к S2' равен квадрату
касательной к S1', то есть квадрату радиуса окружности Si. Из последних трех утверждений
сразу вытекает следующая теорема.
Теорема 6 Если даны две неконцентрические окружности, то множество
перпендикулярных им окружностей образует пучок соосных окружностей.
Замечание 16 Легко доказать теорему 6 и в случае, если убрать слово неконцентрические,
под окружностями понимать прямые или окружности, а пучок соосных окружностей
понимать в обобщенном смысле.
Теорему 6 можно уточнить и в следующим образом.
Предложение 17 Для любого пучка соосных окружностей есть другой пучок соосных
окружностей такой, что любая окружность из первого пучка перпендикулярна любой
окружности из второго.
Получается, что пучку пересекающихся окружностей перпендикулярен пучок
непересекающихся окружностей и наоборот. Как следствие, существует три вида пучков
соосных окружностей с точностью до подобия. Если добавить вырожденные пучки, то
шесть.
2 Инверсия. Действие на окружности и прямые.
Определение 7 Инверсия относительно окружности с центром в точке O и радиусом R —
это отображение, которое сопоставляет точке X такую точку X' на луче [OX), что
|OX|⋅|OX'|=R2. Можно это отображение называть инверсией с центром в точке O и
коэффициентом R2. Пользуясь понятием направленного отрезка можно дать определение
инверсии с коэффициентом k≠0: это отображение, которое сопоставляет точке X такую
точку X' на прямой (OX), что OX⋅OX'=k. Очевидно, что инверсия с положительным
коэффициентом k является инверсией относительно окружности с радиусом k , а
инверсия с отрицательным коэффициентом k является композицией инверсии с
коэффициентом |k| и центральной симметрии.
Предложение 18 В координатах инверсия относительно окружности x2+y2=1 задается
следующей формулой

x
y 

, 2
2
2 
x y x y 
x, y   
2
Или в более общем случае, инверсия относительно центра координат с коэффициентом k

kx
ky 

, 2
2
2 
x y x y 
x, y   
2
Действительно, сущестует такое чило α, что (x,y)↦(αx,αy), так как эти точки лежат на
прямой, проходящей через (0,0). Для того, чтобы найти α, можно рассмотреть скалярное
произведение

k  x, y   x, y    x 2  y 2



Окончательно получаем   k / x 2  y 2 .
Замечание 19 Стоит заметить, что если при инверсии относительно точки O точки A и B
переходят в A' и B', то  OAB∼  OB'A".
Предложение 20 Легко видеть, что композиция двух инверсий относительно
концентрических окружностей является гомотетией, а композиция инверсии и гомотетии
с положительным коэффициентом и тем же центром является гомотетией с тем же
центром.
Рассмотрим как действует инверсия на окружности (и прямые). Начнем с очевидного.
Предложение 21 Прямая, проходящая через центр инверсии, переходит в себя.
Предложение 22 Прямая l, непроходящая через центр инверсии O, переходит в
окружность, проходящую через центр инверсии и наоборот.
Действительно, пусть точка B — основание перпендикуляра из O на l. Тогда из подобия

 OAB∼  OB'A' следует, что угол OAB   . То есть A' лежит на окружности с диаметром
2
[OB']. Однако верны и следствия в обратную сторону.
Предложение 23 Окружность S, проходящая через концы диаметра [XY] окружности
инверсии, переходит в окружность симметричную исходной, относительно этого
диаметра (или, что то же самое, центра инверсии).
Доказывать будем для симметрии относительно центра инверсии. Предложение следует из
определения степени точки O (центра инверсии) относительно S. Пусть r — радиус
окружности инверсии, A — произвольная точка окружности S, а B — вторая точка
пересечения S и прямой (AO). Тогда OA⋅OB=OX⋅OY=−r2. С другой стороны если A переходит
в A', то OA⋅OA'=r2. Таким образом A' и B симметричны относительно O.
Предложение 24 Окружность, перпендикулярная окружности инверсии переходит в себя.
Ситуация практически как в предыдущем пункте. Единственная разница в том, что OA⋅OB
равно квадрату касательной, то есть r2 и, как следствие, A' и B совпадают.
Предложение 25 Любая окружность, содержащая внутри центр инверсии O, переходит в
окружность, содержащую внутри центр инверсии O.
Предложение 26 Любая окружность, несодержащая внутри центр инверсии O, переходит
в окружность, несодержащую внутри центр инверсии O.
Последние два предложения следуют предыдущих двух. Действительно, с помощью
гомотетии c центром в O можно перевести окружности инверсии в окружности,
соответствующие предыдущим двум случаям. А как уже обсуждалось инверсии с одним и
тем же центром отличаются лишь на гомотетию (которая окружности переводит в
окружности).
Итого получаем следующую теорему.
Теорема 8 Окружности и прямые при инверсии переходят в окружности и прямые.
Замечание 27 Несмотря на то, что при инверсии окружность (обычно) переходит в
окружность центр в центр не переходит.
Теорему 8 можно доказать еще, например, с помощью координат.
Предложение 28 Нетрудно видеть, что окружности и прямые (и только они) задаются в
координатах уравнениями вида
Ax 2  Ay 2  Bx  Cy  D  0
где B, C и AD не обнуляются одновременно, а соответствующие множества хотя бы
двухточечны (или, что то же самое содержат бесконечно много точек).
С другой стороны мы знаем, как меняются координаты при инверсии (достаточно
рассматривать единичную окружность x 2  y 2  1 ). Тогда множество, удовлетворяющее
Ax 2  Ay 2  Bx  Cy  D  0
переходит в множество, удовлетворяющее
Dx 2  Dy 2  Bx  Cy  A  0
условие “B, C и AD не обнуляются одновременно” для них одинаково. И наконец количество
точек не может измениться больше чем на один — центр инверсии.
Предложение 29 При инверсии точка A переходит в A'. Тогда любая окружность S,
проходящая через A и A' переходит в себя.
Действительно, степень центра инверсии O относительно окружности S равно OA⋅OA'=r2,
где r — радиус окружности инверсии. То есть существует радиус одной окружности
являющийся касательной к другой. Таким образом S и окружность инверсии
перпендикулярны.
Аналогично можно получить и следующее.
Предложение 30 Любая точка P не лежащая на окружности ω переходит при инверсии
относительно ω во вторую точку пересечения любых двух окружностей, проходящих через
P и ортогональных окружности ω.
Замечание 31 Во-первых, если вместо окружности ω рассмотреть прямую, то вторая
точка пересечения является симметричной относительно этой прямой. Например и
поэтому инверсию иногда называют симметрией относительно окружности.
Утверждение задачи верно и если под окружностью понимать окружность или прямую.
3 Инверсия. Углы, действие на пучки соосных окружностей
Теперь займемся углами между окружностями.
Предложение 32 Касающиеся окружности (включая вырожденный случай прямых)
переходят при инверсии в касающиеся окружности (или прямые).
Это очевидно, если посмотреть на количество общих точек у окружностей (и не забыв о
"бесконечно удаленной точке", в которой пересекаются любые две прямые).
Предложение 33 Угол между прямыми равен углу между их образами при инверсии.
Это легко видеть, в случае, если образы прямые. Однако если образы окружности, то
касательные в центре инверсии к образам прямых параллельны соответствующим прямым,
откуда следует искомое равенство углов. (Можно заметить, что угол мы посчитали не в
образе точки, в которой раньше считали угол, но это не важно.) Оставшийся случай — две
прямые переходят в прямую и окружность оставим читателю.
Предложение 34 Угол между окружностями и прямыми сохраняется при инверсии.
Для доказательства надо лишь заменить окружности на касательные прямые (угол не
изменится), посмотреть на образ прямых (угол не изменится), и наконец заметить, что
образы прямых и образы исходных окружностей касаются, то есть у них общие касательные,
а как следствие, равные углы.
Замечание 35 Если смотреть на направленные углы, то оказывается, при инверсии (как и
при симметрии относительно прямой) направление углов меняется на противоположное.
Предложение 36 Пучки соосных окружностей переходят при инверсии в пучки соосных
окружностей.
Это следует из того, что пучок окружностей — это множество окружностей,
перпендикулярных двум данным.
Предложение 37 Любые две неконцентрические непересекающиеся окружности можно
перевести с помощью инверсии в концентрические.
Достаточно сделать инверсию с центром в той точке, через которую не проходят окружности
пучка. Получим пучок окружностей, не проходящие только через одну точку (и еще одну
бесконечно удаленную). Это только пучок концентрических окружностей.
Предложение 38 Поризм Штейнера. Рассмотрим две неконцентрические окружности,
одна из которых находится внутри другой. Рассмотрим последовательность окружностей,
которые находятся внутри получившегося “кольца” так, что каждая окружность из
последовательности касается внутренней и внешней окружностей и, кроме того
предыдущей и последующей окружностей. Оказалось, что одна такая последовательность
зацикливается и содержит n окружностей. Докажите, что если начать также строить
последовательность начиная с произвольной другой окружности (не входящую в исходную
последовательность) то эта последовательность тоже зацикливается и содержит n
окружностей.
Действительно, достаточно перевести исходные окружности в концентрические. Тогда
условие касания останется таким же. Но в концентрическом случае окружности из
последовательности получаются друг из друга поворотом на один фиксированный угол. А
значит если начать также строить последовательность начиная с произвольной другой
окружности (не входящую в исходную последовательность) то эта последовательность тоже
зацикливается и содержит n окружностей.
Оставим читателю следующее усиление Поризма Штейнера.
Задача 1 Докажите, что точки касания “соседних” окружностей из предыдущей задачи
лежат на одной окружности в случае, если исходные две окружности расположены одна
вне другой.
4 Построения с помощью циркуля и линейки.
В этом разделе оставим читателю задачи о построении с помощь циркуля и линейки с
некоторыми подсказками.
Предложение 39 С помощью циркуля и линейки построить образ данной точки при
инверсии относительно данной окружности.
Предложение 40 С помощью циркуля и линейки построить образ данного треугольника с
вписанной окружностью при инверсии относительно данной окружности.
Достаточно построить образ нескольких точек, а потом достроить картинку.
Предложение 41 Даны две неконцентрические окружности. С помощью циркуля и линейки
построить прямую, перпендикулярную данным окружностям.
Предложение 42 Даны две неконцентрические окружности. С помощью циркуля и линейки
построить произвольную окружность, перпендикулярную данным.
Прямую мы уже строить умеем. Осталось лишь вспомнить, что с точки зрения инверсивной
геометрии прямые и окружности - это одно и то же. Только не подумайте, что построенная
прямая пойдет под ответ — прямая все-таки не окружность!
Задача 2 Даны две неконцентрические непересекающиеся окружности. С помощью циркуля
и линейки построить центр инверсии, переводящей эти окружности в концентрические.
Центр инверсии — это точка, где пересекаются точки из ортогонального пучка.
Задача 3 Даны две окружности и точка. С помощью циркуля и линейки построить
окружность, перпендикулярную данным, проходящую через данную точку.
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
Задача 4 Даны две пересекающиеся прямые и точка O, не лежащая на на этих прямых. С
помощью циркуля и линейки провести прямую через точку O, пересекающую исходные
прямые в таких точках X и Y, что |OX|⋅|OY| равно площади заданного прямоугольника
Вроде, в условии просто-таки читается “здесь прячется иверсия”.
Или не прячется?
Задача 5 С помощью циркуля и линейки впишите в данный параллелограмм другой
параллелограмм с данным углом между диагоналями и равновеликий данному
прямоугольнику.
Надо воспользоваться предыдущей задачей.
Задача 6 С помощью циркуля и линейки построить окружность, проходящую через две
данные точки и касающуюся данной окружности. Сколько таких окружностей может
быть?
Задача 7 С помощью циркуля и линейки построить окружность, проходящую через данную
точку и касающуюся двух данных окружностей. Сколько таких окружностей может
быть?
Ну и наконец, можно уже практически не пользуясь инверсией, а только двумя
предыдущими, решить такую задачу.
Задача 8 С помощью циркуля и линейки построить окружность, касающуюся трех данных
окружностей. Сколько таких окружностей может быть?